Факторизуемость G-пространств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, кандидат наук Мартьянов Евгений Вячеславович

• Мартьянов Евгений Вячеславович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Мартьянов Евгений Вячеславович

Введение

1 Предварительные сведения

1.1 Равномерные структуры

1.2 Топологические группы

1.3 Топологические группы преобразований

2 С-факторпространство

2.1 Эквиравномерное факторпространство в категории ЕИшГ

2.2 С-факторпространство в категории С-ТуеЬ

3 Понятия факторизуемости С-пространства

3.1 Характеризация К-факторизуемости С-пространств с d-открытым действием

3.2 т- и М-факторизуемости С-пространств с d-открытым действием

3.3 К-факторизуемость в категории С-ТуеЬ

4 Факторизуемость С-расширений и её сохранение экви-вариантными отображениями

4.1 К-факторизуемость С-расширений

4.2 Сохранение факторизуемости эквивариантными отображениями

Заключение

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Факторизуемость G-пространств»

Актуальность темы и степень ее разработанности

Настоящая работа посвящена исследованию факторизуемости С-прос-транств.

Действенным методом исследования математических объектов является аппроксимация их более простыми, в каком-то смысле близкими к исходным, объектами. Существуют разные способы аппроксимации. Факторизация отображения является одним из таких способов и представляет собой разложение отображения в виде композиции двух других, отвечающих заданным условиям. Наиболее общо понятие факторизации отображений на произвольном топологическом пространстве X можно сформулировать следующим образом. Пусть задан класс пространств £ и класс непрерывных отображений Г на пространстве X. Если для любого отображения /: X ^ У из Г существуют непрерывные отображения д: X ^ Z и Н: Z ^ У такие, что / = Н о д, причём Z Е то в этом случае будем говорить, что непрерывные отображения на X из Г факторизуются через пространства из £. Дополнительно можно накладывать требования и на отображения д и Н.

Один из первых результатов в этом направлении (факторизация по весу и размерности) был получен С. Мардешичем: любое непрерывное отображение п-мерного компакта X в компакт У, веса < т, можно профакторизовать через п-мерный компакт Z, веса < т. Б. А. Пасынковым доказана факторизационная теорема для отображений в мет-ризуемые пространства. В первом случае Г — класс отображений п-

мерного компакта X в компакты веса < т, £ — класс п-мерных компактов веса < т. Во втором случае ^ — класс отображений п-мерного тихоновского пространства X в метризуемые пространства, веса < т, £ — класс п-мерных метризуемых пространств веса < т. Данные результаты позволили построить спектральные представления п-мерных пространств в виде п-мерных пространств более простой природы, распространить основные теоремы теории размерности на неметризуемые пространства, установить существование компактификаций и расширений пространств заданных веса и размерности, доказать существование универсальных пространств в классах компактных и метрических пространств.

Задача о зависимости функции, определённой на тихоновском произведении X = ПаеЛ Ха, от счётного числа координат является частным случаем факторизации. При определённых условиях непрерывная функция на несчётном тихоновском произведении может быть представлена в виде композиции проектирования на некоторую счётную грань произведения и функции на этой грани. Здесь ^ — класс непрерывных функций на произведении X, £ — пространства, являющиеся счетными подпроизведениями X. Данный результат лег в основу спектральной теории, построенной Е. В. Щепиным для компактов, и распространенной А. Ч. Чигогидзе на вещественно полные пространства.

Следующая теорема Л.С. Понтрягина [1] (см. также [2]) послужила началом изучения К-факторизуемых топологических групп: если / — непрерывная вещественная функция на компактной топологической группе С, то существует такой замкнутый нормальный делитель N группы С, что факторгруппа С/N метризуема и функция / постоянна на каждом смежном классе. Здесь ^ — класс непрерывных функций на компактной группе С, £ — метризуемые компактные группы. Дополнительно, отображение д: С ^ С/N — открытый гомоморфизм.

Е. В. Щепин [3] установил, что любую непрерывную вещественнознач-ную функцию на слабо линделефовой топологической группе С можно профакторизовать через топологическую группу Н счетного псевдохарактера, и отображение д: С ^ Н — открытый гомоморфизм.

Понятие К-факторизуемой топологической группы введено М. Г. Тка-ченко [4], [5]. Топологическая группа С называется К-факторизуемой, если для любой непрерывной вещественнозначной функции / на С существуют: непрерывный гомоморфизм п: С ^ К на группу К со счетной базой и непрерывная функция Н такие, что f = Н о п. Если в определении К-факторизуемой группы заменить класс непрерывных функций на непрерывные отображения в произвольные метрические пространства, то получим определение т-факторизуемой топологической группы, а если, кроме того, рассматривать в качестве класса £ класс метризуемых групп, то получим определение М-факторизуемой топологической группы. А. В. Архангельским [6] сформулировано общее понятие топологической группы, факторизуемой относительно класса Р топологических групп. К-факторизуемые группы в точности те топологические группы, которые топологически изоморфны С-вложенным подгруппам произведений групп со счетной базой.

Аналогично случаю топологических групп, М. Санчесом и М. Г. Тка-ченко [7] было введено понятие ^-факторизуемой паратопологической группы для % Е {1, 2,3,3.5}. Необходимость в различных индексах связана с тем, что классы Т0, Т2, регулярных и вполне регулярных паратопологических групп различны.

Обобщением факторизуемости топологических групп является фак-торизуемость С-пространств, то есть топологических пространств с непрерывным действием топологических групп. Структура С-простран-ства возникает естественным образом при решении различных задач математики. Например, в теории обыкновенных дифференциальных

уравнений для автономной системы ±(£) = ^(ж(£)) на многообразии М доказывается существование и единственность решения — дифференцируемого отображения пх: К ^ М такого, что пх(0) = х, пх(£) = ^(пх(£)), £ € К. Во многих случаях решение пх зависит непрерывно от начальных условий, то есть отображение п: (£,ж) ^ пх(£): К х М ^ М непрерывно. Таким образом, многообразие М вместе с непрерывным действием п (аддитивной) группы К является С-пространством. Понятие С-пространства является основополагающим в теории динамических систем и эргодической теории. С-пространства эффективно используются при исследовании однородности топологических пространств [8].

Любой топологической группе С естественным образом соответствует С-пространство (С, С, ас), где ас — действие группы С на себе левыми сдвигами. Понятие К-факторизуемого С-пространства, введенное К. Л. Козловым [9], стало естественным обобщением понятия К-факторизуемости топологической группы. Оно позволило распространить результаты о пополнении К-факторизуемых групп по Хью-итту и их спектральном представлении на аналогичные для фактор-пространств К-факторизуемых групп.

Цели и задачи

Целью работы является построение теории факторизации отображений, заданных на фазовых пространствах С-пространств. Решаются следующие задачи: определения факторизуемостей С-пространств и их характеризации; взаимосвязь факторизуемостей; сохранение фак-торизуемостей (эквивариантными) расширениями; сохранение факторизуемостей (эквивариантными) отображениями в сторону образа.

Научная новизна

Автором диссертации впервые дана характеризация факторизуемо-стей С-пространств; установлена взаимосвязь между различными типами факторизуемостей С-пространств. Также впервые дана характе-ризация К-факторизуемости в категории С-ТуеЬ при переходе к С-компактификации. Автором установлено при каких дополнительных условиях факторизуемости сохраняются эквивариантными отображениями.

Положения выносимые на защиту

• Вводятся понятия эквиравномерного факторпространства и С-факторпространства. Эквиравномерное фактопространство (С-факторпространство) обладает свойством универсальности. Даётся описание эквиравномерного факторпространства (С-фактор-пространства) в случаях открытого и ^открытого действий.

• Вводятся различные понятия факторизуемостей С-пространств и даются их характеризации. С-пространство с транзитивно действующей К-факторизуемой группой, фазовое пространство которого обладает свойством Бэра, является К-факторизуемым в категории С-ТуеЬ. С-пространство с ы-узкой действующей группой, фазовое пространство которого компактно, является К-фак-торизуемым в категории С-ТуеЬ.

• Даются необходимые и достаточные условия сохранения К-факто-ризуемости в категории С-ТуеЬ при переходе к С-компактифика-ции. В случае К-факторизуемой действующей группы С-про-странство (С,дС,ам) К-факторизуемо в категории С-ТуеЬ, где дС — пополнение группы С по Дьедонне.

• К-факторизуемость С-пространств с ^открытым действием ы-узких Р-групп сохраняется эквивариантными отображениями. К-факторизуемость, т-факторизуемость и М-факторизуемость С-пространств сохраняются эквивариантными ^открыми отображениями.

Методология и методы исследования

Использованы общие методы и классические конструкции общей топологии, равномерной топологии и топологической алгебры. В частности, факторизация групп и псевдоравномерных пространств, использование произведений для упрощенной структуризации пространств, построение расширений пространств, пополняя их по равномерностям.

Получил дальнейшее развитие метод, позволяющий координировать факторизацию действующей группы с равномерной факторизацией фазового пространства.

Использование ¿-открытости действия позволяет явно предъявлять эквиравномерность на фазовом пространстве; ¿-открытость действия легко контролируется при отображениях.

Теоретическая и практическая значимость

Диссертация имеет теоретический характер. Результаты и методы настоящей работы могут найти применение в топологической алгебре и эквивариантной топологии.

Степень достоверности и апробация результатов

Результаты диссертации докладывались на следующих всероссийских и международных научных конференциях:

• XXIII международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2016» (г. Москва, МГУ, 11 -15 апреля 2016);

• Международная научная конференция «Александровские чтения-2016» (г. Москва, МГУ, 23-25 мая 2016);

• XXIV международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2017» (г. Москва, МГУ, 10 -14 апреля 2017);

• XXV международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2018» (г. Москва, МГУ, 9-13 апреля 2018);

• Международная научная конференция «Топологическая алгебра и теоретико-множественная топология», посвященная 80-летию профессора А. В. Архангельского (г. Москва, МГУ, Россия, 2328 августа 2018);

• XXVI Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2019» (г. Москва, МГУ, 8 - 12 апреля 2019).

Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на заседаниях следующих научных семинаров: научно-исследовательский семинар им. П.С. Александрова под руководством профессора Ю. В. Садовничего, научно-исследовательский семинар «Некоторые конструкции и задачи общей топологии с приложениями в топологической алгебре и пространствам функций» под руководством профессора А. В. Архангельского.

Публикации автора

Основные результаты диссертации опубликованы в 3 статьях [10], [11] и [12]. Статьи [10] — [12] опубликованы в рецензируемых научных изданиях, рекомендованных для защиты в диссертационном совете МГУ по специальности, и соответствуют пункту 2.3 Положения о присуждении ученых степеней в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова.

Структура и объем

Диссертация состоит из введения, четырёх глав основной части и заключения. Текст диссертации изложен на 88 страницах. Список литературы содержит 31 наименование.

Содержание работы

Во введении формулируется цель работы, кратко излагаются её результаты и содержание.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приводятся основные понятия и определения из теории равномерных пространств, топологической алгебры и эквивариантной топологии.

Во второй главе определяется категория ЕИш^ вводятся понятия эквиравномерного факторпространства и С-факторпространства, доказывается их универсальность.

Материал второй главы основан на результатах работы [11].

Определение 2.1.1 С-пространство (С/Ж, (Х/Ая, ),в) называется эквиравномерным факторпространством С-пространства (С, (X, ), а), а эквивариантное отображение (п,/): (С, (X, ),а) ^ (С/Х, (Х/Ая,),в) — эквивариантным факторотображением, где / —

равномерное факторотображение.

Определение 2.2.1 G-пространство (G/N, X/Amax, в) называется G-факторпространством G-тихоновского пространства (G,X, а), а эк-вивариантное отображение (п, f): (G, X, а) ^ (G/N, X/Amax, в) — G-факторотображением, где f — равномерное факторотображение.

Перечислим основные результаты главы:

• Предложение 2.1.1 Пусть (G,X, а) — G-пространство, п: G ^ G' — эпиморфизм, N = Kern, A — инвариантная псевдоравномерность на пространстве X такая, что An ^ A.

Тогда (G;, (X/A, А),в) G EUnif, где A — факторная равномер-шстц в[x]) = И^у^ g G п-1 (У^ у G ^ (n,f): (G,X,a) ^ (G',X/A, в) — эквивариантное отображение, f: (X, A) ^ (X/A, A) — равномерное факторотображение.

• Следствие 2.1.1 Пусть (G, (X, Ax),а) G EUnif, п: G ^ G/ — эпиморфизм. Тогда A = AX Д An — псевдоэквиравномерность относительно п на X, (G/, (X/A, А),в) G EUnif и отображение (п, f): (G, (X, Ax Д An), а) ^ (G/, (X/(Ax Д An), Ax Л An), в) является эквивариантным.

• Теорема 2.1.1 Для любого морфизма (к, h): (G, (X, AX),а) ^ (K, (Y, Ay),Z) категории EUnif такого, что N С Кегк существует единственный морфизм (K/,h/): (G/N, (X/AN, AN),в) ^ (K, (Y, Ay), Z) категории EUnif и верно равенство (к, h) = (к/, h/)o (п,f), где (^f) — эквивариантное факторотображение.

• Теорема 2.2.1 Для эквивариантного отображения (к, h) : (G, X, а) ^ (K, Y, Z) G-тихоновских пространств такого, что N С Кегк существует единственное эквивариантное отображение (к/, h/) G-факторпространства (G/N, X/Amax, в) в G-пространство (K, Y, Z)

11

и верно равенство (к, = (к', о (п, /), где (п, /) — С-фактор-отображение.

Теорема 2.1.2 Пусть (С, (X, Ас), а) е ЕИшГ с ^открытым действием и максимальной эквиравномерностью Ас, п: С ^ С' — эпиморфизм. Тогда {7^-1(0} = {Ш;(с1(п-1(0)ж))|ж Е X}|0 Е Хс/ (е)} является базой псевдоэквиравномерности Ас Д Ап на X, максимальная эквиравномерность Ас на пространстве X/ (Ас Д Ап) совпадает с факторравномерностью АсД Ап, действие в — а-открыто и (С', (X/ (Ас Д Ап), А с Л Ап ),в) Е ЕИш!

Если (С, (X, Ас), а) Е ЕИшГ с открытым действием и максимальной эквиравномерностью Ас, то {кп-1(0} = {п-1(0)ж|ж Е X}|0 Е Хс(е)} является базой псевдоэквиравномерности Ап на X, максимальная эквиравномерность Ас на пространстве X/Aп совпадает с факторравномерностью Ап, действие в — открыто и

(С', ^/Ап, АП),в) Е ЕИш!

В частности, если п — открытый эпиморфизм с ядром N, то (С', ^/Ап, АП),в) и (С', (X/ (Ас Д Ап), А с Д Ап ),в) совпадают с соответствующими эквиравномерными факторпространствами.

Теорема 2.2.2 Пусть (С^, а) с d-открытым действием и максимальной эквиравномерностью Ас, п: С ^ С' — эпиморфизм. Тогда {7п-1(0} = {Ш;(с1(п-1(0)ж))|ж Е X}|0 Е Хс/(е)} является базой псевдоэквиравномерности Ас Д Ап на X, действие в — й-открыто и (С',X/(Aс Д Ап),в) — С-тихоновское пространство.

Если (С^, а) с открытым действием и максимальной эквиравномерностью Ас, то {кп-1(0) = {п-1 (0)ж|ж Е X}|0 Е Хс/(е)} является базой псевдоэквиравномерности Ап на X, действие в — открыто и (С'^/Ап, в) — С-тихоновское пространство.

В частности, если п — открытый эпиморфизм с ядром N, то (С,Х/АП,в) и (С'^ДА^Д Ап),в) совпадают с соответствующими С-факторпространствами.

Понятие равномерного факторпространства было введено в [13]. Для случая С-пространств с фиксированной действующей группой оно было обобщено в [14]: пусть А инвариантная и квазиограниченная псевдоравномерность на X относительно непрерывного действия а: С х X ^ X, тогда существует А-инвариантное непрерывное действие а: С х Х/А ^ Х/А на факторпространстве Х/А. Случай ^ открытого действия факторгруппы на равномерном факторпростран-стве подробно рассмотрен в [15] и [16]. Так предложение 3 [15] утверждает, что факторотображение Н: X ^ Х/А является эквивариант-ным, если псевдоравномерность А на пространстве X с действием группы С инвариантна. Теорема 2.14 (Ь) [9] (см. также теорему 3.3 (I) [16]) устанавливает факт существования С-факторпространства для случая ^открытого действия: пусть С-пространство (С, X, а) с открытым действием и N — ядро эпиморфизма п: С ^ С', тогда С-пространство (С'^/А, в) с (^-открытым действием в является эк-вивариантным образом (С^,а).

Понятие С-факторпространства естественным образом обобщает соответствующие понятия для топологических групп и равномерных пространств и является универсальным элементом для некоторого функтора. Предложение 2.1.1 является обобщением предложения 3 [15] и теоремы 2.14 [9]. Теорема 2.1.1 соответственно теорема 2.2.1 устанавливают универсальность эквивариантного факторпространства соответственно С-факторпространства. Теорема 2.2.2 показывает, что С-пространство с ^открытым действием факторгруппы на равномерном факторпространстве является частным случаем С-факторпространства.

В третьей главе даётся характеризация К-факторизуемости С-

пространств с й-открытым действием. Вводятся понятия т-факторизу-емости, М-факторизуемости и К-факторизуемости в категории С-ТуеЬ, даются их характеризации. Устанавливается связь между различными типами факторизуемостей С-пространств.

Материал третьей главы основан на результатах работ [10] и [12].

Перечислим основные определения и результаты главы:

Определение 3.1.1 [9]. С-пространство X называется К-факторизуемым, если для любой непрерывной функции /: X ^ К существуют экви-вариантное отображение (п, : (С^, а) ^ (К, У, в) в сепарабель-ное метризуемое С-пространство (К, У — сепарабельные метризуемые пространства) и непрерывная функция д: У ^ К такие, что / = д о Определение 3.2.1 С-пространство (С, X, а) называется т-факторизу-емым (М-факторизуемым), если для любого непрерывного отображения /: X ^ М, где М — произвольное метрическое пространство, существуют эквивариантное отображение (п, : (С, X, а) ^ (К, У, в) в сепарабельное метризуемое (метризуемое) С-пространство (К, У — сепарабельные метризуемые (метризуемые) пространства) и непрерывное отображение к: У ^ М такие, что / = к о

Определение 3.3.1 С-пространство (С^, а) называется К-факторизу-емым в категории С-ТуеЬ, если для любой непрерывной функции /: X ^ К существуют эквивариантное отображение (п, : (С, X, а) ^ (К, У, в), где (К, У, в) — С-тихоновское сепарабельное метризуемое С-пространство (К, У — сепарабельные метризуемые пространства), и непрерывная функция к: У ^ К такие, что f = к о Определение 3.1.2 С-пространство (С^, а) с й-открытым действием обладает свойством ы-и, если для любой непрерывной функции /: X ^ К существует счётное семейство А/ С Хс(е) такое, что для любых £ > 0 и х Е X найдется окрестность и Е А/ для которой /И(с1(их))) С Ое(/(х)).

Определение 3.2.2 С-пространство (С^, а) с ^открытым действием обладает сильным свойством ш-и, если для любого непрерывного отображения /: X ^ М, где М — произвольное метрическое пространство, существует счётное семейство Af С N<2(6) такое, что для любых £ > 0 и х Е X найдется окрестность и Е Af, для которой /(1п1(е1(их))) С Ое(/(х)).

• Теорема 3.1.1 С-пространство (С^, а) является К-факторизу-емым тогда и только тогда, когда существует эквивариантное отображение (п, 1Х): (С,X, а) ^ (К, X, в) в К-факторизуемое С-пространство (К, X, в) с ш-узкой действующей группой К.

• Теорема 3.1.2 С-пространство (С^, а) с ^открытым действием ш-узкой группы является К-факторизуемым тогда и только тогда, когда оно обладает свойством ш-и.

• Теорема 3.2.2 С-пространство (С, X, а) с ^открытым действием ш-узкой (ш-уравновешенной) группы является т-факторизуемым (М-факторизуемым) тогда и только тогда, когда оно обладает сильным свойством ш-и.

• Теорема 3.3.1 С-пространство (С^, а) является К-факторизу-емым в категории С-ТуеЬ тогда и только тогда, когда существует эквивариантное отображение (п, 1Х): (С^, а) ^ (К, X, в), где (К, X, в) — С-тихоновское пространство с ш-узкой действующей группой К, которое К-факторизуемо в категории С-ТуеЬ.

• Теорема 3.3.2 Пусть (С^, а) — С-пространство с ^открытым действием. Следующие условия эквивалентны:

(1) (С, X, а)

(2) (С, X, а)

— К-факторизуемо;

— К-факторизуемо в категории С-ТуеЬ.

• Предложение 3.3.1 Пусть (С^, а) — К-факторизуемое С-про-странство с транзитивным действием, X — пространство со свойством Бэра. Тогда (С, X, а) — К-факторизуемо в категории С-ТуеЬ.

• Теорема 3.3.3 Для С-пространства (С, X, а) следующие условия эквивалентны:

(1) (С^, а) — К-факторизуемо в категории С-ТуеЬ;

(2) для любой непрерывной функции / на X существует инвариантная, вполне ограниченная псевдоравномерность А счётного веса на пространстве X такая, что действие а ограничено ею и / непрерывна на (X,та);

(3) для любой непрерывной функции f на X существует вполне ограниченная С-псевдометрика р такая, что / непрерывна на (X, тр).

Для топологических групп понятия свойства ы-и и сильного свойства ы-и были даны в работе [17]. Вышеприведённые определения обобщают указанные понятия для случая С-пространств. В [17] дана характеризация К-факторизуемости топологических групп (теорема 4.9): топологическая группа К-факторизуема тогда и только тогда, когда она ы-узкая и обладает свойством ы-и. Характеризация К-факторизуемых тихоновских паратопологических групп дана в [18].

В [9] было введено понятие К-факторизуемого С-пространства, естественным образом распространяющее К-факторизуемость с топологических групп на С-пространства. Теорема 3.1.1 (теорема 3.3.1) устанавливает возможность замены действующей группы С на ы-узкую группу К. При этой замене сохраняются К-факторизуемость (К-факторизу-емость в категории С-ТуеЬ) и такие свойства действий как транзитивность и й-открытость. Теорема 3.1.2 (теорема 3.2.2) является обобще-

нием теоремы 4.9 из [17] на случай С-пространств с ^открытым действием. Теорема 3.3.2 устанавливает эквивалентность К-факторизуемо-сти и К-факторизуемости в категории С-ТуеЬ для С-пространств с ^открыто действующими группами. Как следствие, предложение 3.3.1 даёт частичный ответ на вопрос о том, когда из К-факторизуемости С-пространства следует его К-факторизуемость в категории С-ТуеЬ. Теорема 3.3.3 характеризует К-факторизуемость С-пространств в категории С-ТуеЬ.

В четвертой главе исследуются факторизуемость С-расширений и её сохранение в сторону эквивариантного образа.

Материал четвертой главы основан на результатах работ [10] и [12]. Основными результатами главы являются: теорема 4.1.1, предложение 4.1.3, следствие 4.1.2.

• Предложение 4.1.2 Пусть Н — всюду плотная С -вложенная подгруппа группы С и а — ограничение действия а^: С х С ^ С на Н х С. Тогда из К-факторизуемости в категории С-ТуеЬ С-пространства (Н, С, а) следует К-факторизуемость группы Н.

• Следствие 4.1.2 Пусть С — РТ-группа. Тогда С-пространство (С, дС, ам) — К-факторизуемо в категории С-ТуеЬ тогда и только тогда, когда С — К-факторизуемая группа, где ам — ограничение на С х дС действия

• Предложение 4.1.3 Всякое С-пространство с ш-узкой действующей группой и компактным фазовым пространством является К-факторизуемым в категории С-ТуеЬ.

• Теорема 4.1.1 Пусть С-пространство (С^, а) — К-факторизуемо в категории С-ТуеЬ. Тогда любое С-расширение (С, XXАх, а) по вполне ограниченной эквиравномерности Ах является К-факто-

ризуемым в категории С-ТуеЬ тогда и только тогда, когда существует гомоморфизм п: С ^ К на ы-узкую группу К и выполняется соотношение Ап ^ Ах.

• Следствие 4.1.5 Пусть X — компактное пространство. С-про-странство (С,X, а) с открытым транзитивным действием некоторой группы С является К-факторизуемым в том и только том случае, когда X — факторпространство ы-узкой группы.

• Теорема 4.2.1 Пусть (п,/) — эквивариантное отображение С-пространства (С^, а) на С-пространство (К, У, в), где С и К

— ы-узкие Р-группы, а и в — й-открытые действия. Тогда если (С^, а) — К-факторизуемо, то и (К, У, в) — К-факторизуемо.

• Теорема 4.2.2 Пусть (п, /) — эквивариантное отображение т-факторизуемого соответственно К-факторизуемого (М-фактори-зуемого) С-пространства (С^, а) на С-пространство (К, У, в), причём п, / — й-открытые отображения, а — й-открытое действие, С — ы-узкая (ы-уравновешенная) группа. Тогда (К, У, в)

— т-факторизуемое соответственно К-факторизуемое (М-факто-ризуемое) С-пространство.

• Следствие 4.2.1 Пусть (С, X, а) — С-пространство с й-открытым действием ы-узкой (ы-уравновешенной) группы. Тогда если С-пространство (С, X, а) — т-факторизуемо соответственно К-фак-торизуемо (М-факторизуемо), то и С-факторпространство (С/Х, X/AГx, в) — т-факторизуемо соответственно К-факторизуемо (М-факторизуемо).

Предложение 4.1.2 устанавливает связь между К-факторизуемостью в категории С-ТуеЬ С-пространства (Н, С, а) и К-факторизуемостью подгруппы Н группы С. Как следствие, в случае К-факторизуемой

группы С, С-пространство (С, дС, ам) является К-факторизуемым в категории С-ТуеЬ, где дС — пополнения группы С по Дьедонне (следствие 4.1.2). Предложение 4.1.3 обобщает теорему 8.1.1 [2]: если / — непрерывная вещественная функция на компактной топологической группе С, то существует такой замкнутый нормальный делитель N группы С, что факторгруппа G/N метризуема и функция ] постоянна на каждом смежном классе. Теорема 4.1.1 даёт необходимые и достаточные условия сохранения К-факторизуемости в категории С-ТуеЬ при переходе к С-компактификации. В доказательствах предложения 4.1.3 и теоремы 4.1.1 использовалась лемма 4.1.1, которая является обобщением факторизационной теоремы (для факторизации по весу равномерности) в случае С-пространств (см. теорему 2.5 [14]). Теорема 4.2.1 и теорема 4.2.2 дают частичный ответ на вопрос: сохраняется ли К-факторизуемость С-пространства эквивариантны-ми отображениями? Для топологических групп вопрос о сохранении К-факторизуемости непрерывными гомоморфизмами открыт. Следствие 4.2.1 обобщает теорему 8.4.2 [2]: факторгруппа К-факторизуемой группы К-факторизуема.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям: профессору К.Л. Козлову за постановку задачи и научные идеи и профессору Ю. В. Садовничему за поддержку, постоянное внимание к работе и ценные советы. Автор глубоко благодарен профессору В. И. Пономарёву за преподавание основ общей топологии и плодотворные дискуссии. Автор благодарен всему коллективу кафедры общей топологии и геометрии за творческую атмосферу и научную поддержку в процессе написания диссертации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Мартьянов Евгений Вячеславович, 2019 год

Литература

[1] Л. С. Понтрягин, Непрерывные группы. М.: Наука, 1973.

[2] A. V. Arhangel'skii, M. G. Tkachenko, Topological groups and related structures, Atlantis Press, Paris, 2008.

[3] Е. В. Щепин, Вещественные функции и канонические множества в тихоновских произведениях и топологических группах, УМН, 31:6 (192), 1976, 17-27.

[4] M. G. Tkachenko, Factorization theorems for topological groups and their applications, Topol. Appl. 38 (1) (1991), 21-37.

[5] M. G. Tkachenko, Subgroups, quotient groups, and products of R-factorizable groups, Topol. Proc. 16 (1991), 201-231.

[6] A.V. Arhangel'skii, Topological groups and C-embeddings, Topol. Appl., 115 (3), 2001, 265-289.

[7] M. Sanchis, M. G. Tkachenko, R - factorizable paratopological groups, Topol. Appl., 157, N 14, 2010, 800-808.

[8] A.V. Arhangel'skii, J. van Mill, Topological Homogeneity in Recent Progress in General Topology III, Ed. K.P. Hart, J. van Mill, P. Simon, Atlantis Press 2014, 1-68.

[9] K. L. Kozlov, R - factorizable G - spaces, Topol. Appl., 227 (3), 2017, 146-164.

[10] Е. В. Мартьянов, Характеризация R-факторизуемых G-пространств, Вест. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика., № 2, 2017, 7-12. Импакт-фактор: РИНЦ - 0,264; Scopus - 0,111.

[11] Е. В. Мартьянов, Эквиравномерные факторпространства, Мат. Зам., 104 (6), 2018, 872-894. Импакт-фактор: РИНЦ - 0,795; Scopus - 0,380; Web of Science - 0,612.

[12] Е. В. Мартьянов, R-факторизуемость G-пространств в категории G-Tych, Изв. РАН. Сер. матем., 83, № 2, 2019, 126-141. Импакт-фактор: РИНЦ - 0,727; Scopus - 0,660; Web of Science - 1,030.

[13] W. Kulpa, Factorization and inverse expansion theorems for uniformities, Colloq. Math., 21 (2), 1970, 217-227.

[14] M. G. Megrelishvili, Compactification and factorization in the category of G-spaces, Categorical Topology and its Relation to Analysis, Algebra and Combinatorics (J. Adamek, S. MacLane, eds.), World Scientifics, Singapore, 1989, 220-237.

[15] К.Л. Козлов, В. А. Чатырко, Топологические группы преобразований и компакты Дугунджи, Мат. Сб., 201, № 1, 2010, 103-128.

[16] К. L. Kozlov, Spectral decompositions of spaces induced by spectral decomposi-tions of acting groups, Topol. Appl., 160 (11), 2013, 1188-1205.

[17] L.H. Xie, S. Lin, R - factorizability and uniform continuity in topological groups, Topol. Appl., 159, N 11-12, 2012, 2711-2720.

[18] L.H. Xie, S. Lin, M. G. Tkachenko, Factorization properties of paratopological groups, Topol. Appl., 160, N 14, 2013, 1902-1917.

[19] R. Engelking, General topology, Sigma Ser. Pure Math. 6, Hendermann Verlag, Berlin, 1989.

[20] J. R. Isbell, Uniform Spaces, Math. Surveys, vol. 12, American Mathematical Society, Providence, RI, 1964.

[21] W. Roelcke, S. Dierolf, Uniform structures on topological groups and their quotients, McGraw-Hill, New York, 1981.

[22] K. Л. Козлов, В. А. Чатырко, О бикомпактных G-расширениях, Мат. Зам., 78 (5), 2005, 695-709.

[23] J. De Vries, On the existence of G-compactifications, Bull. Acad. Polon. Sci. Ser. Math. Astronom. Phys., 26 (3), 1978, 275-280.

[24] V. A. Chatyrko, K. L. Kozlov, The maximal G-compactifications of G-spaces with special actions, Proceedings of the Ninth Prague Topological Symposium (Prague, Czech Republic, 2001), Topol. Atlas, North Bay, ON, 2002, 15-21.

[25] В.В. Успенский, Компактные фактор-пространства топологических групп и спектры Хейдона, Мат. Зам., 42 (4), 1987, 594-602.

[26] J. De Vries, Topological transformation groups 1. A categorical approach, Mathematisch centrum, Amsterdam, 1975.

[27] М. Г. Мегрелишвили, Тихоновское G-пространство, не обладающее бикомпактным G-расширением и G-линеаризацией, УМН 43 (2), 1988, 145-146.

[28] L. R. Ford, Homeomorphism groups and coset spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 77 (1), 1954.

[29] M. G. Megrelishvili, Free topological G-groups, New Zealand Journal of Mathematics, 25, 1996, 59-72.

[30] N. Antonyan, S. Antonyan, K. L. Kozlov, Coset spaces of metrizable groups; arXiv: math.GN/1711.10015

[31] M. G. Tkachenko, Introduction to topological groups, Topol. Appl., 86 (3), 1998, 179-231.