Формирование световых полей со сложной пространственной и поляризационной структурами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.21, кандидат физико-математических наук Воронцов, Евгений Николаевич

• Воронцов, Евгений Николаевич
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Воронцов, Евгений Николаевич

Введение

Глава 1. Световые поля с неоднородной поляризацией

1.1. Решение волнового уравнения в виде световых полей с неоднородной поляризацией

1.2. Практическое использование световых полей с неоднородной поляризацией

1.3. Активные методы формирования световых полей с неоднородной поляризацией

1.4. Внешние поляризационные устройства

1.5. Интерференционный подход к синтезу световых полей с неоднородной поляризацией.

1.6. Выводы.

Глава 2. Интерференционная схема для формирования световых полей с неоднородной поляризацией на основе астигматического преобразования

2.1. Астигматическое преобразование

2.2. Дифракционный астигматический конвертер.

2.3. Экспериментальная схема формирования световых полей с неоднородной поляризацией

2.4. Астигматическое преобразование пучков с радиальной и азимутальной поляризацией

2.5. Синтез пучков с помощью астигматического преобразования

2.6. Выводы.

Глава 3. Световые поля с заданной формой интенсивности

3.1. Задача формирования световых полей с распределением интенсивности заданной формы

3.2. Геометрооптический метод расчёта дифракционных оптических элементов.

3.3. Итерационные алгоритмы расчета дифракционных оптических элементов.

3.4. Выводы.

Глава 4. Расчет дифракционных элементов на основе оптики фурье-инвариантных полей

4.1. Фурье-инвариантные световые поля.

4.2. Метод расчёта фазовых элементов для формирования световых полей с заданной интенсивностью

4.3. Влияние различных параметров на качество формируемых световых полей

4.4. Экспериментальное формирование световых полей

4.5. Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Формирование световых полей со сложной пространственной и поляризационной структурами»

Актуальность темы

Поляризация лазерного излучения играет заметную роль при изучении оптических явлений. В последнее время возрос интерес к световым полям, имеющим неоднородную поляризацию. Особое внимание уделяется пучкам с радиальной и азимутальной поляризацией. Такие поля активно применяются для решения разнообразных задач в лазерной микроскопии сверхвысокого разрешения [1-3], лазерной манипуляции [4-7], медицинской диагностике [8], в технологических процессах обработки мсталлов[9-11], ускорении электронов [12-14], исследовании плазмонов [15].

Среди существующих подходов к формированию пучков с неоднородной поляризацией выделяют активные и пассивные методы [16]. Активные методы основаны на модификации лазерных резонаторов. Для этого используются специальные дифракционные решетки [17, 18], анизотропные свойства активной среды или кристаллы [19, 20], конические зеркала [21]. Главный недостаток активных методов состоит в том, что они ориентированы на конкретный тип лазеров и, как правило, на получение какого-то одного типа неоднородной поляризации.

Синтез пучков с неоднородной поляризацией с помощью внешних устройств либо интерференционных схем относят к пассивным методам. Принцип действия поляризационных устройств основан на локальном изменении состояния поляризации в каждой точке поперечного сечения лазерного пучка, первоначально имеющего однородную поляризацию. Для этого используют многосегментные полуволновые пластинки [22, 23], фазовые спиральные элементы [24, 25], нематические жидкокристаллические ячейки [26-28]. Хотя такие элементы позволяют формировать поля с разнообразными структурами поляризации, они, как правило, сложны в изготовлении. Кроме того, дискретное строение таких элементов обуславливает скачкообразное изменение поляризации по апертуре поля.

Интерференционное формирование полей с неоднородной поляризацией основано на сложении пучков с однородной поляризацией и определенной структурой интенсивности и фазы . Особо следует отметить оптические схемы на основе интерференции мод Лагерра-Гаусса [29]. Они имеют следующие преимущества. Интерференция мод Лагерра-Гаусса позволяет формировать разнообразные структуры поляризации. Переход от одной структуры поляризации к другой может быть осуществлен в режиме реального времени путем изменения фазовой задержки между пучками. Благодаря свойству структурной устойчивости мод Лагерра-Гаусса, формируемые распределения поляризации также сохраняются при распространении, что является важным свойством для практических приложений.

Однако, в настоящее время существует проблема внерезонаторного формирования мод Лагерра-Гаусса. Известные методы имеют малую дифракционную эффективность или требуют использования дорогостоящего оборудования [29, 30]. Из сказанного следует актуальность разработки простого подхода к формированию пучков Лагерра-Гаусса и новой интерференционной схемы на его основе.

Наряду с поляризационными свойствами большую роль во многих практических приложениях играет форма распределения интенсивности поля [3135] Задача формирования поля с распределением интенсивности в виде заданной области решается в оптике достаточно давно. Эффективным методом управления пространственными характеристиками лазерного излучения является применение фазовых дифракционных оптических элементов. Большой вклад в развитие данного подхода внесли работы И.И. Сисакяна,

В. А. Сойфера, В.А.Данилова, М. А. Голуба, A.B. Гончарского, С.Н.Хониной и Р.В. Скиданова [36]. Фазовый профиль дифракционного элемента рассчитывается на компьютере, а затем воспроизводится при помощи управляемых фазовых модуляторов света или на подложке из диэлектрика методами современной микролитографии. Задача расчета фазового элемента формулируется как обратная: дано распределение интенсивности, нужно найти такой фазовый профиль, при дифракции на котором требуемое распределение будет сформировано. В зависимости от метода расчета фазового распределения выделяют два основных типа дифракционных элементов.

Дифракционные элементы, полученные на основе геометрической оптики, называются фокусаторами [36]. Было показано, что в геометрическом приближении аналитическое решение существует только для задачи фокусировки излучения в прямоугольную область. Для расчета фазовых элементов, осуществляющих фокусировку в произвольную область, разработан метод согласованных прямоугольников [37]. Распределения интенсивности, формируемые с помощью фокусаторов, имеют большую степень неоднородности, что объясняется в первую очередь отличием геометро-оптических решений от реальных волновых.

Наиболее эффективным методом решения задачи синтеза фазовых элементов являются различные итерационные алгоритмы [36, 38]. Для большинства из них базовым является алгоритм Герчберга-Сэкстона [39]. Выбор начального приближения фазы является определяющим для итерационного процесса и влияет на сходимость и вид полученных решений. Существуют две методики выбора начального приближения. Первая основана на том, что в качестве нулевого приближения задачи берётся геометро-оптическое решение соответствующего фокусатора. Как правило, в ходе итерационного процесса гладкость начального фазового профиля меняется незначительно, однако данный подход сохраняет все недостатки, свойственные фокусаторам. Вторая методика основана на выборе в качестве нулевого приближения некоторого случайного фазового распределения. Главным недостатком подхода является то, что конечное решение имеет квазислучайную структуру. Это представляет дополнительные сложности при её синтезе стандартными технологическими методами, а большое число скачков в фазовом рельефе приводит к неконтролируемому рассеянию энергии и, как следствие, низкой энергетической эффективности. Таким образом, известные подходы обладают рядом существенных недостатков, поэтому актуальным является поиск новых методов выбора начального приближения фазы при расчете ДОЭ для формирования полей с заданным видом интенсивности. Оптические элементы должны обладать регулярным фазовым профилем, высокой энергетической эффективностью и формировать требуемое поле с достаточной точностью.

Цель диссертационной работы

Разработка новых подходов к формированию полей с аксиально-симметричной структурой поляризации и полей с распределениями интенсивности в форме заданных областей на основе использования астигматических преобразований различного вида. В соответствии с указанной целью поставлены и решены следующие задачи:

1. Рассчитан дифракционный оптический элемент, осуществляющий астигматическое преобразование пучка Эрмита-Гаусса в пару пучков Лагерра-Гаусса с противоположными топологическими зарядами и на его основе разработана интерференционная схема для формирования полей с аксиально-симметричными структурами поляризации.

2. Проведены эксперименты по формированию полей с радиальным и азимутальным типами поляризации.

3. Исследовано астигматическое преобразование пучков с радиальной и азимутальной поляризацией.

4. На основе оптики фурье-инвариантных полей разработан подход к выбору начального распределения фазы для итерационного расчета дифракционных оптических элементов, формирующих поля с распределением интенсивности в виде заданной области. Определены оптимальные параметры алгоритма, обеспечивающие сходимость и качество получаемых решений.

5. Рассчитаны примеры фазовых элементов для формирования полей в виде заранее заданных областей и проведены эксперименты по формированию полей.

Научная новизна

1. Разработана новая оптическая схема для формирования полей с аксиально симметричными структурами поляризации;

2. Исследовано астигматическое преобразование пучков с радиальной и азимутальной поляризацией;

3. Разработан алгоритм расчета фазовых дифракционных элементов для формирования полей с распределением интенсивности в виде заданной области.

Практическая значимость

Результаты работы могут быть использованы для развития существующих методов лазерной манипуляции микрочастицами и отдельными атомами, обработки материалов, в области флуоресцентной микроскопии и микроскопии сверхвысокого разрешения.

Личный вклад автора

Все численные и натурные эксперименты выполнены автором. Исходная постановка задач, разработка подходов к их решению и интерпретация результатов осуществлялись совместно с соавторами.

Публикации По материалам, вошедшим в диссертацию, опубликовано 2 работы в рецензируемых журналах и 5 работ в сборниках трудов и тезисов конференций.

Апробация работы

Результаты, вошедшие в диссертацию, представлялись на следующих конференциях: Международная молодежная научная школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия» (Казань, 2009, 2010), Всероссийская школа-семинар «Физика и применение микроволн» (Звенигород, 2009, 2011), IX Международный симпозиум по фотонному эхо и когерентной спектроскопии (Казань, 2009), Всероссийский молодежный Самарский конкурс-конференция научных работ по оптике и лазерной физике (Самара, 2009, 2011), ежегодные научные конференции студентов, аспирантов и преподавателей Самарского государственного университета (Самара 2009, 2010, 2011), Научная сессия МИФИ (Москва, 2011), 5th International Conference on Advanced Optoelectronics and Lasers (Севастополь, Украина, 2010), Asia-Pacific Conference on Fundamental Problems of Opto- and Microelectronics (Москва-Самара, 2011), многократно докладывались на семинарах СФ ФИАН.

Результаты, представленные в диссертации, были получены в рамках: ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы (Государственный контракт № 14.740.11.0063), программы ОФН РАН «Физические и технологические исследования полупроводниковых лазеров, направленные на достижение предельных параметров» и гранта Минобрнауки 16.120.11.3965-МК, бюджетной темы «Теоретическое и экспериментальное исследование возможностей применения световых полей со сложной структурой для задач когерентной оптики и лазерных технологий» (№ГР 01200805602), бюджетной темы «Разработка методов формирования лазерного излучения для обработки информации и исследование взаимодействия излучения с материалами и объектами в технологических процессах, медицинских и других применениях» (№ ГР 01201156351), а также программы УНК ФИАН им. П.Н. Лебедева.

Результаты, вошедшие в диссертацию, были отмечены: дипломами за третье и второе место на конкурсе молодежных научных работ по оптике и лазерной физике 2010 и 2011 года, специальной государственной стипендией Правительства Российской Федерации.

Положения, выносимые на защиту

1. На основе астигматического преобразования пучка Эрмита-Гаусса в пучки Лагерра-Гаусса возможно построение интерференционной оптической схемы для формирования полей с аксиально-симметричным распределением поляризации.

2. Астигматическое преобразование пучков с радиальной и азимутальной поляризацией эквивалентно преобразованию данных пучков с помощью четвертьволновой фазовой пластинки и позволяет получать поля с новыми типами распределения поляризации.

3. Использование фазы Фурье-инвариантных световых полей в качестве нулевого приближения итерационного алгоритма позволяет синтезировать дифракционные элементы для формирования полей в виде областей заданной формы.

Световые поля с неоднородной поляризацией

Приводится обзор литературы по проблеме синтеза световых полей с неоднородной поляризацией. Проведена классификация и анализ методов формирования полей с неоднородной поляризацией. Показано, что среди существующих подходов к формированию полей с неоднородной поляризацией наиболее универсальным является подход на основе интерференции пучков Лагерра-Гаусса. С его помощью можно сформировать поля с самыми разнообразными распределениями поляризации, которые сохраняют свою структуру при распространении.

Заключение диссертации по теме «Лазерная физика», Воронцов, Евгений Николаевич

Основные результаты работы:

1. Рассчитан и изготовлен фазовый бинарный элемент, осуществляющий астигматическое преобразование пучка Эрмита-Гаусса в пару пучков Лагерра-Гаусса с противоположными топологическими зарядами. На его основе разработана и собрана интерференционная схема для формирования пучков с неоднородной поляризацией. Экспериментально получены пучки с радиальной и азимутальной поляризацией.

2. Теоретически исследовано астигматическое преобразование пучков с радиальной и азимутальной поляризацией. Показано, что после преобразования структура поляризации пучков изменяется также, как после прохождения данными пучками четвертьволновых пластинок с определенной ориентацией оси.

3. На основе оптики фурье-инвариантных световых полей развит метод синтеза дифракционных оптических элементов для формирования полей с распределением интенсивности в форме заданной области.

4. Для ряда областей (треугольник, квадрат, окружность) синтезированы соответствующие фазовые элементы. Значения среднеквадратичного отклонения формируемых распределений интенсивностей составили 1-15%, а энергетическая эффективность 80-90%. Проведен анализ влияния погрешности изготовления дифракционных элементов на качество формируемых полей. Показано, что для качественного формирования поля дифракционный элемент должен иметь не менее 4-х уровней квантования фазы.

5. Экспериментально сформированы поля с распределениями интенсивности в форме заданной области. Значения параметров, определяющих качество распределений интенсивности, хорошо согласуются с теоретическими.

Расчет интенсивности пучка Эрмита-Гаусса после астигматического преобразования

Найдем в явном виде к = ехр (—{(хЦ, + ух|)

-2 ^2 г\ + га[(^ - Т12) соэ 2а + вт 2а]) (Щ ¿ц.

Для этого рассмотрим вспомогательный интеграл п = ехр (—+ уг\) — — г|2 + га[(^2 — г|2) сое 2а + вт 2а]) (Щ, сЬц.

Очевидно, что

Введем обозначения

11=г д1о дх (-¿ж,-гу), г = (|,г1)

А.1)

А.2)

А.З) и

А =

1 —га сое 2а — тэт 2а тэт 2а 1 + гасоз2а С учетом (А.З,А.4) выражение (А.1) приобретет вид

1п = ехр (-(Аг,г) + (\у,г) ) (Щс1ц,

А.4) где (•) — скалярное произведение векторов. Полученный интеграл вычисляется аналитически1. п =

А Чг,™) ) \ZdetA V4 /

1Теорню вычисления можно найти в книге Р. Беллмана "Введение в теорию матриц" (М.:Наука, 1976. 352 с.)

Учитывая, что

1 / 1 + га cos 2а га sin 2а

А =

1 + а2 \ га sin 2а 1 —га cos 2а окончательно находим о = , Л 0 ехр ( - —— [(ж2 + у2) + га cos 2а(ж2 + у2) + г2ажг/ sin 2а] VI + а2 V 4(1 + a¿) J

Из (А.2) следует л h — — 7-7--9Л »/о + cos 2а + г/ sin 2а)) х

2(1 + a¿)á'¿ х ехр ^ [(ж2 + Л + iacos2а(ж2 + у2) + i2axy sin2а]^ . (А.

Квадрат модуля полученного выражения при а — 1 h\2 = Сат(х2 + [ж cos 2а + у sin 2а]2). Перейдем к новым переменным х = х cos а + у sin а, у = —х sin а + у cos а.

Тогда h\2 = САТ((х2 + у2) - cos 2а(ж2 - у2)).

Фурье-инвариантные поля как следствие теории гауссовых пучков света

Известно [74], что в параксиальном приближении эволюция когерентного светового поля Р(х,у,1) при распространении в свободном пространстве вдоль оси I описывается параболическим уравнением

ОЪ р о^р др

Если некоторое начальное распределение /<о(х,у) с конечной энергией определено в плоскости I = О то дальнейшая эволюция поля Р определяется с помощью преобразования Френеля: к гк ПОД = — ехр( + (Б.2)

Для краткости будем использовать векторную систему обозначений: г = (х,у), р = Тогда преобразование Френеля можно переписать в виде:

Р(г,1) = ¥И1[Р0} = к

2лг1

Пучки Эрмита-Гаусса (НС) и Лагерра-Гаусса (ЬС) являются наиболее известными классами структурно устойчивых решений параболического уравнения. Эти решения описываются с помощью функций Эрмита-Гаусса

ЯСП.ТО(г) = Нп(х)Нт(у) (п,т = 0,1,.) и Лагерра-Гаусса п\

2 , .2

ЬСП!±т(г) = А/ ± гу)тК{х2 + у2) (п,т = 0,1,.), л(п + ту.

2 +2 / \ 1 ™ + С1П где у ! к ' (Ип ' пУ ' п\ (ИпК ' многочлены Эрмита и Лагерра соответственно.

Ранее [59] было предложено объединение пучков Эрмита-Гаусса и Лагерра-Гаусса в единое семейство пучков: п+т

НШщт{г | а) - ^ ък соъп~к а ах (Б.З) к=0 гъЫ—к.т—к) ( 0 ч / V "Г гьу. 1ь: х рук ■ сое 2а)у --—^—НСп+т-к,к г , л т.1 п-А.гга-А:)^ , / (п + 771 - /с)!/с! п! т!

Б.4) где а 6 [0, л/4] — вещественный параметр. Благодаря свойствам

НШщт{г\Ъ) = (-г)тНСп,т(г) и

-1)тЬСт,п-т(г) (п>т),

Я^„,т(г | я/4) = ^

-1ГЬСП!Пт(г) (п < т) эти пучки были названы обобщенными гауссовыми пучками, или пучками Эрмита-Лагерра-Гаусса (НЬС).

Пучки Эрмита-Лагерра-Гаусса сохраняют некоторые важные свойства НС и ЬС пучков. Например, НЬС пучки — структурно устойчивые решения параболического уравнения: к

2лИ а сгр =

1 ( г/|г|2 \ /Г

П ехР о7 41 12 -г{п + т + 1) arg о Я£<3„,т' — а| \2/сгУд|а|2 у ' ' ; ь ^ щт\Шо\а\ а .

Другое важное свойство состоит в том, что для любого фиксированного значения а семейство функций {НЬСщт(г | а),п,т — 0,1,.} образует ортонормированный базис в пространстве //2(М2):

НЬСщт (г I а)нюмм(г I а) с? г = ЬпМЬ. тм ■

Б.5)

Любая функция /(г) б/^М2) может быть разложена в ряд по НС функциям, по ЬС функциям и по общим НЬС функциям. Возникает следующий интересный вопрос. Пусть г) = ^ сщтНОщт{г) = ^ Сп^НЬСп^г | 0). (Б.6) п,т

Что из себя представляет функция п.т г, а) = сщт1тНШп,т(г | а)?

Б.7)

Иными словами, как трансформируется поле /(х,у) при замене базиса разложения? Оказывается, результат будет следующим: х — у у + х

2 ' 2 1 а =

2л| вт а| ь ехр г{щ - х%) + гсЫ;а 2 + ^ х вт а

2 ' 2 I

Г| Г) +

Б.8) где ехр(^г9 — ^л^^пэт©) ^/2л| вш 0| Их га^Э . 9 , , ехр + —+Т ) /(Т)Л есть одномерное дробное преобразование Фурье.

Для поля f(x, у), являющегося свёрткой гауссовой функции с областью произвольной формы у) = е-х^-у 3|сХп(Ж)2/)) (Б.9) о соответствующая функция будет следующей: ж, у\а) — е 2ixytarla

-(ж—^сова)2 — (у—сова)2—2г(ж—^сова)^—г|соза) 1апа ^ ^

2 гху tan а соэ2 а х2 — у2—2гху tan а Хйсоза(Ж; У) и, в частности, л/4) = 2е2гжг/

3—ж2—у2—2гжу г/)

Б.10)

Доказательство фурье-инвариантности световых полей

Фурье-прсобразование функции: Ж-л2) г,з)(Ис[8 (в.1) задается выражением

1Р =

0-г{х%+уг\) <

АЧ2~у\2) э(|4)2(118)2г((|4)2(т1в)2)

Упростим:

1Р сИ с1в в г сИ

Сделаем замену переменных: - * = I, Л - 5 = Л.

Тогда

В.2)

В.З)

1Р = сИ с1в н п

В.4)

Рассмотрим интеграл: оо

I =

3-(т2+2гтД

1Т.

Его значение известно: оо

I = г(т2+г2тА-Д2)-А2^х = е-(т+гД)2еД2^х (В.5)

Применяя (В.5) дважды, находим:

1р =тс ле г

2 2 Л -У

-(*-!)ММ)2+Ф-|)2-(*-| )2]^^ = ^ |) (В.6)

К аналогичному результату приводит вычисление Фурье-преобразования функции Ж+л2)

Заключение

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Воронцов, Евгений Николаевич, 2011 год

1. Biss D.P., Brown T.G. Polarization-vortex-driven second-harmonic generation // Opt. Lett. — 2003. — Jun. — Vol. 28, no. 11.-Pp. 923-925.

2. Carrasco S., Saleh B.E.A., Teich M.C., Fourkas J.T. Second- and third-harmonic generation with vector Gaussian beams // J. Opt. Soc. Am. B. — 2006.-Oct.-Vol. 23, no. 10.-Pp. 2134-2141.

3. Biss D.P., Youngworth K.S., Brown T.G. Dark-field imaging with cylindrical-vector beams // Appl. Opt.— 2006. —Jan.— Vol. 45, no. 3.— Pp. 470-479.

4. Zhan Q. Radiation forces on a dielectric sphere produced by highly focused cylindrical vector beams //J. Opt. A: Pure Appl. Opt. — 2003. — Vol. 5.— Pp. 229-232.

5. Zhan Q. Trapping metallic Rayleigh particles with radial polarization // Opt. Express. 2004. - Jul. - Vol. 12, no. 15. - Pp. 3377-3382.

6. Kozawa Y., Sato S. Optical trapping of micrometer-sized dielectric particles by cylindrical vector beams // Opt. Express. — 2010. —May. — Vol. 18, no. 10. Pp. 10828-10833.

7. Zhang Y. Biaofeng D., Taikei S. Trapping two types of particles using a double-ring-shaped radially polarized beam // Phys. Rev. A. — 2010. — Feb. — Vol. 81.- P. 023831.

8. Kang H., Jia В. Li J. et al. Enhanced photothermal therapy assisted with gold nanorods using a radially polarized beam // Applied Physics Letters. — 2010. Vol. 96, no. 6. - P. 063702.

9. M. Meier, V. Romano, T. Feurer. Material processing with pulsed radially and azimuthally polarized laser radiation // Applied Physics A: Materials Science & Processing.— 2007,— Vol. 86,— Pp. 329-334,— 10.1007/s00339-006-3784-9.

10. Kraus M., Ahmed M.A., Michalowski A. et al. Microdrilling in steel using ultrashort pulsed laser beams with radial and azimuthal polarization // Opt. Express. 2010. - Oct. - Vol. 18, no. 21. - Pp. 22305-22313.

11. Niziev V.G., Nesterov A.V. Influence of beam polarization on laser cutting efficiency // Journal of Physics D: Applied Physics. — 1999. — Vol. 32, no. 13,- P. 1455.

12. Steinhauer L.C., Kimura W. D. A new approach for laser particle acceleration in vacuum //J. Appl. Phys. — 1992. — Vol. 72, no. 8. — Pp. 3237-3245.

13. Wong L.J., Kartner F.X. Direct acceleration of an electron in infinite vacuum by a pulsed radially-polarized laser beam // Opt. Express. — 2010. — Nov. — Vol. 18, no. 24,- Pp. 25035-25051.

14. Bochkareva S.G., Popovb K.I., Bychenkova V.Yu. Vacuum electron acceleration by a tightly focused, radially polarized, relativistically strong laser pulse // Plasma Physics Reports. — 2011. — Vol. 37, no. 7. — Pp. 603-614.

15. Lerman G.M., Yanai A., Ben-Yosef N., Levy U. Demonstration of an elliptical plasmonic lens illuminated with radially-like polarized field // Opt. Express. 2010. - May. - Vol. 18, no. 10. - Pp. 10871-10877.

16. Zhan Q. Cylindrical vector beams: from mathematical concepts to applications // Adv. Opt. Photon.- 2009,- Jan.- Vol. 1, no. l.-Pp. 1-57.

17. Гончарский А.А. Нестеров А.В., Низьев В.Г. et al. Оптические элементы лазерного резонатора для генерации луча с осесимметричной поляризацией // Оптика и спектроскопия. — 2000. — Vol. 89. — Pp. 160-163.

18. Machavariani G., burner Y., Moshe I. et al. Birefringence-induced bifocusing for selection of radially or azimuthally polarized laser modes // Appl. Opt. — 2007. Jun. - Vol. 46, no. 16. - Pp. 3304-3310.

19. Ito A., Kozawa Y., Sato S. Selective oscillation of radially and azimuthally polarized laser beam induced by thermal birefringence and lensing // J. Opt. Soc. Am. B. 2009. - Apr. - Vol. 26, no. 4. - Pp. 708-712.

20. Kozawa Y., Sato S. Generation of a radially polarized laser beam by use of a conical Brewster prism // Opt. Lett. — 2005. —Nov. — Vol. 30, no. 22,— Pp. 3063-3065.

21. Quabis S., Dorn R., Leuchs G. Generation of a radially polarized doughnut mode of high quality // Appl. Phys. B. 2005. - Vol. 81. - Pp. 597-600.

22. Machavariani G., Lumer Y., Moshe I. et al. Efficient extracavity generation of radially and azimuthally polarized beams // Opt. Lett. — 2007. — Jun. — Vol. 32, no. 11,- Pp. 1468-1470.

23. Phua P.В., Lai W.J. Lim Y. L. et al. Mimicking optical activity for generating radially polarized light // Opt. Lett. — 2007. — Feb. — Vol. 32, no. 4. — Pp. 376-378.

24. Lai W.J. Lim B.C., Phua P.B. et al. Generation of radially polarized beamwith a segmented spiral varying retarder // Opt. Express. — 2008. — Sep. — Vol. 16, no. 20.- Pp. 15694-15699.

25. Yamaguchi R., Nose T., Sato S. Liquid Crystal Polarizers with Axially Symmetrical Properties // Japanese Journal of Applied Physics. — 1989.— Vol. 28, no. Part 1, No. 9. Pp. 1730-1731.

26. Stalder M., Schadt M. Linearly polarized light with axial symmetry generated by liquid-crystal polarization converters // Opt. Lett. — 1996. — Dec. — Vol. 21, no. 23.- Pp. 1948-1950.

27. Fuh A.Y.-G. Ko Shih-Wei, Ting Chi-Lun, Lm Tsung-Hsien. Polarization converters based on axially symmetric twisted nematic liquid crystal // Opt. Express. 2010. - Feb. - Vol. 18, no. 4. - Pp. 3601-3607.

28. Maurer C., Jesacher A., Fjrhapter S. et al. Tailoring of arbitrary optical vector beams // New Journal of Physics. — 2007. — Vol. 9, no. 3. — P. 78.

29. Sharon K.A., Matthew S.J. Hilary T. et al. Creation of Laguerre-Gaus-sian laser modes using diffractive optics // Phys. Rev. A. — 2002.— Oct.— Vol. 66,- P. 043801.

30. Dickey P.M., Holswade S. C., Shealy D.L. Laser beam shaping applications. — Taylor & Francis, 2006.

31. Hunt J.T., Glaze J. A., Simmons W. W., Renard P. A. Suppression of self-focusing through low-pass spatial filtering and relay imaging // Appl. Opt. —1978.-Jul.-Vol. 17, no. 13.-Pp. 2053-2057.

32. Haskal H.M. Laser recording with truncated Gaussian beams // Appl. Opt. —1979. Jul. - Vol. 18, no. 13.-Pp. 2143-2146.

33. Veldkamp W.B., Kastner C.J. Beam profile shaping for laser radars that use detector arrays // Appl. Opt. — 1982. — Jan. — Vol. 21, no. 2. — Pp. 345-356.

34. Tarallo M.G., Miller J., Agresti J. et al. Generation of a flat-top laser beam for gravitational wave detectors by means of a nonspherical Fabry-Perot resonator // Appl. Opt. 2007. - Sep. - Vol. 46, no. 26. - Pp. 6648-6654.

35. Сойфер В.А., Волков А.В., Головашкин Д.Л. и др. Методы компьютерной оптики, Под ред. . Сойфер. — Москва: Физматлит, 2000.

36. Голуб М.А., Досколович Л.Л., Казанский Н.Л. и др. Метод согласованных прямоугольников для расчета фокусаторов в плоскую область // Компьютерная оптика. — 1992. — Т. 10-11. — С. 100-110.

37. Сойфер В.А., Головашкин Д.Л., Досколович Л.Л. и др. Дифракционная компьютерная оптика, Под ред. . Сойфер. — Москва: Физматлит, 2007. — С. 736.

38. Gerchberg R.W., Saxton W. О. A practical algorithm for the determination of phase from image and diffraction plane pictures // Optik. — 1972. — Vol. 75, no. 2. Pp. 237-246.

39. Kogelmk H., Li T. Laser Beams and Resonators // Appl. Opt.— 1966. — Oct. Vol. 5, no. 10. - Pp. 1550-1567.

40. Чео П.К. Волоконная оптика. Приборы и системы, — М.: Энергоатомиз-дат, 1988.

41. Nesterov A.V. Niziev V.G. Laser beams with axially symmetric polarization // Journal of Physics D: Applied, Physics. — 2000.— Vol. 33, no. 15.— P. 1817.

42. Jordan R.H., Hall D.J. Free-space azimuthal paraxial wave equation: the az-imuthal Bessel-Gauss beam solution // Opt. Lett.— 1994.— Apr. — Vol. 19, no. 7. Pp. 427-429.

43. Niziev V.G., Nesterov A.V. Longitudinal fields in cylindrical and spherical modes // Journal of Optics A: Pure and Applied Optics. — 2008. — Vol. 10, no. 8,- P. 085005.

44. Hall D.G. Vector-beam solutions of Maxwell's wave equation // Opt. Lett. — 1996. Jan. - Vol. 21, no. 1. - Pp. 9-11.

45. Tovar A.A. Production and propagation of cylindrically polarized Laguer-re-Gaussian laser beams // J. Opt. Soc. Am. A. — 1998. —Oct. — Vol. 15, no. 10,- Pp. 2705-2711.

46. Dorn R., Quabis S., Leuchs G. Sharper Focus for a Radially Polarized Light Beam // Phys. Rev. Lett. 2003. - Dec. - Vol. 91.-P. 233901.

47. Gan X. Jia В., Gu M. Direct measurement of a radially polarized focused evanescent field facilitated by a single LCD // Opt. Express.- 2005.-Sep.- Vol. 13, no. 18.- Pp. 6821-6827. http://www.opticsexpress.org/abstract.cfm?URI=oe-13-18-6821.

48. Liu Chin-Ku Sun Ching-Cherng. Ultrasmall focusing spot with a long depth of focus based on polarization and phase modulation // Opt. Lett. — 2003. — Jan. Vol. 28, no. 2. - Pp. 99-101.

49. Zhan Q., Leger J. Focus shaping using cylindrical vector beams // Opt. Express. 2002. - Apr. - Vol. 10, no. 7. - Pp. 324-331.

50. Веденов А.А., Иванов О.П., Черняков A. JI. Теория разрушения поверхности непрозрачных материалов лазерным излучением // Квантовая электроника. — 1984. — Т. 11, № 12,- С. 2397-2404.

51. Novotny L., Beversluis M.R., Youngworth K.S., Brown T.G. Longitudinal Field Modes Probed by Single Molecules // Phys. Rev. Lett. — 2001. — Jun. — Vol. 86. Pp. 5251-5254.

52. Wang X., Chang S.; Lin L. et al. Elimination of ?uorescence intensity difference in orientation determination of single molecules by highly focused generalized cylindrical vector beams // Optic. — 2010.— Vol. 122, no. 9.— Pp. 773-776.

53. Безвербный А.В., Низъев В.Г., Тумайкин A.M. Дипольные ловушки для нейтральных атомов из неоднородно поляризованных лагерровских мод // Квантовая Электроника. — 2004. — Т. 34, № 7. — С. 685-689.

54. Jia В., Капд Н., Ьг J., Gu М. Use of radially polarized beams in three-dimensional photonic crystal fabrication with the two-photon polymerization method // Opt. Lett. — 2009. Jul. - Vol. 34, no. 13.-Pp. 1918-1920.

55. Pohl D. and. Operation of a Ruby laser in the purely transverse electric mode TE01 // Appl. Phys. Lett. 1972. - Vol. 20. - Pp. 266-267.

56. Enderli F., Feurer T. Radially polarized mode-locked Nd:YAG laser // Opt. Lett. 2009. - Jul. - Vol. 34, no. 13. - Pp. 2030-2032.

57. Desyatnikov A., Fadeyeva T.A., Shvedov V.G. et al. Spatially engineered polarization states and optical vortices in uniaxial crystals // Opt. Express. — 2010.-May.-Vol. 18, no. 10.-Pp. 10848-10863.

58. Абрамочкин Е.Г., Волостников В.Г. Современная оптика гауссовых пучков света. — Физматлит, 2010.

59. Tidwell S.C., Ford D.H., Kimura W.D. Generating radially polarized beams interferometrically // Appl. Opt. — 1990. — Vol. 29, no. 15. — Pp. 2234-2239.

60. Passilly N., Ait-Ameur K. Denis Renaud de Saint, Treussart F. et al. Simple interferometric technique for generation of a radially polarized light beam // J. Opt. Soc. Am. A. — 2005. — Vol. 22, no. 5.- Pp. 984-991.

61. Toussaint К. С. Jr., Park S., Jureller J.E., Scherer N.F. Generation of optical vector beams with a diffractive optical element interferometer // Opt. Lett. — 2005. Vol. 30, no. 21.- Pp. 2846-2848.

62. Niziev V.G., Chang R.S., Nesterov A.V. Generation of inhomogeneously polarized laser beams by use of a Sagnac interferometer // Appl. Opt. — 2006. — Vol. 45, no. 33. Pp. 8393-8399.

63. Jones P.H., Rashid M., Makita M., Maragó O.M. Sagnac interferometer method for synthesis of fractional polarization vortices // Opt. Lett. — 2009. Sep. - Vol. 34, no. 17. - Pp. 2560-2562.

64. Khonma S.N., Karpeev S. V. Grating-based optical scheme for the universal generation of inhomogeneously polarized laser beams // Appl. Opt. — 2010. — Apr. Vol. 49, no. 10. - Pp. 1734-1738.

65. Карпеев C.B., Хонина C.H. Простой способ генерации поляризационно-неоднородного лазерного излучения, основанный на применении ДОЭ // Компьютерная оптика. — 2011. — Т. 35. — С. 54-62.

66. Котляр В.В., Ковалев А.А., Хонина С.Н. и др. Дифракция конической волны и гауссового пучка на спиральной фазовой // Компьютерная оптика. 2005. - Т. 28. - С. 29-36.

67. Котляр В.В., Хонина С.Н., Ковалев А.А., Сойфер В.А. Дифракция плоской волны конечного радиуса на спиральной фазовой пластинке // Компьютерная оптика. — 2005. — Т. 28. — С. 37-40.

68. García- Gracia Н., Gutiérrez- Vega J. С. Diffraction of plane waves by finite-radius spiral phase plates of integer and fractional topological charge // J. Opt. Soc. Am. A. — 2009. — Apr. — Vol. 26, no. 4.-Pp. 794-803.

69. Abramochkin E., Volostnikov V. Beam trasformations and nontransformed beams // Opt. Commun. — 1991, — Vol. 83, no. 1,2.— Pp. 123-135.

70. Волостников В.Г., Воронцов E.H., Котова С.П. Формирование световых полей со сложной поляризационной структурой с использованием астигматической дифракционной линзы // Известия Самарского научного центра РАН. 2011. - Т. 13, № 4(2). - С. 580-583.

71. Dickey F.M., Holswade S. С. Laser beam shaping theory and techniques.— New York: Marcel Dekker, Inc., 2000. — P. 428.

72. Виноградова M.Б., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн.— Москва: Наука, 1979. — С. 384.

73. Цикон X., Фрезе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии. — Москва: Мир, 1990. С. 408.

74. Воронцов М.А., Матвеев А.Н., Сивоконь В.П. К расчету фокусаторов лазерного излучения в дифракционном приближении // Компьютерная оптика. 1987. - Т. 1. - С. 74-78.

75. Голуб М.А., Досколович JI.JI., Казанский Н.Л. и др. Исследование фокусаторов в прямоугольник методом вычислительного эксперимента // Компьютерная оптика. — 1992. — Т. 10-11. — С. 110-122.

76. Голуб М.А., Досколович Л.Л., Казанский Н.Л. и др. Вычислительный эксперимент с фокусатором Гауссова пучка в прямоугольник с постоянной интенсивностью // Компьютерная оптика. — 1990. — Т. 7. — С. 42-49.

77. Soifer V.A., Doskolovich L.L., Golovashkin D.L. et al. Methods For Computer Design of Diffractive Optical Elements, Ed. by S. V.A. — John Wiley & Sons, 2002.

78. Fienup J.R. Phase retrieval algorithms: a comparison // Appl. Opt.— 1982.-Vol. 21, no. 15.-Pp. 2758-2769.

79. Fienup J.R. Reconstruction of an object from the modulus of its Fourier transform // Opt. Lett — 1978. Vol. 3, no. 1.- Pp. 27-29.

80. Fienup J.R. Iterative method applied to image reconstruction and to computer-generated holograms // Opt. Eng. — 1980, —Vol. 19, — Pp. 297-305.

81. Кузнецова Т. И. О фазовой проблеме в оптике // Успехи физических наук. 1988. - Т. 154, № 4. - С. 677-690.

82. Akahori Н. Spectrum leveling by an iterative algorithm with a dummy area for synthesizing the kinoform // Appl. Opt. — 1986. — Vol. 25, no. 5. — Pp. 802-811.

83. Афанасьев K.H., Волостников В.Г., Воронцов Е.Н. и др. Особенности формирования световых полей в виде кривых на основе оптики спиральных пучков // Известия Самарского научного центра РАН. — 2009.— Т. 11, № 3,- С. 71-75.

84. Kotlyar V.V.j Kovalev A.A. Fraunhofer diffraction of the plane wave by a multilevel (quantized) spiral phase plate // Opt. Lett. — 2008.— Vol. 33, no. 2,- Pp. 189-191.

85. Tang H.; Wang T., Zhu K. Vortex characteristics of Fraunhofer diffractions of a plane wave by a spiral phase plate limited by pseudoring polygonal apertures // Opt. Lett. 2008. - Vol. 33, no. 16.-Pp. 1854-1856.