Электродинамические свойства метаматериалов, созданных упорядоченными тонкопроволочными токопроводящими частицами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Градинарь, Иван Михайлович

• Градинарь, Иван Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Градинарь, Иван Михайлович

Содержание

Введение

Глава 1. Однорезонансный упорядоченный метаматериал на основе разомкнутых колец

1.1. Постановка задачи

1.2. Сингулярное интегральное уравнение

1.3. Решение сингулярного интегрального уравнения

1.4. Результаты моделирования

1.5. Выводы по главе 1

Глава 2. Однорезонансный упорядоченный метаматериал на основе двух разомкнутых колец, расположенных одно над другим

2.1. Постановка задачи

2.2. Система сингулярных интегральных уравнений

2.3. Решение системы сингулярных интегральных уравнений

2.4. Численное моделирование

2.5. Выводы по главе 2

Глава 3. Двухрезонансный упорядоченный метаматериал на основе кольцевых разомкнутых резонаторов

3.1. Модель кольцевого разомкнутого резонатора

3.2. Сингулярные интегральные уравнения

3.3. Решение сингулярных интегральных уравнений

3.4. Численное моделирование

3.5. Выводы по главе 3

Глава 4. Дифракция плоской электромагнитной волны на

упорядоченных метаматериалах на основе частиц,

содержащих разомкнутые кольца

4.1. Киральная частица

4.2. Омега-частица

4.3. Малоотражающее покрытие

4.4. Выводы по главе 4

Заключение

Список использованных источников

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электродинамические свойства метаматериалов, созданных упорядоченными тонкопроволочными токопроводящими частицами»

Введение

Метаматериал - материал, свойства которого обусловлены не столько природными физическими свойствами, сколько периодической микроструктурой создаваемой человеком [1]. Метаматериалы могут обладать свойствами принципиально отсутствующими в природе, например [2]. Одно из таких возможных свойств метаматериалов - отрицательный (или левосторонний) показатель преломления, который проявляется при одновременной отрицательности диэлектрической и магнитной проницаемостей [3], что, в свою очередь, приводит к их частотным дисперсиям. В [4] утверждается, что изучение новых свойств метаматериала с помощью эффективных диэлектрической и магнитной проницаемостей необходимо проводить очень осторожно - делать на основании строгих электродинамических методов, корректно работающих в ближней зоне дифракции электромагнитной волны (ЭМВ). Единственный на настоящий момент времени метод решения некорректных задач [5] - получение интегрального представления электромагнитного поля частицы, которое на ее поверхности переходит в сингулярное интегральное уравнение (СИУ) - самосогласованный электродинамический подход [6]. Он дает возможность определять поле в ближней зоне и ток на резонансных частицах. Поэтому утверждения об одновременной отрицательности диэлектрической и магнитной проницаемостей как об одном из свойств метаматериала требует существенных дополнительных разъяснений.

Физическая модель упорядоченного метаматериала

Синтезирование метаматериалов происходит внедрением в исходный однородный материал периодических элементов самых различных форм [7-10], которые модифицируют диэлектрическую е и магнитную /л проницаемости исходного материала. При разработке метаматериала имеется большой набор свободных параметров для выбора таких включений, которые иногда называют бианизотропными частицами [11, 12]. В диссертации были рассмотрены следующие частицы: идеально проводящее бесконечно тонкое разомкнутое кольцо (рис. В.1, а); два идеально проводящих бесконечно тонких разомкнутых одинаковых кольца, расположенных одно над другим, с произвольной ориентацией зазоров; кольцевой разомкнутый резонатор (Split Ring Resonator, SRR), который состоит из двух концентрических идеально проводящих разомкнутых колец, лежащих в одной плоскости, с диаметрально противоположным расположением зазоров (рис. В.1, б); киральная частица (частица Телледжена), представляющая собой идеально проводящее разомкнутое кольцо, из открытых концов которого перпендикулярно его плоскости выступают линейные элементы (рис. В.1, в); омега-частица - идеально проводящая частица в виде греческой буквы Q (рис. В.1, г).

Рис. В.1. Некоторые часто используемые тонкопроволочные бианизотропные частицы: а) разомкнутое кольцо; б) кольцевой разомкнутый резонатор; в) киральная частица (частица Телледжена); г) омега-частица

Возможны два случая расположения частиц - хаотическое и упорядоченное. В работе с помощью пакета CST Microwave Studio был проведен числен-

ный эксперимент: при хаотическом расположении частиц в метаматериале уникальные электродинамические свойства отдельных частиц пропадают (уже при их числе > 6). На основании этого были сделаны следующие выводы: для получения новых свойств метаматериала, отсутствующих в природе, необходимо использовать упорядоченное расположение частиц (рис. В.2); для получения ярко выраженных свойств необходимо использовать резонансный случай, когда хотя бы один линейный размер частицы соизмерим с длиной падающей волны.

При описании электродинамических свойств метаматериалов с упорядоченным расположением частиц воспользуемся аналогией с магнитоупорядо-ченными средами - ферромагнетиками (когда ориентация элементарных магнитных моментов параллельна) и антиферромагнетиками, состоящими из двух антипараллельных ферромагнетиков [13]. Такие магнитоупорядоченные среды ведут себя как один магнитный момент (ферромагнетик) или два антипараллельных магнитных момента (антиферромагнетик), поэтому в дальнейшем рассмотрим метаматериал, созданный одинаковыми частицами, описанными выше, с параллельной ориентацией. Частицы, изображенные на рис. ВЛ,а, в и г, создают среду аналогичную ферромагнетику, которую назовем однорезонанс-ным упорядоченным метаматериапом] частица, изображенная на рис. В. 1,6, создает среду аналогичную двух-подрешоточному антиферромагнетику, назовем ее двухрезонансным упорядоченным метаматериапом. По аналогии с тео-

Рис. В.2. Упорядоченный метаматериал на основе киральных частиц

рией ферромагнетика и антиферромагнетика будем использовать физическую модель для электродинамических свойств упорядоченного метаматериала в виде одной проводящей частицы в однородной диэлектрической среде, т. е. электродинамические свойства упорядоченного метаматериала определяются свойствами одной бианизотропной частицы.

Актуальность темы

В настоящее время подобные проблемы можно рассматривать в программных пакетах, реализованных на ПЭВМ, расчет в которых происходит с использованием метода конечных разностей во временной области {Finite Difference Time Domain, FDTD). Основной его недостаток заключается в том, что алгоритм производит расчет поля в каждой точке объема. И если потребуется определить поле на достаточном удалении от источника, то объем, в котором будет производиться расчет, окажется очень большим, что существенно скажется на времени выполнения алгоритма [14].

Таким образом, для описания электродинамических свойств метаматериа-лов с упорядоченным расположением частиц возникает потребность в создании строгих электродинамических моделей дифракции ЭМВ на одной частице и построение сходящихся, быстрых, устойчивых алгоритмов ее решения на основе самосогласованного подхода.

Цели и задачи диссертационной работы

Целью работы является изучение электродинамических свойств однорезо-нансного и двухрезонансного упорядоченных метаматериалов на основе дифракции плоской электромагнитной волны (ПЭМВ) на тонкопроволочных то-

копроводящих частицах (рис. В.1), и сравнение этих свойств между собой в зависимости от структуры токопроводящих частиц.

Рассматриваются следующие задачи:

для однорезонансного упорядоченного метаматериала:

-задача дифракции ПЭМВ на идеально проводящем бесконечно тонком разомкнутом кольце;

- падение ПЭМВ на два идеально проводящих бесконечно тонких разомкнутых одинаковых кольца, расположенных одно над другим;

- дифракция волны на киральной частице и на омега-частице;

для двухрезонансного упорядоченного метаматериала:

- задача дифракции ПЭМВ на кольцевом разомкнутом резонаторе.

Методы исследования

В основу работы легли методы математического моделирования; математический аппарат электродинамики; математический аппарат теории СИУ, позволяющий решать некорректные электродинамические задачи; метод ортого-нализирующей подстановки; численные Методы решения интегральных уравнений. Численное моделирование производилось при помощи вычислительных алгоритмов, реализованных на ПЭВМ, а также в пакете CST Microwave Studio.

Научная новизна диссертации

- предложена новая физическая модель упорядоченных метаматериалов с токопроводящими частицами, позволяющая определить электродинамические свойства среды с помощью свойств одной частицы;

- задачи дифракции ПЭМВ на одном разомкнутом кольце; на двух разомкнутых кольцах, расположенных одно над другим, и на кольцевом разомкнутом

резонаторе, состоящим из двух концентрических идеально проводящих колец, лежащих в одной плоскости, сведены к системам СИУ относительно функций, определяющих поверхностные плотности токов, с особенностями типа Коши и логарифмическими особенностями;

- задачи дифракции ПЭМВ на киральной частице и омега-частице решены с использованием пакета CST Microwave Studio;

- получены распределения комплексных величин и абсолютных значений токов, диаграммы рассеяния для всех частиц, рассматриваемых в работе;

- предсказано новое электродинамическое свойство упорядоченного мета-материала с двумя омега-частицами: ноль в диаграмме рассеяния при падении ПЭМВ на метаматериал;

- предложен способ создания малоотражающего покрытия на основе упорядоченного метаматериала с омега-частицами.

Обоснованность и достоверность результатов работы

Результаты исследований получены на основе строгих электродинамических и математических моделей. В ходе построения решения использовались приближенные методы решения СИУ, но они являются корректными с математической точки зрения при решении некорректных электродинамических задач. О достоверности результатов можно судить по внутренней сходимости численных алгоритмов и физической интерпретации решений. Результаты схожи с результатами, полученными в пакете CST Microwave Studio, в котором используется метод конечных разностей во временной области.

Практическая ценность работы

В работе введены понятия об однорезонансном и двухрезонансном упорядоченных метаматериалах, как средах с упорядоченным расположением токо-проводящих частиц, электродинамические свойства которых определяются свойствами отдельных частиц. Такой подход позволяет уйти от описания свойств метаматериала с помощью эффективных диэлектрической и магнитной проницаемостей. Построенные алгоритмы дифракции ПЭМВ на двух одинаковых идеально проводящих разомкнутых кольцах и на кольцевом разомкнутом резонаторе, состоящем из двух разомкнутых колец могут быть обобщены на более сложные системы, т. е. описывать метаматериал с тремя резонансами. На основе метаматериала с упорядоченными омега-частицами возможно создание конформного малоотражающего покрытия объектов.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Физические модели однорезонансного и двухрезонансного упорядоченных метаматериалов на основе задач дифракции ПЭМВ на частицах, из которых они состоят.

2. Математические модели задач дифракции ПЭМВ на метаматериалах на основе математического аппарата СИУ для разомкнутого кольца; системы из двух разомкнутых колец, размещенных одно над другим; кольцевого разомкнутого резонатора; киральной частицы и омега-частицы.

3. Численные результаты задач дифракции ПЭМВ на структурах, указанных в п. 2, а именно: комплексные распределения токов и диаграммы рассеяния.

4. Малоотражающее покрытие на основе метаматериала, состоящего из взаимно ортогонально ориентированных омега-частиц.

Апробация работы

Материалы диссертационной работы докладывались на XVI, XVII и XVIII Российских научных конференциях профессорско-преподавательского состава, научных сотрудников и аспирантов ПГУТИ (Самара, 2009; 2010; 2011); на XLII научной конференции преподавателей и сотрудников СамГУ и XXXVI научной конференции молодых ученых и специалистов (Самара, 2011); на VII, VIII, IX и X Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, 2008; Санкт-Петербург, 2009; Челябинск, 2010; Самара, 2011).

Публикации

По материалам диссертационной работы опубликовано 11 работ, в том числе 4 статьи и 7 тезисов докладов на различных научно-технических конференциях. В работах, написанных в соавторстве, соискатель является автором математических преобразований и программных реализаций.

Содержание работы

Во введении диссертационной работы обосновывается актуальность темы, определяются цели и задачи исследования, отражены новизна и практическая ценность работы, приведены основные положения, выносимые на защиту.

Глава 1 «Однорезонансный упорядоченный метаматериал на основе разомкнутого кольца» содержит решение задачи дифракции ПЭМВ на идеально проводящем разомкнутом кольце, расположенном в начале координат цилиндрической системы координат, которая обобщается на однорезонансный упоря-

доченный метаматериал на основе разомкнутых колец. Получено СИУ с логарифмической особенностью и особенностью типа Коши. Для его решения использовался метод ортогонализирующей подстановки, при котором интегральное уравнение переходит в систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). После решения системы были построены комплексные распределения токов, их абсолютные значения и диаграммы направленности рассеянного поля.

В главе 2 «Однорезонансный упорядоченный метаматериал на основе двух разомкнутых колец, расположенных одно над другим» предложена математическая модель однорезонансного упорядоченного метаматериала, содержащего два разомкнутых кольца. Для построения модели рассматривается задача дифракции ПЭМВ на двух разомкнутых кольцах, центры которых расположены на оси 2 и отстоят друг от друга на расстоянии Ь (в цилиндрической системе координат). Расположение зазора второго кольца относительно зазора первого произвольное. Для нахождения поля рассеяния поверхностные плотности токов считаются в квазистатическом приближении по ширине кольца.

Найдено СИУ для такой структуры и методом ортогонализирующей подстановки были получены искомые функции токов и построено их распределение по кольцу. Приведены диаграммы направленности рассеянного поля.

В главе 3 «Двухрезонансный упорядоченный метаматериал на основе кольцевого разомкнутого резонатора» математическая модель двухрезонансно-го резонатора строится на основе задачи дифракции на кольцевом разомкнутом резонаторе - структура из двух разомкнутых колец, лежащих в одной плоскости, центры зазоров которых повернуты относительно друг друга на 180°. Радиус внутреннего кольца предполагается вдвое меньшим радиуса внешнего. Задача дифракции была решена не только для фиксированного расположения зазоров, но и обобщена на любую их взаимную ориентацию.

Система СИУ, полученная для кольцевого разомкнутого резонатора, методом ортогонализирующей подстановки была сведена к СЛАУ. Для различных длин волн падающей ПЭМВ найдены распределения токов и построены диаграммы направленности поля рассеяния.

В главе 4 «Дифракция плоской электромагнитной волны на упорядоченных метаматериалах на основе частиц, содержащих разомкнутые кольца» были изучены электродинамические свойства частиц, построенных на основе разомкнутых колец. Одна из них - киральная частица (или частица Телледжена), другая - омега-частица.

Моделирование падения плоской электромагнитной волны на эти структуры проводилось в пакете CST Microwave Studio. Рассмотрена задача дифракции ПЭМВ на двух омега-частицах. Первая лежит в плоскости хоу, центр зазора находится на оси х. Вторая омега-частица является зеркальным отражением первой относительно плоскости yoz, смещенная по оси z на 2/4. Плоская волна падает на структуру с противоположного оси х направления. На основе этой структуры предложено создание малоотражающего покрытия.

В заключении сформулированы основные научные и практические результаты диссертационной работы.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Градинарь, Иван Михайлович

4.4. Выводы по главе 4

1. Предложены физические модели однорезонансных упорядоченных ме-таматериалов на основе киральной частицы и омега-частицы.

2. Для частиц проведено численное моделирование в пакете CST Microwave Studio и получены диаграммы рассеяния.

3. Показано, что при малых отношениях а!Я киральная частица ведет себя как разомкнутое кольцо.

4. Исследование омега-частицы привело к результатам, которые не наблюдаются у других рассмотренных частиц, например, при падении на структуру по оси у минимум поля рассеяния направлен в сторону падения волны.

5. На основе метаматериала, состоящего из омега-частиц, предложено создание малоотражающего покрытия, которое обладает малым отражением в направлении падения волны. 1 2

2 поглотитель

Заключение

К основным результатам и выводам диссертации можно отнести следующее.

1. Предложены новые физические модели однорезонансного и двухрезо-нансного упорядоченных метаматериалов, основанные на аналогии с магнито-упорядоченными средами - ферромагнетиком и антиферромагнетиком.

2. Построены математические модели однорезонансного и двухрезонанс-ного упорядоченных метаматериалов на основе разомкнутого кольца, системы двух разомкнутых колец расположенных одно над другим, кольцевого разомкнутого резонатора, киральной частицы и омега-частицы: СИУ с особенностями типа Коши и логарифмическими особенностями относительно неизвестных функций и их первых производных, которые определяют азимутальные распределения поверхностных плотностей токов по структурам, в основе которых лежит разомкнутое кольцо.

3. Приведены численные результаты задач дифракции ПЭМВ на различных упорядоченных метаматериалах: комплексные распределения токов и диаграммы направленности. Проведен их анализ.

4. Теоретически предсказаны новые электродинамические свойства упорядоченных метаматериалов. В частности, при падении ПЭМВ на метаматериал на основе двух омега-частиц в диаграмме рассеяния наблюдаются нули переизлучения, которые зависят от геометрии частиц.

5. Предложена структура малоотражающего покрытия, состоящего из двух слоев упорядоченного метаматериала на основе двух связанных омега-частиц, позволяющее снизить долю отраженной волны.

6. При исследовании свойств однорезонансного и двухрезонансного упорядоченных метаматериалов для структур разомкнутое кольцо, система из двух разомкнутых колец, расположенных одно над другим, кольцевой разомкнутый резонатор, киральная частица и омега-частица получены характерные свойства в диаграммах поля рассеяния.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Градинарь, Иван Михайлович, 2012 год

Список ИСПОЛЬЗОВАННЫХ источников

1. Metamaterials: Physics and Engineering Explorations / ed. by N. Engheta, R.W. Ziolkowski. Hoboken: John Wiley & Sons, 2006. 414 p.

2. Pendry J. A chiral route to negative refraction // Science. 2004. V. 306. P. 1353-1355.

3. Веселаго В.Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями е и /л // Успехи физических наук. 1967. Т. 92. Вып. 3. С. 517-526.

4. Кисель В.Н., Лагарьков А.Н. Электродинамические модели тонкослойных метаматериалов и устройства на их основе // Радиотехника и электроника. 2009. Т. 54. № 5. С. 531-540.

5. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 223 с.

6. Неганов В.А. Физическая регуляризация некорректных задач электродинамики: линии передачи, антенны, дифракция электромагнитных волн. М.: Сайнс-Пресс, 2008. 432 с.

7. Simovski C.R., Belov Р.А., Не S. Backward wave region and negative material parameters of a structure formed by lattices of wires and split-ring resonators // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 2003. V. 51. № 10. P. 2582-2591.

8. Composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity / D.R. Smith [et al.] // Physical review letters. 2000. Vol. 84. № 18. P. 41844187.

9. Kamenetskii E.O., Sigalov M., Shavit R. Tellegen particles and magneto-electric metamaterials // Journal of Applied Physics. 2009. Vol. 105. P. 013537-115.

10. Negative-zero-positive metamaterial with omega-type metal inclusions / F. Zhang [et al.] // Journal of Applied Physics. 2008. Vol. 103. P. 084312-1-8.

11. Tretyakov S.A. Research on negative refraction and backward-wave media: a historical perspective // EPFL Latsis Symposium 2005. Negative Refraction: Revisiting Electromagnetics from Microwave to Optics. February 28 - March 2, 2005. Lausanne, Switzerland. P. 30-35.

12. Кондратьев M.C. Аналитическое и численное исследование регулярных структур бианизотропных частиц // Вестник молодых ученых. Физические науки. 2000. Вып. 1. С. 41-57.

13. Гуревич А.Г. Магнитный резонанс в ферритах и антиферромагнетиках. М.: Наука, 1973. 592 с.

14. Taflove A., Hagness S.C. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method; 3rd ed. London: Artech House Publishers, 2005. 1038 p.

15. Марков Г.Т., Чаплин А.Ф. Возбуждение электромагнитных волн. М.; Л.: Энергия, 1976. 376 с.

16. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматлит, 1959. 471 с. .

17. Fitzpatrick R. Maxwell's Equations and The Principles of Electromagnet-ism. Hingham: Infinity Science Press, 2008. 450 p.

18. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, 1973. 228 с.

19. Неганов В.А., Нефедов Е.И., Яровой Г.П. Электродинамические методы проектирования устройств СВЧ и антенн. М.: Радио и связь, 2002. 416 с.

20. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Т. 2. Специальные функции. М.: Физматлит, 2003. 664 с.

21. Люстерник Л.А., Червоненкинс О.А., Янпольский А.Р. Математический анализ. Вычисление элементарных функций. М.: Физматлит, 1963. 250 с.

22. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука; Физматлит, 1999.296 с.

23. Tellegen B.D.H. The gyratory a new electric network element // Philips Research Report. 1948. № 3. P. 81-101.

24. Сазонов Д.М. Антенны и устройства СВЧ: учебник для радиотехнических специальностей вузов. М.: Высшая школа, 1988. 432 с.

25. Zhang Z.-X., Du J.-Y. On a class of two dimensional singular integral equations // Wuhan University Journal of Natural Sciences. 1999. V. 4. № 2. P. 123128.

26. Вычислительные методы в электродинамике / под ред. Р. Митры; пер. с англ. под ред. Э.Л. Бурштейна. М.: Мир, 1977. 485 с.

27. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989. 544 с.

28. Zisis V.A., Ladopoulos E.G. Two-dimensional singular integral equations exact solutions // Journal of Computational and Applied Math. 1990. № 31. P. 227232.

29. Электродинамика и распространение радиоволн / В.А. Неганов [и др.]; под ред. В.А. Неганова и С.Б. Раевского. М.: Радио и связь, 2005. 648 с.

30. Юдин В.В. Кольцевые антенные решётки: схемно-пространственная мультиплексия и направленное излучение. М.: Радио и связь, 2001. 189 с.

31. Feras М. Direct methods for the solution of singular integral equations with finite number of different zeros in pairwise // Int. J. Open Problems Сотр. Math. 2009. V. 2. № 1. P. 152-158.

32. Prossdorf S. Some Classes of Singular Equatiamons. Amsterdam; New York: North-Holland Pub. Co; Elsevier, 1978. 417 p.

33. Неганов В.А. Самосогласованный метод расчёта электромагнитных полей в ближних зонах излучающих структур, описываемых координатными цилиндрическими поверхностями // ДАН. 2006. Т. 408. № 5. С. 234-237.

34. Заборонкова Т.М., Кудрин A.B., Петров Е.Ю. К теории рамочной антенны в анизотропной плазме // Известия вузов. Радиофизика. 1998. Т. 41. № 3. С.358-373.

35. Auzanneau F., Ziolkowski R.W. Theoretical study of synthetic bianisot-ropic materials // J. Electromagn. Waves Applicat. 1998. V. 12. № 3. P. 353-370.

36. Yeung M.S. Single integral equation for electromagnetic scattering by three-dimensional homogeneous dielectric objects // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1999. V. 47. №. 10. P. 1615-1622.

37. Computer Techniques for Electromagnetics / ed. by R. Mittra. New York: Pergamon, 1973.

38. Численный электродинамический анализ произвольных проволочных антенн / М.В. Корнилов [и др.] // Радиотехника. 1989. № 7. С. 82-83.

39. Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: МГУ, 1989. 199 с.

40. Mautz J.R., Harrington R.F. H-field, E-field and combined-field solutions for conducting bodies of revolution // Archiv Elecktronik Vebertragungstechnik (AEU), Germany. 1978. V. 32. P. 157-164.

41. Electromagnetic Theory of Gratings / ed. by R. Petit. New York: SpringerVerlag, 1980.

42. Назаров B.E., Рунов A.B., Подиногин В.E. Численное решение задач об основных характеристиках и параметрах сложных проволочных антенн // Радиотехника и электроника. 1976. Вып. 6. С. 153-157.

43. Marx Е. Single integral equation for wave scattering // Math. Phys. 1982. V. 23. P. 1057-1065.

44. Стрижков В.А. Математическое моделирование электрических процессов в проволочных антенных системах // Математическое моделирование. 1989. Т. 1.№ 38. С. 127-138.

45. Rao S.M., Wilton D.R., Glisson A.W. Electromagnetic scattering by surfaces of arbitrary shape // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1982. V.AP-30. P. 409-418.

46. Калиткин H.H. Численные методы. M.: Наука, 1978. 512 с.

47. Harrington R.F. Field computation by moment methods. New York: Mac-Millan, 1968.

48. Канторович JI.B., Крылов В.И. Приближённые методы высшего анализа. М.; Л.: ГИФНЛ, 1962. 708 с.

49. Ramm A.G. Electromagnetic wave scattering by many small particles // Physics Letters A. 2007. V. 360. P. 735-741.

50. Ramm A.G. A singular integral equation for electromagnetic wave scattering // International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2009. V. 55. № 4. P. 711.

51. Численные методы решения некорректных задач / А.Н. Тихонов [и др.]. М.: Наука. Физматлит, 1990.

52. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

53. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1986. 512 с.

54. Shore R.A., Yaghjian A.D. Dual-surface integral equations in electromagnetic scattering // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 2005. V. 53. № 5. P. 1706-1709.

55. Peterson A.F., Ray S.L., Mittra R. Computational Methods for Electromagnetics. New York: IEEE Press, 1998.

56. Prakash Y.V.S., Mittra R. Dual surface combined field integral equation for three-dimensional scattering // Microwave and Opt. Tech. Letts. 2001. V. 29. P. 293296.

57. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свёртки. М.: Наука, 1978. 296 с.

58. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. 432 с.

59. Jackson J.D. Classical Electrodynamics; 3rd ed. New York: Wiley, 1999.

60. Белоцерковский C.M., Лифанов И.К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука. Физматлит, 1985. 256 с.

61. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. Киев: Наукова думка, 1984.344 с.

62. Yaghjian A.D. Augmented electric-and magnetic-field integral equations // Radio Sci. 1981. V. 16. P. 987-1001.

63. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. Т. 2. М.: Наука, 1977. 400 с.

64. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров. М.: Наука, 1964. 772 с.

65. Jaggard D.L., Mickelson A.R., Papas С.Т. On electromagnetic waves in chiral media// Appl. Phys. 1979. V. 18. P. 211-216.

66. Манжиров A.B., Полянин А.Д. Методы решения интегральных уравнений: справочник. М.: Факториал, 1999. 272 с.

67. Sarkar Т.К., Rao M.S. A simple technique for solving E-field integral equations for conducting bodies at internal resonances // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1982. V. AP-30. № 6. P. 1250-1254.

68. Momo F., Sotgiuf A., Zonta R. On the design of a split ring resonator for ESR spectroscopy between 1 and 4 GHz // J. Phys. E: Sci. Instrum.1983. V. 16. P. 43-46

69. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

70. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцедентные функции. Т. 2. М.: Наука, 1974. 296 с.

71. Morse P.M., Feshbach Н. Methods of Theoretical Physics. New York: McGraw-Hill, 1953.

72. Tretyakov S.A., Maslovski S., Belov P.A. An analytical model of metamaterials based on loaded wire dipoles // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 2003. V. 51. № 10. P. 2652-2658.

73. Неганов В.А., Клюев Д.С. Новый метод расчёта полосковых вибраторных излучателей // Известия вузов. Электроника. 2002. № 5. С. 73-79.

74. Frontiers in Electromagnetics / ed. by D.H. Werner and R. Mittra. NJ: IEEE, 1999.

75. Sten J.C.-E., Sjoberg D. Low-frequency scattering analysis and homogenisation of split-ring elements // Progress in Electromagnetics Research B. 2011. V. 35. P. 187-212.

ш

\

АКТ

внедрения результатов диссертационной работы Градинаря Ивана Михайловича «Электродинамические свойства метаматериалов, созданных упорядоченными тонкопроволочными токопроводящими

частицами», представленной на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.03 - Радиофизика.

Комиссия в составе декана физического факультета, д.ф.-м.н., проф. Ивах-ника В.В., зав. кафедрой радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем (РФиКМР), д.ф.-м.н., проф. Ярового Г.П., к.ф.-м.н., проф. Зайцева В.В. составила акт, подтверждающий, что научные и практические результаты, полученные в диссертации Градинаря И.М., внедрены в учебный процесс на кафедре РФиКМР Самарского государственного университета:

1. В лекциях по курсу «Теория волновых процессов», читаемых для студентов физического факультета специализации «Радиофизика» профессором Зайцевым В.В. приводятся разработанные Градинарем И.М. электродинамические модели частиц, используемых при создании метаматериалов;

2. В дипломных проектах, выполняемых на кафедре РФиКМР.

Зав. кафедрой РФиКМР д.ф.-м.н., проф.

Декан физического факультета, д.ф.-м.н, проф.

Проф. кафедры РФиКМР, к.ф.-м.н.

Зайцев В.В.