Индуктивные топологические инварианты, определяемые через перегородки, и объединения множеств тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.04, доктор физико-математических наук Чатырко, Виталий Альбертович

• Чатырко, Виталий Альбертович
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Чатырко, Виталий Альбертович

0.1 Введение.

1 Размерность V-'md (P-trind) и ее частные случаи

1.1 Определения и взаимоотношения.

1.2 Теорема сложения для замкнутых множеств.

1.3 Неограниченность функций trcmp и tried в метризуемых'пространствах

2 Размерность ind (trind) в общих пространствах

2.1 Теоремы сложения.

2.2 Теоремы произведения.

2.3 Вопросы Энгелькинга (Engelking) о совпадении размерностей ind и Ind

2.4 Неравенство Урысона и размерность ind о.

3 Размерность trind в сепарабельных метризуемых пространствах

3.1 Размерность trind у специальных объединений.

3.2 Размерность trind у специальных произведений.

3.3 Ординальные произведения.

3.4 Размерностные свойства компактов Смирнова.

4 Функция сшр в сепарабельных метризуемых пространствах

4.1 Функции Стр, Сотр и def.

4.2 Проблема де Гроота (de Groot).

4.3 Проблема Аартса (Aarts) и Нишиуры

Nishiura).

5 Мощность объединения замкнутых множеств и размерность

5.1 Функции мощности rrijc(d ,(3, а) и Mjc(d,/?, а)

5.2 Вычисление функций мощности.

5.3 Аддитивные размерностные функции.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Индуктивные топологические инварианты, определяемые через перегородки, и объединения множеств»

Одной из основных функций классической теории размерности является малая индуктивная размерность ind, независимо определенная Урысоном и Менгером (Menger) в начале 1920'х годов.

Пусть X есть регулярное Т\-пространство, а п целое число > — 1. Тогда i) indX — — 1 тогда и только тогда, когда X = 0; ii) indX < п > 0, если каждая точка в X обладает произвольно малыми открытыми окрестностями V с indBdV < п — 1 здесь BdA обозначает границу мноо/сества А в пространстве X).

Альтернативно в определении размерности ind вместо границ открытых множеств можно использовать перегородки между точками и произвольными замкнутыми множествами, их не содержащими.

Хорошо известно, что для сепарабельных метризуемых пространств размерность ind совпадает с двумя другими известными функциями, лебеговой размерностью dim и большой индуктивной размерностью Ind. Поэтому в случае сепарабельных метризуемых пространств в классической теории размерности говорят просто о размерности пространства.

Вне класса сепарабельных метризуемых пространств функции ind, Ind и dim вообще говоря различны. К примеру, широко известно, что для всякого нормального Ti-пространства X справедливы неравенства indX < IndX, dimX < IndX, и для любых трех целых чисел l,m,n : п > I > 0, п > т > 0, а также для п — т = I — 0, существует такое нормальное Ti-пространство L(l, т, п), что ind L(l, m, п) — I, dim L(l, m, n) = m, Ind L(l, m,n) = n (см. [6]) напомним, что если dimX = 0 для нормального Ti-пространства X, тогда IndX — 0).

Поведение размерности в сепарабельных метризуемых пространствах описано в литературе очень хорошо, как и поведение лебеговой размерности dim и большой индуктивной размерности Ind в нормальных Ti-пространствах (см. например, [1], [73] или [51]). Что касается малой индуктивной размерности ind, то обычно она находилась при обсуждении "в тени", после dim и Ind.

В этой работе мы сделаем наоборот и больше внимания уделим результатам именно о размерности ind и ее "родственницах".

Одной из последних является малая индуктивная степень компактности cmp, рассмотренная де Гроотом (de Groot) в [54]. Ее определение можно получить из определения размерности ind заменой в пункте (i) условия: X = 0, на условие: пространство X компактно.

Появление функции стр было стимулировано приведенным ниже результатом де Гроота (de Groot) от 1942 года, который дает внутреннюю харак-теризацию сепарабельного метризуемого пространства, имеющего метризуе-мую компактификацию с размерностью нароста < 0, и последующей попыткой его обобщения.

А именно:

Пространство X имеет метризуемую компактификацию с размерностью нароста < 0 тогда и только тогда, когда для каждой точки р £ X и для каждого замкнутого множества А С X, не содержащего р, в пространстве X между точкой р и мнооюеством А найдется компактная перегородка.

Другая функция, участвовавшая в обобщении, есть дефект компактности def, определяемый равенством defX = min{dim(y \ X) : Y метризуемая компактификация X}, для всякого сепарабельного метризуемого пространства X.

Следуя классической теории размерности, де Гроот (de Groot) определил также с помощью перегородок между дизъюнктными замкнутыми множествами аналог размерности Ind, большую индуктивную степень компактности Сшр, при следующем базисе индукции: СтрХ = п, п = -1,0 тогда и только тогда, когда стрХ = п.

Хорошо известно (см. [26]), что стрХ < СтрХ < defX < indX для всякого сепарабельного метризуемого пространства X (отметим, что условие cmp X = 0 влечет равенство def X = 0), и имеются примеры таких подмножеств У, Z евклидова пространства R4, что cmp Y < Cinp Y и Cmp Z < def Z.

В [66] Лелек (Lelek) предложил обобщить определения малой индуктивной размерности ind и малой индуктивной степени компактности cmp.

Напомним его подход.

Пусть X есть регулярное Т\-пространство, п целое число > —1, а V непустой класс топологических пространств, содержащий любое пространство гомеоморфное всякому замкнутому подмножеству любого из своих элементов (пустое множество является элементом V по определению).

Тогда малая индуктивная размерность по модулю V V-indX пространства X определяется так. i) V-indX = — 1 тогда и только тогда, когда X G V; ii) V-indX < п > 0, если каждая точка в X обладает произвольно малыми открытыми окрестностями V с V-indBdV < п — 1.

Альтернативно в определении размерности Т^-ind вместо границ открытых множеств можно использовать перегородки между точками и произвольными замкнутыми множествами, их не содержащими.

Легко видеть, что если V = {0}, тогда P-indX = indX, а если V есть класс всех компактных пространств, тогда V-'mdX = cmpX.

Другие частные случаи функции P-ind обсуждаются в [26].

Также в начале 1920'х годов Урысон заметил, что можно рассмотреть естественное трансфинитное продолжение размерности ind, трансфинитную малую индуктивную размерность trind. (Формальное определение функции trind было дано Гуревичем (Hurewicz) в [59].)

Размерность trind является одной из основных функций трансфинитной теории размерности.

Напомним, что большая индуктивная размерность Ind также может быть естественно продолжена на трансфинитные числа. Трансфинитная большая индуктивная размерность trind является другой популярной функцией трансфинитной теории размерности.

Хорошо известно (см. [51]), что trindX < trindX для всякого нормального Ti-пространства X, и существуют метризуемые компакты, для которых trind ф trind.

Отметим, что размерность dim продолжается на трансфиниты различными способами. Обычно используется какая-либо характеризация размерности dim, которую можно естественным образом продолжить на ординальные числа (см. например, [28], [29]).

По аналогии с размерностью ind малая индуктивная степень компактности сшр допускает естественное трансфинитное продолжение, трансфинитную малую индуктивную степень компактности trcmp.

Первый результат о функции trcmp был получен Э. Пол (Е. Pol) в [78].

Большая индуктивная степень компактности Стр также естественно продолжается на трансфиниты, причем для всякого нормального Ti-пространства X имеет место неравенство trcmp X < trCmp X.

Дефект компактности def продолжается на ординальные числа различными способами.

В [33] Хараламбус (Charalambous) рассмотрел естественное трансфинитное продолжение размерностной функции P-ind, трансфинитную малую индуктивную размерность по модулю V "P-trind.

Заметим, что если Р = {0}, тогда P-trindX = trindX, а если V есть класс всех компактных пространств, тогда P-trind X = trcmpX.

Другие частные случаи функции P-trind можно найти в [33] и [45].

Все перечисленные функции будем называть размерностными функциями.

Напомним, что результат дающий оценку размерностной функции от объединения множеств (произведения пространств) в терминах этой размерностной функции от участвующих в операции множеств (пространств) называется теоремой сложения (произведения).

Можно говорить о конечных, счетных и других теоремах сложения в зависимости от типа объединения.

Хорошо известно, что для сепарабельных метризуемых пространств X — UjZiXi, Y и Z справедливы следующие теоремы сложения и произведения для размерности, выписанные здесь с использованием функции ind:

1) indX = sup{indXj}, если все мноэюества X.-L замкнуты в пространстве X счетная теорема слооюения для размерности для замкнутых множеств);

2) тах{гЫУ, indZ} < ind(Y х Z) < indY + indZ.

Вне класса сепарабельных метризуемых пространств аналоги этих утверждений для размерности ind (Ind) вообще говоря не верны. Уже в классе компактных пространств известны примеры таких пространств L = L\ U L2 (пример Локуциевского [7]) и F\,F2 (пример Филиппова [15]), что

3) indL — 2 IndL), причем для каждого значения индекса г множество Li замкнуто в пространстве L и ind Li = 1 (= Ind Li);

4) ind{Fi x F2) > 4, mdFx = 1 (= IndF{) и indF2 = 2 (= IndF2).

Отметим, что для функции cmp (Cmp) аналогов утверждений (1), (2) не существует. К примеру,

5) пространство являющееся объединением на евклидовой плоскости R2 двумерного открытого диска и одной точки из его границы, имеет стр Щ = 1 и Mooicem быть представлено в виде объединения двух замкнутых подмножеств, имеющих стр — 0 (= Стр), см. [26, Пример 1.5.10.f].

Кроме того (см. также [26]),

6) для всякого целого числа п > 1 имеем cmp(Q xln) = n (= Cmp(Q х Г)), где Q есть пространство рациональных чисел (стр Q — 0 (= Стр Q)), а 1п n-мерный куб (cmpl71 = —1 (= CmpI11)).

Напомним также результат Левшенко [5], утверждающий, что

7) компакт Смирнова 5Wo+1; являющийся произведением отрезка и одноточечной компактификации топологической суммы всех конечномерных кубов и имеющий trindSШо+1 =и0 + 1(= trlndS^1), может быть представлен в виде объединения двух замкнутых под-мноэюеств, имеющих размерность trind (trlnd) равную щ каждое.

То есть аналог утверждения (1) для трансфинитной размерности trind (trlnd) также не верен.

Заметим однако, что как для размерности ind и ее трансфинитного продолжения trind (см. [51]), так и для функции стр (см. [55]) хорошо известны конечные теоремы сложения для замкнутых множеств в общих пространствах, предлагающие верхние оценки.

Эти результаты были обобщены Хараламбусом (Charalambous) в [33] следующим образом.

Пусть X = Х\ UX2 есть регулярное Т\-пространство, являющееся объединением двух своих замкнутых подмножеств Xi,i = 1,2, aV допустимый класс топологических пространств. Если 012 есть ординальные числа >0 и V-trind Х{ < di для каждого г — 1,2, тогда

V-trindX < { max{aь^г} , если A(<*i) ф А(а2), ^ max{ai, с^} + + ^(^2) + 1 , если A(c*i) = А^).

Напомним, что каждое порядковое число а можно представить в виде суммы а = А(а) + 7г(а), где А (а) есть предельное число или 0, а п{а) целое число >0.)

Однако это неравенство не является, как будет показано ниже во введении, рабочим, а значит удовлетворительным.

Данная работа основана на новой теореме сложения для размерностной функции V-tfmd для замкнутых множеств в классе регулярных Ti-пространств, предлагающей верхнюю оценку для функции "P-trind от конечного объединения более эффективную, чем оценка Хараламбуса (Charalambous).

Теорема получена путем аккуратного выбора перегородок между точками и замкнутыми множествами, их не содержащими, с последующей комбинацией свойств монотоности размерностной функции P-trind с теоремой сложения для открытых подмножеств.

Частные случаи этой теоремы для размерностей ind (trind), cmp (trcmp) хорошо согласуется с упомянутыми выше примерами (3), (5), (7). Эти утверждения широко применяются в диссертации при доказательствах различных теорем сложения (для указанных размерностных функций), произведения (случай размерности ind (trind)), а также для построения пространств с различающимися размерностными функциями trind и trind , cmp и Cmp.

Распределение результатов по 5 главам следующее.

Основным результатом 1ой главы является упомянутая выше теорема сложения для размерностной функции P-trind.

Теорема 1.2.1 Пусть X = Х\ U Х2 есть регулярное ТУ-пространство, являющееся объединением двух своих замкнутых подмножеств Х^г — 1,2. i) ((40]) Если п есть целое число > 0 и V-indXi < п для каэ/сдого i — 1,2, тогда V-indX <п-Ь 1.

И) Если ai,cn2 есть ординальные числа > 0 и V-trindXi < oci для каждого г — 1,2, тогда

Продолжение теоремы сложения на случай конечного числа слагаемых звучит так.

Следствие 1.2.1 Пусть X = есть регулярное Т\-пространство, являющееся объединением своих замкнутых подмножеств X^i = 1, .,п + 1, п > О, и т такое целое число, что п < 2т — 1. г) (Ц0]) Если q есть целое число > 0 и max{V-indXk} < q, тогда V-indX <

И) Если а есть ординальное число > и тах{Р-trind Xk} < а, тогда V-trindX < а + т.

Теоремы сложения для замкнутых множеств для размерностей ind (trind) ([37], [46]) и cmp (trcmp) ([40]) получаются простой заменой 7^-ind (TMrind) в указанных выше результатах на соответствующую пару. если A(ai) ф А(о;2), , если A(ai) = A(q;2). q + m.

Напомним, что эти утверждения существенно улучшают известные ранее соответствующие теоремы сложения для ind, trind , cmp из [51], [26].

Отметим (см. [45]), что даже в классе сепарабельных метризуемых пространств существует cji-штук различных частных случаев трансфинитной малой индуктивной размерности по модулю V P-trind.

Мотивацией присутствия произвольного ординального числа а в теореме сложения для замкнутых множеств для размерности trind является существование пространств (даже метризуемых) размерности trind = а (доказано независимо Пасынковым [75] и Хаттори (Hattori) [56]).

Следующее утверждение из главы 1 усиливает этот результат и одновременно дает аналогичную мотивацию для функций trcmp и tried (другой частный случай "P-trind, когда V есть класс пространств метризуемых полной метрикой).

Теорема 1.3.1 ([43]) Для всякого порядкового числа а существует такие метризгуемые пространства Ya и Za, что trcmp Ya = tried Za = a, a trind Ya, trind Za Ф oo.

Заметим, что неравенства tried X < trcmp X < trind X верны для любого метризуемого пространства X.

В главе 2 рассматриваются различные теоремы сложения и произведения для размерности ind в общих пространствах. Аккуратный выбор перегородок между точками и замкнутыми множествами, их не содержащими, важен и здесь.

Хорошо известно (см. [51]), что

8) ind(X 1UX2) < indXi + indX2 + 1, если пространство Х\ {JX2 наследственно нормально; кроме того, для всякого целого числа п > 1 и любых целых чисел p,q > О с условием р + q + 1 = п можно найти такие подмножества А, В евклидова пространства %п, что 1Zn = A U В и ind А = р, ind В = q.

Заметим, что утверждение (8) не имеет аналога для функции cmp (к примеру, пространство из утверждения (5) имеет значение cmp = 1 и одновременно является дизъюнктным объединением компактного (cmp = —1) и локально компактного (cmp = 0) подпространств).

Естественно попытаться понять, что можно сказать о размерности ind от объединения X1UX2, не являющегося наследственно нормальным пространством.

Пусть d есть размерностная функция, монотонная по замкнутым подмножествам. Говорят, что в пространстве X имеет место конечная теорема суммы для d в размерности к > 0 (кратко, KTC(d, к)), если для любой пары замкнутых подмножеств F\, F2 пространства X с d F\, d F2 < к справедливо d (Fi U F2) < к.

Если в пространстве X КТС(d, к) имеет место для каждого к > 0, тогда говорят, что в X имеет место конечная теорема суммы для размерности d (кратко, KTC(d)).

Одной из доказанных в главе 2 теорем сложения, имеющей также трансфинитный аналог, является

Теорема 2.1.1 ([44]) Пусть регулярное Ту-пространство X есть объединение двух непустых множеств Х\ и Х2 с IndX\ = п и IndX2 = т, где п,т есть целые числа > 0. Тогда г) indX < 2(п + т + 1); и более того, ii) indX < п + m + 1, если в пространстве X имеет место КТС (ind).

Пока не известно можно ли заменить в указанном выше результате у слагаемых Х\ и Х2 размерность Ind на размерность ind.

Отметим, что для "родственницы" размерности ind, индуктивной размерности ind о, введенной независимо Филипповым (см. [3]) и Хараламбусом (Charalambous) [31] и совпадающей с размерностью ind в классе совершенно нормальных пространств, в главе 2 строится такое компактное и наследственно нормальное пространство S, что indoS1 = 00, и одновременно пространство S есть объединение двух всюду плотных дизъюнктных подмножеств с ind о = 0 (см. Следствие 2.4.5).

Заметим также, что для размерности ind подобный результат невозможен, так как имеет место

Теорема 2.1.4 ([34]) Если регулярное Т\-пространство X есть объединение Х\ U . U Хп+1, где для каэюдого г = l,.,n+ 1 подмножество X-t или всюду плотно в пространстве X и имеет размерность indXi = 0, или дискретно в себе, тогда indX < п.

Напомним также, что в [84] Церетели построил пример вполне регулярного, ненормального пространства Т с IndT > 2, являющегося объединением двух своих подмножеств Т\, Т2 с Ind 7] = 0 для каждого % — 1,2. Причем множество Т\ всюду плотно в Т, а множество Т2 дискретно в себе.

Хорошо известно, что

9) если в пространствах X и У имеет место KTC(ind), тогда ind(X xY) < indX + indY доказано Пасынковым [10] для вполне регулярных пространств и Басмановым [2] для регулярных Ту-пространств)

Положим для каждого пространства X

Наиболее общая теорема произведения из главы 2 звучит так

Теорема 2.2.2 ([44]) Пусть X uY есть непустые топологические пространства с indX = п и indY = т. Пусть также

Заметим, что значение к — 0 в этой теореме соответствует случаю общих пространств (утверждение имеет трансфинитный аналог, [46]), значение к = 1 покрывает ситуацию, когда сомножители являются компактами (в этом случае утверждение хорошо согласуется с утверждением (4)) ([46]), значение к — оо соответствует утверждению (9).

Далее в главе 2 обсуждается вопрос, когда выполнение KTC(ind) в пространстве гарантирует совпадение размерностей ind и Ind. В частности, дается положительный ответ (см. Следствие 2.3.4) на вопрос поставленный Эп-гелькингом (Engelking) [51, стр. 165]. Напомним его.

Хорошо известно, что indX = IndX, если X е К, ПМ, где К. есть класс компактных пространств, а М класс метризуемых пространств.

Дальнейшие усиления этого утверждения были связаны с расширениями классов К и М. Так Мизоками (Mizokami) в [70] доказал совпадение ind и Ind для пары: (порядково тотально паракомпактные пространства и тотально нормальные пространства), а Энгелькинг (Engelking) в [51] для пары: (а-тотально паракомпактные пространства и сильно наследственно нормальные пространства).

Напомним (см. [51]), что cr-тотально паракомпактные пространства являются порядково тотально паракомпактными, а тотально нормальные пространства являются сильно наследственно нормальными.

КТС (d,X) оо, если KTC(d) имеет место в пространстве X; minjfc > 0 : KTC(d , к) не имеет места в X}, иначе.

KTC(ind,X), KTC{ind,Y) > к для некоторого к = 0,1,. или оо. Тогда если 71 — 0, или m = 0, или п,т < к, иначе.

Энгелькинг (Engelking) спрашивал будет ли справедливо равенство ind X — Ind X для всякого порядково тотально паракомпактного сильно наследственно нормального пространства X.

В главе 3 рассматривается поведение размерности trind в классе сепарабельных метризуемых пространств, при этом в доказательствах утверждений наряду с частным случаем Теоремы 1.2.1 для размерности trind используются развитые здесь методы специальных и оптимальных разложений.

Хорошо известно (см. [51]), что для всякого порядкового числа а < соi существуют такие метризуемые компакты Ха. Ya, что

XQ = иZiXa,i, Ya = ии trind XQ = trind yQ = a, где подмножества компактны и конечномерны для каждого значения индекса г.

Это утверждение показывает, что для трансфинитных размерностей trind и trind в классе метризуемых компактов в общем случае нет счетной теоремы сложения для замкнутых множеств.

Однако когда счетные объединения замкнутых множеств имеют особый вид, удовлетворительные счетные теоремы сложения для размерностей trind и trind существуют.

Разложение X = FU Ц^Д метрического пространства X на дизъюнктные множества называется А-специальным (В-специальным), если множества Ei открыто-замкнуты в пространстве X ( Ei открыто-замкнуты в X и Ишп-юо S(Ei) = 0, где 6(A) есть диаметер множества А).

Первая теорема сложения для Б-специальных разложений для размерностей trind и trind из главы 3 звучит так.

Теорема 3.1.1 ([37]) Пусть а есть ординальное число > 0, а

X = FUUZlEi

В-специальное разложение метрического пространства X. Тогда (г) trindX < а, если sup{trindF, trindE.j} < a; ii) trlndX < a, если sup {trind F, trind E{} < а, а пространство X есть метрический компакт.

Следующее утверждение связывает указанные типы специальных разложений.

Лемма 3.1.1 ([37]) Пусть X есть компактное метрическое пространство и X = F U U^Ei есть А-специальное разложение пространства X на дизъюнктные непустые подмножества, причем dimF — п > 0. Тогда X = Uгде каждое множество Zk замкнуто в пространстве X и допускает В-специальное разложение Zk = FUU^Ej с условием: включение Е* С Ei имеет место лишь для конечного числа индексов j при каждом г.

Теорема 3.1.1 вместе с Леммой 3.1.1 и частным случаем Теоремы 1.2.1 для размерности trind позволяет доказать следующую теорему сложения для А-специальных разложений для размерности trind.

Теорема 3.1.2 ([37]) Пусть X есть компактное метрическое пространство и а ординальное число > щ. Тогда справедливо следующее. i) Если X — FUD^Ei есть такое А-специальное разложение пространства X, что dim F = п > 0, sup {trind Ef} <аип< 2m - 1 для некоторого целого числа т, тогда trindX < а + т. и) Если F есть такое замкнутое подмножество пространства X, что dim F = п > 0, sup {trindxX :xeX\F}<aun< 2т - I для некоторого целого числа т, тогда trindX < а + т + 1.

Приведенные выше теоремы сложения для специальных объединений можно использовать при построении примеров пространств с различающимися размерностями trind, trind и D (размерность Хендерсона (Hendersson), [58]) ([37], [39], [35]), для доказательства любопытных теорем произведения ([39]) и многого другого.

Например, хорошо известно (см. [51]), что dim(X х Ih) — dimX 4- к для всякого нормального пространства X. Однако для трансфинитной размерности trind, как было впервые показано Люксембургом [8] на примере пространства SWo+3 = 0+2 х / (определение см. ниже), такого равенства быть не может. (Напомним, что trind SWo+3 — trind 5Wo+2 = ljq + 2.)

В диссертации предлагается более сильный результат.

Теорема 3.2.2 ([39]) Пусть X есть компактное метризуемое пространство и trind X = а> шо. Пусть также подпространство F =

X \ {х е X : существует такая открытая окрестность Ох точки х, что trind Ox < A(a)} пространства X конечномерно. Тогда найдется такое целое число ^(dimF), что trind (X х Y) < trind X + dim У для всякого конечномерного сепарабельного метризуемого пространства Y с dimF > fc(dimF).

Другим приложением специальных теорем сложения является результаты о размерностных свойствах компактов Смирнова, являющихся источником всевозможных примеров в трансфинитной теории размерности.

Напомним ([13]), что компакты Смирнова 5°, S1,., Sa,., а < loi, определяются следующим образом трансфинитной индукцией: i) S° есть одноточечное пространство, ii) Sa = S13 х /, если а = /? + 1, и iii) если а есть предельное порядковое число > и/о, тогда Ы U ®(3<aS^ есть одноточечная компактификация свободной суммы всех предшествующих компактов Смирнова S13, (3 < а, где *Q есть компактифицирующая точка.

Очевидно, каждый компакт Смирнова Sa, где а > ujq, допускает такое А-специальное разложение Sa = F U U^Ei, что dimF = п(а) > 0 и для каждого значения индекса г множество Ei гомеоморфно компакту при некотором (3 < \(а).

Хорошо известно (см. [51]), что trlnd Sn = а для любого ординального числа а < ш\ и sup{trind : а < =

Однако чему равно точное значение trind Sa для всякого числа а < до сих пор неизвестно.

В [67] Люксембург доказал, что для каждого < а < с п(а) > 3 имеет место неравенство trind Sa < А (а) + [П(^+2] < а,

Lj где [х] обозначает целую часть действительного числа х. В частности, trind = ш0 + 2.

Последний результат интересен тем, что это первый пример метризуемого компакта с различающимися трансфинитными индуктивными размерностями trind и trind ([8]).

Напомним, что trind Sw° = trind Su° = uj0 и trind S^0*1 = trind 5Wo+1 = щ +1.)

В главе 3 приводится существенное усиление результата Люксембурга, полученное с помощью Теоремы 3.1.2. А именно:

Теорема 3.4.1 ([37]) Пусть а есть ординальное число > щ. Тогда trind Sa < А(а) + m, где т есть любое целое число, удовлетворяющее неравенству п(а) < 2т—1.

Напомним теорему Хаттори (Hattori) (см. [51]), утверждающую, что

10) для всякого нормального Т\-пространства X, являющегося объединением двух своих замкнутых подмноэюеств Х\ и Х2 с trindXi < аг-, г = 1,2, и а2 > ах > 0; справедливо неравенство trlndX <(<*2 , , '6СЛИ I а2 + щаi) + 1 , если A(ai) = А(си2).

Это утверждение мотивирует следующее определение.

Пространство X с trind X = а > щ назовем оптимально Х(а)-разлоэ1симым в смысле размерности trind, если X = где для каждого значения индекса г множество X; замкнуто в пространстве X и trind Xj = A(a).

Очевидно, если пространство X с trind X = а оптимально А(а)-разложимо в смысле размерности trind и! = где для каждого значения индекса i множество Xj замкнуто в пространстве X и trind Xi — А (а), то всякое объединение U = U^/Xj, где 0 < k < n(a), оптимально А(а)-разложимо в смысле размерности trind и имеет trind U = A(a) + к.

Воспользовавшись частным случаем Следствия 1.2.1 для размерности trind, получаем

Предложение 3.4.2 Пусть X есть оптимально А (а) -разложимое в смысле функции trind пространство с trlndX = а > uq. Тогда trindX < А (а) + т, где т есть любое целое число, удовлетворяющее условию: 0 < п(а) <2т-1.

В частности, trindX < trlndX для всякого целого п(а) > 3.

Следующая теорема, уточняет Теорему 3.4.1 по модулю Предложения 3.4.2, обобщает утверждение (7), показывает неулучшаемость утверждения

10) (даже для сепарабельных метризуемых компактов), является источником многочисленных примеров метризуемых компактов с различающимися размерностями trind, trlnd и D.

Теорема 3.4.4 ([37]) Для всякого порядкового числа щ < а < компакт Смирнова S01 оптимально Х(а)-разложим в смысле размерности trlnd, то есть Sa = U7^+lZi, где для каждого значения индекса г множество Z{ замктуто в компакте S01 и trlndZt — \{а) моэюно считать, что множества Zi,i — 1 ,.,n + 1, не имеют изолированных точек, если п(а) > I).

На примере оптимального разложения компакта Смирнова о+з = Xi\JX2UX3UX4 легко увидеть преимущество Теоремы 1.2.1 над упомянутой ранее оценкой Хараламбуса (Charalambous).

Действительно, положим Y\ = Х\ U Х2 и У2 = -^з U Хь Заметим, что trind Y{ — trlnd Y{ = и + 1 для каждого i. Применяя теперь частный случай Теоремы 1.2.1 для размерности trind, получаем результат Люксембурга: trind SWfl+3 < (и0 + 1) + 1 < ш0 + 2. Оценка же Хараламбуса (Charalambous) не дает ничего нового: trind Sw+3 <о;0 + 1 + 1 + 1<о;0 + 3 = trlnd 5Шо+3.

Наконец в главе 3 с помощью понятия ординального произведения, обобщающего конструкцию компактов Смирнова, доказывается (см. Следствие 3.3.2 [36]), что i) d (Sa х S13) = a® f3, где d есть trlnd , D; ii) trind {Sa x SP) = trind S01®^ здесь a © (5 есть натуральная сумма ординальных чисел а, (5 ([65])).

Глава 4 посвящена главным образом поведению функции стр в конечномерных сепарабельных меризуемых пространствах. В доказательствах предложенных утверждений широко используется частный случай Теоремы 1.2.1 для функции стр, а также методы специальных и оптимальных разложений из главы 3.

Напомним (см. [26]), что после определения функций cmp,Cmp,def де Гроот (de Groot) в духе теории размерности высказал гипотезу, что cmp X — СтрХ = def-X для всякого сепарабельного метризуемого пространства X.

Эта гипотеза была опровергнута Р. Полем (R. Pol) [79], построившим пространство Р С /4, для которого cmp Р = 1, a defP = CmpP = 2.

Позднее Кимура (Kimura) [64] предложил пример пространства К С 7ZA с Cmp К = 1, a def К = 2 или 3. Этот результат был улучшен Левиным (Levin) и Сигалом (Segal) в [68], где они построили пространство Е С Rz, для которого Cmp Е — 1, a def Е = 2.

Однако задолго до этого (в 1960 г.) де Гроот (de Groot) сам предложил последовательность пространств Zn, п> 1, в качестве источника возможных контрпримеров к своей гипотезе. А именно: для всякого целого числа п > 1 пространство Zn получается из замкнутого (п + 1 )-мерного куба In+1 выбрасыванием комбинаторной внутренности одной из его n-мерных граней.

Почти сразу же было доказано (см. [55]), что def Zn = Cmp Zn = n для всех n > 1, и cmp Zn = n для n < 2.

Поэтому де Гроот (de Groot) поставил вопрос о справедливости равенства cmp Zn = п для всякого п > 3.

Этот вопрос был повторен, в частности, Исбэллом (Isbell) [60], Р. Полем (R. Pol) [81], Аартсом (Aarts) и Нишиурой (Nishiura) [26] (см. также [55]).

Глава 4 начинается с доказательства теоремы сложения для функции Cmp для замкнутых множеств, в которой опять важен аккуратный выбор перегородок.

Теорема 4.1.1 ([40]) Пусть X = Х\ U Х^ есть нормальное пространство, являющееся объединением двух своих замкнутых подмножеств Xj, i = 1,2. Тогда СтрХ < CmpXl + СтрХ2 + 1.

По аналогии с главой 3 эта теорема мотивирует следующее определение.

Пространство X с Cmp X = к > 0 назовем оптимально 0-разложимым в смысле функции Стр, если X — U^Xi, где для каждого индекса г множество X/ замкнуто в пространстве X и Cmp Х-ь = 0.

Очевидно, если пространство X с CmpX = п является оптимально 0-разложимым в смысле функции Cmp и X = U-'^/Xj, где для каждого г множество Xj замкнуто в пространстве X и Cmp Xj = 0, тогда всякое объединение U = U^/Xj, где 0 < к < п, оптимально 0-разложимымо в смысле функции Cmp и имеет Cmp U = к.

Воспользовавшись частным случаем Следствия 1.2.1 для функции cmp, получаем

Предложение 4.1.1 Пусть X есть оптимально 0-разлоэюимое в смысле функции Стр пространство с СтрХ = п > 0. Тогда crnpX < т, где т есть любое целое число, удовлетворяющее условию: п < 2т — 1.

В частности, стрХ < СтрХ для всякого целого п > 3.

Пусть {з^Ш 1 есть такая последовательность действительных чисел, что О < Xi+i < Xi < 1 для всех г и lim^oo Xi — 0.

Положим

С71 - (Bd Г х {0}) и U?=l(In х [x2ii z2i-i]) С In+\ п > 1.

Методом специальных разложений, разработанным в главе 3, доказывается

Теорема 4.1.2 ([40]) Для всякого целого числа п > 1 справедливо следующее: г) существуют такие замкнутые подмножества Х\, Х2,., Хп+\ пространства Сп, чтоСп = U^JXfc и СтрХ к = 0 (,эквивалентно, cmpXk — 0j для каждого к = 1,2, .,n+ 1 пространства Х\, Х2, Хп+\, можно считать, без изолированных точек);

И) СтрСп — п, то есть пространство Сп является оптимально Q-разлоэюимым в смысле функции Стр.

Эта теорема вместе с Предложением 4.1.1 предлагает последовательность относительно несложных пространств с несовпадающими функциями сшр и Стр, на которой разность (Cmp — стр) стремится к бесконечности.

Кроме того, Теорема 4.1.2 показывает неулучшаемость Теоремы 4.1.1.

Легко видеть, что для всякого п > 1 пространство Zn можно представить в виде объединения двух замкнутых подпространств гомеоморфных пространству Сп.

Используя частный случай Теоремы 1.2.1 для функции стр и Предложение 4.1.1, получаем ответ на вопрос де Гроота (de Groot) для п > 5, а именно: cmp Zn < п.

Далее с помощью лебеговых замощений пространств Rn и упомянутого выше метода специальных разложений доказывается утверждение, закрывающее с помощью Предложения 4.1.1 случаи п = 4 (независимо доказано Нишиурой (Nishiura) в [72]) ип = 3.

Теорема 4.2.2 ([19]) Для всякого целого числа п > 1 пространство Zn оптимально 0-разложимо в смысле функции Стр, а именно: Zn — U^Xi, где для каждого г множество Х{ замкнуто в Zn и СтрХ{ < 0.

Из этой теоремы вытекает, что cmp Z3 = 2.

Отметим, что точное значение cmp Zn для п > 4 пока не известно.

В 1985 Харт (Hart) (см. [26, Пример 1.11.7]) обобщил упомянутый ранее пример Р. Поля (R. Pol), построив для всякого целого числа п > 3 такое пространство Нп С /2п, что cmp#n = 1, a defHn > Стр#п > п.

Используя свои пространства, Харт (Hart) показал, что разность (def — стр) на сепарабельных метризуемых пространствах может быть произвольно большой.

Аналогичный результат независимо был получен Кимурой (Kimura) [62] (см. также замечание сделанное выше после формулировки Теоремы 4.1.2).

Глава 4 завершается следующим утверждением, предлагающим усиленную версию примеров Харта (Hart).

Теорема 4.3.1 ([38]) Для любой пары полоэюительных целых чисел к и т с условием к <т существует такое пространство Х(к,т), что стрХ(к,т) = к и СтрХ(к,т) = defX(k,m) — т.

Эта теорема дает положительный ответ на [26, Проблему 6, р. 71], поставленную Аартсом (Aarts) и Нишиурой (Nishiura).

Отметим, что неметризуемые счетно компактные вполне регулярные пространства с размерностными свойствами как в Теореме 4.3.1 были впервые построены Кимурой ([61]).

В главе 5 обсуждается следующий общий вопрос.

Пусть размерность пространства известна, а само пространство можно представить в виде конечного объединения замкнутых подмножеств меньшей размерности. Что modicho сказать о количестве элементов (-мощности) такого представления?

Далее d есть размерностная функция, а (3 < а порядковые числа.

Пространство X назовем (3-разложимым в смысле размерности d, если его можно представить в виде конечного объединения замкнутых подмножеств размерности d < р. Для такого пространства X определяется целое число т(Х, d ,/?) = min{/c: X = U^X^ где для каждого значения индекса г множество Х{ замкнуто в пространстве X и dXj < /?}.

Пусть К, есть класс топологических пространств, тогда /С(с1 ,Р,а) есть подкласс класса /С, состоящий из пространств размерности d = а, которые /3-разложимымы в смысле размерности d.

Если /C(d , /?, а) ф 0, тогда положим mjc(d, (3, а) = min{m(X, d, (3) : X 6 /C(d, /?, а)},

M^(d,/?,«) = sup{m(X, d,P):X a)}.

Пусть С есть класс метризуемых компактов, V класс сепарабельпых метризуемых полной метрикой пространств, а п{р) + 1 здесь Z есть множество целых чисел).

В главе 5 изучается поведение функций d, a),Mjc(d ,(3,а). Широко используются оптимально О-разложимые в смысле функции Сшр пространства Сп с CmpCn = n, п > 1, из главы 4, а также оптимально А(а)-разложимые в смысле функции trind компакты Sa с trind Sa = а, а > и>о, из главы 3.

В частности, с помощью введенной операции удвоения пространства с модификациями доказываются следующие два утверждения.

Теорема 5.2.1 ([35]) i) Пусть 0 < т < к есть целые числа. Тогда тр(Стр,т,к) = qA(m,k) и Мр(Стр,т,к) = оо. и) Пусть (3 < а есть бесконечные порядковые числа. Тогда mc(trlnd,f),ci) = ( Ча{М' еыи т = Х{а)' v у I не существует, в противном случае

Mc(trlnd,i3,a) = { e"U = Х(-а)'

4 " ' / ^ ие существует, в противном случае

Теорема 5.3.1 ([35]) (i) Пусть 0 < п < к есть целые числа. Тогда mpiCmpu, п, к) = Мр(Стрц, п, к) = к).

И) Пусть (5 < а есть порядковые числа. Тогда mc(trlnd\j, (3, а) = Mcitrlndu, (5, а) =

Г qA((3,oc), если \(/3) = \(а), не существует, в противном случае.

Здесь Стр и и trlnd и есть две новые индуктивные размерностные функции, исследованием которых завершается глава 5.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Чатырко, Виталий Альбертович, 2007 год

1. П. С. Александров, Б. А. Пасынков, Введение в теорию размерности, М: Наука, 1973

2. В. Н. Басманов, Об индуктивных размерностях произведений пространств, Вестник МГУ, сер. Мат. Мех. 1 (1981) 17-20

3. А. В. Иванов, О размерности не совершенно нормальных пространств, Вестник МГУ, сер. Мат. Мех. 31: 4 (1976) 21-27

4. С. В. Коткин, О теореме суммы для индуктивных размерностей, Математические заметки, 52: 3 (1992) 89-95

5. Б. Т. Левшенко, Пространства трансфинитной размерности, Мат. Сб. 67 (1965) 286-289

6. И. К. Лифанов, Размерность нормальных пространств, ДАН СССР .209 (1973) 291-294

7. О. В. Локуциевский, О размерности бикомпактов, ДАН СССР 67 (1949) 217-219

8. Л. А. Люксембург, О компактах с несовпадающими транстфинитными размерностями, ДАН СССР 212 (1973) 1297-1300

9. Б. А. Пасынков, О змеевидных бикомпактах, Чехословацкий мат. журн. 13 (88) (1963) 473-476

10. Б. А. Пасынков, Об индуктивных размерностях, ДАН СССР 189 (1969) 254-257

11. Б. А. Пасынков, О размерности прямоугольных произведений, ДАН СССР 221 (1975) 291-294

12. Е. Г. Скляренко, Бикомпактные расширения и размерность, Труды Тбилисского Мат. Института, 27 (1960) 113-11414