Динамика систем твердых и деформируемых тел с упруго-вязкими сочленениями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Наумова, Татьяна Викторовна

• Наумова, Татьяна Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Наумова, Татьяна Викторовна

Содержание

Введение

1 Неуравновешенное твердое тело с неподвижной точкой на упругом основании

1.1 Постановка задачи

1.2 Стационарные движения

1.2.1 Исследование зависимости частоты прецессии от

угла нутации

1.3 О введении сопротивления

1.4 Неуравновешенное твердое тело при наличии сопротивления

1.4.1 Зависимость для малых е

1.4.2 Зависимость для больших е

1.5 Аналогия с осциллятором Дуффинга

1.6 Устойчивость регулярной прецессии твердого тела на упругом основании

2 Полу бесконечный волновод, нагруженный ступенчатым моментом на торце

2.1 Постановка задачи

2.2 Линеаризация краевой задачи динамики

2.3 Нагружение ступенчатым моментом балки Бернулли-Эйлера

2.4 Нагружение ступенчатым моментом балки Тимошенко

3 Контактная задача взаимодействия твердого тела и полу-

бесконечного волновода

3.1 Постановка задачи

3.2 Получение уравнений первого приближения

3.3 Балка Бернулли-Эйлера

3.4 Балка Тимошенко

3.5 Стационарные движения

3.5.1 Стационарные движения 1

3.5.2 Стационарные движения 2 ,

4 Пространственные движения двузвенного маятника с упруго-

вязкими шарнирами

4.1 Постановка задачи

4.2 Описание модели. Уравнения движения

4.3 Исследование устойчивости вертикального положения равновесия

4.4 Численный анализ полных нелинейных уравнений движения

4.5 Интеграл энергии системы

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика систем твердых и деформируемых тел с упруго-вязкими сочленениями»

Введение

Актуальность темы

Многие машиностроительные конструкции предполагают в своем составе детали (отдельные части), одни из которых удобно моделировать абсолютно твердыми телами, а другие — деформируемыми. Наличие качественно различных по свойствам тел в составе единой механической системы определяет необходимость выработки методов исследования, корректно отражающих динамическое поведение таких систем. Динамика отдельных составляющих подобных сложных систем неоднократно рассматривалась в литературе. Значительно меньшее число исследований посвящено динамике механических систем, объединяющих в себе твердые и деформируемые тела. Сложность анализа таких систем связана с существенными различиями в описании отдельных частей целой конструкции.

В настоящей работе предлагаются модели и способы представления, позволяющие рассматривать системы тел с упруго-вязкими сочленениями.

Одной из моделей для описания поведения конструкций, содержащих вращающиеся твердые тела (центрифуги, гироскопы и т.д.), является твердое тело с неподвижной точкой. В таком простейшем варианте — это классическая задача о движении твердого тела с неподвижной точкой. Очевидно, что рассмотрение такой идеализированной модели не всегда бывает достаточно для более подробного анализа. В реальности существует множество обстоятельств, неучтенных при таком подходе, как, например, неуравновешенность ротора, трение в конструкции, упругость

подшипников излучение энергии в окружающуюся среду и т.д. Все эти факты в различной степени влияют на динамику системы. Это определяется, в первую очередь, самим устройством, его предназначением, условиями работы и другими обстоятельствами. Какие особенности системы имеют большее значение необходимо определять в каждом конкретном случае. В данной работе исследуется влияние некоторых свойств таких конструкций на ее динамику. Поэтому тема диссертации, направленной на изучение динамики сложных систем и разработку эффективных методов их расчета, является актуальной.

Предмет исследования

В диссертационной работе изучаются системы твердых и деформируемых тел с упруго-вязкими сочленениями.

Задача о неуравновешенном твердом теле с неподвижной точкой рассматривается в двух вариантах: без трения и при наличии момента сопротивления. Кроме практического применения эта задача представляет и чисто научный интерес, поскольку является прямой аналогией осциллятора Дуффинга (одномерная система с кубической упругой характеристикой). Кале известно, нелинейные вынужденные колебания в такой системе с одной степенью свободы не допускают точного решения — требуется использование разного рода приближенных методов. Для твердого тела родственные нелинейные зависимости частоты стационарного режима от "амплитуды" найдены точно. Таким образом, простые модели, содержащие твердые тела, могут быть удобными для рассмотрения общих вопросов нелинейных колебаний.

При работе приборов и устройств, расположенных на массивном основании, часть энергии излучается, в частности, при возбуждении колебаний в основании. Чтобы проанализировать эти процессы недостаточно рассмотреть абсолютно твердое неподвижное основание, необходимо считать его деформируемым. В этом случае оно способно накапливать и переносить энергию. В качестве массивного основания рассмотрен полу-

бесконечный шарнирно-опертый упругий стержень. Контактная задача взаимодействия твердого тела с упругим волноводом позволяет смоделировать реальную ситуацию.

Задача о пространственных движениях двузвенного маятника под действием внешней силы, действующей на свободном конце маятника, отличается от традиционно принятой в литературе. В работах Я.Г.Пановко, С.В.Сорокина, Г.Циглера и др. [26], [27], [36] исследуется устойчивость вертикального положения равновесия маятника под действием следящей и мертвой силы. При этом рассматриваются плоские движения маятника, а анализ устойчивости проводится на основе линейных уравнений возмущенного движения. В настоящей работе предлагается пространственная нелинейная постановка задачи. Такой подход оказывается весьма полезным, поскольку учитывает важные детали. Как только при движениях маятник выходит из вертикальной плоскости, возникает момент внешней силы, который может привести к неустойчивости. Величина этого момента имеет второй порядок малости, но, поскольку, момент — вектор, это слагаемое является единственным в данном направлении и не может быть отброшено. Очевидно, что этот факт остается незамеченным при рассмотрении линейных уравнений, описывающих плоские движения. К тому же система, рассмотренная в данной задаче, является неконсервативной, и при исследовании устойчивости по линейному приближению возникают чисто мнимые корни характеристического полинома. Для такого критического случая в неконсервативной системе необходим анализ нелинейных уравнений.

Во всех задачах, изложенных в работе, используется язык прямого тензорного исчисления. В частности, существенно облегчает анализ представление движения объектов с помощью тензора поворота и вектора поворота. При таком описании получаются полные нелинейные уравнения движения систем. Кроме того, такой подход позволяет в наглядной и доступной форме представить результаты исследований.

Цель исследования

1. Исследование стационарных движений неуравновешенного твердого тела с неподвижной точкой при наличии вязкого сопротивления и при его отсутствии.

2. Анализ поведения двух моделей упругих стержней: балки Бернулли-Эйлера и балки Тимошенко под действием изгибающего момента на торце.

3. Получение полных нелинейных уравнений динамики твердого тела на полубесконечном упругом волноводе.

4. Получение стационарных движений в контактной задаче взаимодействия твердого тела с полубесконечным упругим волноводом. Исследование устойчивости одного из частных решений уравнений движения.

5. Вывод полных нелинейных уравнений движения двузвенного маятника с упруго-вязкими шарнирами под действием внешней силы.

6. Исследование устойчивости вертикального положения равновесия двузвенного маятника с упруго-вязкими шарнирами под действием следящей постоянно-действующей силы.

Методы исследования

Для получения полных нелинейных уравнений движения рассматриваемых систем используются уравнения динамики Эйлера — уравнения баланса количества движения и момента количеств движения системы. Этот метод позволяет сохранять инерционные слагаемые и произвольную геометрическую нелинейность.

Исследование устойчивости проводится посредством рассмотрения малых колебаний в окрестности точного решения полных нелинейных уравнений движения.

Линеаризация полных уравнений движения проводится с помощью асимптотических разложений по малым параметрам.

Возникающие в процессе исследования дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные и интегродифференциальные уравнения решаются с помощью интегральных преобразований Фурье и Лапласа.

Для аналитического обращения преобразования Лапласа, а также для графического отображения результатов исследования используется пакет символьных вычислений Maple V R5.

Компьютерное моделирование пространственных движений двузвен-ного маятника осуществляется с помощью метода численного интегрирования Рунге-Кутты IV порядка. Программа написана на языке QuickBASIC.

Основные результаты и защищаемые положения

1. Изучены стационарные движения для неуравновешенного твердого тела с неподвижной точкой при наличии вязкого трения. Установлено, что зависимость угла нутации от частоты прецессии на стационарных движениях неуравновешенного твердого тела с неподвижной точкой при наличии трения аналогична амплитудно-частотной характеристике вынужденных колебаний в системе с одной степенью свободы и кубической упругой характеристикой.

2. Найдены стационарные движения в контактной задаче взаимодействия твердого тела и полубесконечного шарнирно-опертого волновода, при которых тело совершает регулярную прецессию. Исследова-

_ W V WW

на и доказана устойчивость одного из частных решении нелинейной контактной задачи взаимодействия твердого тела и полубесконечного шарнирно-опертого волновода, отвечающее основному режиму вращения.

3. Получены полные нелинейные уравнения пространственных движе-

ний двузвенного маятника с упруго-вязкими шарнирами под действием внешней силы. Исследована устойчивость вертикального положения двузвенного маятника под действием следящей силы. Проведен аналитический анализ уравнений возмущенного движения в первом приближении и численный анализ полных нелинейных уравнений движения.

Основные результаты опубликованы в работах

1. Кривцов A.M., Наумова Т.В. Движение неуравновешенного волчка с учетом сопротивления //Тезисы докл. Научно-техн. конф. "XXIV Неделя науки СПбГТУ". СПб. 1995. С.92.

2. Кривцов A.M., Наумова Т.В. Стационарные движения неуравновешенного волчка при наличии вязкого сопротивления // Труды XXIV Международной школы ученых-механиков "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем". СПб.: ИПМаш РАН. 1997. С.185-195.

3. T.Naumova. Dynamics of rigid bodies with viscous-elastic joints // Abstracts of Annual Meeting of German Society for Applied Mathematics and Mechanics (GAMM 98). Bremen. Germany. 1998.

4. Наумова Т.В. Двузвенный маятник с упруго-вязкими шарнирами // Труды XXV-XXVI летних школ ученых-механиков "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем". Т.2. СПб.: ИПМаш РАН. 1998. С. 126-129.

5. T.Naumova On the stability of the rigid body on the semi-infinite elastic rod // Proc. XXVI Summer School "Nonlinear Oscillations in mechanical Systems" (NOMS'98). St.Petersburg. Russia. 1998. (in print)

Обзор литературы

В настоящей работе представлены задачи, касающиеся вопросов динамики деформируемого твёрдого тела. В частности, исследуется поведение полубесконечного упругого стержня при наличии нагрузки на торце и находящегося в контакте с твердым телом.

Кроме того, обсуждаются задачи динамики недеформируемого твёрдого тела и систем твердых тел с упруго-вязкими сочленениями под действием внешних сил (неконсервативной нагрузки). По всем направлениям имеется большое количество публикаций.

К общим работам по динамике твёрдого тела, прежде всего, относятся монографии Р.Граммеля [5] и К.Магнуса [20]. В этих работах подробно рассмотрены кале теоретические основы динамики твёрдого тела, так и различные практические приложения, в том числе и гироскопические эффекты.

Нелинейные колебания, возникающие в механических системах, освещены в трудах А.Тондла, Т.Хаяси, Г.Каудерера. Одномерные системы с квадратичной и кубической упругой характеристиками рассмотрены в работе А.Тондла [33], системы с нелинейной упругой характеристикой общего вида в книге В.О.Кононенко [13]. В монографии Т.Хаяси [35] представлены различные приближенные методы решения нелинейных уравнений на примере осциллятора Дуффинга. Подробно задача Дуффинга исследована в книге Г.Каудерера [12]. Там рассмотрены колебания при отсутствии сопротивления и при наличии демпфирования, пропорционального скорости. В обоих случаях получены зависимости частоты колебаний осциллятора от амплитуды.

В отсутствии момента двигателя и момента сопротивления рассмотренная в первой главе настоящей диссертации задача, по существу, совпадает с классической задачей о движении тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку. Стационарные движения в этом случае являются перманентными вращениями Штауде [38]. Условия устойчивости перманентных вращений Штауде на основании возмущенных уравнений

первого приближения были получены Р.Граммелем [5][т.1]. Они исследовались многими авторами — описание истории этой задачи можно найти в статье В.В.Румянцева [28]. В работах В.В.Румянцева [28, 29] получены некоторые достаточные условия устойчивости перманентных вращений Штауде при помощи функций Ляпунова.

Более поздние работы Д.В.Андреева [1] и В.С.Сергеева [30] также посвящены этой тематике. В работе Д.В.Андреева, в частности, показано, что в нерезонансном случае устойчивость всех, кроме, быть может, конечного числа перманентных вращений, определяются первым приближением.

Наиболее близкие к рассмотренным в настоящей работе вопросы содержатся в трудах А.М.Кривцова [14, 42]. Основные отличия относятся к введению вязкого сопротивления.

Классическое описание динамики упругих стержней представлено в монографии Е.Л.Николаи [23]. Детальное исследование динамики упругих стержней изложено в монографии Л.И.Слепяна [31]. Подробно анализируются различные модели стержней, в том числе с учетом сдвига и инерции поперечных сечений стержня на поворот.

Вопросы нелинейной динамики стержней обсуждаются в работах А.Д. Сергеева, П.А.Жилина, Т.П.Товстик [9] и П.А.Жилина, Д.П.Голоскокова [8]. Используемое в этих статьях описание с помощью тензора поворота и вектора поворота существенно упрощает построение полных нелинейных уравнений динамики стержней. Задача о движении твердого тела, жестко закрепленного на торце стержня конечной длины, представлена в статье П.А.Жилина и Т.П.Товстик [11], а также в работе П.А.Жилина и С.А.Сорокина [10]. В отличие от этих работ, в настоящей диссертации твердое тело закреплено на торце стержня посредством упругого элемента.

Возникающие в процессе исследования дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные и интегродиффернциальные уравнения решаются с помощью интегральных преобразований Фурье и Лап-

ласа. Классическое изложение этих вопросов можно найти в монографиях М.А.Лаврентьева и Б.В.Шабата [15], В.А.Диткина и А.П.Прудникова [6], В.И.Смирнова [32] и др.

По вопросу динамики систем твердых тел отметим следующие работы, имеющие непосредственное отношение к теме данной диссертации. Традиционное изложение задачи о двузвенном маятнике представлено в работах Я.Г.Пановко, Я.Г.Пановко и С.А.Сорокина, Г.Циглера и Л.Л.ТЬотэеп. В них рассматриваются плоские движения маятника. В книге Я.Г.Пановко [26], статье Я.Г.Пановко и С.А.Сорокина [27] и работе Г.Циглера [36] колебания маятника под действием следящей силы описываются линейными (относительно малых амплитуд) уравнениями движения. Условия устойчивости вертикального положения маятника формулируются на основе критерия Рауса-Гурвица для корней характеристического полинома. В работе ТЬотвеп [39] учтена кубическая нелинейность в уравнениях движения, исследована устойчивость вертикального положения равновесия маятника под действием мертвой и следящей сил и стационарных движений в виде предельных циклов. В монографии Е.Л.Николаи [23] рассматривается задача об устойчивости прямолинейной формы равновесия консольно-заделанного стержня под действием следящего момента и мертвой сжимающей силы на свободном торце.

В настоящей работе используется язык прямого тензорного исчисления. Систематическое изложение основ прямого тензорного исчисления дано в монографии М.Лагалли [16]. В сжатой форме, но достаточно полно, основы прямого тензорного исчисления изложены в книгах А.И.Лурье [18,19]. Методика использования прямого тензорного исчисления при решении задач механики отражена в монографии В.А.Пальмова [24]. Особенности тензорного аппарата, необходимые при описании механики сплошной среды (в том числе динамики упругих стержней) и динамики твёрдого тела рассматриваются в работах П.А.Жилина и др. [7, 8, И, 41].

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Наумова, Татьяна Викторовна

Выводы

Исследование устойчивости вертикального положения двузвенного маятника с упруго-вязкими шарнирами под действием следящей силы в пространственной постановке в первом приближении показывает, что критическое значение силы без вязкого трения в шарнирах не равно предельному значению силы при исчезающе малом трении. В системе без трения неустойчивость возникает при большей величине силы, чем в системе с трением. Однако, при определенных соотношениях параметров критические значения совпадают.

Численный анализ полных нелинейных уравнений динамики пространственных движений двузвенного маятника качественно подтверждает результаты, полученные на основе линейных уравнений возмущенного движения. Значения критических сил, найденные при численном исследовании, не совпадают с полученными по линейным уравнениям.

Заключение

Приведем кратко основные результаты и выводы настоящей работы.

В первой главе представлена задача о движениях неуравновешенного твердого тела на упругом основании. Рассматриваются два варианта задачи — при наличии вязкого трения в системе и при его отсутствии. Для обоих случаев изучены стационарные режимы в виде перманентных вращений и получены точные зависимости частоты вращения от утла нутации. Исследование этой зависимости с помощью асимптотических методов показывает, что она с точностью до обозначений совпадает с амплитудно-частотной характеристикой осциллятора Дуффинга (однои и м \ мерная система с кубическои упругой характеристикой).

В рассмотренной задаче существует несколько малых параметров, по которым проводятся асимптотические разложения. Соотношение порядков малых величин заранее неизвестно и определяется в процессе исследования.

Для частного случая шарового тензора инерции проведен анализ устойчивости регулярной прецессии твердого тела с неподвижной точкой при отсутствии трения. Доказано, что регулярная прецессия в такой системе устойчива для любых начальных углов нутации.

Во второй главе демонстрируется различие динамического поведения двух моделей упругих стержней — балки Бернулли-Эйлера и балки Тимошенко на конкретном примере. Рассматривается полубесконечный шар-нирно-опертый стержень, нагруженный изгибающим ступенчатым моментом на торце. Такой вид нагрузки в какой-то степени отражает воздействие закрепленного на торце стержня твердого тела.

В третьей главе рассмотрена контактная задача взаимодействия твердого тела и полубесконечного шарнирно-опертого волновода. Получены полные нелинейные уравнения динамики такой составной системы. Изучены некоторые типы стационарных движений, при которых тело совершает регулярную прецессию. Выяснены условия существования этих режимов. Оказалось, что эти условия несколько отличаются для двух моделей стержней — балки Бернулли-Эйлера и балки Тимошенко.

Также в этой системе существует равновесное состояние, когда все части системы покоятся и недеформированны, за исключением ротора (в о о и составе тела), который вращается с постоянной скоростью вокруг своей оси. Такое частное движение, отвечающее основному режиму вращения, оказывается устойчивым для обеих моделей — балки Бернулли-Эйлера и балки Тимошенко.

В четвертой главе рассматривается задача о пространственных движениях двузвенного маятника с упруго-вязкими шарнирами. Получены полные нелинейные уравнения движения маятника под действием внешней силы, действующей на свободном конце. Проведено исследование устойчивости вертикального положения маятника под действием следящей постоянно-действующей силы. В линейном приближении с помощью метода малых колебаний показано, что критическое значение силы без вязкого трения в шарнирах не равно предельному значению силы при исчезающе малом трении. В системе без трения неустойчивость возникает при большей величине силы, чем в системе с трением. Однако, при определенных соотношениях параметров системы критические значения совпадают.

Численный анализ полных нелинейных уравнений динамики пространственных движений двузвенного маятника качественно подтверждает результаты, полученные на основе линейных уравнений возмущенного движения. Трение в докритической области играет демпфирующую роль, т.е. ведет к затуханию колебаний маятника, в закритической области способствует нарастанию размаха колебаний. Значения критических сил, найденные при численном исследовании, не совпадают с полученными по линейным уравнениям.

Исследование интеграла энергии системы показывает, что энергия в системе может увеличиваться только за счет внешней силы, а процесс накачки энергии зависит от трения.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Наумова, Татьяна Викторовна, 1999 год

Список литературы

[1] Андреев Д.В. Об устойчивости перманентных вращений несимметричного тяжёлого твёрдого тела // ПММ. 1983. Т.47. Вып.З. С. 372377.

[2] Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука. 1989. 472 с.

[3] Аппель П. Теоретическая механика. Т.2. М.: Физматгиз. 1960. 487 с.

[4] Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука. 1987. 384 с.

[5] Граммель Р. Гироскоп, его теория и применение. Т. 1,2. М.: ИЛ. 1952. 352 с, 318 с.

[6] Диткин В.А. и Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз. 1961. 524 с.

[7] Жилин П.А. Тензор поворота в описании кинематики твёрдого тела // Труды СПбГТУ. 1992. N 443. С. 100-121.

[8] Жилин П.А., Голоскоков Д.П. Общая нелинейная теория упругих стержней с приложением к описанию эффекта Пойнтинга. Деп. ВИНИТИ, N1912-B87, Л., 1987, 7В 1250.

[9] Жилин П.А., Сергеев А.Д., Товстик Т.П. Нелинейная теория стержней и ее приложения //Тр. XXIV школы семинара "Анализ

и синтез нелинейных механических колебательных систем". С.Пб. 1997.

[10] Жилин П.А., Сорокин С.А. Мультироторный гиростат на нелиней-ноупругом основании. Препринт N 140. ИПМАШ РАН. С.-Пб. 1997.

[11] Жилин П.А., Товстик Т.П. Вращение твердого тела на инерционном стержне. Труды СПбГТУ. "Механика и процессы управления". 1995. N 458. С.73-83.

[12] Каудерер Г. Нелинейная механика. М.: ИЛ. 1961. 777 с.

[13] Кононенко В. О. Нелинейные колебания механических систем. Избранные труды. Киев: Наукова думка. 1980. 382 с.

[14] Кривцов A.M. Околорезонансные колебания неуравновешенного волчка // Труды СПбГТУ. 1994. N448. С. 65-75.

[15] Лаврентьев М.А. и Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. 1973. 736 с.

[16] Лагалли М. Векторное исчисление. М.-Л.: ОНТИ. 1936. 343с.

[17] Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз. 1961. 824 с.

[18] Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 939с.

[19] Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

[20] Магнус К. Гироскоп: Теория и применение. М.: Мир, 1974. 526 с.

[21] Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука. 1966. 530 с.

[22] Меркин Д. Р. Об устойчивости стационарных движений оси вращающего ротора, установленного в нелинейных подшипниках // ПММ. 1983. Т.47. Вып.З. С.378-384.

[23] Николаи Е.Л. Труды по механике. М. Гостех-теориздат. 1955. 584 с.

[24] Палъмов В. А. Колебания упруто-пластических тел. М.: Наука. 1976. 348 с.

[25] Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука. 1967. 420 с.

[26] Пановко Я. Г. Механика деформируемого твердого тела.

[27] Пановко Я.Г., Сорокин С.А. О квазиустойчивости упруговязких систем со следящими силами // МТТ. 1987. N5. С. 135-139.

[28] Румянцев В.В. Устойчивость перманентных вращений твердого тела // ПММ. Т.20. Вып.1. 1956. С. 51-56.

[29] Румянцев В.В. К устойчивости перманентных вращений твердого тела около неподвижной точки // ПММ. 1957. Т.21. Вып.З. С. 339346.

[30] Сергеев B.C. Периодические движения тяжелого твердого тела с неподвижной точкой, близкого к динамически симметричному // ПММ. 1983. Т.47. Вып.1. С.163-166.

[31] Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны. JL: Судостроение.

1972. 374 с.

[32] Смирнов В.И. Курс высшей математики. T.IV. М.-Л. 1951. 804 с.

[33] Тондл А. Нелинейные колебания механических систем. М.: Мир.

1973. 334 с.

[34] Уфлянд Я.С. Распространение волн при поперечных колебаниях стержней и пластин // ПММ. Т. XII. 1948. С.287-300.

[35] Хаяси Т. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир. 1968. 432 с.

[36] Циглер Г. Основы теории устойчивости. М.: Мир. 1971. 192 с.

[37] Krivtsov A.M., Zhilin P.A. Asymptotic Investigation of Stationary Motion Stability of Nonsymmetric Top // Int. conf. "Asymptotic methods in mechanics". S.-Pb. August 14-17, 1994.

[38] Staude 0. Über permanente Rotationsaxe bei der Bewegung eines schweren Körpers um einen festen Punkt // J. Reine und Angew. Math. 1894. N113. pp. 318-334.

[39] Thomsen J.J.: Lecture notes for Session II of the Ph.D.-course Vibrations and Stability, Advanced Analysis and Synthesis. Solid Mechanics DTU. March, (1996). 60-70.

[40] Zhilin P.A. A new approach to the analysis of free rotations of rigid bodies. S.-Pb.: Inst, of Problems of Mech. Engeneering. Preprint N 102. 1992. 34 p.

[41] Zhilin P.A. Rigid body oscillator: a general model and some results //Acta Mechanica. 1998. In print.

Диссертационные работы

[42] Кривцов A.M. Динамика неуравновешенного твердого тела на упругих опорах. Автореферат дисс. на соискание уч. степени канд. ф.-м. наук. С.-Пб. 1995. 18с.