Эффекты негауссовости волновых пакетов в рассеянии и излучении тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, доктор наук Карловец Дмитрий Валерьевич

• Карловец Дмитрий Валерьевич
• доктор наук
• 2021

Оглавление диссертации доктор наук Карловец Дмитрий Валерьевич

Введение

Глава 1 Волновые пакеты с орбитальным моментом

1.1 Скалярные бесселевы состояния

1.2 Примеры нерелятивистских пакетов и фаза Гуи

1.3 Релятивистские гауссовы пакеты и пучки Эйри

1.4 Релятивистские пакеты Гаусса - Бесселя

1.5 Квантовая Н60Пр6Д6Л6нность орбитального момента импульса

1.6 Собственные мультипольные моменты негауссовых пакетов

Глава 2 Релятивистские обобщенные пакеты Гаусса - Jlareppa

2.1 Непараксиальный гауссов пакет

2.2 Непараксиальный пакет с орбитальным моментом

2.3 Непараксиальный пакет фермиона с орбитальным моментом

2.4 Параксиальные пучки Гаусса - Jlareppa и фаза Гуи

2.5 Электромагнитное поле электрона с орбитальным моментом

Глава 3 Электрон с орбитальным моментом в лазерной волне

3.1 Мотивация: закрученные электроны во внешнем поле

3.2 Свободный поляризованный бесселев электрон

3.3 Бесселево состояние электрона в плоской волне

3.4 Спин «волковского» электрона в плоской волне

3.5 Полный угловой момент электрона в плоской волне

3.6 Возможности ускорения закрученных электронов и эффекты во

ВН6ТТТНИХ ПОЛЯХ • • • •

Глава 4 Поляризационное излучение электрона с орбитальным моментом

4.1 Метод поляризационных токов и его верификация

4.1.1 Общие замечания

4.1.2 Излучение в цилиндрическом канале в пластинке

4.1.3 Поляризационное излучение от прямоугольного экрана

4.1.4 Излучение от тонкой решетки конечной диэлектрической проницаемости

4.2 Поляризационное излучение закрученных электронов

4.2.1 Переходное излучение заряда и магнитного диполя

4.2.2 Моделирование магнитного момента, порождённого большим орбитальным моментом

4.2.3 Методический пример: излучение Вавилова - Черенкова

от заряда и магнитного момента

4.2.4 Переходное излучение от заряда и магнитного момента

4.2.5 Излучение от заряженного кольца с азимутальным током

4.3 Численные результаты

4.3.1 Эталонный случай

4.3.2 Другие зависимости

4.4 Эффекты в других видах излучения

Глава 5 Рассеяние нерелятивистских пакетов на атомах

5.1 Общий формализм нерелятивистской квантовой теории рассеяния

5.2 Рассеяние гауссовых пакетов на атомах

5.2.1 Общие формулы

5.2.2 Рассеяние на гауссовом потенциале

5.2.3 Рассеяние на атоме водорода в основном состоянии

5.2.4 Сравнение примеров

5.3 Рассеяние электронов с орбитальным моментом на атомах

5.3.1 Общий анализ

5.3.2 Рассеяние на одном потенциальном центре

5.3.3 Макроскопическая мишень

5.3.4 Когерентная суперпозиция закрученных пакетов

5.3.5 Рассеяние на мезоскопической мишени

5.3.6 Потенциал Юкавы

5.3.7 Атом водорода в основном состоянии

5.3.8 Численные результаты: макроскопическая мишень

5.3.9 Численные результаты: одиночный атом

5.3.10 Численные результаты: мезоскопическая мишень

5.4 Роль деструктивной квантовой интерференции электронных пакетов в рассеянии

5.4.1 Общий анализ

5.4.2 Функция Вигнера состояния кота Шрёдингера

5.4.3 Рассеяние электронного кота Шрёдингера атомами

Глава 6 Столкновение релятивистских волновых пакетов

6.1 Общие утверждения

6.2 Функции Вигнера

6.2.1 Определения

6.2.2 Функция Вигнера гауссова пакета

6.2.3 Функция Вигнера гауссова пучка

6.2.4 Функция Вигнера бесселева состояния

6.2.5 Функция Вигнера пакета с орбитальным моментом

6.2.6 Функция Вигнера пакета Эйри

6.2.7 Функция Вигнера пакета с произвольной фазой

6.2.8 Лоренц -инвариантные обобщения

6.3 Рассеяние вне приближения плоских волн

6.3.1 Эталонный случай: два пакета ^ плоские волны

6.3.2 Два пакета с фазами ^ плоские волны

6.3.3 Альтернативное представление вероятности

6.3.4 Обобщение для пучков

6.3.5 Первая поправка к плосковолновому сечению

6.3.6 Релятивистские обобщения

6.3.7 Пример КЭД: ее ^ е'е'

6.4 Эффекты фазы амплитуды рассеяния

6.4.1 Асимметрия рассеяния

6.4.2 Первый сценарий: нецентральное столкновение гауссовых пучков

6.4.3 Второй сценарий: столкновение пучков с фазами

6.5 Два пакета с фазами ^ два бесселева состояния

6.6 Формализм с инвариантной шириной пакетов

6.6.1 Общие формулы и функции Вигнера

6.6.2 Рассеяние закрученной частицы на незакрученной

6.6.3 Первая поправка к плосковолновому сечению

6.6.4 Пример: рассеяние 2 ^

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Эффекты негауссовости волновых пакетов в рассеянии и излучении»

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Современные ускорители частиц позволяют проверять теоретические модели фундаментальных взаимодействий с огромной точностью. Даже в рамках так называемой Стандартной модели взаимодействий, частью которой является квантовая электродинамика (КЭД), точный расчет физических процессов в высших порядках теории возмущений зачастую представляет собой технически сложную задачу, решаемую только с использованием современных компьютеров. Квантовые эффекты в излучении заряженных частиц во внешних электромагнитных полях и при рассеянии, либо аннигиляции частиц обычно связаны с квантовой отдачей, спиновым вкладом (эффекты переворота спина и самополяризации), а также вкладом диаграмм Фейнмана более высоких порядков. В то же время эффекты, связанные с волновой природой самих массивных частиц, в том числе эффекты конечных размеров волновых пакетов, обычно не проявляются при релятивистских энергиях в виду малой длины волны де Бройля и потому сравнительно слабо изучены в процессах излучения и рассеяния. Например, эффектов в общую интенсив-

ность излучения электрона во внешнем поле был получен в общем виде в работе [1], однако, детальных количественных предсказаний величины этих эффектов получено не было, по-видимому по причине того, что они могут быть заметны только в сравнительно малоинтересном нерелятивистском режиме.

Ситуация изменилась с созданием электронных микроскопов на энергию от 200-300 кэВ до 1 МэВ с непрерывным пучком и малым током. Для тока менее примерно 50 мкА расстояние между отдельными электронными пакетами может достигать 1-10 см и больше, поэтому волновые свойства отдельных электронных пакетов могут проявляться значительно сильнее, чем в банчирован-ном пучке ускорителя. По-сути такие электронные микроскопы предоставляют сегодня наилучшие возможности для экспериментальной проверки квантовых свойств самих частиц и, в частности, влияния расплывания и формы пакетов на различные физические процессы. Такие пучки электронов во многом аналогичны когерентным пучкам современных лазеров и потому предоставляют сходные возможности изучения эффектов квантовой оптики с массивными частицами (данное направление иногда называется оптикой частиц). Хотя различные пол-

ные наборы точных и приближенных решений волновых уравнений, описывающие волновые пакеты различной формы и обладающие различными квантовыми числами, известны сравнительно давно - см., например, [2-10], существенный прогресс в понимании возможностей манипулирования отдельными электронными пакетами был достигнут в серии теоретических работ К. Блиоха и др. в 2007 г. [11] и позднее [12-15], где авторы предложили схему генерации так называемых закрученных электронов с внутренним угловым моментом импульса относительно оси распространения, которые являются массивными аналогами закрученных фотонов [16, 17], полученных экспериментально около 25 лет на-Данная идея была реализована в 2010-2011 годах сразу тремя группами в Японии, Бельгии и США [18-20]. В 2013 г. были получены и другие виды электронных пакетов - так называемые пучки Эйри [21]. Существенной особенностью данных пакетов является отличие их формы от гауссовой: например, поперечный профиль закрученного состояния представляет собой "пончик"с минимумом по центру, а профиль

пучка Эйри п рбдст^в ЛЯ6Т собой произведение двух функций Эйри. В 2015 г. были также впервые получены закрученные холодные нейтроны с угловым моментом импульса [22]. Активно обсуждаются возможности генерации аналогичных квантовых состояний протонов и ионов.

Новые возможности экспериментов стимулировали теоретические исследования различных физических процессов с такими пакетами. В частности, было показано, что форма пакета и такие его квантовые числа как угловой момент импульса могут оказывать существенное влияние на процессы рассеяния таких электронов на атомах и других частицах, излучения в среде и во внешних полях, в том числе для энергий электронов несколько МэВ, т.е. в умерено релятивистском режиме. В данной работе мы разовьем релятивистские модели негауссовых волновых пакетов с упором на таковые с угловым моментом импульса и применим эти модели к расчету процессов рассеяния и излучения таких частиц.

что в ряде экспериментально реализуемых сценариев эффекты ширины и формы пакетов проявляются значительно сильнее, чем таковые от квантовой отдачи и спина и могут быть заметны невооруженным глазом, в том числе уже в древесном (борновском) приближении.

Цели диссертационной работы. Основные цели работы:

1. Исследовать квантовые состояния бозонов и фермионов с негауссовым профилем волнового пакета: прежде всего, «закрученных» частиц с угловым мо-

ментом импульса относительно оси распространения и пучков Эйри для свободных частиц и для таковых во внешнем поле плоской электромагнитной волны, а также оценить величину непараксиальных эффектов в последовательном релятивистском подходе к описанию волновых пакетов, в том числе в формализме функций Вигнера.

2. Разработать теоретическую модель для оценки влияния орбитального момента импульса «закрученного» электрона в процессах поляризационного излучения в неоднородных средах - прежде всего, для переходного излучения и большого углового момента - и указать оптимальные параметры для экспериментальной регистрации таких эффектов.

3. Разработать теоретическую модель для оценки влияния ширины и формы негауссовых пакетов заряженных частиц и их квантовых чисел на процессы рассеяния и аннигиляции, в том числе рассеяния электронов на атомах и на других частицах, а также оценить величину поправок к сечению рассеяния приближения плоских волн и проанализировать новые квантовые эффекты, возникающие благодаря этим поправкам, для реалистичных параметров.

Степень разработанности темы исследования. До первого экспериментального получения закрученных электронов в 2010 г. количество работ, посвященных влиянию размеров и формы волновых пакетов на физические процессы рассеяния и излучения было совсем небольшим - см., например, [23]. К числу таких работ относятся прежде всего работы Томской школы Багрова и др. по излучению во внешнем поле [1] и Новосибирской школы Сербо, Коткина и др. по излучению и рассеянию на коллайдерах [24-27]. В работах последней группы данные идеи были развиты в формализме функций Вигнера для учета размеров (в основном гауссовых) пучков и конечного импакт-параметра между пучками при столкновении, что тесно связано с так называемым МБ-эффектом, обнаруженным в начале 80 X годо в в Новосибирске [28].

Нам не известны последовательные теоретические модели для учета влияния негауссовой формы пакетов на физические процессы излучения и рассеяния, опубликованные до 2010 г. Первые такие расчеты рассеяния оптических закрученных фотонов на ультрарелятивистских электронах были 1,1,ровбдбны в 2010 году [29, 30]. В этих работах впервые проведено обобщение стандартно го плосковолнового формализма Б-матрицы для процесса с одной закрученной частицси« Данные идеи были р сЬЗ в и т ы дал се в работах [31-34], однако«I литтть

для частного случая закрученных состояний, описываемых как бесселев пучок [11, 12, 14]. Данная модель закрученного состояния является наиболее простой и содержит ограничения, поскольку бесселево состояние ненормируемо в бесконечном пространстве аналогично плоской волне. Как мы покажем в нашей работе, модель бесселева пучка не может использоваться для точного расчета величины непараксиальных эффектов и должна быть заменена на модель хорошо нормированного пакета, допускающего непараксиальное обобщение. Для этой цели мы проведем обобщение обычных параксиальных пучков Гаусса - Ла-герра [14] и проанализируем различия с аналогичными оптическими пучками.

Мы также проведем обобщение квантовой теории рассеяния, основанной на формализме Б-матрицы, для случая произвольного негауссового пакета и рассмотрим частные случаи процессов с гауссовыми пакетами, с закрученными пакетами, пучками Эйри и когерентными суперпозициями состояний, часто называемыми состояниями кота Шрёдингера. Для электронов такие суперпозиции могут быть созданы в самое ближайшее время, поскольку - как и закрученные электроны - они также представляют интерес для целей слабовозмущающей электронной микроскопии с нанометровым и субнанометровым разрешением

[35].

Методология и методы исследования. Традиционными методами исследования излучения является метод точных решений волновых уравнений [1-3], операторный метод Байера-Каткова [36] и формализм функций Вигне-ра [24], применимый также и для процессов рассеяния и аннигиляции. Следуя первому из упомянутых методов, мы получим несколько приближенных (параксиальных) и точных (непараксиальных) решений волновых уравнений, соответствующих негауссовым пакетам, также получим функции Вигнера таких состояний и разовьем общий формализм квантовой теории рассеяния для таких пакетов, следуя третьему подходу [24]. Мы будем использовать аппарат нерелятивистской и релятивистской квантовой механики и квантовой теории поля, квантовой оптики, классической и квантовой электродинамики, методы математической физики, а также методы численного интегрирования.

Научная новизна. Защищаемые положения. Б ОЛЫПсШ Ч^сЬСТЬ ИССЛ6 дований, изложенных в диссертации, проведена автором в Томском государственном университете в лаборатории Теоретической и математической физики Физического факультета в 2016-2020 г т. Часть результатов была получена в Томском политехническом университете в 2010-2013 ГГ. ^ сЬ в Институте

Ядерной физики общества Макса Планка (г. Гейдельберг, Германия) в 20132016 гг. Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми. На защиту

в ы носят ся •

1. Квантовые модели волновых пакетов массивных частиц с орбитальным моментом импульса относительно оси распространения и конечной квантовой неопре-деленност 1зЮ орбитального момента, являющиеся приближенными (параксиальными) и точными (непараксиальными) решениями уравнений Шрёдингера, Клейна-Гордона и Дирака в формализме обычных переменных переменных светового конуса. Аналогичные модели для пучков Эйри бесспиновых частиц. Собственные мультипольные моменты заряженных негауссовых пакетов.

2. Непараксиальные волновые пакеты - обобщенные пакеты Гаусса - Лагерра -массивных частиц с орбитальным моментом импульса относительно оси распространения, являющиеся точными решениями уравнений Шрёдингера, Клейна-Гордона и Дирака. Последовательное релятивистское описание волновых пакетов, понятие параксиальности пакета массивной частицы и порядок величины непараксиальных поправок к наблюдаемым, особенно для больших орбитальных моментов. Зависимость фазы Гуи массивных частиц от времени. Электромагнитное поле электронного пакета с орбитальным моментом импульса.

3. Квантовая модель бесселева пучка электрона с орбитальным моментом импульса относительно оси распространения в поле плоской электромагнитной волны. Обобщения "волковских"состояний электрона. Зависимость среднего углового момента закрученного электрона в поле лазерной волны от интенсивности последней.

4. Метод поляризационных токов и теоретическая модель для расчета поляризационного излучения и, в частности, переходного излучения от электрона с большим орбитальным моментом импульса для мишени конечной диэлектрической проницаемости с учетом частотной дисперсии. Анализ вклада интерференции полей заряда и магнитного момента электрона в общее выражение для излучаемой энергии и возможности выделения этого вклада для реалистичных экспериментальных параметров. Эффекты угловой асимметрии излучения, возникающие благодаря большому орбитальному моменту, для реалистичных мишеней.

и

5. Обобщение нерелятивистской квантовой теории рассеяния заряженных частиц на потенциалах и атомах на случай локализованных пакетов произвольной формы без расплывания. Результаты применения данной модели к гауссовым пакетам, закрученным пакетам с орбитальным угловым моментом и к когерентным суперпозициям последних для гауссова потенциала, потенциала Юкавы, одиночного атома водорода, макроскопической мишени из большого числа атомов и мезоскопической локализованной атомной мишени. Анализ влияния формы и квантовых чисел падающего пакета на угловое распределение упруго рассеянных электронов. Результаты исследования влияния деструктивной квантовой само-интерференции электронного пакета типа кота Шрёдингера, связанной с областями отрицательности соответствующей функции Вигнера пакета, на угловое распределение электронов, упруго рассеянных на атоме водорода.

6. Обобщение релятивистской квантовой теории рассеяния в формализме функций Вигнера на случай столкновения двух произвольных негауссовых пакетов под ненулевым импакт-параметром. Результаты исследования частных случаев гауссовых пакетов, закрученных пакетов с орбитальным моментом импульса, пучков Эйри. Параксиальные всюду положительные функции Вигнера ряда негауссовых пакетов, их свойства и сравнение с непараксиальным режимом. Результаты оценки поправок к сечению рассеяния приближения плоских волн в моделях с лоренц-неинвариантным и лоренц-инвариантным параметром разложения. Результаты исследования вклада общей фазы амплитуды рассеяния в обобщенное сечение процесса при столкновениях лептонов и адронов, зависимость этого вклада от квантовых состояний сталкивающихся частиц, от ширины пучков, от импакт-параметра, от энергии частиц и угла рассеяния.

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты диссертации представляют интерес для дальнейшего развития нерелятивистской и релятивистской квантовой механики, атомной физики, физики частиц и ядерной физики с различными видами волновых пакетов электронов, фотонов, нейтронов и других частиц (в т.ч. протонов и ионов) для развития методов квантовой оптики в физике частиц, в т.ч. для развития приложений и экспериментов с закрученными частицами, пучками Эйри, состояниями кота Шрёдингера и другими негауссовыми пакетами. Ряд предсказаний, сделанных в диссертации, может быть проверен на уже существующих установках - прежде всего, на электронных микроскопах, а также на ускорителях частиц. Весьма вероят-

но также развитие аналогичных технологий и методов манипуляции пакетами тяжслых честиц, tclkpix kclk ионы^ протоны и т.Д]^. Полученные в ^диссбртэ)! и количественные оценки эффектов негауссовости как правило относятся к реалистичным, достижимым в настоящее время экспериментальным параметрам или к таковым, достижение которых возможно в самые ближайшие годы.

Развитые методы и модели могут быть сравнительно легко обобщены и применены к другим видам негауссовых пакетов, а также к другим более сложным процессам излучения и рассеяния - например, в фоновых полях, отличных от поля плоской волны, что может быть полезно в том числе для физики ускорителей, физики электромагнитных излучений, физики частиц, астрофизических приложений. Развитый метод поляризационных токов представляет самостоятельную ценность для физики электромагнитных излучений, взаимодействия заряженных частиц с веществом и физики ускорителей, поскольку позволяет более адекватно описывать ряд процессов поляризационного излучения с учетом реалистичных свойств и параметров мишени.

Степень достоверности результатов работы. Достоверность результатов контролируется их внутренней согласованностью и совпадением в ряде частных случаев с результатами других авторов и, в частности, с результатами квантовой теории рассеяния в приближении плоских волн. Результаты получены на основе строгих методов квантовой механики, классической и квантовой электродинамики, атомной физики, квантовой оптики и математической физики.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертации докладывались на международном симпозиуме «Radiation from relativistic electrons in periodic structures» в 2009 г. (г. Звенигород) и в 2019 г. (г. Белгород), на международном рабочем совещании по спиновой физике высоких энергий «DSPIN» в 2011 г. и в 2017 г. (г. Дубна), на международной конференции «Charged and Neutral Particles Channeling Phenomena» в 2012 г. (г. Альгеро, Италия), на международном рабочем совещании «International Workshop on Strong Field Problems in Quantum Theory» в 2016 г. (г. Томск), на международном семинаре по Физике высоких энергий QUARKS-2018 (г. Валдай), на международной конференции «International Conference on New Frontiers in Physics» в 2018 г. (о. Крит, Греция), на международном мини-воркшопе «Advance Generation of THz and X-rays using compact accelerators» в 2019 г. (г. Москва), на международной конференции «International conference on optical angular momentum» в 2019

г. (г. Оттава, Канада), на международной конференции «European conference on atoms, molecules, and photons» в 2019 г. (г. Флоренция, Италия), а также на семинаре лаборатории «Фотон» Томского политехнического университета в 2009-2013 гг., на семинаре лаборатории Квантовой динамики и электродинамики института Ядерной физики общества Макса Планка в 2013 г. и в 2015 г. (г. Гейдельберг, Германия), на семинаре лаборатории Теоретической физики института Математики СО РАН в 2016 г. (г. Новосибирск) и др.

Публикации. Личный вклад автора. По теме диссертации опубликовано 23 работы, в том числе 22 статьи в журналах, включенных в Перечень рецензируемых научных изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук, на соискание ученой степени доктора наук (из них 19 статей в зарубежных научных журналах, входящих в Web of Science, включая журналы 1 квартиля, и 3 статьи в российских научных журналах, переводные версии которых входят в Web of Science), 1 статья в сборнике материалов конференции, XT рбДСТ^ВЛбН Н luIjNt в издании, входящем в Web of Science [37-59].

Все основные результаты, представленные в диссертации, получены либо лично автором, либо совместно с соавторами - А.П. Потылицыным, И.П. Ивановым, В.Г. Сербо и др. - при непосредственном участии автора. При выполнении всех работ с соавторами автор принимал активное участие как в постановке, так и в решении задач. Личный вклад автора заключался в постановке задач исследования, определении методов решения, в непосредственном решении задач, в том числе в проверке аналитических результатов, полученных соавторами, в численном моделировании на основе полученных аналитических моделей, в анализе полученных данных и подготовке публикаций по результатам исследования. Ряд аналитических и численных результатов в задаче о переходном излучении закрученного электрона с орбитальным моментом импульса был получен совместно с И.П. Ивановым. Расчёты процессов рассеяния волновых пакетов на атомах были проведены совместно с В.Г. Сербо, Г.Л. Коткиным и А. Суржиковым; расчеты процессов рассеяния релятивистских закрученных пакетов - совместно с В.Г. Сербо. Соавторы, принимавшие участие в отдельных исследованиях, представлены в списке основных публикаций диссертации. Все результаты, составляющие научные положения, выносимые на защиту, научную новизну и ценность диссертации получены автором лично.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, ше-

сти глав, заключения и библиографии из 244 наименований. Материал изложен на 308 ct р clh и цех у в ключ egt 46 рисунков и 1 таблицу.

Благодарности. Я благодарен своим соавторам - А.П. Потылицыну, И.П. Иванову, В.Г. Сербо и другим за многочисленные плодотворные обсуждения. Я глубоко признателен В.Г. Багрову, В.Г. Сербо и A.A. Тпщенко за постоянную поддержку, а также А. Ди Пиацца, A.A. Тищенко, В.Г. Багрову, И.О. Казинско-му, И.В. Горбунову, В.А. Бордовицыну, А.Ю. Трифонову и сотрудникам кафедр Квантовой теории поля и Теоретической физики ТГУ за многочисленные полезные дискуссии и конструктивную критику. Я также благодарен А. Ди Пиацца и К. Кайтелю за теплый прием во время моего пребывания в Институте Ядерной физики общества Макса Планка в Гейдельберге.

Квантовые волновые уравнения Шрёдингера, Клейна-Гордона, Дирака и др. имеют различные полные наборы ортогональных решений, простейшими из которых являются плоские и сферические волны. Плоские волны стационарные состояния с определенным импульсом р (рассматриваем для начала скалярный случай)

\р) (1)

используются в подавляющем большинстве задач при описании свободно распространяющихся частиц, как бозонов (в том числе безмассовых фотонов), так и фермионов. Так при столкновениях ультрарелятивистских пучков в современных ускорителях квантовые состояния частиц в пучках описываются плоскими волнами [60].

Сферические волны - стационарные состояния с определенным модулем импульса р, определенной величиной углового момента импульса' и его проекцией I на ось г

\р,',1) (2)

применяются чаще всего при описании систем с соответствующей симметрией в атомной и молекулярной физике, как правило при нерелятивистских энергиях.

Существуют также цилиндрические волны - стационарные состояния с определенной проекцией импульса рг та ось г, определенным модулем поперечного импульса р± и проекцией I момента импульса на ось г

\Рг ,Р±,1)- (3)

Произвольное квантовое состояние может быть представлено в видб л^и^ нейной суперпозиции одного из трёх приведенных состояний. Такие полные наборы встречаются уже при решении классических уравнений Максвелла, в особенности в параксиальном приближении при решении волнового уравнения Леонтовича-Фока, которое математически эквивалентно уравнению Шрёдингера. В частности цилиндрические электромагнитные волны используются при описании волноводов, оптических фиберов, в физике лазерных пучков и пр.

Однако до сравнительно недавнего времени использование цилиндрических волн в квантовой физике было несколько ограничено в виду отсутствия боль-

шого числа физических приложений. Пожалуй наиболее известным примером квантовых цилиндрических волн являются одночастичные квантовые состояния электрона в постоянном и однородном магнитном поле, называемые пакетами Гаусса - Лагерра, а также состояниями Ландау, см. например [61-63]. После работы Аллена и др. в 1992 г. [16] было осознанно, что цилиндрические волны могут описывать не только классические лазерные пучки, но и квантовые состояния отдельных свободно распространяющихся фотонов. В отличие от плоских волн такие фотоны оказываются «закрученными» - их волновая функция является собственной для оператора проекции орбитального момента импульса на направление распространения фотона Ькоторый в ^-представлении имеет вид (р =

д

Ьг =[Г X р]г = -1—. (4)

В отличие от плоской волны вектор Пойнтинга такого фотона не направлен вдоль оси распространения (т.е. направления переноса энергии), а описывает спиральную кривую (штопор) вокруг оси ^ по мере распространения фотона. Волновой фронт фотона соответственно также вращается, а пространственный профиль плотности вероятности в поперечной плоскости (или энергии пучка в случае многих фотонов) п рбдст^влябт собой пончик с минимумом по центру - см. например [14, 17] и ниже. Существует большое количество различных методов получения таких «закрученных» фотонов от радио- до мягкого рентгеновского диапазонов, включая пропускание лазерных фотонов через фазовую пластинку переменной толщины, дифракцию на решетках специального типа и др.

Хотя аналогичные «закрученные» состояния (цилиндрические волны) свободных массивных частиц известны в математической физике сравнительно давно (см. например [4]), всплеск интереса к этой теме возник после публикаций К. Блиоха и др. [11-15], где авторы предложили и объяснили механизмы получения свободно распространяющихся электронов с орбитальным угловым моментом (ОУМ) импульса относительно оси распространения. В 2010-2011 гг. данная идея была впервые реализованана экспериментально на пучках электронных микроскопов с кинетической энергией 300 кэВ сразу тремя группами в Японии, Бельгии и США [18-20]. В настоящее время уже получены неполя-ризованные электроны с орбитальным моментом I ~ 1000 [64], а минимальный размер пятна в фокальной плоскости, совпадающий по порядку величины с

поперечной длиной когерентности пакета, может составлять величину порядка 0.1 им [65].

Интерес к хорошо фокусированным пакетам, как фотонов, так и электронов, т.е. к пакетам с субнанометровой шириной или длиной поперечной когерентности, связан с их возможным использованием в атомной физике, поскольку ширина пакета всего в 2 раза превышает боровский радиус а ~ 0.053 нм. Интерес к большим значениям орбитального момента в свою очередь связан с

большим магнитным моментом такого электрона. Действительно: магнитный

р

- магнетон Бора - возникает благодаря собственному механическому моменту - спину. В отличие от последнего орбитальный момент может принимать сколь угодно большие значения в единицах постоянной Планка, и потому магнитный момент оказывается пропорциональным орбитальному моменту [12] и следовательно много больше магнетона Бора для I ^ 1. Грубо говоря, магнитный момент электрона с I ~ 1000 в 1000 раз больше такового для обычного «незакрученного» электрона, что имеет очевидные приложения в физике поверхности и магнитных материалов.

Помимо цилиндрических волн существуют и другие «неплосковолновые» решения волновых уравнений, простейшими из которых являются когерентные состояния (или гауссовы пучки, см. например [2, 4, 7, 8, 66]), сжатые состояния, состояния «кота Шрёдингера» и др. Важным подклассом таких состояний являются пакеты с негауссовым пространственным профилем, по крайней мере вблизи ЦбНТрО) • В 1979 г. было указано, что существует точное решение уравнения Шрёдингера в виде нерасплывающегося пучка Эйри [67], пространственный профиль которого в поперечной плоскости описывается двумерной функцией Эйри. Применительно к реальным волновым пакетам данное решение, как и плоские волны, является «модельным» - оно ненормируемо в бесконечном пространстве (функции Эйри не являются квадратично интегрируемыми), и энергия такого фотона формально равна бесконечности. В 2007 г. фотонные пучки Эйри были получены экспериментально, и одновременно было теоретически проведено пакетное обобщение «чистых» Эйри состояний, так что энергия пакета оказывается конечной [68, 69]. Волновая функция таких пакетов Эйри убывает по гауссу на расстояниях много больше средне-квадратичной ширины пакета, но с хорошей точностью описывается функцией Эйри вблизи центра пакета. В 2013 году были впервые экспериментально получены соответ-

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Карловец Дмитрий Валерьевич, 2021 год

Список литературы

[1] Bagrov V. G. Theory of spontaneous radiation by electrons in a trajectory-coherent approximation / V. G. Bagrov, V.V. Belov, A.Yu. Trifonov //J. Phys. A: Math Gen. - 1993. - Vol. 26. - P.6431 - 6449.

[2] Bagrov V. G. The Dirac Equation and Its Solutions. Vol. 4 / V. G. Bagrov, D. Gitman - Berlin: Walter de Gruyter GmbH к Co KG, 2014. - 441 p.

[3] Багров В.Г. Теория излучения релятивистских частиц / В.Г. Багров, Г.С. Бисноватый-Коган, В.А. Бордовицын, А.В. Борисов, О.Ф. Дорофеев, В.Ч. Жуковский, Ю.Л. Пивоваров, О.В. Шорохов, В.Я. Эпп. - М.: Физматлит, 2002. - 576 с.

[4] Bagrov V. Non-Volkov solutions for a charge in a plane wave / V. Bagrov, D. Gitman // Ann. Phys. (Berlin). - 2005. - Vol. 14. - P. 107-178.

[5] Bagrov V.G. New solutions of relativistic wave equations in magnetic fields and longitudinal fields / V.G. Bagrov, M.C. Baldiotti, D.M. Gitman, I.V. Shirokov // J. Math. Phys. - 2002. - Vol.43. - P.2284-2305.

[6] Bagrov V.G. Charged particles in crossed and longitudinal electromagnetic fields and beam guides / V.G. Bagrov, M.C. Baldiotti, D.M. Gitman //J. Math. Phys. - 2007. - Vol.48. - P.082305 (1-15).

[7] Bagrov V.G. Coherent states and related quantizations for unbounded motions / V.G. Bagrov, J.-P. Gazeau, D.M. Gitman, A.D. Levin // J. Phys. A: Math. Theor. - 2012. - Vol.45. - P.125306 (1-14).

[8] Багров В.Г. Когерентные и полуклассические состояния свободной частицы / В.Г. Багров, Д.М. Гитман, А.С. Перейра // УФН. - 2014. - Т. 184. -С.961 966.

[9] Dodonov V. V. Nonclassical field states in quantum optics and particle physics / V.V. Dodonov, I.M. Dremin, O.V. Man'ko, et al. //J. Russ. Laser Res. -1998. - Vol. 19. - P.427 - 463.

[10] Dodonov V. V. 'NonclassicaP states in quantum optics: a 'squeezed' review of the first 75 years //J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. - 2002. - Vol.4. -P.R1 R33.

[11] Bliokh K.Y. Semiclassical dynamics of electron wave packet states with phase vortices / K.Y. Bliokh, Y.P. Bliokh, S. Savel'ev, F. Nori // Phys. Rev. Lett. - 2007. - Vol.99. - P. 190404 (1-4).

[12] Bliokh K.Yu. Relativistic Electron Vortex Beams: Angular Momentum and Spin-Orbit Interaction / K.Yu. Bliokh, M.R. Dennis, F. Nori // Phys. Rev. Lett. - 2011. - Vol. 107. - P.174802 (1-5).

[13] Bliokh K. Electron Vortex Beams in a Magnetic Field: A New Twist on Landau Levels and Aharonov-Bohm States / K. Bliokh, P. Schattschneider, J. Verbeeck, F. Nori // Phys. Rev. X. - 2012. - Vol.2. - P.041011 (1-15).

[14] Bliokh K.Y. Theory and applications of free-electron vortex states / K.Y. Bliokh, I.P. Ivanov, G. Guzzinati, L. Clark, R. Van Boxem, A. Beched, R. Juchtmans, M.A. Alonso, P. Schattschneider, F. Nori,J. Verbeeck // Phys. Rep. - 2017. - Vol. 690. - P.l-70.

[15] Smirnova D. A. Relativistic spin-orbit interactions of photons and electrons / D.A. Smirnova, V.M. Travin, K.Y. Bliokh, F.Nori // Phys. Rev. A. - 2018. -Vol.97.-P.043840 (1-9).

[16] Allen L. Orbital angular momentum of light and the transformation of La guerre-Gaussian laser modes / L. Allen, M.W. Beijersbergen, R. J.C. Spreeuw, J. P. Woerdman // Phys. Rev. A. - 1992. - Vol.45. - P.8185-8189.

[17] Twisted photons. Applications of light with orbital angular momentum / edited by J. P. Torres and L. Torner. - Weinheim: WILEY-VCH, 2011. - 243 p.

[18] Uchida M. Generation of electron beams carrying orbital angular momentum / M. Uchida, A. Tonomura // Nature. - 2010. - Vol.464. - P.737-739.

[19] Verbeeck J. Production and application of electron vortex beams / J. Verbeeck, H. Tian, P. Schlattschneider // Nature. - 2010. - Vol.467. - P.301-304.

[20] McMorran B. J. Electron Vortex Beams with High Quanta of Orbital Angular Momentum / B. J. McMorran, A. Agrawal, I.M. Anderson, A. A. Herzing, H. J. Lezec, J. J. McClellan, J. Unguris // Science. - 2011. - Vol. 331. - P.192-195.

[21] Voloch-Bloch N. Generation of electron Airy beams / N. Voloch-Bloch, Y. Lereah, Y. Lilach, A. Gover, A. Arie // Nature. - 2013. - Vol.494. - P.331-335.

[22] Clark C.W. Controlling neutron orbital angular momentum / C.W. Clark, R. Barankov, M. G. Huber, et al. // Nature. - 2015. - Vol. 525. - P.504-507.

[23] Halliday I. G. Wave packets and the space-time structure of production processes / I. G. Halliday, R. R. Beever, C. J. Maxwell // Nucl. Phys. B. -1979. - Vol. 149. - P.61 - 89.

[24] Kotkin G. L. Processes with large impact parameters at colliding beams / G. L. Kotkin, V.G. Serbo, A. Schiller // Int. J. Mod. Phys. A. - 1992. - Vol.7. -P.4707 - 4745.

[25] Melnikov K. Physical mechanism of the linear beam size effect at colliders / K. Melnikov, G.L. Kotkin, V.G. Serbo // Phys. Rev. D. - 1996. - Vol.54. -P.3289 - 3295.

[26] Melnikov K. Processes with the T channel singularity in the physical region: Finite beam sizes make cross-sections finite / K. Melnikov, V. G. Serbo // Nucl. Phys. B. - 1997. - Vol.483. - P.67 - 82.

[27] Kotkin G.L. Beam-size effect at colliders and correlations of particles in a beam / G. L. Kotkin, V. G. Serbo // Phys. Rev. Spec. Topics - Accel. Beams. - 2004. - Vol.7. - P.101001-1 - 101001-12.

[28] Blinov A.E. Large impact-parameter cut-off in the process e+e- ^ e+e-Y / A. E. Blinov, A. E. Bondar, Yu. I. Eidelman, et al. // Phys. Lett. B. - 1982. -Vol.113.-P.423 - 426.

[29] Jentschura U.D. Generation of High-Energy Photons with Large Orbital Angular Momentum by Compton Backscattering / U.D. Jentschura, V. G. Serbo // Phys. Rev. Lett. - 2011. - Vol. 106. - P.013001 (1-4).

[30] Jentschura U. D. Compton upconversion of twisted photons: backscattering of particles with non-planar wave functions / U.D. Jentschura, V. G. Serbo // Eur. Phys. J. C. - 2011. - Vol. 71. - P.1571 (1-13).

[31] Ivanov I. P. Colliding particles carrying nonzero orbital angular momentum // Phys. Rev. D. - 2011. - Vol.83. - P.093001-1 - 093001-15.

[32] Ivanov I. P. Scattering of twisted particles: Extension to wave packets and orbital helicity / I. P. Ivanov, V.G. Serbo // Phys. Rev. A. - 2011. - Vol.84. - P.033804 (1-9).

[33] Ivanov I. P. Measuring the phase of the scattering amplitude with vortex beams // Phys. Rev. D. - 2011. - Vol.85. - P.076001-1 - 076001-10.

[34] Ivanov I. P. Creation of two vortex-entangled beams in a vortex-beam collision with a plane wave // Phys. Rev. A. - 2012. - Vol. 85. - P.033813-1 - 033813-4.

[35] Kruit P. Designs for a quantum electron microscope / P. Kruit, R. G. Hobbs, C-S. Kim, Y. Yang, V.R. Manfrinato, J. Hammer, S. Thomas, P. Weber, B. Klopfer, C. Kohstall, T. Juffmann, M.A. Kasevich, P. Hommelhoff, K.K. Berggren // Ultramicroscopy. - 2016. - Vol. 164. - P.31-45.

[36] Верестецкий В.В. Квантовая электродинамика / В.Б. Берестецкий, Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский - М.: Физматлит, 2006. - 720 с.

[37] Karlovets D.V. Generalized surface current method in the macroscopic theory of diffraction radiation / D.V. Karlovets, A.P. Potylitsyn // Phys. Lett. A. -2009. - Vol. 373. - P. 1988-1996.

[38] Карловен, Д.В. Дифракционное излучение от экрана конечной проводимости / Д.В. Карловец, А.П. Потылицын // Письма в ЖЭТФ. - 2009. -Т. 90. - С. 368-373.

[39] Карловец Д.В. О дуальном представлении в классической электродинамике // Успехи Физических Наук. - 2010. - Т. 180. - С. 851-858.

[40] Карловец Д.В. К теории поляризационного излучения в средах с резкими границами // ЖЭТФ. - 2011. - Т. 140. - С. 36-55.

[41] Karlovets D.V. Radiative polarization of electrons in a strong laser wave // Plivs. Rev. A. - 2011. - Vol.84. - P.062116 (1-12).

[42] Karlovets D.V. Electron with orbital angular momentum in a strong laser wave // Phys. Rev. A. - 2012. - Vol.86. - P.062102 (1-13).

[43] Ivanov I. P. Detecting transition radiation from a magnetic moment / I.P. Ivanov, D.V. Karlovets // Phys. Rev. Lett. - 2013. - Vol.110. - P.264801 (1-5).

[44] Ivanov I. P. Polarization radiation of vortex electrons with large orbital angular momentum / LP. Ivanov, D. V. Karlovets // Phys. Rev. A. - 2013. - Vol. 88. - P.043840 (1-15).

[45] Karlovets D.V. Gaussian and Airy wave packets of massive particles with orbital angular momentum // Phys. Rev. A. - 2015. - Vol.91, P.013847 (112); Erratum // Phys. Rev. A. - 2015. - Vol.92. - P.009901(E).

[46] Karlovets D.V. Scattering of wave packets on atoms in the Born approximation / D.V. Karlovets, G. L. Kotkin, and V. G. Serbo / / Phys. Rev. A. - 2015. - Vol.92. - P.052703 (1-8).

[47] Karlovets D. V. Probing phase of a scattering amplitude beyond the plane-wave approximation // Europhys. Lett. - 2016. - Vol. 116. - P.31001 (1-7).

[48] Karlovets D. V. Scattering of twisted electron wave packets by atoms in the Born approximation / D. V. Karlovets, G. L. Kotkin, V. G. Serbo, A. Surzhykov // Phys. Rev. A. - 2017. - Vol.95. - P.032703 (1-11).

[49] Karlovets D. V. Possibility to probe negative values of a Wigner function in scattering of a coherent superposition of electronic wave packets by atoms / D.V. Karlovets, V. G. Serbo // Phys. Rev. Lett. - 2017. - Vol. 119. - P.173601 (1-5).

[50] Karlovets D.V. Scattering of wave packets with phases //J. High Energy Phys. - 2017. - Vol.03. - P.049 (1-45).

[51] Karlovets D. Quantum scattering beyond the plane-wave approximation //J. Phys.: Conf. Series. - 2017. - Vol.938. - P.012031 (1-5).

[52] Karlovets D. Relativistic vortex electrons: Paraxial versus nonparaxial regimes // Phys. Rev. A. - 2018. - Vol.98. - P.012137 (1-11).

[53] Karlovets D. Intrinsic multipole moments of non-Gaussian wave packets / D. Karlovets, A. Zhevlakov // Phys. Rev. A. - 2019. - Vol.99. - P.022103 (1-6).

[54] Karlovets D. Dynamical enhancement of nonparaxial effects in the electromagnetic field of a vortex electron // Phys. Rev. A. - 2019. - Vol. 99.

- P.043824 (1-7).

[55] Karlovets D. On Wigner function of a vortex electron //J. Phys. A: Math. Theor. - 2019. - Vol. 52. - P.05LT01 (1-6).

[56] Karlovets D. Corrigendum: On Wigner function of a vortex electron // J. Phys. A: Math. Theor. - 2019. - Vol.52. - P.389501 (1-2).

[57] Afanasev A.V. Schwinger scattering of twisted neutrons by nuclei / A.V. Afanasev, D.V. Karlovets, V.G. Serbo // Phys. Rev. C. - 2019. - Vol.100.

- P.051601(R) (1-5).

[58] Karlovets D. Effects of the transverse coherence length in relativistic collisions / D.V. Karlovets, V.G. Serbo // Phys. Rev. D. - 2020. - Vol. 101. - P.076009 (1-18).

[59] Floettmann K. Quantum mechanical formulation of the Busch theorem / K. Floettmann, D. Karlovets // Physical Review A. - 2020. - Vol. 102, № 4. — P.043517 (1-5).

[60] Пескин M.E. Введение в квантовую теорию поля / М.Е. Пескин, Д.В. Шредер. - Ижевск: НИЦ «РХД», 2001. - 784 с.

[61] Ландау Л.Д. Квантовая механика (нерелятивистская теория) / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Физматлит, 2004. - 800 с.

[62] Sokolov A. A. The Quantum Theory of the Radiating Electron, IV / A.A. Sokolov, I.M. Ternov // Sov. Phys. JETP. - 1955. - Vol. 1. - P. 227-230.

[63] Sokolov A. A. Radiation from Relativistic Electrons / A.A. Sokolov, I.M. Ternov. Edited by C.W. Kilmister. - New York: American Institute of Physics Translation Series, 1986. - 312 p.

[64] Mafakheri E. Realization of electron vortices with large orbital angular momentum using miniature holograms fabricated by electron beam lithography / E. Mafakheri, A.H. Tavabi, P.-H. Lu, R. Balboni, F. Venturi, C. Menozzi, G.G. Gazzadi, S. Frabboni, A. Sit, R. E. Dunin-Borkowski, E. Karimi, V.Grillo // Appl. Phys. Lett. - 2017. - Vol. 110. - P.093113 (1-5).

[65] Verbeeck J. Atomic scale electron vortices for nanoresearch / J. Verbeeck, P. Schattschneider, S. Lazar, M. Stöger- Pollach, S. Löf Her / / Appl. Phys. Lett.

- 2011. - Vol.99. - P.203109 (1-3).

[66] Bagrov V. G. Coherent states of inverse oscillators and related problems / V. G. Bagrov, D. M. Gitman, E. S. Macedo, A. S. Pereira //J. Phys. A: Math. Theor. - 2013. - Vol.46. - P.325305 (1-13).

[67] Berry M.V. Nonspreading wave packets / M.V. Berry, N.L. Balazs // Am. J. Phys. - 1979. - Vol.47. - P.264-267.

[68] Siviloglou G. A. Accelerating finite energy Airy beams / G. A. Siviloglou, D. N. Christodoulides // Opt. Lett. - 2007. - Vol.32. - P.979-981.

[69] Siviloglou G. A. Observation of Accelerating Airy Beams / G. A. Siviloglou, J. Broky, A. Dogariu, D. N. Christodoulides // Phys. Rev. Lett. - 2007. - Vol. 99.

- P.213901 (1-4).

[70] Baumgartl J. Optically mediated particle clearing using Airy wavepackets / J. Baumgartl, M. Mazilu, K. Dholakia // Nature photonics. - 2008. - Vol.2.

- P.675-678.

[71] Burov A. Circular modes, beam adapters, and their applications in beam optics / A. Burov, S. Nagaitsev, Y. Derbenev // Phys. Rev. E. - 2002. - Vol.66. -P.016503 (1-13).

[72] Kim K.-J. Round-to-flat transformation of angular-momentum-dominated beams // Phys. Rev. Special Topics - Accelerators and Beams. - 2003. -Vol.6. - P. 104002 (1-6).

[73] Sun Y.-E. Generation of angular-momentum-dominated electron beams from a photoinjector / Y.-E. Sun, P. Piot, K.-J. Kim, N. Barov, S. Lidia, J. Santucci,

R. Tikhoplav, J. Wennerberg // Phys. Rev. Special Topics - Accelerators and Beams. - 2004. - Vol. 7. - P.123501 (1-7).

[74] Wigner E. On the quantum correction for thermodynamic equilibrium // Phys. Rev. - 1932. - Vol.40. - P.749-759.

[75] Bordovitsyn V.A. Angular momentum of synchrotron radiation / V.A. Bordovitsyn, O.A. Konstantinova, E.A. Nemchenko // Russ. Phys. J. - 2012. - Vol.55. - P. 11-52.

[76] Epp V. Angular momentum of radiation at axial channeling / V. Epp, J. Janz, M. Zotova // Nucl. Instrum. Meth. Phys. Res. B. - 2018. - Vol.436. - P.78-83.

[77] Bogdanov O.V. Probability of radiation of twisted photons by classical currents / O.V. Bogdanov, P.O. Kazinski, G.Yu. Lazarenko // Phys. Rev. A - 2018. - Vol.97. - P.033837 (1-27).

[78] Bogdanov O.V. Semiclassical probability of radiation of twisted photons in the ultrarelativistic limit / O.V. Bogdanov, P.O. Kazinski, G.Yu. Lazarenko // Phys. Rev. D - 2019. - Vol.99. - P. 116016 (1-29).

[79] Bogdanov O.V. Proposal for experimental observation of the twisted photons in transition and Vavilov-Cherenkov radiations / O.V. Bogdanov, P.O. Kazinski, G.Yu. Lazarenko // JINST - 2020. - Vol. 15. - P.CO 1052 (1-7).

[80] Silenko A. J. Relativistic Quantum Dynamics of Twisted Electron Beams in Arbitrary Electric and Magnetic Fields / A. J. Silenko, P. Zhang, L. Zou // Phys. Rev. Lett. - 2018. - Vol. 121. - P.043202 (1-7).

[81] Silenko A.J. Electric quadrupole moment and the tensor magnetic polarizability of twisted electrons and a potential for their measurements / A.J. Silenko, P. Zhang, L. Zou // Phys. Rev. Lett. - 2019. - Vol.122. -P.063201 (1-5).

[82] Bogoliubov N.N. Introduction to the theory of quantized fields / N. N. Bogoliubov, D. V. Shirkov. 3d edition. - New York: John Wiley & Sons, 1980. - 620 p.

[83] Gradshteyn I.S. Tables of integrals, series, and products / I. S. Gradshteyn, I.M. Ryzhik. 7th edition. - New York: Academic Press, 2007. - 1171 p.

[84] Ten Еуек J. H. Equivalence of null-plane and conventional quantum electrodynamics / J.H. Ten Eyck, F. Rohrlich // Phys. Rev. D. - 1974. -Vol.9. - P.2237-2245.

[85] Mandel L. Optical coherence and quantum optics / L. Mandel, E. Wolf. - New York: Cambridge University Press, 1995. - 896p.

[86] Wigner E. Ueber die Operation der Zeitumkehr in der Quantenmechanik // Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Goettingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. - 1932. - Vol. 1932. - P.546.

[87] Deng D. Propagation of radially polarized elegant light beams / D. Deng, Q. Guo, L. Wu, X. Yang //J. Opt. Soc. Am. B. - 2007. - Vol. 24. - P.636-643.

[88] Siegman A.E. Hermite-gaussian functions of complex argument as optical-beam eigenfunctions //J. Opt. Soc. Am. - 1973. - Vol.63. - P.1093-1094.

[89] Kostenbauder A. Eigenmode expansions using biorthogonal functions: complex-valued Hermite-Gaussians / A. Kostenbauder, Y. Sun, A.E. Siegman. // J. Opt. Soc. Am. A - 1997. - Vol. 14. - P.1780-1790.

[90] Akhmedov E. Kh. Paradoxes of neutrino oscillations / E. Kh. Akhmedov, A. Yu. Smirnov // Phys. Atom. Nucl. - 2009. - Vol. 72. - P. 1363 1381.

[91] Akhmedov E. Kh. Neutrino oscillations: quantum mechanics vs. quantum field theory / E. Kh. Akhmedov, J. Kopp //J. High Eenergy Phys. - 2010. - Vol. 04.

- P.008 (1-41).

[92] Naumov D. V. A diagrammatic treatment of neutrino oscillations / D.V. Naumov, V.A. Naumov //J. Phys. G: Nucl. Part. Phys. - 2010. -Vol.37. - P.105014 (1-24).

[93] Naumov V. A. Relativistic wave packets in the quantum field approach to the theory of neutrino oscillations / V. A. Naumov, D. V. Naumov. // Russ. Phys. J. - 2010. - Vol. 53. - P.549-574.

[94] Наумов Д.В. Измерение в\3, Amfi2 и ковариантная квантово-иолевая теория нейтринных осцилляций: дне. ...докт. физ.-мат. наук / Д.В. Наумов.

- Москва, 2017. - 324 с.

[95] O'Neil A. T. Intrinsic and Extrinsic Nature of the Orbital Angular Momentum of a Light Beam / A. T. O'Neil, I. MacVicar, L. Allen, M.J. Padgett // Phys. Rev. Lett. - 2002. - Vol.88. - P.053601 (1-4).

[96] Zambrini R. Quasi-Intrinsic Angular Momentum and the Measurement of Its Spectrum / R. Zambrini, S.M. Barnett // Phys. Rev. Lett. - 2006. - Vol.96. - P.113901 (1-4).

[97] Goldberger M.L. Collision theory. / M.L. Goldberger, K.M. Watson. New York-London-Sidney: John Wiley&Sons, 1964. - 919 p.

[98] Sztul H. I. The Poynting vector and angular momentum of Airy beams / H. I. Sztul, R. R. Alfano // Opt. Express. - 2008. - Vol. 16. - P.9411-9416.

[99] Torres J. P. Quantum spiral bandwidth of entangled two-photon states / J. P. Torres, A. Alexandrescu, L. Torner // Phys. Rev. A. - 2003. - Vol.68. -P.050301(R) (1-4).

[100] Miatto F.M. Bounds and optimisation of orbital angular momentum bandwidths within parametric down-conversion systems / F. M. Miatto, D. Giovannini, J. Romero, S. Franke-Arnold, S.M. Barnett, M.J. Padgett // Eur. Phys. J. D. - 2012. - Vol.66. - P.178 (1-6).

[101] Romero J. Increasing the dimension in high-dimensional two-photon orbital angular momentum entanglement / J. Romero, D. Giovannini, S. FrankeArnold, S.M. Barnett, M.J. Padgett // Phys. Rev. A. - 2012. - Vol.86. -P.012334 (1-6).

[102] Carruthers P. Phase and angle variables in quantum mechanics / P. Carruthers, M.M. Nieto // Rev. Mod. Phys. - 1968. - Vol.40. - P. 111440.

[103] Barnett S.M. Quantum theory of rotation angles / S.M. Barnett, D.T. Pegg // Phys. Rev. A. - 1990. - Vol.41. - P.3427-3435.

[104] Franke-Arnold S. Uncertainty principle for angular position and angular momentum / S. Franke-Arnold, S. M. Barnett, E. Yao, J. Leach, J. Courtial, M. Padgett // New J. Phys. - 2004. - Vol.6. - P.103 (1-8).

[105] Jack B. Demonstration of the angular uncertainty principle for single photons/ B. Jack, P. Aursand, S. Franke-Arnold, D.G. Ireland, J. Leach, S.M. Barnett, M.J. Padgett // J. Opt. - 2011. - Vol. 13. - P.064017 (1-6).

[106] Fedotov A.M. Exact analytical expression for the electromagnetic field in a focused laser beam or pulse / A. M. Fedotov, K. Yu. Korolev, M. V. Legkov // Proc. SPIE. - 2007. - Vol.6726. - P.672613 (1-6).

[107] Berry M. V. Optical currents // J. Opt. A: Pure Appl. Opt. - 2009. - Vol. 11.

- P.094001 (1-12).

[108] Mair A. Entanglement of the orbital angular momentum states of photons / A. Mair, A. Vaziri, G. Weihs, A. Zeilinger // Nature. - 2001. - Vol.412. -P.313-316.

[109] Liu M. Light-driven nanoscale plasmonic motors / M. Liu, T. Zentgraf, Y. Liu, G. Bartal, X. Zhang // Nature Nanotechnology. - 2010. - Vol. 5. - P.570-573.

[110] A. Chong. Airy-Bessel wave packets as versatile linear light bullets / A. Chong, W. H. Renninger, D.N. Christodoulides, F.W. Wise // Nature Photonics. -2010. - Vol.4. - P.103-106.

[111] Moss R. E. The electric quadrupole moments of one-electron atoms / R.E. Moss, I. A. Sadler // J. Phys. B: At. Mol. Phys. - 1986. - Vol.19. -P.L503-L506 (1986).

[112] Harrison J. F. Dipole and quadrupole moment functions of the hydrogen halides HF, HC1, IIBr. and HI: A Hirshfeld interpretation //J. Chem. Phys.

- 2008. - Vol. 128. - P. 114320 (1-12).

[113] M. Serra-Garcia. Observation of a phononic quadrupole topological insulator / M. Serra-Garcia, V. Peri, R. Susstrunk, O.R. Bilal, T. Larsen, L. G. Villanueva, S.D. Huber // Nature. - 2018. - Vol.555. - P.342-345.

[114] Lembessis V. E. Enhanced Quadrupole Effects for Atoms in Optical Vortices / V. E. Lembessis, M. Babiker // Phys. Rev. Lett. - 2013. - Vol. 110. - P.083002 (1-5); Schmiegelow C.T. Transfer of optical orbital angular momentum to a bound electron / C.T. Schmiegelow, J. Schulz, H. Kaufmann, T. Ruster, U.G.

Poschinger, F. Schmidt-Kaler // Nature Communications. - 2016. - Vol. 7. -P.12998 (1-6).

[115] Grillo V. Observation of nanoscale magnetic fields using twisted electron beams / V. Grillo, T. R. Harvey, F. Venturi, J.S. Pierce, R. Balboni, F. Bouchard, G.C. Gazzadi, S. Frabboni, A.H. Tavabi, Z.-A. Li, R.E. Dunin-Borkowski, R.W. Boyd, B.J. McMorran, E. Karimi // Nature Communications. - 2017. - Vol.8. - P.689 (1-6).

[116] Lloyd S.M. Electromagnetic Vortex Fields, Spin, and Spin-Orbit Interactions in Electron Vortices / S. M. Lloyd, M. Babiker, J. Yuan, and C. Kerr-Edwards // Phys. Rev. Lett. - 2012. - Vol. 109. - P.254801 (1-4).

[117] Venturi F. Phase retrieval of an electron vortex beam using diffraction holography / F. Venturi, M. Campanini, G.C. Gazzadi, et al. // Appl. Phys. Lett. - 2017. - Vol. 111. - P.223101 (1-5).

[118] Kowalski K. Salpeter equation and probability current in the relativistic Hamiltonian quantum mechanics / K. Kowalski, J. Rembielinski // Phys. Rev. A. - 2011. - Vol. 84. - P.012108 (1-11).

[119] Bialynicki-Birula I. Photon wave function // Progr. Opt. - 1996. - Vol.36. -P.245-294.

[120] Particle Data Group. Review of particle physics // Chinese Physics C. - 2016. -Vol.40.-P.100001 (1-1808).

[121] Bialynicki-Birula I. Relativistic electron wave packets carrying angular momentum / I. Bialynicki-Birula, Z. Bialynicka-Birula // Phys. Rev. Lett. - 2017. - Vol. 118. - P.114801 (1-4).

[122] Krenn M. On small beams with large topological charge: II. Photons, electrons and gravitational waves / M. Krenn, A. Zeilinger // New J. Phys. - 2018. -Vol.20. - P.063006 (1-9).

[123] Van Boxem R. Spin effects in electron vortex states / R. Van Boxem, J. Verbeeck, and B. Partoens // Europhys. Lett. - 2013. - Vol. 102. - P.40010 (pl-p6).

[124] Barnett S. M. Relativistic electron vortices // Phys. Rev. Lett. - 2017. -Vol.118. - P.114802 (1-4).

[125] Landau L. D. The Classical Theory of Fields./ L. D. Landau, E. M. Lifshitz. -Oxford: Pergamon, 1975. - 402 p.

[126] Smith S.J. Visible light from localized surface charges moving across a grating / S.J. Smith, E.M. Purcell // Phys. Rev. - 1953. - Vol.92. - P.1069.

[127] The Extreme Light Infrastructure (ELI) project: www.eli-laser.eu (2012).

[128] Nerush E.N. Laser Field Absorption in Self-Generated Electron-Positron Pair Plasma / E.N. Nerush, I.Yu. Kostyukov, A.M. Fedotov, et al. // Phys. Rev. Lett. - 2011. - Vol. 106. - P.035001 (1-4);

[129] Elkina N.V. QED cascades induced by circularly polarized laser fields / N.V. Elkina, A.M. Fedotov, I.Yu. Kostyukov, et al. // Phys. Rev. ST Accel. Beams.

- 2011. - Vol. 14. - P.054401 (1-12).

[130] Bulanov S.S. Schwinger Limit Attainability with Extreme Power Lasers /S.S. Bulanov, T.Zh. Esirkepov, A.G.R. Thomas, et al. // Phys. Rev. Lett. - 2010. -Vol.105.-P.220407 (1-4).

[131] Di Piazza A. Extremely high-intensity laser interactions with fundamental quantum systems / A. Di Piazza, C. Müller, K.Z. Hatsagortsyan, C.H. Keitel // Rev. Mod. Phys. - 2012. - Vol.84. - P.1177-1228.

[132] Leary G.G. Self-spin-controlled rotation of spatial states of a Dirac electron in a cylindrical potential via spin-orbit interaction / G.G. Leary, D. Reeb, M.G. Raymer // New J. Phys. - 2008. - Vol. 10. - P.103022 (1-23).

[133] Ouyang. P. Dirac Particles in Twisted Tubes / P. Ouyang, V. Mohta, R.L. Jaffe // Ann. Phys. (New York). - 1999. - Vol. 275. - P.297-313.

[134] Ritus V.l. Quantum effects of the interaction of elementary particles with an intense electromagnetic field //J. Sov. Laser Res. - 1985. - Vol. 6. - P. 497-617.

[135] Skoromnik O.D. Collapse-and-revival dynamics of strongly laser-driven electrons / O.D. Skoromnik, I.D. Feranchuk, C.H. Keitel // Phys. Rev. A

- 2013. - Vol.87. - P.052107 (1-9).

[136] The Vulcan laser: www.clf.rl.ac.uk.

[137] Нарожный Н.Б. Квантовые процессы в двухмодовом лазерном поле / Н.Б. Нарожный, М.С. Фофанов // ЖЭТФ. - 2000. - Т. 117, №3. - с. 476-488.

[138] Fedotov A.M. Exact analytical expression for the electromagnetic field in a focused laser beam or pulse / A.M. Fedotov, K.Yu. Korolev, M.V. Legkov // Proc. SPIE. - 2007. - Vol.6726. - P.672613 (1-10).

[139] The angular momentum of light. / edited by D.L. Andrews and M. Babiker.

- New-York: Cambridge University Press, 2013. - 425 p.

[140] Бордовпцын В.А. Спиновый свет / В.А. Бордовицын, И.М. Тернов, В.Г. Багров // УФН. - 1995. - Т. 165, №9. - с.1083-1094.

[141] Hand L.N. Quantum mechanical calculation of electron spin flip in a helical undulator / L.N. Hand, A. Skuja // Phys. Rev. ST Accel. Beams. - 2012. -Vol.15. - P.010701 (1-7).

[142] Gover A. Superradiant Spin-Flip Radiative Emission of a Spin-Polarized Free-Electron Beam / Phys. Rev. Lett. - 2006. - Vol.96. - P.124801 (1-4).

[143] Gover A. Spin-polarized free electron beam interaction with radiation and superradiant spin-flip radiative emission / Phys. Rev. ST - Accel. Beams. -2006. - Vol.9. - P.060703 (1-11).

[144] Assmann R.W. Polarization Issues at CLIC / R.W. Assmann, F. Zimmermann // CERN SL-2001-064-AP, CLIC Note 501. - 2001. - P.l-12. - http: clic-study. web.cern.ch/CLIC-study/Publications/2001.html.

[145] Bailey I.R. Future Sources of Polarised Positrons // Cockcroft-08-05. - 2008.

- P.l-12. - www.cockcroft.ac.uk/research/papers2008.htm.

[146] Clendenin J.E. Polarized electron sources // Proc. РАС. - 1996. - Vol.2. -P.877-881.

[147] Amusia M. Ya. «Atomic Bremsstrahlung»: Retrospectives, current status and perspectives // Rad. Phys. Chem. - 2006. - Vol.75. - P. 1232-1250.

[148] Пафомов В.Е. Излучение заряженной частицы при наличии границ раздела // Труды ФИАН. - 1969. - Т. 44. - С. 28-167.

[149] Гинзбург B.J1. Переходное излучение и переходное рассеяние (некоторые вопросы теории) / B.J1. Гинзбург, В.Н. Цытович. - М.: Наука, 1984. - 360 с.

[150] Казанцев А.П. Излучение заряженной частицы, пролетающей вблизи металлического экрана / А.П. Казанцев, Г.И. Сурдутович // ДАН СССР. -1962.-Т. 1476, №1. - С.74-78.

[151] Карловец Д.В. К теории дифракционного излучения / Д.В. Карловец, А.П. Потылицын // ЖЭТФ. - 2008. - Т. 134. - С.887-902.

[152] van den Berg P.M. Diffraction radiation from a charge moving past an obstacle / P.M. van den Berg, A.J.A. Nicia // J. Phys. A: Math. Gen. - 1976. - Vol.9. - P. 1133-1144.

[153] Гилинский И.А. Электромагнитные поверхностные явления. - Новосибирск: Наука, 1990. - 141 с.

[154] Shestopalov V.P. The Smith-Purcell effect. - New York: Nova Science Publ., 1998. - 473 p.

[155] van den Berg P.M. Smith-Purcell radiation from a point charge moving parallel to a reflection grating //J. Opt. Soc. Am. - 1973. - Vol. 63. - P. 1588-1597.

[156] Kube G. Calculation of Smith-Purcell radiation from a volume strip grating // Nucl. Instrum. Meth. B. - 2005. - Vol. 227. - P. 180-190.

[157] Potylitsyn A.P. Diffraction radiation from relativistic particles / A.P. Potylitsyn, M.I. Ryazanov, M.N. Strikhanov, A.A. Tishchenko. - BerlinHeidelberg: Springer, 2010. - 278 p.

[158] Durand L. Transition radiation from ultrarelativistic particles // Phys. Rev. D.- 1975.-Vol. 11.-P. 89-105.

[159] Рязанов М.И. Дифракционное излучение быстрой частицы на резонансной частоте // ЖЭТФ. - 2005. - Т. 127. - с. 528-535.

[160] Топтыгин И.Н. Современная электродинамика. Т. 2. - Москва-Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2005. - 848 с.

[161] Болотовский Б.М. Теория эффекта Вавилова—Черенкова (III) // УФН. -1961.-Т. 75. - С. 295-350.

[162] Zrelov V.P. Calculations of threshold characteristics of Vavilov-Cherenkov radiation emitted by ultrarelativistic particles in a gaseous Cherenkov counter / V.P. Zrelov, M. Klimanova, V.P.Lupiltsev, et al. // Nucl. Instrum. Meth. -1983. - Vol.215. - P. 141-146.

[163] Рязанов М.И. Электродинамика конденсированного вещества. - М.: Наука, 1984. - 303 с.

[164] Ландау Л.Д. Электродинамика сплошных срб^л^ / Л.Д. Ландау, Е.М. Лиф-шиц. - М.: Физматлит, 2005. - 656 с.

[165] Тер-Микаелян М.Л. Влияние среды на электромагнитные процессы при высоких энергиях. - Ереван: Изд. АН Арм. ССР, 1969. - 457 с.

[166] Гарибян Г.М. Рентгеновское переходное излучение / Г.М. Гарибян, Ян Ши. - Ереван: Изд. АН Арм. ССР, 1983. - 320 с.

[167] Днестровский Ю.Н. Излучение ультрарелятивистских зарядов при пролете через круглое отверстие в экране / Ю.Н. Днестровский, Д.П. Костомаров // ДАН СССР. - 1959. - Т. 124. - С. 1026-1029.

[168] Болотовский Б.М. Дифракция и дифракционное излучение / Б.М. Болотовский, Е.А. Галстьян // УФН. - 2000. - Т. 170. - С. 809-830.

[169] Xiang D. Wake of a beam passing through a diffraction radiation target / D. Xiang, W.-H. Huang, Y.-Z. Lin, et al. // Phys. Rev. ST Accel. Beams. - 2008. -V. 11.-P.024001 (1-11).

[170] Brownell J.H. Spontaneous Smith-Purcell radiation described through induced surface currents / J.H. Brownell, J. Walsh, G. Doucas // Phys. Rev. E. - 1998. -V. 57.-P. 1075-1080.

[171] Kesar A.S. Smith-Purcell radiation from a charge moving above a finite-length grating // Phys. Rev. ST Accel. Beams. - 2005. - V.8. - P. 072801 (1-7).

[172] Карловец Д.В. Новые методы в теории переходного и дифракционного излучения заряженных частиц, д^ис. ...канд]^. физ.-мат. наук / Д.В. Карловец.

- Томск, 2008. - 141 с.

[173] Blackmore V. First measurements of the longitudinal bunch profile of a 28.5 GeV beam using coherent Smith-Purcell radiation / V. Blackmore, G. Doucas, C. Perry, et al. // Phys. Rev. ST Accel. Beams. - 2009. - V. 12 - P. 032803 (1-12).

[174] Tishchenko A.A. Diffraction radiation from an ultrarelativistic charge in the plasma frequency limit / A.A. Tishchenko, A.P. Potylitsyn, M.N. Strikhanov // Phys. Rev. E. - 2004. - V. 70. - P. 066501 (1-6).

[175] Tishchenko A.A. X-ray diffraction radiation in conditions of Cherenkov effect / A.A. Tishchenko, A.P. Potylitsyn, M.N. Strikhanov // Phys. Lett. A. - 2006.-V. 359. - P. 509-511.

[176] Shul'ga N.F. Transition radiation on semi-infinite plate and Smith-Purcell effect / N.F. Shul'ga, V.V. Syshchenko //J. Phys.: Conf. Ser. - 2010.- V. 236.

- P. 012010 (1-5).

[177] Lobanov A. Spin light of neutrino in matter and electromagnetic fields / A. Lobanov, A. Studenikin // Phys. Lett. B. - 2003. - Vol. 564. - P.27-34.

[178] Grigoriev A. Spin light of the electron in dense matter / A. Grigoriev, S. Shinkevich, A. Studenikin, et al. // Grav. & Cosm. - 2008. - Vol. 14. -P.248-255.

[179] Sakuda M. Proposed Method to Measure the Neutrino Magnetic Moment / Phys. Rev. Lett. - 1994. - Vol. 72. - P.804-807.

[180] Sakuda M. Transition Radiation of the Neutrino Magnetic Moment / M. Sakuda, Y. Kurihara // Phys. Rev. Lett. - 1995. - Vol. 74. - P.1284-1287.

[181] Франк И.M. Излучение Вавилова-Черенкова для электрических и магнитных мультиполей // УФН. - 1984. - Т. 27. - Р.251-276.

[182] Belomestnykh S.A. An Observation Of The Spin Dependence Of Synchrotron Radiation Intensity / S. A. Belomestnykh, A. E. Bondar, M.N. Egorychev, et al. // Nucl. Instrum. Meth. A. - 1984. - Vol.227. - P.173-181.

[183] D. Dutta. Feasibility of a spin light polarimeter at JLab //J. Phys. Conf. Ser.

- 2011. - Vol. 295. - P.012141 (1-6).

[184] Potylitsyn A. P. Transition radiation and diffraction radiation. Similarities and differences / Nucl. lustrum. Meth. Phys. Res. В - 1998. - Vol. 145. - P. 109-179.

[185] Коньков А. С. Интерференция полей переходного излучения электрического заряда и магнитного момента / А.С. Коньков, А.П. Потылицын,

B.А. Сердюцкий // Известия Вузов. Физика. - 2011. - Т. 54, №11. - С.68-73.

[186] Konkov A. S. Transition radiation of electrons with orbital angular momentum / A.S. Konkov, A.P. Potylitsyn, M.S. Polonskaya // Письма в ЖЭТФ. - 2014.

- Т. 100, №7-8. - С.475-479.

[187] Рязанов М. И. Пределы применимости макроскопической теории переходного излучения // Письма в ЖЭТФ. - 1984. - Т. 39, №12. - С.569-571.

[188] Rakic A. D. Algorithm for the determination of intrinsic optical constants of metal films: application to aluminum // Appl. Optics. - 1995. - Vol. 34. -P.4755-4767.

[189] Boersch H. Experimental detection of transition radiation / H. Boersch,

C. Radeloff, G. Sauerbrey // Phys. Rev. Lett. - 1961. - Vol. 7. - P.52-54.

[190] Matula O. Radiative capture of twisted electrons by bare ions / O. Matula,

A. G. Hayrapetyan, V. G. Serbo, A. Surzhykov, S. Fritzsche // New J. Phys.

- 2014. - Vol. 16. - P.053024-1 - 053024-11.

[191] Van Boxem R. Rutherford scattering of electron vortices / R. Van Boxem,

B. Partoens, and J. Verbeeck // Phys. Rev. A. - 2014. - Vol. 89. - P. 032715-1

- 032715-9.

[192] Van Boxem R. Inelastic electron-vortex-beam scattering / R. Van Boxem, B. Partoens, and J. Verbeeck // Phys. Rev. A. - 2015. - Vol.91. - P.032703-1

- 032703-13.

[193] Serbo V. G. Scattering of twisted relativistic electrons by atoms / V.G. Serbo, I. Ivanov, S. Fritzsche, D. Seipt, A. Surzhykov // Phys. Rev. A. - 2015. -Vol.92. - P.012705-1 - 012705-12.

[194] Zaytsev V. A. Radiative recombination of twisted electrons with bare nuclei: Going beyond the Born approximation / V. A. Zaytsev, V. G. Serbo, V.M. Shabaev // Phys. Rev. A. - 2017. - Vol.95. - P.012702-1 - 0127028.

[195] Kosheleva V. P. Elastic scattering of twisted electrons by an atomic target: Going beyond the Born approximation / V. P. Kosheleva, V. A. Zaytsev, A. Surzhykov, V. M. Shabaev, Th. Stöhlker // Phys. Rev. A. - 2018. - Vol. 98.

- P.022706-1 - 022706-7.

[196] Groshev M. E. Bremsstrahlung from twisted electrons in the field of heavy nuclei / M.E. Groshev, V.A. Zaytsev, V. A. Yerokhin, V.M. Shabaev, Phys. Rev. A. - 2020. - Vol. 101. - P.012708-1 - 012708-6.

[197] Taylor J.R. Scattering theory: The quantum theory of nonrelativistic collisions.

- New-York: John Wiley & Sons, 1972. - 477 p.

[198] Salvat F. Analytical Dirac-Hartree-Fock-Slater screening function for atoms (Z = 1 — 92) / F. Salvat, J. D. Martinez, R. Mayol, and J. Parellada // Phys. Rev. A. - 1987. - Vol. 36. - P.467 - 472.

[199] Salvat F. Elastic scattering of fast electrons and positrons by atoms // Phys. Rev. A. - 1991. - Vol.43. - P.578 - 581.

[200] Sarkadi L. Loss of wave-packet coherence in ion-atom collisions / L. Sarkadi, I. Fabre, F. Navarrete, R. O. Barrachina // Phys. Rev. A. - 2016. -Vol. 93. -P.032702-1 - 032702-6.

[201] Schulz M. The Role of Projectile Coherence in the Few-Body Dynamics of Simple Atomic Systems // Advances in Atomic, Molecular, and Optical Physics. - 2017. - Vol.66. - P.507-1 - 507-37.

[202] Ourjoumtsev A. Generation of optical "Schrödinger cats "from photon number states / A. Ourjoumtsev, H. Jeong, R. Tualle-Brouri, et al. // Nature. - 2007. -Vol.448.-P. 784-786.

[203] Laiho K. Probing the Negative Wigner Function of a Pulsed Single Photon Point by Point / K. Laiho, K.N. Cassemiro, D. Gross, et al. // Phys. Rev. Lett. - 2010. - Vol. 105. - P.253603-1 - 253603-4.

[204] Douce T. Direct measurement of the biphoton Wigner function through two-photon interference / T. Douce, A. Eckstein, S. P. Walborn, et al. // Scientific Reports. - 2013. - Vol. 3. - P.3530-1 - 3530-6.

[205] Lee N. Teleportation of Nonclassical Wave Packets of Light / N. Lee, H. Benichi, Y. Takeno, et al. // Science. - 2011. - Vol. 332. - P.330 - 333.

[206] McConnell R. Entanglement with negative Wigner function of almost 3000 atoms heralded by one photon / R. McConnell, H. Zhang, J. Hu, et al. // Nature. - 2015. - Vol. 519. - P.439-442.

[207] Fischer U. R. "Photonic" Cat States from Strongly Interacting Matter Waves / U. R. Fischer, M.-K. Kang // Phys. Rev. Lett. - 2015. - Vol. 115. - P.260404-1

- 260404-6.

[208] Mirhosseini M. Wigner Distribution of Twisted Photons / M. Mirhosseini, O. S. Magana-Loaiza, C. Chen, et al. // Phys. Rev. Lett. - 2016. - Vol. 116. -P.130402-1 - 130402-6.

[209] Pohl D. Atom size electron vortex beams with selectable orbital angular momentum / D. Pohl, S. Schneider, P. Zeiger, et al. // Scientific Reports.

- 2017. - Vol. 7. - P.934-1 - 934-8.

[210] Elitzur A.C. Quantum Mechanical Interaction-Free Measurements /

A. C. Elitzur, L. Vaidman // Found. Phys. - 1993. - Vol. 23. - P.987 - 997.

[211] Case W. B. Wigner functions and Weyl transforms for pedestrians // Am. J. Phys. - 2008. - Vol. 76. - P.937 - 946.

[212] Jullien T. Quantum tomography of an electron / T. Jullien, P. Roulleau,

B. Roche, et al. // Nature. - 2014. - Vol. 514. - P.603-607.

[213] West G.B. Coulomb Interference in High-Energy Scattering / G.B. West, D. R. Yennie // Phys. Rev. - 1968. - Vol. 172. - P. 1113 - 1422.

[214] Cudell J.-R. How Precisely Will the Total Cross Section Be Measured at the Large Hadron Collider? / J.-R. Cudell, O.V. Selyugin // Phys. Rev. Lett. -2009. - Vol. 102. - P.032003-1 - 032003-4.

[215] Selyugin O.V. The effects of the small-t properties of hadronic scattering amplitude on the determination of its real part // Mod. Phys. Lett. A. -2012. - Vol. 27. - P.1250113-1 - 1250113-14.

[216] Selyugin O.V. GPDs of the nucleons and elastic scattering at high energies // Eur. Phys. J. C. - 2012. - Vol. 72. - P.2073-1 - 2073-9.

[217] Дрём ни И.М. Упругое рассеяния адронов / / УФН. - 2013. - Т. 183. - С.З

32.

[218] Дрёмин И.М. Область взаимодействия протонов высоких энергий // УФН.

- 2015. - Т. 185. - С.65 - 76.

[219] Antchev G. Luminosity-independent measurements of total, elastic and inelastic cross-sections at y/S = 7 TeV / G. Antchev, P. Aspell, I. Atanassov, et al. (TOTEM Collab.) // Europhys. Lett. - 2013. - Vol.101. - P.21004-pl

- 21004-p5 (2011).

[220] Antchev G. Measurement of elastic pp scattering at y/S = 8 TeV in the Coulomb-nuclear interference region: determination of the p-parameter and the total cross-section / G. Antchev, P. Aspell, I. Atanassov, et al. (TOTEM Collab.) // Eur. Phys. J. С - 2016. - Vol.76. - P.661-1 - 661-21.

[221] Dremin I.M. Elastic pp-scattering at y/S = 7 TeV with the genuine Orear regime and the dip / I. M. Dremin, V. A. Nechitailo // Phys. Rev. D. - 2012.

- Vol.85. - P.074009-1 - 074009-5.

[222] Ivanov I. P. Elastic scattering of vortex electrons provides direct access to the Coulomb phase / LP. Ivanov, D. Seipt, A. Surzhykov, S. Fritzsche // Phys. Rev. D. - 2016. - Vol.94. - P.076001-1 - 076001-15.

[223] Shin G. R. Wigner function of relativistic spin-1/2 particles / G.R. Shin, I. Bialynicki-Birula, J. Rafelski // Phys. Rev. A. - 1992. - Vol. 46. - P.645-647.

[224] Bialynicki-Birula I. Relativistic Wigner functions / EPJ Web of Conferences.

- 2014. - Vol. 78. - P.OlOOl-pl - 01001-p7.

[225] de Groot S. R. Foundations of electrodynamics / S. R. de Groot, L.G. Suttorp.

- Amsterdam: North-Holland, 1972. - 547 p.

[226] Alonso M. A. Wigner functions in optics: describing beams as ray bundles and pulses as particle ensembles // Adv. Opt. Phot. - 2011. - Vol.3. - P.272 -365.

[227] Singh R. P. Wigner distribution of an optical vortex / R. P. Singh, S. Roychowdhury, V. K. Jaiswal //J. Mod. Opt. - 2006. - Vol. 53. - P.1803 -1808;

[228] Singh R. P. Non-axial nature of an optical vortex and Wigner function / R. P. Singh, S. Roychowdhury, V. K. Jaiswal // Opt. Commun. - 2007. -Vol. 274. - P.281 - 285.

[229] Chen R. P. Wigner distribution function of an Airy beam / R. P. Chen,

H.P. Zheng, C.Q. Dai // J. Opt. Soc. Am. A. - 2011. - Vol.28. - P.1307

- 1311.

[230] Besieris I. M. Wigner distribution function of an Airy beam: comment /

I. M. Besieris, A.M. Shaarawi // J. Opt. Soc. Am. A. - 2011. - Vol.28. -P.1828.

[231] Chen R. P. Wigner distribution function of an Airy beam: reply to comment / R. P. Chen, H. P. Zheng, C. Q. Dai //J. Opt. Soc. Am. A. - 2011. - Vol. 28.

- P.1829.

[232] Potocek V. Generalized ray optics and orbital angular momentum carrying beams / V. Potocek, S.M. Barnett // New J. Phys. - 2015. - Vol.17. -P.103034 (1-13).

[233] Завьялов О. И. Функция Вигнера дл: я свободных релятивистских частиц / О. И. Завьялов, А. М. Малокостов // ТМФ. - 1999. - Т. 119. - с. 67-72.

[234] Wenninger J. Energy Calibration of the LHC Beams at 4 TeV // Accelerators & Technology Sector Reports. - 2013. - CERN-ATS-2013-040. P. 1 32.

[235] van Kan J. A. Proton beam writing nanoprobe facility design and first test results / J. A. van Kan. P. Malar, A. B. de Vera, et al. // Nucl. Instrum. and Meth. A. - 2011. - Vol. 645. - P. 113 - 115.

[236] Watt F. The National University of Singapore high energy ion nano-probe facility: Performance tests / F. Watt, J. A. van Kan, I. Rajta, et al. // Nucl. lustrum, and Meth. B. - 2003. - Vol. 210. - P.14 - 20.

[237] Bailly J. L. An impact parameter analysis of proton-proton elastic and inelastic interactions at 360 GeV/c / J. L. Bailly, S. Banerjee, F. Bruyant, et al. (EIIS-RCBC Collaboration) // Z. Phys. C. - 1987. - Vol.37. - P.7 - 16.

c

c cc

P.619 629.

[239] Cirone M. A. Entanglement correlations, Bell inequalities and the concurrence // Phys. Lett. A. - 2005. - Vol.339. - P.269 - 274.

[240] Naumov V. A. Covariant asymmetric wave packet for a field-theoretical description of neutrino oscillations / V. A. Naumov, D. S. Shkirmanov // Mod. Phys. Let. A. - 2015. - Vol.30. - P.1550110 (1-17).

[241] Artamonov O.M. Entanglement manifestation in spin resolved electron-electron scattering / О. M. Artamonov, S. N. Samarin, A. N. Vetlugin, et al. //J. Electr. Spectr. Rel. Phen. - 2015. - Vol. 205. - P.GG - 73.

[242] Боголюбов H.H. Общие принципы квантовой теории поля / Н.Н. Боголюбов, А.А. Логунов, А.И. Оксак, И.Т. Тодоров. - М.: Наука, 2008. - 1006 с.

[243] Sherwin J. A. Compton scattering of Bessel light with large recoil parameter // Phys. Rev. A. - 2017. - Vol.96. - P.062120 (1-12).

[244] Sherwin J. A. Two-photon annihilation of twisted positrons // Phys. Rev. A. - 2018. - Vol.98. - P.042108 (1-14).