Спектральные задачи с конечнозонным спектром: тривиализация тэта-функциональных методов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор физико-математических наук Брежнев, Юрий Владимирович

• Брежнев, Юрий Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Брежнев, Юрий Владимирович

Оглавление

Введение

1 Интегрируемость: конечнозонная и точная

1.1 Точно решаемые потенциалы. Мотивации

1.2 Уравнения Ф"-и(а:)Ф = АФс конечнозонным спектром

1.3 Решение и спектральные данные

1.4 Где и как появляются римановы поверхности?

1.5 Замечания о произвольных спектральных задачах

1.5.1 Уравнения Дубровина

2 КОНЕЧНОЗОННОСТЬ И ТЭТА-ФУНКЦИИ

2.1 Спектрально-квадратурная двойственность

2.2 Возникновение тэта-функций (0-ряда)

2.3 Дисперсионные соотношения (нетривиальный пример)

3 Эллиптические солитоны

3.1 Эллиптические конечнозонные потенциалы

3.2 Алгоритмизация метода Эрмита-Альфана

3.3 Конечнозонные уравнения фуксового типа

3.4 Преобразования монодромии

3.4.1 Примеры и следствия

3.4.2 Алгоритм построения Й-функции

4 Динамические свойства и квантование 0-функций

4.1 Об эллиптических функциях и их модулях

4.2 Дифференциальный аппарат 0-функций

4.2.1 О 19-константах и уравнении теплопроводности

4.3 Алгебраическая интегрируемость ^-функций

4.3.1 ^-тождества как интегралы

4.3.2 Канонические 0-ряды и эллиптические функции

I 3 /

4.4 «Конечнозонные» уравнения на 0-функции

4.4.1 Новая трактовка спектрального параметра

4.5 Квантование

4.5.1 Полиномиальные динамические эквиваленты

4.5.2 Структура интегралов движения

4.5.3 Квантование

4.6 Общее решение и расширение 0-функций

5 Дифференциальные свойства ^-констант

5.1 Динамические системы на ^-константы

5.2 Общее решение

5.2.1 Замечания о выводе интегралов движения

5.3 Гамильтоново и лагранжево описание

5.4 Новые конечнозонные формулы следов

6 Космологические метрики Хитчина и 0-функции

6.1 Уравнение Р6 и решения Пикара-Хитчипа

6.1.1 Решение Пикара

6.1.2 Решение Хитчина

6.1.3 Подстановка Пенлеве

6.2 Алгебраические решения Пикара-Хитчина

6.3 Аналогии с конечнозонным классом

6.3.1 1-параметрические решения

6.3.2 Распределение полюсов

7 Методы теории униформизации

7.1 Уииформизация/параметризация алгебраических зависимостей

7.1.1 Эллиптический случай д = 1

7.1.2 Высшие рода и фуксовы уравнения

7.1.3 Почему и как появляются орбифолды?

7.1.4 Абелевы интегралы и накрытия торов. Примеры

7.2 Фундаментальность «рациональных» фуксовых уравнений

7.2.1 Преобразования между фуксовыми уравнениями

7.3 «Геометризация». Замкнутость, интегралы и связности

7.3.1 Униформизация в инвариантной формулировке

7.3.2 Голоморфные интегралы. Точно решаемый пример

7.3.3 Построение и дифференциальный аппарат связностей

7.3.4 Замечания о замкнутости теории

7.4 Метрики Пикара-Хитчина (униформизация)

7.4.1 Новый тип тэта-констаит

7.4.2 Примеры и следствия

Основные выводы

Приложение

А1 Функции Якоби

А2 Фуикции Вейерштрасса

АЗ Новый способ построения эллиптических функций

А4 Аналитическое решение задачи обращения

А4.1 Следствия

А5 Многомерная ©-функция

Литература

<г

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Спектральные задачи с конечнозонным спектром: тривиализация тэта-функциональных методов»

Введение

Точная решаемость физически содержательных моделей всегда представляла и будет представлять огромную ценность как сама по себе, так и для более глубокого понимания физики самих моделей. Она безусловно сохранит свою значимость, даже если будет установлена неполнота или некорректность принципов, лежащих в основе некоторой теории.

К важнейшим уравнениям теоретической физики принадлежат не только «большие» общековариантные уравнения, но и их редукции. Их характер очень разнообразен, но почти всегда они определяются дополнительными симметриями или граничными условиями. Классические примеры — это аксиально симметричные уравнения Эйнштейна-Максвелла, уравнения главного кирального поля, ипстаптопные модели Янга-Милса, самодуальные редукции как этих уравнений, так и уравнений Эйнштейна, и многие другие. С другой стороны результаты редукций могут приводить к уравнениям, применимость и прикладная ценность которых не меньше, а зачастую и больше, поскольку они оказываются «вездесущими» по части появления и в других многочисленных проблемах. Универсальным и самым обширно возникающим является класс линейных дифференциальных уравнений. Например, упомянутые выше самодуальные уравнения Янга-Милса богаты настолько, что через их размерные редукции и выборы калибровочной группы получаются чуть ли не любые нелинейные уравнения, которые сейчас принято называть интегрируемыми. Их связь с линейными уравнениями центральна, так как здесь всегда имеется ассоциированная система линейных дифференциальных уравнений на вспомогательную функцию Ф, условием совместности которой является данная нелинейная модель [66]. Наличие произвольного параметра в таких уравнениях является широко распространенным фактом, а то что они линейны автоматически превращает их в спектральные задачи, часто определяемые обыкновенными дифференциальными уравнениями. Имеется даже гипотеза [193], что любая солитонная система может быть получена подходящей редукцией из уравнений Янга-Милса.

В настоящей диссертации предметом рассмотрения является класс точно решаемых спектральных задач, определяемых обыкновенными линейными дифференциальными уравнениями, и те методы их исследования, которые, с точки зрения приложений, позволяют доводить решения до уровня, когда «дальнейшее упрощение

уже невозможно». Мы концентрируемся в основном на том, что связано с 1-мерным стационарным уравнением Шрёдингера

%х -и(ж)Ф = АФ, (*)

но излагаемые далее результаты с малыми изменениями приложимы к (матричным) обобщениям вида Ь(и, = АФ (многоканальные квантово механические спектральные задачи) и к спектральным пучкам Ь{и,дх\ А)Ф = 0 (обобщенные спектральные задачи); причина — в сохранении идеологии, а во многих ситуациях — и техники.

С одной стороны, такие задачи являют собой в высшей степени классические объекты, особенно уравнение Шрёдингера. Их универсальность общеизвестна и они оказали огромное влияние на современную теоретическую и математическую физику по части того, что стало считаться решаемым.

Любые наблюдаемые квантово-механические величины определяются соответствующими спектральными уравнениями, но роль уравнения (*) фундаментальна не только потому, что оно являет собой одно из основных уравнений квантовой механики, но и потому, что к нему приводят громадное количество как линейных физических моделей [63], так и, начиная с середины 1960-х годов, нелинейных [1, 48]. Универсальность уравнения такова, что, по всей видимости нет такой области, где бы оно не возникало: начиная от солитонов на мелкой воде, в плазме, оптике и кончая космологическими теориями. В силу своей «простоты» его интегрирование незамедлительно приводит к прямым физическим интерпретациям и по этой причине это уравнение хотя и не принадлежит к инвариантным уравнениям в полной мере можно отнести в разряд важнейших физических уравнений. На этом уравнении была открыта, развита и обобщена «философия» и современные методы исследования, которые составляют классический аппарат «решаемой» теоретической физики. Например, с ним связана первая реализация суперсимметричной квантовой механики (Виттен), а для простейшего нетривиального случая потенциалов Ламе и — п(п + 1)р(х) оператор (*) может быть представлен в декомпозицию матричных операторов Дирака 1-го порядка, коэффициенты, которых удовлетворяют §0(3)-уравнениям Нама [166], возникающих при построении статических неабелевых монополей (частицеподобных решений уравнений Янга-Милса) [137].

Вопрос о том решено ли уравнение и в каком смысле и в какой степени решено, является далеко не риторическим. Хотя смысл, который вкладывается в слова «точная решаемость», всегда более менее ясен из контекста, его содержание может значительно варьироваться, а математически доходить и до принципиально несопоставимых. Например, то, что относится к классической теории солитонов не вызывает разночтений; все они — потенциалы и(х) и решения выписанного выше уравнения — есть элементарные функции. Другие же «точно решаемые» потенциалы могут выражаться в гипергеометрических функциях, эллиптических, абелевых

тэта-функциях, функциях Пенлеве, классических ортогональных полиномах, спецфункциях и т. д. Без уточнения смысла, вкладываемого в «точную решаемость» и спектры, здесь уже не обойтись. Важно, и очень хорошо известно, что и по физическим характеристикам такие потенциалы и решения различаются кардинально.

С другой стороны, развитие методов должно приводить не только к упрощению понимания того, что стоит за некоторой решаемой задачей, но и к тривиализации используемого математического инструментария. Если по части солитонных потенциалов он доведен чуть-ли не до рутинно-алгоритмического состояния (формулы детерминантов), то для обобщений на потенциалы с периодическими коэффициентами это не так. Тем более, что когда число зон в спектре конечно, то в пределе — общеизвестный факт — получаются точно решаемые случаи уже без каких-либо оговорок: солитоны. По солитонной тематике существует огромное количество статей и монографической литературы, вплоть до студенческого и даже школьного уровня. Этого нельзя сказать про решаемые задачи с периодическими коэффициентами, традиционно именуемые как конечнозонное интегрирование. Почти за сорок лет современного развития этих методов вышло только две обстоятельные монографии [77, 127]; справедливости ради заметим, что потенциалы, выражаемые в эллиптических функциях, имеют обширную литературу. Тем не менее, при прагматическом взгляде не ясно, почему при известной общей формуле решения, тормозится попадание теории в стандартный арсенал средств прикладного характера? Объяснение традиционное: сложная математика*, стоящая за формулой. Одним из лейтмотивов дальнейшего изложения является то, что она в значительной степени больше считается таковой, чем есть на самом деле. Более того, в очень широком и не вырожденном классе задач она мало чем отличается от оперирования элементарными функциями.

Важно, что элементарные функции являются простыми предельными случаями тэта-функциональных. Такое обобщение вовсе не абстрактно, а естественно и в некотором смысле единственно возможное. Отсюда следует, что с физической точки зрения актуальной является своего рода «канонизация» понимания того, что стоит за этими методами и их тривиализации. Эта проблема еще далека от того, чтобы быть решенной по части тэта-функций, даже с учетом результатов, излагаемых в диссертации.

Аксиоматический подход, развитый в 1970-х годах [37, 38], безусловно и чрезвычайно продвинул теорию, технику и число решаемых моделей. В тоже время, с точки зрения физики, понимания да и восприятия имеется препятствие естественного свойства, которое изначально сопряжено с вопросами следующего характера. Почему при интегрировании модели или спектральной задачи, которая считается

"Процитируем эпиграф к приложеиию в книге [127] на стр. 343, где излагаются основы самого главного используемого математического аппарата —теории римановых поверхностей: "It is assumed that the reader will not have a heart failure at the mention of a Riemann surface".

точно решаемой, следует стартовать с некоторой абстрактной римановой поверхности, абелевых интегралов на ней и тэта-функций? Даже имея «па руках» некоторое спектральное уравнение, для которого мы знаем, что его пределы дают солитоны (в подчеркнутом выше контексте), что с ним ассоциирована квадратурно интегрируемая гамильтонова система, что оно точно интегрируемо и «интегрируемо в тэта», возникает вопрос о соотношении перечисленного со способом введения тэта-функции. Этот способ, насколько известно автору, единственнен: это не более чем постулируемый 6-ряд Фурье (А.46). Следует ли его тогда относить к классу специальных функций?

Тэта-формулы для решений были найдены В. Матвеевым и А. Итсом еще в 1975 году, но на этом развитие теории не остановилось, а скорее наоборот [162]. Сразу стало ясно, что в — действительно очень нетривиальный объект и осознается, что его даже чисто физические приложения выходят далеко за рамки конечнозон-ной теории. Несколько «легче» выглядит ситуация с 1-мерными ^-функциями, но и их практическая «эксплуатация» тоже ограничивается использованием табличных свойств. В самом деле, для всех тэта-функций имеется огромное количество дифференциальных, алгебраических и функциональных тождеств, число которых бесконечно, но "порядка в которых не видно" [43, стр. 26]. Одним из основных излагаемых ниже результатов является то, что тщательное осмысление процедуры интегрирования спектральных уравнений в классе конечнозонных потенциалов приводит не только к тривиализации взгляда на их интегрирование, но и к пониманию природы возникновения самих тэта-функций. По крайней мере в отношении ^-функций Якоби это справедливо в абсолютной мере и является одним из акцентов, который мы делаем в тексте. Как следствие — лишение тэта-функций их выделенного статуса, по которому они даже спецфункциями не считаются по причине своей особой сложности. В первую очередь, это касается их исчерпывающих дифференциальных свойств; мы приводим, например, замкнутую конечнозонную систему уравнений на сами 0-функции.

Наличие динамических систем на ^-функции, если их трактовать как классический предел, сразу позволяют поставить задачу их квантования, что особенно важно, так как предельными случаями 0-функций являются элементарные и, в частности, как вырождение, возникает (универсальный) квантовый гармонический осциллятор. Именно на примере 1-мерных тэта-функций становится прозрачным то, что составляет сущность проблемы квантования их многомерных расширений. Она выявляется уже на классическом уровне, так как квантование тэта-функций — это квантование не тэта-рядов, а их нетривиальных экспоненциально экспоненциально квадратичных расширений и абелевых логарифмических интегралов с параметрами (§§4.5^.6). Добавим, в качестве побочного продукта полномасштабного описания 0-функций и их ^-констант удается получить новый и совершенно неожиданный (трансцендентный и алгебраический) вариант знаменитых формул следов; восста-

новление потенциала по спектральным данным. Не исключено (гипотеза), что они имеются для произвольных конечнозонных операторов (§5.4).

Другой тезис состоит в том, что предлагаемый способ введения 0-функций в сущности не отличается от того, по которому могут определяться сами конечнозонные потенциалы и решения Ф(х; А). Мы имеем ввиду то, что известная интегрируемость по Лиувиллю нелинейных гамильтоновых систем самым прямым образом сопряжена с другим типом интегрируемости по Лиувиллю — интегрируемости линейных уравнений (теория Пикара-Вессиб). Как ни удивительно, но этот факт был замечен лишь в конце 1990-х годов, но и после этого его прямая связь с конечнозонной теории по существу не присутствовала в литературе до недавнего времени. При этом оказывается, что 1-мерные 0-функции мало чем отличаются по способу своего появления от объектов, которые сами интегрируются в в. Общая схема в такой тривиализации сводится к простому уравнению

грг = А(г)ф +В(г). (**)

Вряд ли можно возразить, что это уравнение решается элементарно, но то, что «сложная» конечнозонная теория, именуемая эквивалентно как алгебро-геометри-ческое интегрирование [37, 77], сводится к этому же уравнению уже не столь очевидно. Выражаясь описательно, спектральные уравнения интегрируются как конечное число «перепутанных копий» (переменные разделения) уравнений вида (**). Впрочем, тривиализации понимания такого перехода посвящены первые главы диссертации. Свойства решений и спектральные характеристики потенциалов — амплитуды, волновые числа, фазовые и групповые скорости и т. д. — целиком «закодированы» в коэффициенте А(г), а В (г) = 0. Класс, который именуется копечнозонным, характеризуется тем, что А{г) есть функции простейшего вида после рационального, т. е. алгебраические*. Более того, общеизвестная произвольность параметра в методах разделения переменных и решаемость через уравнения именно такого сорта оказываются идентичными явлениями. В спектральном контексте переменная А «первична», но здесь ее такая роль исчезает и мы получаем (А гс)-переход (стр. 35)

Л 7(я)

/1 <1г _, Г 1 ¿г Гг-—-;----

-^ / -г — , ь):= ^/{г-Е1)---(г-Е2д+1),

г — 7(х) ги у г-А ш м

который объясняет соотношение между спектральным и чисто дифференциальным взглядом. Ясно, что исчерпывающее изложение теории должно объяснять такую взаимную «трансляцию» в полной мере и мы называем это спектрально квадратурной двойственностью. Если выяснить еще какой замкнутый класс задач можно

'Можно показать, что такое расширение даже «обязано» быть алгебраическим, если использовать полную групповую трактовку теории Пикара-Вессиб и задаться целью строить «нечто решаемое» (разрешимые группы).

вообще решать таким способом, то неизбежно возникнет внешний произвольный параметр. Его трактовка как спектрального (линейное спектральное уравнение; энергия) тогда становится самонаирашивающейся и выстраивается следующая картина:

внешнее Л -ФФ- ^-замкнутость <=> «Ф-линейность»

В этой связи, например, традиционные формулировки тина "уравнение решаемо в 6-функциях", хотя и являются абсолютно корректными, но скрывают тривиализацию его квадратурной интегрируемости; такую же как и у уравнения Ф" = АФ. По сравнению с ним серьезно усложняется лишь важная процедура обращения, но она отражает наше стремление наделять переменные свойством «зависимая/независимая». Без него в ней не было бы необходимости, но исчезла бы (квантово-механическая) «линейность Ф». Грубо говоря, смыслы, которые мы вкладываем в объекты «линейное Ф», потенциал (требуется обращение) и «зависимые/независимые» переменные, оказываются тесно переплетены с тем, что в контексте спектральной полноты (!) мы можем «решать вообще».

Особые слова необходимо сказать относительно известной проблемы эффекти-визации. Она появилась сразу после возникновения теории конечнозонного интегрирования и рассматривалась как проблема вычисления параметров тэта-функциональных формул. Ее, однако, следует трактовать шире, поскольку не только параметры (физические величины) трудно вычисляемы, но и центральный объект теории — риманова поверхность спектральной кривой И^А, ц) = 0 — является чрезвычайно сложным, если род д > 1. Собственно говоря, доведение теории до состояния функционирующих формул/примеров до сих пор остается единственной проблемой в области. Тот факт, что все известные решаемые аналитически до конца случаи связаны со сводимостью ^-мерной ©-функции к 1-мерным в, есть лишь проявление того, что теория параметризации алгебраических зависимостей рода д = 1 развита исчерпывающе; это теория эллиптических функций.

Ситуация радикально меняется, когда род д > 1. Даже (возможная) редукция абелевых интегралов — это решения уравнения (**) — к эллиптическим лишь частично облегчает задачу, а принципиальная проблема многозначностей на кривой \¥(\, ¡х) = 0 остается. Мы приходим здесь к задаче эффективного исчисления на таких кривых, т. е. к теории униформизации. Ее аналитический аппарат, по сравнению с эллиптическим случаем, можно охарактеризовать как отсутствующий*. Именно по этой причине уже в самых первых работах [12, 83], где были приложены методы униформизации, отмечалось, что она имеет очень малые применения. Все что известно на сегодняшний день — это числовые расчеты через 0-ряды Пуанкаре и не ясно как

*В математической литературе за этой и родственной к ней проблемами давно закрепились

прилагательные «пресловутая», «чистая теорема существования» и т. п.

ими оперировать аналитически. Трудность «борьбы с многозначностями» оборачивается тем, что в литературе имеются даже результаты некорректного (числового) характера при построении зависимостей энергии Е от кристаллического момента к, причем для довольно простых потенциалов Ламе; и это при наличии аналитических формул с «хорошей» эллиптической редукцией. Эти (дисперсионные) соотношения Е = Е(к), как известно, всегда многозначны, так как над &-зоной Бриллюэна лежат (конечное число) ветви разрешенных значений энергии Е. Иными словами, до тех пор пока униформизирующая теория не будет развита с той степенью эффективности как эллиптическая, даже вещественная классическая конечнозонная теория будет оставаться не завершенной. При использовании униформизации проблемы многозначностей отсутствуют в принципе.

Построенный аппарат ^-функций богат на следствия и, помимо того, что решает основную конечнозонную задачу, как нельзя лучше оказался удобным и для эффективизации. Это осуществляется через знаменитый шестой трансцендент Пен-леве Р6, а точнее, через его алгебраические решения (космологические метрики Пикара-Хитчина). Придание им полностью «униформизационного вида», что само по себе нетривиальный результат, позволяет объединить ^-функциональные алгебраические решения Рб с конечнозонными гиперэллиптическими кривыми. Интересно отметить, что на этом пути удается не просто эксплуатировать явные параметризации, но и конструктивно развить и дополнить обшую теорию. Более того, без расширения уже известной теории в некотором смысле невозможно обойтись. В частности, абелевы интегралы, как необходимый объект в конечнозонном интегрировании, естественно необходимы и приводят к единому и новому взгляду на классическую теорию униформизации, базирующуюся на линейных дифференциальных уравнениях 2-го порядка класса Фукса. По этой причине в гл. 7 мы даем замкнутое и геометрическое (инвариантное) «переизложение» теории.

Несколько слов о литературе. В дальнейшем тексте мы не предпринимали попытки давать более развернутые комментарии к известным фактам, поскольку эта область обширно представлена в статьях, а постоянные сопоставления утяжелили бы текст. С другой стороны и сама теория и ее начала известны своими форма-лизациями, которые зачастую не являются необходимыми. Точное согласование со строгими формулировками привело бы к излишней математизации изложения и значительному увеличению текста.

Благодарности

Я глубоко признателен коллективу кафедры квантовой теории поля физического факультета Томского государственного университета, где была выполнена большая часть работы и написан текст. Постоянные общения с сотрудниками кафедры проходили в исключительно благоприятных условиях, а поддержка кафедральными грантами была более чем существенной. Многочисленные консультации с Иваном

Горбуновым, Алексеем Шараповым, Петром Казинским и Семёном Леонидовичем Ляховичем часто приводили к более ясному пониманию даже в «моих специфических» областях. Особую благодарность я хотел бы выразить моему научному консультанту Владиславу Гаврииловичу Багрову, атмосфера общения с которым и, вообще, та среда вокруг него (включая юмор), в которой мне приходилось пребывать, можно охарактеризовать фактически как идеальная. Возможность в любое время обсуждать с ним любые вопросы и свобода действий — это то, что трудно переоценить.

11 декабря 2012 г.

Томск

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Брежнев, Юрий Владимирович

Основные выводы

Подытожим содержание диссертации, охарактеризуем результаты в целом и перечислим основные положения, выносимые на защиту.

Методы спектральной теории 1-мерного твердого тела допускают существенное упрощение по сравнению с традиционными тэта-функциональными подходами. В равной мере это справедливо и для нелинейных (1+1)-интегрируемых моделей теоретической/математической физики, когда речь идет о построении любого вида точных решений: солитонов, их разновидностей и (квази)периодических обобщений. Наличие элементарной по структуре формулы для Ф-функции позволяет, при необходимости, получать тэтагфункциональные формы решений, а также тривиализи-ровать понимание роли и возникновение самих тэта-функций. Присутствие в теории римановых поверхностей алгебраических соотношений является неизбежным фактом, но подключение прямых методов анализа на таких поверхностях (теория уни-формизации) позволяет —и является единственной возможностью—доводить конечные формулы до явных выражений. Даже стандартные задачи построения дисперсионных соотношений Е = Е(к) обнаруживают необходимость использования параметрических представлений для абелевых интегралов и функций на таких поверхностях. Без использования развитого дифференциального аппарата тэта-функций указанные проблемы не могут быть разрешены в принципе, но при наличии редукций к 1-мерным функциям Якоби и эллиптическим функциям большинство проблем решается. В отдельных, впервые найденных, случаях все результаты полностью представимы аналитическими формулами. Имея ввиду соотношение тэта-функций с элементарными и связь последних с каноническими квантовыми точно решаемыми задачами удается полностью поставить и частично решить проблему квантования нетривиального тэта-функционального расширения классических интегрируемых моделей волчка Эйлера и осциллятора. Без описанного выше дифференциального исчисления самих тэта-функций даже постановки таких вопросов не возможны (классический принцип соответствия). Использование ^-аппарата и подключение решений б-го трансцендента Пенлеве позволило построить и указать метод получения большого (бесконечного) количества точных не только конечно-зонных гиперэллиптических решений, но и более сложных; долгое время это было проблемой и недостатком даже математической литературы.

Защищаемые положения:

1. Предложен новый подход к точно решаемым случаям 1-мерного уравнения Шрёдингера

-Ф" + м(а;)Ф = ЯФ.

На его основе получена явная квадратурная формула для Ф-функции. Как частные случаи формула охватывает все потенциалы с конечным числом запрещенных зон в спектре и классические солитоны.

2. Разработана схема регулярного вывода представления для Ф(ж; Е) в терминах ©-функций, не использующая аксиоматическое введение римановых поверхностей. Между квадратурами и классической спектральной концепцией имеется точное соответствие — спектрально квадратурная двойственность; она описана аналитически.

3. Разработаны алгоритмические процедуры получения спектральных физических характеристик и дисперсионных соотношений Е = Е(к) для потенциалов в эллиптических функциях для широкого класса задач на собственные значения Ь(и(х)]дх)Ф = ЕЧ>.

4. Выведены дифференциальные уравнения на классические 0-функции Яко-би и их конечнозонное расширение. Уравнения являются гамильтоновыми и лагранжевыми, а их частные случаи допускают постановку вопроса квантования данных динамических систем и его решение, включая спектральное уравнение для гамильтониана.

5. Космологические алгебраические метрики Пикара-Хитчина, как решения уравнения Пенлеве-6, параметризуются в ^-функциях. Как следствие, возникают гипсрэллиптические кривые и эффективизация конечнозонных потенциалов уравнения Шрёдингера в контексте методов униформизации.

6. Развитый аппарат 0-функций приводит к аналитически решаемым случаям теории униформизации алгебраических зависимостей. Предложена геометрически замкнутая переформулировка теории. Впервые найдены полностью и точно решаемые случаи.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Брежнев, Юрий Владимирович, 2012 год

Литература

авловиц М., Сегур x. Солитоны и метод обратной задачи. Мир: Москва (1987).

Абрамовиц М., стиган И. Справочник по специальным функциям. Наука: Москва (1979).

Айне Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков (1939).

Антонов В. А., Кондратьев Б. П. О квантовании вращения твердого тела. Журнал техн. физики (2006) 76(8), 9-12.

ахиезер Н. И. Континуальный аналог ортогональных полиномов на системе интервалов. ДАН СССР (1961) 141(2), 263-266.

ахиезер Н. И. Элементы теории эллиптических функций. Наука: Москва (1970).

БАБИЧ М. В. О канонической параметризации фазовых пространств уравнений изомонодромных деформаций фуксовых систем размерности 2x2. Вывод уравнения Пенлеве VI. Успехи мат. наук (2009) 64(1), 51-134.

бейкер г. Абелевы функции. Теорема Абеля и связанная с ней теория тэта-функций. МЦНМО: Москва (2008).

бейтмен Г., эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра. Наука: Москва (1965).

бейтмен Г., эрдейи а. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. Наука: Москва (1967).

Беркович Л. М. Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений. РХД: Москва (2002).

бобенко А. И. Униформизация и конечнозонное интегрирование. ДАН СССР (1987) 295(2), 268-272.

[13] Бобенко А. И., КубенскиЙ Д. А. Качественный анализ и вычисления ко-нечнозонных решений уравнения Кортевега-де Фриза. Автоморфный подход. Теор. мат. физика (1987) 72(3), 352-360.

[14] Брежнев Ю. В. Базисы Грёбнера в теории эллиптических солитонов для спектральных задач 3-го порядка. Симметрия и дифференциальные уравнения. Труды межд. конф. Красноярск (2000), 53-56.

[15] Брежнев Ю. В. Об уравнениях Дубровина для конечнозонных операторов. Успехи мат. наук (2002) 57(2), 191-192.

[16] Брежнев Ю. В. Конечнозонные потенциалы с тригопальными кривыми. Теор. мат. физика (2002) 133(3), 398-404.

[17] Брежнев Ю. В. Исторические замечания к теории конечнозонного интегрирования: элементарная трактовка теории.

http://arXiv.org/math.ca/0504051 (2005).

[18] Брежнев Ю. В. О Т-функциональном решении 6-го трансцендента Пенле-ве. Теор. мат. физика (2009) 161(3), 346-366.

[19] Брежнев Ю. В. Трансцендентные формулы следов для конечнозонных потенциалов. Теор. мат. физика (2010) 164(1), 108-118.

[20] Брежнев Ю. В. Эллиптические солитоны, фуксовы уравнения и алгоритмы. Алгебра и анализ (2012) 24(4), 34-63.

[21] Брежнев Ю. В., Зайцев А. А., Сазонов С. В. К аналитической теории явления суперкомпенсации. Биофизика (2011) 56(2), 342-348.

[22] Брежнев Ю. В., Сазонов С. В. О движении слабопереторможенных нелинейных осцилляторов. Изв. РАН. Физика (2012) 76(12), 1447-1451.

[23] БрЮНО А. Д., ГОРЮЧКИНА И. В. Все разложения решений шестого уравнения Пенлеве вблизи его неособой точки. Доклады РАН (2009) 425(6), 1-6.

[24] брюно А. Д., горючкина И. В. Асимптотические разложения решений шестого уравнения Пенлеве. Труды ММО (2010) 71, 6-118.

[25] виноградов И. М. (Ред.) Математическая энциклопедия. III. Москва (1982).

[26] гельфанд и. м., Дикий JI. а. Асимптотика резольвенты штурм-лиувил-левских уравнений и алгебра уравнений Кортевега-де Фриза. Успехи мат. наук (1975) xxx(5), 67-100.

[27] голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. ГИТТЛ: Москва (1950).

[28] Давыдов А. С. Квантовая механика. Наука: Москва 1973.

[29] Дубровин Б. А. Периодическая задача для уравнения Кортевега-де Фриза в классе конечнозонных потенциалов. Функц. анализ и его прил. (1975) 9(3), 41-51.

[30] дубровин Б. А. Тета-функции и нелинейные уравнения. Успехи мат. наук (1981) XXXVI(2), 11-80.

[31] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. Наука: Москва (1986).

[32] Итс А. Р., матвеев В. Б. Операторы Шрёдингера с конечнозонным спектром и N-солитонные решения уравнения Кортевега-де Фриса. Теор. мат. физика (1975) 23(1), 51-67.

[33] каку М. Введение в теорию суперструн. Мир: Москва (1999).

[34] КАПЛАНСКИЙ И. Введение в дифференциальную алгебру. ИЛ: Москва (1959).

[35] Кокс Д., Литтл Дж., О'Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Мир: Москва (2000).

[36] Комаров И. В., Кузнецов В. Б. Квазиклассическое квантование волчка Ковалевской. Теор. мат. физика (1987) 73(3), 335-347.

[37] кричевер и. м. Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений. Успехи мат. наук (1977) ХХХП(6), 183-208.

[38] Кричевер И. М. Коммутативные кольца линейных обыкновенных дифференциальных операторов. Функц. анализ и его прил. (1978) 12(3), 20-31.

[39] ландау л. д., лифшиц е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. Наука: Москва (1989).

[40] линдон Р., ШУПП П. Комбинаторная теория групп. Мир: Москва (1980).

[41] Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. Мир: Москва (1990).

[42] МАГНУС В., КАРРАС А., СОЛИТЭР Д. Комбинаторная теория групп. Наука: Москва (1974).

[43] МАМФОРД Д. Лекции о тэта-функциях. Мир: Москва (1988).

[44] марченко В. А. Периодическая задача Кортевега-де Фриза. ДАН СССР (1974) 217(2), 276-279.

[45] НЕВАНЛИННА Р. Униформизация. ИЛ: Москва (1955).

[46] НОВИКОВ С. П. Периодическая задача уравнения Кортевега-де Фриза. I. Функц. анализ и его прил. (1974) 8(3), 54-66.

[47] Новиков С. П., тайманов И. А. Современные геометрические структуры и поля. МЦНМО: Москва (2005).

[48] НьЮЭЛЛ А. Солитоны в математике и физике. Мир: Москва (1989).

[49] ОЛВЕР П. Приложение групп Ли к дифференциальным уравнениям. Мир: Москва (1989).

[50] Пуанкаре А. Избранные труды. III. Наука: Москва (1974).

[51] Сирота Ю. Н., Смирнов А. О. Уравнение Гойна и преобразование Дарбу. Мат. заметки (2006) 79(2), 267-277.

[52] Смирнов А. О. Двухзонные эллиптические решения уравнения Буссинеска. Мат. сборник (1999) 190(5), 139-157.

[53] смирнов В. И. Избранные труды. Аналитическая теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд-во С.-Петербургского университета: Санкт-Петербург (1996).

[54] Смирнов Ф. А. Что мы квантуем в интегрируемых моделях теории поля? Алгебра и анализ (1994) 6(2), 248-261.

[55] СОМОВЪ I. Основатя meopiu эллиптическихъ функцШ. Типограф1я ИМПЕРАТОРСКОЙ Академш Наукъ: С.-Петербургъ (1850).

[56] тихомандрицкш М. А. Teopin эллиптическихъ интеграловъ и эллиптическихз функцгй. Типограф1я Зильберберга: Харьковъ (1895).

[57] уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. И. ФМЛ: Москва (1963).

[58] Устинов Н. В., Брежнев Ю. В. О Ф-функции для конечнозонных потенциалов. Успехи мат. наук (2002) 57(1), 167-168.

[59] ЧЕБОТАРЕВ Н. Г. Теория алгебраических функций. ОГИЗ: Москва-Ленинград (1948).

[60] форд Л. Автоморфные функции. ОНТИ: Москва-Ленинград (1936).

[61] Форстер О. Римановы поверхности. Мир: Москва (1980).

[62] эйзенхарт Л. П. Непрерывные группы преобразований. ИЛ: Москва (1947).

[63] якубович В. А., старжинский В. М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. Наука: Москва (1972).

[64] Ablowitz М. J., Ciiakravarty S., Hahn Н. Integrable systems and modular forms of level 2. Journ. Phys. A: Math. Gen. (2006) 39(50), 15341-15353.

[65] Ablowitz M. J., Chakravarty S., Halburd R. The Generalized Chazy Equation from the Self-Duality Equations. Stud. Appl. Math. (1999) 103(1), 75-88.

[66] Ablowitz M. J., Chakravarty S., Takhtajan L. A. A self-dual Yang-Mills hierarchy and its reduction to integrable systems in 1+1 and 2+1 dimensions. Comm. Math. Physics (1993) 158, 289-314.

[67] accola R. D. M. Topics in the Theory of Riemann Surfaces. Lecture Notes in Math. 1595. Springer-Verlag: Berlin-Heidelberg (1994).

[68] AcostA-HumAnez P. B. Galoisian Approach to Supersymmetric Quantum Mechanics. The integrability analysis of the Schrodinger equation by means of differential Galois theory. Verlag Dr. Muller (2010).

[69] Acosta-HumAnez P. В., Morales-Ruiz J.-J., Weil J.-A. Galoisian Approach to Integrability of the Schrodinger Equation. Reports on Math. Physics (2011) 67(3), 305-374.

[70] Acta Applicandae Mathematicae (1994) 36, 1-308 (весь том).

[71] apostol N. M. Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. 2nd ed. Springer-Verlag: New York (1990).

[72] Atiyah M., Hitchin N. The Geometry And Dynamics of Magnetic Monopoles. Princeton University Press: Princeton (1988).

[73] babich m. v., Bordag L. a. The elliptic form of the sixth Painlevé equation. Preprint NTZ 25/1997, Leipzig (1997).

[74] babich m. v., korotkin d. a. Self-Dual SU (2)-Invariant Einstein Metrics and Modular Dependence of Theta-Functions. Lett. Math. Physics (1998) 46, 323— 337.

bagrov v. g., gitman d. m. Exact Solutions of Relativistic Wave Equations. Kluwer Academic Publishers: Dordrecht (1990).

Baruch A. Ueber die Differentialrelationen zwischen den Thetafunktionen eines Arguments. Inaugural-Dissertation, Halle, 35 pp. Buchdruckerei von W. Fr. Kaest-ner: Göttingen (1910).

Belokolos E. D., Bobenko A. I., Enol'skii V. Z., Its A. R., matveev V. B. Algebro-Geometrie Approach to Nonlinear Integrable Equations. Springer Series in Nonlinear Dynamics. Springer-Verlag: Berlin-Heidelb erg-New York (1994).

beukers F. Unitary Monodromy of Lamé Differential Operators. Regular and Chaotic Dynamics (2007) 12(6), 630-641.

beukers F., van der waall A. Lamé equations with algebraic solutions. Journ. Diff. Equations (2004) 197(1), 1-25.

BiERMANN G. G. A. Probelemata quaedam mechanica functionum ellipticarum ope soluta. Dissertatio Inauguralis, 39 pp. Typis Caroli Schultze: Universität Berlin (1865).

BlRCH B. J. Some calculations of modular relations. In: Modular Functions of One Variable. I. Lecture Notes in Math. (1973) 320, 175-186.

blaszak M. Multi-Hamiltonian Theory of Dynamical Systems. Texts and Monograph in Physics. Springer-Verlag: Berlin (1998).

bobenko A. I., Bordag L. A. Periodic multiphase solutions of the Kadomsev-Petviashvili equation. Journ. Phys. A: Math. Gen. (1989) 22(9), 1259-1274.

BOBENKO A. I., KLEIN C. (Eds.) Computational Approach to Riemann Surfaces. Lecture Notes in Math. (2011) 2013.

bradenh. W., EnolskiV. z. On the Tetrahedrally Symmetric Monopole. Comm. Math. Physics (2010) 299, 255-282.

brezhnev Yu. V. Elliptic solitons with free constants and their isospectral deformations. Reports on Math. Physics (2001) 48(1/2), 39-46.

brezhnev Yu. V. Elliptic solitons and Gröbner bases. Journ. Math. Physics (2004) 45(2), 696-712.

brezhnev Yu. V. On the uniformization of algebraic curves. Moscow Math. Journ. (2008) 8(2), 233-271.

Brezhnev Yu. V. What does integrability of finite-gap or soliton potentials mean? Phil. Trans. Royal Society. Ser A: Math. Phys. Sciences (2008) 366(1867), 923-945.

Brezhnev Yu. V. On uniformization of Burnside's curve y2 = x5 — x. Journ. Math. Physics (2009) 50(10), 103519(1-23).

Brezhnev Yu. V. On unformizable representation for Abelian integrals. Painleve Equations and Related Topics, 199-208 (eds: A. Bruno, A. Batkhin). De Gruyter (2012).

Brezhnev Yu. V. Spectral/quadrature duality: Picard-Vessiot theory and finite-gap potentials. Contemporary Mathematics (2012) 563, 1-31. Algebraic aspects of Darboux transformations, quantum integrable systems and supersymmetric quantum mechanics (eds: P. Acosta-Humänez, F. Finkel, N. Kamran & P. Olver). Amer. Math. Soc.

BREZHNEV Yu. V. The sixth Painleve transcendent and uniformizable orbifolds. Painleve Equations and Related Topics, 193-198 (eds: A. Bruno, A. Batkhin). De Gruyter (2012).

brezhnev Yu. V. Non-canonical extension of 9-functions and modular integrability of i9-constants. Proc. Royal Soc. Edinburgh (2013) 143, 37-85.

brezhnev Yu. V. A note on Chudnovsky's Fuchsian equations. Journ. Diff. Equations (2012) 253(12), 3727-3751.

Brezhnev Yu. V., Lyakhovich S. L., Sharapov A. A. Dynamical systems defining Jacobi's 'd-constants. Journ. Math. Physics (2011) 52(11), 112704(1-21).

Brezhnev Yu. V. The sixth Painleve transcendent and uniformization of algebraic curves. Nonlinearity (Submitted).

Bruinier J. H., van der Geer G., Harder G., Zagier D. The 1-2-3 of Modular Forms. Springer-Verlag: Berlin-Heidelberg (2008).

BRUNS H. Ueber die Perioden der elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung. Math. Annalen (1886) XXVII, 234-252. Reprint from the Dorpat University Festschrift (1875).

burnside W. On a class of automorphic functions. Proc. London Math. Soc. (1891) XXIII(l), 49-88.

BURNSIDE W. S. Note on the equation y2 = x(xA - 1). Proc. London Math. Soc. (1893) XXIV, 17-20.

102] Chakravarty S., Ablowitz M. J. Integrability, Monodromy, Evolving Deformations, and Self-Dual Bianchi IX Systems. Phys. Rev. Lett. (1996) 76(6), 857— 860.

103] Chakravarty S., Ablowitz M. J., Clarkson P. A. Reductions of self-dual Yang-Mills fields and classical systems. Phys. Rev. Lett. (1990) 65(9), 1085-1087.

104] chazy J. Sur les équations différentielles dont l'intégrale générale possède une coupure essentielle mobile. Compt. Rend. Acad. Sci. Paris (1910) 150, 456-458.

105] chudnovsky D. V., chudnovsky G. V. Note on Eisenstein's system of differential equations: an example of "exactly solvable but not completely integrable system of differential equations". In: Lecture Notes in Pure and Applied Math. D. V. Chudnovsky, G. V. Chudnovsky (eds.) (1984) 92, 99-115. Dekker (1984).

106] chudnovsky D. v., Chudnovsky G. V. Transcendental Methods and Theta-Functions. Proc. Sympos. Pure Math. (1989) 49, Part 2, 167-232.

107] clarkson P. A., Olver P. J. Symmetry and the Chazy equation. Journ. Diff. Equations (1996) 124(1), 225-246.

108] clebsch A., Gordan P. Theorie der Abelschen Functionen. Druck und Verlag von B. G. Teubner: Leipzig (1866).

109] CONTE R. (Ed.) The Painlevé property. One century later. CRM Series in Mathematical Physics. Springer-Verlag: New York (1999).

110] crowdy D. Geometric function theory: a modern view of a classical subject. Non-linearity (2008) 21, T205-T219.

111] DALZELL D. P. A note on automorphic functions. Journ. London Math. Soc. (1930) 5, 280-282.

112] DARBOUX G. Sur la théorie des coordonnées curvilignes et les systèmes orthogonaux. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure. 2e Série, (1878) VII, 101-150.

113] DARBOUX G. Sur une équation linéaire. Compt. Rend. Acad. Sci. (1882) XCIV(25), 1645-1648.

114] DlCKEY L. A. Solitons Equations and Hamiltonian Systems. 2nd ed. Advance Series in Math. Physics 26. World Scientific: Singapore (2003).

[115] dolbnia j. Recherche analytique sur la réduction des intégrales Abéliennes de seconde espèce. Bull, des Sciences Math. 2e série (1904) XXVIII, 47-63, 74-85. Œuvres Mathématiques de Jean Dolbnia. 256-282. Librairie scientifique A. Hermann & Fils: Paris (1913).

[116] drach j. Détermination des cas de réduction de l'équation différentielle = [<p(x) + h]y. Compt. Rend. Acad. Sei. (1919) 168, 47-50.

[117] drach j. Sur l'intégration par quadratures de l'équation ^f = \<~p(x) + h]y. Compt. Rend. Acad. Sei. 168 (1919), 337-340.

[118] dubrovin b. Geometry of 2D topological field theories. In: Integrable Systems and Quantum Groups, (eds. Francaviglia M., Greco S.). Lecture Notes in Math. (1996) 1620, 120-348.

[119] Eilbeck J. C., Enol'skii V. Z. Bilinear operators and power series for the Weierstrass a-function. Journ. Phys. A: Math. Gen. (2000) 33(4), 791-794.

[120] Eisenstein G. Mathematische Abhandlungen. Georg Olms: Hildesheim (1967).

[121] ENNEPER A. Elliptische Functionen. Theorie und Geschichte. Verlag von Louis Nebert: Halle (1876).

[122] forsyth A. R. Theory of differential equations. Part III(IV). Cambridge University Press: Cambridge (1902).

[123] fricke R. Elliptische Funktionen. In: Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften. II. 2. Teil. (1913), 181-348. Verlag und Druck von B. G. Teubner: Leipzig (1913).

[124] fricke R. Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen. I, II. Druck und Verlag von B. G. Teubner: Leipzig und Berlin (1916), (1922). Фрике планировал 3-й том, который появился только недавно.

fricke R. Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendengen. III. SpringerVerlag: Berlin-Heidelberg (2012).

[125] fuchs R. Uber lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit drei im Endlichen gelegenen wesentlich singulären Stellen. Math. Annalen (1911) 70(4), 525-549.

[126] gambier B. Sur les équations différentielles du second ordre et du premier degré dont l'intégrale générale est a points critiques fixes. Thèse. Acta Math. (1909) 33, 1-55.

[127] GesztesyF., Holden H. Soliton Equations and Their Algebro-Geometric Solutions. Vol. I: (1+1)-Dimensional Continuous Models. Cambridge studies in advanced mathematics 79. Cambridge University Press: Cambridge (2003);

Gesztesy F., Holden H., Michor J., Teschl G. Soliton Equations and Their Algebro-Geometric Solutions. Vol. II: (1+1)-Dimensional Discrete Models. Cambridge studies in advanced mathematics 114. Cambridge University Press: Cambridge (2008).

1281 GesztesyF., Unterkofler K. Algebro-geometric solutions of the Boussinesq hierarchy. Rev. Math. Physics (1999) 11, 823-879.

1291 gromak V. I., Laine I., Shimomura S. Painlevé Differential Equations in the Complex Plane. Walter de Gruyter: Berlin (2002).

1301 GÜMRAL H., NUTKU Y. Poisson structure of dynamical systems with three degrees of freedom. Journ. Math. Physics (1993) 34(12), 5691-5723.

1311 Guzzetti D. The Elliptic Representation of the General Painlevé VI Equation. Comm. Pure Appl. Math. (2002) LV, 1280-1363.

132] halphen G.-h. Traité des Fonctions Elliptiques et de Leurs Applications. I—III. Gauthier-Villars: Paris (1886)-(1891).

1331 harnad J. Picard-Fuchs Equations, Hauptmodulus and Integrable Systems. In: In-tegrability: The Seilberg-Witten and Witham Equations. (Edinburgh, 1998). Ch. 8, 137-151 (2000).

134] harnad J., McKay J. Modular solutions to equations of generalized Halphen type. Proc. Royal Soc. London A (2000) 456, 261-294.

135] Hermite C. Œuvres de Charles Hermite. II. Gauthier-Villars: Paris (1908).

1361 hltchln N. Twistor spaces, Einstein metrics and isomonodromic deformations. Journ. Diff. Geom. (1995) 42(1), 30-112.

1371 Hitchin N. J., Manton N. S., murray m. K. Symmetric monopoles. Nonlin-earity (1995) 8, 661-692.

1381 HURWITZ A. Grundlagen einer independenten Theorie der elliptischen Modul-funetionen und Theorie der Multiplicatorgleichungen erster Stufe. Math. Annalen (1881) XVIII(3), 528-592.

1391 ivanov P. On Lamé's equation of a particular kind. J. Phys. A: Math. Gen. (2001) 34, 8145-8150.

[140] Iwasaki K., Kimura H., Shimomura S., Yoshida M. From Gauss to Painleve: a modern theory of special functions. Aspects Math. El6. Friedr. Vieweg & Sohn: Braunschweig (1991).

141

142

143

144

145

146

147

148

149

150

151

152

153

JACOBI C. G. J. Gesammelte Werke. I, II. Verlag von G. Reimer: Berlin (1882).

Jost J. Compact Riemann Surfaces. 3rd ed. Springer-Verlag: Berlin-Heidelberg (2006).

Kaup D. J. On the inverse scattering problem for cubic eigenvalue problems of the class ф+ 6Qipx + 6Rip = Хф. Stud. Appl. Math. (1980) 62, 189-216.

keen L., Rauch H. е., Vasquez A. T. Moduli of punctured tori and the accessory parameter of Lamé's equation. Trans. Amer. Math. Soc. (1979) 225, 201-230.

klrltsls L. Introduction to superstring theory. Leuven Notes in Mathematical and Theoretical Physics. Cornell University Press (1998).

KlTAEV A. V., Korotkin D. A. On solutions of the Schlesinger equations in terms of theta-functions. Intern. Math. Research Notices (1998) 17, 877-890.

klein F. lieber lineare Differentialgleichungen der zweiten Ordnung. Vorlesung, gehalten im Sommersemester 1894. Göttingen (1894) (рукописное издание).

knopp M. I. Construction of a class of modular functions and forms. Pacific Journ. Math. (1961) 11(1), 275-293; (1961) 11(2), 661-678.

knopp M. I. On Abelian integrals of the second kind and modular forms. Amer. Journ. Math. (1962) 84(4), 615-628.

knopp M. I. On generalized Abelian integrals of the second kind and modular forms of dimension zero. Amer. Journ. Math. (1964) 86(2), 430-440.

koebe P. Uber die Uniformisierung der algebraischen Kurven I. Math. Annalen (1909) 67, 145-224.

kovacic J. J. An algorithm for solving second order linear homogeneous differential equations. Journ. Symbolic Comput. (1986) 2(1), 3-43.

lawden D. F. Elliptic Functions and Applications. Applied Mathematical Sciences 80. Springer-Verlag: New York (1989).

154] Levin A. A Geometric Interpretation of an Infinite Product for the Lemniscate Constant. Amer. Math. Month. (2006) 113, 510-520.

155] Li H., KusNEZOV D. Group Theory Approach to Band structure: Scarf and Lamé Hamiltonians. Phys. Rev. Letters (1999) 83(7), 1283-1286.

156] Li H., KusNEZOV D., iachello F. Group theoretical properties and band structure of the Lamé Hamiltonian. Journ. Phys. A: Math. Gen. (2000) 33, 6413-6429.

157] lisovyy O., Tikhyy Y. Algebraic solutions of the sixth Painlevé equation. http ://arXiv.org/math.CA/0809.4873 (2008).

158] MAGRI F. A simple model of the integrable Hamiltonian equation. Journ. Math. Physics (1978) 19(5), 1156-1162.

159] MAIER R. S. Lamé polynomials, hyperelliptic reductions and Lamé band structure. Phil. Trans. Royal Soc. Ser. A: Math. Phys. Sciences (2008) 366(1867), 1115-1153.

160] manin Yu. I. Sixth Painlevé equation, universal elliptic curve, and mirror of p2. Geometry of differential equations, AMS Transi. Ser. 2, (1998) 186,131-151. Amer. Math. Soc., Providence, RI.

161] matveev V. B. Abelian functions and solitons. Preprint n. 373, 98 pp. Wroclaw University (1976).

162] MATVEEV V. B. 30 years of finite-gap integration theory. Phil. Trans. Royal Soc. Ser. A: Math. Phys. Sciences (2008) 366(1867), 837-875.

163] MAZZOCCO M. Picard and Chazy solutions to the Painlevé VI equation. Math. Annalen (2001) 321(1), 157-195.

164] McKean H. P., van Moerbeke P. The spectrum of Hill's equation. Inventiones Mathematicae (1975) 30(3), 217-274.

165] Morales-Ruiz J.-J. Differential Galois theory and non-integrability of Hamiltonian systems. Progress in Mathematics 179. Birkhäuser Verlag: Basel (1999).

166] Ward R. S. The Nahm equations, finite-gap potentials and Lamé functions. Journ. Phys. A: Math. Gen. (1987) 20, 2679-2683.

167] neumann C. Vorlesungen über Riemann's Theorie der Abeleschen Integrale. 2nd ed. Teubner: Leipzig (1884); 1st ed. (1865).

168] Nijiioff F., hone A., Joshi N. On a Schwarzian PDE associated with the KdV hierarchy. Phys. Lett. A (2000) 267, 147-156.

169] OHYAMA Y. Differential relations of theta functions. Osaka Journ. Math. (1995) 32(2), 431-450.

170] okamoto K. Polynomial Hamiltonians associated with Painlevé Equations. II. Differential equations satisfied by polynomial Hamiltonians. Proc. Japan Acad. Sei. (1980) 56A(8), 367-371.

171] painlevé p. Sur les équations différentialles du second ordre à points critiques fixes. Compt. Rend. Acad. Sei. (1906) CXLIII(26), 1111-1117.

172] painlevé P. Œuvres de Paul Painlevé. III. Paris (1976).

173] Picard E. Théorie des fonctions algébriques de deux variables. Journal de Math. Pures et Appl. (Liouville's Journal) (4° serie) (1889) V, 135-319.

174] prym F. Neue Theorie der ultraelliptischen funetionen. Mayer &; Müller: Berlin (1885).

175] Rauch H. E., Lebowitz A. Elliptic Functions, Theta Functions, and Riemann Surfaces. The Williams & Wilkins Comp. (1973).

176] singer M. F. Liouvillian solutions of nth order homogeneous linear differential equations. Amer. Journ. Math. (1981) 103, 661-682.

177] van der Put M., Singer M. F. Galois Theory of Linear Differential Equations. Springer-Verlag: Berlin (2003).

178] ramamani V. On some identities conjectured by Srinivasa Ramanujan in his lithographed notes connected with partition theory and elliptic modular functions— their proofs—interconnection with various other topics in the theory of numbers and some generalizations. PhD-Thesis. University of Mysore: Mysore (1970).

179] ramanujan S. On certain arithmetical functions. Trans. Cambridge Phil. Soc. (1916) 22(9), 159-184; Collected papers. Cambridge University Press: Cambridge (1927).

180] schief W. K. The Painlevé III, V and VI transcendents as solutions of the Einstein-Weyl equations. Phys. Lett. A (2000) 267, 265-275.

181] Schiffer M., Hawley N. S. Connections and conformai mapping. Acta Math. (1962) 107, 175-274.

182] Schwarz H. A. Gesammelte Mathematische Abhandlungen. I, II. Verlag von Julius Springer: Berlin (1890).

183] Scott W. G. Nucléon Structure, Duality and Elliptic Theta Functions. http://arXiv.org/hep-ph/9912502 (2001).

[184] Smart J. R. Modular forms of dimension —2 for subgroups of the modular group. PhD-Thesis, Michigan State University (1961); On modular forms of dimension -2. Trans. AMS (1965) 116(1), 86-107.

[185] smirnov A. O. Elliptic solitons and Heun's equation. The Kowalevski property (Leeds, 2000), CRM Proc. Lecture Notes 32, 287-305. Amer. Math. Soc., Providence, RI (2002).

[186] SMIRNOV A. O. Finite-gap Solutions of the Fuchsian Equations. Lett. Math. Physics (2006) 76, 297-316.

[187] takemura k. The Heun Equation and the Calogero-Moser-Sutherland System III: The Finite-Gap Property and the Monodromy. J. Nonlin. Math. Physics (2004) 11(4), 21-46.

[188] Takhtajan L. A. A simple example of modular forms as tau-functions for integrable equations. Теор. мат. физика (1992) 93(2), 330-341.

[189] tannery J., molk J. Elements de la théorie des fonctions elliptiques. I—IV. Gauthier-Villars: Paris (1893)-(1902).

[190] thomé L. W. Ueber lineare Differentialgleichungen mit mehrwerthigen algebraischen Coefficienten. Journ. Reine Angew. Math. (1895) CXV, 33-52, 119-149; (1898) CXIX, 131-147.

[191] TOD K. P. Self-dual Einstein metrics from the Painlevé VI equation. Phys. Lett. A (1994) 190(3-4), 221-224.

[192] TODD J. The Lemniscate Constants. Commun. Assoc. Comp. Machinery (1975) 18(1), 14-19; corrigendum, ibid. 18(8), 462.

[193] Ward R. S. Integrable and solvable systems and relations among them. Phil. Trans. Royal Soc. (1985) A315, 451-457.

[194] weber H. Ein Beitrag zu Poincaré's Theorie der Fuchs'schen Functionen. Göttingen Nachrichten (1886), 359-370.

[195] weber H. Lehrbuch der Algebra. III. Elliptische Funktionen und algebraische Zahlen. F. Vieweg & Sohn: Braunschweig (1908).

[196] Weierstrass K. Theorie der Abel'schen Functionen. Druck und Verlag von Georg Reimer: Berlin (1856).

[197] Weierstrass K. Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Functionen. Bearbeitet und herausgegeben von H. A. Schwarz. W. Fr. Kaestner: Göttingen (1885).

/ »■ ■г/'-З/ , M £

[198] Weierstrass K. Mathematische Werke. II, IV, V. Mayer & Müller: Berlin (1895), (1902), (1904).

[199] Weyl H. The concept of a Riemann surface. 3rd ed. Addison-Wesley: London (1955).

[200] WhittaKER E. T. On the Connexion of Algebraic Functions with Automorphic Functions. Phil. Trans. Royal Soc. London (1898) 192A, 1-32.

[201] whittaker E. T. On hyperlemniscate functions, a family of automorphic functions. Proc. London Math. Soc. (1929) 4, 274-278.

[202] whittaker J. M. The uniformisation of algebraic curves. Proc. London Math. Soc. (1930) 5, 150-154.