Многомерные торические многообразия с положительным антиканоническим классом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Батырев, Виктор Вадимович

• Батырев, Виктор Вадимович
• кандидат наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат наук Батырев, Виктор Вадимович

СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ТОРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ АНТИКАНОНИЧЕСКИМ КЛАССОМ

§ I. Некоторые свойства торических многообразий

i 'v...

§ 2. Ограниченность степени многомерных торических

многообразий Фано

§ 3. Многогранник Фано и ассоциированные градуированные кольца 30 § 4. Примитивные соотношения и геометрия многообразий

Фано

ГЛАВА П. КЛАССИФИКАЦИЯ ТОРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ ФАНО СПЕЦИАЛЬНЫХ ТИПОВ 53 § I. Комбинаторные свойства многогранников Фано 53 § 2. Многообразия с группой PccCVja Z 65 § 3. Торические многообразия Фано размерности 3

ГЛАВА Ш. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ТОРИЧЕСКИЕ МНОГООБРАЗИЯ ФАНО

§ I. Свойства дивизоров-стратов и классификация основных серий 4-многогранников Фано 88 § 2. Основные комбинаторные оценки, завершение классификации 106 § 3. Таблица многообразий и их численные характеристики

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СЛИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многомерные торические многообразия с положительным антиканоническим классом»

ВВЕДЕНИЕ

Основным стимулом развития алгебраической геометрии, начиная со времени её зарождения как самостоятельной области математики, является задача классификации алгебраических многообразий. В общей постановке проблема классификации настолько сложна, что удовлетворительное ее решение вряд ли возможно. Однако создание новых технических средств и языка в алгебраической геометрии всегда косвенно или непосредственно связано с попытками достигнуть прогресса в вопросах, касающихся этой фундаментальной проблемы.

Наиболее существенные продвижения в классификации многомерных алгебраических многообразий были связаны с расцветом итальянской геометрической школы, основным достижением которой является классификация алгебраических поверхностей. Итальянскими геометрами были сделаны также первые шаги в изучении геометрии многообразий высших размерностей, главным образом, трехмерных. Так, например, в начале века Дж. Фано в [25] начал систематическое изучение трехмерных многообразий с обильным антиканоническим дивизором, эти многообразия, получившие впоследствии его имя, являются естественными трехмерными обобщениями так называемых поверхностей Дель Пеццо.

Оказалось, что бирациональная структура трехмерных многообразий Фано далеко нетривиальна. Например, развивая идеи Фано, В.А.йсковеких и Ю.И.Манин в 5 ] показали, что гладкая трехмерная квартика в Р^ не является рациональным многообразием, этот результат дал отрицательное решение проблемы Люрота в размерности 3.

Из работ Фано (см. [26,2?] ) выяснилось, что изучаемые им многообразия не только обладают нетривиальной бирациональной геометрией, но и имеют ряд интересных бирегулярных свойств. Основной факт, привлекающий внимание в изучении бирегулярных характеристик трехмерных многообразий Фано (в рассмотрение включались в том числе особые многообразия), состоял в ограниченности степени антиканонического класса — /Су константой 72. Это наблюдение свидетельствовало о существовании конечного числа семейств трехмерных многообразий Фано с точностью до деформаций и давало надежду на получение исчерпывающего конечного списка для такого типа многообразий.

В 1955 году Л.Роттом были опубликованы некоторые результаты по бирегулярной классификации трехмерных многообразий Фано специальных типов [35] . Как выяснилось позднее приведенный в его работе список многообразий не являлся полным, кроме того некоторые используемые факты (в том числе ограниченность степени) всё еще не имели достаточного обоснования.

В последние 10-15 лет теория трехмерных алгебраических многообразий переживает период нового подъема, в частности, возрос интерес к трехмерным многообразиям Фано, рассматриваемых с точки зрения их бирациональных и бирегулярных свойств. Начиная с 1977 года в работах В.А.Псковских 6Ч$] были пересмотрены, уточнены и строго доказаны классические результаты Дж.Фано. В.В.Шокуров в [22] доказал теорему о существовании прямой на трехмерных многообразиях Фано, которая позднее сыграла существенную роль в бирегулярной классификации многообразий этого типа. Дальнейшие успехи в изучении бирегулярных свойств многообразий Фано связаны с открытием японским геометром Мори нового метода исследования трехмерных многообразий о численно неэффек-

тивным каноническим классом, этот метод основывается на использовании свойств образующих конуса эффективных I - циклов (экстремальных лучей) в группе циклов А4 (V).

Используя технику экстремальных лучей, С.М.Львовским была доказана ограниченность степени антиканонического класса константой 64 для гладких многообразий Фано (см. ([20] ). И.В.Деминым получена классификация трехмерных многообразий Фано, пред-ставимых в виде расслоений на прямые и коники (см. ["И, 12]).

В [2] автором диссертации была получена бирегулярная классификация гладких трехмерных торических многообразий Фано8 - это один из результатов, представленных в настоящей работе.

Полный список с точностью до деформаций гладких трехмерных многообразий Фано с числом Пикара больше I анонсирован в 1981 году Мори и Мукан в [31^ . (см. также [32] ), ранее в Р 8] В.А.Псковских была дана классификация многообразий Фано с числом Пикара I (см. также[8, ). Таким образом, имеется уже достаточно полная информация о бирегулярных свойствах трехмерных многообразий Фано. С другой стороны, о многообразиях размерности 4 и более с положительным антиканоническим классом в настоящее время мало что известно, и их изучение стало одной из актуальных проблем алгебраической геометрии. Как отмечено в основным вопросом для многомерных многообразий Фано является существование константы, зависящей только от размерности, которая ограничивает сверху степень антиканонического класса - Ку

ш независимо и немного позднее этот же результат был установлен японскими математиками К. и М. Ватанабе 03 8 3

Предметом исследования диссертации являются многомерные торические многообразия с положительным антиканоническим классом, иначе называемые торическими многообразиями Фано.

Понятие торического многообразия было впервые введено Дема-зюром в [23] в связи с изучением алгебраических подгрупп максимального полупростого ранга в группе Кремоны бирациональных преобразований проективного пространства ]Р . Затем эти многообразия подверглись систематическому изучению Мамфордом и

д,. <«.[29],[зз],[10]).

Торические многообразия Фано естественным образом возникали в связи с компактификациями, согласованными с действием группы Вейля, максимальных торов в полупростых алгебраических группах (см. [2*/] ), а также в бирациональной арифметике алгебраических торов, определенных над незамкнутым полем (см. [/1 9 ] ).

Целью настоящей работы является изучение свойств и бирегу-лярная классификация некоторых типов многомерных торических многообразий Фано, рассматриваемых над произвольным алгебраически замкнутым полем

Первым из основных результатов диссертации является доказательство ограниченности степени при антиканоническом вложении торических многообразий Фано V с горенштейновыми особенностями константой, зависящей только от размерности с1 многообразия. Этот факт подтверждает справедливость гипотезы об ограниченности степени произвольных многомерных многообразий Фано и дает утверждение о конечности числа попарно неизоморфных торических многообразий Фано фиксированной размерности (включая особые). В качестве иллюстрации теоремы конечности дана полная классификация торических поверхностей Дель Пеодо с горенштейновыми особенностями.

Недавно красивое доказательство теореш конечности для гладких многомерных торичееких многообразий Фано V было получено В.Е.Воскресенским и А.А.Клячко [7] , при этом была установлена оценка для числа Пикара А/ , квадратично зависящая от размерности о1 . В настоящей работе приводятся еще два других способа доказательства теореш конечности для торичееких многообразий Фано в гладком случае, один из способов не использует факт конечности целочисленных многогранников фиксированного объема и дает некоторые идеи для классификации многомерных торичееких многообразий Фано.

Вторым основным результатом диссертации является создание удобного комбинаторно-алгебраического языка для описания гладких торичееких многообразий Фано.

Каждоадг гладкому (¿-мерному торическому многообразию Фано V ставится в соответствие (¿-мерный выпуклый цело-численный оимшшциалышй многогранник Р специального вида, который ш называем многогранником Фано. Задача классификации гладких торичееких многообразий Фано сводится к перечислению

-мерных многогранников Фано в С} с точностью до изоморфизма с помощью преобразования из и кяддым многогранником Фано Р мы связываем две гхвдуированных ал-гебры над

г-- гн(р) * с(р) . Для любых двух

многогранников Фано Гл и К алгебры

изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны Р| и Р^ , а алгебры С ( Р1) и С Р2 ) изоморфны, тогда и только тогда, когда Р<| и Р^ имеют одинаковый комбинаторный тип (следует отметить, что алгебры вида С(Р) использовались в комбинаторных вопросах также Стенли в [3 6 ). Основная идея описания многогранников Фано состоит в том, что кольцо

Ж НСР)

может быть задано в виде фактора кольца многочленов ОД от независимых переменных X,,... , Ха , Ъ по специаль-

ным однородным соотношениям, которые называются примитивными. Примитивные соотношения в не только предоставляют

возможность легко описывать и различать между собой многогранники Фано, но и дают о них богатую информацию. Более того, оказывается, что примитивные соотношения имеют тесную связь с экстремальными лучами на соответствующих многогранникам торических многообразиях Фано.

Третьим существенным результатом диссертации является описание торических многообразий Фано специальных типов в произвольной размерности о1 , в том числе: многообразия с рангом группы Пикара не бо^ее 3; многообразия, содержащее проективное пространство (Р в качестве дивизора - страта; многообразия, кольцо Чжоу которых является полным пересечением (см.[37] ). Кроме того получен ряд полезных свойств многогранников Фано произвольной размерности, особенно важными для классификации многообразий являются свойства многогранников Фано с парой центрально симметричных вершин.

Четвертый основной результат, полученный в диссертации, состоит в полной бирегулярной классификации гладких торических многообразий Фано размерности

аР и 4. Если торические многообразия Фано размерности 2 и 3 имеют довольно простую геометрическую структуру, то в размерности 4 появляются уже следующие новые моменты: существуют четырехмерные многообразия Фано, не являющиеся расслоениями и не имеющие исключительных дивизоров (экстремальные лучи на них заметают поверхности); максимум степени

36 см.сноску на с.5.

антиканонического пучка достигается уже не на проективном пространстве; число различных торических многообразий Фано размерности 4 (121 тип) уже значительно велико по сравнению с размерностью 2 и 3 (соответственно 5 и 18 типов).

Классификация четырехмерных торических многообразий Фано является по-видимому одним из первых результатов в исследовании бирегулярных свойств антиканонических многообразий размерности 4. Однако, вряд ли будет разумным стремиться в дальнейшем к полной классификации торических многообразий Фано размерности 5 и выше по причине быстрого роста количества многообразий с ростом размерности. В заключении диссертации приведены формулировки некоторых открытых проблем, представляющихся автору наиболее естественными в исследовании многомерных торических многообразий Фано.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения.

В первой главе приведены общие свойства торических многообразий Фано произвольной размерности. Кроме того, в этой главе дается описание основного метода исследования неособых торических многообразий Фано.

В § I изложены в основном хорошо известные свойства торических многообразий. Доказан признак представимости торического многообразия в виде Р -расслоения над торическим многообразием меньшей размерности. Для торических многообразий с положительным К у получено полезное неравенство для комбинаторных характеристик соответствующего веера конусов.

В § 2 получена явная оценка сверху, зависящая только от размерности, на степень антиканонического класса ~Ку для многомерных торических многоообразий Фано с горенштейновыми особенностями.

В § 3 вводятся основные алгебраические объекты и понятия, используемые на протяжении всей оставшейся части диссертации для исследования гладких торических многообразий Фано произвольной размерности. В конце параграфа дается простое доказательство теоремы конечности для торических многообразий Фано в гладком случае.

В § 4 изучается связь между геометрией торического многообразия фано V и алгебраической структурой кольца гн(р) ассоциированном с соответствующим многогранником Фано Р . Показывается, как с помощью примитивных соотношений можно проверять обильность дивизоров, получать полную информацию об экстремальных лучах на V , находить исключительные дивизоры, а также строить примеры торических многообразий Фано с заданной группой Пикара.

Результаты первой главы опубликованы в работах [/1,3,^]

Во второй главе разработанная комбинаторно-алгебраическая техника используется для классификации некоторых типов гладких торических многообразий с положительным антиканоническим классом, а также для получения ряда полезных комбинаторных свойств соответствующих им многогранников Фано.

В § I изучаются комбинаторные свойства многомерных многогранников Фано с парой центрально симметричных вершин, а также доказываются некоторые свойства примитивных соотношений. Используя полученные результаты, дается полное описание торических многообразий Фано произвольной размерности с группой Пикала

2 многообразий, содержащих дивизор - страт Р ; многообразий, кольцо Чжоу которых - полное пересечение.

§ 2 посвящен описанию торических многообразий с положительным антиканоническим классом и группой Пикара 2Г ® 2 ® 2 .

Эти многообразия соответствуют с1 - многогранникам Фано е с1 + 3 вершинами. В этом параграфе доказывается, что плоская диаграмма Гейла, соответствующая с1 - многограннику Фано с ¿-1-3 вершинами, может быть только треугольником и пятиугольником. Для каждого из этих двух случаев полностью описывается все возможности для примитивных соотношений, определяющих ZH(P) -В конце параграфа найдены экстремальные лучи на соответствующих многообразиях.

В § 3 дана классификация гладких трехмерных торических многообразий Фано и их геометрическое описание.

Результаты второй главы опубликованы в работах [~2., к, ] .

В третьей главе результаты, полученные в двух предыдущих главах синтезируются для решения задачи полной бирегулярной классификации гладких четырехмерных торических многообразий Фано.

§ I посвящен классификации с точностью до бирегулярного изоморфизма четырехмерных антиканонических многообразий, содержащих дивизор - страт с числом Пикара не более 3. В этом параграфе найдена основная часть 4-многогранншсов Фано.

В § 2 доказываются различного вида запреты на комбинаторные численные характеристики 4-многогранников Фано и дается классификация антиканонических многообразий, у которых каждый дивизор - страт имеет число Пикара не менее 4, тем самым завершается полное перечисление четырехмерных торических многообразий Фано.

В таблице § 3 представлены различные численные характеристики найденных многообразий: степень С^ (\/) , произведение характеристических классов С^ (У)С^ (У) ) ¿¿гя 'к°(У/ ~ К у) размерность группы бирегулярных автоморфизмов, числа Бетти.

Результаты этой глава о№оваш в р/,5] .

Глава I.

ОБЩИЕ СВОЙСТВА ТОРИЧЕСКИХ МНОГООБРАЗИЙ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМ АНТИКАНОШИЕСКИМ КЛАССОМ

В этой главе изучаются многомерные торические многообразия, на которые кроме положительности антиканонического класса не накладываются никакие дополнительные условия за исключением возможно лишь гладкости в §§ 3,4. В § I, носящем вспомогательный характер, перечислены некоторые известные свойства торических многообразий, изложенные в основном в [10.33] . Для многообразий с положительным ~~ К у доказано комбинаторное неравенство, которое будет использовано в главе Ш.

Важное место занимает теорема об ограниченности степени, которой посвящен § 2. Из этой теоремы вытекает конечность числа попарно неизоморфных торических многообразий Фано с горенштей-новыми особенностями фиксированной размерности.

Начиная с § 3, в диссертации рассматриваются только гладкие торические многообразия. В § 3 вводятся необходимые для дальнейшего исследования алгебраические и геометрические понятия связанные с гладкими торическими многообразиями Фано: многогранник Фано Р , кольца , примитивные мономы и соотношения.

§ I. Некоторые свойства торических многообразий

Большинство утверждений этого параграфа приводится без доказательства, их можно найти в [/I 0] шли „33]

Пусть /V - свободная абедева группа ранга

и, =

= Иош(А/,г) .а а/« А/в с я М=м®в - взаии-

но двойственные векторные пространства над О,

(1.1) Множество б в А/ будем называть конусом если оно имеет взад

где € 1Л и порождают все пространство М . Множество Т ъ N вида = &)с(Х) = 0})

где { ц,..., * } с { -/,..., »$} называется гранью конуса

(1.2) Полный веер в пространстве N - это конечный набор конусов

г

, удовлетворяющий условиям:

а) объединение всех конусов совпадает с N ;

б) если V - грань конуса о € , то

в) для ё, 6 £ 22» ёг\ё является гранью как 6 , так и б . _

Каждый полный веер

Ц в ¿ - мерном пространстве N задает 01 -мерное полное торичеекое многообразие содержащее ц, -мерный тор в качестве плотного открытого множества,

(1.3) Для любого обратимого пучка £ на и изоморфизма ^ •' От = у определена кусочно линейная на N функция ОкЖ,(£,,у) .Функция Оъ1(£, $ обладает следующими свойствами:

а) £ линейна на каждом конусе

бе Т. ;

б) ^ целочисленна на /V ;

в) выпукла вверх тогда и только тогда, когда £ порождается глобальными сечениями;

г) строго выпукла вверх тогда и только тогда, когда £ обилен.

(1.4) Если дуализщэующий пучок на

является обратимым (т.е. V имеет горенштейновые особенности), тог-

да двойственному пучку (л)у соответствует кусочно линейная Функция » принимающая значение 1 на б* л Л/

для каждого одномерного конуса б € 2I»

(1.5) Веер 21 называется регулярным, если для любого конуса 6 £ 2—I множество

бл Л/ порождено как полугруппа частью базиса А/ . Регулярному вееру соответствует гладкое торическое многообразие

УШ .

(1.6) Для кусочно-линейной функции - 0(Е, ^) определим многогранник Д в М следующим образом: если

- образующий б; П А/ для одномерного конуса , а * тогда Д (- пересечение полу--

плоскостей, заданных неравенствами

Многогранник Д называется носителем сечений пучка ,

число точек в равно размерности пространства

, а объем Д относительно решетки

/А равен (сЦ£)/о1!

(1.7) Пусть б - конус размерности из полного регулярного веера , причем полугруппа б^л А/ порождается векторами £./ , .. . , £ £ , образующие часть базиса Д/ . Выпуклую оболочку векторов мы будем называть базисным симплексом, соответствующим конусу б . Базисные симплексы конусов из веера ¿1 имеют общую точку О (нулевой вектор) и образуют множество, которое мы будем называть симп-лициальным веером

5 = ¿ГУ)

. Веер конусов

однозначно определен соответствующим ему симшшциальным веером 5 ( V) , тем самым также определяющим гладкое торическое .4 многообразие V

Каждому 1 -мерному симплексу 5 из соответ-

ствует замкнутое полное торическое подмногообразие Ds ко-

X

размерности I в V , это многообразие называется стратом. Веер SCDs) получается из веера S(V) следующим образом: S(Ds) - это проекции базисных симплексов из

S(y) , которые имеют S своей гранью, на подпространство, порожденное ( oL- Т- )-мерной решеткой, являющейся дополнением в с Q к решетке, порожденной вершинами симплекса ^

(1.8) Если (5 - обильный обратимый пучок на полном гладком торическом многообразии V, = Ог& if)

для некоторого ^ , тогда носитель сечений ACQ) является простым целочисленным многогранником (т.е. каждая вершина

) принадлежит ровно cL граням размерности cL- i ). Более того, многогранник А является комбинаторно

двойственным к граничному симшшциальному комплексу Г (У) веера srv) , при этой двойственности симплексу S размерности t , образованному векторами Х^,..., (см.1.7) соответствует грань А (§-) размерности di-L »которая также является выпуклым простым многогранником - носителем сечений ограничения пучка Су на страт Ds .

(1.9) Поскольку граничный симплициальный комплекс rev) веера S (V) гомеоморфен сфере , его можно рассматривать также как некоторую триангуляцию ( d~1 )-мерной сферы. Если S - произвольный ( d - i )-мерный симплекс из веера S(V) , порожденный векторами ОЦ,..., t тогда он является общей гранью двух симплексов размерности d' Si и $2. » порожденных соответственно векторами »

0%ч , ОК ж 0% ,Ок, .

Существует целочисленное линейное соотношение ОУк + Olf^

cL - Л -. j

f CLt Olf; , Припишем каждому внутреннему ( d~2. )-гран-

c - ^

л

ному углу о вершиной У/ симплекса, натянутого на 2/^--/ ,

число О-^ и назовем его весом. Комплекс Г(\/) шесте с с1 - 4 весами для каждого ( 2. )-мерного симплекса из будем называть ( Ж- -} )-взвешенной триангуляцией 5 Задание ( о1 -Ч )-взвешенной триангуляции однозначно определяет веер 3 ( V) » таким образом, получается еще один способ комбинаторного описания гладких торических многообразий.

Веса СС; , приписанные внутренним углам ( ¿~2 )-мерного симплекса $ = < Т/?, ••., являются индексами пересече-

ний . Симплексу, натянутому на век-

тора ОЦ,... , ОУл.^ соответствует кривая - страт изоморфная (г . Нормальный пучок в V имеет вид:

Д/г 0(^)9... 9 О(оц.*)

(1.10) Предложение. Пусть Р - многогранник Фано, размерности с1 , а ( Р) - число его X -мерных граней, тогда имеет место неравенство:

Доказательство. Из обильности ограничения ( - К у ) на каждый одномерный страт следует, что для любого ( (1-2 )-мерного симплекса из взвешенной триангуляции 5 сумма весов для каждого ( с1-2 )-симплекса из Г( V,) не меньше (-1) . Таким образом, сумма всех весов в Р(\/) не меньше

С - ( Р) ) «С другой стороны, её можно посчитать следующим образом: если ~ симплициальная грань

размерности , причем она является гранью симплек-

сов из

размерности

, тогда, согласно [33 , р.58^ , сумма весов при ( ¿-2 )-граничных углах этих симплексов, опирающихся на » Р^на, \ 2 ~~ 3

Следовательно, сумма всех весов в равна

Так как каждый элемент

Ш) размерности ¿-2. имеет ¿-А ( о1 - 3 )-мерных грани, то

А-/»

й£ = (d-Ofa.JP)

С а <

Получаем, что

Откуда вытекает требуемое неравенство.

(1.11) Пусть

-и

-мерный симплициальный веер

гладкого торического многообразия

V , а б - его А -

-мерный симплекс. Построим новый симплициальный веер 5 следующим образом: а) все симплексы из й (V) , не имеющие б своей гранью, являются симплексами из 5 ; б) если <0> %, ■ • Ук, ..., У»» ? - симплекс из 5 ( У) , причем б = < (9, У1,..., 1ГК у , тогда для 4 £ с < ¡С

б = <0, у1у... , (а7, #¿+„...,1/^..., 1кп)- симплекс из я, (а) = V, +.. . + Ук

с*'

Построенному вееру о соответствует гладкое торическое многообразие V , которое получается из V раздутием страта

Об , имеющего коразмерность К в V .

(1.12) Пусть 0~+ /У"Л/ NО - точная последовательность векторных пространств над (2 , в которых^ заданы соответственно веера ) , У) и $(У) .

X

х

Если для каждого базисного симплекса о 6 существуют

два симплекса о , причем

сI ( 5") - грань ^ , а £ ($)=■ £ , и, обратно, для любых двух симплексов £ €

существует единственный симплекс о £ , для которого

о1 С 5") - грань 5 ,а ^ С Э) ~ в' , тогда торическое многообразие V является^ локально тривиальным расслоением над V со слоем \/

(1.13) Предложение. Пусть на гладком торическом многообразии V существует такой обильный пучок £ , что для

а) многогранник Д^) с = ) лежит в области ( , являющейся пересечением полупространств

( & С £ , , где

•• • . )£ (С*)01" »а - линейные фикции на Я вида = ¿.-У, ;

<'ж У —

б) вектора , .. • , из пространства И/ , соответствующие линейным функциям А; (у.) на А! , порождают в Л/ одномерные конусы веера ( V)

Тогда многообразие \/ является торическим Р - расслоением над торическим многообразием \/ размерности <к-1 Доказательство. Из условия б) и обильности пучка £ вытекает, что Л (^) имеет Т + 1 ( ¿¿-1 )-мерных граней ^ , лежащих соответственно на гиперплоскостях (= О ( 1 £ с £ £ ), "^г+у ^ ) = ""/. Каждый -мерный конус & из (У) соответствует целочисленной вершине &(§■). Однако, любая целая точка в области

которая является произведением базисного симплекса ¿>т размер-^ в на пространство (С*) ^ при

ности

проекции (QY на (ОТ попадает в одну из вершин . Пусть вершина V € А С fy ) f соответствующая конусу 6 , проецируется, например, в V'=(0f... t0) 6 (остальные случаи разбираются аналогично), тогда из выпуклости А С^) вытекает, что, так как гиперплоскости (fy) =0 (i £ с < Ъ ) содержат полный прообраз точки V' при проекции (Q*) —* (Q ) , V принадлежит граням ßt' (1 < с £ l) и не принадлежит грани • Таким образом, получается, что в любой & -мерный конус входят в качестве образующих ровно % векторов из множества

ес- ( 1 4s £ $ t + 4) .

Пусть теперь, например, образующими некоторого ¿-мерного конуса

¿cZL(V) являются векторы ву, ..., Вг , pi , ... ) Р<1-ъ . Докажем, что тогда для любого £ 1)

в ZZ(V)

входит Ci -мерный конус d^ с образующими:

в/, .... ¿¿-у, etV/,р<9..., f>d-%.

Если Д ( ри... , pd-*) -грань Л (%) , являющаяся двойственной к конусу из

, порожденному векторами Pi, ■■ ■ t pd-t (размерность Л (pi9...,p<i-i) равна t- ). Тогда проекция А (pj,..., pd-ъ) этой грани в (Q*) является целочисленным многогранником в Sx с ((Q * 3 ,т.е. гранью S г . Если бы Л С pi, ... , pd -1) была бы собственной гранью S% , то существовала бы линейная зависимость между векторами ви ... , t% и р*,... , Pd-г , что невозможно. Поэтощу, AY Р<> - • >р<1-г) = » откуда из соображений размерности следует, что 7Г изоморфно отображает Д ( pi* ■ ■■ на .Значит Д (р< , •••, Pl-%) с С А ( является симплексом с % + J вершинами, которым соответствуют конуса d и £ j ^ £ t)

Если определить ( (1 - X )-мерные базисные симплексы для веера как проекции а, -мерных ко-

нусов б из в фактор-пространство

по подпространству с (¡^ , порожденному векторами

вс- » то, в сшгу^предыдущих рассуждений, эти проекции дадут полный веер в <0 . Поэтому из (1.12) получаем, что

ассоциированный морфизм

является и -расслоением. Что и требовалось доказать.

§ 2. Ограниченность степени многомерных торических многообразий Фано

Цель этого параграфа - доказать, что на торических многообразиях с горенштейновыми особенностями обильность (даже порож-даемость глобальными сечениями) антиканонического пучка влечет за собой ограниченность его степени некоторой константой, зависящей только от размерности ¿1 . Как еще отмечалось самим Дж.Фано наибольшая степень

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Батырев, Виктор Вадимович, 1984 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Батырев B.B., Ограниченность степени многомерных торических

многообразий Фано, - Тезисы сообщ. <:ШВеесоюзн. алг.конфе-

'_______i ^ _^ ч

ренции, Ленинград, 1981, т.2, с. 159.

2. Батырев В.В., Трехмерные торические многообразия Фано, -Изв. АН СССР, сер. матем., 1981, т.45,№ 4, с.704-717.

3. Батырев В.В., Ограниченность степени многомерных торических многообразий Фано, - Вестник МГУ, сер. математика и механика, 1982, № I, е.22-27.

4. Батырев В.В., 0 торических многообразиях с обильным антиканоническим пучком, - Тезисы сообщ. ХУП Всесоюзн. алг. конференции, Минск, 1983, т.1, с.16,

5. Батырев В.В., Комбинаторно-алгебраический подход к описанию многомерных торических многообразий Фано, - Моск. гос. ун-т, Москва, 1984, 89 е., библ. 10 назв.( Рукопись деп. в ВИНИТИ 31 июля 1984 г. J& 5565-84 Деп )

6. Борель А., Серр Ж.-П., Теорема• Римана-Роха, - Математика, период, сб. переводов, 1961, т.5, Л 5, с.17-54.

7. Воскресенский В.Е., Клячко A.A., Торические многообразия Фано и системы корней, - Изв. АН СССР, сер. матем, 1984, Т. 48, * 2, с. 237-263.

8. Гушель Н.П., 0 многообразиях Фано рода 6, - Изв. АН СССР, сер. матем., 1982, т.46, Ш 6, с. II59-II74.

9. Гушель H.H., О многообразиях Фано рода 8, - Успехи матем. наук, 1983, т.38, вып.1, с. 163-164.

10. Данилов В.И., Геометрия торичеоких многообразий, - Успехи матем. наук, 1978, т. 33, вып. 2, с. 97-155.

11. Демин И.В., Трехмерные многообразия Фано, представите в виде расслоений на прямые, - Изв. АН СССР, сер. матем., 1980, т. 44, » 4, с.963-971.

12. Демин И.В., Ограниченность степени трехмерных многообразий Фано, представимых расслоениями на коники, Успехи матем. наук, 1981, т.36, вып. 3, с. 209-210.

13. Демушкин A.C., Комбинаторная инвариантность торичеоких особенностей, - Вестник МГУ, сер. математика и механика, 1982, Jfc 2, с. 80-87.

14. Емеличев В.А., Ковалев М.М., Кравцев М.К., Многогранники, графы, оптимизация, - М., Наука, 1981.

15. Псковских В.А., Манин Ю.И., Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота, - Матем. сб., 1971, т.86, № I, с. 444-467.

16. Исковских В.А., Трехмерные многообразия Фано I, - Изв. АН СССР, сер. матем., 1977, т.41, Ш 3, с.516-562.

17. Исковских В.А., Трехмерные многообразия Фано П, - Изв. АН СССР, сер. матем., 1978, т.42, & 3, с.504-549.

18. Исковских В.А., Антиканонические модели трехмерных алгебраических многообразий, - В сб. Современные проблемы математики, т.12 ( Итоги науки и техники ), 1979, с. 59-157.

1,9. Клячко A.A., Модели Демазюра для специального класса торов, В сб. Семинар по арифметике алгебраических многообразий, Изд. Саратовского ун-та, 1979, с.32-37.

20. Львовский С.M., Ограниченность степени трехмерных многообразий Фано, - Изв. АН СССР, сер. матем., 1981, т.45, Л 6,

с. I288-I33I.

21. Хартсхорн Р., Алгебраическая геометрия, - М., "Мир", 1981.

22. Шокуров В.В., Существование прямой на многообразиях Фано, -Изв. АН СССР, сер. матем., 1979, т.43, Л 4, о. 922-964.

23. DemaSfore M., Sous-groupes algébriques de rang maximum du groupe de Cremona, - Annales Soi. Ecole Horm. Sup., I97®t t. 3, p* 5©7-588.

24. Dolgachev I., On a Pano compaetification of maximal torus în a simple algebraic group, - Preprint, 1980*

25. Pano G., Sopra alcune rarietà algebriche a tre dimension arenti tutti i generi nulli, - Atti Aec. Torino, 1908, y. 4% p. 973-977.

26. Fano G., Sulle varietà algebriche a tre dimension« aventi tutti i generi nulli, - Atti. Cong. Internaz. di mathematical Bolonia, 1931, V'4, 115-119-

27. Fano S., Sulle rarietà a tre dimensione a curre-seaioni canoniehe, - Mem. R. Accad. J'Italia, 1937, v. 8, p. 23-64*

28. Grunbaum 1«, Sreedharan T., An enumeration of simplicial 4-polytopes with 8 vertices, - J. Combinatorial Theory, 19>®7» v. 2, п. 4, p* 437-465.

29• Kempf G., Knudsen F., Mamford О., Saint-Donat В., Toroidal embeddings I, - beet. Sotes Math., n. 339» Springer, 1973

30. Mori S., fhreefolds whose canonical bundles are not numerically effective, - Ann. Math., 116, n.1, p. 133-176.

*

31. Mori S., Mukai S., Classification of Fano threefold® according to Fano and Iskovskih, - Lect. Hotes Math., 1982, t. 947, p. 35-92.

33. Oda T., Lecture on torus embeddings and applications, -Tata. Inst. Fund. Research, Lect. Hotes, v. 58, Springer Veilag, Berlin, 1978.

34* Reid M., Decomposition of toric morphisms, - Arithmetic and Geometry,-Papers Dedic. I.E. Shafarevich Occas. 60th Birthday, v.2, Geometry, 1983, p. 395-418.

35* Both L., Algebraic threefolds with special regard to problem of rationality, - Berlin-Gotingen-Heideberg,

A

Springer Verlag, 1955, viii , 142 pp.

36. Stanley R., Iteraction between commutative algebra and combinatorics, - Repts. Dep. Math. Univ. Stockolm, 1982, n.4, 72 pp.

37. Jurkiewicz J., Chow ring of projective nonsingular torus embedding, - Preprint of Warsaw University, 1977«

38. Watanabe K., Watanabe M., - The classification of Fano 3-folds with torus embeddings, - Tokyo J. Math., v.5, n. 1, 1982, p. 37-48.

/