Электромагнитные возбуждения в проводниках с анизотропной зонной структурой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат физико-математических наук Савинский, Сергей Степанович

• Савинский, Сергей Степанович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Савинский, Сергей Степанович

Введение. 4.

Глава I Распространение электромагнитных возбуждений в проводниках со сложным электронным спектром.11.

1.1 Проводимость и особенности динамических характеристик носителей заряда.Д*.

1.2 Основные типы электромагнитных возбуждений и их связь с особенностями проводимости.?9.

Глава 2 Электромагнитные возбуждения в благородных металлах 33.

2.1 Динамические характеристики носителей заряда в благородных металлах.

2.2 Проводимость благородных металлов и спектр электромагнитных возбуждений

Глава 3 Кратные анизотроны в алюминии

3.1 Динамические характеристики носителей заряда в алюминии 5С

3.2 Анизотроны в алюминии

Глава 4 Электромагнитные возбуждения в проводниках с многодлинной зонной структурой .£7.

4.1 Предельные частоты анизотронов в висмуте

4.2 Анизотроны в легированных полупроводниках /ъ - ^ ";

Глава 5 Модуляционная неустойчивость геликонов в проводниках^.

5.1 Основные уравнения .87.

5.2 Средние пондеромоторные силы, действующие на решетку в электромагнитном поле.

5.3 Модуляционные эффекты локального геликона .Я4.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электромагнитные возбуждения в проводниках с анизотропной зонной структурой»

Электродинамические явления в проводниках, как известно, весьма разнообразны. Перечислим некоторые из них:.аномальное проникновение электромагнитного поля в толщу проводника, наличие слабозатухающих коллективных возбуждений, многочисленные осциллятор-ные эффекты, связанные с квантованием электронного спектра в магнитном поле. Основные результаты исследований электродинамических свойств проводников нашли свое отражение в ряде моногра-фи® ^^ и ойзорннх статей С^! . .

В последние годы в электродинамике проводников был получен ряд новых результатов. Экспериментально и теоретически исследог а о 1 ван нелинейный аномальный скин-эффект 1 . В полуметаллах г О 1 впервые наблюдался нелинейный циклотронный резонанс. ц . Экспериментально изучена возможность генерации, звуковых колебаний переменным электромагнитным полем ^ 101 . Продолжались исследования ферми-жидкостных явлений в металлах и., изучались условия существования допплеронов в ограниченных проводниках ^ ^ 1

Интерес к электродинамике проводников объясняется рядом причин. Во-первых, исследование спектров слабозатухающих электромагнитных возбуждений позволяет выявить.индивидуальные характеристики носителей проводника. Во-вторых, изучение нелинейных эффектов позволяет расширить.наши представления об электродинамических свойствах проводников. Все это, в связи с появлением сверхчистых материалов, стимулирует разработку новых элементов криогенной электроники.

Центральное место в электродинамике проводников занимает проблема коллективных возбуждений твердотельной плазмы. Спектр коллективных возбуждений твердотельной плазмы, находящейся в магнитном поле, зависит от величины поляки параметров зонной структуры проводника. Это приводит к необходимости изучения специфических для каждого проводника особенностей спектра возбуждений.

В классическом магнитном поле спектр электромагнитных возбуждений определяется через динамические характеристики отдельных, групп носителей и связан с геометрией ферми-поверхности. Например, в щелочных металлах, где ферми-поверхность пойти сферическая, электромагнитные возбуждения похожи на возбуждения газоразрядной.маг

М С1 нитоактивной плазмы 1А . в анизотропных проводниках, в которых ферми-поверхности являются щогосвязными и анизотропными, существуют электромагнитные волны, которых нет в щелочных металлах. г \ 4 1

Примером таких волн является допплерон 1 . Допплероны наблюдаются в радиочастотном диапазоне и связаны с носителями, испытывающими экстремальное смещение за циклотронный период вдоль магнитного поля.

Кроме допплерона в анизотропных проводниках существует.высог 1 0 1 кочастотная волна анизотрон 1 . Это возбуждение связано с выделенной группой носителей, имеющих экстремальные циклотронные частоты и двигающихся. в магнитном поле по некруговым циклотронным орбитам. Анизотрон может существовать и из-за наличия нескольких выделенных групп носителей, имеющих различные циклотронные частоты.

Заметим, что в большинстве теоретических работ по расчету дисперсионных кривых электромагнитных возбуждений в анизотропных проводниках использовались модели ферми-поверхностей, которые лишь качественно отражали реальную электронную структуру. Эти модели выбирались в виде,простых геометрических фигур: круговой и гофрированный цилиндры, поверхность вращения, эллипс, октаэдрическое тело и не позволяли описать локальную геометрию поверхности Ферми, а также, получить количественные данные о спектре электромагнитных возбуждений.

В тоже время имеются полные данные об энергетических электронных спектрах во многих металлах, полуметаллах и полупроводниках. Используя эти данные, на ЭВМ можно численно.рассчитать проводимость и спектр электромагнитных возбуждений. Проведению численных расчетов дисперсионных кривых электромагнитных возбуждений в.анизотропных проводниках ( Си, Я^ , ВС , и-^С \ и посвящена диссертационная работа.

В последнее время возрос интерес.к изучению, нелинейных электромагнитных возбуждений в твердотельной плазме (о нелинейных других эффектах было упомянуто выше). В металлах при низких температурах, как известно, основной.механизм нелинейности связан с воздействием

Г 1-1 силы Лоренца магнитного поля волны на электроны и . . Магнитное поле волны, складываясь со статическим магнитным полем, искажает, траектории электронов, что приводит к изменению затухания и частоты волны. Такой механизм самовоздействия волн изучался в работе Г19] на примере геликонов, распространяющихся под углом к статическому магнитному полю, и экспериментально обнаружен на доппле

Г 9 0 1 ронах в кадмии ц * -1 . Нелинейные явления. также изучаются в . диссертации:.исследована.модуляционная.неустойчивость геликонов. Делью диссертационной работы явилось: а) Изучение условий существования анизотронов в проводниках со сложными ферми-поверхностями. . б) Построение областей бесстолкновительного затухания электромагнитных возбуждений и расчет па^летров дисперсионных кривых анизотронов и геликонов в благородных металлах и алюминии. в) Численный расчет предельных частот анизотронов (и циклотронных волн) в висмуте и легированных полупроводниках , и-бе ж г) Вычисление средней пондеромоторной силы, действующей со стороны электромагнитного поля на решетку и определение условий модуляционной неустойчивости геликонов в проводниках.

Результаты« полученные в диссертации можно кратко сформулировать следующим образом:

1. С использованием реальных электронных спектров построены области бесстолкновительного затухания, определяющие положение различных ветвей спектра электромагнитных возбуждений (геликонов, допплеронов, анизотронов и др.) в ряде металлов (Яд,Сц;/1£)в

2.- Показано, что компоненты тензора проводимости анизотропного проводника обращаются в бесконечность на огибающих и .дискриминантах семейства = , где выполнены условия резонансного взаимодействия электронов с волной.

3. Вычислены динамические характеристики носителей заряда в благородных металлах ( для направления магнитного поля ? совпадающего с осью симметрии четвертого порядка. С помощью найденных .динамических характеристик, численно на ЭВМ расчитана дисперсионная кривая геликона, с учетом столкновительного и бесстолкновительного затухания. В .длинноволновой области найденный спектр с хорошей точностью (порядка 1%) совпадает со спектром геликона,

Г 2 \ 1 полученным Кристенсеном в работе и * А -1 . Вблизи первого циклотронного резонанса на дырочных 4 К-орбитах найдены параметры .дисперсионной кривой поперечного анизотрона в серебре и меди.

4. В алюминии построены области бесстолкновительного затухания электромагнитных волн и расчитаны дисперсионные кривые поперечных анизотронов: найдены предельные частоты (о) и коэффициенты перед С^ .

5. Исследовано положение предельных частот анизотронов в висмуте и легированных полупроводниках К-$С?И-Сев случае произвольной ориентации магнитного поля относительно кристаллографических осей.

6. Получена система нелинейных уравнений в частных производных, описывающая эволюцию амплитуд геликона и продольного звука в пространстве и во времени. Для малых возмущений амплитуд определено условие модуляционной неустойчивости геликона. Найдены также стационарные решения для уединенных волн модуляции.

Диссертация состоит из Введения, пяти глав, Заключения и списка литературы. Во Введении сформулированы цели и метода исследо- . вания, показана научная новизна работы и ее практическая ценность.

Заключение диссертации по теме «Физика конденсированного состояния», Савинский, Сергей Степанович

Основные результаты главы относятся к исследованию модуляционной неустойчивости геликонов, распространяющихся в направлении статического магнитного поля. Механизм рассматриваемого явления можно пояснить следующим образом. Магнитное поле геликона, амплитуда которого медленно меняется в пространстве, воздействует на решётку и возбуждает продольный звук. Это обстоятельство, в силу условия электронейтральности, приводит к изменению электронной концентрации. Таким образом, частота геликона, зависящая от концентрации носителей, становится функцией амплитуды, что и вызывает модуляционную неустойчивость. Как будет показано ниже, модуляционная неустойчивость возможна лишь в том случае, когда групповая скорость геликона меньше скорости продольного звука.

5.1. Основные уравнения

Исходная система уравнений, описывающих взаимодействие геликона со звуком состоит из уравнений Максвелла, уравнений теории упрогости и кинетического уравнения для электронной функции распределения.

Уравнения упрогости в приближении электронейтральности проводника имеют вид

4«р. * & I»*

5Л) где 9=рр + шЛ/о , М» - равновесная концентрация электронов, м. - масса электрона, ?Р - невозмущенная плотность решетки т 7а „'Л Т*-- ог? -¿и ¿Ч\

У- - вектор смещения решетки, б^е - тензор упругих напряжений, | - функция распределения электронов, - е - заряд электрона. В (5.1) закон дисперсии электрона есть где - невозмущенный закон дисперсии,

Аке - тензор деформационного потенциала, знак обозначает интегрирование по импульсам в пределах первой зоны Бриллюэна, К0 - напряженность статического магнитного поля, К - напряженность магнитного поля волны, V - ^

И О 1с

Ра йк - квазиимпульс электрона, с - скорость света.

Кинетическое уравнение .для электронов есть

Ъ± ог ъг'-къЪ (5.2) где Р е? - х н и - сила Лоренца,

С; л

Е - напряженность электрического поля волны, 1 -- интеграл столкновений.

Уравнения Максвелла .для электромагнитного поля в проводнике имеют обычный вид

ШН с-Ы > ' (5.3) причем связь с производной по времени от вектора электрической индукции об с напряженностью электрического поля волны определяется формулой (5.11).

Для расчета модуляционных эффектов найдем с помощью системы (5.1), (5.2), (5.3) среднюю пон.деромоторную силу, действующую со стороны высокочастотного геликона на решетку. Пусть электрическое и магнитное поле волны определяется выражениями

Е Е^.-П^НиН-ы^г ) + к.с. ] у { + ('£?) + к. с.} й / (5.4) где ? НСг^) - медленно меняющиеся в пространстве и во времени амплитуды (частота изменения амплитуд - ф и волновой вектор К много меньше несущей частоты о) и волнового вектора геликона). Тогда функцию распределения электронов, у.повлетворяющую кинетическому уравнению (5.2) можно искать в виде ч Л| I

-{о + 4 + I С^Ь.,

5.5) о - равновесная функция распределения, | - 2 {р(-1и>{ + I $ г!) + к. с. ^ осциллирующая с частотой и) во времени и волновым вектором в пространстве добавка к равновесной функции распределения,

- неосциллирующая добавка. Верхний индекс в (5.5) определяется порядок малости по амплитуде геликона.

В соответствии с (5.5), выражение для электронного тока запишем в виде ^

1* + ЬС?,*) ; у —» где = | ( + ^ + к.с.} - осциллирую / \ щий ток, -локально "выпрямленный" ток.

Подставляя выражение .для функции распределения (5.5) и электронного тока | в формулу (5.1), и прове.дя усреднение, нетрудно получить уравнение описывающее низкочастотный звук где черта обозначает усреднение по временному и пространственному масштабу высокочастотного геликона. Формула (5.6) получена с точностью до второго порядка малости по амплитуде геликона. Кроме того, частота геликона и) считается далекой от частоты смещения геликона с поперечным звуком С^ (у , где

С^. - скорость поперечного звука36.

5.2. Средние пондеромоторные силы, действующие в электромагнитном поле на решетку.

Перейдем к вычислению силы в правой части (5.6), создаваемой геликоном.

Будем считать, что спектр электронов изотропный и квадрае ъ81сг Vе тичный - ^-Ь- . в этом случае тензор можно представить в виде £813

С = * ^ где и Сх(\г} - изотропные функции, 5ке - символ Кронеккера.

Если да геликона выполнено условие локальности, т.е. « , где К - характерный радиус Лармора электронов, .движение электронов можно описывать в гидродинамическом приближении. Для этого введем среднюю скорость, определяемую соотношением ^

Третье и четвертое слагаемое в правой части (5.6) вычислим в локальной системе координат, движущейся со скоростью V . Для краткости эту систему координат будем называть штрихованной сис

-9 | темой координат. Совершая преобразование Галилея тг^т)- + V и учитывая изотропию функции распределения в штрихованной системе координат ( = 0 ), нетрудно преобразовать с точ

95 Взаимодействие спиральных волн с поперечным звуком при выполнении условия 10= ^ рассматривались в С 80] ^ ностью до второго порядка малости по амплитуде геликона третье слагаемое в правой части (5.6) к виду

Здесь величина ^ «Р'^о (г,!)}} имеет в гидродинамическом приближении смысл отклонения давления электронной подсистемы от равновесного и, как нетрудно показать, с помощью уравнения состояния и условия электронейтральности проводника, это слагаемое может быть включено в перенормировку тензора упругих напряжений. Для вычисления слагаемого ^ « {в штрихованной системе координат разложим функцию С С я? V V ^ в ряд Тейлора —>> по скорости V , ограничившись квадратичными слагаемыми

С1?'+у ^ = С(л ++1 / ± 1О + т> сг1 -гг + г ^ а' ъ \у( 11 и т

5.7)

I • * ч

Аналогичное разложение имеет место и .для функции ^(г + У ) . Подставляя разложение (5.7) для + V) и ) в четвертое слагаемое правой части (5.5), с учетом (5.6), и изотропии функции распределения £ в штрихованной системе координат, получим с точностью до второго порядка малости по амплитуде геликона выражение А е« Д.е = М К Я % + и, V. Ь у„ ) ^ * 1 «¿'Ч^т^+Ш'))» , я = 1«(сс?')к У о

Л/р г»- е а-^тт- * + <т )*»>> .

Величина т « Vх2 ( С(\г') + СИ?')) (Г,"О» в (5.8) имеет смысл отклонения давления электронов от равновесия и, согласно уравнению состояния электронной подсистемы, может быть выражена через отклонение концентрации от равновесной. Воспользовавшись уравнением электронейтральности проводника, рассматриваемое слагаемое в правой части (5.6) можно включить в перенормировку тензора упругих напряжений.

Таким образом, окончательное выражение для средней пондеро-моторной силы, действующей на решетку со стороны локального геликона, определяемое правой частью (5.6), в гидродинамическом приближении имеет вид

5.9)

В случае А = В = 0 выражение (5.9) переходит в полученную в работе формулу .для средней силы, действующей со стороны высокочастотного электромагнитного поля на холодную магнито-активную плазму.

С помощью общего выражения (5.9),вычислим среднюю пондеро-моторную силу, действующую на решетку при распространении геликона в металле или полупроводника вдоль статического магнитного поля <^11 Н0 , направленного по оси симметрии высокого порядка. В этом случае волна имеет круговую поляризацию, а закон дисперсии геликона определяется из уравнения и)г ' и)с со 7 (5.10) где £ £кх(ш,0) + I €ху(ь)(0) - локальная диэлектрическая проницаемость, £Ор - плазменная частота, ¿Ос - циклотронная частота, Н 0II 0 г . Формула (5.10) справедлива при и) и)с , С0сЬ >> I ( ^ - время электронных соударений) .

Будем считать амплитуду циркулярно-поляризованной волны, зависящей только от координаты « и времени "Ь .В рас-сматриваемой^геометрии, в силу цилиндрической симметрии ¿„(г*,*)I!Н0, и вектор V имеет только поперечные компоненты относительно статического магнитного поля. Поэтому первое и третье слагаемое в (5. !9) равны нулю.

Поскольку частота модуляции 9 и волновой вектор модуляции К гораздо меньше основной частоты £0 и волнового вектора ^ 9 .для геликона справедливы соотношения:

-1 (Ню €ИК(ц),й + |М)е/Р(-Мп>Н А

Ц-И - {((-««ОЕцЛ,« + + м.);

Далее, учитывая (5.11), нетрудно преобразовать второе слагаемое (5.9) к виду

5.12) воспользовавшись соотношением для осциллирующего тока

5.13)

В (5.12) Е и,*) = ) ~ I ^ - циркулярно-поляризованная амплитуда. Выражая скорости V из (5.13), (5.11) и учитывая слагаемые, содержащие производные не выше первой, преобразуем четвертое слагаемое (5.9) следующим образом V* и Ь (5.14)

Заметим, что выражение (5.14) имеет малость порядка ^ относительно (5.12), поэтому это слагаемое в выражении для средней пондеромоторной силы (5.9) учитывать не будем. Также в (5.9) х VA Ъ J-oCf.i) пренебрежем членом r-f—— , который имеет малость по О "с 5 ^ сравнению с основным слагаемым (5.12) порядка (*,!)/( ^ Уравнение (5.6) для низкочастотного звука распространяющегося вдоль оси Oí , с учетом (5.12), примет вид

Л Г

Первое слагаемое в выражении .для (5.15) определяет roe 1 силу Вашими-Карпмана LO .В случае, когда статическое магнитное поле равно нулю и —^ «, сила Вашими

U) с л П

Карпмана обращается в ноль, второе слагаемое в перехо.дит в силу Миллера (см. ,напрмер, ^

Вводя вместо амплитуда электрического поля в (5.15) амплитуду магнитного поля волны Н HxU,-0 - i Кх, , согласно (5.II), Н - ( e*(io,o)\1/b B~Ci,í ) и, учитывая, что Си>{о) >"> Í. , получим уравнение

2,, Л л2,

Ъ±1 е ^>ÍZ iCjlfíO 'цщьъ (5Л6) описывающее воздействие магнитного поля геликона на продольные колебания решетки.

5.3. Модуляционные эффекты локального геликона

Для описания модуляционных эффектов уравнение (5.16) необходимо дополнить уравнение для комплексной огибающей. Последнее наиболее просто можно получить из локального закона дисперсии геликона в лабораторной системе координат. Процедура получения уравнения для комплексной огибающей волны хорошо известна (см., например, Е85] ^ поэтому мы приведем без вывода само уравнение

5.17)

Здесь Цц"5^ ) ли) - локальный сдвиг несущей частоты геликона. В рассматриваемой задаче локальный сдвиг частоты геликона обусловлен изменением концентрации электронов и доппле-ровским сдвигом частоты при переходе от системы координат, .движущейся со скоростью решетки 'Ж* к лабораторной системе ч^н > (5.18) где в силу уравнения электронейтральности о проводника. Таким образом, согласно (5.18), сдвиг несущей частоты геликона определяется через амплитуду низкочастотного продольного звука, которая согласно уравнению (5.16), связана с квадратом амплитуды огибающей Н (^"Н

Система уравнений (5.16), (5.17)?с учетом (5.18)9представляет собой связанную систему нелинейных уравнений, определяющих эволюцию в пространстве и во времени амплитуду низкочастотного звука и геликона.

Введем безразмерную комплексную амплитуду огибающей

По

Для малых возмущений , где % - постоянная невозмущенная амплитуда, ^ - малое возмущение, из системы уравнений (5.16), (5.17)?с учетом (5.18\нетрудно получить линеаризованную систему уравнений в частных производных относительно ^ и И* , периодические решения которой ^е^рбмйЬ позволяют определить .дисперсионное уравнение .для волн модуляции f О - КÛ- i- i о-'к:8+ )ф]г

Т Л Q2- - Ср2 К. ^ (5.19)

2 H

V u По где \УА - ттгь •

Рассмотрим решения дисперсионного уравнения (5.19) Q -= KOTq + SQ , где малая величина << Q удовлетворяет соотношению следующему из (5.19). В случае Кг| Се I > ify SQ , соотношение (5.20) переходит в из которого следует, что О для < Cg и максимальный инкремент нарастания волн модуляции достигается при г I fol2 k Ci -ù* ^ (5.21) и . Условие применимости формулы (5.21) ограничено неравенством kexil Ce-$}ZI > - y I отсюда I Ce - tXj I > 2 "a , Подставляя оценку .для

Ce ~ B (5.21), найдем значение .для максимального волнового вектора модуляции, вызывающего модуляционную неустойчивость локального геликона 1 • (5.22)

Заметим, что оценка (5.22) справедлива при « i . в противном случае в уравнение (5.17) необходимо учесть члены, содержащие производные более высокого порядка.

Рассмотрим стационарные волны модуляции, распространяющиеся вдоль направления статического магнитного поля с постоянной ско ростью без изменения профиля. В этом случае система уравнений (5.16), (5.17), с учетом (5.18)., становится системой уравнений в полных производных по "бегущей" переменной |= ё - Vf . Вычисляя правую часть уравнения (5.16)., получим л* im2 к Vе -се8 л г ' (5.23) где V - скорость волны модуляции. Интегрируя уравнение (5.23) по переменной % и, полагая <P|+oes= 0 9 получим f J- " ^ ^ /Ф|2 4 ~V2- Се2 (5-24) и соответственно для локального сдвига несущей частоты геликона

5.18) ^

4 е (5.25)

В этом случае уравнение (5.17) .для безразмерной амплитуды огибающей,с учетом (5.25), сводится к нелинейному уравнению Шре-дингера д

5.26) и имеет решения вида I

К?)е>ср(; + Ш) ,

1 (5.27) где - действительная амплитуда огибающей, <Р~ Ул^ч V ( / ) • Солитонные решения для функции й , которая удовлетворяет уравнению г 7 (5.28) существует при Л > 0 и име|ет вид

5.29)

Соответственно отклонение концентрации электронов от равновесной, определяемое из уравнения электронейтральности проводника есть

Амплитуду низкочастотного звука найдем, интегрируя (5.24), с учетом (5.27), (5.29) u д, иЛ<п Vz - С? ¿Уе * 1 '

Общее выражение да циркулярной компоненты магнитного поля локального геликона (81) Н = Нх - i Ну ,в соответствии с (5.27), (5.29) имеет вид Vz*<(z-Vi)+ UjUti + lWi)')!) vj 2 W M4(5.30)

Здесь параметр fl0 и скорость солитона огибающей V определяются через поведение напряженности магнитного поля гелил. , кона на границе Н |г0 по (5.30) при фиксированной несущей частоте и)

Рассмотренные в настоящей главе эффекты модуляционной неустойчивости локального геликона могут наблюдаться при выполнении условия

Д1д)>> Р »

Г - характерное обратное время затухания геликона).

Численные оценки показывают, что для типичных металлов это усъ ловие выполняется для амплитуд геликона порядка 1° 5. , если параметр имеет порядок I04.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам,' полученным в диссертационной работе,' можно сделать кратко следующие выводы,

1. Систематически изучены условия существования анизотронов в ряде металлов ( } № ), полуметалле висмут и легированных полупроводниках ?и-6-е . Полученные данные о параметрах дисперсионных кривых анизотронов могут быть использованы при экспериментальном изучении электромагнитных свойств указанных проводников.

2. Учет ферми-жидкостного взаимодействия в проводниках может изменить параметры дисперсионных кривых анизотронов вблизи границ областей ДСЦР. Это позволит,' сопоставляя экспериментальные данные,' с полученными в настоящей работе параметрами анизотронов, оценить феноменологические константы ферми-жидкостного взаимодействия в таких металлах,- как алюминий,- серебро,- медь.'

3. Полученное выражение в диссертации для средней пондеромо-торной силы, действущей со стороны переменного электромагнитного поля на решетку; может быть использовано для исследования нелинейного взаимодействия электромагнитных волн с решеткой.

4. Сформулированный вывод о модуляционной неустойчивости геликонов в проводниках должен учитываться при анализе распространения геликонов большой амплитуды.

П Р И Л 0 К ЕНИЕ

ТЕНЗОР ПРОВОДИМОСТИ ПРОВОДНИКА. С ШОГОДОЛИННОЙ ЗОННОЙ

СТРУКТУРОЙ

В данном разделе дан вывод тензора проводимости для одной из долин проводника в случае произвольной ориентации магнитного поля относительно главных осей анизотропии. Решение этой задачи приведено, например, в монографии у однако мы повторим вывод для проводимости/ используя формулы (1.'8),! (1.8а). Кроме того,5 полученное в настоящем разделе выражение для проводимости используется для численных расчетов в главе 4.

Для аналитического расчета проводимости в проводниках с многодолинной зонной структурой будем исходить из параболической модели

-— oUvc VCeVCvc. —

П.1) где ¿ - номер долины/ - тензор обратных масс носителей,Ч\Ке~ компонента импульса у отсчитанная от дна долины,: = ^ .

Согласно модели (П.1) ферми-поверхность каждой из неэквивалентных групп носителей в схеме расширенных зон Бриллюэна представляет собой эллипсоид, определенным образом ориентированный относительно выбранной системы отсчета ( ). г

Условимся считать направление магнитного поля Н за направление оси . в этом случае сечение эллипсоида ферми-поверхности проводника плоскостью К* = Сои si представляет собой эллипс с главными осями, ориентированными относительно осей ( под углом @ ^ . Значение определяется из (П.1) при фиксированном к* io = 2

А - г1Ш l(j) •

Площадь сечения эллипсоида определяется из соотношения

Л . ч ¡¡ЯтЕ^

- усеченная (2 х 2) матрица тензора обратных масо , получаемая из & вычерчиванием третьей отроки и третьего столбца, В соответствии с общими формулами для циклотронных масс и средних скоростей,имеем

Шг1 ~ ' гт: - —

Из (П.2) следует,: что в параболической модели (П.1) циклотронная масса ^ не зависит от к* .

Для вычисления проводимости (1.8) необходимо знать зависимость проекций скоростей на циклотронных орбитах от безразмерного параметра ^ , В ? - пространстве движение носителя по циклотронной орбите наиболее просто выглядит в системе главных осей сечения к* г Со^Н: . переходя от главных осей сечения к системе координат ( кх , Ку , К* ) и опуская ивдекс \ для проекций скоростей имеем + с^с1 бс* (* + зп, где йх^ ОЬсс, - оинус и косинус трансформанты скоростей на циклотронной орбите;1= ^^ , 5у=агф р

I у ^ Ь У ^

- фазы. Синус и косинус трансформанты нетрудно получить, переходя от системы координат главных осей сечения к системе координат ( к* ).

-102В прово,цимость (1.8) входят "матричные элементы" (1.8а) наиболее простое выражение для которых может быть получено для ЯНН и0=<0> = . Конечное выражение для (К*, Ц-) имеет вид о- I—;—гт7 V [ ± > г , { о , еа 9 (п.з)

ЗиМ - функция Бесселя, 0 = ^ У > Ъ

В длинноволновом пределе функции Бесселя могут быть , 2 »И аппроксимированы степенными функциями -ц- , 51л>1» поэтому основной вклад в проводимость (1.8) дадут целые значения и, = I. Конечное выражение для линейной проводимости проводника с многодолинной зонной структурой в длинноволновом пределе X ^ 0 примет вид

5ГКЧ у , Ун (ч^ Ая) где "матричные элеиенты" определяются из (П.З). В проводимости (П. 4) опущены слагаемые с I к 1 2, которые в длинноволновом пределе Х^О дают вклада

В коротковолновом пределе "матричные элементы" (П.З) являются осциллирующими функциями волнового вектора с^ и вклад слагаемых с различными И, будет, вообще говоря, одинаков в выражении для проводимости (1.8). Поэтому проводимость в этом случае будет содержать слагаемые с большими значениями .

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Савинский, Сергей Степанович, 1984 год

1. Лифшиц И.М., Азбель М.Я., Каганов М.И. Электронная теория металлов. - М.: Наука, 1971. - 415 с.

2. Абрикосов A.A. Введение в теорию нормальных металлов. М.: Наука, 1973. - 288 с.

3. Платцман Ф., Вольф П. Волны и взаимодействия в плазме твердого тела. Пер. с англ. М. : Мир, 1975. ~ с.436.

4. Kaner Е.А.,Skobov Y.G. Elektromagnetic waves in Metals in a Magnetic Field,-Adv. in Phys.,1968,17^N69,p. 447-605.

5. Демиховский В.Я., Протогенов А.П. Электромагнитные возбужпения . в металлах и полуметаллах в сильном магнитном поле. УВД, 1976, П8» в.1, C.I0I-I39.

6. Окулов В. И., Силин В. П. Квантовые спиново-акустические волны и звук в металлах. ФШ, 1983, 55, в.5, с.837-864.

7. Долгополов В. Т. Нелинейные эффекты в металлах в условиях аномального скина. УФН, 198 , I3Q, в.2, с.241-278.

8. Любимов О.й., Макаров Н.М., Ямпольский В.А. Нелинейные скин-эффекты в металлах. ГОТФ, 1983, 85, в.6, с.2159-2170.

9. Гантмахер В.Ф., Левиев Г.И., Трунин М.Р. Нелинейные эффекты в висмуте в уоловиях циклотронного резонанса. ЖЭТФ, 1982', 82 . в.5, с.I607-I6I6.

10. Васильев А.Н., Гайдуков Ю.П. Электромагнитное возбуждение звука в металлах. УФН, 1983, 141, в.З, с.431-467.

11. Романов А.Ю., Силин В.П. Циклоронный допплерон. В сб. : Краткие сообщения по физике. ФИАН СССР. М., 1980, гё 5, с.46-49.

12. Зимбовская H.A. , Окулов В.й., Романов А.Ю., Силин В.П. Ферми-жидкостные циклотронно-допплеронные волны в металлах. ФНТ, 1982, 8. В 9, с. 330-338.

13. Романов А.Ю. О высокочастотных допплеронных возбуждениях в металлах. ФММ, 1983, 55, в.6, с. 1070-1078.

14. Романов А.Ю., Силин В.П. Прохождение циклотронных иопплеронов через металл. ФММ, 1983, 56, в.4, с.639-649.

15. Волошин И.Ф., Скобов В.Г., Фишер Л.М., Чернов А.С. Допплероныи эффект Ганмахера-Канера в пластине компенсированного металла.* ЖЭТФ, 1982, 82, в.1, с.239-309.

16. Электродинамика плазмы (под ред.Ахиезера А.И.) М. : Наука, 1974. - с.719.

17. Скобов В.Г. Допплер-сдвинутые циклотронные моды в металлах. -« Дополнение к монографии Платцман Ф., Вольф П. Волны и взаимодействия в плазме твердого тела. Пер. с англ. М. : Мир, 1975, с.404-422.

18. Демиховский В.Я., Савинский С.С. О спектре электромагнитных возбуждений в металлах с анизотропными ферми-поверхностями. Волны в алюминии. ФТТ, 1976, 18, в.8, с. 2262-2269.

19. Вугальтер Г.А., Демиховский В.Я. Нелинейное затухание геликонов в металлах. ЮТФ, 1976, 70, в.4, с.1419-1427.

20. Волошин И^Ф., Вугальтер Г.А., Демиховский В.Я., Фишер Л.М., Юпин В.А. Нелинейное циклотронное поглощение дырочного доппле-рона в кадмии. ЖЭТФ, 1977, 73, в.4, с. I503-I5I6.

21. Christensen N.E. The Electronic Structure of Silver and Gold as Calculated Ъу the APW and RAPW Methods.-Report Ho.75,Phys. Laborat. I,DTH,1970,p.240.

22. Эдельман B.C., Гаревокий А.С., Демиховский В.Я. Новый тип электромагнитных возбуждений в висмуте. ФТТ, 1974, 16, в. 2, с. 3739-3741.

23. McGroddy J.С.,Stanford J.R.,Stern Е.А. Helicons and their Effect on the Surface Impedance of Metals.- Phys.Rev.,1966Л41,N1,p.437447.

24. Overhauser A.W.,Rodriguez S. Helicon Propagation in Metals near the Cyclotron Edge.-Phys.Rev.,1966,141,N1,p.431-436,

25. Фишер Л.М., Лаврова B.B., Юдин В.А., Константинов О.В/, Скобов В.Г. Допплероны в кадмии. ЖЭТФ, 1971, 60, в.2, с. 759774.

26. Константинов О.В., Скобов В.Г., Лаврова В.В., Фишер Л.М., Юдин В.А. Допплер-спвинутый циклотронный резонанс в кадмии. -ЖЭТФ, 1972, 63, в.1, с.224-241.

27. Лаврова В.В., Скобов В.Г., Фишер Л.М., Чернов A.C., Юдин В.А. Распространение допплеронов в кадмии в наклонном магнитном поле. ФТТ, 1973, 15', в. 8, с. 2335-2342.28. .Лаврова В.В., Медведев C.B., Скобов В.Г., Фишер Л.М., Юдин В.А.

28. Поверхностное сопротивление кадмия в магнитном поле. ЖЭТФ, 1973, 64, в.5, C.I839-I854.

29. Лаврова В.В., Медведев C.B. , Скобов В.Г., Фишер Л.М., Юдин В.А. Поверхностное сопротивление пластины кадмия в магнитном поле.-ЖЭТФ, 1973, 65, в. 2,- с. 705-714.

30. Скобов В.Г., Фишер Л.М. Чернов А,С., Юдин В.А. Кратные допплероны в алюминии. ЖЭТФ, 1974, 67, в.З, с.1218-1232.

31. Лаврова В.В., Медведев C.B.,, Скобов В.Г., Фишер Л.М., Чернов A.C., Юдин В.А. Допплер-сдвинутый циклотронный резонанс и электромагнитные волны в меди. ЖЭТФ, 1974, 66, в.2, с.700-713.

32. Гаспаров В.А., Фишер Л.М., Юдин В.А. Распространение допплеронов и особенности поверхности Ферми в серебре. В сб. : Материалы 19-го Всесоюзного совещания по физике низких температур (ÏÏT-I9), Минск, 1976, с.87-88.

33. Волошин И.Ф., Скобов В.Г., Фишер Л.М., Чернов A.C. О влиянииоткрытых орбит на возбуждение допплеронов в металлах. ФТТ, 1981, 23, в.6, сЛ721-1725.

34. Канер Э.А., Скобов В.Г. Электромагнитные волны в металлах в магнитном поле. УФН, 1966, 89", в.З, с. 367-408.

35. Загаллер В.А. Теория огибающих. М.: Наука, 1975, - с. 190.

36. V/alsh W.M.Jr. Determination of carrier sign by skippingorbit cyclotron resonance.- Phys.Rev.Lett.,1964,22,N 7,р.1б1--163.

37. Константинов O.B., Перель В.И. 0 возможности прохождения электромагнитных волн через металл в сильном магнитном поле. -ЮТФ, I960, 38, в.6, с. I6I-I68.

38. Савинский С.С. Циклотронные волны в проводниках с многодолинной зонной структурой. В сб.: Методы расчета энергетической структуры и физических свойств кристаллов. Материалы 2 Всесоюзной конференции. Киев: Наукова думка, 1982, с. 248-25Ï.

39. Константинов О.В., Перель В.И. Теория акустических плазменных волн в висмуте. ФТТ, 1967, 9, в.II, о.3051-3058.

40. Савинский С.С. Особенности импеданса вольфрамовой пластиныв магнитном поле. В сб.: Физика и электроника твердого тела, в.2, Ижевск: Удмуртский госуниверситет, 1977, с. 47-52.

41. Савинский С.С. Динамические характеристики носителей зарядав благородных металлах. В об.: Физика и электроника твердого тела, в.4, Ижевск: Удмуртский госунивероитет, 1981, о.44-50.

42. Демиховский В.Я., Савинский С.С. Электромагнитные возбуждения в благородных металлах. ФШ, 1983, 55, в.З, с. 433-440.

43. Сермарк К/, Лебех ДЖ. Новый тип циклотронных волн в металлах. Письма в ЖЭТФ, 197623, № I, с.605-609.

44. Halse M.R. The Permi surfaces of the noble metals.-Phil.Trans.

45. Roy.Soc;,1969,A265,p.50î~532.

46. Wood L.I.,Gavenda J.D. Size Effects and Doppler-shifted Cyclotron

47. Крэкнелл A., Уонг К. Поверхность Ферми. Пер. с англ. М. : Атомиздат, 1978. - с.350.

48. Протогенов А. П., Демиховский В.Я. Новый тип электромагнитных волн в проводниках. Письма в ЖЭТФ, 1971, 518, с. 14-17.да* Joss W. ,Monnier R. Fermi surface of aluminium under homogeneons strain.- J.Phys.F: Metal Phys.,1980,10,p.9-31.1. КП

49. Larsen P.K.,Greisen P.O. Helicon dispersion and damping inaluminium.-Phys.stat.sol.(B),1971,15 ,N1,p.363-376.

50. Chambers R.G.,Jones B.K. Measurement of the high-field Halleffect by an in inductive method.-Proc.Roy.Soc.,1962,A270, p.417-433.

51. Дуравлев В.A., Савинский С.С. Вычислительная физика в примерах и задачах . Ижевск: удмуртский госуниверситет, 1979. - с.68.

52. Spong F.W.,Kip А.P. Cyclotron resonance in aluminium based alloys-elsctronic specifit heat.-Phys.Rev.,1965,137 Д12,p.431-447.

53. Dicke D.A.,Green B.A. Rigidbund behavior in aluminium basedalloys-electronic specific heat.-Phys.Rev.,1967,153,N1,p.800--801.

54. Shepherd J.P.G.,Larson C.D.,Roberts L.,Gordon W.L. The Fermisurface of aluminium and dilute aluminium-zinc allous.-Low.

55. Temperat.Phys.,LT9,Proc.9 th Internal.ConfColumbus,Ohio, New York: Plenum Press,1965,p.752-758.

56. Справочник по специальным функциям (под ред.Абрамович М., Стри-ган И.) Пер. о англ. М.: Наука, 1979, с. 682.-10857. Ashcroft IÍ.W. The Fermi surface of aluminimn.-Phil. Mag. ,1963,8,No.96,p.2055-2083.

57. Протогенов A.B., Савинский C.O. Электромагнитные возбужденияв алюминии и индии в классически сильном магнитном поле. -В сб.: Материалы 19-го Всесоюзного совещания по физике низких температур (HT-I9), Минск,' 1976, с. 91-92.

58. Эдельман B.C. Магнитоплазменные волш в висмуте. УФН, 1970; 102, J» I, с. 55-85.

59. Buchabaum S.J.,Galt J.K. Alfen waves in solid-state plasmas.

60. Phus.Fluids,1961,i,N5,p.1514-1520.

61. Гаревский A.C. , Демиховский В.Я. Новые ветви электромагнитных возбуждений в анизотропных металлах. ФММ, 1974", 37, в. 2 , с. 257-262.

62. Пожела Ю.К. Ллазма и токовые неустойчивости в полупроводниках.-М. : Атомиздат, 1977. с. 368.

63. Владимиров В.В.', Волков А.Ф., Мейлихов Е.З. Плазма полупроводников. М. : Атомиздат, 1979 , - о. 254.

64. Цидильковокий И.М. Зонная структура полупроводников. М. : Наука, 1978. - с. 250.

65. Савинский С.С. Высокочастотные электромагнитные возбуждения висмута в длинноволновом пределе. В сб.: Физика и электроника твердого тела, в.З, Ижевск: Удмуртский госуниверситет, 1979,с. 60-68.

66. McClure J.W.,Choi К.H. Energy band model and properties electron in bismuth.-Sol.Stat.Comm. ,1977,21,,p. 101 5-1018.

67. Эдельман B.C.', Хайкин M.С. Исследование поверхности Ферми висмута метолом циклотронного резонанса. ЖЭТФ, 1965, 49, в. I, с. I07-II6.-10968 Эдельман B.C. Форма электронной поверхности Ферми висмута. -ЖЭТФ, 1973, 64, в.5, с. 1734-1745.

68. Эдельман B.C. Свойства электронов в висмуте,- УФН, 1977, 123. в. 2, с. 257-287.

69. Dexter R.N.»Zeiger H.J. Cyclotron resonance experiments in silicon and germanium.-Phys.Rev.1956,104 JO»P«637-644«

70. Dresselhaus G.,Kip A.P.»Kittel С. Cyclotron resonance ofelectrons and holes in silicon and germanium crystals.-Phys.

71. Rev.,1955,98,N2,p.368-384.

72. Савинский С.С. Длинноволновые электромагнитные возбуждения влегированных полупроводниках Ge в окрестностициклотронных частот. ФШ, 1982", 16, в. 9, с. 1721.

73. Демиховский В.Я.', Савинский С. С. Модуляционная неустойчивость геликонов проводниках. ФММ, 1984', 57, в.5, с. 863-872.

74. Бэйт Р., Виссеман В. Генерация второй гармоники затухающими альфеновскими волнами и геликонами в чистом и примесном висмуте. В сб.: Нелинейные свойства твердых тел. Пер. с англ. -М. : Мир, 1972, с. 153-179.

75. Гантмахер В.Ф. Низкотемпературная кинетика электронов проводимости в металлах и полупроводниках. УФН, 1983, 141. в. Г,с. 177-178.

76. Булгаков A.A., Ханкина С.И., Яковенко В.М. Нелинейное взаимодействие спиральных и звуковых волн твердого тела. ФТТ, 1969, II, в.10, с. 2748-2755.

77. Силин В.П. К теории поглощения ультразвука в металлах. ЖЭТФ1," 1960, 38, с. 977-983.

78. Конторович В.М. Уравнения теории упрогости и дисперсии звука в металлах. ЮТФ, 1963 , 45, в.5, с. 1638-1652.

79. Скобов В.Г. , Канер Э.А. Теория связанных электромагнитных и звуковых волн в металлах в магнитном поле. ЮТФ, 1964, 46, с. 273-286.

80. Гуревич В.Л., Ланг Г.И., Павлов С. Т. Об индукционном и деформационном поглощении звука в проводниках. ЮТФ, 1970, 59,с. 1679-1693.

81. Вашими X.', Карпман В.И. О пондеромоторной силе высокочастотного-электромагнитного поля в диспегируняцей среде. ЮТФ, 1976, 71, с. 1010-1016.

82. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973. - с. 174.