Многослойная периодически возмущённая земная поверхность как объект радиолокационного зондирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.12.14, кандидат наук Бояркин, Сергей Валерьевич

• Бояркин, Сергей Валерьевич
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Бояркин, Сергей Валерьевич

Содержание

Введение

1 Комплексная модель процесса дистанционного зондирования и ее

декомпозиция

1.1 Декомпозиция задачи дистанционного зондирования

1.2 Электромагнитное поле как носитель информации

1.3 Взаимодействие векторного электромагнитного поля с земной поверхностью. Различные подходы к моделированию

1.4 Роль приемо-передающей антенны РЛС в задаче радиолокационного зондирования: теоретические подходы

2 Разработка модели взаимодействия электромагнитного поля с многослойной периодически возмущенной земной поверхностью

2.1 Физическая модель исследуемой поверхности: геометрические и электродинамические параметры

2.2 Метод расчёта коэффициента отражения зондируемой поверхности

2.3 Отражательные характеристики поверхности при поляризационном сканировании зондирующего поля

3 Моделирование трансформации поля отраженного сигнала в антенне приемного устройства регистрирующей системы

3.1 Подходы к моделированию поля в излучающей апертуре антенны РЛС

3.2 Вычисление отражательных характеристик рефлектора антенны РЛС методом инвариантного погружения

3.3 Векторная диаграмма направленности антенны РЛС

Заключение

Список рисунков

Литература

Приложения

Приложение А Представление функции Грина в базис линейно поляризованных волн

Приложение В К выводу выражений для коэффициентов элементарного слоя для случая Е - волн

Приложение С Листинги программ для расчёта многослойной периодически возмущеной земной поверхности

Приложение D Листинги программ для расчёта распределения поля

в раскрыве антенны

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Многослойная периодически возмущённая земная поверхность как объект радиолокационного зондирования»

Введение

Исследования геофизических объектов радиолокационными методами имеют уже полувековую историю, и интерес к этому научному направлению только возрастает. Это связано как с широкой областью применения результатов дистанционного зондирования в целях гражданского и военного назначения, так и сложностью задач интерпретации результатов радиолокационных исследований геофизических объектов. Последнее, по существу, определяется сложностью решения обратной задачи, то есть сложностью восстановления значений одного или нескольких параметров зондируемого объекта, представляющих интерес для исследований.

Сложность геофизических объектов как радиолокационных целей потребовала компромисса - перехода от решения обратной задачи дистанционного зондирования в классической форме к задаче распознавания образов, предполагающей разбиение всех геофизических объектов на достаточно большие кластеры с последующим определением принадлежности лоцируемого объекта тому или иному кластеру.

Такой подход, однако, предполагает создание достаточно большой и дорогостоящей базы данных - результатов экспериментальных наблюдений, предполагающих не только радиолокационное зондирование, но и соответствующие наземные наблюдения, измерения, описания лоцируемых объектов.

Повысить эффективность описываемого подхода можно, используя методы математического моделирования. Последнее предполагает разработку физических моделей геофизического объекта, решение задачи (как правило, численное) о взаимодействии зондирующего поля с выбранным объектом и вычисление отражённого сигнала, регистрируемого радиолокационной станцией (РЛС).

Отметим, что без последнего этапа - расчёта преобразований поля в антенне РЛС, задача моделирования оказывается незавершённой, поскольку только принимаемые антенной сигналы дают наблюдаемые величины, которые могут быть сопоставлены с результатами натурных экспериментов.

В диссертационной работе в качестве модели геофизического объекта рассматривается периодически возмущённая поверхность, электродинамические характеристики среды под которой меняются с глубиной, образуя сложную слоистую структуру. Интерес к моделям такого рода обусловлен не только практической стороной применения результатов, но и чисто научными аспектами, поскольку получение отражательных характеристик таких многослойных объектов, не являющихся плоскослоистыми средами, стандартными методами поверхностного рассеяния встречает серьёзные затруднения.

Изложенное выше позволяет рассматривать задачу замены дорогостоящих натурных экспериментов исследованием математических моделей радиолокационного зондирования геофизических объектов как актуальную научную задачу.

Цели и задачи исследования. Целью работы является разработка и исследование модели радиолокационного зондирования многослойной периодически возмущённой земной поверхности как альтернативы дорогостоящим натурным экспериментам.

Для достижения указанной цели были рассмотрены и решены следующие задачи:

1. Проведён анализ существующих методов описания взаимодействия электромагнитного поля с неровной поверхностью и выбран метод, адекватный задаче рассеяния поля многослойной периодически возмущённой границей раздела сред.

2. Построена математическая модель взаимодействия произвольно ориентированной в пространстве плоской монохроматической электромагнитной вол-

ны с многослойной периодически возмущённой земной поверхностью с учётом эффектов многократного рассеяния и некомпланарной дифракции.

3. Исследованы модельные амплитудно-фазовые и поляризационные характеристики углового спектра электромагнитного поля, отражённого земной поверхностью.

4. Проанализированы существующие методы моделирования трансформации отражённого поля в приёмной антенне РЛС.

5. Разработана математическая модель регистрирующей системы, преобразующей компоненты углового спектра отражённого геофизическим объектом поля в наблюдаемые сигналы в блоке СВЧ РЛС.

Объект исследования: процесс радиолокационного зондирования земной поверхности.

Предмет исследования: математическое моделирование трансформации электромагнитного поля при его взаимодействии с земной поверхностью и при регистрации антенной РЛС отражённого сигнала.

Методы исследования.

В работе использованы результаты и методы математического анализа, тензорного исчисления, теории дифференциальных и интегральных уравнений, высших трансцендентных функций, теории функций комплексной переменной, линейной алгебры и численного моделирования.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые:

- рассмотрена и решена задача о взаимодействии падающего под произвольным углом электромагнитного поля с многослойной периодически возмущённой земной поверхностью с учётом эффектов многократного рассеяния и некомпланарной дифракции;

- проведены численные эксперименты по исследованию отражательных характеристик модели периодически возмущённой многослойной земной поверхности при поляризационном сканировании зондирующего поля;

- предложен новый подход к расчёту отражательных характеристик рефлектора антенны РЛС, основанный на его представлении как участка нерегулярного волновода.

Практическая значимость диссертационной работы состоит в том, что ее результаты позволяют:

• заменять дорогостоящие натурные эксперименты по землеобзору численным моделированием;

• интерпретировать результаты радиолокационного зондирования пахотных земель в засушливый, дождливый периоды, моделировать величину снежного покрова и глубину промерзания почвы;

• прогнозировать эффективность применения поляризационного сканирования с учётом кросс-поляризационных эффектов, обусловленных взаимодействием излучения со слоистой периодически возмущённой поверхностью и конечной шириной диаграммы направленности антенны РЛС.

Основные результаты работы.

1. Разработана математическая модель радиолокационного зондирования земной поверхности, основанная на моделировании реальных электродинамических процессов, протекающих в системе, и включающая в себя как описание взаимодействия излучения с объектом, так и процесс преобразования отражённого электромагнитного поля в принятый антенной РЛС ВЧ - сигнал.

2. Разработана математическая модель взаимодействия векторного электромагнитного поля произвольной поляризации с многослойной периодически возмущённой поверхностью, корректно учитывающая эффекты многократного рассеяния и некомпланарной дифракции.

3. Серией численных экспериментов, описывающих как зондирование поверхности под произвольными углами, так и поляризационное сканирование зондирующего поля, продемонстрированы работоспособность и потенциальные возможности разработанной модели.

4. В рамках математической модели на основе использования метода инвариантного погружения построена модель приёмного устройства РЛС, преобразующего компоненты углового спектра отражённого поля в наблюдаемые сигналы в блоке СВЧ РЛС.

Достоверность научных результатов подтверждается тем, что полученные результаты основываются на использовании базовых научных теорий с использованием моделей, адекватно отображающих протекающие в системе физические процессы, а также корректностью использования математического аппарата. Достоверность численных экспериментов проверялась с помощью теоремы Пойнтинга на выполнение энергетического баланса.

Краткое содержание работы. Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цель и задачи исследования, выделяются основные научные результаты, выносимые на защиту, и даётся общая характеристика диссертационной работы.

Первая глава диссертации посвящена анализу комплексной модели процесса радиолокации геофизических объектов. Термин "комплексность" здесь подчёркивает тот факт, что помимо моделирования взаимодействия радиоволн с исследуемым объектом в задачу включается система наблюдения - радиолокационная станция, суммирующая и одновременно трансформирующая отражённые радиолокационной целью электромагнитные поля.

Электромагнитное поле зондирующей волны, взаимодействуя с целью, накапливает в своих поляризационных и амплитудно-фазовых характеристиках информацию о лоцируемом объекте. Удобным и обычно используемым представлением отражённого поля является его разложение в угловой спектр, то есть представление поля в виде суперпозиции плоских волн со своими комплексными амплитудами и поляризацией. Поэтому важнейшим этапом моделирования радиолокационной задачи является получение алгоритма вычисления углового спектра отражённого поля.

Следует отметить, что если при лоцировании точечного объекта для получении информации о нем можно ограничиться информацией, заключённой в одной компоненте пространственного спектра поля, то при зондировании пространственно-протяженных целей, каковыми обычно являются геофизические объекты, моделирование отраженного поля вблизи РЛС одной плоской волной может приводить к существенным искажениям результатов: теряется информация, заключённая в амплитудно-фазовых соотношения поля близких компонент углового спектра. Вместе с тем, всякая антенна, обладая конечной шириной диаграммы направленности, суммирует поля различных компонент углового спектра. Это суммирование осуществляется с весом, определяемым комплексной поляризационной диаграммой направленности ее приёмной антенны. Именно такое взвешенное суммирование необходимо учитывать при моделировании реальной физической системы.

Используя терминологию теории систем, набор векторных комплексных амплитуд углового спектра отражённого поля можно интерпретировать как вектор состояния поля, содержащий информацию о радиолокационной цели. Однако его компоненты не являются наблюдаемыми параметрами. Наблюдаемым является суперпозиционный сигнал, порождённый различными компонентами углового спектра отражённого поля и регистрируемый антенной. Именно поэтому полная, комплексная модель процесса радиолокации геофизических объек-

тов должна содержать в себе и корректное математическое описание системы наблюдения.

Резюмируя сказанное, можно провести декомпозицию задачи радиолокационного зондирования, выделив две центральные подзадачи:

• моделирование взаимодействия плоской монохроматической волны произвольной поляризации, характеризуемой некоторым волновым вектором к, с выбранной моделью геофизического объекта;

• моделирование регистрируемого антенной PJIC сигнала при воздействии на

нее плоской электромагнитной волны заданной поляризации с волновым —¥

вектором к, произвольно ориентированным относительно апертуры.

Далее в первой главе, в рамках выделенных подзадач, проводится сравнительный анализ существующих подходов и методов их решения в применении к исследуемой модели геофизического объекта - многокомпонентной периодически возмущённой земной поверхностью. Показывается, что сложность анализируемой модели поверхности, связанная с пространственной зависимостью диэлектрической проницаемости почвы от глубины, делает классические подходы поверхностного рассеяния, такие как метод Кирхгофа и его модификации или метод малых возмущений - малоэффективными.

Альтернативным подходом к решению поставленной задачи является метод инвариантного погружения, позволяющий рассматривать рассеяние электромагнитного поля на сложной поверхности как объёмное рассеяние [1].

Подробно развитие этого подхода в применении к исследуемой задаче рассмотрено во второй главе диссертации.

Четвёртый параграф первой главы посвящён роли приемо-передающей антенны PJIC в задаче радиолокационного зондирования и анализу методов ее описания. Здесь подчёркивается важность корректного учёта не только амплитудно-фазовых, но и поляризационных характеристик диаграммы направленности антенны PJTC, анализируются классические методы их описания, и предлагается

новый подход, основанный на представлении рефлектора как участка нерегулярного волновода - как его неплоского торца. В качестве математического аппарата решения этой задачи предлагается использовать метод инвариантного погружения, хорошо зарекомендовавшего себя при описании поля в нерегулярных волноводах [2].

Развитию этого подхода и его применению к описанию соответствующих характеристик антенны РЛС посвящена третья глава диссертации.

Вторая глава диссертационной работы посвящена разработке модели взаимодействия электромагнитного поля с многослойной периодически возмущённой земной поверхностью (рис. В). Следует отметить, что в такой постановке задача выглядит существенно сложнее в сравнении с обычно исследованной моделью плоскослоистой среды [3], и является нетривиальным расширением последней, требующим выбора адекватного способа описания. Рассмотрим в качестве примера пахотные земли после периода обильных осадков. В этом случае содержание воды в верхнем слое почвы будет относительно высоким. При этом глубина промокания в бороздах будет больше, чем на гребнях. Границы между областями сухой, влажной почв и воздушной среды задаются соотношениями г\{х, у) — А\ + В\ • соб(Кх), у) = А2 + В2 • соб{Кх). Варьируя параметры А1; В17 А2 и В2, можно моделировать изменение не только усреднённой глубины промокания почвы, но и, отмеченную выше, неоднородность увлажнённого слоя по толщине.

Очевидно, что применение классических методов поверхностного рассеяния вызовет массу трудноразрешимых проблем [4,5]. Поэтому более адекватным подходом к такой задаче является подход, основанный на рассмотрении зондируемого объекта как объёмной цели. Таким подходом характеризуется метод инвариантного погружения, рассматривающий сложную поверхность как некий слой (интерфейс), разделяющий полупространство, заполненный однородной средой. В основе метода лежат две задачи: это определение электродинамических характеристик (коэффициентов отражения и прохождения) тонкого слоя - среза

Рисунок В: Взаимодействия электромагнитного поля с многослойной периодически возмущённой земной поверхностью

объёмной цели, и нахождение правила "суммирования" для отражательных характеристик таких слоёв, образующих в совокупности весь рассеивающий объем.

Правило "суммирования" сводится к матричному дифференциальному уравнению Риккати для коэффициентов отражения. Специфика рассеивающего объекта содержится в коэффициентах уравнения погружения, определяемых при решении первой задачи.

Очевидно, что при таком подходе не возникает проблем связанных с такими эффектами как затенение участков поверхности и многократное переотражение. В методе заложен учёт всех эффектов многократного рассеяния.

Далее в диссертационной работе рассматривается рассеяние на тонком слое выбранной модели увлажнённой почвы, электродинамические параметры которого (коэффициенты отражения и прохождения) рассчитываются в борновском приближении.

В первых работах [1,6], посвящённых этому подходу, структура с (г) принималась относительно простой: над и под поверхностью среды были однородны.

В работе показано, что рассматриваемая задача со сложной зависимостью диэлектрической проницаемости от пространственной координаты может быть сведена к уже известной [1,7], так как поле вторичных источников, представимо как суперпозиция двух полей, порождённых средами с различными эффективными диэлектрическими проницаемостями.

Для описания диэлектрической проницаемости увлажнённой почвы была использована четырёхкомпонентная рефракционная модель [8-10], в которой учитывается наличие как связанной, так и свободной воды. Если влажность почвы меньше УУ, то вода в ней находится в связанном состоянии, избыток влаги - (IV — И^) находится в почве в свободном состоянии. Величина зависит, в основном, от содержания глины в почве и является обобщённой электрофизической характеристикой конкретного типа почвы.

Таким образом, определены все параметры, необходимые для расчёта матричных коэффициентов р и т. В работе найдены аналитические выражения для этих коэффициентов в рассматриваемой задаче.

Поскольку излучающая антенна имеет конечную характеристику диаграммы направленности и ее ось может быть произвольно ориентирована как по отношению к усреднённой поверхности, так и по отношению к образующим возмущённой поверхности, в работе рассматривается падение плоской волны с произвольной ориентацией волнового вектора к. В этом случае нарушается закон Снеллиуса: луч падающий, луч отражённый и нормаль к усреднённой поверхности могут не лежать в одной плоскости - имеет место так называемая некомпланарная дифракция. Это сопровождается кросс - поляризационными эффектами при отражении поля. Для корректного учёта этого эффекта для каждой компоненты углового спектра удобно перейти в базис горизонтально и вертикально поляризованных волн. В конце главы приводятся результаты

численных экспериментов, соответствующих различным влажностям, толщинам слоев увлажнённой почвы и амплитудам профиля земной поверхности.

Третья глава посвящена описанию закономерностей трансформации электромагнитного поля в регистрирующей системе - приемной антенне. Необходимость рассмотрения этого этапа моделирования процесса радиолокационного зондирования связана с тем, что наблюдаемыми параметрами являются "сигналы", регистрируемые антенной РЛС.

Дальнейшее рассмотрение основано на использовании теоремы взаимности, согласно которой диаграммы приёмной и передающей антенн совпадают, и на пространственно - временной симметрии, справедливой для электромагнитных полей.

В силу полноты множества и ортогональности собственных мод в волноводе каждой ^'-ой моде подводящего волновода передающей антенны соответствует свое распределение поля в апертуре - £^(р) . Показывается, что эти поля ортогональны.

Если распределение поля - £^{р) в апертуре известно, то можно определить и диаграмму направленности антенны РЛС. Так если диаметр используемой антенны Б значительно больше длины волны излучения Л, то векторная диаграмма направленности антенны РЛС по полю находится разложением поля £](р) в угловой спектр. Если по каким-либо причинам такое приближение не является достаточным, можно воспользоваться точным решением, полученным Л.А. Вайнштейном для излучения открытого конца цилиндрического волновода [11]. В работе [12] эти соотношения для поля в дальней зоне приведены к виду, удобному для проведения численных расчётов.

При такой постановке задачи актуальным становится вопрос о связи поля в подводящем волноводе (или в раскрыве облучателя) и поля в апертуре антенны. Далее в работе проведена декомпозиция задачи. В целях некоторого ее упрощения рассмотрена осесимметричная параболическая зеркальная антенна с облучателем, расположенным в ее раскрыве. Поле облучателя моделируется из-

лучением открытого конца круглого волновод малого диаметра, а рефлектор антенны наращивается виртуальной бесконечно короткой цилиндрической секцией. В таком представлении о поле облучателя можно говорить как об излучении полубесконечного цилиндрического волновода, расположенного соосно внутри цилиндрического волновода большего радиуса, а рефлектор антенны представлять как неплоский торец цилиндрического волновода большого радиуса. Теперь все прошедшие и отражённые поля могут быть представлены в базисе мод большого и малого волноводов.

Обычно предполагается, что в раскрыве облучателя возбуждена только одна - основная мода. Вероятно, следует рассмотреть вопрос и о роли других, более высоких мод, обогащающих пространственный спектр излучаемого облучателем поля. Предлагаемый метод позволяет учесть и эти эффекты.

Первичной, однако, является задача расчёта матричного коэффициента отражения Я для рефлектора антенны РЛС.

Для решения первой задачи - вычисления матрицы А, как и при рассмотрении отражения от периодически возмущённой слоистой поверхности (глава 2), был использован метод инвариантного погружения.

Уравнения погружения имеют универсальный вид и специфика задачи определяется только его коэффициентами, вычисляемыми при расчёте коэффициентов отражения и прохождения тонкого слоя. Первое отличие рассматриваемой задачи от решённой во второй главе заключается в выборе базисных функций: если в случае поверхности это были плоские волны, то для описания отражательных характеристик рефлектора использовались моды круглого волновода.

В классических методах расчёта [13] нерегулярного волновода используются различные аппроксимации профиля волноводной секции: кусочно-постоянные в методе согласования мод, непрерывные в методе поперечных сечений и методе интегральных уравнений.

В работе [14] на примере плоского рупорного перехода показано, что все эти подходы приводят к одним и тем же аналитическим выражениям для коэффициентов уравнения погружения. Поэтому в нашей работе был выбран наиболее простой подход - метод согласования мод для схемы ступенчатой аппроксимации нерегулярного волновода.

Отметим ещё одно отличие в реализации метода инвариантного погружения для описания рефлектора в сравнении с задачей рассеяния на поверхности. Если в задаче отражения от поверхности использовался поляризационный базис горизонтально и вертикально поляризованных волн в котором и рассматривались кросс-поляризационные эффекты, то в задаче о рефлекторе аналогичные кроссовые взаимодействия проявлялись при описании полей Е- и Н - мод. Расчёты показывают, что блочная матрица коэффициента отражения а/зЯпт по индексам а и (3 имеет вид нижней треугольной матрицы. Это соответствует хорошо известному результату, заключающемуся в том, что при отражении от рефлектора Е-моды частично преобразуются в Н-моды, а Н-моды такой особенностью не обладают.

Последний параграф третьей главы посвящён построению модели облучателя, согласованной с разработанной моделью рефлектора антенны РЛС. Согласно последней, облучающее рефлектор поле на его входе должно быть представлено в виде разложения по собственным модам волновода, радиус которого равен радиусу апертуры антенны. Для упрощения этой задачи в работе был рассмотрен случай прямофокусной антенны, наращённой виртуальной (бесконечно короткой) секцией цилиндрического волновода с облучателем в аппертуре рефлектора. В этом случае, в силу специфики метода разложения поля по собственным модам волновода, при расчёте излучаемого облучателем поля можно полагать, что он находится внутри бесконечного круглого волновода. Излучение любого источника, помещённого в волновод, представимо в виде суммы его собственных мод, что и требуется для согласования модели облучателя с построенной нами моделью рефлектора.

Часто в качестве модели облучателя используется точечный диполь, тогда его излучение в волноводе может быть представлено в виде соответствующей тензорной функции Грина [15]. В диссертационной работе в качестве модели облучателя рассматривается срез полубесконечного цилиндрического волновода малого диаметра, соосного волноводу наращённой цилиндрической секции. Точное решение такой задачи приводится в книге Р. Митра и С. Ли [16], однако полученные формулы достаточно громоздки и неудобны для численных расчётов. Поэтому в работе используется более простая модель, в которой не учитывается поле, затекающее за облучатель. Поле, облучающее рефлектор, рассчитывается как излучение фланцевого сочленения узкого и широкого волноводов, проникающее в широкий волновод. Расчёт реализуется с помощью стандартного метода проекционного сшивания.

В работе приводятся некоторые результаты из проведённых численных экспериментов, посвящённых вычислению как отражательных характеристик самого рефлектора антенны, так и комплекса облучатель - рефлектор.

ГЛАВА 1

Комплексная модель процесса дистанционного зондирования и ее декомпозиция

1.1 Декомпозиция задачи дистанционного зондирования

Основная задача радиолокации состоит в разработке и реализации дистанционных методов получения информации об удалённых объектах (целях). Такие методы, по существу, оказываются единственно возможным способом получения информации, если речь идёт, например, об изучении свойств поверхностей других планет. Оперативность и масштабность (по охвату зондируемой территорий) радиолокационных методов ставит их вне конкуренции в сравнении с контактными методами исследования.

Однако, на пути применения дистанционных методов возникают и серьёзные проблемы, связанные с интерпретацией радиолокационных наблюдений. По существу, задача дистанционного зондирования может быть отнесена к классу обратных задач теории рассеяния. Однако геометрия и электродинамические характеристики геофизических объектов очень сложны и многообразны. Эта сложность привела к вынужденному компромиссу - породила подход, основанный на кластеризации всего множества целей по характеристикам отражённых сигналов [17,18]. Понятно, что границы этих кластеров нечёткие, подобно тому как нечетко, например, разграничение между лиственными, смешанными и хвойными лесами.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бояркин, Сергей Валерьевич, 2015 год

Литература

1. Барабаненков Ю.Н., Кузнецов B.J1. Матричное уравнение Риккати для задачи рассеяния векторного поля на двухмасштабной периодической поверхности // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, № 6. С. 659-666.

2. Кузнецов B.JL, Филонов П.В. Уравнения погружения и малый параметр в задаче о нерегулярном волноводе // Радиотехника и электроника. 2009. Т. 56. С. 1087-1093.

3. Бреховских JI.M. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973.

4. Poggio A.J., Miller Е.К. Integral equation solution for three dimensional scattering problems. Pergamon-Press: Computer techniques for electromagnetics, 1973.

5. Jones D.S. The theory of electromagnetism. New-York: Pergamon-Press, 1964.

6. Кузнецов В.JI., Визгина И.И. Метод погружения в задаче взаимодействия излучения с идеально проводящей периодической поверхностью // Научный вестник МГТУГА. 2004. Т. 79. с. 168-175.

7. Barbanenkov Yu.N., Kouznecov V.L., Barbanenkov M.Yu. Transfer relations for electro-magnetic wave scattering from periodic dielectric one-dimension interface: ТЕ polarization // PIER. 1999. T. 24.

8. Миронов В.Л., Комаров С.А., Рычкова Н.В. Изучение диэлектрических свойств влажных почвогрунтов в СВЧ-диапазоне // Исследование Земли из космоса. 1994. Т. 4. с. 18-24.

9. Шутпко A.M. СВЧ-радиометрия водной поверхности и почвогрунтов. Москва: Наука, 1986.

10. Bockris J.O., Devanathan M.A., Muller K. On the Structure of Charged Interfaces // Proc. R. Soc. London. 1963. № 274. C. 55-79.

11. Вайнштейн JI. А. Теория дифракции и метод факторизации. М.: Советское радио, 1966. 431 с.

12. Скобелев С.П., Вилеико И. Л., Сусеров Ю. А. Комбинированный подход к анализу осесимметричных рупорных антенн // Радиотехника. 2007. Т. 4. с. 82.

13. Tatsuo I. Numerical Techniques for Microwave and Millimeter-Wave Passive Structures. Wiley-Interscience, 1989.

14. Кузнецов В.Л., Скобелев С.П., Филонов П.В. Модификация метода погружения для анализа решетки рупоров, возбуждаемых ТЕ-волнами // Радиотехника. 2010. Т. 4. С. 30-38.

15. Prijmenko S.D. Sourwise representation of the field Green's function of a circular waveguide // Telecommunications and Radio Engineering /7 IEEE Trans, on Ant. and Prop. 2009. T. 68, № 10. c. 1687-1701.

16. Митра P., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. М.: Мир, 1974. 325 с.

17. Верба B.C., Неронский Л.Б., Осипов И.Г. Радиолокационные системы зем-леобзора космического базирования. Москва: Радиотехника, 2010.

18. Козлов А.И., Логвин А.И., Сарычев В.А. Поляризация радиоволн. Поляризационная структура радиолокационных сигналов. Москва: Радиотехника, 2005.

19. Соловьев Н.П., Козлов А.И., Демидов Ю.Н. Экспериментальное исследование поляризационных характеристик некоторых земных покровов // Вопросы радиоэлектроники. Сер. Общетен. 1978. № 3.

20. Богородский В.В., Козлов А.И., Тучков JI.T. Радиотепловое излучение земных покровов. М.: Гидрометеоиздат, 1997.

21. Методы измерения характеристик антенн СВЧ / под ред. Н.М. Цейтлин. М.: Радио и связь, 1985.

22. Антенны и устройства СВЧ. Расчёт и проектирование антенных решёток и их излучающих элементов / под ред. Д.И. Воскресенский. М.: Сов. радио, 1972.

23. Taflove A., Hugnes S. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time Domain Method // Artech House. 2005.

24. Yu W., Mittra R., Su T. Parallel Finite-Difference Time Domain Method // Artech House. 2006.

25. Sullivan D.M. Electromagnetic Simulation Using the FDTD method // IEEE press. 2000.

26. Поздняк С.И., Мелитицкий B.A. Введение в статистическую теорию поляризации радиоволн. М.: Сов. радио, 1974.

27. Виноградова М.Б., Руденко О. В., Сухоруков А. П. Теория волн. Москва: Наука, 1979.

28. Кузнецов B.JL, Рудковский А.С. Трехмерная модель взаимодействия электромагнитного поля с фотонным кристаллом конечной толщины // Научный вестник МГТУГА. Т. 145. С. 5-10.

29. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах. Москва: Мир, 1981.

30. Фейнберг E.JI. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности. Москва: Наука, 1961.

31. Басс Ф.Г., Фукс И.М. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности. Москва: Наука, 1972.

32. Dence D., Spence J.E. Wave propagation in random anisotropic media // in Probabilistic Methods in Applied. Mathematics. 1973. T. 3.

33. Рытов C.M., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. Москва: Наука, 1978.

34. Брюховецкий А.С. О методе малых возмущений в теории рассеяния волн статически неровной поверхностью // Радиофизика и радиоастрономия. 2006. Т. 11, №3. С. 254-263.

35. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. Москва: Наука, 1988.

36. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.

37. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. Москва: Наука, 1970.

38. Barnes С., Pendry J.B. Multiple scattering of waves in random media: a transfer matrix approch // Proc. R. Soc. bond. A. 1991. T. 437. c. 185.

39. Pendry J.B., Roberts P.J. Transfer matrices and glory // Wave in Random Media. 1993. T. 3. c. 221.

40. Pendry J.B. Transfer matrices and conductivity in two-and three-dimensional systems: I. Formalism // J. Phys.: Condens. Matter. 1990. T. 2. c. 3273.

41. Bellman R., Wing G.M. An introduction to Invariant Imbedding. New-York: Wiley-Interscience, 1975.

42. Bellman R., Kalaba R., Wing G. M. Invariant Imbedding and Mathematical Physic. I: Particle Processes, 1960.

43. Касти Дж., Калаба Р. Метод погружения в прикладной математике. М.: Мир, 1976.

44. Кляцкин В. И. Метод погружения в теории распространения волн. М.: Наука, 1986.

45. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М.: Мир, 1982.

46. Амбарцумян В.А. К вопросу о диффузном отражении света мутной средой // ДАН СССР. 1943. Т. 38, № 8.

47. Газарян Ю.Л. Об одномерной задаче распространения волны в среде со случайными неоднородностями // ЖЭТФД. 1969. Т. 56, № 6. с. 1857.

48. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977.

49. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

50. Бояркин C.B. Математическая модель отражения электромагнитного поля от гофрированной поверхности с увлажненным верхним слоем // Научный вестник МГТУ ГА. 2011. № 169. С. 90-93.

51. Бояркин C.B., Кузнецов В.Л., Лоссиевская Т.В. Поляризационное сканирование в задаче дистанционного зондирования периодически возмущенной земной поверхности // Научный вестник МГТУ ГА. 2012. № 184. С. 5-13.

52. Бахрах Л.Д., Кузнецов В.Л., Визгина И.И. Математическая модель излучения рупорной антенной решетки: переход от краевой задачи к задаче Ко-ши // Научный вестник МГТУГА. Т. 91. С. 48-62.

53. Кузнецов В.Л., Филонов П.В. Об интегрируемости уравнений погружения с сингулярными коэффициентами в задаче о рупорном переходе // Научный вестник МГТУГА. Т. 157. С. 118-121.

54. Вайнштейн JI. А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988. 440 с.

55. Шифрин Я.С. Антенны. М.: ВИРТА, 1976.

56. Davidson D. В. Computational Electromagnetics for RF and Microwave Engineering // Cambridge, UK. 2005.

57. Liu J., Jin J.M. A novel hybridization of higher orderfinite element and boundary integral methods for electromagnetic scattering and radiation problems // IEEE Trans. Antennas Propagat. 2001. T. 49. C. 1794-1806.

58. Неганов В.А. Физическая регуляризация некорректных задач электродинамики. М.: Сайнс-Пресс, 2008. 450 с.

59. Потапов Л. А. Электродинамика и распространение радиоволн. Брянск: Изд-во БГТУ, 2009.

60. Hodges R.E., Rahmat-Samii Y. An iterative current-based hybrid method for complex structures // IEEE Trans, on Ant. and Prop. 1997. T. 45, № 2. c. 265-276.

61. Jakobus U., Landstorfer F.M. Improvement of the PO-MoM hybrid method by accounting for effects of perfectly condunting wedges // IEEE Trans, on Ant. and Prop. 1995. T. 43, № 10. c. 1123-1129.

62. Djordjevic M., Notaros B.M. Higher order hybrid method of moments-physical optics modeling technique for radiation and scattering from large perfectly conducting surfaces // IEEE Trans, on Ant. and Prop. 2005. T. 53, № 2. c. 800-813.

63. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. М.: Наука, 1980.

64. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.: Мир, 1987.

65. Albertsen N.C. Computation of spacecraft antenna radiation patterns. Lyngby: Technical University of Denmark Report, 1972.

66. Ильинский А.С., Кравцов B.B., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М.: Высшая школа, 1991.

67. Краснов M.JL, Киселёв А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

68. Богородский В.В., Канарейкин Д.Б., Козлов А.И. Поляризация рассеянного и собственного радиоизлучения земных покровов. Ленинград: Гидрометео-издат, 1981.

69. Birchack J.R., Gardner C.G., Hipp J.E. High Dielectric Constant Microwave Probes for Sensing Soil Moisture // Proc. IEEE. 1974. T. 62. c. 93-98.

70. Wang J.R., Schmugge T.J. Empirical Model for the Complex Dielectric Pertmittiviti of Soils as a Function of Water Content // IEEE Trans. Geosci. Remote Sensing. 1980. T. 18. c. 288-295.

71. Dobson M.C., Ulaby F.T., Hallikainen M. Microwave Dielectric Behavior of Wet Soil. Part II: Dielectric Mixing Models // Trans, on Geosci. and Remote Sensing. 1985. T. 23. c. 35-45.

72. Mironov V.L., Dobson M.C., Kaupp V.H. Generalized Refractive Mixing Dielectric Model for Moist Soils // Proc. IGARSS'02. 2002. T. 6. c. 3556-3558.

73. Апельцин В.Ф., Кюркчан Ф.Г. Аналитические свойства волновых полей. М.: Изд-во МГУ, 1990.

74. Кюркчан А.Г., Стернин Б.Ю., Шаталов В.Е. Особенности продолжения решения уравнений Максвелла // Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37, № 6. с. 777.

75. Барабаненков Ю.Н., Барабаненков М.Ю. Метод соотношений переноса в теории резонансного многократного рассеяния волн с применением к дифракционным решеткам и фотонным кристаллам // ЖЭТФ. 2003. Т. 123, № 4. с. 763.

76. Бояркин С.В., Кузнецов B.JI. Метод инвариантного погружения в теории зеркальных антенн // Научный вестник МГТУ ГА. 2013. № 195. С. 29-36.

77. Tsang L., Kong J.A., Shin R.T. Theory of Microwave Remote Sensing. N.Y.: Willey, 1985.

78. Schiffer R., Thielheim K.O. Light scattering by dielectric needles and disk // J. Appl. Phys. 1979. № 4. c. 2476.

79. Johnson B. R. Invariant imbedding T - matrix approch to electromagtnetic scattering // Appl. Optic. 1988. № 23. c. 4861.

80. Benedetto J., Zimmermann G. Sampling multipliers and the Poisson Summation Formula // J. Fourier Anal. 1997. № 3. C. 502-523.

81. Уфимцев П. Я. Теория дифракционных краевых волн в электродинамике. Введение в физическую теорию дифракции. М.: БИНОМ, 2012. 372 с.

82. S.V.Boyarkin, Kuznetsov V. L. The Imbedding Method in the Internal Electrodynamics Problem of Parabolic Reflector Antennas // Progress in Electromagnetic Research Symposium. 2013. C. 144-148.

83. Кузнецов B.JI., Филонов П.В. Уравнения погружения для обобщенной матрицы рассеяния в теории нерегулярных волноводов // Научный вестник МГ-ТУГА. 2010. Т. 157. С. 5-11.

84. Кузнецов В.Л., Рудковский А.С. Модификация метода погружения в задаче расчета 3D фотонного кристалла типа "Woodpile" // Компьютерные исследования и моделирование. 2013. Т. 5. С. 413-422.

85. Марков Г.Т., Бодров В.В., Зайцев А.В. Алгоритм и чсиленные реузльтаты расчёта периодической структуры из излучателей в виде ступенчатых рупоров при различных способах возбуждения // Сб. научно-методических статей по прикладной электродинамике. 1980. № 4. С. 132-163.

86. Вычислительные методы в электродинамике / под ред. Р. Митра. М.: Мир, 1977. 487 с.

87. Канценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. М.: АН СССР, 1961.

88. Канценеленбаум Б.З. Высокочастотная электродинамика. М.: Наука, 1966.

89. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: МГУ, 1993.

90. Бояркин C.B., Кузнецов В.Л., Лоссиевская ТВ. Моделирование векторной диаграммы направленности параболической зеркальной антенны // Научный вестник МГТУ ГА. 2014. № 207. С. 46-53.

91. Ландсберг Г.С. Оптика. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

92. Хансен Р.К. Сканирующие антенные системы СВЧ. М.: Советское радио, 1966.

93. S. К. Sharma S. Rao L. Shafai. Handbook of Reflector Antennas and Feed Systems: Volume 1 - Theory and Design of Reflectors (Artech House Antennas and Propagation Library). M.: Artech House, 2013.

94. Амитей H., Галиндо В., By Ч. Теория и анализ фазированных антенных решеток. М.: МИР, 1974.

95. Федорюк М.В. Асимптотика. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987.

96. Ватсон Г. Теория бесселевых функций. М.: ИЛ, 1949.

97. Бейтмен Г., Эрдейи А. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. М.: Наука, 1974.

98. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1963.

99. Страуструп Б. Язык программирования С++. М.: Бином-Пресс, 2008. 100. Керниган Б., Ритчи Д. Язык программирования С. М.: Вильяме, 2009.