Физико-математические модели многопараметровых электроемкостных систем для исследования диэлектриков тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.10, кандидат физико-математических наук Петьков, Сергей Александрович

• Петьков, Сергей Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Петьков, Сергей Александрович

ВВЕДЕНИЕ.

1. МНОГОПАРАМЕТРОВЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИЭЛЕКТРИКОВ.

1.1. Общая характеристика электромагнитных методов измерения

1.2. Задача многопараметрового контроля диэлектриков.

1.3. Электроемкостные системы.

1.4. Выводы.

2 . МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭЛЕКТРОЕМКОСТНЫХ МЕТОДОВ.

2.1. Краевые задачи. Общие соотношения

2.2. Аппаратная функция и ее свойства.

2.3. Электроемкостная система с Ы-слойным диэлектриком. .-.

2.4. Модель зондовой системы с диэлектриком на проводящей подложке.

2.5. Модель системы с диэлектрическим слоем между зондом и подложкой.

2.6. Выводы.

3. МОДИФИКАЦИИ ЭЛЕКТРОЕМКОСТНЫХ СИСТЕМ.

3.1. Многоэлектродная электростатическая система.

3.2. Трехэлектродная система для определения плотности поверхностного заряда и одного из параметров слоя.

3.3. Четырехэлектродная система для определения плотности поверхностного заряда и одного из параметров слоя.

3.4. Выводы.

4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА. ВОПРОСЫ ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ.

РЕШЕНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

4.1. Структурная схема установки и особенности основных ее элементов

4.2. Методические вопросы применения экспериментальной установки.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Физико-математические модели многопараметровых электроемкостных систем для исследования диэлектриков»

Актуальность темы.

Применение электроемкостных методов в различных областях физики и техники непрерывно расширяется вследствие их достаточно широких возможностей как при измерении некоторых электрофизических величин, так и параметров неэлектрического происхождения. Эти методы интересны прежде всего потому, что на их основе могут быть созданы эффективные средства для неразрушающих бесконтактных измерений диэлектрической проницаемости, проводимости, плотности объемного и поверхностного электрического зарядов, толщины, расстояния, неплоскостности, амплитуды частот вибраций, а также практических и технологических характеристик, например, свойств отдельных компонентов в композиционных материалах, зависимостей характеристик от внешних факторов - излучения, температуры, влажности, степени полимеризации материалов, радиопрозрачности, плотности, ориентации армирующего материала и многих других.

Неразрушающие электроемкостные методы определения какого-либо из параметров материала уступают по точности разрушающим методам, поскольку в последних все направлено именно на достижение точности (форма и размеры образцов, режимы и условия проведения измерений). При реализации неразрушающих бесконтактных методов все эти требования не выполняются -форма и размеры объекта не могут быть изменены, условия измерений ограничены, специальная обработка поверхности недопустима и возникает необходимость локализации электрического поля в определенной области исследуемого объекта и обеспечения его сканирования. То есть, при осуществлении бесконтактных неразрушающих измерений возникает ряд■новых проблем, от решения которых зависит возможность их проведения вообще. В частности, неоднородность электрического поля в зоне измерений (это принципиально необходимо) приводит к возникновению дополнительных погрешностей и, соответственно, принятию определенных мер по их учету и устранению.

Возможны два пути решения этих задач - традиционный и наиболее естественный, связанный с созданием измерительных средств, ориентированных на основное влияние интересующего параметра в отклике и подавление (компенсацию) других, побочных, не оказывающих значительного влияния на отклик системы в целом.

Другой путь связан с тем, что электроемкостные методы являются по своей сути многопараметровыми и электрический отклик системы зависит от каждого из них (диэлектрической проницаемости, проводимости, толщины рельефа поверхности, расстояния до измерительных и возбуждающих электродов, распределения объемных и поверхностных зарядов и других). В определенных задачах влияние этих параметров на отклик является соизмеримым и, поэтому, может даже возникнуть вопрос о правильности интерпретации результатов исследований.

Работы в этом направлении в 1967-1970 гг. начаты профессором Матисом И.Г. в Риге [1] и профессором Прониным В.П. в Саратове [2] . Постановка и подходы к решению задач у них разные. Матисом И.Г. и его сотрудниками основное внимание уделяется проблемам измерения электрических и геометрических параметров объектов и формированию многомерной информации за счет изменения "глубины проникновения" электрического поля. В работах Пронина В. П. и его сотрудников исследуются вопросы измерения плотности электрического заряда, его накопления и релаксации. Многомерная информация о других параметрах формируется вследствие создания в области измерений сложного распределения квазистатического электрического поля и его модуляцией с последующей селекцией гармонических составляющих на частотах возбуждения и модуляции - исходных данных для решения системы нелинейных уравнений, неизвестными в которых являются искомые параметры [3,4].

Цель работы заключается в исследовании моделей этих полей, их математического описания, составления на их основе систем независимых уравнений, неизвестными в которых являются плотность электростатического заряда, диэлектрическая проницаемость, толщина диэлектрического слоя и расстояние до зондирующего элемента, а также проводимость, решение вопросов сопряжения установок для экспресс-исследований распределений этих параметров с ЭВМ и вопросы алгоритмической обработки информации.

Практическая ценность работы заключается в том, что созданные ранее экспериментальные установки с разработанным для них математическим обеспечением позволяют изучать панораму кинетических процессов накопления и релаксации заряда в диэлектрических, полупроводниковых и композиционных материалах с учетом других электрофизических параметров и способствуют созданию современных эффективных средств автоматизированных исследований в электрофизике, которые выполнить другими известными методами затруднительно.

Научная новизна работы состоит в том, что

• на основе полевых представлений разработаны и исследованы математические • модели электроемкостных систем с многослойными диэлектриками, которые позволяют учесть особенности распределения • поля в локальной области материала с учетом его электрофизических и геометрических характеристик;

• рассмотрены 2 типа краевых задач для электроемкостных систем, сводящихся к решению трехмерного уравнения Лапласа со смешанными граничными условиями (1-го и 2-го рода) и решению уравнения Пуассона также со смешанными граничными условиями с применением формулы Грина и показано, что для метрологических целей решение уравнения Лапласа для электростатического поля и искомую функцию (потенциал) можно использовать в качестве аппаратной функции.

• определены условия, необходимые для одновременного определения электрофизических и геометрических параметров диэлектрического и полупроводникового слоев с учетом расстояния между зондом и исследуемыми поверхностями. На защиту выносятся следующие основные положения:

1. При использовании электроемкостных методов для исследования распределений заряда и потенциала электрофизических и геометрических параметров слоев целесообразно применять соотношения, полученные из формулы Грина.

2. Многопараметровые измерения и исследования выполнимы при формировании в локальной области слоя (в зависимости от разрешающей способности) сложного распределения квазистатического электрического поля разных частот с его модуляцией и последующей селекцией информации о спектральных составляющих сигнала в цепи зондирующего элемента.

3. Метрологические свойства электроемкостных систем определяются аппаратной функцией, являющейся решением уравнения Лапласа в кусочно-однородной диэлектрической среде с соответствующими граничными условиями.

4. Определение искомых распределений плотности заряда, диэлектрической проницаемости, проводимости, толщины слоя и расстояния до зондирующего элемента с локализацией области измерений порядка 1 мм2 требует решения соответствующей системы нелинейных уравнений, составляемых с учетом закономерностей изменения емкости применяемой измерительной системы электродов от неизвестных параметров.

Апробация работы.

Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Международной научно-технической конференции "Диэлектрики-97" в Санкт-Петербурге, III Международной конференции "Кристаллы: рост, свойства, реальная структура, применение" в г. Александрове Владимирской области в 1997 году, Международной научно-практической конференции "Развитие научного наследия академика Н.И. Вавилова" в г. Саратове, в 1997 году, на научном семинаре кафедры материаловедения Саратовского государственного технического университета, на 8 научном семинаре кафедры физики Саратовского государственного аграрного университета имени Н.И. Вавилова. Публикации.

По материалам диссертации опубликовано 5 научных работ -2 статьи и 3 тезисов докладов.

Структура и объем диссертации. ' Диссертация состоит из введения, 4 глав с выводами, заключения и списка цитированной литературы. Содержит 112 страниц машинописного текста, 34 рисунка, список литературы 109 наименований. Общий объем работы составляет 14 6 страниц.

Заключение диссертации по теме «Физика полупроводников», Петьков, Сергей Александрович

Основные результаты исследований сводятся к следующему:

1. Рассмотрены особенности применения электромагнитных методов для исследования различных материалов, особенно при реализации многопараметровых измерений, и показана нецелесообразность их использования в случае определения характеристик диэлектрических и высокоомных полупроводниковых материалов с локализацией области измерений до 10~6м2

2. Показано, что электроемкостные методы особенно перспективны для решения многих задач электрофизики, физики полупроводников и диэлектриков, биофизики, где требуется исследовать распределения плотности поверхностного и объемного заряда, установить закономерности его накопления и релаксации с учетом электрофизических и геометрических параметров материала.

3. С применением формулы Грина получены общие соотношения для многопараметровых электроемкостных систем применительно к исследованию распределений электрического заряда, электрофизических и геометрических параметров диэлектрических, полупроводниковых и композиционных материалов.

4. Разработаны и исследованы простые математические модели электроемкостных многоэлектродных систем с кусочно-однородными плоско-параллельными слоями, решение краевых задач для которых представляется в виде сходящихся рядов.

5. Показано, что при усреднении результатов измерения по сравнительно большой площади зазор между сигнальным и экранирующим электродами зонда можно не учитывать, а в случаях, когда зазор составляет величину, соизмеримую с размерами сигнального электрода, распределение потенциала в нем удовлетворительно представляется логарифмической функцией.

6. Показано, что для одновременного определения нескольких параметров исследуемого материала необходимо в области измерений создать сложное по конфигурации квазистатическое электрическое поле, являющееся суперпозицией полей, изменяющихся во времени по гармоническому (известному, периодическому) закону и имеющих разные пространственные распределения и зависимости от искомых параметров.

7. Установлено, что для составления системы независимых нелинейных уравнений относительно определяемых параметров в цепи сигнального электрода необходимо обеспечить селекцию составляющих квазистатического поля на частотах возбуждения и модуляции.

8. В результате выполненных экспериментальных исследований, связанных с особенностями электризации в поле

136 коронного разряда кусочно-однородных диэлектрических слоев и рельефных поверхностей показаны широкие функциональные возможности приборов и устройств, реализующих многопараметровые электроемкостные системы.

Исследования выполнены на кафедре физики Саратовского государственного аграрного университета имени Н.И. Вавилова.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результаты теоретических и экспериментальных исследований свидетельствуют, что основная цель работы, заключающаяся в разработке и исследовании . моделей наиболее приемлемых практически электроемкостных систем, изучении полей в этих системах, их математического описания и применения для интерпретации результатов экспериментов, в частности, по электризации кусочно-однородных и рельефных диэлектрических материалов достигнута.

Применение электроемкостных систем и возникающие при этом процессы электростатической индукции описываются на основании полученных из формулы Грина соотношений, связывающих два состояния одной и той же электростатической системы. В отличие от ранее применяемых моделей и описаний, используемый подход позволяет наиболее полно рассматривать спектр возможных применений электрических индукционных систем и определить модификации, перспективные в техническом исполнении.

Теоретические выводы подтверждены экспериментально и используются при интерпретации результатов исследований различных материалов и решении задач электрофизики, физики диэлектриков и полупроводников, связанных с изучением процессов накопления и релаксации электрических зарядов, дефектоскопии и других.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Петьков, Сергей Александрович, 1999 год

1. Матис И. Г. О возможности многопараметрового контроля диэлектрических свойств слоистых полимерных материалов. Изв. АН Латв. ССР физ. и техн. наук, 1968, №6, -С.60-67.

2. Пронин В.П. Трехкомпонентные датчики напряженности электростатического поля. Тез. докл. Всесоюзной конференции. Горьковский государственный университет. 1968, -С.70-72.

3. Пронин В.П. Одновременное определение потенциала и ортогональных компонентов напряженности трехмерного электростатического поля. ЖТФ. т.41, №2, 1971, -С.285-291.

4. Пронин В. П. Одновременное определение электростатического заряда и параметров диэлектрических слоев // ЖТФ. -1984. Т. 54, - № 8. - С. 1479-1487.

5. Форейт И. Емкостные датчики неэлектрических величин. -М.: Энергия, 1966. 153 с.

6. Надь Ш.Б. Диэлектрометрия. М.: Энергия, 1971,-200с.

7. Бухгольц В.П., Тисевич В.Г. Емкостные преобразователи в системах автоматического контроля и управления. М.: Энергия, 1972. - 79 с.

8. Матис И.Г. Электроемкостные преобразователи для неразрушающего контроля. Рига: Зинатне, 1982. - 302 с.

9. Эме Ф. Диэлектрические измерения. М.: Химия, 1976. -222 с.

10. Ю.Бугров A.B. Высокочастотные емкостные преобразователи и приборы контроля качества. М.: Машиностроение, 1982. 94с.

11. Викторов В.А., Лункин Б.В., Совлуков A.C. Радиоволновые измерения параметров технологических процессов. М.: Энергоатомиздат, 1989. - 208 с.

12. Потапов А.И., Игнатов В.М., Александров Ю.Б. Технологический неразрушающий контроль пластмасс. Л. : Химия, 1979. - 285 с.

13. Гричулис Ю.К. Электромагнитный метод анализа слоистых полупроводниковых и металлических структур. Рига: Зинатне,1970. 272 с.

14. Шарп Р. Методы неразрушающих испытаний. М. : Мир, 1972. - 494 с.

15. Викторов В.А., Лункин Б.В., Совлуков A.C. Высокочастотный метод измерения неэлектрических величин. М.: Наука, 1978.

16. Сканави Г. И. Физика диэлектриков (область слабых полей). М.: Гостехиздат, 1949. - 500 с.

17. Слетер Дж. Диэлектрики, полупроводники, металлы. М.: Мир, 1969.

18. Ермаков Г.А., Фокин А.Г., Шермергер Т.Д. Эффективные диэлектрические проницаемости неоднородных диэлектриков // ЖТФ. 1974. - Т. 44. - № 2. -С. 249-256.

19. Ахметшин A.M., Савин В.И., Тихий В.Г., Платонов Е.Д. / Идентификация слоистых диэлектрических структур методом параметрической оптимизации // Дефектоскопия. 1983. - № 12.- С. 57-65.

20. Конев В.А., Михнев В. А. Контроль параметров листовых диэлектриков путем анализа частотных свойств диэлектрического волнового датчика // Дефектоскопия. 1986. - № 6. -С. 7-13.

21. Ахметшин A.M., Дробахин 0.0. Оценивание параметров диэлектрических материалов методов Фурье преобразования комплексного коэффициента отражения // Дефектоскопия. - 1984.- № 9 -С. 19-28.

22. Дробахин 0.0. Применение метода синтезирования огибающей радиоимпульса для СВЧ интроскопии слоистых сред // Дефектоскопия. 1985. № 1. -С. 13-19.

23. Конев В.А., Михнев В.А. Двухпараметровый контроль листовых материалов диэлектрическими волноводными датчиками // Дефектоскопия. 1989. - № 1. -С. 51-55.

24. Конев В.А., Михнев В. А. Радиоволновый измеритель параметров листовых диэлектриков АНВ-645 // Дефектоскопия. -1989. № 2. -С. 45-49.

25. Ахметшин В. А. Информационные возможности методов широкополосного радиоволнового контроля параметров слоистыхдиэлектрических структур // Дефектоскопия. 1989. - № 3. -С. 48-57.

26. Ахметшин A.M., Мякинкова J1.B. Широкополосная СВЧ толщинометрия слоистых структур: развитие и исследование метода линейного предсказания // Дефектоскопия. 1989. - № б. - С. 15-22.

27. Колесников В.А., Игнатов В.М., Колесникова JI.A. О двухпараметровой СВЧ толщинометрии двухслойных диэлектрических структур // Дефектоскопия. 1980. - № б. -С. 91-94.

28. Ахметшин A.M. Применение метода главных компонентов в неразрушающем контроле. Многопараметровая интроскопия // Дефектоскопия. 19.81. № 12. - С. 23-36.

29. Ахметшин A.M. Оценивание параметров слоистых диэлектрических структур в широкополосной СВЧ интроскопии меотдов вторичного спектрального анализа // Дефектоскопия. -1984. № 2. - С. 19-25.

30. Ахметшин A.M. Классификация сигналов дефектов в обобщенном спектральном базисе // Дефектоскопия. -1985. № 6.- С. 82-87.

31. Ахметшин A.M., Курин А.Ю. Спектроскопия слоистых диэлектрических структур методом линейного предсказания // Дефектоскопия. 1985. - № 9. С. 62-71.

32. Кондратьев Е.Ф., Пец A.B., Карасев Б. В. Способ радиоволного контроля свойств диэлектриков // Дефектоскопия.- 1983. № 2. - С.50-51.

33. Кондратьев Е.Ф., Степанова A.B. Резонансный метод контроля свойств диэлектриков // Дефектоскопия. 1983.-№9. -С. 94-96.

34. Ширман Л.Д. Радиоволноводы и объемные резонаторы. М.: Связьиздат, 1959. 379 с.

35. Валитов P.A., Дюбко С.Ф., Макаренко Б. И. и др. / Измерения на миллиметровых и субмиллиметровых волнах. Методы и техника // Под редакцией P.A. Валитова, Б.И. Макаренко. М.: Радио и связь, 1981. 295 с.

36. Зб.Смайт В. Электростатика и электродинамика. М.: И.Л., 1954. - 728 с.

37. Оптическая и СВЧ дефектоскопия. М. : Машиностроение, 1981.

38. Пронин В. П. Одновременное определение электростатического заряда и параметров диэлектрических слоев // ЖТФ.1984. Т. 54, - № 8. - С. 1479-1487.

39. Пронин В. П. Теория и применение квазистатических электрических систем с параметрическим преобразованием // Машинные методы решения краевых задач. М.: 1985. - С. 3.

40. Пронин В.П., Шевченко В.И. Моделирование и оптимизация зондовых систем с копланарными электродами // Машинные методы решения краевых задач. М.: 1985. -С. 26.

41. Пронин В.П., Шевченко В. И. Многопараметровый электроемкостный • контроль диэлектрических слоев // Дефектоскопия. 1988. - № 7. - С. 19-2 6.

42. Пронин В.П. A.c. № 1272421 (СССР). Способ определения параметров диэлектрических слоев 3.09.11.83 г., оп ДСП.

43. Пронин В.П., Шевченко В. И. Многопараметровый электроемкостный контроль диэлектрических и высокоомных полупроводниковых слоев // Неразрушающие физические методы и средства контроля. Тезисы докл. XI Всесоюзной НТ конференции.- 1987. С. 39.

44. Пронин В.П., Шевченко В. И. Многопараметровые электроемкостные параметрические системы для исследования электретных состояний // В кн. Электреты и их применение в радиотехнике и электронике. Тезисы докл. М. 1988. - С. 77.

45. Пронин В.П., Шевченко В. И. Аналого-цифровой комплекс для многопараметровых исследований диэлектриков // В кн. Практическая реализация машинных методов решения краевых задач. Тезисы докл. / Пенза. 1989. - С.23.

46. Пронин В.П., Шевченко В. И. Автоматизированный измерительный комплекс для контроля параметров диэлектриков // Инф. лист № 567-89 о НТД / Саратов. ЦНТИ. - 1989.

47. Струнский М.Г., Горбов М.М. Бесконтактные емкостные микрометры. J1.: Энергоатомиздат, 1986. - 136 с.

48. Челидзе Т.Л., Деревенко А.Н., Куриленко О.Д. Электрическая спектроскопия гетерогенных систем. Киев: Наукова думка, 1977. - 249 с.

49. Берлинтер М.А. Электрические измерения, автоматический контроль и регулирование влажности. М. : Энергия, 1965. -487 с.

50. Энштейн С.Л. Измерение характеристик конденсаторов. -М.: Энергия, 1965. 235 с.

51. Матвеева И.А., Пронин В.П., Шехтман Л. А. К теории измерения поверхностных зарядов методом электростатической индукции // ЖТФ. 1977. - Т. 47. - № 7. - С. 1389-1395.

52. Матис И.Г., Паблакс Д.Э. Модуляционный способ многопараметрового электроемкостного контроля. Рига, 1982.- В. 6, С.34-39.

53. Нестеров К.Г., Пронин В.П., Шаталина М.В., Шевченко В. И. / Многопараметровые исследования микрораспределений электрических свойств диэлектриков // Тезисы докл. VII Всесоюзной НТ конференции по физике диэлектриков. Томск, 1988, С. 115.

54. Дубовой Н.Д. Автоматические многофункциональные измерительные преобразователи. М. : Радио и связь 1989.- 256 с.

55. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. - 285 с.•5 9.Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания образов. -М.: Наука, 1979. 368 с.

56. Бард И. Нелинейное оценивание параметров. М. : Статистика, 1979. - 349 с.

57. Ван Трис Г. Теория обнаружения оценок и модуляции. Т.1. М.: Сов. радио, 1972. - 744 с.

58. Дубров A.M. Обработка статистических данных методом главных компонент. М.: Статистика, 1978. - 135 с.

59. Дмитриев В.И. Обратные задачи электромагнитного зондирования // Физика Земли. 1977. № 1. - С. 19-23.

60. Гласко В.В., Худак Ю.И. Адитивные представления характеристик слоистых сред и вопросы единственности /// ЖВМ и МФ. 1980. - № 2'. - с. 482-490.

61. Богородский В.В., Рудаков В.Н. Электромагнитные методы определения толщины плавающих льдов // ЖТФ. -1962. № 7. -С. 874-882.

62. Norwich A. Twy frequency system for measuring a property of a dielectric material having a single amplifying and detecting circuit for both frequencies // Pat № 3.327.207 (USA). On. 03.04.67.

63. Norwich A. System and method for measuring property of dielectric material by periodically and alternately applying signals at different frequencies to a capacitance probe // Pat № 3.255.410 (USA). On. 10.07.66.

64. Norwich A. Dielectric measuring system including phase inverting means // Pat № 3.290.588 (USA), On. 10.03.66.

65. Byrd R.V. Dual frequency admittance gange having improved frequency response unrelated to feed back response time. // Pat № 3.504.208. On. 13.11.70.7 0.Иоссель Ю.Я., Коганов Э.С., Струнский М.Г. Расчет электрической емкости. М.: Энергия, 1969. - 240 с.

66. Краснов H.JI., Киселев А. И., Макаренко Г. И.

67. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1976. - 215 с.

68. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М. : Наука, 1966. - 500 с.73 .-Герштейн Г.М. Моделирование полей методом электростатической индукции. М.: Наука, 1970. - 316 с.

69. Резвых К.А. Расчет электростатических полей. М. : Энергия, 1967. - 97 с.

70. Волков Н.Г. Математика и САПР. Кн.1. М. : Мир, 1988.- 206 с.

71. Волков Н.Г. Математика и САПР. Кн.2. М. : Мир, 1988.- 200 с.

72. Вине К., Лауренсон П. Анализ и расчет электрических и магнитных полей. М.: Энергия, 1970. - 373 с.

73. Tom А., Эйплит К. Числовые расчеты полей в технике и физике. М.: Энергия, 1964. - 208 с.

74. Калиткин H.H. Численные методы. М. : Наука, 1978. -512 с.

75. Курбатов П.А., Аринин С. А. Численный расчет электромагнитных полей. М.: Энергоатомиздат, 1984. - 168 с.•84.Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Кваша О.П. / Численные методы // М.: Высшая школа, 1976. 368 с.

76. Трохименко Я.К., Любич Ф.Д. Инженерные расчеты на микрокалькуляторах. Киев: Техника, 1980. -384 с.

77. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1987.- 248 с.

78. Герштейн Г.М., Пронин В.П., Седин В.А., Федонин Г.К., Хохлов A.B. / Установка МНТ-83 для моделирования трехмерных статических полей // В кн. Вопросы электрического моделирования полей. Саратов. СГУ. - 1964. - В. 1. - С. 5681.

79. Герштейн Г.М., Пронин В.П., Седин В.А., Федонин Т.К./ Аналоговая установка для решения трехмерного уравнения Лапласа // В кн.: Вопросы теории и применения математического моделирования. Сов. радио. - 1965. - С. 339-351.

80. Пронин В. П. Устройство для определения компонент напряженности и пространственных гармоник объемного лапласовского поля // ПТЭ. 1970. - № 5. - С. 137-141.

81. Пронин В.П. Моделирование трехмерного уравнения Лапласа // В кн. Доклады III Всесоюзной конференции по методам расчета ЭОС. Л. - 1969. - С. 1-2.

82. Герштейн Г.М., Березов В.А., Пронин В.П. Решение трехмерных задач статической электроники // В кн. Тезисы докл. Всесоюзной конференции по аналоговой и вычислительной технике. -М.: 1975. - С. 74-76.

83. Пронин В.П., Шевченко В.И. Исследование поля копланарных электродов над слоистым диэлектриком на проводящей подложке / В кн. Математическое моделирование физических полей // Саратов. 198 8. - С. 25.

84. Пронин В. П. Зондовые методы определения зарядаэлектрографических слоев // Состояние и перспективы развития электрографической копировальной техники. Вильнюс, 1982. -С. 111-115.

85. Арфкен Г. Математические методы в физике. М. : Атомиздат, 197 0. - 712 с.

86. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике // М. : Наука, 1974. - 831 с.

87. Матвеева И.А. Метрологические свойства зондовых систем для измерения поверхностных зарядов / / Радиотехника и электроника. 1982. - № 4. -С. 804-812.

88. Гончарский A.B., Леонов A.C., Ягола А. Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. -М. Наука, 1978. -300 с.

89. Воеводин В.В. О методе регуляризации // IBM и МФ. -1969. -Вып.2. №3. -С.101-109.

90. Арсентьев Ю.Д., Грищенко В.Л., Марцинкявичус В.А., Науменко Л.М., Пронин В.П. Экспериментальное определение дефектов и релаксации заряда в высокоомных полупроводниковых слоях // Дефектоскопия. 1981. № 5. - С. 7 9-8 4.

91. Грищенко В.Л., Матвеева И. А. Преобразование поверхностных распределений зарядов и потенциала методом электростатической индукции // В кн. Вопросы электроники СВЧ. Некоторые проблемы радиофизики. СГУ. 1983. - С. 16-2 4.

92. Уорсинг А. Методы обработки экспериментальных данных. М.: Иностранная литература, 1953. - 348 с.

93. Петьков С.А., Пронин В.П. Вопросы математического обеспечения многопараметровых электроемкостных систем // Тезисы Международной научной конференции "Развитие научного наследия академика' Н.И. Вавилова". Саратов, ноябрь 1997 г. Часть 2. - С.253-254.

94. Пронин В.П., Петьков С.А. Применение электроемкостного метода для исследования неоднородностей диэлектрических слоев // Перспективные материалы. №3, 1999 г. С. 95-97.