Рациональные приближения и синтез многополосных электрических фильтров тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Лямаев Сергей Юрьевич

• Лямаев Сергей Юрьевич
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Лямаев Сергей Юрьевич

Введение

1. Метод чебышёвского анзаца

1.1. Обобщённая задача Золотарёва

1.2. Чебышёвское представление рациональных функций

1.3. Базис циклов на вещественной гиперэллиптической кривой

1.4. Образ чебышёвского соответствия

1.5. Чебышёвское представление как анзац

2. Модель Шоттки

2.1. Группы Шоттки и тета-ряды Пуанкаре

2.2. Модель Шоттки вещественных гиперэллиптических кривых

2.3. Вариационные формулы

2.4. Численная униформизация Шоттки

2.5. Вычисления в модели Шоттки

2.5.1. Дерево Кэли и связанные с ним отношения порядка

2.5.2. Алгоритмы Богатырёва и Шмиза

2.5.3. Новые алгоритмы

2.5.4. Новая оценка для остаточных сумм

2.5.5. Сравнения алгоритмов и оценок

3. Расчёт многополосных фильтров

3.1. Чебышёвский анзац в модели Шоттки

3.2. Алгоритмы расчёта многополосных фильтров

3.2.1. Аналоговые фильтры на сосредоточенных элементах

3.2.2. Фильтры сверхвысоких частот

3.2.3. Цифровые фильтры

3.3. Сравнение порядков оптимальных и модульных фильтров

3.3.1. Эллиптические фильтры

3.3.2. Реализация модульного подхода и методика сравнения

3.3.3. Результаты сравнения

3.4. Метод типа Ремеза в сравнении с методом анзаца

3.5. Характеристики цифровых оптимальных фильтров

3.6. Комплекс программ

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Рациональные приближения и синтез многополосных электрических фильтров»

Введение

В электротехнике фильтр — это устройство, которое эффективно пропускает спектральные компоненты сигнала на полосах пропускания и существенно подавляет на полосах задержки, тем самым позволяет выделить из спектра полезные составляющие и отсеять нежелательные. Качество фильтрации определяет рациональная функция — частотная характеристика, поэтому проектирование фильтров может быть основано на рациональной аппроксимации. В простейшем случае возникает следующая задача: требуется найти вещественную рациональную функцию заданной степени, наименее уклоняющуюся (в чебышёвской норме) от 1 на полосах пропускания и от —1 на полосах задержки. Ключевое свойство, выделяющее решения такой задачи среди всех рациональных функций, — наличие альтернант.

В 1870-ых годах Е.И. Золотарёв, ученик П.Л. Чебышёва, при помощи аппарата эллиптических функций решил серию задач «о наименьших и наибольших величинах» [18], среди которых была сформулированная оптимизационная задача для случая одной полосы пропускания и одной полосы задержки. Более полувека спустя немецкий инженер В. Кауэр привнёс этот результат в электротехнику [50, 51] — так появились эллиптические фильтры, которые с тех пор вошли во все учебники по обработке сигналов.

В 1961 году швейцарский математик Э. Штифель [91], создатель метода сопряжённых градиентов и один из основоположников теории характеристических классов, обобщил конструкцию Е.И. Золотарёва на случай трёх полос чередующихся типов.

В 2010 году А.Б. Богатырёв [12] независимо от работы Э. Штифеля расширил ту же конструкцию на общий случай — произвольного числа полос с произвольным предписанием типов. Для решений им представлена численно устойчивая аналитическая формула — эллиптический синус от гиперэллиптического интеграла, которая обобщает формулу для решений задачи Золотарёва и содержит неизвестные параметры: непрерывные и дискретные. Эту формулу предполагается использовать в качестве анзаца

(подстановки): чтобы вычислить оптимальную функцию, нужно по данным задачи определить соответствующий ей набор параметров. Если число полос невелико по сравнению со степенью, то также невелико по сравнению со степенью и число параметров анзаца — тем самым, происходит перепараметризация задачи со значительным понижением числа неизвестных. Подход Богатырёва получил название метода чебышёвского (или аналитического) анзаца [13, 42]. На текущий момент для нахождения параметров анзаца, отвечающих точному решению, в общем случае нет готовой технологии. Сейчас метод позволяет вычислять квазирешения — точные решения для задачи с возмущёнными начальными данными, то есть для возмущённых наборов полос пропускания и задержки, близких к изначально заданному. Фильтры, получаемые на основе квазирешений, будем называть квазиоптимальными.

В методе чебышёвского анзаца необходимо решать трансцендентные уравнения относительно модулей вещественных гиперэллиптических кривых. Для вычислений с такими кривыми (и другими классами римано-вых поверхностей) применяются тета-функции, сигма-функции и функции Шоттки. В настоящей работе используется последний из перечисленных инструментов, поскольку он позволяет на практике работать с кривыми высоких родов, избегая сложных модулярных зависимостей, присущих двум другим подходам. В модели Шоттки кривая представляется как многообразие орбит действия подходящей группы Шоттки; дифференциалы, функции и другие теоретико-функциональные объекты на кривой при этом получают явные представления — в терминах тета-рядов Пуанкаре.

Цели диссертационного исследования: разработка новых алгоритмов приближённого суммирования рядов Пуанкаре в модели Шоттки вещественных гиперэллиптических кривых — более эффективных в ситуациях медленной сходимости, чем существующие алгоритмы; программная реализация модели Шоттки и на её основе — метода чебышёвского анзаца для расчёта квазиоптимальных многополосных фильтров.

Актуальность: расчёт многополосных фильтров. С распространением многодиапазонных телекоммуникационных систем (сотовых сетей различных поколений, беспроводных сетей передачи данных Wi-Fi, сетей беспроводного вещания DVB-T2 и других), а также спутниковых систем навигации GPS и ГЛОНАСС, растёт потребность в фильтрах с несколькими полосами пропускания, отвечающими различным центральным частотам та-

ких систем [49]. Кроме этого, аналоговые и цифровые многополосные фильтры применяются в устройствах космической связи (например, в спутниковых транспондерах) [71, 6], в антенно-фидерных устройствах [77], в радиолокационных станциях обнаружения и слежения [67], при обработке речи [87] и данных электрокардиографии [33]. К настоящему моменту опубликованы сотни работ о проектировании многополосных фильтров (главным образом, для диапазона сверхвысоких частот [55, 49]), однако полностью удовлетворительной и универсальной технологии не появилось.

Полосы пропускания и задержки фильтра будем называть его рабочими полосами, а промежутки между ними — переходными полосами. Порядок фильтра — степень его частотной характеристики — является критически важным параметром, от которого зависят размеры и масса устройства, стоимость, сложность изготовления и настройки, энергопотребление и тепловыделение. Фильтр минимального порядка для заданного качества аппроксимации (спецификации) будем называть оптимальным. Если требуются одинаковые уровни подавления на всех полосах задержки и допустимы одинаковые уровни искажений на всех полосах пропускания, то оптимальные фильтры получаются на основе решений оптимизационной задачи, сформулированной в начале.

Для численного решения оптимизационной задачи применяются итерационные алгоритмы типа Ремеза — адаптации классического алгоритма Ремеза [30] равномерной полиномиальной аппроксимации на случай рационального приближения. Алгоритмы такого типа появились в работах Х. Вер-нера [92, 93] (1962) и Г. Маэли [75] (1963). Начиная с работы Р.А.-Р. Амера [35, 34] (1964), ученика Э. Штифеля, опубликовано множество статей, в которых различные реализации алгоритмов типа Ремеза используются для проектирования многополосных фильтров [72, 74, 95]. Недостатком таких алгоритмов является их низкая устойчивость: стандартной машинной двойной точности хватает для сходимости при порядках до 10-12 или менее и при числе рабочих полос до 3-5 или менее, а с повышением порядка или числа полос быстро начинает требоваться длинная арифметика с тысячами десятичных разрядов. Помимо этого, отдельной трудностью является выбор начального приближения, поскольку алгоритмы типа Ремеза имеют существенно локальный характер сходимости. При расчёте фильтра по заданной спецификации с помощью алгоритмов типа Ремеза требуется перебор порядка: необходимо несколько раз решить оптимизационную задачу с заданными рабочими полосами, подбирая минимальный порядок, для которого будет достигаться нужное качество аппроксимации.

Метод чебышёвского анзаца позволяет вычислять квазирешения оптимизационной задачи о фильтре и на их основе — квазиоптимальные фильтры. Под квазирешением в данном случае понимается точное решение оптимизационной задачи, но для возмущённого набора рабочих полос, близкого к изначально заданному. Разница в порядках между оптимальным и квазиоптимальным фильтрами, как правило, невелика или отсутствует. Использование квазирешений позволяет контролировать характер колебаний частотной характеристики на рабочих полосах и её поведение в переходных полосах, избегая нежелательных свойств, которыми может обладать точное решение, например наличия в переходных полосах немонотонностей с усилением сигнала. При расчёте квазиоптимального фильтра по заданной спецификации в методе чебышёвского анзаца не требуется перебор порядка, но требуется незначительный перебор дискретных параметров анзаца.

По сравнению с алгоритмами типа Ремеза метод чебышёвского анзаца обладает существенно более высокой численной устойчивостью. При использовании стандартной двойной точности он позволяет работать с порядками до нескольких тысяч и с числом полос более ста — вычисленные автором примеры решений с 55, 99 и 121 полосами приведены на Рисунке 16. Метод чебышёвского анзаца позволяет обслуживать сложные спецификации: с большим числом рабочих полос, при сильной нерегулярности их расположения, с очень высокими требованиями к качеству аппроксимации на рабочих полосах, при очень узких переходных полосах. Для таких спецификаций использование алгоритмов типа Ремеза затруднено или фактически невозможно из-за низкой устойчивости и трудностей с выбором начального приближения.

В инженерной практике возможны ситуации, когда на разных полосах задержки заданы разные уровни подавления и на разных полосах пропускания — разные уровни вносимых искажений; более того, могут накладываться разные требования к разным участкам одной и той же полосы. Подобная детализация призвана уменьшить порядок фильтра за счёт ухудшения фильтрующих свойств на менее значимых участках частотной оси с сохранением более высокого качества на критичных участках. Оптимальные фильтры для таких спецификаций получаются на основе обобщения оптимизационной задачи, о которой шла речь выше: при вычислении величины уклонения используется весовая функция. Алгоритмы типа Ремеза прямо переносятся на это обобщение, а аналитический анзац для обобщённой задачи пока не разработан — в этом заключается основной недостаток метода чебышёвского анзаца на данный момент.

Другое важное для практики, в частности для проектирования фильтров сверхвысоких частот, усложнение оптимизационной задачи — поиск рациональной функции с заданными по отдельности степенями числителя и знаменателя. На такое обобщение распространяются и метод Ремеза, и метод аналитического анзаца.

Существуют способы синтеза многополосных фильтров по заданной спецификации, не связанные с минимизацией порядка. Очевидным подходом является модульный — получение многополосной частотной характеристики путём комбинирования (например, сложения или перемножения) нескольких однополосных. Так нетрудно вписать частотную характеристику в спецификацию любой сложности, поэтому важным представляется выявление того, насколько неоптимальны получаемые в результате модульные фильтры, — это было одной из задач диссертации. Ещё один широко используемый подход, не связанный с минимизацией порядка и, соответственно, дающий неоптимальные фильтры, — метод частотных преобразований [46, 62, 80, 57]. ЧХ многополосного фильтра получается из ЧХ фильтра-прототипа с меньшим числом полос за счёт введения рациональной замены независимой переменной. Например, так получаются стандартные полосовые и заграждающие эллиптические фильтры из эллиптических фильтров низких частот. Наконец, большое число публикаций посвящено проектированию многополосных фильтров сверхвысокочастотного диапазона на основе многомодовых резонаторов [55, 49] — их применение позволяет уменьшить число резонаторов в цепи при том же её порядке, а значит и размеры устройства. Нужная конфигурация полос достигается посредством управления геометрией резонаторов.

Стоит отметить, что в настоящей диссертационной работе под расчётом (а также синтезом) фильтра понимается нахождение нулей и полюсов либо коэффициентов физически реализуемой частотной характеристики, а инженерные аспекты и аппаратные ограничения реализации получаемых функций не рассматриваются.

Актуальность: вычисления в модели Шоттки. Помимо задачи о фильтре, вычисления, связанные с вещественными гиперэллиптическими кривыми и их модулями, возникают в других задачах чебышёвской оптимизации (расчёт многочленов Чебышёва для нескольких отрезков, задача о наилучшем многочлене устойчивости) [10] и в большом числе иных областей: при нахождении алгеброгеометрических решений нелинейных уравнений математической физики [37, 63], в общей теории относительности

[58, 68], при описании магнитных состояний в планарных магнитных нано-элементах [14], при моделировании течения воды под ступенчатой плотиной [15], при верификации численных методов конформных отображений [17], при высокоточном расчёте ёмкостей конденсаторов сложной формы [39].

В модели Шоттки кривая представляется как многообразие орбит действия подходящей группы Шоттки, дифференциалы и функции на кривой (а также и другие теоретико-функциональные объекты) при этом получают явные представления — в виде тета-рядов Пуанкаре и бесконечных произведений. Члены таких рядов и произведений индексируются множеством элементов группы Шоттки. Численный расчёт возникающих произведений по существу не отличается от приближённого суммирования рядов Пуанкаре, поэтому можно говорить только о рядах.

Группа Шоттки является свободной группой c д > 1 образующими, где д — это род порождаемой кривой. Граф Кэли такой группы имеет вид бесконечного дерева с вершинами валентности 2д. Вершины дерева Кэли взаимно-однозначно соответствуют элементам группы Шоттки, а значит и членам ряда Пуанкаре. Для приближённого суммирования ряда Пуанкаре возникает следующая задача: из бесконечного дерева Кэли требуется выделить конечное поддерево, сумма по которому хорошо приближает точное значение. Задача осложняется тем, что скорость убывания членов ряда вдоль разных ветвей дерева Кэли может существенно отличаться. Для выделения конечного поддерева, по которому ведётся счёт, известны два эффективных алгоритма: алгоритм Богатырёва [10] с апостериорной оценкой точности и алгоритм Шмиза [88] с априорной оценкой точности. В обоих алгоритмах выделяемое конечное поддерево заранее неизвестно и формируется непосредственно в процессе вычислений.

Ряды Пуанкаре быстро сходятся, если радиусы граничных окружностей фундаментальной области группы Шоттки невелики по сравнению с расстояниями между ними. При сближении окружностей или увеличении радиусов, а также при увеличении рода д, сходимость рядов замедляется и известным алгоритмам может требоваться значительное расчётное время для их приближённого суммирования. Поэтому представляет интерес разработка методов ускоренного суммирования рядов Пуанкаре. Это актуально, поскольку ситуации медленной сходимости рядов Пуанкаре возникают в практически важных задачах, в том числе при расчёте фильтров методом чебышёвского анзаца — в случаях, когда число рабочих полос велико, когда в спецификации есть широкие или близко расположенные переходные полосы, а также когда оптимальная функция имеет деформации (немоно-

тонности в переходных полосах, колебания неполной амплитуды на рабочих полосах).

И алгоритм Богатырёва, и алгоритм Шмиза основываются на оценке для суммы членов ряда Пуанкаре по поддереву потомков заданной вершины через член ряда в этой вершине. Если член ряда в некоторой вершине достаточно мал, то такая оценка позволяет исключить из счёта всё растущее из этой вершины поддерево потомков. В конечном итоге на основе такой оценки получается оценка остаточной суммы ряда. Оценка Богатырёва [10] в большинстве случаев существенно уступает в точности оценке Бёрнсайда [48], [88], использованной М. Шмизом, однако последняя не всегда применима — а лишь в тех случаях, когда выполнено некоторое условие на модули группы Шоттки. Таким образом, актуальным представляется получение практичной оценки для ситуаций, когда не применима оценка Бёрнсайда.

Существуют также альтернативные подходы к вычислению аналитических объектов на кривой в модели Шоттки, не связанные с непосредственным суммированием рядов Пуанкаре — метод типа коллокаций Д. Крауди, Дж. Маршалла [56] и метод В. Митюшева, Н. Рылко [78, 79]. В настоящей работе сравнение с ними не проводилось — исследование было сосредоточено на методах, основанных на суммировании рядов Пуанкаре.

Подходящая для реализации метода чебышёвского анзаца техника вычислений в модели Шоттки, включая вариационные формулы для абелевых интегралов и их периодов, развита А.Б. Богатырёвым в работах [7, 10, 41], где она была применена для расчёта экстремальных многочленов. В контексте оптимизационной задачи о фильтре язык униформизации Шоттки впервые использовался в работах А.Л. Лукашова 2000 и 2003 годов [20, 21]

— там же была выписана трансцендентная система необходимых и достаточных условий на решение без дефекта степени при произвольном числе полос пропускания и задержки.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

— Предложены два новых алгоритма приближённого суммирования тета-рядов Пуанкаре в модели Шоттки вещественных гиперэллиптических кривых. Первый — это модификация алгоритма Богатырёва с апостериорной оценкой точности, второй — модификация алгоритма Шмиза с априорной оценкой точности. Новые алгоритмы позволяют суммировать меньшее число членов ряда при той же оценке точности на выходе: в несколько раз и более в ситуациях медленной сходимости и на десятки

процентов в обычных ситуациях. В рассмотренных примерах разница составила от 1.35 до 94 раза. Суть модификаций: добавлена предоценка члена ряда в текущей вершине через уже вычисленный член ряда в родительской вершине — на основе этой предоценки принимается решение об обработке текущей вершины или же исключения из счёта вместе со всем поддеревом потомков.

— Получена новая оценка для остаточных сумм тета-рядов Пуанкаре. Новая оценка на несколько порядков точнее не ориентированной на численное применение оценки Богатырёва и восполняет отсутствие практичной оценки для ситуаций, когда не применима оценка Бёрнсайда.

— Программно реализован метод чебышёвского анзаца для расчёта по заданной спецификации квазиоптимальных многополосных фильтров: аналоговых фильтров c сосредоточенными параметрами, фильтров сверхвысоких частот и цифровых фильтров. Самостоятельное значение имеют модули программы, реализующие модель Шоттки вещественных гиперэллиптических кривых: вычисление аналитических объектов на кривой с использованием новых алгоритмов приближённого суммирования тета-рядов Пуанкаре, численная униформизация, расчёт вариаций абелевых интегралов и их периодов.

— С помощью разработанного комплекса программ для серии многополосных спецификаций проведено сравнение порядков оптимальных и модульных фильтров. Модульные фильтры составлялись из полосовых и заграждающих эллиптических фильтров. Выявлено, что модульные фильтры существенно неоптимальны: для примеров с числом полос пропускания от одного до пяти разница в порядках составила от 1.25 до 1.56 раза.

Научная новизна и личный вклад автора. Перечисленные основные результаты, выносимые на защиту, являются новыми и получены лично автором.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты работы могут использоваться для практического синтеза многополосных фильтров в рамках метода чебышёвского анзаца. Предложенные алгоритмы суммирования рядов Пуанкаре, оценка остаточных сумм и программная реализация модели Шоттки имеют и самостоятельное значение, отдельное от метода

чебышёвского анзаца, и могут применяться в других теоретических и практических приложениях, в которых возникают вычисления с вещественными гиперэллиптическими кривыми и их модулями.

Публикации автора по теме диссертации. Основные результаты опубликованы в 9 печатных работах, из них 4 — это статьи в рецензируемых журналах [13, 42, 27, 28], и 5 — тезисы в трудах конференций [22, 23, 24, 25, 26]. Первые два результата изложены в Главе 2 диссертации и опубликованы в работах [27, 28, 26], последние два — изложены в Главе 3 диссертации и опубликованы в работах [13, 42, 22, 23, 24, 25]. В статьях [13, 42], написанных совместно с А.Б. Богатырёвым и С.А. Горейно-вым, автору принадлежит сравнение порядков оптимальных и модульных фильтров с помощью разработанного им комплекса программ.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались на 57-ой и 58-ой научных конференциях МФТИ (Долгопрудный, 2014 и 2015, оба раза доклады отмечены дипломом победителя конкурса научных работ молодых учёных), IV всероссийской научно-технической конференции «Системы связи и радионавигации» (Красноярск, 2017), всероссийской конференции «Радиоэлектронные средства получения, обработки и визуализации информации» (Москва, 2017), международной конференции «Approximation and realization of filters in 5G/6G mobile» (Москва, 2019), международной конференции «Методы вычислений и математическая физика» (Сочи, Сириус, 2020), семинаре «Вычислительная математика и приложения» ИВМ РАН им. Г.И. Марчука, семинаре по комплексному анализу МИАН (семинаре Гончара), семинаре лаборатории №3 ИППИ РАН им. А.А. Харкевича, научном семинаре кафедры Общих проблем управления Механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, научном семинаре кафедры Высшей математики Физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, семинаре «Математический коллоквиум» МГТУ им. Н.Э. Баумана, научном семинаре Института физики, нанотехнологий и телекоммуникаций СПбПУ им. Петра Великого.

Содержание работы по главам. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Глава 1 «Метод чебышёвского анзаца» не содержит собственных результатов автора и посвящена рассказу о подходе Богатырёва для решения оптимизационной задачи о фильтре. В Пункте 1.1 ставится обобщённая задача Золотарёва, даётся формула для

дробей Золотарёва, вводится разбиение пространства вещественных рациональных функций заданной степени на классы Штифеля, а также формулируется принцип альтернанса для оптимальных функций. Изложение в Пунктах 1.2-1.4 следует статье [10]: вводится чебышёвское соответствие и характеризуется его образ. Чебышёвское соответствие связывает со всякой вещественной рациональной функцией некоторую вещественную гиперэллиптическую кривую. Восстановить функцию по сопоставленной кривой позволяет чебышёвское представление — аналитическая формула, обобщающая формулу для дробей Золотарёва. В Пункте 1.5 даются комментарии об использовании этой аналитической формулы в качестве анзаца и о формировании трансцендентной системы уравнений относительно непрерывных параметров анзаца.

Глава 2 «Модель Шоттки» посвящена рассказу о вычислительном инструменте для работы с вещественными гиперэллиптическими кривыми — модели Шоттки. В Пункте 2.1 вводятся основные понятия, связанные с группами Шоттки общего вида, в том числе ряды Пуанкаре. В Пункте 2.2, следуя монографии А.Б. Богатырёва [12], строится модель Шоттки вещественных гиперэллиптических кривых. В Пункте 2.3 приводятся формулы Богатырёва [10, 7] для вариаций абелевых интегралов и их периодов при возмущении модулей Шоттки; численный расчёт по этим вариационным формулам предполагает использование формул Хейхала — явных выражений для образов квадратичных рядов Пуанкаре при отображении Хейха-ла. Пункт 2.4 посвящён численной униформизации Шоттки. Изложены два подхода: первый из них основан на решении уравнений относительно модулей Шоттки методом Ньютона с применением вариационных формул, второй — это классический алгоритм «раскрытия кружков», восходящий к А. Пуанкаре.

Пункт 2.5 «Вычисления в модели Шоттки» состоит из пяти подпунктов и посвящён приближённому суммированию тета-рядов Пуанкаре на компьютере. В Подпункте 2.5.1 определены дерево Кэли и связанные с ним отношения порядка на группе Шоттки. Подпункт 2.5.2 содержит обзор существующих алгоритмов для приближённого суммирования рядов Пуанкаре: формулируются два алгоритма Богатырёва — с априорной и апостериорной оценками погрешности, а также алгоритм Шмиза с априорной оценкой погрешности. Кроме того, приводятся оценки Богатырёва и Бёрнсайда для остаточных сумм рядов Пуанкаре. В Подпункте 2.5.3 предложены два новых алгоритма приближённого суммирования рядов Пуанкаре (Алгоритмы 4 и 5): первый из них является модификацией алгоритма Богатырёва с апо-

стериорной оценкой точности, второй — модификацией алгоритма Шмиза. В Подпункте 2.5.4 предложена новая оценка для остаточных сумм рядов Пуанкаре (Теорема 20). В Подпункте 2.5.5 приведены результаты сравнения новых алгоритмов и оценок с существующими.

В Главе 3 «Расчёт многополосных фильтров» модель Шоттки применяется для расчёта фильтров в рамках метода чебышёвского анзаца. В Пункте 3.1 на ряде примеров показано, как этот метод позволяет на практике строить решения обобщённой задачи Золотарёва различных типов — с различными дискретными параметрами анзаца. В Пункте 3.2 предложены алгоритмы расчёта квазиоптимальных многополосных фильтров (аналоговых с сосредоточенными элементами, цифровых, сверхвысоких частот) по заданной спецификации, приведены примеры расчётов. В Пункте 3.3 формулируется технология расчёта модульных многополосных фильтров эллиптического типа, а затем для ряда многополосных спецификаций сравниваются порядки оптимальных и модульных фильтров, рассчитанных для таких спецификаций. Сравнения проведены на примере цифровых фильтров. В Пункте 3.4 метод чебышёвского анзаца сравнивается с алгоритмом типа Ремеза в реализации С.А. Горейнова [13]. Даётся общая схема алгоритмов типа Ремеза, затем описывается реализация Горейнова и результаты проведённых им расчётов для спецификаций из предыдущего пункта. В Пункте 3.5 на примере цифровых фильтров численно смоделированы основные характеристики оптимальных многополосных фильтров (кроме амплитудно-частотной, графики которой приводятся ранее): фазо-частотная, импульсная, групповое времени задержки. Численно смоделированы эффекты квантования коэффициентов, то есть понижения разрядности мантиссы, при каскадной реализации таких фильтров. Пункт 3.6 содержит описание разработанного автором программного комплекса: характеризуется назначение каждого из модулей и приводится диаграмма зависимостей между ними.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Лямаев Сергей Юрьевич, 2023 год

- А

ч Ч____—----Л

........ ...... .......

750

1000

1250

1500

1750

2000

-20

-40

-60

750 1000 1250 1500 1750 2000

Рис. 23: Иллюстрация для Примера 23. Верхний рисунок: график

функции Я о /4(х), горизонтальными линиями отмечены значения ±1, ±1/к. Нижний рисунок: график функции 20^\Б21(гш)|, горизонтальной линией отмечен уровень Вертикальными линиями очерчены границы рабочих полос.

0

0

3.2.3. Цифровые фильтры

Цифровые фильтры преобразуют двусторонние вещественные последовательности. Входной сигнал {X/ }ге2 и выходной сигнал {У/ связаны разностным соотношением с постоянными вещественными коэффициентами: ^П=0 А1 Хд-I = ^0 В/, ^ £ Пусть сходятся ряды Лорана

(ЯХ)(г) := ^^Хзг— и (2У)(г) := Е^^г—, имеем

(ЗУ)(г)/(ЯХ)(г) = (££ 1 А/г—/)/(££ 1 В/г) =: Н(г).

Вещественная рациональная функция Н(г) — это передаточная функция цифрового фильтра. Чтобы цифровой фильтр был физически реализуем, полюсы передаточной функции должны лежать во внутренности единичного круга (в том числе степень числителя не должна превосходить степени знаменателя). Функция Н(е2пш) от вещественной частоты ш называется частотной характеристикой (ЧХ) цифрового фильтра. Как и в аналоговом случае, модуль ЧХ называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а аргумент — фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). АЧХ -чётная периодическая функция, полностью определяемая своими значениями на отрезке [0; 1/2]. Квадрат АЧХ является вещественной рациональной функцией от переменной и = е2пш, заданной на единичной окружности: Н(е2пш)|2 = н(е2тш)Н(е—2тш) = Н(и)Н(и—1). На этом основывается один из стандартных подходов к расчёту цифровых фильтров [70], [94] — расчёт аналогового фильтра-прототипа и композиция его передаточной функции с преобразованием /5(г) := (г — 1)/(г + 1), переводящим мнимую ось в единичную окружность. При таком преобразовании левая полуплоскость отображается внутрь единичного круга, поэтому свойство физической реализуемости наследуется от аналогового прототипа.

Спецификацию для цифровых фильтров можно определить так же, как и для аналоговых фильтров на сосредоточенных элементах, — она очерчивает «коридор», в котором должен лежать график АЧХ (Рисунок 21).

Чтобы рассчитать цифровой фильтр с уровнями 0 < Ал < Ар < 1 и граничными частотами рабочих полос 0 < е1 < е2 < • • • < е2д+2 < 1/2, достаточно с помощью Алгоритма 6 найти аналоговый фильтр на сосредоточенных элементах с уровнями Ал, Ар и граничными частотами рабочих полос tg(^e1), tg(^e2), ..., tg(^e2g+2). Нулями и полюсами передаточной функции цифрового фильтра будут образы нулей и полюсов передаточной функции аналогового прототипа при преобразовании /5—1(г).

Пример 24. Рассчитаем двухполосный цифровой фильтр с уровнями Лр = -3 dB & 0.707946, Лs = -55 dB = 0.00178; полосами пропускания [0.1; 0.135] и [0.263; 0.35]; полосами задержки [0; 0.08], [0.145; 0.255], [0.363; 0.5]. Проиллюстрируем включение колебаний неполной амплитуды с целью увеличения рода кривой при неизменном числе рабочих полос. За счёт этого добьёмся, чтобы не только граничные частоты полос пропускания строго попали в заданные значения, но и граничные частоты второй полосы задержки.

1. к & 0.996458, т & 0.707946г.

2. Для начальных положений колебаний неполной амплитуды выберем отрезки [0.18; 0.185] и [0.3; 0.305]. Действуя на концы рабочих полос и выбранных отрезков отображением х ^ tg2(пx)/tg2(пe2g+1), получаем е- & 0.01390, е+ & 0.02225, е- & 0.04297, е+ & 0.05059, е- & 0.08489, е+ & 0.09095, е- & 0.2244, е+ & 0.2482, е- & 0.3993, е+ & 0.4267, е- & 0.8119, е+ = 1. Положим д = 6, к = 7.

3. Численно решая задачу униформизации, находим модули Шоттки, отвечающие М-кривой и2 = ^Пд=1(х - е-)(х - е+):

с0 & (0.1408, 0.2270, 0.3120, 0.5123, 0.6776, 1),

г0 & (8.2891, 4.6999, 2.7141, 6.4753, 5.6664, 26.071) • 10-3.

4. С этого момента сменим топологический тип кривой: положим д = 6, к = 5, Е+ = {1, 2,4,6}, Е- = {3, 5}. Пусть ( := М-1^! - С2 + (4 - Со). Находим /Ь1 (/(2т) & 1.843, £ (/(2т) & -2.051, £ (/(2т) & -7.725 • 10-2, Л4 (/(2т) & 2.776, ^ (/(2т) & 3.843 • 10-2, £ (/(2т) & -2.648. Выберем и = (4, -4, 0, 6, 0, -6), в этом случае deg Я = 20.

5. Сформируем систему из 11 уравнений: (с; г) = и1 т, 1 < I < 6;

(х(с1 + г0)(с;г) = е+з (х(с2 - Ы)(с;г) = e_, (х(с2 + Ы)(с;г) = е+, (х(с4-г4)) (с; г) = е-, (х(с4+г4)) (с; г) = е+. Решая её методом Ньютона с регулировкой длины шага и начальным приближением (с0; г0), находим: с & (0.1406, 0.2214, 0.3029, 0.4945, 0.6693, 1), г & (6.6700, 4.4813, 11.237, 5.7342, 60.012, 19.121) • 10-3.

6-7. Находим нули, полюсы и коэффициент передаточной функции Н(г) цифрового фильтра:

0.9524 ± 0.3050г, 0.8725 ± 0.4885г, 0.6067 ± 0.7949г

нули 0.5251 ± 0.8510^, 0.2543 ± 0.9671г, 0.0322 ± 0.9995г

0.0260 ± 0.9997г, -0.6431 ± 0.7658г, -0.7004 ± 0.7137г

-0.9041 ± 0.4273г.

0.7985 ± 0.5868г, 0.7454 ± 0.6273г, 0.6848 ± 0.6987г

ТТА ТТТА/^Т X 0.6599 ± 0.7430г, -0.0844 ± 0.9904г, -0.1333 ± 0.9619г

полюсы -0.2461 ± 0.8340г, -0.3280 ± 0.8004г, -0.5138 ± 0.8183г

0.5802 ± 0.8055г.

Н (то) = 0.006393.

6. График АЧХ полученного фильтра в логарифмической шкале представлен на Рисунке 24. АЧХ вписана в очерченный спецификацией «коридор», поэтому перезапускать алгоритм не требуется. Как и было задумано, концы полос пропускания и средней полосы задержки точно попадают в заданные спецификацией значения. Отметим, что в данном случае фильтр не является квазиоптимальным, потому что лежащая в его основе рациональная функция не обладает нужным числом точек альтернанса.

Рис. 24: График функции 20^\Н(е2пш)| из Примера (логарифмическая АЧХ цифрового двухполосного фильтра). Горизонтальными синими линиями отмечены уровни и Ар, вертикальными — заданные спецификацией граничные частоты рабочих полос.

3.3. Сравнение порядков оптимальных и модульных

фильтров

Простой способ получить многополосный фильтр для спецификации любой сложности даёт модульный подход. Он не связан с решением оптимизационной задачи (1), а предполагает построение многополосной частотной характеристики путём комбинирования нескольких однополосных. Назовём оптимальным для данной спецификации фильтр минимального порядка среди всех физически реализуемых фильтров, удовлетворяющих требованиям этой спецификации. В этом пункте исследуется, насколько модульные фильтры проигрывают в порядке оптимальным при расчёте по заданной спецификации.

Метод чебышёвского анзаца в текущий момент позволяет по заданной спецификации рассчитывать квазиоптимальные фильтры. Ожидается, что расчёт оптимальных фильтров станет возможен с дальнейшим развитием метода, поэтому в настоящей работе модульные фильтры сравниваются не с квазиоптимальными, а сразу с оптимальными фильтрами. Примеры оптимальных фильтров строились при помощи метода чебышёвского анзаца для спецификаций, которые определялись постфактум (апостериори).

Фильтром низких частот называется фильтр с двумя рабочими полосами, левая из которых — это полоса пропускания, а правая — полоса задержки. Полосовым (соответственно заграждающим) принято называть фильтр с тремя рабочими полосами чередующихся типов, средняя из которых — это полоса пропускания (соответственно задержки). Фильтром-пробкой (notch) называют заграждающий фильтр с очень узкой полосой задержки, то есть точно вырезающий некоторую заданную частоту и пропускающий все остальные. Под l-полосным (l-band) будем понимать многополосный фильтр, у которого полосы пропускания и задержки чередуются, первая и последняя рабочие полосы — это полосы задержки, и число полос пропускания равно l (общее число его рабочих полос равно m = 21 + 1).

3.3.1. Эллиптические фильтры

Среди стандартных типов полосовых и заграждающих фильтров наилучшее качество аппроксимации при заданном порядке имеют эллиптические фильтры — их и будем использовать для сравнений. Передаточная

функция НЬР(г) аналогового эллиптического фильтра низких частот (НЧ) п-ого порядка определяется [84] из соотношения

1

НЬр(гг)НЬр(-гг) =

1 + (г)'

где е — вещественное число, Еп(г) — эллиптическая рациональная функция. Последняя отличается от дроби Золотарёва лишь на пре- и пост- композиции с дробно-линейными преобразованиями [43] и параметрически задаётся формулами

1 8п(К(¿2)У 112) -"1Г Еп(и) = cd(K(К1)пи | К1) =--— • _ [ [ |

г (и) = cd(K (4)и 111) =

«п(К(£2)У 112) + Бп(К(к2) v 1 к2) -ф=2

лД[ БП(К(К2)У I к2) +

в которых т(к1) = пт(11), т(к2) = пт(12) = -4/т(11) и V = 2и/т(11) + 1. Важно отметить, что ту же самую передаточную функцию можно получить из соотношения НЬР(гг)НЬР(-гг) = /6оЕпо/7(г2), где использованы обозначения

„ ( ) = к1г + к1(к1 + 1) ( ) = 1 + 11 1 - 11г

Мг)= (к1 - е2)г +(к1 + е2)(к + 1), Мг)= 1 - 11 • 1+

а дробь Золотарёва Zn отвечает задаче (2) при выборе I = (1 -11)/(1+11); такое же соотношение использовалось при конструкции Алгоритма 6. Фильтр с передаточной функцией НЬР(г) имеет полосу пропускания [0; 1] и полосу задержки [1/11; ж] при уровнях Лр = 1/л/1 + е2 и Л8 = 1/л/1 + е2/К и является оптимальным для этой спецификации. Передаточные функции полосового и заграждающего эллиптических фильтров 2п-ого порядка получаются путём композиций функции НЬР(г) с подходящими рациональными преобразованиями второй степени:

Нвр(2) = Н„(V Нвз(г) = Н„( "е5 - е2 ^

е4 - ез ) 7 " \г + г_1e2e5/'

где 0 = е1 < е2 < е3 < е4 < е5 < ео = ж — фактические концы рабочих полос, при этом (е4 - е3)/(е5 - е2) = 11 и е3е4 = е2е5. У полосового фильтра [е3; е4] — это полоса пропускания, [е1; е2] и [е5; е6] — полосы задержки. У заграждающего фильтра [е3; е4] — это полоса задержки, [е1; е2] и [е5; е6] полосы пропускания. За счёт выбора параметров НЧ-прототипа и преобра-

1

и о / и о 1

зования второй степени полосовой/заграждающий эллиптический фильтр можно вписать в произвольную спецификацию с тремя рабочими полосами чередующегося типа, однако в отличие от фильтров НЧ получаемый фильтр, вообще говоря, неоптимален.

Цифровые эллиптические фильтры получаются из аналоговых стандартным способом — композицией передаточной функции аналогового фильтра с преобразованием /5(г) := (г — 1)/(г + 1), переводящим мнимую ось в единичную окружность.

3.3.2. Реализация модульного подхода и методика сравнения

Сравнение порядков оптимальных и модульных фильтров проведено на примере цифровых фильтров. Использовалась следующая реализация модульного подхода: передаточная функция многополосного фильтра получалась как линейная комбинация передаточных функций полосовых эллиптических фильтров, посчитанных по каждой полосе пропускания из многополосной спецификации. Исключение составляют Примеры 29 и 30 — в них передаточные функции эллиптических фильтров перемножались. Параметры полосовых эллиптических фильтров и коэффициенты линейной комбинации находились ручным подбором для достижения возможно меньшего порядка при условии, чтобы АЧХ многополосного фильтра была вписана в заданный спецификацией «коридор».

Построить пример оптимального цифрового фильтра с помощью метода чебышёвского анзаца можно следующим образом: используя техники из Пункта 3.1, найти пример (локального) решения обобщённой задачи Золотарёва без полюсов на вещественной оси; используя техники из Пункта 3.2.1, получить из решения передаточную функцию физически реализуемого аналогового фильтра-прототипа; нулями и полюсами передаточной функции цифрового фильтра будут образы нулей и полюсов передаточной функции аналогового прототипа при преобразовании /—1(г). Спецификация, для которой такой фильтр будет оптимальным, определяется постфактум — снимается с АЧХ уже посчитанного фильтра. В качестве концов рабочих полос в спецификацию необходимо выбрать фактические концы рабочих полос посчитанного фильтра, в качестве уровней Ар и Л$ — фактические уровни. По снятой спецификации можно рассчитать модульный фильтр и сравнить порядки — такая методика и была использована в приводимых ниже Примерах 25-30.

3.3.3. Результаты сравнения

Сравнение порядков оптимальных и модульных фильтров проведено для цифровых фильтров. Результаты — в Таблице 3. Рассмотренные примеры позволяют заключить, что модульные фильтры (а также и полосовые эллиптические фильтры при значительной несимметричности спецификации) существенно проигрывают оптимальным: разница в порядках составила от 1.25 до 1.56 раза. Отметим, что те же примеры использованы в статьях [13, 42], но порядки модульных фильтров, указанные в статьях, больше значений из Таблицы 3. При работе над текстом диссертации автору удалось добиться меньших порядков модульных фильтров, чем при работе над статьями, за счёт более удачного ручного подбора параметров эллиптических фильтров.

№ Примера Тип фильтра nOPT nMOD nMOD/nOPT

25 single band 18 28 1.56

26 dual band 16 20 1.25

27 4-band 36 52 1.44

28 5-band 76 116 1.53

29 double notch 16 20 1.25

30 single band + notch 24 30 1.25

Таблица 3: Сравнение порядков оптимальных и модульных цифровых фильтров. п0РТ — порядок оптимального фильтра, пмсю — порядок модульного фильтра.

При расчёте полосового фильтра по заданной спецификации, значительная разница в порядках между полосовым эллиптическим фильтром и оптимальным наблюдается в тех случаях, когда в спецификации сильно отличаются ширины переходных полос (Пример 25). В случае /-полосной спецификации разница в порядках между оптимальным и модульным фильтрами растёт с усложнением спецификации: с увеличением числа рабочих полос и повышением несимметричности их расположения, с повышением требований к качеству аппроксимации. Для спецификаций, более сложных, чем рассмотрены в таблице, разница в порядках может составлять до нескольких раз и более.

Пример 25 (Полосовой фильтр с переходными полосами сильно отличающейся ширины). Спецификация: Ар = —2 dB, А.5 = —46.86 dB; полоса

пропускания [0.16249; 0.23056]; полосы задержки [0; 0.14682] и [0.23058; 0.5]. Ширины переходных полос: 0.01567 и 0.0002. Оптимальный фильтр имеет порядок 18, эллиптический фильтр — 28 (Рисунок 25).

-10

-20

-30

-40

-50 л

-60 - V

0.1

0.2

0.5

Рис. 25: АЧХ фильтров из Примера 25: оптимального (слева) и эллиптического (справа).

Пример 26 (Двухполосный фильтр). Спецификация: Лр = -2.6 dB, Л8 = -39.85 dB; полосы пропускания: [е2; е3], [е6; е7]; полосы задержки: [0; е1], [е4; е5], [ев; 0.5]; где е = (0.11030, 0.12255, 0.20279, 0.21531, 0.32348, 0.32664, 0.35590, 0.36359). Порядок оптимального фильтра — 16, модульного — 20 (Рисунок 26).

-10 -20 -30 -40 -50

1/\z\yv 1\Л/1

-

м к.

0.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Рис. 26: АЧХ фильтров из Примера 26: оптимального (слева) и модульного (справа).

Нули передаточной функции Н0РТ(г) оптимального фильтра: 0.9026 ± 0.4304г, 0.7788 ± 0.6273г, -0.3899 ± 0.9208г, -0.4421 ± 0.8970г, 0.2015 ± 0.9795г, -0.0139±0.9999г, -0.6626±0.7490г, -0.8153±0.5790г. Полюсы Норт( г): 0.7028± 0.6908г, 0.5876 ± 0.7333г, 0.3873 ± 0.8546г, 0.2945 ± 0.9400г, -0.4629 ± 0.8820г, -0.4842±0.8542г, -0.5511±0.8027г, -0.6092±0.7827г. Коэффициент: Норт(ж) = 0.019255.

Чтобы получить модульный фильтр, вписанный в заданную спецификацию, были подобраны следующие спецификации составляющих его эллиптических фильтров: (1) Ар1' = —2.5 dB, А^1' = -48 dB, полоса пропускания

(2) (2)

[е2; вз], полосы задержки [0; ег] и [е4; 0.5]; (2) Ар' = —2.5 dB, Ад = —43 dB, полоса пропускания [ее; е7], полосы задержки [0; е5] и [ев; 0.5]. Передаточная функция модульного фильтра получается из передаточных функций полосовых эллиптических фильтров по формуле Н^ = 0.995НБР' + 0.995Н, Порядки эллиптических фильтров: deg нБр' = 10, deg нБр' = 10.

г(2) СБР

Пример 27 (Четырёхполосный фильтр). Спецификация: Ар = —2 dB, Ад = —42.8 dB; полосы пропускания: [е2; е3], [ее; е7], [ею; ец], [е14; е15]; полосы задержки: [0; ег], [е4; е5], [ев; ед], [е^; егз], [ею;0.5]; где

е = (0.01534, 0.02049, 0.08373, 0.08651, 0.16588, 0.17375, 0.23639, 0.24626, 0.26698, 0.27308, 0.29701, 0.29975, 0.36674, 0.36886, 0.39088, 0.39281).

Порядок оптимального фильтра — 36, модульного — 52 (Рисунок 27).

К7Х7ХА

»АЛ

КЛЛ

-10 -20 -30 -40 -50

1Л/\У\Л1

Г , Ч

ИЛЯ

0.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Рис. 27: АЧХ фильтров из Примера 27: оптимального (слева) и модульного (справа).

Нули передаточной функции Н0РТ(г) оптимального фильтра: 0.9989 ± 0.0458г, 0.9958 ± 0.0918г, 0.8545 ± 0.5194г, 0.8381 ± 0.5455г, 0.7570 ± 0.6534г, 0.5829 ± 0.8125г, 0.5107± 0.8598г, 0.0156 ± 0.9999г, —0.0475 ± 0.9989г, —0.1009 ± 0.9949г, —0.3101±0.9507г, —0.3427±0.9395г, —0.5045±0.8634г, —0.6464±0.7630г, —0.6679±0.7443г, —0.7829±0.6222г, —0.7988±0.6015г, —0.9191 ±0.3939г. Полюсы Н0рт(г): 0.9846 ± 0.1296г, 0.9439 ± 0.1762г, 0.8680 ±0.3496г, 0.8612 ±0.4691г, 0.8623 ± 0.4995г, 0.4538 ± 0.8802г, 0.3745 ± 0.8759г, 0.1812 ± 0.9185г, 0.0883 ± 0.9825г, —0.1458±0.9819г, —0.1918±0.9545г, —0.2630±0.9485г, —0.2891±0.9539г, —0.6782 ± 0.7314г, —0.6849 ± 0.7127г, —0.7146 ± 0.6694г, —0.7549 ± 0.6394г, —0.7718 ± 0.6323г. Коэффициент: Ндрт(то) = 0.0297.

Модульный фильтр составляют эллиптические полосовые фильтры со

следующими спецификациями: (1) Ар^ = —1.92 dB, А-^ = —45.55 dB, поло-

(2)

са пропускания [е2; е3], полосы задержки [0; е1] и [е4; 0.5]; (2) Ар = —1.9 dB,

(2)

Ад = —59 dB, полоса пропускания [е6; е7], полосы задержки [0; е5] и [в8; 0.5];

(3) /о)

(3) Ар = —1.9 dB, Ад = —56 dB, полоса пропускания [е10; е11], полосы задержки [0; е9] и [е12;0.5]; (4) АР4 = —1.9 dB, А-4 = —58.3 dB; полоса пропускания [е14; е15], полосы задержки [0; е13] и [е16;0.5]. Передаточная функция модульного фильтра: Ям^ = 0.995Я]р} + 0.995Я]? + 0.993Я® + 0.992Я]р}. Порядки эллиптических фильтров: deg Я^ = 14, deg Я^ = 12, degЯ^р = 12, deg Я](р) = 14.

Пример 28 (Пятиполосный фильтр). Спецификация: Ар = —2 dB, Ад = —50 dB; полосы пропускания: [е2; е3], [е6; е7], [е10; е11 ], [е14; е15], [е1в; е19]; полосы задержки: [0; е1], [е4; е5], [ев; е9], [е12; ею], [е^; е17], [е20,0.5]; где

е = (0.08387, 0.08434, 0.13574, 0.13653, 0.16853, 0.16884, 0.35050, 0.35447, 0.36829, 0.36894, 0.37964, 0.37976, 0.39912, 0.39924, 0.42465, 0.42476, 0.42803, 0.42811, 0.43380, 0.43472).

Порядок оптимального фильтра — 76, порядок модульного — 116. АЧХ обоих фильтров представлены на Рисунке 28.

0.

М—М-КАЛ

-10 -20 -30 -40 -50 -60

КЛ/ЧАЛ1-(К7

\Л|—И—1ЛЛЛ1

J

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Рис. 28: АЧХ оптимального (слева) и модульного (справа) фильтров из Примера 28.

Для построения модульного фильтра, были подобраны следующие спецификации составляющих его полосовых эллиптических фильтров: (1) Ар^ = —1.98 dB, А-1) = —66.1 dB, полоса пропускания [е2; е3], полосы задержки [0; е1 и [е4;0.5]; (2) АР2) = —1.995 dB, А-2) = —53.645 dB, полоса

пропускания [е6; е7], полосы задержки [0; е5] и [ев;0.5]; (3) Аро) = —1.98 dB,

(3)

Ад = —66.4 dB, полоса пропускания [е10; е11], полосы задержки [0; е9] и

[е12;0.5]; (4) Ар4' = —1.98 dB, А^4) = —63 dB; полоса пропускания [е14; е15], полосы задержки [0; е1з] и [ею;0.5]; (5) Ар4' = —1.99 dB, А^ = —69.255 dB; полоса пропускания [е1в; е1д], полосы задержки [0; е17] и [е2о; 0.5]. Передаточная функция модульного фильтра: Нм0Е1 = 0.9995НБР' +0.9999НБР' +0.999Н^р' +

0.9993НБР' + 0.9995НБР. Порядки эллиптических фильтров: deg НБР = 22, deg НБР' = 24, degНР' = 22, deg НР' = 26, deg НР' = 22.

Пример 29 (Фильтр, точно вырезающий две частоты). Спецификация: Ар = —0.25 dB, Ад = —51.9 dB; полосы пропускания [0; е1], [е4; е5], [ев;0.5]; полосы задержки [е2; е3], [е6; е7]; где е = (0.25575, 0.25582, 0.25591, 0.25598, 0.25915, 0.25922, 0.25933, 0.25941). Порядок оптимального фильтра — 16, модульного — 20. График АЧХ оптимального фильтра изображен на Рисунке 29.

г(5}

(1'

-10 -20 -30 -40 -50 -60

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.255 0.256 0.257 0.258 0.259 0.26

Рис. 29: АЧХ оптимального фильтра из Примера 29. Слева — график на отрезке [0.1; 0.4], справа — в большем масштабе показана часть графика, содержащая вырезаемые частоты.

Нули передаточной функции Н0РТ(г) оптимального фильтра:

- 0.0365572509 ± 0.9993315603г,

- 0.0579458029 ± 0.9983197303г,

- 0.0371324452 ± 0.9993103536г,

- 0.0583901058 ± 0.9982938443г,

—0.0367249346 ± 0.9993254121г, —0.0369716127 ± 0.9993163161г, —0.0581213262 ± 0.9983095278г, —0.0585725162 ± 0.9982831550г.

Полюсы Н0РТ(г):

- 0.0361558565 ± 0.9992186674г,

- 0.0374898071 ± 0.9991856339г,

- 0.0574612221 ± 0.9975671090г, 0.0589397865 0.9973742220г,

—0.0361437808 ± 0.9985296559г, —0.0375097753 ± 0.9985850172г, —0.0575434668 ± 0.9982207987г, —0.0589951110 ± 0.9981197969г.

Коэффициент: Н0РТ(то) = 0.968046.

Для построения модульного фильтра, были подобраны следующие спецификации составляющих его заграждающих эллиптических фильтров: (1) Ар^ = —0.24 dB, А-1) = —52 dB, полоса пропускания [е2; е3], полосы задержки [0; е1 ] и [е4;0.5]; (2) Ар2) = —0.24 dB, А-2) = —52 dB, полоса пропускания [е6; е7], полосы задержки [0; е5] и [ев;0.5]; Передаточная функция модульного фильтра: Ямсю = я]^ • ЯВ2). Порядки эллиптических фильтров:

deg = deg я]2^ = 10.

Пример 30 (Фильтр с двумя полосами пропускания, расположенными критически близко друг к другу). Спецификация: Ар = —2 dB, Ад = —50 dB; полосы пропускания: [е2; е3], [е6; е7]; полосы задержки: [0; е 1 ], [е4; е5], [ев;0.5]; где е = (0.05979, 0.06723, 0.25222, 0.25227, 0.25250, 0.25267, 0.35920, 0.36036). Порядок оптимального фильтра — 24, модульного — 30. График АЧХ оптимального фильтра изображен на Рисунке 30. Подобные фильтры могут применяться в ситуациях, когда требуется выделить из спектра некоторую частотную полосу и при этом задержать одну или несколько частот, содержащихся внутри этой полосы.

0. 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.25 0.251 0.252 0.253 0.254 0.255

Рис. 30: АЧХ оптимального фильтра из Примера 30. Справа в большем масштабе показана часть графика, содержащая вырезаемую частоту.

Чтобы получить модульный фильтр, вписанный в заданную спецификацию, были подобраны следующие спецификации составляющих его эллиптических фильтров: (1) полосовой фильтр, Ар^ = —1.95 dB, А-1) = —50.1 dB,

полоса пропускания [е2; е7], полосы задержки [0; е1] и [ев;0.5]; (2) заграж-

(2) (2) дающий фильтр, Ар = —1.95 dB, Ад = —50.1 dB, полосы пропускания

[0; е3] и [е6; 0.5], полоса задержки [е4; е5]. Передаточная функция модульного

фильтра получается из передаточных функций полосовых эллиптических

фильтров по формуле Ямсю = ЯВР • Яв2. Порядки эллиптических фильтров:

deg Явр = 20, deg Явр = 10. Если составлять модульный фильтр как линей-

ную комбинацию двух полосовых эллиптических фильтров, то получится значительно больший порядок.

3.4. Метод типа Ремеза в сравнении с методом анзаца

Классический итерационной алгоритм Е.Я. Ремеза равномерной полиномиальной аппроксимации [30] основывается на теореме об альтернансе и может быть адаптирован для рационального приближения — в том числе для обобщённой задачи Золотарёва. Начиная с диссертации Р.А.-Р. Амера [35, 34] (1964), опубликовано множество работ, использующих различные реализации алгоритмов типа Ремеза для проектирования многополосных фильтров. Принципиальная схема алгоритмов такого типа для поиска локального решения задачи внутри класса 'Я.ф выглядит следующим образом.

Алгоритм 8 (Метод Ремеза). Выбрать начальное приближение к множеству альтернанса — точки х° < х° < ... < х2п+2, лежащие на рабочих полосах I. Присвоить в := 1 и попеременно выполнять две операции:

1. Найти функцию Я3 £ и число ц8 £ К (возможно, отрицательное), для которых выполнено

(Х—1) — Е(ж'"1) = (—1У¡1а, 1 < з < 2п + 2. (29)

2. Выбрать на рабочих полосах I новое приближение к множеству альтернанса — точки х\ < х2 < • • • < ж?2п+2 такие, что

\Я3(х*) — Е(х')| > 1 < з < 2п + 2,

Яя(х<) — Е(х?) = — (ЯДх^) — Е(х5+1)), 1 < з < 2п + 1,

причём хотя бы для одного индекса 1 < I < 2п + 2 имеет место равенство \Я3(х/1) — Е(х^)\ = \\Я3 — Е(I'. Получить такой набор точек можно, к примеру, заменой одной из точек предыдущего набора на точку, в которой достигается максимум уклонения Я3 от Е на рабочих полосах. Присвоить в := в + 1 .

Алгоритм останавливается, как только число становится достаточно близко к \ \Я3 — Е\\с(I'.

Чтобы рассчитать оптимальный фильтр по заданной спецификации, алгоритмам типа Ремеза требуется перебор порядка: нужно выбрать некоторый начальный порядок п и решить с помощью Алгоритма 8 оптимизационную задачу для выбранного п, затем, в зависимости от того, избыточно или недостаточно качество аппроксимации, уменьшить или увеличить п и повторить процедуру.

При использовании линейной параметризации числителя и знаменателя рациональной функции — то есть при задании этих многочленов через коэффициенты разложения по некоторому полиномиальному базису — алгоритмам типа Ремеза для сходимости при большом порядке п или большом числе рабочих полос т требуется вести промежуточные расчёты с очень высокой точностью. Судя по всему, для нахождения решения степени около тысячи потребуется вести расчёты в длинной арифметике с числом значащих десятичных цифр порядка ста тысяч и более в зависимости от сложности спецификации. Стандартной машинной двойной точности (15 знаков) хватает для сходимости при порядках до 10-12 или менее и при числе полос до 3-5 или менее. Отдельной проблемой, ввиду локального характера сходимости алгоритмов типа Ремеза, является подбор достаточно хорошего начального приближения или же разработка реализаций с глобальной сходимостью.

Проиллюстрируем трудность применения алгоритмов типа Ремеза расчётами цифровых оптимальных фильтров по спецификациям из Примеров 25-30, проведёнными С.А. Горейновым с использованием принадлежащей ему реализации [13]. В качестве начального приближения к множеству аль-тернанса использовались 1/(2п + 2)-квантили равновесной меры для множества I, вычисляемой путём численного решения интегрального уравнения с логарифмическим ядром [61]. Опираясь на эту меру, составлялись и последующие приближения к множеству альтернанса из лежащих на I критических точек функции Яа — Б и концов рабочих полос. Для поиска критических точек применялся метод Брента, а если приближение достаточно хорошее — метод Ньютона. Для хранения многочленов в памяти и операций с ними использовалась линейная параметризация. Нелинейная система (29) переформулировалась в виде следующей задачи условной минимизации: требуется найти взаимно простые вещественные многочлены Р;(х) и Qs(x) степени не выше п (соответственно числитель и знаменатель дроби), для которых минимально число ц8 > 0 такое, что выполнены неравенства \Р;(х;—1) — Б(х*-1^^-1^ < (ж;-1)! при всех 1 < ; < 2п + 2. Внутри класса 'Я.ф знаки знаменателя Qs(x) на каждой из рабочих полос фиксиро-

ваны, то есть такая задача является задачей линейного программирования. Для её решения применялся метод внутренней точки для объединённых прямой и двойственной формулировок.

Результаты расчётов С.А. Горейнова следующие: ни для одной из спецификаций из Примеров 25-30 метод Ремеза при вычислениях с двойной точностью не позволил рассчитать оптимальный фильтр — требуется повышение разрядности мантиссы. Так, для конфигурации рабочих полос из Примера 25 максимальная степень п оптимальной функции, для которой алгоритм сошёлся, равна 9, а чтобы удовлетворить требованиям спецификации, нужна вдвое большая степень. Для конфигурации рабочих полос из Примера 26 максимальная степень, для которой алгоритм сошёлся, равна 7 (Таблица 4).

п Ад Число итераций

4 —4.227 154

5 —7.589 211

6 — 10.612 308

8 — 19.355 457

9 —22.378 652

п Ад Число итераций

3 —5.342 151

4 —9.178 273

5 —12.649 351

6 —16.013 408

7 —19.215 594

а) для Примера 25 Ь) для Примера 26

Таблица 4: Результаты алгоритма типа Ремеза (предоставлены С.А. Горейновым): п — порядок фильтра; Ад — фактическое подавление в полосах задержки. Конфигурация полос задавалась спецификацией, фактическая неравномерность в полосах пропускания фиксировалась равной —2 dB, а фактическое подавление на полосах задержки (второй столбец) определялось исходя из порядка.

Существуют реализации алгоритмов типа Ремеза, в которых применяется барицентрическая параметризация числителя и знаменателя рациональной функции [59] — для неё заявлено понижение числа значащих десятичных знаков, необходимых для сходимости, по сравнению с линейной параметризацией.

Метод чебышёвского анзаца позволяет вычислять квазирешения оптимизационной задачи о фильтре и на их основе — квазиоптимальные фильтры. Под квазирешением в данном случае понимается точное решение обобщённой задачи Золотарёва, но не для заданного набора рабочих полос, а для возмущённого. Точное решение обобщённой задачи Золотарёва часто обладает избыточным числом точек альтернанса — см. конструкцию в Пункте

3.1, приводящую к неравенству (27). Если на пересечении возмущённого набора рабочих полос и исходно заданного лежит достаточное число точек альтернанса, тогда точное решение для возмущённого набора рабочих полос будет являться точным решением и для исходного набора. Поэтому разница в порядках между оптимальным и квазиоптимальным фильтрами, как правило, невелика или отсутствует. Использование квазирешений даёт возможность контролировать характер колебаний частотной характеристики на рабочих полосах и её поведение в переходных полосах, избегая нежелательных свойств, которыми может обладать точное решение, например наличия в переходных полосах немонотонностей с усилением сигнала. Метод чебышёвского анзаца позволяет прямо контролировать величину уклонения посредством одного из непрерывных параметров анзаца — эллиптического модуля к, поэтому при расчёте по заданной спецификации перебор порядка не требуется, но требуется незначительный перебор дискретных параметров анзаца.

Метод чебышёвского анзаца гораздо более устойчив, чем алгоритмы типа Ремеза: при использовании стандартной двойной точности он позволяет работать с порядками до нескольких тысяч и с числом полос до нескольких сотен. Так, примеры оптимальных функций с 55, 99 и 121 рабочими полосами, графики которых изображены на Рисунке 16, вычислены с использованием стандартной двойной точности. Метод чебышёвского анзаца позволяет обслуживать сложные спецификации: с большим числом рабочих полос, при сильной нерегулярности их расположения, с очень высокими требованиями к качеству аппроксимации на рабочих полосах, при очень узких переходных полосах. Для таких спецификаций использование алгоритмов типа Ремеза затруднено или фактически невозможно.

Метод чебышёвского анзаца в текущий момент не позволяет получать фильтры с разными фактическими уровнями подавления на разных полосах задержки и разными фактическими уровнями вносимых искажений на разных полосах пропускания. По этой причине определение спецификации фильтра, которое было использовано в Пункте 3.2, содержит единые уровни Ар и А^ Между тем, в инженерной практике встречаются ситуации, когда на разных рабочих полосах достаточно обеспечить разное качество аппроксимации. Более того, могут накладываться разные требования к разным участкам одной и той же полосы. Подобная детализация призвана уменьшить порядок фильтра за счёт ухудшения фильтрующих свойств на менее значимых участках частотной оси с сохранением более высокого качества на критичных участках. Оптимальные фильтры для таких спецификаций по-

лучаются на основе обобщения задачи (1): при вычислении величины уклонения используется весовая функция. Алгоритмы типа Ремеза прямо переносятся на это обобщение, а аналитический анзац для обобщённой задачи пока не разработан. Отметим также, что модульный подход позволяет рассчитывать (неоптимальные) фильтры с разным качеством аппроксимации на разных полосах.

3.5. Характеристики цифровых оптимальных фильтров

В этом пункте численно смоделированы основные характеристики цифровых оптимальных многополосных фильтров из Примеров 26 и 27: фазо-частотная, импульсная, групповое времени задержки. Выявлено, что характер фазовых искажений оптимальных многополосных фильтров на каждой полосе пропускания повторяет характер фазовых искажений полосовых эллиптических фильтров. Численно смоделированы эффекты квантования коэффициентов при каскадной реализации таких фильтров.

Пусть функция А(ш) при каждом ш £ К с точностью до знака равна АЧХ цифрового фильтра \Н(е2пгш)\, а смена знака происходит в нулях АЧХ. Тогда существует дифференцируемая функция ф(ш), для которой выполнено равенство Н(е2пгш) = А(ш)е2пг^(ш\ Групповое время задержки (ГВЗ) характеризует степень нелинейности ФЧХ и определяется формулой ш ^ — (2п)—1ф'(ш). Отметим, что ФЧХ испытывает разрывы величиной ±п в нулях АЧХ, для устранения этих разрывов и была введена функция ф(ш): она совпадает с ФЧХ по модулю п и при этом дифференцируема. Графики ФЧХ и ГВЗ оптимальных фильтров из Примеров 26 и 27 изображены на Рисунке 31. Для построения графиков ГВЗ использовалась конечно-разностная аппроксимация производной функции ф(ш).

Импульсная характеристика (ИХ) — это отклик цифрового фильтра на единичный импульс {50п}пе2, где 5^ — символ Кронекера. По передаточной функции Н(г) импульсная характеристика восстанавливается с помощью обратного ^-преобразования: {(2пг)—1 Н(z)zj"1dz} где 7 — замкнутый путь, ориентированный против часовой стрелки и охватывающий все полюсы передаточной функции Н(г). Графики ИХ оптимальных фильтров из Примеров 26 и 27 изображены на Рисунке 32. Для построения этих

6

4 2 0

-2 -4 -6

5 0

-5 -10 -15

графиков интегралы в формуле для обратного Z-преобразования вычислялись с помощью теоремы о вычетах.

250 Г '

200; 150; 100;

50;

1Л.

и

100

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.2

0.1

-0.1

-0.2

1 ¡ЛлЛ^МмИ/ \лЛЛАЛЛАДчЛЛЛ

Цм

- 0.1-

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

400 : 300 : 200 1

0.5

Рис. 31: ФЧХ и ГВЗ оптимального двухполосного фильтра из Примера 26 (верхняя пара графиков) и оптимального четырёхполосного фильтра из Примера 27 (нижняя пара графиков). Графики ФЧХ испытывают скачки (разрывы) на в нулях АЧХ. Вертикальными красными линиями отмечены граничные частоты рабочих полос.

0 50 100 150 200 250 0 50 100 150 200 250 Рис. 32: ИХ оптимального двухполосного фильтра из Примера 26 (слева) и оптимального четырёхполосного фильтра из Примера 27 (справа). Точки соединены с квадратичной интерполяцией.

Поскольку (СУ)(%) = Н(г) • (СХ)(г), при последовательном включении нескольких фильтров, передаточная функция всей системы равна произведению передаточных функций составляющих её фильтров. При каскадной реализации передаточная функция записывается в виде произведения рациональных функций не более чем второго порядка, соответствующие им

0

фильтры реализуются по отдельности с помощью стандартных структурных схем и затем включаются последовательно. На практике коэффициенты этих звеньев (рациональных функций не более чем второго порядка) хранятся с конечным числом разрядов, что приводит к искажению АЧХ итогового фильтра. Иллюстрация этому — на Рисунке 33. Для оптимального двухполосного фильтра из Примера 26 каскадная реализация с двумя значащими разрядами (десятичными, в формате с плавающей точкой) даёт значительные искажения АЧХ. При трёх значащих разрядах искажения визуально заметны, но невелики. Для оптимального четырёхполосного фильтра из Примера 27 требуется четыре значащих разряда, чтобы получить приемлемые искажения АЧХ. Приведённые графики демонстрируют только эффекты квантования постоянных параметров каскадной реализации — коэффициентов составляющих фильтр звеньев, а эффекты округления промежуточных результатов вычислений не учитываются.

лЛ

-10

-20

-30

(\ ^- -40

V .- -50

0.

0.1

0.2

0.3

0.4

Ц/^/ЧЛ »ЛЛ д/\/

0.4

0.5

ЛЛ/

10 20 30 40

-50

КГ—'ЧИ »ЛЯ ПЛ/|

0.5

0.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Рис. 33: Верхняя пара графиков: искажения АЧХ оптимального двухполосного фильтра из Примера 26 при каскадной реализации с 2 и 3 значащими десятичными разрядами в формате с плавающей точкой. Нижняя пара графиков: то же для оптимального четырёхполосного фильтра из Примера 27 при 3 и 4 значащих разрядах.

3.6. Комплекс программ

Все расчёты для настоящей диссертации проведены автором с помощью разработанного им комплекса программ. Основная часть кода написана на языке Modern Fortran. Выбор этого языка взамен более высокоуровневых (таких, как Python, MATLAB, Wolfram Language и другие) обусловлен потребностью в максимально производительном решении, позволяющем обслуживать спецификации с очень большим числом рабочих полос. На языке Wolfram Language реализован переход от решения обобщённой задачи Золотарёва к передаточной функции фильтра, а также вычисление характеристик фильтров и вывод их графиков.

Рис. 34: Граф зависимостей между модулями программного комплекса.

Граф зависимостей между модулями программного комплекса, написанными на языке Fortran, изображён на Рисунке 34. Описания модулей:

Precision. Позволяет для всего программного комплекса зафиксировать формат представления вещественных чисел с плавающей точкой:

и u и и 1 Г • •

числа одинарной, двойной или четверной точности. При расчёте всех примеров для диссертации, включая пример решения со 121 полосами, использовалась двойная точность.

SchottkyGroup. Определяется тип данных SchottkyGroup_Type, объединяющий основные параметры группы Шоттки: род g кривой, модули (с; r) Е Ggj и вектор (а\, а2,..., (g) Е 1 . Методами типа являются образующие группы Шоттки Sj, 1 < j < g, и их обратные, а также функция-индикатор подмножества G^ в пространстве R2g.

Estimates. Вычисление оценок из Пункта 2.5: оценок сверху для сумм J2s>T \Sz — Sw\/\Tz — Tw\, оценки сверху для dist-2(u, S(z) U S(w)), оценок сверху для отношений \SjTz — SjTw\/\Tz — Tw\.

CayleyTreeTraversal. Модуль предоставляет универсальную функцию для расчёта сумм и произведений по подмножествам группы Шоттки, которые встречаются в методе чебышёвского анзаца. На вход подаются: указатель на функцию, вычисляющую член ряда; идентификатор операции (сложение или умножение); объект типа SchottkyGroup_Type; параметры, описывающие подмножество группы Шоттки; параметр £ для контроля точности вычислений; параметр, позволяющий выбрать между оригинальным и модифицированным алгоритмами Богатырёва (Алгоритмы 1 и 4); для модифицированного алгоритма подаются также предвычисленные значения M(S) для всех вариантов первых двух слева букв несократимого слова S.

- DifferentialsAndFunctionsOnCurve. Определяется производный тип данных SchottkyGroupWithNumerics_Type, расширяющий тип данных SchottkyGroup_Type. По сравнению с родительским типом добавляются методы для расчёта линейных и квадратичных дифференциалов Vzw, Zj, Oj и Oj, функций Шоттки, элементов матрицы периодов, а также проекции х(и) из модели Шоттки в алгебраическую модель.

- ExtremalRational. Вычисление значений R(u) = sn(K(к) (J'U 2(+qj | к). Для кривых, лежащих в образе чебышёвского соответствия: вычисление нулей и полюсов рациональной функции R(x), вывод её графика.

NewtonOnModuliSpace. Метод Ньютона с контролем длины шага для решения возникающих в методе чебышёвского анзаца уравнений относительно модулей (с; г): на периоды (, на положения точек ветвления и на прохождение графика Я(х) через заданную точку. Производные левых частей таких уравнений по модулям вычисляются с помощью техник из Пункта 2.3.

- Uniformization. Реализация классического, восходящего к А. Пуанкаре, алгоритма численной униформизации Шоттки. Реализация нового алгоритма, основанного на решении уравнений на положения точек ветвления (используется модуль NewtonOnModuliSpace).

BenchmarksOfEstimatesAndAlgs. Расчёты для Подпункта 2.5.5. Реализация и сравнение алгоритмов Богатырёва, Шмиза и их модификаций. Сравнение оценок сверху для сумм ^8>т \Бг — Б/ш\/\Тг — Т,ш\, Т £ в: оценки Бёрнсайда, оценки Богатырёва и новой оценки.

EllipticFunctions. Расчёт якобиевых тета-функций, эллиптического синуса и его производной, функций т(к) и к(т).

LinearAlgebra. Функции обращения квадратной матрицы и псевдообращения прямоугольной матрицы. Используется библиотека LAPACK (для расчётов с четверной точностью её необходимо модифицировать: например, скомпилировать с опцией перевода вещественных чисел двойной точности в числа четверной точности).

Модули программы, реализующие модель Шоттки, доступны по веб-адресу https://github.com/lyamaev/SchottkyLib. Эти модули имеют самостоятельное значение, отдельное от метода чебышёвского анзаца, и могут применяться в качестве библиотеки в других приложениях, в которых возникают вычисления, связанные с вещественными гиперэллиптическими кривыми. Библиотека обладает гибкостью: универсальная функция обхода подмножеств дерева Кэли, предоставляемая модулем CayleyTreeTraversal, позволяет эффективно добавлять нужные теоретико-функциональные объекты на кривой, если они отсутствуют в текущей реализации.

Заключение

Диссертация посвящена расчёту многополосных фильтров в рамках метода чебышёвского анзаца с применением модели Шоттки вещественных гиперэллиптических кривых. Предложены два новых эффективных алгоритма приближённого суммирования тета-рядов Пуанкаре — на основе таких рядов в модели Шоттки строится теория функций. Получена новая оценка для остаточных сумм тета-рядов. Разработан комплекс программ, реализующий модель Шоттки и метод чебышёвского анзаца. Вместе эти результаты составляют готовый набор инструментов для практического расчёта квазиоптимальных многополосных фильтров по заданной спецификации, в том числе для спецификаций с большим числом полос пропускания и задержки и при сильно нерегулярном их расположении. При помощи разработанного комплекса программ на серии многополосных спецификаций проведено сравнение порядков оптимальных и модульных фильтров, а также численно смоделированы основные характеристики цифровых оптимальных многополосных фильтров и эффекты квантования коэффициентов при каскадной реализации. Метод чебышёвского анзаца сопоставлен с с итерационным методом Ремеза, альтернативным подходом к решению оптимизационной задачи о фильтре.

Преимущество метода чебышёвского анзаца в сравнении с методом Ремеза — существенно более высокая численная устойчивость: при вычислениях с одинаковой точностью аналитический метод позволяет обслужить в сотни раз больший порядок фильтра и в десятки раз большее число полос пропускания и задержки. Преимущество метода чебышёвского анзаца в сравнении с модульным подходом, не связанным с решением оптимизационной задачи, — существенно меньшие порядки получаемых фильтров при расчёте по заданной спецификации.

Разработанный комплекс программ спроектирован так, чтобы его можно было эффективно расширять в соответствии с последующим развитием метода чебышёвского анзаца. Хотя этот метод и использует более слож-

ный математический аппарат по сравнению с другими подходами к синтезу многополосных фильтров, владение этим аппаратом в полном объёме не требуется для конечного пользователя программного обеспечения.

Новые алгоритмы приближённого суммирования тета-рядов Пуанкаре и новая оценка для остаточных сумм имеют и самостоятельное значение, отдельное от метода чебышёвского анзаца. Модули программного комплекса, реализующие модель Шоттки, могут применяться в качестве библиотеки для разработки других программ, в которых требуется вести вычисления с вещественными гиперэллиптическими кривыми.

Список литературы

[1] Н.И. Ахиезер, Über einige Funktionen, welche in zwei gegebenen Intervallen am wenigsten von Null abweichen, Изв. Казанского ф.-м. общества,, 3:3 (1928), 1-69.

[2] Н.И. Ахиезер, Об одной задаче Е.И. Золотарёва, Известия АН СССР, Отдел физ.-мат. наук, 10 (1929), 919-931.

[3] Н.И. Ахиезер, Лекции по теории аппроксимации, М.: Наука, 1965.

[4] Н.И. Ахиезер, Элементы теории эллиптических функций, М.: Наука, 1970.

[5] Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков, Численные методы. М.: БИНОМ, 2008.

[6] А.Ю. Беляков, Е.В. Петров, В.В. Попов, А.П. Штейнгарт, Двухполосный керамический фильтр, Вестник Новгородского государственного университета, 4:95 (2016), 61-64.

[7] А.Б. Богатырёв, Об эффективном вычислении многочленов Чебышёва для нескольких отрезков, Математический сборник, 190:11 (1999), 15-50.

[8] А.Б. Богатырёв, Многообразия опорных множеств многочленов Чебы-шева, Математические заметки, 67:6 (2000), 828-836.

[9] А.Б. Богатырёв, Эффективный подход к задачам о наименьшем уклонении, Математический сборник, 193:12 (2002), 21-40.

[10] А.Б. Богатырёв, Экстремальные многочлены и римановы поверхности, МЦНМО, 2005; англ. пер.: A.B. Bogatyrev, Extremal Polynomials and Riemann Surfaces, Springer Monographs in Mathematics, Springer, Heidelberg, 2012.

[11] А.Б. Богатырёв, Эффективное решение задачи о наилучшем многочлене устойчивости, Математический сборник, 196:7 (2005), 27-50.

[12] А.Б. Богатырёв, Чебышёвское представление рациональных функций, Математический сборник, 201:11 (2010), 19-40.

[13] А.Б. Богатырёв, С.А. Горейнов, С.Ю. Лямаев, Аналитический подход к синтезу многополосных фильтров и его сравнение с другими подходами, Проблемы передачи информации, 53:3 (2017), 64-77.

[14] А.Б. Богатырёв, Вещественные мероморфные дифференциалы: язык для описания меронных конфигураций в планарных магнитных нано-элементах, ТМФ, 193:1 (2017), 162-176.

[15] А.Б. Богатырёв, О.А. Григорьев, Фильтрация под ступенчатой плотиной и римановы тета-функции, Труды Математического института имени В.А. Стеклова, 311 (2020), 14-26.

[16] А.А. Гончар, О задачах Е.И. Золотарёва, связанных с рациональными функциями, Математический сборник, 78:4 (1969), 640-654.

[17] О. А. Григорьев, Численно-аналитический метод конформного отображения многоугольников с шестью прямыми углами, Журнал вычислительной математики и математической физики, 53:10 (2013), 1629-1638.

[18] Е.И. Золотарёв, Приложение эллиптических функций к вопросам о функциях, наименее и наиболее отклоняющихся от нуля (1877), Полное собрание сочинений Е.И. Золотарёва, Том 2, 1-59, Л.: Изд-во АН СССР, 1932.

[19] С.Б. Каток, Фуксовы группы, М.: Факториал, 2002.

[20] А.Л. Лукашов, О решении задачи синтеза многополосного электрического фильтра, Вестник Тамбовского университета, 5 (2000), 473475.

[21] А.Л. Лукашов, Точное решение одной задачи построения оптимального электрического фильтра, Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам, Саратов, 1 (2003), 84-90.

[22] С.Ю. Лямаев, Новый подход к расчёту передаточных функций многополосных фильтров, Труды 57-ой научной конференции МФТИ, Секция радиотехники и кибернетики, М.: МФТИ, 2014, 132-133.

[23] С.Ю. Лямаев, Многополосные фильтры с оптимальными АЧХ, Труды 58-ой научной конференции МФТИ, Секция радиофизики, волновых процессов, радиоэлектронных информационных систем, 2015.

[24] С.Ю. Лямаев, Аналитический синтез многополосных фильтров с оптимальными АЧХ, Радиоэлектронные средства получения, обработки и визуализации информации (РСПОВИ-2017): сборник докладов, М.: Российское научно-техническое общество радиотехники, электроники и связи им. А.С. Попова, 2017.

[25] С.Ю. Лямаев, Аналитический расчет многополосных фильтр, IV Всероссийская научно-техническая конференция «Системы связи и радионавигации»: сборник тезисов, Красноярск: АО НПП «Радиосвязь», 2017, 267-269.

[26] С.Ю. Лямаев, Суммирование рядов Пуанкаре в модели Шоттки, Методы вычислений и математическая физика: тезисы докладов Международной научой конференции (Сочи, 10-15 августа 2020), Пенза: Изд-во ПГУ, 2020.

[27] С.Ю. Лямаев, О приближенном суммировании рядов Пуанкаре в модели Шоттки, Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, 505:1 (2022), 42-45.

[28] С.Ю. Лямаев, Суммирование тета-рядов Пуанкаре в модели Шоттки, Журнал вычислительной математики и математической физики, 62:7 (2022), 1085-1099.

[29] В. Н. Малоземов, Задача синтеза многополосного электрического фильтра, Журнал вычислительной математики и математической физики, 19:3 (1979), 601-609.

[30] Е.Я. Ремез, Основы численных методов чебышёвского приближения, Киев: Наук. думка, 1969.

[31] М.Л. Содин, П.М. Юдицкий, Функции, наименее уклоняющиеся от нуля на замкнутых подмножествах действительной оси, Алгебра и анализ, 4:2 (1992), 1-61.

[32] П.Л. Чебышёв, Теория механизмов, известных под именем параллелограммов (1853), УМН, 1:2 (1946), 12-37.

[33] K. Aboutabikh, I. Haidar, A. Garib, Design and implementation of a multiband digital filter using FPGA to extract the ECG signal in the presence of different interference signals, International Journal of Advanced Research in Computer and Communication Engineering, 4:9 (2015), 275-281.

[34] R.A.-R. Amer, The Approximation Problem of Electrical Filters: Ph.D. Thesis, Zürich: Swiss Federal Institute of Technology (ETH), 1964.

[35] R.A.-R. Amer, H.R. Schwarz, Contributions to the approximation problem of electrical filters, Mitt. Inst. Angew. Math, Birkhauser, №9, 1964.

[36] H.F. Baker, Abelian functions. Abel's theorem and the allied theory oftheta functions, Cambridge University Press, 1995.

[37] E.D. Belokolos, A.I. Bobenko, V.Z. Enolskii, A.R. Its, V.B. Matveev, Algebro-geometric approach to nonlinear integrable equations, SpringerVerlag, 1994.

[38] L. Bers, Automorphic forms for Schottky groups, Advances in Math., 16 (1975), 332-361.

[39] S. Bezrodnykh, A. Bogatyrev, S. Goreinov, O. Grigoriev, H. Hakula, M. Vuorinen, On capacity computation for symmetric polygonal condensers, J. Comput. Appl. Math., 361 (2019), 271-282.

[40] A.B. Bogatyrev, Chebyshev polynomials and navigation in the moduli space of hyperelliptic curves, Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling, 14:3 (1999), 205-220.

[41] A.B. Bogatyrev, Computations in moduli spaces, Comp. Methods and Function Theory, 7:2 (2007), 309-324.

[42] A.B. Bogatyrev, S.A. Goreinov, S.Yu. Lyamaev, Efficient synthesis of optimal multiband filter, Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling, 32:4 (2017), 217-223.

[43] A.B. Bogatyrev, How Many Zolotarev Fractions are There?, Constructive Approximation, 46 (2017), 37-45.

[44] A.B. Bogatyrev, Recent Progress in Optimization of Multiband Electrical Filters, Conference on Approximation and Optimization: Algorithms, Complexity and Applications, Springer, 145 (2019), 135-150.

[45] A.B. Bogatyrev, Projective view at optimization problem for multiband filter, Proceedings of the American Mathematical Society, 149 (2021), 30213035.

[46] T.B. Brand, P. Meyer et al., Designing multiband coupled-resonator filters using reactance transformations, International Journal of RF and Microwave Computer-Aided Engineering, 25:1 (2015), 81-92.

[47] V.M. Buchstaber, V.Z. Enolski, D.V. Leykin, Multi-Dimensional Sigma-Functions, arXiv:1208.0990 (2012).

[48] W. Burnside, On a class of automorphic functions, Proc. London Math. Soc., 23 (1891), 49-88.

[49] R.J. Cameron, C.M. Kudsia, R.R. Mansour, Microwave Filters for Communication Systems: Fundamentals, Design and Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, 2018.

[50] W. Cauer, Ein Interpolationsproblem für Funktionen mit positivem Realteil, Mathematische Zeitschrift, 38 (1934).

[51] W. Cauer, Theorie der linearen Wechselstromschaltungen, Vol. I, Leipzig: Akad. Verlags-Gesellschaft Becker und Erler, 1941.

[52] W. Cauer, Synthesis of Linear Communication Networks, New York: McGraw-Hill, ,1958.

[53] W. Cauer, Theorie der linearen Wechselstromschaltungen, Vol. II, Berlin: Akademie-Verlag, 1960.

[54] W.-K. Chen, Passive, Active, and Digital Filters, CRC Press, 2009.

[55] V. Crnojevic-Bengin, Advances in Multi-Band Microstrip Filters, EuMA High Frequency Technologies Series, Cambridge University Press, 2015.

[56] D.G. Crowdy, J.S. Marshall, Computing the Schottky-Klein prime function on the Schottky double of planar domains, Comput. Methods Funct. Theory, 7:1 (2007), 293-308.

[57] H. Di, B. Wu, X. Lai, C. Liang, Synthesis of Cross-Coupled Triple-Passband Filters Based on Frequency Transformation, IEEE Microwave and Wireless Components Letters, 20:8 (2010), 432-434.

[58] V. Enolski, E. Hackmann, V. Kagramanova et al., Inversion of a general hyperelliptic integral and particle motion in Horava-Lifshitz black hole space-time, J. Math. Phys., 53:1 (2012), 012504 1-35.

[59] S. Filip, Y. Nakatsukasa, L. Trefethen, B. Beckermann, Rational Minimax Approximation via Adaptive Barycentric Representations, SIAM J. Sci. Comput., 40 (2018), A2427-A2455.

[60] L.R. Ford, Automorphic Functions, McGraw-Hill Book Company, 1929.

[61] W.J.H. Fuchs, On Chebyshev Approximation on Sets with Several Components, Aspects of Contemporary Complex Analysis, Academic Press, 1980, 399-408.

[62] A. Garcia-Lamperez, M. Salazar-Palma, Single-band to multiband frequency transformation for multiband filters, IEEE Trans. Microw. Theory Techn., 59:12 (2011), 3048-3058.