Фундаментальные симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Ложкин, Александр Сергеевич

• Ложкин, Александр Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ложкин, Александр Сергеевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Точечные фундаментальные симметрии

1.1. Определяющее уравнение.

1.2. Обратная задача группового анализа. Фундаментальная симметрия.

1.3. Интегрирование и основные способы понижения порядка с помощью однопараметрической группы

ГЛАВА 2. Дальнейшее изучение свойств фундаментальных симметрий

2.1. Алгоритм поиска общего решения

2.2. Фундаментализирующий множитель

2.3. Фундаментальные симметрии ОДУ высших порядков

ГЛАВА 3. Нелокальные фундаментальные симметрии

3.1. Экспоненциальные нелокальные симметрии уравнений 2-го порядка

3.2. Экспоненциальные нелокальные симметрии уравнений 3-го порядка

3.3. Неэкспоненциальные нелокальные симметрии уравнений 2-го и 3-го порядков.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Фундаментальные симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений»

Диссертационная работа посвящена групповому анализу обыкновенных дифференциальных уравнений, основное внимание уделяется фундаментальным симметриям. Термин "фундаментальная симметрия" был предложен В. Ф. Зайцевым в 2002 г. и введен в математическую практику в 2004 году [15].

Классическая теория интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) во многом представляется как огромное множество специальных методов и приемов, предназначенных для решения некоторых частных, на первый взгляд не связанных между собой типов уравнений (таких, как уравнения с разделяющимися переменными, однородные уравнения или уравнения в полных дифференциалах). Ситуация изменилась лишь с появлением нового подхода, состоящего в использовании инвариантности дифференциального уравнения относительно некоторой непрерывной группы симметрий.

Это научное направление, основы которого заложил в конце XIX века норвежский математик Софус Ли (Sophus Lie, 1842-1899), первоначально имело основной задачей вопрос о разрешимости ОДУ в квадратурах. Однако в то время теория Ли (названная впоследствии групповым анализом) не нашла широкого применения - подавляющее большинство математиков считало, что все, что можно проинтегрировать в замкнутой форме, уже проинтегрировано в работах классиков, и дальнейшие результаты могут быть получены лишь путем отказа от непременной представимости решения в замкнутом аналитическом виде. При этом считалось, что групповой анализ, входящий основной составной частью в теорию непрерывных групп преобразований, представляет интерес только с точки зрения классификации и упорядочения наших знаний в этой области, описывая процедуру интегрирования практически всех известных примеров с единых позиций и в ряде случаев в виде замкнутого алгоритма.

Возрождение интереса к групповому анализу произошло лишь в середине XX века, начиная с работ академика Льва Васильевича Овсянникова. В своей монографии [28] он убедительно показал, что идеи С. Ли применимы не только для построения общих решений ОДУ - описание свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп позволяет строить классы точных инвариантных решений и помогает в качественных исследованиях уравнений механики и математической физики. Дальнейшее развитие симметрийного анализа шло по нескольким направлениям:

1) обобщение понятия инфинитезимального оператора - определение нелокальных переменных, нелокальных и формальных операторов, появление алгоритмов поиска неклассических симметрий [10],

2) широкое распространение обратных задач [12],

3) доказательство теорем о факторизации [13],

4) попытки применения дискретных симметрий, приведшие к появлению дискретно-группового анализа [6].

Оказалось, что пренебрежение к групповому анализу, прямо вытекающее из иллюзии, что "для ОДУ все уже получено", привело к парадоксальным ситуациям: к концу XX века о симметриях уравнений в частных производных знали гораздо больше, чем о симметриях ОДУ! В результате в ряде случаев мы без труда находим обыкновенное дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет инвариантное решение уравнения математической физики, но не можем найти его точное решение, так как "арсенал средств" группового анализа ОДУ оказывается слишком "бедным".

Тем не менее, заметим, что в довоенной литературе по ОДУ имеются параграфы, посвященные классическому групповому анализу, см., например, [1, 23]. Авторы этих книг (не потерявших актуальности и как учебники) отчетливо представляли важность симметрийного подхода.

Группа симметрий системы дифференциальных уравнений - это группа, преобразующая решение этой системы в другие ее решения. В классических рамках теории Ли эти группы состоят из геометрических преобразований пространства независимых и зависимых переменных системы и действуют на решения, преобразуя их графики. Типичные примеры - группы сдвигов и вращений, а также группы растяжений, но они, несомненно, не исчерпывают весь круг возможностей. Огромное преимущество рассмотрения непрерывных групп симметрий (в противоположность дискретным симметриям, таким, как отражения) состоит в том, что все их можно найти с помощью точных вычислительных методов. Это говорит не о том, что дискретные группы не важны в изучении дифференциальных уравнений (см., например, [3, 18]), а скорее о том, что нужно применять совершенно иные методы, чтобы их находить или использовать. Фундаментальное открытие Ли состояло в том, что сложные нелинейные условия инвариантности системы относительно преобразований из группы можно в случае непрерывных групп заменить эквивалентными, но гораздо более простыми линейными условиями, отражающими "инфинитезимальную инвариантность" этой системы относительно образующих этой группы. Почти для каждой важной с точки зрения физики системы дифференциальных уравнений эти условия инфините-зимальной симметрии - так называемые определяющие уравнения полной группы симметрий системы - можно решить явно в замкнутом виде, таким образом, наиболее общая группа непрерывных симметрий системы может быть определена явно. Вся процедура состоит из полностью алгоритмизуемых вычислений, и для решения этой задачи уже разработано несколько пакетов для наиболее популярных компьютерных систем символьно-аналитических вычислений [29].

После того как найдена полная группа симметрий системы дифференциальных уравнений, становится доступным ряд приложений. Для начала можно действовать в соответствии с определением группы симметрий, чтобы строить новые решения системы по уже известным. Группа симметрий, таким образом, доставляет средство классификации множества решений (два решения полагаются эквивалентными, если одно можно перевести в другое некоторым элементом группы). Можно использовать группы симметрий по-другому - для классификации семейств дифференциальных уравнений, зависящих от произвольных параметров или функций; часто имеются серьезные физические или математические причины предпочитать в качестве моделей уравнения с наиболее высокой симметрией. Еще один подход - определить, какие типы дифференциальных уравнений допускают данную группу симметрий. Эта задача также решается инфинитезимальными методами с помощью теории дифференциальных инвариантов. Также интересна и полезна задача о преобразованиях данного дифференциального уравнения. Если известна допускаемая группа, то можно с ее помощью искать такие преобразования, чтобы преобразованное уравнение имело по возможности наиболее простую и удобную для отыскания конкретных решений дифференциальную структуру.

В случае обыкновенных дифференциальных уравнений из инвариантности относительно однопараметрической группы симметрий следует возможность понижения порядка уравнения на единицу, причем решения исходного уравнения восстанавливаются по решению редуцированного посредством единственной квадратуры. В случае одного уравнения первого порядка этот метод доставляет явную формулу для общего решения. Многопараметрические группы симметрий приводят к дальнейшему понижению порядка, однако мы не всегда можем восстановить решения исходного уравнения по решениям редуцированного посредством одних лишь квадратур, за исключением случая, когда сама группа удовлетворяет дополнительному требованию "разрешимости".

Как уже говорилось, Л. В. Овсянников показал, что описание свойств дифференциальных уравнений при помощи допускаемых групп обнаруживает свою силу не только в вопросах о полной разрешимости, но и при построении отдельных классов точных решений и качественном исследовании дифференциальных уравнений механики и математической физики. Такое расширение области применений потребовало существенного углубления методов группового анализа, разработки новых понятий и алгоритмов. Возникшие в связи с этим проблемы и перспективы развития стимулировали большое число исследований. Стало ясно, каким действенным инструментом является групповой анализ при решении сложных задач. Он существенно расширяет и уточняет интуитивное понимание симметрии, вооружает конструктивными методами ее использования, ведет к правильной постановке задач, а во многих случаях позволяет увидеть возможные пути решения. К сожалению, приходится констатировать, что и сегодня практическое применение свойств симметрии основывается чаще всего не на знании методов группового анализа, а на случайных, более или менее удачных догадках.

Заметим, что хотя перечисленные выше направления развития группового анализа позволили существенно увеличить число разрешимых случаев для ряда классов ОДУ, востребованных в приложениях, для ряда задач существующие алгоритмы оказываются либо неэффективными, либо чрезвычайно трудоемкими. К таким задачам относятся, в частности:

1. Прогнозирование последовательных редукций исследуемого уравнения к уравнениям более низкого порядка.

2. Проблема поиска новых симметрий по нескольким известным.

3. Проблема применения неэкспоненциальных нелокальных симметрий для редукции уравнений.

Если для исследуемого уравнения известно достаточное количество локальных симметрий, решение первой задачи хорошо известно -она была решена еще Софусом Ли. В этом случае оказываются гармонично связанными несколько совершенно различных математических объектов. В силу определения бесконечно-малого преобразования определяющая система для поиска локальных симметрий линейна, поэтому ее решения образуют линейное векторное пространство. Отсюда следует, что множество допускаемых операторов является алгеброй Ли. И если допускаемая /с-мерная алгебра Ли разрешима, то порядок уравнения, ее допускающего, может быть понижен на к единиц по известному алгоритму, в котором существенную роль играет структура Ь/с.

Если же известные симметрии - нелокальные, вся эта конструкция разрушается. Для поиска нелокальных симметрий определяющая система оказывается нелинейной, и ниоткуда не следует, что ее решения будут образовывать линейное векторное пространство. И несмотря на то, что множество допускаемых операторов алгебраически замкнуто (коммутатор двух операторов является оператором той же структуры), оно не является алгеброй Ли. П. Олвер показал [33], что в таком множестве не выполняется тождество Якоби. Тем самым вопрос о решении указанных трех задач остается открытым.

Поскольку математические модели многих явлений реального мира формулируются в виде дифференциальных уравнений, то становится ясным, что одним из наиболее существенных приложений симметрийной теории является их использование в общей теории дифференциальных уравнений. Групповой анализ является хорошим инструментом при решении сложных задач, однако его методы пока еще недостаточно развиты. Поэтому поиск новых алгоритмов, новых методов необходимо продолжать, и тема настоящего исследования представляется весьма актуальной.

Целью данной работы является построение основ теории фундаментальных симметрий обыкновенных дифференциальных уравнений. В работе поставлены и решаются следующие основные задачи:

1. Исследование свойств фундаментальных симметрий ОДУ и определяющих уравнений, решениями которых являются координаты канонических операторов фундаментальных симметрий.

2. Доказательство теорем о структуре оператора точечной фундаментальной симметрии и о построении всех симметрий ОДУ 2-го порядка на основе одной фундаментальной.

3. Исследование структуры ОДУ, имеющей фундаментальную симметрию, и возможности редукции обычной точечной симметрии в фундаментальну ю.

4. Поиск класса ОДУ, имеющих фундаментальную экспоненциальную нелокальную симметрию (решение обратной задачи).

5. Поиск класса ОДУ, имеющих фундаментальную неэкспоненциальную нелокальную симметрию (решение обратной задачи).

Объектом исследования являются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Предметом исследования является групповой анализ.

Теоретическую основу диссертации составили труды ведущих отечественных и зарубежных ученых и специалистов как в области группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений в частности, так и в области теории дифференциальных уравнений в общем.

Методы исследования. В диссертации использованы методы теории дифференциальных уравнений, включающие в себя методы группового анализа; методы общей алгебры, в частности, теория групп и алгебр Ли; элементы функционального анализа.

Основные определения. Для того, чтобы теория фундаментальных сммметрий, представленная в диссертации, имела некий компактный, законченный, стройный вид, приведем основу теории - определения тех понятий, на которых будет строиться теоретический раздел данной диссертации. Ведь базис, основа наших исследований не является чем-то новым, а представляет собой набор знаний, которые были получены еще в XVIII - XIX вв. Мы расширяем эти знания и предлагаем альтернативный метод исследования дифференциальных уравнений, базирующийся на классических знаниях. В диссертации используется терминология, принятая в работах [19, 21, 27].

Группа точечных преобразований. Рассматриваются обратимые преобразования на плоскости (х,у): х = (р{х,у,а), у = ф{х,у,а), (0.1) зависящие от вещественного параметра а, причём

Здесь предполагается, что функции (р и ф - достаточно гладкие, в частности, бесконечно дифференцируемы по параметру а. Говорят, что эти преобразования образуют однопараметрическую группу преобразований если последовательное выполнение двух преобразований равносильно применению третьего преобразования того же вида (0.1). Путём подходящего выбора параметра а это групповое свойство может быть записано в аддитивной форме: х = <р{х,у, Ь) = <р(х,у; а + Ь), у = ф(х,у,Ь) = ф{х,у,а +Ь). (0.3)

Преобразования (0.1) называются точечными (в отличие, скажем, от контактных, когда преобразованные значения х, у зависят также от производной у' — ана преобразования производной накладывается допол-ах нительное условие сохранения касания), а группа С - группой точечных преобразований. Из (0.2), (0.3) видно, что обратное к (0.1) преобразование получается путём изменения знака группового параметра а: х = (р(х,у,-а), у — ф(х, у, —а). (0.4)

Обозначив через Та преобразование (0.1) точки (ж, у) в точку (х, у), через I - тождественное преобразование, через Т~1 - обратное к Та преобразование, переводящее точку (х,у) в точку (х,у), а через ТьТа - композицию двух преобразований, можно суммировать свойства (0.2)-(0.4) в виде следующего определения.

Определение 0.1. Совокупность С преобразований Та называется однопараметрической группой преобразований, если

1) т0 = 1ев,

2) ТьоТа = Та+Ь е С,

3) Г-1 = Т-а е с.

Разложим функцию (р,ф в ряд Тейлора по параметру а в окрестности а = 0 и запишем инфинитезимальное (бесконечно малое) преобразование (0.1) с учётом (0.2) в виде х « х + £{х,у)а, у « У + г}(х,у)а, (0.1') где

Вектор (£, г}) с компонентами (0.5) является касательным вектором (в точке (х,у)) к кривой, описываемой преобразованными точками (х,у), и поэтому называется касательным векторным полем группы.

Однопараметрическая группа полностью восстанавливается, если известно её инфинитезимальное преобразование (0.1), с помощью решения задачи Коши для уравнений Ли:

Касательное векторное поле записывается также в виде линейного дифференциального оператора первого порядка X : —> С°°: который ведёт себя как скаляр при произвольной замене переменных (в отличие от вектора (£,т/)). С. Ли называл оператор (0.7) символом инфинитезимального преобразования (0.1'); позже в употреблении вошло словосочетание инфинитезимальный оператор группы (или кратко оператор группы), а в физической литературе часто встречается термин генератор группы.

Определение 0.2. Функция Р(х,у) называется инвариантом группы преобразований (0.1), если для каждой точки (х, у) функция Р постоянна вдоль траектории, описываемой преобразованными точками & У)

Теорема 1. Функция Р(х, у) является инвариантом тогда и толь

0) = ж, ф(0) = у.

0.6)

0.7)

Р{х,у) = Р{х,у). ко тогда, когда она удовлетворяет уравнению в частных производных:

Следовательно, всякая однопараметрическая группа точечных преобразований на плоскости имеет один функционально-независимый инвариант, в качестве которого можно взять левую часть первого интеграла 1(х: у) = С сопряжённого с (0.8) обыкновенного дифференциального уравнения (уравнения характеристик): dx = dV (0 8а

Любой другой инвариант является тогда функцией от I [4].

Теорема 2. Всякая однопараметрическая группа G преобразований (0.1) подходящей заменой переменных t = t(x,y), и = и(х,у) приводится к группе переносов t = t + а, и — и с оператором X = —.

С/ L

Такие переменные t, и называются каноническими переменными.

Доказательство. При замене переменных инфинитезимальный оператор (0.7) преобразуется по формуле

X-,X(t)§i + X(u)l. (0.9)

Таким образом, канонические переменные находятся из уравнений

X(t) = 1, У ' (0.10) Х(и) = 0. из чего непосредственно вытекает, что в качестве одной из переменных и выбирается инвариант).

Например, для группы растяжений х — жехр(а), у = уехр(2а) д д с оператором X = х——b 2у— уравнения (0.10) легко решаются и дают ох оу 1 У замену ь = тх, и — приводящую группу растяжении к группе хг переносов:

I =\пх = \пх + а = Ь + а, й = = = и. у /

Л/ а/

Продолжение группы и инфинитезимального оператора.

Выпишем формулы преобразования производных у', у" при точечных преобразованиях (0.1), рассматриваемых как замена переменных. Удобно будет при этом использовать символ "полного" дифференцирования

И ^ ' ^ " ^ + х дх ^ ду ^ ду' Преобразования производных даются формулами:

Г = ^ = ^ = »,✓,«»), (0.11) ах иер (рх + у'(ру <1у' РР ^Рх + у'Ру + у"Ру 2) в,X (рх + у'(ру

Если исходить из группы С точечных преобразований (0.1), то после добавления формулы (0.11) получается продолженная группа С, действующая в пространстве трёх переменных (х, у, у'), а после добавления ещё формулы (0.12) - дважды продолженная группа С, действующая в 2 пространстве (х,у,у',у").

Подставляя в формулы (0.11), (0.12) инфинитезимальное преобразование (0.1') х = у ~ у + аг) и пренебрегая членами порядка о (а), получаем инфинитезимальное преобразование производных: у' = у^щ = [у' + «Л(ч)1 [1 - = у' + [£>(77) - уЧт\ а = у' + <1, аналогично

У = ! + = \У + аЕ>(С1)\ [1 - а£>(£)] = у"+Ш1)-у"В{0]а = у" + аС>2.

Следовательно, инфинитезимальные операторы продолженных групп С 1 и (2, соответственно, равны 2

Х-е,— 4- — + С — 1 дх ^ ду 1 ду где

Сх = (0.13) и

X = X +С2"^7) <2 = £>(Ci) ~ у"D{С)■ (0.14) д Т ' ^¿V'

Они называются первым и вторым продолжениями инфинитезимально-го оператора (0.7). Часто формулами продолжения соответствующего порядка называются выражения для дополнительных координат:

Cl = D(rj) - y'D(0 =ъ + (rjy - Ш - y%, (0.13')

2 = D(Ci)-y"D^) = Tlxx + {2rjxy - Çxx)y' + {r]yy - 2Çxy)y' У%у + (r)y - - 3y'Qy". (0.14')

Дифференциальные уравнения, допускающие группу.

Пусть G - группа точечных преобразований, a G и G - её первое и

1 2 второе продолжения, определённые ранее.

Определение 0.3. Говорят, что обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

F(x,y,y') = 0 (0.15) допускает группу G, если уравнение (0.15) (рассматриваемое как уравнение двухмерной поверхности в пространстве трёх независимых переменных х, у, у') инвариантно относительно продолженной группы G1

Аналогично дифференциальное уравнение второго порядка

F(x, у, у', у") = 0 (0.16) допускает группу С, если это уравнение в пространстве четырёх переменных х, у, у\ у" инвариантно относительно дважды продолженной группы С?

Определение очевидным образом обобщается на дифференциальные уравнения более высокого порядка. Координаты допускаемого ин-финитезимального оператора находятся из определяющего уравнения, которое в классической теории записывается на многообразии решений исследуемого уравнения - для уравнения п-го порядка где символ [Р] означает "на многообразии Р и всех его дифференциальных следствиях".

Диссертация состоит из трех глав, введения и заключения. В первой главе вводится определение фундаментальной симметрии, даются определения ряда терминов, связанных с понятием фундаментальной симметрии, доказываются теоремы, исследуются свойства определяющего уравнения, рассматриваются классические методы понижения порядка обыкновенных дифференциальных уравнений. Во второй главе приводится алгоритм поиска общего решения ОДУ, рассматриваются фундаментальные симметрии ОДУ высших порядков. В третьей главе приводится алгоритм поиска экспоненциальных нелокальных симметрий, допускаемых уравнением второго и третьего порядков, решается обратная задача для уравнений второго и третьего порядков, допускающих фундаментальные неэкспоненциальные нелокальные симметрии.

Список литературы состоит из 34 источников, среди которых стоит выделить труды Ибрагимова [19, 21, 20], монографии Овсянникова [28, 27] и Олвера [29].

Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах [15, 17, 16, 25, 24]. В [15] автор диссертации описал алгоритм поиска всех 2 оно имеет вид симметрий ОДУ 2-го порядка и привел наглядный пример; в [17, 16] -сформулировал и доказал теоремы, опубликованные в статьях.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Ложкин, Александр Сергеевич

Основные результаты диссертационной работы можно сформулировать следующим образом:

- Исследованы свойства фундаментальных симметрий ОДУ и определяющих уравнений, решениями которых они являются. В частности,

- Доказаны теоремы о структуре оператора точечной фундаментальной симметрии и о построении всех симметрий ОДУ 2-го порядка на основе одной фундаментальной, а для 3-го порядка - по двум известным фундаментальным симметриям; приведены примеры, иллюстрирующие эти теоремы.

- Исследована структура ОДУ, имеющего фундаментальную симметрию, и возможности редукции обычной точечной симметрии в фундаментальную.

- Найден класс ОДУ, имеющих фундаментальную экспоненциальную нелокальную симметрию (решена обратная задача).

- Найдены классы ОДУ 2-го и 3-го порядков, имеющих фундаментальную неэксноненциальную нелокальную симметрию (решена обратная задача).

Метод фундаментальных симметрий полезен для теории дифференциальных уравнений тем, что дает альтернативный алгоритм поиска симметрий, и в ряде случаев оказывается более эффективным, чем классический подход С.Ли. В любом случае фундаментальность симметрии дает нам дополнительную информацию о структуре уравнения.

Практически, если невозможно напрямую решить определяющее уравнение, фундаментальные симметрии можно искать еще двумя способами:

1. Использовать классический метод Ли. Если найдется симметрия вида г](х: у)ду, то воспользовавшись теоремой 10 о фуидаментализиру-ющем множителе, получим фундаментальную симметрию.

2. Применить известные решения обратных задач (теоремы 12 и 13), если исследуемое уравнение принадлежит рассматриваемому в теоремах классу.

Особенно стоит отметить принципиальное отличие фундаментальных симметрий от обычных - для достаточно широкого класса уравнений, допускающих априорно известную фундаментальную точечную симметрию, могут быть вычислены все симметрии. Представляются важными также: понятие "фундаментализирующего множителя" и возможность перевода простой симметрии в фундаментальную и классы ОДУ, имеющие фундаментальные экспоненциальные и неэкспоненциальные нелокальные симметрии.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ложкин, Александр Сергеевич, 2010 год

1. Айне Э. J1. Обыкновенные дифференциальные уравнения / под ред. А. М. Эфроса. - Харьков: Научно-техническое изд. Украины, 1939.- 719с.

2. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений: учебное пособие для университетов. М.: Высшая школа, 1991. -С. 73.

3. Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы. I. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 4. М.:ВИНИТИ, 1985. - 109с.

4. Зайцев В. Ф. Введение в современный групповой анализ. Часть 1: Группы преобразований на плоскости (учебное пособие к спецкурсу).- СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 1996. С. 13-14.

5. Зайцев В. Ф. Введение в современный групповой анализ. Часть 2: Уравнения первого порядка и допускаемые ими точечные группы (учебное пособие к спецкурсу). СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 1996. - С. 34-35.

6. Зайцев В. Ф. Дискретно-групповой анализ обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, 25, №3, 1989, Л: ЛГПИ. С. 379-387.

7. Зайцев В. Ф. Математические модели в точных и гуманитарных науках. СПб.: Книжный дом, 2006. - 111с.

8. Зайцев В. Ф. Нелокальные симметрии обыкрювенных дифференциальных уравнений // Моделирование процессов управления и обработки информации. М.: МФТИ, 1994. - С. 190-199.

9. Зайцев В. Ф. Об универсальном описании симметрий обыкновенных дифференциальных уравнений // Труды Математического Центра им. Н.И. Лобачевского. Т.П. Казань: УНИПРЕСС, 2001. - С. 9396.

10. Зайцев В. Ф. О новых направлениях группового анализа обыкновенных дифференциальных уравнений // Проблемы нелинейного анализа в инженерных системах, Вып. 1(15), т. 8. М.: МАИ, 2002. -С. 1-12.

11. Зайцев В. Ф. О современном групповом анализе обыкновенных дифференциальных уравнений // Труды II Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их применения". СПб.: Изд. СПбГТУ, 1998. - С. 137-151.

12. Зайцев В. Ф. Построение точной модели, обладающей некоторой точечной симметрией.// Математическое моделирование, Т.7, № 5, -СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 1995. С. 12-14.

13. Зайцев В. Ф. Формальные операторы и теоремы о факторизации обыкновенных дифференциальных уравнений // Труды III Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения". Красноярск, 2002. - С. 101-105.

14. Зайцев В. Ф. Симметрии дифференциальных уравнений. Формальные операторы // Известия РГПУ им. А. И. Герцена, №4(8), СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2004. С. 7-22.

15. Зайцев В. Ф., Ложкин А. С. О разрешимости обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка // Труды Математического Центра им. Н.И.Лобачевского. Казань: Казанское математическое общество, 2004. - С. 48-53.

16. Зайцев В. Ф., Ложкин А. С. Фундаментальные симметрии обыкновенных дифференциальных уравнений. // Известия РГПУ им. А. И. Герцена, №8(38), СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2007. С. 13-23.19 20 [21 [2223 242526 27 [28 [29

17. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям. Приложения в механике, точные решения. -М.: Наука, 1993. 464с.

18. Ибрагимов Н. X. Азбука группового анализа. М.: Знание, 8/1989.- 48с.

19. Ибрагимов Н. X. Группы преобразований в математической физике.- М.: Наука, 1983. 281с.

20. Ибрагимов Н. X. Опыт группового анализа. М.: Знание, 7/1991. -48с.

21. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка / пер. с нем. Н. X. Розова и Б. Ю. Стернина. М.: Наука, 1966. - 576с.

22. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (3-е изд.). М.: Высшая школа, 1967. - 564с. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1978. 399с.

23. Овсянников Л. В. Групповые свойства дифференциальных уравнений. Новосибирск: Изд-во Сиб. отд-ния АН СССР, 1962. - 239с. Олвер П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям.- М.: Мир, 1989. 639с.

24. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения / пер. с итал. Н. Я. Виленкина, т.1. М.: Изд-во иностранной литературы, 1953. - 346с.

25. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений (5-е изд.). М.: ГТТИ, 1950. - С. 169-177. .

26. Эйзенхарт JI. П. Непрерывные группы преобразований. М.: Изд-во иностранной литературы, 1947. - 360с.

27. Olver P. J., Sanders J. A., Jing Ping Wang. Ghost Symmetries // Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 20, 2001. P. 1-9.

28. Zaitsev V. F. Universal description of symmetries on a basis of the formal operators // Math. Research, vol.7. Theory and practice of differential equations. St.Petersburg: SPbSTU, 2000. - P. 39-45.j