Динамика уравнений первого порядка с большим запаздыванием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Кащенко, Илья Сергеевич

• Кащенко, Илья Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кащенко, Илья Сергеевич

Введение

1. Локальная динамика уравнений с запаздыванием

§1. Общие сведения

§2. Локальная динамика уравнения с большим запаздыванием

§3. Локальная динамика уравнения с двумя запаздываниями

§4. Динамика уравнения с двумя большими „близкими" друг другу запаздываниями

§5. Динамика уравнения с двумя большими пропорциональными запаздываниями

§6. Динамика уравнения с большим и очень большим запаздыванием

§7. Динамика системы с линейно распределенным запаздыванием

§8. Нормализация в системе с периодически распределенным запаздыванием

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика уравнений первого порядка с большим запаздыванием»

В настоящее время одним из наиболее активно развивающихся направлений математического анализа являются исследования динамики систем с распределенными параметрами. Эти исследования стимулируются появлением большого числа прикладных задач, для моделирования которых используют такие объекты, как дифференциальные уравнения с запаздыванием. Уравнения такого типа возникают, например, в лазерной оптике [8, 31, 33, 34, 35], электротехнике, радиофизике [9, 23], медицине [26], математической экологии [6, 7], теории нейронных систем [2, 21], при описании процесса резания металлов [22, 29], в системах управления [39] и др.

Изучению уравнений с запаздыванием посвящено значительное и бурно увеличивающееся число публикаций как теоретического, так и прикладного характера. Для многих уравнений, содержащих запаздывание, хорошо зарекомендовали себя классические асимптотические методы, такие как методы усреднения Крылова-Боголюбова, методы пограничных функций в случае сингулярных возмущений [4].

Тем не менее, развитие аналитических методов для систем с запаздыванием явно недостаточно. В силу принципиальной сложности систем с бесконечномерным фазовым пространством особую значимость как для общетеоретических вопросов, так и для решения конкретных прикладных задач приобретает разработка новых асимптотических методов исследования динамических свойств решений.

В работе исследуется динамика уравнений первого порядка с запаздыванием одного из следующих видов х + х = f(x,x(t-T)), (1) х + х = f(x, x(t - T),x(t - ТО) (Тг < Т), (2) о х + х = f(J x(t + s)dr(s)). (3)

-т

Фазовым пространством таких уравнений удобно считать пространство С[г,о] непрерывных на [—Т, 0] функций со стандартной нормой. В этом смысле эти уравнения существенно сложнее обыкновенного скалярного дифференциального уравнения x + x = f (ж), (4) в которое оно переходит при Т = 0. Обыкновенное дифференциальное уравнение (4), как известно, интегрируется в квадратурах. Его решения стремятся либо к состоянию равновесия, т.е. к решению уравнения х = f(x), либо неограниченно растут по модулю при t —» оо. Решения уравнения (1) тоже вычислить достаточно просто. Так, положив в качестве начального условия функцию ip(s) £ С[т,о] (т.е. x(s) = ip(s) при s £ [—Т, 0]), на отрезке t £ [0, Т] приходим к уравнению x + x = f(ip{t-T)), te[0,T], из которого получаем, что при t £ [0, Т] t x(t) = (р(О)е-* + J e~^f(<p{s - Г)) ds. о

Теперь, зная решение х(t) при t е [0,Т], мы аналогично можем получить формулу для x(t) при t £ [Т, 2Т] и т.д.

Замечено, что даже незначительное увеличение времени запаздывания приводит к кардинальным изменениям в динамике системы. Поэтому вопрос о динамике уравнений с большим запаздыванием является очень важным. С другой стороны, как показывают численные расчеты для ряда уравнений (например, для уравнения Хатчинсона), все эффекты большого запаздывания можно наблюдать уже при небольших его значениях. Поэтому особую важность имеет исследование динамики уравнений вида (1)-(2) при условии, что запаздывание является достаточно большим.

Уравнение Стюарта-Ландау z= (а + b\z\2)z + cz(t — Т) является типичным представителем систем с запаздыванием. Кроме того, оно часто встречается в реальных задачах физики, техники, биологии, медицины. В предлагаемой работе предпринята попытка описать динамику уравнения Стюарта-Ландау с использованием разработанных методов. Также, развитые в диссертации алгоритмы позволяют провести локальный анализ динамики уравнения Стюарта-Ландау с отклонением пространственной переменной и малой диффузией (0 < е < 1): 1 dz Г d2z = {а + b\z\2)z + с / z(t, x + s) dr(s) + e2d2—, z(t, x) = z(t, x + 1). о

Перейдем к изложению содержания диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и двух приложений.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Кащенко, Илья Сергеевич

Заключение

Остановимся кратко на основных полученных в диссертации результатах.

В первой глава изучалась локальная динамика уравнений с запаздыванием в окрестности состояния равновесия. Основное внимание уделялось случаю, когда запаздывание Т достаточно велико.

В §1 были приведены хорошо известные базовые результаты о динамике уравнения с одним фиксированным запаздыванием.

Во втором параграфе первой главы рассматривалась локальная динамика уравнения с большим запаздыванием x + x = ax(t-T) + f2x2 + f3x5 + ., Т = £-\ 0<е<1. (1)

Было показано, что возникающие здесь критические случаи имеют бесконечную размерность. В критических случаях построены уравнения, играющие роль нормальных форм — нормализованные формы. Так, например, если а = 1 +£2alt то в окрестности состояния равновесия динамика исходного уравнения описывается краевой задачей параболического типа. ди 1 д2и „ о / 1 \ / \

Wr = 2dr*+aiU + и(т,г + 1) =и(т,г).

Интересным результатом является то, что если а = 1 + evai (0 < р < 2), то вместо одной краевой задачи мы получаем семейство краевых задач, зависящее от непрерывного положительного параметра ш\ ди 1 д2и . 2 , . / 27г дт 2 дг2 \ w

Следующие четыре параграфа первой главы, с §3 по §6, были посвящены локальной динамике уравнений с двумя запаздываниями вида х t + x = ax{t-T)+bx(t-Tl) + f{x,x{t-T),x{t-T1)), 0<T<Tv (2)

В третьем параграфе изучалось уравнение (2) в случае, когда одно запаздывание является большим, а второе имеет порядок 1, т.е. Т\ = е-1, а параметры a, b и Т как-то фиксированы. Отдельно исследуется ситуация, когда слагаемое с большим запаздыванием входит с малым множителем, т.е. b = T~vbi.

Если параметр Ъ не мал, то в критических случаях локальная динамика (2) описывается одним комплексным параболическим уравнением. Если b = b0 + e2bi, то это уравнение имеет вид ди д^и он + d3u + du\u\2, и(т,г) =и(т,г + 1).

Если b = b0 + evbi (0 < p < 2), то мы получим семейство краевых задач, зависящее от непрерывного параметра и ди , д2и , , . |2 , ч ( 2тг\ — = di—+ hu + du\u\ , и(т,г) =ulr,r + —\.

Важно отметить, что параметры dj зависят от е через специальную функцию 9(e), дополняющую до целого кратного 27т выражение (где ш0 как то определяется). Так что, динамика нормальной формы при различных е может быть, вообще говоря, разной. Однако, т.к. можно указать такую последовательность еп —> 0, что в(еп) — в(еп+х), то при всех £п динамика нормализованной формы будет одинаковой.

Структура нормализованных форм резко меняется, если считать, что параметр b близок к нулю. Пусть а = 1 + epai, b = epbi (р > 0). Тогда динамика исходного уравнения (3.1) описывается поведением решений скалярного уравнения с одним запаздыванием

1 + Т)^ = а1ат) + Ъ1ат-ер-1) + М2.

Особый интерес представляет то, что при р < 1 это уравнение является уравнением с большим запаздыванием.

Если же а — а0(Т) + £ра\, b = epbi (р > 0), то аналог нормальной формы имеет вид комплексного уравнения с запаздыванием

Также, если р < 1, то мы имеем уравнение с большим запаздыванием.

В четвертом параграфе первой главы рассматривалось уравнение (2) в случае, когда оба запаздывания являются большими, различающимися на константу числами, т.е.

Т = £~\ Тг=Т(1+£с), 0<£<1.

Критические случаи, возникающие здесь, похожи на те, что встречались в предыдущих параграфах. Построенные нормализованные формы имеют вид (вещественных или комплексных) параболических краевых задач с некоторыми краевыми условиями. В зависимости от порядка отклонения параметров от критических значений, мы можем получать однопараметрическое семейство краевых задач.

Здесь же кратко рассматривается более общая ситуация

Т = е~1, T1=T(l + £qc), 0<£<1, 0 < g < 1, а = а0 + £p*ai, b = Ь0 = ep*&i, где р* некоторым образом выражается через q. Оказывается, что существенно новыми являются результаты в случаях 0 < q < Тогда нормализованные формы имеют вид параболических нелинейных краевых задач с двумя пространственными переменными. Точный их вид, а также краевые условия зависят от знаков а0 и Ь0. Так, например, при а0>0,Ь0>0 получаем ди a0b0c2 (д2ип2 д2и д2и д 2и д2и д2и\ дт 2 и(т, г, s) = и(т, г + 1, s) = и(т, Г, S + 1).

В пятом параграфе первой главы изучается динамика уравнения (2) в ситуации, когда оба запаздывания большие, пропорциональные друг другу величины:

Т = Тг = (к0 + £акг)Т, 0 < а < 1, 0 < е < 1.

Оказывается, что исследование динамики сильно зависит от алгебраических свойств числа к0, а также величины а. Если к0 иррационально, то построить нормализованную форму в критических случаях невозможно.

Приведем наиболее интересные результаты для рационального к0 = Если 0 < а < 1, то нормализованные уравнения имеют вид вещественных параболических уравнений с двумя пространственными переменными. Причем коэффициенты этих уравнений могут завить от е через функции 0(e), значения которых бесконечное число раз пробегают полуинтервал [0,1) при £ —> 0.

Если а = 1, то значения параметров а и Ъ, при которых возникает критический случай, зависят от четности то и п. Соответственно, зависит от четности шипи вид нормализованных форм: они бывают либо вещественными, либо комплексными параболическими краевыми задачами с одной пространственной переменной.

Шестой параграф первой главы был посвящен ситуации, когда в уравнении (2) оба запаздывания большие, но различные по порядку. Отдельно там же изучался случай, когда перед слагаемым с самым большим запаздыванием стоит малый множитель. Сначала рассматривался случай

Т=~, Т\ — с > 0, 0<е<1.

С£

В критических случаях динамика (2) определяется параболическим нелинейным уравнением с двумя пространственными переменными. Точный вид таких уравнений и краевых условий зависит от знаков а0 и Ь0. Например, если а0 ^ 0, Ь0 > 0, то соответствующее уравнение имеет вид ди а0с2 д2и 1 . д2и айс.л . . д2и (a-i + bi)u + f2u2, и(т, г, s) = и(т, r + l,s)= и(т, r,s + 1).

Здесь вг = 0i(e) 6 [0,1) дополняет (се)-1 до целого числа. Разобран и более общей случай:

Т\ = Т2 = Тг— с> 0, q> 0. е c£q а = а0+ £pb0ai, b = b0+ £pb0bi, |а0| + |Ь0| = 1, 0 < р < 2q, р < 2.

Нормализованные формы, как оказывается, зависят от соотношения между риди, как и ранее, от знаков а0 и Ъ0. Новым тут является тот факт, что у возникающих параболических уравнений, которые играют роль нормализованных форм, краевые условия могут завить от одного параметра, как в случае ао ^ 0, 60 > 0, 0 < q < 1, р — 2q, либо от двух положительных параметров, как, например, в случае а0 ^ 0, Ь0 > 0, 0 < q < 1 и 0 < р < 2q.

Также в этом параграфе изучается влияние малого множителя перед слагаемым с самым большим запаздыванием. Предполагается, что

1 с

Т = Тг = —, Ъ = е2Ьо, а = а0(1 + £2аг), с > 0, 0 < е < 1.

Как было показано, критические случаи возникают, когда параметр а0 = ±1. Если а0 = 1, то нормализованная форма имеет вид одного уравнения параболического типа с запаздыванием и отклонением пространственной переменной ди 1 д2и дт = 2drZ +a^u + bou(T ~ с'г+ + Ьи2, и(т,г) = и(т,г + 1). Если а0 = —1, то соответствующее уравнение имеет вид ди 1 д2и dr = 2'dr2+aiU + Ь°и<"Г ~ с'r + + (/2 + h)u3, и{т,г) = -и{т,г + 1). Полученные результаты обобщены на случай

Т1 = -, Т2 = ТА Ь = £pb0, а — а0(1 + £pai), с > 0, q > 0, 0 < р ^ q, р < 2. е £q

Аналогично предыдущему, если а0 = 1, то нормализованная форма исходного уравнения (3.1) представляет собой однопараметрическое семейство краевых задач с запаздыванием и отклонением пространственной переменной следующего вида: ди 1 д2и , . . . . п , , , 2-к

ЙГ = т;^ + а^и + ьоЩг-с£р q,r + d1)+f2u , u r,r = и{т,г + —). дт 2 дг2 ш

Если а0 — — 1, то соответствующее уравнение записывается в виде $'LL 1 CP'XL 7Г

Гт = 2д? + + ~ С£Р~"'г + ^ + + ^ = г +

Необходимо отметить, что если р < q, то величина запаздывания по г в этих уравнениях становится асимптотически большой.

В параграфах 7 и 8 рассматривалась локальная динамика уравнений с распределенным на асимптотически большом отрезке запаздыванием. Седьмой параграф первой главы посвящен уравнениям с линейно распределенным запаздыванием о х + х = J (a + b^Jx{t + s)ds + f(x), Т = 0<е<1. (5)

-т

Приведем вид нормализованных форм, возникающих в критических случаях у этого уравнения. Если b = e2bi, то нормализованная форма уравнения (5) имеет вид ди 2а+ 1 д2и 1 д f дт 2a2 dr2+hlU~ u(T>r)=u(T>r + 1)> Ju{T,r)dr = 0. (6) о

Аналогично, если b = epbi, 0 < р < 2, то в качестве нормализованной формы получается

2тг ш~1 уравнение (6) с краевыми условиями и(т,г) = и(т,г + f u(r,r)dr = 0. Здесь ш — о это произвольное положительное число.

Когда параметр b = 2a+£bi+£2b2 и b\ Ф -2, то нормализованное уравнение получается линейным. В случае Ьг = —2 построенная нормализованная форма имеет вид нелинейного параболического уравнения (М{и) — это среднее значение функции и) ди 2а + 1д2и Ь2 2Ь2^т, . 2/2 (ди^г. , Л , „Л

Т" = ^-^Т + -и+—М(и) - — тМи - 2 иМ(и) - М{и2) + 2 Ми 2 дт 2а2 дг2 а а а \ог J с дополнительными краевыми условиями: и принадлежит замыканию линейного пространства, натянутого на функции ехр(шкг): и £ Lin^xp^u^OK^-oo' гАе — это решения уравнения (2 + iuik) ехр(~шк) — 2 -шк.

В пункте 7.5 изучается динамика (7.1) в критическом случае на больших модах. Предполагается, что а < 0, 2а + 1 < 0, b = а ± + 4а) + еЪ\ + £2Ъ2. При bi ф 2ал/-(1 + 4а)-1 нормализованная форма принимает вид следующего уравнения: du 4a±2(l + b1)J-{l + 4a) . |2 =--——f-и + Du\u\. dT 1 + 4 а 11

Здесь и = и(т, г) при каждом т является комплексной периодической функцией параметра г с периодом 1.

Если bi = -1 + 2ал/-(1 + 4а)-1, то роль нормальной формы в этом случае играет уравнение

9и ,, .,. <д2и ., ., .ди ,. ., , ^ I |2 — = (d1 + + (й3 + — + (й5 + td6)u + Du\u\ . с краевыми условиями и(т,г) = и(т,г + 1).

В восьмом параграфе первой главы изучались уравнения с периодически распределенным запаздыванием 0 х + х = а I cos(^)x(t + s)ds +f(x), Т = 0 < е < 1. (7)

J Т £

-т

В критическом случае, возникающем при а = 2im,нормализованная форма имеет вид бесконечномерной системы ОДУ dik S с „ ,2; с \ " С с ЗЛ/г+тд — ~ Aml dT ~ Afcl " Xml З/зА/ci^ £ imi-m-тпфО,±п

В критическом случае, возникающем при условии а = (2n - l)ir, показано, что нормализованная форма имеет вид ди 2а +1 д2и ldu n2N2 2/| + 3/3 d 2

Т" = О 2 я 2 + +—2~(а + 1)и--тЩ\и + дт 2а2 ду1 а1 ду а1 a dy

7r4iV4 2 тг4Л% 7^(2/1+ 3/з) „ 3 + J(U)-J(U)----JHHI) с краевыми условиями 1 и{т,у) = -u(r,y + 1), I cos{irNy)u{T,y)dy = 0. о 1

Здесь обозначено ||и||2 = f u2{r,y)dy, a J(«) — это первообразная функции и по параметру о у, удовлетворяющая тем же краевым условиям.

Вторая глава посвящена применению разработанных методов и алгоритмов для изучения динамики уравнения Стюарта-Ландау z = [a + b\z\2]z + ceiSz(t-T). (8)

В первом параграфе второй главы описывается локальная динамика уравнения (8), как в случае фиксированного запаздывания, так и в случае большого запаздывания. В критических случаях строятся нормальные формы.

В случае большого запаздывания, в качестве нормальных форм мы получаем комплексные параболические уравнения.

Показано, что при условии 50 = 0, ц = е2 уравнение, играющее роль нормальной формы для (8), имеет вид комплексного параболического уравнения ди 1 д2и 1 ди . , | ,2 / ч / v ь = ' «(г,г+1)=«(т,г).

При условии <50 = 7г, fi — е2 соответствующее уравнение принимает вид ди 1 д2и 1 aiCi — a0i50 . |2 , . . , = -7Г"з^ТТ + -п ~ ■—--—и + ЩЩ и, и{т,г + 1 = ~и(т,г). дт 2% дг1 ад а0

Если у — е, то нормализованные формы принимают вид однопараметрического семейства краевых задач, зависящего от непрерывного параметра и). Уравнения в этих задачах имеют такой же вид, как и при у = е2, меняются только краевые условия. Вместо периодических краевых условий появляются условия и(т, г -\--j = щт, г).

LO

Вместо антипериодических краевых условий имеем 2тгч . и(т,г -|--) = -и(т,г).

LO

Во втором параграфе второй главы исследуется уравнение Стюарта-Ландау с отклоняющейся пространственной переменной (0 < е <С 1): X dz Г d2z = [а + b\z\2]z + / dr(s) z(t, х + s) + z(t, x + l) = z(t, x). (9)

Это уравнение было изучено при нескольких наиболее типичных функциях r(s).

Оказалось, что метод, разработанный для уравнений с большим запаздыванием, применим и для исследования динамики таких уравнений. Интересно отметить, что в некоторых случаях нормализованная форма имеет вид следующей краевой задачи ди 1 д2и ди 1

57 = ^d~ + ied— + (-e2d + a1)u + b(\u\2 + \v\2)u,

Qy 23 v 3v 1

57 = 2dd^ + md^ + i292d + ai)v + m2 + lvl2)v' и(т,г) — и(т,г + 27г), v(t, г) = v(t, г + 27г).

Здесь d - вполне определенная константа, действительная часть которой положительна.

Важным здесь также является и то, что даже если в уравнении (9) параметр диффузии 5 = 0, то во многих случаях нормализованная форма все равно будет иметь вид краевой задачи параболического типа.

Третий параграф второй главы содержал исследование нелокальной динамики. Изучались вопросы существования и устойчивости бегущих волн, т.е. решений вида iuit z(t) = z0e

В случае большого запаздывания описаны пары z0, ш, которые определяют бегущую волну уравнения (8). Были построены некоторые необходимые условия устойчивости таких решений. В критическом случае сконструирована нормализованная форма, которая имеет вид параболической краевой задачи с периодическими краевыми условиями: ди „д2и — 1 + ib. , ,,

57 = rd? + 2Г ( + и')' и^r) = <т'г + ^

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кащенко, Илья Сергеевич, 2006 год

1. Арнольд, В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений / В.И. Арнольд. — М.: Наука, 1978.

2. Ахромеева, Т.С. Нестационарные структуры и диффузионный хаос / Т.С. Ахромеева, С.П. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий, А.А. Самарский — М.: Наука, 1992.

3. Брюно, А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений / А.Д. Брюно. М.: Наука, 1979.

4. Бутузов, В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений / В.Ф. Бутузов, А.Б. Васильева. — М., 1973.

5. Васильева, А.Б. Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией. / А.Б. Васильева, С.А. Кащенко, Ю.С. Колесов, Н.Х. Розов // Матем. сборник. 1986. - 130 (172). - №4(8). - С. 488-499.

6. Горяченко, В.Д. Исследование динамики численности отдельной популяции с учетом последействия. Краткий обзор / В.Д. Горяченко // В сб. Нелинейные колебания и экология. ЯрГУ. — Ярославль, 1984. — С. 66-83.

7. Горяченко, В.Д., Прикладные задачи устойчивости систем с запаздыванием / В.Д. Горяченко, А.Д. Капустин. — Горький, 1988.

8. Григорьева, Е.В. Установившиеся автоколебания в лазерах с запаздывающей обратной связью / Е.В. Григорьева, С.А. Кащенко // ЖЭТФ, 1994. Т.106. - Вып. 1 (7).- С. 79-105.

9. Дмитриев, А.С. Стохастические колебания в радиофизике и электронике / А.С. Дмитриев, В.Я. Кислов. — М.: Наука, 1989.

10. Кащенко, Д.С. Динамика уравнений первого порядка с запаздыванием: учебное пособие / Д.С. Кащенко, И.С. Кащенко; Яросл. гос. ун-т. Ярославль: ЯрГУ, 2006. -132 с.

11. Кащенко, И.С. Алгоритм построения асимптотического разложения решений начальной задачи сингулярно возмущенного уравнения с малым запаздыванием / И.С. Кащенко // Современные проблемы математики и информатики. Вып.6. Ярославль, 2004. С. 47-54.

12. Кащенко, И.С. Асимптотика решений сингулярно возмущенных уравнений с малым запаздыванием / И.С. Кащенко //Труды XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета им. Ломоносова. Москва, 2004. — Т. I. — С.123.

13. Кащенко, И.С. Динамические свойства одного класса дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием / И.С. Кащенко // Современные проблемы математики и информатики, Вып.7. — Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2005. — С. 138-145.

14. Кащенко, И.С. Нормализация в системе с периодически распределенным запаздыванием / И.С. Кащенко // Современные проблемы математики и информатики Вып.8

15. Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2006. — С. 83-97.

16. Кащенко, И.С. Особенности локальной динамики уравнений первого порядка с большим запаздыванием / И.С. Кащенко / ИЗВЕСТИЯ РАЕН, серия МММИУ, 2006. -Т. 10, № 1-2. С. 5-50.

17. Кащенко, С.А. Применение метода нормализации к изучению динамики дифференциально-разностных уравнений с малым множителем при производной / С.А. Кащенко // Дифференциальные уравнения. 1989. - Т. 25. - №8. - С. 1448-1451.

18. Кащенко, С.А. Пространственные особенности высокомодовых бифуркаций двухком-понентных систем с малой диффузией / С.А. Кащенко //Дифференциальные уравнения. 1989. - Т. 25. - №2. - 9 с.

19. Кащенко, С.А. Уравнения Гинзбурга-Ландау — нормальная форма для дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием / С.А. Кащенко // Журнал Вычисл.матем. и матем. физ. — 1998. — Т.38. — №3. С. 457-465.

20. Кащенко, С.А. Бифуркационные особенности сингулярно возмущенного уравнения с запаздыванием / С.А. Кащенко // Сибирский математический журнал. — Т. 40. — №3. 1999. - С. 567-572.

21. Кащенко, С.А. Бифуркации в окрестности цикла при малых возмущениях с большим запаздыванием. / С.А. Кащенко // Журнал Вычисл. матем. и матем. физ. — 2000.- №4.

22. Кащенко, С.А. Об одном дифференциально-разностном уравнении, моделирующем импульсную активность нейрона / С.А. Кащенко, В.В. Майоров // Математическое моделирование. 1993. - Т. 5. - №12. - С. 47-58.

23. Клушин, М.И. Резание металлов / М.И. Клушин. — М.: Машиностроение, 1958.

24. Ланда, П.С. Автоколебания в распределенных системах / П.С. Ланда. — М.: Наука, 1983.

25. Майстренко, Ю.Л. Разностные уравнения и их приложения / Ю.Л. Майстренко, Е.Ю. Романенко, А.Н. Шарковский — Киев: Наук, думка, 1986.

26. Марсден, Дж. Бифуркация рождения цикла и ее приложения / Дж. Марсден, М. Мак-Кракен. — М.: Мир, 1980.

27. Марчук, Г.И. Математическая модель противовирусного иммунного ответа / Г.И. Марчук, Р.В. Петров // Препринт №10, отдел вычислит, математики АН СССР.- Москва. 1981.

28. Халанай, А. Системы с запаздыванием. Результаты и проблемы / А. Халанай // Сб. переводов „Математика" 10:5. — 1966. — С. 85-102.

29. Хейл, Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений / Дж. Хейл. — М.: Мир, 1984.

30. Эльясберг, М.Е. Об устойчивости процесса резания металлов / М.Е. Эльясберг // Известия АН СССР, ОТН. №9. - 1958.

31. Bestehorn, М. Order parameters for class-B lasers with a long time delayed feedback. / M. Bestehorn, E.V. Grigorieva, H. Haken, S.A. Kaschenko // Physica D. — Vol. 145(2000) P.111-129.

32. Gibbs, H.M. Observation of Chaos in Optical Bistability / H.M. Gibbs, F.A. Hopf, D.L Kaplan, R.L. Shoemaker // Phys. Rev. Lett. 1981. - V. 46. - №7 - P. 474477.

33. Hauptmann, C. Control of spatially patterned synchrony with multisite delayed feedback / C. Hauptmann, Y. Maistrenko, 0. Omel'chenko, 0. Popovich, P.A. Tass // Phys. Rev. In paper.

34. Ikeda, K. Multiple-Valued Stationary State and Its Instability of the Transmitted Light by a Ring Cavity System / K. Ikeda // Opt. Comm. 1979. - V.30. - №2 - P. 257-261.

35. Ikeda, K. Optical Turbulence: Chaotic Behavior of Transmitted Light from a Ring Cavity / K. Ikeda, H. Daido, 0. Akimoto // Phys. Rev Lett. 1980. - V 45. - №9. - P. 709-712.

36. Ikeda, K. Successive Higher-Harmonic Bifurcations in Systems with Delayed Feedback / K. Ikeda, K. Kondo, 0. Akimoto // Phys. Rev. Lett. 1982. - V. 49. - №20 - P. 1467-1470.

37. Johnston, G.L. Time delay effects on coupled limit cycle oscillators at Hopf bifurcation/ Johnston G.L., D.V. Ramana Reddy, A. Sen // Physica D 129 (1999) - P. 15-34.

38. Johnston, G.L. Dynamics of a limit cycle oscillator under time delayed linear and nonlinear feedbacks / Johnston G.L., D.V. Ramana Reddy, A. Sen // Physica D — 144 (2000) P. 335-357.

39. Kuramoto, Y. Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence / Y. Kuramoto — Springer, Berlin Heidelberg New York, 1984.

40. Mackey, M.C. Oscillation and Chaos in Physiological Control Systems / M.C. Mackey, L. Glass // Science. 1977. - V.197. - №4300. - P. 287-289.

41. Stokes, A. On the approximation of nonlinear oscillation / A. Stokes // Труды 5-й международной конференции по нелинейным колебаниям, Киев. — 1970. — Т.2. — С. 480-491.