Дискретные динамические системы с соленоидальными базисными множествами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Исаенкова, Наталья Викторовна

• Исаенкова, Наталья Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Исаенкова, Наталья Викторовна

Содержание

Введение

1 Динамика соленоидальных базисных множеств

1.1 Основные определения и обозначения

1.2 Представление соленоида в виде обратного предела

1.3 Неособые эндоморфизмы окружности

1.4 Доказательство основных теорем

1.5 Реализация базисных множеств диффеоморфизма БУ

2 Необходимое условие сопряженности

2.1 Основные понятия и постановка задачи

2.2 Классификация ё-накрытий окружности

2.3 Необходимое условие сопряженности диффеоморфизмов БУ

3 О внутренней и окрестностной классификации аттракторов

3.1 Основные определения

3.2 Конструкция диффеоморфизма с одномерным растягивающимся аттрактором

3.3 Внутренне сопряженные, но окрестностно не сопряженные диффеоморфизмы

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дискретные динамические системы с соленоидальными базисными множествами»

Введение

Одной из основных задач качественной теории динамических систем является классификация диффеоморфизмов с точностью до (топологической) сопряженности. При решении задачи классификации выделяется класс диффеоморфизмов, внутри которого сперва решается задача топологической эквивалентности (нахождение необходимых и достаточных условий существования гомеоморфизма многообразия, переводящего орбиты одного диффеоморфизма в орбиты другого диффеоморфизма, с наличием коммутативной диаграммы отображений) и задача реализации. При этом один из этапов состоит в описании возможных инвариантных множеств, определяющих динамику диффеоморфизмов из рассматриваемого класса. Благодаря работам Аносова Д.В., Плыкина Р.В., Смейла С. и др. было установлено, что даже у структурно устойчивых (грубых) диффеоморфизмов могут быть сложно устроенные с топологической точки зрения инвариантные множества. Одним из первых примеров таких множеств является соленоид.

Соленоиды изучаются в таких разделах математики, как топология, теория групп и теория динамических систем. Как инвариантное множество динамической системы, соленоид впервые появился в книге "Качественная теория дифференциальных уравнений" Немыцкого В.В. и Степанова В.В. В гиперболическую теорию динамических систем соленоиды были введены Смейлом С., который построил несколько (ставших уже, классическими) примеров структурно устойчивых и Г2-устойчивых диффеоморфизмов с притягивающими инвариантными множествами (растягивающимися аттракторами). Напомним, что основы гиперболической

теории были заложены в работах Аносова Д.В., Синая Я.Г., Смейла С. и др., и восходят к работе Андронова A.A., Понтрягина J1.C. о грубых потоках на плоской области. Естественно ввести и рассмотреть класс диффеоморфизмов, для которых соленоид является гиперболическим инвариантным множеством (или базисным множеством), либо содержит гиперболические инвариантные множества.

В данной диссертации вводится и изучается класс диффеоморфизмов с инвариантными соленоидальными множествами, который включает в себя классический пример Смейла с соленоидальным растягивающимся аттрактором. Описаны все возможные типы инвариантных (базисных) множеств и получено необходимое условие сопряженности ограничений диффеоморфизмов на базовых многообразиях. Решена задача классификации d-накрытий окружности (в частности, неособых эндоморфизмов окружности). Кроме этого, построены примеры, демонстрирующие разницу между внутренней классификацией обобщенных соленоидов, полученной Вильямсом Р., и окрестностной классификацией, которая рассматривается в данной диссертации.

Соленоид впервые был введен Виеторисом в 1927 году, как пример однородного множества, для которого была не применима стандартная теория гомологий и когомологий. Однородность означает, что локальная структура соленоида одинакова во всех точках соленоида. Известно, что соленоидом называется множество, которое можно представить в виде пересечения последовательности полноторий Bi Э В2 D ... D Bi D ■ ■ таких, что для любого г > 1 ось полнотория обходит щ > 2 раз ось полнотория В{, не образуя крюков, см. рис. 1. Нетрудно видеть, что соленоид является множеством канторовского типа (совершенным, нигде не плотным), связным и вполне разрывным континуумом, локально гомеоморфным произведению отрезка на канторово множество. Топологическая размерность соленоида равна единице. Развитие понятий гомологии и когомологии для таких множеств, как соленоид, привело в дальнейшем к известным понятиям гомологии и когомологии Чеха.

Рисунок 1: Представление соленоида

Независимо в 1930 году Ван Данциг [45] ввел понятие соленоида в виде компактной абелевой топологической группы. Наиболее общее теоретико-множественное определение соленоида было дано в 60-х гг. ХХв. Бингом [40], [41], который доказал, что соленоид представляет собой неразложимым континуум [26], [40], не вкладывающийся в поверхность [41].

Как объект теории динамических систем в 40-х гг. ХХв. соленоид появился в книге [27] (гл.4, п.8). Авторы построили пример потока на пол-нотории с минимальным локально-несвязным множеством, состоящим из почти периодических траекторий. Полученное минимальное множество являлось соленоидом. Итта Кан [53] рассматривал потоки на полнотории D2 х б4, трансверсальные границе полнотория и всем дискам D2 х где t G S1. Автор описал всевозможные типы минимальных множеств, среди которых был и соленоид.

В современную теорию динамических систем соленоиды ввел Смейл [65]. Он построил пример диффеоморфизма полнотория в себя вида: f(ip,x,y) = (2tp, jqX + \ eos jqU + | sin ipj. Смейл доказал, что данный диффеоморфизм имеет притягивающее инвариантное множество ST П ¡(ST) П /2(6Т) П • • • = П f(ST), где ST = S1 х D2, гомеоморф-ное соленоиду с гиперболической структурой. Первым обобщением данного примера была конструкция Р. Вильямса, который рассматривал обобщенные соленоиды [69] - [71] и получил их внутреннюю классификацию. Это означает, что Вильяме получил необходимое и достаточное

условие сопряженности ограничений двух диффеоморфизмов на их одномерные растягивающиеся аттракторы, гомеоморфные соленоиду. Отметим работы учеников Р. Вильямса, относящиеся к данному направлению [39], [46], [47], [55].

Параллельно обобщенные соленоиды с геометрической точки зрения изучались в работах Плыкина Р.В. [28] - [30], его учеников и коллег [18]-[20], [21], [25], [32]. Важный класс обобщенных соленоидов составляют одномерные растягивающиеся аттракторы на двумерных поверхностях. Внешняя классификация таких аттракторов произведена Плыки-ным Р.В., Гринесом В.З. и их учениками [7]-[15]. Одномерные растягивающиеся аттракторы на трехмерных многообразиях изучались немецким математиком Боте [42], [43]. В частности им изучалось локальное вложение аттрактора в многообразие и рассматривались вопросы продолжения диффеоморфизма с трехмерного полнотория на замкнутые трехмерные многообразия. Инвариантные соленоидальные множества естественным образом возникают в бифуркациях многомерных динамических систем с непрерывным временем, связанных с разрушением седлоузловых предельных циклов. Открытие и изучение подобных бифуркаций было получено в работах Шильникова Л.П., Ильяшенко Ю.С. и их учеников [5], [6], [23], [33]. Отметим, что пример Смейла можно рассматривать как косое произведение отображения диска над окружностью. Такие произведения изучались Ильяшенко Ю.С. [23], Ефремовой Л.С. [16], [17].

В I главе диссертации подробно изучаются диффеоморфизмы, являющиеся обобщением конструкции Смейла и получившие в дальнейшем название диффеоморфизмов класса БУ1.

Пусть диффеоморфизм / : Мп —» Мп, удовлетворяющий аксиоме А Смейла, замкнутого п-многообразия Мп принадлежит классу БУ, если существует вложенное в Мп базовое многообразие Вп = б'1 х £)п-1 такое, что ограничение /[^ ^ является диффеоморфизмом .Р : Вп —> _Р(£>П) С Вп на свой образ, который удовлетворяет следующим условиям:

1 Аббревиатура БУ составлена из первых букв фамилий Бтак, У^опв

• F имеет вид

F(t,z) = (g(t),w(t,z)), teS\ zeDn-\ (1)

где g : S1 —» 51 - неособый С1 эндоморфизм степени d > 2;

• при фиксированном t £ S1 преобразование w\u\XDn-i : {¿} х Dn~~l Вп является равномерно сжимающим С1 вложением

{¿} х Dn~l ^ int ({g(t)} х D71'1) (2)

т.е. существуют константы 0 < Л < 1, С>0 такие, что

diam (Fk({t} х Dn~1)) < C\kdiam ({¿} x D71'1), \/k G N. (3)

PaccMOTppiM F G »S'y, тогда пересечение nfc>oFk{Bn) = Sol (F) является соленоидом. Главными результатами этой главы является изучение динамики диффеоморфизмов SV, сосредоточенной на базовом многообразии, описание неблуждающего множества и возможных базисных множеств.

Теорема 0.1 Пусть f : Мп —> Мп - диффеоморфизм из класса SV замкнутого п-многообразия Мп. Тогда

1. Ограничение f\s0i (F) сопряжено обратному пределу отображения

g-

2. Неблуждающее множество содержит ровно одно нетривиальное базисное множество Л(F), которое есть либо

• одномерный растягивающийся аттрактор, и тогда Л (F) = Sol (F), либо

• нульмерное базисное множество, и тогда NW(F) состоит из Л(F), конечного (ненулевого) числа стоковых периодических точек и конечного (возможно, нулевого) числа седловых изолированных периодических точек.

Обе возможности реализуются.

Первая часть теоремы, посвященная построению обратного предела отображения д, подробно представлена в параграфе 1.2. Важной для решения этой задачи является лемма, в которой строится символическая модель ограничения отображения F на соленоид Sol (F).

Для того чтобы понять как устроено неблуждающее множество диффеоморфизмов 5V, необходимо рассмотреть неблуждающее множество отображения, являющегося обратным пределом неособого эндоморфизма окружности д. Поэтому параграф 1.3 посвящен изучению неблуждающего множества таких эндоморфизмов.

Пусть д : S1 —S1 - неособый эндоморфизм степени d > 2. Рассмотрим непрерывное и сохраняющее ориентацию отображение h : Sl —> /г(51) = S1. Из результата Шуба [64] следует равенство hog = E¿oh, где E¿ : S1 —> S1 - линейный растягивающий эндоморфизм степени d> 2.

Обозначим через Е° подмножество таких х £ S1, что h~l(h{x)) - одна точка. Множество S1 \ Е° представляет собой объединение попарно непересекающихся замкнутых интервалов. 51\S° = U-^Ja^ b¿], причем можно считать, что h"1 (/i[a¿, = [a¿, 6¿] для всех г £ N, и [a¿, П bj] = 0, при i у^ j. Интервалы [a¿,6¿] называются смежными. Соответствующие открытые интервалы (a¿, - открытыми смежными. Смежный интервал [а, Ъ) называется периодическим, если 6]) = [а, 6] для некоторого k £ N, концевые точки периодического смежного интервала являются периодическими точками.

Обозначим через Е объединение Е° со всеми концевыми точками a¿, b{ смежных интервалов множества S1 \ Е°, Е — Е° (J¿>1 U {&?})•

Если g - транзитивный эндоморфизм, то NW(g) = S1. Когда g -нетранзитивный, то NW(g) ф S1. Следующая лемма описывает неблуждающее множество таких эндоморфизмов.

Лемма 0.1 Пусть g : S1 —> S1 - неособый и нетранзитивный эндоморфизм степени d > 2. Тогда его неблуждающее множество NW{g) есть объединение Е со всеми периодическими точками из открытых смежных интервалов.

Вторая часть теоремы, где изучается неблуждающее множество диффеоморфизма рассматриваемого класса, принадлежащее базовому многообразию и содержащее одно нетривиальное базисное множество, изложена в параграфе 1.4. В последнем параграфе 1.5 данной главы приводятся примеры диффеоморфизмов класса SV, которые реализуют два случая, рассмотренные в теореме 1.4. Первый случай, когда неблуждающее множество содержит ровно одно нетривиальное базисное множество Л(F) — Sol (F) - это классический пример Смейла [65] диффеоморфизма полнотория в себя. Неблуждающее множество этого диффеоморфизма совпадает с соленоидом и является одномерным растягивающимся аттрактором. Поэтому в параграфе подробно рассматривается построение диффеоморфизма 5V, у которого неблуждающее множество в базовом мноогообразии состоит из нетривиального нульмерного базисного множества и конечного (ненулевого) числа стоковых периодических точек.

Также в этой главе рассматриваются топологические свойства несущих многообразий, и следующая теорема описывает топологическую структуру 3 - многообразий, допускающих диффеоморфизмы этого класса, доказательство которой приведено в параграфе 1.4.

Теорема 0.2 Пусть f : М3 —)► Мъ - диффеоморфизм класса SV замкнутого 3-многообразия М3. Тогда М3 можно представить в виде связной суммы М3 = LP)q#Mi линзы р > 1, и некоторого 3-многообразия М\. Более того, существует 3-шар В С Lpñ такой, что ЬР)Ч \ В С М3 и базовый полноторий принадлежит Ьрл \ В. На любой линзе Lp^q, р > 1, существует диффеоморфизм f : Трл —Ьрл класса SV.

Как будет показано ниже, из внутренней классификации соленоидаль-ных базисных множеств не следует окрестностная классификация. Если рассматривать эту задачу в обратном порядке, то смысл становится более понятным, то есть из окрестностной классификации внутренняя классификация следует. Вильямсом получена только внутренняя клас-

сификация ограничений диффеоморфизмов на их растягивающиеся аттракторы, окресностная классификация соленоидальных базисных множеств, заданных на многообразиях размерности не менее трех, до настоящего времени изучена не полностью.

Во II главе диссертации для диффеоморфизмов SV, являющихся обобщением конструкции Смейла, получено необходимое условие сопряженности ограничений диффеоморфизмов класса SV на базовых многообразиях. Как будет показано далее, одним из необходимых условий сопряженности SV-диффеоморфизмов выступает сопряженность соответствующих неособых эндоморфизмов окружности. Поэтому в параграфе 2.2 сделана классификация d-накрытий степени d > 2 окружности с точностью до сопряженности с помощью сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов. d-накрытия окружности S1 - сюрьективные локальные гомеоморфизмы S1 —^ S1 степени > 2. Они образуют более широкий класс эндоморфизмов. Показано, что полным классификационным инвариантом с точностью до (¿-эквивалентности является наделенное схемой инвариантное счетное множество (отмеченное множество) линейного растягивающего эндоморфизма степени d. Как следствие, была получена классификация неособых эндоморфизмов, включая важный класс структурно устойчивых эндоморфизмов.

Обозначим через 7j жесткий поворот окружности вида х —х + j7j-(mod 1), где j б {0,1,..., d — 1}. Пользуясь полученными результатами и некоторыми обозначениями параграфа 1.3 I главы диссертации, рассмотрим два отмеченных множества , Ед2 С S1 (¿-накрытий gi и д2 соответственно, где Бд. = {х е S1 : h^l{x) — нетривиальный интервал}, i ~ 1,2. Будем говорить, что Ед1 и Ед2 d-эквивалентны, пишется Egi =d Нд2) если тj(H5l) = Ед2 для некоторого 7j. Поставим в соответствие точке х множество Per (д) П hrl(x) =f Рх периодических точек (¿-накрытия д, принадлежащих h"1(x). Совокупность множеств Рх, где х £ Ед П Per (Ed) пробегает все периодические отмеченные точки и называется схемой d-накрытия д.

Предположим, что отмеченные множества ¿-накрытий gi, д2 d-эквивалентны, то есть jj(Egi) = Ед2 для некоторого jj, где Egi - отмеченное множество «¿-накрытия gi, г = 1,2. Будем говорить, что схемы ¿-накрытий gi, (/2 изоморфны, если для каждой периодической отмеченной точки х £ Si существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм /ix : h^1(x) ->• h^ijjix)), переводящий Рх в j{x) И сохраняющий тип монотонности на интервалах, дополнительных к Рх. Сохранение типа монотонности на интервалах (а,/3) и (fix(a)} цх((3)) означает, что [gi(xi) — ^1][^2(^2) — ^2] >0 для любых точек Х\ £ (ск,/3), Х2 £ (jux(a), цх((3)). При этом интервал С h~1(x)\Per (gi) яв-

ляется периодическим интервалом (¿-накрытия д, не содержащим периодические точки д и а, ¡3 £ Per (gi), а интервал (fix(a), fix((3)) С h2lhз(х))\Рег Ы, где fjLx(a),fix(P) £ Per (g2)

Сформулируем теорему, где получена классификация (¿-накрытий окружности степени d > 2 с точностью до сопряженности и показано, что отмеченное множество (¿-накрытия определяется с точностью до поворота тj.

Теорема 0.3 Пусть д\, д2 : S1 —)► S1 - d-накрытия окружности степени d > 2, не сопряженные Е^. Тогда gi сопряжено с д2 тогда и только тогда, когда их отмеченные множества d-эквивалентны (Egi =d £52А а их схемы изоморфны.

Следующее следствие применяется для классификации нульмерных соленоидальных базисных множеств.

Следствие 0.1 Пусть gi, д2 : S1 —^ S1 - d-накрытия, d > 2, не сопряженные Ed. Предположим, что внутри периодических смежных интервалов этих эндоморфизмов нет периодических точек. Тогда gi сопряжено с (/2 тогда и только тогда, когда их отмеченные множества d-эквивалентны, Egi =d Е92.

Следствие 0.2 Пусть gi, g2 : S1 —> S1 - неособые структурно устойчивые С1 эндоморфизмы окружности степени d > 2, не сопряженные

Ed- Предположим, что внутри периодических смежных интервалов этих эндоморфизмов лежит одинаковое число периодических точек. Тогда д\ сопряжено с д2 тогда и только тогда, когда отмеченные множества этих эндоморфизмов d-эквивалентны, S9l =d Sg2.

В параграфе 2.3 получено необходимое условие существования гомеоморфизма, сопрягающего диффеоморфизмы Fi и F2 класса SV на базовых многообразиях В™ и В?;• Эта теорема является важным этапом для решении задачи классификации SV-диффеоморфизмов. Возьмем два диффеоморфизма F\ : В"^ и F2 : Щ —;► , принадлежащих клас-

су SV таких, что Fi(t,z) = (gi(t),wi(t, z)), и F2(t,z) = (g2(t),w2{t, z)), teS\ z G Dn-K

Теорема 0.4 Если SV-диффеоморфизмы F\ и F2 сопряжены на базовых многообразиях В™ и тогда существует гомеоморфизм

Ф* : Впх \ mtF^El) mtF2(B%)

такой, что выполняются следующие условия:

• ф* имеет вид:

il>*{t,z) = (да.шДг)), teS1, z G Dn~\

• ф : S1 —> S1 сопрягает эндоморфизмы g\ и g2, т.е. выполняются равенство д2 о ф — ф о д1

В качестве промежуточного результата здесь также рассматривается техническая теорема, где получены некоторые достаточные условия существования гомеоморфизма на базовых многообразиях, переводящего орбиты одного диффеоморфизма в орбиты другого диффеоморфизма с наличием коммутативной диаграммы отображений. Будем говорить, что диффеоморфизмы Fi,F2, принадлежащие классу SV, сопряжены на базовых многообразиях, если существует гомеоморфизм (р : В™ —ï такой, что выполняется равенство F2 о (р\Вп = (р о

Эти результаты можно использовать в дальнейшем для изучения сопряженности SV-диффеоморфизмов на базовых многообразиях Щ и £>2 •

III глава посвящена изучению внутренней и окрестностной классификации одномерных растягивающихся аттракторов. Пусть А/, Л5 инвариантные множества преобразований / : M —> M, g : N —» N соответственно. Ограничения /|лл д\ка называются внутренне сопряженными, если существует гомеоморфизм ср : Л/ —>■ Ад, такой, что о f\A = <7 ° <£>|лу Если (/9 можно продолжить до гомеоморфизма ср : M ^ N или <£> : U(Af) -» U(Ад), где U(Af), U(Ag) некоторые окрестности множеств Лу, Ад соответственно, сохранив соотношение V9° / |л/ = 90(Р|ля то /|ля д\кд называются окрестностно сопряженными. Из окрестностной сопряженности следует внутренняя сопряженность. Вильяме в работах [69] - [71] получил внутреннюю классификацию ограничений диффеоморфизмов на их растягивающиеся аттракторы.

В свою очередь, внутренняя классификация не всегда влечет окрест-ностную, так, например, Робинсоном и Вильямсом в работе [63] были построены два диффеоморфизма / : M —> f(M) С M, g : N —>■ g(N) С N пятимерных компактных многообразий M, N в себя с двумерными растягивающимися аттракторами А/, Ад такими, что /|лл д\кд внутренне сопряжены, но окрестностно не сопряжены.

Главным результатом III главы является следующая теорема:

Теорема 0.5 Существуют четырехмерные компактные многообразия M, N и диффеоморфизмы / : M ->■ f(M) С M, g : N ^ g(N) С N с одномерными растягивающими аттракторами А у, Ад соответственно такие, что ограничения /|л/; д\кд внутренне сопряжены, но окрестностно не сопряжены.

Для доказательства этого факта в параграфе 3.2 данной главы сперва строится общая конструкция диффеоморфизма F с одномерным растягивающимся аттрактором Sol(F). Так же здесь доказывается, что ограничение полученного диффеоморфизма F на множестве Sol(F) сопряже-

но специальному сдвигу на обратном пределе линейного растягивающего отображения окружности.

В параграфе 3.3 проводится строгое доказательство теоремы 0.5. Рассматриваются примеры диффеоморфизмов /, д в рамках конструкции параграфа 3.2. В основе построения первого примера /$т лежит диффеоморфизм Смейла [65] с одномерным растягивающимся аттрактором Л£т, который называется одномерным соленоидом Смейла.

Для второго примера используется конструкция Антуана [36]. Приведем схематично построение данной конструкции. Пусть Т\ = Б1 х Б2 - трехмерный замкнутый полноторий. Рассмотрим семейство Т2 циклически зацепленных полноториев внутри см. рис. 2. Компоненты С} семейства Т2 схематично изображены в виде окружностей, число компонент семейства Т2 равно к > 4. Далее по индукции определяется семей-

ство Тп+1, п > 2, кп попарно не пересекающихся полноториев. Каждая компонента Сгп конфигурации Тп есть полноторий. Пусть ф™ - отображение подобия Т\ —>• С™ для каждой Сгп, 1 < г < кп~г. Под действием ф" конфигурация Т2 отображается в конфигурацию Ф2(Т2), которая представляет собой семейство к полноториев в С™, тогда Тп+\ = \Зф™(Т2). Полученное множество (£ = Р|ТП, представимое в виде последовательности вложенных друг в друга конфигураций Тх, Т2, ..называется ожерельем Антуана.

В результате построенный диффеоморфизм д = дыяш имеет одномерный растягивающийся аттрактор Лдгдил который локально гомео-

Рисунок 2: Семейство Т2.

морфен прямому произведению М на ожерелье Антуана. Так как впервые базисные множества подобного типа были введены в работах [59], [63], то Лдгди^ называется одномерным соленоидом Ньюхауса-Робинсона-Вильямса (НРБ). Далее доказывается, что ограничения диффеоморфизмов /$т и дыяш на их одномерные растягивающие аттракторы Азт и Аыбш соответственно внутренне сопряжены, но окрестностно не сопряжены.

Замечание 0.1 Для п — 3 данный результат следует из работы Боте [43], в которой рассматривается окрестностная классификация так называемых чистых соленоидов Смейла и приводятся примеры окрестностно не сопряженных диффеоморфизмов.

Замечание 0.2 Для п > 5 применяется обобщение конструкции Антуана, полученное в работе [38], и повторяя метод Антуана, строится нульмерное компактное множество (ожерелье Антуана-Бланкеншипа). Доказательство полностью аналогично случаю п = 4.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Жужома Е.В., Исаенкова Н.В. О классификации одномерных растягивающихся аттракторов // Математические заметки. - Отделение математических наук РАН. - 2009. - Т. 86, №3.

2. Жужома Е.В., Исаенкова Н.В. О нульмерных соленоидальных базисных множествах // Математический сборник. - Российская академия наук. - 2011. - Т. 202, №1.

3. Жужома Е.В., Исаенкова Н.В. О классификации одномерных растягивающихся аттракторов // Тезисы докладов международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений", посвященной 70-летию ректора МГУ академика В.А.Садовничего. - г. Москва, Московский Государственный Университет им. М.В.Ломоносов. - 30 марта-2 апреля 2009 года.

4. Жужома Е.В., Исаенкова Н.В. О соленоидальных базисных множествах // Тезисы докладов III всероссийской молодежной научно - инно-

вационной школы "Математика и Математическое Моделирование". - г. Саров, Саровский физико-технический институт - филиал Национального исследовательского ядерного университета "МИФИ". - 20-23 апреля 2009 года.

5. Исаенкова Н.В. О соленоидальных базисных множествах // Тезисы докладов XIV Нижегородской сессии молодых ученых. Математические науки. - 2009.

6. Жужома Е.В., Исаенкова Н.В. Динамика диффеоморфизмов класса БУ, сосредоточенная в базовых полноториях // Тезисы докладов IV всероссийской молодежной научно - инновационной школы "Математика и Математическое Моделирование". - г. Саров, Саровский физико-технический институт - филиал Национального исследовательского ядерного университета "МИФИ". - 19-22 апреля 2010 года. - С. 1718.

7. Жужома Е.В., Исаенкова Н.В. Динамика диффеоморфизмов класса БУ, сосредоточенная в базовых полноториях // Труды Средневолж-ского математического общества. - 2010. - Т. 12.

8. Исаенкова Н.В. Соленоидальные базисные множества // Тезисы докладов на международную математическую конференцию "Математика и динамические системы". - г. Суздаль. - 2-7 июля 2010 года. - С. 92.

9. Жужома Е.В., Исаенкова Н.В. О классификации накрытий окружности // Тезисы докладов на международную конференцию "Дифференциальные вопросы и смежные вопросы" , посвящённую 110-летию со дня рождения И. Г. Петровского. - МГУ им. М.В. Ломоносова и Математический Институт РАН им. В.А. Стеклова. - г. Москва. - 29 мая - 4 июня 2011 г.

Все основные результаты диссертации являются новыми и принадлежат автору. В работах, выполненных совместно, автору диссертации принадлежат доказательства всех основных результатов, Е. В. Жужоме принадлежит постановка задачи и общее руководство.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Исаенкова, Наталья Викторовна, 2011 год

Библиография

[1] Аносов Д. В. Исходные понятия. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы - 1 (под ред. Д. В. Аносова). - 1985. - С. 156-178.

[2] Аносов Д.В. Грубые системы // Труды МИАН СССР. - 1985. - Т. 169. - С. 59-93.

[3] Аносов Д.В., Солодов В.В. Гиперболические множества. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы - 9 (под ред. Д. В. Аносова). - 1991. - Т. 66. - С. 12-99.

[4] Арансон С.Х,Гринес В.З. О некоторых инвариантах динамических систем на двумерных многообразиях (необходимые и достаточные уловия топологической эквивалентности транзитивных систем) // Матем. сб. - 1973. - Т. 90, № 132:3. - С. 372-402.

[5] Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников J1. П. Теория бифуркаций. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - М.: ВИНИТИ РАН, 1986. - Т. 5. - 5-218 с.

[6] Борисюк А. Р. Глобальные бифуркации на бутылке Клейна. Общий случай // Матем. сб. - 2005. - Т. 196, № 4. - С. 3-22.

[7] Гринес В.З. О топологической эквивалентности одномерных базисных множеств диффеоморфизмов на двумерных многообразиях //УМН. - 1974. - Т. 180, № 6. - С. 163-164.

[8] Гринес В.З. О топологической сопряженности диффеоморфизмов двумерного многообразия на одномерных ориентируемых базисных множествах, 1 // Труды ММО. - 1975. - Т. 32. - С. 35-60.

[9] Гринес В.З. О топологической сопряженности диффеоморфизмов двумерного многообразия на одномерных ориентируемых базисных множествах, 2 // Труды ММО. - 1977. - Т. 34. - С. 243-252.

[10] Гринес В.З. О топологической классификации структурно устойчивых диффеоморфизмов поверхностей с одномерными аттракторами и репеллерами // Матем. сб. - 1997. - Т. 188, № 4. - С. 57-94.

[11] Гринес В.З. Представление одномерных аттракторов А-диффеоморфизмов поверхностей гиперболическими гомеоморфизмами // Матем. заметки. - 1997. - Т. 62, № 1. - С. 76-87.

[12] Гринес В.З., Калай Х.Х. Диффеоморфизмы двумерных многообразий с просторно расположенными базисными множествами // УМН. - 1985. - Т. 40, № 1. - С. 189-190.

[13] Гринес В.З., Жужома Е.В. О топологической классификации ориентируемых аттракторов на n-мерном торе // Успехи мат. наук. -1979. - Т. 34, № 4. - С. 185-186.

[14] Гринес В.З., Жужома Е.В. О грубых диффеоморфизмах с растягивающимися аттракторами и сжимающимися репеллерами коразмерности один // Доклады РАН. - 2000. - Т. 374. - С. 274-276.

[15] Гринес В.З., Жужома Е.В., Медведев B.C. Новые соотношения для систем Морса-Смейла с тривиально вложенными одномерными сепаратрисами // Матем. сборник. - 2003. Т. 194, № 7. - С. 25-56.

[16] Ефремова Л.С. Дифференциальные свойства и притягивающие множества простейшего косого произведения отображений интервала // Матем. сборник. - 2010. - Т. 201, № 6. - С. 93-130.

[17] Ефремова JI.С. О понятии Q-функции косого произведения отображений интервала. Итоги науки и техн. Сер. Соврем, мат. и ее прил. Темат. обз., 1999. - Т. 67. - 129-160 с.

[18] Жиров А.Ю. Гиперболические аттракторы диффеоморфизмов ориентируемых поверхностей. Часть 1. Кодирование, классификация и накрытия // Матем. сб. - 1994. - Т. 185, № 6. - С. 3-50.

[19] Жиров А.Ю. Гиперболические аттракторы диффеоморфизмов ориентируемых поверхностей. Часть 2. Перечисление и применение к псевдоаносовским диффеоморфизмам // Матем. сб. - 1994. - Т. 185, № 9. - С. 29-80.

[20] Жиров А.Ю. Гиперболические аттракторы диффеоморфизмов ориентируемых поверхностей. Часть 3. Алгоритм классификации // Матем. сб. - 1995. - Т. 186, № 9. - С. 59-82.

[21] Жиров А.Ю., Устинов Ю.И. Топологическая энтропия одномерных соленоидов Вильямса // Матем. заметки. - 1973. - Т. 14, № 6. - С. 859-873.

[22] Иванов A.A. Изотопия компактов в евклидовых пространствах // Докл. АН СССР. - 1950. Т. 71, № 6. - С. 1021-1022.

[23] Ильяшенко Ю.С., Вейгу Ли. Нелокальные Бифуркации. -М.:МЦНМО-ЧеРо, 1999.

[24] Келдыш Л.В.Топологические вложения в евклидово пространство. - Труды Математического института им. В.А. Стеклова, М.:Наука, 1966.

[25] Клиншпонт Н.Э. К задаче топологической классифкации аттракторов лоренцева типа // Матем. сб. - 2006. - Т. 197, № 4. - С. 75-122.

[26] Куратовский Л. Топология. - М.:Мир, 1966. - Т. 1.

[27] Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная Теория Дифференциальных Уравнений. - М.-Л.:ОГИЗ, 1947.

[28] Плыкин Р.В. О топологии базисных множеств диффеоморфизмов Смейла // Матем. сб. - 1971. - Т. 84. - С. 301-312.

[29] Плыкин Р.В. О гиперболических аттракторах диффеоморфизмов // Успехи мат. наук. - 1980. - Т. 35, № 3. - С. 94-104.

[30] Плыкин Р.В. О геометрии гиперболических аттракторов гладких каскадов // Успехи мат. наук. - 1984. - Т. 39, № 6. - С. 75-113.

[31] Прасолов В.В., Сосинский А.Б. Узлы, Зацепления, Косы и Трехмерные Многообразия. - М.:МЦНМО, 1997.

[32] Сатаев Е.А. Инвариантные меры для гперболических отображений с особенностями // Успехи Мат. Наук. - 1992. - Т. 47, № 1. - С. 147-202.

[33] Тураев Д., Шильников Л.П. О катастрофах голубого неба // Докл. РАН. - 1995. - Т. 3426, № 56. - С. 596-599.

[34] Якобсон М.В. О гладких отображениях окружности в себя // Матем. сборник. - 1971. - Т. 856, № 2. - С. 163-188.

[35] Aarts J.M., Fokkink R.J. The classification of solenoids / / Proc. of Amer. Math. Soc. - 1991. - V. 111. - P. 1161-1163.

[36] Antoine L. Sur rhomeomorphisme de deux figures et leurs voisinages // J. Math. Pure et Appl. - 1921. - V. 4. - P. 221-325.

[37] Aranson S., Belitsky G., Zhuzhoma Б. Introduction to Qualitative Theory of Dynamical Systems on Closed Surfaces. - Translations of Math. Monographs, Amer. Math. Soc., 1996. - V. 153.

[38] Blankenship W. Generalization of a construction by Antoine Ann. of Math. - 1951. - V. 53. - P. 276-297.

[39] Block L. Diffeomorphisms obtained from diffeomorphisms // Trans. Amer. Math. Soc. - 1975. - V. 214. - P. 403-413.

[40] Bing R.H. A simple closed curve is the only homogeneous bounded plane continuum that contains an arc // Canadian Journ. Math. - 1960. - V. 12. - P. 209-230.

[41] Bing R.H. Embedding circle-line continua in the plane // Canadian Journ. Math. - 1962. - V. 14. - P. 113-128.

[42] Bothe H. The ambient structure of expanding attractors, I. Local triviality, tubular neighborhoods // Math. Nachr. - 1982. - V. 107. -P. 327-348.

[43] Bothe H. The ambient structure of expanding attractors, II. Solenoids in 3-manifolds // Math. Nachr. - 1983. - V. 112. - P. 69-102.

[44] Denjoy A. Sur les courbes définies par les équations différentielles a la surface du tore // J. Math Pure et Appl. - 1932. - V. 11. - P. 333-375.

[45] van Danzig D. Uber topologisch homogene Kontinua // Fund. Math. -1930. - V. 14. - P. 102-105.

[46] Farrell F.T., Jones L.E. New attractors in huperbolic dynamics // Differential geometry. - 1980. - V. 15. - P. 107-133.

[47] Gibbons J. One-dimensional basic set in the three-sphere // Trans. Amer. Math. Soc. - 1972. - V. 164. - P. 163-178.

[48] Grines V. Topological classification of one-dimensional attractors and repellers of A-diffeomorphisms of surfaces by means of automorphisms of fundamental groups of supports //J. Math. Sci. - 1999. - V. 95, № 5. - P. 2523-2545.

[49] Grines V. On topological classification of A-diffeomorphisms of surfaces // Journ. Dynam. and Control Systems. - 2000. - V. 6, № 1. - P. 97-126.

[50] Grines V., Plykin R. Topological classification of amply situated attractors of A-diffeomorphisms of surfaces // Methods of Qualitative

Theory of Diff. Equations and Related Topics. AMS Translations. - 2000. - V. 200, № 2. - R 135-148.

[51] Haken W. Theorie der normal flächen // Acta Math. - 1961. - V. 105. -P. 245-375.

[52] Hirsch M.W. A stable analytic foliation with only exceptional minimal sets // Lect. Notes in Math. - 1975. - V. 468. - P. 9-10.

[53] Ittai Kan. Strange attractors of uniform flows // Trans, of Amer. Math. Soc. - 1986. - V. 293. - P. 135-159.

[54] Jiang B., Ni Y., Wang S. 3-manifolds that admit knotted solenoids // ArXiv: math. GT/0403427.

[55] Jones L.E. Locally strange hyperbolic sets // Trans, of Amer. Math. Soc. - 1983. - V. 275, № 1. - P. 153-162.

[56] Loomis L., Sternberg S. Advanced Calculus. - Jones and Bartlett Publ., Boston, London.

[57] Markley N.G. Homeomorphisms of the circle without periodic points // London Math. Soc. - 1970. - V. 20. - P. 688-698.

[58] de Melo W., van Strien S. One-Dimensional Dynamics. - Springer-Verlag, Berlin, Heidenlberg, New York, 1993.

[59] Newhouse S. On simple arcs between structurally stable flows // Lect. Notes in Math. - 1975. - V. 468. - P. 262-277.

[60] Nitecki Z. Nonsingular endomorphisms of the circle // Proc. Symp. Pure Math. - 1970. - V. 14. - P. 203-220.

[61] Papakyriakopoulos C.D. On Dehn's lemma and asphericity of knots // Annals of Math. - 1957. - V. 66. - P. 1-26.

[62] Robinson C. Dynamical Systems: stability, symbolic dynamics, and chaos. - Studies in Adv. Math., Sec. edition, CRC Press, 1999.

[63] Robinson С., Williams R. Classification of expanding attractors: an example // Topology. - 1976. - V. 15. - R 321-323.

[64] Shub M. Endomorphisms of compact differentiable manifolds // Amer. Journ. Math. - 1969. - V. 91. - P. 175-199.

[65] Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. Amer. Math. Soc. -1967. - V. 73. - P. 747-817. [Руский перевод: Успехи мат. наук. - 1970. Т. 25. - С. 113-185.]

[66] Takens F. Multiplications in solenoids as hyperbolic attractors // Topology and Appl. - 2005. - V. 152. - P. 219-225.

[67] Vietoris L. Uber den höheren Zusammenhang kompakter Räume und Klasse von zusammenhangstreuen Addildungen // Math. Ann. - 1927. -V. 97. - P. 454-472.

[68] Waldhausen F. On irreducible 3-manifolds which are sufficiently large

// Annals of Math. - 1968. - V. 87. - P. 56-88.

1

[69] Williams R.F. One-dimensional non-wandering sets // Topology. - 1967.

- V. 6. - P. 473-487.

[70] Williams R.F. Classification of subshifts of finite type // Annals of Math.

- 1973. - V. 9. - P. 8120-153.

[71] Williams R. Expanding attractors // Publ. Math. I.H.E.S. - 1974. - V. 43. - P. 169-203.