Дискретные модели механических и биомеханических систем с односторонними связями: Приложение к задачам биомеханики скелетно-мышечных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор технических наук Колесников, Геннадий Николаевич

• Колесников, Геннадий Николаевич
• доктор технических наук
• 2004

Оглавление диссертации доктор технических наук Колесников, Геннадий Николаевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. МОДЕЛИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ

1.1. Практический опыт и теория

1.2. Основная проблема теории и пути ее решения

1.3. Квадратичное программирование и решение основной проблемы

1.4. Интерпретация проблемы как линейной задачи о дополнительности

1.5. Выводы

ГЛАВА 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ

2.1. Гипотеза исследования

2.1.1. Двухсторонняя связь как частный случай односторонней связи

2.1.2. Очередность перехода односторонних связей в состояние «выключено»

2.1.3. Очередность перехода односторонних связей в состояние «включено»

2.2. Обоснование гипотезы об очередности переключения односторонних связей

2.3. Вариант метода последовательного выключения связей

2.4. Жордановы исключения в моделях механических систем с односторонними связями

2.5. Шаговый метод определения неотрицательного решения системы линейных уравнений

2.5.1. Алгоритм и его обоснование

2.5.2. Физическая интерпретация алгоритма

2.5.3. Об одной возможности уменьшения объема вычислений

2.5.4. Обобщение алгоритма на случай ограничений в виде системы равенств и неравенств

2.6. Примеры

2.6.1. Старт алгоритма в предположении, что односторонние связи «выключены»

2.6.2. Старт алгоритма в предположении, что односторонние связи «включены»

2.7. Соотношение объемов вычислений при анализе линейной и нелинейной моделей

2.8. Метод последовательного выключения связей

2.8.1. Пример

2.8.2. Оценка объема вычислений

2.9. Метод последовательного включения связей и алгоритм метода сил

2.10. Полная система уравнений для дискретных моделей механических систем с односторонними связями

2.11. О законе очередности в моделировании механических систем с односторонними связями

2.12. О решении полной системы уравнений

2.13. Модель с двумя подсистемами

2.13.1. Истоки проблемы

2.13.2. Две подсистемы уравнений

2.13.3. Пример

2.14. О двух модификациях метода последовательного выключения связей

2.15. Резюме: обобщенные алгоритмы метода сил, метода перемещений и смешанного метода для моделей с односторонними связями

2.16. О единственности решения экстремальной задачи min ф(х) хек п для квадратичной положительно определенной формы ф{х)

2.17. Обоснование алгоритм решения экстремальной

Задачи min ф(х)

2.18. Выводы

ГЛАВА 3. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ СИСТЕМ С

ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ

3.1. Уравнения движения

3.2. Столкновение с жесткой преградой

3.3. Соударение с горизонтальной опорой

3.4. Сухое трение и вязкое сопротивление в односторонних связях при косом ударе

3.4.1. Движение без повторных соударений

3.6. Выводы

ГЛАВА 4. МОДЕЛИ С ОДНОСТОРОННИМИ СВЯЗЯМИ В ЗАДАЧАХ БИОМЕХАНИКИ

СКЕЛЕТНО-МЫШЕЧНЫХ СИСТЕМ

4.1. О задачах биомеханики скелетно-мышечных систем

4.1.1. Биомеханические модели скелетно-мышечных систем

4.1.2. О применении биомеханических моделей скелетно-мышечных систем

4.1.3. Методы моделирования

4.1.4. Об управлении параметрами состояния сухожильно-мышечных комплексов

4.1.5. Проблема избыточности в биомеханике скелетно-мышечных систем

4.1.6. О критериях оптимальности и корректности их применения

4.1.7. Псевдообращение в решении проблемы избыточности

4.1.8. Полная система уравнений для геометрически нелинейной модели скелетно-мышечной системы

4.1.9. О необходимости учета геометрической нелинейности

4.2. Модель с односуставными мышцами

4.3. Двухсуставные сухожильно-мышечные комплексы

4.4. Декомпозиция задачи

4.5. Зависимость усилий от активации мышц

4.6. О методике проверки гипотез об оптимальности скелетно-мышечных систем

4.7. Применение полученных результатов в интересах травматологии

4.8. Выводы 193 ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дискретные модели механических и биомеханических систем с односторонними связями: Приложение к задачам биомеханики скелетно-мышечных систем»

В природе и технике часто встречаются объекты, адекватными физическими моделями которых служат деформируемые системы, перемещения компонентов которых ограничены только в одном направлении. По этой причине в математическом описании таких моделей необходимыми оказываются системы неравенств.

В реальных объектах односторонние ограничения перемещений осуществляются с помощью некоторых устройств, называемых в механике односторонними, или неудерживающими, связями. Такие связи не препятствуют раздельному движению тел, но «включаются» при появлении контакта и противодействуют взаимопроникновению тел. Например, дискретное множество связей в виде некоторых податливых элементов, сопротивляющихся только сжатию, может имитировать взлетно-посадочную полосу. При взлете летательного аппарата имеет место сход с односторонних связей, при приземлении летательного аппарата эти связи включаются в работу. Другие примеры легко найти в таких областях человеческой деятельности, как строительство (ванты подвесных конструкций, балки и плиты на упругом основании, массив сыпучего грунта), машиностроение (детали механизмов и машин с неизбежными в них зазорами) и т. д.

К объектам с односторонними связями, которые встречаются буквально на каждом шагу, относятся скелетно-мышечные системы. В биомеханических моделях роль односторонних связей, сопротивляющихся только растяжению, играют сухожильно-мышечные комплексы, в которых согласованное по величине и времени изменение натяжения и расслабления приводит в движение компоненты скелета. Сухожильно-мышечные комплексы являются односторонними внутренними связями биомеханической модели опорно-двигательного аппарата позвоночного. Перемещение же позвоночного в пространстве возможно, если существует нечто, известное как твердь и моделируемое системой односторонних внешних связей, сопротивляющихся только надавливанию.

В отличие от обычной двухсторонней связи, для которой возможно единственное состояние «включено», односторонняя связь существует в одном из двух своих возможных состояний — «связь включена» или «связь выключена». Подобный принцип функционирования компонентов часто встречается в природных и технических системах. К числу таких компонентов могут быть отнесены гидравлический клапан, диод в электротехнике и т. д. Отличительная особенность рассматриваемых механических систем - их податливость (хотя отдельно взятые компоненты системы могут быть абсолютно жесткими), вследствие чего изменение параметров состояния (реакций связей и совместных с ними перемещений) описывается кусочно-линейными зависимостями. Точки перелома на графиках этих зависимостей соответствуют моментам перехода односторонних связей из состояния «включено» («выключено») в состояние «выключено» («включено»).

Обобщая, можно сказать, что односторонние связи встречаются в природе и технике едва ли не чаще, чем двухсторонние связи. Однако данное обстоятельство не имеет адекватного отражения в литературе по моделированию механических систем. Безусловно, теория механических систем с односторонними связями в значительной мере базируется на результатах, полученных при изучении систем с двухсторонними связями. Очевидно, однако, что системы с односторонними связями нуждаются в более полном изучении. Такую исторически сложившуюся ситуацию можно объяснить сложностью задач анализа напряженно-деформированного состояния механических систем с большим числом односторонних связей. Ускоренное развитие методов решения подобных задач стало возможным с появлением высокоскоростных компьютеров, совершенствованием методов прикладного анализа и, главное, с осознанием математического моделирования как методологии, которая играет важную синтезирующую роль, не подменяя собой математику, механику и другие научные дисциплины, но опираясь на их методы [149].

В выполненном исследовании роль методологии математического моделирования проявилась в оказавшемся весьма эффективным синтезе результатов анализа физических и формальных аспектов основной проблемы теории механических систем, в которых наличие односторонних связей влечет за собой появление нелинейности (имеет место так называемая конструктивная нелинейность [107, 125]). Эффективность такого синтеза в выполненном исследовании подтверждена тем, что с опорой на методологию математического моделирования удалось разработать новый шаговый алгоритм решения линейной задачи о дополнительности, который в задачах рассматриваемого класса оказался более эффективным по сравнению с другими известными методами решения таких же задач. Данный алгоритм составил основу эффективных в вычислительном отношении математических моделей механических систем с односторонними связями. Это позволило на завершающем этапе исследования рассмотреть модель произвольной скелетно-мышечной системы как объект с односторонними связями и обосновать эффективный в вычислительном отношении подход к биомеханическому анализу таких систем. Данный подход имеет достаточно строгое математическое обоснование (разделы 2.16,2.17,4.1.6,4.1.9).

Сложность задач моделирования механических систем с односторонними связями объясняется быстрым ростом числа возможных состояний механической системы при увеличении числа таких связей. Если в механической системе имеется п односторонних связей, то возможны 2" вариантов состояния, из которых осуществляется только один вариант, отвечающий принципу минимума потенциальной энергии [125, 135]. Переменный характер внешних воздействий влечет соответствующее изменение наборов включенных и выключенных односторонних связей, что при большом их числе усложняет задачу инженера по анализу напряженно-деформированного состояния конструкции с целью обеспечения надежности при достаточной ее экономичности. Основная проблема теории рассматриваемых механических систем заключается в определении осуществляющегося состояния системы односторонних связей

Не менее сложными являются и задачи биомеханики скелетно-мышечных систем, необходимость решения которых существует в травматологии [224], спорте [66] и в других областях [67, 131, 218]. Решение обозначенных задач невозможно без использования соответствующих математических моделей, алгоритмов и программных комплексов. Актуальность разработки и совершенствования таких моделей и алгоритмов обусловлена необходимостью прогнозирования сил в суставах при лечении переломов [110], сил в мышцах при выполнении движений в спорте, в трудовых процессах [10] и т.д. В этих случаях адекватная математическая модель является важнейшим инструментом прогнозирования и анализа внутренних сил, поскольку невозможны прямые измерения сил в мышцах in vivo. Заметим, что известные измерения сил in vivo [194, 229, 327] остаются в настоящее время уникальными экспериментами, результаты которых могут быть использованы при тестировании соответствующих математических моделей биомеханических систем.

Трудности, с которыми разработчикам программных комплексов приходится сталкиваться в осуществлении компьютерного анализа механических и биомеханических систем с односторонними связями, быстро растут с увеличением числа таких связей в системе, что уже отмеалось. Граница, за которой получение точного решения задачи о действительном состоянии системы односторонних связей становится процедурой технически невозможной или катастрофически неэффективной в вычислительном отношении, достигается быстро даже при использовании высокоскоростных компьютеров [261, 297, 298]. Эти затруднения были неизбежным следствием отсутствия адекватного математического описания такого физического явления, как переход системы односторонних связей в альтернативное состояние. Мы говорим «были», поскольку в предпринятом исследовании сделан очередной шаг в изучении этого явления, а именно, установлен закон очередности перехода односторонних связей в альтернативное состояние [82]. Полученный результат составил основу разработанных методов и соответствующих алгоритмов решения задачи о напряженно-деформированном состоянии механической системы с односторонними связями [83, 84]. Наибольшее практическое значение имеет предложенный в работе обобщенный алгоритм метода перемещений.

Метод прост в компьютерной реализации. Его осуществление сводится к несложным модификациям известных программных комплексов линейного, например, конечно-элементного, расчета конструкций. При этом ограничения на число односторонних связей диктуются теми же причинами, что и ограничения на число двухсторонних связей в указанных программных комплексах. Иначе говоря, предложено обобщение и построен метод, одинаково пригодный к анализу механических систем с односторонними и двухсторонними связями. При этом, что любопытно, наличие односторонних связей при использовании предложенного алгоритма численного анализа механической системы с учетом конструктивной нелинейности не усложняет расчет по сравнению с однократным линейным расчетом аналогичной системы с двухсторонними связями.

В предложенном методе двухсторонняя связь с ее единственно возможным состоянием «включено» естественным образом интерпретируется как частный случай односторонней связи, которая существует в одном из двух своих взаимоисключающих состояний — «включено» или «выключено».

Данное исследование появилось в связи с необходимостью компьютерного анализа напряженно-деформированного состояния биомеханических двухкомпонентных систем «кость — фиксатор», которые создаются хирургами-травматологами при оперативном лечении переломов бедренной кости [72, 110]. В таких системах металлические фиксаторы играют роль несущей конструкции при нагрузках, идентичных таковым для неповрежденной кости в повседневных движениях. Фиксаторы предназначены для обеспечения стабильного, анатомически правильного положения фрагментов кости в период послеоперационной реабилитации. Травматологи обозначают данное качество системы термином «стабильность». Двухкомпонентная система «кость - фиксатор» в период послеоперационной реабилитации функционирует как составная часть более сложной биомеханической многокомпонентной системы, каковой является скелетно-мышечная система с имплантированным фиксатором [110] или эндопротезом в других случаях [72]. Создание адекватной математической модели для количественной оценки стабильности оказалось весьма сложной задачей, решение которой потребовало разработки нового подхода к анализу сил, действующих в сухожильно-мышечных комплексах и в суставах при заданной конфигурации скелета.

Эмпирические и теоретические аспекты, связанные с развитием математического моделирования скелетно-мышечных систем, обсуждаются в публикациях, которые образуют непрерывный поток, где определяющее значение принадлежит статьям, публикуемым в журналах «Journal of Biomechanics», «Biological Cybernetics», «Computers in Biology and Medicine», «Gait and Posture», «Физиология человека». В публикациях, включая Интернет-ресурсы, накоплен огромный материал, но только немногие исследования получили широкое признание специалистов или изменили представление о функционировании биомеханических систем [224]. Многие вопросы требуют дальнейшего изучения. Анализ литературы выявил актуальность не только хорошо известной проблемы избыточности в биомеханике скелетно-мышечных систем [67], но и других вопросов, происхождение которых и пути их решения требуют специального рассмотрения, выходящего за рамки данной работы. Камнем же преткновения на пути создания адекватных биомеханических моделей скелетно-мышечных систем оказалась проблема создания эффективного в вычислительном отношении метода определения действительного состояния односторонних связей при большом их числе в деформируемой механической системе.

Таким образом, попытка решения задачи о стабильности остео-синтеза натолкнулась на весьма сложную проблему. В итоге предпринятое исследование приобрело комплексный характер, что предполагает использование некоторых данных из смежных областей. Необходим, кроме того, учет интересов потенциальных пользователей создаваемой математической модели, в данном случае - травматологов. Решение появляющихся проблем не является прерогативой одного специалиста. В этих условиях методология математического моделирования [149] позволяет найти эффективный путь к цели между «рифами» эклектики, избыточной формализации, ограниченности эмпирики.

Изучение литературы по теме работы позволило обосновать актуальность поисков решения проблем, определивших цель исследования: уменьшение объема вычислений при моделировании дискретных механических и биомеханических систем с жесткими и податливыми односторонними связями. Достижение данной цели предполагает:

1) выявление и осуществление новых возможностей в моделировании механических систем с односторонними ограничениями параметров состояния и создание более эффективных в вычислительном отношении методов и алгоритмов решения задачи о действительном состоянии механической системы с большим числом односторонних жестких и податливых связей;

2) развитие методов математического описания и численного анализа биомеханических моделей скелетно-мышечных систем как объектов с большим числом односторонних связей.

Достижение цели исследования предполагает анализ предшествующего опыта, формулировку гипотез, их верификацию.

При выборе и корректировке пути к достижению указанной цели автор стремился следовать часто цитируемым в литературе методологическим принципам, которые в XIV веке сформулировал Уильям Ок-кам [48, 53]. Согласно одному из принципов, решение задачи не должно быть избыточно сложным по сравнению с самой задачей. В современной вычислительной математике, по существу, применяется принцип минимальной сложности моделей, методов, алгоритмов [149]. Минимальная сложность модели может быть достигнута, если, в соответствии с принципом Оккама, не умножать сущностей без необходимости. В этом случае результат также будет соответствовать принципу Оккама: «Чем ближе мы находимся к некоторой истине, тем проще оказываются основные законы, ее описывающие».

В данной работе представлена попытка решения достаточно актуальных проблем с опорой на перечисленные принципы, конкретизацией которых в интересующей нас области исследований является методология математического моделирования [149].

В первой главе внимание акцентировано на актуальности совершенствования математических моделей механических систем с односторонними связями. Кратко описана история развития подходов, применяемых при построении исследуемых моделей. Тенденцией развития математического описания математических моделей механических систем является упрощение используемых методов и алгоритмов с целью повышения их вычислительной эффективности. Выявлены затруднения, возникающие при компьютерной реализации известных моделей. Затруднения выражаются в часто неприемлемо большом времени счета и обусловлены несовершенством математических моделей, используемых при решении основной проблемы теории механических систем с односторонними ограничениями перемещений.

По результатам анализа литературы установлено, что отсутствие метода анализа больших механических систем, обладающего достаточно высокой вычислительной эффективностью, затрудняет решение ряда важных задач, прежде всего в области машиностроения и биомеханики. Исходя из этого определена главная задача исследования, заключающаяся в разработке пути решения основной проблемы теории механических систем с односторонними связями, более эффективного в вычислительном отношении по отношению к известным методам решения проблемы при моделировании стержневых систем с большим числом жестких и податливых односторонних связей.

Во второй главе представлены новые элементы теории дискретных механических систем с односторонними связями. Введено в рассмотрение понятие порога переключения односторонней связи. С учетом данного понятия реальная двухсторонняя связь может толковаться как частный случай односторонней связи. Выполнен анализ физических и формальных аспектов основной проблемы теории механических систем с односторонними связями. На основе анализа сформулирована гипотеза об очередности перехода односторонних связей из текущего их состояния в альтернативное состояние. Правомерность гипотезы доказана с использованием принципа минимума потенциальной энергии деформации, а на уровне формального рассмотрения -с использованием аппарата жордановых исключений.

Полученные результаты теоретического исследования основной проблемы теории механических систем с односторонними связями послужили основой для создания нового подхода и соответствующих алгоритмов анализа напряженно-деформированного состояния рассматриваемых стержневых систем. Разработанные алгоритмы имеют достаточное теоретическое обоснование и могут рассматриваться как обобщения известных алгоритмов метода сил, метода перемещений и смешанного метода на случай стержневых систем с односторонними связями и жесткими компонентами. В моделируемой механической системе могут быть как двухсторонние, так и односторонние связи произвольного вида.

Разработанные алгоритмы имеют ограничения на общее количество связей. Природа ограничений не отличается от той, которая имеет место в случае использования метода Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений, а также в конечно-элементных моделях, реализованных в известных программных комплексах численного анализа механических систем.

Во второй главе рассмотрены примеры, которые показывают, что применительно к моделированию стержневых систем такое усовершенствование не требует дополнения известных программных комплексов сложными процедурами. При этом объем вычислений, сопровождающих анализ конструктивно-нелинейной механической системы с 2п неизвестными параметрами состояния по одному из предложенных алгоритмов не превышает объема вычислений при однократном решении системы п уравнений методом Гаусса. Данный результат может быть воспринят как парадоксальный, но лишь на первый взгляд.

Приведены доказательства формулируемых предложений, численные примеры и графические иллюстрации. Выявлены, в частности, новые возможности повышения вычислительной эффективности и универсальности алгоритмов, открываемые предложенной методикой применения жордановых исключений и исключений по методу Гаусса в математическом описании механических систем с односторонними связями. Ключевая роль в обеспечении высокой вычислительной эффективности предлагаемых методов и алгоритмов принадлежит выявленной в диссертации очередности перехода односторонних связей в альтернативное состояние.

Разработанная шаговая схема решения задачи сводится к поиску координат точки условного минимума с ограничениями в виде системы равенств и нестрогих неравенств. Эта же схема может рассматриваться и как поиск неотрицательного решения системы п линейных алгебраических уравнений с 2п неизвестными. Найдены условия, при выполнении которых на очередном шаге одно из нестрогих неравенств гарантированно осуществляется в виде равенства. Доказано, что при установлении однопараметрического воздействия механическая система с односторонними связями не возвращается в ранее пройденное состояние. Данное обстоятельство использовано в целях повышения вычислительной эффективности алгоритма.

Материалы второй главы (разделы 2.16, 2.17) теоретически обосновывают одно из направлений в моделировании стержневых систем с односторонними связями, которое (направление) появилось исторически первым, но не получило необходимого развития.

Разработка достаточно эффективных в вычислительном отношении методов и алгоритмов анализа состояния механических систем с односторонними ограничениями перемещений создает новые возможности для развития способов решения задач динамики таких систем с использованием подходящих шаговых процедур. Данное положение также нашло отражение в выполненном исследовании.

Приложение разработанных алгоритмов к некоторым задачам динамики механических систем с односторонними связями рассмотрено в третьей главе. С точки зрения методологии данного исследования движение механической системы с односторонними связями интерпретируется как очередность состояний этой системы, упорядоченных во времени и в пространстве. Это методологическое положение реализовано на уровне математической модели аппроксимацией дифференциального уравнения движения его конечно-разностным аналогом с шагом по времени. Эффективность дискретной модели продемонстрирована при решении тестовых задач о столкновении системы двух тел с жесткой преградой и о соударении с горизонтальной опорой.

Достоверность результатов численного моделирования подтверждена их совпадением с аналитическими решениями, известными в теории механических соударений. Реалистичные результаты получены также при решении представленной в третьей главе задачи о косом ударе деформируемого тела без учета его вращения. При моделировании учтено изменение в процессе соударения сил сухого трения в области пятна контакта и вязкого сопротивления в односторонней связи, которая (связь) в процессе движения неоднократно переходит из состояния «включено» в состояние «выключено».

Полученные результаты позволили расширить круг задач и с использованием численных методов рассмотреть на примерах некоторых закономерности движения того же тела без повторных соударений. Результаты численного моделирования согласуются с описанными в литературе данными.

В четвертой главе внимание концентрируется на другой области применения результатов выполненного исследования, которая связана с анализом биомеханических аспектов в травматологии, в частности -с прогнозированием стабильности остеосинтеза при лечении переломов проксимального метаэпифиза бедра. В появляющихся в этой связи задачах требуется, прежде всего, достаточно достоверное определение сил в суставах и в мышцах травмированной конечности. Представляя собой с точки зрения механики естественную систему с односторонними связями, костно-мышечная система травмированной конечности является очевидным объектом математического моделирования с использованием разработанных во второй главе методов и алгоритмов. И потому неудивительно, что в области построения математического описания биомеханических моделей скелетно-мышечных систем существовала проблема, которая не могла быть решена без использования достаточно универсальных и экономичных по времени счета алгоритмов. Такие алгоритмы, базирующиеся на использовании полной системы уравнений, разработаны и представлены в четвертой главе. Их применение иллюстрируется решением примеров.

В четвертой главе показана неправомерность расширительного толкования известной гипотезы об оптимальности управления состоянием мышц со стороны центральной нервной системы и некорректность использования известных критериев оптимальности взамен геометрических и физических соотношений.

Рассмотрен известный по литературе способ учета геометрической нелинейности в биомеханической модели скелетно-мышечной системы с использованием полной системы уравнений, записанных в дифференциальной форме. Выявлена неадекватность такого подхода, приводящая к неоправданному увеличению объема вычислений. Показана достаточность более простых геометрически линейных соотношений в математическом описании исследуемых моделей, предназначенных для прогнозирования внутренних сил по заданному движению.

Предложена записанная в виде матричных дробно-рациональных функций модель зависимости усилий в системе сухожильно-мышечных комплексов от уровня активации мышц.

Рассмотрены тестовые примеры, анализ результатов решения которых подтверждает адекватность моделей и алгоритмов, разработанных с использованием выдвинутых положений.

В заключительной части формулируются общие выводы по работе.

В приложении 1 приведено известное описание итерационного метода Лемке и решение двух тестовых примеров по разработанному в диссертации шаговому алгоритму, который является более эффективной в вычислительном отношении альтернативой указанному методу при решении задач рассматриваемого класса.

Приложение 2 включает в себя иллюстрации и некоторые комментарии к биомеханической модели костно-мышечной системы тазобедренных узлов человека, разработанной с использованием полученных в диссертации результатов.

Научная новизна работы определяется следующим.

1. Сформулирована и обоснована гипотеза об очередности перехода односторонних связей в действительное состояние при установлении воздействия на механическую систему. С применением выявленного закона очередности разработан эффективный в вычислительном отношении подход к моделированию механических систем с односторонними связями. Раскрыты причины зацикливания и отсутствия сходимости алгоритма расчета рассматриваемых систем, появившегося исторически первым, но не имевшего математического и достаточного физического обоснования.

2. Найден и математически обоснован новый алгоритм решения линейной задачи о дополнительности в случае положительно определенной матрицы коэффициентов. На основе этого алгоритма разработаны обобщения известных методов для моделирования систем с ограничениями параметров состояния в виде нестрогих неравенств. Предложен метод последовательного выключения связей, который требует для расчета конструктивно-нелинейной механической системы с 2п неизвестными параметрами состояния не большего объема вычислений, чем однократное решение системы п линейных алгебраических уравнений

3. Разработана методика использования полученных результатов при численном решении отдельных задач динамики с учетом переменных сил сухого трения и вязкого сопротивления в односторонних связях.

4. На основе методологии математического моделирования выполнен анализ известных подходов к решению задач биомеханики скелетно-мышечных систем. Установлена неадекватность использования критериев оптимальности в известных подходах. Найдено и на уровне алгоритма реализовано решение проблемы избыточности в биомеханике (в задаче определения сил в сухожилиях и в суставах по заданным координатам жестких звеньев скелета). С учетом выявленного закона очередности разработан подход к построению биомеханических моделей скелетно-мышечных систем произвольного вида.

5. Разработаны в соавторстве с д. м. н., проф. Р.И. Мельцером конструктивные решения фиксаторов, предназначенных для использования при лечении переломов шейки бедра. Новизна технических решений подтверждена авторскими свидетельствами на изобретения.

Достоверность результатов моделирования механических систем с односторонними связями при статическом и динамическом воздействиях подтверждена совпадением полученных в диссертации численных решений тестовых задач с известными по литературе точными решениями [125]. Адекватность результатов моделирования биомеханической системы с односторонним связями, а именно — скелетно-мышечной системы тазобедренных суставов человека подтверждена их соответствием опубликованным в статье [194] данным физических измерений сил в тазобедренных суставах, а также данным электромиографии [34, 35] и клинических наблюдений [110].

Практическая значимость:

1. Построены эффективные в вычислительном отношении алгоритмы компьютерного анализа конструктивно нелинейных систем с жесткими и податливыми односторонними связями. Предложен алгоритм, который требует для расчета конструктивно-нелинейной механической системы с 2п неизвестными параметрами состояния не большего объема вычислений, чем однократное решение системы линейных алгебраических уравнений с п неизвестными.

2. Предложено обобщение алгоритма метода перемещений, не требующее для компьютерного осуществления создания принципиально новых комплексов программ. Необходима лишь надстройка для управления очередностью стандартных преобразований линейных уравнений в соответствии с установленным критерием.

3. С применением разработанных алгоритмов построена биомеханическая модель костно-мышечной системы тазобедренных узлов человека. Модель, реализованная в виде программы, использована в исследованиях биомеханических аспектов стабильности остеосинтеза переломов бедра. Обоснована избыточность учета геометрической нелинейности в математических моделях скелетно-мышечных систем, предназначенных для прогнозирования внутренних сил по заданному движению. Данный результат позволил существенно упростить математическое описание биомеханической модели скелетно-мышечной подсистемы, обеспечить адекватность и вычислительную эффективность компьютерной версии модели.

4. Полученные результаты нашли применение при разработке новых конструкций остеофиксаторов, а также в научно-исследовательской работе по совершенствованию методик лечения переломов и в процессе подготовки специалистов в Петрозаводском государственном университете.

Положения, выносимые на защиту.

1. Алгоритм решения линейной задачи о дополнительности с положительно определенной матрицей коэффициентов. Элементы теории, относящиеся к выявленному пути решения основной проблемы в моделировании деформируемых систем с односторонними связями. Гипотеза об очередности перехода односторонних связей в альтернативное состояние, ее физическое и математическое обоснование.

2. Обобщенный алгоритм метода перемещений для моделирования механических систем с односторонними связями.

3. Базирующийся на методологической основе математического моделирования подход к построению алгоритмов биомеханического анализа скелетно-мышечных систем.

4. Результаты практического применения предложенных моделей, алгоритмов и их компьютерной версии при разработке технических решений остеофиксаторов, новизна и полезность которых подтверждены авторскими свидетельствами на изобретения.

Апробация работы. Материалы диссертации были представлены на следующих конференциях, съездах и семинарах: • VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001);

20-ая Международная конференция «Математические модели механики сплошных тел. Методы конечных и граничных элементов» (Санкт-Петербург, 2003);

X и XII международные конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам (Переславль-Залесский, 1999; Владимир, 2003); семинар академика Н. Ф. Морозова (С-Петербург, 2004);

III-VII Всероссийские конференции по биомеханике (Н. Новгород, 1996, 1998, 2000, 2002, 2004);

Междисциплинарная конференция с международным участием «Новые биокибернетические и телемедицинские технологии XXI века для диагностики и лечения заболеваний человека» (Петрозаводск, 2003);

Международная научно-методическая конференция «Университеты в образовательном пространстве региона» (Петрозаводск, 1999);

Научная конференция "Современные технологии в травматологии и ортопедии" (Москва, ЦИТО, 1999);

- VI съезд травматологов-ортопедов Прибалтийских республик (Таллинн, 1990; семинар в Институте прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН (Петрозаводск, 2004); семинар по перспективам развития эргономической биомеханики (Севастополь, 1990); семинары кафедр механики и математического моделирования систем управления Петрозаводского госуниверситета (1998-2004). ряд региональных конференций, доклады на которых перечислены в автореферате диссертации.

Публикации. Результаты исследования представлены в 39 публикациях, основными из которых являются одна монография и 9 статей, включая описания к двум авторским свидетельствам на изобретения.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, раздела с основными выводами, списка литературы (327 наименований) и приложений. Общий объем работы 267 страниц.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Колесников, Геннадий Николаевич

4.8. Выводы

Перечислим наиболее значимые, на наш взгляд, результаты, отраженные в четвертой главе. Основное внимание в данной главе обращено на исследование биомеханических аспектов определения сил в компонентах скелетно-мышечной системы произвольного вида. В таких системах физиологически предопределены односторонние ограничения на параметры состояния компонентов, в связи с чем необходимо применение для их анализа моделей, описанных в предыдущих главах данной работы.

В четвертой главе рассмотрен с точки зрения механики механизм управления силами в сухожильно-мышечном комплексе.

Проанализированы известные подходы, применяемые при построении биомеханических моделей скелетно-мышечных систем. Рассмотрены причины появления проблемы избыточности в биомеханике скелетно-мышечных систем, изучены известные способы решения данной проблемы. Показана некорректность применения критериев оптимальности при решении проблемы избыточности в известных алгоритмах прогнозирования сил в компонентах биомеханических моделей скелетно-мышечных систем. Предложен путь решения проблемы с использованием известной из механики полной системы уравнений, записанной в виде соотношений конечных величин. Разработанные алгоритмы проиллюстрированы решением тестовых примеров.

Рассмотрена известная методика учета геометрической нелинейности в математическом описании исследуемых моделей. По результатам анализа биомеханических аспектов функционирования скелетно-мышечных систем найдены основания для предположения о достаточности геометрически линейных соотношений в математическом описании моделей. Правомерность данного предположения подтверждена при сопоставлении результатов численного моделирования с данными измерений сил в тазобедренных суставах, а также с данными электромиографии и клинических наблюдений. Подтверждение выдвинутого предположения создает основу для построения новых эффективных в вычислительном отношении биомеханических моделей скелетно-мышечных систем, предназначенных для прогнозирования сил в их компонентах по заданному движению. Эта новая возможность использована при решении задач биомеханического анализа как поврежденной, так и физиологически нормальной костно-мышечной системы тазобедренных суставов в интересах травматологии.

Кроме того, установлены зависимости сил в податливых компонентах физической модели от произвольного изменения их жесткости. Эти зависимости, полученные в виде матричных дробно-рациональных соотношений, предложено использовать для моделирования изменений сил в компонентах скелетно-мышечной системы, наблюдаемых при изменении активации мышц.

Достоверность результатов численного моделирования с использованием разработанных подходов и алгоритмов обусловлена их теоретическим обоснованием и подтверждена адекватностью известным по литературе данным физических измерений сил в тазобедренных суставах.

Новизна и практическое значение полученных результатов подтверждены их использованием в течение ряда лет в научно-исследовательской работе специалистами в области травматологии. В частности, на технические решения фиксаторов, которые были разработаны в соавторстве с д.м.н., профессором Р. И. Мельцером и предназначены для использования при лечении переломов проксимального метаэпифиза бедра, получены два авторские свидетельства на изобретения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Односторонние связи в различных своих воплощениях встречаются в природе и в технике едва ли не чаще, чем обычные двухсторонние связи, традиционно изучаемые в механике. Теория, на которой базируется создание математических моделей механических систем с односторонними связями, появилась относительно недавно и в настоящее время находится в стадии интенсивного формирования. Системы с односторонними связями оказались существенно более сложными для анализа по отношению к системам с двухсторонними связями. Основная причина затруднений заключается в том, что односторонняя связь существует в одном из двух своих возможных состояний «включено» или «включено», в то время как для двухсторонней связи возможно только одно состояние «включено». Использование алгоритмов математического программирования в известных работах и возможностей современных компьютеров позволило существенно расширить круг решаемых на практике задач анализа механических систем с односторонними связями.

Однако возникающие при компьютерном анализе таких систем затруднения выражаются часто в неприемлемо большом времени счета, что обусловлено несовершенством известных математических моделей. Возможности компьютерного анализа механических систем с односторонними связями в настоящее время существенно ограничены по сравнению с возможностями анализа гораздо более детально изученных конструкций с двухсторонними связями. Очевидно, для разработчиков программных комплексов и других специалистов желательным было бы изменение сложившейся ситуации и выравнивание указанных возможностей. Выравнивание возможностей, что также очевидно, означало бы достижение качественно нового уровня в математическом моделировании механических систем с односторонними связями.

В диссертационном исследовании предложен и достаточно строго обоснован на физическом и математическом уровнях обобщенный алгоритм метода перемещений, одинаково эффективный в вычислительном отношении при моделировании механических систем с одно-и двухсторонними связями. При этом двухсторонняя связь рассматриваются как частный случай односторонней связи, которая (теоретически) всегда находится в состоянии «включено». Предложены также два других алгоритма, не лишенные практического смысла, но представляющие в большей степени теоретический интерес.

Вычислительная эффективность указанного алгоритма, на первый взгляд, парадоксальна (конструктивно-нелинейный расчет не сложнее линейного). Такая непривычно высокая для нелинейных расчетов вычислительная эффективность является следствием, как представляется, достаточно полной адекватности математической модели ее физическому прототипу. Создание адекватной математической модели стало возможным исключительно за счет использования выявленного в ходе диссертационного исследования закона очередности перехода односторонних связей в действительное состояние. Данное утверждение об очередности появилось в рамках выполненного исследования первоначально в виде гипотезы, сформулированной автором на основе анализа физического содержания основной проблемы механики стержневых систем с ограничениями параметров состояния в виде нестрогих неравенств. Достаточно строгое математическое обоснование правомерности гипотезы приведено в диссертации, а известные по литературе тестовые примеры, иллюстрирующие эффективность алгоритма в вычислительном отношении, рассмотрены в как в основном тексте, так и в приложении к диссертации.

Эффективность указанного выше алгоритма выражается не только в уменьшении объема вычислений, необходимых для точного решения задачи определения действительного состояния системы односторонних связей. Данный алгоритм, как следует из материалов исследования, не требует для своего компьютерного воплощения создания принципиально новых программных комплексов. Принципиально необходимо лишь изменение очередности исключения неизвестных, выполняемых при решении системы уравнений с использованием метода Гаусса. При этом система уравнений формируется по стандартным методикам, которые реализованы в известных программных комплексах конечно-элементного анализа. Для определения указанной очередности предложен и теоретически обоснован критерий, вычисление которого может быть сведено к поиску наименьшего из отрицательных элемента в векторе свободных членов указанной системы уравнений.

Ограничения в случае использования разработанного алгоритма диктуются теми же соображениями, что и при компьютерном анализе механических систем с обычными двухсторонними связями и при решении системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

Эффективность разработанных алгоритмов подтверждена с использованием тестовых примерах, точные решения которых известны по литературе. При этом рассмотрены как задачи статики, так и отдельные задачи динамики (в частности, задачи о движении с соударениями для системы двух тел с односторонними связями, о косом ударе тяжелой частицы с учетом переменных сил сухого трения и вязкого сопротивления в односторонних связях). Результаты численного моделирования при решении тестовых задач идентичны известным по литературе решениям, которые были найдены другими способами.

Анализ результатов численного моделирования косого удара (приземления) тяжелой деформируемой частицы и последующего движения без повторных соударений позволил детализировать некоторых известные закономерности такого движения на рассмотренном примере. Данный материал представлен в третьей главе.

Естественными прототипами механических систем с односторонними связями являются скелетно-мышечные системы. Прогнозирование сил в компонентах костно-мышечной системы, например, тазобедренных суставов человека необходимо для оценки стабильности остеосинтеза при лечении переломов, а также для оценки надежности эндопротезирования. Существует множество других важных задач травматологии, профилактики травматизма, оптимизации движений в спорте и в трудовых процессах, где также необходимо прогнозирование внутренних сил по заданному движению. Однако, если задачи биомеханики скелетно-мышечных систем в случае физиологической нормы отнести к стандартным и условно считать их исследованными в достаточной степени, то такие же задачи в случае переломов и других патологий опорно-двигательного аппарата требуют учета ряда особенностей. То обстоятельство, что движения пациентов в процессе лечения переломов достаточно медленные, упрощает процедуру решения задачи, позволяя ограничиться в большинстве случаев рамками статики.

Однако препятствием на пути решения таких задач было отсутствие достаточно эффективного подхода к построению биомеханических моделей скелетно-мышечных систем произвольного вида. С появлением и с использованием указанного выше разработанного в диссертации алгоритма удалось преодолеть основную часть проблем, сопровождавших, в частности, создание компьютерных моделей костно-мышечной системы тазобедренных узлов в целях анализа биомеханических аспектов стабильности остеосинтеза при лечении переломов проксимального метаэпифиза бедра. Результаты данной части диссертационной работы нашли ряд применений в медико-технических исследованиях специалистов соответствующего профиля при совершенствовании методик лечения переломов проксимального метаэпифиза бедренной кости.

Если говорить о научной ценности результатов, имеющих отношение к моделированию скелетно-мышечных систем, то следует обратить внимание на ряд отраженных в литературе фактов, невольно сдерживающих развитие методов и алгоритмов такого моделирования. Эти факты в ряде случаев говорят о неадекватном, явно усложненном описании биомеханических моделей скелетно-мышечных систем, предназначенных для прогнозирования внутренних сил по заданному движению или по заданной конфигурации скелетной системы. Неадекватность выражается в использования гипотетических критериев оптимальности взамен геометрических и физических соотношений, которые известны в механике деформируемого тела. Данные критерии появились в известной литературе по биомеханике как результат избыточно широкого толкования гипотезы об оптимальности управления функционированием мышц со стороны центральной нервной системы. Гипотеза, вообще говоря, не встречает возражений. Однако неправомерность ее применения в задачах биомеханики выражается в том, что центральной нервной системе приписывается несвойственная ей функция решения чисто механической проблемы статической неопределимости (см., например, [305]). Неадекватность применения гипотезы явилась причиной неполноты математического описания биомеханических моделей скелетно-мышечных систем. Неполнота математического описания модели ускользала от внимания исследователей, в связи с чем в семидесятых годах XX века появился термин «проблема избыточности в биомеханике».

В данной работе с использованием полной системы уравнений найдено и реализовано на уровне алгоритмов решение указанной проблемы избыточности. Предложен отличающийся адекватностью и вычислительной эффективностью новый подход к построению биомеханических моделей скелетно-мышечных систем.

Применение разработанных алгоритмов, предназначенных для использования в биомеханических моделях скелетно-мышечных систем, проиллюстрировано решением тестовых примеров.

Рассмотрена с точки зрения механики модель механизма управления силой натяжения сухожильно-мышечного комплекса.

Выполнен анализ известной методики учета геометрической нелинейности в математическом описании исследуемых моделей. Найдены основания для предположения о достаточности геометрически линейных соотношений в математическом описании моделей при прогнозировании внутренних сил по заданной конфигурации скелетной системы. Правомерность данного предположения подтверждена при сопоставлении результатов численного моделирования с данными измерений сил в тазобедренных суставах, а также с данными электромиографии и клинических наблюдений.

С учетом полученных данных разработанный подход может быть рекомендован для использования при построении эффективных в вычислительном отношении биомеханических моделей скелетно-мышечных систем, предназначенных для прогнозирования сил в их компонентах по заданной конфигурации жестких звеньев скелетной системы. Эта новая возможность использована при решении задач биомеханического анализа как поврежденной, так и физиологически нормальной костно-мышечной системы тазобедренных суставов в интересах травматологии.

Установлены зависимости сил в податливых компонентах физической модели от изменения их жесткости. Данные зависимости получены в виде матричных дробно-рациональных соотношений, они могут быть использованы при оценке приращений сил в компонентах скелетно-мышечной системы, наблюдаемых при изменении активации мышц.

Перспективы развития работы связаны с применениями предложенного шагового алгоритма решения линейной задачи о дополнительности с положительно определенной матрицей коэффициентов как альтернативы известному итерационному методу Лемке. В этой связи определенный интерес может представлять использование нового алгоритма при разработке математических моделей механического взаимодействия балок и плит с основанием при сложных схемах воздействия, а также плит покрытия и основания дорожных и аэродромных покрытий, моделирования причин расслоения трехслойных и других подобных конструкций. Опыт применения данного метода указывает на возможности повышения вычислительной эффективности алгоритмов решения линейной задачи о дополнительности не только с симметричной матрицей коэффициентов, но и с положительно определенными матрицами иной структуры, которые встречаются в других приложениях.

Перспективы развития диссертационной работы связаны также с применениями разработанного подхода к построению биомеханических моделей скелетно-мышечных систем в многочисленных и разнообразных задачах статики и динамики таких систем как в физиологической норме, так и при патологиях. Важной представляется обеспечиваемая разработанным подходом возможность проверки некоторых гипотез о функционировании скелетно-мышечных систем, связанных, в частности, с проверкой адекватности известных по литературе критериев оптимальности таких систем и уточнение области применения этих критериев. Осуществление этих возможностей на стыке наук, очевидно, требует участия в совместных исследования специалистов других областей.

Список литературы диссертационного исследования доктор технических наук Колесников, Геннадий Николаевич, 2004 год

1. Абрамов JL М. Математическое программирование / JI. М. Абрамов, В. Ф. Капустин. JL: Изд-во ЛГУ, 1981. 328 с.

2. Айзерман М. А. Классическая механика / М. А. Айзерман. М.:1. Наука, 1980. 368 с.

3. Александер Р. Биомеханика / Р. Александер. М.: Мир, 1970. 340 с.

4. Антонец В. А. Статистическое моделирование непроизвольныхмикроколебаний конечности / В. А. Антонец, Э. П. Ковалева // Биофизика. 1996. Т. 41. Вып. 3. С. 704-709.

5. Антонова JL Н. Определение реализующегося движения механических систем с сухим трением как задача квадратичного программирования / JI. Н. Антонова, В. В. Никольский // Изв. Тул-ГУ. Сер. Проблемы машиностроения. 1997. С. 7 9.

6. Аргатов И. И. Расчет штабеля контейнеров с найтовами как механической системы с односторонними связями / И. И. Аргатов // Судостроение. 2000. № 2. С. 21 -23.

7. Аргатов И. И. Энергетические теоремы и вариационные принципымеханики упругих систем с односторонними связями / И. И. Аргатов // Изв. вузов. Строительство. 1998. № 9. С. 15 20.

8. Аргатов И. И. Асимптотическое решение задачи об упругом теле,лежащем на нескольких малых опорах / И. И. Аргатов, С. А. Назаров // ПММ. 1994. Т. 58. № 2. С. 110 118.

9. Аруин А. С. Эргономическая биомеханика /А. С. Аруин,

10. B. М. Зациорский. М.: Машиностроение, 1988. 256 с. П.Аттетков А. В. Методы оптимизации / А. В. Аттетков,

11. C. В. Галкин, В. С. Зарубин; Под ред. В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001.440 с.

12. Баженов В. А. Устойчивость и колебания деформируемых системс односторонними связями / В. А. Баженов, Е. А. Гоцуляк, С. Г. Кондаков; Под ред. В. И. Гуляева. Киев, 1989. 398 с.

13. Байокки К. Вариационные и квазивариационные неравенства / К.

14. Байокки, А. Капело. М.: Наука, 1988. 448 с.

15. Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры /

16. Д. В. Беклемишев. М.: Наука, 1983. 336 с.

17. Белецкий В. В. Двуногая ходьба / В. В. Белецкий. М.: Наука, 1984.288 с.

18. Беллман Р. Динамическое программирование и уравнения в частных производных: Пер. с англ. / Р. Беллман, Э. Энджел. М.: Мир, 1974. 208 с.

19. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механикесплошных сред / О. М. Белоцерковский. М.: Наука, 1994. 442 с.

20. Бендолл Дж. Мышцы, молекулы и движение: Очерк по мышечному сокращению / Дж. Бендолл. М.: Мир, 1970. 256 с.

21. Березинская С. Н. Об уравнениях движения механических системс условными односторонними связями: Препринт №16 / С. Н. Березинская, Е. И. Кугушев; ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. М., 2002. 32 с.

22. Березовский В. А. Биофизические характеристики тканей человека: Справочник / В. А. Березовский, Н. Н. Колотилов. Киев: Наукова думка, 1990. 224 с.

23. Бернштейн Н. А. Биология и физиология движений / Н. А. Бернштейн; Под ред. В. П. Зинченко. М., 1997. 608 с.

24. Бидерман В. JI. Теория механических колебаний / В. JI. Бидерман.

25. М.: Высш. школа, 1980. 408 с.

26. Биргер И. А. Некоторые математические методы решения инженерных задач / И. А. Биргер. М.: Гостехиздат, 1956. 230 с.

27. Биркгоф Дж. Динамические системы / Дж. Биркгоф. М.: Гостехиздат, 1941.320 с.

28. Борисевич А. А. Общие уравнения строительной механики / А. А.

29. Борисевич. Минск: Дизайн ПРО, 1998. 144 с.

30. Бранков Г. Основы биомеханики/ Г. Бранков. М.: Мир, 1981. 254 с.

31. Вабищевич П. Н. Численное моделирование / П. Н. Вабищевич.

32. М.: Изд-во МГУ, 1993. 152 с.

33. Васильков Г. В. Эволюционные задачи строительной механики.

34. Синергетическая парадигма: Учебное пособие / Г. В. Васильков. Ростов н/Д.: Инфосервис, 2003. 180 с.

35. Величенко В. В. Матричная теория удара в механических системах с переменным составом связей / В. В. Величенко // VIII Всерос. съезд по теор. и прикл. мех.: Аннот. докл. УрО РАН. Екатеринбург, 2003. С. 757 760.

36. Величенко В. В. Механика трансформирующихся систем / В. В.

37. Величенко // ДАН. 2003. Т. 388. № 6. С. 149 150.

38. Виба Я. А. Оптимизация и синтез виброударных машин /

39. Я. А. Виба. Рига: Зинатне, 1988. 253 с.

40. Витензон А. С. Закономерности нормальной и патологическойходьбы человека /А. С. Витензон; ЦНИИПП. М., 1998. 271 с.

41. Витензон Ф. С. Искусственная коррекция движений при патологической ходьбе / Ф. С. Витензон, Е. М. Миронов, К. А. Петрушанская; ЦНИИПП. М., 1999. 503 с.

42. Виттенбург Й. Динамика систем твердых тел / Й. Виттенбург. М.:1. Мир, 1980. 294 с.

43. Вовкушевский А. В. Расчет массивных гидротехнических сооружений с учетом раскрытия швов / А. В. Вовкушевский, Б. А. Шойхет. М.: Энергия, 1981. 136 с.

44. Ворович И. И. Некоторые вопросы преподавания основ классической механики в университетском курсе: Препринт № 252/ И. И. Ворович; Институт проблем механики АН СССР. М., 1985. 26 с.

45. Ворович И. И. Динамика массивных тел и резонансные явления вдеформируемых средах / И. И. Ворович, В. А. Бабешко, О. Д. Пряхина. М.: Научный мир, 1999. 246 с.

46. Воронов А. В. О моделировании рациональных вариантов техникибега на коньках / А. В. Воронов, Э. К. Лавровский // Современные проблемы биомеханики: Сб. науч. тр. Вып 7. Биомеханика мышц и структура движений; ИПФ РАН. Н. Новгород, 1992. С. 144-163.

47. Галин А. А. Контактные задачи теории упругости и вязкоупругости / А. А. Галин. М.: Наука, 1980. 304 с.

48. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц / Ф. Р. Гантмахер. М.: Физматгиз,1967. 575 с.

49. Герман Дж. Разрушение: В 7 т. / Дж. Герман, Г. Либовиц. Т. 7. Разрушение неметаллов и композитных материалов. Ч. 2. Органические материалы. Механика разрушения кости. М.: Мир, 1976. С. 391 -463.

50. Главачек И. Решение вариационных неравенств в механике /

51. И. Главачек, Я. Гаслингер, И. Нечас. М.: Мир, 1986. 272 с.

52. Годунов С. К. Разностные схемы (введение в теорию) / С. К. Годунов, В. С. Рябенький. М.: Наука, 1977. 440 с.

53. Голдсмит В. Удар. Теория и физические свойства соударяющихсятел / В. Голдсмит. М.: Стройиздат, 1965. 448 с.

54. Гольдштейн Ю. Б. Статика стержневых конструкций /

55. Ю. Б. Гольдштейн. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 1997. 276 с.

56. Горбачев В. В. Проблемы современного естествознания /

57. В. В. Горбачев // Вестник РАЕН. 2000. № 1. С. 1 6.

58. Гордеев В. Н. Расчет упругих систем с односторонними связямикак задача квадратичного программирования / В. Н. Гордеев, А. В. Перельмутер // Исследования по теории сооружений. Вып. 15. М.: Стройиздат, 1967. С. 208-212.

59. Горячева И. Г. Механика дискретного контакта / Механика контактных взаимодействий; Под ред. И. И. Воровича, В. М. Александрова. М.: Наука, 2001. С. 418-437.

60. Гранит Р. Основы регуляции движений / Р. Гранит. М.: Мир, 1973.337 с.

61. Гребенников Е. А. Конструктивные методы анализа нелинейныхсистем / Е. А. Гребенников, Ю. А. Рябов. М.: Наука, 1979. 431 с.

62. Губин В. Б. Об одном варианте принципа бритвы Оккама /

63. В. Б. Губин // Философские науки. 1998. № 2. С. 136 150.

64. Гурфинкель В. С. Соотношение сила жесткость скелетной мышцы зависит от уровня активации сократительного аппарата и предыстории сокращения / В. С. Гурфинкель, Ю. П. Иваненко, Ю. С. Левик // Физиология человека. 1999. Т. 25. № 3. С. 95 -101.

65. Гурфинкель В. С. Скелетная мышца: структура и функция / В. С.

66. Гурфинкель, Ю. С. Левик. М.: Наука, 1985. 147 с.56.'Демидович Б. П. Численные методы анализа / Б. П. Демидович, И. А. Марон, Э. 3. Шувалова. М.: Физматгиз, 1961. 368 с.

67. Демьянов В. Ф. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление / В. Ф. Демьянов. М.: Наука, 1990. 431 с.

68. Дерябин М. В. Общие принципы динамики и теория односторонних связей / М. В. Дерябин // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1998. № 1. С. 53 59.

69. Дерябин М. В. К теории систем с односторонними связями / М. В.

70. Дерябин, В. В. Козлов // ПММ. 1995. Т. 59. № 4. С. 531 539.

71. Дещеревский В. И. Математические модели мышечного сокращения / В. И. Дещеревский. М.: Наука, 1977. 160 с.

72. Дубовицкий А. Я. Задачи на экстремум при наличии ограничений /

73. A. Я. Дубовицкий, А. А. Милютин // ЖВМФ. 1965. Т. 5. № 3. С. 395-453.

74. Дюво Г. Неравенства в механике и физике / Г. Дюво, Ж.-Л. Лионе.1. М.: Наука, 1980.384 с.

75. Жуковский Н. Е. О начале наименьшего действия / Н. Е. Жуковский // Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз. 1959. С. 425-429.

76. Журавлев В. Ф. Уравнения движения механических систем с идеальными односторонними связями / В. Ф. Журавлев // ПММ. 1978. Т. 42. №5. С. 781 -788.

77. Журавлев В. Ф. Механика систем с неудерживающими связями /

78. B. Ф. Журавлев, Н. А. Фуфаев. М: Наука, 1993. 240 с.

79. Зациорский В. М. Биомеханика опорно-двигательного аппаратачеловека / В. М. Зациорский, А. С. Аруин, В. Н. Селуянов. М.: Физкультура и спорт, 1981. 143 с.

80. Зациорский В. М. Нахождение усилий мышц человека по заданному движению / В. М. Зациорский, Б. И. Прилуцкий // Современные проблемы биомеханики: Сб. науч. тр. Вып 7. Биомеханика мышц и структура движений; ИПФ РАН. Н. Новгород, 1992. С. 81-123.

81. Зинковский А. В. Антропометрические механизмы: моделирование, анализ и синтез движений / А. В. Зинковский, В. А. Шолуха; СПбГТУ. СПб., 1992. 72 с.

82. Зукас Дж. А. Динамика удара / Дж. А. Зукас, Т. Николас, X. Ф.

83. Свифт. М.: Мир, 1958. 296 с.

84. Иванов А. П. Динамика систем с механическими соударениями /

85. А. П. Иванов. М., 1997. 336 с.

86. Иванов А. П. Об ударах в системе с несколькими неудерживающими связями / А. П. Иванов // ПММ. 1987. Т. 51. № 4. С. 559 -566.

87. Каплан А. В. Повреждения костей и суставов / А. В. Каплан. М.:1. Медицина, 1979. 568 с.

88. Карманов В. Г. Математическое программирование / В. Г. Карманов. М.: Физматлит, 2001. 264 с.

89. Ким Т. С. Расчет систем с односторонними связями как задача одополнительности / Т. С. Ким, В. Г. Яцура // Строит, механика и расчет сооружений. 1989. № 3. С. 41 44.

90. Киндерлерер Д. Введение в вариационные неравенства и их приложения/Д. Киндерлерер, Г. Стампаккья. М.: Наука, 1983. 256 с.

91. Климов В. С. К теории вариационных неравенств / В. С. Климов //

92. Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль, 1982. С. 109 119.

93. Клиническая биомеханика / Под ред. В. И. Филатова. Д.: Медицина, 1980. 200 с.

94. Кнетс И. В. Деформирование и разрушение твердых биологических тканей / И. В. Кнетс, Г. О. Пфафрод, Ю. Ж. Саулгозис. Рига: Зинатне, 1980.319 с.

95. Козлов В. В. Конструктивный метод обоснования теории систем снеудерживающими связями / В. В. Козлов // ПММ. 1988. Т. 52. Вып. 6. С. 883 894.

96. Козлов В. В. Об ударе с трением / В. В. Козлов // Изв. АН СССР.1989. Сер. МТТ. № 6. С. 54 60.

97. Козлов В. В. Биллиарды. Генетическое введение в динамику систем с ударами / В. В. Козлов, Д. В. Трещев, М.: Изд-во МГУ, 1991. 168 с.

98. Колесников Г. Н. Закон очередности перехода односторонних связей в действительное состояние и его применение в математических моделях упругих механических систем / Г. Н. Колесников; ПетрГУ. Петрозаводск, 2003. 20 с. Деп. в ВИНИТИ 21.05.03, №981 -В2003.

99. Колесников Г. Н. Об очередности жордановых исключений в алгоритмах моделирования механических систем с односторонними связями / Г. Н. Колесников; ПетрГУ. Петрозаводск, 2003. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 21.11.03, № 2028 В2003.

100. Колесников Г. Н. Фиксатор для остеосинтеза вертельных переломов бедра. А. с. 1801401 (СССР). МКИ3 А61 В 17/58, 1989 / Г. Н. Колесников, Р. И. Мельцер; ПетрГУ. №4916197/14; Заявлено 04.03.91; Опубл. 15.03.93. Бюл. №10. 3 е.: ил.

101. Колесников Г. Н. О биомеханическом моделировании тазобедренного узла до и после оперативной коррекции шеечно-диафизарного угла / Г. Н. Колесников, Р. И. Мельцер, М. Ба-ракат // Медицинский академический журнал. 2003. Т. 3. № 2, приложение 3. С. 123.

102. Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. Введение винформатику с позиций математического моделирования / Под ред. А. А. Самарского. М.: Наука, 1988. 176 с.

103. Коновалов А. А. Удары в оружии / А. А. Коновалов;. Ижевск: ЗАО

104. Издательский дом "Удмуртский университет": 2000. 89 с.

105. Копылов И. А. О реализуемости движений по Н. А. Бернштейну /

106. И. А. Копылов, П. А. Кручинин, И. В. Новожилов // Изв. РАН, МТТ. 2003. №5. С. 39-49.

107. Коренев Г. В. Очерки механики целенаправленного движения /

108. Г. В. Коренев. М.: Наука, 1980. 192 с.

109. Кравчук А. С. Вариационные и квазивариационные неравенства вмеханике / А. С. Кравчук. М.: Изд-во МГАПИ, 1997. 340 с.

110. Красносельский М. А. Геометрические методы нелинейного анализа / М. А. Красносельский, П. П. Забрейко. М.: Наука, 1975. 512 с.

111. Краснощеков П. С. Принципы построения моделей /

112. П. С. Краснощеков, А. А. Петров. М.: Изд-во ТВП, 2000. 412 с.

113. Крюков В. Н. Механика и морфология переломов / В. Н. Крюков.

114. М.: Медицина, 1986. 160 с.

115. Кугушев Е. И. Закономерности движения механических систем содносторонними связями: Препринт № 15 / Е. И. Кугушев, О. В. Сорокина; ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. М., 2002. 28 с.

116. Кугушев Е. И. Принцип Даламбера Лагранжа в механическихсистемах с односторонними связями: Препринт № 14 / Е. И. Кугушев, О. В. Сорокина; ИПМ им. М. В. Келдыша РАН. М., 2002. 32 с.

117. Кузнецов Ю. Н. Математическое программирование /

118. Ю. Н. Кузнецов, В. И. Кузубов, А. Б. Волощенко. М.: Высш. школа, 1980. 300 с.

119. Куфнер А. Нелинейные дифференциальные уравнения / А. Куфнер, С. Фучик. М., 1988. 304 с.

120. Лебедев А. Н. Моделирование в научно-технических исследованиях / А. Н. Лебедев. М.: Радио, 1989. 224 с.

121. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевыхзадач / Ж.-Л. Лионе. М.: Наука, 2002. 588 с.

122. Лукаш П. А. Основы нелинейной строительной механики / П. А.

123. Лукаш. М.: Стройиздат, 1978. 204 с.

124. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики /

125. Г. И. Марчук. М.: Наука, 1989. 608 с.

126. Математическое моделирование / Под ред. Дж. Эндрюса, Р. Мак

127. Лоуна; Пер. с англ. М.: Мир, 1979. 278 с.

128. Мельцер Р. И. Клинико-биомеханические и технико-инструментальные аспекты оперативного лечения переломов проксимального метаэпифиза бедра у больных преклонного возраста: Дис. . докт. мед. наук. Петрозаводск, 1999. 444 с.

129. Мельцер Р. И. Фиксатор вертельных переломов бедра. А. с.1710014 (СССР). МКИ3 А61 В 17/58. / Р. И. Мельцер, Г. Н. Колесников; ПетрГУ. № 4764883/14; Заявлено 06.12.89; 0публ.07.02.92. Бюл. № 5. 3 е.: ил

130. Миронов С. П. Современный чрескостный остеосинтез в травматологии / С. П. Миронов, А. И. Городниченко // Кремлевская медицина. Клинический вестник. 2002. № 4. С. 7-10. http ://www.pmc.ru: 8100/data/Vestnik/V2002-4/01 .pdf

131. Миронов С. П. Клинический анализ движений организационные, общие и методические аспекты / С. П. Миронов, А. И. Романов, В. К. Решетняк // Кремлевская медицина. Клинический вестник. 1999. № 4. http://www.pmc.ru: 8100/data/V estnik/V2000-4/soder.html

132. Мовшович И. А. Биомеханика тазобедренного сустава и основные особенности тотальных эндопротезов / И. А. Мовшович, Н. С. Гаврюшенко // Современные проблемы биомеханики. Вып. 4. Рига, 1987. С. 104- 121.

133. Моисеев Н. Н. Методы оптимизации / Н. Н. Моисеев, Ю. П. Иванилов, Е. М. Столярова. М.: Наука, 1978. 352 с.

134. Нестеров Ю. В. Полиномиальные методы в линейном и квадратичном программировании / Ю. В. Нестеров // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1988. № 3. С. 3 6.

135. Никитин JI. В. Модель биоупругого тела / JI. В. Никитин // Изв.

136. АН СССР. МТТ. 1971. №3. С. 154-157.

137. Образцов И. Ф. Оптимальные биомеханические системы / И. Ф.

138. Образцов, М. А. Ханин. М.: Медицина, 1989. 272 с.

139. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения.

140. Выпуклые и невыпуклые функции энергии / П. Панагиотопулос. М.: Наука, 1989. 494 с.

141. Пановко Я. Г. Введение в теорию механического удара /

142. Я. Г. Пановко. М.: Наука, 1977. 232 с.

143. Пановко Я. Г. Устойчивость и колебания упругих систем / Я. Г.

144. Пановко, И. И. Губанова. М.: Физматгиз, 1987. 352 с.

145. Перельмутер А. В. Использование методов квадратичного программирования для расчета систем с односторонними связями / А. В. Перельмутер // Исследования по теории сооружений. Вып. 19. М.: Стройиздат, 1972. С. 138 147.

146. Перельмутер А. В. Основы расчета вантово-стержневых систем /

147. А. В. Перельмутер. М.: Стройиздат, 1969. 90 с.

148. Перельмутер А. В. Расчетные модели сооружений и возможностьих анализа / А. В. Перельмутер, В. И. Сливкер. Киев: Изд-во «Сталь», 2002. 600 с. http://www.scadgroup.com/

149. Погожев И. Б. Применение математических моделей заболеваний в клинической практике / И. Б. Погожев; Под ред. Г. И. Марчука. М.: Наука, 1988. 192 с.

150. Подлубная 3. А. Состав, структура и структурные переходы втолстых нитях поперечно-полосатых мышц позвоночных / 3. А. Подлубная // Биофизика. 1999. Т. 44. Вып.4. С. 700 707.

151. Подрушняк Е. П. Костно-суставный аппарат человека при старении / Е. П. Подрушняк// Ортопед, травматол. 1983. № 2. С. 1-9.

152. Понтрягин JI. С. Математическая теория оптимальных процессов

153. JI. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе. М.: Наука, 1969.384 с.

154. Попов Л. Д. Введение в теорию, методы и экономические приложения задач о дополнительности / Л. Д. Попов. Екатеринбург: Изд-во Урал. гос. ун-та, 2001. 124 с.

155. Проблемы прочности в биомеханике / Под ред. И. Ф. Образцова.

156. М.: Высшая школа, 1988. 311 с.

157. Пуритис Ю. П. Регенерация костной ткани после переломов / Ю.

158. П. Пуритис // Современные проблемы биомеханики. Вып. 5. Рига: Зинатне, 1988. С. 43-53.

159. Путята Т. В. Ярослав Иванович Грдина / Т. В. Путята,

160. Б. Н. Фрадлин. М.: Наука, 1970. 110 с.

161. Пфафрод Г. О. Изменение механических свойств костного регенерата в процессе сращения / Г. О. Пфафрод, В. М. Витинын, Я. Б. Лайзан // Современные проблемы биомеханики. Вып. 5. Рига: Зинатне, 1988. С. 5 42.

162. Рабинович И. М. Вопросы теории статического расчета сооружений с односторонними связями / И. М. Рабинович. М.: Строй-издат, 1975. 144 с.

163. Рабинович И. М. Некоторые уроки из истории строительной механики / И. М. Рабинович // Строительная механика и расчет сооружений. 1970. № 2. С. 17 23.

164. Payee Э. Дж. Динамика системы твердых тел. Т.1 / Э. Дж. Payee.1. М.: Наука, 1983. 463 с.

165. Регирер С. А. Математическое описание свойств мышечной ткани / С. А. Регирер, П. И. Усик, И. В. Чернова // Механика полимеров. 1975. № 4. С. 579 584.

166. Регирер С. А. Современные проблемы механики мышечного сокращения / С. А. Регирер, А. К. Цатурян // Соврем, пробл. биомеханики. Вып. 1. Рига, 1983. С. 3 17.

167. Регирер С. А. Мышечное сокращение и внутриклеточные диффузионные процессы / С. А. Регирер, Г. Г. Черная // Современные проблемы биомеханики. Вып. 7; ИПФ РАН. Н. Новгород, 1992. С. 35-62.

168. Реклейтис Г. Оптимизация в технике: В 2-х кн. Кн. 2 / Г. Реклейтис, А. Рейвиндран, К. Рэгсдел. М.: Мир, 1986. 320 с.

169. Ржаницын А. Р. Строительная механика / А. Р. Ржаницын. М.:1. Высш. школа, 1982. 400 с.

170. Розин J1. А. Вариационные постановки задачи теории упругостис идеальными односторонними связями. Задача Синьорини / JI. А. Розин // Метод конечных элементов и строит, механика: Тр. ЛПИ, № 363. Л., 1979. С. 3-15.

171. Розин Л. А. Задачи расчета сооружений с податливостью и дилатансией в односторонних связях / Л. А. Розин // Изв. вузов. Строительство. 2001. № 7. С. 7 11.

172. Розин Л. А. Задачи теории упругости и численные методы ихрешения / Л. А. Розин. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. 552 с.

173. Рубленик И. М. Биомеханическое исследование погружного остеосинтеза при косых переломах диафиза длинных костей / И. М. Рубленик, В. В. Паладюк, В. Л. Васюк // Ортопед, трав-матол. 1988. № 5. С. 20 22.

174. Самарский А. А. Введение в численные методы / А. А. Самарский. М.: Наука, 1982. 272 с.

175. Самарский А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. М.:1. Наука, 1989. 616 с.

176. Самарский А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2001. 320 с.

177. Сеппо А. И. Металлический остеосинтез переломов костей наоснове точных клинико-технических наук / А. И. Сеппо. Таллинн: Периодика, 1978. 80 с.

178. Скворцов Д. В. Клинический анализ движений: Анализ походки /

179. Д. В. Скворцов; НМФ "МБН". М., 1996. 344 с.

180. Слива С. С. Компьютерные стабилоанализаторы для реабилитации и тренировки статокинетической устойчивости / С. С. Слива // Тез. докл. VI Всероссийской конф. «Биомеханика-98», Н.Новгород, 1 5 июня 1998 г.; ИПФ РАН. Н. Новгород, 1998. С. 209.

181. Стоименов JI. Г. О решении проблемы косого удара тел. Моделиудара шероховатых тел / JI. Г. Стоименов // Прикл. механика. 1992. Т.28. Вып. 8. С. 3-10.

182. Судакова А. П. О лечении переломов проксимального конца бедренной кости у лиц пожилого и старческого возраста / А. П. Судакова, Д. Ю. Судаков // Ортопед, травматол. 1991. № 9. С. 38-40.

183. Темнов В. Г. Конструктивные системы в природе и строительнойтехнике / В. Г. Темнов. Л.: Стройиздат, 1987. 256 с.

184. Тимошенко С. П. История науки о сопротивлении материалов /

185. С. П. Тимошенко. М.: Гос. изд-во технико-теорет. лит., 1957. 536 с.

186. Тимошенко С. П. Механика материалов / С. П. Тимошенко, Дж.

187. Гере. М.: Мир, 1976. 670 с.

188. Тьюарсон Р. Разреженные матрицы / Р. Тьюарсон. М.: Мир, 1977.192 с.

189. Фан Цзи. О системах линейных неравенств / Цзи Фан // Линейные неравенства и смежные вопросы. М.: Изд-во иностр. лит., 1959. С. 214-262.

190. Фикера Г. Теоремы существования в теории упругости /

191. Г. Фикера. М.: Мир, 1974. 160 с.

192. Филин А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. Т. 2. / А. П. Филин. М.: Наука, 1978. 616 с.

193. Формальский A.M. Моделирование антропоморфных механизмов / А. М. Формальский. М.: Наука, 1982. 368 с.

194. Хидиров Ю. Э. Дополнительные задачи и вариационные неравенства в дополнительных системах пространств / Ю. Э. Хидиров; Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 1993. 17 с. Деп. в ВИНИТИ 17.21.93, № 1933- В93.

195. Хидиров Ю. Э. Односторонний упруго-пластический изгиб жестко закрепленной пластинки / Ю. Э. Хидиров // Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль, 1986. С. 57-62.

196. Хилл А. Механика мышечного сокращения. Старые и новыеопыты / А. Хилл. М.: Мир, 1972. 184 с.

197. Хорн Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон. М.: Мир,1989. 655 с.

198. Человек. Медико-биологические данные. М.: Медицина, 1977.496 с.

199. Чернецкий В. И. Математическое моделирование динамическихсистем / В. И. Чернецкий. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 1996. 432 с.

200. Черников С. Н. Линейные неравенства / С. Н. Черников. М.:1. Наука, 1968. 488 с.

201. Черникова Н. В. Алгоритм для нахождения общей формулы неотрицательных решений системы линейных уравнений / Н. В. Черникова // ЖВМФ. 1964. Т. 4. № 4. С. 733 738.

202. Черноусько Ф. JI. Вариационные задачи механики и управления:

203. Численные методы / Ф. JI. Черноусько, Н. В. Баничук. М.: Наука, 1973.238 с.

204. Шестаков Д. А. Математическая модель механических свойствволокон скелетной мышцы с учетом растяжимости актиновых нитей / Д. А. Шестаков, А. К. Цатурян // Биофизика. 1998. Т. 43. Вып. 2. С. 329-334.

205. Шулькин Ю. Б. Влияние односторонних связей на величину критической нагрузки / Ю. Б. Шулькин // Исследования по механике строительных конструкций: Межвуз. темат. сб. тр.; ЛИСИ. Л., 1985. С. 56-63.

206. Шулькин Ю. Б. Теория упругих стержневых систем /

207. Ю. Б. Шулькин. М.: Наука, 1984. 272 с.

208. Янсон X. А. Биомеханика нижней конечности человека /

209. X. А. Янсон. Рига: Зинатне, 1975. 324 с.

210. Alart P. A mixed formulation for frictional contact problems prone to

211. Newton like methods / P. Alart, A. Curnier // Comparitive Meth. Appl. Mech. Engng. 1991. Vol. 92. P. 353 375.

212. Alkjaer T. Comparison of inverse dynamics calculated by two andthree-dimensional models during walking / T. Alkjaer, E. Simonsen, P. Dyhre-Poulsen // Gait Posture. 2001. Vol. 13(2). P. 73 77.

213. Allum J. H. J. Proprioceptive control of posture: a review of new concepts / J. H. J. Allum, B. R. Bloem, M. G. Carpenter // Gait and Posture. 1998. Vol. 8(3). P. 214 242.

214. Ament C. A fuzzy logic model of fracture healing / C. Ament, E. P.

215. Hofer // J. Biomech. 2000. Vol. 33(8). P. 961 968.

216. An K.N. Physiological considerations of muscle force through theelbow joint / K. N. An, K. R. Kaufman, E. Y. S. Chao // J. Bio-mech. 1989. Vol. 22. P. 1249 1256.

217. An K. N. Determination of muscle and joint forces: a new techniqueto solve the indeterminate problem / K. N. An, В. M. Kwak, E. Y. Chao et al.// J. Biomech. Eng. 1984. Vol. 106. P. 364 367.

218. Anderson F. C. A dynamic optimization solution for vertical jumpingin three dimensions / F. C. Anderson, M. G. Pandy // Computer Meth. Biomech. Biomed. Engng. 1999. Vol. 2. P. 201 -231.

219. Anderson F. C. Static and dynamic optimization solutions for gait arepractically equivalent / F. C. Anderson, M. G. Pandy // J. Biomech. 2001. Vol. 34(2). P. 153-161.

220. Anderson F. C. Application of high performance computing to numerical simulation of human movement / F. C. Anderson, J. M. Ziegler, M. G. Pandy et al. // J. Biomech. Engng. 1995. Vol. 117. P. 155 157.

221. Andriacchi T. P. Studies of human locomotion: past, present and future / T. P. Andriacchi, E. J. Alexander // J. Biomech. 2000. Vol. 33(10). P. 1217- 1224.

222. Arnold A. S. Evaluation of a deformable musculoskeletal model: application to planning muscle tendon surgeries for crouch gait / A. S. Arnold, S. S. Blemker, S. L. Delp // Annals of Biomed. Engng. 2001. Vol. 29. P. 1-11.

223. Arnold A. S. Accuracy of muscle moment arms estimated from MRIbased musculoskeletal models of the lower extremity / A. S. Arnold, S. Salinas, D. J. Asakawa, S. L. Delp // Computer Aided Surgery. 2000. Vol. 5. P. 108-119.

224. Audu М. L. A comparison of optimal control algorithms for complexbioengineering studies / M. L. Audu, D. T. Davy // Optimal Control Applications and Methods. 1988. Vol. 9. P. 101 106.

225. Bean J. C. Biomechanical model calculation of muscle contractionforces: a double linear programming method/J. C. Bean,

226. D. B. Chaffin, A. B. Schultz//J. Biomech. 1988. Vol. 21. P. 59-66.

227. Ben Belgacem F. Numerical Simulation of Some Variational Inequalities Arisen from Unilateral Contact Problems by the Finite Element Methods / F. Ben Belgacem // SIAM J. on Numerical Analysis. 2000. Vol. 37(4). P. 1198 1216.

228. Bergmann G. Hip contact forces and gait patterns from routine activities / G. Bergmann, G. Deuretzbacher, M. Heller et al. // J. Biomech. 2001. Vol. 34(7). P. 859 871.

229. Bergmann G. Frictional heating of total hip implants. Part 2: finiteelement study / G. Bergmann, F. Graichen, A. Rohlmann et al. // J. Biomech. 2001. Vol. 34(4). P. 429-435.

230. Bergmann G. Hip joint forces during walking and running, measuredin two patients / G. Bergmann, F. Graichen, A. Rohlmann // J. Biomech. 1993. Vol. 26. P. 969 990.

231. Betts J. T. Application of sparse nonlinear programming to trajectoryoptimization / J. T. Betts, W. P. Huffman // J. Guidance Control and Dynamics. 1992. Vol. 15. P. 198-206.

232. Bischoff J. E. Finite element modeling of human skin using an isotropic, nonlinear elastic constitutive model / J. E. Bischoff,

233. E. M. Arruda, K. Grosh // J. Biomech. 2000. Vol. 33.P. 645 652.

234. Blickhan R. The spring mass model for running and hopping / R.

235. Blickhan // J. Biomech. 1989. Vol. 22. P.1217 1227.

236. Bolhuis В. М. van. A comparison of models explaining muscle activation patterns for isometric contractions / van Bolhuis В. M., Gielen CCAM // Biol. Cybem.1999. Vol. 81. P. 249 261.

237. Bosboom E. M. Passive transverse mechanical properties of skeletalmuscle under in vivo compression / E. M. Bosboom, M. K. Hesselink, C. W. Oomens et al. // J. Biomech. 2001. Vol. 34(10). P. 1365- 1368.

238. Brand R. A. The sensitivity of muscle force predications to changes inphysiologic cross-sectional area / R. A. Brand, D. R. Pedersen, A. J. Friederich // J. Biomech. 1986. Vol. 19. P. 589 596.

239. Cappozzo A. A general computing method for the analysis of humanlocomotion / A. Cappozzo, T. Leo, A. Pedotti // J. Biomech. 1975. Vol. 8. P. 307-320.

240. Ceder L. Effect of strategy changes in the treatment on femoral neckfractures during a 14-year period / L. Ceder, B. Stromqvist, L. Hansson // Clin. Orthop. 1987. Vol. 218. P. 53 57.

241. Centaro Taga. A model of the neuro-musculo-skeletal system for anticipatory adjustment of human locomotion during obstacle avoidance / Centaro Taga // Biol. Cybern. 1998.Vol. 78.P. 9 17.

242. Chao E. Y. Determination of internal forces in human hand / E. Y.

243. Chao, K. N. An // J. Eng. Mech. 1978. Vol. 104. P. 255 272.

244. Chao E. Y. Graphical interpretation of the solution to the redundantproblem in biomechanics / E. Y. Chao, K. N. An // J. Biomech. Engng. 1978. Vol. 100. P. 159 167.

245. Chao E. Y. Application of optimization principles in determining theapplied moments in human leg joints during gait / E. Y. Chao, K. Rim // J. Biomech. Engng. 1973. Vol. 6. P. 497 510.

246. Chen С. Smoothing methods for convex inequalities and linear complementarity problems / C. Chen, O. L. Mangasarian // Math. Prog. 1995. Vol. 71. P. 51-69.

247. Chow С. K. Studies of human locomotion via optimal programming /

248. С. K. Chow, D. H. Jacobson // Math. Biosciences. 1971. Vol. 10. P. 239-306.

249. Collins J. J. The redundant nature of locomotors optimization laws /

250. J. J. Collins//J. Biomech. 1995. Vol. 28. P. 251 -267.

251. Conforto S. Hemodynamics as a possible internal mechanical disturbance to balance / S. Conforto, M. Schmid, V. Camomilla et al. // Gait Posture. 2001. Vol. 14(1). P. 28-35.

252. Cottle R. W. Complementary pivote theory of mathematical programming / R. W. Cottle, G. B. Dantzig // Linear Algebra and its Applications. 1968. Vol. 1 (1). P. 103 125.

253. Crowninshield R. D. A physiologically based criterion of muscleforce prediction in locomotion / R. D. Crowninshield, R. A. Brand //J. Biomech. 1981. Vol. 14. P. 793-801.

254. Crowninshield R. D. Use of optimization techniques to predict muscleforces /R. D. Crowninshield // J. Biomech. Engng. 1978. Vol. 100. P. 88 92.

255. Crowninshield R. D. A biomechanical investigation of the human hip

256. R. D. Crowninshield, R. C. Johnston, J. G. Andrews et al.// J. Biomech. 1978. Vol. 11. P. 75 85.

257. Davy D. Т. A dynamic optimization technique for predicting muscleforces in the swing phase of gait / D. T. Davy, M. L. Audu // J. Biomech. 1987. Vol. 20. P. 187-201.

258. Delp S. L. A software system to develop and analyze models of musculoskeletal structures / S. L. Delp, J. P. Loan // Computers in Biology and Medicine. 1995. Vol. 25. P. 21 34.

259. Delp S. L. A computational framework for simulating and analyzinghuman and animal movement / S. L. Delp, J. P. Loan // Computing in Science and Engineering. 2000. Vol. 2. P. 46 — 55.

260. Delp S. L. Force- and moment-generating capacity of lower-limbmuscles before and after tendon lengthening / S. L. Delp, F. E. Zajac // Clinical Orthopaedics and Related Research. 1992. Vol. 284. P. 247-259.

261. Delp S. L. An interactive graphics-based model of the lower extremity to study orthopaedic surgical procedures / S. L. Delp, J. P. Loan, M. G. Hoy et al. // IEEE Transactions Biomed. Engng. 1990. Vol. 37. P. 757-767.

262. Dennerlain J. T. Tensions of the flexor digitorum superficialis arehigher than a current model predicts / J. T. Dennerlain, E. Diao, C. D. Jr. Mote et al И J. Biomech. 1998. Vol. 31. P. 295-301.

263. Dostal W. F. A three-dimensional biomechanical model of hip musculature / W. F. Dostal, J. G. Andrews // J. Biomech. 1981. Vol. 14. P. 803-812.

264. Drenovac V. A method for the numerical integration of mechanicalsystems with unilateral constraints: study of impact in multibody systems / V. Drenovac // Mathematics and Computers in Simulation. 1987. Vol. 29. P. 413-420.

265. Duda G. N. Musculoskeletal loading and its implication for clinicalpractice: February 2000, Charite, Berlin. / G. N. Duda, N. P. Haas, G. Bergmann // J. Biomech. 2001. Vol. 34(7). P. 837.

266. Dul J. Muscle synergism II. A minimum - fatigue criterion for loadsharing between synergistic muscles / J. Dul, G. E. Johnson, R. Shiavi et al. // J. Biomech. 1984. Vol. 17. P. 675 684.

267. Dul J. Muscular Synergism! On criteria for load sharing betweensynergistic muscles / J. Dul, G.E. Johnson, R. Shiavi et al. // J. Biomech. 1984. Vol. 17. P. 663-673.

268. Dupuis D. E. Actin filament mechanics in the laser trap /

269. D. E. Dupuis, W. H. Guilford, J. Wu et al.// J. Muscle Research and Cell Motility. 1997. Vol. 18. P. 17-30.

270. Enright P. J. Optimal finite thrust spacecraft trajectories using collocation and nonlinear programming / P. J. Enright, B. A. Conway // J. Guidance Control and Dynamics. 1991. Vol. 14. P. 981 985.

271. Finni T. Muscle mechanics during human movement revealed by invivo measurements of tendon force and muscle length / T. Finni; University of Jyvaskyla. Jyvaskyla, 2001. 83 p.

272. Freund J. A dynamic model of the forearm including fatigue /J.

273. Freund, E.-P. Takala // J. Biomech. 2001. Vol. 34(5). P. 597 605.

274. Fukuda K. Criss-cross methods: A fresh view on pivot algorihms / K.

275. Fukuda, T. Terlaky // Mathematical Programming. 1997. Vol. 79. P. 369-395.

276. Ghosh Т. K. Analytic determination of an optimal human motion /

277. Т. K. Ghosh, J. Boykin // J. Optimization Theory and Applications. 1976. Vol. 19. P. 327-346.

278. Gillard D. М. Isometric muscle length tension curves do not predictangle torque curves of human wrist in continuous active movements / D. M. Gillard, S. Yakovenko, T. Cameron et al. // J. Biomech. 2000. Vol. 33(11). P. 1341 - 1348.

279. Glitsch U. The three-dimensional determination of internal loads inthe lower extremity / U. Glitsch, W. Baumann // J. Biomech. 1997. Vol. 30. P. 1123-1131.

280. Gonzales R. V. Development and evaluation of a musculoskeletalmodel of the elbow joint complex / R. V. Gonzales, E. L. Hutchins, R. E. Barr et al. // J. Biomech. Engng. 1996. Vol. 118. P. 32 40.

281. Gonzalez R. V. How muscle architecture and moment arms affectwrist flexion extension moments / R. V. Gonzalez, T. S. Buchanan, S. L. Delp // J. Biomech. 1997. Vol. 30. P. 705 - 712.

282. Gossez J.-P. Surjectivity results for pseudo monotone mappings incomplementary systems / J.-P. Gossez //J. Math. Analysis and Appl. 1976. Vol. 53. P. 484 494.

283. Gross S. A finite element analysis of hollow stemmed hip prosthesesas a means of reducing stress shielding of the femur / S. Gross, E. W. Abel // J. Biomech. 2001. Vol. 34(8). P. 995 1003.

284. Happee R. Inverse dynamics optimization including muscular dynamics, a new simulation method applied to goal directed mo-vements / R. Happee // J. Biomech. 1994. Vol. 27. P. 953 960.

285. Harding D. C. Finger joint force minimization in pianists using optimization techniques / D. C. Harding, K. D. Brandt, B.M. Hillberry //J. Biomech. 1993. Vol. 26. P. 1403 1412.

286. Hardt D. E. Determining muscle forces in the leg during human walking: an application and evaluation of optimization methods / D. E. Hardt // J. Biomech. Engng. 1978. Vol. 100. P. 72 78.

287. Hargraves С. R. Direct trajectory optimization using nonlinear programming and collocation / C. R. Hargraves, S. W. Paris // J. Guidance Control and Dynamics. 1987. Vol. 10. P. 338 342.

288. Harker P. T. Finite-dimentional variational inequality and nonlinearcomplementarity problems: a survey of theory, algorithms and applications / P.T. Harker, J.-S. Pang // Math. Programming. 1990. Vol. 48. P. 161 -220.

289. Hatze H. A complete set of control equations for the human muscleskeletal system/H. Hatze//J. Biomech. 1977. Vol. 10. P. 799 805.

290. Hatze H. An efficient simulation method for discrete value controlled large — scale neuromyoskeletal system models /Н. Hatze // J. Biomech. 2001. Vol. 34(2). P. 267 271.

291. Hatze H. Energy-optimal controls in the mammalian neuromuscularsystem/H. Hatze, J. D. Buys//Biol. Cybern. 1977. Vol. 27. P. 9-20.

292. Hatze H. The complete optimization of a human motion / H. Hatze //

293. Math. Biosciences. 1976. Vol. 28. P. 99 135.

294. Heegaard J. H. An augmented Lagrangian method for discrete largeslip contact problems / J. H. Heegaard, A. Curnier // Int. J. Num. Meth. in Engng. 1993. Vol. 36. P. 569 593.

295. Heller M. O. Musculoskeletal loading conditions at the hip duringwalking and stair climbing / M. O. Heller, G. Bergmann, G. De-uretzbacher et al. // J. Biomech. 2001. Vol. 34(7). P. 883 893.

296. Herzog W. Validation of optimization models that estimate the forcesexerted by synergistic muscles / W. Herzog, T. R. Leonard // J. Biomech. 1991. Vol. 24. P. 31 39.

297. Herzog W. Individual muscle force estimations using non linear optimal design / W. Herzog // J. Neuroscience Methods. 1987. Vol. 21. P. 167- 179.

298. Hilding D. Minimization of maximum unilateral force / D. Hilding,

299. A. Klarbring, J.-S. Pang // Сотр. Meth. Appl. Mech. Eng. 1999. Vol. 177. P. 215-234.

300. Hilding D. A heuristic smoothing procedure for avoiding local optimain optimization of structures subject to unilateral constraints / D. Hilding // Struct. Multidisc. Optim. 2000. Vol. 20. P. 29-36.

301. Hill A. V. The heat of shortening and the dynamics constants of muscle / A. V. Hill // Proceedings of the Royal Society, Ser. B. 1938/ Vol. 126. P. 136- 195.

302. Hof A. L. Muscle mechanics and neuromuscular control / A. L. Hof //

303. J. of Biomech. 2003. Vol. 36. P. 1031 1038.

304. Hogan N. The mechanics of multi joint posture and movement control / N. Hogan // Biol. Cybern. 1985. Vol. 52. P. 315 331.

305. Hogfors C. Structure and internal consistency of a shoulder model /

306. C. Hogfors, D. Karlsson, B. Peterson // J. Biomech. 1995. Vol. 28. P. 767-777.

307. Huxley A. F. Cross-bridge action: present views, prospects, and unknowns / A. F. Huxley //J. Biomech. 2000. Vol. 33(10). P. 11891195.

308. Isac G. Nonlinear complementarity problem and Galerkin method / G.1.ac //J. Math. Analysis and Appl. 1985. Vol. 108. P. 563 574.

309. Ito M. Contribution of trabecular and cortical components to the mechanical properties of bone and their regulating parameters / M. Ito, A. Nishida, A. Koga et al. // Bone. 2002. Vol. 31(3). P. 351 358.

310. Kaplan M. L. Predictive algorithms for neuromuscular control of human locomotion / M. L. Kaplan, J. H. Heegaard // J. Biomech. 2001. Vol. 34(8). P. 1077 1083.

311. Karamardian S. Generalized complementarity problem / S.

312. Karamardian // J. Optimization Theory and Appl. 1971. Vol. 8(3). P. 161-168.

313. Karlsson D. Towards a model for force predictions in the humanshoulder/ D. Karlsson, B. Peterson // J. Biomech. 1992. Vol. 25. P. 189- 199.

314. Kaufman K. R. Incorporation of muscle architecture into the musclelength tension relationship / K. R. Kaufman, K. N. An, E. Y. S. Chao // J. Biomech. 1989. Vol. 22. P. 943 - 948.

315. Kautz S. A. General coordination principles elucidated by forwarddynamics: Minimum fatigue does not explain muscle excitation in dynamic tasks / S. A. Kautz, R. R. Neptune, F. E. Zajac // Motor Control. 2000. Vol. 4. P. 75 80.

316. Keyak J. H. Prediction of femoral fracture load using automated finiteelement modeling / J. H. Keyak, S. A. Rossi, K. A. Jones et al. // J. Biomech. 1997. Vol. 31. P. 125 133.

317. Klarbring A. Nested approach to structural optimization in nonsmoothmechanics / A. Klarbring, M. Ronnqvist // Struct. Optim. 1995. Vol. 10. P. 78 -86.

318. Komi P. V. Stretch shortening cycle: a powerful model to studynormal and fatigued muscle / P. V. Komi // J. Biomech. 2000. Vol. 33. P. 1197- 1206.

319. Latash М. L. There is no motor redundancy in human movements.

320. There is motor abundance/ M. L. Latash //Motor Control. 2000. Vol. 4. P. 257-259.

321. Lemay M. A. A dynamic model for simulating movements of the elbow, forearm, and wrist / M. A. Lemay, P. E. Crago // J. Biomech. 1996. Vol. 29. P. 1319-1330.

322. Lemke С. E. Some pivote schemes for linear complementary problem

323. С. E. Lemke // Math. Progr. Study. 1978. Vol. 27. P. 15 35.

324. Lewis A. D. Experimental and numerical study of forces duringoblique impact / A. D. Lewis, R. J. Rogers // J. Sound and Vibrations. 1988. Vol. 125(3). P. 403-412.

325. Lloyd D. G. A model of load sharing between muscles and soft tissues at the human knee during static tasks / D. G. Lloyd, T. S. Buchanan // J. Biomech. Engng. 1996. Vol. 118. P. 367 376.

326. Lotstedt P. Mechanical systems of rigid bodies subject to unilateralconstraints / P. Lotstedt // SIAM J. Appl. Math. 1982. Vol. 41(2). P. 281 -296.

327. Mabrouk M. A unified variational model for the dynamics of perfectunilateral constraints / M. Mabrouk // European J. Mech. A. / Solids. 1998. Vol. 17(5). P. 819-848.

328. Maganaris C. N. In vivo measurement-based estimations of the moment arm in the human tibialis anterior muscle tendon unit / C. N. Maganaris //J. Biomech. 2000. Vol. 33. P. 375 - 379.

329. Maganaris C. N. Tensile properties of the in vivo human gastrocnemius tendon / C. N. Maganaris, J. P. Paul // J. Biomech. 2002. Vol. 35. P. 1639- 1646.

330. Mangasarian O. L. Equivalence of the complementarity problem to asystem of nonlinear equations / O. L. Mangasarian // SIAM J. . Appl. Math. 1976. Vol. 31(1). P. 89-92.

331. Martin J. С. A governing relationship for repetitive muscular contraction / J. C. Martin, N. A. Brown, F. C. Anderson et al. // J. Biomech. 2000. Vol. 33. P. 969 974.

332. Martins J. A. C. A numerical model of passive and active behavior ofskeletal muscles/J. A. C. Martins, E. B. Pires, L. R. Salvado et al.//Comp. Meth. Appl. Mechs. Eng. 1998. Vol. 151. P. 419^33.

333. McMahon T. A. The mechanics of running-how does stiffness couplewith speed / T. A. McMahon, G. C. Cheng // J. Biomech. 1990. Vol. 23. P. 65-78.

334. Moreau J. J. Quadratic programming in mechanics: dynamics ofone sided constraints / J. J. Moreau // SIAM J. on Control. 1966. Vol. 4(1). P. 153 - 158. http://www.math.utah. edu/~beebe

335. Muramatsu T. Mechanical properties of tendon and aponeurosis ofhuman gastrocnemius muscle in vivo/T. Muramatsu, T. Muraoka, D. Takeshita et al.//J. Appl. Physiol. 2001. Vol. 90. P. 1671-1678.

336. Mussa-Ivaldi F. A. Integrable solutions of kinematic redundancy viaimpedance control / F. A. Mussa-Ivaldi, N. Hogan // Int. J. Robot. Res. 1991. Vol. 10. P. 481-491.

337. Mussa-Ivaldi F. A. Kinematic networks: a distributed model for representing and regularization motor redundancy / F. A. Mus-sa-Ivaldi, P. Morasso, R. Zaccharia // Biol. Cybern. 1988. Vol. 60. P. 11-16.

338. Neptune R. R. Evaluation of performance criteria for simulation ofsubmaximal steady-state cycling using a forward dynamic model / R. R. Neptune, M. L. Hull // J. Biomech. Engng. 1998. Vol. 120. P. 334-340.

339. Neptune R. R. Standard mechanical energy analyses do not correlatewith muscle work in cycling / R. R. Neptune, A. J. van den Bogert // J. Biomech. 1998. Vol. 31(3). P. 239-245.

340. Neptune R. R. Optimization algorithm performance in determiningoptimal controls in human movement analyses / R. R. Neptune // J. Biomechanical Engineering. 1999. Vol. 121(2). P. 249 252.

341. Olree K. S. Fundamental patterns of bilateral muscle activity in human locomotion / K. S. Olree, C. L. Vaughan // Biol. Cybern. 1995. Vol. 73(5). P. 409-414.

342. Pandy M. G. A parameter optimization approach for the optimal control of large-scale musculoskeletal systems/M. G. Pandy, F. C. Anderson, D. G. Hull//J. Biomech. Eng. 1992. Vol. 114. P. 450460.

343. Pandy M. G. Optimal control of non-ballistic muscular movements: Aconstraint based performance criterion for rising from a chair / M. G. Pandy, B. A. Garner, F. C. Anderson // J. Biomech. Eng. 1995. Vol. 117. P. 15-26.

344. Pandy M. G. An optimal control model for maximum-height humanjumping / M. G. Pandy, F. E. Zajac, E. Sim et al. // J. Biomech. 1990. Vol. 23. P. 1185- 1198.

345. Patriarco A. G. An evaluation of the approaches of optimization models in the prediction of muscle forces during human gait / A. G. Patriarco, R. W. Mann, Simon S. R. et al. // J. Biomech. 1981. Vol. 14. P. 513-525.

346. Pedersen D. R. Pelvic muscle and acetabular contact forces duringgait / D. R. Pedersen, R. A. Brand, D. T. Davy // J. Biomech. 1997. Vol.30. P. 959-965.

347. Pedotti A. Optimization of muscle force sequencing in locomotion /

348. A. Pedotti, V. V. Krishnan, L. Stark // Math. Biosciences. 1978. Vol. 38. P. 57-76.

349. Pfeiffer F. Contacts in multibody systems / F. Pfeiffer, Ch. Glo-cker //

350. J. Appl. Math, and Mech. 2000. Vol. 64(5). P. 773 782.

351. Pfeiffer F. Multibody systems with unilateral constraints / F. Pfeiffer

352. J. Appl. Math, and Mech. 2001. Vol. 65(4). P. 665 670.

353. Piazza S. J. Three-dimensional dynamic simulation of total knee replacement motion during a step up task / S. J. Piazza, S. L. Delp //ASME J. Biomech. Engng. 2001.Vol. 123.P. 589 606.

354. Prilutsky В. I. Forces of individual cat ankle extensor muscles duringlocomotion predicted using static optimization / В. I. Pri-lutsky, W. Herzog, T. L. Allinger // J. Biomech. 1997. Vol. 30. P. 10251033.

355. Prilutsky В. I. Tendon action of two-joint muscles: transfer of mechanical energy between joints during jumping, landing, and running / В. I. Prilutsky, V. M. Zatsiorsky // J. Biomech. 1994. Vol. 27(1). P. 25-34.

356. Raasch С. C. Muscle coordination of maximum-speed pedaling /

357. С. C. Raasch, F. E. Zajac, B. Ma // J. Biomech. 1997. Vol. 30. P. 595 602.

358. Raikova R. A general approach for modelling and mathematical investigation of the human upper limb / R. Raikova // J. Biomech. 1992. Vol. 25. P. 857-867.

359. Ralston H.J. Energy-speed relation to optimal speed during levelwalking / H. J. Ralston // Int. Zeitschrift Angewandte Physiologie. 1958. Vol. 17. P. 277-283.

360. Rasmussen J. Muscle recruitment by the min/max criterion a comparative numerical study / J. Rasmussen, M. Damsgaard, M. Voigt //J. Biomech. 2001. Vol. 34 (3). P. 409-415.

361. Robertson D. G. Mechanical energy generation, absorption and transfer amongst segments during walking/ D. G. Robertson, D. A. Winter // J. Biomech. 1980. Vol. 13 (10). P. 845 854.

362. Rockafellar R. Т. Monotone operators and the proximal point algoritm / R. T. Rockafellar // SIAM J. Control and optimization. 1976. Vol. 14(5). P. 877-898.

363. Rohlmann A. A Nonlinear Finite Element Analysis of Interface Conditions in Porous Coated Hip Endoprostheses / A. Rohl-mann, E. J. Cheal, W. C. Hayes et al. // J. Biomech. 1998. Vol. 21. P. 605 -611.

364. Rohlmann A. Effects of Stem Design and Material Properties on

365. Stresses in Hip Endoprostheses / A. Rohlmann, U. MoBner,G. Bergmann et al. // J. Biomed. Engng. 1987. Vol. 9. P. 77-83.

366. Rohlmann A. Finite-Element Analysis and Experimental Investigation in a Femur with Hip Endoprosthesis / A. Rohlmann, U. MoBner, G. Bergmann et al. // J. Biomech. 1983. Vol. 16. P. 727 742.

367. Rohrle H. Joint forces in the human pelvis leg skeleton during walking / H. Rohrle, R. Scholten, C. Sigolotto et al.'// J. Biomech. 1984. Vol. 17. P. 409-424.

368. Schneider E. Loads acting in an intramedullary nail during fracturehealing in the human femur / E. Schneider, M. C. Michel, M. Genge et al. // J. Biomech. 2001. Vol. 34(7). P. 849 857.

369. Seireg A. The prediction of muscular load sharing and joint forces inthe lower extremities during walking / A. Seireg, R. J. Arvikar // J. Biomech. 1975. Vol. 8. P. 89 102.

370. Selbie W. S. A simulation study of vertical jumping from differentstarting postures / W. S. Selbie, G. E. Caldwell // J. Biomech. 1996. Vol. 29. P. 1137- 1146.

371. Simpson A. H. The response of muscle to leg lengthening /

372. A. H. Simpson, P. E. Williams, P. Kyberd et al.// J. Bone and Joint Surgery. 1995. British Volume 77. P. 630 636.

373. Spagele Т. Modelling, simulation and optimisation of a human vertical jump / T. Spagele, A. Kistner, A. Gollhofer // J. Biomech. 1999. Vol. 32. P. 521-530.

374. Stolk J. Hip-joint and abductor-muscle forces adequately represent invivo loading of a cemented total hip reconstruction / J. Stolk, N. Verdonschot, R. Huiskes // J. Biomech. 2001. Vol. 34 (7). P. 917 -926.

375. Tashman S. Modeling and simulation of paraplegic ambulation in areciprocating gait orthoses / S. Tashman, F. E. Zajac, I. Perkash // J. Biomech. Engng. 1995. Vol. 117. P. 300 308.

376. Taylor S. J. Forces and moments telemeter from two distal femoralreplacements during various activities / S. J. Taylor, P. S. Walker // J. Biomech. 2001. Vol. 34 (7). P. 839 948.

377. Waldman S. D. Dynamic contact stress and rolling resistance modelfor total knee arthroplasties / S. D. Waldman, J. T. Bryant // J. Biomech. Engng. 1997. Vol. 119. P. 254 260.

378. Walker P. S. A knee simulating machine for performance evaluationof total knee replacements / P. S. Walker, G. W. Blunn, D. R. Broome et al. //J. Biomech. 1997. Vol. 30. P. 83 89.

379. Wirtz D. C. Critical evaluation of known bone material properties torealize anisotropic FE simulation of the proximal femur / D. C. Wirtz, N. Schiffers, T. Pandorf, K. et al. // J. Biomech. 2000. Vol. 33(10). P.1325- 1330.

380. Wren T. A. L. A computational model for the adaptation of muscleand tendon length to average muscle length and minimum tendon strain / T. A. L. Wren //J. Biomech. 2003. Vol. 36. P. 1117 1124.

381. Wu G. The control of body orientation and center of mass locationunder asymmetrical loading / G. Wu, M. MacLeod // Gait Posture. 2001. Vol. 13(2). P. 95-101.

382. Yamaguchi G. Т. A computationally efficient method for solving theredundant problem in biomechanics / G. T. Yamaguchi, D. W. Mo-ran, J. Si // J. Biomech. 1995. Vol. 28(8). P. 999 1005.

383. Zajac F. E. Muscle coordination of movement: a perspective /

384. F. E. Zajac // J. Biomech.1993. Vol. 26(1). P. 109 124.

385. Zee M. Moment dependency of the series elastic stiffness in the human plantar flexors measured in vivo / M. Zee, M. Voight // J. Biomech. 2001. Vol. 34. P. 1399- 1406.