Эволюция движения систем вязкоупругих тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Шатина, Любовь Сергеевна

• Шатина, Любовь Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шатина, Любовь Сергеевна

Оглавление

Введение

1 Эволюция движения двух вязкоупругих планет

1.1 Постановка задачи. Уравнения движения

1.2 Построение приближенных эволюционных уравнений движения двух деформируемых шаров

1.3 Стационарные движения и их устойчивость

1.4 Стационарные орбиты планет Солнечной системы

1.5 Смещение перигелия Меркурия

2 Эволюция движения двойной планеты

2.1 Постановка задачи. Уравнения движения

2.2 Построение возмущенной системы уравнений

2.3 Стационарные решения и их устойчивость

2.4 Эволюция движения системы Солнце-Земля-Луна

3 О движении трех вязкоупругих планет

3.1 Постановка задачи. Уравнения движения

3.2 Построение возмущенной системы уравнений

3.3 Аналог треугольных точек либрации в задаче о движении трех вязкоупругих планет

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эволюция движения систем вязкоупругих тел»

Введение

В настоящей работе рассматривается эволюция поступательно-вращательного движения систем деформируемых планет и спутников, моделируемых однородными изотропными вязкоупругими телами. Рассматриваются задачи о движении систем двух и трех тел, а также о движении планеты со спутником в гравитационном поле массивного деформируемого тела.

Вопрос о влиянии приливов на движение небесных тел возник давно, в первую очередь в связи с наблюдаемым замедлением вращения Земли. Впервые мысль о том, что именно приливы, вызываемые Луной, являются причиной удлинения суток, высказал философ И.Кант в эссе "Untersuchung der Frage ...", где он утверждал, что Луна создает замедляющий момент, воздействующий на поверхность Земли до тех пор, пока земной день не сравняется по длительности с лунным месяцем. Хотя в своих рассуждениях Кант учитывал лишь океанические приливы, а не приливные деформации Земли как тела, его выводы предвосхитили результаты последующих исследователей.

Позже, в 1787 году, П.С.Лаплас предпринял попытку объяснить наблюдаемые явления в терминологии механики Ньютона, не затрагивая вопросов, связанных с приливами. Однако впоследствии Делоне и Адаме пересмотрели теоретические результаты Лапласа, показав, что они сильно расходятся с уточненными к тому моменту данными наблюдений.

Первые фундаментальные работы по изучению приливов и их воздействия на движение небесных тел были созданы в конце XIX века сэром Джорджем Говардом Дарвином [42, 105, 106]. Именно идеи Дарвина лежат в основе большинства современных теорий приливной эволюции.

Вслед за Э.Рошем и У.Томпсоном, исследовавшим равновесную форму жидкого небесного тела, деформирующегося под воздействием притяжения со стороны обращающейся вокруг него точечной массы, Дарвин в своих работах по изучению приливной эволюции системы "планета-спутник" моделировал планету однородным телом, состоящим из несжимаемой вязкой жидкости, а спутник - материальной точкой, движущейся в поле тяготения планеты. В силу вязкости, которую Дарвин полагал единственным источником трения в системе, вытянутая равновесная форма деформируемого тела смещена относительно оси, соединяющей его

центр масс с центром масс возмущающего тела, что приводит к вековой эволюции поступательно-вращательного движения системы. Основываясь на этой модели, Дарвин получил приливной потенциал в виде разложения в ряд Фурье по времени, где для учета диссипации каждой компоненте приписывается запаздывание по фазе.

Рассматривая систему Земля-Луна, Дарвин проследил влияние приливного трения на ее движение в прошлом и будущем. Он пришел к заключению, что наблюдаемое удлинение суток, происходящее значительно быстрее удлинения месяца, продолжится до тех пор, пока продолжительность одного оборота Земли вокруг своей оси не сравняется со временем одного обращения Луны по орбите, составив, согласно его расчетам, около 55 современных суток. Таким образом, Луна и Земля будут обращены друг к другу одной стороной, двигаясь как твердое тело. При этом Луна будет постепенно удаляться от Земли, переходя на новую орбиту с большей полуосью. Это движение изолированной системы Земля-Луна сходно с тем, как, согласно расчетам Дарвина, двигалась система на начальном этапе эволюции, когда Земля и Луна также были обращены друг к другу одной стороной, двигаясь на очень малом расстоянии с периодом обращения от трех до пяти часов, однако, в отличие от него является устойчивым. Положение же равновесия Луны на близкой орбите Дарвин считал неустойчивым, так что за небольшим смещением ее от изначального положения следует либо падение Луны на Землю, либо быстрое от нее удаление. Однако, сам Дарвин говорил о необходимости уточнения своих рассуждений, в частности, об учете влияния солнечных приливов, разрушающих устойчивость равновесного движения системы, что приводит к приближению Луны к Земле и, в конечном итоге, обрушению на нее.

Во второй половине XX века с появлением новых данных о движении небесных тел, полученных при помощи космических аппаратов и методов радиолокационной астрономии, интерес к приливной теории возродился. В первую очередь приливная теория была призвана дать описание эволюции Земли и Луны, а также объяснить резонансное движение Венеры, Меркурия и некоторых спутников. В работах Г.Макдональда, П.Голдрайха, У.Каулы, Ф.Мигнарда, П.Хата и других авторов [39, 100-112,115, 116, 119, 123, 124, 128] был развит динамический подход к приливному трению и проведено детальное исследование оказываемых им эффектов. Их выводы относительно будущего системы Земля-Луна сходны с теми, к которым пришел Дарвин, однако, выводы о ее прошлом разнятся в зависимости от выбранной модели трения. Можно выделить две основных группы приливных моделей, получивших название приливов по Дарвину и приливов по Макдональду. В первом случае [110, 112, 119] предполагается, что угол запаздывания пропорционален скорости обращения деформируемого тела вокруг своей оси, а во втором [115, 116, 123, 124] он полагается постоянным.

В последнее время появился ряд работ [107-109, 113, 114, 118, 120-122, 125-

127, 129, 130], обобщающих и развивающих классические модели, в том числе с учетом достижений в области сейсмологии и геофизики [107]. Особый интерес проблема приливного взаимодействия представляет в связи с исследованиями космического пространства за пределами Солнечной системы. Во многих работах изучается резонансное движение планет и спутников, влияние приливных эффектов на обитаемость экзопланет [103, 114], проводится исследование эволюции планет, подобных Земле, в том числе обращающихся вокруг звезд, находящихся на более поздних стадиях эволюции, чем Солнце [126, 120], а также проводятся расчеты, позволяющие сделать предположения о внутреннем строении экзопланет [120]. Помимо этого, особенности движения наблюдаемых планет позволяют сделать выводы о наличии вблизи других небесных тел, возмущающих их обриты [121].

Проблемам эволюции движения небесных тел посвящен цикл работ В.В. Белецкого [6-12]. Действие приливов на движение тела в гравитационном поле притягивающего центра (Солнца) учитывается путем введения приливного момента, заданного формулой М = Мп25 ^

х ег] х ег, где к - некоторая положительная константа, г - расстояние от Солнца до центра масс планеты или спутника, 6 - угол запаздывания приливного горба, еш - единичный вектор по направлению угловой скорости планеты, ег - единичный вектор, направленный вдоль оси, соединяющей центр масс планеты и центр притяжения. Главным выводом из анализа эволюционных уравнений является существование предельного движения, к которому стремятся все планеты. Так, динамически симметричное тело стремится к вращению вокруг главной оси инерции, направление которой стремится совпасть с нормалью к плоскости орбиты. Для тела, динамически близкого к сфере, центр масс которого движется по фиксированной круговой орбите, предельным движением является равномерное вращение вокруг нормали к плоскости орбиты с угловой скоростью равной орбитальной. В случае же движения тела по эллиптической орбите его угловая скорость зависит от эксцентриситета е и при е = 0 становится равной скорости орбитального движения. Также на основании формулы, связывающей отношение абсолютной угловой скорости вращения планеты к орбитальной с эксцентриситетом, сделаны выводы о вероятности захвата планет в резонансное движение.

В работе [80] воздействие приливного трения на вращательное движение планеты было исследовано на основе модельной задачи о движении твердого шара, покрытого слоем вязкой жидкости, по круговой орбите в центральном ньютоновском поле сил. В силу вязкости максимумы приливных горбов, возникающих на свободной поверхности жидкости под воздействием гравитации со стороны притягивающего центра, смещаются относительно оси, соединяющей центр масс шара с притягивающим центром, что приводит к возникновению тормозящего момента приливного трения. Было описано относительное течение жидкости, форма свободной поверхности, а также определен приливной момент и выполнены его

численные оценки для планеты, имеющей те же параметры, что и Земля.

В работах [89, 90] Ф.Л. Черноусько для изучения движения механических систем с упругостью и диссипацией был предложен асимптотический метод разделения движений. Он основан на предположении о том, что время затухания собственных упругих колебаний рассматриваемой механической системы много меньше характерного времени движения ее как целого. Этим методом в указанных работах были получены уравнения движения в виде уравнений динамики твердого тела с дополнительными слагаемыми, обусловленными упругостью и диссипацией.

Влияние упругих сил на вращательное движение деформируемого тела, близкого к шару, было исследовано в работах [49, 76], в работе [76] были учтены также и диссипативные силы. Эффекты, связанные с нежесткостью в искусственных механических системах, изучались в [74, 81, 82]. Квазистатические движения вяз-коупругого тела относительно центра масс исследовались в работах [66, 67].

В настоящей работе применяется подход, разработанный Вильке В.Г. в монографиях [16, 17], где методы классической аналитической механики были обобщены на случай систем с бесконечным числом степеней свободы. Движения таких механических систем описываются сложными системами интегродифференциаль-ных уравнений в бесконечномерных банаховых пространствах, определяемых в каждом случае естественным образом исходя из выбранной модели. Описанный в монографии метод разделения движений и усреднения позволяет перейти от этих уравнений к конечной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию движения изучаемой системы. Указанный метод был применен в целом ряде работ, посвященных проблемам небесной механики [18-22,25-35, 53-55, 58, 60, 83, 92-94, 97, 133].

В числе прочих в монографии [16] рассмотрены задачи о движении вязкоупру-гого тела в центральном ньютоновском поле сил, системы свободных вязкоупругих тел, взаимодействующих по закону всемирного тяготения, задача о движении двух деформируемых планет в поле сил взаимного притяжения, исследованы резонансные явления при эволюции поступательно-вращательного движения вязкоупругой планеты. Показано, что рассеяние энергии при деформации тел вызывает стремление систем к стационарным движениям - равномерным вращениям как целого, на которых диссипация энергии отсутствует.

Одной из моделей, описывающих приливные явления в Солнечной системе, служит вязкоупругое тело, движущееся в гравитационном поле притягивающего центра. Эта задача была рассмотрена также в работе [18]. Были выведены точные уравнения движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил в рамках линейной теории вязкоупругости. Приближенные векторные уравнения, описывающие движение центра масс шара и изменение его момента количеств движений относительно центра масс были получены методом разделения движений. В качестве невозмущенного движения было взято движение абсолютно

твердого шара в гравитационном поле притягивающего центра. В этом случае точные уравнения интегрируются в квадратурах и описывают движение, в котором шар равномерно вращается вокруг неподвижной оси, а его центр масс описывает кеплеровскую орбиту. Показано, что в зависимости от значения модуля момента количества движения системы возмущенная система уравнений может иметь одно или два стационарных решения, либо не иметь ни одного. В стационарном движении центр масс шара движется по круговой орбите, а деформированный шар имеет постоянную ориентацию в орбитальной системе координат. В случае существования двух стационарных орбит устойчивой является орбита с большим радиусом, орбита же с меньшим - неустойчивой.

Ограниченная постановка задачи о движении вязкоупругой планеты при условии, что ее центр масс движется по круговой орбите, была рассмотрена в работах [16, 27, 28]. Методом разделения движений и усреднения были получены приближенные уравнения, описывающие вращательное движение планеты в переменных Андуайе, и исследована эволюция этого движения. Плоское поступательно-вращательное движение планеты на орбите с ненулевым эксцентриситетом было описано в переменных Делоне-Андуайе в работе [30]. Эволюционные уравнения данной системы в пространственном случае были получены и исследованы в работе [93].

Указанный метод был применен и к другим классическим задачам небесной механики, обобщенным на случай деформируемых планет, в том числе к задаче двух тел [16, 35], ограниченной круговой задаче трех тел [32] и задаче N тел [21].

Для задачи двух тел, оба из которых моделируются вязкоупругими телами, в [16] были получены уравнения движения в векторном виде, а также показано, что в зависимости от начальных условий система может иметь не более двух стационарных решений, причем в случае существования двух стационарных решений то, что соответствует большему расстоянию между центрами масс планет является устойчивым, а меньшему - неустойчивым.

В [32] рассматривается ограниченная круговая задача трех тел, когда два массивных тела, моделируемых материальными точками, движутся по заданным круговым орбитам, а центр масс сферически симметричного деформируемого тела малой массы движется в плоскости круговых орбит первых двух тел, причем его угловая скорость направлена по нормали к этой плоскости. Показано, что орбита центра масс деформируемого тела стремится к круговой с центром в наиболее массивном теле, при этом, если она находится внутри орбиты массивного тела меньшей массы, то ее радиус уменьшается, стремясь к новому стационарному значению, а если вне, то увеличивается.

Особый интерес представляет класс моделей, учитывающих неоднородность строения планет [25, 92, 102]. В [25] изучена модель планеты, состоящей из твердых осесимметричных оболочки и ядра с различными главными моментами инерции,

соединенных вязкоуиругим слоем и взаимодействующих по закону всемирного тяготения друг с другом и внешней точечной массой. Получены уравнения, описывающие движение ядра относительно оболочки, и в качестве примера рассмотрена система Земля-Луна.

В основе многих исследований динамики вязкоупругих тел лежит асимптотический метод разделения движений и усреднения в сочетании с модальным подходом [2, 13-15, 43, 44, 47, 50, 63, 69, 71-72]. Согласно этому методу вектор упругого смещения представляется в виде ряда по ортонормированным собственным формам задачи свободных колебаний упругой планеты, коэффициенты которого являются обобщенными нормальными координатами, описывающими движение упругой планеты по внутренним степеням свободы. Данный метод был в том числе применен к изучению вращательного движения динамически симметричной планеты на фиксированной кеплеровской орбите в поле притягивающего центра [43, 73], пространственному варианту задачи о движении материальной точки в поле притяжения симметричной вязкоупругой планеты, вращающейся вокруг оси симметрии [15, 63], движения системы "деформируемая планета-спутник" в гравитационном поле притягивающего центра в плоском и пространственном случаях [72, 73], задаче трех тел в общей [50] и ограниченной [62] постановках, а также к исследованию движения двух планет, состоящих из твердого ядра и упругой оболочки, в поле сил взаимного притяжения [13].

Целью данной работы является изучение эволюции движения систем вязко-упругих тел в гравитационном поле сил. Рассматриваются три модельных задачи: о движении двух тел, о движении системы планета-спутник в гравитационном поле вязкоупругой массивной планеты и задача о движении трех тел в поле сил взаимного притяжения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из трех глав, введения, заключения и списка литературы.

Первая глава диссертации посвящена задаче о движении двух планет в поле сил взаимного притяжения. Обе планеты моделируются однородными изотропными вязкоупругими телами, занимающими в естественном недеформированном состоянии шаровые области трехмерного евклидова пространства. Деформированное состояние шаров изучается в рамках классической линейной теории упругости, а для описания вязкого трения принимается модель Кельвина-Фойгта. Шары предполагаются жесткими, так что в задаче имеются малые параметры - величины £г, обратно пропорциональные модулям Юнга планет. Аналогичным образом планеты моделируются и в двух других главах диссертации. Задача рассматривается в "плоской" постановке, когда центры масс тел движутся в неподвижной плоскости, а оси их вращения направлены по нормали к этой плоскости. Существование указанного класса движений показано в [16], где были получены уравнения

движения рассматриваемой системы в векторном виде.

В 1.1 формулируется постановка задачи, и выводятся уравнения движения в форме уравнений Рауса, каноническую часть которых составляют уравнения относительно переменных Андуайе-Делоне, а лагранжеву - уравнения относительно компонент векторов упругого смещения.

В 1.2 методом разделения движений и усреднения выводится приближенная система уравнений относительно переменных "действие" и медленных угловых переменных, описывающих эволюцию орбиты конца вектора, соединяющего центры масс планет, и их вращательного движения. Уравнения представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений пятого порядка с первым интегралом, выражающим закон сохранения модуля кинетического момента рассматриваемой механической системы относительно общего центра масс.

Стационарные решения полученных уравнений находятся в 1.3. Показано, что в стационарном движении система двух планет равномерно вращается относительно общего центра масс с постоянной угловой скоростью как твердое тело, а центры масс планет описывают круговые орбиты. В зависимости от значения модуля момента количеств движения система может либо не иметь стационарных решений, либо иметь одно неустойчивое стационарное решение, либо иметь два стационарных решения: устойчивое, соответствующее большему расстоянию между планетами, и неустойчивое, соответствующее меньшему расстоянию.

Полученные результаты иллюстрируются на примере Солнечной системы в 1.4, где в качестве первого тела рассматривается Солнце, а в качестве второго -одна из планет. Показано, что для всех планет Солнечной системы существует два стационарных решения, причем планеты земной группы находятся ближе к неустойчивым стационарным орбитам, а орбиты планет-гигантов близки к соответствующим устойчивым стационарным орбитам.

Уравнение, описывающее эволюцию перигелия орбиты, рассматривается особо в 1.5 на примере системы Солнце-Меркурий. Следует отметить, что существенным различием между аналогичным уравнением, полученным в работе [94], где изучалось движение планеты в центральном ньютоновском поле сил, и уравнением, полученным в данной работе, где планета движется в гравитационном поле массивного вязкоупругого тела, является наличие в его правой части слагаемого, зависящего от массы, радиуса и угловой скорости Солнца, причем именно это слагаемое вносит основной вклад в эволюцию перигелия. Выбирая соответствующим образом модуль Юнга тела, моделирующего Солнце, можно объяснить наблюдаемое смещение перигелия Меркурия в рамках классической механики.

Во второй главе исследуется движение двойной планеты - системы двух планет с массами Ш2 и тз - в гравитационном поле третьей планеты массы тг. Все три планеты моделируются однородными изотропными вязкоупругими телами. Взаимное расположение планет описывается с помощью векторов К2 и , соеди-

няющих между собой центры масс планет, образующих двойную планету, и центр

: плаь < 1.

масс третьей планеты с центром масс двойной планеты соответственно. Предполагается, что ^ < 1, < 1, < 1 и

В 2.1 рассматривается "плоская" постановка задачи, когда центры масс планет движутся в неподвижной плоскости, а векторы их угловых скоростей направлены по нормали к этой плоскости. Осуществлен переход от обобщенных координат и скоростей к каноническим переменным Андуайе-Делоне. Получены уравнения движения в форме уравнений Рауса, каноническая часть которых описывает изменение переменных Андуайе-Делоне, а лагранжева - компонент векторов упругого смещения.

В 2.2 методом разделения движений и усреднения выводятся уравнения, описывающие эволюцию поступательно-вращательного движения рассматриваемой системы в первом приближении по малым параметрам, которые представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений седьмого порядка относительно переменных "действие" с первым интегралом, выражающим постоянство модуля вектора кинетического момента. Исследование стационарных решений системы проведено в 2.3 для случая, когда планета массы тз моделируется материальной точкой. Показано, что в зависимости от начальных условий система может иметь одно или два стационарных решения, оба из которых неустойчивы, либо не иметь стационарных решений.

Полученные результаты проиллюстрированы на примере движения системы Земля-Луна в гравитационном поле Солнца. В 2.4 осуществлен переход от уравнений относительно переменных Андуайе-Делоне к уравнениям относительно угловых скоростей планет, средних орбитальных движений и эксцентриситетов обрит концов векторов и Н2. С помощью системы МаНаЬ7.0.1 построены графики зависимости указанных величин от времени.

В третьей главе рассматривается задача трех тел в неограниченной постановке. В 3.1 из вариационного принципа Д'Аламбера-Лагранжа получены точные уравнения движения изучаемой системы. Система приближенных уравнений получена в 3.2 методом разделения движений.

В 3.3. найдено стационраное движение указанной системы, в котором центры масс планет образуют треугольник, близкий к равностороннему, а их угловые скорости равны между собой и ортогональны плоскости этого треугольника. Получены приближенные выражения для расстояний между центрами масс планет в стационарной конфигурации. Описанное движение является аналогом треугольных точек либрации в классической задаче трех тел.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

По теме диссертации опубликовано 4 печатных работы [34, 35, 97, 99].

Основные результаты были доложены на Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносов-2009" (Москва, 13-18 апреля

2009 года), Симбирской молодежной научной школе по аналитической динамике, устойчивости и управлению движениями и процессами (Ульяновск, 8-12 июня 2009), Международном молодежном научном форуме "Ломоносов-2011"(Москва, 11-15 апреля 2011), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Нижний Новгород, 24-30 августа 2011).

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Шатина, Любовь Сергеевна

ЗАКЛЮЧЕНИЕ с использованием данных наблюдений определены числовые значения эквивалентных коэффициентов вязкости планет. На основе полученных уравнений построены графики зависимости угловых скоростей и элементов орбит изучаемых небесных тел от времени. Проведено качественное исследование эволюционной системы уравнений движения в случае, когда тело наименьшей массы моделируется материальной точкой. Показано, что в зависимости от начальных условий эта система может иметь не более двух стационарных решений и доказана их неустойчивость.

Получены векторные уравнения, описывающие движение трех вязкоупругих тел в поле сил взаимного притяжения в неограниченной постановке задачи с учетом возмущений, вызванных упругостью и диссипацией. Найдено стационарное движение системы - аналог треугольных точек либрации в классической задаче трех тел. Получены поправки к взаимным расстояниям между центрами масс планет в стационарной конфигурации.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шатина, Любовь Сергеевна, 2012 год

Литература

[1] Авсюк Ю.Н. Приливные силы и природные процессы. М.: РАН Объединенный институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта, 1996, 188 с.

[2] Акуленко Л.Д., Кумакшев С. А., Марков Ю.Г. Возмущенное вращение Земли // Известия АН. Механика твердого тела, 2005, №5, с. 19-29.

[3] Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

[4] Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Эдито-риал УРСС, 2003, 416 с.

[5] Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: Эдиториал УРСС, 2009, 416 с.

[6] Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965, 416 с.

[7] Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: МГУ, 1975, 308 с.

[8] Белецкий В. В. К вопросу об эволюции вращательных движений небесных тел с приливной или аэродинамической диссипацией. В кн. Актуальные проблемы классической и небесной механики. ТОО "Эльф-Ltd, М., 1998, с. 23-32.

[9] Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. М.: Издательство ЛКИ, 2009, 432 с.

[10] Белецкий В. В. Приливная эволюция наклонений и вращений небесных тел. Препринт/ Ин-т прикладной математики АН СССР, М.,1978. №43, 22 с.

[11] Белецкий В.В., Левин Е.М., Погорелое Д.Ю. К теории вращения Венеры. Препринт/ Ин-т прикладной математики АН СССР, М.,1979. №75, 32 с.

[12] Белецкий В.В., Хентов A.A. Резонансные вращения небесных тел. Нижний Новгород. Нижегородский гуманитарный центр, 1995, 430 с.

[13] Бондаренко B.B. О поступательно-вращательном движении двух деформируемых небесных тел // Космические исследования, 1997, т.35, №6, с. 645-650.

[14] Бондаренко В.В., Марков Ю.Г., Скоробогатых И.В. О тенденции к соизмеримости вращений и средних движений небесных тел под действием гравитационных приливов // Астрономический вестник, 1998, т.32, №4, с. 340-351.

[15] Веретенников В.Г., Марков Ю.Г., Елъ-Хафез С.А. Динамический анализ эволюционных процессов в движении вязкоупругих небесных тел / / Космические исследования, 1997, т.35, №5, с.501-514.

[16] Вилъке В. Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. Ч 1,2. М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 1997, 41 216 е., 42 160 с.

[17] Вилъке В.Г. Аналитические и качественные методы в динамике систем с бесконечным числом степеней свободы. М.: МГУ, 1986, 192 с.

[18] Вилъке В. Г. Движение вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил // Прикладная математика и механика, 1980, т.44, вып. 3, с.395-402.

[19] Вилъке В.Г. Избранные задачи механики. М.: Издательство механико-математического факультета МГУ, 2010, 70 с.

[20] Вилъке В. Г. О вращении деформируемых планет и устойчивости их стационарных вращений // Космические исследования, 2010, т.48, №3, с. 279-288.

[21] Вилъке В. Г. О модели Солнечной системы с диссипацией// Вестник МГУ, Серия 1: Математика. Механика, 2008, №5, с. 25-30.

[22] Вилъке В. Г. Об относительном движении осесимметричного упругого тела // Вестник МГУ, сер.1, математика-механика, 1988, №3, с.25-30.

[23] Вилъке В. Г. Разделение движений и метод усреднения в механике систем с бесконечным числом степеней свободы // Вестник МГУ, сер.1, математика-механика, 1983, №5, с.54-59.

[24] Вилъке В.Г. Теоретическая механика. СПб.: Изд-во «Лань», 2003, 304 с.

[25] Вилъке В.Г. О движении планеты со сложной структурой // Космические исследования, 2004, т.42, №4, с.388-396.

[26] Вилъке В. Г. Об инерциальных свойствах собственных форм осесимметричного упругого тела // Вестник МГУ, сер.1, математика-механика, 1986, №2, с.66-72.

[27] Вильке В.Г., Копылов С.А., Марков Ю.Г. Об эволюции вращений вязкоупру-гой планеты на круговой орбите в центральном поле сил / / Астрономический журнал, 1984, т.61, вып. 6, с. 1198-1204.

[28] Вильке В.Г., Копылов С.А., Марков Ю.Г. Эволюция вращательного движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил // Прикладная математика и механика, 1985, т.49, вып. 1, с. 25-34.

[29] Вильке В.Г., Лебедев K.M. Резонансные явления при эволюции поступательно-вращательного движения вязкоупругой планеты // Космические исследования, 1987, т.25, вып. 1, с. 148-153.

[30] Вильке В.Г., Марков Ю.Г. Эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругой планеты в центральном поле сил // Астрономический журнал, 1988, т.65, вып. 4, с.861-867.

[31] Вильке В.Г., Шатина A.B. О поступательно-вращательном движении вязкоупругого шара в гравитационном поле притягивающего центра и спутника // Космические исследования, 2004, т.42, №1, с.95-106.

[32] Вильке В.Г., Шатина A.B. Медленная диссипативная эволюция движения вязкоупругого шара в ограниченной круговой задаче трех тел // Прикладная математика и механика, 2002, т.66, вып. 5, с.782-792.

[33] Вильке В.Г., Шатина A.B. Эволюция движения двойной планеты // Космические исследования, 2001, т.39, №3, с. 316-323.

[34] Вильке В.Г., Шатина A.B., Шатина Л. С. Движение трех вязкоупругих планет в поле сил взаимного притяжения // Космические исследования, 2009, т.47, №5, с. 471-476

[35] Вильке В.Г., Шатина A.B., Шатина Л. С. Эволюция движения двух вязко-упругих планет в поле сил взаимного притяжения // Космические исследования, 2011, т.49, №4, с. 355-362.

[36] Волосов В.М., Моргунов Б. К. Метод осреднения в теории нелинейных колебаний систем. М.: Изд-во МГУ, 1971, 507 с.

[37] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988, 548 с.

[38] Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Наука, 1966, 300 с.

[39] Голдрайх П., Пил С. Динамика вращения планет. Сб. статей "Приливы и резонансы в Солнечной системе" под редакцией Жаркова В.Н. М.: Мир, 1975, 288 с.

[40] Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. М.: Изд-во МГУ, 2000, 719 с.

[41] Гребеников Е.А. Метод усреднения в прикладных задачах. М.: Наука, 1986, 256 с.

[42] Дарвин Дж.Г. Приливы и родственные им явления в Солнечной системе. М.: Наука, 1965, 252 с.

[43] Демин A.B., Демин В.Г., Марков Ю.Г., Миняев И. С. Некоторые закономерности приливной эволюции во вращательном движении планеты / / Космические исследования, 1995, т.ЗЗ, вып. 1, с.25-30.

[44] Демин A.B., Марков Ю.Г. О поступательно-вращательном движении деформируемого осесимметричного тела в центральном поле сил // Космические исследования, 1991, т.29, вып. 2, с. 178-182.

[45] Демин A.B., Марков Ю.Г., Миняев И.С. О приливной эволюции наклонений и вращений небесных тел // Космические исследования, 1992, т.ЗО, вып. 2, с. 157-164.

[46] Демин В.Г. Судьба Солнечной системы. Популярные очерки по небесной механике. М.: Наука, 1975, 263 с.

[47] Демин В.Г., Марков Ю.Г., Миняев И.С. О движении спутника, несущего вязкоупругую штангу с грузом на конце, на круговой орбите // Космические исследования, 1988, т.26, вып. 3, с.366-371.

[48] Денисов Г.Г., Новиков В.В. О свободном движении вязкоупругого квазишара // МТТ, 1999, №1, с. 26-31.

[49] Денисов Г.Г., Новиков В.В. О свободных движениях деформируемого твердого тела, близкого к шару // МТТ, 1983, №3, с. 43-50.

[50] Долгачев В.В., Марков Ю.Г., Скоробогатых И.В. О задаче трех тел с дисси-пативными силами // Космические исследования, 2000, т.38, №2, с. 193-202.

[51] Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1968, 800 с.

[52] Жарков В.Н. Внутреннее строение Земли и планеты. М.:Наука, 1983, 416 с.

[53] Зленко A.A. Движение двух вязкоупругих шаров в поле сил притягивающего центра // Космические исследования, 2011, т. 49, №6, с. 569-572.

[54] Зленко A.A. Одна модельная задача о приливной эволюции Земли и Луны //В мире научных открытий, 2010, №4 (10), ч.4, с. 17-19. Материалы 2-й научной конференции, Красноярск, март 2010.

[55] Зленко A.A. Уравнения движения двух вязкоупругих тел в рамках задачи о двойной планете. М., 2009, 11с. - Деп. в ВИНИТИ РАН 30.09.09, № 581-В2009

[56] Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязко-упругости. М.: Наука, 1970, 280 с.

[57] Ишлинский А.Ю. Механика: идеи, задачи, приложения. М.: Наука, 1985, 624 с.

[58] Копылов С.А. Эволюционные процессы в системах со слабой диссипацией энергии / Дисс. канд. физ.-мат. наук. М.: МГУ, 1985.

[59] Красильников П. С., Маркеев А.П. Об устойчивости цилиндрической прецессии вязкоупругого спутника при резонансе 1:3 // Космические исследования, 1997, т.35, №5, с.515-520.

[60] Лебедев K.M. Эволюция и резонансы при движении вязкоупругой планеты / Дисс. канд. физ.-мат. наук. М.-. 1988

[61] Лейбензон Л. С. Краткий курс теории упругости. М.-Л.:Гостехиздат, 1942, 304 с.

[62] Ли Цзюньфэн, Марков Ю.Г., Миняев И. С. Об одном эффекте в резонансном движении деформируемых планет в ограниченной задаче трез тел // Космические исследования, 1993, т.31, вып.4, с.3-11.

[63] Ли Цзюньфэн, Марков Ю.Г., Миняев И. С. Об эволюции эллиптической орбиты спутника в поле деформируемой планеты // Астрономический журнал, 1994, т.71, №1, с.154-160.

[64] Ляв А. Математическая теория упругости. М.: ОНТИ, 1935, 674 с.

[65] Макдональд Г. Приливное трение. Сборник статей "Приливы и резонансы в Солнечной системе" под редакцией Жаркова В.Н. М.: Мир, 1975, 288 с.

[66] Маркеев А.П. К динамике упругого тела в гравитационном поле // Космические исследования, 1989, т.27, вып. 2, с.163-169.

[67] Маркеев А.П. Об одном частном случае движения динамически симметричного упруговязкого тела в центральном ньютоновском гравитационном поле // Космические исследования, 1990, т.28, вып. 5, с.643-650.

[68] Маркеев А.П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990, 416 с.

[69] Марков Ю.Г. О вращении вязкоупругого шара на условно-периодической орбите в плоской круговой ограниченной задаче трех тел // Известия АН. Механика твердого тела, 1989, №6, с.23-29.

[70] Марков Ю.Г. Пространственное движение деформируемого тела в центральном поле сил // Космические исследования, 1988, т.2б, вып. 2, с.236-245.

[71] Марков Ю.Г. Результаты исследования небесномеханических задач поступательно-вращательного движения деформируемых тел./ Дисс. на соискание уч. степени доктора физ.-мат наук. М.: МГУ, 1995.

[72] Марков Ю.Г., Миняев И. С. Об эволюции движения системы "планета-спутник" в поле притягивающего центра // Астрономический журнал, 1992, т.69, вып. 2, с.416-427.

[73] Марков Ю.Г., Миняев И. С. Эволюция вращения осесимметричного вязко-упругого тела на эллиптической орбите // Космические исследования, 1990, т.28, вып. 4, с. 483-495.

[74] Мартыненко Ю.Г., Подалков В. В. О нутациях твердого тела в неконтактном подвесе // Известия АН. Механика твердого тела, 1995, №2, с.26-31.

[75] Мюррей К., Дермотт, С. Динамика Солнечной системы. М.: Физматлит, 2010, 588 с.

[76] Новиков В. В. Анизотропно-упругий шар в свободном движении //ПММ, 1987, т.51, вып.5, с. 767-774.

[77] Приливы и резонансы в Солнечной системе. Сборник статей под редакцией Жаркова В.Н. М.: Мир, 1975, 288 с.

[78] Роузвер Н. Т. Перигелий Меркурия от Леверье до Эйнштейна. М.: Мир, 1985, 244 с.

[79] Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений. М.: Наука, 1988, 304 с.

[80] Сальникова М.Г., Самсонов В.А. О движении вязкой несжимаемой жидкости на вращающемся шаре в центральном поле ньютоновского притяжения // Механика жидкости и газа, 1995, №2, с. 133-141.

[81] Сидоренко В. В. Об эволюции движения механической системы с линейным демпфером большой жесткости // Прикладная математика и механика, 1995, т.59, вып.4, с.562-568.

[82] Сидоренко В.В. О движении твердого тела с гибкими стержнями, допускающего группу симметрий // Известия АН. Механика твердого тела, 1995, №1, с.3-11.

[83] Синицын E.B. Эволюция кеилеровекого движения вязкоупругой планеты // Астрономический журнал, 1990, т.67, №3, 630-635.

[84] Солнечная система, (под ред. Сурдина В.Г.), М.: Физматлит, 2008, 400 с.

[85] Субботин М.Ф. Курс небесной механики. M.-JI., ОНТИ, т.2, 1937, 404 с.

[86] Татаринов Я.В. Лекции по классической динамике. М.: Изд-во МГУ, 1984, 295 с.

[87] Уиттекер Е.Т. Аналитическая динамика. М.-Л., ОНТИ,1937, 500 с.

[88] Хайдаров К.А. Эфир - великий часовщик. Боровое, Киев-НиТ, 2004.

[89] Черноусько Ф.Л. О движении вязкоупругого твердого тела относительно центра масс // Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1980, вып.1, с. 22-26.

[90] Черноусько Ф.Л. О движении твердого тела с упругими и диссипативными элементами // Прикладная математика и механика, 1978, т.42, вып.1, с. 34-42.

[91] Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1990, 176 с.

[92] Шатина A.B. О деформациях планеты, содержащей подвижное внутреннее ядро, в гравитационном поле центрального тела и спутника // Известия АН. Механика твердого тела, 2005, №1, с. 3-12.

[93] Шатина A.B. Эволюция движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил // Космические исследования, 2001, т. 39, №3, с. 303-315.

[94] Шатина A.B. Эволюция движения механических систем с бесконечным числом степеней свободы / Дисс. на соискание уч. степени доктора физ.-мат наук. М.: МГУ, 2007.

[95] Шатина Л. С. Стационарные движения двух вязкоупругих планет // Симбирская молодежная научная школа по аналитической динамике, устойчивости и управлению движениями и процессами, посвященная памяти академика В.В. Румянцева. Тезисы докладов. Ульяновск: Изд-во УлГУ, 8-12 июня 2009, 96 с.

[96] Шатина Л. С. Стационарные движения двух вязкоупругих планет // Тезисы докладов Секции «Математика и механика» Международной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов-2009». М.: Механико-математический факультет МГУ имени М.В.Ломоносова, 2009, 104 с.

[97] Шатина Л.С. Эволюция движения двойной планеты в гравитационном поле массивного вязкоупругого тела // Вестник МГУ, сер.1, математика-механика, 2011, №6, с.32-37.

[98] Шатина Л. С. Эволюция движения связки двух вязкоупругих планет в гравитационном поле массивной вязкоупругой планеты / / Материалы Международного молодежного научного форума «Ломоносов-2011»/ Отв. ред. А.И. Андреев, А.В. Андриянов, Е.А. Антипов, М.В. Чистякова. [Электронный ресурс] - М.: МАКС Пресс, 2011 - 1 электрон, опт. диск (DVD-ROM)

[99] Шатина Л. С. Эволюция движения связки двух вязкоупругих планет в гравитационном поле массивной вязкоупругой планеты // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, №4, часть 2, с. 361-363.

[100] Alexander М.Е. The weak friction approximation and tidal evolution in close binary systems // Astrophysics and Space Science, 1973, Vol.23, Issue 2, pp.459510.

[101] Arthur N. Cox. Allen's astrophysical quantities. Springer, 2001, 719 p.

[102] Barkin Yu.V., Vilke V.G. Celestial mechanics of planet shells // Astronomical and Astrophysical Transactions, 2004, vol.23, Issue 6, pp. 533-553.

[103] Barnes R., Jackson В., Greenberg R., Raymond S.N. Tidal Limits to Planetary Habitability // The Astrophysical Journal Letters, 2009, Volume 700, Issue 1, pp. L30-L33.

[104] Bursa M. The tidal evolution of the Earth-Moon system // Astronomical Institutes of Czechoslovakia, vol. 38, №6, 1987, pp. 321-324.

[105] Darwin G.H. On the precession of a viscous spheroid and on the remote history of the earth. // Phil. TYans. Roy. Soc. London, 1879, Vol. 170, pp. 447-530.

[106] Darwin G.H. On the secular change in the elements of the orbits of a satellite revolving about atidally distorted planet // Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1880, Vol. 171, pp. 713-891.

[107] Efroimsky M., Lainey V. Physics of bodily tides in terrestrial planets and the appropriate scales of dynamical evolution // Journal of Geophysical Research, 2007, Volume 112, Issue E12, CitelD E12003.

[108] Efroimsky M., Williams J.G. Tidal torques: a critical review of some techniques // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 2009, Volume 104, Issue 3, pp.257-289.

[109] Ferraz-Mello S., Rodriguez A., Hussmann H. Tidal friction in close-in satellites and exoplanets: The Darwin theory re-visited // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 2008, Volume 101, Issue 1-2, pp. 171-201.

110 111

112

113

114

115

116 117

118

119

120

121

122

123

Gerstenkorn H. Über Gezeitenreibung beim Zweikörperproblem. Mit 4 Textabbildungen // Zeitschrift für Astrophysik, 1955, Vol. 36, p.245.

Goldreich P. Final spin states of planets and satellites // Astronomical Journal, 1966, Vol.71, №1, pp. 1-7.

Goldreich P., Soter S. Q in the Solar System // Icarus, 1966, vol.5, pp.375-389.

Greenberg R., Vaerhoven V. C. Tidal evolution of a secularly interacting planetary system // The Astrophysical Journal, 2011, Volume 733, Issue 1, article id 8.

Heller R., Leconte J, Barnes R. Tidal obliquity evolution of potentially habitable planets // Astronomy & Astrophysics, 2011, Volume 528, id.A27.

Hut P. Tidal evolution in close binary systems // Astronomy and Astrophysics, 1981, Volume 99, №1, pp. 126-140.

Kaula W. Tidal dissipation by solid friction and the resulting orbital evolution // Review of Geophysics and Space Physics, 1964, Vol.2, pp.661-685.

Krasinsky G.A., Brumberg V.A. Secular increase of astronomical unit from the analysis of the major planet motions and its interpretation // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 2004, Volume 90, №3-4, pp.267-288

Leconte J., Chabrier G., Baraffe I., Levrard B. Is tidal heating sufficient to explain bloated exoplanets? Consistent calculations accounting for finite initial eccentricity // Astronomy and Astrophysics, 2010, Volume 516, id.A64.

MacDonald G. Tidal friction // Review of Geophysics and Space Physics, 1964, Vol.2, pp.467-541.

Mardling R.A., Lin D.N.G. On the Survival of Short-Period Terrestrial Planets // The Astrophysical Journal, 2004, Volume 614, Issue 2, pp. 955-959.

Mardling R.A. On the long-term tidal evolution of GJ 436b in the presence of a resonant companion // http://arxiv.org/abs/0805.192, 2008

Mardling R.A. The determination of planetary structure in tidally relaxed inclined systems // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2010, Volume 407, Issue 2, pp. 1048-1069.

Mignard F. The evolution of the lunar orbit revisited. I // The Moon and Planets, 1979, Vol.20, pp. 301-315.

Mignard F. The evolution of the lunar orbit revisited. II // The Moon and Planets, 1980, Vol.23, pp. 185-201.

[125] Ogivie G.I., Lin D.N.C. Tidal evolution in rotating giant planets // The Astropliysical Journal, 2004, Volume 610, pp.477-509.

[126] Rasio F.A., Tout C.A., Lubov S.H., Livio M. Tidal decay of close planetary orbits 11 The Astrophysical Journal, 1996, Volume 470, pp.1187-1191.

[127] Rodriguez A., Ferraz-Mello S., Michtchenko T.A., Beauge C., Miloni 0. Tidal decay and orbital circularization in close-in two-planet systems / / Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2011, Volume 415, Issue 3, pp. 23492358.

[128] Singer F. Origin of the Moon by tidal capture and some geophysical consequences // The Moon, 1972, Volume 5, Issue 1-2, pp. 206-209.

[129] Touma J., Wisdom J. Evolution of the Earth-Moon system // The Astronomical Journal, 1994, Volume 108, №5, pp. 1943-1961.

[130] Touma J., Wisdom J. Resonances in the early evolution of the Earth-Moon system // The Astronomical Journal, 1998, Volume 115, pp. 1653-1663.

[131] Vil'ke V.G., Shatina A.V., Shatina L.S. Motion of the Three Viscoelastic Planets in Gravitational Field of the Mutual Attraction // Geophysical Research Abstracts, 2009, Vol. 11, EGU2009-5800, European Geosciences Union General Assembly 2009, Vienna, Austria, 19-24 April 2009

[132] Vil'ke V.G., Shatina A.V., Shatina L.S. The Evolution of the Motion of Two Viscoelastic Planets in the Field of Gravitational Interaction // EPSC Abstracts, 2009, Vol.4, p.23, European Planetary Science Congress 2009, Potsdam, Germany, 14-18 September 2009.

[133] Zlenko A. Evolution of Earth and Moon at the cosmogonic time intervals 11 Reports, pp. 252-254, "ASTROKAZAN - 2011", international astronomical congress, Kazan, Russia, 22-30 August 2011.