Численное моделирование контактного взаимодействия основания и плит покрытия временных автомобильных дорог тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Раковская, Марина Ивановна

• Раковская, Марина Ивановна
• кандидат технических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат технических наук Раковская, Марина Ивановна

Введение

1 Моделирование механических систем с односторонними связями.

1.1 Краткий обзор литературы.

1.2 Элементы теории механических систем с односторонними связями.

1.3 Методы и алгоритмы моделирования и анализа систем с односторонними связями.

1.3.1 Алгоритм последовательного перебора рабочих схем.

1.3.2 Применение методов математического программирования

1.3.3 Использование методов решения линейной задачи о дополнительности.

1.3.4 Алгоритм последовательного выключения связей.

1.4 Методы решения линейной задачи о дополнительности

1.4.1 Аппарат жордановых исключений.

1.4.2 Решение линейной задачи о дополнительности с помощью метода Лемке.

1.4.3 Шаговый метод определения неотрицательного решения системы линейных уравнений.

2 Балки и плиты на упругом основании как механические системы с односторонними связями

2.1 Краткий обзор литературы.

2.2 Выбор расчетной модели грунтового основания.

2.3 Предлагаемый вариант моделирования плиты (балки) на упругом основании. з Конечно-элементное моделелирование механических систем с односторонними связями

3.1 Основные понятия метода конечных элементов.

3.2 Учет кинематических граничных условий.

3.3 Жордановы исключения с матрицей жесткости системы.

3.4 О методиках учета конструктивной нелинейности в некоторых известных конечно-элементных программных комплексах.

3.5 Описание предлагаемой конечно-элементной методики моделирования механических систем с ограничениями на параметры в виде нестрогих неравенств.

3.5.1 Разработка методики анализа механической системы с односторонними связями на основе метода конечных элементов.

3.5.2 Практическая реализация предлагаемой методики.

3.5.3 Оценка объемов вычислений при анализе нелинейной модели.

3.5.4 Апробация методики при решении тестовой задачи.

4 Применение разработанных алгоритмов в задачах моделирования балок и плит на упругом основании

4.1 Моделирование системы плита-основание

4.2 Моделирование системы балка-основание.'

4.3 Моделирование системы балок.

4.4 Построение графиков зависимости расчетных параметров от положения подвижной нагрузки.

4.5 К определению толщины сжимаемого слоя

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование контактного взаимодействия основания и плит покрытия временных автомобильных дорог»

Механика контактных взаимодействий представляет в настоящее время большую и быстро развивающуюся область механики сплошных сред. Объясняется это тем, что лишь в результате решения контактных задач могут быть сформулированы граничные условия на поверхности деформируемых тел, адекватные действительности. Анализ литературы показывает, что в данной области исследований имеется ряд недостаточно изученных аспектов.

В представленном диссертационном исследовании рассматриваются задачи, относящиеся только к одному классу многочисленных задач контактного взаимодействия, что отражено в названии работы. При этом в центре внимания находится взаимодействие плит и балок с основанием. Модель плиты считается известной, используется конечно-элементное ее представление. Модель основания также считается известной. Исследуется проблема определения области контакта плиты с основанием. При этом воздействие на плиту может быть произвольным и определяется условиями эксплуатации реального объекта, моделью которого служит, система «плита-основание». Основание может быть неоднородным, плита может иметь переменную толщину и произвольную форму, также определяемую назначением и условиями эксплуатации указанного объекта. Подлежащая определению область контакта может быть одно-связной или многосвязной.

Необходимость решения задач рассматриваемого в диссертации класса часто возникает в различных областях техники. Эти задачи весьма разнообразны, каждая из них имеет свои особенности. К их числу могут быть отнесены такие задачи, требующие математического моделирования объектов как балок и плит, опирающихся на различного вида деформируемые основания, как, например, расчет конструкций фундаментов; понтонных мостов; подпорных стенок; многоопорных валов некоторых механизмов и машин, трубопроводов и т.д.

В качестве объекта исследования в диссертации рассматривается система «основание-плита» покрытия временной автомобильной дороги. Предмет исследования - взаимодействие плиты и основания.

Актуальность решения задач, связанных с моделированием названных систем обусловлена как потребностями инженерной практики строительства и эксплуатации автомобильных дорог различного назначения, так и необходимостью совершенствования методов расчета и анализа напряженно-деформированного состояния дорожных покрытий.

Анализ литературы по теме работы показывает, что существующие методики расчета дорожных одежд, например, нежесткого типа из-за сложности, громоздкости трудны для практического применения. Стремление к ее упрощению приводит к необходимости в ущерб точности ориентироваться на простейшие вычислительные операции или использование таблиц [81, 72], что входит в противоречие с необходимостью более полного учета накапливаемых эмпирических данных.

Как известно, на основе обобщения практического опыта разрабатываются СНиПы (строительные нормы и правила), представляющие собой свод требований, которые должны выполняться при проектировании новых и эксплуатации существующих инженерных сооружений. Однако, и в СНиП можно встретить пункты рекомендательного характера, а также пункты, в которых нет детальной регламентации действий разработчика проекта или инженера-расчетчика. Отсутствие детальной регламентации свидетельствует о недостаточной изученности соответствующих аспектов проблемы и по умолчанию требует концентрации внимания исследователей именно на них.

Обращает на себя внимание в этой связи, например, пункт 7.23 СНиП 2.05.02-85. Автомобильные дороги [73]: «Напряжения и деформации нежестких дорожных одежд и земляного полотна под действием расчетной нагрузки следует определять с применением методов теории упругости с учетом наихудших из возможных условий сопряжения слоев на контакте». Приемлемый для инженеров метод определения наихудших из возможных условий сопряжения слоев на контакте был бы указан в СНиП, если бы такой метод существовал. Обратим также внимание, например, на пункт 3.2 Отраслевых дорожных норм ОДН [48]: «Методика оценки прочности конструкции включает как оценку прочности конструкции в целом (с использованием эмпирической зависимости допускаемого упругого прогиба от числа приложений нагрузки), так и оценку прочности с учетом напряжений, возникающих в отдельных конструктивных слоях и устанавливаемых с использованием решений теории упругости.»

Не перечисляя очевидные преимущества новых компьютеризированных подходов, отметим, что в настоящее время очевидна необходимость разработки эффективной в вычислительном отношении математической модели для решения определенного класса задач о взаимодействии основания и плиты покрытия автомобильной дороги. При этом особую актуальность, что также очевидно, имеет разработка модели достаточно полной, но не избыточно сложной, и с удобной компьютерной реализацией. Заметим, что для инженеров важна физическая «прозрачность» моделей и алгоритмов, используемых при ее компьютерной реализации. Перечисленные требования отвечают основным положениям методологии математического моделирования [71]. В соответствии с ними построение математической модели исследуемого объекта предшествует его физическое описание. В этой связи дальнейшее изложение конкретизируется и, поскольку рамки данного диссертационного исследования имеют естественные ограничения, основное внимание фокусируется на определенной механической системе, на примере которой и разрабатываются без ущерба для возможных обобщений все ключевые аспекты темы исследования. В итоге полученные результаты вполне допускают возможность их применения в моделях других систем, относящихся к тому же классу, что и исследованный объект.

Переходя к более детальному описанию объекта исследования, отметим следующее. С целью сделать рассматриваемые модели «балка-основание», «плита-основание» более определенными, в качестве физического объекта для исследования приняты балки и плиты временных автомобильных дорог, используемых в лесопромышленном комплексе. Необходимость строительства лесохозяйственных и лесовозных дорог круглогодичного действия является одной из важных проблем в развитии лесопромышленного комплекса. Отстутствие надежных лесовозных дорог особенно осложняет работу в весенне-летний период. Срок службы автомобилей, работающих на неустроенных грунтовых дорогах составляет всего 2-4 года. Срок эксплуатации самих дорог не превышает 10 лет. Лесозаготовительные предприятия вынуждены выполнять большие объемы работ по размещению, строительству и содержанию временных лесовозных дорог. Очевидна актуальность рационального использования финансовых средств, предназначенных для строительства временных дорог, а это предполагает применение оптимальных технических и технологических проектных решений. Вопрос о совершенствовании методик расчета дорожных одежд постоянно находится в зоне внимания разработчиков [8, 9, 26, 46].

Различающиеся по конструкции временные лесовозные дороги, устраиваемые из железобетонных плит, деревянных щитов, лесосечных отходов, грунтовые, гравийные, зимние снежные и ледяные, можно адекватно моделировать как балки или плиты, лежащие на грунтовом основании. Механические свойства грунтов намного сложнее, чем свойства многих других материалов, с которыми приходится иметь дело проектировщику. Анализ работы балок, плит, лежащих на упругом основании ведется на основе различных механических расчетных моделей грунта. Основание временных автомобильных дорог, образованное как правило несвязными или почти несвязными грунтами, которые почти не обладают распределительными свойствами, позволяет с достаточно высокой степени корректности применить классическую гипотезу Винклера о пропорциональной зависимости между контактным давлением и осадкой основания [78, 79, 81]. Необходимо подчеркнуть, что выбор конкретной механической модели основания нисколько не снижает общности рассуждений и сделан лишь с целью избежать излишней детализации.

Затруднения при моделировании плит (балок), лежащих на грунтовом основании отражает то обстоятельство, что грунт сопротивляется только надавливанию, и не препятствует перемещению точек плиты в противоположном направлении. При определенных загружениях по некоторому участку может возникнуть отрыв плиты от основания, причем зона отрыва (следовательно, зона контакта) заранее неизвестна.

Классические методы расчета балок и плит на упругом основании, как правило, основываются на предположении, что зона контакта конструкции и грунта известна. Если это не так, то предлагается после получения результатов первого расчета скорректировать первоначальные предположения о зоне контакта и расчет повторить, превращая его, таким образом в итерационную процедуру «проб и ошибок» [61, 24, 78, 20, 72]. Но сходимость итерационной процедуры к правильному решению не всегда обеспечена.

Между тем, механическая система «балка-основание», «плита-основание», в которой грунт сопротивляется перемещению опирающейся на него конструкции только в одном направлении, является типичным примером механической системы с односторонними связями.

Существует подход, позволяющий свести расчет конструкции с односторонними связями к задаче квадратичного программирования [51, 53] или линейной задаче о дополнительности [50, 58, 44]. Однако, известные методы и алгоритмы в силу универсальности создаваемых ими вычислительных схем, могут оказаться избыточно сложными и вычислительно трудоемкими при решении конкретных задач.

В существующих програмных комплексах конечно-элементного расчета механических систем к решению односторонних задач применяют итерационные методы. И хотя быстродействие современных компьютеров позволяет использовать в моделях итерационные алгоритмы, необходимость перехода к более экономичным шаговым алгоритмам (если они существуют) при решении задач этого класса очевидна. На такую необходимость указывает, в частности, опыт исследователей Мюнхенского технического университета, отраженный в статьях [57, 58]. Анализ литературы по теме исследования, включая Интернет-ресурсы, показывает, что в настоящее время предпринимаются интенсивные поиски новых алгоритмов решения, однако цель этих работ еще не достигнута.

На основе анализа состояния вопроса сформулирована цель диссертационной работы - разработка эффективных в вычислительном отношении моделей и алгоритмов для решения задач конечно-элементного анализа контактного взаимодействия плит и балок с основанием.

Алгоритмы, использованные в предпринятом исследовании, относятся к тому же классу, что и недавно предложенные в монографии [34] для решения задач классической строительной механики.

Научная новизна представленной работы состоит в том, что в ней впервые, насколько известно автору, предпринята попытка развития и применения алгоритмов данного класса в конечно-элементных моделях, что привело к выявлению остававшихся незамеченными возможностей. В результате рассмотрения известной интерпретации расчета механической системы как решения линейной задачи о дополнительности выявлена возможность применения одного из существующих алгоритмов ее решения в конечно-элементном моделировании. С использованием выявленной возможности разработан вариант алгоритма последовательного выключения связей, предназначенный для использования в конечно-элементных моделях. Предлагаемая методика органично вписывается в стандартную процедуру метода конечных элементов. Предложенный подход, таким образом, эффективен в вычислительном отношении не только с точки зрения объема вычислений, но и поскольку не требует использования новых, специальных типов конечных элементов, а, следовательно, не требует создания принципиально новых программных комплексов. Предложенный вариант алгоритма впервые использован при моделировании контактного взаимодействия деформируемого основания и плиты на примере покрытия временных автомобильных дорог. Результаты тестирования разработанного алгоритма позволяют рекомендовать его для использования в качестве несложного, физически «прозрачного» и эффективного в вычислительном отношении инструмента исследования напряженно-деформированного состояния балок, плит, системы плит на упругом основании. Тестирование разработанных в диссертации алгоритмов позволяет надеяться на возможность их использования при решении задач более широкого класса, чем те, которые возникают при численном моделировании балок и плит на упругом основании, что указывает на перспективы, находящиеся, однако, за пределами данного исследования. Безусловно, разработанные в диссертации новые алгоритмы не являются универсальными, однако в конечно-элементных моделях с ограничениями параметров состояния в виде нестрогих неравенств эти алгоритмы представляют собой достаточно экономичную альтернативу другим известным вычислительным схемам решения таких задач.

Достоверность полученных результатов потверждается их теоретическим обоснованием и согласованностью с решениями известных по литературе тестовых примеров [50, 53]. Достоверность данных, полученных с использованием разработанной модели контактного взаимодействия подтверждена их адекватностью известным по литературе результатам испытаний плиты дорожного покрытия [37].

Представленная работа состоит из четырех разделов и введения.

В первом разделе описаны элементы теории механических систем с односторонними связями, обращается внимание на актуальность совершенствования математических моделей механических систем с односторонними связями. Кратко описана история развития подходов, применяемых при построении моделей исследуемых объектов, выявлены затруднения возникающие при компьютерной реализации известных моделей. Рассмотрен вариант анализа механических систем с односторонними связями, сводящий задачу к линейной задаче о дополнительности, описываются вычислительные особенности существующих алгоритмов ее решения, выбран алгоритм, на основе которого предлагается исследовать конечно-элементные модели механических систем с односторонними связями.

Во втором разделе рассматриваются в развитии различные подходы, применяемые при анализе балок и плит на упругом основании. Предлагается и обосновывается вариант моделирования рассматриваемых объектов как механических систем с односторонними связями.

В третьем разделе рассматривается вариант использования алгоритма последовательного выключения связей в конечно-элементном анализе механических систем с односторонними связями.

В четвертом разделе демонстрируется применение разработанных алгоритмов в задачах моделирования балок и плит на упругом основании.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Раковская, Марина Ивановна

Основные выводы и рекомендации

1. Предложен вариант моделирования системы «плита (балкар-основание» как системы с односторонними связями, позволяющий в удобной форме описать взаимодействие этих объектов и использовать элементы теории односторонних связей при решении контактной задачи.

2. Разработана методика конечно - элементного моделирования механических систем с односторонними ограничениями перемещений, основанная на алгоритме последовательного выключения связей. Разработанная методика позволяет получить решение задачи контактного взаимодействия за конечное число шагов и с гарантированной сходимостью, в отличии от итерационных методов, традиционно применяемых в конечно-элементных программных комплексах. Объем вычислений при анализе механической системы с односторонними связями с использованием предложенной методики не превышает объема вычислений при обычном линейном расчете аналогичной механической системы с двухсторонними связями.

3. Компьютерная реализация предложенной методики не требует создания принципиально новых программных комплексов, поскольку сводится к дополнению известных комплексов несложной расчетной процедурой, осуществляющей алгебраические преобразования матриц, входящих в соотношения метода конечных элементов.

4. Разработанная методика апробирована на решении ряда задач, встречающихся при проектировании дорожных покрытий. Это задачи определения зоны контакта плиты (балки) с основанием, определения усилий для дальнейшего поектирования конструкции, построения графиков зависимости усилий и прогибов от положения нагрузки на плите (балке), моделирования системы связанных между собой плит (балок).

5. Апробация разработанной методики позволяет сделать предположения о возможности ее использования при решении задач более широкого класса, чем рассматриваемые в данной работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Раковская, Марина Ивановна, 2004 год

1. Алейников С.М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственных неоднородных оснований / С.М. Алейников, Рос.нац.ком. по механике грунтов и фундаменто-строению. -М.:АСВ, 2000. 754с.

2. Александров В.М. Механика контактных взаимодействий / В.М. Александров, И.И. Ворович. М.: Физматлит, 2001. 672с.

3. Александров A.B. Сопротивление материалов / A.B. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин, М.: Высш. шк., 1995, 560с.

4. Альберт И.У. Анализ динамической реакции конструктивно-нелинейных механических систем / И.У. Альберт, В.А. Петров, А.Б. Скворцова // Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. 2002. Т.241. С.38-59.

5. Аргатов И.И. Энергетические теоремы и вариационные принципы механики упругих систем с односторонними связями / И.И. Аргатов // Изв. вузов. Строительство. 1998. №9. С.15-20.

6. Аргатов И.И. Расчет штабеля контейнеров с найтовами как механической системы с односторонними связями / И.И. Аргатов //Судостроение. 2000. №2. С.21-23.

7. Аргатов И.И. К вопросу расчета постановки судна в док / И.И. Аргатов // Судостроение. 2000. №5. С.12-13.

8. Афиногенов О.П. Сборно-монолитные покрытия технологических автомобильных дорог / О.П. Афиногенов. Новосибирск: Наука, 1997. 142с.

9. Афиногенов О.П. Обеспечение эффективности жестких одежд карьерных автомобильных дорог / О.П. Афиногенов. Кемерово: Куз-бассвузиздат, 1998. 120с.

10. Бабков В.Ф. Основы грунтоведения и механики грунтов / В.Ф. Бабков, A.B. Генбург-Гейбович, М.: Высшая школа, 1986. 239с.

11. Безволев С.Г. Программные средства для проектирования фундаментных плит и перекрестных лент / С.Г. Безволев // Промышленное и гражданское строительство. 2003. №1. С.39-41.

12. Васильков Г.В О решении проектных задач строительной механики с учетом генезиса конструкций и сооружений / Г.В. Васильков, С.А. Холькин // Изв.вузов. Строительство. 2001. №7. С.11-14.

13. Вентцель Е.С. Исследование операций / Е.С. Вентцель, М.: «Советское радио», 1972. 552с.

14. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М., Мир, 1984.

15. Герсеванов Н.М. К вопросу о бесконечно длинной балке на упругой почве, нагруженной силой / Н.М. Герсеванов, М.: Стройвоенмориз-дат, 1948. 270с.

16. Главачек И. Решение вариационных неравенств в механике / И.Главачек, Я. Гаслингер, И. Нечас. М.: Мир, 1986. 272с.

17. Гольдштейн Ю.Б. Статика стержневых конструкций / Ю.Б.Гольдштейн, Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 1997. 276с.

18. Горбунов-Посадов М.И. Балки и плиты на упругом основании / М.И Горбунов-Посадов, М.:Машстройиздат, 1949. 239с.

19. Горбунов-Посадов М.И. Таблицы для расчета тонких плит на упругом основании / М.И. Горбунов-Посадов, М.: Госстройиздат, 1959. 98с.

20. Горбунов-Посадов М.И. Расчет конструкций на упругом основании / М.И Горбунов-Посадов, Т.А. Маликова, В.И. Соломин, М.:Стройиздат, 1984. 679с.

21. Гордеев В.Н. Расчет упругих систем с односторонними связями ■ как задача квадратичного программирования /В.Н. Гордеев, A.B.

22. Перельмутер //Исследования по теории сооружений. Вып.15. М.: Стройиздат, 1967. С.208-212.

23. Грибов А.П. Решение задачи изгиба пластины на упругом основании методом граничных интегральных уравнений / А.П. Грибов, Н.И. Куканов // Вестник Ульяновского государственного технического университета. 2001. №3. С.60-71.

24. Жемочкин Б.Н. Расчет рандбалок и перемычек / Б.Н. Жемочкин, М.: Госстройиздат, 1960.227с.

25. Жемочкин Б.Н. Практические методы расчета фундаментных балок и плит на упругом основании / Б.Н. Жемочкин, А.П. Синицын, М.: Госстройиздат, 1962. 239с.

26. Зуховицкий С.И. Линейное и выпуклое программирование / С.И. Зуховицкий, Л.И. Авдеева; М.: Наука. 1964. 348с.

27. Карпов Б.Н. Сборные многокомпонентные дорожные покрытия. / автореф. дис. д.т.н., дис.совет Д063.31.04, дат.защ. 6.04.2000., СПб-ГАСУ, 2000.

28. Ким Т.С. Расчет систем с одностороннимим связями как задача о дополнительности / Т.С. Ким, В.Г. Яцура // Строительная механика и расчет сооружений. 1989. №3. С.41-44.

29. Кйндерлерер Д. Введение в вариационные неравенства и их приложения / Д. Кйндерлерер, Г. Стампаккья. М.: Наука, 1983. 256с.

30. Колесников Г. Н. Трехмерная модель скелетно-мышечной системы опорно-двигательного аппарата человека. / Г.Н. Колесников // Тезисы докладов V Всероссийской конференции по биомеханике, Н. Новгород, 29 мая 2 июня 2000 г., С. 84.

31. Колесников Г.Н. Об очередности жордановых исключений в алгоритмах моделирования механических систем с односторонними связями / Г.Н. Колесников Петрозаводск: Изд-во ПетрГу, 2003. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 21.11.03, №2028 В2003.

32. Колесников Г.Н. Дискретные модели механических и биомеханических систем с односторонними связями. / Г.Н. Колесников Петрозаводск: Изд-во ПетрГу, 2004. 204 с.

33. Коренев Б.Г. Вопросы расчета балок и плит на упругом основании / Б.Г. Коренев, М.: Гос. изд-во лит. по стр-ву и арх-ре, 1954. 232с.

34. Коренев Б.Г. Расчет плит на.упругом основании / Б.Г. Коренев, Е.И. Черниговская, М.: Госстройиздат, 1962. 355с.

35. Кочанов А.Н. Исследование некоторых направлений совершенствования колейных покрытий из железобетонных плит на лесовозных дорогах. / А.Н. Кочанов, дис. канд.техн.наук по спец. 05.22.12, Ленинград, 1979. 233с.

36. Крылов А.Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании / А.Н. Крылов, М.: Изд. АН СССР, 1931. 154с.

37. Кузнецов В.И. Упругое основание. Расчеты балок, плит и рам / В.И. Кузнецов, М., 1952. 296с.

38. Кузнецов Ю.Н. Математическое программирование / Ю.Н. Кузнецов, В.И. Кузубов, A.B. Волощенко, М.: Высш.школа, 1980. 300с.

39. Куканов Н.И. Применение преобразования Фурье для получения фундаментального решения задачи изгиба пластины на упругом основании / Н.И. Куканов // Вестник Ульяновского государственного технического университета. 2001. №3. С.108-110.

40. Леонарде Дж.А. Основания и фундаменты / Дж.А. Леонарде, Дж.Ф. Сауерс, Р.Д. Челлис, М.: Стройиздат, 1968. 504с.

41. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионе, М.: Наука, 2002. 588с.

42. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики / П.А. Лу-каш. М.: Стройиздат, 1978. 204с.

43. Мошков JI.В. Динамическое взаимодействие плит водобоев с водо-насыщенным основанием /Л.В. Мошков // Известия ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. 2000. Т.236. С.73-76.

44. Отраслевые дорожные нормы. ОДН.218.046-01. Проектирование нежестких дорожных одежд. М.: 2001.

45. Палатников Е.А. Прямоугольная плита на упругом основании / Е.А. Палатников, М.: Стройиздат, 1964. 236с.

46. Панагиотопулос П. Неравенства в механике и их приложения. Выпуклые и невыпуклые функции энергии. / П. Панагиотопулос. М.: Наука, 1989. 494с.

47. Перельмутер A.B. Использование методов квадратичного программирования для расчета систем с односторонними связями / A.B. Перельмутер // Исследованиям теории сооружений. Вып.19. М.: Стройиздат, 1972. С. 138-147.

48. Прельмутер A.B. О сходимости уточнения рабочей схемы / A.B. Перельмутер // Строительная механика и расчет сооружений 1978 №5 С.76-77

49. Перельмутер A.B. Расчетные модели сооружений и возможность их анализа / A.B. Перельмутер, В. И. Сливкер. Киев: Изд-во "Сталь", 2002. 600с.

50. Попов Л.Д. Введение в теорию, методы и экономические приложения задач о дополнительности /Л.Д.Попов. Екатеринбург: Изд-во Уральского гос.ун-та, 2001. 124 с.

51. Постнов В.А. Строительная механика корабля и теория упругости. Т.1,2 / В.А. Постнов, В.П. Суслов, JI.: Изд-во Судостроение, 1987, т.1 287с.

52. Пузыревский H.H. Основания и фундаменты / H.H. Пузыревский, М.: Стройиздат, 1923. 235с.

53. Пфайффер Ф. Контакты в системах твердых тел / Ф. Пфайф-фер, К. Глоккер //Прикладная математика и механика Т.64. Вып.5,2000, с.805-816.

54. Пфайффер Ф. Системы многих тел с односторонними связями / Ф. Пфайффер //Прикладная математика и механика Т.65. Вып.4,2001, с.681-687.

55. Рабинович И.М. Некоторые вопросы теории сооружений, содержащих односторонние связи / И.М. Рабинович //Инженерный сборник. T.VI. M.,JI.: Изд-во АН СССР, 1950.

56. Рабинович И.М. Вопросы теории статического расчета сооружений с односторонними связями / И.М. Рабинович. М.: Стройиздат, 1975. 144с.

57. Рабинович И.М. Курс строительной механики стержневых систем, т. 1,2. / И.М. Рабинович. М.: Гос. изд. литературы по строительству и архитектуре, 1954. 544с.

58. Раковская М.И Алгоритмы моделирования механических систем с односторонними связями / М.И. Раковская // Материалы третьей междисциплинарной конференции ,|НБИТТ-21М, Петрозаводск, 21-23 июня 2004г., С.68.

59. Раковская М.И. Об одном алгоритме решения линейной задачи о дополнительности / М.И. Раковская; ПетрГУ. Петрозаводск, 2004. Юс. Деп в ВИНИТИ 06.08.2004, ДО1378-В2004.

60. Реклейтис Г. Оптимизация в технике: В 2-х кн. Кн.2 / Г. Реклейтис, А. Рейвиндран, К. Рэгсдел. М.: Мир, 1986. 320с.

61. Ржаницын А.Р. Строительная механика / А.Р. Ржаницын. М.: Высш. школа, 1982. 400с.

62. Розин JI.A. Задачи теории упругости и численные методы их решения / JI.A. Розин, СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. 532 с.

63. Розин Л.А. Вариационные постановки задачи теории упругости с идеальными одностороннимим связями / Л.А. Розин // Метод конечных элементов и строительная механика: Тр.ЛПИ, №363. Л., 1979. С.3-15.

64. Рудых O.JL Введение в нелинейную механику / O.JI. Рудых, Г.П. Соколов, B.JI. Пахомов. М.: Изд-во Ассоциации Строительных ВУЗов, 1999. 103с.

65. Самарский A.A. Математическое моделирование: Идеи, Методы, Примеры /A.A. Самарский, А.П. Михайлов. 2-е изд., М.: Физмат-лит, 2001. 320с.

66. Симвулиди И.А. Расчет инженерных конструкций на упругом основании / И.А. Симвулиди, М., Высш.школа, 1978. 480с.

67. Строительные Нормы и Правила 2.05.02-85. Автомобильные дороги. М.: 1997.

68. Снитко Н.К. Статическое и динамическое давление грунтов и расчет подпорных стенок / Н.К. Снитко, Л.: Стройиздат, 1970. 207с.

69. Тимошенко С.П. История науки о сопротивлении материалов / С.П. Тимошенко. М.: Гос. изд-во технико-теорет. лит., 1957. 536с.

70. Федоровский В.Г. Прогноз осадок фундаментов мелкого заложения и выбор модели основания для расчета плит / В.Г. Федоровский, С.Г. Безволев // Основания, фундаменты и механика грунтов. 2000. №4. С.10-18.

71. Фикер Г. Теоремы существования в теории упругости / Г. Фикер. М.: Мир, 1974. 160с.

72. Филин А.П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. Т.2. Сопротивление материалов с элементами теории сплошных среди строительной механики / А.П. Филин, М.: Наука, 1978. 616с.

73. Флорин В.А. Основы механики грунтов, в 2 т. / В.А. Флорин, М.: Стройиздат, 1959. 900с.

74. Хечумов P.A. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций / P.A. Хечумов, X. Кепплер, В.И. Прокопьев, М.: Издательство Ассоциации Строительных ВУЗов, 1994. 353с.

75. Черкасов И.И. Механические свойства грунтов в дорожном строительстве / И.И. Черкасов, М.: Изд-во Транспорт, 1976. 247с.

76. Черкасов И.И. Механические свойства грунтовых оснований / И.И. Черкасов, М.: Автотрансиздат, 1958. 156с.

77. Швецов Г.И. Основания и фундаменты: Справочник / Г.И. Швецов, И.В. Носков, А.Д. Слободян, Г.С. Госькова, М.: Высш.шк., 1991. 383с.

78. Цыпук A.M. Обоснование размеров области напряжений в почве под действием механической нагрузки / A.M. Цыпук // Тр.лесоинженерного факультета ПетрГУ. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 1999. - вып.2. - С.172-174.

79. Цыпук A.M. Определение колеи лесных машин / A.M. Цыпук, A.B. Родионов // Лесная промышленность. 2004. - №.2 - С.21-22.

80. Цытович H.A. Механика грунтов / Н.А.Цытович, М.: Стройиздат, 1951. 528с.

81. Якимкин О.В. Численный анализ деформирования элементов трехслойных конструкций с учетом эволюции расслоений / О.В. Якимкин, автореф. дис. канд.техн.наук по спец. 05.23.17, Киев, нац. ун-т стр-ва и арх.- Киев. 2000. 19с.