Экспериментальное исследование эффектов контактной акустической нелинейности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.06, кандидат физико-математических наук Баллад, Евгений Маркович

• Баллад, Евгений Маркович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Баллад, Евгений Маркович

Введение

Глава I. Обзор литературы

§]. Новые механизмы акустической нелинейности

§2. «Классические» проявления контактной акустической нелинейности

§3. Эффекты нелинейного преобразования частоты вниз по спектру

Глава II. Теоретическая часть. Резонансные и нерезонансные свойства контактной акустической нелинейности

§1. Вводная часть. Механизмы контактной акустической нелинейности

§2. Механизм «хлопающей» нелинейности. Феноменология нормальных колебаний нелинейного контакта

§3. Механизм нелинейного трения при тангенциальных колебаниях контактных границ

§4. Резонансные проявления контактной акустической нелинейности.

Закономерности частотных преобразований вниз по спектру

Глава III. Модельные эксперименты по исследованию контактной акустической нелинейностиi

§1. Методика экспериментального исследования

§2. Свойства «хлопающей» нелинейности

§3. Контактная нелинейность, обусловленная механизмом нелинейного трения»

§4. «Хлопающая» нелинейность и «нелинейное трение»: общие свойства контактных границ под воздействием периодической внешней силы

§5. Акустические резонаторы с элементами контактной акустической нелинейности

Глава IV. Контактная акустическая нелинейность при взаимодействии ВЧ-поверхностных волн с трещиноватыми дефектами

§1. Описание методики экспериментальных исследований

§2. Механизмы генерации гармоник высших порядков

§3. Генерация кратных субгармонических и некратных модуляционных спектральных компонент

§4. Сценарий развития «неклассических» нелинейных эффектов

Глава У. Применение эффектов контактной акустической нелинейности для акустодиагностики материалов

§1. Методики нелинейной акустодиагностики

§2. Методика нелинейного отражения

§3. Бесконтактная модуляционная методика селективной нелинейной акустодиагностики

§ 4. Нелинейная визуализация дефектов виброакустическим методом

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экспериментальное исследование эффектов контактной акустической нелинейности»

Настоящая работа относится к нелинейной акустике твердых тел, которая изучает вопросы развития нелинейных акустических процессов в изотропных телах и кристаллических структурах, и тесно связана с самыми разнообразными физическими свойствами и особенностями твердых тел [1]. Исследования в этой области позволяют расширить круг фундаментальных акустических задач, поскольку они выявляют все более тонкие и разнообразные нелинейные явления и механизмы нелинейного взаимодействия акустических волн в твердых телах [2], а также являются эффективным инструментом изучения различных особенностей материалов и диагностики структуры твердого тела [3,4,5].

Сравнительно недавно в поле исследований акустики попали нелинейные процессы, развивающиеся при распространении упругих волн в твердых телах с неоднородностями внутренней структуры [6, 7, 8]. На настоящий момент такие исследования относятся к одному из наиболее перспективных и бурно развивающихся направлений нелинейной акустики, и являются основой целого ряда практических разработок, главным образом в области нелинейной акустодиагностики твердых тел [9, 10]. Действительно, тесная взаимосвязь неоднородности структуры твердого тела с е/о нелинейными акустическими свойствами дает возможность получать информацию о наличии дефектных или поврежденных областей (трещин, пустот, отслоений, непроклея, и т.п.), находящихся в толще твердого тела. Это, однако, требует изучения нелинейных свойств элементов структурных неоднородностей, а также исследования нелинейных акустических процессов, развивающихся при распространении акустических волн в структурно-неоднородных телах.

Широкий круг нелинейных эффектов, обусловленных неоднородностью структуры твердого тела, связан с проявлениями контактной акустической нелинейности (КАН). Этот тип нелинейности характерен для твердых тел, содержащих такие неоднородности структуры, как макро- и микротрещины, различного пода отслоения, зерна. Общей особенностью, определяющей нелинейные свойства таких тел, является наличие в них контактных границ, динамика которых под воздействием акустической волны существенно нелинейна. При этом большинство аспектов, связанных с проявлениями контактной акустической нелинейности в твердых телах, на настоящий момент остается пока малоизученными. Так, например, к числу малоисследованных проявлений контактной нелинейности следует отнести особенности генерации высших гармоник, включающие в себя характер динамических зависимостей генерации и специфику нелинейного спектра КАН. Практически полностью незатронутыми в литературе остаются вопросы, связанные с такими проявлениями контактной нелинейности, как генерация волн кратных субгармоник, появление в спектре КАН некратных основной частоте модуляционных компонент-«сателлитов», развитие нелинейного хаоса на контактных границах.

Необходимо также отметить, что развитые к настоящему времени методики акустодиагностики в основном изучают вопросы, связанные с интегральной оценкой дефектного состояния материала, не рассматривая проблем выявления локализации отдельных дефектов. При этом задачи визуализации элементов структурной неоднородности в последнее время приобретают все большую актуальность в рамках развития современных промышленных технологий неразрушающего контроля материалов.

Настоящая работа посвящена изучению нелинейных эффектов, проявляющихся при взаимодействии акустических волн с контактными границами в твердом теле. К исследуемым проявлениям контактной нелинейности следует отнести генерацию высших гармоник и разнообразные частотные преобразования вниз по спектру, связанные с генерацией кратных субгармоник различных порядков, генерацией некратных частотных компонент, развитием нелинейного хаоса. Также изучаются особенности нелинейного спектра, присущего КАН, характерные сценарии развития нелинейных процессов при взаимодействии акустической волны с трещиноватыми дефектами. На основе проведенных исследований разработан ряд методик нелинейного неразрушающего контроля материалов.

Работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.

Первая глава содержит литературный обзор работ по теме исследований. Кратко упомянуты^ основные направления исследования нелинейных акустических свойств твердых тел, со структурными неоднородностями различного рода.

Более подробно описаны имеющиеся в литературе работы по изучению нелинейных свойств контактных границ в твердом теле. Отдельно рассмотрен круг работ, посвященных «неклассическим» с точки зрения акустики нелинейным проявлениям -частотным преобразованиям вниз по спектру.

Вторая глава посвящена теоретическому описанию дчнамики контактных границ под воздействием акустических возмущений. На основе билинейной нагрузочной характеристики разработана феноменологическая модель, позволяющая описать процессы генерации высших гармоник на контактных границах в случае, если частота воздействия такова, что резонансные свойства контакта не проявляются. Отдельно обсуждается круг вопросов, связанных с резонансными проявлениями нелинейного контакта. Указывается возможность существования нелинейных резонансов в условиях КАН, и связанных с ними эффектов нелинейных преобразований вниз по спектру. На основе существующих в литературе теоретических работ, рассматриваются возможные причины генерации некратных модуляционных компонент в сильно нелинейных резонансных системах.

В третьей главе приведены описания экспериментальных исследований нелинейных колебательных систем, моделирующих поведение контактных границ в твердом теле, при падении на них акустической волны. Экспериментально изучены процессы генерации высших гармоник, а также нелинейные процессы, связанные с частотными преобразованиями вниз по спектру, наблюдалось развитие нелинейного хаоса. На основе развитой выше теории разделяются резонансные и нерезонансные проявления контактной нелинейности, экспериментально исследован сценарий развития нелинейных процессов на контактных границах. при увеличении амплитуды внешнего воздействия. Также, приведены результаты экспериментальных исследований генерации высших гармоник и субгармонических компонент в акустических резонаторах с элементами контактной нелинейности. На основе проведенных исследований делаются общие выводы о характерных особенностях нелинейной динамики контактных границ в твердом теле.

Четвертая глава содержит результаты исследований взаимодействия ВЧ-акустических волн (/ -15-45 МГц) с трещиноватыми дефектами. Экспериментально изучены особенности генерации высших гармоник на контактной нелинейности. Исследованы КАН-эффекты, связанные с преобразованием частоты вниз по спектру -генерацией волн субгармоник и некратных модуляционных компонент. Наблюдалась также хаотизация спектра акустической вслны, отраженной от трещиноватого дефекта — источника КАН. Проведен сравнительный анализ экспериментальных результатов по исследованию нелинейных свойств трещиноватых дефектов в твердом теле и результатов, полученных в экспериментах с колебательными системами - модельными источниками КАН.

В пятой главе изложен ряд методик неразрушающего контроля, разработанных на основе теоретических и экспериментальных .исследований, проведенных в предыдущих главах настоящей работы.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Заключение диссертации по теме «Акустика», Баллад, Евгений Маркович

Заключение

В настоящей диссертационной работе выполнены исследования нелинейных акустических эффектов, обусловленных нелинейностью контактных границ в твердых телах. Основные результаты, полученные в работе, а также выводы, которые можно сделать на их основе, можно сформулировать следующим образом:

1. Проведен анализ двух основных механизмов контактной нелинейности: «хлопающей» нелинейности и нелинейности, обусловленной механизмом нелинейного трения. Для этих двух случаев, развиты феноменологические модели,. позволяющие теоретически описать нелинейную динамику контактных границ под воздействием акустических возмущений в нерезонансном случае. Показано, что контактной акустической нелинейности присущ импульсный характер изменения модуля упругости под воздействием акустических возмущений, что обуславливает характерный вид спектров нелинейных колебаний. В случае «хлопающей» нелинейности спектр имеет немонотонный вид (огибающая высших гармоник нелинейного спектра при этом является , „ sin*. функцией вида -), а спектр, обусловленный механизмом нелинейного трения, не х содержит четных гармоник. Для КАН также характерен пороговый характер зависимостей амплитуд высших гармоник от амплитуды основного сигнала. Для высших гармоник КАН не имеет места традиционная для молекулярной нелинейности степенная зависимость от амплитуды основного сигнала.

2. Экспериментально изучена нелинейная динамика контактных границ для случаев «хлопающей» нелинейности и механизма нелинейного трения. Проведенные эксперименты подтверждают основные выводы теории и показывают, что нелинейность, обусловленная колебаниями контактных границ, обладает целым рядом специфических свойств, не имеющих аналогов для классической материальной нелинейности. Они определяются спецификой отмеченных выше механизмов контактной нелинейности, а также резонансными свойствами нелинейного контакта.

Экспериментально показано, что в случае «хлопающей» нелинейности спектр sin* является немонотонным, а высшие гармоники в нем распределены по закону вида-. х

Для случая нелинейного трения амплитуды нечетных гармоник превышают амплитуды четных на величину порядка 40 дБ. Эти результаты хорошо согласуются с развитым в работе феноменологическим описанием динамики контакта и связаны с характерным видом уравнения состояния контактной области.

Неклассические» свойства КАН также проявляются в специфике динамических характеристик нелинейных контактов: экспериментально наблюдались «нестепенные» зависимости амплитуд высших гармоник, показано существование «жесткого» режима возбуждения и наличие областей бистабильности нелинейных колебаний. Данные особенности характерны для динамики нелинейных осцилляторов и связаны с резонансными свойствами контактной области. К резонансным проявлениям колебаний нелинейных контактов также следует отнести экспериментально обнаруженный гистерезис частотных характеристик колебаний контактных границ, существование суб- и супергармонических нелинейных резонансов, генерацию некратных модуляционных компонент, наличие распадной неустойчивости колебаний и развитие нелинейного хаоса. Возможные варианты перехода системы к хаотическим колебаниям при возрастании амплитуды внешней силы экспериментально изучены в работе для случая «хлопающей» нелинейности.

3. Проведены экспериментальные исследования генерации высших гармоник и кратных субгармонических компонент в акустических резонаторах с элементами контактной нелинейности. Показано, что генерация высших гармоник носит пороговый характер. Порог связан с достижением амплитудой основного сигнала определенной величины, необходимой для нарушения контакта. На основе проведенных экспериментальных исследований установлено, что существует оптимальная величина поджатая границ контакта, при которой нелинейные эффекты на контактной границе проявляются наиболее интенсивно. Эффективность развития нелинейных контактных явлений в акустических резонаторах зависит от частоты - приближение частоты акустического сигнала к собственной частоте резонатора, приводит к значительному усилению нелинейных контактных эффектов. Наблюдались эффекты, связанные с преобразованием частоты вниз по спектру - эффективная пороговая генерация кратных субгармонических компонент, связанная с проявлениями нелинейного субгармонического резонанса. При этом порог генерации субгармоник тем ниже, чем меньше давление поджатая контакта.

4. Экспериментально исследованы нелинейные эффекты, возникающие при взаимодействии акустических волн с трещиноватыми дефектами. Показано, что генерация высших гармоник и кратных субгармоник на трещиноватых дефектах носит мультипороговый характер, а динамические характеристики генерации обладают зонами бистабильности. Такая специфика динамических зависимостей определяется резонансными особенностями трещиноватого дефекта и связана с проявлениями нелинейного резонанса.

Экспериментально обнаружена генерация некратных модуляционных компонент и развитие нелинейного хаоса при взаимодействии акустических волн с трещиноватыми дефектами. Проведен сравнительный анализ сценариев развития нелинейных процессов, при возбуждении модельных нелинейных контактов, и при взаимодействиии акустических волн с реальными "трещиноватыми дефектами в распределенных средах. На основе проведенного анализа выявлена тесная взаимосвязь характера развития наблюдаемых нелинейных явлений в обоих случаях при увеличении амплитуды внешнего воздействия. Сделан вывод, что колебания контактных границ в твердом теле под действием акустической волны могут рассматриваться как вынужденные колебания сильно нелинейных осцилляторов.

5. На основе проведенных исследований создан и опробован ряд новых методик акустического неразрушающего контроля материалов.

Предложена импульсная методика обнаружения и локализации поверхностных трещиноватых дефектов на основе анализа нелинейных компонент в спектре отраженной акустической волны.

Разработана новая реализация нелинейной модуляционной методики детектирования трещиноватых дефектов с использованием воздушного ультразвука. Особенностью данной методики является ее бесконтактность, в связи с чем, она может лечь в основу ряда новых т.н. «on-line»-технологий диагностики материалов, особенно перспективных и востребованных в настоящее время.

Подробно изучена и опробована методика многочастотной нелинейной акустодиагностики, позволяющая осуществлять визуализацию дефектов структуры твердых тел путем регистрации полного набора «неклассических» компонент нелинейного спектра колебаний. Показано, что все экспериментально наблюдаемые нелинейные проявления КАН (генерация высших гармоник, кратных субгармоник и некратных модуляционных компонент) могут быть эффективно использованы для детектирования и локализации дефектов структуры твердых тел, которые не удается обнаружить с помощью стандартных методов «линейной» акустодиагностики. При этом наилучшую визуализацию дефектов дает анализ нелинейных компонент спектра высших порядков.

В заключение данной работы хочу выразить глубокую благодарность моему научному руководителю Игорю Юрьевичу Солодову за предоставление интересной тематики, постоянное внимание, поддержку и помощь в работе.

Отдельно хочу поблагодарить Бориса Алексеевича Коршака, совместно с которым был получен ряд экспериментальных результатов Гл. 4, и Владимира Геннадьевича Можаева за активное участие, полезные советы и комментарии в процессе обсуждения результатов работы.

Хочу поблагодарить также студентов кафедры акустики Сергея Визирова и Игоря Каткова, оказавших неоценимую помощь в проведении экспериментов по наблюдению эффектов КАН в колебательных системах.

Я также благодарен сотрудникам кафедры акустики, коллегам и товарищам, за оказанное внимание к проведенным исследованиям, консультации по ряду возникавших вопросов и обсуждение полученных результатов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Баллад, Евгений Маркович, 2004 год

1. Красильников В.А., Крылов В.В. Введение в физическую акустику. М.: Наука, 1984.

2. Руденко О.В., Солуян С.Н. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975.

3. Лямов В.Е. Поляризационные эффекты и анизотропия взаимодействия акустических волн в кристаллах. М.: Изд-во МГУ., 1983.

4. Труэлл Р., Эльбаум Ч., Чик Б. Ультразвуковые методы в физике твердого тела. М.: Мир, 1972.

5. Зарембо Л.К., Красильников В.А., Школьник И.Э. Нелинейная акустика в проблеме диагностики прочности твердых тел // Проблемы прочности, 1989, № И, стр. 86-92.

6. Донской Д.М., Сутин A.M. Нелинейное рассеяние и распространение продольных акустических волн в пористых средах // Акуст. журн., 1984, т. 30, вып. 5, стр. 605-611.

7. Зарембо Л.К., Кошкина Е.Н., Чунгузов И.П. К теории распространения волн в упругонеоднородной среде II Акуст. журн., 1984, т. 30, вып. 1, стр. 52-65.

8. Островский Л.А. К нелинейной акустике слабосжимаемых пористых сред // Акуст. журн., 1988, т. 34, № 5, стр. 908-913.

9. Руденко О.В., Нелинейные методы в акустической диагностике // Дефектоскопия, 1993, № 8, стр. 24-32.

10. Зарембо Л.К., Красильников В.А, Школьник И.Э. , Юровский В.А., Фишман В.Я. Использование методов нелинейной акустики для оценки прочности хрупких материалов // М.: МГУ, 1988, препринт № 18.

11. Зарембо Л.К., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. М.: Наука, 1966.

12. Наугольных К.А., Островский Л.А. Нелинейные волновые процессы в акустике. М.: Наука, 1990.

13. Ландау Л. Д., Лившиц Е. М. Теория упругости. М.: Наука, 1981.

14. Конюхов Б.А., Шалашов Г.М. Об эффектах третьего приближения при распространении упругих волн в изотропных твёрдых телах. Генерация высших гармоник IIПМТФ, 1974, № 4у етр. 125-132.

15. Балакирев М.К., Гилинский И.А. Волны в пьезокристаллах. Новосибирск: Наука, 1982.

16. Solodov I.Yu. Acoustic nonlinearity of piezoelectric crystal surface //J. Appl. Phys., 1988, v. 64, № 6, pp. 2901-2906.

17. Можаев В.Г., Солодов И.Ю. О генерации второй гармоники акустических волн в пъезополупроводниках II Вестн. Моск. Ун-та, сер. 3, 1980, т. 21, № 4, стр. 4653.

18. Петров В.И., Спивак Г.В., Практикум по твердотельной электронике. Изд-во Моск. унив., 1984, стр. 199-209.

19. Ожогин В.И., Преображенский B.J1. Эффективный ангармонизм упругой подсистемы антиферромагнетиков IIЖЭТФ, 1977, т. 73, вып. 3, стр. 988-1000.

20. Ожогин В.И., Лебедев А.Ю., ЯкубовскийА.Ю. Удвоение частоты звука и акустическое детектирование в гематите II письма в ЖЭТФ, 1978, т. 27, вып. 6, стр. 333-336.

21. Красильников В.А., Гедройц А.А. Нелинейные явления при распространении упругих волн в твердых телах Н Вестн. МГУ, сер. 3, 1962, вып. 2, стр. 92-98.

22. Гольдберг З.А., О взаимодействии плоских продольных и поперечных волн II Акуст. журн., 1963, вып. 6, стр. 307-312.

23. Зарембо JI.K., Прохоров В.М .Генерация второй сдвиговой гармоники в средах с остаточными деформациями // Акуст. журн., 1975, т. 21, вып. 2, стр. 198-202.

24. Buck О., Morris W. L. Richardson J. М. Acoustic harmonic generation at unbonded interface and fatigue cracks // Appl. Phys. Lett., 1978, v. 33, pp. 371-373.

25. Гиц И.Д., Гущин B.B., Конюхов Б.А. Измерение нелинейных искажений звуковых волн в поликристаллическом алюминии при усталостных испытаниях И Акуст. журн., 1973, т. 19, № 3, стр. 491-499.

26. Comninou M., Dundurs J. Reflection and refraction of elastic waves in presence of separation // Proc. R. Soc., London, ser A, 1977, v. 356, pp.509-528.

27. Comninou M., Dundurs J. Singular reflection and refraction of elastic waves in presence of separation // J. Appl. Mech., 1978, v. 45, pp.548-552.

28. Comninou M., Dundurs J. Interfase separation in the transonic range caused by a plan stress pulse // J. Sound Vibr., 1979, v. 62, pp.317-325.

29. Comninou M., Dundurs J., Chez E.L. Reflection o/SH waves iin the presence of the slip and friction // J. Ac. Soc. Amer., 1979, v. 33, pp.798-793.

30. РуденкоО.В. Исследование новых физических принципов и методов нелинейной акустической диагностики твердых тел // Москва, Отчет по теме 2-91-53, каф.акуст., физ.фак. МГУ.

31. Островский JI.A. Нелинейные свойства упругой среды с циллиндрическими порами // Акуст. журн., 1989, т. 35, № 3, стр. 490-494.

32. Беляева И.Ю, Островский JI.A. Тиманин Е.М. Нелинейные свойства поросодержащих упругих сред // XI Всесоюзи. акуст. конф., секц. Б, Москва, изд. АКИН, 1991, стр. 125-128.

33. Ostrovsky L.A. Wave processes in media with °trong acoustic nonlinearity // J. Acoust. Soc. Am., 1991, v. 90, pp. 3332-3337.

34. Беляева И.Ю., Зайцев В.Ю., Островский JI.A. Нелинейные акустоупругие свойства зернистых сред, //Акуст. журн., 1993, т. 39, вып. 1, стр. 25-32.

35. Ко Сел Лен, Северин Ф.М., Солодоч И.Ю. Экспериментальное наблюдение влияния контактной нелинейности на отражение объемных и распространение поверхностных акустических волн II Акуст. журн., 1991, т. 37, вып. 6, стр. 1165-1169.

36. Solodov I.Yu. Ultrasonics of non-linear contacts: propagation, reflection, andNDE-applications, // Ultrasonics, 1998, v. 36, pp. 383-390.

37. Jonson K.L. Contact mechanics. Cambrige University, 1985, 425p.

38. Демкин Н.Б. Контактирование шероховатых поверхностей. М.: Наука, 1970.

39. Руденко О.В., Чинь Ань By Распределение микровыступов шероховатой поверхности по данным акустических измерений И Вестн. Моск. ун-та, сер. 3, 1993, т.34, № 5, стр. 94-97.

40. Guyer R.A. and McCall K.R. Hysteresis, Diskrete Memory and nonlinear wave propogation in rock: A new paradigm!I Phys. Rev. Lett., 1995, v. 74, pp. 3491-3494.

41. McCall K.R. and Guyer R.G. Equation of state and wave propogation in hysteretic nonlinear elastic materials // J. Geophys. Res., 1994, v. 99, pp. 23,887-23,897.

42. McCall K.R. Theoretical study of nonlinear elastic wave propogation // J. Geophys. Res., 1994, v. 99, pp. 2591-2600.

43. Guyer R.G., Johnson P.A. Nonlinear mesoscopic elastisity: Evidence for a new class of materials // Physics Today, April 1999, pp. 30-36.

44. Rischbieter F. Filter fur Oberflachenwellen und ihre Verwendung zur Messung der Nichtlinearitat einer akustischen Kontakts // 5-e Congress Internat. D'Acoustique. 1965, v.l, № D13.

45. Richardson J. M. Harmonic generation at an unbonded interface J'lanar interface between semi- infinite elastic media // Int. J. Eng. Sci., 1979, v. 17, pp. 73-85.

46. Rischbieter F. Messung der nichtlinear Schallverhaltens von Aluminium mit Hilte von Rayleihgwellen // Acoustica, 1967, v. 18, pp. 109-112.

47. Ко Сел Лен, Северин Ф. М., Солодоь И. Ю. Экспериментальное наблюдение влияния контактной нелинейности на отражение объемных и распространение поверхностных акустических волн П Акуст. журн., 1991, т. 37, вып. 6, стр. 1165-1169.

48. Баллад Е. М., Коршак Б. А., Можаев В. Г., Солодов И. Ю. Генерация третьей гармоники и акустическая нелинейность высших порядков в твердых телах // Вестн. Моск.ун-та, сер. 3,2001, № 6, стр. 44-48.

49. Амбарцумян С. А. Разномодульная теория упругости. М.: Наука, 1973.

50. Назаров В.Е, Островский Л.А. Упругие волны в средах с сильной аукстической нелинейностью // Акуст. журн., 1990, т. 36, вып. 1, стр. 106-110.

51. Мясников В.П, Топалэ В.И. Моделирование сейсмической анизотропии в литосфере, как разномодулъном упругом теле II Изв. АН СССР, Физика земли, 1987, № 5, стр. 22-30.

52. Назаров В.Е., Сутин А.М. Генерация гармоник при распространении упругих волн в твердых нелинейных средах // Акуст. журн., 1989, том 35, вып. 4, стр. 711-716.

53. Ostrovsky L.A. Wave processes in media with strong acoustic nonlinearity II J. Acoust. Soc. Amer., v. 90, pp.3332-3337.

54. Pedersen P.O. Subharmonics in forced oscillations in in dissipative systems. Part 1 // J. Acoust. Soc. Amer., 1935, v. 6, pp. 227-238.

55. Pedersen P.O. Subharmonics in forced oscillations in in dissipative systems. Part 2 // J. Acoust. Soc. Amer., 1935, v. 7, pp. 64-74.

56. Luukala M. Fine structure of fractional harmonics phonons // Phys. Letters, 1967, v. 25 A, pp. 76-77.

57. Luukala M. Threshold and oscillation of fractional phonons // Phys. Letters, 1967, v. 25A, pp. 197-198.

58. Adler L. and Breazeale M.A. Generation of fractional harmonics in a resonant ultrasonic wave system // J. Acoust. Soc. Amer., 1970, v. 48, pp. 1077-1083.

59. McLachlan N.W. Theory and application ofMathieu functions. London, 1947.

60. Eller A.I. Fractional-harmonic frequency pairs in non-linear systems I I J. Acoust. Soc. Amer., 1973, v. 53, pp.758-765.

61. Alippi A., Angelici M., Betucci A., and Germano M. Surface mapping of nonresonant harmonic and subharmonic generated modes in finite piezoelectric structures // Proc. of 16-th ISNA, Moscow, 2002, v. 2, pp. 759-762.

62. Alippi A., Angelici M., Betucci A., and Germano M. Nonresonant subharmonic mode generation in nonlinear vibration of piezoelectric structures // Proc.of 17-th Int. Congr. Acoust., Rome, 2001, pp.128-133.

63. Budd C., Dux. F. The effect of frequency and clearance variations on single-degree-of-freedom impact oscillators // J. Sound Vibr., 1995, v. 184, pp. 475-502.

64. Padmabhan C. and Singh R. Dynamic of piecewise nonlinear system subject to dualharmonic excitation using parametric continuation // J. Sound Vibr., 1995, v. 184, №5, pp. 767-799.

65. Shaw S.W., Holmes P.J. A periodically forsed piecewise linear oscillator I I J. Sound Vibr., 1983, v. 90, № l, pp.129-155.

66. Shaw S.W. Dunamics of harmonically exited systems having rigid amplitude constraints // J. Appl. Mech., 1985, v. 52, pp. 453-464.

67. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

68. Harris С.М. Shock and vibration handbook. McGraw-Hill, New York, 1961.

69. Мигулин B.B., Медведев В.И., Мустель E.P., Парыгин В.Н., Теория колебаний. М.: Наука, 1988.

70. Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968.

71. Kneubul F.K. Oscillations and waves. Springer, Berlin, 1997.

72. Nayfeh A. H., Mook D.T. Nonlinear oscillations. Wiley-Interscience Publication, New York, 1979, Chapt. 5, p.258.

73. Солодов И.Ю., Чин Ан By "Хлопающая " нелинейность и хаос при колебаниях контактной границы твердых тел // Акуст. журн., 1993, т. 39, вып. 5, стр. S04-910.

74. Minorsky N. Nonlinear oscillations. Pricenton, 1962.

75. Виноградова М.Б., Руденко О.В. Сухорукое А.П. Теория волн. М.: Наука, 1990.

76. Шмидт Г. Параметрические колебания. М.: Мир, 1978.

77. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гос. Тех. Изд-во Техн.-Теор. Лит-ры, 1956.

78. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.

79. Фейгенбаум М., Универсальность в поведении нелинейных систем Ц УФН, 1983, т. 141, вып. 2, стр. 343-374.

80. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы М.: Наука, 1980.

81. Beiersdorfei P., Wersinger J.M. Topology of the invariant manifolds of a period-doubling attractors for some forsed nonlinear oscillators // Phys. Lett., 1983, v. 96A, № 6, pp. 269-272.

82. Collet P., Eckmann J.P., Koch H. Period doubling bifurcations for families of a maps on R" //J. Stat. Phys., 1981, v. 25, pp. 1-14.

83. Croquette V., Poiton C. Cascade of period doubling bifurcations and large stochastisity in the motion of compass // J. Physique, 1981, v. 42, pp. 45-82.

84. Вул Е.Б., Синай Я.Г., Ханин KM. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм // УМН, 1984, т. 39, вып. 3, стр. 3-37.

85. Андронов А.А, Леонтович Е.А, Гордон И.И, Майер А.Г. Теория бифуркации динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967.

86. Вгоскет P., Lander L. Differentiable germs and catastrophes. Cambrige, 1975.

87. Chui S.T., Ma K.B. Nature of some chaotic states for Duffing*s equation // Phys. Rev. A, 1982, v. 26, № 4, pp. 2262-2265.

88. Hayashi C. The method of mapping with reference to the doubly asymptotic structure of invariant curves I I Int. J. Non-Linear Mech., 1980, v. 15, pp. 341-348.

89. Holmes R. Nonlinear oscillator with a strange attractor // Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1979, v. 292, pp. 419-448.

90. Желудев Н.И., Макаров В.А., Матвеева А.В., Свирко Ю.П. Структура хаоса при возбуждении нелинейного осциллятора с гармонической внешней силой // Вестн. Моск. Ун-та, сер. 3,1984, т. 25, № 5, стр. 106-109.

91. Baker G. L., Gollub J. P. Chaotic dynamic. An introduction. Cambrige University Press, 1992, p.82.

92. Коган В.П. Потеря устойчивости неподвижной точки в окрестности резонанса 1:3. Деп. в ВИНИТИ, 1985, № 8068-64.

93. Коган В.П., Неймарк Ю.И. Бифуркация фазового портрета в окрестности неподвижной точки при резонансе 1:3. // Днчамнка систем (оптимизация и адаптация), Горький, изд-во ГГУ, 1892, стр. 115-144.

94. Бабицкий В.И. Теория виброударных систем. М.: Наука, 1978, стр. 179,190.

95. Бабицкий В.И, Крупенин В.А. Колебания в сильно нелинейных системах. М.: Наука, 1985.

96. Бабицкий В.И., Коловский М.З,. К исследованию резонансных режимов в виброударных системах, //Изв. АН СССР, МТТ, 1976, № 4, стр. 88-91.

97. Андреев Н.Н. Технический амплитудометр II ЖПФ, 1925, т. 2, вып. 1-2, стр. 205-212.

98. Ко Сел Лен Нелинейные эффекты при распространении акустических волн на контактной границе твёрдых тел // Диссертация кандидата физ.-мат. наук, Москва, МГУ, 1992.

99. Солодов И.Ю., Коршак Б.А., Баллад Е.М. Неклассические свойства, эффекты и проявления контактной акустической нелинейности в твердых телах II Сборник трудов семинара научной школы профессора В.А. Красильникова, Москва, 2002, стр. 114-129.

100. Korshak В.А., Solodov I.Yu., Ballad E.M. DC-effects, subharmonics, stochasticity and "memory" for contact acoustic non-linearity // Ultrasonics, 2002, v. 40, pp. 707713.

101. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

102. Робсман В.А. Накопление и хаотическое развитие нелинейных акустических процессов при динамическом погружении геологических структур // Акуст. журн., 1993, т. 39, вып. 2, стр. 333-349.

103. Робсман В.А. Трансформация акустических спектров в неоднородных твердых средах при нелинейной деформации, //Акуст. журн., 1992, т. 38, в.1, стр. 129143.

104. Ballad E.M., Korshak B.A., Solodov I.Yu., Krohn N., and Busse G. Local Nonlinear and Parametric Effects for Non-Bonded Contacts in Solids // Proc. of 16-th International Symposium on Nonlinear Acoustics, Moscow, 2002, v. 2, pp. 727-734.

105. Зарембо JI.K., Красильников B.A., Случ B.H. и Сердобольская О.Ю. О некоторых явлениях при вынужденных нелинейных колебаниях акустических резонаторов И Акуст. журн., 1966, т. 12, вып. 4, стр. 486-487.

106. Короткое А.С., Славинский М.М.и.Сутин А.М. Изменение нелинейного акустического параметра стали при накоплении дефектов // Акуст. журн., 1994, т. 40, стр. 80-84.

107. Korotkov A.S., and Sutin А.М. Nonlinear Acoustics in Micro-inhomogeneous Media // Acoust. Lett., 1994, v. 18, pp. 59-65.

108. Армяков Д.В., Асаинов А.Ф., Коршак Б.А., Солодов И.Ю. Методы нелинейной акустодиагностики дефектов поверхности твердого тела И Дефектоскопия, 1998, №1, стр. 34-43.

109. Solodov I.Yu., Asainov A.F., Ко Sel Len Nonlinear SAW reflection: experimental evidence andNDE applications // Ultrasonics, 1993, v. 31, pp. 91 96.

110. Johnson P.A. The new wave in acoustic testing // Materials world, 1999, Sept., pp. 544-546.

111. Ballad E.M., Vezirov S.Yu., Pfleiderer K.,. Solodov I.Yu, and Busse G. Nonlinear modulation technique for NDE with air-coupled ultrasound, I I Ultrasonics, 2004, v. 42, pp. 1031-1036.