Динамика электронных волновых пакетов в продольных магнитном и электрическом полях и генерация ими фотонов с угловым моментом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Сизых Георгий Константинович

• Сизых Георгий Константинович
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Сизых Георгий Константинович

Введение

Глава 1. Частицы с угловым моментом

1.1 Скалярные частицы

1.2 Релятивистские электроны с угловым моментом

1.3 Фотоны с угловым моментом

Глава 2. Динамика электронов с угловым моментом в

магнитном поле с учётом влияния границы вакуум-поле

2.1 Нестационарные состояния Лагерра-Гаусса

2.1.1 Продольная и поперечная динамики

2.1.2 Общий вид нестационарных Лагерр-Гауссовых состояний

2.1.3 Нестационарные состояния Лагерра-Гаусса в свободном пространстве

2.1.4 Состояния Ландау

2.1.5 Нестационарные состояния Лагерра-Гаусса в магнитном поле и описание пересечения границы в терминах одной моды

2.2 Свойства нестационарных состояний Лагерра-Гаусса

2.2.1 Предел нулевого магнитного поля

2.2.2 Движение под углом к магнитному полю

2.2.3 Поперечно релятивистские волновые пакеты

2.2.4 Связь нестационарных Лагерр-Гауссовых состояний в магнитном поле с состояниями Ландау

2.3 Квантовый эмиттанс

2.3.1 Эмиттанс и соотношение неопределённостей Робертсона-Шрёдингера

2.3.2 Квантовый эмиттанс Лагерр-Гауссовых волновых пакетов

2.4 Возможности экспериментальной проверки результатов

Глава 3. Динамика электронов с угловым моментом в

линейных ускорителях

3.1 Модель неоднородных полей и состояние электрона в однородных полях

3.2 Динамика среднеквадратичного радиуса электронного

волнового пакета в слабонеоднородных полях

3.2.1 Динамика в свободном пространстве

3.2.2 Случай однородных полей

3.2.3 Динамика в слабонеоднородных полях

3.3 Движение электрона с угловым моментом в системе из нескольких секций ускорителя

Глава 4. Генерация фотонов с угловым моментом электронами

4.1 Конечное состояние системы частиц после взаимодействия

4.2 Сценарии измерений

4.2.1 Проективные измерения в базисе плоских волн

4.2.2 Цилиндрический базис и обобщённые измерения

4.3 Генерация закрученных фотонов в процессе Черенковского излучения

4.4 Излучение закрученных фотонов в нелинейном эффекте Комптона и в ондуляторном излучении

4.4.1 Пост-селекция на плосковолновые состояния

4.4.2 Пост-селекция в схеме обобщённых измерений

Заключение

Список рисунков

Список таблиц

Список литературы

Благодарности

Приложение А. Полнота нестационарных состояний

Лагерра-Гаусса

Приложение Б. Влияние скорости расширения электронного

волнового пакета на характеристики осцилляций среднеквадратичного радиуса в магнитном поле

Приложение В. Предел нулевого магнитного поля для

оптических функций

Приложение Г. Явный вид коэффициентов разложения

нестационарного Лагерр-Гауссового состояния в магнитном поле по состояниям Ландау

Приложение Д. О непрерывности полной волновой функции,

описывающей состояние электрона при движении сначала в свободном пространстве, а затем в соленоиде

Приложение Е. О приближении мгновенного влёта

электронного волнового пакета в соленоид

Приложение Ж.О применимости приближения резкой границы

Приложение И. Проверка выполнения уравнения Максвелла

для электрического и магнитного полей

Приложение К. Вычисления коммутаторов

Приложение Л. Приближения для корреляторов

Приложение М. Орбитальный угловой момент плоской волны

Приложение Н. Вычисления в базисе полного углового момента

Приложение П. Эффект Комптона и ондуляторное излучение в

квази-классическом режиме

Приложение Р. Ондуляторное излучение одиночного

электрона в классической электродинамике

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика электронных волновых пакетов в продольных магнитном и электрическом полях и генерация ими фотонов с угловым моментом»

Введение

Актуальность темы. Частицы с орбитальным угловым моментом (ОУМ), также известные как закрученные частицы, представляют собой кванты различных полей, обладающие определённой проекцией полного углового момента (ПУМ) на выбранную ось. Первоначально возможность создания закрученных фотонов была косвенно продемонстрирована в работе [1]. С этого момента началось бурное развитие новой области квантовой оптики [2—5].

Вскоре было понято, что аналогичные состояния можно получать не только в оптике, но и для любых других частиц. Идея существования состояний электронов с ОУМ была высказана в работе [6] 2007-го года, а уже в 2010-м году закрученные электроны были впервые получены экспериментально [7]. Быстро стало понятно, что новая степень свободы таких электронных состояний в виде ОУМ может найти применение в самых разных областях физики и материаловедения [8; 9].

Нерелятивистские закрученные электроны, которые можно получить на электронном микроскопе [7; 10], могут быть использованы в ряде приложений, таких как анализ магнитной и спиновой структуры нано- и метаматериалов [11; 12]. Закрученные фотоны оптического диапазона могут быть использованы для манипулирования микрообъектами [13], в коммуникациях по открытым [14] каналам и по оптоволокну [15], в квантовой криптографии [16] и квантовых вычислениях [17], а также многих других [18; 19]. Многообещающим выглядит использование электронов и фотонов с ОУМ высоких энергий [20; 21], что позволило бы повысить разрежение при исследовании свойств материалов, а также способно предоставить информацию о внутренней структуры адронов [12; 22] и, в частности, помогло бы существенно продвинуться в понимании физики сильных взаимодействий на малых расстояниях. Однако в этом случае, а также для других применений в физике частиц, требуются релятивистские электроны и фотоны рентгеновского и гамма- диапазонов с угловым моментом, получение которых стандартными методами на данный момент невозможно.

Существует несколько подходов к получению релятивистских закрученных электронов. Часть из них основана на приобретении релятивистскими электронами углового момента в результате взаимодействия с другими частицами или электромагнитным полем. Недостатком таких способов являются

слабый контроль параметров частиц на выходе и отсутствие детекторов, чувствительных к угловому моменту. Более многообещающим выглядит сценарий с ускорением низкоэнергетичных закрученных электронов до релятивистских энергий в аксиально-симметричных полях. По такому сценарию сейчас начинается конструирование источника закрученных электронов с энергиями до 5 МэВ на ускорителе ЛИНАК-200 в г. Дубна в рамках проекта РНФ "Источник релятивистских электронов с угловым моментом"(номер 23-62-10026). Важным элементом, помимо самого ускоряющего поля, в такой системе служат фокусирующие магнитные поля соленоидов. Система из аксиально-симметричных электрических и магнитных полей позволит не только получить релятивистские закрученные электроны, но и управлять их параметрами. Для успешной и своевременной реализации источника релятивистских электронов с ОУМ необходима теория динамики закрученных электронов в магнитных полях ускорительных устройств, разработке которой посвящены Главы 2 и 3 данной Диссертации.

Релятивистские электроны с ОУМ, в свою очередь, являются потенциальным источником закрученных фотонов рентгеновского и гамма- диапазонов. Такие фотоны могут быть получены в различных процессах излучения закрученных электронов, в частности, в эффекте Вавилова-Черенкова при излучении релятивистским электроном в прозрачной среде, а также в нелинейном эффекте Комптона. При этом важным аспектом здесь является схема измерений конечного состояния электрона, которая существенно влияет на то, будут ли излучаемые фотоны закрученными или нет. Это подчёркивает актуальность результатов, полученных в Главе 4.

Цель работы. Целью Диссертации является разработка теории динамики закрученных электронов в магнитных и электрических полях ускорительных устройств, а также излучения ускоренными закрученными электронами фотонов с орбитальным угловым моментом.

Задачи работы.

— Разработать модель движения электронов с орбитальным угловым моментом в электрическом и магнитном полях ускорительных устройств (электронных микроскопов и линейных ускорителей) с учётом пересечения электронами границы вакуум-поле

— Детально исследовать характеристики нестационарных Лагерр-Гауссо-вых состояний электронов в магнитном поле и провести сравнение этих состояний со стационарными состояниями Ландау

— Изучить влияние неоднородностей электрического и магнитного полей на динамику закрученных электронов

— Получить состояния фотонов, излучаемых закрученными электронами в среде (Черенковское излучение) и спиральном ондуляторе (нелинейный эффект Комптона) в схеме обобщённых измерений

Научная новизна работы. Новизна работы состоит в том, что впервые получено состояние электромагнитного поля, излучаемого электроном в процесса Вавилова-Черенкова и в эффекте Комптона безотносительно способа детектирования фотона. Было показано, что генерируемые фотоны несут угловой момент, соответствующий закону сохранения углового момента.

Впервые была описана динамика электрона с угловым моментом в магнитном поле с учетом пересечения границы поле-вакуум. Введено новое понятие квантового эмиттанса волнового пакета. Качественно и количественно изучено влияние начальных параметров электрона на дальнейшее движение в магнитном поле. Впервые проведена оценка влияния неоднородности магнитного и электрического полей, а также наклона оси влета электрона, на динамику электронного волнового пакета в магнитном и электрическом полях в первом порядке по теории возмущений. Установлена взаимосвязь нестационарных Ла-герр-Гауссовых состояний с состояниями Ландау.

Теоретическая и практическая значимость работы. Научная значимость заключается в развитии нового для квантовой теории поля формализма конечных состояний безотносительно способа детектирования. Данный формализм позволяет исследовать сами состояния конечных частиц в процессах рассеяния, распада и рождения частиц в дополнение к стандартно вычисляемым в таких задачах сечению или вероятности процесса. Также показаны преимущества использования нестационарных Лагерр-Гауссовых пакетов при описании движения электронов с угловым моментом в и электрических магнитных полях ускорителей и электронных микроскопов. В частности, указана схема построения описания динамики электронов в терминах одной моды, что

сильно упрощает анализ поведения электронов с угловым моментом в полях ускорительных устройств.

Практическая значимость заключается в предложении экспериментальных схем для получения частиц с угловым моментом. В частности, результаты указывают на возможность и предлагают практические схемы генерации фотонов с угловым моментом рентгеновского и гамма-диапазонов. Кроме того, полученные результаты имеют непосредственное применение в получении электронов с угловым моментом с заданными параметрами, в частности, за счет регулирования силы магнитного поля и длины соленоидов в ускорительных устройствах. Так, проведённые расчёты могут быть непосредственно применены при текущем конструировании источника релятивистских электронов с угловым моментом на ускорителе ЛИНАК-200 в г. Дубна.

Апробация работы. Апробация результатов научного исследования подтверждена 5 публичными докладами на всероссийских и/или международных конференциях,

— Vortex states in nuclear and particle physics, Zhuhai, China, 24.04.24 -28.04.24,

— Зимняя школа НИЯУ МИФИ по теоретической физике, Москва, 21.12.23 - 23.12.23,

— 23-я Байкальская Школа по физике частиц и астрофизике, п. Большие Коты, Иркутская область, 11.07.23 - 18.07.23,

— Open Science, г. Гатчина, Ленинградская область, 16.11.22 - 18.11.22,

— 20th International Conference Laser Optics, Санкт-Петербург, 20.06.22 -24.06.22,

а также 2 научных семинарах,

— В Физико-Техническом Институте имени Иоффе (низкоразмерный семинар), 03.04.22,

— В ИТМО (Научно-образовательный центр фотоники и оптоинформати-ки), 6.05.22,

за последние 3 года.

Достоверность научных достижений. Достоверность результатов проведенных исследований обоснована несколькими факторами. В первую очередь,

это использование проверенных десятилетиями теоретических методов квантовой механики, квантовой оптики, квантовой электродинамики и квантовой теории поля в целом. Кроме того, все результаты прошли рецензию в журналах Q1 по соответствующим тематикам. Расчёты динамики электронов с ОУМ согласуются с экспериментальными результатами, имеющимися на сегодняшний день.

Внедрение результатов работы. Результаты Глав 2 и 3 предоставляют теорию, необходимую для успешного конструирования линейного ускорителя закрученных электронов. Они позволяют понять, как свойства пучка закрученных электронов зависят от различных параметров установки, что позволяет установить напряжённости полей и расстояний внутри линейного ускорителя, необходимые для получения пучка с заданными параметрами. Результаты Главы 4 описывают механизм возможной генерации закрученных фотонов и могут быть напрямую использованы в таких установках как лазеры на свободных электронах, синхротронах и лазерных установках высокой интенсивности для генерации закрученных фотонов рентгеновского и гамма- диапазонов.

Публикации. Список всех публикаций автора по теме диссертации:

[A1] Nonstationary Laguerre-Gaussian states in a Magnetic Field / G. K. Sizykh [и др.] // Prog. Theor. Exp. Phys. — 2024. — Май. — Т. 2024, № 5. — 053A02.

[A2] Transmission of vortex electrons through a solenoid / G. K. Sizykh [и др.] // Phys. Rev. A. — 2024. — Апр. — Т. 109, № 4. — С. L040201.

[A3] Shifting physics of vortex particles to higher energies via quantum entanglement / D. V. Karlovets [и др.] // Eur. Phys. J. C. — 2023. — Май. — Т. 83, № 5. — С. 1—23.

[A4] Generation of vortex particles via generalized measurements / D. V. Karlovets [и др.] // Eur. Phys. J. C. — 2022. — Нояб. — Т. 82, № 11. — С. 1—9.

[A5] Evolution of an accelerated charged vortex particle in an inhomogeneous magnetic lens / S. S. Baturin [и др.] // Phys. Rev. A. — 2022. — Окт. — Т. 106, № 4. — С. 042211.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и 14 приложен. Полный объём диссертации составляет

159 страниц, включая 23 рисунка и 1 таблицу. Список литературы содержит 191 наименование.

Основные научные результаты.

1. Определены параметры НСЛГ электрона в магнитном поле с учётом пересечения электроном границы вакуум-соленоид (см. сс. 2, 3 в работе [А2] и сс. 7, 8, 10, 19 в работе [А1]).

2. Предъявлено полное описание движения закрученного электрона с учётом пересечении им границы вакуум-соленоид в терминах одной моды (см. сс. 2 - 4 в работе [А2] и сс. 7 - 9, 11 в работе [А1]).

3. Детально изучены свойства НСЛГ состояния закрученного электрона в магнитном поле, а именно: определены параметры (амплитуда, фаза, стационарный радиус) осцилляций среднеквадратичного радиуса, исследован предельный переход в свободное НСЛГ состояние при выключении магнитного поля, изучены эффекты несоосности оси распространения закрученного электрона на границе соленоида с направлением магнитного поля, определены значения квантовых чисел, при которых поперечная динамика закрученных НСЛГ электронов становится релятивистской (см. сс. 7 - 20 в работе [А1]).

4. Исследована связь НСЛГ состояний закрученных электронов со стационарными состояниями Ландау. Показано, что последние являются частным случаем первых при особых граничных условиях: размер электронного пакета на границе соленоида равен размеру состояния Ландау, а скорость расширения волнового пакета на границе равна нулю. Получено разложение НСЛГ состояния по состояниям Ландау и исследована зависимость коэффициентов разложения от квантовых чисел НСЛГ состояния (см. сс. 15 - 18 в работе [А1]).

5. Предложены экспериментальные сценарии, позволяющие наблюдать осцилляции среднеквадратичного радиуса закрученных электронов в магнитных полях. Рассмотрены экспериментальные установки разных энергетических диапазонов: от сканирующих электронных микроскопов до линейных ускорителей (см. сс. 3 - 4 в работе [А2]).

6. Получены поправки к среднеквадратичному радиусу закрученного электрона в слабонеоднородных электрическом и магнитном полях (см. сс. 7, 8 в работе [А5]).

7. Исследована динамика закрученных электронов в системе последовательно расположенных ускорительных секций. Показано, как с помощью системы из двух ускорительных секций получить электронный волновой пакет в чистом состоянии Ландау (см. сс. 8, 9 в работе

[А5]).

8. Продемонстрировано, что в квантовом формализме за конечное состояние частицы отвечает не столько процесс, в котором она была сгенерирована, сколько схема измерения конечных частиц. Показано, что схема обобщённых измерений конечного электрона без измерения его азимутального угла приводит к генерации закрученных фотонов в разных процессах (см. сс. 2, 3 в работе [А4] и сс. 4 - 7 в работе [А3]).

9. Развит формализм конечных состояний безотносительно детектора, позволяющий получать состояния конечных частиц в схеме обобщённых измерений (см. сс. 2 - 4 в работе [А3]).

10. Показано, что в процессе Вавилова-Черенкова излучаемые фотоны оказываются в состоянии Бесселева волнового пакета с полным угловым моментом, определяемым разность угловых моментов начального и конечного электронов (см. сс. 3, 4 в работе [А4] и сс. 7 - 9 в работе [А3]).

11. Показано, что в нелинейном эффекте Комптона, а также в ондулятор-ном излучении фотоны оказываются в состоянии Бесселева волнового пакета с полным угловым моментом, определяемым разность угловых моментов начального и конечного электронов,а также номером гармоники (см. сс. 4 - 6 в работе [А4] и сс. 9 - 14 в работе [А3]).

Положения выносимые на защиту.

1. Нестационарные состояния Лагерра-Гаусса включают в себя состояния Ландау в частном случае совпадения дисперсий их поперечных координат и нулевой скорости изменения дисперсии на границе между вакуумом и магнитным полем. Нестационарные состояния Лагерра-Гаусса электронов в магнитном поле могут быть использованы для описания перехода Лагерр-Гауссового электрона с определённой проекцией углового момента на ось поля из свободного пространства в область постоянного однородного магнитного поля с сохранением формы пакета в терминах одной моды.

2. Среднеквадратичный поперечный радиус нестационарного Лагерр-Гауссового электронного волнового пакета осциллирует при его распространении в продольном магнитном поле. Изменение длины области с магнитным полем позволяет управлять поперечным размером электронного волнового пакета с определённой проекцией орбитального углового момента на ось поля.

3. Слабые неоднородности магнитного и электрического полей, присутствующие в реальных соленоидах, приводят к небольшим изменениям в амплитуде и частоте колебаний среднеквадратичного поперечного радиуса электронного волнового пакета с определённой проекцией углового момента на ось полей в состоянии Лагерра-Гаусса. Такие неоднородности могут приводить к усилению фокусировки пучка.

4. Формализм конечных состояний без выбора детектора позволяет найти состояние фотонного поля при излучении электроном фотонов в прозрачной среде. При детектировании конечного электрона в состоянии с проекцией полного углового момента на ось z распространения начального электрона, равной 1/2, излучённый фотон несёт угловой момент, z-проекция которого равна разности проекций моментов конечного и начального электронов. Если электрон обладает дополнительным внутренним угловым моментом, этот момент также передаётся излучаемым фотонам при детектировании электрона в состоянии с z-проекцией полного углового момента, равной 1/2.

5. Формализм конечных состояний без выбора детектора позволяет найти состояние фотона при излучении электроном в поле циркулярно-поля-ризованной электромагнитной волны, что эффективно моделирует излучение от релятивистского электрона в спиральном ондулятора. Излучаемые фотоны представляют собой суперпозицию Бесселевых волн с определённой проекцией полного углового момента. Проекция полного углового момента пропорциональна номеру гармоники. Результаты воспроизводят параметры излучения от классической частицы при движении в спиральном ондуляторе в дальней зоне в режиме малой отдачи и без учёта переворота спина. В случае, когда электрон обладает дополнительным внутренним угловым моментом, он также передаётся генерируемому фотону при детектировании электрона в состоянии с проекцией полного углового момента, равной 1/2.

Глава 1. Частицы с угловым моментом

Идея квантов электромагнитного поля — фотонов, — способных переносить энергию и импульс стала одним из важнейших предположений, способствовавших развитию квантовой механики. Помимо импульса фотоны обладают ещё одной характеристикой — спином. Поскольку электромагнитное поле векторное, то проекция спина фотона на выделенную ось может принимать 3 значения — {0, ±Н]. Наличие этого внутреннего углового момента фотона было впервые экспериментально подтверждено Ричардом Бетом [23].

С развитием квантовой механики исследователи всё больше привыкали к идее того, что квантовомеханические частицы — это не точки, движущиеся вдоль определённых траекторий. Тем не менее, явно обладая некоторой волновой природой, иногда микрообъекты ведут себя как частицы. Квантовая механика позволяет объяснить двойственное такое поведение, вводя понятие волновых пакетов. Представление о квантовомеханической частице как о локализованном волновом пакете (совокупности плоских волн) с характерным масштабом а позволяет объяснить корпускулярную природу частицы, когда характерный масштаб особенностей системы Ь, в рамках которой частица существует, значительно превышает размер волнового пакета, Ь ^ а. С другой стороны, квантовая динамика этого же волнового пакета позволяет наблюдать интерференционные и другие неклассические (в смысле классической механики) эффекты, когда Ь < а.

На сегодняшний день известно множество различных свободно распространяющихся волновых пакетов, реализованных экспериментально и имеющих уникальные свойства. Самый простой пример - Гауссов волновой пакет, который описывает локализованную на определённом масштабе частицу, плотностью вероятности обнаружения которой в той или иной точке пространства распределена по Гауссу, и является удобной простой моделью для изучения эффектов конечного размера частицы. Более экзотическими, но в то же время нашедшими множество важных применений, в основном, в оптике являются когерентные и сжатые состояния [24—27], а также состояния типа кота Шрёдингера [28— 30]. При обсуждении интересных квантовых состояний нельзя не упомянуть пучки Эйри, главный максимум плотности вероятности которых движется в свободном пространстве по параболе [31—33]. Более того, на данный момент

активно развивается область инжиниринга квантовых состояний света, в которой обсуждаются различные варианты пространственно-временных волновых пакетов [34; 35].

Среди различных волновых пакетов квантовых частиц особое внимание привлекают волновые пакеты с орбитальным угловым моментом (ОУМ), о которых идёт речь в этой работе. Несмотря на то, что ещё с работы Бета экспериментально подтверждено, что фотоны могут обладать не только определённым импульсом, но также и определённой величиной проекции углового момента, возможность наличия у фотонов не только спинового, но и орбитального углового момента была впервые продемонстрирована только в 1992 году в пионерской работе Аллена и коллег [1]. С этого момента началось активное развитие новой области квантовой оптики, связанной с фотонами с ОУМ. Большой интерес такие состояния света привлекают, в частности, в связи с широким спектром потенциальных приложений. Это, в том числе: применение в оптических пинцетах при манипулировании микрообъектами [36—49]; в коммуникациях, классических (по оптоволокну — [50; 51], через оптический канал в воздухе — [15; 52; 53], в радиодиапазоне — [54]) и квантовых [55—59]; при изучении недипольных переходах в атомах и веществе [60—62]; в астрофизических наблюдениях [63—67]; в имэджинге и голографии [68—73].

Развитие закрученных оптических пучков и отдельных фотонов послужило стимулом для изучения подобных состояний массивных частиц. Высказанная впервые в 2007 Блиохом [6] идея существования закрученных электронных волновых пакетов была реализована в экспериментах 2010 [7] и 2011 годов [74] и вылилась впоследствии в целый новый раздел электронной микроскопии. Особенный интересно, что помимо всех замечательных свойств, которыми обладают закрученные фотоны, электроны с ОУМ несут большой магнитный момент (по сути, пропорциональный ОУМ), который может значительно превышать спиновый магнитный момент и может быть использован для прецизионного анализа магнитных и спиновых свойств веществ и отдельных частиц. Более подробно о возможности практического применения закрученных электронов можно прочитать в работах [7; 9; 12; 75; 76]. Электроны стали первыми, но не единственными массивными частицами, которые были сгенерированы в виде волновых пакетов с ОУМ. Так, на сегодняшний день уже получены закрученные нейтроны [77], атомы и молекулы [78] и даже квазичастицы, такие как плазмоны [79].

В этой работе мы концентрируемся на изучении процессов с закрученными электронами и фотонами, и остальная часть главы будет посвящена математическому описанию этих частиц. Мы используем релятивистскую систему единиц: Н = с = 1. Заряд электрона е < 0, а его масса равна обратной Комптоновской длине волны, т = Л—1.

1.1 Скалярные частицы

Рассмотрим уравнение Шрёдингера, описывающее движение нерелятивистской скалярной частицы в свободном пространстве:

г-ж1 = к(11)

Обычно решения этого уравнения ищут в виде собственных функций операторов импульса р и энергии Ц = р2/2т, что приводит к волновым функциям, описывающим скалярные плоские волны:

^^(г}) а егрг—г£Ь, (1.2)

где £ и р — соответственно, энергия и импульс состояния. С другой стороны, ничто не мешает нам выбрать другой набор коммутирующих операторов. Взяв в качестве такого операторы энергии И, ^—проекции импульса рг, орбитального углового момента 1г = —гд/дф и квадрата поперечного импульса р\, получим решения уравнения (1.1) вида

ФРга Зг(р±р)е^-(1.3)

Здесь J/ — функция Бесселя первого рода порядка I, р = х2 + у2 — поперечный (полярный) радиус, р\ — собственное число оператора квадрата поперечного импульса. Состояния (1.3) называются пучками (волновыми пакетами) Бесселя и представляют собой простейший пример закрученных состояний. Явный вид таких состояний можно получить, решая уравнение (1.1) в цилиндрической системе координат методом Фурье разделения переменных. Характерный профиль этих состояний изображён на Рис. 1.1а, а поверхность постоянной фазы, напоминающая винт мясорубки — на Рис. 1.1б.

а) б)

Рисунок 1.1 — Бесселев волновой пакета: (а) — характерный поперечный профиль, (Ь) — поверхность постоянной фазы. Рисунки взяты из работы [80].

Приведём здесь ещё один способ, позволяющий прийти к состояниям вида (1.3), взятый из работы [80]. Эти состояния можно получить, если взять когерентную суперпозицию плоских волн с одинаковыми величинами импульса, направленными вдоль конуса. При этом весовая функция (фазовый множитель) ехр{г/фр} показывает величину ОУМ получаемого состояния:

2 п

х I (1фрейфФр>е(г,*). (1.4)

о

Здесь фр = аге1ап (ру/рх) - азимутальный угол в импульсном пространстве.

Если речь идёт о скалярных частицах, то закрученными мы будем называть частицы с определённой проекцией орбитального углового момента на выделенную ось:

Ъ Ф(г,*) = №(г£). (1.5)

Сделаем сразу следующее замечание. Состояния (1.5) встречаются не так редко, например, собственные состояния оператора 1г являются обычно используются при описании движения электрона в атоме (сферические гармоники) или в магнитном поле (состояния Ландау). О последних мы будем говорить в Главе 2. Хотя формально эти состояния можно называть закрученными в более узком смысле под закрученными частицами обычно имеются в виду свободные частицы с определённой проекцией орбитального углового момента на выделенную

ось. Здесь и далее для удобства мы будем называть такие состояния с определённым орбитальным угловым моментом, хотя речь идёт именно об определённой проекции ОУМ, но не о его величине и, тем более, направлении.

Обратим внимание, что определение, данное выше не фиксирует однозначно состояние закрученной частицы. По сути, всё, что требуется от состояния — это быть собственным для оператора 1г. При желании можно придумать множество других состояний с ОУМ. Одной из мотиваций для их поиска является следующее обстоятельство. Цилиндрические пучки Бесселя являются аналогом декартовых плоских волн в том смысле, что так же, как и последние, Бесселе-вы волны ненормируемы:

д 2 п

/ рф / р) -> (. (1.6)

] ]

0 0

В то же время, в оптике хорошо известны параксиальные пучки Лагерра-Гаусса (ЛГ), обладающие ОУМ и конечной длиной локализации в поперечной (оси распространения) плоскости. Скалярное ЛГ-состояние имеет вид

• • ^ Р1/1 / Р2|/1 \ Г р2|'1 1 (г,0 « НИ (ехр{-, (1.7)

где а(^) — поперечная длина когерентности (поперечный размер) пучка, а Фо(^) — фаза Гюи, явный вид которой нас сейчас не интересует. Такое состояние удовлетворяет параксиальному стационарному уравнению Шрёдингера

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Сизых Георгий Константинович, 2024 год

Список литературы

[1] Orbital angular momentum of light and the transformation of Laguerre-Gaussian laser modes / L. Allen [и др.] // Phys. Rev. A. — 1992. — Июнь. — Т. 45, № 11. — С. 8185—8189.

[2] Allen L., Padgett M., Babiker M. IV The Orbital Angular Momentum of Light //. Т. 39 / под ред. E. Wolf. — Elsevier, 1999. — С. 291—372. — (Progress in Optics).

[3] Franke-Arnold S., Allen L., Padgett M. Advances in optical angular momentum // Laser Photonics Rev. — 2008. — Авг. — Т. 2, № 4. — С. 299— 313.

[4] Padgett M. Light's twist // 2015 IEEE Photonics Conference (IPC). — IEEE. — С. 04—08.

[5] Padgett M. J. Orbital angular momentum 25 years on [Invited] // Opt. Express. — 2017. — Май. — Т. 25, № 10. — С. 11265—11274.

[6] Semiclassical Dynamics of Electron Wave Packet States with Phase Vortices / K. Y. Bliokh [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Т. 99, вып. 19. — С. 190404.

[7] Verbeeck J., Tian H., Schattschneider P. Production and application of electron vortex beams // Nature Lett. — 2010. — Т. 467. — С. 301—304.

[8] Electron vortices: Beams with orbital angular momentum / S. Lloyd [и др.] // Rev. Mod. Phys. — 2017. — Т. 89. — С. 035004.

[9] Theory and applications of free-electron vortex states / K. Bliokh [и др.] // Physics Reports. — 2017. — Т. 690. — С. 1—70. — Theory and applications of free-electron vortex states.

[10] Schattschneider P., Stoger-Pollach M., Verbeeck J. Novel Vortex Generator and Mode Converter for Electron Beams // Phys. Rev. Lett. — 2012. — Т. 109. — С. 084801.

[11] Edstrom A., Lubk A., Rusz J. Elastic Scattering of Electron Vortex Beams in Magnetic Matter // Phys. Rev. Lett. — 2016. — Март. — Т. 116, № 12. — С. 127203.

[12] Observation of nanoscale magnetic fields using twisted electron beams / V. Grillo [и др.] // Nature Comm. — 2017. — Т. 8. — С. 689.

[13] Grier D. G. A revolution in optical manipulation // Nature. — 2003. — Авг. — Т. 424. — С. 810—816.

[14] Communication with spatially modulated light through turbulent air across Vienna / M. Krenn [и др.] // New J. Phys. — 2014. — Нояб. — Т. 16, № 11. — С. 113028.

[15] Optical communications using orbital angular momentum beams / A. Willner [и др.] // Adv. Opt. Photon. — 2015. — Т. 7, № 1. — С. 66—106.

[16] Experimental quantum cryptography with qutrits / S. Groblacher [и др.] // New J. Phys. — 2006. — Май. — Т. 8, № 5. — С. 75.

[17] A quantum memory for orbital angular momentum photonic qubits / A. Nicolas [и др.] // Nat. Photonics. — 2014. — Март. — Т. 8. — С. 234— 238.

[18] Yao A. M, Padgett M. J. Orbital angular momentum: origins, behavior and applications // Adv. Opt. Photonics. — 2011. — Июнь. — Т. 3, № 2. — С. 161—204.

[19] The orbital angular momentum of light: Genesis and evolution of the concept and of the associated photonic technology / B. Piccirillo [и др.] // Riv. Nuovo Cimento. — 2013. — Нояб. — Т. 36, № 11. — С. 501—554.

[20] Generation and Applications of Extreme-Ultraviolet Vortices / C. Hernández-García [и др.] // Photonics. — 2017. — Апр. — Т. 4, № 2. — С. 28.

[21] Roadmap on structured waves / K. Y. Bliokh [и др.] //J. Opt. — 2023. — Авг. — Т. 25, № 10. — С. 103001.

[22] Ivanov I. P. Promises and challenges of high-energy vortex states collisions // Progress in Particle and Nuclear Physics. — 2022. — С. 103987.

[23] Beth R. A. Mechanical Detection and Measurement of the Angular Momentum of Light // Phys. Rev. — 1936. — Июль. — Т. 50, № 2. — С. 115—125.

[24] Glauber R. J. Coherent and Incoherent States of the Radiation Field // Phys. Rev. — 1963. — Сент. — Т. 131, № 6. — С. 2766—2788.

[25] Schleich W. P. Quantum Optics in Phase Space. — 02.2001.

[26] Scully M. O, Zubairy M. S. Quantum Optics. — Cambridge, England, UK : Cambridge University Press, 09.1997.

[27] Mandel L., Wolf E. Optical Coherence and Quantum Optics. — Cambridge, England, UK : Cambridge University Press, 09.1995.

[28] Wineland D. J. Nobel Lecture: Superposition, entanglement, and raising Schr\"odinger's cat // Rev. Mod. Phys. — 2013. — Июль. — Т. 85, № 3. — С. 1103—1114.

[29] Girvin S. M. Schrodinger cat states in circuit QED // OUP Academic. — 2019. — Май.

[30] Generation of optical 'Schrodinger cats' from photon number states / A. Ourjoumtsev [и др.] // Nature. — 2007. — Авг. — Т. 448. — С. 784—786.

[31] Observation of Accelerating Airy Beams / G. A. Siviloglou [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2007. — Нояб. — Т. 99, № 21. — С. 213901.

[32] Airy beams and accelerating waves: an overview of recent advances / N. K. Efremidis [и др.] // Optica. — 2019. — Май. — Т. 6, № 5. — С. 686—701.

[33] Generation of electron Airy beams / N. Voloch-Bloch [и др.] // Nature. — 2013. — Февр. — Т. 494. — С. 331—335.

[34] Roadmap on spatiotemporal light fields / Y. Shen [и др.] //J. Opt. — 2023. — Авг. — Т. 25, № 9. — С. 093001.

[35] Zhan Q., Zhan Q., Zhan Q. Spatiotemporal sculpturing of light: a tutorial // Adv. Opt. Photonics. — 2024. — Июнь. — Т. 16, № 2. — С. 163—228.

[36] Neuman K., Block S. Optical trapping // Review of Scientific Instruments. — 2004. — Т. 75, № 9. — С. 2787—2809.

[37] Galajda P., Ormos P. Complex micromachines produced and driven by light // Applied Physics Letters. — 2001. — Т. 78, № 2. — С. 249—251.

[38] Curtis J., Koss B., Grier D. Dynamic holographic optical tweezers // Optics Communications. — 2002. — Т. 207, № 1. — С. 169—175.

[39] Padgett M., Bowman R. Tweezers with a twist // Nat. Photonics. — 2011. — Июнь. — Т. 5. — С. 343—348.

[40] Optically driven micromachines: progress and prospects / T. Nieminen [h gp.] // Photonics: Design, Technology, and Packaging II. T. 6038 / nog peg. D. Abbott [h gp.]. — International Society for Optics, Photonics. SPIE, 2006. — C. 237—245.

[41] Babiker M., Power W. L., Allen L. Light-induced Torque on Moving Atoms // Phys. Rev. Lett. — 1994. — T. 73, bho. 9. — C. 1239—1242.

[42] Direct Observation of Transfer of Angular Momentum to Absorptive Particles from a Laser Beam with a Phase Singularity / H. He [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 1995. — T. 75, bho. 5. — C. 826—829.

[43] Ladavac K., Grier D. Microoptomechanical pumps assembled and driven by holographic optical vortex arrays // Opt. Express. — 2004. — T. 12, № 6. — C. 1144—1149.

[44] Optical orbital angular momentum from the curl of polarization / X. Wang [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 2010. — T. 105, bho. 25. — C. 253602.

[45] Yan z., Scherer N. Optical Vortex Induced Rotation of Silver Nanowires // The Journal of Physical Chemistry Letters. — 2013. — T. 4, № 17. — C. 2937— 2942.

[46] Mechanical equivalence of spin and orbital angular momentum of light: an optical spanner / N. B. Simpson [h gp.] // Opt. Lett. — 1997. — T. 22, № 1. — C. 52—54.

[47] Optical alignment and spinning of laser-trapped microscopic particles / M. Friese [h gp.] // Nature. — 1998. — T. 394. — C. 348—350.

[48] L.S. K. W, Leslie, Bigelow N. Optical control of the internal and external angular momentum of a Bose-Einstein condensate // Phys. Rev. A. — 2008. — T. 77, bho. 4. — C. 041601.

[49] An optically driven pump for microfluidics / J. Leach [h gp.] // Lab Chip. — 2006. — T. 6, bho. 6. — C. 735—739.

[50] Terabit-Scale Orbital Angular Momentum Mode Division Multiplexing in Fibers / N. Bozinovic [h gp.] // Science. — 2013. — T. 340, № 6140. — C. 1545—1548.

[51] Characterization of LDPC-coded orbital angular momentum modes transmission and multiplexing over a 50-km fiber / A. Wang [h gp.] // Opt. Express. — 2016. — T. 24, № 11. — C. 11716—11726.

[52] Free-space information transfer using light beams carrying orbital angular momentum / G. Gibson [h gp.] // Opt. Express. — 2004. — T. 12, № 22. — C. 5448—5456.

[53] Encoding many channels on the same frequency through radio vorticity: first experimental test / F. Tamburini [h gp.] // New Journal of Physics. — 2012. — T. 14, № 3. — C. 033001.

[54] Utilization of Photon Orbital Angular Momentum in the Low-Frequency Radio Domain / B. Thide [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 2007. — T. 99, Bbm. 8. — C. 087701.

[55] Molina-Terriza G., Torres J. P., Torner L. Twisted photons // Nat. Phys. — 2007. — Man. — T. 3. — C. 305—310.

[56] Deng L., Wang H., Wang K. Quantum CNOT gates with orbital angular momentum and polarization of single-photon quantum logic //J. Opt. Soc. Am. B. — 2007. — CeHT. — T. 24, № 9. — C. 2517—2520.

[57] Quantum teleportation of multiple degrees of freedom of a single photon / X.-L. Wang [h gp.] // Nature. — 2015. — T. 518. — C. 516—524.

[58] Higher-dimensional orbital-angular-momentum-based quantum key distribution with mutually unbiased bases / M. Mafu [h gp.] // Phys. Rev. A. — 2013. — T. 88, Bbm. 3. — C. 032305.

[59] High-dimensional quantum cryptography with twisted light / M. Mirhosseini [h gp.] // New Journal of Physics. — 2015. — T. 17, № 3. — C. 033033.

[60] Photoionization with orbital angular momentum beams / A. Picon [h gp.] // Opt. Express. — 2010. — T. 18, № 4. — C. 3660—3671.

[61] Transferring orbital and spin angular momenta of light to atoms / A. Picon [h gp.] // New Journal of Physics. — 2010. — Abr — T. 12, № 8. — C. 083053.

[62] Jauregui R. Rotational effects of twisted light on atoms beyond the paraxial approximation // Phys. Rev. A. — 2004. — T. 70, Bbm. 3. — C. 033415.

[63] Swartzlander G. Peering into darkness with a vortex spatial filter // Opt. Lett. — 2001. — T. 26, № 8. — C. 497—499.

[64] Foo G, Palacios D., Swartzlander G . Optical vortex coronagraph // Opt. Lett. — 2005. — Дек. — Т. 30, № 24. — С. 3308—3310.

[65] Experimental Verification of an Optical Vortex Coronagraph / J. Lee [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2006. — Т. 97, вып. 5. — С. 053901.

[66] Astronomical demonstration of an optical vortex coronagraph / G. A. Swartzlander [и др.] // Opt. Express. — 2008. — Июль. — Т. 16, № 14. — С. 10200—10207.

[67] Harwit M. Photon Orbital Angular Momentum in Astrophysics // The Astrophysical Journal. — 2003. — Т. 597, № 2. — С. 1266—1270.

[68] Spiral phase contrast imaging in microscopy / S. Fiirhapter [и др.] // Opt. Express. — 2005. — Т. 13, № 3. — С. 689—694.

[69] Torner L., Torres J., Carrasco S. Digital spiral imaging // Opt. Express. — 2005. — Т. 13, № 3. — С. 873—881.

[70] Pavani S., Piestun R. Three dimensional tracking of fluorescent microparticles using a photon-limited double-helix response system // Opt. Express. — 2008. — Т. 16, № 26. — С. 22048—22057.

[71] Jesacher A., Ritsch-Marte M., Piestun R. Three-dimensional information from two-dimensional scans: a scanning microscope with postacquisition refocusing capability // Optica. — 2015. — Т. 2, № 3. — С. 210—213.

[72] Klar T., Engel E, Hell S. Breaking Abbe's diffraction resolution limit in fluorescence microscopy with stimulated emission depletion beams of various shapes // Phys. Rev. E. — 2001. — Т. 64, вып. 6. — С. 066613.

[73] Quantitative imaging of complex samples by spiral phase contrast microscopy / B. S [и др.] // Opt. Express. — 2006. — Май. — Т. 14, № 9. — С. 3792—3805.

[74] Electron Vortex Beams with High Quanta of Orbital Angular Momentum / B. J. McMorran [и др.] // Science. — 2011. — Т. 331, № 6014. — С. 192—195.

[75] Idrobo J., Pennycook S. Vortex beams for atomic resolution dichroism // Microscopy. — 2011. — Т. 60, вып. 5. — С. 295—300.

[76] Vortex electron energy loss spectroscopy for near-field mapping of magnetic plasmons / Z. Mohammadi [и др.] // Optics Express. — 2012. — Т. 20, вып. 14. — С. 15024—15034.

[77] Controlling neutron orbital angular momentum / C. W. Clark [h gp.] // Nature. — 2015. — CeHT. — T. 525. — C. 504—506.

[78] Vortex beams of atoms and molecules / A. Luski [h gp.] // Science. — 2021. — CeHT. — T. 373, № 6559. — C. 1105—1109.

[79] Orbital Angular Momentum in Nanoplasmonic Vortices / E. Prinz [h gp.] // ACS Photonics. — 2023. — OeBp. — T. 10, № 2. — C. 340—367.

[80] B.A. Knyazev, V.G. Serbo. Beams of photons with nonzero projections of orbital angular momenta: new results // Phys.-Usp. — 2018. — T. 61. — C. 449.

[81] Bliokh K. Y., Dennis M., Nori F. Relativistic Electron Vortex Beams: Angular Momentum and Spin-Orbit Interaction // Phys. Rev. Lett. — 2011. — T. 107, Bbin. 17. — C. 174802.

[82] Karlovets D. Electron with orbital angular momentum in a strong laser wave // Phys. Rev. A. — 2012. — T. 86, bhh. 6. — C. 062102.

[83] Peskin M. E., Schroeder D. V. An Introduction to quantum field theory. — Reading, USA : Addison-Wesley, 1995.

[84] Karlovets D. Vortex particles in axially symmetric fields and applications of the quantum Busch theorem // New Journal of Physics. — 2021. — T. 23, № 3. — C. 033048.

[85] Is the Angular Momentum of an Electron Conserved in a Uniform Magnetic Field? / C. Greenshields [h gp.] // Phys. Rev. Lett. — 2014. — ^eK. — T. 113. — C. 240404.

[86] Greenshields C., Franke-Arnold S., Stamps R. Parallel axis theorem for freespace electron wavefunctions // New J. Phys. — 2015. — T. 17. — C. 093015.

[87] New solutions of relativistic wave equations in magnetic fields and longitudinal fields / V. Bagrov [h gp.] //J. Math. Phys. — 2002. — T. 43. — C. 2284—2305.

[88] Electron Vortex Beams in a Magnetic Field: A New Twist on Landau Levels and Aharonov-Bohm States / K. Y. Bliokh [h gp.] // Phys. Rev. X. — 2012. — T. 2, Bbin. 4. — C. 041011.

[89] Gallatin G. M., McMorran B. Propagation of vortex electron wave functions in a magnetic field // Phys. Rev. A. — 2012. — T. 86, Bbin. 1. — C. 012701.

[90] Bagrov V., Gitman D. The Dirac equation and its solutions. — Berlin [a. o.] : de Gruyter, 2014.

[91] Liping Z, Pengming Z., Silenko A. General quantum-mechanical solution for twisted electrons in a uniform magnetic field // Phys. Rev. A. — 2021. — Т. 103, вып. 1. — С. L010201.

[92] Melkani A., Enk S. J. van. Electron vortex beams in nonuniform magnetic fields // Phys. Rev. Research. — 2021. — Т. 3, вып. 3. — С. 033060.

[93] Karlovets D. Gaussian and Airy wave packets of massive particles with orbital angular momentum // Phys. Rev. A. — 2015. — Т. 91. — С. 013847.

[94] Ducharme R., Paz I. da, Hayrapetyan A. Fractional Angular Momenta, Gouy and Berry Phases in Relativistic Bateman-Hillion-Gaussian Beams of Electrons // Phys. Rev. Lett. — 2021. — Т. 126, вып. 13. — С. 134803.

[95] Jentschura U. D. Algebraic approach to relativistic Landau levels in the symmetric gauge // Phys. Rev. D. — 2023. — Июль. — Т. 108, № 1. — С. 016016.

[96] Karlovets D., Zhevlakov A. Intrinsic multipole moments of non-Gaussian wave packets // Phys. Rev. A. — 2019. — Т. 99, вып. 2. — С. 022103.

[97] Karlovets D. Dynamical enhancement of nonparaxial effects in the electromagnetic field of a vortex electron // Phys. Rev. A. — 2019. — Т. 99, вып. 4. — С. 043824.

[98] Observation of the Larmor and Gouy Rotations with Electron Vortex Beams / G. Guzzinati [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2013. — Т. 110, вып. 9. — С. 093601.

[99] Peculiar rotation of electron vortex beams / T. Schachinger [и др.] // Ultramicroscopy. — 2015. — Т. 158. — С. 17—25.

[100] Landau D. Diamagnetismus der metalle // Z. Phys. — 1930. — Т. 64. — С. 629—637.

[101] Ciftja O. Detailed solution of the problem of Landau states in a symmetric gauge // European Journal of Physics. — 2020. — Апр. — Т. 41, № 3. — С. 035404.

[102] Malkin I., Manko V. Dynamic symmetry and coherent states of quantum systems. — Izdatel'stvo Nauka, Moscow, 1979.

[103] Filina N. V., Baturin S. S. Unitary equivalence of twisted quantum states // Phys. Rev. A. — 2023. — Июль. — Т. 108, № 1. — С. 012219.

[104] Imaging the dynamics of free-electron Landau states / P. Schattschneider [и др.] // Nature Comm. — 2014. — Т. 5. — С. 4586.

[105] Siegman A. Lasers. — Mill Valley, 1986.

[106] Feng S., Winful H. Physical origin of the Gouy phase shift // Optics Letters. — 2001. — Т. 26. — С. 485—487.

[107] Gradshtein I., Ryzhik I. Table of Integrals, Series, and Products. — 4-е изд. — FizMatGiz, Moscow, 1964.

[108] Holographic generation of highly twisted electron beams / V. Grillo [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2015. — Т. 114. — С. 034801.

[109] Realization of electron vortices with large orbital angular momentum using miniature holograms fabricated by electron beam lithography / E. Mafakheri [и др.] // Appl. Phys. Lett. — 2017. — Т. 110. — С. 093113.

[110] Origins and demonstrations of electrons with orbital angular momentum / B. McMorran [и др.] // Phil. Trans. R. Soc. — 2017. — Т. 375. — С. 20150434.

[111] Groening L., Xiao C., Chung M. Particle beam eigenemittances, phase integral, vorticity, and rotations // Phys. Rev. Accel. Beams. — 2021. — Т. 24, вып. 5. — С. 054201.

[112] Reiser M. Theory and Design of Charged Particle Beams. — Wiley, New York, 2008.

[113] Intrinsic normalized emittance growth in laser-driven electron accelerators / M. Migliorati [и др.] // Phys. Rev. ST Accel. Beams. — 2013. — Т. 16, вып. 1. — С. 011302.

[114] Noble R. Beam mismatch and emittance oscillations in magnetic transport lines // Proceedings of the 1989 IEEE Particle Accelerator Conference. — 1989. — С. 1067—1069.

[115] Schrödinger E. Zum Heisenbergschen Unscharfeprinzip. — Akademie der Wissenschaften, 1930. — (Abhandlungen der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-Mathematische Klasse).

[116] Bagrov V. G., Gitman D. M., Pereira A. S. Coherent and semiclassical states of a free particle // Physics-Uspekhi. — 2014. — Сент. — Т. 57, № 9. — С. 891.

[117] Uchida M., Tonomura A. Generation of electron beams carrying orbital angular momentum // Nature. — 2010. — Т. 464. — С. 737—739.

[118] Wiedemann H. Particle Accelerator Physics. — Springer Cham, 2015.

[119] Greenshields C., Stamps R. L., Franke-Arnold S. Vacuum Faraday effect for electrons // New Journal of Physics. — 2012. — Окт. — Т. 14, № 10. — С. 103040.

[120] Taira Y., Kohmura Y. Measuring the topological charge of an x-ray vortex using a triangular aperture //J. Opt. — 2019. — Март. — Т. 21, № 4. — С. 045604.

[121] Bogdanov O. V., Kazinski P. O., Lazarenko G. Y. Proposal for experimental observation of the twisted photons in transition and Vavilov-Cherenkov radiations // J. Instrum. — 2020. — Апр. — Т. 15, № 04. — С. C04052.

[122] Radiation of twisted photons from charged particles moving in cholesterics / O. V. Bogdanov [и др.] //J. Mol. Liq. — 2021. — Март. — Т. 326. —

C. 115278.

[123] Chaikovskaia A. D., Karlovets D. V., Serbo V. G. Vavilov-Cherenkov emission with twisted electrons: A study of the final entangled state // Phys. Rev. A. — 2024. — Янв. — Т. 109, № 1. — С. 012222.

[124] Bogdanov O. V., Kazinski P. O., Lazarenko G. Y. Semiclassical probability of radiation of twisted photons in the ultrarelativistic limit // Phys. Rev.

D. — 2019. — Июнь. — Т. 99, № 11. — С. 116016.

[125] Jentschura U. D., Serbo V. G. Generation of High-Energy Photons with Large Orbital Angular Momentum by Compton Backscattering // Phys. Rev. Lett. — 2011. — Янв. — Т. 106, № 1. — С. 013001.

[126] Jentschura U. D., Serbo V. G. Compton upconversion of twisted photons: backscattering of particles with non-planar wave functions // Eur. Phys. J. C. — 2011. — Март. — Т. 71, № 3. — С. 1—13.

[127] Taira Y., Hayakawa T., Katoh M. Gamma-ray vortices from nonlinear inverse Thomson scattering of circularly polarized light // Sci. Rep. — 2017. — Июль. — Т. 7, № 5018. — С. 1—9.

[128] Helical Phase Structure of Radiation from an Electron in Circular Motion / M. Katoh [и др.] // Sci. Rep. — 2017. — Июль. — Т. 7, № 6130. — С. 1—8.

[129] Sasaki S., McNulty I., Dejus R. Undulator radiation carrying spin and orbital angular momentum // Nucl. Instrum. Methods Phys. Res., Sect. A. — 2007. — Нояб. — Т. 582, № 1. — С. 43—46.

[130] Sasaki S., McNulty I. Proposal for Generating Brilliant X-Ray Beams Carrying Orbital Angular Momentum // Phys. Rev. Lett. — 2008. — Март. — Т. 100, № 12. — С. 124801.

[131] Afanasev A., Mikhailichenko A. On Generation of Photons Carrying Orbital Angular Momentum in the Helical Undulator // arXiv. — 2011. — Сент.

[132] First Observation of Photons Carrying Orbital Angular Momentum in Undulator Radiation / J. Bahrdt [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2013. — Июль. — Т. 111, № 3. — С. 034801.

[133] Observation of an optical vortex beam from a helical undulator in the XUV region / T. Kaneyasu [и др.] //J. Synchrotron Radiat. — 2017. — Сент. — Т. 24, № 5. — С. 934—938.

[134] Bogdanov O. V., Kazinski P. O., Lazarenko G. Y. Probability of radiation of twisted photons by classical currents // Phys. Rev. A. — 2018. — Март. — Т. 97, № 3. — С. 033837.

[135] Angular Momentum of Twisted Radiation from an Electron in Spiral Motion / M. Katoh [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2017. — Февр. — Т. 118, № 9. — С. 094801.

[136] Epp V., Guselnikova U., Kamenskaya I. Angular momentum transferred by the field of a moving point charge // Phys. Rev. A. — 2022. — Февр. — Т. 105, № 2. — С. 023511.

[137] Epp V., Guselnikova U., Kamenskaya I. Angular momentum transferred by the field of a moving point charge // Phys. Rev. A. — 2022. — Февр. — Т. 105, № 2. — С. 023511.

[138] Orbital angular momentum of channeling radiation from relativistic electrons in thin Si crystal / S. V. Abdrashitov [и др.] // Phys. Lett. A. — 2018. — Окт. — Т. 382, № 42. — С. 3141—3145.

[139] Epp V., Janz J., Zotova M. Angular momentum of radiation at axial channeling // Nucl. Instrum. Methods Phys. Res., Sect. B. — 2018. — Дек. — Т. 436. — С. 78—83.

[140] V.B. Berestetskii, E.M. Lifshitz, L.P. Pitaevskii. Quantum Electrodynamics. — Oxford: Pergamon, 1982.

[141] Barnett S., Barnett S. Quantum Information. — Oxford, England, UK : Oxford University Press, 05.2009.

[142] Single-shot characterization of vector beams by generalized measurements / M. A. Al Khafaji [и др.] // Opt. Express. — 2022. — Июнь. — Т. 30, № 13. — С. 22396—22409.

[143] Ivanov I. P. Creation of two vortex-entangled beams in a vortex-beam collision with a plane wave // Phys. Rev. A. — 2012. — Март. — Т. 85, № 3. — С. 033813.

[144] Carruthers P., Nieto M. M. Phase and Angle Variables in Quantum Mechanics // Rev. Mod. Phys. — 1968. — Апр. — Т. 40, № 2. — С. 411—440.

[145] Uncertainty principle for angular position and angular momentum / S. Franke-Arnold [и др.] // New J. Phys. — 2004. — Авг. — Т. 6, № 1. — С. 103.

[146] Ivanov I., Serbo V., Zaytsev V. Quantum calculation of the Vavilov-Cherenkov radiation by twisted electrons // Phys. Rev. A. — 2016. — Т. 93, вып. 5. — С. 053825.

[147] Scully M. O., Zubairy M. S. Quantum Optics. — Cambridge, England, UK : Cambridge University Press, 09.1997.

[148] Aharonov Y., Albert D. Z., Vaidman L. How the result of a measurement of a component of the spin of a spin-1/2 particle can turn out to be 100 // Phys. Rev. Lett. — 1988. — Апр. — Т. 60, № 14. — С. 1351—1354.

[149] Aharonov Y., Rohrlich D. Quantum Paradoxes. — 02.2005.

[150] Tamir B., Cohen E. Introduction to Weak Measurements and Weak Values // Quanta. — 2013. — Май. — Т. 2, № 1. — С. 7—17.

[151] Aharonov Y., Cohen E., Elitzur A. C. Foundations and applications of weak quantum measurements // Phys. Rev. A. — 2014. — Май. — Т. 89, № 5. — С. 052105.

[152] Bagrov V. G., Gitman D. M., Pereira A. S. Coherent and semiclassical states of a free particle // Phys.-Usp. — 2014. — Сент. — Т. 57, № 9. — С. 891.

[153] Elastic scattering of vortex electrons provides direct access to the Coulomb phase / I. P. Ivanov [и др.] // Phys. Rev. D. — 2016. — Окт. — Т. 94, № 7. — С. 076001.

[154] Ivanov I. P. Double-Twisted Spectroscopy with Delocalized Atoms // Ann. Phys. — 2022. — Март. — Т. 534, № 3. — С. 2100128.

[155] Doing Spin Physics with Unpolarized Particles / I. P. Ivanov [и др.] // Phys. Rev. Lett. — 2020. — Май. — Т. 124, № 19. — С. 192001.

[156] Theory and applications of free-electron vortex states / K. Y. Bliokh [и др.] // Phys. Rep. — 2017. — Май. — Т. 690. — С. 1—70.

[157] Ritus V. I. Quantum effects of the interaction of elementary particles with an intense electromagnetic field //J. Russ. Laser Res. — 1985. — Сент. — Т. 6, № 5. — С. 497—617.

[158] Extremely high-intensity laser interactions with fundamental quantum systems / A. Di Piazza [и др.] // Rev. Mod. Phys. — 2012. — Авг. — Т. 84, № 3. — С. 1177—1228.

[159] Advances in QED with intense background fields / A. Fedotov [и др.] // Phys. Rep. — 2023. — Апр. — Т. 1010. — С. 1—138.

[160] Karlovets D. V. Electron with orbital angular momentum in a strong laser wave // Phys. Rev. A. — 2012. — Дек. — Т. 86, № 6. — С. 062102.

[161] Gea-Banacloche J. Quantum theory of the free-electron laser: Large gain, saturation, and photon statistics // Phys. Rev. A. — 1985. — Март. — Т. 31, № 3. — С. 1607—1621.

[162] Heinzl T, Ilderton A., King B. Classical and quantum particle dynamics in univariate background fields // Phys. Rev. D. — 2016. — Сент. — Т. 94, № 6. — С. 065039.

[163] Undulator Radiation Generated by a Single Electron / A. Halavanau [и др.]. — 2019. — [Online; accessed 15. May 2024].

[164] Landau L. D, Lifschits E. M. The Classical Theory of Fields. — 05.2013. — [Online; accessed 15. May 2024].

[165] Ivanov D. Y., Kotkin G. L., Serbo V. G. Complete description of polarization effects in emission of a photon by an electron in the field of a strong laser wave // Eur. Phys. J. C. — 2004. — Июль. — Т. 36, № 1. — С. 127—145.

[166] Atomic Physics Studies at the Gamma Factory at CERN / D. Budker [и др.] // Ann. Phys. — 2020. — Авг. — Т. 532, № 8. — С. 2000204.

[167] Karlovets D. Vortex particles in axially symmetric fields and applications of the quantum Busch theorem // New J. Phys. — 2021. — Март. — Т. 23, № 3. — С. 033048.

[168] Hall B. C. Quantum theory for mathematicians. — Springer, 2013.

[169] Wollnik H. Optics of Charged Particles. — 2022.

[170] Khersonskii V. K., Moskalev A. N., Varshalovich D. A. Quantum Theory Of Angular Momentum. — Singapore : World Scientific Publishing Company, 1988.

[171] Geloni G., Kocharyan V., Saldin E. Theoretical computation of the polarization characteristics of an X-ray Free-Electron Laser with planar undulator // Opt. Commun. — 2015. — Дек. — Т. 356. — С. 435—444.

В этом резделе мы выражаем благодарность всем, кто так или иначе связан с появлением на свет этого текста, а именно:

— научному руководителю Дмитрию Карловцу за возможность работать в этой области и создание комфортной рабочей атомсферы,

— соавторам — Дмитрию Карловцу, Стасу Батурину, Диме Гросману, Илье Павлову, Алисе Чайковской, Валерию Сербо и 01ап1иса Се1от — за добросовестную и качественную работу,

— всем причастным к тому, какими сейчас являются Физический Факультет и Университет ИТМО, за создание среды, в котором хочется работать, развиваться и, конечно, писать диссертацию,

— девушке Маше Ерошковой за психологическую поддержку и помощь с переводом,

— коту Коту за пушистую поддержку, успокаивающее мурчание и тонизирующий кусь,

— дизайнеру Анне Климовой за красивые картинки электрона в магнитном поле,

— маме Татьяне Сизых по очевидным причинам, а также за любовь и научный подход к воспитанию,

— друзьям — просто потому что вы хорошие.

Приложение А Полнота нестационарных состояний Лагерра-Гаусса

В этом Приложении мы показываем, что состояния (2.4) образуют полный набор.

Рассмотрим момент времени £ = Т, такой что с(Т) = с, а с'(Т) = 0. Такой выбор соответствует Я(Т) ^ то, а волновая функция (2.4) принимает вид

Фп(р, Т) = Ф(ь)(р,Ф,£) ехр(—гФС(Т) + гЕ^Ъ). (А.1)

Здесь Ф(ь)(р,ф,£) — волновые функции состояний Ландау в эффективном магнитном поле Н^ = 2/(е0с2), образующие полный набор в £2(К), а Ь — некоторый произвольный момент времени.

Полнота Эрмит-Гауссовых состояний Ландау (2.18) доказана, например, в [168] (см. Теорему 11.4), и напрямую обобщается на Лагерр-Гауссовы состояния Ландау Ф(ь)(р,ф,£). Из уравнения (А.1) следует, что если сп1 (£) являются коэффициентами разложения некоторой функции переменных (р,£) по состояниям Ландау, то сп(£) = сп(£) ехр(г Ф^(Т) — гЕ^Ъ) — коэффициенты разложения этой же самой функции по НСЛГ состояниям (2.4), вычисленные в момент £ = Т. Рассмотрим теперь разложение некоторой функции Г(р,£) по функциям (2.4) в произвольный момент времени. Сперва рассмотрим вспомогательную функцию С(р,Ъ) = ехр^Ш(£ — (р,£), где % — поперечная часть Гамильтониана, в

свободном пространстве или в магнитном поле. Отметим, что функция С(р,Ъ) может быть единственным способом представлена в виде суперпозиции состояний Ландау, а значит, и НСЛГ состояний, взятых в момент £ = Т:

С(р,1) = ехр(г%(* — Т))г (р,*) = ^ (¿)Ф(ь)(р,ф,£) = ^ сп (*)Фп (р,Г).

п,1 п,1

(А.2)

Действуя на обе части равенства (А.2) оператором эволюции ехр^—г%(£ — Т)), описывающим временную динамику НСЛГ состояний, получим

Г (р,* ) = ^ сп (ОФп (р,*), (А.3)

п

что и доказывает полноту состояний (2.4).

Более того, если раскладываемая по полному набору функция удовлетворяет тому же уравнению Шрёдингера, что и выбранные НСЛГ состояния (например, УШ в свободном пространстве или в магнитном поле), то временная динамика этого состояния и НСЛГ состояний описывается одним и тем же оператором эволюции. Это приводит к независимости коэффициентов разложения от времени. Действительно, рассмотрим разложение

Ф( р ,1) = £ сп1 (1)Фп1 (р,*), (А.4)

п,1

где функции Ф(р,£) и Фп/(р,£) являются решениями одно УШ. Поскольку уравнение (А.4) выполняется для произвольного момента времени мы также можем записать

Ф( р,0) = £ сп1 (0)ФП/ (р,0). (А.5)

п,1

Действуя на обе стороны этого равенства оператором эволюции, мы приходим к

Ф( р^ ) = £ Сп1 (0)ФЫ (р,г). (А.6)

п,1

Из единственности набора НСЛГ состояний и, как следствие, коэффициентов разложения по этим состояниям, получаем сщ1 (£) = сщ1 (0), то есть независимость коэффициентов разложения от времени.

Влияние скорости расширения электронного волнового пакета на характеристики осцилляций среднеквадратичного радиуса в

магнитном поле

Начальная скорость расширения НСЛГн волнового пакета не меняет качественно поведение осцилляций среднеквадратичного радиуса электронного состояния, но существенно влияет на параметры этих осцилляций (см. Рис. Б.1). При построении графиков использованы следующие параметры: Н =1.9 Т, п = 0, I = 3, ро = 25 нм.

Рис. Б.1а приведён для сравнения с ним других графиков: на этом рисунке скорость расширения пакета на границе соленоида равна нулю: о = 0. На Рис. Б.1б скорость расширения р 0 = 4 х 10-5 выбрана таким образом, что и второе, и третье слагаемые в выражении для а^. в уравнении (2.25) вносят заметный вклад. Ненулевая скорость расширения на границе приводит к небольшому сдвигу фазы осцилляций 6, а также слегка изменяет их амплитуду. Отметим, что изменение знака р0 не приводит к изменению амплитуды, но меняет знак фазы согласно выражениям (2.25). На Рис. Б.1в скорость расширения р 0 = 10-3. Такое большое значение почти обнуляет начальную фазу осцилляций и приводит к сильному росту амплитуды. В режиме больших значений 0 амплитуда осцилляций растёт пропорционально 0, что можно заметить, сравнивая Рис. Б.1в и Б.1г.

0.10 0.08

^ 0.06

а,

^ 0.04 0.02 0.00

-3 -2 -1

0

3

-3 -2 -1

0

а)

б)

4

-3 -2 -1

0

3

-3 -2 -1

0

^с

в

г)

3

3

Рисунок Б.1 — Осцилляции размера НСЛГн волнового пакета (красным) для разных значений начальной скорости расширения состояния р 0. Радиуса состояния Ландау рь отмечен синей прямой. Чёрная прерывистая прямая показывает значение стационарного радиуса р определяемого выражением (2.28). На каждом рисунке Н = 1.9 Т (Тс « 0.02 нс), п = 0, 1 = 3, р0 = 54 нм. (а) р0 = 0, (Ь)

р0 = 4 х 10-5, (с) р0 = 10-3, (а) р0 = 0.1.

1

2

1

2

1

2

1

2

Предел нулевого магнитного поля для оптических функций

Рассмотрим дисперсию НСЛГн состояния, определяемую выражением (2.25). Подставляя явным образом выражение для фазы 6, получим:

а2(0 = + 1 - ^^^шт - 6) = - К - а?) ес8(шт)

+ 5(а0,а0) й!п(шт)>

(В.1)

где т = £ - ¿0. В пределе нулевого магнитного поля, когда Н — 0 и аь — то, стационарное значение дисперсии принимает вид

1 а'

./2 \ 1/2

а- = 202 + 2|) . (В 2)

Оставляя в выражении (В.1) только ненулевые в пределе Н — 0 слагаемые, получим

*2М - а2 + 2ЛСт2 (¿2 + Ц) + 2^. (В3)

Далее, выразим а0 и а0 через дисперсию свободного электронного пакета в перетяжке (т.е. в момент генерации) и время дифракции:

а а /1 + (г0- ^)2 а' 0- г(В

а0 = 1 +--2-, а0 =-1 . )2. (В.4)

V т2л /1 + ^

та

Подставляя уравнение (В.4) у равнение (В.3), получим выражение для дисперсии НСЛГ состояния:

1

(¿0 - д2

а(*) = 1+^ 0 2 ^ . (В.5)

Непрерывный переход фазы Гюи и радиуса кривизны НСЛГн состояния в соответствующие величины для НСЛГ состояния в пределе нулевого магнитного поля следует непосредственно из системы (2.23) и доказанного выше перехода для дисперсии.

Явный вид коэффициентов разложения нестационарного Лагерр-Гауссового состояния в магнитном поле по состояниям

Ландау

Коэффициенты разложения состояния НСЛГн по состояниям Ландау даются следующим интегралом:

ос

I I 1

а-ппЧ = 1'

р

2\1\

Ь

\п

Р

а?

ЬЗ

р?

(Г.1)

х ехр

Р?

,2а2

+

Р?

+ г-

Р?

2а2(^у 2ЛсД(£)

- гФс(^+ гЕь(г - ¿с)

с12р.

Как было доказано в Приложении А, коэффициенты не зависят от времени, и поэтому могут быть вычислены, например, в момент £ = ¿с, когда а(£с) = ао,Д(£о) = ас/а0 и Фс(^) = Фс.

Значение интеграла выше даётся выражением (7.422) из справочника [107] (однако, в книге присутствует опечатка: т ^ п). После вычисления интеграла коэффициенты принимают следующий вид:

аппп = (С2 - 1)(п-п)/2д(С)

(Г.2)

Здесь С = Р^/Рь, функция

9(0 =

(п + П + |/|)!

(-2) п

у/п!п'!(п + |/|)!(П + |/|)! (Л + 1)(п+п'+\/\+1)/2

х

2^1

С2 1

-п, -п - |/|; -п - п - |/|; — + ^

(Г.3)

является аналитической, а фаза определяется выражением

_ ( 0, И2^1 ^ 0.1 Г п, К £,1 < 1

ХппЧ = Фс + ^ 1 п } + П х^

п, ^2^1 < 0^ п', ^ £1 > 1

£1£2 £1£2 + (п - п ) аге1ап --^ + (п + п + |/| + 1) аге1ап

}

(Г-4)

1 - £1

1 +

В пределе С2 ^ 1

д(С) гс 1, Ип' > п,

д(С) гс (С2 - 1)п-п', й п > п'

(Г.5)

что приводит к асимптотике для коэффициентов разложения:

|п; —га|

аппч х (6С) 2 . (Г.6)

О непрерывности полной волновой функции, описывающей состояние электрона при движении сначала в свободном пространстве, а затем в соленоиде

В это Приложении мы покажем непрерывность полной волновой, которая приближённо описывает состояние электрона в рассматриваемом процессе, как во время его движения в свободном пространстве, так и в магнитном поле. Обсуждаемая волновая функция представляет свободой непрерывную склейку НСЛГ состояний в свободном пространстве и в магнитном поле, совпадающих в момент влёта электрона в соленоид.

Мы ищем решение уравнения Шрёдингера

<9Ф

' = "Ф (Д.1)

dt

с Гамильтонианом

н=<* - ^ - ^, А = f ,,, 0} . (Д.2)

Этот Гамильтониан можно также записать в виде

" = "Но + 9(z - zo)V, " = ^, V = -. (Д.3)

2т т 2т

Здесь 6-функция отражает наличие резкой границы вакуум-соленоид в точке z0. Применимость приближения резкой границы обсуждается в Приложении Ж. Рассмотрим сначала уравнение (Д.1) отдельно для z < z0 и z > z0. Как обсуждается в основном тексте Диссертации, в обоих областях существует решение УШ в виде НСЛГ состояний. Разница между ними определяется явным видом оптических функций, задающих конкретный вид Лагерр-Гауссового волнового пакета. В нашем анализе важно считать частицу хорошо локализованной в продольном направлении при пересечении границы. Это позволяет нам использовать связь между положением центра волнового пакета вдоль оси распространения и временем. Используя непрерывные решения уравнения Шрё-дингера для областей < 0 и > 0 в виде НСЛГ состояний, мы можем построить полную волновую функцию электрона, описывающую его состояние

во всём пространстве:

ФМ1(г,1) = Ф^(р,*)Щ(г,1 )0(^ - г) + Ф^(р,*)Ф||(*,*)0(* - ¿с). (Д.4)

Здесь Ьс — момент времени, когда центр волнового пакета ( х) достигает границы вакуум-соленоид, расположенной в точке гс; Функции 0(£ - £с) и 0(£с - £) = 1 - 0(£ - £с) отражают процесс перехода электрона из свободного пространства в область магнитного поля, а Ф(1>2)(г) = Ф£'н(р,^)Фц(г) — волновые функции закрученного электрона в свободном пространстве и в магнитном поле:

г = К сФ(1),

г дф) = (Но + V) Ф(2). (Д5)

Обратите внимание на отсутствие 0-функций в этих уравнениях.

Поскольку магнитное поле влияет только на поперечную динамику электрона, мы можем выбрать одинаковые продольные волновые функции электрона в обоих областях. В нашем рассмотрении зависящие от времени 0-функции играют важную роль в обеспечении непрерывности полной волновой функции во все моменты времени. Заметим, что используя закон движения для центра волнового пакета вдоль оси его распространения,

(г) = ^ + у(1 - ^ <г) - тс = У(1 - ¿с), (Д.6)

можно также записать уравнение (Д.4) в виде

Ф£и11(^,^) = (Р,*)Ф||(* 1 )0(¿с - ( г)) + ФН(р,*)Фц(*,1 )0((г) - *). (Д.7)

Здесь 0-функции отвечают за состояние электрона уже в зависимости от пр-дольной координаты центра его волнового пакета.

Прежде, чем углубляться в анализ непрерывности предлагаемой волновой функции, ещё раз обрисуем картину происходящего. Мы рассматриваем хорошо локализованный в продольном направлении волновой пакет, перемещающийся из свободного пространства в соленоид. В определённый момент времени центр волнового пакета оказывается в точке ^с. В этот момент, когда электрон из свободного пространства попадает в магнитное поле, НСЛГ состояние непрерывно переходит НСЛГн. Сшивая эти состояния на границе, мы делаем допущение, что волновой пакет залетает в магнитное как целое, аналогично

точечной частице. На самом же деле есть определённый временной отрезок (или пространственный интервал), в течение которого один "хвост"волновой функции уже находится в магнитном поле, в то время как другой — всё ещё в свободном пространстве. Переход волнового пакета из одной области в другую — постепенный процесс, в течение которого состояние электрона может измениться под действием каких-либо переходных эффектов. Мы докажем справедливость используемого описания и возможности пренебречь переходными эффектами путём сравнения характерных времён, ответственных за эволюцию состояния в свободном пространстве и в магнитном поле со временем, требующимся на переход из одной области в другую. Таким образом, можно считать, что волновой пакет практически не изменяется в процессе перехода. Более глубокий анализ эффектов, связанных с переходом, и подтверждение сделанного приближения приведены в Приложении Е.

Чтобы показать непрерывность полной волновой функции, потребуем, чтобы волновая функция, определяемая выражением (Д.4) или (Д.7), была приближённым решением уравнения (Д.1), то есть

ПГ -"Ф» = г(Ф<2> - Ф<1') * - <0) (Д.8)

+6(20 - х)6(г - ¿0)^Ф(2) - 6(х - 20)6(^0 - £)Т>Ф(1) — 0.

С учётом равенства продольных волновых функции в свободном пространстве и в поле первое слагаемое в правой части равенства приводит к условию

Ф^ (Р,*>) = ф^ (Р^ 0). (Д.9)

Оставшиеся два слагаемых справа пропорциональны 6(г0 - 2)6((г) - г0) и 6(г - 20)6(г0 - { г)). Для точечной частицы эти слагаемые просто обнуляются, приводя к тому, что ФШ1 является точным решением уравнения (Д.1). Однако, для размазанного в пространстве волнового пакета, даже хорошо локализованного, решение ФШ1 является уже приближённым. Эффекты, связанные с пространственным распределением волнового пакета осуждаются в Приложении Е.

Таким образом, волновая функция (Д.4), описывающая перемещение закрученного НСЛГ электрона из свободного пространства в соленоид, является приближённым решением УШ при условии выполнения равенства (Д.9) и хорошей продольной локализации волнового пакета.

Далее мы показываем, что обсуждаемое нами приближённое решение (Д.4) уравнения (Д.1) строго непрерывно на границе:

дгры\г,г) + V- 3) = 0. Здесь плотность и ток вероятности определены соотношениями рШ1 (г ^) = |ФМ1 (г,1 )|2,

2М1(г) = Лс1т [ФШ1*(г^ФШ1(г)] - ЛсеА0(г - ^)рМ1(г^).

(Д.10)

(Д.11)

Действительно, с учётом плотностей и токов вероятностей для решений в свободном пространстве и в поле,

(1)

Р(1) = |Ф(1)|2, ^(1) = Лс1т Ф(1)^Ф(1) - ЛсеА0(г - ¿с)р

Р(2) = |Ф(2)|2, j(2) = Лс1т Ф(2)^Ф(2) - ЛсеА0(г - ^)р(2),

(Д.12)

а также с учётом 0(£ - ¿с)0(£с - ¿) = 0 и 0(2; - хс) = 1 - 0(2:с - х), получаем

д,РМ1(г,£) - V • зЫ\г,1)

д,Р(1)0(^с - г) + д,Р(2)0(1 - ¿с) + (Р(2) - Р(1)Ж* - ¿с)'

V- 3(1)0(^с - *) + V- 3(2)0(£ - Ъс) + Лсе0(и - ^ • (Ар(1)0(^ - г)) + Лсе0(* - ¿с^ • (Ар(2)0(^ - г))

(Д.13)

Принимая во внимание уравнения непрерывности для решений в вакууме и вполе

йр(1) + V• з(1) = 0, д^Р(2) + V• з(2) = 0,

получим

(Д.14)

дtрfu11(r,¿) - V • зЫ1(г,1) = (р(2) - Р(1))6(£ - ¿с) Лсе0(^с - ^ • (Ар(1)0(^ - г)) + Лсе0(* - ¿с)V • (Ар(2)0(^ - г))

(Д.15)

Последние два слагаемых в правой части равенства равны нулю. Действитель-

но,

V • (Ар(г)0(2с - г)) = (V • А)р(г)0(2^с - г) + А • ^р(г))0(^ - х) + р(г)А • ^0(^ - 2

г = {1, 2}.

(Д.16)

Прямой проверкой можно убедиться, что векторый потенциал А, определяемым вторым выражением в равенствах (Д.2) удовлетворяет калибровке Кулона: (V- А) = 0. Далее, во втором слагаемом в правой части равенства (Д.16) можно записать А в цилиндрических координатах: А = Неф; далее, с учётом аксиальной симметрии задачи, (Vр(г)) • еф = 0, что приводит к обнулению второго слагаемого. Третье слагаемое равно нулюю в силу ^6(г0 - г)) ке2 и А ег = 0.

Таким образом, мы приходим к равенству

рМ1(г,£) - V • /и11(г,£) = (р(2) - р(1)Ж* - и), (Д.17)

где в правой части стоит ноль в силу условия (Д.9). В результате мы показали, что полная волновая функция, которая является приближённым решением к УШ и которую мы неявно используем в наших рассуждениях, непрерывна во всём пространстве в любой момент времени.

О приближении мгновенного влёта электронного волнового пакета в

соленоид

В это Приложении обсуждаются области в пространстве и интервалы времени, в которых используемая нами приближённая волновая функция, описывающая полное состояние электрона при его движении в свободном пространстве и затем в магнитном поле, не вполне корректно описывает реальное состояние электрона.

Для удобства выберем локализованную продольную волновую функцию в виде Лагерр-Гауссового пакета:

ос

ф|| = ^ ехр|г (рг{х - 2о) - Ц - ехр| - {Р) }

- ^ .1 ехр/ г (г*- (Е.1)

I ~ ( (z — vt)2 \ J.

V ^ + t2/(maz)2 2 + t2/(maz)2) J еХР Г \pz 2m*

Г Mi. (z -vt)2 t \

x exm —г arctan-- > exp< г —^—-—-= }.

I ma2 J P\ 2 (ff2 + i2/(ma,)2) ma2 J

Здесь z = z — z0, £ = t — to, zo — положение границы вакуум-соленоид, tо — момент времени, когда центр волнового пакета электрона находится в точке z0, ap и az = a-1 — характерные размеры волнового пакета на границе в импульсном и координатном представлениях, = / m — средняя продольная скорость движения электрона, ар — соответствующий импульс.