Динамика однородного шара на горизонтальной плоскости с трением скольжения, верчения и качения тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.01, кандидат физико-математических наук Ишханян, Маргарита Владимировна

• Ишханян, Маргарита Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Ишханян, Маргарита Владимировна

Введение

Глава 1. Уравнения движения однородного шара на горизонтальной плоскости с трением и их свойства.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Свойства двухпарамстрической модели трения.

1.3. Уравнения движения шара.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика однородного шара на горизонтальной плоскости с трением скольжения, верчения и качения»

Задача о движении твердого тела по неподвижной опорной поверхности является одной из классических задач динамики твердого тела, привлекавшей внимание многих ученых. За последние триста лет в задаче о движении тела по поверхности получено много важных результатов, и интерес к этой задаче в последнее время только усиливается. Эта задача, восходящая к Леонарду Эйлеру, впоследствии стала стимулом для развития аналитических, экспериментальных и численных методов механики. Несмотря на простоту постановки этой задачи построить общие интегралы уравнений движения или получить качественные выводы о динамике тела удалось лишь в частных случаях. Как оказалось, для постановки данной задачи очень важным и непростым моментом является выбор математической модели, описывающей взаимодействие между телом и опорной поверхностью в области контакта. Здесь можно выделить три основные модели: модель абсолютно гладкой поверхности, модель абсолютно шероховатой поверхности и модель поверхности с трением. В последнем случае чаще всего предполагается, что на тело действует только сила трения, описываемая моделью Кулона. Однако, эта модель пригодна, вообще говоря, только при поступательном движении тела, тогда как при вращательно-поступателыюм движении тело нередко возникает несоответствие между теоретическими (в рамках модели Кулона) и экспериментальными результатами. Впервые на необходимость уточнения закона Кулона обратил внимание Контенсу, предложив модель трения, учитывающую как силу трения, так и момент трения. Впоследствии эта модель была развита в работах В.Ф. Журавлева,А.П. Иванова, A.B. Карапетяна, А.А.Киреенкова и др.

Настоящая диссертация посвящена качественному, аналитическому и численному анализу динамики однородного шара, движущегося по неподвижной шероховатой горизонтальной плоскости, с учетом всех видов трения в рамках модели, предложенной A.B. Карапетяном. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ.

Задача о движении однородного шара по неподвижной поверхности является одной из классических задач теоретической механики. Исследованием этой задачи занимались такие известные механики, как JI. Эйлер [46], Ж. Даламбер [4], Г. Кориолис [30], В.Д. Мак-Миллан [34], А. Резаль [55-57], Э. Раус [39], П. Пэнлеве [38], П. Аппель [1] и многие другие ученые. В предлагаемом обзоре невозможно осветить все работы, посвященные этой задаче (подробное изложение истории ее исследования и обширную библиографию можно найти в книгах [35, 36]). Здесь будут упомянуты лишь те работы, в которых уделено внимание вопросам, близким к рассмотренным в представленной диссертации.

Наиболее принципиальным моментом в постановке данной задачи является выбор модели взаимодействия тела с опорной поверхностью. Здесь можно выделить три основные модели: модель абсолютно гладкой поверхности, модель абсолютно шероховатой поверхности и модель поверхности с трением. Обсуждение различных моделей трения, их преимуществ и недостатков можно найти в [3, 9, 29, 38]. В настоящей работе исследуется динамика однородного шара на неподвижной горизонтальной плоскости с сухим трением.

Простейшей и наиболее известной из моделей сухого трения является классическая модель Кулона, которая достаточно адекватно описывает взаимодействие тела с опорной поверхностью при поступательном движении тела.

Впервые задача о движении шара по неподвижной плоскости с учетом сухого трения скольжения в рамках модели Кулона, по-видимому, была изучена в 1758 году И. А. Эйлером (сын Леонарда Эйлера). В своей работе [45] И. А. Эйлер показал, что за конечное время скольжение шара прекращается, после чего шар равномерно катится вдоль неподвижной прямой, равномерно вращаясь вокруг вертикали. Этот результат давно стал классическим и описан во многих учебниках по теоретической механике.

Дальнейшее развитие задача о движении однородного шара по неподвижной плоскости получила в трудах Г. Кориолиса [30], А. Резаля [55-57], Э. Рауса [39], П. Пэнлеве [38], П. Аппеля [1, 44] и др.

В этих работах также предполагалось, что взаимодейтсвие шара с опорной поверхностью описывается модель Кулона, что приводило к тому, что вертикальная составляющая угловой скорости шара при движении шара оказывалась постоянной величиной, и вращение шара вокруг вертикальной оси не влияло на траекторию движения центра масс шара.

Таким образом, использование модели Кулона для описания поступательно-вращательного движения тела приводит к несоответствию между теоретическими и экспериментальными результатами.

Исходя из естественного предположения о том, что для реальных тел точечных контактов не бывает, Контенсу [29], по-видимому, впервые обратил внимание на необходимость уточнения закона Кулона. На основе теории контактных напряжений Герца [32] и локального закона Кулона (для элементарной площадки внутри области контакта) Контенсу доказал зависимость результирующей силы сухого трения от отношения скорости скольжения к скорости вращения в предположении, что обе соприкасающиеся поверхности сферические. Зависимости, полученные Контенсу, были выражены в неэлемеитарных функциях. В работе [29] приведены результаты численного анализа полученных зависимостей для результирующей силы сухого трения. Как показывают численные расчеты при движении тела по плоскости в режиме скольжения и достаточно быстрого верчения сила трения приблизительно пропорциональна скорости скольжения, т.е. имеет место вязкое трение. В режиме чистого скольжения и при малых угловых скоростях верчения следует рассматривать сухое трение.

Ю.И. Неймарк и H.A. Фуфаев в [36] рассмотрели движение по инерции однородного тяжелого шара на горизонтальной плоскости с учетом трения скольжения и верчения. При решении поставленной задачи считалось, что контакт шара с опорной плоскостью происходит по круговой площадке контакта, давление на площадку контакта распределено равномерно. Для получения условий на силу трения и момент сил трения, были выполнены вычисления, аналогичные приведенным в книге [33]. Полученные выражения для результирующей сил трения и момента сил трения аналогичны полученным в [29]. Проведенный качественный анализ показал, что при любых начальных условиях, при которых скорость проскальзывания и угловая скорость верчения шара отличны от нуля, шар движется так, что верчение и скольжение, уменьшаясь со временем, всегда прекращаются одновременно. После достижения этого момента времени шар будет катиться без проскальзывания.

Принципиально новое развитие теории Контенсу было дано в 1998 году в работе В.Ф. Журавлева [5]. В этой работе были получены точные аналитические выражения для главного вектора силы трения и момента сил трения в зависимости от отношения скорости скольжения к скорости вращения. Эти выражения оказались достаточно громоздкими, поэтому для решения конкретных задач о качении твердых тел по шероховатым поверхностям в [5, 48] были построены дробно-линейные аппроксимации Паде первого порядка точных выражений для главного вектора и главного момента касательных сил трения. Дальнейшее развитие теория Контенсу-Журавлева получила в работах В.Ф. Журавлева [6, 9] и A.A. Киреенкова [25-28]. В частности, в работах [6, 26] была разработана методика прямого построения аппроксимаций Паде, не требующая непосредственного вычисления соответствующих интегралов.

В.Ф. Журавлев также рассмотрел задачу о движении однородного шара по горизонтальной плоскости с учетом трения скольжения и верчения и показал, что за одно и то же конечное время прекращаются и скольжение и верчение шара, после чего шар равномерно катится вдоль неподвижной прямой. Отметим, что данный вывод был получен В.Ф. Журавлевым как с помощью аппроксимации Паде для сил и момента сухого трения [5, 48], так и с использованием их точных выражений [9].

В 2008 году A.B. Карапетяном [21, 23] была предложена новая модель трения, обобщающая модель трения Контенсу-Журавлева. При выводе этой модели трения предполагается, что пятно контакта между телом и опорной поверхностью представляет собой не плоский круг (как в модели Контенсу-Журавлева), а сферический сегмент. На каждую элементарную площадку этого сегмента, с вершиной в произвольной точке Р области контакта, действует сила сухого трения Кулона, направленная в сторону, противоположную скорости точки Р и пропорциональная давлению, оказываемому этой площадкой на опорную плоскость. После интегрирования всех элементарных сил и их моментов по пятну контакта, получаем выражение для суммарной силы трения и суммарного момента сил трения. Эта модель трения описывает все виды трения - качения, скольжения и верчения. Предложенная в

21, 23] модель трения зависит от двух параметров и переходит в модель Контенсу-Журавлева при нулевом значении одного параметра, а в модель Кулона - при нулевом значении другого параметра.

В 2009 году А.П. Иванов [13] рассмотрел задачу об определении сил сухого трения при движении твердого тела с плоским основанием по шероховатой плоскости. Как отмечено в [13], выражение для силы трения существенно зависят от нормальной нагрузки, поэтому решение этой задачи напрямую связано с построением модели контактных напряжений. Условия контакта накладывают на кинематические характеристики три независимых ограничения, поэтому модель должна включать три свободных параметра, определяемых в каждый момент времени из этих условий. В частности, в случае трехточечного контакта тела с опорной поверхностью, в качестве этих параметров можно взять нормальные реакции в точках контакта. Однако, при большем числе точек контакта возникает неопределенность, для устранения которой требуется принятие некоторых дополнительных предположений. В [13] показано, что динамически согласованные контактные модели обладают некоторыми новыми качественными свойствами по сравнению с квазистатическими моделями [34]. В частности, возможна зависимость главного вектора и главного момента сил трения от направления скольжения или верчения тела, а также от величины угловой скорости.

В современных зарубежных исследованиях динамики бильярдного шара на горизонтальной плоскости [54, 58, 59] применяются, в основном, численные методы ,а для подтверждения полученных результатов проводят эксперименты с использованием современных высокоскоростных камер.

В диссертации рассматривается задача о движении однородного шара по неподвижной горизонтальной плоскости с трением в рамках двухпараметрической модели трения, предложенной A.B. Карапетяном. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая механика», Ишханян, Маргарита Владимировна

Заключение

Таким образом, в диссертационной работе получены следующие основные результаты:

• Доказаны основные свойства двухпараметрической модели трения, использованной для описания взаимодействия шара с опорной плоскостью. Получены точные аналитические выражения для разложений компонент результирующей силы трения и главного момента сил трения с точностью до второго порядка малости по ¡1 включительно.

• Проведен глобальный анализ динамики однородного шара на плоскости с трением в рамках двухпараметической модели трения: доказано, что шар остановится за конечное время ¿д; скорость скольжения и угловая скорость шара обратятся в нуль одновременно; качение шара без скольжения и скольжение шара по плоскости без качения невозможны; качения (скольжения) шара, сопровождающиеся закруткой, без скольжения (без качения), невозможны.

• Проведен численный анализ динамики шара: получены типичные графики изменения фазовых переменных с течением времени и типичные траектории центра масс шара. Получена оценка времени полной остановки шара.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Ишханян, Маргарита Владимировна, 2010 год

1. Аппель П. Теоретическая механика. Т. 2. М.: Физматгиз, 1960. 487 с.

2. Болотов Е. А. О движении материальной плоской фигуры, стясненной связями с трением // Матем. сб. 1906. Т. 25 №4 С. 562-708.

3. Борисов А. В., Малмев И. С. Законы сохранения, иерархия динамики и явное мнтегрирование неголономных систем // Нелинейная динамика. 2008. Т.4. №3. С. 223-280.

4. Даламбер Ж. Динамика. М.; Л.: Гостехиздат, 1950. 343 с.

5. Журавлев В. Ф. О модели сухого трения в задаче качения твердых тел // ПММ. 1998. Т. 62. Вып. 5. С. 762-767.

6. Журавлев В. Ф. Закономерности трения при комбинации скольжения и верчения// Изв. РАН. МТТ. 2003. № 4. С. 81-88.

7. Журавлев В. Ф., Киреенков А. А. О разложениях Паде в задаче о двумерном Кулоновском трении.// Изв. РАН. МТТ. 2005. № 2. С. 3-13.

8. Журавлев В. Ф., Климов. Д. М. О динамике волчка Томсона(тип-топ) на плоскости с реальным сухим трением// Изв. РАН. МТТ. 2005. № 6. С. 157-168.

9. Журавлев В. Ф. Динамика тяжелого однородного шара на шероховатой плоскости// Изв. РАН. МТТ. 2006. № 6. С. 3-9.

10. Жуковский Н. Е. Условие равновесия твердого тела, опирающегомя на неподвижную плоскость некоторой площадкой и могущего перемещаться вдоль этой плоскости с трением// Собр. соч. М.; Л.: Гостехиздат, 1949. Т. 1. С. 339-354.

11. Иванов А. П. Об условиях отрыва в задаче о движении твердого тела по шероховатой плоскости // Нелинейная динамика. 2008. Т. 4. №3. С. 287-302.

12. Иванов А. П. О принципах механики систем с трением // Проблемы аналитической механики и теории устойчивости. Сборник научных статей, посвященных памяти академика Валентина Витальевича Румянцева. М.: Физматлит, 2009. С. 72-83.

13. Иванов А. П. Динамически совместная модель контактных напряжений при плоском движении твердого тела // ПММ. 2009. №2. С. 189-203.

14. Ишханян М. В. Динамика однородного шара на плоскости с трением // Труды конференции-конкурса молодых ученых Института механики МГУ, 8-10 октября 2008г. Изд-во МГУ. 2009. С. 99-105.

15. Ишханян М. В. О взаимосвязанности скольжения и качения в задаче о движении однородного шара по шероховатой горизонтальной плоскости // ПММ. 2010. Т. 74. Вып. 2. С. 216-220.

16. Ишханян М. В., Карапетян А. В. Динамика однородного шара на горизонтальной плоскости с учетом трения скольжения, верчения и качения // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 2. С. 3-14.

17. Карапетян А. В. Качественное поведение динамики волчка на плоскости с трением // ПММ. 1991. Т.55. №4. С. 698-701.

18. Карапетян А. В. Первые интегралы, ивариантные множества и бифуркации в диссипативных системах // Регулярная и хаотическая динамика. 1997. Т.2.№ 1. С. 75-80.

19. Карапетян А. В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998. 165 с.

20. Карапетян A.B. Инвариантные множества механических систем //В сб.: "Нелинейная механика". М.:ФИЗМАТЛИТ. 2001. С. 62-88.

21. Карапетян A.B. О трении скольжения, верчения и качения// В сб.: "Экстремальная робототехника". СПб.: Издательство Политехнического университета. 2008. С. 112-115.

22. Карапетян А. В. Глобальный качественный анализ динамики китайского волчка (тип-тон)// Изв. РАН. МТТ. 2008. № 3. С. 33-41.

23. Карапетян А. В. Двухпараметрическая модель трения и ее свойства// ПММ. 2009. Т. 73. Вып. 4. С. 515-519.

24. Киреенков А. А. О движении однородного вращающегося диска по плоскости в условиях комбинированного трения // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 1. С. 60-67.

25. Киреенков А. А. Метод вычисления силы трения и момента сил трения в комбинированной модели сухого трения для круговых площадок контакта// Изв. РАН. МТТ. 2003. № 3. С. 48-53.

26. Киреенков A.A. Связанные модели трения скольжения и качения// ДАН. 2008. Т. 419. № 6. С. 759-762.

27. Киреенков A.A. Связанная модель трения скольжения и качения в динамике тел на шероховатой плоскости.//Изв. РАН. МТТ. 2008. № 3. С. 116-131.

28. Контенсу П. Связь между трением скольжения и трением верчения и ее учет в теории волчка // Проблемы гироскопии. М.: Мир, 1967. С. 60-77.

29. Кориолис Г. Математическая теория явлений биллиардной игры. М.: Гостехиздат, 1956. 235 с.

30. Косенко И. И., Александров Е. Б. Реализация модели Контенсу-Эрисма-на касательных сил в контактной задаче Греца // Нелинейная динамика. 2009. Т.5. №4. С. 499-517.

31. Ландау Л. Д., Липшиц Л. М. Теоретическая физика. Т. 7. Теория упругости. М.: Наука, 1965. 203 с.

32. Лурье А. И. Аналитическая механика. М.: ГИФМЛ, 1961. 824 с.

33. Мак-Миллан В. Д. Динамика твердого тела. М.: Изд-во иностр. лит., 1951. 467 с.

34. Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. М.: Наука, 1992. 335 с.

35. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967. 520 с.

36. Пуанкаре А. Идеи Герца в механике. // Пуанкаре А. Последние Работы. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика" 2001. 208 с.

37. Пэнлеве П. Лекции о трении. М.: Гостехиздат, 1954. 316 с.

38. Раус. Э. Динамика системы твердых тел. Т. 2. М.: Наука, 1983. 544 с.

39. Розенблат Г. М. Динамические системы с трением. Москва; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика" 2005. 155 с.

40. Самсонов В. А. О трении при скольжении и верчении тела // Вестник МГУ. Сер. матем., мех., 1981. № 2. С. 76-78.

41. Смейл С. Топология и механика // Успехи мат. наук. 1972. Т. 27. №2. С. 77-120.

42. Чаплыгин С. А. О катании шара по горизонтальной плоскости.// Чаплыгин С. А. Исследования по динамике неголономных систем.М.: Гостехиздат, 1949. 112 с.

43. Appell P. Sur le mouvement d'une bille de billard avec frottement de roulement // Amer. J. Math. 1911. Ser. 6, T. 7. P. 85-96.

44. Euler J. A. Recherches plus exactec sur l'effet des moulins à vent // Mem. Acad. Roy. Sei. Berlin. 1758. Bd 12. S. 165-234.

45. Euler L. De minimis oscillationibus corporum tam rigidorum quam flexililium, methods nova et facilis// Commentarii Academiae scientiarum imperiales Petropolitanae. 1734-1735.-1740. T. 7. P. 99-122.

46. Jellet J. H. A Treatise on The Theory of Friction. Dublin: Hodges, Foster and Co.,London: Macmillan and Co., 1872.

47. Zhuravlev V. Sur le modèle du frottement sec das les problèmes de roulement des solides // Thème 4 Simulation et optimisation de systèmes complexes Project SOSSO. Rapport de recherche №3586 - Décembre 1998 - 10 pages.

48. Kireenkov A. A. Rolling with sliding of heavy rigid ball on the rubbed plane // 9th Conference on dynamical systems: theory and applications, December 17-20, Poland, 2007. P. 211-218.

49. Kireenkov A. A. Connected models of friction rolling, sliding and whirling // 6th Euromech Nonlinear Dynamics Conference, Saint Petersburg, June 30 Jule 4, 2008, CD-Rom

50. Kireenkov A. A. About dynamics of heavy ball om the rubbed plane // 6th Euromech Nonlinear Dynamics Conference, Saint Petersburg, June 30 Jule 4, 2008, CD-Rom

51. Leine R. I., Gloker Ch. A set-valued force law for spatial Coulomb-Contensou friction // European Journal of Mechanics A/Solids 22 (2003). P. 193-216.

52. Le S aux C., Leine R. I., Gloker Ch. Dynamics of s Rolling Disk in the Presence of Dry Friction // J. Nonlinear Sci. Vol. 15 (2005). pp. 27-61.

53. Mathauan S., Jackson M. R., Parkin R. M. Application of high-speed imaging to determine the dynamics of billiards// American Journal of Physics September 2009 - Volume 77, Issue 9, pp. 788-794

54. Resal H. Sur un point de la théorie mathématique des effets du jeu de billard // Coniptes Reudus hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences. 1882. T. 94. P. 1548—1551.

55. Resal H. Du choc de deux billes posées sur un tapis de billard // Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences. 1882. T. 95. R 655-659.

56. Resal H. Commentaire à la théorie mathémaque du jeu de billard // J des mathématiques pures et appliquées. 1883. T. 9. P. 65—98.

57. Shimamura S., Suga K., Ezawa Y., Aoki S. Effects of Material Properties of Cue on Impact Behavior in Follow and Draw Shots in Billiards // Journal of International Sports Engineering Association, Vol. 10 (2008), pp. 221-228.

58. Shimamura S., Suga K., Ezawa Y., Aoki S. Effects of Material Properties of Cue on Ball Trajectory in Billiards // Journal of Solid Mechanics and Materials Engeneering, Vol. 3 (2009), No. 7, pp. 978-989.