Формирование и исследование световых полей методами оптики спиральных пучков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.21, кандидат физико-математических наук Афанасьев, Кирилл Николаевич

• Афанасьев, Кирилл Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Афанасьев, Кирилл Николаевич

Введение

Глава 1. Формирование когерентных световых полей с заданным видом интенсивности при помощи дифракционных оптических элементов

1.1. Постановка задачи формирования поля с заданным видом интенсивности

1.2. Геометрооптический подход к расчёту фазовых дифракционных элементов

1.3. Итерационные алгоритмы для расчёта дифракционных оптических элементов.

1.4. Задача формирования излучения в кольцо.

1.5. Оптика спиральных лазерных пучков как основа нового подхода к синтезу световых полей с заданными пространственными свойствами.

Глава 2. Формирование вихревых световых полей при помощи фазовых элементов на основе оптики спиральных пучков

2.1. Метод расчёта фазовых элементов для формирования полей с заданной интенствностью.

2.2. Возможность управлять величиной углового момента полей в виде замкнутой кривой

2.3. Влияние дискретизации фазы на качество формируемых полей

2.4. Влияние пространственного разрешения на качество формируемых полей.

2.5. Эксперименты по формированию полей.

Глава 3. Формирование и анализ световых полей с фазовыми сингулярностями на основе астигматического преобразования

3.1. Моделирование формирования спиральных пучков на основе одномерных амплитудно-фазовых элементов.

3.2. Анализ спиральных пучков при помощи астигматического преобразования

3.3. Анализ одномерных полей при помощи астигматического преобразования

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формирование и исследование световых полей методами оптики спиральных пучков»

Актуальность темы

Пространственная структура лазерного излучения наряду с временными характеристиками играет существенную роль в задачах когерентной оптики и лазерных технологий. Совершенствование существующих методов лазерной обработки материалов, оптической диагностики, медицинских и биологических приложений, систем оптической обработки изображений и коммуникации повышает требования к пространственной структуре излучения. Благодаря новым методам синтеза полей со сложной пространственной структурой активно развивается лазерная манипуляция микрообъектами. В ряде задач, например, распространения излучения в нелинейных средах, временные характеристики излучения невозможно и некорректно анализировать без учёта пространственных характеристик. Использование сингулярной оптики (световых полей с фазовыми сингулярностями) открывает новые возможности в задачах формирования световых полей заданной структуры, полей с большими значениями орбитального углового момента, оптических каналов связи в атмосфере [1-3], реализации квантовых протоколов передачи данных [4-6], интерферометрии [7-10], микроскопии [11-15], оптической обработке изображений [16-18], калибровке адаптивных систем [19].

Среди методов синтеза полей с заданной структурой наибольшее распространение получили фазовые дифракционные оптические элементы (ДОЭ). Фазовый профиль такого элемента рассчитывается на компьютере, а затем воспроизводится при помощи управляемых фазовых модуляторов света или в виде микрорельефа на подложке из диэлектрика. При дифракции лазерного пучка на таком транспаранте в некоторой плоскости формируется поле с заданными характеристиками. Задача расчета фазового элемента формулируется как обратная: дано распределение интенсивности, нужно найти такой фазовый профиль, при дифракции на котором требуемое распределение будет сформировано.

Наиболее ранним и хорошо исследованным классом ДОЭ являются фоку-саторы — фазовые элементы, рассчитанные на основе геометрической оптики. Основополагающие работы по расчету и исследованию фокусаторов были выполнены И.Н. Сисакяном, В.А. Сойфером, В.А.Даниловым, М.А. Голубом, А.В. Гончарским в 80-х годах прошлого века [20-34]. Опубликован ряд монографий по данной тематике [35-41]. Фокусаторы позволяют сформировать требуемое распределение интенсивности вдоль заданной кривой, что определяет их практическую ценность в установках микроэлектроники, в оптических приборах, в лазерных технологических установках. Регулярный зонный микрорельеф является важной особенностью фокусаторов, определяющей их технологичность. Однако, ввиду сложности решения обратной задачи фокусировки, аналитические решения получены только для случая фокусировки в простые гладкие кривые, такие как отрезок, кольцо, полукольцо. Для получения более сложных кривых используются сегментированные фокусаторы. В этом случае апертура фокусатора разбивается на сегменты, каждый из которых реализует фокусировку в соответствующий элемент контура. Это упрощает методику расчета фокусаторов, однако сегментированные фокусаторы имеют ряд недостатков. Уменьшение апертуры сегмента приводит к усилению дифракционных эффектов, к различной дифракционной ширине линий фокусировки и к снижению плотности энергии излучения в окрестности контура фокусировки.

На данный момент наиболее эффективным способом решения обратных задач синтеза фазовых элементов являются различные итерационные алгоритмы. Наиболее популярным является класс алгоритмов, основанных на алгоритме Герчберга-Сэкстона [42]. Выбор начального приближения фазы является определяющим для итерационного процесса и влияет на сходимость и вид полученных решений. Существуют две методики выбора начального приближения. Первая основана на том, что в качестве нулевого приближения задачи берётся геометро-оптическое решение соответствующего фокусатора. Как правило, в ходе итерационного процесса гладкость начального фазового профиля меняется незначительно, однако данный подход сохраняет все недостатки, свойственные фокусаторам. Вторая методика основана на выборе в качестве нулевого приближения некоторого случайного фазового распределения. Главным недостатком подхода является то, что конечное решение имеет квазислучайную структуру, что представляет дополнительные сложности при её синтезе стандартными технологическими методами, а большое число скачков в фазовом рельефе приводит к неконтролируемому рассеянию энергии и, как следствие, низкой энергетической эффективности. Таким образом, известные подходы обладают рядом существенных недостатков, поэтому актуальным является поиск новых методов выбора начального приближения фазы при расчете ДОЭ для формирования полей с заданным видом интенсивности. Оптические элементы должны обладать регулярным фазовым профилем, высокой энергетической эффективностью и формировать требуемое поле с достаточной точностью.

Наряду с задачами синтеза полей с заданной пространственной структурой не меньшее значение имеют задачи анализа пространственной структуры реально сформированных полей. В силу специфики оптического диапазона регистрации поддается не комплексная амплитуда оптического сигнала, а лишь его интенсивность, которая в общем случае не является полной характеристикой светового поля. Традиционные методы интерферометрии дают принципиальную возможность косвенных фазовых измерений, однако, в ряде задач невозможно или трудно реализовать интерферометрический принцип получения информации о комплексной амплитуде или фазе поля. Данная ситуация имеет место в астрономии, рентгеновской и адаптивной оптике. Это делает актуальным поиск способов анализа и восстановления полей по измерениям интенсивности.

Цель диссертационной работы

Развить новый подход к решению задачи итерационного синтеза фазовых элементов для формирования когерентных световых полей с заданной пространственной структурой и разработать способ анализа их пространственной структуры по измерениям интенсивности. В соответствии с указанной целью решались следующие задачи:

1. На основе оптики спиральных пучков разработать новый подход к выбору начального приближения фазы для итерационного алгоритма расчёта фазового элемента, формирующего поле в виде кривой. Определить оптимальные параметры алгоритма, обеспечивающие сходимость и качество получаемых решений.

2. Рассчитать примеры фазовых элементов для формирования полей в виде заранее заданных кривых, определить допустимые критерии дискретизации фазы и пространственного разрешения элементов.

3. Разработать способ управления величиной углового момента формируемых полей и однородностью его распределения.

4. Экспериментально сформировать поля с распределением интенсивности в виде кривых.

5. Разработать способ анализа одномерных полей путем реализации астигматического преобразования.

Научная новизна

1. Предложен новый способ расчета фазовых дифракционных элементов, позволяющих формировать когерентные световые поля с распределением интенсивности в виде заданных кривых и обладающих угловым моментом.

2. Экспериментально реализованы вихревые световые поля с фазовыми сингулярностями, заданным распределением интенсивности и обладающие угловым моментом при помощи только фазовых элементов на бихромирован-ной желатине и пространственном модуляторе света.

3. Предложен метод анализа одномерных световых нолей по расположению изолированных нулей интенсивности поля, полученного после астигматического преобразования.

Практическая значимость

Результаты работы могут служить физической основой для развития существующих лазерных технологий, развития методов лазерной манипуляции микрообъектами в медицине, биологии, микромеханике, формирования световых ловушек для атомов и др. Предложенный метод восстановления нолей - основой для создания датчика волнового фронта.

Личный вклад автора

Все численные и натурные эксперименты выполнены автором. Исходная постановка задач, разработка подходов к их решению и интерпретация результатов осуществлялись совместно с соавторами.

Публикации

По материалам, вошедшим в диссертацию, опубликовано 7 работ в рецензируемых журналах (из них 4 в журналах, входящих в перечень ВАК) и 20 работ в сборниках трудов и тезисов конференций.

Апробация работы

Результаты, вошедшие в диссертацию, представлялись на следующих конференциях: Международная молодежная научная школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия» (г. Казань, 2004, 2006), Самарский региональный конкурс-конференция научных работ студентов и молодых исследователей по оптике и лазерной физике (Самара, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008), International Conference on Lasers, Applications, and Technologies (St. Petersburg, Russia, 2005), Saratov Fall Meeting '05 (Saratov, Russia, 2005), Демидовские чтения на Урале (г.Екатеринбург, 2006), The fifteenth annual International Laser Physics Workshop (Lausanne, Switzerland, 2006), XI Школа молодых ученых «Актуальные проблемы физики» и I Школа-семинар «Инновационные аспекты фундаментальных исследований» (г.Звенигород, Московская обл., 2006), Научная сессия МИФИ (г. Москва, 2007, 2009), XI Всероссийская школа-семинар «Физика и применение микроволн» (г. Звенигород, Московская обл., 2007, 2008), International Conference on Coherent and Nonlinear Optics (ICONO) (Minsk, Belarus, 2007), SPIE Optics and Photonics 2007: Optical trapping and Optical Micromanipulation IV (San Diego, California, USA, 2007), 16-th International Laser Physics Workshop (Leon, Mexico, 2007), Двадцать шестая школа по когерентной оптике и голографии (г.Иркутск, 2007), X Международные Чтения по квантовой оптике (г.Самара, 2007), Симпозиум по когерентному оптическому излучению полупроводниковых соединений и структур (г. Звенигород, Московская обл., 2007), Медицинская физика и инновации в медицине (г.Троицк, 2008), 8th Asia-Pacific Confernce of Fundamental Problems of Opto and Microelectronics, APCOM 2008 (Tokyo, Japan, 2008), Fourth International Conference «Singular Optics (Optical Vortices): Fundamentals and Applications S0'2008» (Alushta, Crimea, Ukraine, 2008), 4-th International Conference on Advanced Optoelectronics and Lasers (CAOL'2008, Alushta, Crimea, Ukraine), многократно докладывались на семинарах СФ ФИАН.

Результаты, представленные в диссертации, были получены в рамках: гранта CRDF(RUPl-2623-SA-04); грантов РФФИ (04-02-96508, 07-02-01280, 07-02-12221, 07-02-96614); гранта для студентов, аспирантов и молодых ученых Самарской области 2006 года 271Е2.4 К; программы ОФН РАН «Когерентное оптическое излучение полупроводниковых соединений и структур»; бюджетных НИР (№ гос. регистрации 01200502889, 200502890, 01200805602); программы «У.М.Н.И.К.» Фонда содействия развитию малых форм предприятий в научно-технической сфере.

На основании результатов, вошедших в диссертацию, были присуждены: премия имени С.И. Вавилова на конкурсе научных работ Учебно-научного комплекса ФИ АН 2006 года за цикл работ: «Формирование вихревых световых полей с заданной формой интенсивности для задач лазерной манипуляции микрообъектами»; диплом I степени на конкурсе молодежных научных работ по оптике и лазерной физике 2007 года, проведённом Советом программы «Когерентное оптическое излучение полупроводниковых соединений и структур» за работу «Формирование вихревых лазерных полей для микроманипуляции»; победа на областном конкурсе «Молодой ученый» Министерства образования и науки Самарской области в 2009 году.

Положения, выносимые на защиту

1. Метод, в котором в качестве начального приближения искомой фазы используется фаза соответствующего спирального пучка, позволяет синтезировать фазовые элементы для формирования световых полей со сложным распределением интенсивности и углового момента. Из численных и натурных экспериментов следует, что величиной углового момента можно управлять посредством изменения числа сингулярностей соответствующего спирального пучка, при этом зависимость величины углового момента от числа сингулярностей является линейной.

2. Для формирования световых полей с фазовыми сингулярностями количество градаций фазы должно быть не менее 4-х. При этом для синтезированных полей среднеквадратичное отклонение интенсивности формируемого поля составляет менее 5%, а величина интеграла перекрытия превышает 90%.

3. Астигматическое преобразование одномерного поля позволяет реализовать аналитическое продолжение его фурье-образа и восстановить исходное поле за одно измерение интенсивности.

Заключение диссертации по теме «Лазерная физика», Афанасьев, Кирилл Николаевич

Основные результаты работы:

1. Развит метод синтеза световых полей, обладающих сложным распределением интенсивности и углового момента, где начальным приближением для итерационного алгоритма является фазовое распределение соответствующего спирального пучка. Параметры алгоритма позволяют косвенно управлять однородностью распределения плотности углового момента. Результаты численных и натурных экспериментов показали, что величиной углового момента можно управлять, меняя число фазовых сингулярностей в структуре исходного спирального пучка.

2. Для ряда кривых (кольцо, треугольник, квадрат, спираль Архимеда, «снежинка») синтезированы соответствующие фазовые элементы. Численно и экспериментально показано, что полученные фазовые распределения в широких пределах устойчивы к дискретизации фазы и изменению разрешения фазового распределения (число уровней фазы должно быть 4 и более, пространственное разрешение ие менее 64 х 64 пиксела).

3. Экспериментально синтезированы поля со сложным распределением интенсивности и углового момента. Интенсивность полученных полей хорошо согласуется с теоретической. Наличие углового момента полей продемонстрировано в экспериментах по лазерной манипуляции микрообъектами.

4. Показано, что трансформация спирального пучка в одномерное поле при помощи астигматического преобразования позволяет определять количество сингулярностей внутри контура пучка и более точно детектировать неоднородности.

5. На основе астигматического преобразования предложен способ восстановления фазы одномерных полей путем оптической реализации аналитического продолжения фурье-образа поля. Численные эксперименты показали, что при увеличении числа детектированных нулей аналитаческого продолжения с 2-х до 20-ти среднеквадратичная ошибка восстановления амплитуды убывает более чем в 5 раз, а среднеквадратичная ошибка восстановления фазы составляет величину порядка 10%.

Заключение

В диссертации разработан новый метод расчёта фазовых элементов для синтеза световых полей обладающих орбитальным угловым моментом и заданным видом интенсивности. Основой метода является новый подход к выбору начального приближения фазы для итерационного алгоритма, основанный на оптике спиральных пучков света. С использованием оптики спиральных пучков разработаны методы анализа двумерных и одномерных световых полей на основе астигматического преобразования.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Афанасьев, Кирилл Николаевич, 2009 год

1. Eric Yao, Sonja Franke-Amold, Johannes Courtial et al. Observation of quantum entanglement using spatial light modulators // Opt. Express.- 2006,- Vol. 14, no. 26.- Pp. 13089-13094.http://www.opticsexpress.org/abstract.cfm?URI=oe-14-26-13089.

2. J org B. Gotte, Kevin O'Holleran, Daryl Preece et al. Light beams with fractional orbital angular momentum and their vortex structure // Opt. Express.- 2008.- Vol. 16, no. 2.— Pp. 993-1006. http: //www.opticsexpress.org/abstract.cfm?URI=oe-16-2-993.

3. Juan Carlos Garcia-Escartin, Pedro Chamorro-Posada. Quantum multiplexing with the orbital angular momentum of light // Physical Review

4. A (Atomic, Molecular, and Optical Physics). — 2008. — Vol. 78, no. 6. — P. 062320. http://link.aps.org/abstract/PRA/v78/e062320.

5. Severin Fiirhapter, Alexander Jesacher, Stefan Bernet, Monika Ritsch-Marte. Spiral interferometry // Opt. Lett.— 2005.— Vol. 30, no. 15.— Pp. 1953-1955. http://ol.osa.org/abstract.cfm?URI=ol-30-15-1953.

6. Alexander Jesacher, Severin Fiirhapter, Stefan Bernet, Monika Ritsch-Marte. Spiral interferogram analysis // J. Opt. Soc. Am. A. — 2006.- Vol. 23, no. 6,- Pp. 1400-1409.http://josaa.osa.org/abstract. cfm?URI=josaa-23-6-1400.

7. Roser Juanola-Parramon, Noelia Gonzalez, Gabriel Molina-Terriza. Characterization of optical beams with spiral phase interferometry // Opt. Express.— 2008.— Vol. 16, no. 7.— Pp. 4471-4478. http://www.opticsexpress.org/abstract.cfm?URI=oe-16-7-4471.

8. Severin Fiirhapter, Alexander Jesacher, Stefan Bernet, Monika Ritsch-Marte. Spiral phase contrast imaging in microscopy // Opt Express.— 2005.— Vol. 13, no. 3.- Pp. 689-694. http://www.opticsexpress.org/abstract.cfm?URI=oe-13-3-689.

9. Alexander Jesacher, Severin Fiirhapter, Stefan Bernet, Monika Ritsch-Marte. Shadow Effects in Spiral Phase Contrast Microscopy // Phys. Rev. Lett. 2005. - Jun. - Vol. 94, no. 23. — P. 233902.

10. C. Maurer, A. Jesacher, S. Fiirhapter et al. Upgrading a microscope with a spiral phase plate // Journal of Microscopy. — 2008.— Vol. 230, no. 1,— Pp. 134-142.

11. Nandor Bokor, Yoshinori Iketaki. Laguerre-Gaussian radial Hilbert transform foredge-enhancement Fourier transform x-raymicroscopy // Opt. Express.— 2009.- Vol. 17, no. 7.— Pp. 5533-5539.http://www.opticsexpress.org/abstract.cfm?URI=oe-17-7-5533.

12. Jose A. Rodrigo, Tatiana Alieva, Maria L. Calvo. Gyrator transform: properties and applications // Opt. Express. — 2007.— Vol. 15,, no. 5.— Pp. 2190-2203. http://www.opticsexpress.org/abstract.cfm?URI=oe-15-5-2190.

13. Guohai Situ, Giancarlo Pedrini, Wolfgang Osten. Spiral phase filtering and orientation-selective edge detection/enhancement // J. Opt. Soc. Am. A. — 2009.- Vol. 26, no. 8.- Pp. 1788-1797. http://josaa.osa.org/abstract.cfm?URI=josaa-26-8-1788.

14. Jose Augusto Rodrigo, Tatiana Alieva, Maria L. Calvo. Programmable two-dimensional optical fractional Fourier processor // Opt. Express.- 2009.— Vol. 17, no. 7.— Pp. 4976-4983. http://www.opticsexpress.org/abstract. cfm?URI=oe-17-7-4976.

15. A. Jesacher, A. Schwaighofer, S. Fiirhapter et al. Wavefront correction of spatial light modulators using an optical vortex image // Opt. Express.— 2007.— Vol. 15, no. 9.— Pp. 5801-5808. http://www.opticscxpress.org/abstract.cfm?URI:=oe-15-9-5801.

16. М.А. Голуб, E.C. Живописцев, С.В. Карпеев и др. Получение асферических волновых фронтов при помощи машинных голограмм // Доклады АН СССР. 1980. - Т. 253, № 5. - С. 1104-1108.

17. М.А. Голуб, С.В. Карпеев, A.M. Прохоров и др. Фокусировка излучения в заданную область пространства с помощью синтезированных на ЭВМ голограмм // Письма в ЖТФ. — 1981. Т. 7, № 10. - С. 618-623.

18. М.А. Голуб, В.П. Дегтярева, A.M. Климов и др. Машинный синтез фокусирующих элементов для СОг-лазера // Письма в ЖТФ, — 1982.— Т. 8, № 8.-С. 449-451.

19. В.А. Данилов, В.В. Попов, A.M. Прохоров и др. Синтез оптических элементов, создающих фокальную линию произвольной формы // Письма в ЖТФ. 1982. - Т. 8, № 13. - С. 810-812.

20. М.А. Голуб, A.M. Прохоров, И.Н. Сисакян, В.А. Сойфер. Синтез пространственных фильтров для исследования поперечного модового состава когерентного излучения // Квантовая электроника. — 1982. — Т. 9, № 9. С. 1866-1868.

21. В.А. Данилов, В.В. Попов, A.M. Прохоров и др. Оптические элементы, фокусирующие когерентное излучение в произвольную фокальную линию // Препринт ФИАН СССР. — 1983,- № 69.

22. А.В. Гончарский, В.А. Данилов, В.В. Попов и др. Решение обратной задачи фокусировки лазерного излучения в произвольную кривую // Доклады АН СССР. 1983. - Т. 273, № 3. - С. 605-608.

23. М.А. Голуб, С.В. Карпеев, A.M. Кривошлыков С.Г., Прохоров и др. Экспериментальное исследование пространсвенных фильтров, разделяющих поперечные моды оптических полей // Квантовая электроника. 1983. - Т. 10, № 8. - С. 1700-1701.

24. А.В. Гончарский, И.Н. Сисакян, В.В. Степанов. О разрешимости некоторых обратных задач фокусировки лазерного излучения // Доклады АН СССР. 1984. - Т. 279, № 1. - С. 68-71.

25. А.В. Гончарский, В.В. Степанов. О существовании гладких решений в задачах фокусироваки электромагнитного излучения // Доклады АН СССР. 1984. - Т. 279, № 4. - С. 788-792.

26. А.В. Гончарский, В.А. Данилов, В.В. Попов и др. Фокусаторы лазерного излучения падающего под углом // Квантовая электроника. — 1984. Т. 11, Ш 1. - С. 166-168.

27. А.В. Гончарский, В.В. Степанов. Обратные задачи когерентной оптики. Фокусировка в линию // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1986. — Т. 26, № 1. — С. 80-91.

28. М.А. Воронцов, А.Н. Матвеев, В.П. Сивоконъ. К расчету фокусаторов лазерного излучения в дифракционном приближении // Компьютерная оптика. — 1987. — Т. 1. — С. 74-78.

29. А.В. Гончарский. Математические модели в задачах синтеза плоских оптических элементов // Компьютерная оптика.— 1987.— Т. 1.— С. 19-31.

30. М.А. Голуб, Н.Л. Казанский, И.Н. Сисакян и др. Дифракционный расчет оптического элемента, фокусирующего в кольцо // Автометрия. — 1987. № 6. - С. 8-15.

31. С. Т. Бобров, Г.И. Грейсух, Ю.Г. Туркевич. Оптика дифракционных элементов и систем. — Ленинград: Машиностроение, 1986. — С. 223.

32. А. В. Гончарский, В.В. Попов, В.В. Степанов. Введение в компьютерную оптику, — Москва: Издательство МГУ, 1991.— С. 310.

33. В.А. Сойфер, А.В. Волков, Д. Л. Головашкин и др. Методы компьютерной оптики, Под ред. . Сойфер. — Москва: Физматлит, 2000.

34. V.A. Soifer, L.L. Doskolovich, D.L. Golovashkin et al. Methods For Computer Design of Diffractive Optical Elements, Ed. by V. Soifer. — John Wiley & Sons, 2002.

35. A.B. Гончарский, А.А. Гончарский. Компьютерная оптика. Компьютерная голография. — Москва: Изд-во МГУ, 2004.

36. A.V. Goncharsky, A.A. Goncharsky. Computer Optics and Computer Holography. — Moscow: Moscow University Press, 2004.

37. B.A. Сойфер, Д.Л. Головашкин, Л.Л. Досколович и др. Дифракционная компьютерная оптика, Под ред. . Сойфер.— Москва: Физматлит, 2007. С. 736.

38. R. W. Gerchberg, W. O.Saxton. A practical algorithm for the determination of phase from image and diffraction plane pictures // Optik. — 1972. — Vol. 75, no. 2. Pp. 237-246.

39. М.Б.Виноградова, О.В.Руденко, А. П. Сухорукое. Теория волн.— Москва: Наука, 1979. — С. 384.

40. Ханс Цикон, Ричард Фрёзе, Вернер Кирш, Барри Саймон. Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. — Москва: Мир, 1990. — С. 408.

41. Fred, М. Dickey, Scott С. Holswade. Laser beam shaping theory and techniques. — New York: Marcel Dekker, I.nc., 2000. — P. 428.

42. J. R. Fienup. Phase retrieval algorithms: a comparison // Appl. Opt.— 1982.— Vol. 21, no. 15.— Pp. 2758-2769. http://ao.osa.org/abstract. cfm?URI=ao-21-15-2758.

43. J. R. Fienup. Reconstruction of an object from the modulus of its Fourier transform // Opt Lett.— 1978,— Vol. 3, no. 1.— Pp. 27-29. http://ol.osa.org/abstract.cfm?URI=ol-3-1-27.

44. J. R. Fienup. Iterative method applied to image reconstruction and to computer-generated holograms // Opt. Eng. — 1980. — Vol. 19. Pp. 297-305.

45. Т. И. Кузнецова. О фазовой проблеме в оптике // Успехи физических наук. — 1988. — Т. 154, № 4. — С. 677-690. http://ufn.ru/ru/articles/1988/4/e/.

46. Hiroshi Akahori. Spectrum leveling by an iterative algorithm with a dummy area for synthesizing the kinoform // Appl. Opt. — 1986. — Vol. 25, no. 5. — Pp. 802-811. http://ao.osa.org/abstract.cfm?URI=ao-25-5-802.

47. V. V. Kotlyar, A. A. Kovalev, R. V. Skidanov et al. Simple optical vorticesformed by a spiral phase plate // Journal of Optical Technology. — 2007. — Vol. 74, no. 10. Pp. 686-693.

48. Eugeny G. Abramochkin, Vladimir G. Volostnikov. Two-dimensional phase problem: differential approach // Optics Communications. — 1989. — Vol. 74, no. 3-4.- Pp. 139-143.

49. А.П.Прудников, Ю.А.Врычков, О.И.Маричев. Интегралы и ряды.— Москва: Наука, 1981.- С. 800.

50. А.П.Прудников, Ю.А.Врычков, О.И.Маричев. Интегралы и ряды. Специальные функции. — Москва, 1983. — С. 752.

51. Fredrik К. Fatemi, Mark Bashkansky. Focusing properties of high charge number vortex laser beams // Appl. Opt — 2007. — Vol. 46, no. 30. — Pp. 7573-7578. http://ao.osa.org/abstract.cfm?URI=ao-46-30-7573.

52. Eugeny G. Abramochkin, Vladimir G. Volostnikov. Spiral-type beams // Optics Communications. — 1993. — Vol. 102, no. 3-4. — Pp. 336-350.

53. А.С.Давыдов. Квантовая механика.— Москва: Физматлит, 1963.— С. 748.

54. А.П.Хапалюк. Открытые оптические резонаторы и пространственная структура лазерного излучения, / Дисс. на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук.: Ph.D. thesis / Минск: Белорусский университет. 1987. - С. 379.

55. A. Wiinsche. Generalized Gaussian beam solutons of paraxial optics and their connection to a hidden symmetry // J. Opt. Soc. Am. A.- 1989.- Vol. 6, no. 9.- Pp. 1320-1329. http://josaa.osa.org/abstract. cfm?URI=josaa-6-9-1320.

56. Guy Indebetouw. Optical Vortices and Their Propagation // Journal of Modern Optics.- 1993,- Vol. 40, no. 1.- Pp. 73-87. http://www.infonnaworld.com/10.1080/09500349314550101.

57. Eugeny G. Abramochkin, Vladimir G. Volostnikov. Spiral-type beams: optical and quantum aspects // Optics Communications. — 1996.— Vol. 25, no. 4-6. Pp. 302-323.

58. E. G. Abramochkin, E. V. Razueva, V. G. Volostnikov. Hermite-Laguerre-Gaussian beams in astigmatic optical systems / Ed. by I. A. Sukhoivanov, V. A. Svich, Y. S. Shmaliy.- Vol. 7009.- SPIE, 2008.- P. 70090M. http://link.aip.org/link/?PSI/7009/70090M/l.

59. Eugeny G. Abramochkin, Vladimir G. Volostnikov. Gaussian beams: new aspects and applications // Proc. of International Conference on Laser and Fiber-Optical Networks Modeling 2006, 29 June 1 July 2006, Kharkiv, Ukraine. - Kharkov: 2006. - Pp. 267-274.

60. E. G. Abramochkin, V G. Volostnikov. Generalized Gaussian beams // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. — 2004.— Vol. 6, no. 5.— Pp. S157—S161. http://stacks.iop.org/JOptA/6/Sl57.

61. Eugeny G. Abramochkin, Svatlana P. Kotova, Alexander V. Korobtsov et al. Microobject manipulations using laser beams with nonzero orbital angular momentum // Laser Physics.— 2006. — Vol. 16, no. 5. — Pp. 842-848.

62. А.Ярив. Квантовая электроника.— Москва: Советское радио, 1980. — С. 488.

63. L. Allen, М. W. Beijersbergen, R. J. С. Spreeuw, J. P. Woerdman. Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaus-sian laser modes // Phys. Rev. A.— 1992. — Jun.— Vol. 45, no. 11.— Pp. 8185-8189.

64. M. S. Soskin, V. N. Gorshkov, M. V. Vasnetsov et al. Topological charge and angular momentum of light beams carrying optical vortices // Phys. Rev. A. 1997. - Nov. - Vol. 56, no. 5. - Pp. 4064-4075.

65. Michael V. Berry. Paraxial beams of spinning light // International Conference on Singular Optics / Ed. by M. S. Soskin. Vol. 3487. - SPIE, 1998.—Pp. 6-1. http://link.aip.org/link/?PSI/3487/6/1.

66. Victor V. Kotlyar, Alexey A. Kovalev. Fraunhofer diffraction of the plane wave by a multilevel (quantized) spiral phase plate // Opt. Lett. — 2008. — Vol. 33, no. 2,— Pp. 189-191. http://ol.osa.org/abstract.cfm?URI=ol-33-2-189.

67. K.H. Афанасьев, В.Г. Волостников. Анализ влияния дискретизации фазы на качество спиральных пучков света // Сборник статей Восьмой международной молодежной научной школы «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия». — Казань: 2004. — С. 51-56.

68. К.Н. Афанасьев, В.Г. Волостников. Исследование влияния квантования фазы на качество спиральных пучков света // Вестник Самарского государственного университета. — 2005. — Т. 39, № 5. — С. 101-108.

69. К.Н. Афанасьев. Влияние пространственного разрешения фазового элемента на качество формируемого поля // Демидовские чтения на Урале. Тезисы докладов. 2-3 марта 2006 года, Екатеринбург. — Екатеринбург: 2006. С. 65-66.

70. Е. Lattman, D. DeRosier. Why phase errors affect the electron function more than amplitude errors // Acta Cryst. — 2008. — Vol. A64. — Pp. 341-344.

71. R. P. Millane, W. H. Hsiao. The basis of phase dominance // Opt. Lett.- 2009.- Vol. 34, no. 17.- Pp. 2607-2609. http://ol.osa.org/abstract.cfm?URI=ol-34-17-2607.

72. К.Н. Афанасьев, Е.Н. Воронцов. Многопучковые вихревые лазерные ловушки // Ученые записки Казанского государственного университета. Физико-математические науки. — 2007. — Т. 149, № 1. — С. 8-12.

73. Kirill N. Afanasiev, Eugeny G. Abramochkin, Alexander V. Korobtsov et al. Vortical laser tweezers with predetermined intensity structure //

74. Optical Trapping and Optical Micromanipulation IV / Ed. by K. Dho-lakia, G. C. Spalding.- Vol. 6644,- SPIE, 2007.- P. 664410. http://link.aip.org/link/?PSI/6644/664410/l.

75. К.Н. Афанасьев, А.В. Коробцов, С.П. Котова, Н.Н. Лосевский. Световые поля с ненулевым угловым моментом для лазерного микроманипулирования // Известия Самарского научного центра РАН. — 2007. — Т. 9, № 3. С. 615-619.

76. Е.Г. Абрамочкин. Функции Эрмита-JIагерра-Гаусса // Вестник Самарского государственного университета. Естественпонаучная серия.— 2001.— Т. 22, № 4.— С. 19-41. http://www.ssu.samara.ru/ vestnik/est/2001web4/math/200140003.pdf.

77. Е.Р. Абрамочкин, В.Г. Волостников. Спиральные пучки света // Успехи физических наук.— 2004,— Т. 174, № 12,— С. 1274-1300. http://ufn.ru/ru/articles/2004/12/a/.

78. К.Н. Афанасьев, П.Г. Харский. Анализ спиральных пуков на основе астигматического преобразования // Ученые записки Казанского государственного университета. Физико-математические науки. — 2007.- Т. 149, № 1. — С. 110-114.

79. К.Н. Афанасьев, В.Г. Волостников, Е.В. Разуева. Когерентные состояния в оптике // Известия Российской академии наук. Серия физическая. 2008. - Т. 72, № 5. - С. 689-692.

80. J. G. Walker. The Phase Retrieval Problem // Journal of Modern Optics. — 1981,- Vol. 28, no. 6.- Pp. 735-738.

81. Nobuharu Nakajima. Reconstruction of phase objects from experimental far field in-tensities by exponential filtering // Appl. Opt. — 1990. — Vol. 29, no. 23.— Pp. 3369-3374. http://ao.osa.org/abstract.cfm?URI=ao-29-23-3369.

82. P. J. Bones, C. R. Parker, B. L. Satherley, R. W. Watson. De-convolution and phase retrieval with use of zero sheets // J. Opt. Soc. Am. A.- 1995.- Vol. 12, no. 9.- Pp. 1842-1857. http: //josaa.osa.org/ abstract. cfm?URI=josaa-12-9-1842.