Гибридный метод решения задач излучения и рассеяния телами с кусочно-аналитической образующей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат наук Луу Дук Тхо

• Луу Дук Тхо
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Луу Дук Тхо

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 . РАССЕЯНИЕ НА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛАХ

3

11

1.1.РАССЕЯНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ИДЕАЛЬНО-ПРОВОДЯЩЕИ ПЛАСТИНЕ СО СКРУГЛЕННЫМИ КРОМКАМИ

1.2.РАССЕЯНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ЦИЛИНДРЕ С КУСОЧНО-АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФОРМОЙ СЕЧЕНИЯ

ГЛАВА 2 . РАССЕЯНИЕ НА ТЕЛЕ ВРАЩЕНИЯ С КУСОЧНО-АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФОРМОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ

2.1.РЕШЕНИЕ ГИБРИДНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

2.2.РЕШЕНИЕ ГИБРИДНЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

2.3. РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

МЕТОДОМ С МЕТОДОМ БЕЗ

УЧЕТОМ

УЧЕТА

ГЛАВА 3. ИЗЛУЧЕНИЕ ОТКРЫТОГО КОНЦА НЕРЕГУЛЯРНОГО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ВОЛНОВОДА

3.1.ИЗЛУЧЕНИЕ ОТКРЫТОГО КОНЦА НЕРЕГУЛЯРНОГО В Н ПЛОСКОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ВОЛНОВОДА

3.2.ИЗЛУЧЕНИЕ ОТКРЫТОГО КОНЦА НЕРЕГУЛЯРНОГО В Е ПЛОСКОСТИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ВОЛНОВОДА

ГЛАВА 4. ИЗЛУЧЕНИЕ ОТКРЫТОГО КОНЦА НЕРЕГУЛЯРНОГО КРУГЛОГО ВОЛНОВОДА

4.1.ИЗЛУЧЕНИЕ МОДЫ Н01 ИЗ НЕРЕГУЛЯРНОГО КРУГЛОГОВОЛНОВОДА

4.2. ИЗЛУЧЕНИЕ МОДЫ Е01 ИЗ НЕРЕГУЛЯРНОГО КРУГЛОГО ВОЛНОВОДА

4.3.ИЗЛУЧЕНИЕ МОДЫ Н11 ИЗ НЕРЕГУЛЯРНОГО КРУГЛОГО ВОЛНОВОДА

ОТКРЫТОГО ОТКРЫТОГО ОТКРЫТОГО

КОНЦА

КОНЦА

КОНЦА

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

90

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

91

ВВЕДЕНИЕ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ

Идеально-проводящие тела с кусочно-аналитической формой границы часто используются в качестве моделей в задачах излучения антенн и рассеяния электромагнитных волн на металлических телах. Для решения задач излучения антенн и рассеяния акустических и электромагнитных волн широко применяются прямые численные методы: моментов, конечных элементов и конечных разностей во временной области [1, 2], численно-аналитические методы: разделения переменных [3, 4], Т-матриц [5] и асимптотические методы: Гюйгенса-Френеля-Кирхгофа (ГФК) [3], геометрическая теория дифракции [6], физическая теория дифракции [7] и метод параболического уравнения [8].

В случае, когда характерные размеры задачи большие по сравнению с длиной волны, прямые численные методы требуют большого объема оперативной памяти компьютера. Численно-аналитические методы позволяют уменьшить этот объем, однако имеют ограниченные применения из-за ряда условий их использования. Для решения задачи в этом случае можно эффективно использовать асимптотические методы, в частности, метод ГФК. Если поверхность тела можно разбить на участки, каждый из которых является координатной поверхностью в одной из систем координат, в которых волновое уравнение можно решить методом разделения переменных, для вычисления интеграла Кирхгофа целесообразно применять метод функций Грина [2]. При этом поля на каждом таком участке, как и в приближении ГФК, полагаются равными падающему полю, а затем эти поля и функция Грина представляются в виде рядов по собственным функциям, что облегчает процесс вычисления интеграла Кирхгофа. Однако, если хотя бы один из характерных размеров задачи менее половины длины волны, применение асимптотических методов приводит к серьезным погрешностям. Такая ситуация, в частности, может возникать при излучении открытого конца волновода. Приближение ГФК,

использующее при вычислении эквивалентных токов в апертуре поле моды регулярного волновода, дает удовлетворительное описание излучения открытого конца волновода только в узкой угловой области переднего пространства [9]. В случае плавно-нерегулярного волновода для нахождения поля волноводной моды в апертуре можно использовать метод поперечных сечений [10]. Однако при быстром изменении параметров сечения (малом радиусе кривизны стенок) такой подход неприменим.

В последнее время развиваются гибридные методы решения задач излучения и рассеяния электромагнитных волн, основанные, как правило, на разбиении всего объема задачи на ряд объектов или областей, для электродинамического моделирования которых используются различные методы [1, 11 - 19]. Однако, если объекты располагаются на небольшом расстоянии или моделируется единый объект, возникает задача сопряжения используемых методов между собой, которая в общем случае не решена.

Таким образом, развитие новых гибридных методов решения задач излучения и рассеяния электромагнитных волн на идеально-проводящих телах с кусочно-аналитической формой границы является актуальной задачей.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гибридный метод решения задач излучения и рассеяния телами с кусочно-аналитической образующей»

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Целью диссертационной работы является разработка нового гибридного метода решения задач излучения антенн и рассеяния электромагнитных волн на металлических телах, а также его верификация путем применения для решения конкретных задач.

ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

Достижение поставленной цели потребовало решения гибридным методом следующих задач:

1. Рассеяние плоской электромагнитной волны на идеально-проводящем

цилиндре с кусочно- аналитической формой сечения.

2. Рассеяние плоской электромагнитной волны на идеально-проводящем осесимметричном теле с кусочно- аналитической формой образующей.

3. Излучение открытого конца нерегулярного в Е плоскости прямоугольного волновода.

4. Излучение открытого конца нерегулярного в Н плоскости прямоугольного волновода.

5. Излучение открытого конца нерегулярного круглого волновода.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

В работе использованы:метод собственных функций, метод последовательных дифракций и принцип эквивалентности (строгая формулировка метода ГФК), а также прямые численные методы: метод моментов (ММ) и метод конечных элементов (МКЭ).

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

В диссертационной работе получены следующие новые научные результаты:

1. Предложен и апробирован гибридный метод решения задач рассеяния электромагнитных волн на идеально-проводящих телах с цилиндрической и осевой симметрией, сочетающий метод собственных функций, метод последовательных дифракций и принцип эквивалентности.

2. Разработан алгоритм и проведено исследование диаграммы рассеяния плоской электромагнитной волны на идеально-проводящем цилиндре с кусочно- аналитической образующей гибридным методом.

3. Разработан алгоритм и проведено исследование диаграммы рассеяния плоской электромагнитной волны на идеально-проводящем теле с осевой симметрией и кусочно- аналитической образующей гибридным методом.

4. Предложен и апробирован гибридный метод решения задач излучения антенн с цилиндрической и осевой симметрией, сочетающий метод собственных функций, метод последовательных дифракций и принцип эквивалентности

5. Разработан алгоритм и проведено исследование диаграмм направленности открытого конца нерегулярного в Е плоскости прямоугольного волновода гибридным методом.

6. Разработан алгоритм и проведено исследование диаграмм направленности открытого конца нерегулярного в Н плоскости прямоугольного волновода гибридным методом.

7. Разработан алгоритм и проведено исследование диаграммы направленности открытого конца нерегулярного круглого волновода гибридным методом.

Все основные результаты диссертации являются новыми и получены лично соискателем при научном руководстве д-ра физ.-мат. наук Калошина В.А.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ РАБОТЫ Теоретическая значимость работы заключается в том, что разработан новый гибридный метод решения задач излучения антенн и рассеяния электромагнитных волн на металлических телах, эффективный для решения задач, часть характерных размеров которых существенно больше длины волны, а часть мала или соизмерима. Метод с одной стороны расширяет область применения метода разделения переменных, а с другой стороны - позволяет уточнить асимптотические методы.

Практическая значимость работы заключается в том, что на основе предложенного гибридного метода разработаны алгоритмы и программы, позволяющие эффективно решать задачи излучения антенн и рассеяния электромагнитных волн на металлических телах.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. Гибридный метод позволяет решать задачи рассеяния плоской электромагнитной волны на идеально-проводящих телах с цилиндрической симметрией и кусочно- аналитической формой сечения для произвольных радиусов кривизны.

2. Гибридный метод позволяет решать задачи рассеяния плоской электромагнитной волны на идеально-проводящих телах с осевой симметрией и кусочно- аналитической образующей для радиусов кривизны более одной шестой длины волны.

3. Гибридный метод позволяет решать задачи излучения антенн в виде открытого конца нерегулярного прямоугольного волновода с радиусом кривизны стенок кривизны более одной двенадцатой длины волны.

4. Гибридный метод позволяет решать задачи излучения антенн в виде открытого конца нерегулярного круглого волновода с радиусом кривизны стенок кривизны более одной двенадцатой длины волны.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Результаты диссертационной работы докладывались на Международной конференции «2019 Radiation and Scattering of Electromagnetic Waves (RSEMW)», Divnomorskoe, Krasnodar Region, Russia. 2019; Московском семинаре по электродинамике и антеннам им. Я.Н. Фельда.

ЛИЧНЫЙ ВКЛАД СОИСКАТЕЛЯ 1. Реализован и апробирован гибридный метод решения задач рассеяния электромагнитных волн на идеально-проводящих телах с цилиндрической и осевой симметрией, сочетающий метод собственных функций, метод последовательных дифракций и принцип эквивалентности.

2. Разработан алгоритм и проведено исследование диаграммы рассеяния плоской электромагнитной волны на идеально-проводящем цилиндре с кусочно- аналитической формой сечения гибридным методом.

3. Разработан алгоритм и проведено исследование диаграммы рассеяния плоской электромагнитной волны на идеально-проводящем теле с осевой симметрией и кусочно- аналитической образующей гибридным методом.

4. Реализован и апробирован гибридный метод решения задач излучения антенн с цилиндрической и осевой симметрией, сочетающий метод собственных функций, метод последовательных дифракций и принцип эквивалентности.

5. Разработан алгоритм и проведено исследование диаграмм направленности открытого конца нерегулярного в Е и нерегулярного в Н плоскости прямоугольного волновода гибридным методом.

6. Разработан алгоритм и проведено исследование диаграммы направленности открытого конца нерегулярного круглого волновода гибридным методом.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ

Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения и Списка литературы из 24 наименования. Диссертационная работа изложена на 93 страницах, содержит 71 рисунок.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе рассмотрены задачи рассеяния на цилиндрических телах.

В первом разделе главы рассмотрено падение плоской волны на идеально -проводящую пластину со скругленными кромками и приведены результаты расчета диаграммы рассеяния для Е и Н поляризации падающей волны с использованием двух вариантов развитого гибридного метода, ММ и ГФК.

Во втором разделе главы рассмотрено падение плоской волны на цилиндре с кусочно - аналитической формой образующей и приведены результаты расчета диаграммы рассеяния для Е и Н поляризации падающей волны с использованием двух вариантов развитого гибридного метода, ММ и ГФК .

Во второй главе рассмотрены задачи рассеяния на теле вращения с кусочно-аналитической формой образующей.

В первом разделе главы рассмотрено падение плоской волны на теле вращения с кусочно-аналитической формой образующей при Е- поляризации падающей волны и приведены результаты расчета диаграммы рассеяния в Е и Н плоскостях волны с использованием развитого гибридного метода, ММ и ГФК.

Во втором разделе главы рассмотрено падение плоской волны на теле вращения с кусочно-аналитической формой образующей при Е и Н-поляризации падающей волны и приведены результаты расчета диаграммы рассеяния в Е и Н плоскостях гибридным методом без учета взаимодействия, ММ и ГФК.

В третьей главе рассмотрены задачи излучения открытого конца нерегулярного прямоугольного волновода.

В первом разделе главы рассмотрено излучение открытого конца прямоугольного волновода нерегулярногов Н плоскости и приведены результаты расчета диаграммы направленности с использованием развитого гибридного метода, МКЭ и ГФК.

Во втором разделе главы рассмотрено излучение открытого конца прямоугольного волновода нерегулярного в Е плоскости и приведены результаты расчета диаграммы направленности с использованием развитого гибридного метода, МКЭ и ГФК.

В четвертой главе рассмотрены задачи излучения открытого конца нерегулярного круглого волновода.

В первом разделе главы рассмотрено излучение моды И01 из открытого конца нерегулярного круглого волновода и приведены результаты расчета

диаграммы направленности с использованием развитого гибридного метода, ММ, МКЭ и ГФК.

Во втором разделе главы рассмотрено излучение моды Е01 из открытого конца нерегулярного круглого волновода и приведены результаты расчета диаграммы направленности с использованием развитого гибридного метода, ММ, МКЭ и ГФК.

В третьем разделе главы рассмотрено излучение моды Н11 из открытого конца нерегулярного круглого волновода и приведены результаты расчета диаграммы направленности с использованием развитого гибридного метода, ММ, МКЭ и ГФК.

В Заключении приведены основные результаты диссертации и сделаны общие выводы.

ГЛАВА 1. РАССЕЯНИЕ НА ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ТЕЛАХ В данной главе рассмотрено задачи рассеяния плоской волны на идеально - проводящей пластине со скругленными кромками [20] и цилиндре с кусочно -аналитической формой сечения [21].

1.1. РАССЕЯНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ИДЕАЛЬНО-ПРОВОДЯЩЕЙ ПЛАСТИНЕ СО СКРУГЛЕННЫМИ КРОМКАМИ Рассмотрим падение плоской электромагнитной волны под углом щ на идеально-проводящую пластину с закругленными кромками (рис.1.1), где а -радиус закругления, И - длина плоской части. Толщина пластины равна диаметру закругления 2а , общая длина равна 2а+И .

<о

р

У

О

$4 Л*1 ь $г

О!

>

В силу цилиндрической симметрии пластины задача рассеяния плоской волны в общем случае сводится к двум двумерным задачам: для Е поляризации (электрическое поле параллельно образующей пластины) и Н поляризации (электрическое поле ортогонально образующей пластины).В силу наличия двух плоскостей симметрии (у = 0 и х = —к/2) без ограничения общности будем рассматривать область углов падения 0 <(< л/ 2.

Разобьем границы сечения пластины на четыре участка, где ^ и -полуокружности, а £2 и £4 - отрезки прямой (рис.1.1). Будем искать распределение токов на этих участках последовательно. Сначала найдем поля

на линиях х = 0 , у > а при (р1 = Л и х = 0 , у <—а при (р1 = . Для этого

воспользуемся решением задачи рассеяния плоской волны на цилиндре в виде ряда Рэлея [3]. Компоненты полного поля для случая Е поляризации в цилиндрических координатах (р,(, г) имеют вид:

ж

Ег = Е0 Е 8т { — Г С°8 [т((1 — (0)]|_(кР\) — (ка)Нт(кР\) / Нш (ка)

т=0

—Ш£а дЕ2 _Ша дЕ2

Нр1 =~г2-, ПП= ,2 Я , (1.1)

Р1 к 2р д( ( к др1

где Е0 -амплитуда падающего электрического поля, е0= 1 и ет = 2 при т > 1, 3 1 о8

со = 2л-,еа = 8.85х 10—12 , ца = 4лх 10—7, X - длина волны в свободном

Л

пространстве, к = 2л/Л - волновое число.

Компоненты поля для случая Н поляризации в цилиндрических координатах (р,(, г) имеют вид:

ж

Н = Н0 Е £т (—Г С°в[т( — (,)][_Jm(кр) — ^т(ка)Н<т)(кр1) / Н'т\ка)

т =0

Ша_дН± Е = —1ММа дНг

к2Р\ д( ( к2 др1

Е Е = (1 2)

ЕР1 = , Е(1 = ь2 - , (1.2)

где Н0 -амплитуда падающего магнитного поля.

Токи на поверхности определяется по формулам: А = [Н,п]. Отсюда получаем для Е и Н поляризации, соответственно:

А =~ HЩ, = Н2 , Р1 = а .

Декартовые компоненты поля (1.1) и (1.2) при щ = ±л / 2 имеют вид:

Нх=+Н^ ,Ну=±Нл,Ех=+Е(р1 ,Еу=±Ел. (1.3)

Далее определим векторные потенциалы в области между линиями х = 0 , у > а и х = —И, у <-а , а также между линиями х = 0 , у <-а и х = —И , у > а с использованием принципа эквивалентности [3]. В результате, получаем:

—а да —а да

М г М с

А. = | —НуОЕйу, А. = \—НуОЕйу, Ал = | —Е2вЕйу, А^ = \—ЕгОЕйу, (1.4)

—да а —да а

—а да —а да

Ау1 = | Н^у, Аэл = | Н^у, АМ = | EyGнdy, А^ = \ EyGнdy.

—да а —да а

Функции Грина на плоскости для Е и Н поляризации,соответственно, равны:

(1.5)

8 = 4<У-У\)2+х2 ,р = у1(у+у1 + 2а)2 +х2 .

Электромагнитные поля выражаются через векторные потенциалы по формулам:

—к2 А3. дА'М — к2 АМ дАу Е =-й.--л, Н2 =-^ + —

1 1Ю8а дх 1 дх

— I

Ну, = ^

ЮЦа

д 2'

(А м)

к2 Ам + ^11

дА.

А, (1.6)

дх

Е, =

дЛм

_£L

дх

_ -1 д2(ЛМ)

+

дЛэ г1

Нх =

1 тца дхдух дУ1

Подставляя в формулу (1.6) значения уг = + а при -к < х < 0, находим токи на линиях и :

•2,4 тг ,-2,4 ТТ ,

Jz1 = Hxl, Jx1 = -Нг^ У1 =±а .

Подставляя в формулу (1.6) значения х = -к, находим компоненты полного поля на прямых х1 = 0, у1 > а и х1 = 0, у1 < -а.

Далее находим токи на полуокружности . Векторные потенциалы по-прежнему определяются формулами (1.4), где функции Грина (круга) в полярной системе координат (р2, ф2, z1) с центром в точке 01 имеют вид [4]:

г

Р

Е, Н = ^ Т еХР

4 т=-ж

г(1)

1т

_ я <Р2+"Г

V

Зт{кР<) - Шт{ка)Н1\кР<) / ОН1\М)

х

. (1.7)

хнт!>(кр>)

Для электрической поляризации Q = 1, а для магнитной ^ = д / да

Р< = У^ Р>=Р2 при Р2 > У1 и Р< = Р2 , Р>= У1 при Р2 < У1.

В результате, для токов на полуокружности получаем:

3 3 = - 1

J 21

тца

к2 л;г +-1

^ Р2

д

д^2

1 д(р2 лр2) 1 дЛГ

Р2 дР2 Р2 д@2

дЛэ _21

дР2

J3 >Р2

-к 2 лм 21 1 д( Р2 Л^) дЛРР Р2

тца Р2 дР2 д^2

(1.8)

А. = 21

—а

| Ну1 Р^ух + | Ну1 PEdyl

м . .

' А = 1 Еу1 РН^\ + 1 Еу1 РН^\ ,

м

Ар2 =— втЩ

—а

| Е2хPнdyl + 1 Е21Pнdyl

Ащ = - С08(Щ2)

—а

1 Е21 Pнdyl + 1 Егх Pнdyl

Ар2 = 81П(Щ2)

- а

АЩ = С0^(Щ2)

| Н21 PEdyl + | Н21 PEdyl

I н, РеФ, + | Н, РЕФ,

Таким образом, мы нашли токи. Далее находим диаграмму рассеяния по формулам [3]:

Е

1

к2 Аэ + §гаё <ИУ Аэ

Н = ■

—

к2 Ам + вгаё Шу Ам

го1 Ам

+ го1 Аэ

(1.9) (1.10)

где А3 = ф / О0Ж,Ам=§ у"™ О0 Ж .

£ £

Функция Грина свободного пространства в цилиндрической системы координат:

/ I 2 ехр(/кр(Р>)

Go = ~

4Ч я1к р

-ехр(-/> / 4)ехр

-/кр(8) еов(Щ Р) — щ(8))

(111)

- точка интегрирования на поверхностях 51, 52, 53, 54 и Р - точка наблюдения, имеющая полярные координаты (рщ) с центром в точке О.

При интегрировании по 5 и 5 используем полярные координаты с центрами в точках О и О соответственно, а при интегрировании по линиям 52 и 54 используем декартовые координаты центром в точке О. В результате, получаем:

Ег =

к2

ж/2

—И

| + | 4 ОА + ехР [—/кИ С0^(ж — щ)] а | Д

+

3ж/2 0

+

0

ж/2

3ж/2

| А,О0<аХ + ехр^^^^^^соб(ж + щ)]а | ДG0dщ

—И ж

(1.12)

Н = /к

ж/2

( 0

—И

3ж/2 V—И 0

ж

+ехр[—/кИсов(ж — щ)]а | ДG0 сов(щ — щ2)dщ2 +

ж/2 3ж/2

+ехр[—/кИсов(ж + щ)]а | ДG0cosЩ — щ2)dщ

+

ж

(1.13)

При падении плоской волны под большими углами щ взаимодействием токов на разных участках образующей пластины в рамках гибридного метода можно пренебречь. В этом случае токи на обеих полуокружностях 5 и 53 полагаются равным токам на полных окружностях при рассеянии плоской волны, ток на освещенной прямой (52) находится по формуле: Jэ = 2[ Нпад, п], а ток на прямой 54 - равным нулю. В результате ток на 52 имеет вид:

J2 = -2Е0 sinЩ0)exp

к

-/к\1

г

х2 + а2 cos

ж - агС:ап

í \ \ а

V

х

щ

VI

(1.14))

2

Л = -2Н 0 ехР

/к^х

-/кл/х2 + а2 cos

ж - агс1ап

V

/ Л

а х

VI 1у у

щ

Токи на полуокружности 5 в цилиндрической системе координат ( р2щ2,21) с центром в точке о, имеют вид:

Д = — ехР [кИ С0^щ)]нщ , а! = ехР[кИ ю^щО]Н

•3

(1.15)

Н

1Ш8

да

щ ' ^2 Е0 1 8т

аЕ0 I 8 (—/У ^[т(щ — щ)] J;и(ка) — Jm(ка)Н'^)(ка)/Н^^ка)

т=0

да г

Н2х = Н 0 I 8; (-/Т ^ [т(щ-Щo)][Jm (ка) - J'm (ка)нт\ка)/Н'т1\ка)

т =0

В результате, для рассеянного поля получаем:

Е =

7/2

а | + ехр [-¡кИ еов(7-^)]а | Д

37/2 7/2

-И 37/2

+1 ^G0dx + ехр[-¡кИсоб(7 + р)]а | ДG0dр2

+

0

7

(1.16)

И = ¡к

7/2 -И

а | (Оосо$(Р-Р1^Р1 - 8Шр| +

37/2

0

7

+ехр[-/кИсов(7-р)]а | ( G0cos(р-р2)dр2

7/2 37/2

+ехр [-¡кИ cos(7 + р)] а | Д G0cos(р - р2)dр2

7

(1.17)

На рис. 1.2-1.11 приведены результаты расчета диаграмм рассеяния для Е поляризации (а) и Н-поляризации (б) на пластине с кИ = 5, разной величиной параметра ка и различных углах падения плоской волны р0 .Кривая 1 показывает результаты расчета ММ, 2 - гибридным методом с учетом взаимодействия, 3 - гибридным методом без учета взаимодействия, 4 -методом ГФК.

0.5

0.4

0.3

И

0.2

0.1

1/ \\

5 / \\ • |

2 / / ч

• •

ч •

0.36

0.24

И

0.12

/ • • у

2 •к УЧ ' / к/ № Г \\ к 1' * /С * / V

А

180

ф.гра

270

360

90

180

.град.

270

360

2

0.4

0.3

Д 0.2

0.1

у;

/ ^ ' 1 1 '** \ % 1 • 1

2 / / /?• 4 ч \ ч\

' ч Щ'- / \ ч» • »

0.3

0.2

П

0.1

0.25

0.2

0.15

0.1

0.05

4 ✓ ' > / А ' /X ? • N , + ' ч

* ч/ А у V / V ' \«<у' • ч _

1 А7 1 1 / > IV'

90 130 270

ф. Град.

360

180 <р. град.

270 360

а) б)

Рис 1.3. Диаграммы рассеяния при (0 = 0, ка = 2.

0.12

1р и

-•V '"-л!

0.09

СО о.об

0.03

», / \ • 4 А ч Л

Ч / \ 'М Ш / I/ 1 /Г V V ( Ч 1 1 1 ч ?•] ]1 л,./ г V У'

V/ •• I \/ г 1 1 ' \ к * V \ 1 12

90 180 270

ф. град.

360

90 180 270 360

ф. град.

а) б)

Рис 1.4. Диаграммы рассеяния при (0 = 0, ка = 1.

0.6

0.4

оа

0.2

1 1 ■ д

■ч 1

I 1 \1

? ?

т ь4 *

* * • /

0.4

0.3

0.2

0.1

0.4

0.3

СО 0.2

0.1

.V 1 •

/ N • 1 / 1 / л Гул V" •

" ЛС л ( / У 1 1 N ✓ • • «

■ • % и'

ф.грзд.

ф. град.

а) б)

Рис 1.5. Диаграммы рассеяния при %0 = 100, ка = 3

0.3

1~ • # 1

11 / ' / * * 1 •1 V

411 ^ • ** 1 —* // 2 У? 1 Ж * \ • »С X

4

0.2

0.1

180 270 360 90 180 270 360

4 • V 1 . л »'л4.

1 ' л 1 / л. 1 / : \ 1 « ■Л • /■. Ч . {<

к« • I • , У'{ /• Уч у г \\ г \ \/ 2

180 270 360 90 180 270 360

ф, град.

а) б)

а) б)

Рис 1.7. Диаграммы рассеяния при (0 = 100, ка = 1.

90 180 270 360 90 180 270 360

ф. град. ф. град.

а) б)

Рис 1.8. Диаграммы рассеяния при (0 = 200, ка = 3

а) б)

Рис 1.9. Диаграммы рассеяния при %0 = 200, ка = 2.

а) б)

Рис 1.10. Диаграммы рассеяния при %0 = 200, ка = 1.

0.15

0.3

0.15

0.5 0.4 0.3

а

0.2 0.1

\ 1 \

• /А» V I'

•ч АХ 7 V

2 \ Ч'" Н • ч Л /✓ >

V У>3 1 г у/

а) б)

Рис 1.11. Диаграммы рассеяния при (0 = 300, ка = 3

0.4

г \ I » 1 1

\ \ *У * • V Чу " \ / *

0.3

И 0.2

0.1

180 270 360

ф. град.

V.

' Л 1 • •/ А 'Л А

у 5 '1 \ /1 V .4 • и ^ А

\у \\\ \\ 1 V Ь

I 180 270 360 90 180 270 360

(р. град. ф. град,

а) б)

Рис 1.12. Диаграммы рассеяния при (0 = 300, ка = 2.

0.36

0,24

CQ

0.12

к Ji\ § Л

i 1 w 7 • * т \ \ А

/ У i ъ* \

0.6

0.4

И

0.2

0.3

0.2

СО

o.i

1 4 ; • / A >

1* 1 It' 1 f ч *• 1 I i /М /7 у • f \ * 1 1 i • %

4 "Л > ft I \\ • / 7 /\ ' * ! / ^Xi ft// 2 4-

л J *l

-At. 2 i

- u-vvJ jr Л У«4 I' •

0.6

0.4

И

0.2

ISO 270 360 90 180 270 360

ф. град, Ф-грм.

а) б)

Рис 1.13. Диаграммы рассеяния при (0 = 300, ha = 1.

4 к д\

1 f\ jl \

V ✓л I j у if \Vy 7 ] . N Z • A r 1 H' (/V 1

90 180 270 360 90 180 270 360

Ф. град. ф, град,

а) б)

0.45

0,1

0.3

0Q о.г

0.1

0.3

0.15

/'Л 4 Л

'/ \ • J \\j

У

• у / 2 it/' V Й[/

а) б)

Рис 1.15. Диаграммы рассеяния при %0 = 45, ка = 2.

\д J 1

/Дч II ftl * ■ 7 *ш 1 ./' • 1 If 1 •/ Н "/ I

2 " ■ J // 11 vi 1 Л ** - • л ■ / "

\ * V

0.36

0.24

и

0.12

180 270 360

град.

/ А 4 )■ • \

У \\ h Л J А \\ J Д • / \ / \ 1

- '/l' lj <Y * lj v А-

ISO 270 360 90 180 270 360

Ф- град. ф, град,

а) б)

Рис 1.16. Диаграммы рассеяния при %0 = 45и, ка = 1.

На рис. 1.2-1.16 видно, что результаты расчета диаграмм рассеяния методом моментов и гибридным методом с учетом взаимодействия хорошо совпадают. Результаты расчета гибридным методом без учета взаимодействия

совпадают с ними только при достаточно больших значениях угла падения (более 300 ). Расчет методом ГФК дает только качественное совпадение и только для больших углов падения.

1.2. РАССЕЯНИЕ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ НА ЦИЛИНДРЕ С КУСОЧНО-

АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФОРМОЙ СЕЧЕНИЯ Рассмотрим рассеяние плоской электромагнитной волны, падающей под углом на идеально-проводящий бесконечный цилиндр, поперечное сечение

которого образовано прямыми и дугами окружностей (рис.1.17), где ax, a2 -

радиусы окружностей, h- расстояние между центрами окружностей, l- длина

прямых (l = hsin(-р + л/2), P = ftj2 - arceos[(a1 - a2)/h]).

Рис 1.17. Поперечное сечение цилиндра.

В силу цилиндрической симметрии задача рассеяния в общем случае сводится к двум двумерным задачам: для Е - поляризации (электрическое поле параллельно образующей цилиндра) и Н - поляризации (электрическое поле ортогонально образующей цилиндра). Будем искать решение этих задач в форме диаграммы рассеяния.

В силу наличия плоскости симметрии (у = 0) без ограничения общности будем рассматривать область углов падения 0 < р0 < п.

Разобьем границу поперечного сечения цилиндра 5 на четыре участка: и ^ - дуги окружности, и 54 - отрезки прямых (рис.1.17).

Рассмотрим случай падения плоской волны под углом %<л/2. Будем искать распределение токов на ^, , , 54 последовательно. Сначала

п

найдем поля на линиях X = 0, у' > ах при р = — + Р и х" = 0, у" < -ах при

(Р1 =

п л

—V Р . Для этого воспользуемся решением задачи рассеяния плоской 2 )

волны на идеально-проводящем цилиндре в виде ряда Рэлея [3].

Токи на дуге ^ для случая Е и Н поляризации, соответственно:

/2 = -Н( , = Н2, а компоненты полного поля Н( , Н2 определяются

формулами (1.1) и (1.2).

Запишем компоненты полного поля в повернутых на угол Р прямоугольных системах координат х 'Оу' и XОу" (рис.1.17). В результате, получаем:

Е2' = Е21 >НХ' =- Н( >Ну' = НР1> Н2' = Н21 , Е," =- Ер , Еу = Е^, (118)

Е2" = Е21 > НХ" = НРХ ' Ну" = -НР1 , Н2" = Н21 > ЕХ" = Е( > Еу'"= -Ер1 .

Далее определим векторные потенциалы в области между прямыми X = 0 , у' > а1 и х" = -1 , у"" < -ах , а также между прямыми х" = 0 , у" < -а1 и х " = -1 ,у" > а1. В результате, получаем:

- а1 ю -а!

АЭ" = | - Ну" 0Е(у", Лэ2[ = {- Ну" вЕау', л;:= / -Е2„ 0Е(1у у

а1

-а1

лу:; = \ -Е2,Ое(У' , лу» = | И 2*Он(У", АуЭ" = { Н2,Он(у'

(1.19)

а1

м л м т

А= | Еу" Он(у", Л2: = | Еу, Он (у',

-а1

а1

Здесь Ое и ОИ - функции Грина на плоскости определяются в формуле (1.5), где 8 = ^(У - М)2 = л/(У+" Я ~ 2«1)2 + *'2 = Л ? + ,

Р = >/(У "" + у ," + 2а, )2 V х '"2 .

Компоненты полного поля выражаются через векторные потенциалы по формулам:

- к2 Л1 длм -1 е2" =-2к —нх" = 1

1 ¡о>е„ дх'

д2

К>+д_Ак

тца дх'ду[ ду[ '

—

И1

Е>"

к 2 лм +д2(Ам)'

у1 &М

—

д 2 (лл )'

к2 ль +

Л о. / о.

ду[ду[

длэ2,

_2х_

дх[

длм

_2х_

дх'

(1.20)

Е2, = 21

-к2 лЭ" длМ" -1

21 у1 И " =

д2

(л!) , длЭ1

¡Ш£а дх" ' х1 1®!а дх"ду'{ ду"

—

Ну

Е>1"

д 2 (лм)

к 2 лу +

у1 -а. .п^.п

ду"ду"

длр _2к

дх " ,

—

д 2 (ля)'

к 2 лэ. +

Л о. .»О. ."

дуГдуГ

дл2М _2к

дх"

ю

ю

а

ю

Hz . =

-k 2 AM dAl„

z1

+

Hz, = dx" Z1

-k2AM dAl

zi

+

Л

dx'

iajua dx 1 iffl¡ua Подставляя в формулу (1.20) значения y" = a1 при -hsin{-р + л/2)< x ' < 0 и yl = -ax при -hsin{-Р + л/2)< x" < 0, находим поля

и компоненты тока на S2 и S4.

Jz1 = Hx' , Jx = -Hz[ , = Hx" , J í' = -Hz"

(1.21)

Подставляя в формулу (1.20) значения x' = -h sin {-Р + л/ 2) и x " = -hsin{-Р + Л2) находим компоненты полного поля на прямых x" = 0 , y" > a2 и x¡ = 0 , yí < -a2 .

Далее находим токи на дуге S3. Векторные потенциалы при этом по-прежнему определяются формулами (1.4), а функции Грина окружности в полярной системе координат (р2, м2, z1) с центром в точке O1 определяется в

формуле (1.7),где р<= y", y1", Р>=Р2 при Р2 > У1, Vi и Р<=Р2 , Р>= y", У" при

Р2 < Уl, Я".

В результате, для компонентов тока на дуге S3 получаем:

Í /-к /- /-k i 1\4

J

1

mjua

k 2 AM +

Р2

d

dM

1 d(p2 AM ^ 1 dA(

M

M2

Р2 dP2 Р2 dM

dA

_£L

dP2

J3 =

Jp2

-k 2 AzM z1 1 d( Р2 a;2) dAl Р2

rnja Р2 dP2 dM

(1.22)

-a2 да

где A^ = - J Hy[PEdy\- J Hy1 PEdy[,

-да

a2

mr r

Az1 = J Ey"PHdy" + J Ey1 PHdy[

a

да

лР2 =- §1п(Р2)

л( =- С08(Р2)

лР2 = 81п(Р2)

лР2 = С0§(Р2)

ю

I Ег{Рн(у'{ + \ ЕАРнЩ

а2

~а2

I Е4Рн^+\ ЕаРНЩ

а2

~а2

I И ,РЕ(у[ +\и2[ре(у[

а2

~а2

I И11 + { н2ре(у[

-ю а2

Таким образом, мы нашли токи на 5. В результате, для диаграммы рассеяния в случае Е и Н поляризации получаем, соответственно:

Р+п/2 -I

Е2 =

-к2

№Еп

а1 | j\O0dР' + \ ]\00(х' + ехРС03(п-Р)]а2 | Д00(Р2 +

-Р+3п/2 0 Р+п/2

0 -Р+3п/2

+1 Д00(х" + ехр [-¡кк сов(п + р)] а2 | Д 00(р2

И2 = ¡к

-I

Р+п/2

п

. (1.23)

-I

а1 I (00 МР - Р)(Р - - Р) I )2х00(х' - 8т(Р + Р) 1Зх00(х"

+

-Р+3п/2

-I

. (1.24)

+ехр [-¡кк сов(п - р)] а2 | Д 00 сов(р - р2)(р2 +

Р+п/2 -Р+3п/2

+ехр[-кк сов(п + р)] а2 | Д О0сов(р-р2)(р2

Построение решения при падении плоской волны под углами р^>п!2 проводится по аналогичной схеме.

При падении плоской волны под углом р0, лежащем в пределах

Р <р<п- Р, как будет показано далее, взаимодействием токов на разных участках образующей пластины в рамках гибридного метода можно пренебречь. В этом случае токи на обеих дугах 5 и 5 полагаются равным токам на полных окружностях при рассеянии плоской волны, ток на

освещенной прямой S2 находится по формуле: J = 2[Н ,п], а ток на S4 полагается равным нулю. В результате компоненты тока на прямой в повернутой на угол в системе декартовых координат 2Оу' с центром в точке О (рис. 1.17) имеют вид:

4 = -2Eo ^

k

J2 ' =-2H oexP

sin(^0)exp

2) +(a1) cos

f

я - arctan

v

с \ a

VI2

+ P-Vo

, (1.25)

2) +(a1) cos

r

я - arctan

V

с \ a

2 , VI \J

+ P-Vo)

Компоненты тока на дуге £3 в цилиндрической системе координат ( р2, ф2, zx) с центром в точке О1 имеют вид:

4 = - ехР СО8<>0)]Нф2 > = ехРС08(^о)]Н2х , (1.26)

где

HV2 = ^Eo t Z(-i)mcos[m(<p2-%)][fm(k«2)- Jm(ЧК^Ч)/Hi1)(k«2)"

k m=0

HZx = Ho t Zm (-i)m cos[ш(ф2 -^o)][Jm(ka2) - J'mWH}»(ka.2)/ H'mi)(ka1)

m =o

При интегрировании по дугам S и S3 используем полярные координаты (pi,) и (р2,ф2,z1), соответственно, а при интегрировании по прямой S2 - в декартовой системе координат 2Oy'.

В результате, для диаграммы рассеяния в случае Е и Н поляризации получаем:

Ez =

k2

№S„

Р+л/2

я

a1 j j'izGod^1 + exp [-ikh cos^ - ф)] a2 J 4 G0dф2 +

-Р+3я/2 р+л/2

-l -р+3я/2

+ J J2 God2' + exp [-ikh cos^ + ф)] a2 J j\ 0^ф2

(1.27)

от

И = ¡к

Р+п/2

-I

а

+

-Р+Зл/2

-Р+3п/2

+ехр[-/кк соб(п + ()]а2 | ( Оо соб(( - (2)(

+

(1.28)

УС

+ехр[-/кк соб(п-()] а2 | ( Оосо?>((-(2)ё(2

Р+п/2

При падении плоской волны под малыми углами (< р компоненты тока на поверхности S2, S3, S4 полагаются равными нулю. В результате, для диаграммы рассеяния в случае Е и Н поляризации получаем:

к2 а р+п/2

Е2 = --1 | Д°о ¿(1.

¡ЮБ

а -р+3п/2 Р+п/2

И = ¡м | ( Оо соб(( - ( .

-р+3п/2

(1.29)

(1.3о)

При падении плоской волны при п-р<( компоненты тока на прямой 5*4 в повернутой на угол в декартовой системе координат х"Оу" (рис.1.17) имеют вид:

Л4 = -2Ео ЮБа вт((о) ехр к

-¡к^ ( X')2 +( а1 )2

/

соб

п + агс:ап

V

с л а1

, .XX,,

VI 1У

-р-(о

,(1.31)

=-2И оеХР

X") +( а1) соб

г

п + агйап

V

с \ а

V. ^ У

р-(о

При интегрировании по прямой 54 используем систему декартовых координат х Оу центром в точке О.

В результате, для диаграммы рассеяния в случае Е и Н поляризации получаем, соответственно:

Е =

к2

№8п

Р+ж/2

ж

а\ | + exp [-¡кк ^(ж-ф)] а2 | ДО0йф2 +

-р+3ж/2 р+ж/2

-I 0 -Р+3ж/2

+1 З^О^ + | З^О^" + ехр [-¡кк cos(ж + ф)] а2 | Д О0йф2

Иг = ¡к

0

Р+ж/2

-I

.(1.32)

-I

а\ I ФО0 cos(ф - ф^ф - sin(ф - р) | З2Х<О0- sin(ф + р) | О0&т" +

-Р+3ж/2 0 -I

-Р+3ж/2

+ехр[-/'кк ^(ж + ф)] а2 | Д О0^(ф-ф2^ф2 + .(1.33)

ж ж

+ехр[-/кк^(ж-ф)]а2 | ДО0^(ф-ф2)<ф2

р+ж/2

На рис. 1.18-1.27 приведены результаты расчета диаграмм рассеяния для Е поляризации (а) и Н-поляризации (б) на пластине с величиной кк = 5, разной величиной параметра ка и различных углах падения плоской волны ф0. Кривая 1 показывает результаты расчета ММ, 2 - гибридным методом с учетом взаимодействия, 3 - гибридным методом без учета взаимодействия, 4 -методом ГФК.

0.45

0,3

Й

0.15

V

1 1 / л ' * г

¿1 и ■ 1 • * ♦, ч \ 2 1. 1 • 1 "

4 ( •У ч Л уУ # ^ Т»1 * * /

0.36

0,24

И

0.12

/ • • 1 • 4 V • • •

2 / у1'\/ 1 /. / ч / \ • * я А • V ' * \ У 1 '.» V \ / г к • # • •

1 V/ 5 ' 1 1 // 1 л* *

150

,град,

270

360

90

180

270

360

ф.град.

0.45

0.3

Й

0.15

1 ш • // 3 / .и ] 1 1 \\ \ 2 Г 1

« 1 * ■ 1 /

0.45

0.3

И

0.15

0.36

0.24

Ш

0.12

V \ • \

м !Ч « / />7 » • \\ч V '' V ' • ЧЛ'.-ч/ ф * ^ шЛ ^ А

ЗА 4 А \У дг; т у1 1 1

270 360

<р. град, Ф- ЧМ

а) б)

Рис 1.19. Диаграммы рассеяния при ср0 = 0, ка1 = 3, ка2 = 0.1

0.36

К1 я *®Д 1 * I я * 1 И» 1 [ф 1 1

II 3 1■ Л\. ■1 V 1 № Л, _——

" ~ * 4 # - / » *

0.24

И

0.12

90 180 270 360

• V

• / \\

Л у 2 К Г л ^ 1 \\ % \ Ч 1 №

\г

90 180 270 360 ад 180 270 360

Ф- П^ ф, град,

а) б)

Рис 1.20. Диаграммы рассеяния при ср0 = 200, ках = 3, ка2 = 1.

0.45

0.3

ffl

0.15

ш 1 *\

2 * t JW / ч • L V \±

• \ V' • - * / * *

0.6

0.4

CP

0,2

0.36

0.24

И

0.12

/V __. «

\"7 1 V, д » ' i Vi/ /А\ / 1 \ # • А* \ 1 • /У^ * Ы \ ж

Г 7 V/ V \\ гг у н

90 180 270 360 go 180 270 360

Ф-град. ф.град.

а) б)

Рис 1.21. Диаграммы рассеяния при <р0 - 200, ^^ = 3, ка2 — 0.1.

• • * « * • « • * ■ \*

3 1, • • « 1 f ■ *'[ 1 • • # 1

л

• ■ л 2 1/ | V I V ГлГ

0.45

0.3

И

0.15

л • \ И \ 1

/ г 7> • л ' 7 / V И 1 1 у 1» . V 1 ii L • Л ч . *

\г /у V/

90 180 270 360 90 180 270 360

Ф- град. ф, град,

а) б)

Рис 1.22. Диаграммы рассеяния при ^ = 450, ках — 3, ка2 —1.

3 % % 1 1 • ®

2 & у V V 1 г1 V ч \

7 / / Л (1 \< • • 1 Ш ** | • /

90 180 270 360

(р. град, а)

Рис 1.23. Диаграммы рассеяния

/ '*Д и * \\ и > и Г1 1

к У/ > л// * Г/ и* .'/ * 1 . •/ 1 ■1/1

V / . 1 * <л 1 \ 2 /

V' 4 . Г! • ч.

90 180 270 360

ф. град.

а)

Рис 1.24. Диаграммы рассеяния

*

V • 1 # * /Г' п я. V •

1 1 ч ' / \ . Г / А X • N /А'ч

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Луу Дук Тхо, 2020 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А.Ю.Гринев. Численные методы решения прикладных задач электродинамики.М.:Радиотехника.2012.

2. A.A.Kleshchev. JournalofAcoustics, 2016, Vol.6, N.4, P. 45.https://www.scirp.org/journal/paperinformation.aspx?paperid=72779.

3. Г.Т.Марков, А.Ф.Чаплин. Возбуждение электромагнитных волн. М.- Л.: Энергия.1967.

4. Л.Фелсен, Н.Маркувиц. Излучение и рассеяние волн. М.:Мир.1978.

5. А.Г.Кюркчан, Н.И.Смирнова. Обобщение метода Т-матриц на задачи рассеяния волн телами с неаналитической границей// РЭ. 2017.Т.62. №5.С.476.

6. В.А.Боровиков, Б.Е.Кинбер. Геометрическая теория дифракции. М.: Связь. 1978.

7. П.Я.Уфимцев. Основы физической теории дифракции.М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. 2013.

8. В.А.Фок. Проблемы дифракции и распространения электромагнитных волн. М.: Сов. Радио.1970.

9. Л.А.Вайнштейн. Теория дифракции и метод факторизации. М.: Сов. Радио. 1966.

10. Б.З. Каценеленбаум.Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. М.: АН СССР. 1961.

11. Canton, A. Diffraction by a rounded wedge with an hybrid method MM/PO // Ann. Telecommun. 49, 554-558 (1994). https://doi.org/10.1007/BF02999446.

12. Ozlem A.C, Prabhakar H.P, Hsi T.C and Paolo Nepa. A hybrid uniform theory of diffraction-moment method for efficient analysis of electromagnetic radiation/scattering from large finite planar arrays //

Radio Science. 2000. 35(2). P. 607-620. DOI: 10.1029/1999RS001922.

13. M. A. Basha, S.K. Chaudhuri and S. Safavi-Naeini. Fast hybrid method for analysis of optical diffraction by finite number of gratings //Conference: Frontiers in Optics,DOI: 10.1364/FI0.2003.MT34.

14. A. Tzoulis and T. F. Eibert.Combining the multilevel fast multipole method with the uniformgeometrical theory of diffraction //Advances in Radio Science.2005. 3. P.183-188. SRef-ID: 1684-9973/ars/2005-3-183.

15. S. Balling, Dirk Plettemeier and K.H.Gonschorek. An extended hybrid method a combination of MOM, GMT and UTD // IEEE International Symposium on Electromagnetic Compatibility, Honolulu,HI,USA,2007, DOI: 10.1109/ISEMC.2007.106.

16. Joerg Bischoff. Improved diffraction computation with a hybrid C-RCWA-method // Proc. SPIE 7272, Metrology, Inspection, and Process Control for Microlithography XXIII, 72723Y (23 March 2009); DOI: 10.1117/12.813960.

17. В.В.Лесняк. Комбинированный метод расчета ЭПР тел сложной формы на основе физической оптики, геометрической оптики и метода интегральных уравнений в 2D- пространстве. Восемнадцатая ежегодная научная конференция ИТПЭ РАН, Москва, 2017, С.43-46.

18. Демин Д.Б., Клеев А.И., Кюркчан А.Г. Использование гибридного метода диаграммых уравнений для расчета рассеяния на цилиндре большого поперечного сечения // T-Comm: телекоммуникации и транспорт. 2018. Т.12. № 8. С.4-7.

19. А.М.Лебедев, И.А.Селин, Т.А.Фурманова. Разработка и тестирование гибридного метода решения задачи рассеяния протяжённым, сложным по составу объектом. Двадцатая ежегодная научная конференция ИТПЭ РАН, Москва, 2019,С.56-57.

20. V.A.Kaloshin, D.T.Luu. Plane wave scattering on ideally conductive plate with rounded edges. 1П:ет^ш.Соп£ "Radiation and Scattering of Electromagnetic Waves RSEMW-2019", Divnomorskoe, Russia, 2019, P. 232. DOI: 10.1109/RSEMW.2019.8792743.

21. В.А.Калошин, Д.Т.Луу. Рассеяние плоской волны нацилиндре с кусочно-аналитической формой сечения//РЭ. 2020. Т.65. №5.С. 457.001:10.31857/80033849420050071.

22. В.А.Калошин, Д.Т.Луу. Решение задачи рассеяния на теле вращения с кусочно-аналитической формой образующей гибридным методом// Журнал радиоэлектроники. 2020. № 6.Б01: 10.30898/1684-1719.2020.6.6.

23. В.А.Калошин, Д.Т.Луу. Решение задач излучения открытого конца нерегулярного волновода гибридным методом// Журнал радиоэлектроники. 2020. № 7.Б01: 10.30898/1684-1719.2020.7.6.

24. Д.Ю. Муромцев, О.А. Белоусов. Техническая электродинамика. ТГТУ.2012.