Формирование комбинаторного мышления у младших школьников и подростков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 19.00.13, кандидат психологических наук Евдокимова, Лариса Владимировна

• Евдокимова, Лариса Владимировна
• кандидат психологических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат психологических наук Евдокимова, Лариса Владимировна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Онтогенез представлений о комбинаторике и вероятности

1.1. Стадии интеллектуального развития и проблема соотношения обучения и развития

1.2. Становление комбинаторного и вероятностного мышления у детей и подростков

1.3. Преподавание математики и проблемы усвоения комбинаторных понятий в средней школе

ГЛАВА 2. Психологические основы формирования математических понятий

2.1. Исследование психологических условий обучения математическим понятиям на основе теории поэтапного формирования умственных действий

2.2. Психологический анализ трудностей усвоения комбинаторных представлений при традиционном обучении

ГЛАВА 3. Разработка метода формирования обобщенного способа решения комбинаторных задач

3.1. Цель, задачи и общая схема исследования

3.2. Характеристика уровня общего умственного развития и комбинаторного мышления (результаты констатирующего эксперимента)

3.3. Содержание экспериментальной методики формирования

ГЛАВА 4. Экспериментальное формирование элементов комбинаторного мышления у учащихся начальной и средней школы

4.1. Описание хода формирующего эксперимента у младших школьников (4-й класс начальной школы)

4.2. Особенности формирования обобщенного способа решения комбинаторных задач у подростков (8-й класс средней школы)

4.3. Сравнительный анализ изменения показателей решения комбинаторных задач (результаты контрольного эксперимента)

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формирование комбинаторного мышления у младших школьников и подростков»

Работа посвящена изучению становления комбинаторного мышления у младших школьников и подростков в условиях стихийного развития и школьного обучения, а также в ходе целенаправленного формирования.

Актуальность темы исследования определяется важностью комбинаторных способов рассуждения в общей структуре научного мышления, а также крайне низкой успешностью овладения ими не только в условиях стихийной практики, но и в рамках школьного обучения.

Однако не только обучение, но и само развитие комбинаторного мышления -закономерности и логико-психологические основания его становления у детей и подростков — исследованы в психологии крайне слабо. Хотя обстоятельное изучение формирования комбинаторных структур мышления было начато в достаточно давних работах школы Ж. Пиаже (50-70-е годы прошлого века), в отечественной психологии данная проблематика, по сути, выпала из поля зрения исследователей. В современной психологической литературе она лишь «по касательной» затрагивается в работах отдельных авторов (В.В. Давыдов, А.Н. Подцьяков, Ю.А. Полуянов, Е. Fischbein, D.Schnarch, О. НиЬеги др.).

Фундаментальные экспериментально-генетические исследования Ж. Пиаже и Б.Инельдер показали, что способности к комбинаторике и вероятностной оценке самостоятельно у детей развиваются очень медленно и слабо, в результате понимание и интерпретация вероятностно-статистической информации находятся на крайне низком уровне. При стихийном, т.е. специально не направляемом, развитии даже элементарные вероятностные и комбинаторные представления в онтогенезе формируются довольно поздно - к концу подросткового возраста - и далеко не у всех, а, кроме того, по своим психологическим качествам они остаются представлениями житейского уровня.

Итак, формирование подлинных понятий комбинаторного мышления без специально организованного обучения не происходит, но и в рамках обычного школьного обучения, как констатируют математики, комбинаторные представления практически не формируются. Фактически только незначительная часть современных школьников - так называемых математически одаренных детей - самостоятельно, без специального обучения, в какой-то степени овладевает умением рассуждать на языке комбинаторных понятий (Медведева, 1990; Белокурова, 1993; Бунимович, 2002; и др.).

Между тем в современном обществе требования к уровню комбинаторно-вероятностного мышления учащихся существенно повышаются. Официальным 3 признанием этого обстоятельства стало постановление Министерства образования Российской Федерации (от 23.09.2003) о планировании с 2006 года обязательного введения в программу общеобразовательной школы по математике раздела «Комбинаторика, статистика и теория вероятностей».

Введение вероятностно-статистической линии в школе, ставшее велением времени, одновременно породило немало проблем. К ее появлению оказались не готовы буквально все - от учителей до авторов школьных учебников, тем более что попытки включения в школьный курс математики понятия вероятности события, основ комбинаторики и статистики в нашей стране ранее уже предпринимались, но не вели к успеху. В силу своей изолированности и инородности данный материал оказался для детей слишком сложен, формален, плохо усваивался, чем полностью дискредитировал себя в глазах педагогов и вызвал негативное отношение учащихся (Березина, 1975; Волгина, 1977, и др.). Анализируя причины неудач, математики и педагоги (Е.А. Бунимович, J1.0. Бычкова, О.С Медведева, В.Д.Селютин, А П. Шихова и др.) столкнулись с парадоксальной ситуацией: оказалось, что в начальной школе вводить комбинаторно-вероятностные понятия рано, так как большинству младших школьников еще недостает необходимой «логической зрелости», а также математического аппарата для описания комбинаторно-вероятностных представлений, но в старина laiaccax — вводить их уже поздно, поскольку к фактически той же логической неготовности добавляется характерная для преподаваггия математики в этом возрасте формализация знаний (опора на предъявление и освоение материала в виде формул), которая серьезно препятствует подлинному освоению указанных понятий.

В последние годы в нашей стране осуществлены некоторые шаги к введению в школьный курс математики основ комбинаторики, теории вероятностей и статистики: разработаны экспериментальные учебные программы, базисные и школьные учебные планы, выпущены новые учебники математики для средней школы, в которых представлен стохастический материал, появился ряд научно-методических работ, посвященных данной проблеме. В методической литературе встречаются примеры интуитивного приближения математиков к необходимости специального введения комбинаторных понятий, идет поиск особых приемов для их преподавания (Шихова, 1978; Белокурова, 1993; и др.). Однако в целом проблема методического обеспечения полноценного формирования комбинаторно-вероятностных понятий еще далека от решения.

Таким образом, классическая проблема психологии о соотношении обучения и развития применительно к усвоению детьми комбинаторно-вероятностных понятий встает с особой остротой. Действительно, самостоятельно, т.е. в ходе стихийно-спонтанного развития детей эти понятия у них практически не формируются, но в то же время без определенной «готовности», «зрелости» мышления ребенка, влиять на развитие которого математики не могут, попытки обучения им обречены оставаться сугубо формальными и малоэффективными. Очевидно, что выход из сложившейся ситуации лежит в области полидисциплинарных исследований: необходимо, в частности, объединение усилий педагогов и психологов, использующих современные достижения математики, дидактики, психологии. Следует заметить, что отдельные отечественные педагоги-математики понимают и признают необходимость учета законов психологической организации усвоения вероятностно-комбинаторных понятий (Медведева, 1990; Белокурова, 1993; Бунимович, 2002; Селютин, 2003; и др.), однако их попытки в этом направлении пока не привели к ощутимым результатам.

В сложившейся ситуации решение может дать подход к проблеме со стороны психологии. Как известно, отечественная возрастная и педагогическая психология обладает богатым опытом разработки психологических программ по разным дисциплинам для учащихся средней и высшей школы. Этот опыт, накопленный главным образом благодаря работам П.Я. Гальперина, В.В. Давыдова, Д.Б. Эльконина, Л.Ф.Обуховой и их многочисленных учеников и сотрудников, позволяет поставить вопрос о необходимости разработки специальной психологической пропедевтики комбинаторных понятий у детей (т.е. подготовительного, элементарного курса занятий, предваряющего более глубокое - собственно математическое — изучение дисциплины). Программа такой пропедевтики должна обеспечивать связь научных понятий в области комбинаторики с необходимым предметно-практическим опытом деятельности и ориентировки детей в данной сфере, а также учитывать другие, собственно психологические, условия формирования элементов комбинаторного мышления.

Считается общепризнанным, что современный научный подход к построению методов обучения требует не только знания той или иной предметной области (в данном случае математики), но и учета возрастных особенностей познавательного развития детей, для которых предназначена методика, а также знания принципов психологически грамотной организации процесса усвоения знаний. В реализации этих требований мы обратились к достижениям двух ведущих психологических направлений — к работам по формированию научных понятий школы J1.C. Выготского, в частности, к теории поэтапного формирования действий и понятий П Я. Гальперина, и теории онтогенетических стадий интеллектуального развития Ж. Пиаже. Исследования Ж.Пиаже дают не только возрастную картину становления комбинаторных структур, но и ценные средства оценки интеллектуального развития, тонкие диагностические задания. Теория поэтапного формирования умственных действий и понятий П.Я. Гальперина формулирует основные принципы построения психологически грамотного и потому эффективного обучения. В свою очередь, теория учебной деятельности и концепция построения учебного предмета Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова намечает способы организации содержания усваиваемого предмета.

Таким образом, в теоретическом плане актуальность вопросов, поднимаемых в данном исследовании, диктуется тем, что выявление содержания ориентировочной основы действий, необходимых для овладения детьми элементарными комбинаторными понятиями, раскроет психологические основы развития такой важной стороны интеллектуального развития, как комбинаторное мышление.

В практическом плане установление содержания и оптимальной психологической организации ориентировки детей в разных типах комбинаторных соединений необходимо для построения программы обучения, делающей доступным для школьников полноценное овладение комбинаторными понятиями.

Объектом исследования было интеллектуальное развитие учащихся начального и среднего звена школы.

В качестве предмета исследования выступило становление комбинаторного мышления у детей младшего школьного возраста и подростков.

Целью данного исследования стало определение психологических условий формирования понятий комбинаторного мышления и разработка программы обучения учащихся средней школы обобщенному способу решения задач на основные типы комбинаторных соединений (сочетания, размещения, перестановки).

В качестве гипотез исследования были выдвинуты следующие предположения:

1. Развитие комбинаторного мышления у детей связано с практическим опытом оперирования множествами и зависит от характера ориентировки в основных свойствах множества (объем, состав, порядок элементов и др.).

2. Усвоение полноценной ориентировки в свойствах множества и его элементов делает доступными понятия математической комбинаторики не только для подростков, но и для младших школьников.

3. Формирование основных типов соединений из области математической комбинаторики (сочетания, размещения, перестановки) служит эффективным средством развития комбинаторного мышления детей и подростков.

Цель и гипотезы исследования обусловили постановку следующих задач:

1) теоретический анализ проблемы обучения и развития применительно к становлению понятий комбинаторного мышления у детей и подростков;

2) анализ трудностей усвоения детьми комбинаторных представлений при традиционном обучении математике в школе;

3) оценка уровня развития комбинаторного мышления детей и подростков;

4) выявление содержания полной ориентировочной основы действия учащихся по построению разных типов комбинаторных соединений;

5) разработка и опробование экспериментальной программы обучения решению комбинаторных задач, включающая пропедевтику комбинаторных представлений, в соответствии с принципами метода поэтапного формирования;

6) экспериментальное формирование обобщенного способа решения комбинаторных задач у младших школьников и подростков с учетом возрастных особенностей процесса;

7) сравнительная оценка эффективности экспериментальной и традиционной программ формирования комбинаторики;

8) прослеживание динамики изменений в комбинаторном мышлении детей и прочности усвоения комбинаторных понятий в отсроченном контрольном эксперименте.

Организация исследования предполагала три экспериментальных этапа.

1) Копстатирукщий этап был направлен на определение исходного уровня умственного развития детей, а также анализ трудностей усвоения комбинаторных представлений при традиционном обучении математике в школе.

2) В задачи формирующего этапа входило выявление содержания ориентировочной деятельности учащихся при овладении действием по составлению разных типов комбинаторных соединений; построение, опробование и коррекция программы пропедевтики и поэтапного освоения комбинаторных представлений.

3) На этапе контрольного эксперимента оценивалось влияние формирующей программы и предваряющей ее пропедевтики на показатели комбинаторного мышления, а также общего умственного развития детей. Специально прослеживалась динамика 7 комбинаторных представлений у подростков в условиях стихийного развития.

Для более полной оценки эффективности экспериментальной программы параллельно ей проводилось обучение комбинаторным понятиям традиционным способом (в контрольных группах). Возрастные особенности комбинаторного мышления изучались путем сравнения показателей учащихся двух возрастных ступеней - младших школьников и подростков.

Методологическую основу исследования составляют: возрастно-психологический подход к анализу психического развития в онтогенезе, разработанный в работах JI.C. Выготского и его последователей, теория поэтапно-планомерного формирования умственных действий и понятий П.Я. Гальперина, теория учебной деятельности и концепция построения учебного предмета Д.Б. Эльконина и В.В.Давыдова, а также критерии оценки умственного развития, предложенные Ж. Пиаже и Б. Инельдер.

Методы исследования. Основным методом исследования, в соответствии с принципами которого составлялась пропедевтическая программа освоения комбинаторных представлений, служил метод поэтапно-планомерного формирования умственных действий и понятий П.Я. Гальперина. В ходе констатирующего и контрольного экспериментов использовались методики оценки общего умственного развития детей («Прогрессивные матрицы» Дж. Равена, «Дополнение до целого» Гриллс и Уилсон); задания Ж. Пиаже и Б. Инельдер на определение уровня операционального развития детей и комбинаторику, случайность и вероятность в их классической форме с использованием клинического метода; большой набор математических задач из учебно-методических пособий по математике на владение комбинаторно-вероятностными представлениями разного уровня сложности.

Полученные нами данные позволяют сформулировать следующие положения, выносимые на защиту:

1. В условиях стихийной жизненной практики и традиционных форм школьного обучения становление комбинаторного мышления у детей и подростков характеризуется значительными трудностями, медленным темпом, а также ярко выраженной индивидуальной вариативностью, при которой комбинаторные представления значительной части подростков сохраняются на уровне младшего школьного и даже дошкольного возраста.

2. Для успешного освоения логических предпосылок комбинаторного мышления детям требуется адекватный предметно-практический опыт оперирования множествами составление различных множеств с учетом свойств их элементов и соотнесение с подмножествами). Поскольку стихийная жизненная практика и традиционные формы 8 школьного обучения обычно не обеспечивают такого рода опыта, требуется специальная пропедевтика, в ходе которой дегги могут приобрести опыт реального предметно-практического, а не только словесно-знакового действия с множествами (на основе формул).

3. Необходимым психологическим условием развития комбинаторного мышления у детей и подростков выступает ориентировка на такие свойства множества и его подмножеств, как объем, а также состав, порядок и повторяемость элементов.

4. Ориентировочная основа для трех типов комбинаторных соединений (сочетания, размещения, перестановки) должна строиться как единая, целостная система, наглядно раскрывающая связи между разными типами соединений, в отличие от их раздельного представления, общепринятого в существующих программах преподавания комбинаторики. Раскрывая генетически исходные отношения, такая ориентировка делает доступным освоение обобщенного способа решения комбинаторных задач, обеспечивает осознанность и системность комбинаторных понятий.

5. Экспериментальная программа пропедевтики и обучения понятиям математической комбинаторики, построенная на основе метода поэтапного формирования умственных действий, обеспечивает полноценное их усвоение учащимися не только подросткового, но и младшего школьного возраста, независимо от уровня их успеваемости.

6. Пропедевтика и поэтапное формирование основных типов соединений из области математической комбинаторики (сочетания, размещения, перестановки) служат эффективным средством развития комбинаторного мышления детей и подростков. В свою очередь комбинаторный способ рассуждений оказывает ощутимое положительное влияние как на развитие операционального мышления учащихся (по критериям Ж. Пиаже), так и на их общее умственное развитие (по показателям теста Дж. Равена и др.).

Научная новизна работы определяется тем, что впервые исследовано и разносторонне охарактеризовано становление комбинаторного мышления младших школьников и подростков в условиях стихийного развития, школьного обучения, а также в ходе целенаправленного формирования; получена картина развития комбинаторного мышления у современного поколения отечественных школьников, обнаруживающая его весьма значительную индивидуальную вариативность в темпах и достигаемом уровне комбинаторных представлений.

Показано значение адекватного предметно-практического опыта оперирования с множествами для успешного формирования основных комбинаторных понятий и недостаточность стихийной жизненной практики и школьного обучения. Обоснована необходимость специальной предметно-практической пропедевтики комбинаторных 9 понятий. Выявлено содержание ориентировочной основы действий по составлению комбинаторных соединений. Показано, что ориентировка на такие свойства множества, как объем, а также состав, порядок и повторяемость элементов, служит необходимым психологическим условием становления комбинаторного мышления.

На основе метода поэтапного формирования умственных действий и понятий П.Я.Гальперина впервые разработана методика формирования комбинаторных действий, обеспечивающая полноценное овладение учащимися основами математической комбинаторики, а также стимулирующая развитие формально-операциональной логики (структур комбинаторного мышления по Ж. Пиаже). Показан ощутимый развивающий эффект, оказываемый усвоением комбинаторных понятий на общее умственное развитие детей и подростков.

Создана оригинальная программа обучения учащихся обобщенному способу решения комбинаторных задач, эффективность которой обусловлена одновременным представлением в единой системе всех трех типов математических соединений (размещений, перестановок, сочетаний). Получены эмпирические данные, убедительно свидетельствующие о целесообразности введения раздела о комбинаторике в программу по математике начальной школы (при условии соответствующего способа ее преподавания).

Теоретическое значение работы определяется тем, что классическая проблема соотношения обучения и развития получила конкретизацию и научное осмысление в отношении крайне мало изученной области мышления. Полученные результаты убедительно продемонстрировали продуктивность применения формирующей стратегии исследования в отношении такого сложного аспекта умственного развития, как комбинаторное мышление. Работа открывает новые перспективы в исследовании онтогенеза мышления, поскольку установленные в ней психологические условия формирования комбинаторных понятий проливают свет на механизмы становления базовых логических структур.

Практическое значение исследования заключается в разработке программы эффективного обучения обобщенному способу решения задач из раздела математической комбинаторики в начальном и среднем звене основной школы. Разработанная методика также может использоваться педагогами-математиками и представителями психологической службы на дополнительных занятиях в школе в качестве средства развития мышления учащихся, а также для организации психологической помощи (например, для «терапии успехом» слабоуспевающих учеников).

Выборка испытуемых. В исследовании приняли участие учащиеся 4-х, 8-х классов средней общеобразовательной школы №7 города Кимовска Тульской области.

10

Общая численность выборки детей, принимавших участие на разных этапах экспериментального исследования, составляет - 348 человек (168 мальчиков и 163 девочки). Возраст испытуемых начальной ступени школы - от 8;5 до 10;8 лет, возраст учащихся среднего звена школы - от 10;4 до 16; 10 лет1.

Достоверность и надежность полученных результатов обеспечивалась научно-методологической обоснованностью исследования, использованием комплекса методов, адекватных его предмету, цели, задачам и гипотезам, репрезентативностью выборки, применением аппарата математической статистики для обоснования статистической достоверности полученных результатов (компьютерная программа SPSS. 10.05 for WINDOWS).

Апробация диссертации состоялась на заседании кафедры возрастной психологии МГУ, а также на Всероссийской научно-практической конференции "Актуальные проблемы прикладной психологии" (2006 г., Калуга).

Структура исследования. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Список литературы содержит 143 наименования (из них 13 - на иностранных языках). Объем основного текста составляет 192 страницы. Приложения содержат таблицы данных, примеры заданий из формирующего и контрольного экспериментов, а также методические и статистические материалы, не вошедшие в основной текст работы.

Заключение диссертации по теме «Психология развития, акмеология», Евдокимова, Лариса Владимировна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Цель нашего исследования состояла в выявлении психологических условий, обеспечивающих формирование понятий математической комбинаторики у учащихся начальной и средней ступени общеобразовательной школы.

Практической причиной обращения к данной проблеме послужило то обстоятельство, что, обладая высоким образовательным и развивающим потенциалом, комбинаторные понятия в рамках существующих методик усваиваются большинством детей и подростков с огромными трудностями и на недостаточно высоком уровне. Между тем, как справедливо отмечают специалисты в области преподавания математики, комбинаторно-вероятностная составляющая - весьма существенный компонент математического знания, и необходимо шире исследовать возможности обучения математике детей младшего школьного возраста. Перспективы такого исследования, на наш взгляд, прежде всего, связаны с использованием полидисциплинарного подхода, в частности, с применением значительного потенциала психологической науки, накопленного в области построения методов учебной деятельности и содержания учебных дисциплин.

Однако проблема данного исследования представляет значительный интерес не только с практически-прикладной, но и с теоретической точки зрения, поскольку более полное раскрытие условий формирования понятий математической комбинаторики у детей разных возрастных ступеней углубляет наше понимание логико-психологического и возрастного аспектов процесса общего интеллектуального развития. В определенном смысле формирование понятий математической комбинаторики можно рассматривать как частный случай классической проблемы психологии о соотношении житейских и научных понятий, современное осмысление которой подтверждает правоту (хотя и частичную) позиций и Л.С. Выготского, и Ж. Пиаже - двух главных оппонентов в знаменитом споре о роли обучения в интеллектуальном развитии ребенка. После работ П.Я. Гальперина, ДБ. Эльконина, В.В. Давыдова и др. ядро этой проблемы видится в раскрытии подлинного содержания ориентировки, лежащей в основе различных интеллектуальных новообразований, в нахождении средств и способов присвоения ее учащимися, причем таким образом, чтобы происходило не «наслаивание нового на старое», а целенаправленное преобразование исходных (и несовершенных) форм ориентировки, складывающихся у детей в условиях стихийной жизненной практики. Проведенное исследование служит конкретной иллюстрацией данной позиции и позволяет сформулировать следующие выводы:

1. Общая картина развития мышления учащихся младшего школьного и подросткового возраста характеризуется неравномерностью и ярко выраженными индивидуальными различиями. В обеих возрастных группах встречаются ответы как дооперационального, конкретно-операционального, так и уровня формальных операций. Хотя с возрастом (в условиях стихийного развития) способность детей к комбинаторному рассуждению постепенно растет, и подростки в целом успешнее младших школьников решают комбинаторные задачи, однако темпы подобного продвижения медленны и зависят от особенностей и предметного содержания задач. В результате имеет место весьма значительный разброс в достигаемом уровне комбинаторных представлений, когда в среднем лишь пятая часть четвероклассников и менее половины восьмиклассников демонстрируют нормативно ожидаемый уровень, при этом у части детей комбинаторные суждения находятся на крайне низком (дошкольном) уровне.

2. Тот факт, что в условиях стихийного развития логические структуры мышления, лежащие в основе комбинаторики, появляются у большей части учащихся только к середине подросткового возраста и позже, объясняет особую трудность попыток преподавания комбинаторики в школе, их низкую успешность и формализм знаний.

3. Необходимым психологическим условием развития комбинаторного мышления у детей и подростков выступает ориентировка на такие свойства множества и его подмножеств, как объем, а также состав, порядок и повторяемость элементов. Такая ориентировка формируется на основе действия по составлению наборов из множеств и раскрывает генетически исходные отношения трех основных типов комбинаторных соединений (размещений, сочетаний и перестановок).

4. Для успешного освоения логических предпосылок комбинаторного мышления детям требуется специальная пропедевтика, в ходе которой они приобретают реальный (т.е. предметно-практический, а не только вербально-знаковый) опыт действия с множествами. Между тем стихийно-практическое освоение детьми окружающего мира обычно не обеспечивает им ни достаточного опыта по составлению множеств, ни ориентировки в их составе, а традиционные методы обучения игнорируют их, преподнося комбинаторные понятия в виде формул.

5. Методика поэтапного формирования действия по составлению наборов из множеств (вместе с предшествующей ей пропедевтикой) обеспечивает полноценное усвоение учащимися понятий математической комбинаторики. Отсроченная по времени (три месяца) проверка качества усвоенных комбинаторных понятий подтвердила их прочность и обобщенный характер в обеих возрастных группах.

6. Важным условием эффективности экспериментальной методики было преподнесение ориентировки в разных типах комбинаторных соединений учащимся в виде единой целостной системы В отличие от раздельного их представления, принятого в существующих программах преподавания комбинаторики, системная ориентировка раскрывает генетически исходные отношения, делая наглядными все пункты сходства и различий между типами соединений. Это открывает возможность усвоения действительно обобщенного способа решения комбинаторных задач, обеспечивает осознанность и системность комбинаторных понятий.

7. Результаты формирования комбинаторики по экспериментальной методике практически не зависели от уровня успеваемости учащихся по математике, в то время как при традиционном способе обучения такая зависимость сохранялась, и успешными оказывались лишь самые сильные (с точки зрения школьной успеваемости) ученики. Данный феномен сглаживания индивидуальных различий объясняется тем, что полноценная ориентировка детей в предмете и опора на активную деятельность в процессе обучения устранила необходимость путем проб и ошибок искать недостающие условия, предоставляла всем детям (а не только наиболее «сообразительным», «умным») достаточные средства, чтобы по-настоящему разобраться в изучаемом материале.

8. Специальным образом построенная пропедевтика и поэтапное формирование действия по составлению из множества его подмножеств (соединений) делает доступными понятия математической комбинаторики не только для подростков, но и для младших школьников, обнаруживающих высокий интерес и сензитивность к данному содержанию.

9. Установлено ощутимое положительное влияние формирования понятий комбинаторики у детей как на развитие их мышления по критериям операциональной теории Ж. Пиаже, так и на показатели их общего умственного развития по критериям теста Дж. Равена и др. Благодаря распространенности и генерализованному характеру усвоенные комбинаторные действия (четкое выделение и систематический перебор признаков, одновременный учет нескольких оснований и др.) дети свободно переносили в контекст различных интеллектуальных заданий, например, классических матричных тестов. Сам факт переноса учащимися полученных знаний на новые задания исключает возможность их формального усвоения и свидетельствует о значительном развивающем потенциале понятий математической комбинаторики. В то же время необходимо дальнейшее исследование места и функции сформированных комбинаторных понятий в общей структуре мышления детей и подростков.

10. Полученные эмпирические данные убедительно показывают целесообразность введения раздела о комбинаторике в программу по математике начальной школы (при

183 условии соответствующего способа ее преподавания).

Перспективы проведенной работы можно видеть в распространении ее логики на раздел математики, посвященный изучению вероятностей: в выявлении базовой ориентировки в сфере вероятностей событий и разработке пропедевтической программы, восполняющей тот опыт оперирования с полем потенциально возможных и реализующихся событий, которого часто недостает детям в практике их повседневной жизни, а также выстраивании связи между комбинаторной и вероятностной составляющими данного раздела математики. Можно также предположить, что разработанная схема ориентировки окажется весьма полезной не только в средней школе, но и в курсе математической статистики, изучаемой в вузах, однако это предположение требует специальной экспериментальной проверки.

В заключение отметим, что проведенное исследование наглядно показывает: ни актуальность совершенствования современного школьного образования, ни сфера приложения в нем психологических знаний, ни потенциал, заложенный в работах многих отечественных психологов, далеко не исчерпаны и ждут своего практического воплощения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат психологических наук Евдокимова, Лариса Владимировна, 2006 год

1. Атаханов Р. А. К диагностике развития математического мышления // Вопр. психол. 1992. №1-2, С. 60-67.

2. Атаханов Р.А. Соотношение общих закономерностей мышления и математического мышления // Вопр. психол. 1995. № 5. С. 60 —67.

3. Белокурова Е.Е. Методика обучения младших школьников проведению комбинаторных рассуждений при решении задач: Автореф. канд. дис. СПб., 1993.

4. Белокурова Е.Е. Характеристика комбинаторных задач //Нач. школа. № 1. 1994. С. 20-22.

5. Белокурова Е.Е. Методика обучения решению комбинаторных задач //Нач. школа. 1994. № 12. С. 43-47; 1995. № 1. С. 21-24.

6. Беляева И.С. Комбинаторный подход и его применение в преподавании математики в восьмилетней школе: Автореф. канд. дис. Орел, 1971.

7. Березина Л.Ю. Использование графов в совершенствовании среднего математического образования: Автореф. канд. дис. М., 1975.

8. Бильчугов С.Ю. Формирование элементов формальной логики у детей дошкольного возраста //Вопр. психол. 1979. №4. С. 56-65.

9. Боданский Ф.Г. О возможности усвоения алгебраического способа решения задач младшими школьниками//Вопр. психол. 1967. №3. С. 120-133.

10. Боданский Ф.Г. Развитие математического мышления у младших школьников. // Развитие психики школьников в процессе учебной деятельности М., 1983.

11. П.Бунимович Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математике // Математика в школе. 2002, № 4, с. 52-58.

12. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963.

13. Бурменская Г.В. Интеллект и развитие познавательной деятельности ребенка в генетической психологии Ж. Пиаже // Новое в психологии, 1977, вып. 2, с.23-31.

14. Бурменская Г.В. Понятие инвариантности количества как показатель умственного развития ребенка//Вопр. психол. 1978, №6, с. 142-151.

15. Бурменская Г.В. Обучение как метод исследования умственного развития ребенка в работах Женевской психологической школы // Вопросы психологии, 1981, № 2. С. 106 — 111.

16. Бурменская Г.В., Курбатова М.Б. Экспериментально-психологический анализ метода «когнитивногообучения»Ж.Пиаже//Вопр.психол. 1983. №2.С. 113- 118.

17. Бурменская Г.В. и др. От Выготского к Гальперину // Спец. прилож к «Журн. практ. психолога». М: Фолиум, 1996.

18. Бурменская Г.В. Исследование индивидуально-психологических особенностей методом поэтапного формирования умственных действий и понятий // Вопр. психол. 2002, № 5, с. 89-102.

19. Бычкова JI.O. Формирование вероятностно-статистических представлений учащихся при обучении математики в средней школе: Автореф. канд. дис. 1991.

20. Велекер К.Р. Рассмотрение элементов теории вероятностей и математической статистики в школе и развитие статистического мышления учащихся: Автореф. канд. дис. Тарту, 1973.

21. ВиленкинНЯ. Комбинаторика М.: Наука, 1969.

22. ВиленкинН.Я. Популярная комбинаторика М: Наука, 1975.

23. ВиленкинНЯ. Индукция. Комбинаторика М.: Просвещение, 1976.

24. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. М.: Просвещение, 1999.

25. Возрастные возможности усвоения знаний / Под ред. Эльконина Д.Б., Давыдова В.В. М., Просвещение, 1966.

26. Волгина В.Ф. Графовые модели в методике преподавания математики: Автореф. канд. дис. Москва, 1977.

27. Волгина В.Ф. Методика изучения комбинаторики на графах // Математика в школе. 1977. №1.С. 73-77.

28. Володарская И.А. Формирование обобщенных приемов геометрического мышления // Управление познавательной деятельностью учащихся. М., 1972.

29. Выготский JI.C. Избранные психологические исследования. М: Изд-во АПН РСФСР, 1956. С. 438-452.

30. Выготский Л.С. Мышление и речь // Собр. соч. М.: Просвещение, 1983. Т. 2.

31. Выготский Л.С. Педагогическая психология / Под ред. В.В. Давыдова М., Педагогика, 1991.

32. Гальперин П.Я. К вопросу о формировании начальных математических понягнй // Доклады АПН РСФСР. 1960. М« 1,4,5. (совместно с Л С. Георгиевым).

33. Гальперин ПЯ Метод «срезов» и метод поэтапного формирования в исследовании детского мышления//Вопр. психол. 1966. №4. С. 128-135.

34. Гальперин ПЯ., Талызина НФ. Современное состояние теории поэтапного формирования умственных действий//Вест. Моск. Ун-та. Сер. 14. Психология. 1979. №4. С. 54-63.

35. Гальперин ПЯ. Методы обучения и умственное развитие ребенка. М., 1985.

36. Гальперин П.Я Обучения и умственное развитие в детском возрасте. / Гальперин ПЯ. Психология как объективная наука М.: Издательство «Институт практической психологии», Воронеж, 1998.

37. Гальперин П.Я, Эльконин ДБ. К анализу теории Ж. Пиаже о развитии детского мышления // Жан Пиаже: теория, эксперименты, дискуссии. М.: Гардарики, 2001. С. 296324.

38. Глеман М., Варга Т. Вероятность в играх и развлечениях: элементы теории вероятностей в курсе средней школы. М., Просвещение, 1976.

39. Давыдов В.В. Соотношение понятий «формирование» и «развитие» психики //Обучение и развитие. Материалы к симпозиуму (июнь-июль 1966). М.: Просвещение, 1966.

40. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении. М.: Педагогика, 1972.

41. Давыдов В.В. Содержание и структура учебной деятельности школьников // Формирование учебной деятельности школьников. М., 1982.

42. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения: Опыт теоретического и экспериментального психологического исследования. М., Педагогика, 1986.

43. Давыдов В.В., Зинченко В.П. Предметная деятельность и онтогенез познания // Вопр. психол. 1998, №3, с. 11-29.

44. Дворяткина С.Н. Стохастические задачи и иллюстрации процесса применения математики. В кн.: Проблемы реализации государственного стандарта образования. Межвузовский сборник научных трудов / под ред. Э.ДНовожилова. - М. Изд-во МПУ, 2001.

45. Дограшвшш А Я. Формирование у учащихся умений и навыков решения комбинаторных и вероятностных задач при обучении математики в средней школе: Автореф. канд. дис. Тбилиси, 1976.

46. Жан Пиаже: теория, эксперименты, дискуссии. / Под ред. Л.Ф. Обуховой, Г.В. Бурменской.М.: Гардарики, 2001.

47. Зависимость обучения от типа ориентировочной деятельности // Под ред. П.Я. Гальперина, Н.Ф. Талызиной. М., 1968.

48. Ильясов И.И. Структура процесса учения. М., 1986.

49. Инельдер Б. Развитие представлений о случайности и вероятности в детском возрасте // Жан Пиаже: теория, эксперименты, дискуссии. М.: Гардарики, 2001. С. 261-277.

50. Кабехова Л.М. Методика построения единого курса «Начала теории вероятностей с элементами комбинаторики» для 9 класса средней школы: Автореф. канд. дис. Л., 1971.

51. Каменкова Н.Г.Элементы теории вероятностей в начальной школе: Учебн. пособие. СПб.: Изд-во РГПУ им. А.И Герцена, 1999.

52. Колмогоров А.Н. Введение в теорию вероятностей и комбинаторику // Математика в школе. 2000. №8. С. 2-5.

53. Коломинская Е.В. Кружок по комбинаторике в 5-6 классах // Математика в школе. 1997. №3. С. 57-60.

54. Концепция математического образования (в 12-летней школе) // Математика в школе. 2000. №2. С. 13-18.

55. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение, 1968.

56. Кудратов Ж. Теория вероятностей и математическая статистика в курсе математики средней школы: Автореф. канд. дис. М., 1991.

57. Лебедева С.А Развитие познавательной деятельности дошкольников на основе схематизации // Вопр. психол. 1997. №5. С. 20-27.

58. Лидере А.Г., Фролов Ю.И. От Выготского к Гальперину // Специальное приложение к «Журналу практического психолога». М.: Фолиум, 1996. С. 6-51.

59. Лидере АГ. Метод планомерного формирования учебных действий и понятий // Журнал практического психолога. 2002. №4-5. С. 92-127.

60. Лоренцо О,, Мачадо А. В защиту теории Пиаже: ответ на десять основных пунктов критики // Жан Пиаже: теория, эксперименты, дискуссии. М.: Гардарики, 2001. С 487-543.

61. Максимов Л.К. Зависимость развития математического мышления школьников от характера обучения //Вопр. психол. 1979. №2. С. 57-64.

62. Массен П, Конджер Д., Коган Дж., Хьюстон А. Развитие личности ребенка. М.: Прогресс, 1987

63. Математика: учебник для 5 класса. //Под редакцией Г.В Дорофеева, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимовича и др. М.: Просвещение, 1994.

64. Математика: учебник для 5 класса. //Под редакцией Л.Н. Шеврина, А.Г. Гейна, И.О. Корякова, М.В. Волкова М.: Просвещение, 2003.

65. Математика: учебник для 6 класса. //Под редакцией ЛН. Шеврина, А.Г. Гейна, И.О. Корякова, М.В. Волкова. М.: Просвещение, 2003.

66. Медведева О. С. Решение задач комбинаторного характера как средство развития мышления учащихся 5-6 классов: Автореф. канд. дис. М., 1990.

67. Медведева О.С. Развитие комбинаторного стиля мышления //Математика в школе 1990. № 1.С. 49-51.

68. Мельников О.И. Использование графов при обучении математике //Нач. школа. 2003. № 5. С. 21-26.

69. Менчинская Н.А., Моро М.И. Вопросы методики и психологии обучения арифметики в начальных классах. М., Просвещение, 1965.

70. Минская Г.И. Об усвоении обобщенных способов решения задач младшими школьниками//Вопр. психол. 1968. №2. С. 107-115.

71. Молчанова Г.В. Динамика возрастных и индивидуальных особенностей умственною развития тревожных и импульсивных детей 6-8 лет. Канд. дис., М., 2000.

72. Мордкович А.Г. События, вероятность, статистическая обработка данных // Математика, 2002, №35, с.33-41.

73. Мордкович А.Г., Семёнов Г1,В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. 7-9 класс. М: Мнемозина, 2002.

74. Обухова Л.Ф. Этапы развития детского мышления. М., 1972.

75. Обухова Л Ф. Концепция Жана Пиаже: За и против. М, 1981.

76. Обухова Л.Ф. Детская психология: теории, факты, проблемы. М., Тривола, 1996.

77. Обухова Л.Ф. П.Я Гальперин и Ж. Пиаже: два подхода к проблеме психического развития ребенка// Жан Пиаже: теория, эксперименты, дискуссии. М.: Гардарики, 2001. С. 352-367.

78. Обухова Л.Ф. Экспериментальный анализ некоторых «феноменов Пиаже» // Жан Пиаже: теория, эксперименты, дискуссии. М.: Гардарики, 2001. С.406-414.

79. Обухова Л.Ф. Конструирование компьютерной обучающей программы на основе теории П. Я. Гальперина// Вопр. психол. 2002. № 5. с. 103-113.

80. Пиаже Ж. Роль действия в формировании мышления//Вопросы психологии, 1965, № 6. С. 33-51.

81. Пиаже Ж. Как дети образуют математические понятия //Вопросы психологии, 1966, № 4. С. 121-127.

82. Пиаже Ж. Генетическая эпистемология // Жан Пиаже: теория, эксперименты, дискуссии. М.: Гардарики, 2001. С. 186-199.

83. Пиаже Ж. Теория Пиаже // Жан Пиаже: теория, эксперименты, дискуссии. М.: Гардарики, 2001. С. 106-157.

84. Пиаже Ж. Эволюция интеллекта в подростковом и юношеском возрасте // Жан Пиаже: теория, эксперименты, дискуссии. М.: Гардарики, 2001. С. 232-243.

85. Пиаже Ж., Инельдер Б. Генезис элементарных логических структур. Классификация и сериация / М.: Изд-во ЭКСМО-Пресс, 2002.

86. Плоцки А. Вероятность события в стохастической линии школьного математического образования: Перевод внематематических проблем на язык математики. //Математика в школе. 1997. № 2. С. 24-28; №3. С. 67-70.

87. Подгорецкая НА. Изучение приемов логического мышления у взрослых. М., 1980.

88. Поддьяков А.Н. Комбинаторное экспериментирование дошкольников с различными объектами // Вестник Моск. ун-та. Сер. 14. Психология. 1991а. № 4. С. 34-41.

89. Поддьяков А.Н. Обучение дошкольников комбинаторному экспериментированию // Вопр. психол. 19916. №4. С. 29-34.

90. Поддьяков А.Н. Мышление дошкольников в процессе экспериментирования со сложными объектами//Вопр. психол. 1996. №4. С. 14-24.

91. Поддьяков А.Н. Исследовательское поведение: стратегии познания, помощь, противодействие, конфликт. М, 2000.

92. Подольский А.И. Становление познавательного действия: Научная абстракция и реальность. М.: Изд-во МГУ, 1987.

93. Подольский А.И. Предисловие // П.Я. Гальперин. Четыре лекции по психологии. М., Книжный дом «Университет», 2000.

94. Подольский А.И Психологическая система П.Я. Гальперина // Вопр. психол. 2002. № 5. С. 15-28

95. Полуянов Ю. А Оценка развития комбинаторных способностей//Вопр. психол. 1998. №3. С.125-136.

96. Психическое развитие младших школьников: Экспериментальное психологическое исследование / Под ред. В.В. Давыдова. М., 1990.

97. Психологические возможности младших школьников в усвоении математики. /Под ред. Давыдова В.В.М.: Просвещение, 1969.

98. Равен Дж. К., Курт Дж. X., Равен Дж. Руководство к прогрессивным матрицам Равена М, 1997.

99. Садовничий В.А. Математическое образование: настоящее и будущее: Доклад на Всероссийской конференции «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков», г. Дубна, 19 сентября 2000 г. М., 2000.

100. Салмина Н.Г., Сохина В.П. Обучение математике в начальной школе. М., 1975.

101. Салмина Н.Г. Знак и символ. М,, 1988.

102. Самигуллина З.П. К методике решения простейших комбинаторных задач на вычисление вероятности в средней школе: Автореф. канд. дис. М., 1970.

103. Селютин В.Д. О подготовке учителей к обучению школьников стохастике //Математика в школе. 2003. №4. С. 63-65.

104. Талызина Н.Ф. Теория поэтапного формирования умственных действий и проблема развития мышления // Обучение и развитие. Материалы к симпозиуму (июнь-июль 1966). М.: Просвещение, 1966.

105. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников. М., Просвещение, 1988.

106. Талызина Н.Ф. Деятельностный подход к механизмам обобщения // Вопр. психол. 2001. №3. С. 3-17.

107. Талызина Н.Ф. Развитие П.Я. Гальпериным деягельностного подхода в психологии. // Вопр. психол. 2002. №5. С. 4249.

108. Тепленькая Х.М. Формирование понятий о принадлежности к классу и соотношениях классов и подклассов у детей 6-7 лет //Вопр. психол. 1966. № 5. С. 138-141.

109. Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. Алгебра 7-9. Элементы статистики и вероятность. М: Просвещение, 2003.

110. Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Элементы стохастики в курсе математики 7-9 классов основной школы //Математика в школе. 2003. № 3. С. 36-49,

111. Тонких А.П. Элементы стохастики в курсах математики факультетов подготовки учителей начальной школы // Начальная школа. 2003. №4. С. 2-6.

112. Тюрин Ю.Н. С этого года в школах начнут учить статистике и теории вероятностей. «Известия». 2004. № 211. с. 9.

113. Уилсон Г., Гршшс Д Как определить умственное развитие ребенка //Тесты для взрослых и детей. М., 1994.

114. Филиппова Е.В. Формирование логических операций у шестилетних детей // Вопр. психол. 1986. №2. С. 43-50.

115. Фирсов В.В. Некоторые проблемы обучения теории вероятностей как прикладной дисциплины: М., 1974.

116. Флейвелл Дж. Генетическая психология ЖанаПиаже. М.: Просвещение, 1967.

117. Формирование приемов математического мышления // Под ред. Н.Ф. Талызиной. М., 1995.

118. Фридман JIM. Методы формирования ориентировочной основы умственных действий по решению задач // Вопр. психол. 1975. №4. С.51-61.

119. Халамайзер А.Я. Комбинаторика и бином Ньютона. Пособие для учащихся 9-10 классов. М.: Просвещение, 1980.

120. Халамайзер АЯ. Математика гарантирует выигрыш. М.: Моск. рабочий, 1981.

121. Хозиев В.Б., Хохлова НИ. Оригами как пропедевтика к системе геометрических понятий // Сб. научных трудов СурГУ. «Психология в образовании», Сургут. — Выпуск 8. -1999.-С. 49-63.

122. Хозиев В.Б. Опосредствование в становящейся деятельности. Сургут. 2000.

123. Хо Нгок Дай О возможности усвоения младшими школьниками алгебраической операции//Вопр. психол. 1972. № 1. С. 85-97.

124. Хо Нгок Дай Психология построения курса математики в начальной школе // Вопр. психол. 1976. №6. С. 69-80.

125. Шихова А.П. Комбинаторные задачи в 4-6 классах // Математика в школе. 1973. № 5. С.23-29.

126. Шихова А.П. Обучение комбинаторике и ее приложениям в средней школе: Автореф. канд. дис. М, 1978.

127. Эльконин ДБ. Интеллектуальные возможности младших школьников и содержание обучения. //В кн. «Возрастные возможности усвоения знаний (младшие классы школы)», под ред. ДБ. Эльконина, В.В. Давыдова. М., Просвещение, 1966.

128. Математика. Большой энциклопедический словарь. / Под ред. Ю.В. Прохорова М.: «Большая Российская Энциклопедия», 2000, с. 276.

129. Математическая энциклопедия. / Под ред. И.М. Виноградова. М.: «Советская энциклопедия», 1979, т. 2, с. 974.

130. Barth F., HallerR Stochastik. MQnchen: Ehrenwirth Verlag, 1983.

131. Engel A. Wahrschiitsrechnung und Statistik, Band 1. Stuttgart: Ernst Klett Verlag, 1980.

132. English L.D., Halford G.S. Mathematics education: Models and processes. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Ass, Publ., 1995.

133. Fischbein, E., Schnarch, D. The evolution with age of probabilistic, intuitively based misconceptions// Journal for research in mathematics education, 1997,28(1), pp. 96-105.

134. Freudenthal H. Mathematics as an Educational Task. Doranecht: D. Reidel Publishhing Company, 1973.

135. Gutjahr, W., Roether, D., Frost, G., Schmidt, K. Verfahren zur Diagnostik der schulfahigkeit, Berlin, 1977.

136. Huber, O. The development of the probability concept: Some reflections. Archives de psychologie, 61(238), 187-195,1993

137. Inhelder В., Piaget J. The Growth of logical thinking from childhood to adolescence. N.Y. 1958.

138. Jones, G. A., Langrall, C. W, Thornton, C. A., Mogill, A T. A framework for assessing and nurturing young children's thinking in probability. Educational studies in mathematics, 32, 101127, 1997.

139. Kreitler, S., Zigler, E., Kreitler, H. Probability learning and Piagetian probability conceptions in children 5 to 12 years old. Genetic, Social and general psychology monographs, 115(4), 505-533, 1987.

140. Lucca, A., Cristante, F. Developmental stages of logical-mathematical thinking and cognitive procedures in quantification tasks on probabilities and permutations. Cahiers de psychologic cognitive, 9(4), 451^65,1989.

141. Seldmeier, P. How to improve statistical thinking: Choose the task representation wisely and learn by doing. Instructional science, 28,227-262,2000.

142. Tarr, J. E., Jones, G. A. A framework for assessing middle school students' thinking in conditional probability and independence. Mathematics education research journal 9(1), 39-59, 1997.