Асимптотический и численный анализ периодических решений одного класса моделей с запаздыванием и диффузией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Полстьянов, Артем Сергеевич

• Полстьянов, Артем Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Полстьянов, Артем Сергеевич

Оглавление

Введение

1. Релаксационные колебания в простейших моделях с запаздыванием

1.1. Уравнения с финитной нелинейностью. Постановка задачи

1.2. Релаксационные колебания в уравнениях с финитной нелинейностью хатчинсоновского типа

1.3. Релаксационные колебания в комплексных скалярных уравнениях с запаздыванием

2. Асимптотика периодических решений распределенного уравнения Хатчинсона с быстро осциллирующими коэффициентами и большим коэффициентом диффузии

2.1. Постановка задачи

2.2. Периодические решения автономных параболических уравнений с быстро

осциллирующими коэффициентами

2.2.1. Вводные замечания

2.2.2. Алгоритм построения асимптотики периодического решения

2.3. Обоснование результатов

2.4. Построение асимптотик решений для уравнения Хатчинсона с быстро осциллирующими коэффициентами

2.5. О периодических решениях уравнения Хатчинсона. с «большой» диффузией

2.6. Уравнения с близкими к постоянным

коэффициентами

3. Пространственно-неоднородные периодические решения в распределенном уравнении Хатчинсона

«

3.1. Постановка задачи

3.2. Асимптотический анализ периодических решений краевой задачи (3.6),(3.7)

3.3. Результаты численного анализа

4. Пространственно-неоднородные периодические решения

уравнения Хатчинсона с распределенным насыщением

4.1. Постановка задачи

4.2. Случай симметричной F(x)

4.3. Случай несимметричной Р(х)

4.4. Результаты численного исследования

* 5. Применение клеточных автоматов и имитационного модели-

рования для решения распределенного уравнения Хатчинсона

5.1. Постановка задачи

5.2. Переход от уравнения Хатчинсона к клеточной сети

5.3. Программная реализация клеточного автомата на основе сети Хатчинсона

Заключение

Литература

А. Программный пакет 811ш^ег

А.1. Постановка задачи

A.2. Общее описание программного пакета и используемых в нем алгоритмов

*

Б. Результаты применения программного комплекса

Б.1. Построение изображений на плоскости

Б.2. Построение изображений на торе

B.З. Построение изображений на сфере

Б.4. Работа клеточного автомата в трехмерном пространстве

%

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Асимптотический и численный анализ периодических решений одного класса моделей с запаздыванием и диффузией»

Введение

Одним из активно развивающихся направлений в теории динамических систем являются в настоящее время исследования качественного поведения нелинейных уравнений с распределенными параметрами. Эти исслсдо-« вания стимулируются появлением большого числа прикладных задач, для

моделирования которых используют такие объекты, как дифференциальные уравнения с запаздыванием, уравнения в частных производных или уравнения с распределенными коэффициентами. Уравнения такого типа возникают, например, в нелинейной оптике и лазерной динамике (Gibbs Н.М., Hopf F.A., Kaplan D.L., Shoemaker R.L., Ikeda К. [1-3], Ахманов C.A., Воронцов М.А. [4,5], Григорьева Е.В., Кащенко С.А. [6,7,9] ), электротехнике (Schwarz W., Moegel A., Kilias Т., Kutzer К. [8,10,11] ), радиофизике (Дмитриев А.С., Кислов В.Я. [12], Ланда П.С. [13]), медицине (Марчук Г.И. [14], Петров Р.В. [15]), математической экологии (Горяченко В.Д. [16], Колесов Ю.С. [17-19], Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. [20,21], Свирежев Ю.М. [22], Марри Дж. [23], Колмановский В.В. [24]), теории нейронных систем (Малинецкий Г.Г. [25-28], Майоров В.В., Мышкин И.Ю., Кащенко С.А. [29-31]), термодинамике (Kuramoto Y., Tsuzuki Т. [32], Нико-лис Г., Пригожин И. [33], Полак J1.C., Михайлов А.С. [34], Хакен Г.Г. [35]), при описании процесса резания металлов (Эльясберг М.Е. [36], Клушин М.И. [37]) и др.

Изучению уравнений с запаздыванием посвящено значительное число публикаций как теоретического, так и прикладного характера. Для многих уравнений, содержащих запаздывание, хорошо зарекомендовали себя классические асимптотические методы, такие как методы усреднения Крылова-Боголюбова [38,39], методы пограничных функций в случае сингулярных возмущений (Васильева А.В., Бутузов В.Ф. [40-42], Ломов С.А. [43]). Тем не менее, развитие аналитических методов для систем с запаздыванием явно недостаточно. В силу принципиальной сложности систем с бесконечномерным фазовым пространством особую значимость как для общетеоретических вопросов, так и для решения конкретных прикладных задач приобрета-

ет разработка новых асимптотических методов исследования динамических свойств решений.

Плодотворный подход к исследованию динамики нелинейных систем связан с выделением некоторой совокупности переменных и перехода к универсальным уравнениям, описывающим локальную динамику исходной задачи. Один из примеров реализации этой идеи — метод нормальных форм [44-51]. Методы нормализации являются одними из основных методов анализа поведения решений нелинейных уравнений в окрестности установившегося режима. Подход, связанный с использованием известной теории инвариантных интегральных многообразий (см. [52]), позволяет дня изучения широкого класса эволюционных уравнений воспользоваться хорошо разработанным для обыкновенных дифференциальных уравнений методом нормальных форм. Такими методами изучаются и задачи с бесконечномерным фазовым пространством, например, уравнения с запаздыванием или краевые задачи параболического типа. Развитие данного метода на случай бесконечномерного вырождения привело к возникновению понятия квазинормальных и форм и позволило построить асимптотические представления решений для целого ряда распределенных систем и систем с запаздыванием. Алгоритмы разработанные Васильевой A.B., Бутузовым В.Ф., Кащенко С.А., Колесовым А.Ю. и Колесовым Ю.С. ¡53—5Т] будут частично использоваться в данной работе.

Следует отметить, что целый ряд задач качественного исследования динамических систем не может быть решен методами нормальных форм, особенно это касается ситуации, когда в системе имеется большой параметр. Основы применения метода, большого параметра в случае, так называемых сингулярно возмущенных задач, заложены в работах Понтрягина Л.С., Мищенко Е.Ф., Розова Н.Х. [58-62], Колесова Ю.С., Колесова А.Ю, [63], Кащенко С.А. [56,64-68], а также, уже упоминавшихся, Васильевой A.B. и Бутузова В. Ф.

В настоящей работе рассматривается широкий класс краевых задач параболического типа с распределенными параметрами и запаздыванием. Изложение основных результатов выполняется на примере известного модельного уравнения Хатчинсона (см. [69,70])

ÖN

аГ =г{х)

N(t-h, х) К{х)

dN

dv

N + dAN,

(0.1)

= 0,

г

где функция N(t,x) — плотность численности популяции, обитающей в области О с достаточно гладкой границей Г, t > 0 — временная, х € П — пространственная переменные, r(x) ^ 0 — мальтузианский коэффициент линейного роста, положительная функция К(х) определяется емкостью среды обитания, параметр запаздывания h в первом приближении определяет возрастную структуру популяции, величина d > 0 — коэффициент диффузии, определяющий скорость освоения популяцией ареала обитания, Д обозначен оператор Лапласа по пространственной переменной, djdv — производная по направлению внешней нормали к границе Г.

Краевая задача (0.1) в общем случае допускает только численное решение, что, однако, сопряжено с существенными трудностями, которые связаны с невозможностью оценить заранее необходимое для адекватного применения численных методов, разбиение пространственной области на части (например, конечные элементы). Особенно трудной оказывается задача поиска устойчивых решений данной динамической системы. Это происходит в силу двух причин, первая из которых состоит в том, что динамическая система может иметь довольно много сосуществующих различных аттракторов, а вторая связана с часто возникающей необходимостью длительного счета для выхода на устойчивое решение, В этой ситуации принципиапьное значение приобретают асимптотические методы анализа, сопровождающиеся попыткой распространения их результатов за пределы области применимости.

Указанные особенности поведения краевой задачи (0.1) с распределенными по пространству параметрами приводят к необходимости рассмотрения этой задачи в сингулярно возмущенном случае и изучения особенностей применения метода большого параметра в этой ситуации. Естественно начать с задачи (0.1) без пространственного распределения. А затем, на основе полученной информации, можно перейти к анализу (на основе модифицированных для этого случая асимптотических методов) вопросов существования, структуры и устойчивости периодических решений для уравнения Хатчинсона с зависящими от пространственной переменной коэффициентами и диффузией. Особое внимание уделяется случаю, когда коэффициенты уравнения являются быстроосциллирукмцими функциями, а также ситуации большого коэффициента диффузии.

Используемые в работе асимптотические методы, очевидным образом, локальны, поэтому, как правило, неизвестно применимы ли они к данной конкретной динамической системе. Дело в том, что, во-первых, параметры задачи должны быть малы или велики (близки к критическим значениям), а степень этой малости или близости неизвестна. Во-вторых, применяемые

методы локальны по области фазового пространства (как правило, изучается окрестность нулевого решения). В связи с указанными трудностями естественно применять численные методы в сочетании с асимптотическими. Это позволяет, хотя бы приблизительно, очертить область поиска (по начальным условиям и параметрам) решений задачи, а затем выяснить встречаются ли в этой области режимы со структурой, предсказанной асимптотическими методами.

Важным тестовым примером для применения как асимптотических, так и численных методов является краевая задача (0.1). Значительная часть настоящей работы посвящена получению асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений сложно пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями. Данная часть работы сопровождается численным экспериментом, который позволил проиллюстрировать результаты асимптотического анализа, в частности, показано, что пространственно-неоднородные периодические режимы с необходимыми свойствами наблюдаются как при асимптотическом анализе, так и в процессе численного счета.

Следует отметить, что совпадение или даже просто близость между результатами применения асимптотических методов и численного счета наблюдается далеко не всегда. В частности, для пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями были получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений для симметричного и несимметричного насыщения. При этом численный анализ упрощенной модели демонстрирует мультистабильность — сосуществование периодических решений вида бегущих волн, среди которых, тем не менее, не наблюдается решений с полученной ранее асимптотикой.

Случаи несовпадения результатов численного счета и асимптотических методов обычно объясняются узкой областью применимости построенных асимптотик. Для преодоления возникающего несоответствия можно несколько изменить саму исследуемую модель (П.1), заменив ее клеточным автоматом. Применение клеточных автоматов значительно упрощает вычислительную процедуру и позволяет рассматривать более сложные области пространственного распределения задачи.

Содержание диссертационной работы Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, двух приложений и списка литературы.

В первой главе асимптотическими методами (см. [71,72]) исследуется нелокальная динамика уравнения с запаздыванием в случае, когда нелинейность является финитной функцией. Описаны условия существования и устойчивости периодических решений. Полученные результаты обобщены на комплексные уравнения.

Во второй главе изучаются вопросы о существовании, структуре и устойчивости периодических решений для нелинейных систем автономных параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами и уравнений с большими коэффициентами диффузии. В п. 2.1 изучаются периодические решения автономных параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами.

В третьей главе получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений сложно-пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями и показано, что данные режимы наблюдаются в численном эксперименте. В этой главе исследуется сложно-пространственно распределенное уравнение Хатчинсона с периодическими краевыми условиями.

Четвертая глава является естественным продолжением третьей главы. В ней получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями в случаях симметричного и несимметричного насыщения. Численный анализ упрощенной модели демонстрирует мультистабильность — сосуществование периодических решений вида бегущих волн, среди которых, тем не менее, не наблюдается решений с полученной асимптотикой. В этой главе рассматривается аналогичное предыдущему распре деленное уравнение Хатчинсона с периодическими краевыми условиями.

В пятой главе диссертационной работы исследуется динамика нейронных сетей, составленных из формальных нейронов Хатчинсона. Для решения данной задачи был разработан программный комплекс «Simager» для визуального отображения решений пространственно распределенных динамических систем. Его предназначение: демонстрация поведения динамических систем, заданных дифференциальными уравнениями с частными производными, уравнениями с запаздыванием или отображениями. Он может использоваться для классификации решений систем в зависимости от параметров и начальных условий, предоставлять возможности дня изучения поведения динамических систем на плоскости и в трехмерном пространстве.

В заключении подводятся основные итоги работы, а также намечаются возможные пути продолжения исследования.

В приложении А представлено подробное описание функциональных возможностей программного комплекса «8ш^ег».

В приложении Б собран иллюстративный материал, наглядно демонстрирующий основные возможности программного комплекса «Эж^ег».

Результаты, выносимые на защиту

1) Асимптотическими методами исследована нелокальная динамика уравнения с запаздыванием в случае, когда нелинейность является финитной функцией. Описаны условия существования и устойчивости периодических решений. Полученные результаты обобщены на комплексные уравнения.

2) Изучены вопросы о существовании, структуре и устойчивости периодических решений параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами и уравнений с большими коэффициентами диффузии.

3) Получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений сложно-пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями и показано, что данные режимы наблюдаются в численном эксперименте.

4) Получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями в случаях симметричного и несимметричного насыщения. Численными методам анализа упрощенной модели обнаружено явление мультистабильности — сосуществование периодических решений вида бегущих волн.

5) Разработан пакет программ визуального отображения решений пространственно распределенных динамических систем «Зт^ег».

Актуальность и научная новизна работы

Исследована нелокальная динамика уравнения с запаздыванием в случае, когда нелинейность является финитной функцией.

Изучены вопросы о существовании, структуре и устойчивости периодических решений параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами и уравнений с большими коэффициентами диффузии.

Получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений сложно-пространственно распределенного уравнения Хатчинсона

с периодическими краевыми условиями и показано, что данные режимы наблюдаются в численном эксперименте.

Получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями в случаях симметричного и несимметричного насыщения.

Проведены численные исследования, которые подтверждают результаты асимптотического анализа.

Публикации и апробация результатов

По теме диссертации автором опубликовано 4 печатные работы [73-76], а также получено свидетельство государственной регистрации программы дня ЭВМ [77]. Все научные работы выполнены в соавторстве, но в диссертацию включены лишь результаты, полученные автором самостоятельно.

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры математического моделирования Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, на семинаре «Моделирование и исследование нейронных сетей» кафедры компьютерных сетей Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, а также обсуждались на научных конференциях:

1) Международная конференция научно-образовательных центров, посвященная 10-летию программы ВИНЕ, октябрь, 2008:

2) Всероссийская выставка научно-технического творчества молодежи (НТТМ-2009), Москва, 2009.

3) ХЬУШ Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 10-14 апреля 2010;

4) Всероссийский конкурс научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках всероссийского фестиваля науки, РГСУ, Москва, сентябрь, 2011.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Полстьянов, Артем Сергеевич

Заключение

Подведем некоторые итоги выполненных исследований и выделим наиболее важные результаты, полученные в работе.

Отметим сначала утверждения, построенные на основе применения асимптотических методов большого параметра. Для уравнения с запаздыванием в случае, когда нелинейность является финитной функцией, исследована его нелокальная динамика, описаны условия существования и устойчивости периодических решений, все результаты обобщены на случай комплексного уравнения. Для пространственно распределнного уравнения Хатчинсона изучен вопрос о существовании, структуре и устойчивости периодических решений в случае быстро осциллирующих по пространственной переменной коэффициентов, а также для большого коэффициента диффузии.

Второй комплекс результатов связан с совместным использованием асимптотических и численных методов. На этом пути получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений сложно пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями и показано, что данные режимы наблюдаются в численном эксперименте. Также получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями в случаях симметричного и несимметричного насыщения. Численными методам обнаружено явление мультистабильности — сосуществование периодических решений вида бегущих волн.

Наконец, последняя часть результатов основывается на сведении распределенного уравнения Хатчинсона к клеточным автоматам. Разработан пакет программ визуализации решений пространственно распределенных динамических систем «31П^ег», с помощью которого может исследоваться динамика соответствующей краевой задачи на плоскости, на некоторых поверхностях (тор, сфера) и в пространстве.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Полстьянов, Артем Сергеевич, 2012 год

Литература

1. K.Ikeda, H.Daido and O.Akimoto Optical turbulence: Chaotic behaviour of transmitted light from a ring cavity // Phys. Rev. Lett. - 1980. V. 45. -P. 709-712.

2. Ikeda K.} Kondo K., Akimoto 0. Successive Higher-Harmonic Bifurcations in Systems with Delayed Feedback // Phys. Rev. Lett. - 1982. V. 49, N 20. - P. 1467-1470.

3. Mark J., Tromborg ВMark J. Chaos in semiconductor lasers with optical feedback. Theory and experiment // IEEE Л.Quantum Electr. — 1992. — V. 28. - P. 93-108.

4. Ахманов С.А., Воронцов M.A., Иванов В.Ю. Крупномасштабные поперечные нелинейные взаимодействия в лазерных пучках: новые типы нелинейных волн, возникновение "оптическойитурбулентности // Письма в ЖЭТФ. 1988. - Т. 47, № 12. - С. 611-614.

5. Akhmanov S.A., Vorontsov М.А., Ivanov V.Yu., Larichev A. V.} Zheleznykh N.I. Controlling transverse-wave interactions in nonlinear optics: generation and interaction of spatio-temporal structures

JOSA B. - 1992. - V. 9, Issue 1. - P. 78-90.

6. Grigorieva E. V,, Kaschenko S.A. Regular and chaotic pulsations in lazer diode with delayed feedback. // Bifurcations and chaos. 3. 1993. N 6. 14 p.

7. Григорьева E.B,, Кащенко С.А. Установившиеся автоколебания в лазерах с запаздывающей обратной связью // ЖЭТФ, 1994. - Т. 106, вып. 1(7). - 27 с.

8. Т. Kiliasf К. Kutzer, A. Moegel, W. Schwarz. Electromic chaos generators

- design and applications // International Journal of Electronics. — 1995.

- V. 79, No. 6. - P. 737-753.

9. Bestehorn M., Grigorieva E. V,, Haken H, and Kaschenko S.A. Order parameters for class-B lasers with a long time delayed feedback // Physica D. 2000. V. 145. P. Ill - 129.

10. A. Mo eg el, W. Schwarz, S. Kaschenko. Analysis and simulation principles for chaotic systems containing delay elements. (NDES '96) Seville, Spain, 1996.

11. Backer R.I. On invariant surfaces and bifurcation of periodic solutions of ordinary differential equations. New York, 1964, p. 717-732. (Reprt/New York University. IMM-NYU, 333).

12. Дмитриев А. С., Кислое В. Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике. М.: Наука, 1989.

13. Ланда П.С. Автоколебания в распределенных системах. М.: Наука, 1983.

14. Марчук P.M. Математические модели в иммунологии. - М.: Наука, 1980. - 264 с.

15. Petrov R. V. Immunologic. Moscow: Mir, - 1990. - 384 p.

16. Горяченко В.Д, Колчин В.А. К динамике численности отдельной популяции с учетом запаздывания в размножении // Нелинейные колебания в задачах экологии: Межвуз. сб. / Яросл. ун-т. Ярославль, 1985. С. 23 - 43.

17. Колесов Ю, С. Математические модели экологии // Исследования по устойчивости и теории колебаний. — Ярославль: ЯрГУ, 1979. — С. 3-40.

18. Колесов Ю. С. Проблема адекватности экологических уравнений / / Яр-ГУ, Ярославль, 1985.-162с.-Деп. в ВИНИТИ 15.03.85.-№1901-85.

19. Колесов Ю.С., Колесов B.C., Федик И.И. Автоколебания в системах с распределенными параметрами. Киев: Наукова думка, 1979. - 133 с.

20. Романовский Ю.М.У Степанова Н.В., Чернавский Д. С. Математическая биофизика. М.: Наука, 1984.

21. Васильев В. А., Романовский Ю.М., Яхно В.Р. Автоволновые процессы. М.: Наука, 1987.

22. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987.

23. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983.

24. Колманоеский В.В., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. - 448с.

25. Ахромеева Т.С., Малинецкий Г.Г. Простейшие типы упорядоченности в двумерных диссипативных системах. - Препринт ИПМ им. Н.В. Келдыша АН СССР, 1984, № 112, 28 с.

26. Кащенко С.А., Воколишвили И.В., Малинецкий Г.Г., Потапов A.B. Complex ordering and stochastic oscillations in a class of reaction-diffusion systems with small diffusion // Л. Nonlinear Science. 1994. V. 4. P.545 -562.

27. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.ЛМшгинецкий Г.Г., Самарский A.A. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.

28. Ахромеева Т.С, Курдюмов С,П., Малинецкий Г.Г., Самарский А.А. О классификации решений систем нелинейных диффузионных уравнений в окрестности точки бифуркации / / Современные проблемы математики. Новейшие достижения. Т. 28. (Итоги науки и техн.). М.: ВИНИТИ АН СССР, 1986. С. 207 - 313.

29. Майоров В. ВМышкин И.Ю. Математическое моделирование нейронов сети на основе уравнений с запаздыванием / / Математическое моделирование. 1990. Т. 2, № 11. С. 64-76.

30. Кащенко С. А., Майоров В. В. Об одном дифференциально-разностном уравнении, моделирующем импульсную активность нейрона // Математическое моделирование. 1993. Т. 5, № 12. С. 13-25.

31. Кащенко С.А., Майоров В.В. Модели волновой памяти. М: Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2009.

32. Kuramoto Y., Tsuzuki Т. On the Formation of Dissipative Structures in Reaction - Diffusion Systems // Progress of Theoretical Physics. 1975, V.54, №3. P. 687 - 699.

33. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979.

34. Полак Л.С., Михайлов A.C. Самоорганизация в неравновесных физико-химических системах. М.: Наука, 1983.

35. Хакен Г.Г. Синергетика. М.: Мир, 1985.

36. Элъясберг М. Е. Автоколебания металлорежущих станков: теория и практика. СПб. : Особое КБ станкостроения, 1993. - 180 с.

37. Клушин М. И. Резание металлов. М.; Машиностроение, 1958.

38. Боголюбов H.H., Митрополъский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний.-М.:Наука, 1974.-504с.

39. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976.

40. Васильева А.Б., Бутузов Б.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд. МГУ, 1978.

41. Васильева А. ББутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

42. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Об асимптотической теории контрастных пространственных структур // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т. 29, №3. С. 346 - 361.

43. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений.-М.: Наука, 1981 .-398с.

44. Арнольд В.И. Лекции о бифуркациях и версальных семействах // УМН. 1972. Т. 27, № 5. С. 119-184.

45. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва: Наука, 1978, 304 с.

46. Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000.

47. Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.:Наука, 1979. — 254с.

48. Wiggins S. Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos. New York: Springer-Verlag, 1996.

49. Шилъников Л. П., Шилъников А. Л., Ту рае в Д. В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Ч. 1. — Москва; Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.

50. Шилъников Л. П.j Шилъников А.Л.У Тураев Д. ВЧуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Ч. 2. — Москва; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009.

51. Гукенхеймер Д., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных попей. — Москва; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002. - 560 с.

52. Митрополъский Ю.А., Лыкова О.Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике.-М.: Наука, 1973.

53. Васильева А. Б., Кащенко С. А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией // Мат. сб. - 1986. - Т. 130, № 4. - С. 488 - 499.

54. Колесов Ю. С. Метод квазинормальных форм в задаче об установившихся режимах параболических систем с малой диффузией // Укр. матем. журн. - 1987. - Т. 39, № 1. — С, 28 - 34.

55. Колесов А. Ю., Розов H. X. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений — М.: Физматлит, 2004.

56. Кащенко С. А. О квазинормальных формах для параболических уравнений с малой диффузией // Докл. АН СССР. - 1988. - Т. 299, №5. - С. 1049-1052.

57. Кащенко С. А. Уравнение Гинзбурга-Ландау — нормальная форма дня дифференциально-разностного уравнения второго порядка с большим запаздыванием // ЖВМ и МФ. - 1998. - Т. 38, № 3. - С. 457 - 465.

58. Мищенко Е. Ф., Понтрягин Л. С. Периодические решения систем дифференциальных уравнений, близкие к разрывным // ДАН СССР. -1955. - Т. 102, № 5. - С. 889-891.

59. Мищенко Е. Ф. Асимптотическое вычисление периодических решений систем дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1957. - Т. 21, № 5. -С. 627-654.

60. Мищенко Е. Ф., Понтрягин Л. С. Доказательство некоторых асимптотических формул дгся решений дифференциальных уравнений с малым параметром // ДАН СССР. - 1958. - Т. 120, № 5. - С. 967-969.

61. Понтрягин Л. С, Асимптотическое поведение решений систем дифференциальных уравнений с малым параметром при высших производных // Изв. АН СССР. Сер. матем. - 1957. - Т. 21, № 5. - С. 605-626.

62. Мищенко Е. Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975. - 248 с.

63. Мищенко Е. Ф., Колесов Ю. С., Колесов А. Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.; Физматлит, 1995. - 336 с.

Ы. Кащенко С,А. Исследование асимптотики периодических решений автономных параболических уравнений с малой диффузией / Деп. ВИНИТИ 15.01.85. N 388 - 85. 26 с.

65. Кащенко С.А. Построение квазинормальных форм для нелинейных параболических уравнений с малой диффузией. Ярославль, 1986. Деп. в ВИНИТИ 25.04.86, №3070-В86.

66. Кащенко С.А. Об устойчивости решений линейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами в случае резонансов.//Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1980.-е.25-34.

67. Kaschenko S.A. Normalization in the systems with small diffusion // International Journal of Bifurcations and chaos. 1996. Vol. 6, №7. P. 1093 - 1109.

68. Кащенко С.А. Пространственно неоднородные структуры в простейших моделях с запаздыванием и диффузией // Матем.моделирование, 1990, т.2, N 9, 29-49.

69. Hutchinson G. Е. Circular causal system in ecology // Ann. N.-Y. Acad. Sei. - 1948. - V. 50. - P. 221-246.

70. Колесов А. Ю. , Колесов Ю. С. Релаксационные колебания в математических моделях экологии. - Тр. МИАН, 199. - Ред. Е. Ф. Мищенко. -Наука: М, 1993ю - 126 с.

71. Кащенко С.А. Асимптотика релаксационных колебаний дифференциально-разностных систем с финитной нелинейностью.

I // Диф. уравнения. - 1995. - Т. 31, №8. - С. 1330-1339.

72. Кащенко С.А. Асимптотика релаксационных колебаний дифференциально-разностных систем с финитной нелинейностью.

II // Диф. уравнения. - 1995. - Т. 31, №10. - С. 1968-1976.

73. Кащенко С. А., Полстьянов A.C. Релаксационные колебания в простейших моделях с запаздыванием // Моделирование и анализ информационных систем. - 2008. — Т. 15, №2. - С. 55-60.

74. Глызин Д.С., Кащенко С. А., Полстьянов A.C. Пространственно-неоднородные периодические решения в распределенном уравнении Хатчинсона // Моделирование и анализ информационных систем, — 2009. - Т. 16, №4. - С. 77-85.

75. Глызин Д. С., Кащенко С. А., Полстьянов A.C. Пространственно-неоднородные периодические решения уравнения Хатчинсона с распределенным насыщением // Моделирование и анализ информационных систем. - 2011. - Т. 18, №1. - С. 37-45.

76. Кащенко С. А., Полстьянов A.C. Асимптотика периодических решений автономных параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами и уравнений с большими коэффициентами диффузии // Моделирование и анализ информационных систем. 2012. Т. 19. N 1. С. 7-23.

77. Полстьянов А. С. Пакет программ визуального отображения решений пространственно распределенных динамических систем «Simager» // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. М.: РОСПАТЕНТ, 2008. №2008613362.

78. Кащенко С.А. Асимптотика аттракторов в простейших классах математических моделей с запаздыванием // Известия РАЕН (серия ММ-МИУ). - 1997. - Т. 1, № 1. - С. 73-84.

79. Кащенко С.Л, Сравнительный асимптотический анализ динамики автогенераторов с различными нелинейными запаздывающими связями // Фундаментальная и прикладная математика. — 1999. — Т. 5, Вып. 4. - С. 1027-1060.

80. Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Н., Шарковский А.Н. Разностные уравнения и их приложения. — Киев: Наукова Думка, 1986.

81. Кащенко С.А., Майоров В.В. Алгоритм исследования устойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с последействием и быстро осциллирующими почти-периодическими коэффициентами // Исследования по устойчивости и теории колебаний. — Ярославль, 1977. - С. 70-81.

82. Кащенко С.А. Асимптотика установившихся режимов параболических уравнений с быстро осциллирующими по времени коэффициентами и переменной областью определения // УМЖ — 1987. — Т. 39, № 5. — С. 578-582.

83. Кащенко С.А. Быстро осциллирующие бегущие волны в системах с малой диффузией // Дифференциальные уравнения. — 1992. — Т. 28, № 2. - С. 254 - 262.

84. Кащенко С.А. Исследование устойчивости решений линейных параболических уравнений с близкими к постоянным коэффициентами и малой диффузией // Тр. семинара им. И.Г. Петровского. 1991. Вып. 15. С. 128-155.

85. Stokes A. On the approximation of nonlinear oscillation // Тр. V Меж-дунар. конф. по нелинейным колебаниям. Киев: Наукова думка, 1970. Т. 2. С. 480-491.

86. Кащенко С. А. Существование и асимптотика периодических решений некоторых уравнений с последействием // Качественные методы теории нелинейных колебаний. Киев, 1984. Т. 2. С. 173-175.

87. Wríght Е.М. A non-linear difference- difíerential equation // Т. Reine Angew, Math. 1955. - P. 194,

88. Kakutani S.} Markus L. On the non-linear difference-difíerential equation y'(t) = .{A — By(t — r)}y(t) // Contributions to the Theory of Non-linear

Oscillations IV, Annals of Math. Studies No 41, Prinston University Press, Prinston, 1958.

89. May Robert M. Stability and complexity in Model ecosystems. Prinston, New-Jersey, 1973.

90. Bellman R.E. A survey of the mathematical theory of time-lag, retarded control, and hereditary processes. Santa Monica, California: the Rand Corporation, 1954.

91. Jones G.S. On the nonlinear differential-difference equation f(x) — —af(x - 1){1 + f(x)} // J. Math. Anal. Appl. 4 (1962), 440-469.

92. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984.

93. Kuang У. Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics. San Diego: Academic Press, 1993. — 399 p.

94. Кащенко С,А. Асимптотика периодического решения обобщенного уравнения Хатчинсона // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1981. - С. 64-85.

95. Кащенко СЛ. Пространственно-неоднородные структуры в простейших моделях с запаздыванием и диффузией / / Математическое моделирование. 1990. Т. 2, N 10. С. 49-69.

96. Колесов А.Ю. Об устойчивости пространственно однородного цикла уравнения Хатчинсона с диффузией. Вильнюс: ИМК, 1985. № 1. С. 93 - 102.

97. Bestehorn М., Grigorieva Е. V.} Kaschenko S.A. Spatio-temporal structures in a biological model with delay and diffusion // The Third International Conference "Tools for mathematical modelling" 18 - 23 June 2001, Saint Petersburg.

98. Кащенко Д.С., Кащенко И.С, Динамика параболического уравнения с малой диффузией и отклонением пространственной переменной // Моделирование и анализ информационных систем. — 2008. — Т. 15, № 2. - С. 89-93.

99. Кащенко Д.С., Кащенко И.С. Динамика логистического уравнения с пространственно-распределенным насыщением // Моделирование и анализ информационных систем. — 2009. — Т. 16, № 1. — С. 54-61.

100. Dormand J.R., Prince P.J. A Family of Embedded Runge - Kutta Formulae // Л. Comp. Appl. Math. - 1980. - V. 6. - P. 19 - 26,

101. Малинецкий Г.Г., Шакаева M.С. Клеточные автоматы в математическом моделировании и обработке информации. Препринт ИПМ им. Келдыша РАН. - 1994. - № 57.

102. Тофоли Т., Марволис И. Машины клеточных автоматов. М.: Мир, 1991. - 278 с.

103. Chua L. ОYang L. Cellular Neural Networks: Theory // IEEE Transactions on Circuits and Systems. - 1988. - V. 35. No 10. — P. 1257-1272.

104. Нейман Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов. M.: Мир, 1971.

105. Винер Н.} Розенблют А. Проведение импульсов в сердечной мышце // Кибернетический сборник. — Вып. 3. М.: ИЛ, 1961. — С. 7-56.

106. Шабаршина Г. В. Самоорганизация в слабо неоднородной полносвязной сети. // Математическое моделирование и анапиз информационных систем. - 2000. Т. 7, № 1,- - С. 44-49.

107. Шабаршина Г.В. Самоорганизация в полносвязной однородной сети нейронных клеточных автоматов возбудительного типа. // АиТ, 1999. -Вып. 2.-С. 112-119.

108. Шабаршина Г.В. Проведение возбуждения по кольцевой структуре нейронных клеточных автоматов. // Моделирование и анализ информационных систем. - 1994. - Т. 1, № 2. - С. 116-121.

109. Кащенко С. А. Асимптотика установившихся режимов конечно-разностных аппроксимаций уравнения Хатчинсона с малой диффузией // Динамика биологических популяций: Межвуз. сб. — Горький: ГГУ, 1986. С. 65-66.

110. Кащенко С.А. Сложные установившиеся режимы в динамике многовидовых сообществ. Динамика биологических популяций: Межвуз. сб. Горьк. ун-т. - Горький: ГГУ, 1984. С. 30-46.

111. Колесов Ю.С., Майоров B.B. Пространственная и временая самоорганизация в одновидовом биоценозе. Динамика биологических популяций. Межвузовский сборник: Межвуз. сб. Горьк. ун-т. — Горький: ГГУ, 1986. - С. 3-13.

112. Глызин С. Д. Стационарные режимы одной конечноразностной аппроксимации уравнения Хатчинсона с диффузией // Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений: Межвуз. сб. / Яросл. ун-т. - Ярославль, 1986. - С. 112-127.

113. Кащенко С. А., Майоров В. В. Моделирование возбудимой среды на основе уравнений Хатчинсона / / Труды Международной конференции "Биомод- 92". - С.-Петербург, 1992.

114. Кащенко С. АМайоров В. В. Некоторые типы колебаний в сети диффузионно связанных нейронов // Нейроинформатика и нейрокомпьютеры. Инст-т биофизики СО РАН. Тезисы докл. рабочего семинара. — Красноярск, 1995. — С. 87.

115. Кащенко С. А.} Майоров В. В. Волновые структуры в клеточной сети из формальных нейронов Хатчинсона // Радиотехника и электроника.

- 1995. - Т. 40, №. 6. - С. 925-936.

116. Рендольф HГарднер Д., Андерсон К.у Минутилло M. Visual Studio 2010 для профессионалов. М.: ДИАЛЕКТИКА, 2011. - 1184 с.

117. Макки А. Введение в .NET 4.0 и Visual Studio 2010 для профессионалов.

- М.: «Вильяме», 2010. - 416 с. - ISBN 978-5-8459-1639-6.

118. Фленов M. Е. Библия С— 2-е изд., перераб. и доп. — СПб.: БХВ-Пе-тербург, 2011. — 560 с. ■

119. The Tao Framework for Mono and .NET [Электронный ресурс] . — Режим доступа: http://sourceforge.net/projects/taoframework/. — Загл. с экрана.

120. Разработка компьютерной графики с .NET С# и OpenGL API [Электронный ресурс] . — Режим доступа: http://www.esate.ru/page/uroki-OpenGL-c-sharp/. — Загл. с экрана.