Автоматизация проектирования сложных высоконагруженных узлов и деталей машин на основе топологической оптимизации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.12, кандидат наук Кишов, Евгений Алексеевич

• Кишов, Евгений Алексеевич
• кандидат наук
• 2018

Оглавление диссертации кандидат наук Кишов, Евгений Алексеевич

ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................................5

1 ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ СИЛОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ......10

1.1 Оптимизация силовых конструкций...............................................................10

1.2 Классификация задач оптимизации конструкций.........................................12

1.3 Проблема определения силовой схемы. Топологическая оптимизация.....14

1.4 Общая формулировка задачи топологической оптимизации......................15

1.5 «Тело переменной плотности» - модель материала для топологической оптимизации..............................................................................................................17

1.6 Обоснование выбора темы исследования......................................................19

1.7 Цель и задачи исследования............................................................................22

2 ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКЦИЙ ПО КРИТЕРИЮ МИНИМУМА ЭНЕРГИИ ДЕФОРМАЦИИ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САПР................................................................................................23

2.1 Постановка задачи топологической оптимизации по критерию минимума энергии деформации.................................................................................................23

2.2 Метод оптимизации..........................................................................................26

2.2.1 Специфика задачи топологической оптимизации...............................26

2.2.2 Метод выпуклых линеаризаций............................................................27

2.2.3 Демонстрационная задача на метод выпуклых линеаризаций...........38

2.3 Анализ чувствительности целевой функции и функции ограничений.......46

2.4 Применение метода выпуклых линеаризаций к задаче минимизации энергии деформации.................................................................................................51

2.5 Конструктивно-технологическое ограничение на минимальный размер силового элемента. Фильтрация (осреднение) чувствительности.......................53

2.6 Общий алгоритм решения задачи топологической оптимизации...............59

2.7 Решение тестовых задач...................................................................................60

2.7.1 Растяжение/сжатие..................................................................................61

2.7.2 Изгиб.........................................................................................................62

2.7.3 Кручение..................................................................................................63

2.7.4 Ортотропный материал...........................................................................64

2.8 Влияние коэффициента пенализации на топологию конструкции.............67

2.9 Выводы по главе...............................................................................................69

3 АВТОМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ. ЛИНГВИСТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САПР..............................................................................................................................71

3.1 Методы анализа результатов топологической оптимизации.......................71

3.2 Экспорт топологии в геометрический формат..............................................72

3.2.1 Экспорт в IGS..........................................................................................73

3.2.2 Экспорт в STL..........................................................................................80

3.3 Выводы по главе ............................................................................................... 82

4 ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ САПР ДЛЯ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ .......................................................................................................... 83

4.1 Интерфейс.......................................................................................................... 84

4.2 Решатель (оптимизатор)...................................................................................91

4.3 Программы экспорта топологии в геометрический формат ........................ 95

4.4 Выводы по главе...............................................................................................97

5 ПРОЕКТИРОВАНИЕ КРОНШТЕЙНА НАВЕСКИ ИНТЕРЦЕПТОРА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ...........................98

5.1 Проектная ситуация..........................................................................................98

5.2 Моделирование опирания интерцептора.......................................................99

5.3 Моделирование нагрузок...............................................................................100

5.4 Определение силовой схемы кронштейна при помощи топологической

оптимизации............................................................................................................101

5.4.1 Построение модели для оптимизации.................................................101

5.4.2 Оптимальное распределение материала в конструкции узла...........103

5.4.3 Анализ картины распределения материала........................................103

5.5 Разработка твердотельной геометрической модели кронштейна.............104

5.6 Поверочный расчёт кронштейна в составе узла..........................................104

5.6.1 Определение свойств материала..........................................................104

5.6.2 Моделирование крепления кронштейна в интерцепторе.................105

5.6.3 Результаты расчёта на прочность........................................................106

5.7 Итоговая конструкция кронштейна..............................................................108

5.8 Натурные испытания изделия на статическую прочность.........................110

5.9 Интуитивный вариант конструкции.............................................................113

5.10 Выводы по главе..........................................................................................115

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...........................................................................................................116

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ И УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ..............................118

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...........................................................................................121

ПРИЛОЖЕНИЕ А.......................................................................................................136

ПРИЛОЖЕНИЕ Б........................................................................................................138

ПРИЛОЖЕНИЕ В.......................................................................................................146

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования

Снижение массы конструкции летательного аппарата является ключевой задачей, от успешного выполнения которой определяющим образом зависят его лётно-технические и эксплуатационные качества. Для таких зон как панели крыла, продольно-поперечный силовой набор в виде лонжеронов и нервюр и т. д., теория рационального проектирования, в целом, построена. И здесь практикой подтверждена эффективность множества типовых решений, по крайней мере для самолётов традиционных компоновок. Однако места приложения больших сосредоточенных сил, например, узлы навески механизации крыла, узлы шасси и т. п., отличаются большим разнообразием форм и силовых схем. Последнее объясняется отсутствием универсальной проектной методики для таких узлов и значительной долей интуиции, опыта и других эвристических факторов при их создании. Эффективность конструкций с точки зрения затрат материала, которую может обеспечить традиционный подход, имеет определённый предел, который в настоящее время достигнут. Дальнейшее повышение их «весового совершенства» должно основываться на использовании принципиально новой технологии проектирования - топологической оптимизации - когда рациональная передача усилий в конструкции закладывается уже на этапе синтеза силовой схемы. В комплексе с последними достижениями в сфере «цифрового» производства, она позволит получить изделия с уникальными характеристиками.

Настоящая работа посвящена разработке математического и программного обеспечения по топологической оптимизации. Определённую значимость ей придаёт также тот факт, что подавляющее большинство имеющихся на рынке аналогичных программных продуктов являются импортными. В то время как особенности текущего исторического периода требуют импортозамещения, обеспечивающего государственный суверенитет в области наукоёмких промышленных технологий.

Степень разработанности темы

Исследованиями в области оптимизации силовых конструкций занимались отечественные и зарубежные учёные: В. М. Фролов, Н. В. Баничук, В. П. Малков, В. И. Гришин, А. А. Комаров, В. А. Комаров, С. Н. Шевцов, В. В. Чедрик, А. И. Боровков, П. В. Максимов, M. P. Bendsoe, O. Sigmund, M. Bruggi, P. Duysinx, E. Holmberg, C. Le, J. A. Norato, M. Zhou и др.

В настоящее время можно выделить следующие направления исследований в области топологической оптимизации конструкций:

1. Переход от эвристических методов поиска силовых схем конструкций, приспособленных к решению узкого класса задач с одним-двумя ограничениями, к строгим в математическом смысле методам нелинейной оптимизации, позволяющим единым алгоритмом охватить практически весь необходимый набор проектных ограничений.

2. Разработка эффективного способа интерпретации результатов топологической оптимизации, обеспечивающего возможность построения геометрической модели конструкции в соответствии с теоретически оптимальным решением.

3. Повышение вычислительной эффективности алгоритмов для решения промышленных задач с числом проектных переменных порядка ~105.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Автоматизация проектирования сложных высоконагруженных узлов и деталей машин на основе топологической оптимизации»

Цель работы

Цель работы состоит в совершенствовании качества проектирования силовых конструкций, а также в сокращении его сроков на основе метода топологической оптимизации

Задачи работы

1. Разработать математическое обеспечение топологической оптимизации с технологическими ограничениями и построить на его базе алгоритм, позволяющий оптимизировать изотропные и ортотропные тела

2. Разработать алгоритм экспорта результата топологической оптимизации в CAD-формат граничного представления геометрической модели (IGS).

3. Реализовать указанные алгоритмы в программном обеспечении по топологической оптимизации, обеспечивающем наглядную визуализацию силовых потоков в оптимальной конструкции.

4. Апробировать программное обеспечение по топологической оптимизации на примере проектирования кронштейна навески интерцептора самолёта

Объект и предмет исследования

Объект исследования - проектирование высоконагруженных узлов и деталей машин, предмет исследования - методы и средства топологической оптимизации

Научная новизна работы

- Впервые получены расчётные формулы алгоритма топологической оптимизации на базе нелинейного математического программирования методом выпуклой линеаризации, позволяющие оптимизировать порядка 105 проектных переменных.

- SIMP-модель материала обобщена на случай ортотропных тел.

- Предложены процедура и алгоритм построения конструкторской геометрической модели детали после топологической оптимизации, отличающиеся возможностью экспорта распределения материала в универсальный CAD-формат данных.

Теоретическая значимость работы

Разработанный математический аппарат топологической оптимизации на основе метода выпуклой линеаризации является фундаментом вычислительного комплекса, который допускает расширение спектра ограничений до требований прочности, отстройки от резонансных частот колебаний и т. д. Универсальность алгоритма позволяет, в принципе, не ограничиваться проектными переменными,

специфическими для топологической оптимизации, а включить в их перечень любые параметры, определяющие матрицу жёсткости упругой системы.

Практическая значимость результатов работы

- Применение разработанной методики проектирования узлов позволяет получать конструкции высокого весового совершенства и достигать существенного (вплоть до двукратного) снижения массы по сравнению с традиционными решениями

- Разработанное программное обеспечение реализует технологию топологической оптимизации и позволяет решать задачи большой размерности с числом проектных переменных порядка ~105.

Программное обеспечение использовано в НИОКР «Опытная разработка методики проектирования высоконагруженных узлов с использованием топологической оптимизации на примере звена шлиц-шарнира шасси вертолёта» в интересах АО «Авиаагрегат» (акт использования) и внедрено в учебный процесс Самарского университета (акт внедрения).

Методы исследования

Метод конечных элементов, метод выпуклой линеаризации, двойственный метод решения задач оптимизации с выпуклыми функциями, метод «золотого сечения», численный и натурный эксперименты, методы математического моделирования, системный анализ, методы программирования.

Положения, выносимые на защиту

- Математическое обеспечение САПР по топологической оптимизации на основе метода выпуклой линеаризации.

- Обобщение SIMP-модели материала на случай ортотропных тел.

- Способ интерпретации результатов топологической оптимизации на основе экспорта распределения материала в универсальный геометрический САО-формат данных.

Достоверность и обоснованность научных результатов

В работе использованы апробированные методы расчёта напряжённо -деформированного состояния конструкций и оптимизации. Решение ряда тестовых задач с известными оптимальными силовыми схемами показало полное соответствие результатов топологической оптимизации этим схемам. Конструкция узла навески интерцептора самолёта, спроектированная с использованием разработанного программного комплекса, успешно прошла комплекс натурных прочностных испытаний.

Апробация результатов

Основные положения работы докладывались на следующих научных конференциях: Международная конференция «Деформирование и разрушение композиционных материалов и конструкций», ИМАШ РАН, г. Москва, 2014 г.; XI Всероссийская конференция по проблемам новых технологий, МСНТ, г. Миасс, 2014 г.; 15-я Международная конференция "Авиация и космонавтика", МАИ, г. Москва, 2016 г.; II Международная конференция «Аддитивные технологии: настоящее и будущее», ВИАМ, г. Москва, 2016 г.; 16-я Международная конференция "Авиация и космонавтика", МАИ, г. Москва, 2017 г.

Публикации

Основные результаты работы опубликованы в 8 печатных работах [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8], из них одна [4] - в изданиях, индексируемых в базах данных Scopus/Web of Science и три [1, 2, 3] - в журналах, рекомендованных ВАК Минобрнауки России. Алгоритм топологической оптимизации по критерию минимума энергии деформации реализован в виде программы для ЭВМ, получившей государственную регистрацию [9].

Объём и структура работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав, основных результатов и выводов по работе, списка использованных источников из 131 наименования, в том числе 98 - на иностранном языке, и приложения. Работа содержит 151 страницу машинописного текста, 90 рисунков, 1 таблицу.

1 ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ СИЛОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Искусство конструирования состоит в ответе на вопрос: «Откуда убрать лишний материал?»

Робер ле Риколе (1894-1977), французский архитектор и инженер

1.1 Оптимизация силовых конструкций

Ресурсы, которые человек использует в своей созидательной деятельности, всегда ограничены, поэтому чрезвычайно важно использовать их с максимальной эффективностью. В этом отношении, оптимизация, которую упрощенно можно определить как процесс поиска наилучшего варианта при заданных ограничениях, представляется весьма ценным инструментом.

Традиционно, проектирование осуществлялось методом проб и ошибок. Начальный этап базировался на «креативности», опыте, интуиции и знаниях инженера. Затем следовал поверочный расчет, по результатам которого принималось решение о введении поправок, модификаций и создании новой конструкции. Процесс «исходный вариант-расчет-новый вариант» происходил до тех пор, пока каких-либо улучшений сделать не удавалось.

Достижения компьютерных технологий и относительная дешевизна вычислительных мощностей привели к революционному прорыву в подходе к проектированию. Можно уверенно констатировать, что в области разработки силовых конструкций «оптимизация» прочно вошла в обиход, вытеснив эвристический метод проб [10, 11].

Использование оптимизации позволяет создавать конструкции с лучшими характеристиками (например, с меньшей массой), существенно сокращая временные и материальные затраты. Процессы проектирования с использованием оптимизации и без неё с упрощениями показаны на рисунках 1.1, 1.2.

Рисунок 1.1 - Процесс проектирования без использования оптимизации Концептуальное проектирование

I

Проектная область Топол. оптимиз-я 1 1 Геом. 1 Прочностной Финальная конструкция

модель расчет

Возможна оптимизация формы и размеров

Г

I I I

|_

Рабочее проектирование

Рисунок 1.2 - Процесс проектирования, включающий оптимизацию (в частности, топологическую)

На втором рисунке операций несколько больше, однако суммарное время и стоимость проекта оказывается меньше из-за снижения числа «проб и ошибок». Это вполне соответствует парадигме «точного попадания», предложенной В. А. Комаровым и Т. Вейсхааром (см., например, [12]).

При поверочном расчете геометрия и размеры сечений известны, и цель анализа состоит в определении «выходных параметров» конструкции: напряжений, перемещений, собственных частот и т. д. В противоположность этому, при оптимизации геометрия и жесткостные характеристики неизвестны, и задача состоит в их определении таким образом, чтобы максимизировать или минимизировать некий критерий, удовлетворив всем ограничениям. В качестве такого критерия (целевой функции) может выступать масса или жесткость конструкции, критическая сила потери устойчивости и т. д. Ограничения могут

быть геометрическими (например, высота, ширина, площадь сечения), и физическими: напряжения, перемещения и прочие.

1.2 Классификация задач оптимизации конструкций

Для любого процесса проектирования характерно наличие трех стадий. Первая - концептуальная стадия, на которой определяется силовая схема конструкции. Принимаются решения качественного характера относительно генеральных путей передачи усилий. Вторая стадия - предварительное проектирование, где выбирается форма конструктивных элементов. Наконец, финальная стадия - рабочее (детальное) проектирование [13].

Можно выделить три основных класса задач оптимального проектирования (Рисунок 1.3).

Рисунок 1.3 - Общая классификация задач оптимизации конструкций Первые исследования в области оптимизации конструкций фокусировались на оптимизации размеров (Рисунок 1.4), которая рассматривает, например, поиск рациональных параметров поперечных сечений балок и толщин оболочек. Силовая схема при этом не изменяется. Такие задачи решаются на этапе рабочего проектирования.

Рисунок 1.4 - Оптимизация сечений фермы [14] Оптимизация формы (Рисунок 1.5) предполагает поиск «внешних границ» конструкции, например, формы выреза в пластине или формы балки. Силовая схема также постоянна. Оптимизация формы используется на стадии предварительного проектирования.

Рисунок 1.5 - Оптимизация формы балки: определение функции X) [14]

Оптимизация размеров и формы может не привести к наилучшему результату, если принятая силовая схема далека от идеала. Для решения данной проблемы разработаны методы топологической оптимизации (Рисунок 1.6). Цель ее состоит в определении оптимального распределения материала в заданной области.

Рисунок 1.6 - Топологическая оптимизация двумерного континуума [14]

Строго говоря, оптимизация формы - это частный случай оптимизации топологии, однако практическая реализация этих методов радикально отличается. Поэтому их принято относить к двум разным категориям. Соотношение между топологической оптимизацией и оптимизацией размеров прямо противоположное: с фундаментальной точки зрения они далеки друг от друга, но в части имплементации схожи.

1.3 Проблема определения силовой схемы. Топологическая оптимизация.

Конструкция - проводник сил [15]. Ее задача - передать нагрузку от мест приложения к местам уравновешивания (закрепления) без потери несущей способности. При этом важно, особенно в авиационных конструкциях, затратить на передачу усилий как можно меньше материала, чтобы обеспечить наименьший вес.

Ключевым фактором, влияющим на весовую эффективность конструкции, являются исходные предпосылки относительно взаимного положения в пространстве силовых элементов: стержней, стенок и т. д. Более точно эти «исходные предпосылки» называть силовой схемой, определив последнюю как количество, тип, способ соединения между собой и расположение в пространстве силовых элементов [16]. В англоязычной литературе силовую схему называют топологией, позаимствовав не вполне корректно этот термин из одноимённого раздела математики.

Определение наивыгоднейшей силовой схемы традиционно находилось в сфере интуитивных компетенций инженера. Первые попытки применить аппарат математического программирования наталкивались на «проблему выбора такого пространства проектных переменных, разным численным значениям которых соответствовали бы самые разнообразные силовые схемы» [16]. Тем не менее, сегодня можно констатировать, что указанная проблема успешно решена. Разработано множество математических моделей, позволяющих использовать методы нелинейной оптимизации для поиска топологии конструкции. Начиная с работы [17], в обиход вошел термин топологическая оптимизация.

1.4 Общая формулировка задачи топологической оптимизации

Рассмотрим общую задачу топологической оптимизации: найти распределение материала, минимизирующее целевую функцию ¥, при ограничениях ё < 0,] = 1...М. Распределение материала в области проектирования

описывается плотностью как функцией координат р(г), г = (X,у,2), которая

может принимать только два значения: 0 (пустота) и 1 (сплошной материал). В терминах нелинейного математического программирования [18, 19] задача формулируется следующим образом [20]:

шт ¥ = ¥ (и (р), р)

gJ (и (р), р)< 0, ] = 1,..., М р(г) = 0или 1,Уг еП

(1.1)

где поле перемещений удовлетворяет линейному или нелинейному уравнению равновесия.

Существуют два пути решения задачи (1.1). Первый подход аналогичен нахождению оптимальной формы конструкции, но подразумевает возможность образования новых «пустот», а второй основан на использовании «тел переменной плотности». Последний термин, по-видимому, впервые введен в работах В. А. Комарова [21, 16].

В последнем случае задача топологической оптимизации решается разбиением области проектирования П на достаточно большое число N конечных элементов и использованием в качестве проектных переменных их значений плотности. Получим следующую промежуточную формулировку:

шт ¥ = ¥ (и(р),р) = Хг |а I(и(р1),р)dV

g] (и (р), р)< 0, ] = 1,..., М

р. = 0 или 1, i = 1,..., N

(1.2)

>

>

где р означает вектор проектных переменных размерностью N.

Известно [22], что задача топологической оптимизации (1.2) не имеет решения в общем виде. Для дискретной формулировки (1.2) характерна зависимость результата от густоты сетки. Для решения указанных проблем можно прибегнуть к релаксации или дополнительным ограничениям. Первый метод ведет к гомогенизации, введенной в топологическую оптимизацию M. Bendsoe и N. Kikuchi [17]. Посредством же наложения дополнительных ограничений удается предотвратить резкие осцилляции в распределении плотности.

Значительно усложняет прямое решение задачи (1.2) тот факт, что проектные переменные дискретны и могут принимать значения 0 или 1. Ни один из существующих методов дискретной оптимизации не может «охватить» практические задачи с сотнями тысяч проектных переменных.

Введение в качестве распределения плотности непрерывной функции позволяет использовать эффективные градиентные алгоритмы, позволяющие достигать сходимости за приемлемое число итераций (от 10 до 1000). Задача топологической оптимизации в континуальной постановке запишется как

шп^ = ^(и(р),р) = Хг|а /(и(р),р)с!У

g] (и (р), р)< 0,7 = 1,..., М 0<р < 1,1 = 1,...,N

(1.3)

Формулировка (1.3) составляет основу для большинства современной литературы по топологической оптимизации. Интерполяция между плотностью и

свойствами материала обычно выражается в виде / (и (р) ,р) = g (р) 10 (и), где

g (р) - интерполирующая функция плотности, а /0 (и) - функция, описывающая

напряженное состояние сплошной среды (например, удельная энергия деформации). Выбору интерполирующей функции посвящён параграф 1.5.

>

1.5 «Тело переменной плотности» - модель материала для топологической оптимизации

Истоки применения тел с переменной по объему жесткостью (модулем упругости) для определения силовых схем восходят к А. А. Комарову [15, 23], где проводилась оптимизация пластин по критерию наиболее жесткой конструкции. Дальнейшее развитие эти идеи получили в работах В. А. Комарова [16, 21]: на основе модели тела переменной плотности формулируется алгоритм получения конструкций минимальной массы, предложен критерий эффективности КСС - силовой фактор. Интересное приложение данная теория получила в области концептуального проектирования летательных аппаратов. С ее помощью оказалось возможным прогнозировать деформации крыла самолета на ранних стадиях проектирования [24], а также построить методику многодисциплинарной оптимизации летательных аппаратов [25].

На основе теории гомогенизации M. Bendsoe и N. Kikuchi [17] предложили для топологической оптимизации использовать анизотропный материал с периодической микроструктурой (Рисунок 1.7).

у2

Рисунок 1.7 - Микроячейка с прямоугольными полостями (слева); параметризация микроячейки (справа) [26]

Таким образом, задачу топологической оптимизации удалось к свести к задаче оптимизации размеров полостей в микроячейках. Однако конструкции, полученные таким методом, сложны с технологической точки зрения. До недавнего времени изготавливать пористые материалы, строго выдерживая геометрию микроячеек, не представлялось возможным. Сегодня, в связи с развитием

аддитивных технологий, топологическая оптимизация на основе гомогенизации переживает «второе рождение» (Рисунок 1.8).

С целью упрощения метода гомогенизации, разработана так называемая SIMP-модель материала (Solid Isotropic Material with Penalization) [28, 29]. Данная модель подразумевает пропорциональный закон зависимости модуля упругости от плотности:

где Е0 - модуль упругости сплошного материала, p > 1 - параметр, который можно назвать коэффициентом пенализации (от англ. penalization - штраф). SIMP-модель обеспечивает сходимость решения к топологии «0-1», т. е. распределение материала принимает бинарный характер. Физическая интерпретация SIMP-модели, в частности, микроструктура, соответствующая различным значениям р, описана в [30]. Влияние коэффициента p на результирующую топологию подробно рассмотрено в разделе 2.8. Здесь же отметим его роль только как показателя «дискретности» топологии: чем выше p, тем меньше остаётся областей с промежуточной плотностью (между нулём и единицей).

Модель «тела переменной плотности» приводит к задаче с гладкими, дифференцируемыми функциями, которая может быть эффективно решена при помощи хорошо зарекомендовавших себя градиентных методов.

Рисунок 1.8 - Качалка с ячеистой микроструктурой [27]

(1.4)

SIMP-модель реализована в модуле топологической оптимизации в ряде промышленных систем инженерного анализа. Пример её использования на базе программного комплекса ABAQUS приведён в [31].

Помимо ТПП, существуют другие модели и подходы к топологической оптимизации. Среди них выделим метод функций уровня (level-set) [32]. Упомянутый метод представляет интерес ввиду принципиально другого представления геометрии конструкции в ходе топологической оптимизации, дающего всегда четкие и сглаженные границы. Однако это влечет за собой также значительные математические трудности, решение которых выходит за рамки данной работы и планируется в будущем.

1.6 Обоснование выбора темы исследования

В настоящее время топологическая оптимизация является одной из основных тем в области оптимизации конструкций. Количество статей по ней, публикуемых в одном из ведущих мировых научных издательств Springer [33], из года в год неуклонно растёт (Рисунок 1.9).

Рисунок 1.9 - Количество публикаций о топологической оптимизации (по данным издательства Springer)

Тому есть объективные причины. Во-первых, выгода (снижение массы, повышение жёсткости конструкции и т. д.), которую может дать топологическая оптимизация при грамотном использовании, зачастую превосходит аналогичные показатели для других методов (например, оптимизации формы). Во-вторых, набирают ход и внедряются в промышленность новые технологии производства (ЗЭ-печать), которые позволяют изготавливать детали практически неограниченной по сложности формы. Это позволяет максимально использовать потенциал метода.

Существует множество программных продуктов по топологической оптимизации. Однако большинство из них являются закрытыми, т. е. не допускают анализа и изменения программного кода. Последнее обстоятельство делает крайне трудным использование их для решения узкоспециализированных задач, для исследований. В этой связи назревает необходимость в разработке и развитии собственного решения по топологической оптимизации, который являлся бы логичным продолжением работ, выполняемых на кафедре конструкции и проектирования летательных аппаратов Самарского университета.

Сфера применения топологической оптимизации как метода не ограничивается силовыми конструкциями.

Основные направления в современной топологической оптимизации

Упругие системы

• Введение ограничений на напряжения [34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42]

• Учёт геометрической нелинейности (конечных деформаций) [43, 44, 45] и пластичности [46]

• Учёт технологических ограничений [47, 48, 49]

• Оптимизация в анизотропной постановке [50]

• Расчёт с нагрузками, зависящими от распределения плотности (инерционные силы, температурное поле, внутреннее давление) [51, 52, 53, 54, 55, 56]

• Динамические задачи (учёт собственных частот колебаний, потери устойчивости) [57, 58, 59, 60]

• Синтез механизмов [61, 62, 63, 64]

• Получение метаматериалов с экстремальными свойствами, например, с отрицательным коэффициентом Пуассона [65, 66, 67]

• Альтернативные телу переменной плотности способы представления топологии: методы функции уровня [68, 69, 70], гиперрадиальных базисных функций [71, 72], дискретных силовых элементов [73]

Тепловые системы

• Минимизация тепловой энергии (аналог энергии деформации в конструкциях) [74, 75, 76, 77, 78]

• Термогидродинамические задачи [79]

• Термоупругие задачи [80]

Гидродинамические системы (вязкая несжимаемая жидкость)

• Минимизация потерь давления [81, 82, 83, 84]

• Максимизация скорости в заданной точке [85]

• Учёт аэроупругости [86] Акустические системы

• Минимизация звукового давления [87]

• Максимизация рассеяния энергии упругих волн в заданном диапазоне частот [88]

• Синтез акустических метаматериалов с экстремальными свойствами [89] Электродинамические и оптические системы

• Создание маскирующих структур для заданного диапазона частот [90, 91]

• Проектирование дипольных антенн [92]

Таким образом, топологическая оптимизация используется в задачах сплошных сред самой разной физической природы.

1.7 Цель и задачи исследования

Цель работы состоит в сокращении сроков создания силовых конструкций, а также в совершенствовании процесса их проектирования на основе метода топологической оптимизации

Задачи исследования:

• Разработать эффективные алгоритмы топологической оптимизации с технологическими ограничениями.

• Разработать методы пространственной визуализации и интерпретации результатов топологической оптимизации, позволяющие автоматизировать процесс конструирования.

• Разработать программное обеспечение для топологической оптимизации, интегрируемое в промышленные системы инженерного анализа.

• Апробировать разработанные методы и программное обеспечение на примере проектирования узла навески агрегата механизации крыла самолёта

2 ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКЦИЙ ПО КРИТЕРИЮ МИНИМУМА ЭНЕРГИИ ДЕФОРМАЦИИ. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ

ОБЕСПЕЧЕНИЕ САПР

2.1 Постановка задачи топологической оптимизации по критерию минимума энергии деформации Обозначим область пространства, занимаемую конструкцией как тша' ^ п, где множество п ^ к2 или п ^ и3 и на нем задаются граничные условия (рисунок 2.1).

Рисунок 2.1 - К постанновке задачи топологической оптимизации Сформулируем задачу следующим образом: определить скалярную функцию плотности материала р(х, у, г) таким образом, что выбранный критерий

«качества» конструкции достигает экстремума при удовлетворении проектных ограничений.

Выбор целевой функции

Количественно оценивать «совершенство» силовой конструкции можно разными способами (например, по массе или жёсткости). Кажущаяся наиболее естественной попытка использовать в качестве целевой функции для топологической оптимизации массу имеет одну существенную трудность. Для высоконагруженных деталей в этом случае неизбежно должны накладываться ограничения по прочности (на напряжения), что приводит к большому количеству нелинейных ограничений и высоким вычислительным затратам для программы-

оптимизатора. В качестве альтернативы массе во многих работах (например, [17, 15]) рассматривается другой критерий - потенциальная энергия деформации и, которая для дискретизированной при помощи МКЭ линейно упругой системы запишется как:

где и - вектор неизвестных перемещений, к - матрица жёсткости системы, полученная вычёркиванием строк и столбцов глобальной матрицы жёсткости, соответствующих известным перемещениям. Таким образом, мы рассматриваем только те задачи, где все компоненты вектора известных перемещений равны нулю (жёсткое закрепление). Для линейно-упругих задач, в которых вектор перемещений связан с вектором нагрузки { матричным уравнением ки = f, потенциальная энергия деформации равна работе внешних сил на перемещениях и , т. е.

Выражение (2.2) представляет собой известную из строительной механики теорему Клапейрона [93]. Минимизируя величину энергии деформации при заданных нагрузках, мы устремим к минимуму перемещения и получим конструкцию наибольшей жёсткости. В ней, в свою очередь, возникнут наименьшие напряжения и внутренние усилия, и потребная по прочности масса также будет минимальной.

При наличии нескольких случаев нагружения возникает проблема построения целевой функции. В работе [10] предлагается следующая форма:

1 т

и = - ит Ки, 2

(2.1)

1 г

и = - fт и.

(2.2)

2

(2.3)

где ик - энергия деформации на к-м случае нагружения, Щ - весовые коэффициенты, N\ - число случаев нагружения. Если все расчётные случаи равнозначны, то Щк=1,1 =1,—, N.

Выбор функции ограничений

Ограничения на напряжения являются предпочтительными для топологической оптимизации, однако их реализация выходит за рамки данной работы и планируется в будущем. Здесь же используем одно простое линейное ограничение - на объём материала:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кишов, Евгений Алексеевич, 2018 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кишов Е. А., Комаров В. А. Топологическая оптимизация силовых конструкций методом выпуклой линеаризации // Вестник Самарского университета. Аэрокосмическая техника, технологии и машиностроение. 2018. Т. 17, № 1. С. 137-149. DOI: 10.18287/2541-7533-2018-17-1-137-149 .

2. Комаров, В. А. Топологическая оптимизация в проектировании высоконагруженных узлов авиационных конструкций / В. А. Комаров, Е. А. Кишов, Р. В. Чарквиани // Общероссийский научно-технический журнал "Полёт". - 2018. - № 8. - C. 16-24.

3. Комаров, В. А. Опыт проектирования и испытаний агрегата механизации крыла из углепластика / В. А. Комаров, Е. А. Кишов, Р. В. Чарквиани // Проблемы машиностроения и надёжности машин. - 2016. - № 5. - С. 102-110.

4. Komarov, V. A. Aircraft Composite Spoiler Fitting Design Using the Variable Density Model / V. A. Komarov, E. A. Kishov, E. I. Kurkin, R. V. Charkviani // Procedia Computer Science, 2015. - Vol. 65. - pp. 99-106.

5. Кишов Е. А., Кишова Е. А. Проектирование кронштейна навески руля высоты самолёта с использование топологической оптимизации // Материалы XXXXVII Всероссийского симпозиума, посвящённого 70-летию Государственного ракетного центра им. академика В. П. Макеева. 2017. С. 154-161.

6. Комаров В. А., Кишов Е. А. Анализ и интерпретация результатов топологической оптимизации на основе экспорта распределения материала в CAD-формат // Тезисы докладов 16-й Международной конференции "Авиация и космонавтика". 2017. С. 387.

7. Комаров, В. А. Оптимизация пространственных высоконагруженных узлов авиационных конструкций / В. А. Комаров, Е. А. Кишов, Р. В. Чарквиани // Сборник трудов XI Всессийской конференции по проблемам новых технологий, г. Миасс, 2014. - с. 97-107.

8. Комаров, В. А. Проектирование кронштейна навески интерцептора с использованием топологической оптимизации / В. А. Комаров, Е. А. Кишов // Тезисы докладов 15-й Международной конференции "Авиация и космонавтика", 2016. - с. 37-38.

9. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ "SIMP_TopOpt" № 2014662629 от 20.12.2014 / В. А. Комаров, Е. А. Кишов.

10. Bendsoe, M.P. Topology Optimization: Theory, Methods and Applications / M.P. Bendsoe, O. Sigmund.- New York: Springer, 2003.- 271 p.

11. Комаров, В. А. Точное проектирование / В. А. Комаров // Онтология проектирования. - 2012. - № 3(5). - с. 8-23.

12. Вейсхаар, Т. А. Человеческий фактор в проектировании авиационных конструкций / Т. А. Вейсхаар, В. А. Комаров // Полёт. - 1998. - № 1. - с. 17-23.

13. Grierson, D. E. Conceptual design using emerging computing techniques / D. E. Grierson // NATO Advanced Research Workshop. - 1994. - Nafplio.

14. Christensen, P. W. An introduction to structural optimization / P. W. Christensen, A. Klarbring. - Berlin: Springer, 2009. - 214 p.

15. Комаров, А. А. Общая теория проектирования оптимальных силовых конструкций: дисс. докт. техн. наук. - Куйбышевский авиац. ин-т / Комаров Андрей Алексеевич. - Куйбышев, 1966. - 134 с.

16. Комаров, В. А. Проектирование силовых схем авиационных конструкций / В. А. Комаров // Актуальные проблемы авиационной науки и техники. - М.: Машиностроение, 1984. - С. 114-129.

17. Bendsoe, M. P. Generating optimal topologies in structural design using a homogenization method / M. P. Bendsoe, N. Kikuchi // Comp. Methods in Appl. Mech. and Engineering. - 1988. - Iss. 71. - p. 197-224.

18. Малков, В. П. Оптимизация упругих систем / В. П. Малков, А. Г. Угодчиков. - М.: Наука, 1981. - 288 с.

19. Лазарев, И. Б. Математические методы оптимального проектирования конструкций / И. Б. Лазарев. - Новосибирск, НИИЖТ, 1974. - 190 с.

20. Sigmund, O. Topology optimization approaches // Structural and Multidisciplinary Optimization / O. Sigmund, K. Maute, Springer. - 2013 - Vol. 48. -Iss 6. - p. 1031-1055.

21. Комаров, В. А. Рациональное проектирование силовых авиационных конструкций: дисс. докт. техн. наук.- Московский авиац. ин-т / Комаров Валерий Андреевич.- Москва, 1976.- 329 с.

22. Sigmund, O. Numerical instabilities in topology optimization: a survey on procedures dealing with checkerboards, mesh-dependencies and local minima // Strucutral and Multidisciplinary optimization / O. Sigmund, J. Petersson. - 1998. - Vol. 16. - Iss 1. - p. 68-75. г.

23. Комаров, А. А. Основы проектирования силовых конструкций / А. А. Комаров. - Куйбышевское книжное издательство, 1965.- 88 с.

24. Комаров, В. А. Прогнозирование деформаций крыльев / В. А. Комаров, М. Ю. Лаптева // Общероссийский научно-технический журнал "Полет". - 2011. -№ 3. - с. 8-12.

25. Кузнецов, А. С. Выбор геометрических параметров крыла с комплексным учетом аэродинамической и весовой эффективности / А. С. Кузнецов: Дисс. канд. техн. наук. - Самара, СГАУ, 2012. - 161 с.

26. Hassani, B. Homogenization and structural topology optimization / B. Hassani, E. Hinton. - Berlin: Springer, 1999. - 279 p.

27. http://www.pwc.com/us/en/technology-forecast. /2014/3d-printing/features/3d-printing-innovation.html (accessed 09.02.2016).

28. Bendsoe, M. P. Optimal shape design as a material destribution problem / M. P. Bendsoe // Structural and Multidisciplinary optimization. - 1989. - Iss. 1. - p. 193202.

29. Zhou, M. The COC algorithm, part II: topological, geometry and generalized shape optimization / M. Zhou, G. Rozvany // Computatianal Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1991. - Vol. 89. - Iss. 3. - p. 309-336.

30. Bendsoe, M. P. Material interpolation schemes in topology optimization / M.P. Bendsoe, O. Sigmund // Archive of Applied Mechanics.-1999.- Volume 69. - Iss. 9-10. - p. 635-654.

31. Оганесян, П. А. Оптимизация топологии конструкций в пакете ABAQUS / П. А. Оганесян, С. Н. Шевцов // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. - 2014. - Т. 16. - № 6(2). - С. 543-549.

32. van Dijk, N. P. Level-set methods for structural topology optimization: a review / N. P. van Dijk, K. Maute, M. Langelaar, F. van Keulen // Structural and Multidisciplinary Optimization. - 2013. - Vol. 48. - Iss. 3. - p. 437-472.

33. http://www.springer.com (accessed 26.05.2017).

34. Luo, Y. An enhanced aggregation method for topology optimization with local stress constraints / Y. Luo, M. Y. Wang, Z. Kang // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2013. - Vol. 254. - p. 31-41.

35. Holmberg, E. Global and clustered approaches for stress constrained topology optimization and deactivation of design variables / E. Holmberg, B. Torstenfelt, A. Klarbring // Proceedings of WCSMO-10, 2013. - 10 p.

36. Holmberg, E. Stress and fatigue constrained topology optimization, E. Holmberg, B. Torstenfelt, A. Klarbring // Structural and Multidisciplinary Optimization Vol. 48, Issue 1, pp. 33-47, Springer, 2013.

37. Holmberg, E. Stress constrained topology optimization / E. Holmberg, B. Torstenfelt, A. Klarbring // Structural and multidisciplinary optimization. - 2013. - Vol. 48. - Iss. 1. - pp. 33-47.

38. Le, C. Stress-based topology optimization for continua / C. Le, J. Norato, T. Bruns, C. Ha, D. Tortorelli // Structural and Multidisciplinary optimization, 2010. - Vol. 41. - pp. 605-620.

39. Duysinx, P. Topology optimization of continuum structures with local stress / P. Duysinx, M. P. Bendsoe // International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1998. - Vol. 43. - Iss. 8. - pp. 1453-1478.

40. Paris, J. Block aggregation of stress constraints in topology optimization of structures / J. Paris, F. Navarrina, I. Colominas, M. Casteleiro // Advances in Engineering Software, 2010. - Vol. 41. - Iss. 3. - pp. 433-441.

41. Bruggi, M. On an alternative approach to stress constraints relaxation in topology optimization / M. Bruggi // Structural and multidisciplinary optimization, 2008.

- Vol. 36. - Iss. 2. - pp. 125-141.

42. Сысоева, В. В. Алгоритмы оптимизации топологии силовых конструкций / В. В. Сысоева, В. В. Чедрик // Учёные записки ЦАГИ. - 2011. - Том XLII. - № 2.

- С. 91-102.

43. Cho, S. Design sensitivity analysis and topology optimization of displacement-loaded non-linear structures / S. Cho, H.-S. Jung // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2003. - Vol. 192. - Iss. 22. - p. 2539-2553.

44. Jung, D. Topology optimization of nonlinear structures / D. Jung, H. C. Gea // Finite Elements in Analysis and Design. - 2004. - Vol. 40. - Iss. 11. - p. 1417-1427.

45. Huang, X. Topology optimization of nonlinear structures under displacement loading / X. Huang, Y. M. Xie // Engineering Structures. - 2008. - Vol. 30. - Iss. 7. - p. 2057-2068.

46. Zhang, G. Topology optimization of structures with anisotropic plastic materials using enhanced assumed strain elements / G. Zhang, L. Li, K. Khandelwal // Structural and Multidisciplinary Optimization, 2017. - Vol. 55. - Iss. 6. - pp. 1965-1988.

47. Michailidis, G. Manufacturing Constraints and Multi-Phase Shape and Topology Optimization via a Level-Set Method / G. Michailidis. - Ecole Polytechnique, 2014. - 277 p.

48. Vatanabe, S. L. Topology optimization with manufacturing constraints: A unified projection-based approach / S. L. Vatanabe, T. N. Lippi, C. R. de Lima, G. H. Pauline, E. C. N. Silva // Advances in Engineering Software. - 2016. - Vol. 100. - p. 97112.

49. Zuo, K.-T. Manufacturing- and machining-based topology optimization / K.-T. Zuo, L.-P. Chen, Y.-Q. Zhang, J. Yang // The International Journal of Advanced Manufacturing Technology. - 2006. - Vol. 27. - Iss. 5. - p. 531-536.

50. Nomura, T. Simultaneous Optimization of Topology and Orientation of Anisotropic Material using Isoparametric Projection Method / T. Nomura, E. M. Dede, T. Matsumori, A. Kawamoto // Proccedings of 11th WCSMO, 2015. - 6 p.

51. Zheng, B. Topology optimization considering body forces / B. Zheng, C. Chang, H. C. Gea // International Journal for Simulation and Multidisciplinary Design Optimization, 2009. - Vol. 3 - pp. 316-320.

52. Bruyneel, M. Note on topology optimization of continuum structures including self-weight / M. Bruyneel, P. Duysinx // Structural and Multidisciplinary Optimization, 2005. - Vol. 29. - pp. 245-256.

53. Lee, E. Stress-Constrained Topology Optimization with Design-Dependent Loading / E. Lee, K. James, J. Martins // Structural and Multidisciplinary Optimization, 2012. - Vol. 46, Iss. 5, pp. 647-661.

54. Deaton, J. D. Stress-based design of thermal structures via topology optimization / J. D. Deaton, R. V. Grandhi // Structural and Multidisciplinary Optimization, 2016. - Vol. 53. - pp. 253-270.

55. Lee, E. Structural topology optimization with design-dependent pressure loads / E. Lee, J. Martins // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2012. - Vol. 233. - pp. 40-48.

56. Xia, Q. Topology optimization with pressure load through a level set method / Q. Xia, M. Y. Wang, T. Shi // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2015. - Vol. 283. - pp. 177-195.

57. Liu, T. Eigenvalue topology optimization of structures using a parameterized level set method / T. Liu, B. Li, S. Wang, L. Gao // Structural and Multidisciplinary Optimization, 2014. - Vol. 50. - pp. 573-591.

58. Pedersen, N. L. Maximization of eigenvalues using topology optimization / N. L. Pedersen // Structural and Multidisciplinary Optimization, 2000. - Vol. 20. - pp. 2-11.

59. Zhou, M. Topology optimization for Shell Structures with Linear Buckling Responses / M. Zhou // Proceedings of WCCM VI, 2004. - 6 p.

60. Lindgaard, E. On compliance and buckling objective functions in topology optimization of snap-through problems / E. Lindgaard, J. Dahl // Structural and Multidisciplinary Optimization, 2013. - Vol. 47. - Iss. 3. - pp. 409-421.

61. Bruns, T. E. Topology optimization of non-linear elastic structures and compliant mechanisms / T. E. Bruns, D. A. Tortorelli // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2001. - Vol. 190. - Iss. 26. - pp. 3443-3459.

62. Liu, L. Design of Large-Displacement Compliant Mechanisms by Topology Optimization Incorporating Modified Additive Hyperelasticity Technique / L. Liu, J. Xing, Q. Yang, Y. Luo // Mathematical Problems in Engineering, 2017. - Vol. 2017, 11 p.

63. Sigmund, O. On the Design of Compliant Mechanisms Using Topology Optimization / O. Sigmund // Mechanics of Structures and Machines, 1997. - Vol. 25. -Iss. 4. - pp. 493-521.

64. Yin, L. Topology optimization of compliant mechanisms with multiple materials using a peak function material interpolation scheme / L. Yin, G. K. Ananthasuresh // Struct. Multidisc. Optim., 2001. - Vol. 23, pp. 49-62.

65. Sigmund, O. Design of materials with extreme thermal expansion using a three-phase topology optimization method / O. Sigmund, S. Torquato // Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 1997. - Vol. 45. - Iss. 6. pp. 1037-1067.

66. Sigmund, O. Design of Material Structures using Topology Optimization / O. Sigmund. - PhD Thesis, Denmark Technical University, 1994. - 109 p.

67. Zhang, W. Topology Optimal Design of Material Microstructures Using Strain Energy-based Method / W. Zhang, F. Wang, G. Dai, S. Sun // Chinese Journal of Aeronautics, 2007. - Vol. 20. - Iss. 4. - pp. 320-326.

68. Xia, Q. A level set method for the representation of multiple types of boundaries and its application in structural shape and topology optimization / Q. Xia, M. Y. Wang, T. Shi // Proceedings of 11th WCSMO, 2015. - 6 p.

69. Cai, S. Stress constrained shape and topology optimization with fixed mesh: A B-spline finite cell method combined with level set function /. S. Cai, W. Zhang, J. Zhu, T. Gao // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2014. - Vol. 278. - pp. 361-387. r.

70. Emmendoerfer, H. A level set approach for topology optimization with local stress constraints / H. Emmendoerfer, E. A. Fancello // International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2014. - Vol. 99. - Iss. 2. - pp. 129-156.

71. Apte, A. P. 3D Topology Optimization Using Hyper Radial Basis Function Network / A. P. Apte, B. P. Wang // Proceedings of 50th AIAA Structures, Structural Dynamics, and Materials Conference, 2009. - 12 p.

72. Apte, A. P. Topology Optimization Using Hyper Radial Basis Function Network / A. P. Apte, B. P. Wang // AIAA Journal, 2008. - Vol. 46. - Iss. 9. - pp. 22112218.

73. Norato, J. A. A geometry projection method for continuum-based topology optimization with discrete elements / J. A. Norato, B. K. Bell, D. A. Tortorelli // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2015. - Vol. 293. - pp. 306-327.

74. Xueyong, Q. Thermal Topology Optimization in OptiStruct Software / Q. Xueyong, N. Idipti, R. Fleury, J. Saiki // Proceedings of 17th AIAA/ISSMO Multidisciplinary Analysis Optimization Conference, 2016. - 9 p.

75. Deaton, J. D. Design of Thermal Structures Using Topology Optimization / J. D. Deaton. - PhD Thesis, Wright State University, 2009. - 232 p.

76. Thurier, P. F. A Two-material Topology Optimization Method for the Design of a Passive Thermal Control Interface / P. F. Thurier. - PhD Thesis, Pennsylvania State University, 2014. - 252 p.

77. Lohan, D. J. Topology Optimization for Heat Conduction Using Generative Design Algorithms / D. J. Lohan, E. M. Dede, J. T. Allison // Proceedings of 11th WCSMO, 2015. - 6 p.

78. Gersborg-Hansen, A. Topology optimization of heat conduction problems using the finite volume method / A. Gersborg-Hansen, M. P. Bendsoe, O. Sigmund // Structural and Multidisciplinary Optimization, 2006. - Vol. 31. - Iss. 4. - pp. 251-259.

79. Xiaoping, Q. Topology optimization of a coupled thermal-fluid system under a tangential thermal gradient constraint / Q. Xiaoping, E. M. Dede // Structural and Multidisciplinary Optimization, 2016. - Vol. 54. - pp. 531-551.

80. Li, D. Topology Optimization of Thermo-Mechanical Continuum Structure / D. Li, X. Zhang, Y. Guan, J. Zhan // Proceedings of 2010 IEEE/ASME International Conference on Advanced Intelligent Mechatronics, 2010. - 6 p.

81. Pereira, A. Fluid flow topology optimization in PolyTop: stability and computational implementation / A. Pereira, C. Talischi, G. H. Paulino, I. F. M. Mendez, M. S. Carvalho // Structural and Multidisciplinary Optimization, 2016. - Vol. 54. - pp. 1345-1364.

82. Dede, E. M. Multiphysics Topology Optimization of Heat Transfer and Fluid Flow Systems / E. M. Dede // Proceedings of COMSOL Conferense, 2009. - 7 p.

83. Gersborg-Hansen, A. Topology optimization of channel flow problems / A. Gersborg-Hansen, O. Sigmund, R. B. Haber // Structural and Multidisciplinary Optimization, 2005. - Vol. 30. - Iss. 3. - pp. 181-192.

84. Yoshimura, M. Topology optimization of fluid problems using genetic algorithm assisted by the Kriging model / M. Yoshimura, K. Shimoyama, T. Misaka, S. Obayashi // International Journal for Numerical Methods in Engineering, 2016. - Vol. 109. - pp. 514-532.

85. Gersborg-Hansen, A. Topology optimization of flow problems / A. GersborgHansen. - PhD Thesis, Technical University of Denmark, 2007. - 202 p.

86. Yoon, G. H. opology optimization for stationary fluid-structure interaction problems using a new monolithic formulation / G. H. Yoon // Numerical Methods in Engineering, 2009. - Vol. 82. - Iss. 5. - pp. 591-616.

87. Duhring, M. B. Acoustic design by topology optimization / M. B. Duhringm J. S. Jensen, O. Sigmund // Journal of Sound and Vibration, 2008. - Vol. 317. - pp. 557575.

88. Jensen, J. S. Topology optimization problems for reflection and dissipation of elastic waves / J. S. Jensen // Journal of Sound and Vibration, 2007. - Vol. 301. - pp. 319-340.

89. Lu, L. Topology optimization of an acoustic metamaterial with negative bulk modulus using local resonance / L. Lu, T. Yamamoto, M. Otomori, T. Yamada, K. Izui, S. Nishiwaki // Finite Elements in Analysis and Design, 2013. - Vol. 72. - pp. 1-12.

90. Fujii, G. Level set based topology optimization for optical cloaks / G. Fujii, H. Watanabe, T. Yamada, T. Ueta, M. Mizuno // Applied Physics Letters, 2013. - Vol. 102. - Iss. 25. - pp. 1-6.

91. Vial, B. Topology optimized all-dielectric cloak: design, performances and modal picture of the invisibility effect / B. Vial, Y. Hao // Optics Express, 2015. - Vol. 23. - Iss. 18. - pp. 551-560.

92. Zhou, S. Level-set based topology optimization for electromagnetic dipole antenna design / S. Zhou, W. Li, Q. Li // Journal of Computational Physics, 2010. - Vol. 229. - Iss. 19. - pp. 6915-6930.

93. Работнов, Ю. Н. Сопротивление материалов / Ю. Н. Работнов. - М.: Физматгиз, 1962. - 456 с.

94. Svanberg, K. On the convexity and concavity of compliances / K. Svanberg // Structural Optimization, 1994, Iss. 7. - pp. 42-46.

95. Sigmund, O. On the usefulness of non-gradient approaches in topology optimization / O. Sigmund // Structural and Multidisciplinary optimization. - 2011. - Vol. 43. - pp. 589-596.

96. Vanderplaats, G. An efficient feasible directions algorithm for design synthesis / G. Vanderplaats // AIAA Journal. - 1984. - Vol. 22. - pp. 1633-1640.

97. Kelley, J. E. The Cutting-Plane Method for Solving Convex Programs / J. E. Kelley, Jr. // Journal of SIAM. - 1960. - Vol. 8 - Iss. 4. - p. 703-712.

98. Luenberger, D. G. Linear and Nonlinear Programming / D. G. Luenberger, Y. Ye. Springer, 2008. - 551 p.

99. Schmit, L. A. Some Approximation Concepts for Structural Synthesis / L. A. Schmit, B. Farshi // AIAA Journal, 1974, Vol. 12, Iss. 5. - pp. 692-699.

100. Fleury, C. Structural optimization: a new dual method using mixed variables / C. Fleury, V. Braibant // International Journal for Numerical Methods in Engineering. -1986. - Vol. 23. p. 409-428.

101. Boyd, S. Convex Optimization / S. Boyd, L. Vandenberghe. - Cambridge University Press, 2004. - 730 p.

102. Фаддеев, Д. К. Лекции по алгебре / Д. К. Фаддеев. - М.: Наука, 1984. -

416 с.

103. Образцов, И. Ф. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов / И. Ф. Образцов, Л. М. Савельев, Х. С. Хазанов. - М.: Высшая школа, 1985. - 392 с.

104. Филин, А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. T. II. / A. П. Филин. - М.: Наука, 1978. - 616 с.

105. Боровков, А. И. Бионический дизайн / А. И. Боровков, В. М. Марусева, Ю. А. Рябов, Л. А. Щербинина. - Санкт-Петербург: Изд-во Политехнического унта, 2015. - 92 с.

106. Rao, J. S. Topology optimization of Aircraft Wing / J. S. Rao, S. Kiran, S. Chandra, J. V. Kamesh // Conf. Proceedings "Driving Innovation with Enterprise Simulation". - Troy: Altair Engineering. - 2008.

107. Beghini, L. Connecting architecture and engineering through structural topology optimization / L. L. Beghini, A. Beghini, N. Katz, W. F. Baker, G. H. Paulino // Engineering Structures. - 2014. - Iss. 59. - pp. 716 - 726.

108. Bruns, T. E. Topology optimization of non-linear elastic structures and compliant mechanisms / T. E. Bruns, D. A. Tortorelli // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 2001. - Vol. 190. - Iss. 26-27. - p. 3443-3459.

109. Bourdin, B. Filters in topology optimization / B. Bourdin // International Journal for Numerical Methods in Engineering. - 2001. - Vol. 50. - Iss. 9. - p. 21432158.

110. Sigmund, O. Morphology-based black and white filters for topology optimization / O. Sigmund // Structural and Multidisciplinary Optimization. - 2007. -Vol. 33. - Iss. 4. - p. 401-424.

111. Jain, R. Machine Vision / R. Jain, R. Kasturi, B. G. Schunck. - McGraw-Hill, 1995. - 549 p.

112. Mullender, M. G. A Physiological Approach to the Simulation of Bone Remodeling as a Self-Organization Control Process // Journal of Biomechanics, 1994. -Vol. 27, Iss. 11, pp. 1389-1394.

113. Leblond, J. B. Bifurcation Effects in Ductile Metals With Nonlocal Damage / J. B. Leblond, G. Perrin, J. Devaux // Journal of Applied Mechanics, 1994. - Vol. 61. -Iss. 2. - pp. 236-242.

114. Pereira, A. Checkerboard-free topology optimization using polygonal finite elements / A. Pereira, C. Talischi, I. F. M. Menezes, G. H. Paulino // Conf. Proceedings "XXXI CILAMCE". - 2010. - Vol. XXIX. - p. 1252-1534.

115. Комаров, В. А. Проектирование силовых аддитивных конструкций: теоретические основы / В. А. Комаров // Онтология проектирования. - 2017, T. 7, № 2(24). - с. 191-206.

116. Lewinski T., Zhou M., Rozvany G. I. N. Extended exact solutions for least-weight truss-layouts - Part I: Cantilever with horizontal axis of symmetry // International Journal of of Mechanical Sciences. 1994. Vol. 36. Iss. 5. P. 375-398.

117. Sigmung O., Aage N., Andreassen E. On the (non-)optimality of Michell structures // Structural and Multidisciplinary optimization. 2016. Vol. 54. Iss. 2. P. 361373.

118. Jones, R. M. Mechanics of composite materials / R. M. Jones. - Taylor & Francis, 1999.- 270 p.

119. Delgado, G. Shape and Topology Optimization of Composite Materials with the level-set method / G. Delgado, G. Allaire // Conf. proceedings "Inverse Problems, Control and Shape Optimization". - Palaiseau: Ecole Polytechnique. - 2012.

120. Coelho, P. G. Multiscale topology optimization of bi-material laminated composite structures / J. M. Guedes, H. C. Rodrigues // Composite structures. - 2015. -Vol. 132. - Iss. 15. - P. 353-359.

121. Комаров, В. А. Некоторые вопросы рационального проектирования и расчета силовых конструкций крыльев малого удлинения: дисс. канд. техн. наук. -КуАИ / Комаров Валерий Андреевич. - Куйбышев, 1968. - 211 с.

122. Rossow, M. P. A Finite Element Method for Optimal Design of Variable Thickness sheets / M. P. Rossow, J. E. Taylor // AIAA Journal. - 1973. - Vol. 11. - Iss. 11. - P. 1566-1569.

123. Комаров, В. А. Разработка инновационной технологии конструирования летательных аппаратов с использованием высокоточного математического моделирования и концепции CALS: отчет о НИР / В. А. Комаров, А. В. Болдырев и др. - Самара: СГАУ, 2010. - 98 с.

124. Данилин, А. И. Рациональное проектирование тонкостенных конструкций с учетом требования жесткости: дисс. докт. техн. наук. - СГАУ / Данилин Александр Иванович. - Самара, 1995. - 368 с.

125. Kelly, D. W. An algorithm for defining load paths and a load bearing topology in finite element analysis / D. W. Kelly, C. A. Reidsema, M. C. W. Lee // International Journal for CAE and Software. - 2011. - Vol. 28. - Iss. 2. - p. 196-214.

126. Максимов, П. В. Анализ методов доработки конечно-элементной модели после топологической оптимизации / П. В. Максимов, К. В. Фетисов // Международный научно-исследовательский журнал. - 2016. - № 9(51), ч. 2. - С. 5860.

127. Dean, A. STL - формат для быстрого прототипирования / A. Dean // CAD/CAM/CAE Observer. - 2005. - № 5. - с. 64-69.

128. Данилин, А. И. Методы оптимизации / А. И. Данилин, Самара: СГАУ, 2011. - 66 с.

129. Ендогур, А. И. Проектирование авиационных конструкций / А. И. Ендогур.-М.:МАИ-ПРИНТ, 2009.-540 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

Сообщения об ошибках программы по топологической оптимизации и способы их

устранения

• This model requires more scratch space - insufficient memory. Check 'Memory' parameters in 'Solver setting'. Возникает при недостатке памяти на компьютере. Решается искусственным

ограничением памяти в разделе Solver Settings

-

Рисунок А.1 - Пример ограничения на размер используемой памяти

• There is at least 1 small equation solver pivot term. Please check for an insufficiently constrained model.

• A rigid body motion has occured. Please check for an insufficiently constrained model.

• A large negative pivot value has been encountered in the global assembled matrix. Try to encrease volume fraction and check constraints.

Наиболее вероятной причиной всех трёх сообщений, приведённых выше, является некорректное, недостаточное закрепление модели (конструкция -механизм). Другой вариант - чрезмерно малая жёсткость «вырожденных» элементов. Минимальное значение плотности можно увеличить, например, в 10 раз.

• Another ANSYS job with the same job name (file) is already running in this directory. Close another ANSYS session.

Открыта программа ANSYS Mechanical APDL с моделью, имя которой совпадает с именем оптимизируемой. Её необходимо закрыть и перезапустить расчёт.

• The program is unable to open output file. If you use a C: root directory, try to create arbitrary subfolder.

Указан несуществующий путь для файла-отчета (Path to output file). Во избежание возможных проблем с правами администратора в операционной системе Windows, рекомендуется не использовать системный диск (как правило, C:). В противном случае, необходимо создать произвольную поддиректорию.

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Программа топологической оптимизации _по критерию минимума энергии деформации (язык APDL)

ESEL,ALL

*VGET,EL_ALL,ELEM,,ELIST,, *GET,NE_ALL,PARM,EL_ALL,DIM,1

CMSEL,S,OPT_BODY

*VGET,EL,ELEM,,ELIST,,

*GET,NE,PARM,EL,DIM,1

ISELECT NON-OPT BODIES ESEL,INVE

*VGET,NON_OPT_EL,ELEM,,ELIST,,

*GET,NON_OPT_NE,PARM,NON_OPT_EL,DIM,1

CMSEL,S,OPT_BODY

IIIIIIIIIIIIIIII

IT=35

P = 3.0

P_INC = 1.0

F = 0.5

EPS = 0.0005

EPS_ENERGY=1E-4

LS_NUM=1

MU = 0.2

DENS_MIN = 1E-3

MIN_MEMB_SIZE_CONSTR = 1.0

GAMMA_FASTER = 1.5

GAMMA_SLOWER = 0.7

STEP = 0.05

*DIM,ELEM_VOLUME,ARRAY,NE

*DIM,DENSITY,ARRAY,NE

*DIM,NEW_DENSITY, ARRAY, NE

*DIM,STRESS,ARRAY,NE

*DIM,ENERGY,ARRAY,NE

*DIM,INV,ARRAY,NE_ALL

*DIM,ENERGY_TOTAL,ARRAY,IT

*DIM,ALPHA,ARRAY,NE

*DIM,BETA,ARRAY,NE

*DIM,ONES,ARRAY,NE

*DIM,TETA_PROBES,ARRAY,3

*DIM,STEP_GOAL_FUNC_VALUES,ARRAY,3

*GET,MAT_NUM,ELEM,EL(1),ATTR,MAT *GET,DENS_0,DENS,MAT_NUM

DENS_0=2.7E-06

R_MIN=0.2 IMINIMUM MEMBER SIZE MIN_STIFF=0.0001

*DO,K,1,NE

INV(EL(K))=K

ONES(K) = 1.0

*ENDDO

*VGET,EL_CENT_X,ELEM,1,CENT,X *VGET,EL_CENT_Y,ELEM,1,CENT,Y *VGET,EL_CENT_Z,ELEM,1,CENT,Z IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

IASSIGN INDIVIDUAL MAT PROPS

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

/PREP7 *VMASK,INV

*VGET,ELEM_VOLUME_,ELEM,1,GEOM *VMASK,INV

*VFUN,ELEM_VOLUME,COMP,ELEM_VOLUME_ *VSCFUN,V,SUM,ELEM_VOLUME

*GET,MATERIAL,ELEM,EL(1),ATTR,MAT *GET,E_X,EX,MATERIAL *GET,NU_XY,NUXY,MATERIAL DENS_G = 2.7E-6

*DO,K,1,NE

MP,DENS,EL(K)+1G1,F*DENS_G MP,EX,EL(K)+1G1,E_X*(F**P) MP,NUXY,EL(K)+1G1,NU_XY

EMODIF,EL(K),MAT,EL(K)+1G1

*ENDDO FINISH

*IF,MIN_MEMB_SIZE_CONSTR,EQ,1,THEN *DIM,H_MATR,ARRAY,NE,NE

*DO,K,1,NE

CMSEL,S,OPT_BODY

ESEL,R,CENT,X,EL_CENT_X(EL(K))-R_MIN,EL_CENT_X(EL(K))+R_MIN ESEL,R,CENT,Y,EL_CENT_Y(EL(K))-R_MIN,EL_CENT_Y(EL(K))+R_MIN

ESEL,R,CENT,Z,EL_CENT_Z(EL(K))-R_MIN,EL_CENT_Z(EL(K))+R_MIN

*VGET,EL_NEIGH_TEMP,ELEM,,ELIST,, *GET,NE_NEIGH_TEMP,PARM,EL_NEIGH_TEMP,DIM,1

*DO,I,1,NE_NEIGH_TEMP

H_MATR(K,INV(EL_NEIGH_TEMP(I)))=MAX(G,R_MIN-SQRT((EL_CENT_X(EL(K))-EL_CENT_X(EL_NEIGH_TEMP(I)))**2+(EL_CENT_Y(EL(K))-EL_CENT_Y(EL_NEIGH_TEMP(I)))**2+(EL_CENT_Z(EL(K))-EL_CENT_Z(EL_NEIGH_TEMP(I)))**2)) *ENDDO

*DEL,EL_NEIGH_TEMP,,NOPR

*DEL,NE_NEIGH_TEMP

*ENDDO

ESEL,ALL

*ENDIF

*CFOPEN,D:\OUTPUT1,DAT ! PATH TO OUTPUT FILE

*VWRITE,'FV',F*V

(A4,E12.4) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!SOLVING !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

P = 3.0

*DO,J,1,IT

ESEL,ALL

/SOLU

LSSOLVE,1,LS NUM

FINISH

!!!!FOR SECOND ORDER DERIVATIVE!!!!!!

*IF,J,GT,1,THEN

*DEL,DU DRHO PREV,,NOPR

*DEL,DENSITY PREV,,NOPR

*VOPER,DU DRHO PREV,DU DRHO,ADD,0. 0

*VOPER,DENSITY PREV,DENSITY,ADD,0. 0

*ENDIF

!!!!END FOR SECOND ORDER DERIVATIVE!!!!! !

/PREP7

*DO,K,1,NE

*GET,DENSITY(K),DENS,EL(K)+101

*ENDDO

*VOPER,DENSITY,DENSITY,DIV,DENS 0

FINISH

/POST1

*VOPER,ENERGY,ENERGY,MULT,0 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !!!!!

!POST-PROCESSING !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

ETABLE,REFL

*DO,I,1,LS NUM

SET,I

ETABLE,ENER T%I%,SENE

!GET ENERGY FROM ALL LOAD STEPS

*VGET,ENERGY LS ,ELEM,1,ETAB,ENER rn O T O T%I%

*VMASK,INV

*VFUN,ENERGY LS,COMP,ENERGY LS

*VOPER,ENERGY,ENERGY,ADD,ENERGY LS

*ENDDO

FINISH

/PREP7

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

ISENSITIVITY ANALYSIS !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

*VOPER,DU_DRHO,ENERGY,MULT,ELEM_VOLUME

*VOPER,DU_DRHO,DU_DRHO,DIV,DENSITY

*VOPER,DU_DRHO,DU_DRHO,MULT,-P

ENERGY_TOTAL(J)=0 *DO,K,1,NE

ENERGY_TOTAL(J)=ENERGY_TOTAL(J)+ENERGY(K)*DENSITY(K)*ELEM_VOLUME(K) *ENDDO

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! !SENSITIVITY FILTERING !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!MINIMUM MEMBER SIZE CONSTRAINTS *IF,MIN_MEMB_SIZE_CONSTR,EQ,1,THEN *IF,R_MIN,NE,0,THEN

*VOPER,DU_DRHO_RHO,DU_DRHO,MULT,DENSITY

*MOPER,H_DU_DRHO_RHO,H_MATR,MULT,DU_DRHO_RHO

*MOPER,H_ONES,H_MATR,MULT,ONES

*VOPER,DU_DRHO,H_DU_DRHO_RHO,DIV,H_ONES

*VOPER,DU_DRHO,DU_DRHO,DIV,DENSITY

*ENDIF

*ENDIF

!!!!!!!!!!END OF MINIMUM MEMBER SIZE CONSTRAINTS LAMBDA = 0.0

*VOPER,ALPHA,DENSITY,SUB,MU*(1.0-DENS_MIN)

*VOPER,ALPHA,ALPHA,MAX,DENS_MIN

*VOPER,BETA,DENSITY,ADD,MU*(1.0-DENS_MIN)

*VOPER,BETA,BETA,MIN,1.0

*VOPER,NEW_DENSITY,BETA,ADD,0.0

*DEL,RHO_V,,NOPR *DEL,RHO_V_,,NOPR

*VOPER,RHO_V_,NEW_DENSITY,MULT,ELEM_VOLUME *VSCFUN,RHO_V,SUM,RHO_V_

G_0 = (RHO_V - F*V)/(F*V)

*IF,G_0,GE,0.0 01,THEN

TETA_PROBES(1:3) = 1E9

STEP_GOAL_FUNC_VALUES(1:3) = 1E9

STEP_LOOPS_NUM = 3

TETA_MAX = 100

GR = (SQRT(5.0)+1)/2

ACTIVE_LAMBDA_FLAG = 1.0

*DO,U,1,100

*DO,STEP_LOOP,1,STEP_LOOPS_NUM A = 0.0

B = MIN(10**(STEP LOOP-1), TETAMAX)

C = B - (B - A)/GR D = A + (B - A)/GR

*DO,GR_LOOP,1,100

*IF,ACTIVE_LAMBDA_FLAG,EQ,1,THEN

LAMBDA_NEW = MAX(0.0, LAMBDA + C*G_0)

*ENDIF

*VOPER,NEW_DENSITY,DU_DRHO,DIV,ELEM_VOLUME

*VOPER,NEW_DENSITY,NEW_DENSITY,MULT,(-F*V)

*VOPER,NEW_DENSITY,NEW_DENSITY,DIV,LAMBDA_NEW

*VFUN,NEW_DENSITY,SQRT,NEW_DENSITY

*VOPER,NEW_DENSITY,DENSITY,MULT,NEW_DENSITY

*VOPER,GRAD_L_ALPHA,DENSITY,DIV,ALPHA *VOPER,GRAD_L_ALPHA,GRAD_L_ALPHA,MULT,GRAD_L_ALPHA *VOPER,GRAD_L_ALPHA,DU_DRHO,MULT,GRAD_L_ALPHA *VOPER,LAMBDA_V,ELEM_VOLUME,MULT,LAMBDA_NEW *VOPER,LAMBDA_V,LAMBDA_V,DIV,(F*V) *VOPER,GRAD_L_ALPHA,GRAD_L_ALPHA,ADD,LAMBDA_V

*VOPER,GRAD_L_BETA,DENSITY,DIV,BETA

*VOPER,GRAD_L_BETA,GRAD_L_BETA,MULT,GRAD_L_BETA *VOPER,GRAD_L_BETA,DU_DRHO,MULT,GRAD_L_BETA *VOPER,LAMBDA_V,ELEM_VOLUME,MULT,LAMBDA_NEW *VOPER,LAMBDA_V,LAMBDA_V,DIV,(F*V) *VOPER,GRAD_L_BETA,GRAD_L_BETA,ADD,LAMBDA_V

*VOPER,MASK,GRAD_L_ALPHA,GE,0.0 *VMASK,MASK

*VOPER,NEW_DENSITY,ALPHA,ADD,0.0

*VOPER,MASK,GRAD_L_BETA,LE,0.0

*VMASK,MASK

*VOPER,NEW_DENSITY,BETA,ADD,0.0

*DEL,RHO_V,,NOPR *DEL,RHO_V_,,NOPR

*VOPER,RHO_V_,NEW_DENSITY,MULT,ELEM_VOLUME *VSCFUN,RHO_V,SUM,RHO_V_

G = (RHO_V - F*V)/(F*V)

PSI_C = 0.0

*IF,LAMBDA,GE,0.0 01,OR,G,GE,-0.0 01,THEN PSI_C = ABS(G)

*ENDIF

*IF,ACTIVE_LAMBDA_FLAG,EQ,1,THEN

LAMBDA_NEW = MAX(0.0, LAMBDA + D*G_0)

*ENDIF

*VOPER,NEW_DENSITY,DU_DRHO,DIV,ELEM_VOLUME *VOPER,NEW_DENSITY,NEW_DENSITY,MULT,(-F*V) *VOPER,NEW_DENSITY,NEW_DENSITY,DIV,LAMBDA_NEW *VFUN,NEW_DENSITY,SQRT,NEW_DENSITY *VOPER,NEW_DENSITY,DENSITY,MULT,NEW_DENSITY

*VOPER,GRAD_L_ALPHA,DENSITY,DIV,ALPHA *VOPER,GRAD_L_ALPHA,GRAD_L_ALPHA,MULT,GRAD_L_ALPHA *VOPER,GRAD_L_ALPHA,DU_DRHO,MULT,GRAD_L_ALPHA *VOPER,LAMBDA_V,ELEM_VOLUME,MULT,LAMBDA_NEW *VOPER,LAMBDA_V,LAMBDA_V,DIV,(F*V) *VOPER,GRAD_L_ALPHA,GRAD_L_ALPHA,ADD,LAMBDA_V

*VOPER,GRAD_L_BETA,DENSITY,DIV,BETA *VOPER,GRAD_L_BETA,GRAD_L_BETA,MULT,GRAD_L_BETA *VOPER,GRAD_L_BETA,DU_DRHO,MULT,GRAD_L_BETA *VOPER,LAMBDA_V,ELEM_VOLUME,MULT,LAMBDA_NEW *VOPER,LAMBDA_V,LAMBDA_V,DIV,(F*V) *VOPER,GRAD_L_BETA,GRAD_L_BETA,ADD,LAMBDA_V

*VOPER,MASK,GRAD_L_ALPHA,GE,0.0 *VMASK,MASK

*VOPER,NEW_DENSITY,ALPHA,ADD,0.0

*VOPER,MASK,GRAD_L_BETA,LE,0.0

*VMASK,MASK

*VOPER,NEW_DENSITY,BETA,ADD,0.0

*DEL,RHO_V,,NOPR *DEL,RHO_V_,,NOPR

*VOPER,RHO_V_,NEW_DENSITY,MULT,ELEM_VOLUME *VSCFUN,RHO_V,SUM,RHO_V_

G = (RHO_V - F*V)/(F*V)

PSI_D = 0.0

*IF,LAMBDA,GE,0.0 01,OR,G,GE,-0.0 01,THEN PSI_D = ABS(G)

*ENDIF

*IF,PSI_C,LE,PSI_D,THEN B = D

*ELSE

A = C *ENDIF

C = B - (B - A)/GR D = A + (B - A)/GR

*IF,ABS(C-D),LE,0.0001,THEN *EXIT

*ENDIF

*ENDDO !END GOLDEN SECTION SUB-LOOP

TETA_PROBES(STEP_LOOP) = G.5*(A+B)

STEP_GOAL_FUNC_VALUES(STEP_LOOP) = G.5*(PSI_C+PSI_D) *ENDDO IEND GOLDEN SECTION LOOP

STEP_LOOP_OPT_ID = 1 STEP_GOAL_FUNC_MIN = STEP_GOAL_FUNC_VALUES(1) *DO,STEP_LOOP,1,STEP_LOOPS_NUM

*IF,STEP_GOAL_FUNC_VALUES(STEP_LOOP),LE,STEP_GOAL_FUNC_MIN,THEN

STEP_LOOP_OPT_ID = STEP_LOOP

*ENDIF

*ENDDO

TETA = TETA_PROBES(STEP_LOOP_OPT_ID) *IF,ACTIVE_LAMBDA_FLAG,EQ,1,THEN

LAMBDA_NEW = MAX(G.G, LAMBDA + TETA*G_G)

*ENDIF

*IF,LAMBDA,GE,G.GG1,THEN

ACTIVE_LAMBDA_FLAG = 1

*ELSE

ACTIVE_LAMBDA_FLAG = G *ENDIF

LAMBDA = LAMBDA_NEW

*IF,U,GE,2,THEN

G_PREV = ABS(G)

*ELSE

G_PREV = G_G

*ENDIF

*VOPER,NEW_DENSITY,DU_DRHO,DIV,ELEM_VOLUME

*VOPER,NEW_DENSITY,NEW_DENSITY,MULT,(-F*V)

*VOPER,NEW_DENSITY,NEW_DENSITY,DIV,LAMBDA_NEW

*VFUN,NEW_DENSITY,SQRT,NEW_DENSITY

*VOPER,NEW_DENSITY,DENSITY,MULT,NEW_DENSITY

*VOPER,GRAD_L_ALPHA,DENSITY,DIV,ALPHA

*VOPER,GRAD_L_ALPHA,GRAD_L_ALPHA,MULT,GRAD_L_ALPHA

*VOPER,GRAD_L_ALPHA,DU_DRHO,MULT,GRAD_L_ALPHA

*VOPER,LAMBDA_V,ELEM_VOLUME,MULT,LAMBDA_NEW

*VOPER,LAMBDA_V,LAMBDA_V,DIV,(F*V)

*VOPER,GRAD_L_ALPHA,GRAD_L_ALPHA,ADD,LAMBDA_V

*VOPER,GRAD_L_BETA,DENSITY,DIV,BETA

*VOPER,GRAD_L_BETA,GRAD_L_BETA,MULT,GRAD_L_BETA

*VOPER,GRAD_L_BETA,DU_DRHO,MULT,GRAD_L_BETA

*VOPER,LAMBDA_V,ELEM_VOLUME,MULT,LAMBDA_NEW

*VOPER,LAMBDA_V,LAMBDA_V,DIV,(F*V)

*VOPER,GRAD_L_BETA,GRAD_L_BETA,ADD,LAMBDA_V

*VOPER,MASK,GRAD_L_ALPHA,GE,G.G *VMASK,MASK

*VOPER,NEW_DENSITY,ALPHA,ADD,G.G

*VOPER,MASK,GRAD_L_BETA,LE,G.G

*VMASK,MASK

*VOPER,NEW DENSITY,BETA,ADD,G.G

*DEL,RHO V,,NOPR

*DEL,RHO V ,,NOPR

*VOPER,RHO V ,NEW DENSITY,MULT,ELEM VOLUME

*VSCFUN,RHO V,SUM,RHO V

G = (RHO V - F*V)/(F*V)

GO = G

*IF,ABS(G),LE,0.005,OR,ABS((G PREV-G)/G PREV),LE, 1E-15,THEN

*EXIT

*ENDIF

*ENDDO !END DUAL PROBLEM LOOP

*ENDIF

ENERGY TOTAL J=ENERGY TOTAL(J) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!ASSIGN NEW MAT PROPERTIES !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

*DO,K,1,NE

MP,EX,EL(K)+101,E X*(NEW DENSITY(K)**P)

MP,DENS,EL(K)+101,NEW DENSITY(K)*DENS 0

*ENDDO

FINISH !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

!POST-PROCESSING !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

/POST1