Электродинамическое моделирование излучающей системы сверхширокополосной радиолокации методом инвариантного погружения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.14, кандидат технических наук Визгина, Ирина Ивановна

• Визгина, Ирина Ивановна
• кандидат технических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат технических наук Визгина, Ирина Ивановна

Введение.

1 Пространственно-временной и спектральный подходы к анализу задач сверхширокополосной радиолокации

1.1 Возможности наносекундных технологий в радиолокации.

1.1.1 Параметры сверхкоротких импульсов.

1.1.2 Особенности диаграммы направленности СШП радаров в пространственно-временном представлении.

1.1.3 Преимущества СШП радиолокации.

1.1.4 Спектральный подход к анализу диаграммы направленности СШП радаров.

1.2 Особенности распространения и взаимодействия СШП сигналов с радиолокационными целями.

1.2.1 Влияние состояния физического канала распространения на искажение формы СШП импульса.

1.2.2 Взаимодействие СШП сигнала с радиолокационной целью

1.2.3 Метод инвариантного погружения как альтернативный подход к задаче описания взаимодействия СШП сигнала с радиолокационной целью.

2 Особенности метода погружения в теории рупорных антенн

2.1 Моделирование излучения РАР.

2.2 Металлические рупоры. Сингулярно возмущенное уравнение.

2.3 Коэффициент прозрачности рупорной антенной решетки с идеально проводящими стенками. Метод расслоения.

3 Рассеяние плоской волны на идеально проводящей периодической поверхности как вспомогательная задача в теории РАР

Оглавление

3.1 Математическая модель периодической поверхности и её связь с РАР. 3.2 Основные идеи метода интегрального уравнения и его результаты

3.3 Обобщение соотношений метода интегрального уравнения для метода погружения.

3.4 Синтез метода интегрального уравнения и метода погружения.

3.5 Некоторые результаты численного моделирования.

4 Математическая модель линейной РАР

4.1 Роль волноводов в формировании отраженного поля.

4.2 Вывод уравнений погружения для коэффициента отражения

I РАР.

4.2.1 Исходные замечания к выводу уравнений погружения для РАР.8Z

4.2.2 Соотношения метода интегрального уравнения для РАР

4.2.3 Уравнение погружения для матричного коэффициента отражения усеченной РАР.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электродинамическое моделирование излучающей системы сверхширокополосной радиолокации методом инвариантного погружения»

Проникновение нанотехнологий в различные сферы деятельности человека достаточно ярко проявилось в радиолокации, где применение сверхкоротких импульсов (рис. 0.1) при дистанционном зондировании является сейчас одним из наиболее перспективных направлений исследований. Мощные короткие импульсы излучения, идущие с достаточно большой частотой повторения, позволяют с высокой точностью определять расстояние до объекта, имеют высокую разрешающую способность по дальности, позволяют «заглядывать» глубоко под землю, а обработка информации от серии импульсов позволяет определять скорость движения объектов без использования эффекта Доплера.

Основной особенностью новых технологий является сверхширокополос-ность (СШП) сигналов, что предъявляет новые требования к точности описания процессов их излучения. «Подводные камни» в виде возможных резонансных явлений, не проявляющихся в должной мере (и, соответственно, не учитываемых) в системах, излучающих сравнительно узкополосные сигналы, представляют реальную угрозу адекватности существующих моделей при их использовании в задаче излучения СШП сигналов.

Основная проблема здесь заключается в том, что сверхширокополосный сигнал должен быть сверхкоротким импульсом, а это значит, что его Фурье-компоненты должны быть связаны определенными амплитудно-фазовыми соотношениями. Их нарушение приводит к разрушению формы сигнала, увеличе

Введение 6 нию его длительности. Так, из шума, близкого к белому, можно вырезать строб длительностью в 1мкс и полученный сигнал будет являться сверхширокополосным, однако по длительности он не будет сверхкоротким. Таким образом, при моделировании процессов генерации и излучения сверхкоротких импульсов следует особое внимание уделять возможным фазовым искажениям во всем частотном диапазоне на всех этапах трансформации сигнала.

В классических моделях узкополосных радиолокационных систем так остро проблема не ставилась, полагалось, что частотная дисперсия мала. В этом смысле эти модели оказались неадекватными новым задачам СШП локации.

Альтернативой явился пространственно-временной подход к описанию излучения таких систем. При этом, сохраняя сложившееся разделение задачи на внутреннюю и внешнюю, подавляющее большинство исследований было посвящено внешней задаче электродинамики антенн, сводящейся к описанию распространения и интерференционного взаимодействия полей, излучаемых независимо каждым элементом антенной решетки (АР). Такой подход позволил выявить и исследовать основные отличия и преимущества СШП радиолокации в сравнении с узкополосными технологиями. В частности, пространственно-временной подход показал, что форма СШП сигнала в дальней зоне при различных углах наблюдения в значительной мере зависит от соотношения между линейным размером АР и пространственной длительностью излучаемого импульса. Эта специфика СШП радаров связана с сопоставимостью длительности излучаемых импульсов с временной задержкой, порожденной разностью хода волн, идущих от соседних элементов АР. В обычной радиолокации порожденные этим кинематическим эффектом дополнительные фазовые набеги проявляются в изрезанности диаграммы направленности (ДН), в появлении боковых лепестков. Этот факт часто интерпретируется как аргумент в пользу неприемлемости для СШП радаров понятия ДН в классическом смысле (ДН зависит от формы сигнала). Поэтому основной акцент в работах этого направления [1-5] делается на построении мгновенных диаграмм направленности по пиковой мощно

Введение 7 сти, а также энергетических ДН, получающихся путем усреднения квадрата поля за время существования импульса в каждом угловом направлении. \ На наш взгляд включение в характеристики СШП радаров параметров излучаемого импульса является слабой стороной пространственно-временного подхода. Кроме этого, анализируя лишь внешнюю задачу электродинамики, невозможно оценить роль реактивных полей, локализованных вблизи антенны, в процессе формирования излучаемого импульса.

При описании излучения СШП сигнала антенной решеткой проявляется роль резонансных эффектов. АР представляет собой в некотором смысле периодическую структуру, и излучаемое поле взаимодействует с ней. Если спектр сигнала достаточно широк, то в нем найдутся спектральные компоненты, попа-► дающие в резонанс с периодической структурой. Очевидно, закономерности излучения этих и близких к ним частот будут обладать особенностями. Разрушающиеся таким образом амплитудно-фазовые соотношения между компонентами спектра сигнала усугубляет процесс искажения его формы.

Приведенные рассуждения следует рассматривать как аргументы в пользу спектрального подхода к задаче описания излучения СШП радара. Проблема заключается в разработке новых математических моделей излучающих систем, максимально корректно учитывающих все процессы, порождающие искажения амплитудно-фазовых соотношений между спектральными компонентами сигналов.

Учитывая сказанное, для описания электромагнитного поля в настоящей работе мы будем использовать его представление в виде углового спектра. Роль угловых «спектральных» составляющих здесь играют всевозможные плоские гармоники, входящие в состав электромагнитного поля, с различными проекциями волновых векторов на ось х. Такое представление называется смешанным (q,z)-представлением. При этом поле, излученное антенной системой, распространяющееся в направлении оси z под углом а к положительному направлению оси х, в общем случае представимо в виде

U(q,z)= \U(x,z)-e-i4Xdx л

0.1) i(9"'jr+vz) Ye-,qxdx

2лгде qn=q0+--n, q0 =k-cos(а), к — модуль волнового вектора поля, А- период А системы,

Из представления (0.2) видно, что v„- суть проекции на ось z угловых гармоник поля, и могут принимать либо вещественные, либо чисто мнимые значения. Гармоники с вещественными значениями v„ описывают так называемые I однородные волны, распространяющиеся вдоль оси z и переносящие информацию. А гармоники с мнимыми проекциями v„ соответствуют так называемым неоднородным волнам, распространяющимся вдоль оси х и экспоненциально убывающим в направлении распространения несущей информацию волны (вдоль оси г), с точки зрения разложения поля в угловой спектр суперпозиция однородных плоских волн соответствует активным полям в классической теории антенн, а суперпозиция неоднородных волн - реактивным (поверхностным волнам). Тогда постепенный переход реактивной составляющей поля в активную есть ни что иное, как трансформация углового спектра в присутствии неод-нородностей среды, коими являются стенки волноводов, а искажение сигнала > при излучении определяется, в основном, расфазировкой компонент спектра излучаемого поля.

Интерес рассмотрения поля в виде (q,z)~ представления при решении задачи излучения РАР заключается в том, что в математических выкладках можно «видеть» составляющие как активного, так и реактивного полей, что даст возможность описания поля РАР в ближней зоне, а, как известно, именно там происходит активное взаимодействие поля с решеткой, следствием которого явля

0.2)

Введение 9 ется известный эффект «размывания» СШП наносекундного импульса при излучении.

Сказанное определяет актуальность диссертационной работы, посвященной построению электродинамической модели излучения линейной рупорной антенной решетки (РАР) с применением нового для такого класса объектов подхода - метода инвариантного погружения, - претендующего на корректное описание процесса зарождения активных и реактивных полей (однородные и неоднородные моды) с учетом взаимодействия элементов решетки и конечности их размеров (краевые токи Уфимцева).

Цель диссертационной работы заключается в разработке новой электродинамической модели РАР, адекватной задачам СШП радиолокации.

Поставленная цель достигается путем решения следующих основных задач:

1. Выбор нового математического метода описания излучения РАР - метод инвариантного погружения - и его адаптация к объекту исследования.

2. Вывод уравнений погружения для матричных коэффициентов отражения и прозрачности линейной РАР, а также начальных условий к ним.

Решение второй задачи обусловило необходимость рассмотрения следующих крупных вопросов:

- расширение метода расслоения на случай идеально проводящих объектов (модели стенок рупоров и волноводов),

- модификация метода интегральных уравнений (МИУ) с целью: а) использования МИУ в методе инвариантного погружения, б) описания неоднородностей физических свойств отражающей поверхности (учет роли подводящих волноводов).

Математический аппарат и методы исследования. В работе использованы результаты и методы дифференциальных и интегральных уравнений, ана

Введение 10 литических и численных методов математической физики и электродинамики, методология инвариантного погружения.

Научная новизна диссертации состоит в разработке качественно новой электродинамической модели излучения РАР, учитывающей:

1. Учтена конечность размеров рупоров, что позволило естественным образом включить в математическую модель излучение краевых токов, возникающих на краях раскрыва РАР.

2. Учтено взаимооблучение рупоров: в модель введено рассмотрение коллективных эффектов, позволяющее уточнить структуру поля излучения РАР.

3. Отказ от одномодового режима излучения, позволяющий улучшить аппроксимацию поперечной структуры СШП импульса в подводящих волноводах и, соответственно, точнее описать поле излучения такого импульса.

4. Возможность описания взаимодействия активных и реактивных полей в процессе излучения СШП импульса, не достижимая в рамках апертурной теории.

5. Возможность расчета флуктуаций поля излучения по известным флук-туациям поля в подводящих волноводах с учетом особенностей, описанных в п.п. 1-4, позволяющая описать статистику поля излучения РАР, порожденную нестабильностью структуры и параметров СШП импульсов.

Первая глава диссертационной работы носит, в основном, обзорно-аналитический характер: основываясь на результатах работ авторов, занимающихся вопросами СШП локации, приводятся основные отличия и преимущества использования в радиолокации СШП сигналов. Также в первой главе обосновывается актуальность вопроса построения электродинамической модели РАР, адекватной задаче СШП радиолокации: предлагается использовать спектральный метод описания поля, а в качестве математического метода - метод инвариантного погружения; раскрывается сущность метода инвариантного погружения; рассматриваются вопросы его применения в теории антенн как для описа

Введение 11 ния процесса излучения, так и для описания процесса взаимодействия СШП сигнала с радиолокационной целью.

Во второй главе рассматриваются особенности метода погружения в теории рупорных антенн; показывается, что при излучении сверхкоротких импульсов диэлектрическая проницаемость стенок рупоров е» 1 и соответствующий предельный переход е^со в построенных уравнениях приводит к проблеме конструирования решения сингулярно возмущенных нелинейных матричных уравнений, что сопряжено со сложностями, не позволяющими напрямую использовать метод расслоения в исходном виде; развивается подход для применения метода расслоения для идеально проводящих объектов.

Третья глава посвящена модификации метода интегральных уравнений для использования в методе инвариантного погружения: рассматривается вопрос синтеза метода интегрального уравнения (МИУ) и метода погружения при решении задач теории рупорных антенных решеток; МИУ применяется для определения коэффициента отражения согласующего переходного слоя антенной системы, то есть совокупности рупоров без учета подводящих волноводов (система моделируется периодической идеально проводящей поверхностью), и затем полученное уравнение используется как стартовое для построения уравнения погружения на матричный коэффициент отражения семейства усеченных поверхностей.

Четвертая глава посвящена модификации метода интегральных уравнений для описания отражающих свойств неоднородной по физическим характеристикам поверхности, а именно учету вклада подводящих волноводов, и выводу уравнения погружения для коэффициента отражения линейной РАР; выводу начальных условий для полученных задач Коши для коэффициентов прозрачности и отражения линейной РАР.

Заключение диссертации по теме «Радиолокация и радионавигация», Визгина, Ирина Ивановна

Результаты работы опубликованы в [61]

С точки зрения используемого математического аппарата обсуждаемое доопределение переводит задачу из класса интегро-дифференциальных уравнений в класс матричных дифференциальных уравнений. Некоторые физические аспекты обоснования такого рода приближений обсуждаются в главе 2.

2. Стенки волноводов и рупоров считаются идеально проводящими. Это обычное в электродинамике антенн приближение заслуживает, тем не менее, более подробного обсуждения.

Идеальность стенок означает малость толщины скин-слоя поля в металле и проводит в случае Е-поляризации поля к условиям Дирихле: U{r)|г =0, где Г0 — поверхность проводника. Физически это означает, что на поверхности металла возникают такие индукционные токи, что полное поле (внешнее и порожденное токами) удовлетворяет условию Дирихле. Эти токи в окрестностях изломов поверхности - на краях рупоров - являются по существу краевыми токами Уфим-цева [17-18], корректирующими расчеты апертурной теории. Таким образом, математически корректное решение задачи с учетом условий Дирихле позволяет отказаться от гипотезы Уфимцева, эффективно учтя краевые токи в граничных условиях для поля.

3. Предполагается, что рупоры в решетке упакованы так плотно, что поле, затекающее за их края, можно не учитывать. Поскольку вещество стенок - идеально проводящая среда, и скин-слой исчезающее мал, то в модели все пространство между волноводами можно считать заполненным проводником, как это обозначено, например, на рис. 1.4.

4. Предполагается, что волноводы полностью согласованы с нагрузкой, т.е. излучение, отраженное в рупорном слое, уходит назад по волноводам и там полностью поглощается.

5. Предполагается, что все рупоры базовой решетки идентичны и расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. Это ограничение, как было показано выше (см. раздел 4.2), приводит к кластеризации углового спектра излучения с взаимодействием компонент поля при эволюции параметра погружения только в рамках одной группы. Отказ от идентичности рупоров нарушает кластеризацию, но не создает принципиальных ограничений для развиваемого метода.

Выпишем полученные в настоящей работе уравнения, вместе составляющие математическую модель линейной РАР, построенную с применением метода инвариантного погружения.

Используя идеи метода расслоения и рассматривая наращенную в методе погружения часть РАР как виртуальный зазор с полупрозрачными зеркалами (раздел 2.3), приходим к задаче Коши для матричного коэффициента прозрачности бесконечной системы рупоров f(z„Az,) = [(Д (z, + Az,) - Я(z„ Az, ))г' (z„ Az,)J • f (z,) , (4.85) p = \,Я 1 = 0,N-l . (4.86)

Начальным условием (4.86) для уравнения (4.85) является матричный коэффициент прозрачности системы обрезанных волноводов, вывод значения которого осуществляется методом сшивания (раздел 4.3). Задача о нахождении коэффициентов прозрачности t и отражения Я наращенного элементарного слоя по существу является задачей дифракции электромагнитного поля на металлических брусьях прямоугольного сечения, решение которой можно найти в [55, 63-65].

Выражение для матричного коэффициента отражения R(zl+Azl) рассматриваемой линейной РАР, фигурирующего в правой части (4.85), получено на основе синтеза метода погружения с методом интегральных уравнений (раздел 4.2), что стало возможным в предположении идеальной проводимости стенок рупоров и имеет следующий вид: л

1 л/г А Л А . А Л A A A s*^ А А I А . A A AAA, А , . = R(I - D)V~X - Л £>(/ - HV) + (I - D)HV \V'XR + (/ - HV)V'XR , (4.87) 2/ dz L J

R0=[^+iX\^-i], (4.88) где элементы матриц в правой части (4.87) задаются в разделе 4.2, а начальным условием является уравнение на матричный коэффициент отражения системы обрезанных волноводов, полученное нами в разделе 4.4.

Таким образом, совокупность уравнений (4.85) - (4.88) задает математическую модель линейной РАР, а решение задачи (4.85), (4.86) через связь и11Ш) = \dq' f(a>;q,q') EeaiH{co,q') (4.89) позволяет рассчитывать поле, излучаемое рассматриваемой рупорной антенной системой.

Заметим, что при вычисленной матрице прозрачности Т для РАР прозрачным становится и вопрос о синтезе диаграммы направленности РАР: при заданной в виде углового спектра требуемой диаграмме направленности F°, п е Z он определяется как задача об условном экстремуме выражения

F°-YT Е п / - пт п где

Ет выражены через Ak ,k = \,N, р = \,Р - комплексные амплитуды мод в подводящих волноводах, к- порядковый номер рупора в РАР, а р- номер учитываемой моды в возбужденном волноводе. Множество k = \,N, р = \,р\, доставляющее минимум приведенному выражению, определяет решение задачи синтеза в рассмотренной постановке.

Отметим, что при заданных вероятностных распределениях величин Акф матрица прозрачности РАР позволяет достаточно просто вычислить и статистические характеристики антенной системы.

Заключение

В диссертационной работе построена электродинамическая модель линейной РАР, претендующая на корректный учет взаимооблучения элементов решетки, конечности их размеров, а также описание взаимодействия активных и реактивных компонент поля, что необходимо учитывать в системах СШП локации.

В процессе решения этой задачи получены следующие результаты:

1. Предложено рассмотрение системы рупоров в антенной решетке как переходного слоя, согласующего пространство подводящих волноводов со свободным пространством. Введена основная характеристика слоя - коэффициент прозрачности, - которая зависит от геометрии излучателей и в совокупности с заданием волноводных полей определяет диаграмму направленности РАР по полю.

2. Развит метод расслоения для идеально проводящих объектов (стенок рупоров и волноводов), показана связь матричных коэффициентов прозрачности и отражения рупорного слоя и выявлена неполнота уравнений, связанная с необходимостью суммирования слабо сходящегося операторного ряда. Сделан вывод о необходимости разработки независимого способа вычисления матричного коэффициента отражения периодических структур.

3. Реализован синтез методов интегрального у равнения и инвариантного погружения для рассеяния электромагнитного поля периодической идеально проводящей поверхностью. Получено уравнение погружения для матричного коэффициента отражения рассматриваемой поверхности. Численное исследование полученного матричного уравнения выявило роль неоднородных мод и вудов-ских резонансов в формировании диаграммы направленности рассеянного поля. Эта модель использовалась как базовая при построении модели РАР.

4. Модифицирован метод интегрального уравнения для описания отражающих свойств неоднородной по физическим характеристикам поверхности. Роль таких неоднородностей в рассматриваемой задаче играют подводящие волноводы.

5. Получены уравнения погружения для матричных коэффициентов прозрачности и отражения РАР. В качестве начальных условий используются полученные методом согласования мод коэффициенты прозрачности и отражения системы открытых волноводов.

Построенная математическая модель позволяет:

1. Исследовать влияние параметров РАР на эффекты искажения излучаемых сверхширокополосных сигналов.

2. Вырабатывать рекомендации по конструированию СШП РАР и заданию параметров генерируемого импульса в подводящих волноводах.

3. Вычислять статистические характеристики РАР при заданных вероятностных распределениях флуктуирующих амплитуд поля в поводящих волноводах.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Визгина, Ирина Ивановна, 2006 год

1. Иммореев И.Я. Сверхширокополосная (СШП) локация: основные особенности и отличия от традиционной радиолокации. - Электромагнитные волны и электронные системы, 1997, т.2, №1, с.81-88

2. Бункин Б.В., Кашин В. Особенности, проблемы и перспективы субнаносекундных видеоимпульсных РЛС. Радиотехника, № 4-5,1995, с.128-133

3. Ultra-wideband Radar Technology, Ed. by James D. Taylor P.E. CRC Press, Boca Raton, London, New York, Washington, 2000

4. Иммореев И.Я., Синявин A.H. Излучение сверхширокополосных сигналов. Антенны, выпуск 1(47), 2001, с.8-16

5. Зернов Н.В., Меркулов Г.В. Антенны в режиме излучения (приема) сверхширокополосных сигналов. Зарубежная радиоэлектроника, 1991, №1, с.84-94, 70

6. Кулагин В.В., Соколов А.В., Черепенин В.А. Лекция: Моноимпульсная локация с помощью мощных наносекундных микроволновых импульсов ГАИШ им. Штернберга МГУ, Институт радиотехники и электроники РАН, http://www.cplire.ru/joined/win/lection5/text.html

7. Бункин Б.В. и др. Радиолокатор на основе СВЧ-генератора с релятивистским электронным пучком. Письма в ЖТФ, 1992, т.18, вып. 9, с.61-65

8. Осипов М. Сверхширокополосная радиолокация. Радиотехника, №3, 1995, с.3-6

9. Губанов В.П. и др. Генерация мощных наносекундных импульсов электромагнитного излучения Письма в ЖТФ, 1994, т.20, вып. 14, с. 89-93

10. Пименов Ю.В., Вольман В.И., Муравцов А.Д. Техническая электродинамика. М.: Радио и связь, 2000

11. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. -М.: Наука, 1989

12. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988

13. Данилов Ю.Н., Красюк В.Н., Никитин Б.Т., Федорова Л.А. Техническая электродинамика и антенны. Электродинамика. СПб, Издательство Санкт-Петербургского института авиационного приборостроения, 1991

14. Айзенберг Г.З., Ямпольский В.Г., Терёшин О.Н. Антенны УКВ. М.: Связь, 1977, т.1

15. Антенны и устройства СВЧ. Расчет и проектирование антенных решеток и их излучающих элементов. Под редакцией Д.И.Воскресенского. М.: Сов. радио, 1972

16. Данилов Ю.Н., Красюк В.Н., Никитин Б.Т. Федорова J1.A. Техническая электродинамика и антенны. СПб, Издательство Санкт-Петербургского института авиационного приборостроения, 1992

17. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. М.: Советское радио, 1962

18. Уфимцев П.Я. Методы физической теории дифракции (две лекции). Харьков, первая всесоюзная школа-семинар по дифракции и распространению волн, 1968, с. 110

19. Wood R.W. Anomalous diffraction grating. Phys. Rev., 1935, v.48, pp.928-936

20. Ахманов C.A., Семиногов B.H., Соколов В.И. Дифракция света на случайной поверхности с "глубоким" профилем: взаимодействие дифрагированных волн, аномальное поглощение, максимально достижимые локальные поля. -ЖЭТФ, 1987, т.93, с. 1654

21. Зуев В.Е. Распространение видимых и инфракрасных волн в атмосфере. М.: Сов. радио, 1970

22. Степаненко В.Д. Радиолокация в метеорологии. JL: Гидрометеоиздат, 1973

23. Olsen R.L. A review of theory of coherent radio wave propagation through precipitation media of randomly oriented scatterers and the role of multiple scattering Radio Sci., 1982, v.17, p.913

24. Ogilvy J.A. Wave scattering from rough surfaces Rep. Prog. Phys., 1987, v.50, p.l553

25. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно неоднородных средах. Т.1 и 2.-М.: Мир, 1981

26. Амбарцумян В.А. Об одномерном случае задачи о рассеивающей и поглощающей среде конечной оптической толщины. Изв.АН Арм.ССР, 1944, №1-2

27. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. М.: ИЛ, 1953

28. Bellman R., and G.M.Wing. An Introduction to Invariant Imbedding Wiley-Interscience, New-York, 1975

29. Каста Дж., Калаба P. Методы погружения в прикладной математике. М.: Мир, 1976

30. Кляцкин В.И. Метод погружения в теории распространения волн. М.: Наука, 1986

31. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения глазами физика Основные положения, точные результаты и асимптотические приближения. - М.: Наука, Физматлит, 2001

32. Barabanenkov Yu.N., Kouznetsov V.L., Barabanenkov M.Yu. Transfer relations for electromagnetic wave scattering from periodic dielectric one-dimension interface: ТЕ polarization. -Progress in Electromagnetic Research: PIRS, 1999, v.24, pp.39-75

33. Барабаненков Ю.Н., Кузнецов В.JI. Матричное уравнение Риккати для задачи рассеяния векторного поля на двухмасштабной периодической поверхности. Радиотехника и электроника, 1999, т.44, №6, с.659-666

34. Бахрах Л.Д., Козлов А.И., Кузнецов B.JI. Идеология метода инвариантного погружения в теории рупорных антенн. Антенны, выпуск 2(48), 2001

35. Кузнецов B.JL, Визгина И.И. О некоторых свойствах матричного уравнения Риккати в задаче взаимодействия излучения с периодической структурой. М.: Научный вестник МГТУГА, 2003, №64, серия Математика и физика, с. 5 5

36. Мухай Е.А. Аналитические решения матричного уравнения Риккати для коэффициента отражения плоской волны от периодической поверхности. М.: Научный вестник МГТУГА, 2003, №64, серия Математика и физика, с.60

37. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, Физматлит, 1998

38. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений М.: Наука, 1973

39. Визгина И.И., Кузнецова Е.С. Об асимптотических разложениях в задаче рассеяния на переходном слое. М.: Научный вестник МГТУГА, 2001, № 42, серия Физика и математика, с. 17

40. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, Физматлит, 1982

41. М.Маркус, Х.Минк. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, ФизМатЛит, 1972

42. Topics in Current Physics. Electromagnetic theory of gratings. V.22. Ed. by Petit R. Berlin-Heidelberg-N.Y.: Springer-Verlag, 1980

43. Колтон Д., Кресс P. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987

44. Галишникова Т.Н., Ильинский А.С. Численные методы в задачах дифракции. М.: Издательство МГУ, 1987

45. Ильинский А.С., Галишникова Т.Н. Математическое моделирование процесса отражения плоской электромагнитной волны от волнистой поверхности. Радиотехника и электроника, т.44, №7,1999, с.773-786

46. Баранцев Р.Г. Акуст. журнал, 1961, т.7, №2, с.155

47. Masel R.I., Merril R.P., Miller W.H. Phys. Rev. B. 1975, v. 12, № 12, p.5545

48. Вайнштейн Л.А., Суков А.И. Дифракция на волнистой поверхности: сравнение численных методов. Радиотехника и электроника, 1984, №8, с. 1472-1478

49. Бадюков В.Ф. Обобщенный метод разделения переменных в задачах дифракции и его аналоги. Радиотехника и электроника, 1986, №9, с. 1853-1862

50. Крутинь Ю.И., Тучкин Ю.А., Шестопалов В.П. Дифракция Е -поляризованной электромагнитной волны на периодической гладкой волнистой поверхности. Радиотехника и электроника, т.37, № 2,1992, с.202-210

51. Ануфриев И. Самоучитель MatLab 5.3 / 6.x. Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2002

52. Кузнецов B.JL, Визгина И.И. Метод погружения в задаче взаимодействия излучения с идеально проводящей периодической поверхностью. — Научный вестник МГТУГА, серия Радиофизика и радиотехника, №79,2004

53. Бахрах Л.Д., Кузнецов В.Л., Визгина И.И. Теория рупорных антенных решеток (метод погружения) — Антенны №8-9,2004

54. Митра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир, 1974

55. Шестопалов В П., Литвиненко Л. Н., Масалов С.А., Сологуб В.Г. Дифракция волн на решетках. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1973

56. Шестопалов В.П., Кириленко А.А., Масалов С.А. Матричные уравнения типа свертки в теории дифракции. Киев: Наукова думка, 1984

57. Шестопалов В.П., Кириленко А.А. Масалов С.А., Сиренко Ю.К. Резонансное рассеяние волн. Дифракционные решетки. Т. 1. — Киев: Наукова думка, 1986

58. Шестопалов В.П., Сиренко Ю.К. Динамическая теория решеток. Киев: Наукова думка, 1989

59. Чжуань Шуньлянь, Гун Жэньао. Рассеяние волн поверхностями с периодической структурой. ТИИЭР, т.69, №9, сентябрь, 1981

60. Нефедов Е.И., Сивов А.Н. Электродинамика периодических структур. М.: Наука, 1977

61. Бахрах Л.Д., Кузнецов В.Л., Визгина И.И. Математическая модель излучения рупорной антенной решетки: переход от краевой задачи к задаче Коши. М.: Научный вестник МГТУГА, 2005, №91(9), серия Математика и физика, с.48-62

62. Маделунг О. Теория твердого тела.- М.: Наука, Физматлит, 1980

63. Масалов С.А., Тарапов И.Е. Дифракция электромагнитных волн на пространственной периодической решетке, составленной из брусьев прямоугольного поперечного сечения. Радиотехника и электроника, т.9, вып.1, 1964, с.53-60

64. Масалов С.А. Дифракция электромагнитных волн на решетках, составленных из брусьев прямоугольного поперечного сечения. Автореф. канд. дисс. Харьков, 1966

65. Сологуб В.Г., Шестопалов В.П., Половников Г.Г. Дифракция электромагнитных волн на металлических решетках с узкими щелями. ЖТФ, 37,4, 1967, с.666-679