Электронное строение и оптические свойства углеродных нанотрубок и фуллеренов как систем с сильными корреляциями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Назарова, Татьяна Эдуардовна

• Назарова, Татьяна Эдуардовна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Назарова, Татьяна Эдуардовна

Оглавление

Введение

1. Структура и электронное строение фуллеренов и углеродных нанотрубок. Эксперимент и теория

1.1 Фуллерены, их структура и электронное строение

1.2 Углеродные нанотрубки, их структура и электронное строение

1.3 Модель Хаббарда

1.4 Приближение статических флуктуаций для модели Хаббарда

2. Энергетический спектр и спектры оптического поглощения фуллеренов С72 и С74 и эндоэдральных комплексов на их основе

2.1 Постановка задачи

2.2 Энергетический спектр фуллерена С72

2.3 Спектр оптического поглощения фуллерена Са@С72

2.4 Энергетический спектр фуллерена С74

2.5 Спектр оптического поглощения металлофуллеренов на основе С74

2.6 Заключение по главе 2

3. Изучение кластеров углеродных нанотрубок в рамках модели Хаббарда

3.1 Постановка задачи

3.2 Энергетический спектр и корреляционные функции кластера УНТ хиральности (5,5), состоящего из 30 атомов

3.3 Энергетический спектр и корреляционные функции кластера УНТ хиральности (5,5), состоящего из 50 атомов

3.4 Энергетический спектр и корреляционные функции кластера УНТ хиральности (5,5), состоящего из 70 атомов

3.5 Энергетический спектр и корреляционные функции кластера УНТ хиральности (5,5), состоящего из 90 атомов

3.6 Энергетический спектр и корреляционные функции кластера УНТ хиральности (5,5), состоящего из 190 атомов

3.7 Анализ изменений электронных и энергетических свойств кластеров УНТ, состоящих из 30, 50, 70, 90 и 190 атомов

3.8 Зависимость средней энергии, приходящейся на один атом, от числа атомов в кластере УНТ хиральности (5,5)

Заключение

Список литературы

Приложения А Выражения для величин входящих в формулу (3.2.3)

104

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электронное строение и оптические свойства углеродных нанотрубок и фуллеренов как систем с сильными корреляциями»

ВВЕДЕНИЕ

Фуллерены и углеродные нанотрубки (УНТ), открытые на рубеже 80-х и 90-х годов прошлого века, в силу уникальности своих свойств без преувеличения являются одними из самых перспективных материалов и основой для будущих технологий.

Фуллерены применяются в медицине и биологии, в частности, с их помощью усиливают эффективность вакцин и вирусных препаратов. В области энергетики проводятся исследования по разработке накопителей водорода на основе фуллеренов и УНТ.

Недавно был изобретен фуллерен-кислород-йодный лазер [1], который может быть использован для прямого преобразования солнечной энергии в лазерное излучение. Этот лазер может обеспечить передачу солнечной энергии на большие расстояния с высоким КПД.

Фуллерены и содержащие их материалы могут быть использованы в качестве присадок к консистентным смазкам. Например, введением в полимерное связующее полиэдральной многослойной углеродной наноструктуры фуллероидного типа уже разрабатываются материалы с улучшенными скользящими свойствами.

В металлургии фуллерены и их соединения используются для упрочнения сталей. В частности, представляет интерес синтез фуллеренов и их соединений в структуре железоуглеродистых сплавов и исследование закономерностей формирования фуллерен содержащих фаз в материалах, полученных методом порошковой металлургии.

Уникальные оптические и электропроводящие свойства, и их чувствительность к внешнему воздействию сулят большие перспективы в применении УНТ и фуллеренов в области создания элементной базы для микроэлектроники.

В первую очередь, все сказанное выше есть следствие уникальности электронного строения фуллеренов и УНТ. Углерод в этих соединениях находится в ^-гибридизированном состоянии. Три гибридных орбитали образуют а - связи, которые формируют остов системы, ее каркас, а четвертная негибридная орбиталь формирует частично делокализованные электронные состояния, называемые п-состояниями. Эти п-состояния и определяют весь спектр уникальных электронных свойств рассматриваемых систем.

До недавнего времени считалось, что электронное строение фуллеренов и УНТ изучено достаточно хорошо. Так энергетический спектр первого синтезированного фуллерена С60 был вычислен еще до его открытия [2]. Энергетический спектр УНТ был вычислен на следующий год после их открытия [3]. Оба этих расчета были выполнены в предположении, что п-электроны, формирующие зоны близи уровня Ферми, являются частично локализованными, так что их можно описывать гамильтонианом Хюккеля, в котором, как известно, учитывается только один процесс - перескоки электронов на соседние узлы. По результатам этих работ был сделан ряд заключений об электронном строении рассматриваемых систем и предположений. В частности, для УНТ было сформулировано «правило кратности трем», согласно которому их электропроводящие свойства критическим образом зависят от хиральности УНТ (способа сворачивания углеродной плоскости в цилиндр).

Дальнейший, более чем 20-ти летний опыт экспериментального изучения фуллеренов и УНТ не смог подтвердить предсказания и выводы, сделанные на основе первых расчетов электронного строения этих систем. Наоборот, с каждым годом накапливается все больше и больше экспериментальных данных, требующих дальнейшего изучения электронного строения УНТ и фуллеренов. Достаточно обширный анализ экспериментальных работ по УНТ и фуллеренам представлен в обзорах [4,5].

На наш взгляд, несогласованность полученных в [2,3] теоретических результатов с экспериментальными данными связана с тем, что при расчете

энергетического спектра в этих и последующих работах, основанных на результатах [2,3], не учитывалось кулоновское взаимодействие электронов на одном узле. Хотя еще в начале 70-х годов Левиным [6] на примере углеродной плоскости было показано, что в системах, где углерод находится в ¿р2-гибридизированном состоянии, кулоновское взаимодействие электронов на одном узле велико и может достигать значений ~ 10 эВ. Поздние, более точные расчеты

[7] подтвердили этот вывод. Известно, что в системах с сильным кулоновским взаимодействием возникает так называемое сильно коррелированное состояние

[8].Такие системы описываются моделью Хаббарда [9]. Следовательно, энергетический спектр фуллеренов и УНТ, систем, где углерод также находится в ¿р2-гибридизированном состоянии, необходимо исследовать с учетом сильного кулоновского взаимодействия п-электронов на одном узле.

Актуальность избранной темы диссертации, в связи с вышесказанным, определяется тем, что изучение электронной структуры фуллеренов и УНТ с учетом сильного кулоновского взаимодействия л-электронов на одном узле является все еще нерешенной задачей, поэтому в диссертации проведено теоретическое исследование роли сильно коррелированных электронных состояний в формировании электронной структуры и оптических свойств фуллеренов С72 и С74, а также кластеров углеродной нанотрубки хиральности (5,5).

Степень разработанности темы определяется наличием большого массива экспериментальных данных по электронной структуре исследуемых систем, которые требуют теоретического описания, а также существованием хорошо себя зарекомендовавшей модели Хаббарда, в рамках которой возможно последовательно учесть кулоновское взаимодействие электронов на одном узле при вычислении энергетического спектра углеродных наносистем. В связи с этим: целью настоящей работы является теоретическое исследование влияния сильно коррелированных электронных состояний на механизм и характер перестройки электронной структуры фуллеренов С72 и С74, а также кластеров углеродной

нанотрубки хиральности (5,5), и, как следствие, на формирование оптических свойств исследуемых систем.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Разработать в рамках модели Хаббарда методы вычисления энергетического спектра фуллеренов и углеродных нанотрубок с учетом сильной корреляции п-электронов.

2. Для получения спектров оптического поглощения фуллеренов С72 и С74 определить правила отбора для оптических переходов между энергетическими уровнями.

3. Применить разработанные методы для вычисления энергетических спектров и спектров оптического поглощения фуллеренов С72 и С74 и эндоэдральных комплексов на их основе. Проанализировать изменение оптических свойств эндоэдральных комплексов, вызванное сильно коррелированным электронным состоянием, в зависимости от валентности внедренного атома и провести сравнительный анализ рассчитанных спектров со спектрами, полученными экспериментально.

4. Вычислить с помощью разработанных методик энергетические спектры кластеров углеродной нанотрубки хиральности (5,5), состоящих из разного числа атомов. Исследовать влияние размера кластера нанотрубки на величину щели между нижней заполненной молекулярной орбиталью (НЗМО) и верхней незаполненной молекулярной орбиталью (ВНМО), ширину верхней и нижней хаббардовских подзон и среднюю энергию, приходящуюся на один атом.

5. При расчете средней энергии атомов в кластерах углеродной нанотрубки определить условия, когда синтез нанотрубки становится энергетически более выгодным, чем свертывание графена в фуллерен.

Методология и методы

При проведении диссертационных исследований использовались методы квантовой теории поля в статистической физике и приближение статических флуктуаций для модели Хаббарда, наиболее последовательно описывающей системы с сильным кулоновским взаимодействием электронов на одном узле. Для описания спектров оптического поглощения фуллеренов использовалось приближение молекулярных орбиталей.

Теоретическая и практическая значимость определяется тем, что созданные и верифицированные в ней новые представления о влиянии сильного кулоновского взаимодействия на электронную структуру и оптические свойства фуллеренов и углеродных нанотрубок вносят вклад в развитие физических представлений о природе электронного строения и свойств углеродных наноструктур и позволяют существенно повысить точность расчетов электронных характеристик исследуемых материалов. В частности, опираясь на новые представления, возможно предсказывать вид проводимости в наноматериалах в зависимости от различных факторов, оценивать значения некоторых электронных характеристик исследуемых систем, что является актуальным при их практическом применении, например, в наноэлектронике. В диссертации также доказывается, что электронную структуру фуллеренов и кластеров УНТ необходимо изучать с учетом сильного кулоновского взаимодействия, что позволяет описать механизм и характер перестройки электронной структуры фуллеренов и углеродных нанотрубок. Это существенным образом сказывается на таких важнейших характеристиках любой конденсированной системы, как электропроводность и спектр оптического поглощения. Хорошее согласие рассчитанных в диссертации спектров оптического поглощения фуллеренов С72 и С74 с соответствующими экспериментальными данными подтверждает утверждение о том, что фуллерены и УНТ необходимо изучать с учетом сильной корреляции п-электронов в рамках модели Хаббарда. Полученные в работе

спектры могут быть использованы при создании на основе изученных фуллеренов различных электронных и оптических устройств.

Научная новизна диссертационной работы заключается в том, что в ней впервые изучено влияние сильно коррелированных электронных состояний на механизм и характер перестройки электронной структуры фуллеренов С72 и С74, а также кластеров углеродной нанотрубки хиральности (5,5), состоящих из различного числа атомов (30, 50, 70, 90 и 190). Показано, что электронный спектр фуллеренов и нанотрубок благодаря сильному кулоновскому взаимодействию разделяется на две хаббардовские подзоны с образованием щели, которая может достигать значений ~ 1 эВ, что позволяет сделать вывод о том, что нанотрубки хиральности (5.5) по своим электропроводящим свойствам являются полупроводниками, а не металлами. Впервые проведено исследование роли сильного кулоновского взаимодействия в формировании оптических свойств фуллеренов С72 и С74. Полученные в приближении молекулярных орбиталей спектры оптического поглощения фуллеренов С72 и С74 находятся в хорошем качественном согласии с экспериментальными данными, представленными в независимых источниках по данной тематике. Также впервые проанализирован характер изменения основных параметров электронной структуры кластеров УНТ хиральности (5,5), таких как ширина хаббардовских подзон, щель между занятыми и вакантными уровнями, корреляционные функции и средняя энергия на один атом, с изменением количества атомов в них. Показано, что зависимость средней энергии на атом от числа атомов в кластере в области ~60-70 атомов имеет максимум. Это позволило сделать предположение о том, что при росте УНТ кластеры, состоящие из 60-70 атомов, могут с равной вероятностью образовать фуллерены С60 или продолжать расти дальше - до УНТ, имеющих макроскопическую длину. Если в этот момент прекратить подвод к системе энергии, то кластеры УНТ указанных размеров релаксируют, образуя фуллерены С60. Если подвод энергии не прекращать, то УНТ будут расти до тех пор, пока растущая УНТ не встретит препятствие, что и наблюдается экспериментально.

Диссертация состоит из Введения, трех глав и Заключения.

В первой главе диссертации, «Структура и электронное строение фуллеренов и углеродных нанотрубок. Эксперимент и теория», которая имеет обзорный характер, описано структурное строение фуллеренов и УНТ, перечислены имеющиеся в данный момент теории, описывающие их электронное строение, а также проведено обсуждение экспериментальных данных по электронным и оптическим свойствам исследуемых материалов. На основе этого обсуждения, опираясь на результаты [6,7], сделан вывод о необходимости учета в исследуемых соединениях кулоновского взаимодействия на одном узле, и делается вывод о том, что наиболее оптимальной моделью для описания электронного строения систем, являющихся объектом исследования, является модель Хаббарда, а наиболее оптимальным приближением - приближение статических флуктуаций [10].

Во второй главе «Энергетический спектр и спектры оптического поглощения фуллеренов С72 и С74 и эндоэдральных комплексов на их основе» в рамках модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций вычислен энергетический спектр фуллеренов С72 и С74. На основе полученных энергетических спектров в приближении молекулярных орбиталей вычислены спектры оптического поглощения указанных фуллеренов и эндоэдральных комплексов на их основе. Проведено сравнение полученных оптических спектров с соответствующими экспериментальными данными. Полученное нами хорошее качественное согласие теоретических кривых с соответствующими экспериментальными данными говорит о корректности выбранной модели (модели Хаббарда) и приближенного метода - приближения статических флуктуаций. На основе полученных результатов дается качественное объяснение стабилизации нестабильных фуллеренов, в частности, С72 и С74, путем внедрения в их остов атомов металла.

В третей главе «Изучение кластеров углеродных нанотрубок в рамках модели Хаббарда» вычислены энергетические спектры кластеров УНТ

хиральности (5,5), состоящих из 30, 50, 70, 90 и 190 атомов. Проанализировано изменение энергетического спектра при увеличении атомов в кластере. Показано, что с ростом числа атомов ширины верхней (вакантной) хаббардовской и нижней (заполненной) хаббардовской подзон стремятся к постоянной величине, равной Ж=6В, где В - интеграл перескока в модели Хаббарда, а расстояние между ними -к значению А=и~Ж, где и - интеграл кулоновского отталкивания в модели Хаббарда.

На основе анализа полученного энергетического спектра делается вывод, что для УНТ хиральности (5,5) «правило кратности трем» не выполняется, так как, согласно этому правилу, УНТ этой хиральности должны обладать металлическими свойствами. В этом случае щель между верхней и нижней хаббардовскими подзонами стремилась бы к нулю, а не к А=и~Ж, как это получается в рамках нашего рассмотрения.

Также вычислены корреляционные функции^а[аа^, где \ и у - соседние

узлы, определяющие вероятность перескока электронов между узлами I и у. Показано, что эта корреляционная функция обращается в нуль при значениях

и~ж.

Далее для кластера, состоящего из 30 атомов, вычислен энергетический спектр для случая, когда число электронов не равно числу узлов. Показано, что в этом случае избыточный электрон или недостающий электрон («дырка») распределяются по узлам неравномерно, а именно, электроны или «дырки» как бы втягиваются во внутренние области УНТ. Вследствие этого на концах УНТ в случае, когда число электронов больше числа узлов, число электронов на концах трубки становится меньше их среднего значения по всему образцу, а в случае, когда число электронов меньше числа узлов, наоборот, число электронов на концах - больше среднего значения.

Анализ изменения средней энергии, приходящейся на один атом, от количества атомов в кластере показал, что при ~ 60-70 атомов на кривой

указанной зависимости имеется максимум. Это свидетельствует о том, что УНТ хиральности (5,5), состоящие из менее шестидесяти атомов, растут, поглощая энергию, и лишь после того, как число атомов достигнет этого значения, рост трубок становится энергетически выгодным.

В Заключении суммируются основные результаты диссертации и делаются выводы.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Предложена физическая модель для теоретического описания механизма и характера изменений электронной структуры и оптических свойств фуллеренов С72 и С74, а также кластеров углеродной нанотрубки хиральности (5,5), которая основана на приближении статических флуктуаций для модели Хаббарда, в рамках которой учтено влияние сильных корреляций п-электронов.

2. Разработана методика расчета энергетического спектра фуллеренов С72 и С74 и кластеров углеродной нанотрубки хиральности (5,5), с учетом сильного кулоновского взаимодействия. Получены правила отбора для оптических переходов между энергетическими уровнями, с помощью которых построены спектры оптического поглощения фуллеренов С72 и С74.

3. Показано, что энергетические спектры фуллеренов С72 и С74 и кластеров углеродной нанотрубки хиральности (5,5), состоящих из 30, 50, 70, 90 и 190 атомов, вследствие сильных корреляций п-электронов разбивается на две группы уровней - хаббардовские «верхнюю» и «нижнюю» подзоны, которые и формируют энергетическую щель ~1 эВ.

4. Обнаружено, что в случае, когда число электронов равно числу узлов, средние значения чисел заполнения электронами неэквивалентных узлов одинаковы. При невыполнении этого условия средние значения чисел заполнения существенно различаются и немонотонно изменяются вдоль длины нанотрубки.

5. Показано, что рост УНТ при синтезе идет как конкуренция между процессами дальнейшего роста нанотрубки и свертывания растущих кластеров в фуллерены с числом атомов, равным 60-70.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на 3 всероссийских научных конференциях, таких как IV Всероссийская конференция по наноматериалам, Институт металлургии и материаловедения им. А.А.Байкова РАН (Москва, 01-04марта 2011 г.); XVIII Всероссийской конференции Структура и динамика молекулярных систем, Казанский (Поволжский) федеральный университет (Яльчик - 2011 г.); XLVII Школа по физике конденсированного состояния, ФГБУ «ПИЯФ» (Санкт-Петербург - 2013 г.).

Публикации. Основной материал диссертации опубликован в 4 статьях в рецензируемых научных журналах [81,102-104] и в 7 тезисах докладов на конференциях и статьях в сборниках [95-101].

Достоверность полученных результатов достигается корректной постановкой решаемых задач и их физической обоснованностью, выбором обоснованных физических моделей и приближений, применением современных методов расчета, взаимным согласием и непротиворечивостью полученных результатов и выводов, а также качественным согласием с соответствующими экспериментальными данными по исследуемым системам.

1. Структура и электронное строение фуллеренов и углеродных нанотрубок. Эксперимент и теория

Углеродные наносистемы, фуллерены и углеродные нанотрубки являются аллотропной формой углерода, которая была открыта в 80-е годы прошлого столетия. Первой такой структурой был фуллерен С60, который был открыт в 1985 году [11], затем в 1991 году были открыты УНТ [12,13,14], и не так давно был открыт графен [15]. Все эти системы, несмотря на структурные отличия, относят к одной аллотропной форме углерода. Их роднит то, что они состоят из атомов углерода, каждый из которых связан с тремя другими атомами углерода. Такое строение обусловлено тем, что углерод в указанных соединениях находится в ¿р2-гибридизированном состоянии. В таком состоянии три гибридных орбитали образуют а - связи, а четвертная негибридная орбиталь формирует частично делокализованное электронное состояние. Электроны в таком состоянии называют ж -электронами.

Хорошо известной системой, в которой углерод находится в ¿р2 гибридизированном состоянии, является графит. Его кристаллическая структура представляет собой слабосвязанные параллельные атомные слои. Каждый слой представляет гексагональную плоскость, в узлах которой расположены атомы углерода, связанные между собой ковалентными связями, образованными перекрытием а - орбиталей. Длина каждой связи составляет 0.124 нм. Орбитали ж -электронов расположены перпендикулярно плоскости. Связи между этими электронами обеспечивают слабую связь между слоями атомов, расстояние между которыми составляет 0.334 нм. Согласно квантово-химическим расчетам [6] энергетические уровни а - состояний лежат на глубине ~ 20 эВ под уровнем Ферми, а состояния ж -электронов формируют зону проводимости.

Графен, который был открыт много позднее фуллерена и УНТ, представляет собой отдельный слой, углеродную плоскость, которую можно рассматривать как

гигантскую макромолекулу. А фуллерен и УНТ можно условно представить как структуры, образованные некоторой трансформацией такой углеродной плоскости. УНТ образуется сворачиванием углеродной плоскости в цилиндр, а фуллерен - это замкнутая фигура, образованная трансформацией углеродной плоскости в замкнутую фигуру, представляющую собой выпуклый многогранник.

Как уже сказано выше, фуллерен представляет собой выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные шестиугольники-гексагоны, и правильные пятиугольники - пентагоны. В узлах этого многогранника и расположены атомы углерода. Из теоремы Эйлера [16] следует, что в любом таком многограннике, который состоит из гексагонов и пентагонов, последних всегда должно быть 12. Эйлером еще в 1785 году была детально разработана теория выпуклых многогранников и сформулирована и доказана теорема, согласно которой для любого выпуклого многогранника выполняется соотношение:

где В - количество вершин, Р - количество ребер и Г - количество граней. Обозначим через В количество вершин, из которых выходит к ребер; через Г -количество граней, имеющих к сторон. Каждая грань имеет не менее 3 сторон, и из каждой грани выходит более двух вершин. Тогда

1.1 Фуллерены, их структура и электронное строение

В - Р + Г = 2

(111)

В = Въ + В4 +... + = х Вг

(1.1.2)

г>3

Г = Г 3 + Г 4 + ...+ =£ Г г

(1.1.3)

Очевидно, что:

2 Р = 3В3 + 4В4 + 5В + ...+ = £ Ох В) (1.1.4)

г>3

2Р = 3В3 + 4В + 5В + ■■■ + = ХО' х В-) (1.1.5)

г>3

Здесь учтено то, что каждое ребро при суммировании учитывается дважды, поскольку оно соединяет две вершины и разделяет две грани. Используя (1.1.4), (1.1.5) и (1.1.1), можно получить следующие соотношения:

3В + 2В4 + В > 12 (1.1.6)

3В + 2В + В > 12 (1.1.7)

Из неравенств (1.1.6) и (1.1.7), в частности, следует, что существует всего лишь 5 правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр.

Из (1.1.6) следует, что выпуклый многогранник обязательно имеет либо треугольные, либо четырехугольные, либо пятиугольные грани. Из этого утверждения, в свою очередь, следует, что не существует выпуклого многогранника, у которого все грани являются шестиугольниками. А это означает, что нельзя синтезировать молекулу в виде выпуклого многогранника только из шестиугольников. Если рассматривать выпуклый многогранник, состоящий только из пентагонов и гексагонов, то легко можно показать, что в каждом таком многограннике должно быть 12 пентагонов, а количество вершин и гексагонов И должно быть связано между собой следующим соотношением:

В = 2(10 + И) (1.1.8)

Из соотношения (1.8), в частности, следует, что число вершин в любом фуллерене должно быть четным.

Первым открытым фуллереном был фуллерен С60 [11], состоящий из 60 атомов углерода. Его молекула представлена на рисунке 1. Согласно формуле (8), число гексагонов в нем И=20. Необходимо отметить, что возможное

существование фуллерена С60 было предсказано задолго до его открытия в 1970 г. Это сделали японские ученые Е. Осава и З. Иошилда [11], а в 1973 г. советские ученые Д.А. Бочвар и Е.Г. Гальперин сделали это повторно. В работе [2] они рассчитали электронную структуру предполагаемого объекта, и доказали, что эта система может быть устойчивой.

И лишь почти через 10 лет фуллерен С60 был синтезирован, можно сказать, случайно. Г. Крото хотел смоделировать условия в атмосфере холодных красных

углеродных звезд типа ГОС+10216 [11]. Для этого он изучал молекулярные пучки углерода, получаемые в установке лазерного испарения, и исследовал зависимость количества углеродных кластеров от их размера с помощью времяпролетного масс-спектрометра. Полученное распределение кластеров по размерам было более-менее равномерным. Однако, оказалось, что количество

Рисунок 1 - Фуллерен С60

кластеров, содержащих 60 атомов углерода, является запредельно большим по сравнению с другими, как это показано на масс-спектре, приведенном на рисунке 2. Это говорило о том, что, по каким-то причинам, кластеры, содержащие 60 атомов углерода, являются наиболее устойчивыми. Если бы кластер из 60 атомов углерода представлял собой линейную цепочку, то из-за ненасыщенных связей он должен присоединять 20 и более атомов водорода, но этого обнаружено не было. В конце концов, Крото пришел к выводу, что обнаруженный кластер представляет собой усеченный икосаэдр, показанный на рисунке 1, в узлах которого расположены атомы углерода - фуллерен С60. Позднее было установлено, что менее интенсивный пик при 70, наблюдаемый в масс-спектре, представленном на рисунке 2, соответствует

фуллерену С70, который, согласно формуле (1.1.8), представляет собой выпуклый многогранник, содержащий 12 пентагонов и 25 гексагонов (рисунок 3).

Рисунок 2 - Масс-спектр фуллерена из работы

[1] Рисунок 3 - Фуллерен С70

Фуллерен С60, который был открыт первым, оказался более интересным по сравнению с фуллеренами, открытыми позднее - он обладает наиболее высокой симметрией 1И, и все его узлы эквивалентны. Радиус молекулы С60 равен 0.3512 нм. При этом молекула С60 не совсем точно является правильным многогранником, поскольку не все ребра (длины связей) равны друг другу. Так длина ребер, разделяющих гексагоны, составляет 0.139 нм, а длина ребер, разделяющих гексагон и пентагон, - 0.145 нм. Неравенство длин ребер имеет место и в других фуллеренах, которые были открыты позднее. Например, в фуллерене С70 длины связей меняются от 0.137 нм до 0.147 нм [17]. Такая же ситуация имеет место и в фуллеренах с более высоким индексом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Назарова, Татьяна Эдуардовна, 2017 год

Литература

1. Мак А. А. Преобразование солнечной энергии в лазерное излучение с использованием фуллерен-кислород-йодного лазера с солнечной накачкой /А. А. Мак , И. М. Белоусова, В. М. Киселев В, А. С. Гренишин, О. Б. Данилов, Е. Н. Соснов // Оптический журнал. - 2009. - Т. 76, № 4.- С. 4-24.

2. Бочвар Д. А. О гипотетических системах: карбододекаэдре, s-икосаэдре и карбо-Б-икозаэдре / Д. А. Бочвар, Е. Г. Гальперн// Доклады АН СССР. - 1973. - Т.209, № 3. - С. 610-612.

3. Dresselhaus M. S. Carbon fibers based on C60 and their symmetry / M. S. Dresselhaus, G. Dresselhaus, R. Saito // Physical Review B. - 1992. - Vol. 45. - P. 6234-6242.

4. Елецкий A. B. Эндоэдральные структуры / А. В. Елецкий // Успехи физических наук. - 2000. - T.170, №2. - C.113-141.

5. Елецкий А. В. Транспортные свойства углеродных нанотрубок / А. В. Елецкий // Успехи физических наук. - 2009.- Т. 179, № 3. - С.225-242.

6. Левин А. А. Введение в квантовую химию твердого тела / А. А. Левин. - М.: Химия, 1974. - 238 с.

7. Wehling T. O. Strength of effective Coulomb interactions in graphene and graphite / T. O. Wehling, E. Sasioglu, C. Friedrich, A. I. Lichtenstein, M. I. Katsnelson,

S. Blugel // Physical Review Letters. - 2011. - Vol. 106. - P. 236805.

8. Изюмов Ю. А. Материалы с сильными электронными корреляциями / Ю. А. Изюмов, Э. З. Курмаев // Успехи физических наук. - 2008. - Т. 178, № 1. - С. 25-60.

9. Hubbard J. Electron Correlations in Narrow Energy Bands / J. Hubbard // Proceedings of the Royal Society. - 1963. - Vol. 276. - P. 238-257.

10. Лоскутов В. В. Приближение статических флуктуаций для модели Хаббарда / В. В. Лоскутов, Г. И. Миронов, P. P. Нигматуллин // Физика низких температур. - 1996. - Т. 22, № 3. - С. 282-286.

11. Смолли Р. Е. Открывая фуллерены / Р. Е. Смолли // Успехи физических наук.

- 1996. - T. 168, № 3. - C. 323-330.

12. Iijima S. Helical microtubules of graphite carbon / S. Iijima // Nature. - 1991. -Vol. 354. - P. 56-58.

13. Ebbesen T. W. Large-Scale Synthesis of Carbon Nanotubes / T. W. Ebbesen, P. M. Ajayan // Nature. - 1992. - Vol. 358. - P. 220-222.

14. Ebbesen T. W. Patterns in the bulk growth of carbon nanotubes / T. W. Ebbesen, H. Hiura, J. Fujita, Y. Ochiai, S. Matsui, K. Tanigaki // Chemical Physics Letters.

- 1993. - Vol. 209. - P.83-90.

15. Novoselov K. S. Electric field effect in atomically thin carbon films / K. S. Novoselov, A. K. Geim, S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, A. A. Firsov // Science. - 2004. - Vol. 306. - P. 666-669.

16. Кац Е. А. Фуллерены, углеродные нанотрубки и нанокластеры / Е. А. Кац. -М.: Книжный дом «Либроком», 2014. - 296 с.

17. David E. W. Vibrational frequencies and normal modes of buckminsterfullerene /E. W. David ,G. H.William//Chemical Physics Letters.-1988. -Vol.144. - P. 366-372.

18. Сидоров Л. Н. Фуллерены / Л. Н. Сидоров, М. А. Юровская, А. Я. Борщевский, И. В. Трушков, И. Н. Иоффе. - М.: Экзамен, 2005. - 668 с.

19. Schmalz T. G. Elemental carbon cages / T. G. Schmalz, W. A. Seitz, D. G. Klein, G. E. Hite // Journal of the American Chemical Society. - 1988. - Vol. 110, N 4. -P. 1113-1127.

20. Хаматгалимов А. Р. Эндоэдральные высшие металлофуллерены: структура и свойства /А. Р. Хаматгалимов, Р. О. Коваленко // Российский химический журнал. - 2004. - Т. 48, №5. - С.28-36.

21. Haddon R. C. Electronic structure and bonding in icosahedral C60 / R. C. Haddon, L. E. Brus, K. Raghavachari. //Chemical Physics Letters. - 1986. - Vol. 125, N 5 -P. 459 -464.

22. Oku T. Formation and Characterization of Bulk Hetero-Junction Solar Cells Using C60 and Perylene / T. Oku, N. Kakuta, A. Kawashima, K. Nomura, R. Motoyoshi,

A. Suzuki, K. Kikuchi, G. Kinoshita. // Materials Transactions. - 2008. - Vol.49, N.11. - P.2457-2460.

23. Yang S. H. Ups of buckminsterfullerene and other large clusters of carbon/ S. H. Yang, C. L. Pettiette, J. Conceicao, O. Cheshnovsky, R. E. Smalley. // Chemical Physics Letters. - 1987. - Vol. 139, N. 3-4. - P. 233-238.

24. Hensen P. L. An EELS study of fullerite — C60/C70 / P. L. Hensen, P. J. Fallon, W. Kr'atschmer // Chemical Physics Letters. - 1991. - Vol.181, N. 4. - P. 367-372.

25. Lof R. W. Band gap, excitons, and Coulomb interaction in solid C60 / R. W. Lof, M. A. van Veenendaal, B. Koopmans, H. T. Jonkman, G. A. Sawatzky // Physical Review Letters. - 1992. - Vol. 68. - P. 3924.

26. Николаев А.В. Фуллерен C60 как псевдоатом икосаэдрической симметрии / А.

B. Николаев, Б. Н. Платухин// Успехи химии. - 2010. - Т. 79, № 9. С. 803831.

27. Leach S. Electronic spectra and transitions of the fullerene C60 / S. Leach, M. Vervloet, A. Despres, E. Br'eheret, J. P. Hare, T. J. Dennis, H. W. Kroto, R. Taylor, D. R. M. Walton. // Chemical Physics. - 1992. - Vol. 160, N.3. - P. 451466.

28. Фенелонов В. Б. Пористый углерод / В. Б. Фенелонов - Новосибирск: Институт катализа СО РАН, 1995. - 518 с.

29. Раков Э. Г. Нанотрубки и фуллерены / Э. Г. Раков. - М.: Логос, 2006. - 374 c.

30. Iijima S. Single-shell carbon nanotubes of 1-nm diameter / S. Iijima, T. Ichihashi // Nature. - 1993. - Vol. 363. - P. 603-605.

31. Cowley J. M. Electron nano-diffraction study of carbon single - walled nanotube ropes / J. M. Cowley, P. Nikolaev, A. Thess, R. E. Smalley // Chemical Physics Letters. - 1997. - Vol. 265. - P. 379-384.

32. Saito R. Electronic structure of chiral graphene tubules / R. Saito, M. Fujita, G. Dresselhaus, M. S. Dresselhaus // Applied Physics Letters. - 1992. - Vol.60. -P.2204-2206.

33. Wallace P. R. The Band Theory of Graphite / P. R. Wallace // Physical Review. -1947. - Vol. 71. - P. 622-634.

34. Hamada N. New one-dimensional conductors: Graphitic microtubules / N. Hamada, S. Sawada, A. Oshiyama // Physical Review Letters. - 1992. - Vol. 68. -P. 1579.

35. Ouyang M. Energy Gaps in "Metallic" Single-Walled Carbon Nanotubes / M. Ouyang, J. L. Huang, C. L. Cheung, C. M. Lieber // Science. - 2001. - Vol. 292. -P. 702-705.

36. Jeroen W. G. Electronic structure of atomically resolved carbon nanotubes /W. G. Wildoer Jeroen, C. Venema Liesbeth, G. Rinzler Andrew, E. Smalley Richard , Dekker Cees // Nature.- 1998. - Vol. 391. - P. 59-62.

37. Movlarooy T. Optical absorption and electron energy loss spectra of single-walled carbon nanotubes / T. Movlarooy, A. Kompany, S. M. Hosseini, N. Shahtahmasebi // Computational Materials Science. - 2010. - Vol. 49. - P. 450-456.

38. Adamyan V. One-electron states and interband optical absorption in single-wall carbon nanotubes / V. Adamyan, S. Tishchenko // Journal of Physics: Condensed Matter. -2007. - Vol. 19. - P. 186206.

39. Marinopoulos A. G. Optical absorption and electron energy loss spectra of carbon and boron nitride nanotubes: a first principles approach / A. G. Marinopoulos, L. Wirtz, A. Marini, V. Olevano, A. Rubio, L. Reining // Applied Physics A. - 2004. - Vol. 78. - P. 1157-1167.

40. Malic E. Analytical approach to optical absorption in carbon nanotubes / E. Malic, M. Hirtschulz, F. Milde, A. Knorr, S. Reich // Phys. Rev. B. - 2006. - Vol. 74. - P. 195431.

41. Kataura H. Optical properties of single-wall carbon nanotubes / H. Kataura, Y. Kumazawa, Y. Maniwa, I. Umezu, S. Suzuki, Y. Ohtsuka, Y. Achiba // Synthetic Metals. - 1999. - Vol. 103. - P. 2555-2558.

42. Jeong S. H. Optical absorption spectroscopy for determining carbon nanotube concentration in solution / S. H. Jeong, K. K. Kima, S. J. Jeong, K. H. Ana, S. H. Lee, Y. H. Lee. // Synthetic Metals. - 2007. -Vol. 157, N. 13-15. - P. 570-574.

43. Jost O. Diameter grouping in bulk samples of single-walled carbon nanotubes from optical absorption spectroscopy /O. Jost, A. A. Gorbunov, W. Pompe, T. Pichler, R .Friedlein, M. Knupfer// Applied Physics Letters. - 1999. - Vol.75, N. 15. - P. 2217-2219

44. Марч Н. Проблема многих тел в квантовой механике / Н. Марч, У. Янг, С. Сампантхар. - М.: Мир, 1969. - 496 с.

45. Абрикосов A. A. Методы квантовой теории поля в статистической физике / A. A. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялошинский. - М.: Физматлит, 1962.

- 443 с.

46. Lieb E. H. Absence of Mott transition in an exact solution of the short-range, one-band model in one dimension / E. H. Lieb, F. Y. Wu // Physical Review. - 1968.

- Vol. 20.- P. 1445-1448.

47. Изюмов Ю. А. Электронная структура соединений с сильными корреляциями / Ю. А. Изюмов, В. И. Анисимов. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2008. - 375 c.

48. Зайцев Р. О. Диаграммные методы в теории сверхпроводимости и магнетизма / Р. О. Зайцев. - М.: «Едиториал УРСС», 2010. - 175 c.

49. Metzner W. Correlated lattice fermions in d=infinity dimensions / W. Metzner, D. Vollhardt // Physical Review Letters. - 1989. - Vol. 62. - P. 324-327.

50. Anderson P. W. Localized Magnetic States in Metals / P. W. Anderson // Physical Review. - 1961. - Vol. 124. - P. 41-53.

51. Зубарев Д. Н. Двухвременные функции Грина в статистической физике / Д. Н. Зубарев // Успехи физических наук. - 1960. - Т. 71 , № 1. - С. 71.

52. Зайцев Р. О. О сверхпроводимости плоских соединений углерода / Р. О. Зайцев // Письма в ЖЭТФ. - 2011. - Т. 94, № 3. - С. 224-229.

53. Зайцев Р. О. Сверхпроводимость углеродных соединений а-типа / Р. О. Зайцев // Письма в ЖЭТФ. - 2012. - Т. 95, № 7. - С. 423-428.

54. Миронов Г. И. Энергетический спектр фуллерена С60 / Г. И. Миронов, А. И. Мурзашев // Физика твердого тела. - 2011. - Т. 53, № 11. - С. 2273-2277.

55. Nigmatullin R. R. Thermodynamics of an interacting Fermi System in the static fluctuation Approximation / R. R. Nigmatullin, A. A. Khamzin, I. I. Popov // JETP. - 2012. - Vol. 142. - P. 355-365.

56. Тябликов С. В. Методы квантовой теории магнетизма / С. В. Тябликов. - М.: Наука, 1975. - 527 с.

57. Коваленко В. И. Закономерности молекулярного строения стабильных фуллеренов / В. И. Коваленко, А. Р. Хаматгалимов // Успехи химии. - 2006. - Т. 75, № 11. - С.1094-1102.

58. Lin Y. Comparison studies of fullerenes C72, C74, C76 and C78 by tight-binding Monte Carlo and quantum chemical methods / Y. Lin, W. Cai, X. Shao // Journal of Molecular Structure: THEOCHEM. -2006. -Vol. 760, N. 1-3. - P. 153-158.

59. Марч Н. Теория неоднородного электронного газа /Н. Марч, В. Кон, П. Вашишта - М.: Мир, 1987. - 400 с.

60. Liu X. Favorable structures for higher fullerenes / X. Liu, T. G. Schmalz, D. J. Klein. // Chemical Physics Letters. - 1992. - Vol. 188. - P. 550-554.

61. Kamat P. V. Fullerenes: Recent Advances in the Chemistry and Physics of Fullerenes and Related Materials /P.V. Kamat, К. M. Kadish, D. M Guldi // The Electrochemical Society: Pennington. - USA. - 1999. - V. 7. - P.832.

62. Stevenson S. La2@C72: Metal-Mediated Stabilization of a Carbon Cage / S. Stevenson, P. Burbank, K. Harich, Z. Sun, H. C. Dorn, P. H. M. van Loosdrecht, M. S. de Vries, J. R. Salem, C.-H. Kiang, R. D. Johnson, and D. S. Bethune. // Journal of Physical Chemistry A. - 1998. - Vol. 102, N. 17 . - P. 2833-2837.

63. Michael D. Diener. Isolation and properties of small- bandgap fullerenes/Michael D. Diener, John M. Alford. // Nature. - 1998. - Vol. 393. - P. 668 - 671.

64. Kuran P. Preparation, isolation and characterization of Eu@C74: the first isolated europium endohedral fullerene / P.Kuran, M. Krause, A. Bartl, L. Dunsch // Chemical Physics Letters. - 1998. - Vol. 292. - P.580 -586.

65. Hisanori Shinohara. Isolation and spectroscopic properties of SC2 - AT - C74,SC2 -AT - C82, and SC2 - AT - C84 / Hisanori Shinohara, Hiroki Yamaguchi, Naoyuki Hayashi, Hiroyasu Sato, Masato Ohkohchi, Yoshinori Ando, Yahachi Saito // Journal of Chemical Physics. - 1993.- Vol.97, N.17.- P. 4259-4261.

66. Wan T. S. M. Production, Isolation, and Electronic Properties of Missing Fullerenes: Ca@C72 and Ca@C74 / T. S. M. Wan, H. W. Zhang, T. Nakane, Z. Xu, M. Inakuma, H. Shinohara, K. Kobayashi, S. Nagase // Journal of the American Chemical Society. - 1998. - Vol. 120, N. 27. - P. 6806-6807.

67. Haufe O. Darstellung, Isolierung und Charakterisierung von Ba@C74 / O. Haufe, A. Reich, C. Moschel, M. Jansen // Zeitschrift für anorganische und allgemeine Chemie. - 2001. - Vol. 627, N .1. - P. 23-27.

68. Kuran P. Preparation, isolation and characterization of Eu@C74: the first isolated europium endohedral fullerene / P.Kuran, M. Krause, A. Bartl, L. Dunsch// Chemical Physics Letters. - 1998. - Vol. 292. - P.580-586.

69. Grupp A. VIS-NIR, Raman and EPR Spectroscopy on Medium Cage Sized Endohedral Fullerenes / A. Grupp, O. Haufe, M. Hecht, M. Mehring, M. Panthöfer, M. Jansen // AIP Conference Proceedings. - 2004. - Vol. 723, N. 12.

70. Weaver J. H. XPS probes of carbon-caged metals / J. H. Weaver, Y. Chai, G. H. Kroll, C. Jin, T. R. Ohno, R. E. Haufler, T. Guo, J. M. Alford, J. Conceicao, L. P.

F. Chibante, A. Jain, G. Palmer, R. E. Smalley. // Chemical Physics Letters. -1992. - Vol. 190, N 5. - P. 460-464.

71. Hoinkis M. Multiple species of La@C82 and Y@C82. Mass spectroscopic and solution EPR studies / M. Hoinkis, C. S. Yannoni, D. S. Bethune, J. R. Salem, R. D. Johnson, M. S. Crowder, M. S. de Vries // Chemical Physics Letters. - 1992. -Vol. 198, N 5. - P. 461-465.

72. Shinohara H. Mass Spectroscopic and ESR Characterization of Soluble Yttrium-Containing Metallofullerenes YC82 and Y2C82 / H. Shinohara, P. L. Sato, Y. Saito , M. Ohkohchi , Y. Ando // Journal of Chemical Physics. - 1992. - Vol. 96. - P. 3571-3573.

73. Shinohara H. Encapsulation of a scandium trimer in C82 / H. Shinohara, H. Sato, M. Ohkohchi , Y. Ando, T. Kodama, T. Shida, T. Kato, Y. Saito //Nature. - 1992. -Vol. 357. - P. 52-53.

74. Shinzo Suzuki. Isomers and carbon-13 hyperfine structures of metal-encapsulated fullerenes M@C82 (M = Sc, Y, and La) / Shinzo Suzuki, Satoshi Kawata, Haruo Shiromaru, Kotaro Yamauchi, Koichi Kikuchi, Tatsuhisa Kato, Yohji Achiba. // Journal of Chemical Physics . - 1992. - Vol.96, N 18. - P.7159-7161.

75. Bartl A. Paramagnetic states in pristine and metallofullerenes / A. Bartl, L. Dunch, U. Kirbach, B. Schandert // Synthetic Metals. - 1995. - Vol. 70. - P. 1365-1368.

76. Изюмов Ю. А. Модель Хаббарда в режиме сильных корреляций / Ю. А. Изюмов// Успехи физических наук. - 1995. - Т. 165, № 4. - С. 403-427.

77. Миронов Г. И. Энергетический спектр фуллерена С60 / Г. И. Миронов, А. И. Мурзашев // Физика твердого тела. - 2011. - Т. 53, №11.- С. 2273-2277.

78. Мурзашев А. И. Энергетический спектр и оптические переходы в фуллерене С70 / А. И. Мурзашев // Известия вузов. Физика. - 2012. - Т. 55, № 5. - C. 4955.

79. Миронов Г. И. Исследование структурных элементов фуллерена в модели Хаббарда в приближении статических флуктуаций / Г. И. Миронов // Физика твердого тела. - 2007. - Т. 49, № 3. - С. 527-534.

80. Lu J. Strong metal-cage hybridization in endohedral La@C82, Y@C82 and Sc@C82 / J. Lu, X. Zhang, X. Zhao, S. Nagase, K. Kobayashi // Chemical Physics Letters. -2000. - Vol. 219. - P. 219-224.

81. Арутюнова (Назарова) Т. Э. Энергетический спектр и корреляционные функции кластеров углеродных нанотрубок хиральности (5,5) / Т. Э. Арутюнова (Назарова), Г. И. Миронов, А. И. Мурзашев // Физика твердого тела. - 2012. - Т. 54, № 9. - С. 1797-1807.

82. Миронов Г. И. Исследование фуллерена Au16 в модели Хаббарда / Г. И. Миронов // Физика твердого тела. 2008. - Т. 50, №. 1. - С. 182 -188.

83. Мотт Н. Ф. Переходы металл-изолятор / Н. Ф. Мотт. - М.: Наука, 1979. -344- с.

84. Зи С. М. Физика полупроводниковых приборов / С. М. Зи; пер. с англ. под ред. Р. А. Суриса. - М.: Мир, 1984. - Кн.1 - 456 с.

85. Kane C. L. Temperature Dependent Resistivity of Single Wall Carbon Nanotubes /C. L. Kane, E. J. Mele, R. S. Lee, J. E. Fischer, P. Petit, H. Dai, A. Thess, R. E. Smalley, R. M. Verschueren, S. J. Tans, C. Dekker // Europhysics Letters. - 1998. - Vol. 41. - P. 683-688.

86. Postma H. W. Ch. Electrical Transport Through Carbon Nanotube Junctions Created by Mechanical Manipulation / H. W. Ch. Postma, M. Jonge , Z. Yao, C. Dekker // Physical Review B. - 2000 - Vol. 62. - P. 10653-10656.

87. Skakalova V. Electronic transport in carbon nanotubes: From individual nanotubes to thin and thick new works / V. Skakalova, A. B. Kaiser, Y. S. Woo, S. Roth // Physical Review B. - 2006. - Vol. 74. - P. 085403.

88. Мурзашев А. И. Изучение электронных свойств ионизированных углеродных нанотрубок в модели Хаббарда / А. И. Мурзашев // Известия вузов. Физика. -2010. - Т. 53, № 10. - С. 47 -51.

89. Bobenko N. G. Are carbon nanotubes with impurities and structure disorder metals or semiconductors? / N. G. Bobenko, V. E. Egorushkin, N. V. Melnikova, A. N. Ponomarev // Physica E. - 2014. - V.60. - P. 11-16.

90. Egorushkin V. E. Anomalous thermal conductivity in multiwalled carbon nanotubes with impurities and short-range order/ V. E. Egorushkin, N. V. Melnikova, A .N. Ponomarev// J. Physics: Conference Series. - 2010. -Vol. 248. -P. 012005-1-012005-8.

91. Egorushkin V. E. Low-temperature thermopower in disordered carbon nanotubes / V. E. Egorushkin, N. V. Melnikova, N. G. Bobenko, A. N. Ponomarev // Nanosystems: physics, chemistry, mathematics. - 2013. - Vol. 4. - P. 622-629.

92. Egorushkin V. E. Electronic and Transport Properties of Carbon Nanotubes with Impurities and Structure Disorder/ V. E. Egorushkin, N. V. Melnikova, N. G. Bobenko, A. N. Ponomarev// Journal of Physical Science and Application. - 2012. - Vol.2 - P. 224-232.

93. Ouyang M. Atomically resolved single-walled carbon nanotube intramolecular junctions / J. L. Huang, С. L. Cheun, C. M. Lieber // Science. - 2001. - P. 97- 100.

94. Li S. Electrical properties of 0.4 cm long single walled carbon nanotubes / S. Li , Z. Yu, S-F. Yen, W. C. Tang, P. J. Burke // Nano Letters. - 2004. - Vol.4. - P. 2003-2007.

95. Арутюнова (Назарова) Т. Э. Углеродные нанотрубки в модели Хаббарда / Т. Э. Арутюнова (Назарова), Г. И. Миронов, А. И. Мурзашев // IV Всероссийская конференция по наноматериалам: сб. материалов - М.: ИМЕТ РАН, 2011. - 574 с.

96. Арутюнова (Назарова) Т. Э. Энергетический спектр и корреляционные функции кластеров углеродных нанотрубок хиральностью (5,5) в модели Хаббарда / Т. Э. Арутюнова (Назарова), Г. И. Миронов, А. И. Мурзашев // Структура и динамика молекулярных систем: сб. ст. Вып. XVIII, Ч. 1. Казанский (Поволжский) федеральный университет. - 2011. - С. 8.

97. Арутюнова (Назарова) Т. Э. Углеродные нанотрубки в модели Хаббарда на примере системы из 30 атомов. / Т. Э. Арутюнова (Назарова), Г. И. Миронов, А. И. Мурзашев // Физика и ее преподавание в школе и вузе. IX

Емельяновские чтения: материалы Всерос. науч.-практ. конф. / Мар. гос. Унт; под ред. В. А. Белянина, Н. Л. Курилевой. Йошкар-Ола. - 2011. - С. 11-13.

98. Арутюнова (Назарова) Т. Э. Энергетический спектр и корреляционные функции кластеров углеродных нанотрубок хиральностью (5,5) в модели Хаббарда /Т. Э. Арутюнова (Назарова) // Актуальные решения современной науки: сб. науч. работ аспирантов. Вып. II. / Мар. Гос. Ун-т. Йошкар-Ола. -2011. - С. 167-172.

99. Арутюнова (Назарова) Т. Э. Энергетический спектр и корреляционные функции фуллерена С60 и кластеров углеродных нанотрубок хиральности (5,5) / Т. Э. Арутюнова (Назарова), Г. И. Миронов, А. И. Мурзашев // VI Международная научная школа «Наука и инновация - 2011»: материалы шестого международного научного семинара «Фундаментальные исследования и инновации» и Всероссийского молодежного научного семинара «Наука и инновация - 2011», 18-24 июля 2011. - Йошкар-Ола, 2011. - С. 37-51.

100. Назарова Т. Э. Кластер углеродной нанотрубки из 40 атомов в модели Хаббарда / Т. Э. Назарова // Актуальные решения современной науки: сб. науч. работ аспирантов. Вып. III / Мар. Гос. Ун-т. Йошкар-Ола. - 2012. - С. 187-190.

101. Мурзашев А. И. Энергетический спектр и спектр оптического поглощения эндоэдрального фуллерена Ca@ С72 / А. И. Мурзашев, Т. Э. Назарова // XLVII Школа ФГБУ «ПИЯФ» по физике конденсированного состояния. Гатчина. - 2013. - С. 82.

102. Мурзашев А. И. Энергетический спектр и спектр оптического поглощения эндоэдрального фуллерена Ca@C72 / А. И. Мурзашев, Т. Э. Назарова // Физика металлов и металловедение - 2014. - Т. 115, № 7 - С. 675-681.

103. Мурзашев А. И. Энергетический спектр и оптические свойства фуллерена C74 в рамках модели Хаббарда / А. И. Мурзашев, Т. Э. Назарова // Журнал

экспериментальной и теоретической физики - 2014. - Т. 146, № 5. - С. 1026 -1034.

104. Melnikova N. V. Theoretical investigation of energy spectrum of carbon nanotubes in the frame of strong related state conception/ N. V. Melnikova, A. I. Murzashev, T. E. Nazarova, E. O. Shadrin // Synthetic Metals. - 2016. - Vol. 220, P. 292-299.

Приложение А. Выражения для величин входящих в формулу (3.2.3)

(1)

М,

М 20 =

М3(1) =

ип

ип2

+

20 А 20 А

— (и + Ш2 - А)п

+

1

и

ви

Л г

---¡= л,2 + -¡= +---

10С 5С1ЛВ ) 1 15С1ЛВ 10 10С

и

+

2

Вип

Вип2 1 ип2 +---

20 А 20

п1

+

ви

1 ип

л

--+

2

10С2 5С24В2 5С24В2 10 10С2) 1 ^ 10С2 5С24Ё2)

п1 -

и

ви

п12-

+--

Вип„

10С 10 5С2Л[В

М 41)

ип

и

Вип

Ви

1 ип

---+

10С1 5С1ЛВ 5С1У[В 10 10С1J 1 [ 10С1 5С1Л/В,

п +

и

Ви

п2 -

п11

■ + — +

Вип

10С1 10 5С1Л/В

М,

(1)

ип2

+

20 А 20А

— (и + Ш2 - А)п

ип

+ ■

1

20А 20

М.

(1) _

— (ип + Ш2 - А)п

20 А

М= [- (2иВ + и4В2 )п2 - (ип2Л1В~2 - С24В2 + 2Вип2)п

10С 2^ В2

М8(1) = [(иТВ; - 2иВ)п2 + (2Вип2 + 2Ви - - С^ - и^К +

10ЧЛ/ В2

+ ип2У[В - 2Вищ + С,4В ]

М ? = [(2иВ - и 4В )п2 - (2Вип2 - ип24В2 - С1Л/В2 К

10ЧЛ/ В2

М

(1)

10

= — [ип2 -(и + ип + А)п + А + ип]

20 А

М

(1) _

11

М

(1) _

12

— (ип + А - ип )п

— (ип + А - ип )п

20А

1

1

M

13

= — [Un2 -(U + Un2 + A)n + A + Un2]

20A

ml1 = 1 [(2UB - UA/BLК - (un2 VB + C^VBL - 2BUn2 ]

10cw B(

m((:) = 1 [(uVBL - 2UB)n:2 - (uVB - 2BUn2 - 2BU + Un^ + C3VBК +

10cw B(

+ Un2VÄ- 2 BUn2 + C 2 VBL ]

"2 ' 2 '

mLL = [- (2UB + u4B2 + {un24ß2 + C24ß2 + 2BUn2]

10С W b2

M ((L) =—K= [- (uVBL + 2UB)n2 - (u Vb + 2 BUn2 + 2BU + Un2 + c2Jb2 n + 10С W B2

+ Un2,¡B2 + 2 BUn2 + C2jB ]

M((:) = —[-(2UB + UVBL)nL -{un24ß( + CA4ß( + 2BUn2)n] 10С4Л/ B(

mLL [-(uVBL + 2UB)n(2 -(uVÄ + 2BUn2 + 2BU + Un^ + C4 VB+

10c w B(

+ Un2y[B + 2 BUn2 + ]

m20) = ^ nr [(2UB - U^BL- (2BUn2 + 2BU - - Un^ + C3VB)n( 10С^ B(

Un2JB + 2 BUn2 + ^^ VB ]

23

M2:) = [(UVBL - 2UB)n2 +(c^VB( - Un2VB + 2BUn2 ]

10cw B(

m= * nr [- (uVBL + 2UB)n2 - (c4 VBL - UVBL - 2BUn2 - 2BU + Un24ß( + 10c W B(

+ C4JB - UnJB - 2 BUn2 ]

M [(uVB + 2UB)n2 + (c4 VB - Un2y[B - 2 BUn2 ]

i0c^VBL

M24)=¿ (A + Un: - Un2 )n:

EiO)=^_UAl + ^ + A + в ; E ?)=*-^ + ^ + C + U ; E^ = S - ^ + ^ + ÇL 1 222 222 222

E ()=s-U—L + ^ + CL; Ef) = s- ^ + ^ + A - в ; 4 2 2 2 2 2 2

E (1) E6

e83) —s

Un1 Un2 A

s--1 + —1 +--B + U ; E7

2 2 2 7

Un Un С

2

e,(1) — s

Un Un —- + —L

22

Un Un —1+ 2

2

cl; e93)—s 2 9 2

A

(1) -s-+ + C2 + U 22

f + U ; e£>—s

Un Un С

+

Un Un A

+ B + U ; E 1(3) — s

22

2

Un Un A +

2

2

- + B. 2

E33 — s

4l)

'13

4l)

Un Un A

2

2

__-B • E(1) —s-2 ; El4 —s 2

22

Un Un С 2

2

B + U

1 ++ U ; E

2

(l) 15

Un Un2 C3

s---1----;

2

2

2

e33) — s

eÍ,) — s

Un Un

1 + 2

С

2

22

+ U ; e1(1)—s

Unl , un2 Q ^^^^Un2_C_+c/.

u^^ Un С

2

22

4 . E (1)

E20

■ + ■

22

Un Un С

2 ; El8—s 21 + " 2

2

s

+ ■

2 + CL- E(1) + ; E 21

Un Un С

e (1) e 22

'(1)

Un Un С

s-

■ + ■

2 + c4 • E(l)

+ ; E 23

e24 — s

2 2 2

Un1 Un2 A

—1 + —1 + — + B + U. 2 2 2

1 n , ^ 1 n

s-

2 2 2

+ C4 +

2 2 2

s

2

+ —^ + + U: 22

MÍ2)— 1 - M52) 1 4 4 2 r

M 3(2} — M ?)— ^

4 4 3 4 4 4

m!2 > — -

M f) —

6

U

+

BU

л

/

и! +

U

+ ■

BU

Un

1

BUn

20C 104б2С2у 2 L20C 20 10С24Б2 \

n

-

BU

U

+-+

2 у Un

+ — +

BUn

20C2 104ß2C2 J 2 110C24ß2 20C2 20С2 20 10C24ß2 ,

n2 +

+

Un

+

+ '

BUn

20С2 20 10С2Л/В"

M 7(2 ) —

BU

U

n\ +

U

BU

+

Un

BUn

Ш^ВС 20С3 J 2 I 20С3 10С3ТВ 20С3 20 10С3^/В

n

Un 1 п + — +