Движение кавитационных каверн в гидродинамических полях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Сиников, Валерий Михайлович

• Сиников, Валерий Михайлович
• кандидат физико-математических наук
• 2001

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сиников, Валерий Михайлович

Введение

1. Взаимодействие деформирующейся кавитационной полости с границами раздела и другими полостями

1.1. Постановка задачи о движении кавитационных полостей вблизи границ раздела.

1.2. Общее описание метода 'подвижных' потенциалов

1.3. Движение кавитационной полости вблизи плоской границы раздела.

1.3.1. Постановка задачи и метод ее решения

1.3.2. Анализ результатов расчетов.

1.4. Движение кавитационной каверны между двумя твердыми стенками.

1.4.1. Постановка задачи

1.4.2. Метод решения.

1.4.3. Анализ результатов расчетов.

1.5. Задача о взаимодействии двух кавитационных каверн

1.5.1. Постановка задачи

1.5.2. Метод решения

1.5.3. Анализ результатов.

Выводы.

2. Движение кавитационных полостей в гидродинамическом поле обтекаемого тела

2.1. О силе, действующей на сферу в неоднородном потоке идеальной жидкости

2.2. Уравнения движения сферической полости в потоке жидкости с учетом твердой границы раздела.

2.2.1. О расчете полей обтекаемых тел вращения.

2.2.2. Учет наличия пограничного слоя

2.2.3. Уравнения движения кавитационных пузырьков в поле обтекаемого тела.

2.2.4. Анализ результатов.

Выводы.

3. Задача о диффузии газа в поступательно перемещающуюся кавитационную полость

3.1. Постановка задачи

3.2. Метод решения

3.3. Анализ результатов.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Движение кавитационных каверн в гидродинамических полях»

Диссертация посвящена решениям ряда задач о движении кавитаци-онных каверн в гидродинамических полях. Указанная тематика является основой для исследований явления кавитации. Согласно общепринятой точки зрения явление кавитации представляет собой образование разрывов сплошности в жидкости, которую до того можно было рассматривать как непрерывную однородную среду. Имеющиеся в настоящее время данные свидетельствуют, что явления, сопутствующие разрывам жидкости, весьма сложны и требуют достаточно углубленного изучения. Разрывы возникают в тех участках объема жидкости, где в результате перераспределения давления, связанного с движением жидкости в гидродинамических или акустических полях, происходит местное понижение давления.

Явление гидродинамической кавитации характеризуется появлением в непрерывной жидкой среде парогазовых пузырьков, объем которых быстро возрастает по мере увеличения скорости движения жидкости и соответственно, снижения давления. При достаточно глубоком развитии кавитации вблизи поверхности обтекаемого тела образуются стацонарно свзанные с ним крупные кавитационные каверны и движение жидкости приобретает струйный характер.

Выводы, к которым приводит кинетическая теория жидкостей [25], свидетельствует о том, что чистые жидкости должны выдерживать растягивающие напряжения порядка сотен атмосфер. Однако, в реальных условиях жидкости практически не оказывают сопротивления разрыву. Объяснение этого состоит в том, что реальные жидкости не бывают чистыми, они всегда содержат микроскопические зародыши паро- газовой фазы. Эти "слабые" точки в жидкости, называемые кавитационными зародышами или ядрами кавитации, под действием сравнительно небольших растягивающих напряжений способны превращаться в макроскопические каверны. Если растягивающие напряжения возникают в потоке 5 жидкости у поверхности тела и кавитационные ядра попадают в область разряжения, то образуются, так называемые, кавитационные каверны и в результате в окрестности поверхности тела возникает кавитационное течение в пузырьковой форме. Эта форма кавитации - одна из наиболее распространенных. Ее изучение позволяет понять механизмы возникновения развития других, более сложных, форм кавитации [42].

Отдельная кавитационная каверна представляет собой область с формой близкой к сферической, которая заполнена паром и газом. Анализ динамики указанной области позволяет понять и описать структуру ка-витационного течения в целом.

Разрыв сплошности жидкости может также возникнуть и при снятии статического давления путем вакуумирования жидкости. В этом случае пузырьки образуются преимущественно вблизи границы раздела. Кавитация в форме множества быстрорастущих пузырьков может возникать и в поле акустической волны. Акустическая волна в жидкости может порождать пузырьки, движение которых, как и при гидродинамической кавитации, сопровождается такими эффектами, как кавитационная эрозия, кавитационный шум, дегазация жидкости, сонилюминисценция, химические реакции и т. п. В данном случае наблюдаемые эффекты характеризуют физическое явление, называемое акустической кавитацией.

Целый ряд из указанных явлений, сопутствующих кавитации, являются вредными. Однако, некоторые эффекты используются в народном хозяйстве в полезных целях. Этим, во многом, и объясняется актуальность исследований условий появления кавитации, ее развитие, а также сопровождающих ее эффектов. Важное место в указанных исследованиях занимают задачи о динамики одиночных кавитационных каверн в гидродинамических и акустических полях.

Достаточно подробные обзоры по упомянутым вопросам имеются в[56], [43], в которых явление кавитации и сопровождающие ее эффекты преимущественно рассматриваются на основе динамики одиночной полости. 6

Движение такой полости описывается дифференциальными уравнениями, полученными из уравнений гидродинамики в различных приближениях. Наиболее широко используются предположения о сферической форме поверхности полости, о ее неподвижности, несжимаемости жидкости. Предположение о несжимаемости приводит к дифференциальному уравнению, которое в дальнейщем будет называться модифицированным уравнением Релея. Это предположение представляет наибольший интерес с точки зрения получения качественной информации о полостях, находящихся в жидклсти. Как следует из целого ряда эспериментальных и теоретических исследований, это предположение успешно применяется при определении критических режимов гидродинамической и акустической кавитации, а также при определении параметров движения кавитационных полостей на начальных стадиях кавитации. В тех случаях, когда представляет интерес излучение полостью кавитационного шума, необходимо учитывать сжимаемость жидкости и использовать более выское приближение, называемое приближением Кирвуда- Бете. В этом случае скорость звука в жидкости является функцией движения. Это приближение плзволяет получить уравнения , пригодные для исследования процесса захлопывания каверны, т. е. когда радиус полости уменьшается во много раз по сравнению с его первоначальным значением. Большое влияние на образование и развитие кавитации и сопровождающих ее эффектов оказывают близость соседних кавитационных полостей и границ раздела [75] [50] [43] [42] , а также наличие относительной скорости поступательного движения полости . Первой попыткой оценки влияния абсолютно жесткой стенки на движение каверны принадлежит Г.А. Хорошеву [75]. Однако, в его решении центр каверны считался неподвижным. Такое предположение эквивалентно допущению о наличии силы, удерживающий центр каверны в фиксированном положении, что не соответствует действительности[42][11][51]. В работах Ю. JT. Левковского [50] [43] показано, что при учете поступательного движения наличие твердой стенки существенно снижает ин7 дуцированное давление и скорость замыкания газонаполненной каверны. В ряде работ на основе численного интегрирования системы уравнений, описывающих движение полости, исследуется поведение полости с учетом деформации ее поверхности [13][14][24]. Однако, в этих работах исследуется только задача захлопывания пустой полости. В то время как в реальных условия полости пульсируют и интенсивно перемещаются. Наиболее полный анализ закономерностей взаимодействия радиального и поступательного движения полости в невязкой жидкости у поверхности раздела выпонены в работах Ю. Л. Левковского [43]-[48], О. В. Воинова[13], И. Г. Щекина[35]. Показано, что полость находящаяся около жесткой плоской границы раздела, в результате захлопывания может приходить в соприкосновение с плоскостью . При этом, на стадии сжатия пузырька образуется высокоскоростная струя, напрвленная к границе раздела. Указанная струя может воздействовать на границу раздела, вызывая ее эрозию. Это огласуется с экспериментальными данными [42]. В работах [86] [13] исследуется динамика несферических газовых пузырьков в неоднородных полях давления с учетом их поступательного перемещения. В указанных работах установлено, что при внезапном изменении внешнего давления кавитационная полость, находящаяся в градиентном поле или имеющая начальную скорость поступательного перемещения, начинает ускоряться или замедляться в зависимости от соотношения между внутренним и внешним давлениями. При этом, на стадии сжатия может формироваться струя, напрвленная в сторону поступательного перемещения. На возникновение и развитие кавитации большое влияние оказывает диффузия в каверну растворенного в жидкости газа. Вследствии нарушения диффузионного равновесия на границе полости она может увеличивать свои средние размеры, что оказывает существенное влияние на ее динамику. Процесс диффузии в кавитационные полости исследовался большим числом авторов. Например,[2][43]. Полученные результаты удовлетворительно согласуются с результатами измерений размеров растущих или 8 растворяющихся газовых пузырьков [2]. Однако, большинство работ посвящено задаче диффузии газа в неподвижную полость. В работах [26][30] получены уравнения состояния, движущегося поступательно относительно жидкости, газового пузырька с учетом диффузии газа. Таким образом, как следует из обзора, в настоящее время продолжает интенсивно развиваться направление исследований динамики кавитационных полостей с учетом их поступательного перемещения, наличия границ раздела, соседних полостей и эффектов диффузии. Уточнению и развитию некоторых результатов, полученных в перечисленных выше работах, и посвящена настоящая диссертация.

Цель работы состоит в исследовании динамики движения кавитацион-ной полости вблизи границ раздела и других полостей с учетом деформации их поверхностей и пульсаций. Проведение анализа влияния пульсаций полости и наличие, в окрестности ее поверхности, твердых границ раздела на характер развития деформации поверхности полости. Проверить рамки применимости предположений о сферичности поверхности кавитационных полостей. Исследовать влияние поступательного перемещения пульсирующей сферической полости на процесс диффузии газа в нее из окружающей жидкости. А также провести анализ движения сферических кавитационных полостей в окрестности поверхности обтекаемого потоком жидкости тела вращения. При этом ставилась задача оценки влияния на характер их движения твердой границы раздела и пограничного слоя.

Научная новизна работы. В работе рассматривается ряд задач о движении пульсирующих деформирующихся кавитационных полостей вблизи границ раздела и других полостей. Важность разработки методик и решения подобных задач связана с качественными исследоания процессов кавитационной эрозии рабочих поверхностей гидромашин, процессов коагуляции кавитационных пузырьков, акустических шумов и т.п. Для решения указанных задач в работе предлагается метод подвижных потенциалов, который при относительной простоте позволяет получить доста9 точно точные результаты о развитии деформаций поверхности полости.

В работе рассматривается задача о процессе диффузии газа в поступательно перемещающуюся пульсирующую сферическую полость. Указанная задача имеет большое значение для оценки процессов диффузии газа в кавитационные полости, которые учитываются и используются в химической технологии, гидроакустике, при проектировантт гидромашин. Для решения указанной задачи в работе используется численная процедура, основаннаф на использовании разностных сеток. Полученные результаты показывают, что при определенных условиях наличие поступательного движения и пульсаций значительно интенсифицируют этот процесс.

Рассматривается также задача о движении кавитационных полостей в гидродинамическом поле обтекаемого тела вращенияю. Для решения указанной задачи в работе выводится выражение для силы , дейстующей на пульсирующую поступательно перемещающуюся сферическую полость у плоской твердой границы раздела. С использованием указанного выражения выводятся уравнения движения полости в поле обтекаемого тела. Получены результаты, позволяющие получить качественную картину характера движения одиночной полости.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты позволяют более полно понять характер движения кавитационных поверхностей в гидродинамических потоках, оценить влияния различных факторов на развитие кавитации. Кроме того, в работе получены уравнения и разработаны численные методы решения задач о движении как сферических, так и деформирующихся полостей, которые могут использоваться для дальнейших исследований кавитационных явлений.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

- Всесоюзной конференции " Акустическая кавитация и применение ультрозвука", Славское,1979 год;

- Областной научно- технической конференции, Куйбышевб 1980 год;

10

- IV Всесоюзной научной школе " Гидродинамика больших скоростей", Чебоксары, 1989 год;

- V Всесоюзной научной школе " Гидродинамика больших скоростей", Чебоксары, 1992 год;

- III Всероссийский симпозиум " Математическое моделирование и компьютерные технологии", Кисловодск, 1999 год.

- Международной конференции " Потоки и структуры в жидкостях", Москва, 2001 год.

Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и заключения.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Сиников, Валерий Михайлович

Выводы

В данном разделе рассматривается задача о диффузии газа в поступательно перемещающуюся пульсирующую полость. Для решения указанной задачи была разработана численная процедура реализующая метод конечных разностей. Полученные результаты качественно соответствуют другим аналогичным работам и дополняют их результаты по оценкам влияния пульсаций и поступательного перемещения полости на процесс диффузии газа. В частности, показано, что наличие поступательного перемещения полости значительно усиливает диффузию газа.

Заключение

Кратко сформулируем основные результаты, полученные в диссертационной работе.

1. Разработан численный метод решения осесимметричных задач движения полости вблизи границ раздела и при наличии других полостей, с учетом деформации ее поверхности и пульсаций.

2. Получены и проанализированы решения задач о движении пульсирующей газовой полости вблизи плоской границы раздела, задачи о захлопывании полости между двумя плоскими границами раздела и задачи о взаимодействии двух полостей. Пби этом учитыва

77 лась деформация их поверхностей. Для задачи о движении полости у плоской границы раздела были получены следующие результаты a) В процессе пульсаций полость приближается к границе раздела и до момента образования струи может совершить несколько пульсаций. Время формирования струи зависит от интенсивности ее пульсаций, начального удаления от границы раздела, величины сил поверхностного натяжения. b) На стадии расширения полость полностью не восстанавливает сферическую форму, что оказывает влияние на последующий характер изменения ее формы. c) Струя на поверхности полости может формироваться на стадии ее расширения. Это связано с тем, что частицы в точках поверхности, находящиеся на противоположной границе раздела стороне, приобретают на стадии захлопывания большую по величине скорость и не успевают затормозиться к концу стадии сжатия, поэтому на стадии расширения продолжают движение к границе раздела. В результате, происходит формирование струи. d) Полученные результаты также сравнивались по характеру изменения со временем объема и поступательного перемещения с результатами, получаемыми с помощью модели, основанной на предположении о сферической форме полости. Оказалось, что до момента образования струи, получаемые значения указанных параметров почти полностью совпадали.

Для задачи о захлопывании полости между двумя плоскими границами были получены следующие результаты: а) В случаях, когда расстояние между границами раздела соизме-пимо с ттиаметпом полости, то на оппеттеленной стадии захлопьт

78 вания каверны на ее поверхности формируется кольцевая струя, что должно приводить к дроблению полости. b) При уменьшении расстояния между границами раздела значительно снижается скорость захлопывания кавитационной полости. c) При удалении второй стенки место образования кольцевой стру! смещается к полюсу полости, противоположному ближайшей из границ. d) Расчеты с учетом сил поверхностного натяжения показали существенное влияние их величины на форму полости. С увеличение параметра /, что соответствует уменьшению размеров полости, ее форма в процессе схлопывания имеет более сферо-подобную форму.

Для задачи о взаимодействии двух полостейa) При сжатии каверны перемещаются друг к другу, причем меньшая из них перемещается более интенсивно. b) Рост скорости взаимного перемещения зависит от начального удаления центров полостей. Уменьшение этого расстояния приводит к увеличению их сближения и уменьшению скоростей их захлопывания. c) На некоторой стадии захлопывания каверн, в точках поверхности малой из них, на стороне, противоположной большой полости, возникает направленная к ней струя.

3. Получено выражения для силы, действующую на сферу переменного объема, в неоднородном потенциальном потоке вблизи границы раздела.

79

4. Получены уравнения движения сферических пульсирующих полостей в неоднородном потенциальном потоке вблизи границы раздела.

5. Проведен анализ и разработана процедура расчета движения сферических газовых каверн в плоском пограничном слое.

6. Разработана процедура расчета потенциала течения при потенциальном осесимметричном обтекании тела вращения.

7. Проведены расчеты и их анализ для плоской задачи о движении кавитационных каверн в поле обтекаемого кругового цилиндра.

8. Разработана численная процедура решения задачи о диффузии газа в поступательно перемещающуюся сферическую полость. Были получены следующие основные результаты: a) Если внешнее давление сначала уменьшается, а затем увеличивается, то на стадии расширения масса газа в полости увеличивается на большую величину, чем затем уменьшается на стадии сжатия. b) С увеличением начальной скорости поступательного перемещения диффузия газа в полость интенсифицируется. Это связано с тем, что в процессе движения полость все время попадает в новые слои жидкости, обогащенной газом. c) С увеличением амплитуды пульсаций полости, в обогащенной газом жидкости, процесс диффузии газа также возрастает.

Таким образом, для интенсификации диффузионных процессов в газожидкостной среде необходимо обеспечить направленное движение газовых пузырьков, одновременно с их интенсивными пульсациями.

80

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сиников, Валерий Михайлович, 2001 год

1. Алексидзе М. А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям. -М.: Наука, 1978.-352 с.

2. Акуличев В. А. Кавитация в криогенных и кипящих жидкостях. -М.: Наука, 1978.-287 с.

3. Akulichev V.A.Cavitation nuclei and threshold of acoustic cavitation in ocean water. // In. Bubble Dynamics and Interface Phenomena. Kluwer. Academ. Publish. Netherlands,1994,p.171-178

4. Akulichev V.A. and Bulaev V.A. On the method of acoustic spectroscopy of bubbles in liquids.//Third Int.Conf. on Theoretical & Computational Acoustic. Naval Undersea Warface Center Division,1997,p.84-97.

5. Альбом течений жидкости и газа: Пер. с англ. / Сост. М. Ван-Дайк.-М.: Мир, 1986.-184 е., ил.

6. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен. Т. 1, 2.-У1.: Мир, 1990.

7. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. -М.: Наука, 1984.-520 с.

8. Бэтчелор Дж .Введение в динамику жидкости -М.:Мир, 1973. -758 с.

9. Валландер С. В. Лекции по аэрогидромеханике.-Л.:Изд-во Ленингр. ун-та, -1978.-296 с.

10. Воинов О.В., Петров А.Г. Движение сферы переменного объема в идеальной жидкости около твердой поверхности.// Изв.АН СССР.Механика жидкости и газа. -1971 .-№ 5,-С. 94-103.

11. Воинов О.В., Головин A.M. Уравнение Лагранжа для системы пузырей изменяющихся радиусов в жидкости малой вязкости. //Изв. АН СССР,Мех. жидкости и газа.-1970.- № З.-С. 117-123.

12. Воинов О.В. О силе, действующейна сферу в неоднородном потоке идеальной жидкости. // Журнал ПМТФ.- 1973.-С. 63-66.81

13. Воинов О.В., Воинов В.В. О движениии и заполнении полостей в безграничной жидкости и около плоскости. // Ж. прикл. мех. и техн. физ- 1975.-С. 89-95.

14. Воинов О.В., Воинов В.В. Численный метод расчета нестационарных движений идеальной несжимаемой жидкости со свободными поверхностями. //Доклады АН СССР.- 1975.-ТОМ. 221.-№ З.-С. 559-562.

15. Воинов О.В., Воинов В.В. О схеме захлопывания кавитационного пузырька около стенки. //Доклады АН СССР.- 1976.-ТОМ. 227.— С. 63-66.

16. Воинов В.В., Воинов О.В. О движении и захлопывании полостей в безграничной жидкости и около полскости. //ПМТФ.-1975.1,-С. 89-95.

17. Волков П. К., Кузнецов Б. Г., Христов X. JL Метод численного решения задач динамики тяжелой идеальной жидкости со свободной поверхностью. //Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск.-1980.-ТОМ. П.-№ 2, -С. 22-33.

18. Гарвей Э., Мак- Элрой У., Уайтли А. Об образовании полостей в воде. // Вопросы физики кипения.-М.: Мир, 1964.-С. 17-28.

19. Андерсон Д.,Таннехил Дж.,Плетчер Р.Вычислительная гидродинамика и теплообмен: В 2-х т.Т.1:-М.:Мир.1990.-384 с.

20. Головин A.M., Петров А.Г. О движении двух пузырьков в жидкости малой вязкости. //Ж. прикл. мех. и техн. физики.-,1968.- № 3,-С. 29-36.

21. Головин A.M. Уравнения Лагранжа для системы пузырьков в жидкости малой вязкости.// ПМТФ- 1967 Т. 6.-№ 4.-С.20-27.

22. Агрест Э.М., Кузнецов Г.Н. Дрейф газовых каверн в неоднородном звуковом поле.// Акуст. ж 1972 - Т. 18.2.-С. 168- 174.82

23. Агрест Э.М., Кузнецов Г.Н. Динамика распределения пузырьков по размерам в акустических полях.// Акуст. ж.- 1974,- Т.20,- № 3,-С.345-351.

24. Дежкунов Н. В., Кувшинов В. И., Кувшинов Г. И. Несферическое захлопывание кавитационного пузырька между двумя твердыми стенками.// Акуст. ж.- 1980, Т. 25,- № 5,- С.695-699.

25. Корнфельд. Упругость и прочность жидкостей. М.:ГИТТЛ.~ 1951.

26. Калашников Ю. Н.Влияние относительной скорости газового пузырька в жидкости на изменение его размеров.// ПМТФ.- 1964,-№ 3 ,- С. 105-112.

27. Кобелев Ю.А., Островский JI.A. Акустико- электростатическая аналогия и взаимодействие газовых пузырьков в жидкости. // Акуст. ж.-1984,-Т. 30.- № 5.-С.715-717.

28. Назаров В.Е., Сутин A.M., Щумилин В.П. Влияние газовых пузырьков на акустическое поле в резонаторе. // Акуст. ж.-1986,-Т. 32.-ВЫП. 4,-С.480-485.

29. Порфирьев Н.П.Взаимодействие пульсирующей в идеальной жидкости сферы с твердой стенкой.//Проблемы гидродинамики больших скоростей. Чуваш.ун-т. Чебоксары, 1994.-С.201-214.

30. Колесниченко JI. П., Листров А. Т. Диффузионный рост пузырька, обтекаемого потоком жидкости.// Сб. научных трудов фак-та ПММ ВГУ. -1971 .-№ 2,-С. 91-96.

31. Корец B.JI. Некоторые вопросы образования элементарной кави-тационной области.// Акустика и ультразвуковая техника.-ВЫП. 11.-1976.-С. 11-16.

32. Кузнецов Г.Н., Щекин И.Е. Взаимодействие пульсирующих пузырьков в вязкой жидкости.// Акуст. ж.-1972,-Т. 18.- ВЫП. 4,1. С.565-570.83

33. Кузнецов Г.Н., Щекин И.Е. Коалесценцил газовых пузырьков в жидкости. //Сб.научных трудов фак-та прик. мат. и мех. ВГУ.-1971.-№ 2. -С.79-85.

34. Щекин И.Е. Расчетный анализ процесса коагуляции пузырьков в звуковом поле. //Акуст.ж.-1973.-Т. 19.-ВЫП. 4,-С. 608-613.

35. Щекин И.Е. Движение пузырька в поле сферической колеблющейся поверхности. // Труды симпозиума по физике акусто-гидродинамических явлений. М.: Наука. -1975,-С.51- 56.

36. Кузнецов Г.Н., Щекин И.Е. Влияние вязкости на динамику захлопывающейся полости, движущейся поступательно.//Акуст. ж.1973.-Т. 19.-ВЫП. 5,-С.727-735.

37. Кузнецов Г.Н., Щекин И.Е. К вопросу возникновения кавитации на поверхности излучателя. // Акустика и ультразвуковая техника.-1980.-№ 15-С.28-31.

38. Кузнецов Г.Н., Щекин И.Е. Динамика паровой полости, движущейся поступательно. // Изв.АН СССР. Механика жидкости и газа.1974.- № 4,- С. 131-137. ь

39. Кузнецов Г.Н., Щекин И.Е. О распределении давления вокруг полости. // Акуст. ж.- 1975.- Т. 21.№ 3,- С. 475-477.

40. Ильичев В.И., Канзеба А.А., Кузнецов Г.Н., Листров А.Т. Движение газового пузырька в гидродинамическом поле обтекаемого тела. // Труды Акустического института.- М.:1969.- ВЫП. 6, -С. 136-144.

41. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели.-М.: Наука, 1973.-416 с.

42. Кнэпп Р., Дейли Дж., Хэммит Ф. Кавитация-М.: Мир.-1974.-688 с.

43. Левковский Ю.Л. Замыкание сферического газонаполненного пузырька вблизи границы раздела.// Акуст.ж.- 1974.-Т. 20.1. ВЫП. 1,-С.62-66.84

44. Левковский Ю.Л. Структура кавитационных течений. -Л.: Судостроение, 1978.-224 с.

45. Левковский Ю.Л. Динамика сферической кавитационной каверны. //Труды Акустического института.- 1969 ВЫП. 6.-С. 102-124.

46. Левковский Ю.Л. Поле давлений, вызванных замыканием кавитационной каверны. //Акуст.ж.-1969.-Т. 15 ВЫП. 2.-С.239-243.

47. Левковский Ю.Л. Рост и замыкание газового пузырька в вязкой жидкости. //Акуст.ж.- 1974.-Т. 20 ВЫП. 2.-С. 274- 279.

48. Миронов М.А. Влияние микротечений на рост газовых пузырьков, вызванный выпрямленной диффузией//Акуст.ж.- 1977.-Т. 22.-ВЫП. 2-С. 828- 830.

49. Лойцянский Л.В.Механика жидкости и газа.-М.:Наука,1987.840 с.

50. Коровкин А.Н., Левковский Ю.Л. Исследование замыкания кавитационной каверны вблизи твердой стенки. //Инж.-физ. ж.-1967.-ТОМ. 12.-№ 2.-С.246-253.

51. Овсянников Л. В. О всплытии пузыря.- В кн. Некоторые проблемы математики и механики.Л.: Наука. 1970.

52. Савченко Ю. Н., Семененко В. Н., Осипенко С. Б. Механизм взаимодействия каверны с пузырьковым потоком. // Докл. АН УССР.-Сер. А.-1985.-Ne 9.-С. 39-42.

53. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. -М.: Наука, 1978.-336 с.

54. Nigmatulin R.I.,Akhatov l.Sh.Mathimatical modelling of a single bubble and multibubble dynamics in a liquid. //Proc. Int. Conf. on Multiphase Systems, Ufa-2000,-P.294-301.

55. Нигматулин Р.И., Ахатов И.Ш., Вахитова H.K. О сжимаемости жидкости в динамике газового пузырька.

56. Докл.АН РФ.-1996.-Т.-358.С.-6.

57. Перник А.Д. Проблемы кавитации. -Л.: Судостроение, 1966.-243 с.85

58. Самарский А.А. Теория разностных схем.-М.: Наука, 1977.-656 с.

59. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений.-М.: Наука, 1976.

60. Самарский А.А., Николаев Б.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978.-589 с.

61. Сиников В.М. О силе , действующей на сферу переменного объема в потенциальном потоке жидкости вблизи твердой стенки. / / Механика деформируемых сред. Куйбышевский госуниверситет.-1979.-Вып. 3.С.121-125.

62. Сиников В.М. О взаимодействии двух несферических кавитационных каверн. // Молодые ученые и специалисты на рубеже десятой пятилетки.Тезисы докладов. -Куйбышев.-1980. С. 52.

63. Сиников В.М. Плоская задача об обтекании диполя потоком двухфазной жидкости. // Механика деформируемых сред.Куйбышевский госуниверсмтет.-1977.-Вып. 2.С.85-89.

64. Сиников В.М. К задаче о взаимодействии двух кавитационньш каверн. II Аэродинамика летательных аппаратов и их систем.-Куйбышев.-1987. С. 122-129.

65. Сиников В.М. К задаче о захлопывании кавитационной каверны между двумя твердыми стенками. //IV Всесоюзная научная школа "Гидродинамика больших скоростей"/Тезисы докладов. -Чебоксары.-1989.С. 57.86

66. Сиников В.М. К задаче о захлопывании кавитационной каверны между двумя стенками. // Гидродинамика больших скоростей.-Чебоксары.-1990.-Вып. З.С.111-117.

67. Kuznetsov G.N., Sinikov V.M. Convective diffusion of gas in pulsating bubble moving translationaly. // Int. conf. "Fluxes and Structures in fluids". Abstracts, Moscow, 2001. p.123-124.

68. Kuznetsov G.N., Sinikov V.M. Convection and pulsation of deformed stream- gas cavities in inhomogeneous hydrodynamic fluids. //Int. conf. "Fluxes and Structures in fluids". Abstracts, Moscow, 2001. p.122-123.

69. Тихонов A.H., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. -М.: Наука, 1979.-248 с.

70. Стечкин С. В.,Субботин Ю. Н. Сплайны в вычислительной математике. -М.: Наука, 1979.-248 с.

71. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкости. Т. 1, 2. -М.: Мир, 1991.

72. Хэмминг Р.В. Численные методы для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1972.-400 с.

73. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики-Новосибирск: Наука, 1967.-196 с.

74. Хорошев Г. А. О влиянии стенки на процесс захлопывания кавита-ционных полостей.// Инж.-физ. ж.-1963.-№ 1.-С. 59-65.

75. Хорошев Г. А. О захлопывании паровоздушных кавитационных полостей. //Акуст. ж.,1963.Т. 9.-№ 3,-С. 340-345.87

76. Си Дин- Ю. Рост пузырька в вязкой жидкости, вызванный кратковременным импульсом. //Теоретические основы инженерных расчетов-1970.Т. 924,-С. 121-124.

77. Митчел Т. М.,Хэммит Ф. Г. Несимметричное схлопывание ка-витационного пузырька . //Теоретические основы инженерных расчетов.-1973.Т. 95.-№ 1,-С.98-107.

78. Клинг К. Л.,Хэммит Ф. Г. Исследование с помощью киносъемки захлопывания кавитационных пузырьков, индуцированных искровым зарядоми. //Теоретические основы инженерных расчетов.-1972.Т. 94.-№ 4,-С. 130-138.

79. Пучка Г. Н. Движение газовых пузырьков в движущейся жидкости при воздействии вибраций. // Аналитические методы исследования динамики и устойчивости сложных систем.-Киев.:Ин-т математики.—-1982.-С. 70-75.

80. Пучка Г. Н., Кузьма В. М. Движение газовых пузырьков в жидкости содержащей неподвижную пульсирующую сферу. // Научные труды. -Иваново,1982.-С. 134-138.

81. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. -М.: Наука, 1974. -711 с.

82. Чэпмен Р.Б., Плессет М. С. Нелинейные эффекты при захлопываниь почти сферической каверны в жидкости. //Теоретические основы инженерных расчетов.-1972.Т. 94.-№ 1,-С. 158-162.

83. Zwick S. A. Behavier of small permanent gas bubbles in a liquid.Part 1. //J. Math, and Phys.-1958.-VOL. 37.-№ 3. -P. 246-268.

84. Plesset M.S., Chapman R.B. Collapse of an initially spherical vapour cavity in the neighbourhood, of solid boundary. //J.Fluid Mech.-1971.-VOL. 47-PART 2.-P.283-290.

85. Shima A.,Sato Y. The collapse of bubble attached to solid wall. //Ingenieur- Archiv.-1979.-№ 48.-P.85-90.88

86. Ueki H., Kimoto H., Momose К. Behavior of spark- induced bubble between parallel walls.//Bulletin of ASME.-1984.-VOL. 27.-№ 229.-P.1358-1365.

87. Matsumoto Y., Aoki M. Behavior of spark- induced bubble between parallel walls.//Bulletin of ASME.-1984.-VOL. 27-№ 229.- P.1358-1365.

88. Zul W. Global collocation approximations of the flow and temperature fields around a gas and vapour bubble. //Int. J. Heat Mass Transfer.-1987-VOL. 20.-P.487-498.

89. Chahine G.L. Experimental and asymptotic study of nonspherical bubble collapse.//Applied Scientific Reseach.-1982.-VOL. 38.-P.187-197.

90. Gibson D.C., Blake J.R. The growth and collapse of bubbles near deformable surface.//Applied Scientific Reseach.-1982.-VOL. 38-P.215-224.

91. Gibson D.C., Blake J.R. The growth and collapse of bubbles near deformable surface.//Applied Scientific Reseach.-1982.-VOL. 38-P.215-224.

92. Kinjo Т.,Matsumoto H. Cavitation processes and negative pressure. Fluid Phase Equilibria,1998-vol. 144.-№ 1-2.-P.331-342.

93. Yen H.C.,Yang W.J. Dynamics of gas bubble moving in an inviscid liquid subjected to a sudden pressure change. //J. Appl. Phys.-1969.-VOL. 40.-№ 4.-P. 1763-1768.

94. Buravova S.N. Cavitation-Assisted Erosion of Surface. //Zh. Tekh. Fiz.-1998.-VOL. 68.-№ 9.-P. 110-114.

95. Van Wijngaarden L. Hydrodynamics interaction beetween gas bubbles in liquid. //J. Fluid. Mech.-1976.-VOL. 77.-PART l.-P. 27-44.

96. Gunerov N.A. Dynamics of Vapour Bubbles in Acoustic Fields //Int.

97. Conf. of Multiphase Systems,Ufa,Russia.-2000.-P.15-17.

98. Rasziller H., Guiasu Т., Durst F. Optimal Approximation of the Added

99. Mass Matrix of Two Spheres of Unequal Radii by an Asymptotic Short Distance Expansion.//ZAMM.1990. 70-№ 2.-P.83-90.