Генерация магнитных полей турбулентными потоками проводящей среды тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, доктор физико-математических наук Степанов, Родион Александрович

• Степанов, Родион Александрович
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Степанов, Родион Александрович

Введение

1 Кинематическая генерация магнитного поля средним потоком

1.1 Уравнения магнитной гидродинамики.

1.2 Винтовое динамо в реальных условиях

1.2.1 Двухмерная постановка задачи.

1.2.2 Результаты численного решения.

1.3 Динамо в нестационарном и неоднородном поле скорости . 30 1.3.1 Численное решение в цилиндрической геометрии

1.4 Винтовое динамо в торе.

1.4.1 Постановка задачи и метод решения.

1.4.2 Результаты.

1.5 Динамо в канале в форме листа Мёбиуса.

1.5.1 Математическая постановка.

1.5.2 Результаты расчетов.

1.6 Выводы по главе.

2 Турбулентная электродвижущая сила

2.1 Турбулентная электродвижущая сила в винтовом потоке

2.1.1 Структура средней электродвижущей силы £

2.1.2 Вычисление средней электродвижущей силы £

2.2 Влияние турбулентности на винтовое динамо.

2.2.1 Оценка эффектов турбулентности.

2.2.2 Влияние турбулентности на порог генерации

2.3 Выводы по главе.

3 Мелкомасштабное динамо

3.1 Каскадные модели МГД-турбулентности

3.2 МГД-турбулентность при малых значениях магнитного числа Прандтля

3.3 Нелокальные взаимодействия в МГД-турбулентности

3.3.1 Построение модели.

3.3.2 Потоки энергии.

3.4 Сценарий насыщения турбулентного динамо.

3.5 МГД-турбулептность в условия высокой перекрестной спи-ральности.

3.5.1 Феноменологические представления.

3.5.2 Каскадная модель МГД-турбулентности с новым определением спиральности

3.5.3 Численные результаты.

3.6 Каскад гидродинамической спиральности.

3.6.1 Феноменология.

3.6.2 Численные эксперименты.

3.7 Каскад магнитной энергии под действием эффекта Холла

3.8 Оптимизация процедуры численного решения.

3.9 Выводы.

4 Комбинированные модели астрофизического динамо

4.1 а2-динамо.

4.1.1 Сопряжение крупномасштабных и мелкомасштабных переменных.

4.1.2 Результаты численного решения.

4.1.3 Нелинейная стабилизация динамо.

4.1.4 Роль магнитной составляющей в а-эффект.

4.1.5 а2-динамо при малых числах Рейнольдса.

4.2 аП-динамо

4.2.1 Сопряжение средних и турбулентных полей.

4.2.2 Проблема алайнмента.

4.2.3 Численные результаты.

4.3 Выводы.

5 Интерпретация данных радионаблюдений

5.1 Анализ анизотропных структур

5.1.1 Анизотропный корреляционный вейвлет-анализ

5.1.2 Спиральные рукава в распределениях пыли, газа и магнитного поля в галактике М51.

5.2 Вейвлет-томография.

5.2.1 Дифференцирующий вейвлет.

5.2.2 Методы численного дифференцирования.

5.2.3 Галактическое магнитное поле.

5.3 Статистический метод обнаружения магнитной спиральности в межзвездной среде.

5.3.1 Модель межзвездной среды.

5.3.2 Корреляционный анализ.

5.4 Выводы

6 Экспериментальные исследования элементов динамо-цик

6.1 Адвективное вращение внешнего магнитного поля.

6.1.1 Экспериментальная установка и измерения.

6.2 а-эффект.

6.2.1 Тороидальное наложенное поле.

6.3 /^-эффект.

6.3.1 Анализ результатов

6.4 Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Генерация магнитных полей турбулентными потоками проводящей среды»

Объект исследования и актуальность проблемы.

Магнитные поля существуют не только у компактных астрофизических объектов, таких как планеты и звезды, они также наблюдаются повсюду во Вселенной, в межзвездном пространстве, и могут быть свойственны галактикам и галактическим кластерам. Речь идет о магнитном поле, возникающем в процессе эволюции системы, которая имеет в своем составе сплошную электропроводящую среду, такую как жидкий металл или плазма. Описание генерации космических магнитных полей остается важнейшей фундаментальной проблемой магнитной гидродинамики (МГД). Большой интерес к этой проблеме объясняется особой ролью магнитных полей в формировании ионосферы Земли, изменениях солнечной активности, звездообразовании в галактических дисках и многих других процессах и явлениях. Затрагиваемый круг проблем находится в очень широком диапазоне: от проектирования жидкостных систем охлаждения ядерных реакторов до создания космологических теорий Вселенной.

Происхождение и эволюция космических магнитных полей в основном объясняется теорией динамо, систематическое изложение которой можно найти в монографиях Паркера и Моффата. Важной особенностью маг-нитногидродинамических систем, в которых возможно самовозбуждение магнитного поля, является турбулентный характер движения проводящей среды. Именно турбулентность совместно с факторами открытых границ системы и существенной трехмерности явления динамо делает задачу не решаемой в общей постановке. Фундаментальным шагом в развитии науки о природе магнитных полей гидродинамических систем послужило создание теории среднего поля в электродинамике (Краузе и Рэд-лер). Аналогично подходу Рейнольдса в гидродинамике, магнитное поле раскладывалось на крупномасштабную составляющую, которая описывалась уравнениями для осредненных переменных, и мелкомасштабную составляющую, влияние которой учитывалось через эффективные турбулентные коэффициенты. В результате такого подхода был открыт так называемый си-эффект - механизм генерации крупномасштабного поля за счет мелкомасштабной МГД-турбулептности. В последние десятилетия был достигнут значительный прогресс в построении теоретических моделей динамо, прямом численном моделировании, экспериментальном подтверждении основ теории динамо и интерпретации астрофизических наблюдений. Одновременно с этим обозначился ряд трудностей применения теории среднего поля для решения определенного круга актуальных проблем.

На начальных этапах построения теории особое внимание привлекало изучение условий возникновения динамо-эффекта, а именно влияние параметров системы на порог генерации. Среднее поле скорости способно самостоятельно вызвать неустойчивость крупномасштабного магнитного поля без учета турбулентности. Однако количественная оценка критических характеристик в значительной степени зависит от всех деталей задачи. Наиболее актуальна эта проблема при планировании, проведении и анализе результатов динамо-экспериментов.

Генерация магнитного поля за счет а-эффекта является далеко не единственным механизмом. Неоднородность турбулентности совместно с общим вращением и сдвиговыми средними потоками среды также влияют в среднюю турбулентную электродвижущую силу. Для определения преобладающего механизма необходим анализ всех даже самых экзотических возможностей. При равных вкладах двух механизмов генерации в динамо-процесс они могут приводить к усилению или же ослаблению друг друга. Тогда доминирующим может стать изначально более слабый эффект, который и будет определять условия генерации и структуру магнитного поля.

Использование результатов теории среднего поля при построении динамо-моделей разнообразных космических объектов требует соответствующих количественных оценок турбулентных коэффициентов. Даже в самых простых случаях необходимо знать статистические характеристики мелкомасштабного поля. Как правило, колмогоровские представления о развитой гидродинамической турбулентности обобщаются на МГД. Однако в реальности магнитное поле, обладая собственным интегралом движения - магнитной спиральностыо, делает процессы переноса энергии и спиральности по спектру значительно более сложными для анализа. Экспериментальная верификация соотношений теории среднего поля наряду с возможностями численного моделирования МГД-турбулентности является актуальной задачей.

По мере того как теория динамо продвигалась от решения задач об условиях возникновения динамо-процесса к задачам о заключительном состоянии, стало понятно, что необходимо учитывать обратное действие крупномасштабного магнитного поля на мелкомасштабные поля. Возникшая трудность описания насыщения генерации и стабилизации магнитного поля обусловлена существенной нелинейностью этих процессов. Если воздействие магнитного поля на среднее поле скорости может быть определено в рамках уравнений среднего поля, то для описания воздействия на мелкомасштабное поле необходимо введение мелкомасштабных переменных и их динамической связи с крупномасштабными. Таким образом, актуальной проблемой является построение самосогласованных определяющих соотношений, которые позволят сформулировать адекватную математическую модель дипамо-процесса.

Использование теоретических результатов для объяснения характера и структуры магнитных полей в реальных астрофизических объектах предполагает наличие достоверных наблюдательных данных. Однако измерение космических магнитных полей в большинстве случаев возможно только косвенным путем. К примеру, сравнительный анализ существующих работ по интерпретации данных наблюдений магнитного поля нашей Галактики показывает расхождения не только в количественных оценках, но и в выводах относительно общей геометрической структуры. В получаемых результатах определяющую роль играет выбор данных и техники обработки. Для проведения объективного анализа необходимо использовать методы, которые не содержат большого числа подгоночных параметров и позволяют получать результаты, устойчивые к вариации данных наблюдений. Очевидно, что развитие методов и подходов обработки наблюдательных данных и их интерпретации должно идти встречным курсом с развитием теории.

Цель работы состоит в формировании самосогласованных представлений об условиях и характере процессов генерации магнитных полей в условиях турбулентности с использованием единой основы - построение теоретических и численных моделей, интерпретация экспериментальных измерений и астрофизических наблюдений.

Задачи диссертационной работы состоят в: а) определении зависимости порога генерации магнитного поля в среднем винтовом потоке проводящей жидкости, организованном в тороидальном канале, от проводимости окружающей среды и пространственно-временных характеристик среднего поля скорости; б) выводе соотношений теории среднего поля для турбулентной электродвижущей силы, возникающей в условиях общего вращения и произвольного тензора градиента среднего поля скорости; в) исследовании характера совместного действия генерационных механизмов винтового поля скорости и мелкомасштабной турбелентно-сти; г) развитии аппарата каскадных моделей МГД-турбулентности с целью описания динамики мелкомасштабных кинетических и магнит-пых полей, потоков энергии по спектру, роли нелокальных взаимодействий, а также нелинейных сценариев насыщения мелкомасштабного динамо; д) построении и численном анализе комбинированной модели динамо, описывающей взаимодействие крупномасштабных и мелкомасштабных полей; е) разработке методов обработки и интерпретации наблюдательных данных галактических магнитных полей; ж) планировании и теоретическом подготовке экспериментальных исследований элементов динамо, компьютерной обработке проведенных измерений и их физической оценке;

Методы исследований. Основу используемых математических моделей составляют уравнения магнитной гидродинамики. Влияние мелкомасштабной турбулентности на эволюцию крупномасштабного магнитного поля описывается через турбулентную электродвижущую силу. Турбулентные эффекты устанавливаются в рамках теории среднего поля с помощью корреляционного анализа в приближении второго порядка. Определяющие соотношения обратной реакции крупномасштабных полей на свойства мелкомасштабных переменных получены из "первых принципов" - законов сохранения для МГД-системы. Динамика мелкомасштабных полей в широком спектральном диапазоне описана с использованием каскадных моделей турбулентности. Решения поставленных задач были получены численно. Ресурсозатратные расчеты выполнены на многопроцессорных вычислительных комплексах. Основным математическим методом обработки данных экспериментальных измерений и астрофизических наблюдений является спектрально-временной анализ сигналов, базирующийся на непрерывном прямом и обратном вейвлет-преобразовании.

Научная новизна заключается в следующем: а) получены характеристики винтового динамо в замкнутом канале с учетом основных факторов, влияющих на генерацию; б) впервые получено полное аналитическое выражение для средней турбулентной электродвижущей силы, возникающей при наличии общего вращения и произвольного сдвигового среднего потока в условиях однородной и неоднородной турбулентности; в) впервые показан характер изменения критического значение магнитного числа Рейнольдса при малых значениях магнитного числа Прандтля и нелокальный характер взаимодействий структур различных масштабов при больших значениях магнитного числа Прандтля. Предложено феноменологическое описание процесса насыщения мелкомасштабного динамо; г) построена новая комбинированная модель а2- и аП-динамо, описывающая динамическое взаимодействие крупномасштабных и мелкомасштабных полей на основе "первых принципов" магнитной гидродинамики; д) разработаны и применены новые методы обработки и подходы к интерпретации наблюдательных данных; е) впервые получены экспериментальные результаты генерации магнитных полей в турбулентных потоках проводящих металлов, согласующиеся с положениями теории среднего поля;

Обоснованность и достоверность полученных в работе результатов обеспечена строгой математической постановкой задач, применением математически обоснованных методов решения, проверкой численных алгоритмов на задачах имеющих точные решения, детальным анализом тестовых примеров, сравнением с результатами, полученными другими авторами.

Научно-практическое значение полученных результатов. Все решенные задачи являются фрагментами единого методологического подхода к описанию процесса генерации магнитного поля в турбулентной многомасштабной среде. Предложенные методы моделирования динамо-процессов могут использоваться для широкого круга задач. Проведен комплекс вычислительных работ, результаты которых обосновывают возможность проведения уникального динамо-эксперимента в винтовом потоке в тороидальном канале. Предложенные методы обработки данных и их интерпретаций могут применяться для анализа хаотического поведения различных систем. По данным самого крупного международного каталога научных публикаций "Web of Science" опубликованные результаты диссертационной работы имеют более 130 цитирований.

Апробация работы. По теме диссертации опубликовано 49 печатных работ, в том числе 28 статей в изданиях, рекомендованных ВАК, 20 -в прочих научных изданиях и в трудах международных и российских научных конференций, а также получен 1 патент РФ. Основные результаты диссертации изложены в работах [1-29], список которых приведен в конце автореферата.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на российских и международных конференциях: "European Turbulence Conférence" (2004, 2007, 2009); "Оптические методы измерения потоков" (2009); "Fluxes and Structures in Fluids: Physics of Geospheres" (2009); "Зимняя школа по механике сплошных сред" (1995, 1997, 1999, 2003, 2005, 2007, 2009); "Fundamental and applied MHD" (2000, 2002, 2005, 2008); VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (2001), "Mode Conversion, Coherent Structures and Turbulence" (2004).

На защиту выносятся теоретические положения, связанные с разработкой новых математических моделей генерации магнитных полей в условиях турбулентности, а также методы обработки экспериментальных и наблюдательных данных и результаты их интерпретации.

Личный вклад автора. Автору диссертации принадлежит разработка математических моделей рассматриваемых явлений, выбор и отладка численных алгоритмов решения задач. Лично автором или при его непосредственном участии поставлены задачи диссертации, определены методы решения, получены основные теоретические и экспериментальные результаты, а также выполнена их интерпретация. Из работ в соавторстве на защиту выносятся результаты, в получении которых автор принимал непосредственное участие. Личным достижением автора является последовательное проведение комплексного исследования, включающего теоретические, численные и экспериментальные работы, направленные на решение поставленных задач. Выводы по диссертации сделаны лично автором.

Связь исследований с научными программами. Работы по тематике диссертации проводились при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 99-01-00362-а, 01-01-96482-р-урал-а, 03-02-04031-ННИС)-а, 06-01-00234-а, 07-01-92160-НЦНИ-а, 07-01-96007-р-урал-а), Американского фонда гражданских исследований и развития (грант молодым ученым №У2-Р-09-02), Программы поддержки молодых ученых (грант Президента РФ МК-4338.2007.1), Фонда содействия отечественной науке.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Список использованных источников содержит 240 наименований. Общий объем диссертации составляет 340 страниц, включая 7 таблиц и 54 рисунка, которые размещены по месту ссылок внутри основного текста. Первая глава диссертации содержит ре

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Степанов, Родион Александрович

6.4 Выводы

Рассмотрен вопрос об индукционных механизмах, возникающих при внешнем наложенном магнитом поле. Обработка экспериментальных данных позволила воссоздать полую трехмерную структуру магнитного поля, индуцированного вокруг тороидального канала. Было показано, что винтовое течение эффективно вытягивает магнитные силовые линии вдоль канала и частично поворачивает вокруг его внутренней оси тора. Анализ нестационарного поведения индуцированного поля дал возможность проследить характер распространения фронта завихренности.

Разработана и проведена серия экспериментов, позволившая провести прямые измерения магнитного поля, вызванного индуцированными токами в направлении внешнего наложенного магнитного поля. Характер полученных сигналов указывает на турбулентную природу полученных индукционных эффектов. Наиболее вероятным объяснением полученных результатов является действие сь-эффекта, возникающего на фоне градиента турбулентных пульсаций и завихренности в направлении внешнего поля. Экспериментальным результатам дано адекватное теоретическое описание, согласующееся также своими количественными оценками измеренного эффекта.

Впервые проведены прямые измерения эффективной проводимости (магнитной вязкости) в турбулентном потоке жидкого металла. Нестационарный турбулентный поток сплава галлия возбуждался в замкнутом тороидальном канале с диэлектрическими стенками. Пиковые значения числа Рейнольдса достигали значения Ие ~ 106, что соответствует магнитному числу Рейнольдса Иш « 1. Проводимость металла в канале определялась по сдвигу фаз вынужденных гармонических колебаний в последовательном колебательном контуре, индуктивностью которого являлась намотанная на канал тороидальная катушка. Максимальное отклонение эффективной проводимости турбулентной среды от омической проводимости металла составило порядка 1%.

Заключение

Главными результатами диссертационной работы: а) В задаче о винтовом динамо установлена зависимость критических параметров от всех основных факторов, влияющих на процесс генерации: электрических и магнитных свойств среды и стенки канала, пространственно-временных свойств поля скорости и геометрии канала. Получены оптимальные параметры экспериментальной установки для реализации винтового динамо. б) В рамках теории среднего поля на основе корреляционного анализа определена полная структура средней турбулентной электродвижущей силы, возникающей при наличие общего вращения и произвольного сдвигового среднего поля скорости в условиях однородной и неоднородной турбулентности. Показано, что действия различных эффектов может носить конкурирующий характер. в) Построены новые каскадные модели однородной и изотропной МГД-турбулентности, с помощью которых получено детальное описание процессов переноса кинетической и магнитной энергии по спектру при больших значениях чисел Рейнольдса. Показано, что при малых значениях магнитного числа Прандтля критическое значение магнитного числа Рейнольдса выходит на постоянное значение. При больших значениях магнитного числа Прандтля существенную роль играют нелокальные взаимодействия структур разных масштабов. Предложен сценарий насыщения мелкомасштабного динамо. Выявлено, что перекрестная спиральность препятствует каскадному переносу энергии и приводит к накоплению энергии в системе. г) Построены комбинированные модели а2- и аП-динамо, включающие в себя формирование крупномасштабного магнитного поля при участии мелкомасштабной турбулентности, описание динамической эволюции мелкомасштабных полей и обратного действия среднего магнитного поля на статистические свойства МГД-турбулентности. Получено динамическое подавление составляющих а-эффекта, приводящее к характерной стабилизации крупномасштабного магнитного поля. д) На основе вейвлет-анализа разработан и применен метод определения структуры галактических магнитных полей по интегральным оценкам - фарадеевской меры вращения внегалактических радиоисточников совместно с данными по пульсарам. Предложен подход к оценке статистических свойств МГД-турбулентности в межзвездной среде по распределениям поляризационных наблюдений. е) Получено экспериментальное подтверждение положений теории среднего поля на установке с жидким галлием. Впервые проведено прямое измерение турбулентной электродвижущей силы, возникающей в направлении магнитного поля (ск-эффект), и коэффициента турбулентной магнитной диффузии (/^-эффект). Эксперимент с наложенным внешним полем подтвердил работу основных индукционных механизмов винтового динамо, которое планируется получить на большей установке с жидким натрием.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Степанов, Родион Александрович, 2009 год

1. Larmor J. How could a rotating body such as the Sun become a magnet? // Report of 87th Meeting British Associate Advances in Science. 1919. P. 159-160.

2. Пономаренко Ю. Б. К теории гидродинамического динамо // ПМТФ. 1973, № 6. С. 47-51.

3. Денисов С. А., Носков В. И., Соколов Д. Д., Фрик П. Г., Хрипчен-ко С. Ю. О возможной лабораторной реализации нестационарного МГД-динамо // Доклады РАН. 1999. Т. 365, № 4. С. 478.

4. Frick P., Noskov V., Denisov S., Khripchenko S., Sokoloff D., Stepanov R., Sukhanovsky A. Non-stanionary screw flow in a toroidal channel: way to a laboratory dynamo experiment // Magnetohydrodynamics. 2002. Vol. 38, № 1-2. P. 143-162.

5. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматгиз, 2003. 656 с.

6. Моффат Г.К. Генерация магнитного поля в проводящей среде. М.: Мир, 1980.

7. Гайлитис А., Фрейберг Я. Ж. К теории винтового МГД-динамо // Магнитная гидродинамика. 1976, № 2. С. 3-6.

8. Лупян Е., Шукуров А. Шукуров А. Винтовое динамо в реальных потоках // Магнитная гидродинамика. 1992, № 5. С. 29-36.

9. Степанов Р. А., Фрик П. Г. Винтовое МГД-динамо в реальных потоках в трубах // Сб. научных трудов: Гидродинамика. 1999, № 12. С. 240-251.

10. Dobler W., Shukurov A., Brandenburg A. Nonlinear states of the screw dynamo // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 65, №3. P. 036311—h

11. CmenaiLoe P. А. Диссертация на соискание учеой степени кандидата физико-математических наук "Исследование структур и механизмов генерации магнитных полей галактики". Институт механики сплошных сред УрО РАН, 2000.

12. Frick P., Khripchenko S., Denisov S., Sokoloff D.} Pinton J.-F. Effective magnetic permeability of a turbulent fluid with macroferroparticles // European Physical Journal B. 2002. Vol. 25. P. 399-402.

13. Cash J. R., Karp A. H. A variable order Runge-Kutta method for initial value problems with rapidly varying right-hand sides // ACM Transactions on Mathematical Software. 1990. Vol. 16, №3. P. 201-222.

14. Степанов Р. А., Чупин А. В., Фрик П. Г. Винтовое МГД динамо в торе // Вычислительная механика сплошных сред. 2008. Т. 1, № 1. С. 109 117.

15. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. БХВ-Петербург, 2004. 608 с.

16. Коортап В. О. Flow in а Möbius strip // Ann. Math. 1926. Vol. 27. P. 424-426.

17. Dobler W., Frick P., Stepanov R. Screw dynamo in a time-dependent pipe flow // Physical Review E. 2003. Vol. 67, №5. P. 056309-+.

18. Krause F., Rädler K.-H. Elektrodynamik der mittleren Felder in turbulenten leitendenMedien und Dynamotheorie // In Proc. Ergebnisse der Plasmaphysik und der Gaselektronik. 1971. Vol. 2. P. 1154.

19. Краузе Ф., Рэдлер К.-Х. Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо, пер. с англ. М., 1984.

20. Rädler K.-H. Mean-Field Magnetohydrodynamics as a Basis of Solar Dynamo Theory //In Proc. Basic Mechanisms of Solar Activity. 1976. P. 323-344.

21. Rädler K.-H. Mean-Field Approach to Spherical Dynamo Models // Astron. Nachr. 1980. Vol. 301. P. 101-129.

22. Rädler K.-H. The Generation of Cosmic Magnetic Fields //In Proc. From the Sun to the Great Attractor (1999 Guanajuato Lectures in Astrophysics). 2000. P. 101-172.

23. Kichatinov L. L. On mean-field magnetohydrodynamics in a inhomogeneous medium // Magnetohydrodynamics. 1982. Vol. 3. P. 67-73.

24. Vainshtein S. I., Kichatinov L. L. The Macroscopic Magnetohydrodynamics of Inhomogeneously Turbulent CosmicPlasmas 11 Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 1983. Vol. 24. P. 273-298.

25. Rüdiger G., Kichatinov L.L. Alpha-Effect and Alpha-Quenching // Astron. Astrophys. 1993. Vol. 269. P. 581-588.

26. Kitchatinov L. L., Pipin V. V., Rmediger G. Turbulent viscosity, magnetic diffusivity, and heat conductivity under the influence of rotation and magnetic field // Astronomische Nachrichten. 1994. Vol. 315. P. 157-170.

27. Rädler K.-H., Kleeorin N., Rogachevskii I. The Mean Electromotive Force for MHD Turbulence: The Case of a Weak MeanMagnetic Field and Slow Rotation // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 2003. Vol. 97. P. 249-274.

28. Urpin V. Mean Electromotive Force and Dynamo Action in a Turbulent Flow 11 Astron. Astrophys. 1999. Vol. 347. P. L47-L50.

29. Urpin V. Turbulent dynamo action in a shear flow // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1999. Vol. 308. P. 741-744.

30. Hoyng P. The Field, the Mean and the Meaning //In Proc. Advances in Nonlinear Dynamics. 2003. P. 1-36.

31. Rogachevskii I., Kleeorin N. Electromotive Force and Large-Scale Magnetic Dynamo in a Turbulent Flowwith a Mean Shear // Phys. Rev., E. 2003. Vol. 68. P. 036301/1-12.

32. Frick P., Denisov S., Khripchenko S., Noskov V., Sokoloff D., Stepanov R., Sukhanovsky A. The Nonstationary Dynamo Project // Fundamental and Applied MHD (Proceedings of the 5th International PAMIRConference). 2002. P. VI-1 VI-5.

33. Noskov V., Denisov S., Frick P., Khripchenko S., Sokoloff D., Stepanov R. Magnetic field rotation in the screw gallium flow // The European Physical Journal B. 2004. Vol. 41. P. 561-568.

34. Rogachevskii I., Kleeorin N. Nonlinear theory of a "shear-current"effect and mean-field magnetic dynamos // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70. P. 046310-1-15.

35. Rädler K.-H. Uber eine neue Möglichkeit eines Dynamomechanismus in turbulentenleitenden Medien // Monatsber. Dtsch. Akad. Wiss. Berlin. 1969. Vol. 11. P. 272-279.

36. Rädler K.-H. Investigations of Spherical Kinematic Mean-Field Dynamo Models // Astron. Nachr. 1986. Vol. 307. P. 89-113.

37. Roberts G.O. Dynamo action of fluid motions with two-dimensional periodicity // Phil. Trans. Roy. Soc. London A. 1972. Vol. 271. P. 411454.

38. Moffatt H. K., Proctor M. R. E. The Role of the Helicity Spectrum Function in Turbulent Dynamo Theory // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 1982. Vol. 21. P. 265-283.

39. Roberts P. H., Soward А. М. A Unified Approach to Mean Field Electrodynamics // Astron. Nachr. 1975. Vol. 296. P. 49-64.

40. Steenbeck M., Krause F., Rädler K.-H. Berechnung der mittleren Lorentz-Feldstärke v x Bfür ein elektrisch leitendes Medium in turbulenter, durchCoriolis-Kräfte beeinflusster Bewegung // Z. Naturforsch. 1966. Vol. 21a. P. 369-376.

41. Rädler K.-H. Zur Elektrodynamik in turbulenten, Coriolis-Kräften unterworfenenleitenden Medien // Monatsber. Dtsch. Akad. Wiss. Berlin. 1969. Vol. 11. P. 194-201.

42. Rädler K.-H., Brandenburg A. a -effect dynamos with zero kinetic helicity // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 77, №2. P. 026405-+.

43. Rüdiger G., Kitchatinov L. L. Do mean-field dynamos in nonrotating turbulent shear-flows exist? // Astron. Nachr. 2006.

44. Obukhov A.M. Some general characteristic equations of the dynamics of the atmosphere // Atmos. Oceanic Europhys. 1971. Vol. 7. P. 41.

45. Lorenz E. Low order models representing realizations of turbulence // J. Fluid Mech. 1972. Vol. 55. P. 545.

46. Гледзер Е.Б. Система гидродинамического типа, допускающая квадратичных интеграла движения // ДАН СССР. 1973. Т. 209, № 5. С. 1046-1048.

47. Desnyansky V.N., Novikov Е.А. The evolution of turbulence spectra to the similarity regime // Izv. Akad. Nauk. SSSR Fiz. Atmos. Okeana. 1974. Vol. 10. P. 127.

48. Siggia E.D. Origin of intermittency in fully developed turbulence // Phys. Rev. A. 1977. Vol. 15. P. 1730.

49. Yamada M., Ohkitani K. Lyapunov Spectrum of a Chaotic Model of Three-Dimensional Turbulence //J. Phys. Soc. Jpn. 1987. Vol. 56. P. 4210.

50. Frisch U. Turbulence: The Legacy of A.N. Kolmogorov. Cambridge Univ. Press, 1995.

51. Bohr T., Jensen M.H., Paladin G., Vulpiani A. Dynamical Systems Approach to Turbulence. Cambridge Univ. Press, 1998.

52. Pope S.B. Turbulent flows. Cambridge Univ. Press, 2000.

53. Biferale L. Shell models of energy cascade in turbulence // Ann. Rev. Fluid Mech. 2003. Vol. 35. P. 441-468.

54. L'vov V., Podivilov E., Pomlyalov A., Procaccia I., Vandembroucq D. Improved shell model of turbulence // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58. P. 1811.

55. L'vov V., Podivilov E., Procaccia I. Hamiltonian structure of the Sabra shell model of turbulence: Exact calculation of an anomalous scaling exponent // EurPhys. Lett. 1999. Vol. 46. P. 609.

56. Ditlevsen P.D. Symmetries, invariants, and cascades in a shell model of turbulence // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 62. P. 484.

57. Mingshun J., Shida L. Scaling behavior of velocity and temperature in a shell model for thermal convective turbulence // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 56. P. 441.

58. Hattori Y., Rubinstein R., Ishizawa A. Shell model for rotating turbulence // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70. P. 046311.

59. Решетпяк M. Ю., Штеффен Б. Каскадные модели в быстровраща-ющихся динамо-системах // Вычислительные методы и программирование: новые вычислительные технологии. 2006. Т. 7, № 1. С. 8592.

60. Bowman J. С., Doering С. R., Eckhardt В., Davoudi J., Roberts M., Schumacher J. Links between dissipation, intermittency, and helicity in the GOY model revisited // Physica D Nonlinear Phenomena. 2006. Vol. 218. P. 1-10.

61. Zimin V., Hussain F. Wavelet based model for small-scale turbulence // Phys. Fluids. 1995. Vol. 7. P. 2925.

62. Melander M. Helicity causes chaos in a shell model of turbulence // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78. P. 1456.

63. Melander M., Fabijonas B. Self similar enstrophy divergence in a shell model of isotropic turbulence // J. Fluid Mech. 2002. Vol. 463. P. 241.

64. Melander M., Fabijonas B. Transients in the decay of isotropic turbulence // J. Turb. 2003. Vol. 4. P. 014.

65. Grappin R., Léorat J., Pouquet A. Computation of the dimension of a model of fully developed turbulence //J. Phys. (France). 1986. Vol. 47. P. 1127.

66. Gloaguen C., Léorat J., Pouquet A., Grappin R. A scalar model for MHD turbulence // Physica D. 1985. Vol. 51. P. 154.

67. Carbone V. Scale similarity of the velocity structure functions in fully developed magnetohydrodynamic turbulence // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 50. P. 671.

68. Biskamp D. Cascade models for magnetohydrodynamic turbulence // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 50. P. 2702.

69. Frik P. Hierarchical model of two-dimensional turbulence // Magn. Gidrodin. 1983. Vol. 19. P. 60.

70. Frik P. Two-dimensional MHD turbulence. Hierarchical Model // Magn. Gidrodin. 1984. Vol. 20. P. 48.

71. Brandenburg A., Enquist K., Olesen P. Large-scale magnetic fields from hydromagnetic turbulence in the very early universe // Phys. Rev. D. 1996. Vol. 54. P. 1291.

72. Prick P., Sokoloff D. Cascade and dynamo action in a shell model of magnetohydrodynamic turbulence // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 57. P. 4155.

73. Nordlund A., Brandenburg A., Jennings R. L., Rieutord M., Ruokolainen J., Stein R. F., Tuominen I. Dynamo action in stratified convection with overshoot // Astrophysical Journal. 1992. Vol. 392. P. 647-652.

74. Brandenburg A., Jennings R. L., Nordlund A., Rieutord M., Stein R. FTuominen I. Magnetic structures in a dynamo simulation 11 Journal of Fluid Mechanics. 1996. Vol. 306. P. 325-352.

75. Nore C., Brächet M. E., Politano H., Pouquet A. Dynamo action in the Taylor-Green vortex near threshold // Physics of Plasmas. 1997. Vol. 4. P. 1-3.

76. Christensen U., Olson P., Glatzmaier G. A. Numerical modelling of the geodynamo: a systematic parameter study // Geophysical Journal International. 1999. Vol. 138. P. 393-409.

77. Yousef T. A., Brandenburg A., Rüdiger G. Turbulent magnetic Prandtl number and magnetic diffusivity quenching from simulations // A&A. 2003. Vol. 411. P. 321-327.

78. Schekochihin A. A., Cowley S. C., Taylor S. F., Hammett G. W., Maron J. L., McWilliams J. C. Saturated State of the Nonlinear Small-Scale Dynamo // Physical Review Letters. 2004. Vol. 92, 8. P. 084504—h

79. Batchelor G. K. On the Spontaneous Magnetic Field in a Conducting Liquid in Turbulent Motion // Royal Society of London Proceedings Series A. 1950. Vol. 201. P. 405-416.

80. Gailitis A., Lielausis O., Platacis E., Dement'ev S., Cifersons A., Gerbeth G., Gundrum T., Stefani F., Christen M., Will G. Magnetic Field Saturation in the Riga Dynamo Experiment // Physical Review Letters. 2001. Vol. 86. P. 3024-3027.

81. Stieglitz R., Müller U. Experimental demonstration of a homogeneous two-scale dynamo // Physics of Fluids. 2001. Vol. 13. P. 561-564.

82. Müller U., Stieglitz R., Horanyi S. A two-scale hydromagnetic dynamo experiment // J. Fluid Mech. 2004. Vol. 498. P. 31-71.

83. Normand C. Ponomarenko dynamo with time-periodic flow // Phys. of Fluids. 2003. Vol. 15. P. 1606-1611.

84. Leprovost N., Marié L., Dubrulle B. A stochastic model of torques in von Karman swirling flow // European Physical Journal B. 2004. Vol. 39. P. 121-129.

85. Ponty Y., Mininni P. D., Montgomery D. C., Pinton J.-F., Politano H., Pouquet A. Numerical Study of Dynamo Action at Low Magnetic Prandtl Numbers // Physical Review Letters. 2005. Vol. 94, №16. P. 164502—h

86. Rädler K.-H., Stepanov R. The dynamo in a turbulent screw flow // Advances in Turbulence X (Proceedings of the Tenth European Turbulence Conference, Norway, Trondheim, June 29 July 2, 2004). 2004. P. 789-792.

87. Ravelet F., Chiffaudel A., Daviaud F., Léorat J. Toward an experimental von Karman dynamo: Numerical studies for an optimized design // Physics of Fluids. 2005. Vol. 17, №11. P. 117104—h

88. Boldyrev S., Cattaneo F. Magnetic-Field Generation in Kolmogorov Turbulence // Physical Review Letters. 2004. Vol. 92, № 14. P. 144501

89. JIodickuh С. А., Соколов Д. Д., Фрик П. Г. Магнитное число Прандтля и мелкомасштабное МГД-динамо // Астрономический журнал. 1999. Т. 76, № 11. С. 833-859.

90. Giuliani Р, Carbone VA note on shell models for MHD turbulence // Europhysics Letters. SEP 1 1998. Vol. 43, №5. P. 527-532.

91. Kraichnan R. H. Inertial-range spectrum of hydromagnetic turbulence 11 Phys. Fluids. 1965. Vol. 8. P. 1385.

92. Kraichnan R.H., Nagarajan S. Growth of turbulent magnetic fields // Phys. Fluids. 1967. Vol. 10. P. 859.

93. Ирошников П. С. Турбулентность в потоке проводящей жидкости в сильном магнитном поле // Астрономический журнал. 1963. Т. 40. С. 742.

94. Verma М. К. Mean magnetic field renormalization and Kolmogorov's energy spectrum in magnetohydrodynamic turbulence // Phys. Plasmas. 1999. Vol. 6. P. 1455-1460.

95. Haugen N. E., Brandenburg A., Dobler W. Is nonhelical hydromagnetic turbulence peaked at small scales ? // Astrophys. J. 2003. Vol. 597. P. 141-144.

96. Schekochihin A.A., Cowley S.C., Hammett G.W., Maron J.L., McWilliams J.C. A model of nonlinear evolution and saturation of the turbulent MHD dynamo // New J. Phys. 2002. Vol. 4. P. 84.

97. Schekochihin A.A., Maron J.L., Cowley S.C., McWilliams J.C. The small-scale structure of magnetohydrodynamic turbulence with large magnetic Prandtl numbers // Astrophys. J. 2002. Vol. 576. P. 806.

98. Pouquet A., Frisch U., Leorat J. Strong MHD helical turbulence and the nonlinear dynamo effect // Journal of Fluid Mechanics. 1976. Vol. 77. P. 321-354.

99. Alexakis A., Mininni P.D., Pouquet A. Imprint of large-scale flows on turbulence // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 95. P. 264503.

100. Mininni P.D., Alexakis A., Pouquet A. Shell-to-shell energy transfer in magnetohydrodynamics. II. Kinematic dynamo // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72. P. 46302.

101. Carati D., Debliquy O., Knaepen B., Teaca B., Verma M. Energy transfers in forced MHD turbulence // Journ. Turb. 2006. Vol. 7. P. 112.

102. Verma M. K. Statistical theory of magnetohydrodynamic turbulence: recent results // Phys. Reports. 2004. Vol. 401. P. 229-380.

103. Batchelor G.K., Townsend A.A. Decay of turbulence in the final period // Proc. R. Soc. London A. 1948. Vol. 194. P. 527.

104. Alexakis A., Mininni P.D., Pouquet A. Shell-to-shell energy transfer in magnetohydrodynamics. I. Steady state turbulence // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72. P. 46301.

105. Plunian F., Stepanov R. A non-local shell model of hydrodynamic and magnetohydrodynamic turbulence // New Journal of Physics. 2007. Vol. 9. P. 294-+.

106. Stepanov R., Plunian F. Phenomenology of Turbulent Dynamo Growth and Saturation // Astrophysical Journal. 2008. Vol. 680. P. 809-815.

107. Belcher J. W., Davis, Jr. L. Large-amplitude Alfven waves in the interplanetary medium, 2. // J. Geophys. Res. 1971. Vol. 76. P. 35343563.

108. Dobrowolny M., Mangeney A., Veltri P. Fully developed anisotropic hydromagnetic turbulence in interplanetary space // Physical Review Letters. 1980. Vol. 45. P. 144-147.

109. Miiller W.-C., Biskamp D. Scaling Properties of Three-Dimensional Magnetohydrodynamic Turbulence // Physical Review Letters. 2000. Vol. 84. P. 475-478.

110. Miiller W.-C., Grappin R. Spectral Energy Dynamics in Magnetohydrodynamic Turbulence / / Physical Review Letters. 2005. Vol. 95, №11. P. 114502—Ь

111. Grappin R., Leorat J., Pouquet A. Dependence of MHD turbulence spectra on the velocity field-magnetic field correlation // A&A. 1983. Vol. 126. P. 51-58.

112. Мизёва И. А., Степанов P. А., Фрик П. Г. Влияние перекрестной спиральности на каскадные процессы в МГД-турбулентности // Доклады Академии Наук. 2009. Т. 424, № 4. С. 479 483.

113. Brissaud A., Frisch U., Leorat J., Lesieur M., Mazure A. Helicity cascades in fully developed isotropic turbulence // Physics of Fluids. 1973. Vol. 16. P. 1366-1367.

114. Chen Q., Chen S., Eyink G. L., Holm D. D. Intermittency in the Joint Cascade of Energy and Helicity // Physical Review Letters. 2003. Vol. 90, №21. P. 214503—Ь

115. Копров Б. M., Копров В. М., Пономарев В. М., Чхетиани О. Г. Измерение турбулентной спиральности и ее спектра в пограничном слое атмосферы // Доклады Академии Наук РАН. 2005. Т. 403, № 5. С. 627-630.

116. Ditlevsen P. D., Giuliani P. Cascades in helical turbulence // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 63, №3. P. 036304-+.

117. Chen Q., Chen S., Eyink G. L. The joint cascade of energy and helicity in three-dimensional turbulence // Physics of Fluids. 2003. Vol. 15. P. 361-374.

118. Golbraikh E., Moiseev S. S. Different spectra formation in the presence of helical transfer // Physics Letters A. 2002. Vol. 305. P. 173-175.

119. Kurien S., Taylor M. A., Matsumoto T. Cascade time scales for energy and helicity in homogeneous isotropic turbulence // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 69, №6. P. 066313-+.

120. Benzi R., Biferale L., Kerr R. M., Trovatore E. Helical shell models for three-dimensional turbulence // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 53. P. 35413550.

121. Chkhetiani O. G., Golbraikh E. Helicity spectra and dissipation 11 Physics Letters A. 2008. Vol. 372. P. 5603-5604.

122. Степанов P. А., Фрик П. Г., Шестаков А. В. О спектральных свойствах спиральной турбулентности // Известия АН. Механика жидкости и газа. 2009. Т. 5. С. 33-43.

123. Фрик П. Г. Турбулентность: подходы и модели. Москва-Ижевск: ИКИ, 2003. 292 с.

124. Kunz M. W., Balbus S. A. Ambipolar diffusion in the magnetorotational instability // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2004. Vol. 348. R 355-360.

125. Muslimov A. G., van Horn H. M., Wood M. A. Magnetic field evolution in white dwarfs: The hall effect and complexity of the field 11 Astrophys. J. 1995. Vol. 442. R 758-767.

126. Cumming A., Arras P., Zweibel E. Magnetic Field Evolution in Neutron Star Crusts Due to the Hall Effect and Ohmic Decay // Astrophysical Journal. 2004. Vol. 609. P. 999-1017.

127. Goldreich P., Reisenegger A. Magnetic field decay in isolated neutron stars // Astrophysical Journal. 1992. Vol. 395. P. 250-258.

128. Vainshtein S., Chitre S., Olinto A. Rapid dissipation of magnetic fields due to the Hall current // Phys. Rev., E. 2000. Vol. 61. P. 4422.

129. Rheinhardt M., Konenkov D., Geppert U. The occurrence of the Hall instability in crusts of isolated neutron stars // Astron. Astrophys. 2004. Vol. 420. P. 631-645.

130. Urpin V., Shalybkov D. Magnetohydrodynamic processes in strongly magnetized young neutron stars // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1999. Vol. 304. P. 451-456.

131. Г. Корн, Т. Корн Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984.

132. Степанов Р. А. Оптимизация методов численного интегрирования каскадных моделей // Вычислительные методы и программирование. 2002. Т. 3. С. 176-179.

133. Haugen N. E. L., Brandenburg A., Dobler W. Simulations of nonhelical hydromagnetic turbulence // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70, №1. P. 016308—Ь

134. Brandenburg A., Sokoloff D. Local and Nonlocal Magnetic Diffusion and Alpha-Effect Tensors in Shear Flow Turbulence // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 2002. Vol. 96. P. 319-344.

135. Beck R., Brandenburg A., Moss D., Shukurov A., Sokoloff D. Galactic Magnetism: Recent Developments and Perspectives // Ann. Rev. Astron. Astrophys. 1996. Vol. 34. P. 155-206.

136. Brandenburg A., Subramanian K. Astrophysical magnetic fields and nonlinear dynamo theory // Physics Reports. 2005. Vol. 417. P. 1-209.

137. Frick P., Boffetta G., Giuliani P., Lozhkin S., Sokoloff D. Long-time behavior of MHD shell models // Europhysics Letters. 2000. Vol. 52. P. 539-544.

138. Фрик П. Г., Соколов Д. Д. Модель многомасштабного МГД-динамо // Астрономический журнал. 2002. Т. 49, № 6. С. 511-516.

139. Zeldovich Ya. В., Ruzmaikin A. A., Sokoloff D. D. Magnetic fields in astrophysics. The Fluid Mechanics of Astrophysics and Geophysics, New York: Gordon and Breach, 1983, 1983.

140. Field G. В., Blackman E. G. Dynamical Quenching of the a2 Dynamo 11 Astrophysical Journal. 2002. Vol. 572. P. 685-692.

141. Brandenburg A., Sandin C. Catastrophic alpha quenching alleviated by helicity flux and shear // A&A. 2004. Vol. 427. P. 13-21.

142. Kleeorin N., Moss D., Rogachevskii I., Sokoloff D. Helicity balance and stady strength for dynamoc generated galactic magnetic field // A&A. 2000. Vol. 361. P. L5-L8.

143. Kleeorin N., Moss D., Rogachevskii I., Sokoloff D. Nonlinear magnetic diffusion and magnetic helicity transport in galactic dynamos // A&A. 2003. Vol. 400. P. 9-18.

144. Rogachevskii I., Kleeorin N. Electromotive force and large-scale magnetic dynamo in a turbulent flow with a mean shear // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 68, №3. P. 036301-+.

145. Brandenburg A., Matthaeus W. H. Magnetic helicity evolution in a periodic domain with imposed field // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 69, № 5. P. 056407—K

146. Subramanian K., Brandenburg A. Nonlinear Current Helicity Fluxes in Turbulent Dynamos and Alpha Quenching // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 93, №20. P. 205001—h

147. Brandenburg A., Blackman E. G., Sarson G. R. How magnetic helicity ejection helps large scale dynamos // Advances in Space Research. 2003. Vol. 32. P. 1835-1844.

148. Schekochihin A. A., Cowley S. C., Maron J. L., McWilliams J. C. Critical Magnetic Prandtl Number for Small-Scale Dynamo // Physical Review Letters. 2004. Vol. 92, №5. P. 054502-+.

149. Schekochihin A. A., Haugen N. E. L., Brandenburg A., Cowley S. C., Maron J. L., McWilliams J. C. The Onset of a Small-Scale Turbulent

150. Dynamo at Low Magnetic Prandtl Numbers // Astrophysical Journal Letters. 2005. Vol. 625. P. L115-L118.

151. Mininni P. D., Montgomery D. C. Low magnetic Prandtl number dynamos with helical forcing // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72, №5. P. 056320—Ь

152. Kazantsev A. P. Enhancement of a Magnetic Field by a Conducting Fluid // Soviet Journal of Experimental and Theoretical Physics. 1968. Vol. 26. P. 1031—К

153. Stepanov R., Plunian F. Fully developed turbulent dynamo at low magnetic Prandtl numbers // Journal of Turbulence. 2006. Vol. 7. P. 39-+.

154. Sokolov D., Shukurov A., Ruzmaikin A. Asymptotic solution of the alpha-squared-dynamo problem // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 1983. Vol. 25. P. 293-307.

155. Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д., Шукуров А. М. Магнитные поля галактик. М.: Наука, 1988. 280 с.

156. Frisch U., She Z. S., Sulem P. L. Large-scale flow driven by the anisotropic kinetic alpha effect // Physica D Nonlinear Phenomena. 1987. Vol. 28. P. 382-392.

157. Vainshtein S. I. Possible generation of a magnetic field by Langmuir oscillations 11 JETPh. 1975. Vol. 67. P. 517-524.

158. Vainshtein S. I., Zeldovich I. В., Ruzmaikin A. A. The turbulent dynamo in astrophysics // Moscow Izdatel Nauka. 1980.

159. Brandenburg A., Saar S. H., Turpin C. R. Time Evolution of the Magnetic Activity Cycle Period // Astrophysical Journal Letters. 1998. Vol. 498. P. L51+.

160. Schekochihin A. A., Cowley S. C., Taylor S. F., Maron J. L., McWilliams J. C. Simulations of the Small-Scale Turbulent Dynamo // Astrophysical Journal. 2004. Vol. 612. P. 276-307.

161. Антонов Т. Ю., Фрик П. Г., Соколов Д. Д. Долговременная эволюция свободно распадающейся МГД-турбулентности // Доклады РАН. 2001. Т. 377, № 2. С. 170-172.

162. Зельдович Я. В., Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д. Магнитны поля в астрофизике. Москва-Ижевск: ИКИ, 2006. 384 с.

163. Frick P., Stepanov R., Sokoloff D. Large- and small-scales interactions and quenching in alpha-square-dynamo // Physical Review E. 2006. Vol. 74. P. 066310-+.

164. Кузнецов В. В. Причина ускорения дрейфа северного магнитного полюса: джерк или инверсия // Геомагнетизм и аэрономия. 2006. Т. 46, № 2. С. 280-288.

165. Raffel М., Willert С., Kompenhans J. Particle Image Velocimetry: A Practical Guide. Berlin: Springer, 1998.

166. Edwards A. L. Multiple Regression and Analisys of Variance and Covariance. San Francisco: W.H Freeman and Company, 1979.

167. Frick P., Beck R., Berkhuijsen E. M., Patrickeyev I. Scaling and correlation analysis of galactic images // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2001. Vol. 327. P. 1145-1157.

168. Чуй К. Введение в вейвлеты. М.: Мир, 2001.

169. Holschneider М. Wavelets: An Analysis Tool. Oxford University Press, 1995.

170. Aurell E., Frick P., Shaidurov V. Hierarchical tree-model of 2D-turbulence // Physica D Nonlinear Phenomena. 1994. Vol. 72. P. 95109.

171. Beck R. Magnetic Fields in Galaxies //In Proc. Cosmic Magnetic Fields. 2005. Vol. 664. P. 41-+.

172. Heifer Т. Т., Thornley M. D., Regan M. W., Wong Т., Sheth K., Vogel S. N., Blitz L., Bock D. C.-J. The BIMA Survey of Nearby Galaxies (BIMA SONG). II. The CO Data // Astrophysical Journal Supplement Series. 2003. Vol. 145. P. 259-327.

173. Patrikeev I., Fletcher A., Stepanov R., Beck R., Berkhuijsen E. M., Frick P., Horellou C. Analysis of spiral arms using anisotropic wavelets: gas, dust and magnetic fields in M51 // Astronomy and Astrophysics. 2006. Vol. 458. P. 441-452.

174. Тихонов А., Арсепин В. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1996.

175. Пикалов В. В., Мельникова Т. С. Томография плазмы. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1995.

176. Троицкий И.Н. Статистическая теория томографии. М.:Радио и связь, 1989.

177. Патрикеев И. А., Фрик П. Г. Вейвлет-томография в условиях шума // Математическое моделирование систем и процессов. 1997. Т. 5. С. 86-92.

178. Patriekeyev I., Frick P. Lymphocyte nucleus reconstruction via wavelet tomography // Journal of Biomedical Optics. 1999. Vol. 7. P. 376-380.

179. Степанов P. А. Двумерная вейвлет-томография галактических полей // Математическое моделирование систем и процессов. 1999. Т. 7. С. 86-91.

180. Stepanov R., Frick P., Shukurov A., Sokoloff D. Wavelet tomography of the Galactic magnetic field. I. The method // Astronomy and Astrophysics. 2002. Vol. 391. P. 361-368.

181. Гелъфанд И. M., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.:Наука, 1959.

182. Bracewell R. Fourier Transform and Its Application. McGrow-Hill, Inc., 1965.

183. Хемминг P. Цифровые фильтры. M.: Советское радио, 1980.

184. Levin G. G. Analytical Methods for Optical Tomography. SPIE, 1992.

185. Frick P., Grossmann A., Tchamitchian P. Wavelet analysis of signals with gaps // Journal of Mathematical Physics. 1998. Vol. 39. P. 40914107.

186. Frick P., Stepanov R., Shukurov A., Sokoloff D. Structures in the rotation measure sky // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2001. Vol. 325. P. 649-664.

187. Manchester R. N. Structure of the Local Galactic Magnetic Field // Astrophysical Journal. 1974. Vol. 188. P. 637-644.

188. Taylor J. H., Cordes J. M. Pulsar distances and the galactic distribution of free electrons // Astrophysical Journal. 1993. Vol. 411. P. 674-684.

189. Sokoloff D. Astrophysical dynamos and magnetic helicity conservation // Plasma Physics and Controlled Fusion. 2007. Vol. 49. P. 447-+.

190. Mininni P. D. Inverse cascades and a effect at a low magnetic Prandtl number // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 76, №2. P. 026316-+.

191. Shukurov A., Sokoloff D., Subramanian K., Brandenburg A. Galactic dynamo and helicity losses through fountain flow // A&A. 2006. Vol. 448. P. L33-L36.

192. Пипин, В. В. Генерация солнечных магнитных полей в динамо // Астрономический журнал. 2007. Т. 84. С. 461-470.

193. Brandenburg A. Why coronal mass ejections are necessary for the dynamo // Highlights of Astronomy. 2007. Vol. 14. P. 291-292.

194. Zhang H., Sokoloff D., Rogachevskii I., Moss D., Lamburt V., Kuzanyan K., Kleeorin N. The radial distribution of magnetic helicityin the solar convective zone: observations and dynamo theory // Mon. Not. R. Astron. Soc. 2006. Vol. 365. P. 276-286.

195. Stefani F., Gailitis A., Gerbeth G. Magnetohydrodynamic experiments on cosmic magnetic fields // Zamm-Zeitschrift Fur Angewandte Mathematik Und Mechanik. DEC 2008. Vol. 88, № 12. P. 930-954.

196. Денисов С. А., Носков В. И., Степанов Р. А., Фрик П. Г. Измерения эффективной проводимости турбулентной проводящей жидкости // Письма в ЖЭТФ. 2008. Т. 88, № 3. С. 198-202.

197. Kahniashvili Т. Effects of primordial helicity on CMB // New Astronomy Review. 2006. Vol. 50. P. 1015-1019.

198. Kahniashvili Т., Vachaspati T. Detection of magnetic helicity // Phys. Rev. D. 2006. Vol. 73, №6. P. 063507-+.

199. Beck R. Measurements of Cosmic Magnetism with LOFAR and SKA // Advances in Radio Science. 2007. Vol. 5. P. 399-405.

200. Fletcher A., Shukurov A. Canals in Milky Way radio polarization maps 11 Mon. Not. R. Astron. Soc. 2006. Vol. 371. P. L21-L25.

201. Odier P., Pinton J.-F., Fauve S. Advection of a magnetic field by a turbulent swirling flow // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58. P. 7397-7401.

202. Bourgoin M., Volk R., Frick P., Khripchenko S., Odier P., Pinton J.-F. Induction mechanisms in von Karman swirling flows of liquid gallium // Magnetohydrodynamics. 2004. Vol. 40. P. 3-21.

203. Bourgoin M., Marie L., Petrelis F., Gasquet C., Guigon A., Luciani J.B., Moulin M., Narner F., Burguete J., Chiffaudel A., Fauve S.,

204. Odier P. Magnetohydrodynamics measurements in the von Karman sodium experiment // Physics of Fluids. 2002. Vol. 14. P. 3046-3058.

205. Petrelis F., Bourgoin M., Marie L., Burguete J., Chiffaudel A., Daviaud FFauve S., Odier P., Pinton J.-F. Nonlinear Magnetic Induction by Helical Motion in a Liquid Sodium Turbulent Flow // Physical Review Letters. 2003. Vol. 90, № 17. P. 174501—Ь

206. Lavrentev I. V., Shishko A. I. Electromagnetic processes in MHD channels at large magnetic Reynolds numbers / / Magnitnaia Gidrodinamika. 1980. P. 81-106.

207. Денисов С. А., Носков В. И., Сухановский А. Н., Фрик П. Г. Нестационарные турбулентные винтовые течения в кольцевом канале // Изв.РАН: Механика жидкости и газа. 2001. Т. 6. С. 73-80.

208. Roberts P., editor Magnetohydrodynamics and the Earth's Core. Taylor & Francis, 2002.

209. Busse FH, Grote E, Tilgner A On convection driven dynamos in rotating spherical shells // Studia Geophysica et Geodaetica. 1998. Vol. 42, №3. P. 211-223.

210. Dormy E., Valet J.-P., Courtillot V Numerical models of the geodynamo and observational constraints // Geochem. Geophys. Geosyst. 2000. Vol. 1, №10. P. 1037.

211. Rüdiger G., Hollerbach R. The magnetic Universe. Wiley-VCH, 2004.

212. Parker E. N. Hydromagnetic Dynamo Models. // Astrophysical Journal. 1955. Vol. 122. P. 293-+.

213. Kaiser R., Tilgner A. Kinematic dynamos surrounded by a stationary conductor // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 60. P. 2949-2952.

214. Noskov V., Stepanov R., Denisov S., Frick P., Verhille G., Plihon N., Pinton J.-F. Dynamics of a turbulent spin-down flow inside a torus // Physics of Fluids. 2009. Vol. 21, №4. P. 045108—f.

215. Stepanov R., Volk R., Denisov S., Frick P., Noskov V., Pinton J.-F. Induction, helicity, and alpha effect in a toroidal screw flow of liquid gallium // Physical Review E. 2006. Vol. 73, №4. P. 046310—К

216. Reighard А. ВBrown M. R. Turbulent Conductivity Measurements in a Spherical Liquid Sodium Flow // Physical Review Letters. 2001. Vol. 86. P. 2794-2797.

217. Халилов P. И., Степанов P. А., Фрик П. Г., Хрипченко С. Ю. Электромагнитные измерения уровня жидкого металла в замкнутых объемах // Измерительная техника. 2007. Т. 8. С. 41-44.

218. Яценко С.П. Галлий, Взаимодействие с металлами. М.: Наука, 1974.

219. Шлихтииг Г. Теория пограничного слоя. М: Мир, 1969.

220. Зельдович Я. Б. // ЖЭТФ. 1956. Т. 31. С. 154.

221. Radier К.-H., Stepanov R. Mean electromotive force due to turbulence of a conducting fluid in the presence of mean flow // Physical Review E. 2006. Vol. 73, №5. P. 056311—I-.

222. Radier К.-H., Stepanov R. On the effects of turbulence on a screw dynamo // Geophysical and Astrophysical Fluid Dynamics. 2006. Vol. 100, №4-5. P. 379-395.