Моделирование приливной эволюции орбитального движения спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Шерстнев Евгений Викторович

• Шерстнев Евгений Викторович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Шерстнев Евгений Викторович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 Движение спутника в гравитационном поле вращающейся вязкоупругой планеты (ограниченная постановка)

§1.1 Постановка задачи. Уравнения движения

§1.2 Уравнения невозмущенного движения: и =

§1.3 Построение «возмущенной» системы уравнений движения

§1.4 Стационарное движение спутника и его устойчивость

§1.4.1 Случай 1а. «Плоское» движение спутника

§1.4.2 Случай 16. Пространственное движение спутника

§1.5 Эволюционная система уравнений движения спутника

§1.5.1 а. «Плоский» случай

§1.5.2 б. Пространственный случай

ГЛАВА 2 Движение системы планета-спутник в гравитационном поле сил (неограниченная постановка)

§2.1 Стационарное движение спутника и его устойчивость для

неограниченной задачи

§2.2 Эволюционная система уравнений для неограниченной задачи

§2.3 Частные случаи движения спутника и их устойчивость____

§2.4 Медленная диссипативная эволюция движения спутника

§2.4.1 31) визуализация модели движения спутника

ГЛАВА 3 Движение спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты с ядром (неограниченная постановка)

§3.1 Постановка задачи. Уравнения движения

§3.2 Деформации вязкоуиругой оболочки планеты

§3.2.1 Форма вращающейся вязкоупругой планеты без

учета гравитационных сил

§3.2.2 Приливные деформации планеты в гравитационном поле притягивающего центра и спутника

§3.2.3 Приливные деформации планеты в гравитационном поле спутника

§3.3 Возмущенная система уравнений движения

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А Графический материал

§А.1 Графики эволюции параметров систем «планета-спутник» 127 ПРИЛОЖЕНИЕ Б Программный код

§Б.1 Программный код для построения фазовых портретов

§Б.2 Программный код для получения числовых параметров

таблиц 1.1,

ПРИЛОЖЕНИЕ В 3D визуализация

§В.1 Программы визуализации движения спутника

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Моделирование приливной эволюции орбитального движения спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты»

ВВЕДЕНИЕ

Давно известно, что Вселенная непрерывно движется и изменяется. И до сих пор мы задаемся вопросом: «Почему это происходит и как?». Одной из фундаментальных задач небесной механики является изучение орбитальной эволюции Солнечной и других планетных и звездных систем. Небесные тела претерпевают изменения скорости вращения, орбиты их спутников уменьшаются и увеличиваются, многие системы достигают резонансного вращения. В частности причиной этих эффектов служит приливное трение.

Обычно крайне слабые, приливные эффекты проявляют свое воздействие на небесные тела в течение длительного промежутка времени (до миллиардов лет). За это время (эоны лет) приливы формируют режим вращения небесных тел и управляют обменом угловыми моментами между телами. Многочисленные и разнообразные проявления приливов колеблются от синхронного захвата Луны, захвата Меркурия в спин-орбитальный резонанс 3:2, ожидаемого падения Фобоса, до уменьшения эксцентриситета орбиты горячих юпитеров и, как следствие, их теплового расширения за счет приближения к их звездам, а также диссипативного слияния корот-копериодических двойных звезд. Приливные моменты играют ключевую роль во вращательной динамике небесных тел. Все это делает изучение приливов необходимым для понимания динамических свойств и эволюции звездных систем.

Несмотря на то, что медленная работа приливов влияет на формирование более круговых орбит, эволюцию наклонения, а также синхронизацию планет и лун, широкий охват этих динамических явлений не всегда сопровождается простотой или универсальностью приливных моделей, используемых для их описания.

Общий характер приливного трения, влияющего на эволюцию движения системы «планета-спутник»1, можно описать следующим образом (рис.1)[2, 67].

Под действием неоднородного гравитационного поля взаимного притяжения (т.е. из-за наличия градиента гравитационного потенциала, в лите-

1 Далее будут рассматриваться именно такие системы, но все рассуждения, без ограничения общности, можно применить для систем «звезда-планета» и других подобных двойных систем.

Рис. 1. Верхний рисунок соответствует случаю, когда отсутствует трение. При наличие трения (внизу) когда планета вращается с угловой скоростью шр быстрее среднего движения п её спутника по орбите (ир > п), приливной горб «обгоняет» прилив, возбуждаемый спутником. В результате момент сил, возникающий при взаимодействии приливного горба и спутника, замедляет вращение планеты и

расширяют орбиту спутника.

ратуре также именуемого приливным потенциалом) происходит деформация планеты, на поверхности планеты образуются так называемые приливные выступы или горбы. Первый рисунок соответствует случаю, когда планета является идеально упругим шаром, покрытым идеальной жидкостью, т.е. когда отсутствует трение. Тогда приливной максимум лежит на прямой, соединяющей центры планеты и спутника. Вследствие симметрии не возникает момента сил, действующего на спутник. Следовательно, отсутствует влияние на орбитальные параметры спутника на длительном промежутке времени. Если при деформации возникает трение, то имеет место запаздывание максимума прилива на некоторый угол (при условии, что угловая скорость вращения планеты превышает орбитальную скорость спутника). Сдвинутый приливной горб вызывает замедление вращения планеты из-за монета сил, который возникает при взаимодействии спутника и приливного горба. Этот же момент сил ускоряет движение спутника по орбите. В результате изменяется момент количества движения, что ведет к потере механической энергии в системе планета-спутник. Часть кинетической

энергии вращения диссипирует, а часть переходит в кинетическую и потенциальную энергии орбитального движения спутника.

Приливный потенциал

Приливная эволюция орбит и вращения небесных тех в астрофизической литературе, в большинстве своем [60, 62, 66, 70, 84], моделируется рассмотрением приливного потенциала, который действует на тело в виде суммы членов ряда Фурье (из полиномов Лежандра), каждый из которых имеет собственную частоту. В результате деформацию тела предполагается рассматривать в виде линейной суммы реакций на каждый возмущающий член ряда. Каждый такой компонент реакции характеризуется параметрами, описывающими амплитуду (числа Лява) и фазовую задержку, которая, как предполагается, есть результат рассеяния энергии в теле.

Потенциал V на единицу массы в точке на поверхности планеты массы Мр, радиуса ЯР7 плотноети рр и спутника массы М8, радиуса и плотности р5, движущегося сонаправленно по круговой орбите в плоскости экватора планеты с большой полуосью а, измеренной от центра масс планеты, определяется как

М

S

V = -^-д-, «

где С — гравитационная постоянная иА - расстояние между центром спутника и данной точкой, получаемое из выражения:

1/2

, (2)

А = а

i - 2( т) + (т)2'

угол ф измеряется от линии, соединяющей центры планеты и спутника [36]. В сферической системе координат (г, 9,ф) (рис. 2) угол в отсчиты-

вается от оси вращения планеты и азимутальный угол ф отсчитывается

'

между спутником и данной точкой на поверхности планеты связан с ними следующим образом:

cos ф = cos Op cos 0S + sin Op sin 0S cos^ — ф8) (3)

Для сильно разделенных двойных систем, где большая полуось а го-

Рис. 2. Схема воздействия потенциала ноля на поверхность планеты из-за вращения

спутника на расстоянии а от центра масс планеты. Пунктирная линия — геометрическое место точек па сферической поверхности планеты, находящееся иод углом ф и на расстоянии А от спутника и, таким образом, испытывающее воздействие

одинакового потенциала.

раздо больше, чем радиус планеты ЯР7 потенциал поля раскладывается по степеням Яр/а следующим образом:

V = - С-

мя

а

2

1+(т) еов * + (V) 2(3е°2 * —1) +

(4)

Первое слагаемое в (4) не зависит от положения взятой точки и, таким образом, не вносит вклада в силу, действующую на планету. Второе слагаемое обеспечивает действующую в точке Р силу, необходимую для движения по окружности относительно центра масс системы. Третий член дает значение приливного потенциала:

и = - С

^ 1(3 2 , и -(Зеов2 ф — 1)

а

3 2

(5)

это выражение служит основой во многих предыдущих исследованиях, посвященных приливной эволюции сильно разделенных тел [60, 62, 66, 70, 84], таких как система Земля-Луна.

Заметим, что отбрасывание старших членов выражения для V в (4) кроме первых трех слагаемых дает точную оценку потенциала в (1) только для расстояний между планетой и спутником, превышающих 5Яр. В

случае меньшего расстояния, что часто встречается среди систем двойных астероидов, необходимо учитывать члены высших порядков в разложении V. Полное выражение для потенциала V в (4) можно записать кратко в виде суммы по полиномам Лежандра Р/ (ооБф), т. е. зональных гармоник или гармонических функций следующим образом

где при значении I = 2 получаем главный приливной член из выражения для V (5). Таким образом, для полного приливного потенциала^, включающего члены всех порядков, имеем:

Для простейшего случая движения спутника на круговой орбите в экваториальной плоскости планеты ориентация действия приливного потенциала на планете следует за положением спутника, но во всем остальном деформация, вызываемая приливным потенциалом, сохраняет амплитуду и форму. Вслед за вращением спутника (а следовательно, и изменением направления действия приливного потенциала) происходит периодическая деформация планеты. Стандартная картина такого взаимодействия представлена на рис.1. Амплитуда деформации приливного выступа предполагается практически равной для случая синхронного периода (на рис.1.а). Но запаздывание прилива за счет диссипации, приводит к угловым смещениям (е/2 на рис.1) приливного выступа относительно направления действия потенциала. Представленная асимметрия, как было сказано выше, приводит к моментам, которые меняют как орбиту спутника, так и влияют на вращение планеты.

Если орбита спутника является эксцентрической, приливной потенциал меняется более сложным образом. Изменения амплитуды и направления потенциала, соответствуют эпициклическому движению спутника (рис. 3). Это можно представить в виде суммы членов сферических гармоник второго порядка(рис. 4): первый компонент соответствует среднему направлению на спутник и два компонента различных амплитуд (каждый пропор-

(6)

(7)

Рис. 3. Приливы (черные выступы) иа планете (слова) схематически показаны для четырех точек орбиты ириливообразующего спутника.

О + О + О = О—<Э О + О + О = О......."0

о + о+ о = 0—Ф о + о + о = о.......-8

Рис. 4. В правой части равенства изображен полный приливной потенциал из рис. 3, в четырех

различных положениях спутника на орбите. Потенциал может быть разложен на составляющие: один компонент привязан к среднему направлении спутника, а два других - перемещаются но часовой стрелке и против. Запаздывание приливного горба на каждом из компонентов представлено в виде смещения серого цвета.

циоиалеи эксцентриситету е), которые циркулируют (по отношению к направлению спутника) вокруг планеты в противоположных направлениях. Четвертый периодический компонент (не показан на рис.4) представляет собой колебание амплитуды полярного сжатия формы планеты.

Каждый из этих компонентов приводит к деформации планеты с определенной частотой. Например, основной компонент приводит к деформации с частотой двукратной разности между скоростью вращения планеты и средним движением спутника. Кроме того, компоненты, описанные выше, представляют собой только члены первого порядка по е. Учет членов более высоких порядков по е введет к быстрому возрастанию числа гармоник с частотами, всё более отличными от частоты первичного компонента.

Разложение в ряд Фурье. Различные подходы, история.

Большинство из разработанных теорий приливов включают в себя:

(1) разложение прилива в гармонический ряд Фурье и

(2) определения для каждого отдельного члена ряда Фурье фазовой задержки и собственного коэффициента затухания, которые зависят от свойств материала.

Первая часть, разложение в ряд Фурье, была выполнена в полном объ-

еме Каулой (1964)[70] 2, хотя частичная сумма ряда Фурье был получена еще Дарвином (1879) [60].

Исследование и разработка второго пункта, нахождение адекватной частотной зависимости от фазовых задержек и динамических чисел Лява, в настоящее время ещё ведется.

В то время как ранние работы редко выходили за рамки Максвел-ловской модели вязкоупругого тела, в настоящее время стали использоваться более реалистичные реологические модели. Реологический подход с комбинированием модели Андраде на более высоких частотах с моделью Максвелла для низких частот был исследован Эфроимским (2012а, 2012Ь)[63, 64]. Необходимость такой комбинированной модели обусловлено различием физических механизмов трения, оказывающих преобладающее влияние на приливную диссипация на различных частотах. Несколько другие реологические законы были исследованы Хеннингом и др. (2009)[68] и Ниммо и др. (2012)[78].

Некоторые авторы пытались избежать использования разложение Фурье путем создания более простых моделей, которые бы сохраняли качественные особенности теории приливов и, в идеале, давали некоторые разумные количественные оценки. Поэтому часто используются два радикально упрощенных и специально разработанных для этого инструмента, применяющихся к скалистым лунам и планетам, газовым гигантам, звездам и тому подобному:

1. В нескольких важных исследованиях было сделано простое предпо-

частоты. Этот подход известен как модель с «постоянной фазовой задерж-

2 Каула применил подход, который используется, как правило, в качестве аналитического метода исследования приливов в течение последнего полувека и встречается в литературе под названием «lag-апс1-ас1с1» («задержка и сложение» — с англ.). То есть предполагается, что реакция планеты на каждый из многочисленных возмущающих компонентов проявляется отдельной деформацией, что задержки по времени (соответствующие угловой ориентации прилива) связаны с возмущающим потенциалом. Другими словами, предполагается, что каждый компонент ведет себя так, как и в однокомпонентном случае (рис.1, с нулевыми эксцентриситетом и наклонением). Так что фактически форма прилива в любой момент времени — это сумма всех этих компонентов. Предполагается, как правило, что каждый компонент имеет свою собственную задержку по фазе е, которая зависит от свойств материала.

Стоит отметить, что хотя такой подход оправдывает себя для измерения приливных эффектов на таких системах, как Земля-Луна, Юпитер и Ио, но применимость его к большим эксцентриситетам ( > 0.3) оказалась сомнительной (см., например Ферраз-Мелло и др. 2008, Гринберг 2009[66, 67]). Главный же недостаток этой теории вытекает из того, что такой метод применим только в узком диапазоне частот приливов (Гринберг, 2009)[67]. До тех пор, пока амплитуда приливной деформации тела мала, отклонение от невозмущенной формы, как предполагается, пропорционально деформирующей силе (Ляв, 1927)[74].

и

кой»3 (Макдональд (1964), Голдрайх и Соттер (1966), Мюррей и Дермотт (1999))[2, 36] С одной стороны, эта модель кажется достаточно соответствующей реологии Земли. Но проблема с исходным предположением в том, что запаздывание остается постоянным независимо от того, насколько мала частота, а это приводит к разрыву, когда приливная частота близка к нулю, что имеет место в случае почти синхронизированных экзопланет. Кроме того, знак углового смещения так же может измениться дискретно в зависимости от направления приливного вращения относительно планеты.

2. Альтернативный подход состоит в предположении, что фазовая задержка пропорциональна частоте. Это предположение эквивалентно предположению постоянной временной задержки (но не постоянного фазового сдвига) между приливным горбом и линией, соединяющей центры двух тел, для всех частот модель с «постоянной временной задержкой» 4 (например, Сингер (1968), Миньяр (1979, 1980), Хат (1981))[69, 75, 76, 82]. (Обратим внимание, что Миньяр и Хат не раскладывали в ряд Фурье приливной потенциал, но учитывали диссипацию путем добавления временной задержки в ответ, что эквивалентно методу «lag-and-add» с фазовой задержкой, пропорциональной частоте). Такая модель позволяет избежать разрыва при нулевой частоте, как это происходит в случае CPL модели для синхронного вращения, и это позволяет провести полный аналитический расчет приливных эффектов без каких-либо предположений об эксцентриситете. Это особенно важно при изучении экзопланет на близких орбитах, которые часто оказываются весьма сильно эксцентрическими. Но этот подход имеет другую потенциальную проблему при очень высоких частотах задержка компонента может быть велика по сравнению с периодом. И эта модель не учитывает взаимодействия между волнами. Основная причина для учета частотной зависимости (что было показано ещё Дарви-ном (1879)[60]) следует из конкретной и весьма идеализированной модели однородной вязкоупругой планеты. Работы Дарвина показали, что диссипация так же влияет на амплитуду каждого компонента, как и задержка (Эфроимский и Вильяме, 2009)[62], в то время как обычная процедура

3 the constant phase lag model (CPL), или эквивалентная модель the constant geometric lag model

4 the constant time lag model (CTL). Помимо своей математической простоты, метод постоянной временной задержки иногда позволяет ассоциировать его с вязким затухающим гармоническим осциллятором. Эта аналогия, однако, в литературе появились апостериорной, Александр (1973)[58] — наиболее ранняя известная работа, где эта аналогия была прописана.

«^-апс1-ас1с1» (какими бы ни было предположение о запаздывании) предполагает, что воздействия на амплитуду пренебрежимо малы. Диссипативная функция Ц

Предпринимались многочисленные попытки определить зависимость

ных допущений. Один из подходов основывается на том, что в дополнение к жесткости д, реакция однородной несжимаемой сферы на возмущающий потенциал характеризуется приливной диссипативной функцией которая определяется по аналогии с теорией гармонических осцилляторов как

Это определение сродни добротности для затухающего линейного осциллятора и не зависит от того, как именно рассеивается энергия. Иногда в литературе называют так и величину Ц-1, например (Голдрайх и Соттер)[2], аналогично вводят эффективную диссипативную функцию:

где Е0 — максимальная амплитуда энергии приливной деформации, а интеграл от скорости диссипации —СЕ/сИ оценивает потерю энергии за полный цикл работы прилива. Таким образом, параметр Ц позволяет выразить отклонение тела, возмущенного приливными силами, от идеальной упругости или идеальной текучести.

Для простого возмущаемого гармонический осциллятора, tg£ = Ц-1, вывод этого соотношения можно найти, например, у Гринберга (2009)[67].

энергию накапливаемую и рассеиваемую в периодических деформациях планеты, спутника или звезды. В зависимости от типа исследуемого объекта, рассеяние может включать вязкоупругое поведение твердых тел, потоки в жидких слоях, турбулентность в газах или любые другие динамические процессы, происходящие внутри астрономического тела. Затем, после того как удалось оценить отношение между Ц и £ дает отставание для периода возмущения(например, Хат (1981), Огилви и Лин (2004,

Ц = 2тт х

(Максимальная энергия, запасенная в течение цикла)

(8)

(Энергия, рассеиваемая за один цикл)

2007))[69, 79, 80].

Другой метод для оценки £ учитывает сейсмические наблюдения и измерения на Земле и Луне. Идея состоит в том, что сейсмические волны, как известно, ослабевают с различной скоростью в зависимости от частоты (Эфроимский и Лайней, 2007)[61]. Таким образом, у нас есть данные, непосредственно связанные с фактическим наблюдаемым поведением планетарного тела, по крайней мере, для каменистых планет. Это ослабление используется для вычисления из уравнения (8). Эфроимский и Лайней, учитывая сейсмические данные, предполагают для Земли ~ ша, где а = 0, 2 — 0,4, а частота год-1 < и < 107Гц. Для газообразных планет и звезд, численное моделирование и аналитические исследования дают сложный спектр частот, который крайне чувствителен к размеру и глубине конвективного и радиационного слоев (Огилви и Лин, 2004)[79].

Все эти подходы основаны на неявно обоснованной аналогии с простым гармоническим осциллятором. Гринберг показал[67], что для многих из подходов, которые были применены к моделированию поведения сложных планетных систем, использование такой аналогии не всегда оправдано. В частности, в методе «^-апс1-ас1с1» такой подход, вероятно, разумен, пока все частоты изменяющегося приливного потенциала сопоставимы, как это имеет место при учете в уравнениях членов только низших порядков для эксцентриситета и наклонения. При исследовании уравнений с более высоким порядком членов, что ведет к более широкому спектру частот, такой подход может быть не очень надежен. Этот результат ставит под сомнение некоторых допущения и методы во многих приливных моделях.

Во всех работах отмечается проблема оценки значения для тел Солнечной системы, которая была в общей постановке сформулирована Гол-драйхом и Соттером (1966) [2].

Недавние критические обзоры многих различных моделей, исследований и предположений в истории этой области были представлены Ферраз-Мелло и соавт. (2008) [66] и Эфроимским и Вильямсом (2009) [62]. Последний включает в себя описание использования гармоник более высокого порядка в реакции прилива, в том числе явный вывод отдельных задержек по фазе (без каких-либо предположений об их частотной зависимости).

Теория приливов и её результаты могут быть применены к широкому

кругу задач. Стоит отметить, что каждая работа имеет свою направленность, исследования в разной мере точности описывают эволюцию приливного взаимодействия, приложены к конкретной задаче и включают различные ограничения и предположения. Естественно, что предпосылки этих работ берут своё начало в исследованиях взаимного движения системы Земля-Луна.

Впервые фундаментальное исследование этой проблемы провел Дж. Г. Дарвин [60]. Им было показано влияние приливного трения на радикальное изменение орбитальных элементов небесных тел в масштабах космических интервалов времени. Он рассмотрел приливные деформации вязких и полуупругих сферических тел, поведение материала которых зависит от характера прилагаемой к нему силы. Он показал, что вязкость приводит к значительному уменьшению амплитуды приливов и их задержке по фазе. Изучая данные о приливах океанов, Дарвин сделал вывод, что Земля, как целое, обладает большой эффективной жесткостью.

Работа Дарвина по праву считается классической в теории приливов и послужила основой многим последующим исследованиям: Голдрайх (1963), Каула (1964), Александр (1973), Миньяр (1979), Хат (1981), Тоума и Виз-дом (1994), Эфроимский и Вильяме (2009), Ферраз-Мелло (2009, 2013) и др. [2, 58, 62, 65, 66, 69, 72, 73, 75, 84, 85]. Таким образом, теория Дарвина является достаточной для понимания основных эффектов приливного трения в Солнечной системе. Многие последующие работы являются уточнением и развитием различных аспектов классической теории.

Методы механики

Обратимся к общим методам, которые применяются при исследовании динамических систем.

Большинство задач небесной механики имеют неинтегрируемый характер. Обычно, если каким-либо известным методом удается получить уравнения движения рассматриваемой механической системы, то эти уравнения, как правило, избыточно громоздки и сложны для аналитического или численного анализа. Поэтому стараются перейти к более простым моделям динамической системы, которые описываются более простыми уравнениями. Таким образом, со временем появились и стали развиваться методы, позволяющие заменить неинтегрируемую задачу интегрируемой, реше-

ние которой приближенно соответствует решению исходной задачи. Каждый метод характеризуется своей степенью точности получаемого решения. Многие асимптотические методы 5 позволяют получить уравнения, описывающие лишь вековую эволюцию. Но существуют так же методы, дающие и более высокое приближение, чтобы описать небольшие вариации.

Одна из реальных возможностей сократить и формализовать процесс упрощения уравнений движения динамических систем связана с применением методов малого параметра. Довольно часто (например, при исследовании периодических движений в небесной механике и теории колебаний) встречаются случаи, когда в уравнении можно выделить члены двух видов: главные и второстепенные, при этом второстепенные члены характеризуются наличием в них малых постоянных множителей. Если отбросить второстепенные члены, то возможно получить уравнение, которое допускает точное решение. Затем решение основного уравнения ищется в виде ряда, первым членом которого является решение уравнения только с главными членами, а остальные члены ряда расположены по степеням малых постоянных величин, входящих во второстепенные члены (малых параметров). При этом уравнения для коэффициентов при степенях малых параметров линейны, что облегчает их решение. В роли малого параметра иногда выступают начальные значения (например, при изучении колебаний около положения равновесия).

При применении таких методов строится приближенное решение исходной системы, т.е. получают упрощенные уравнения, которым удовлетворяют приближенные решения. При этом проводятся дополнительные исследования уравнений, позволяющие проверить соответствие полученных результатов исходной задаче.

Стоит отметить, что происходит, как постоянное развитие классических методов, из-за необходимости усовершенствования для решения новых задач, так и процесс появления новых асимптотических методов. Так как одной из основных областей математического естествознания, требовавшая

5 Общее название группы методов в математике, физике, механике и других областях, позволяющих получить приближенное решение исходной сложной задачи. Сюда входят как классические методы Лапласа, методы малого параметра, метода осреднения для дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, содержащих быстро колеблющиеся по времени и/или по пространству коэффициенты либо свободные члены, методы разделения переменных, так и более специализированные и узкоприкладные методы.

быстрейшего развития приближенного решения дифференциальных уравнений, явилась небесная механика[57], то метод малого параметра начал применяться при решении задачи о возмущённом движении в небесной механике Л. Эйлером и П. Лапласом. Теоретическое же обоснование этого метода позже дали А. М. Ляпунов и А. Пуанкаре6 .

Метод малого параметра лежит в основе теории возмущений. Теория возмущений впервые так же возникла в рамках небесной механики, хотя в настоящее время задачи, стоящие перед ней, гораздо шире. При применении методов теории возмущений исследование начинается с невозмущенной или порождающей задачи, решение которой рассматривается в качестве приближения для более сложной задачи, отличающейся наличием дополнительных малых членов в уравнениях. Далее строятся последующие приближения, которые уточняют найденное решение, обычно в форме степенных рядов. При этом в качестве переменной в таких рядах используется как раз малая величина, называемая малым параметром. Как правило используются только частичные суммы рядов (в большинстве задач ограничиваются двумя-тремя слагаемыми) [38].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шерстнев Евгений Викторович, 2017 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.:Эдиториал УРСС, 2009,416 с.

2. Приливы и резонансы в Солнечной системе. Сб. статей / под ред. В.Н. Жаркова М.: Мир, 1975. 287 с.

3. Белецкий В.В. Приливная эволюция наклонений и вращений небесных тел. Препрпнт/Ин-т прикладной математики АН СССР, М., 1978. №43, 22с.

4. Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. 3-е изд. — М.: Изд-во ЛКИ, 2009. - 432 с. - ISBN 978-5-382-00982-7

5. Боголюбов H.H., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. (3-е изд). - М.: Физматгиз, 1963.

6. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1975. 799 с.

7. Вильке В.Г. Движение вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил // ПММ. 1980. Т.44. Вып. 3. С.395-402.

8. Вильке В.Г. Разделение движений и метод усреднения в механике систем с бесконечным числом степеней свободы. // Вестник МГУ, сер. 1., Математика-механика, 1983, №5, с. 54-59.

9. Вильке В.Г., Копылов С.А., Марков Ю.Г. Эволюция вращательного движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил // Прикладная математика и механика, 1985, т.49, вып. 1, с. 25-34.

10. Вильке В.Г. Аналитические и качественные методы в динамике систем с бесконечным числом степеней свободы. М.: МГУ, 1986. - 192 с.

11. Вильке В.Г., Лебедев K.M. Резонансные явления при эволюции поступательно-вращательного движения вязкоупругой планеты // Космические исследования, 1987, т.25, вып. 1, с.148-153.

12. Вильке В.Г., Марков Ю.Г. Эволюция поступательно-вращательного движения вязкоупругой планеты в центральном поле сил // Астрономический журнал, 1988, т.65, вып. 4, с.861-867.

13. Вильке В.Г. Аналитическая механика систем с бесконечным числом степеней свободы. Ч 1,2. М.: Изд-во мех.-мат. факультета МГУ, 1997. 4.1. 216 е.; 4.2. 160 с.

14. Вильке В.Г., Шатина A.B. Эволюция движения двойной планеты // Космич. исследования, 2001, Т.39, №3, с. 316-323.

15. Вильке В.Г., Шатина A.B. Медленная диссипативная эволюция движения вязкоупругого шара в ограниченной круговой задаче трех тел.// Прикладная математика и механика, 2002, т.66, вып. 5, с.782-792.

16. Вильке В.Г. Теоретическая механика. СПб.: Изд-во "Лань 2003. - 304 с.

17. Вильке В.Г., Шатина A.B. О поступательно-вращаетльном движении вязкоупругого шара в гравитационном поле притягивающего центра и спутника // Космич. исследования, 2004, Т. 42, №1, с. 95-106.

18. Вильке В.Г., Шатина A.B., Шатина Л.С. Движение трех вязкоупругих планет в поле сил взаимного притяжения // Космические исследования, 2009, т. 47, №5, с. 471-476.

19. Вильке В.Г. Избранные задачи механики. М.: Изд-во мех.-мат. факультета МГУ, 2010. - 70 с.

20. Вильке В.Г., Шатина A.B., Шатина Л.С. Эволюция движения двух вязкоупругих планет в поле сил взаимного притяжения // Космич. исследования, 2011, Т. 49, №4, с. 355-362.

21. Вильке В.Г. Механика систем материальных точек и твердых тел. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. - 268 с.

22. Зленко A.A. Движение двух вязкоупругих шаров в поле притягивающего центра. Космические исследования. 2011. Т. 49. № 6. с. 569-572.

23. Зленко A.A. Стационарные решения и исследования их устойчивости в задаче об эволюции движения двух вязкоупругих шаров в поле притягивающего центра.// Космические исследования. 2012. Т. 50. № 6. с. 490-492.

24. Зленко A.A. Небесномеханическая модель приливной эволюции системы Земля-Лупа // Астрономический журнал, 2015, том 92, с. 80-95.

25. Зленко A.A. Обобщенные точки либрации в задаче о двойной планете // Астрономический журнал. 2015. Т. 92. № 8. С. 693-698.

26. Зленко A.A. Стационарные решения одной модельной задачи трех тел // Прикладная математика и механика. 2016. №4. С.461-472.

27. Карпов И.П., Марков Ю.Г. О диссипативной эволюции поступательно-вращательного движения системы «деформируемая планета-спутник».// Космические исследования, 1999, т.37, с.306-311.

28. Козлов H.H., Энеев Т.М. Численное моделирование процесса образования планет из протопланетного облака. // Препринт Института прикладной математики АН СССР, 1977, №134

29. Крылов Н. М., Боголюбов H.H. Введение в нелинейную механику. — Киев: Изд-во АН УССР, 1937.

30. Куликовский П.Г. Справочник любителя астрономии. М.: Кн. дом, 2009.

31. Лейбе!пои Л.С. Краткий курс теории упругости. М.;Л.: Гостехиздат, 1942. 304 с.

32. Маркеев А. П. Об одном частном случае движения динамически симметричного упруговязкого тела в центральном ньютоновском гравитационном поле.// Космические исследования, 1990, т.28, вып. 5, с.643-650.

33. Маркеев А. П. Теоретическая механика: Учебник для университетов. 3-е изд. - М.; Ижевск: РХД, 2007. - 592 с. - ISBN 978-5-93972-604-7.

34. Марков Ю.Г., Миняев И.С. Эволюция вращения осесимметричного вязкоупругого тела на эллиптической орбите.// Космические исследования,1990, т.28, вып. 4, с 483-495.

35. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. — М.: «Наука», 1969. — 379 с.

36. Мюррей К., Дермотт С. Динамика Солнечной системы. М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2010. 588 с.

37. Сальникова М.Г., Самсонов В.А. О движении вязкой несжимаемой жидкости на вращающемся шаре в центральном поле ньютоновского притяжения.// Механика жидкости и газа, 1995, №2, с. 133-141

38. Соболев В.А. Метод возмущений: алгебраические уравнения // Соро-совский образовательный журнал, 1999, №11, с. 117-121.

39. Сурдин В.Г. Пятая сила. М.: Изд-во МЦНМО, 2002.

40. Черноусько Ф. Л. О движении твердого тела с упругими и диссипа-тивными элементами.// Прикладная математика и механика, 1978, т.42, вып. 1, с.34-42.

41. Черноусько Ф. Л. О движении вязкоупругого твёрдого тела относительно центра масс // Известия АН СССР. Механика твёрдого тела. 1980, 1.

42. Шатина A.B. Об асимптотических свойствах решений одного класса механических систем с бесконечным числом степеней свободы.// Вестник МГУ, сер.1, математика-механика, 1990, №4, с.85-89.

43. Шатина A.B. Эволюция движения вязкоупругого шара в центральном ньютоновском поле сил // Космич. исследования. 2001, Т. 39, №3, с. 303-315.

44. Шатина A.B. О деформации планеты, содержащей подвижное внутреннее ядро, в гравитационном поле центрального тела и спутника // Известия АН. Механика твердого тела, 2005, №1, с.3-12.

45. Шатина Л.С. Эволюция движения двойной планеты в гравитационном поле массивного вязкоупругого тела // Вестник МГУ, сер. 1. математика-механика, 2011, №6, с. 32-37.

46. Шатина A.B., Шерстнев Е.В. Движение спутника в гравитационном поле вращающейся вязкоупругой планеты. «Вестник Нижегородского университета им. H.H. Лобачевского». №4 Часть 2. - Н. Новгород: Изд-во ННГУ им. H.H. Лобачевского, 2011. - с. 358-360

47. Шатина A.B. Шерстнев Е.В. Эволюция движения спутника в гравитационном поле вращающейся вязкоупругой планеты. 60-я Научно-техническая конференция. Сборник трудов. 4.2. Физико-математические науки. / МИРЭА. - М., 2011.с. 39-43

48. Шатина A.B., Шерстнев Е.В. Движение системы «Планета-спутник» в гравитационном поле сил взаимного притяжения. 61-я Научно-техническая конференция. Сборник трудов. 4.2. Физико-математические науки. / МГТУ МИРЭА. - М., 2012 - с. 113-118

49. Шатина A.B., Шерстнев Е.В. Эволюция движения спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты с ядром. 62-я Научно-техническая конференция. Сборник трудов. 4.2. Физико-математические науки. / МГТУ МИРЭА. - М., 2013 - с. 7-12

50. Шатина A.B., Шерстнев Е.В. Движение спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты. «Прикладная математика и механика». / М.: Наука, 2012. Том 76, вып. 6 - с. 915-924

51. Шатина A.B., Шерстнев Е.В. Движение системы «Планета с ядром -спутник» в гравитационном поле сил взаимного притяжения. // Чебы-шевский сборник. Т. XIV. Вып. 1(45). Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2013. с. 110-119

52. Шатина A.B., Шерстнев Е.В. Об одной модели приливной эволюции движения небесных тел. // Вестник МГТУ МИРЭА. Вып.2014, №1(2). с.188-202

53. Шатина А.В., Шерстнев Е.В. Движение спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты с ядром // Космические исследования, 2015, Т. 53, №2, с. 173-180.

54. Шатина А.В., Шерстнев Е.В. Эволюция орбитального движения спутника в гравитационном поле вязкоупругой планеты с ядром //XI Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики: сборник трудов, Казань, 2015, с. 4180-4182.

55. Шатина А.В., Шерстнев Е.В. О приливных деформациях вязкоупругой планеты с ядром // Труды X Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» / Н. Новгород: Издательский дом «Наш дом», 2016. с. 831-838

56. Шерстнев Е.В. Моделирование движения спутника в гравитационном поле вращающейся вязкоупругой планеты // Первая научно-техническая конференция Московского технологического университета: электронный сборник трудов конференции, Москва, 2016. с. 295-299

57. История математики под редакцией А. П. Юшкевича в трёх томах, М.: Наука, 1970

58. Alexander, М. Е. 1973. "The weak-friction approximation and tidal evolution in close binary systems." Astrophysics and Space Sciences, Vol. 23, pp. 459 - 510

59. Chapront, J.; Chapront-Touze, M.; Francou, G. (2002). "A new determination of lunar orbital parameters, precession constant and tidal acceleration from LLR measurements". Astronomy and Astrophysics 387 (2): 700-709. doi:10.1051/0004-6361:20020420.

60. Darwin, G. H. 1879. "On the precession of a viscous spheroid and on the remote history of the Earth." Philosphical Transactions of the Roy. Soc. of London, Vol. 170, pp. 447-530

61. Efroimsky, M., and V. Lainey. 2007. "The Physics of Bodily Tides in Terrestrial Planets, and the Appropriate Scales of Dynamical Evolution."

Journal of Geophysical Research - Planets, Vol. 112, id. E12003. doi:10.1029/2007JE002908

62. Efroimsky, M., and Williams, J. G. 2009. "Tidal torques. A critical review of some techniques." Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, Vol. 104, pp. 257 - 289

63. Efroimsky, M. 2012 a. "Tidal dissipation compared to seismic dissipation: in small bodies, earths, and superearths." The Astrophysical Journal, Vol. 746, id. 150

64. Efroimsky, Michael 2012 b. "Bodily tides near spin-orbit resonances." Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, Vol. 112, pp. 283 - 330.

65. Efroimsky, M., Makarov, V.V.: Tidal friction and tidal lagging. Applicability limitations of a popular formula for the tidal torque. Astrophys. J. 764, article id. 26 (2013)

66. Ferraz-Mello, S.; Rodriguez, A.; and Hussmann, H. 2008. "Tidal friction in close-in satellites and exoplanets: The Darwin theory re-visited." Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, Vol. 101, pp. 171 - 201.

67. Greenberg, R.: Frequency dependence of tidal Q. Astrophys. J. Lett. 698, L42 L45 (2009)

68. Henning, W.; O'Connell, R.; and Sasselov, D. 2009. "Tidally Heated Terrestrial Exoplanets: Viscoelastic Response Models." The Astrophysical J., Vol. 707, pp. 1000 - 1015

69. Hut, P.: Tidal evolution in close binary systems. Astron. Astrophys. 99, 126-140 (1981)

70. Kaula, W. M. 1964. "Tidal Dissipation by Solid Friction and the Resulting Orbital Evo- lution." Reviews of Geophysics, Vol. 2, pp. 661 - 684

71. Krasinsky G.A., Brumberg V.A. Secular increase of astronomical unit from analysis of the major planet motions, and its interpretation // Celes. Mech. and Dynam. Astronomy. 2004. V. 90. P. 267-288.

72. Lambeck, K. 1975, Effects of Tidal Dissipation in the Oceans on the Moon's Orbit and the Earth's Rotation, J. Geophys., Res. 80, 2917

73. Lambeck, K. 1980, The Earth's Variable Rotation:Geophysical Causes and Consequences, Cambridge Univ. Press, Cambridge, Ch. 5-6, 10-11

74. Love, A.E.H.: 1927. "A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity", CUP, Cambridge.

75. Mignard, F.: The evolution of the lunar orbit revisited. I. Moon Planets 20, 301-315 (1979)

76. Mignard, F.: The evolution of the lunar orbit revisited II. Moon Planets 23, 185-201 (1980)

77. Mignard, F. 1982, Long Time Integration of the Moon's Orbit, in Tidal Friction and the Earth's Rotation II ed. by Brosche, P., Sundermann, J., Springerverlag, Berlin Heidelberg, 67

78. Nimmo, F.: Faul, U. H.; and Garnero, E. J. 2012. "Dissipation at tidal and seismic frequencies in a melt-free Moon." Journal of Geophysical Research -Planets, Vol. 117,

79. Ogilvie, G., Lin, D. N. C. Tidal Dissipation in Rotating Giant Planets. The Astrophysical Journal, 2004, Volume 610, Issue 1, pp. 477-509.

80. Ogilvie, G. and Lin, D. Tidal dissipation in rotating solar-type stars. The Astrophysical Journal, 2007, 661, 1180.

81. Shatina, A.V., Sherstnev, E.V. The evolution of a satellite motion in the gravitational field of a viscoelastic planet with a core.//Proceedings of the XLI Summer School-Conference "Advanced Problems In Mechanics", St. Petersburg, 2013, pp.82-89.

82. Singer, S. F. 1968. "The Origin of the Moon and Geophysical Consequences." The Geo- physical Journal of the Royal Astronomical Society, Vol. 15, pp. 205 - 226

83. Sung-Ho Na. Tidal Evolution of Lunar Orbit and Earth Rotation. Journal of The Korean Astronomical Society 45 (2) 49 (2012)

84. Touma, J. Wisdom, J. Evolution of the Earth-Moon system. //The Astronomical Journal (ISSN 0004-6256), 1994, vol. 108, no. 5, p. 1943-1961

85. Wisdom, J. Tidal Dissipation at Arbitrary Eccentricity and Obliquity. 2008, Icarus, 193 , 637.

86. Van der Pol B. A theory of the amplitude of free and forced triode vibrations. The Radio Review. London. 1 . 1920. P. 701-710.373

ПРИЛОЖЕНИЕ А ГРАФИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

§АЛ. Графики эволюции параметров систем «планета-спутник»

Приведены графики, отражающие эволюцию эксцентриситетае, наклонения i и безразмерного параметра п0, пропорционального среднему движению по орбите, для следующих систем: Юпитер-Калисто, Юиитер-Ио, Юпитер-Европа, Юпитер-Ганимед, Марс-Деймос, Марс-Фобос, Сатурн-Титан, Земля-Луна. Графики получены путем численного интегрирования системы (2.22) с помощью программного комплекса GNU Octave. Масштаб времени зависит от неизвестного параметра Ai, входящего в уравнения системы (2.22).

По

0.03 0.02 0.01 0

0 0.6 e 0.4 0.2 0

5

i, 4.5

rad 4

3.5 3

UpiterKalisto

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 tüK

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 3 tüK x 10

i i i i i i i i

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

tüK

Рис. A.l. Юпитер-Калисто, в масштабе времени £ик = 1 • Ю11^— (сек)

1,ик

По

0.4

0.3

0.2

0.1

УрйеМо

0.1

0.2

0.3

0.4 0.5

¿иI

0.6

0.7

0.8

0.9

0.5

0 0.1

х 10-4

~г

0.2

0.3

0.4

0.5

^I

0.6

0.7

0.8

0.9

тай

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

ЪVI

0.6

0.7

0.8

0.9

Рис. А.2. Юпитер-Ио, в масштабе времени £ ш = 1 • 108д!^(сек)

По

0.2

0.15

0.1

0.05

е 0.5

0.1

10

х 10"

г,

тай

0.1

0.2

0.2

УрКегЕигоре

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

¿иЕ

0.3

0.4

0.5

^иЕ

0.6

0.7

0.3

0.4

0.5

^иЕ

0.6

0.7

0.8

0.8

0.9

0.9

Рис. А.З. Юпитер-Европа, в масштабе времени £ иЕ = 1 • 10

0.9

8 г

д

1,иЕ

()

0

0

е

0

4

2

0

0

0

0

0

8

6

4

0

По

0.06

0.04

0.02

0.8

0.6

0.4

0.2

0

3.5

г,

тай

2.5

1.5

UpiterGanimed

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

¿иО

0.1 0.2 0.3 0.4

0.5

Ъио

0.9

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

3 ¿ио

x 10

0.6 0.7 0.8 0.9

Рис. А.4. Юпитер-Ганимед, в масштабе времени ¿ис = 1 • 10

11 г

д

1,

()

По

0.5

0.4 0.3 е 0.2 0.1 0

0.04

г' 0.03

тай

0.02 0.01

0

0.1 0.2

0.1 0.2

МагБйе^оБ

0.3

0.4 0.5

tMD

0.3

0.4 0.5

tмD

0.6 0.7 0.8 0.9

0.6 0.7 0.8 0.9

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

tMD

Рис. А.5. Марс-Деймос, в масштабе времени Ьмс = 1 • 108д^— (сек)

1,

0

0

е

3

2

0

0

0

о

10 8

По 6

4 2

0.02 0.015

е 0.01 -

0.005 -

0.0195

г' 0.019

тай

0.0185 -

0.018

0

0.1

0.1

0.1

0.2

0.2

0.2

МагБроЬоБ

0.3

0.4 0.5

^МЕ

0.6

0.7

0.3

0.4 0.5

tмЕ

0.6

0.7

0.3

0.4

0.5

^МЕ

0.6

0.8

0.8

Рис. А.6. Марс-Фобос, ¿МР = 1,625 • 10

0.7

-4 г

0.8

0.9

0.9

0.9

д

1,МР

(сек)

По

0.03

0.02

0.01

е 0.5-

0.1

0.1

х 10"

тай

0.1

0.2

0.2

0.2

БаШгпТКап

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.3

0.4

0.5

tsт

0.6

0.7

0.3

0.4

0.5

tsт

0.6

0.7

0.8

0.8

0.8

0.9

0.9

Рис. А.7. Сатурн-Титан, в масштабе времени = 1 • 10

0.9

10 t

д

1,

(сек)

0

0

0

0

0

0

6

4

3

0

0.008 0.007

п_0 0 ■ 006

0.005 0.004 0.003

0.18 0.16 0.14

е 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04

0.2

0.2

ЕаЛИМооп

0.4

0.6

Т_{ЕМ}

0.4

0.6

1_{ЕМ}

0.8

0.8

0.1 0.08 06 04 0.02 0

-0.02

га(

0.2

0.4

0.6

1_{ЕМ}

0.8

0

0

0

= 2 • 1012д1— (сек)