Гарантирующее управление нелинейными объектами: на примере тяжеловодного ядерного реактора тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат наук Окунькова, Евгения Вячеславовна

• Окунькова, Евгения Вячеславовна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Окунькова, Евгения Вячеславовна

ОБОЗНАЧЕНИЯ..................................................................................................4

ВВЕДЕНИЕ..........................................................................................................7

ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЕ РИККАТИ С ПАРАМЕТРАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ СОСТОЯНИЯ. ОБЗОР СОСТОЯНИЯ ПРОБЛЕМЫ.................................20

1.1. Постановка задачи....................................................................................24

1.2. Расширенная линеаризация.....................................................................25

1.3. Построение управления с использованием уравнения Риккати с параметрами, зависящими от состояния........................................................26

1.4. Дополнительные степени свободы..........................................................27

1.5. Необходимые условия существования управления при использовании 80ИЕ подхода.................................................................................................27

1.6. Устойчивость и оптимальность БОЯЕ подхода.....................................28

1.6.1. Устойчивость......................................................................................28

1.6.2. Оптимальность...................................................................................29

1.7. Преимущества ЗОИЕ подхода.................................................................31

1.8. Результаты применения БОКЕ подхода..................................................33

ГЛАВА 2.ПОСТРОЕНИЕ ГАРАНТИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМЫ С ПАРАМЕТРАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ СОСТОЯНИЯ.........34

2.1. Общая постановка задачи дифференциальных игр................................35

2.2. Постановка задачи синтеза гарантирующего управления для систем с параметрами, зависящими от состояния........................................................36

2.3. Общее решение для задачи дифференциальных игр..............................37

2.4. 80С представление для объектов с нелинейной структурой................38

2.5. Построение стратегий дифференциальной игры....................................41

2.5.1. Уравнение Риккати с параметрами, зависящими от состояния.......41

2.5.2. Построение стабилизирующих стратегий........................................42

2.5.3. Построение гарантирующих стратегий.............................................43

2.6. Поиск наименее благоприятных значений параметров системы..........46

ГЛАВА 3. ТЯЖЕЛОВОДНЫЙ РЕАКТОР КАК ОБЪЕКТ УПРАВЛЕНИЯ... 50

3.1. Описание тяжеловодного реактора.........................................................50

*

Стр.

3.2. Управление тяжеловодным реактором...................................................53

3.2.1. Узловая модель активной зоны большого реактора с тяжеловодным замедлителем и теплоносителем под давлением мощностью 540 МВт ... 53

3.2.2. Линеаризация большого тяжеловодного реактора...........................60

ГЛАВА 4.СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ТЯЖЕЛОВОДНОГО РЕАКТОРА67

4.1. Математическая модель...........................................................................67

4.2. Построение управления...........................................................................69

4.3. Построение гарантирующего управления..............................................71

4.4. Синтез управления в программной среде МаЙаЬ...................................71

ГЛАВА 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ........................................................................74

ВЫВОДЫ............................................................................................................82

ЛИТЕРАТУРА....................................................................................................84

ПРИЛОЖЕНИЕ..................................................................................................89

ОБОЗНАЧЕНИЯ

Введем следующие обозначения:

/, у - индексы зон;

N - количество зон в реакторе;

Шс1 - количество групп предшественников запаздывающих нейтронов;

Р - уровень мощности, МВт;

Рех1 - реактивность, вызванная внешним механизмом управления, мК;

РА - обратная связь по температуре топлива, мК;

рС1 - обратная связь по температуре теплоносителя первого контура, мК;

С - концентрация предшественников запаздывающих нейтронов, н/см3;

Р - полный выход запаздывающих нейтронов;

Хё - постоянная распада g-ой группы предшественников запаздывающих нейтронов, с-1;

X - концентрация ксенона, н/см3;

Еа - сечение поглощения тепловых нейтронов, см-1;

Е/ - сечение деления тепловых нейтронов, см-1;

Ь - время жизни мгновенных нейтронов, с;

Ееп - энергия, выделяемая при делении, МДж;

V - объем, см;

ах - микроскопическое сечение поглощения ксеноном тепловых нейтронов, см2;

а,у - коэффициент взаимодействия; D - коэффициент диффузии, см;

0 - скорость тепловых нейтронов, см/с;

!Ру - площадь взаимодействия между z-ой и 7-ой зонами, см2; dy - расстояние между /-ой andу'-ой зонами, см;

1 - концентрация йода, н/см3; ух - выход ксенона при делении; yi - выход йода при делении;

Хх - постоянная распада ксенона, с-1;

Я/ - постоянная распада йода, с-1;

Т/ - температура топлива, К;

Тс - температура теплоносителя, К;

Ti - температура теплоносителя на входе, К;

Pg - общая мощность, МВт;

ка, fa, кс, kd - постоянные, зависящие от теплоемкости и теплопроводимости топлива и теплоносителя;

hi - мгновенный уровень воды в блоке управления /-ой зоны, см; т, - коэффициент усиления;

qi - сигнал напряжения для регулирующего клапана г'-ой зоны, В; Hf - коэффициент реактивности топлива, К-1;

//с - коэффициент реактивности теплоносителя, К-1;

Т/о - установившееся значение температуры топлива, К;

Тсо - установившееся значение температуры теплоносителя, К.

ВВЕДЕНИЕ Состояние проблемы

За последние десятилетия произошли существенные изменения в структуре топливопотребления в мире, особенно в электроэнергетике, где сильно снизилось потребление нефти и угля. Эти изменения обусловлены развитием ядерной энергетики, которая сегодня составляет, например, в Западной Европе тридцать процентов всей электроэнергии. Основными преимуществами ядерной энергетики являются концентрированность и практическая неограниченность топливного ресурса. Компактность ядерного топлива делает атомные электрические станции (АЭС) географически независимыми от источника сырья, энергопроизводство достаточно устойчиво при кратковременной политической и экономической нестабильности, отходы локализуемы. Кроме того, географическое распределение запасов урана на Земле намного более равномерно, чем ресурсов органического топлива. К тому же большинство богатых природными ресурсами регионов в России не просто удалены от источников органического топлива, но и труднодоступны, что не только повышает стоимость завозимого органического топлива, но и не позволяет гарантировать надежность его поставки. Потребность в электрогенерирующих мощностях в этих регионах достигает десятков гигаватт.

Серьезные аварии на АЭС в Три-Майл-Айленде (США) и Чернобыле привели к существенным изменениям во взглядах на развитие ядерной энергетики и ее развитие. Однако перспектива исчерпания легкодоступных и дешевых ресурсов органического топлива, рост энергопотребления и проблемы ограничения выбросов и снижения парникового эффекта позволяют прогнозировать дальнейшее развитие ядерной энергетики.

Одним из перспективных направлений в ядерной энергетике является разработка тяжеловодных реакторов. В Канаде и Америке разработчики ядерных реакторов при решении проблемы поддержания в реакторе цепной реакции предпочли использовать в качестве замедлителя тяжелую воду. У такой воды очень низкая степень поглощения нейтронов и очень высокие замедляющие свойства, превышающие аналогичные свойства графита. Поэтому реакторы на тяжелой воде работают на необогащенном топливе, что позволяет не строить сложные и опасные предприятия по обогащению урана. Хорошо спроектированный и построенный реактор на тяжелой воде (например, САЫОЦ) может работать долгие годы на естественном (не обогащенном) уране и давать дешевую энергию.

Непрерывное возрастание требований к контролю и управлению, вызванное необходимостью повышения безопасности и надежности, повышением эффективности работы оборудования и увеличения мощности блоков АЭС потребовало широкого применения новых технических средств автоматизации и методов управления АЭС. Такие особенности, как:

• работа оборудования в условиях высокой радиации, больших давлений и температур при наличии быстропротекающих ядерно-физических и тепловых процессов;

• недоступность большей части оборудования во время работы установки и в течение некоторого времени после ее останова из-за существующей опасности радиационного поражения персонала;

• необходимость обеспечения безопасности АЭС как при нормальной эксплуатации, так и при авариях,

делают АЭС весьма сложным объектом управления, требующим высокой степени автоматизации оборудования и централизации управления, применения современных средств, высоконадежной и эффективной системы управления.

Тяжеловодный реактор, рассматриваемый в качестве объекта регулирования в данной работе, представляет собой сложную систему с несколькими взаимосвязанными входными и выходными величинами.

Актуальность темы исследований

Практика автоматизации АЭС и появляющиеся возможности технической реализации заставляют непрерывно модифицировать старые постановки задач анализа и синтеза систем управления и генерировать новые. Требования же к системам, качеству их функционирования, надежности, способности работать в условиях неполной априорной и текущей информации постоянно растут. При этом главной идеей, определяющей успех разработки системы управления, была и остается идея оптимальности.

Проблема управления линейными объектами (Linear Quadratic Regulator - LQR) в различных постановках с квадратичными критериями качества с постоянными матрицами штрафа хорошо изучена и разработанные алгоритмы математического конструирования регуляторов широко используются при решении практических задач. В основе синтеза оптимальных управлений лежат, в зависимости от задачи, дифференциальное или алгебраическое уравнения Риккати (Differential Riccati Equations - DRE, Algebraic Riccati Equations - ARE). Теоретические основы решения линейно -квадратических задач во многих случаях могут быть применены при синтезе управляющих воздействий для нелинейных систем.

Так как аналитическая теория конструирования оптимальных систем управления в наибольшей степени разработана для объектов, описываемых линейными дифференциальными уравнениями, то применение методов этой теории для построения систем управления нелинейными объектами всегда привлекало внимание исследователей нелинейных систем.

Одним из многообещающих и быстроразвивающихся методов для проектирования нелинейных регуляторов является метод синтеза управления с использованием уравнения Риккати, параметры которого зависят от состояния объекта и матриц штрафа функционала качества (State Dependent Riccati Equations- SDRE). Впервые проблема управления нелинейными объектами с их эквивалентным представлением в виде линейных моделей с параметрами, зависящими от состояния (State Dependent Coefficient - SDC), и функционалом, матрицы штрафа которого зависят от состояния объекта, была сформулирована в начале шестидесятых годов ХХ-го столетия [44]. Разработка предложенного метода была продолжена в работах [51], [42]. С конца девяностых годов метод привлекает все большее внимание со стороны ученых и практиков.

Преобразование нелинейного дифференциального уравнения, которое описывает исходную систему управления, в систему с линейной структурой, но с параметрами, зависящими от состояния, и использование квадратичного функционала качества позволяют при синтезе управления осуществить переход от уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана (Г-Я-Б) к уравнению типа Риккати с параметрами, зависящими от состояния. Это и составляет основу SDRE метода синтеза оптимальных нелинейных систем управления.

К концу первой декады XXI столетия появилось не только много опубликованных теоретических работ [29], [31], но и примеры успешного использования SDRE метода при построении систем управления подвижными объектами, производственными и экологическими системами [23], [43]. К этим примерам относятся решение задач управления искусственной человеческой поджелудочной железой, контроля положения космического корабля, химического реактора и многие другие.

Несмотря на многочисленные примеры, демонстрирующие эффективность SDRE метода, остается ряд вопросов, связанных с неоднозначностью представления нелинейного объекта в виде модели с

линейной структурой и с параметрами, зависящими от состояния. Синтезированные управления с использованием БРС модели и квадратичным критерием качества обеспечивают локальную асимптотическую устойчивость исходной нелинейной системы. Вопрос о глобальной асимптотической устойчивости при любых начальных условиях требует дополнительных исследований.

Следует отметить, что основные теоретические достижения в разработке БОЯЕ метода синтеза управляющих воздействий для нелинейных систем получены при решении задач стабилизации. Однако, круг возможных применений этого метода не ограничивается только такими задачами.

Получить аналитическое решение уравнения Риккати с параметрами, зависящими от состояния, при синтезе управления, в общем случае достаточно сложно или невозможно. Сложность получения удовлетворительных результатов синтеза управления для неопределенных нелинейных систем, например, для систем с интервальной параметрической неопределенностью, еще больше возрастает. Однако следует отметить, что в преобладающем большинстве практических задач достаточно иметь субоптимальные решения, т.е. решения с определенной точностью выполнения задачи управления при любых действующих возмущениях, принадлежащих ограниченному множеству. Одним из методов построения субоптималыюго управления является метод, представленный в четвертой главе, основанный на использовании принципа минимакса. Сложность большого количества современных систем управления зачастую не позволяет получить заранее полное описание процессов, протекающих внутри системы, и ее взаимодействие со средой. Достаточно часто математическая модель системы управления учитывает лишь допустимые области изменения параметров управляемой системы и характеристик ее отдельных элементов без конкретизации самих этих параметров и характеристик. Указанные области могут определяться, например, интервальными ограничениями,

соответствующими заданным техническим допускам на систему. К подобным объектам относится значительный класс нестационарных объектов, работающих при неполной информации о внешних воздействиях (подвижные объекты, технологические объекты, био и др.). Их параметры меняются во времени по неизвестным законам.

В этих условиях получить аналитическое решение оптимальной задачи управления не представляется возможным. В то же время значительное количество практических задач управления нестационарными системами при известных пределах возмущающих воздействий можно решить с заранее определенной точностью. В этом и заключается метод гарантируюшего управления.

Применение аналитических методов в целях синтеза управлений для нестационарных объектов с неполной информацией о параметрах, входных воздействиях, помехах либо сопряжено с большими вычислительными трудностями, либо не представляется возможным (как в случае синтеза оптимальной системы). В связи с этим возникает задача построения управления не для одной конкретной, точно заданной системы, а целого семейства систем, параметры и характеристики элементов которых принадлежат заранее известным множествам. В современной литературе по теории управления соответствующая проблема получила название задачи робастного управления. Существует несколько определений робастного управления, в которых так или иначе отражается существо постановки задачи управления нестационарным объектом[3].

Актуальной задачей в исследовании методов управления является задача гарантирующего управления.

Задачей гарантирующего управления по отношению к множеству целей, функционалу качества, множеству допустимых управлений, множеству состояний, включая состояние объекта в момент начала

управления, а также множеству возможных значений параметров и характеристик элементов объекта является отыскание управления, принадлежащего допустимому множеству управляющих воздействий, минимизирующего заданный функционал и обеспечивающего перевод системы из начального состояния в заданное множество целей при любых значениях параметров и характеристик элементов объекта, принадлежащих множеству возможных значений.

Актуальность темы диссертации также обусловлена тем, что результаты исследований по гарантирующему управлению находят эффективное применение при решении разнообразных прикладных задач в атомной энергетике и других областях промышленности, возникающих при исследовании технических систем и эксплуатации сложных технологических объектов.

Цель исследований

Целью работы является разработка методологии синтеза гарантирующего управления нелинейными неопределенными объектами, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями, и применение этой методологии для управления сложными технологическими объектами, включая алгоритмическое и программное обеспечение расчетов, таких управлений, реализация которых обеспечит надежность, устойчивость и необходимое качество исполнения основных рабочих режимов тяжеловодного ядерного реактора.

Задачи исследования

Для достижения указанной цели были поставлены следующие научные задачи:

• анализ состояния проблемы представления сложных нелинейных

систем с использованием «расширенной линеаризации»;

• разработка метода синтеза управлений для нелинейных неопределенных динамических объектов с привлечением теории дифференциальных игр;

• разработка метода гарантирующего управления для нелинейных неопределенных динамических систем;

• рассмотрение математической модели тяжеловодного реактора и применение метода гарантирующего управления для его останова;

• построение управления на основе метода гарантирующего управления для исходного объекта;

• моделирование останова тяжеловодного реактора;

• анализ полученных результатов.

Научная новизна и значимость

В рамках достижения поставленной в диссертационной работе цели получены следующие новые результаты:

1. Обосновано применение механизма «расширенной линеаризации» для нелинейных систем высокого порядка с аналитическими нелинейностями, приводящего к эквивалентному представлению исходной системы в виде модели, имеющей линейную структуру и параметры, зависящие от состояния;

2. Проведен синтез управления с использованием квадратичного функционала качества и модели, имеющей линейную структуру и параметры, зависящие от состояния, с привлечением теории дифференциальных игр для задачи управления реактором на тяжелой воде;

3. Введено понятие наименее благоприятных значений параметров для многомерных неопределенных нелинейных систем и рассмотрены методики для их поиска;

4. Математическое моделирование сложного технологического объекта с построенными управлениями продемонстрировало эффективность метода гарантирующего управления.

Теоретическая значимость

1. Обосновано применение «расширенной линеаризации» для синтеза управлений для нелинейных неопределенных систем с применением теории дифференциальных игр;

2. Проанализировано состояние проблемы управления с применением уравнения Риккати с параметрами, зависящими от состояния;

3. Предложена методика для поиска наименее благоприятных значений параметров;

4. Построено гарантирующее управление для высокотехнологической промышленной системы;

5. Определены границы множества возможных гарантирующих управлений в задаче управления сложным технологическим объектом.

Практическая ценность работы

Метод гарантирующего управления, основанный на методе «расширенной линеаризации» и теории дифференциальных игр, а также полученные положительные результаты моделирования останова тяжеловодного ядерного реактора, демонстрирующие эффективность предложенного метода синтеза управления, доказывают возможность применения этого метода для решения различных задач теории управления, включая задачи управления сложными технологическими процессами в различных областях промышленности.

Результаты диссертации могут быть использованы при чтении курсов по современной теории управления и в качестве информационной базы для синтеза управления нелинейными системами.

Достоверность результатов

Достоверность результатов работы подтверждается результатами математического моделирования. Все теоретические выводы и алгоритмы управления получены на основе методик синтеза и анализа с доказательством соответствующих утверждений и предположений. Основной материал диссертации опубликован.

Внедрение

Теоретические и практические результаты работы использовались при выполнении НИР :

• в рамках программы №14 фундаментальных исследований «Анализ и оптимизация функционирования систем многоуровневого, интеллектуального и сетевого управления в условиях неопределенности» Отделения ЭММПА РАН (Направление 1.7. «Методы конструирования гарантирующего управления нелинейными динамическими объектами»);

• в рамках гранта № 13-08-00665 «Субоптимальное и гарантирующее управление нелинейными динамическими объектами» федерального государственного бюджетного учреждения «Российский Фонд Фундаментальных Исследований».

Результаты диссертационной работы внедрены в учебный процесс кафедры кибернетики МИЭМ НИУ ВШЭ по курсу «Теория управления» в рамках магистерской программы «Системы управления и обработки информации в инженерии» направления 231300.68 Прикладная математика.

Личный вклад автора

В диссертации представлены результаты исследований, выполненные самим автором и при его участии. Личный вклад автора заключается в обработке, анализе, обобщении полученных как теоретических результатов,

так и результатов моделирования, в выполнении всего объема экспериментальных исследований, а также в формулировке выводов.

Обоснованность научных положений

Сформулированные научные утверждения обоснованы на теоретических и экспериментальных результатах исследования.

Методы исследования

В диссертации использованы методы теории управления, системного анализа, теории дифференциальных игр, вариационного исчисления, принципа максимума Понтрягина.

Апробация работы

Результаты работы докладывались и обсуждались на конференции «Управление в технических системах», Санкт-Петербург, 2010; «Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах», Санкт-Петербург, 2012; на XXXIV научно-технической конференции преподавателей, сотрудников и аспирантов инженерного факультета Российского университета дружбы народов «Современные инженерные технологии», Москва, 2008; на XII Всероссийском совещании по проблемам управления, Москва, Институт проблем управления имени В.А. Трапезникова РАН, 16-19 июня 2014 г.

Публикации

По результатам исследования опубликовано 6 научных работ, из них 3 научные работы - в журналах, входящих в Перечень Высшей Аттестационной Комиссии при Министерстве образования и науки РФ. Статьи приведены в списке литературы [4-9].

Положения, выносимые на защиту

• Обоснование механизма «расширенной линеаризации» для построения управления нелинейными неопределенными объектами;

• Применение теории дифференциальных игр для построения управления нелинейными неопределенными объектами;

• Метод синтеза гарантирующего управления для нелинейных неопределенных объектов;

• Синтез управления нелинейными объектами, представимыми системами с линейной структурой и параметрами, зависящими от состояния, для задачи управления реактором на тяжелой воде;

• Математическое моделирование задачи останова тяжеловодного ядерного реактора.

Структура и Содержание работы

Работа состоит из Введения, пяти глав, Выводов и Приложения.

Во Введении раскрыты необходимые вопросы, позволяющие представить суть предлагаемой к защите диссертационной работы.

В Первой главе проанализировано текущее состояние проблемы линеаризации нелинейных систем и построения управления с использованием уравнения Риккати с параметрами, зависящими от состояния.

Во Второй главе рассмотрены математические основы метода гарантирующего управления.

В Третьей главе приведено описание технологического объекта-тяжеловодного реактора и сформулирована постановка задачи управления.

В Четвертой главе синтезировано управление для исходного технологического объекта - тяжеловодного ядерного реактора.

В Пятой главе представлены результаты математического моделирования задачи останова реактора.

В Выводах перечислены основные результаты, содержащиеся в диссертации.

В Приложении приведен листинг программы в МаНаЬ, которая использовалась для математического моделирования останова реактора в данной работе, и представлены коэффициенты, необходимые для нахождения решения уравнения Риккати и синтеза управления.

ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЕ РИККАТИ С ПАРАМЕТРАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ СОСТОЯНИЯ. ОБЗОР СОСТОЯНИЯ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гарантирующее управление нелинейными объектами: на примере тяжеловодного ядерного реактора»

ПРОБЛЕМЫ

Развитие различных областей промышленности в середине прошлого столетия очень сильно повлияло и на развитие оптимальной теории управления. Задача построения управления сводилась к приведению системы в такое состояние, в котором функция стоимости была бы минимальной. Появились прикладные задачи стабилизации, для которых было необходимо разрабатывать регуляторы, а для задач слежения - стратегии управления. Среди таких прикладных областей можно отметить построение оптимальных траекторий полета для воздушных судов и космических аппаратов. В частности, линейная теория оптимального управления, для которой объект управления считается линейным и регулятор обратной связи полагается также линейным относительно входа системы, хорошо изучена и широко применяема [21].

Тем не менее, в последнее время, доступность мощных и недорогих микропроцессоров определила открытие все больших преимуществ нелинейной теории управления и соответствующих прикладных задач. После нескольких лет плодотворных исследований сейчас существует ряд техник для синтеза управлений для нелинейных систем. В частности, развитием сложной и строгой математической структуры для формулировки и анализа алгоритмов системного конструирования нелинейных регуляторов занималось много исследователей, начиная с семидесятых годов прошлого столетия (например, Исидори, 1995г.; Халил, 2002г.; Крстик, Канеллакопулос и Кокотович, 1995г.; Слотин, Ли, 1991г.; ван дер Шафт, 1999г.; Афанасьев, Колмановский, Носов, 2003г.; Красовский, 1959г.; Демидович, 1967г.; Ляпунов, 1959г.; Понтрягин, Болтянский, Гамкрелидзе, Мищенко, 1969г.; Пупков, Коньков [22] и т.д.).

В связи с быстрыми технологическими изменениями в разных областях промышленности требования к точности и стоимости нелинейных систем управления увеличиваются. И хотя несколько методов справедливо считаются хорошо теоретически проработанными, существует нехватка комплексного подхода к управлению, которая бы, кроме устойчивости, отвечала еще и требованиям и к качеству, и к робастности для расширения областей применения нелинейных систем. Фактически на данный момент, большинство разработанных теоретических подходов имеют малую применимость из-за сильных ограничений, наложенных на систему.

Разработчики систем управления стремятся к разработке алгоритмов управления, которые бы предлагали систематизированный и простой подход, при этом оптимизирующий качество системы, и предлагают компромиссное между сложностью системы и ее ошибками решение.

Построение управления с использованием уравнения Риккати с параметрами, зависящими от состояния, хорошо известно и стало очень популярным среди ученых. Этот метод предлагает эффективный алгоритм для синтеза нелинейного управления с обратной связью, учитывающий нелинейности в состояниях системы и предлагая при этом большую гибкость управления с помощью весовых матриц, зависящих от состояния. Это метод, впервые предложенный Пирсоном в 1962 году [44], широко рассмотренный Рейдом в 1972г. [45], доработанный Верни и Куком в 1975г. [51], изученный независимо Мрацеком и Клутье в 1998г. [42], и упоминающийся в работах 1996 года Фридланда. Метод основан на факторизации (или параметризации) нелинейной динамики в вектор состояний и матричную функцию, которая также зависит от состояния. При таком подходе БОЯЕ алгоритм полностью учитывает нелинейности системы, переводя нелинейную систему в линейную структуру с матрицами, в которых коэффициенты зависят от состояния (БОС), и минимизируя нелинейный функционал качества, который выражен в квадратичной форме. Алгебраическое уравнение Риккати с БОС

матрицами решается, в таком случае, в интерактивном режиме и предоставляет субоптимальный закон управления. Коэффициенты этого уравнения зависят от заданного в пространстве состояния. Алгоритм тогда включает решение в заданной точке пространства алгебраического уравнения Риккати с параметрами, зависящими от состояния, или БОЯЕ.

Отсутствие уникальности в параметризации создает дополнительные степени свободы, что в свою очередь предоставляет гибкость при построении управления, а значит может быть использовано для улучшения оптимальности и устойчивости регуляторов. Поскольку 8011Е зависит только от текущего состояния системы, расчеты можно проводить в режиме реального времени. В этом случае БОЯЕ определяется вдоль траектории состояний системы. Очевидно, что это очень правильный и гибкий подход для моделирования и управления в режиме реального времени в замкнутом контуре.

Также и с расчетной точки зрения управление на основе БОИЕ, основанное на линейной параметризации, представляет эффективный числовой метод, который основан только на алгебраическом уравнении Риккати. Таким образом, управление на основе БОЯЕ представляет собой интересную альтернативу к трудоемким задачам по решению нелинейных двухточечных краевых задач или дифференциальных уравнений в частных производных, выраженных через уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана. Постановка задачи при использовании БОЯЕ в линейно - квадратичной форме позволяет синтезировать управление для нелинейных систем в достаточно «прозрачном» виде, т.е. параметры управляющих сигналов и сигналов состояния могут регулироваться изменением коэффициентов в матрицах штрафа. Таким образом, этот подход предлагает схожий (по гибкости управления) с существующим линейным Нг метод управления [20].

Метод динамического программирования Беллмана обычно сводится к решению нелинейного дифференциального уравнения в частных

производных первого порядка, выраженного через уравнение Гамильтона -Якоби - Белпмана. Решение уравнения Г-Я-Б дает оптимальную характеристику/ функцию стоимости и определяет оптимальное управление в форме обратной связи при некоторых условиях гладкости.

Потенциальная сложность в применении подхода с уравнением Г-Я-Б заключается в отсутствии эффективного алгоритма решения нелинейных дифференциальных уравнений большой размерности в частных производных. Оптимальное управление может быть найдено только в некоторых случаях таких, как линейная динамика, или квадратичная стоимость, или системы очень низкого порядка. В частности, уравнение Г-Я-Б сводится к алгебраическому уравнению Риккати при определенных условиях. В отличие от хорошо изученной и широко применимой теории и вычислительных инструментов для уравнения Риккати (например, Битанни, Лауб и Вилемс, 1991г. [25]), уравнение Г-Я-Б до сих пор является препятствием для прикладных программ. Получение точного алгоритма оптимального управления - задача очень сложная и практически не выполнимая.

В работах Клутье, де Суза и Мрацека (1996г.) [31] и Мрацека и Клутье (1998г.) [42] показано, что построение управление на основе ЗОЛЕ для задачи оптимального управления нелинейными системами на неограниченном промежутке времени для многомерного случая локально асимптотически стабильно и локально асимптотически оптимально, а в скалярном случае- оптимально. Для общего многомерного случая показано, что необходимые условия оптимальности по Понтрягину асимптотически выполняемы. Также стоит отметить и множество других авторов, решающих прикладные задачи с использованием БОЯЕ, а именно Эрдем и Аллейн, Пэриш и Риджели, Стенсбери [36], [47], [32], [35], [43] и другие [53], [54]. Особое внимание следует обратить на несколько больших обзоров, написанных Тайфуном Чименом, по теории и развитию БОЯЕ в 2008, 2010,

2011 годах [28], [29], [30]. На симпозиумах 1РАС по автоматическому регулированию создаются специальные секции для обсуждения методов с использованием уравнения Риккати с параметрами, зависящими от состояния. Становится вполне очевидно, что ряд успешных моделирований [55], [56] управлений на основе этого метода, а также экспериментальные и прикладные задачи, решенные с его помощью, доказывают преимущества и применимость разработанной теории.

В этой главе рассмотрены вопросы существования решений, стабильности и оптимальности регуляторов, синтезируемых с использованием БОЯЕ метода, а также возможности, гибкость использования и построение эффективного управления на базе БОКЕ. Глава начинается с постановки задачи и продолжается обзором характеристик БОЛЕ, как метода синтеза управления нелинейными системами, включая стабильность, оптимальность, устойчивость. Приведен краткий обзор теоретических результатов, разработанных на сегодняшний день.

Предположим, что поставлена задача оптимального управления нелинейной системой на неограниченном интервале времени. Система наблюдаема и управляема. Уравнение системы описывается следующим образом:

где х еяп , иеГ, /(х)еск , д(х) е ск , с е [0, оо).

Без потери общности предполагаем, что точка х = 0 - это точка равновесия такая, что /(0) = 0.

Функционал качества представлен в виде:

1.1. Постановка задачи

= /(*) +0(*)и(£), *(0) = х0,

м

(1.1)

У = ±£(хт(}(х)х + итПШ№.

(1.2)

Считаем, что весовые матрицы состояния системы и управляющих воздействий зависят от состояния и удовлетворяют для всех х следующим условиям:

Q(x) > 0 , Д(х) > 0 ,

Q : Rn Rnxn , R:Rn-> Rmxm.

Предполагая, что /(0) = 0 и д(х) 0 для Ух , необходимо построить такое управление u(t), которое бы минимизировало функционал качества (1.2) для системы (1.1) и стабилизировало систему для Vx, при этом lim x(t) = 0

t-»oo

u(t) = -k(x) = -K(x)x , k(0) = 0. (1.3)

Таким образом, формулируется задача построения управления для нелинейных систем.

1.2. Расширенная линеаризация

Процесс факторизации нелинейной системы приводит к системе с линейной структурой и SDC матрицами. Это представление получило название «расширенной линеаризации» (Фридланд, 1996г.) или «кажущейся линеаризации» (Верни и Кук, 1975г.) [51], а также SDC параметризации (Клутье, Мрацек, 1996г., 1998г.) [42], [31].

Перепишем систему (1.1) в SDC представлении: £x(t) = A(x)x(t) + B(x)u(t), (1.4)

где /СО = А(х)х и д(х) = В(х),

причем А : Rn RnXn находится с помощью математической параметризации и очевидно не единственна при п > 1.

Дальнейшая параметризация возможна тогда и только тогда, когда /(0) = 0 и /(х) непрерывно дифференцируема.

Любой метод синтеза управления на основе структуры (1.4) с БОС матрицами называется методом «расширенной линеаризации». Итак, образуется достаточно широкий класс методов управления, сводящих к записи управления в виде (1.3). В этом случае система (1.4) принимает вид:

= [А(х)-В(х)К(хШЯ.

Следует отметить, что в случае оптимального управления матрица

Ась(х)=А(х)-В(х)К(х) (1.5)

является Гурвицевой.

1.3. Построение управления с использованием уравнения Риккати с

параметрами, зависящими от состояния

Как следует из известных источников (Т. Чимен, С. Мрацек) управление для нелинейных систем (1.1) с функционалом качества (1.2) ищется в следующем виде:

и(0 = -Н~1Шт(хЖхЫ0, (1.6)

где 5(х) является единственным, симметричным, положительно-определенным решением алгебраического уравнения Риккати

Лг(*№) + 5(х)Л(л:) + <200 - 5(х)В(х)Н-1(х)ВтСхЖх) = 0. (1.7)

Таким образом, в результате управления на основе БОЯЕ получаем следующее решение квазилинейной замкнутой динамической системы:

= [А(х) - ВШ-'ШЧхЖхШО. (1.8)

Метод БОЯЕ для решения систем (1.1) с критерием качества (1.2) на неограниченном интервале времени - это обобщение подхода, где все коэффициенты матриц зависят от параметров состояния. Таким образом,

квадратичный функционал качества и представление системы в виде (1.8) позволяет перейти от уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана к уравнению Риккати с параметрами, зависящими от состояния.

1.4. Дополнительные степени свободы

Для скалярных систем SDC параметризация уникальна для всех х и представлена в виде а(х) = /(х)/х [31]. В многомерном случае jc содержит как минимум две компоненты хх и х2. Таким образом, существует как минимум две параметризации.

Предположим, что Лг(х) и Л2(х) и есть искомые SDC представления такие, что fix) = А±(х)х = Л2(х)х , тогда

А(х, а) = аАг(х) + (1 - а)А2(х) (1.9)

есть представление с коэффициентами, зависящими от состояния для любого а, а А(х,а) представляет семейство SDC параметризаций.

Неединственность SDC параметризации для многомерных систем создает дополнительные степени свободы, которые нельзя получить в других методах управления нелинейными системами и которые предоставляют большую гибкость в построении управления.

1.5. Необходимые условия существования управления при

использовании SDRE подхода

Для представления управления нелинейной системы (1.1) в SDC формулировке (1.6) необходимо выполнение следующих условий:

Условие 1

/(х) является непрерывно дифференцируемой по х вектор-функцией в fi такой, что /(■) G Сг(П) , а В - матричной функцией, В(-) б С°(П).

Условие 2

Без потери общности считаем точку х = 0 ей точкой равновесия системы с и = 0 такой, что /(0) = 0 и В(х) ф 0 Vx е ft.

Условие 3

Расчетные коэффициенты матричных функций принадлежат области С0 (ft) и удовлетворяют условиям:

<?(*) = QT(x) > 0 , Я(х) = RT(x) > 0 Ух Eil.

Условие 4

Соответствующие пары {А(х),В(х)} и {£(*),Л(х)} в SDC представлении управляемы и стабилизируемы для нелинейной системы (1.1) Vx е ft, где Q(x) = Ст(х)С(х).

1.6. Устойчивость и оптимальность SDRE подхода 1.6.1. Устойчивость

Для обеспечения локальной асимптотической устойчивости необходимо выполнение следующих условий:

Гипотеза 1

A(-),B(-),Q(-),R(-) -матричные функции из С^Я").

Гипотеза 2

Соответствующие пары {А(х),В(х)} и {ЛОс), (К*)} в SDC представлении управляемы и стабилизируемы для нелинейной системы (1.1) для всех х

Теорема 1

Предположим, дана многомерная нелинейная система (1.1) с управлением (1.6), где х е Rn (п > 1) и S(x) является единственным решением

уравнения Риккати с параметрами, зависящими от состояния (1.7). Тогда при выполнении Гипотезы 1 и Гипотезы 2 и при применении БОЯЕ подхода получаемое решение локально асимптотически устойчиво [42].

Несмотря на то, что все собственные значения матрицы (1.5) имеют отрицательные действительные значения в х = О и система локально асимптотически устойчива, глобальная асимптотическая устойчивость не гарантируется и может быть доказана только для двух случаев, теоремы [31 ] по которым представлены ниже:

Теорема 2

Если матрица Ась (х) симметрична для всех х, тогда при выполнении условий в Гипотезе 1 и Гипотезе 2, решение, получаемое при использовании ЗОЛЕ подхода, глобально асимптотически устойчиво.

Теорема 3

Для скалярного случая (п = 1) решение уравнения Риккати с параметрами, зависящими от состояния, глобально асимптотически устойчиво.

1.6.2. Оптимальность

В своих работах Мрацек и Клутье [42], [31] вывели необходимые условия оптимальности БОЯЕ для нелинейной системы (1.1) и критерия качества (1.2), которые представлены ниже:

Гипотеза 3

ЭЛ00 дВ(х) дБ(х) а <200 дп(х)

А (х), В (х), 5(х), (? (х), Д (х) и их градиенты

дх ' дх ' дх ' дх ' дх

находятся в окрестности П в начале координат.

Теорема 4

В общем многомерном случае (п > 1) решение БОИЕ в форме нелинейной обратной связи, соответствующее состояние и сопряженные траектории удовлетворяют первому необходимому условию оптимальности

(дН Лч и и и

— = 0) задачи оптимального управления нелинейной системой, представленной в (1.1) и (1.2). Дополнительно, исходя из Гипотезы 3, при асимптотической устойчивости, т.к. х стремится к нулю, второе необходимое

• дН

условие оптимальности (Я = -—) асимптотически выполнимо в квадратичной форме [3].

Данная теорема представляет субоптимальные свойства 8011Е подхода. Т.к. второе условие оптимальности выполняется только асимптотически, теорема опирается только на локальные субоптимальные характеристики БОЯЕ регулятора для случая достаточно нестрогих начальных условий.

Согласно [42] для систем (х е Я") глобально асимптотически устойчивое решение БОЯЕ в форме обратной связи для решения задачи оптимального управления нелинейной системой (1.1) и (1.2) всегда глобально оптимально на Я1.

В [37] показано, что если функция стоимости К(х) уравнения Гамильтона - Якоби - Беллмана такая, что

av с íev

TJ—*Tx9R 9

4 дх

d-f- + xTQx = 0, V(0) = 0,

дх

(1.10)

где V - это оптимальное значение функционала качества / такое, что

V(x) = min J(pc)

и удовлетворяет условию

(1.11)

для некоторой положительно определенной матричной функции S(x), тогда всегда существует параметризация fix) = А(х)х такая, что S(x) является решением SDRE, и, соответственно, предоставляет оптимальное управление. Также показано, что существует хотя бы одно значение У(х), которое бы удовлетворяло условию (1.11).

Но наиболее важным аспектом при таком доказательстве глобальной оптимальности является выбор «правильной» матрицы А(х), т.е. такой, при которой будет выполняться Условие 4. Несмотря на то, что всегда есть некоторые варианты SDC представлений, при которых SDRE глобально оптимально, нахождение «правильного» представления, используя результаты выше, достаточно проблематично, т.к. полагается, что функция стоимости V(x) должна быть априори известна. Фактически, большинство управлений, сконструированных на основе SDRE, построены на выборе матрицы А(х) такой, которая бы удовлетворяла Гипотезе 2. Таким образом, управление получается субоптимальным и локально устойчивым.

Мы видим, что, несмотря на возрастающую популярность этого метода, остается много недоказанных моментов, связанных с обеспечением глобальной оптимальности и глобальной асимптотической устойчивости.

1.7. Преимущества SDRE подхода

Существует много методик для синтеза управлений для нелинейных систем. Каждая из этих техник имеет ряд преимуществ, условий и характеристик. Некоторые подходят только для систем с определенной структурой, другие не имеют строгой структуры и требуют построения нескольких управлений, а третьи, например, мало применимы на практике из-за строгих условий, накладываемых на систему. Метод SDRE, напротив, предлагает системный подход для построения управлений для широкого класса нелинейных систем и имеет в совокупности ряд преимуществ по сравнению с другими подходами. В то время как некоторые нелинейные

методы гарантируют только устойчивость, ЗОЯЕ напрямую обеспечивает качество системы с помощью функционала качества (1.2). Более того, коэффициенты, зависящие от параметров состояния, и весовые матрицы могут быть назначены для получения требуемых результатов. Таким образом, инженер может напрямую управлять качеством системы, изменяя их. Более того, эти матрицы не обязательно должны быть постоянными, но могут также быть и функциями.

Дополнительные степени свободы, получаемые в результате БОС представления А(х), могут также использоваться для улучшения качества управления. БЭС представление полностью описывает нелинейности системы. И хотя БОС параметризация уникальна для скалярного случая, она не единственна для многомерного случая и может быть представлена как А(х,а), где а - вектор свободных параметров. Введение а создает дополнительные степени свободы, которые могут быть использованы не только для улучшения качества, но и во избежание сингулярностей или потери управления, а также для предоставления более гибкой концепции управления. Такие степени свободы нельзя получить при использовании традиционных методов управления нелинейными системами.

Стоит отметить, что трудности с расчетами в режиме реального времени с помощью БОЯЕ метода гораздо выше, чем при использовании других нелинейных методов, т.к. алгебраическое уравнение Риккати должно решаться в интерактивном режиме. Но в связи с постоянно увеличивающимися компьютерными мощностями, а также учитывая имеющиеся на данный момент результаты исследований, рассмотренные в разделе 1.8 этой главы, мы видим, что БОЛЕ подходит для управления сложными техническими системами высокого порядка в режиме реального времени.

Тем не менее необходимо отметить, что успешное применение БОЯЕ метода напрямую зависит от возможности нахождения поточечно

устойчивого и детектируемого ЭОС представления системы в соответствующий области. И стоит признать, что, несмотря на обширные общедоступные исследования по этой проблеме, существует большой теоретический пробел [40], [46], [52] в логическом обосновании выбора ББС представления и весовых матриц, которые влияют на оценку и качество системы. Выбор БЭС представления рассмотрен в нескольких работах, например, [30], [33], а выбор весовых матриц - в работах [30], [36].

1.8. Результаты применения БОКЕ подхода

Для демонстрации популярности и применения для практических задач БОИЕ подхода в этом разделе главы приведены несколько примеров и соответствующие ссылки на литературу:

• Управление летательными аппаратами и спутниками [38], [41], [47];

• Управление химическим реактором [32];

• Балансировка обратного маятника [34];

• Управление химиотерапией при лечении рака [30];

• Системы с магнитной левитацией [35];

• Управление маленькими беспилотными вертолетами [26].

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ ГАРАНТИРУЮЩЕГО УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМЫ С ПАРАМЕТРАМИ, ЗАВИСЯЩИМИ ОТ СОСТОЯНИЯ

В 1965 году была опубликована фундаментальная работа Руфуса Айзекса по теории дифференциальных игр [1]. Сущность этой концепции заключается в описании игры двух игроков с противоположными целями, каждый из который должен принять наилучшее решение. Ценой игры, ее минимаксом, является наилучшее значение платы, целью же игроков является ее максимизация или минимизация соответственно.

При этом у Р. Айзекса отмечено, что, вероятно, теория управления входит в раздел дифференциальных игр, как игра с одним игроком. Моделирование ядерного реактора, приведенное в четвертой главе этой работы, можно рассматривать как игру с одним игроком, а второй игрок - это возмущения, которые действуют на систему.

Приведем в качестве примера этого подхода одну из задач Р. Айзекса, которую тот, в свою очередь, заимствовал у Хейла и Ла-Салля[1]:

Тело единичной массы движется в жидкости с единичной вязкостью. Можно управлять, прикладывая к телу силу по величине, не превосходящую единицы. Задача состоит в переводе тела в заданную точку за минимальное время. Или же задача может состоять в минимизации энергии, необходимой для перевода тела в заданную точку.

Известное в теории управления решение для построения управления для систем, выраженных обыкновенными дифференциальными уравнениями, уравнение в частных производных Гамильтона - Якоби - Беллмана выводится, в случае дифференциальных игр, как функция цены и называется уравнением Гамильтона - Якоби - Беллмана - Айзекса.

Конечно, обязательно необходимо отметить труды группы Понтрягина [17], [18], Л.А. Петросяна [19] и H.H. Красовского в развитии теории дифференциальных игр [13], основной идеей которого было разработанное автором правило экстремального наведения.

Концепция дифференциальных игр для решения уравнения Риккати с параметрами, зависящими от состояния, подробно описана в [2] и применена в этой работе.

Задача выбора оптимального управления сформулирована как игровая задача, и оптимальная стратегия управления определяется как стратегия, гарантирующая достижение наилучшего результата при наименее благоприятных сочетаниях неопределенных факторов.

Поскольку на систему воздействуют неконтролируемые помехи, о которых известны только области их изменения, а также поскольку слово игра подразумевает, что поведения объектов заранее не известны, т.к. зависят, например, от воли пилота в случае с самолетами [21], мы рассматриваем синтез гарантирующего, а не оптимального управления.

Стоит также отметить, что синтез гарантирующего управления рассмотрен для класса систем, которые могут быть линеаризованы и представлены в БОС представлении, т.е. с параметрами, зависящими от состояния.

Квадратичный функционал качества и линеаризованная структура дают возможность перейти от решения уравнения Гамильтона- Якоби- Беллмана-Айзекса к уравнению Риккати с параметрами, зависящими от состояния (80ЯЕ).

2.1. Общая постановка задачи дифференциальных игр

Пусть задан в фазовом пространстве £ объект х = /(*,«, иО, (2.1)

где и, IV - управления первого и второго игрока.

Целью игроков является: для одного минимизировать, для другого максимизировать плату, которая описывается следующим функционалом:

](х, и, иО = / 1{х, и, IV, + К(х(Т)). (2.2)

Предполагается, что функции гладкие.

Если К = О, то игра имеет интегральную плату, если Ь = 0 -терминальную плату.

2.2. Постановка задачи синтеза гарантирующего управления для систем с параметрами, зависящими от состояния

Рассмотрим нелинейный управляемый и наблюдаемый объект, который описывается дифференциальным уравнением:

4*(0 = /(*)+$!(*Мt)+g2(x)u(t), х((0)=х0, ш

у(0 = Сх(0, (2.3)

где хеЯ" - состояние системы; Х0~ пространство начальных состояний

системы; у^Ят,т<п — выход системы; «еЛг - управление; ^е/?"1 -неизвестные возмущающие воздействия, |и/(01 ■< а(х(0); Т - интервал [0,оо). Функции /(х), ^[(х), gг^x) будем предполагать достаточно гладкими, чтобы через любые (0,д:0)бГхП проходило одно и только одно решение (2.3) х(/0,*о>0 и был бы единственный соответствующий выход системы >>(/).

Введем функционал, оценивающий эффективность управления: J(x,u,w) =

Т

2

= \уТ(T)Fy{T)+± I { yT(t)Q(x)y(t)+uT(t)R(x)u(t)-wT(t)P(x)w(t) ]dt. (2"4)

h

Матрицы F, Q(x) могут быть положительно полуопределенными; матрицы R(x), Р(х) - положительно определенные и их значения определяют ограничения на управления.

Задача заключается в построении оптимальных стратегий игроков, где стратегия определяется как решение игрока, каждое из которых будет соответствовать текущему состоянию системы.

2.3. Общее решение для задачи дифференциальных игр

Классическое уравнение Гамильтона - Якоби - Беллмана - Айзекса предполагает, что искомая функция, функция цены, является достаточно гладкой, т.е. непрерывно дифференцируемой и удовлетворяющей уравнению во всех точках области определения. В нашем случае для существования решения задачи предполагаем все функции достаточно гладкими.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Окунькова, Евгения Вячеславовна, 2014 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Айзеке Р. Дифференциальные игры // М.: Мир, 1967. 480 с.

2. Афанасьев В.Н. Гарантирующее управление нелинейными объектами // М.: МИЭМ, 2012. 170 с.

3. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления // М.: Высшая школа, 2003. 614 с.

4. Афанасьев В.Н., Окунькова Е.В. Гарантированное управление нелинейным объектом (на примере ядерного реактора на тяжелой воде) // Мехатроника, автоматизация, управление. 2013. №5. С. 2-4.

5. Афанасьев В.Н., Окунькова Е.В. Мажорирующие модели в задачах синтеза гарантирующих управлений нелинейными объектами // Тез. докл. XII Всероссийское совещание по проблемам управления. Москва. 2014. С.4392-4398.

6. Афанасьев В.Н., Окунькова Е.В. Робастное Я^ управление

нелинейными объектами с параметрами, зависящими от состояния // Вестник РУДН. Инженерные исследования. 2007. №4. С. 60-70.

7. Афанасьев В.Н., Окунькова Е.В. Робастное управление линейными неопределенными системами // Вестник РУДН. Инженерные исследования. 2009. № 4. С. 38^12.

8. Афанасьев В.Н., Окунькова Е.В. Управление нелинейным объектом с использованием робастной модели // Тез. докл. УТС-2010. Москва. 2010. С.299-303.

9. Афанасьев В.Н., Окунькова Е.В. Управление нелинейным объектом с использованием робастной модели // Тез. докл. «Управление в технических, эргатических, организационных и сетевых системах». Санкт-Петербург. 2012. С. 68-71.

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц // М.: Наука, 1988. 552 с. П.Дементьев Б. А. Ядерные энергетические реакторы // М.:

Энергоатомиздат, 1990. 352 с.

12. Икрамов Х.Д. Несимметричная проблема собственных значений // М.: Наука, 1991. 240 с.

13. Красовский H.H. Игровые задачи о встрече движений // М.: Наука, 1970. 420 с.

14. Клименко A.B., Зорина В.М. Тепловые и атомные электростанции // М.: Издательский дом МЭИ. 2007. 648 с.

15. Ланкастер П. Теория матриц // М.: Наука, 1978. 282 с.

16. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств // М.: Наука, 1972. 232 с.

17. Мищенко Е. Ф. Задачи преследования и уклонения от встречи в теории дифференциальных игр // М.: Изв. АН СССР. Техн. Кибернетика. 1971. №5. С.3-9.

18. Никольский М.С. Первый прямой метод JI.C. Понтрягина в дифференциальных играх // М.: Изд-во МГУ. 1984. 64 с.

19. Петросян Л.А., Кузютин Д.В. Игры в развернутой форме: оптимальность и устойчивость // Санкт-Петербург: Издательство Санкт-Петербургского госуниверситета. 2000. 222 с.

20. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление // М.: Наука, 2002. 303 с.

21. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов и дифференциальные игры // Тр. МИАН СССР. 1985. Т. 169. С. 119-157.

22. Методы классической и современной теории автоматического управления / Пупков К. А. [ и др.] М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 252 с.

23. Belikov S., Kamali J., Friedland В. A State-dependent Ricatti Equation filter for a rapid thermal processing system // Proceedings of the 36th IEEE Conference on Decision and Control. 1997. Vol.3. P. 2547-8.

24. Bellman R. Dynamic programming // Princenton, New Jersey: Princenton Univ. Press. 2003. 366 p.

25. Bittani S., Laub A.J., Willems J.C. The Riccati Equation // Heidelberg: Springer Verlag. 1991. P. 161-196.

26. Bogdanov A., Wan E. State-Dependent Riccati Equation control for small autonomous helicopters // AIAA Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2007. Vol. 30 № 1. P. 47-60.

27. Bredahl D.W., Shalaby B.A., Grant S.D. Candu3: Enhanced CANDU system// ARS94. 1994. P. 870-877.

28. Cimen T. On the existence of Solutions Characterized by Riccati equations to Infinite-Time Horizon Nonlinear Optimal Control Problems // 18th WC IFAC. Milano. 201 l.P. 10.

29. Cimen T. State-Dependent Riccati Equation (SDRE) Control: A Survey // 17th WC IFAC. Seoul. 2008. P. 15.

30. Cimen T. Systematic and Effective Design of Nonlinear Feedback Controllers via State-Dependent Riccati Equation (SDRE) Method // Annual Reviews in Control, Elsevier Ltd. 2010. P. 32-51.

31. Cloutier J.R., Souza C.N., Mracek C.P. Nonlinear Regulation and Nonlinear Hm Control via the State-Dependent Riccati Equation Technique // 1st International Conference of Nonlinear Problems in Aviation and Aerospace, Daytona. FL. 1996. P. 117-141.

32. Cloutier J.R., Stansbery D.T. Control of continuosly stirred tank reactor using an asymmetric solution of the State-Dependent Riccati Equation // IEEE International Conference on Control Applications. 1999. Vol.2. P. 893-898.

33. Cloutier J.R., Stansbery D.T. The Capabilities and Art of State-Dependent Riccati Equation-based design // American Control Conference. 2002. Vol.l. P.86-91.

34. Dang P., Lewis F.L. Controller for Swing-Up and Balance of Single Inverted Pendulum using SDRE-based solution // 31th Annual Conference of IEEE Industrial Electronics Society. 2005. P.6.

35. Erdem E.B., Alleyene A.G. Design of class of nonlinear controllers via State-Dependent Riccati Equations // IEEE Transactions on Control Systems Technology. 2004. P. 133-137.

36. Hammett K.D., Ridgely D.B. Relaxed conditions for asymptotical stability of nonlinear SDRE regulators // 36th IEEE Conference on Decision and Control. 1997. Vol.4. P. 4012-4017.

37. Huang Y., Lu W-M. Nonlinear Optimal Control: Alternative to Hamilton-Jacobi Equation // 35th IEEE Conference on Decision and Control. 1996. P.3942-3947.

38. Johnson E.N., Schräge D.P., Vachtsevanos G. Software Enabled Control Experiments with University Operated Unmanned Aircraft // AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference. 2005.

39. Khan N. Decentralized State-Space Controller Design of a Large PHWR. PhD dissertation. University of Ontario Institute of Technology. 2009. p. 67.

40. Liu R. W., Leake J. Inverse Lyapunov Problems // Technical Report No. EE-6510. Department of Electrical Engineering. University of Notre Dame. 1965.

41. Menon P.K., Ohlmeyer E.J. Computer-Aided Synthesis of Nonlinear Autopilots for Missiles //Nonlinear Studies. 2004. Vol. 11, №. 2. P. 173-198.

42. Mrasek C.P., Clouter J.R. Control design for the nonlinear benchmark problem via sdre method // Int. Journal Robust and Nonlinear Control. 1998. № 8. P.401-433.

43. Parish D.K., Ridgely D.B. Attitude Control of a satellite using the SDRE method // Proceedings of the American Control Conference. Vol.2. 1997. P.942-946.

44. Person J.D. Approximation methods in optimal control // Journal of Electronics and Control. 1962. №12. P. 453^69.

45. Reid W. T. Riccati Differential Equations // Academic Press Ltd. 1972. p. 216.

46. Sain M. K., Won C.-H., Spencer Jr. B. F., Liberty S. R. Cumulants and Risk-Sensitive Control: A Cost Mean and Variance Theory with Application to Seismic Protection of Structures. // Advances in Dynamic Games and Applications, Annals of the International Society of Dynamic Games. Boston: Birkhauser. 2000. Vol.5. P.427^59.

47. Stansbery D.T., Cloutier J.R. Position and Attitude Control of a Spacecraft Using the State-Dependent Riccati Equation Technique // American Control Conference. 2000.

48. Talange D.B., Bandyopadhyay B., Tiwari A.P. Spatial Control of a Large Pressurized Heavy Water Reactor by Decentralized Periodic Output Feedback and Model Reduction Techniques // IEEE Transactions of Nuclear Sciences. 2006. Vol.53. № 4. p. 2308-2317.

49. Tiwari A.P. Modeling and Control of a Large Pressurized Heavy Water Reactor. PhD dissertation. Indian Institute of Technology. Bombay. 1999.

50. Tiwari A.P., Bandyopadhyay B. Control of Xenon Induced Spatial Oscillations in a large PHWR // IEEE International Conference on Global Connectivity in Energy, Computer, Communication and Control. New Delhi. 1998. Vol.1. P.178-181.

51. Wernli A., Cook G. Suboptimal control for the nonlinear quadratic regulator problem// Automatica. 1975. № 11. P. 75-84.

52. Won C.-H., Saroj B. Optimal Control Using an Algebraic Method for Control-Affine Nonlinear Systems // Temple University. PA. 2007. p. 33.

53. Itik M., Salamci M.U., Banks, S.P. SDRE Optimal Control of Drug Administration in Cancer Treatment // Turkish Journal of Electrical and Computer Engineering, Elektrik. 2010. №5. p. 715-729.

54. Vaddi S.S., P.K. Menon, E.J. Ohlmeyer . Numerical SDRE approach for missile integrated guidance control // Journal of guidance, control, and dynamics. 2009. Vol.32, №2. p. 699-703.

55. Friedland. B. Quasi-optimum control and the SDRE method // Proc. of the IFAC Symposium on Automatic Control in Aerospace. Toulouse. France. 2007. p. 762-767.

56. Salamci, M.U., B. Gokbilen . SDRE missile autopilot design using

sliding mode control with moving sliding surfaces. // Proc. Of the IFAC Symposium on Automatic Control in Aerospace. Toulouse. France. 2007. p.768-773.

ПРИЛОЖЕНИЕ

В Приложении приведены блок - схема в среде Simulink и листинг программы в среде Matlab R2013a. Более подробно результаты моделирования рассмотрены в пятой главе этой работы.

. j » t »

х л- у ц

Рисунок П. 1. Общая блок - схема для моделирования всех зон реактора

Для каждой зоны реактора была собрана индивидуальная схема с соответствующими этой зоне параметрами, коэффициентами и матрицами. Схема для одной из зон представлена на рисунке ниже:

1 z4 1 »«РОИ

ШНТ

Рисунок П. 2. Блок - схема для каждой зоны реактора

Были отдельно выведены осциллографы для анализа результатов моделирования по изменению уровня воды, концентрации ксенона и йода, мощности, а также по сигналам управления для двух способов его построения для всех зон реактора в отделенности и суммарно.

Рисунок П.З. Несколько из используемых осциллографов для анализа

результатов моделирования Листинг программы в среде Ма^аЬ:

с1с

clear all

T=100; step=0.01;

R=2e7;% For overall matrix A R3=2; R2=2e4; R4=2e4; Rl=2e7; R5=2; R6=2e7; R7=2; R8=2; R9=2; R10=2; R11=2; R12=2; R13=2; R14=2; Q14=([ [0, o, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0],

[О, О, 0,1,0], [0, 0, О, 0,0]]);

Q13=([ [1,0, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 1,0, 0], [0, 0, 0, 1е4, 0], [0, 0, 0, 0,1]]);

Q12=([ [0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 1, 0], [0, 0, 0, 0, 0]]);

Qll=([ [1,0, 0, 0, 0], [0,1,0, 0, 0], [0, 0,1,0, 0], [0, 0, 0, 1е4, 0], [0, 0, 0, 0,1]]); Q10=([

[1,0, 0, О, 0], [0,1,0,0, 0], [0,0,1,0, 0], [0, 0, 0, 1е4, 0], [0, 0, 0, 0,1]]);

Q9=([ [1, 0, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 1е4, 0], [0, 0, 0, 0, 1е2]]);

Q8=([ [1,0, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0, 0], [0, 0,1,0, 0], [0, 0, 0, 1е4, 0], [0, 0, 0, 0, 1]]);

Q7=([ [1,0, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0, 0], [0, 0, 1, 0, 0],

[О, О, 0,1,0], [0, О, О, 0,1]]);

Q6=([ [1,0, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0, 0], [0, 0,1,0, 0], [0, 0, 0,1,0], [0, 0, 0, 0, 1еЮ]]);

Q5=([ [О, 0, 0, 0,0], [О, 0, 0, 0, 0], [О, о, 0, 0, 0],

[О, О, 0, 1е4, 0], [О, О, О, О, 1]]);

Q4=([ [О, 0, 0, 0, 0], [О, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0], [О, О, 0, 1е5, 0], [О, О, О, 0, 1е2]]);

Q3=([

[0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, le4, 0], [0, 0, 0, 0, 1]]);

Q2=([ [0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, 0, 0], [0, 0, 0, le5, 0], [0, 0, 0, 0, le2]]);

Ql=([ [1,0, 0, 0, 0], [0,1,0, 0, 0], [0, 0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, le5, 0], [0, 0, 0, 0, le2]]);

% Physical constants

1= 7.9E2; %prompt neutron lifetime

lambda=9.1E4; %decay constant

Sigma_f=1.262e-3; %thermal neutron fission cross section

sigma_x=1.2E-18; %xenon microscopic thermal neutron absorption cross section

v=3.19E-l; %termal neutron speed

gamma_I=6.18E-2; % Iodine yield per fission

lambda_x=2.1El; %xenon decay constant

beta=7.5E-3; %total delayed neutron fractional yield

Sigma_a=3.2341e-3; %thermal neutron absorption cross section

E_eff=3.2E-18; %Energy liberated per fission

gamma_x=6E-3; %Xenon yield per fission

D=0.9328; %Diffusion coefficient

lambda_I=2.878E 1; %Iodine decay constant

m_d=l; %number of delayed neutron precursor groups

m_i=2; %constant

K_i—3.5e-5;

H0=100;

T_f0=547.2831; %fuel temperature

T_c0=541.4037; %coolant temperature

T_l=539; %coolant inlet temperature

mu_f=-3.4722; %fuel reactivity coefficient

mu_c=3.33333el; %coolant reactivity coefficient

k_a=1.38428e-3;

k_c=1.758e4; k_d=4.3016759e4; % Coupling coefficients

alpha = [0 5.607 8.4105 2.803 0 0 0 3.390 0 0 0 0 0 0 5.607 0 0 2.803 8.4105 0 0 0 3.390 0 0 0 0 0 9.650 0 0 4.824 0 9.650 0 0 0 3.39 0 0 0 0 5.180 5.180 7.772 0 7.772 5.18 5.18 0 0 0 3.39 0 0 0 0 9.650 0 4.824 0 0 9.65 0 0 0 0 3.390 0 0 0 0 8.4105 2.803 0 0 5.607 0 0 0 0 0 3.39 0 0 0 0 2.803 8.4105 5.607 0 0 0 0 0 0 0 3.39 3.390 0 0 0 0 0 0 0 5.607 8.4105 2.803 0 0 0 0 3.390 0 0 0 0 0 5.607 0 0 2.803 8.4105 0 0 0 0 3.390 0 0 0 0 9.65 0 0 4.824 0 9.65 0 0 0 0 3.39 0 0 0 5.180 5.180 7.772 0 7.772 5.18 5.18 0 0 0 0 3.39 0 0 0 9.65 0 4.824 0 0 9.650 0 0 0 0 0 3.39 0 0 0 8.4105 2.803 0 0 5.607 0 0 0 0 0 0 3.39 0 0 0 2.803 8.4105 5.607 0]*1; % Zonal volumes

V=[14.723280,14.72328,17.633616,8.833968,17.633616,14.72328,14.723280,14.7 23280,14.72328,17.633616,8.833968,17.633616,14.72328,14.723280]'*1.0e+6;

% Initial zonal Power

P=[ 132.7500, 135.9900, 123.3000, 98.5500, 123.3000, 132.7500, 135.9900, 132.7500, 135.9900, 123.3000, 98.5500, 123.3000, 132.7500, 135.9900]';

% Xenon absorption microscopic cross section

for i= 1:14

sigmabar_x(i,l) = sigma_x/(E_eff*Sigma_f*V(i,l)); end

% Initial Iodine concentration 10 = (gamma_I*Sigma_f71ambda_I).*P; for i=l:14

% Initial Xenon concentration

X0(i, 1) =((gamma_I+gamma_x)*Sigma_f*P(i)/(lambda_x+sigmabar_x(i, 1 )*P(i))); end

% Initial delayed neutron precursors concentration CO = (beta/(l*lambda)). *P;

%-First zone-

xlz=[I0(l); X0(1,1); C0(1); HO; P(l)];

Bl=[0;0;0;-m_i;0];

A1 z=[-lambda_I 0 0 0 lambda_I;

lambda_I*I0( 1 )/X0( 1,1) -lambda_x+sigmabar_x(l,l)*P(l) 0 0 lambda_x-lambda_I*I0(l)/X0(l,l);

0 0 0 0 0;

O -sigmabar_x(l, 1)*Х0(1, l)/(l*Sigma_a) beta/1 -K_i/1 P( 1 ) *(alpha( 1,2)+alpha( 1,3)+alpha( 1,4)+alpha( 1,8))/l] ;

AlzO=[-lambda_I ООО lambda I;

0 -lambda_x 0 0 lambda_x;

0 0 -lambda 0 lambda;

0 0 0 0 0;

0 0 beta/1 -K_i/10];

%-Second zone-

x2z=[I0(2); X0(2,l); C0(2); HO; P(2)]; B2=[0;0;0;-m_i;0];

A2z=[-lambda_I 0 0 0 lambdaj;

lambda_I*I0(2)/X0(2,1 ) -lambda_x+sigmabar_x(2,l)*P(2) 0 0

lambda_x-lambda_I *I0(2)/X0(2,1 );

0 0 -lambda 0 lambda;

0 0 0 0 0;

0 -sigmabar_x(2,1)*X0(2, l)/(l*Sigma_a) beta/1 -K_i/1 P(2)*(alpha(2,l)+alpha(2,4)+alpha(2,5)+alpha(2,9))/l];

A2zO=[-lambda_I 0 0 0 lambdaj;

0 -lambda_x 0 0 lambda_x;

0 0 -lambda 0 lambda;

0 00 00;

%-Third zone-

x3z=[I0(3); X0(3,l); C0(3); HO; P(3,l)]; B3=[0;0;0;-m_i;0];

A3z=[-lambda_I 0 0 0 lambda_I;

lambda_I*I0(3)/X0(3,l) -lambda_x+sigmabar_x(3,l)*P(3) 0 0

lambda_x-lambda_I*I0(3)/X0(3,1);

0 0 -lambda 0 lambda;

0 0 0 0 0;

0 -sigmabar_x(3,1) *X0(3,1)/(1* Sigma_a) beta/1 -K_i/1 P(3)*(alpha(3, l)+alpha(3,4)+alpha(3,6)+alpha(3,10))/l];

A3z0=[-lambda_I 0 0 0 lambda_I;

0 -lambda_x 0 0 lambda_x;

0 0 -lambda 0 lambda;

00000;

0 0 beta/1 -K_i/10];

%-Fourth zone-

x4z=[I0(4); X0(4,l); C0(4); HO; P(4)]; B4=[0;0;0;-m_i;0];

A4z=[-lambda_I 0 0 0 lambdaj;

lambda_I*I0(4)/X0(4,1) -lambda_x+sigmabar_x(4,1)*P(4) 0 0

lambda_x-lambda_I*I0(4)/X0(4,1);

0 0 0 0 0;

0 -sigmabar_x(4,1)*Х0(4, l)/(l*Sigma_a) beta/1 -K_i/1 P(4) *(alpha(4,1 )+alpha(4,2)+alpha(4,3)+alpha(4,5)+alpha(4,6)+alpha(4,7)+alpha( 4,ll))/l];

A4z0= [-lambdaj 0 0 0 lambdaj; 0 -lambda_x 0 0 lambda_x; 0 0 -lambda 0 lambda; 0 0 0 0 0;

0 0 beta/1-K_i/10];

%-Fifth zone-

x5z=[I0(5); X0(5,l); C0(5); HO; P(5)];

B5=[0;0;0;-m_i;0];

A5z=[-lambda_I 0 0 0 lambdaj;

lambda J *I0(5)/X0(5,1 ) -lambda_x+sigmabar_x(5,l)*P(5) 0 0

lambda_x-lambda_I *I0(5)/X0(5,1 ) ;

0 0 -lambda 0 lambda;

0 0 0 0 0;

0 -sigmabar_x(5,1)*X0(5, l)/(l*Sigma_a) beta/1 -K_i/1 P(5) *(alpha(5,2)+alpha(5,4)+alpha(5,7)+alpha(5,12))/l] ;

A5zO=[-lambda_I 0 0 0 lambdaj;

0 -lambda_x 0 0 lambda_x;

00 000;

0 0 beta/1 -K_i/10];

%-Sixth zone-

x6z=[I0(6); X0(6,l); C0(6); HO; P(6)];

B6=[0;0;0;-m_i;0];

A6z=[-lambda_I 0 0 0 lambdaj;

lambda_I*I0(6)/X0(6,1) -lambda_x+sigmabar_x(6,l)*P(6) 0 0

lambda_x-lambda_I*I0(6)/X0(6,1);

0 0 -lambda 0 lambda;

0 0 0 0 0;

0 -sigmabar_x(6,1) *X0(6,1)/(1* Sigma_a) beta/1 -K_i/1 P(6) *(alpha(6,3)+alpha(6,4)+alpha(6,7)+alpha(6,13))/l];

A6zO=[-lambda_I 0 0 0 lambdaj;

0 -lambda_x 0 0 lambda_x;

0 0 -lambda 0 lambda;

0 0 0 0 0;

0 0 beta/1 -KJ/10];

%-Seventh zone-

x7z=[I0(7); X0(7,l); C0(7); HO; P(7)];

B7=[0;0;0;-mJ;0];

lambda_I*I0(7)/X0(7,1 ) -lambda_x+sigmabar_x(7,l)*P(7) 0 0

lambda_x-lambda_I *I0(7)/X0(7,1 );

0 0 -lambda 0 lambda;

0 0 0 0 0;

0 -sigmabar_x(7,1 )*X0(7,1 )/(1* Sigma_a) beta/1 -K_i/1 P(7)*(alpha(7,4)+alpha(7,5)+alpha(7,6)+alpha(7,14))/l];

A7zO=[-lambda_I 0 0 0 lambdaj;

0 -lambda x 0 0 lambda_x;

0 0 -lambda 0 lambda;

0 0 0 0 0;

0 0 beta/1-K_i/10];

%-Eighth zone-

x8z=[I0(8); X0(8,l); C0(8); HO; P(8)];

B8=[0;0;0;-m_i;0];

A8z=[-lambda_I 0 0 0 lambdaj;

lambdaJ*I0(8)/X0(8,l) -lambda_x+sigmabar_x(8,l)*P(8) 0 0

lambda_x-lambdaJ*I0(8)/X0(8,1);

0 0 -lambda 0 lambda;

0 0 0 0 0;

0 -sigmabar_x(8,1 ) *X0(8,1 )/(l*Sigma_a) beta/1 -K_i/1 P(8)*(alpha(8,1 )+alpha(8,9)+alpha(8,10)+alpha(8,11 ))/l] ;

0 -lambda_x 0 0 lambda_x; 0 0 -lambda 0 lambda; 0 0 0 0 0;

0 0 beta/1 -K_i/10];

%-Ninth zone---

x9z=[I0(9); X0(9,l); C0(9); HO; P(9)];

B9=[0;0;0;-m_i;0];

A9z=[-lambda_I ООО lambdaj;

lambda_I*I0(9)/X0(9,1 ) -lambda_x+sigmabar_x(9,l)s|tP(9) 0 0 lambda_x-lambda_I*I0(9)/X0(9,1);

0 0 -lambda 0 lambda;

0 0 0 0 0;

0 -sigmabar_x(9,1)*X0(9, l)/(l*Sigma_a) beta/1 -K_i/1 P(9) *(alpha(9,2)+alpha(9,8)+alpha(9,11 )+alpha(9,12))/l] ;

A9z0= [-lambdaj 0 0 0 lambdaj;

0 -lambda_x 0 0 lambda_x;

0 0 -lambda 0 lambda;

0 0 000;

0 0 beta/1-K_i/1 0];

%-Tenth zone-

xlOz= [10(10); X0(10,l); C0(10); HO; P(10)]; В10=[0;0;0;-m_i;0];

A10z=[-lambdaJ 0 0 0 lambda_I;

lambda J *I0( 10)/X0( 10,1) -lambda_x+sigmabar_x( 10,1 )*P( 10) 0 0 lambda_x-lambda_I*I0(10)/X0(10);

0 0 -lambda 0 lambda;

00 0 00;

0 -sigmabar_x( 10,1) *X0( 10,1)/(1* Sigma_a) beta/1 -K_i/1 P(10)*(alpha(l 0,3)+alpha(l 0,8)+alpha(l 0,1 l)+alpha( 10,13))/l];

A1 OzO=[-lambda_I 0 0 0 lambdaj;

0 -lambda_x 0 0 lambda_x;

0 0 -lambda 0 lambda;

0 0 0 0 0;

0 0 beta/1-K_i/10];

%-Eleventh zone-

xl lz=[I0(l 1); X0(11,1); C0(11); HO; P(11)];

Bll=[0;0;0;-m_i;0];

A1 lz= [-lambdaj 0 0 0 lambdaj;

lambdaj *I0(11)/X0(11,1) -lambda_x+sigmabar_x(l 1,1)*P(11) 0 0 lambda_x-lambdaj*10(l 1)/X0(11,1);

0 0 -lambda 0 lambda;

00 000;

0 -sigmabar_x( 11,1) *X0( 1 l,l)/(l*Sigma_a) beta/1 -K_i/1 P(1 l)*(alpha(l l,4)+alpha(l l,8)+alpha(l l,9)+alpha(l l,10)+alpha(l l,12)+alpha(l 1 ,13)+alpha(l 1,14))/1];

A1 lzO=[-lambda_I 0 0 0 lambda_I; 0 -lambda x 0 0 lambda x; 0 0 -lambda 0 lambda; 0 0 0 0 0;

0 0 beta/1-K_i/10];

%-Twelfth zone----

xl2z= [10(12); X0(12,l); C0(12); HO; P(12)]; B12=[0;0;0;-m i;0];

A12z=[-lambda_I 0 0 0 lambdaj;

lambda_I *I0( 12)/X0( 12,1) -lambda_x+sigmabar_x(12,l)*P(12) 0 0

lambda_x-lambda I *I0( 12)/X0( 12,1);

0 0 -lambda 0 lambda;

0 0 0 0 0;

0 -sigmabar_x(l 2,1)*X0(12,1 )/(l* Sigma_a) beta/1 -KJ/1 P(12)*(alpha(12,5)+alpha(12,9)+alpha(12,ll)+alpha(12,14))/l];

A12zO=[-lambda_I 0 0 0 lambdaj;

0 -lambda_x 0 0 lambda_x;

0 0 -lambda 0 lambda;

00000;

0 0 beta/1-KJ/10];

%-Thirteenth zone-

xl3z= [10(13); X0(13,l); C0(13); HO; P(13)];

B13=[0;0;0;-m_i;0];

A13z=[-lambda_I 0 0 0 lambdaj;

lambda_I*I0( 13)/X0( 13,1) -lambda_x+sigmabar_x(13,l)*P(13) 0 0

lambda_x-lambda_I *I0( 13)/X0( 13,1);

0 0 -lambda 0 lambda;

0 0 0 0 0;

0 -sigmabar_x( 13,1) *X0( 13,1 )/(l* Sigma_a) beta/1 -K_i/1 P( 13 ) * (alpha( 13,6)+alpha( 13,10)+alpha( 13,11 )+alpha( 13,14))/l];

A13zO=[-lambda_I 0 0 0 lambdaj;

0 -lambda_x 0 0 lambda_x;

0 0 -lambda 0 lambda;

0 0 0 0 0;

0 0 beta/1-KJ/10];

%-Fourteenth zone-

xl4z= [10(14); X0(14,l); C0(14); HO; P(14)]; B14=[0;0;0;-mJ;0];

A14z=[-lambdaJ 0 0 0 lambdaj;

lambdaj*I0( 14)/X0( 14,1) -lambda_x+sigmabar_x(14,l)*P(14) 0 0

lambda_x-lambdaJ *I0( 14)/X0(l 4,1);

0 0 -lambda 0 lambda;

0 0 0 0 0;

0 -sigmabar_x( 14,1) *Х0( 14,1)/(1* Sigma_a) beta/1 -K_i/1 P( 14) *(alpha( 14,7)+alpha( 14,1 l)+alpha(l 4,12)+alpha(14,13))/l];

A14zO=[-lambda_I 0 0 0 lambdaj;

0 -lambda_x 0 0 lambda_x;

0 0 -lambda 0 lambda;

0 0 0 0 0;

0 O beta/1 -K_i/10];

[Kl,SI,el] = lqr(Alz,Bl,Ql,Rl); [K01,S01,e01] = lqr(A 1 zO,B3 ,Q 1 ,R1 ); [K2,S2,e2] = lqr(A2z,B2,Q2,R2); [K02,S02,e02] = lqr(A2zO,B2,Q2,R2); [K3,S3,e3] = lqr(A3z,B3,Q3,R3); [K03,S03,e03] = lqr(A3zO,B3,Q3,R3); [K4,S4,e4] = lqr(A4z,B4,Q4,R4); [K04,S04,e04] = lqr(A4zO,B3,Q4,R4); [K5,S5,e5] = lqr(A5z,B5,Q5,R5); [K05,S05,e05] = lqr(A5zO,B5,Q5,R5); [K6,S6,e6] = lqr(A6z,B6,Q6,R6); [K06,S06,e06] = lqr(A5z,B5,Q6,R6); [K7,S7,e7] = lqr(A7z,B7,Q7,R7); [K07,S07,e07] = lqr(A7zO,B7,Q7,R7); [K8,S8,e8] = lqr(A8z,B8,Q8,R8); [K08,S08,e08] = lqr(A8zO,B8,Q8,R8);

[K9,S9,e9] = lqr(A9z,B9,Q9,R9); [K09,S09,e09] = lqr(A9zO,B9,Q9,R9); [K10,S10,el0] = lqr(Al 0z,B 10,Q 10,R10); [K010,S010,e010] = lqr(A10z0,B10,Q10,R10); [Kll,Sll,ell] = lqr(Al lz,Bl 1,Q11,R11); [K011 ,S011 ,eO 11 ] = lqr(Al 1 zO,B 11 ,Q 11 ,R 11); [K12,S12,el2] = lqr(A12z,B12,Q12,R12); [K012,S012,e012] = lqr(A12zO,B12,Q12,R12); [K13,S13,el3] = lqr(A13z,B13,Q13,R13); [K013,S013,e013] = lqr(Al 3zO,B 13,Q 13,R13); [K14,S14,el4] = lqr(A14z,B14,Q14,R14); [K014,S014,e014] = lqr(A14zO,B14,Q14,R14); sim('reactor_S 1 _Z 1 _tr') figure

plot(Control_in_lst_zone.time,Control_in_lst_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandlesVOn')

set(gcf,'menubarVfigure')

figure

plot(Power_in_l st_zone.time,Power_in_l st_zone. signals, values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandlesyOn')

figure

plot(Control_in_2nd_zone.time,Control_in_2nd_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandles7On')

set(gcf,'menubarVfigure')

figure

plot(Power_in_2nd_zone.time,Power_in_2nd_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandles70n')

set(gcf,'menubarVfigure')

figure

plot(Control_in_3rd_zone.time,Control_in_3rd_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandlesVOn')

set(gcf,'menubar',Tigure')

figure

plot(Power_in_3rd_zone.time,Power_in_3rd_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandlesVOn')

set(gcf,'menubarVfigure')

figure

plot(Control_in_4th_zone.time,Control_in_4th_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandlesVOn') set(gcf,'menubarVfigure')

figure

plot(Power_in_4th_zone.time,Power_in_4th_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandles','On')

set(gcf,'menubarVfigure')

figure

plot(Control_in_5th_zone.time,Control_in_5th_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandles70n')

set(gcf,'menubarVfigure')

figure

plot(Power_in_5th_zone.time,Power_in_5th_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandles7On')

set(gcf,'menubarVfigure')

figure

plot(Control_in_6th_zone.time,Control_in_6th_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandlesVOn')

set(gcf,'menubarVfigure')

figure

plot(Power_in_6th_zone.time,Power_in_6th_zone.signals.values) grid on

set(gcf,'menubar','figure') figure

plot(Control_in_7th_zone.time,Control_in_7th_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandles','C)n')

set(gcf,'menubar','figure')

figure

plot(Power_in_7th_zone.time,Power_in_7th_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandles','On') set(gcf,'menubar','figure') figure

plot(Control_in_8th_zone.time,Control_in_8th_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandles','On')

set(gcf,'menubar','figure')

figure

plot(Power_in_8th_zone.time,Power_in_8th_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandles','On')

set(gcf,'menubar','figure')

figure

plot(Control_in_9th_zone.time,Control_in_9th_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandles','C)n')

set(gcf,'menubarVfigure')

figure

plot(Power_in_9th_zone.time,Power_in_9th_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandles70n') set(gef,'menubar','figure') figure

plot(Control_in_10th_zone.time,Control_in_10th_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandles','On') set(gcf,'menubar','figure') figure

plot(Power_in_10th_zone.time,Power_in_10th_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandles','On')

set(gcf,'menubarVfigure')

figure

plot(Control_in_l 1 th_zone.time,Control_in_l 1 th_zone.signals. values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandles','C)n')

set(gef,'menubar','figure')

figure

plot(Power_in_llth_zone.time,Power_in_l lth_zone. signals .values)

grid on

set(0,'ShowHiddenHandles','C)n')

set(gcf,'menubar','figure')

figure

plot(Control_in_12th_zone.time,Control_in_12th_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandlesVOn') set(gcf,'menubar','figure') figure

plot(Power_in_12th_zone.time,Power_in_12th_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandles','C)n') set(gcf,'menubar','figure') figure

plot(Control_in_13th_zone.time,Control_in_13th_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandles','C)n')

set(gcf,'menubarVfigure')

figure

plot(Power_in_ 13 th_zone. time,Power_in_ 13th_zone. signals, values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandles70n') set(gcf,'menubar','figure') figure

plot(Control_in_14th_zone.time,Control_in_14th_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandles','C)n') set(gcf,'menubar','figure') figure

plot(Power_in_14th_zone.time,Power_in_14th_zone.signals.values) grid on

set(0,'ShowHiddenHandles','C)n') set(gcf,'menubar','figure') figure

plot(Double_Control_in_4th_zone.time,Double_Control_in_4th_zone.signals.valu es)

grid on

set(0,'ShowHiddenHandles','C)n')

set(gcf,'menubar','figure')