Гамильтоновы системы на конфигурационных пространствах и инварианты Васильева тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат наук Кирин, Николай Александрович

• Кирин, Николай Александрович
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Кирин, Николай Александрович

Оглавление

Введение

1 Гамильтоновы динамические системы

1.1 Уравнения Эйлера-Лагранжа

1.2 Уравнения Гамильтона

1.3 Градиентные и гамильтоновы системы

1.4 Скобки Пуассона и скобки Лагранжа

2 Интегральные представления инвариантов конечного порядка

2.1 Инварианты Васильева для кос и узлов

2.2 Итерированные интегралы и их свойства

2.3 Геометрические косы и пути в

конфигурационном пространстве

2.4 Итерированные интегралы Чена и

инварианты Васильева

3 Классическая вихревая динамика на плоскости

3.1 Уравнения движения вихрей

3.2 Основные свойства движения системы п вихрей на плоскости

3.3 Относительные переменные в вихревой

динамике

3.4 Задача двух вихрей на плоскости

3.5 Задача трех вихрей на плоскости

3.6 Конфигурации трех вихрей на плоскости

4 Гамильтоновы системы и инварианты Васильева

4.1 Гамильтоновы системы и инварианты

Васильева

4.2 Проблема распознавания траекторий системы декартовых вихрей

на плоскости

4.3 Гамильтоновы системы, отвечающие

инвариантам Васильева второго порядка

4.4 Разложение инварианта Васильева второго порядка при п = 3

4.5 Неподвижность центра завихренности системы трех вихрей на плоскости

4.6 Сохраняющиеся коллинеарные конфигурации системы трех вихрей

на плоскости

4.7 Томсоновские конфигурации системы трех вихрей на плоскости

4.8 Задача двух вихрей для инвариантов второго и третьего порядков

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гамильтоновы системы на конфигурационных пространствах и инварианты Васильева»

Введение

Актуальность и история вопроса,. Во многих разделах современной теоретической физики возникают задачи описания аналитических и динамических свойств систем с гамильтонианами, определяемыми итерационными процедурами. Естественной математической базой этих задач являются теория итерированных интегралов Чена.

Одной из первых таких задач, появившихся в гидродинамике, и тем не менее еще полностью не решенной, является проблема описания движения п вихрей на плоскости или на сфере.

Основателями вихревой динамики являются Р.Декарт, X.Гюйгенс, Иоганн и Даниил Бернулли.

Значительное развитие вихревой динамики относится к середине XIX века. Оно связано с именами Г.Гельмгольца, Г.Кирхгофа, лорда Кельвина, В.Гребли. Ими получены существенно новые результаты в гидродинамике, создана наиболее общая вихревая теория материи.

Г.Гельмгольц1 доказал основные теоремы движения жидкости с неоднозначным потенциалом скоростей. Важнейшим его достижением является теорема, согласно которой вихревые линии вморожены в идеальную жидкость. Эта теорема позволила рассматривать вихревые образования как некоторые материальные объекты, подобные телам в классической механике. Подробный анализ результатов Гельмгольца и приложение теории вихрей к электродинамике и метеорологии

1Гельмгольц, Г. Основы вихревой теории [Текст]/Г.Гельмгольц.-М.-Ижевск: Институт Компьютерных Исследований, 2002.-82 с.

содержится в лекциях А.Пуанкаре2.

В 1867 году лордом Кельвином (У. Томсон) была предложена теория вихревых атомов, в которой он дач механическую интерпретацию вихревого движения. Кельвин изучал задачу об устойчивости стационарного вращения системы п точечных вихрей, помещенных в вершины правильного многоугольника. Такие конфигурации вихрей называют томсоновскими конфигурациями. Он провел опыты с плавающими магнитами во внешнем магнитном поле и выявил ряд закономерностей вихревого движения. Устойчивость системы вложенных друг в друга правильных вихревых многоугольников изучалась Т.Х.Хавелоком3.

Г.Кирхгоф изучал вихревую динамику параллельно с Г.Гельмгольцем. В 1876 году он опубликовал работу, в которой вывел общие уравнения движения п точечных вихрей, записал их в гамильтоновой форме4 и показал, что уравнения, определяющие движение вихрей, в отличие от задачи движения небесных тел, имеют первый порядок относительно координат. В этих уравнениях фигурируют параметры, которые Г.Кирхгоф называл циркуляциями, и, в отличие от масс в задачах небесной механики, эти параметры могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Г.Кирхгоф нашел все первые интегралы системы п вихрей. Он предложил эллиптическую модель вихря, которая используется для изучения движений пятен завихренности.

В 1877 В.Гребли в своей диссертации подробно описал движение трех вихрей на плоскости. Эта задача всегда интегрируема независимо от значений интенсив-ностей вихрей. Система четырех вихрей в общем случае - неинтегрируема. Это было отмечено позднее многими учеными, например, А.Пуанкаре, С.Л.Зиглиным и другими. В.Гребли также рассмотрел случай движения 2п вихрей, обладающих п осями симметрии. Результаты Гребли были независимо переоткрыты и

2Пуаикаре, А. Теория вихрей [Текст]/А.Пуанкаре.-Ижевск: Изд-во РХД, 2001.-160 с.

3Haveiock, Т.Н. The stability of motion of rectilinear vortices in ring formation[Text]/T.H.Havelock//Phil.Mc, 1931.-Ser.7, v.ll, N70.-P.617-633.

4Кирхгоф, Г. Механика [Текст]: лекции по математической физике/Г.Кирхгоф.-М.: АН СССР, 1962.-404 с.

дополнены в работах Е.А.Новикова5'6 и X. Арефа7.

Изучением различных частных случаев движения вихрей с дополнительными симметриями, которые обеспечивают сведение к квадратурам, занимался Д.Н.Горячев8 Некоторые частные решения задачи о движении вихрей, найденные Д.Н.Горячевым, позволили прояснить ситуацию с движением вихрей в общем неинтегрируемом случае.

Современные исследования вихревой динамики принадлежат В.В.Козлову,9-10 А.В.Борисову,11 И.С.Мамаеву, Х.Арефу,12'13 А.А.Фридману,14 А.А.Килину, С.М.Рамаданову15 и другим. Активно исследуются, например, взаимодействие вихревых цепочек с вихревыми решетками, взаимодействие одиночных вихрей с круговыми цилиндрами, изучается вихревое движение жидкости в ограниченной области и многие другие вопросы. В.В.Козлов совместно с А.В.Борисовым и

5Новиков, Е.А. Динамика и статистика системы вихрей [Текст]/Е. А. Новиков// ЖЭТФ, 1975.-Т.68, вып.5.-С. 1868-1882.

6Новиков, Е.А. Коллапс вихрей[Текст]/Е.А.Новиков, Ю.Б.Седов// ЖЭТФ, 1979. Т.77, вып.2/8.-С. 588-597.

7Aref, H. Motion of three vortices[Text]/H.Aref//Phys.Fluids, 1988.-v.31,N5.-P.1392-1409.

8Горячев, Д.Н. О некоторых случаях движения прямолинейных параллельных вихрей.[Текст]/Д.Н.Горячев// Москва: Унив. тип., 1898.

9Козлов, В.В. Общая теория вихрей [Текст]/В.В.Козлов.-Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 1998.238 с.

10Козлов, В.В. Симметрия, топология и резонансы в гамильтоновой механике[Текст]/В.В.Козлов.-Ижевск: Изд-во Удм.ун-та, 1995.-432 с.

11 Борисов, A.B. Математические методы динамики вихревых структур [Текст]/А. В. Борисов, И.С.Мамаев.-М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005.-368 с.

12Aref, H. Point vortex motions with a center of symmetry [Text]/TLAref/7Phys. Fluids, 1982,-V.25/12.-P.2183-2187.

13Aref, H. Integrable, chaotic and turbulent vortex motion in two-demential flows [Text J /Н. Aref// Ann. Rev. Fluid Mech., 1983.-V.15.-P.345-389.

14Фридман, A.A., Полубаринова, П.Я. О перемещающихся особенностях плоского движения несжимаемой жидкости. Геофизический сборник. [Текст]/А.А.Фридман, П.Я.Полубаринова// 1928. С. 9Ц23.

15Рамоданов, С.М. Движение кругового цилиндра и п точечных вихрей в идеальной жидко-сти[Текст]/С.М.Рамоданов// В. Кн.: Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей; под.ред. А.В.Борисова, И.С.Мамаева. М.А.Соколовского.-М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.-704 с.

И.С.Мамаевым показали, что задача вихревого движения с потенциалом Дайсо-на не является интегрируемой в общем случае. В.А.Богомолов16, А.А.Фридман и П.Я.Полубаринова исследовали уравнения вихреисточников - объектов, являющихся обобщениями вихрей Декарта.

В последнее время к изучению вихревой динамики активно привлекаются топологические методы. А.В.Борисов и И.С.Мамаев предложили Ли-алгебраическую классификацию типов движения трех вихрей и эффективную редукцию системы уравнений, описывающих движения вихрей. М.А.Бергером была высказана идея рассмотрения динамических систем, гамильтониан которых представляет топологический инвариант второго порядка. Приложением топологических инвариантов в магнитной динамике и гидродинамике занимались Г.К.Моффат17, С.П.Новиков18, П.М.Ахметьев19 и другие.

Проблемы привлечения топологических методов к изучению движения магнитной жидкости и точечных вихрей, а так же выявления топологического смысла понятий и величин исходя из физико-механических соображений, являются одними из центральных задач гидродинамики и математической физики на сегодняшний день.

Цель диссертационной работы. Целью диссертационного исследования является изучение гамильтоновых систем, описывающих движение точечных вихрей Декарта на плоскости, выявление топологического смысла гамильтониана таких систем, нахождение связи классической задачи о движении декартовых вихрей на плоскости с инвариантами Васильева первого порядка для геометрических кос, обобщение этой классической задачи на случай, когда выбор гамильтониана системы основан на его связи с инвариантами Васильева порядка

16Богомолов, В.А. Движение идеальной жидкости постоянной плотности при наличии стоков [Текст]/В. А. Богомолов/,/ Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1976.-N4.-C.21-27.

17Moffat, H.K. The degree of knottedness of tangled vortex lines[Text],/H.K.Moffat// J.Fluid Mach., 1969. V.35/1.-P.117 129.

18Новиков, С.П. Аналитический обобщенный инвариант Хопфа[Текст]: Многозначные функционалы/С.П.Новиков// УМН, 1984.-N39/5.-С.97-106.

19Akhmet'ev, P.M. A forth-order invariant for magnetic and vortex lines[Text]/P.M.Akhmet'ev, A.Ruzmaikin// J.Geom.Phys., 1995.-V.15.-P.95-101.

больше первого, исследование геометрических и динамических свойств решений гамильтоновых систем, нахождение условий, при которых система вихрей образует некоторые устойчивые классические конфигурации.

Научная новизна. Показано, что классический гамильтониан системы вихрей Декарта на плоскости является мнимой частью инварианта Васильева первого порядка для геометрических кос, представленного 1-итерированным интегралом Чена от логарифмических дифференциальных форм, а вещественная часть этого инварианта является многозначным потенциалом системы вихрей на плоскости.

Описан общий способ построения гамильтоновых систем, связанных с инвариантами Васильева произвольного конечного порядка.

Показано, что гамильтонова система, впервые рассмотренная М.А.Бергером20, представляет частный случай гамильтоновой системы, отвечающей инварианту Васильева второго порядка. Указана весовая система, действующая на коэффициенты соответствующих итерированных интегралов, исиользованная для получения числового инварианта Васильева, приводящая к системе Бергера.

Показано, что произвольный инвариант Васильева второго порядка для геометрических кос из трех нитей можно представить в виде суммы трех инвариантов, один из которых совпадает с интегралом использованным А.A4.Бергером для построения соответствующей гамильтоновой системы. Для каждого слагаемого в разложении инварианта Васильева второго порядка рассмотрены соответствующие возмущения гамильтониана классической системы трех вихрей на плоскости. Показано, что полученные гамильтоновы системы задают движение, которое можно трактовать как вихревое движение на плоскости. Для каждой такой гамильтоновой системы установлено сохранение центра завихренности соответствующей системы вихрей и выведены уравнения, действительные корни которых определяют сохраняющиеся коллинеарные конфигурации. В частности, доказано, что уравнение, определяющее коллинеарные конфигурации вихрей,

20Berger, M,A. Hamiltonian dynamics generated by Vassiliev invariants[Text]/' M.A.Berger// J. Phys. A: Math. Gen., 2001.-V.34.-P.1363-1374.

для случая гамильтониана представляющего инвариант Васильева порядка не выше второго с примененной мультипликативной весовой системой, совпадает с уравнением для задачи трех вихрей с классическим гамильтонианом. Доказано существование сохраняющейся томсоновской конфигурации для системы трех вихрей с гамильтонианом, отвечающим инварианту Васильева порядка не выше второго. Доказано, что все сохраняющиеся конфигурации для системы классических точечных вихрей на плоскости сохраняются и для случая, когда гамильтониан представлен полным инвариантом Васильева.

Проанализирована задача двух вихрей для случаев, когда гамильтониан представляет инвариант Васильева второго и третьего порядков, соответственно.

Методы исследования. При формулировке и доказательстве утверждений и теорем использованы дифференциально-геометрические и топологические понятия и методы, а так же методы математического анализа, систематически применяются аппарат итерированных интегралов Чена и инварианты Васильева для геометрических кос.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Методы и результаты исследования могут быть использованы как в математической физике для описания движения жидкости (в том числе и в МГД), так и для динамической интерпретации инвариантов конечных порядков для геометрических кос.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях: Международная конференция "Александровские чтения - 2006", посвященная 110-летию со дня рождения Павла Сергеевича Александрова, МГУ, 2006; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2006; Воронежская зимняя математическая школа "Современные методы теории функций и смежные проблемы - 2007", Воронеж, 2007; Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы - 2007", посвященная памяти И.Г.Петровского,

Москва, 2007; Международная конференция "Анализ и особенности", посвященная 70-летию В.И.Арнольда, Москва, 2007; "Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна - 2008", Воронеж, 2008; Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология", посвященная 100-летию со дня рождения Льва Семеновича Понтрягина (1908-1988), Москва, 2008; Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль, 2008, "Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна - 2010", Воронеж, 2010, а также обсуждалась на следующих семинарах: семинар "Узлы и теория представлений "под рук. В.О.Мантурова, Д.П.Ильютко, И.М.Никонова (МГУ, 2006), научный семинар "Проблемы современной математики "под руководством дфмн., профессора Н.А.Кудряшова (НИЯУ "МИФИ", 9 октября 2014), семинар но аналитической теории дифференциальных уравнений под рук. дфмн., профессора Ю.С.Ильяшенко (МИАН, 22 октября 2014), семинар под. руководством А.Б.Сосинского (МЦНМО Независимый московский университет, 19 декабря 2014) а также на семинаре по геометрии и топологии под руководством дфмн., профессора В.П.Лексина в ГАОУ ВПО МГОСГИ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 18 работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, состоящих из 22 параграфов, и списка литературы. Объем работы составляет 142 страницы, включая список литературы, содержащий 48 наименований.

Содержание работы.

Во введении обсуждается история проблемы, изложены основные результаты представляемой диссертации и ее структура.

В первой главе сформулированы определения следующих понятий: лагранжиан Ь. гамильтониан Н, градиентная система у1 = (V/)1, канонические координаты, гамильтоповы системы.

Указана связь уравнений Эйлера-Лагранжа

d ( dL \ dL

с уравнениями Гамильтона

dt V дх1 J дх

. _ дН . _дН

^ дх' Х др '

где Ь и Н связаны сооношением Ь = ^ р^1 — Н.

Далее обсуждается геометрическая основа гамильтоновых уравнений, как частного случая градиентных систем.

Отмечен ряд, необходимых для изложения основного материала, свойств скобок Пуассона

д/ дд д/ дд

г= 1

k дхг дрг дрг дх'1

t— 1

и скобок Лагранжа

-А / (9д:г дрг дрг дх1 \

l/'5J_ZrU/ дд)

дд д/

Вторая глава посвящена интегральным представлениям инвариантов Васильева для кос и узлов. Топологическими инвариантами узлов (кос) являются функции определенные на классах эквивалентности узлов (кос). Особую роль среди топологических инвариантов играют инварианты Васильева. Они распространены на множество сингулярных узлов (кос) соотношением

где и _ уЗЛЬ1; полученные из первоначального заменой одной из

сингулярных точек, соответственно переходом и проходом.

Интегральное представление инвариантов Васильева конечного порядка было предложено Концевичем21. В предложенной им конструкции использовались логарифмические дифференциальные формы. Т.Коно22 была предложена запись

21Kontsevich, M. Vassiliev's Knot Invariants[Text]/M.Kontscvich//Advances in Soviet Mathematics, 1993.-v.16,Part 2.- P.137-150.

22Kohno. T. Vassiliev Invariants of Braids and Iterated Integrals [Text]/'T.Kohno// Advanced Studies in Pure Mathematics. 2000-v. 27.-P. 157-168.

инварианта Васильева с помощью итерированных интегралов Чена. В работе сформулированы определение и ряд свойств итерированных интегралов от логарифмических дифференциальных форм23.

Пусть Ад = {(¿1,..., tq) £ 0 < ti < ... < tq < 1} - q-мерный симплекс пространства Шд, Р%(М) - пространство путей в многообразии М с началом в точке а и концом в точке b, Mq - стандартное декартово произведение многообразия М на себя q раз.

Определим отображение ф : Р%(М) х Aq —¥ Mq следующим способом

ф{у, (ti,...,t,)) = (7(ii)...,7(i9)), где путь 7 € Р%(М) представлен отображением отрезка [0; 1],

7 : [0; 1] М,7(0) = а и 7(1) = Ъ.

Пусть coi,..., uiq - дифференциальные формы на многообразии М и 7Tj : Mq —> М проекция Мч на j-й множитель. Для определения формы со на пространстве Mq зададим с помощью обратного отображения тг* форму на многообразии М'1. Для этой формы должны выполняться равенства

(lT*UJj)a = (u>j)„]0a

для любого отображения а : U —>■ Mq выпуклого множества U в Мч.

Определим форму ш = и)\ х ... х шч на пространстве Мч выражением Л ... Л tt'W,.

Аналогично тому как формы ш3 были перенесены с М на М'1 с помощью индуцированного отображения, отвечающего отображению itj : Mq —> М. перенесем построенную форму ш с Мч на Р%(М) х Д,с помощью индуцированного отображения, отвечающего отображению ф : Р%(М) х Aq —> Mq. Полученную форму обозначим ф*и и с помощью операции интегрирования тг* : Р%(М) х Aq —>■ Р0Ь(М)

23Хейн, P.M. Итерированные интегралы и проблема гомотопических периодов[Текст|/Р.М.Хейн.- М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.- 96 с.

перенесем ее на пространство путей Р^(М)

1Т*Ф*Ш / ф*ш. j д„

Степень полученой формы равна deg7r*<^*a; = degojk — q.

Определение. Итерированным, интегралом Чена от форм, Шу,... ,ujq называется гладкая дифференциальная форма, определенная на пространстве кусочно гладких путей Р%(М) многообразия М выражением

J L)i . . . Wq := 1Т*Ф*{Ш1 X ... X Lüg).

В случае, когда все формы си\,... ,сод являются 1-дифференциальными формами, итерированные интегралы Чена представляют собой гладкие функции на пространстве путей. Значение итерированных интегралов Чена на пути 7 определяется индуктивным правилом

1ТЬ)= ил...шг:= I ] и>г, ч\т) = 7(«т); т £ [0;1].

./'у к/ у /

Для итерированных интегралов имеют место формула дифференцирования

(I / и>г. .. Шд = Е(-1)г / JOJ 1... Joj^dujiui+i... ujg-

J ¿=1

<7-1 ,

Jui... Ju>i-i(JuJi Auji+i)uj1+2 .. .wq,

i=1

где Ju!s = (—l)de6W''a;s и формула Стокса

J (dJ Ui...Ug^ = J (fui- ..W^j = J Ui...uq- J

С дС C( 1) C(0)

где С : [0; 1] —>■ P^{M) - путь, рассматриваемый как сингулярный сисмплекс в пространстве Р%(М). Начальная и конечная точки С(0) и С(1) пути С в свою очередь являются элементами пространства путей Р%(М).

В третьей главе рассматриваются основные определения и конструкции, используемые в классической теории точечных вихрей на плоскости. Уравнения

движения системы точечных вихрей с интенсивностями Г, G 1 на плоскости имеют гамильтонову форму

дН „ дН

Гл = —, Tsys — — ——, 1 < s < п, dys dxs

где гамильтониан Н имеет вид

н = Е 1п ((** - + (Vi -

i<j

который задает энергию системы взаимодействующих вихрей.

Уравнения движения вихрей можно записать и в градиентном виде24

дФ ^ дФ rs.xs = —, Гsys = —, 1 < s < п, дх3 ду3

используя функцию потенциала

i<j

где (pij = arctg^Z1^. обозначает угол, который образует отрезок с концами (ж», t/j) и (Xj,yj) с положительным направлением оси абсцисс.

Перечислен ряд динамических свойств систем вихрей, большинство из которых доказаны Сингом25.

В работе непосредственно используются относительные переменные, которыми являются квадраты взаимных расстояний

Mtj = (xi - xj)2 + (Vi - у/)2

и ориентированные площади треугольников,

= (ri - л (rk ~ г,), rs = (ха,уа),

24Козлов, В.В. Общая теория вихрей [Текст|/В.В.Козлов.-Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 1998.238 с.

25Synge, J.L. On the motion of three vortices [Text]/J.L.Synge//'Can. J .Math., 1949.-v.l-P.257-270.

натянутые на тройки вихрей заданных радиус-векторами гг, i\,, тк. С помощью переменных Мг] и А1]к удобно находить сохраняющиеся конфигурации вихрей.

Относительные переменные выраженные через комплексные абсолютные координаты Zk = Хк + л/—Ту к, к = 1,2,... ,п имеют вид

Aiji = ((zj - zi)zi + (zt - zi)zj + (Zi - z3)zi)

Mij = (z, - zj)(zi -Zj).

В работе перечислены основные факты, связанные с решением задачи двух и трех вихрей, имеющие непосредственное отношение к полученным результатам. В частности, приведены условия, при которых система трех вихрей принимает устойчивые коллинеарные конфигурации. Указано уравнение

p(z) = (Г! + Г2)г3 - (2Гх + Г2)z2 - (2Г3 + Г2)z + Г2 + Г3 = О,

вещественные корни которого определяют коллинеарные конфигурации системы трех вихрей на плоскости11.

В четвертой главе рассмотрено представление обобщенных инвариантов Васильева с помощью итерированных интегралов Чена. Указан общий способ построения гамильтоновых систем, отвечающих инвариантам Васильева. Проанализирована задача двух вихрей для случаев, когда гамильтониан, представляют, соответственно, инвариант Васильева второго и третьего порядков. Для каждого вида гамильтониана выписаны уравнения движения, записаны уравнения, определяющие эволюцию квадрата расстояния между вихрями, проанализированы основные случаи для значений интенсивностей вихрей.

Пусть Хп = С" \ (UlKjHij) - конфигурационное пространство упорядоченных наборов п попарно различных точек плоскости С, где Hi} - диагональная гиперплоскость определяемая уравнением Zj — zj = 0.

Зададим замкнутую 1-форму и выражением

ш = Y1 ® wtJ е Д ® ft^ln (Ui<j#ij)),

Kj

11Борисов, A.B. Математические методы динамики вихревых структур[Текст]/А.В.Борисов, И.С.Мамаев.-М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005.-368 с.

где А — : 1 < г < ] < п] является алгеброй некоммутируюгцих

полиномов от формальных переменных Хг), а П^Ы (иг^Нг1)) - векторное пространство логарифмических дифференциальных 1-форм, порожденное формами _ 1

Форма со определяет формальную связность, которая будет интегрируемой в смысле Фробениуса, если выполнено условие ш Л ш = 0. Это условие эквивалентно следующему набору коммутационных соотношений для коэффициентов связности

[Ху\ Хы} = 0, если {г,з} П {к, 1} = 0,

[Хц; Хук + Х1к] = 0, где г ф $ ф к ф г.

Последнее равенство должно выполняться для любого набора гиперплоскостей Нг3\ Н]к-, Н<к, таких что

В работе доказано

Предложение 2.4.1. Итерированный интеграл Ir = / ui . . .oj определяет

топологический инвариант для геометрических кос. то есть зависит лишь от

класса изот.опий косы при фиксированных концах.

Т.Коно22 была доказана следующая Теорема. Сумма

определяет универсальные инварианты Васильева порядка не выше п, если форма ш удовлетворяет условию интегрируемости ш Л из = 0.

Универсальность инварианта означает, что любой числовой инвариант Васильева конечного порядка можно получить, применив к универсальному инварианту весовую систему W : Л —> С, сохраняющую соотношения, обеспечивающие

22Kohno, Т. Vassiliev Invariants of Braids and Iterated Integrals [Text]/'T.Kohno// Advanced Studies in Pure Mathematics, 2000.-V. 27.-P. 157-168.

codim(#y n Hjk n Hik) = 2.

n

n

интегрируемость формы и) = ® иг]. Иными словами, для п < 2 должны

выполняться соотношения

\¥{ХцХк1) = \¥(Хк1Х^), если {г,3} П {к, 1} = 0,

\У(ХчХ]к) + = Ж^Х^) + иг&кХц), где гф3фкф%.

Замечание. В конструкции, предложенной Т.Коно, использованы формальные коэффициенты Хц. Эти коэффициенты можно интерпретировать, например, как хордовые диаграммы кос. Тогда указанным коммутационным соотношениям будут соответствовать соотношения в алгебре хордовых диаграмм.

Укажем общую схему построения гамильтоновой системы, отвечающую произвольной комплекснозначной аналитической функции Л7 = К + у/—1 Н, где К и Н - вещественнозначные функции. Выберем в качестве гамильтониана нашей динамической системы мнимую часть функции F. Производная по времени от координат частиц системы с гамильтонианом Н может быть вычислена как ¿к — {¿а.; Н}. с использованием скобки Пуассона в комплексных координатах

{/; д} - -2>/=4 ]Г — Шдкд - дк/дкд), где Г* е К \ {0}.

I к

к= 1

Учитывая условия Коши-Римана, получим

¿к = тгдкР. к

При таком подходе к построению гамильтоновой системы, справедлива теорема

Теорема 4.1.5. Если гамильтониан системы на плоскости представлен мнимой частью некоторой аналитической функции ... ,гп), то соответствующая функция потенциала представляет действительную часть этой функции, причем соответствующая градиентная система имеет вид

. д (Р + Ё\ . д (1 + Г\ .

Применим данный подход для случая, когда выше указанная функция F представляет числовой инвариант Васильева конечного порядка. Рассмотрим числовые инварианты Васильева порядка не выше первого V = \¥{1 4- 1\) =

Щ1)+ £ ичзд/

l<i<j<n

В качестве гамильтониана нашей системы выберем мнимую часть инварианта Васильева первого порядка Н("у) = 1т\У (/1(7)).

Пусть ]У(Х^) = Г, Г., и У я е {1,2,...,??,} Г5 € М. Тогда Гамильтониан имеет вид

Н — \т-\= У Г,Г, [ ~ ^ = У Г,ГЛп

1<1<3<п " Ч 1 3 " 1 <1<]<п

Каждая константа Г., = сГ$) является интенсивностью в-ого вихря на

плоскости , заданного циркуляцией векторного поля скоростей вдоль замкнутого контура охватывающего й-ый вихрь, а - скорость частиц при плоскопараллельном течения жидкости под действием б-ого вихря.

В работе доказана

Теорема 4.1.3. Пусть гамильтониан Н является мнимой частью инварианта Васильева первого порядка, представленного 1-итерироваиным интегралом Чена \¥{1\) = (^^Т ® /7 — с весовсистемой \¥(Х^) — Тогда динамическая система на конфигурационном пространстве Хп = Сп \ (и^уН^), определяемая гамильтонианом Н совпадает с системой п точечных декартовых вихрей на плоскости.

V ■ Г • дН

ОУг дхг

Н = 1т\У(1х (7)) = -^" Е

2тт

1<г<у<п

В свою очередь, классическая задача о движении декартовых вихрей на плоскости связана с задачей о плоскопараллельном движении магнитной жидкости26.

26Арнольд. В.И., Хесин, Б.А. Топологические методы в гидродинамикс[Текст]/перевод с англ.-М.-МЦНМО, 2007.- 392 е.: ил.

Это следует из того, что система Декартовых вихрей на плоскости является дискретной аппроксимацией уравнения Эйлера

ди

— = — VP, div v — 0. ot

Это уравнение часто записывают в форме Гельмгольца

duJ { \ + — = — {v. со}, где ш = rot v.

at

Оно совпадает со вторым уравнением системы уравнений МГД

dv

— = -(Vj V)v + (rotВ) x В - Vp

div В = 0

div v = 0,

если положить В = rot v.

Важно подчеркнуть, что роль инварианта Васильева первого порядка в динамике вихревого движения не исчерпывается тем, что его мнимая часть представляет классический гамильтониан системы декартовых вихрей на плоскости. Вещественная часть этого инварианта также имеет вполне определенный физический и геометрический смысл.

Как известно, в классической задаче вихрей на плоскости фигурирует функция потенциала Ф, с помощью которой можно записать уравнения движения

т. „94

вихреи в виде градиентной системы .

_ дФ . _ дФ

J. — ,i iDi —

дхг дуг

В работе доказано следующее

Предложение 4.1.4. В классу,ческой задаче системы вихрей на плоскости с гамильтонианом, являющимся мнимой частью инварианта Васильева первого порядка, функция потенциала является действительной частью того же

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кирин, Николай Александрович, 2015 год

Литература

fl] Akhmet'ev, P.M. A forth-order invariant for magnetic and vortex lines [Text] /P.M. Akhmet 'ev, A.Ruzmaikin// J.Geom.Phys., 1995.-v.15-P.95-101.

[2] Aref, H. Integrable, chaotic and turbulent vortex motion in two-demential flows[Text]/H.Aref//Ann. Rev. Fluid Mech., 1983.-v.15.-P.345-389.

[3] Aref, H. Motion of three vortices[Text]/H.Aref//Phys.Fluids, 1988.-v.31,N5-P. 1392-1409.

[4] Aref, H. Point vortex motions with a center of symmetry[Text]/H.Aref//Phys. Fluids, 1982.-v.25,N12.-P.2183-2187.

[5] Berger, M.A. Hamiltonian dynamics generated by Vassiliev invariants [Text]/ M.A.Berger// J. Phys. A: Math. Gen., 2001.-v.34.-P. 1363-1374.

[6] Chapman, D. Ideal vortex motion in two dimensions [Text]: symmetries and conservation laws/D.Chapman//J.Math.Phys., 1978-v. 19(9) -P. 1988-1992.

[7] Grobli, W. Speziele Probleme über die Bewegung geradliniger paralleler Wirbelfáden [Text|/W.Grobli// Vierteljahrsch. d. Naturforsch. Geselsch.-Ziirich, 1877.-v. 22.-S.37-81, 129-165.

[8] Havelock. Т.Н. The stability of motion of rectilinear vortices in ring formation[Text]/T.H.Havelock//Phil.Mc! 1931-Ser.7, v.ll, N70.-P.617-633.

[9] Helmholtz, H. Uber Integrale hydrodinamischen Gleichungen welche den Wirbelbewegungen entsprechen [Text]/H. Helmholtz. / / J. für reine und angewandte Mathematik, 1858.-v.55, S.25-55.

[10] Kohno, T. Vassiliev Invariants of Braids and Iterated Integrals [Text]/T.Kohno// Advanced Studies in Pure Mathematics, 2000.-v. 27.~P.157 168.

[11] Kontsevich, M. Vassiliev's Knot Invariants[Text]/M.Kontsevich//Advances in Soviet Mathematics, 1993.-v.16,Part 2 - P.137-150.

[12] Mayer, A.M. Floating magnets[Text]/A.M.Mayer//Nature, 1878. v.18. P.258 -260.

[13] Mayer, A.M. Note on floating magnets [Text]/A.M.Mayer//The American journal of science and arts. Third series, 1878-v.15.-P.477-478.

[14] Moffat, H.K. The degree of knottedness of tangled vortex lines [Text] /Н. К .Moffat// J.Fluid Mach., 1969.-V.35/1.-P.117-129.

[15] Synge, J.L. On the motion of three vortices [Text]/J.L.Synge//Can. J.Math., 1949.-v.1.-P.257-270.

[16] Арнольд, В.И. Топологические методы в гидродинамике [Текст]/В.И.Арнольд, Б.А.Хесин.-М.: Изд-во МЦНМО, 2007.-392 с.

[17] Богомолов, В.А. Движение идеальной жидкости постоянной плотности при наличии стоков[Текст]/В.А.Богомолов// Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа, 1976.-N4.-С.21-27.

[18] Борисов, A.B. Математические методы динамики вихревых структур [Текст]/А.В.Борисов, И.С.Мамаев.-М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005.-368 с.

[19] Гельмгольц, Г. Основы вихревой теории [Текст]/Г.Гельмгольц. М.-Ижевск: Институт Компьютерных Исследований, 2002.-82 с.

[20] Горячев, Д.Н. О некоторых случаях движения прямолинейных параллельных вихрей [Текст]/ Д.Н.Горячев.-М.: Унив. Тип., 1898.-106 с.

[21] Кирхгоф, Г. Механика [Текст]: лекции по математической физике/Г.Кирхгоф.-М.: АН СССР, 1962.-404 с.

[22] Козлов, В.В. Общая теория вихрей [Текст]/В.В.Козлов.-Ижевск: Изд-во Удм. ун-та, 1998.-238 с.

[23] Козлов, В.В. Симметрия, топология и резонансы в гамильтоновой механике [Текст]/В. В. Коз лов.-Ижевск: Изд-во Удм.ун-та, 1995.-432 с.

[24] Новиков, С.П. Аналитический обобщенный инвариант Хопфа[Текст]: Многозначные функционалы/С.П.Новиков// УМН, 1984.-N39/5.-C.97-106.

[25] Новиков, Е.А. Динамика и статистика системы вихрей [Текст]/Е.А.Новиков// ЖЭТФ, 1975.-Т.68, вып.5.-С. 1868-1882.

[26] Новиков, Е.А. Коллапс вихрей[Текст]/Е.А.Новиков, Ю.Б.Седов// ЖЭТФ, 1979.-Т.77, вып.2/8.-С.588-597.

[27] Пуанкаре, А. Теория вихрей [Текст]/А.Пуанкаре.-Ижевск: Изд-во РХД, 2001.-160 с.

[28] Рамоданов, С.М. Движение кругового цилиндра и п точечных вихрей в идеальной жидкости [Текст] /С.М. Рамоданов// В. Кн.: Фундаментальные и прикладные проблемы теории вихрей; под.ред. А.В.Борисова, И.С.Мамаева, М.А.Соколовского-М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.-704 с.

[29] Фридман, A.A. О перемещающихся особенностях плоского движения несжимаемой жидкости [Текст]: геофизический сборник/А. А.Фридман, П.Я.Полубарипова, 1928.-С. 9-23.

[30] Хейн, P.M. Итерированные интегралы и проблема гомотопических периодов [Текст]/Р.М.Хейн - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988 - 96 с.

Работы автора по теме диссертации

[31] Кирин, H.A. Инварианты первого порядка и гамильтоновы системы [Текст]/Н.А.Кирин//Александровские чтения - 2006: тезисы докладов Международной конференции "Александровские чтения - 2006посвящ. 110-летию со дня рождения Павла Сергеевича Александрова, Москва, 30 мая-2 июня 2006 г. -М.: Интернет-Ун-т Информ. Технологий, 2006. -

С. 69 - 70. (0,125 п.л.)

[32] Кирин, H.A. Гамильтоновы системы, отвечающие инвариантам Васильева первого порядка[Текст]/Н.А.Кирин//Начало: сборник научных статей аспирантов и соискателей.-Коломна: КГПИ, 2006. - С.186-191. (0,36 п.л.)

[33] Кирин, H.A. Гамильтоновы системы и инварианты Васильева [Текст]/Н.А.Кирин//Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам: тезисы докладов, Суздаль, 10-15 июля 2006 г.-Владимир: Владимирский государственный университет, 2006. С.120-121. (0,06 п.л.)

[34] Кирин, H.A. Динамические системы, определяемые инвариантами Васильева малых порядков [Текст]/Н.А.Кирин//Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронежской зимней математической школы, Воронеж, 27 янв.-2 фев. 2007 г.-Воронеж: Воронежский государственный университет, 2007.- С.101-102. (0,06 п.л.)

[35] Кирин, H.A. Коллинеарные конфигурации вихревого движения, порожденного инвариантами Васильева [Текст]/ H.A.Кирин// Начало: сборник научных статей аспирантов и соискатслей.-Коломна: КГПИ, 2007, - с. 148-154. (0,36 п.л.)

[36] Кирин, H.A. Инварианты Васильева первого и второго порядка, порождающие гамильтоновы системы [Текст]/ H.A.Кирин// Вестник КГПИ.-Коломна: КГПИ, 2007, - с. 48-61. (0,9 п.л.)

[37] Кирин, H.A. Инварианты Васильева и динамические системы вихрей Декарта на плоскости [Текст]/ Н.А.Кирин//Международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы по священная памяти

И.Г.Петровского: сборник тезисов, Москва, 21 26 мая 2007 г. М.: Изд-во МГУ, 2007. С.140-141. (0,06 п.л.)

[38] Кирин, H.A. Динамические системы и инварианты Васильева второго порядка [Текст]/ Н.А.Кирин//Международная конференция "Анализ и особенности посвященная 70-летию В.И.Арнольда: тезисы докладов, Москва, 20-24 августа 2007 г.-М.: Изд-во МИАН, 2007. С.60-61. (0,1 п.л.)

[39] Кирин, H.A. Гамильтоновы системы и топологические инварианты малых порядков [Текст] / H.A.Кирин //Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна - 2008, Воронеж 24 -30 января 2008 г.: Тезисы докладов. -Воронеж: ВорГУ, 2008. - С.67-68. (0,06 п.л.)

[40] Кирин, H.A. Конечномерные аппроксимации уравнения Эйлера магнитной гидродинамики и инварианты Васильева [Текст]/ H.A.Кирин//Международная конференция "Дифференциальные уравнения и топология посвященная 100-летию со дня рождения Льва Семеновича Понтрягина (1908-1988), Москва, 17-22 июня 2008 г. : Тезисы докладов. -М.: Изд-во МГУ, 2008. С.468-469. (0,1 п.л.)

[41] Кирин, H.A. Инварианты Васильева и конечномерные аппроксимации уравнения Эйлера магнитной гидродинамики [Текст]/ H.A.Кирин // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль 27 июня -2 июля 2008 г. : Тезисы докладов. - Владимир.: Изд-во ВГУ, 2008. С.133-135. (0,12 п.л.)

[42] Kirin, N.A. Hamiltonian systems and Vasil'ev invariants// Journal of Mathematical Sciences: Springer New York, Volume 160, Number 1,

2009. - pp. 10-20.

[43] Кирин, H.A. Применение инвариантов Васильева и инвариантов Милнора для описания системы п точечных вихрей на плоскости [Текст] / H.A. Кирин // Вестник КГПИ. - Коломна: КГПИ, 2010.

[44] Кирин, H.A. Классическая задача о движении вихрей на плоскости и основные пути ее обобщения [Текст] / H.A.Кирин //Воронежская зимняя математическая школа С.Г.Крейна - 2010: Тезисы докладов. - Воронеж: ВорГУ,

2010. - С.79-80. (0,1 п.л.)

[45] Кирин, H.A. Исследование систем неклассических вихрей с помощью высших коэффициентов зацепления и инвариантов Васильева [Текст]/' H.A.Кирин // Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам, Суздаль 2 -7 июля 2010 г. : Тезисы докладов. - М: МИАН, 2010. С.100-101. (0,1 п.л.)

[46] Кирин H.A. Инварианты Васильева и конечномерные аппроксимации уравнения Эйлера магнитной гидродинамики. ТРУДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА ИМ. В.А. СТЕКЛОВА, 2010, т. 270, с. 161-169 (0,5 п.л.)

[47] Кирин H.A. Общие подходы к изучению классической задачи о движении вихрей на плоскости и ее обобщений[Текст] / H.A.Кирин// Материалы конференции, посвященной 70-летию математического образования в КГПИ: сборник материалов конференции/ отв.ред. Л.П.Шибасов. - Коломна:

Московский государственный областной социально-гуманитарный институт, 2010. - С 46-52. (0,37 п.л.) 18.

Кирин H.A. Сохраняющиеся конфигурации в неклассической теории точечных вихрей на плоскости. Вестник НИЯУ "МИФИ 2015, т.4, №1, с. 41-47