Динамика пластин и оболочек под действием движущихся источников тепла тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат физико-математических наук Хайруллин, Фарид Сагитович

• Хайруллин, Фарид Сагитович
• кандидат физико-математических наук
• 1984

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Хайруллин, Фарид Сагитович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ТЕРМОУПРУГОСТЙ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК И К ВОПРОСУ ИХ РЕШЕНИЯ В ОДНОМ ЧАСТНОМ СЛУЧАЕ

§ I. Уравнения теории термоупругости тонких оболо чек.{?

§ 2. Уравнения теории теплопроводности тонких оболочек . . . . . .Я

§ 3, К вопросу о расчете тонких пластин и оболочек под действием сосредоточенных нагрузок. . <

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРШКЕННО-ДЕФОИЖРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТОНКИХ ПЛАСТИН, НАГРЕВАЕМЫХ ДВИЖУЩИМИСЯ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА . .&-J

§ 4. Динамическая задача термоупругости о бесконечной пластине, нагреваемой движущимся источником тепла

§ 5. Полоса-пластина, нагреваемая движущимся линейным источником тепла

§ 6. Изгиб прямоугольной пластины под действием движущегося источника тепла

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ

ЗАМКНУТЫХ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК, НАХОДЯЩИХСЯ В ПОЛЕ ДЕЙСТВИЯ ДВИЖУЩИХСЯ ТЕПЛОВЫХ ИСТОЧНИКОВ . .#<

§ 7. О решении уравнений термоупругости цилиндрической оболочки, нагреваемой источниками тепла . . . . . .#?

§ 8. Цилиндрическая оболочка, нагреваемая движущимися с постоянной скоростью источниками тепла . 9?

§ 9. Действие движущегося с переменной скоростью источника тепла на цилиндрическую оболочку . . . . . ЗАКЛЮЧЕНИЕ . . . v

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика пластин и оболочек под действием движущихся источников тепла»

Конструкции, элементами которых являются оболочки, имеют широкое применение в таких областях техники как самолетостроение, машиностроение, приборостроение и другие.

Огромный вклад в развитие теории оболочек внесли и советские ученые. Имена таких советских ученых, как В.З.Власов, В.В.Новожилов, Х.М.Муштари, К.З.Галимов, А.Л.Гольденвейзер, А.С.Вольмир и другие, широко известны не только в нашей стране, но и за рубежом.

Одновременно с теорией оболочек развивалось другое научное направление - теория теплопроводности твердых тел. Основы данной теории изложены в монографиях А.В.Лыкова [бЗ] , Г.Карслоу и Д. Егера [26] и других.

В результате объединения теории упругости и теории теплопроводности была создана новая ветвь теории упругости - теория термоупругости. Это связано с тем, что при оценке прочности, надежности и долговечности элементов конструкций необходимо знать распределение температурных полей и напряжений в них. Разработке теоретических основ термоупругости и развитию методов расчета различных элементов конструкций посвящены монографии А.А.Ильюшина и Б.Е.Побдцри [24] , А.Д.Коваленко [28] , Ю.М.Коляно и А.Н.Ку-лика [40] , Б.Г.Коренева [53 ] , Я.С.Подстригача и Ю.М.Коляно

82] , А.И.Уздалева [93,94] , Б.Боли и Дж.Уэйнера [3] , В.Но-вацкого [68,69] , Г.Паркуса [72] и других.

В теории несвязанной термоупругости задача определения температурного поля и задача исследования напряженно-деформированного состояния тела разделяются. Сначала из уравнений теплопроводности находится распределение температурного поля в теле, а затем интегрируются уравнения термоупругости, в которых компоненты температуры уже известные функции.

Одним из направлений теории термоупругости является теория тонких оболочек и пластин, находящихся в условиях неравномерного нагрева. Из фундаментальных работ, посвященных теории термоупругости тонких оболочек и пластин, отметим монографии Я.С.Под-стригача и С.Я.Яремы [74] , А.Д.Коваленко [зх] , Я.С.Подстрига-ча и Ю.М.Коляно [81 ] , Я.С.Подстригача и Р.Н.Швеца [86 ] , Э.И. Григолюка, Я.С.Подстригача и Я.И.Вурак [l3] .

Некоторые теоретические вопросы данной проблемы исследованы в работах [78, 102, 105, 106, 96] и многих других.

Надо отметить, что теория термоупругости тонких оболочек [il, 74, 86 ] , так же как и теория тонких оболочек [б, 70] в основном строится на основе гипотез Кирхгофа-Лява.

Разработке основ обобщенной динамической теории термомеханики анизотропных и изотропных тел / в частности тонких пластин и оболочек / посвящена монография Я.С.Подстригача и Ю.М.Коляно [ 82 ] . Суть этой теории состоит в том, что при исследовании динамических процессов в твердых телах учитывается конечность скорости распространения тепла. Уравнения теплопроводности с учетом конечной скорости распространения тепла для изотропного тела получены А.В.Лыковым [бЗ, 64] .'

Обзор работ, относящихся к теории обобщенной термомеханики, представлен в работе Ю.М.Коляно [з2]

В монографии [84] изложены основы теории теплопроводности и термоупругости и развиты аналитические методы расчета тонкостенных элементов конструкций и некоторых массивных тел с переменными коэффициентами теплопередачи.

Для тонкостенных элементов конструкций пространственную задачу теплопроводности обычно сводят к двумерной задаче, аналогично тому, как это делается в теории оболочек. Имеются различные методы приведения трехмерной задачи теплопроводности, к двумерной (80, 4, 17, 74] v

В работе [l2l] для пластины,находящейся в условиях стационарного теплового режима, получены двумерные уравнения теплопроводности методом усреднения температуры по толщине, в предположении, что температура изменяется по толщине пластины по линейному закону. На тонкие оболочки без учета кривизны в случае нестационарного теплового режима данный метод распространен в

80 . Аналогичные уравнения для оболочек с учетом распределения источников тепла получены на основе вариационного принципа В,В.Болотиным [4,5].

В работах [l7, 66 ] использовано предположение о полиномиальном законе распределения температуры по толщине пластин и оболочек.

Обобщением выше изложенных подходов является идея о представлении температуры бесконечным рядом. Используя эту идею, а также применяя метод усреднения температуры по толщине оболочки и метод предельного перехода, в [74, 79, 86] операторным методом выводятся двумерные уравнения теплопроводности тонких пластин и оболочек. Такой подход позволяет получить приближенные уравнения без каких-либо априорных предположений о распределении температуры по толщине оболочки.,

В работах [85, 104] данный метод используется для вывода уравнений термоупругости пластин и оболочек,

В монографии [73 ] сведение трехмерной задачи: теплопроводности к двумерной для случая конвективного обмена между поверхностями оболочки и средой осуществляется путем разложения температуры в ряд по полиномам Лежандра и удержания конечного числа членов.

Основные направления развития современной теории термоупругости массивных тел и тонкостенных элементов конструкций освещены в обзорных работах А.Д.Коваленко [29, 30 ] .

Вопросам температурного колебания пластин посвящено много работ, в том числе работы [lI4, 16, 3, 28, 67, 55,. 62J . Аналогичные задачи для тонких оболочек рассмотрены в fl03, 91, 107-109 , 95, Пв] .

Термодинамические колебания тонких пластин с учетом конечной скорости, распространения тепла изучены в статьях [33, 49, и].

Установившиеся и неустановившиеся температурные поля и. напряжения в тонких пластинах и, оболочках, обусловленные неподвижными источниками: тепла, исследованы во многих работах, например, в [36, 37, 22, 10, 50, 15, ПО, бо]

Метод определения динамических температурных напряжений в тонких пластинах с источниками тепла предложен в статье [44] . Подобные задачи с учетом конечной скорости распространения тепла рассмотрены в [47 , 45 , 48 , 88, 52] . В этих работах для решения задач применяются интегральные преобразования. В связи с этим возникают значительные математические трудности; при переходе от трансформант данных преобразований к оригиналам. Поэтому не всегда удается получить решение в явном виде";'

Большой интерес представляет расчет пластин и оболочек, нагреваемых движущимися источниками; тепла. Такого рода задачи имеют место в многочисленных технологических процессах: сварке, шлифовании, лазерной обработке металлов, термической резке, поверхностной закалке и т.д. В современной технологии также часто используют тепловые эффекты, в частности движущиеся концентрированные источники тепла, для управления напряженно-деформированным состоянием элементов конструкций /например, при отпуске сварных швов/. Кроме того отметим, что фактически любое кинематическое взаимодействие тел с учетом трения можно рассматривать как воздействие на эти тела движущихся термоисточников.

Анализ некоторых работ, посвященных решению задач термоупругости с движущимися источниками тепла, проделан в [120] .

Много исследований проведено в области изучения температурных полей и напряжений тонких пластин, нагреваемых движущимися с постоянной скоростью источниками тепла. По всей видимости впервые решение задачи термоупругости для бесконечной пластины с теплоотдачей, нагреваемой движущимся линейным источником тепла, в квазистационарной постановке было получено Е.Меланом [122] . Данное решение на основе неоднородных уравнений теплопроводности было уточнено в работе [83] .

Квазистатические температурные напряжения для бесконечной пластины, возникающие от движущегося источника тепла, с помощью функции Грина найдены в [115] . Бесконечная пластина под действием прямоугольной области нагрева рассмотрена в статье [18] .

Вопросам распределения температурного поля в бесконечной пластине посвящены работы [l9,7l] . В [19] предлагается методика определения квазистационарного температурного поля от бые-тродвижущихся теплоисточников.

Более полно изучен вопрос о термонапряженном состоянии полубесконечных пластин. В [42, 39, 56, 116, 117] получены температурные поля и квазистатические температурные напряжения от движущихея точечных источников тепла. Исследование воздействия на полубесконечную пластину линейных источников тепла, движущихся по поверхности пластины, проведено в работах А.Н.Кулика и М.И. Микитина [57-59] . Решению задач о температурных напряжениях полубесконечной пластины, находящейся под действием призматических источников тепла, посвящены статьи [в,4з] .

Р.И.Глек [ 9 j исследовал температурные поля и: напряжения в полубесконечной изотропной пластине, по торцевой поверхности, которой движется область нагрева. Аналогичная задача для орто-тропной пластины рассмотрена в работе [46 ] .

В [25] получены решения квазистатической задачи термоупругости для полосы-пластины, нагреваемой движущимися точечными источниками тепла.

Круглый диск под действием вращающегося вокруг центра точечного источника тепла рассмотрел Ким [27] .

В статьях [41,3в] определяются температурные напряжения в полубесконечной пластине с переменным коэффициентом теплоотдачи от движущихся линейных источников тепла.

В ряде работ проводится исследование термонапряженного состояния тонких пластин, нагреваемых источниками тепла, движущимися с переменной скоростью. Ф.В.Семерак ^89,9о] рассмотрел задачу о полубесконечной пластине, по которой с переменной скоростью движется линейный источник тепла параллельно краю пластины. В статье [ 34 ] на основе аппарата обобщенных функций и: интегральных преобразований предлагается метод получения общих решений квазистатических задач термоупругости для тонких пластин с теплообменом, нагреваемых движущимися с переменной скоростью источниками тепла.

Ряд вопросов, касающихся основ теории и методов решения квазистатических задач термоупругости для массивных и тонкостенных элементов конструкций, нагреваемых движущимися и неподвижными источниками тепла, изложено в монографии Ю.М.Коляно и А.Н.Кулика [40] . В частности, здесь рассматриваются тонкие пластины, нагреваемые движущимися источниками тепла постоянной и переменной скорости движения и мощности, несимметричного распределения источников относительно срединной плоскости, кусочно-постоянной толщины.

Нестационарные температурные поля и усилия в двухступенчатой пластине, нагреваемой движущимся источником тепла, изучены в статье [зб] .

В.Н. Максимович [б5 ] рассмотрел задачу о напряженно-деформированном состоянии бесконечной пластины с движущимся полубесконечным разрезом, обусловленным размещением в вершине разреза источника тепла.

С помощью метода конечных элементов температурные поля и напряжения в пластинах, свариваемых встык, исследованы в [из] у

Значительно меньше работ посвящено исследованию термонапряженного состояния тонких оболочек, находящихся в поле действия движущихся источников тепла.

Квазистационарные температурные поля и напряжения в пологих оболочках, обусловленные движущейся областью нагрева, изучены в работах [75-77] . Кшеминский [пэ] рассмотрел цилиндрическую оболочку, нагреваемую источником тепла, движущимся по образующей.

Квазистатические температурные напряжения в цилиндрической оболочке от движущегося по направляющей оболочки линейного источника тепла исследованы К.Мизогучи [ 123] .

Вопросу определения температурного поля в свариваемой по образующей бесконечной цилиндрической оболочке с учетом предварительного и сопутствующего нагрева и охлаждения посвящена работа [l4] .В монографии [ 86 ] рассмотрено распределение установившегося температурного поля в бесконечной цилиндрической оболочке от движущегося по винтовой линии точечного источника тепла,

В заключение отметим, что при решении большинства задач термоупрутости тонкостенных конструкций, нагреваемых движущимися и неподвижными источниками тепла, применяется аппарат обобщенных функций [7] , интегральные преобразования Фурье, Лапласа и Ханкеля, а также конечные интегральные преобразования. Как было уже отмечено, основная трудность решения таких задач заключается в нахождении оригиналов искомых функций. Во многих случаях это сделать не удается.

Анализ существующих работ позволяет: сформулировать следующие выводы:

- к настоящему времени достаточно полно исследовано квазистатическое напряженно-деформированное состояние тонких пластин, нагреваемых движущимися источниками тепла;

- мало изучены квазистатические температурные напряжения, возникающие в тонких оболочках от движущихся источников тепла;

- отсутствуют работы, посвященные расчету динамического поведения тонкостенных элементов конструкций, нагреваемых подвижными теплоисточниками.

Целью диссертационной работы является развитие методики исследования напряженно-деформированного состояния тонких пластин и замкнутых круговых цилиндрических оболочек конечной длины, нагреваемых движущимися источниками тепла.

Научная новизна результатов диссертации заключается в исследовании динамики напряженно-деформированного состояния тонкостенных элементов конструкций, находящихся в поле действия движущихся источников тепла, а также в решении новых задач термоупругости тонких пластин и оболочек.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения, включает 149 страниц машинописного текста, 21 рисунок , II таблиц и список использованной литературы.

Заключение диссертации по теме «Механика деформируемого твердого тела», Хайруллин, Фарид Сагитович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. На основе вариационного принципа Остроградского - Гамильтона выведены уравнения движения тонких оболочек с учетом нестационарного температурного поля.

2. В динамической постановке исследовано напряженно-деформированное состояние тонких пластин и замкнутой круговой цилиндрической оболочки конечной длины, нагреваемых движущимися источниками тепла. С помощью интегральных преобразований Лапласа и Фурье, конечных интегральных преобразований и метода Бубнова-Галеркина получены аналитические выражения для определения температурного поля, перемещений и напряжений. Найдены критические скорости. Для равнопеременного движения решение с помощью метода сплайн-функций записано через интегралы Френеля. Критические скорости в этом случае отсутствуют.

Численный анализ показывает, что характер напряженно-деформированного состояния тонкостенных элементов конструкций существенно зависит от скорости и направления движения источника тепла, от его интенсивности.

3. Предложена методика улучшения аппроксимации решения линейного дифференциального уравнения, правой частью которого является функция Дирака, когда оно решается в тригонометрических рядах. Результаты численного эксперимента подтверждают правильность и эффективность указанной методики.

4. Полученные решения можно использовать как функции Грина для движущихся источников тепла, имеющих произвольную форму.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Хайруллин, Фарид Сагитович, 1984 год

1. Беляев Н.М. Сопротивление материалов.-М,:Наука,1976.-608с.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.1.-М.':Шизмат-гиз,1959.-464с.

3. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений.-М.:Мир, 1964.-517с.

4. Болотин В.В. Уравнения нестационарных температурных полей в тонких оболочках при наличии источников тепла.-Прикладная математика и механика, I960, т.24, вып.2, с.361-363.

5. Болотин В.В. Динамические задачи термоупругости для пластин и оболочек при наличии излучения.-В кн.:Тр. Конференции по теории пластин и оболочек.Казань:КГУ,1961,с.27-32.

6. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек.-Казань :КГУ, 1975. -327с.

7. Гельфанд Н.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними.-М.:Физматгиз,1959.-470с.

8. Глек Р.И. Температурные поля и напряжения в пластине, нагреваемой движущимся несквозным призматическим источником тепла. -В кн.:Термомеханические процессы в кусочно-однородных элементах конструкций.Киев:Наукова думка,1978,с.178-182.

9. Глек Р.И. Температурные напряжения в пластинке, нагреваемой движущимся тепловым потоком,- Вестник Львовского политехнического ин-та. СерияТеплоэнергетические системы и устройства, 1981, №153, с.10-12.

10. Гой И.О. Неустановившиеся температурные напряжения в цилиндрической оболочке, обусловленные источниками и стоками теп-ла.-В кн.:Вопросы прикладной термомеханики. Сборник научных трудов.Киев:Наукова думка,1979,с.162-166.

11. Гольденвейзер А.Л. Температурные напряжения в тонких оболочках.-Труды ИДТИ, 1947, P6I8, 8с.

12. Гольденвейзер А.Л. Теория упругих тонких оболочек.- М.:ГИТТЛ, 1953.- 544с.13.- Григолюк Э.И., Подстригач Я.С., Бурак Я.И. Оптимизация нагрева оболочек и пластин.- Киев:Наукова думка,1979.- 364с.

13. Громовык В.И., Яворский М.С. Неустановившиеся температурные поля и напряжения в полосе-пластинке при локальном нагреве.-Математические методы и физико-механические поля, 1982, вып. 14, с.63-68.

14. Даниловская В.И. Динамические температурные напряжения в бесконечной плите.- Инженерный журнал,1961,т.1,вып.4,с.86-94.

15. Даниловская В.И. Приближенное решение задачи о нестационарном тепловом температурном поле в тонкой оболочке произвольной формы.- Известия АН СССР, ОТН, 1957, Р9, с.157-158.

16. Дидык В.З., Кордуба Б.М. Напряжения в бесконечной пластинке, обусловленные движущейся прямоугольной областью нагрева.- В кн.:Термомеханические процессы в кусочно-однородных элементах конструкций. Киев:Наукова думка, 1978, с.57-61.

17. Дилигенский Н.В., Чертков Б.З. К расчету термоупругих полей в пластинке от быстродвижущихся теплоисточников.- В кн,:Теп-лофизика и оптимизация тепловых процессов. Минск, 1975, вып. I, с.34-38.

18. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление,- М. :Наука, 1974,- 543с.

19. Дидкин В.А., Прудников А,П. Справочник по операционному исчислению.- М.:Высш.школа, 1965.- 466с.

20. Заболотный В.П., Хапко B.C. Тепловые напряжения в изгибаемой пластинке, обусловленные источниками тепла в форме линий.- В кн.:Математические методы в термомеханике. Киев:Наукова думка, 1978, с.182-189.

21. Завьялов Ю.ЧУ., Квасов В.А., Мирошниченко B.JI-. Методы сплайн-функций.- М. :Наука, 1980.- 352с.

22. Ильюшин А.А., Победря Б;Е. Основы математической теории тер-мовязкоупругости.- М.:Наука, 1970.- 280с.

23. Калыний Я.С. Квазистатические температурные напряжения в полосе-пластинке, обусловленные движущимся перпендикулярно к ее торцам источником тепла.- В кн.:Обобщенные функции в термоупругости. Киев:Наукова думка, 1980, с.159-165.

24. Карлслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел.- М.:Наука, 1964.- 487с.

25. Ким . Квазистатические температурные напряжения в круглом диске от движущегося источника тепла.- Ракетная техника и космонавтика, 1971, т.9, вып.10, с.226-227.

26. Коваленко А.Д. Основы термоупругости.- Киев:Наукова думка,1970.- 304с.

27. Коваленко А.Д. Особенности современной теории термоупругости.-Прикладная механика, 1970, 6, Р4, с.23-29.

28. Коваленко А.Д. Термоупругость пластинок и оболочек.- В кн.: Тр. УН Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М.:Наука, 1970, с.813-817.

29. Коваленко А.Д. Термоупругость пластин и оболочек.- Киев:КГУ,1971.- ПЗс.

30. Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика.- Математические методы и физико-механические поля, 1975, вып.2, с.42-47.

31. Коляно Ю.М., Гирняк О.Ф. Учет скорости распространения тепла при определении двумерных динамических температурных напряжений в полубесконечной пластинке.- Проблемы прочности, 1971, б, с.82-84.

32. Коляно Ю.М., Гладунский В.Н., Высочанский B.C. О нагреве пластинок движущимися с переменной скоростью источниками тепла.-Инженерно-физический журнал, 1982, 42, Р6, с.1031.

33. Коляно Ю.М., Горбачев В.А. Нагрев двухступенчатой пластинки движущимся источником тепла.- Инженерно-физический журнал, 1984, t.XLVI, I, с.129-134.

34. Коляно Ю.М., Громовык В.И. Влияние переменной теплоотдачи на напряжения в пластинах, обусловленные источниками тепла.-Прикладная механика, 1976, 12, WL2, с.100-104.

35. Коляно Ю.М., Дидык В.З. Установившиеся напряжения в бесконечной цилиндрической оболочке с теплообменом, обусловленные локальным нагревом.- Математические методы и физико-механические поля, 1978, вып.8, с.93-99.

36. Коляно Ю.М., Дидык В.З. Температурные напряжения в защемленной пластинке при нестационарном теплообмене.- Прикладная механика, 1976, 12, №11, с.69-73.

37. Коляно Ю.М., Кулик А.Н. Квазистатическая задача термоупругости для полубесконечной пластинки, по ребру которой движется источник тепла,- Прикладная механика, 1975, II, №7, с.98-101.

38. Коляно Ю.М., Кулик А.Н. Температурные напряжения от объемных источников.- Киев:Наукова думка, 1983.- 288с.

39. Коляно Ю.М., Лозбень В.Л. Нагрев движущимся источником тепла полубесконечной пластинки с переменным коэффициентом теплоотдачи.- Прикладная механика, 1974, 10, KS, с.42-47.

40. Коляно Ю.М., Лозбень В.Л., Стасюк С,Т. Температурные напряжения в полубесконечной пластинке, нагреваемой движущимся линейным источником тепла,- Известия ВУЗов.Машиностроение,1974, 4, с,10-14,

41. Коляно Ю.М., Муравецкий П.Т. Напряжения в полубесконечной пластинке, обусловленные движущимся вглубь источником тепла.-Математические методы и физико-механические поля, 1979, вып. 10, с.101-105.

42. Коляно Ю.М., Пакула Е.А. Двумерная динамическая задача термоупругости для нагреваемых источниками тепла тонких пластинок.-Прикладная механика, 1970, б, Ш, с.79-85.

43. Коляно Ю.М., Пакула Е.А. Решение двумерной динамической задачи термоупругости для нагреваемых источниками тепла тонких пластинок с учетом скорости распространения тепла.- Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1971, вып.II, с.93-96.

44. Коляно Ю.М., Прыймак В.И. Температурные напряжения в полубесконечной ортотропной пластинке, нагреваемой движущейся по торцевой поверхности областью нагрева.- Известия АН Армянской ССР, 1982, ХХХУ, Р6, с.19-27.

45. Коляно Ю.М., Семерак Ф.В. Влияние скорости распространения тепла на динамические температурные напряжения в тонких пластинках.» flonoBifli АН УРСР, 1970, А, Р8, 720, с.720-723.

46. Коляно Ю.М., Семерак §.В. Влияние скорости распространения тепла на температурное поле и напряжения в тонких пластинках.-Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1972, вып.12, с. 158-162.

47. Коляно Ю.М., Семерак Ф.В. Решение динамической задачи термоупругости для круглой пластинки с учетом конечной скорости распространения тепла.- Проблемы прочности,1973,2,с.96-100.

48. Коляно Ю.М., Стасюк С.Т. Температурные напряжения в цилиндрической оболочке, подверженной узкоканальному нагреву.- В кн.: Вопросы прикладной термомеханики. Киев:Наукова думка, 1979,c.63-67.

49. Коляно Ю.М., Хомякевич Е.П. Обобщенные динамические температурные напряжения в стержнях и пластинках, обусловленные источником тепла.- Прикладная механика, 1976, 12, №10, с,45-53.

50. Коренев Б.Г. Задачи теории теплопроводности и термоупругости. М.:Наука, 1980.- 400с.

51. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике.-М.:Наука,1978-720с.

52. Красюков В.П., Чеботаревский Ю.В., Ягубова О.А. Колебания пластины, нагреваемой внутренним источником тепла.- Механика деформируемых сред. Саратов:СГУ, 1979, №6, с. 120-124.

53. Кулик А.Н". Температурные напряжения в полубесконечной пластинке, нагреваемой движущимся точечным источником тепла.-Прикладная механика, 1979, 15, Р6, с,74-78.

54. Кулик А.Н., Микитин М.И. Квазистатическая задача термоупругости для полубесконечной пластинки, нагреваемой по боковой поверхности линейным подвижным источником тепла,- Математические методы и физико-механические поля, 1979,вып.9,с.НО-116*

55. Кулик А.Н., Микитин М.И. Влияние теплоотдачи на температурные напряжения в полубесконечной пластинке.- Проблемы прочности, 1979, №10, с.9-11.

56. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения,- М,:Физмат-гиз, 1963,- 358с,

57. Ленюк М.П,, Старик Л.К, Колебания термически возбужденных прямоугольных свободно-опертых пластин.- Вычислительная и прикладная математика. Киев, 1981, КЗ, c.IOI-IIO.

58. Лыков А.В. Теория теплопроводности.- М.:ГЙТТЛ,1952.- 392с.

59. Лыков А.В. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло- и массообмена,- Инженерно-физический журнал, 1965, XI, 3, с.287-304.

60. Максимович В.Н. Термоупругое состояние пластинки с движущимися разрезом и источником тепла.- ПМ,1983,191,с.79-84.

61. Мотовиловец И.А. Решение задачи о нестационарном температурном поле пластины при конвективном теплообмене на ее боковых поверхностях.- Тепловые напряжения в элементах турбомашин, 196I, вып.1, с.9-19.

62. Неманежина Т.А. Тепловой удар на поверхности бесконечной пластинки с отверстием.- В кн.:Математические методы в термомеханике. Киев, 1978, с.189-193.

63. Новацкий В. Вопросы термоупругости.- М. :Изд-во АН СССР, 1962. -364с.

64. Новацкий В. Динамические задачи термоупругости.- М.:Мир, 1970.- 256с.

65. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек.- Л.:Судпромгиз, 1951.-344с.

66. Павлищев М.И., Малинский Л.Н. Нагрев пластины движущимся источником тепла.- Химическое машиностроение, 1977, вып.25,с.59.

67. Паркус Г. Неустановившиеся температурные напряжения.- М.: Шизматгиз, 1963.- 252с.

68. Пелех Б.Л., Сухорольский М.А. Контактные задачи теории упругих анизотропных оболочек.- Киев:Наукова думка,1980.-214с.

69. Шдстригач Я.С., Ярема С.Я. Температурыi напруження в оболон-ках.- Киев:Вид-во АН УРСР, 1961.- 212с.

70. Пляцко Г.В., Максимович В.Н., Новосад Е.И. Определение напряженного состояния в цилиндрических и пологих сферических оболочках, обусловленного движущейся областью нагрева.-Тепловые напряжения в элементах конструкций,1973,вып.13,,с.108-112.

71. Напряженное состояние пологих оболочек при нагреве движущейся областью.- Математические методы и физико-механические поля, 1975, вып.2, с.68-71.

72. Подстригач Я.С. Некоторые общие вопросы термоупругости и теплопроводности тонких оболочек,- В кн.:Тр. II Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Киев:Изд-во АН УССР, 1962, с.147-152.

73. Подстригач Я.С. О применении операторного метода к выводу основных соотношений теории теплопроводности тонкостенных элементов и составных конструкций.- Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1965, вып.5, с.24-35.

74. Подстригач Я.С. Температурное поле в тонких оболочках.- До-пов. АН УРСР, 1958, 5, с.505-508.

75. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Неустановившиеся температурные поля и напряжения в тонких пластинах.- Киев:Наукова думка,1972.-308c.

76. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. Обобщенная термомеханика.-Киев: Наукова думка,1976.-309с.

77. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М. О нагреве источниками тепла тонких пластинок с теплообменом,-Инженерно-физический журнал, 1964, I, № 2, с.79-86.

78. Подстригач Я.С., Коляно Ю.М., Громовык В.И., Лозбень В.Л. Термоупругость тел при переменных коэффициентах теплообмена.-Киев:Наукова думка,1977.-158с.

79. Подстригач Я.С., Швец Р.Н. Некоторые динамические задачи термоупругости тонких оболочек.-В кн.:Тр. 1У Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек.Ереван,1964,с.801-807.

80. Подстригач Я.С., Швец Р.Н. Термоупругость тонких оболочек.-Киев:Наукова думка,1978.-343с.

81. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды.-М.:Наука,I98I.-800C.

82. Семерак 3>.В. Обобщенная динамическая задача термоупругости для бесконечной анизотропной пластинки.-Математические методы и физико-механические поля,1975,вып.2,с.76-81.

83. Семерак Ф.В. Задача термоупругости для полубесконечной пластинки, нагреваемой движущимся с переменной скоростью линейным источником тепла.-Математические методы и физико-механические поля,1978,вып.7,с.86-90.

84. Семерак Ф.В. Термонапряженное состояние полубесконечной пластинки, вызываемое движущимся с переменной скоростью источником тепла.-Прикладная механика,1981,17,i9,с.76-82.

85. Синицын А.П. Термоупругие колебания цилиндрических оболочек.-В кн.:Тр. УН Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М. ,1970, с. 55 1-556.

86. Снеддон И. Преобразования Фурье.-Изд-во иностр. лит-ры,М.,-1461955.- 668с.

87. Уздалев А,И, Некоторые задачи термоупругости для анизотропного тела.-Саратов:Саратовский гос.ун-ет,1967.-167с.

88. Уздалев А.И. Температурные напряжения в пластинках, ограниченных двухсвязным контуром,- Саратов: Саратовский гос.ун-т, 1975.- 173с.

89. Флячок В.М., Швец Р.Н. Влияние неравномерного нагрева на собственные колебания анизотропной цилиндрической оболочки.-Математические методы и физико-механические поля, 1983, вып. 17, с.48-52.

90. Флячок В.М. Вариационные теоремы динамической взаимосвязанной задачи термоупругости анизотропных оболочек.- Докл. АН УССР, 1978, А, Р7, с.628-631.

91. Хайруллин Ф.С. Реакция цилиндрической оболочки на действие источника тепла, движущегося с переменной скоростью.- В кн.: Республиканская научно-техническая конференция "Механика сплошных сред":Тезисы докл., Набережные Челны, 1982, с.109.

92. Хайруллин Ф.С. Действие движущегося источника тепла переменной плотности на тонкую цилиндрическую оболочку.-Казань,1983-14с.-Рукопись представлена Казанским гос.пед.ин-том. Деп. в

93. ВИНИТИ 24 мая 1983г., 1.52812-83.

94. Хайруллин Ф.С. К вопросу о решении одного вида линейных дифференциальных уравнений в рядах.-Брежнев,1984-11с.-Рукописьпредставлена Камским политехи.ин-том.Деп. в ВИНИТИ 12 сентября 1984г., Р6197-84.

95. Швец Р.Н. О единственности решения динамической задачи термоупругости тонких оболочек,- Прикладная механика, 1965, I, Р4, с.25-30.

96. Швец Р.Н. Осесимметричные термоупругие колебания цилиндрических оболочек.- Прикладная механика, 1969, 5, 1КЗ, с.23-30.

97. Швец P.M. Применение операторного метода в динамических задачах термоупругости пластины постоянной толщины.- В кн.:Фи-зико-механические поля в деформируемых средах.Киев:Наукова думка,1978, с.84-93.

98. Швец Р.Н., Флячок В.М. Об основных уравнениях динамической термоупругости пологих ортотропных оболочек,- Прикладная механика, 1976, 12, №9, с.43-50.

99. Швец Р.Н., Флячок В.М. Вариационные принципы и теоремы взаимности в задачах динамики термоупругих анизотропных оболочек.-Математические методы и физико-механические поля, 1981, вып. 14, с.70-75.

100. Швец Р.Н., Флячок В.М. Динамическое поведение ортотропной цилиндрической оболочки при внезапном нагреве.- Проблемы прочности, 1975, вып.5, с.35-39.

101. Швец Р.Н., Флячок В.М. Поперечные колебания трансверсально-изотропной цилиндрической панели при внезапном нагреве.- Математические методы и физико-механические поля, 1976, вып.4, с.30-36.

102. Швец Р.Н., Флячок В.М. Термоупругие колебания пологих оболочек при тепловом ударе.- Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1975, вып.15, с.120-125.

103. НО. Яворский М.С. Нестационарное температурное поле и вызываемые им напряжения в полосе-пластине с источниками и стоками тепла.-Прикладная механика Д982,18 ,М0,с.86-91.

104. Якушев Н.З. Колебания цилиндрических оболочек средней толщины.-В сб.гИсследования по теории пластин и оболочек.Казань: К1У Д965,вып. 3,с.173-180.

105. Янушаускас А.И. Двойные ряды.-Новосибирск:Наука ,IS80.-224c.f/3 JfnoL^woru Ь-, УжлЛл-ьоп. к. <ГА(/иггъа£ lix&ntA in*

106. SuUi- ujMjuL рСаЛы,- (PPwum. dfte^es 19M, 4 , Ъ-Ч , 494- 500. цц. fyo-facf. b.Ji., &алвеъ J,ft. ^^n^xrrUc ЗЬглропле о/ Ъихутл cured (Р&аАел io ?№j>icL Э^еоиЬСгьд. -д. JppE. JLLttA. 195?, Z4 , /23, 4S3-4S6.

107. H5. СРи/Ш)Стс&яп&о Еггоыъ 7}ъсг(Хгьоuri&L К./Ц.

108. TPuL^rruxt in. ou Plcutz, px^ooiu аею1ol. Moving Зошосе CJtiVUJU <? y.

109. Ц erne con^t. casn. m&c. appi., JHohd^uuxl.^b, 5?- 52.

110. HQ. "Jtochlilon, k., J к ШОП, 9tounjLdxL 3nx>Lucju?L ou Con^e^U'tjoute^L зHecU lo-UJlAJL Jiioztinx^ ^QA^QynxLiCLuMx^t^ (PouJcuboU (Tt^ IcUjXs oj Зыгй Зп-firuie, TCoute- l^amculIloiu o-f IPul JSMS, vб У^З,и 7 у ? ? У1. SZ5-SZ7.

111. ИТ. гХал1<могь к. yiouruL, ilxwi j-сМл inxiucjboLmoving hjuvt мшъсел in, 6uAi ~ vJd&cUn^

112. Уъивск 0 ZlTyZpbOULZCLrbhu, ruzpzzzzn^ cieptт^сЯ- WyufotasrbLjcA, О & di CL2 e>nX СХлги^tm^czn^rnx.- jU e,cJuXnJi RlOu ^ZOZZjbyc.Z.rbCL- i iioiоилх^ъа, №??■> 15, /- У , 29-36.

113. JttoMjAJUJvhJL Зс. (Тел^ил^аЛ usi.iseso ta^f илъоСpjJvOvt U/la p Осгшаллъ^Хуп, Lru р^ОсЖ-Ьель lotuoL ScJbCLfcdxpe^rv. JJ^uiA.r -19Ъ<?,

114. H. 3, Z1G-3G5. 1ZZ. JWzla/tv ИТоиъпъслparLrvcL-n^A^^ in- елпгл, ^Рьел -Lh^ot^L el пел, btlCurLoU/^noUsru VJci^mec^u-edt. JWl, J952 , 20, H. 2,46.iZb. JbUzogAJchA. (fcotoc, Sfw^m-oiZ- Lrv c^

115. CytcrbdL-bLtuxX 6kM итЛел, о- Mdpoi. , 15, <?0, ШЧ92.