Динамика двумерных волн в пузырьковой жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Галимзянов, Марат Назипович

• Галимзянов, Марат Назипович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Галимзянов, Марат Назипович

Введение

Глава 1. Обзор экспериментальных и теоретических исследований по динамике нелинейных волн в пузырьковых жидкостях. Основные уравнения

1.1. Обзор экспериментальных работ.

1.2. Обзор теоретических работ.

1.3. Динамика волн в жидкости при наличии пузырьковой зоны.

1.3.1. Эксперименты.

1.3.2. Теоретические исследования.

1.4. Основные уравнения для смеси жидкости с газовыми пузырьками.

Глава 2. Основные положения методики расчета

2.1. Уравнения движения в переменных Лагранжа

2.2. Принцип построения разностной схемы.

2.3. Тестовые расчеты и сравнение с экспериментом

Глава 3. Эволюция волн давления в жидкости при наличии в ней пузырьковой области конечных размеров

3.1. Влияние параметров пузырьковой области и импульса на эволюцию волнового сигнала.

3.1.1. Влияние протяженности импульсного сигнала на динамику сигнала при прохождении через пузырьковую область.

3.1.2. Влияние начального радиуса пузырьков на характер распространения волны в пузырьковой области

3.1.3. Влияние начального объемного содержания пузырьков на динамику сигнала при прохождении пузырьковую область.

3.2. Проявление нелинейных эффектов.

3.3. Воздействие импульсов на твердую стенку, частично покрытую пузырьковой областью.

3.3.1. Случай, когда «боковая» стенка покрыта завесой конечных размеров.

3.3.2. Случай, когда «задняя» стенка покрыта завесой конечных размеров.

Глава 4. Двумерные волны давления, инициированные воздействием через две смежные границы. Динамика локализованного по поперечной координате импульсного возмущения в пузырьковой жидкости

4.1. Динамика двух волновых импульсов в пузырьковой жидкости. Влияние протяженности импульса на динамику волны в среде.

4.2. Воздействие двух импульсных сигналов на пузырьковую завесу.

4.2.1. Завеса находится в середине расчетной области

4.2.2. Завеса находится на твердой стенке (угловой случай)

4.3. Распространение локализованного импульса в пузырьковой жидкости.

4.4. Динамика волн давления в области с кусочно-неоднородным по объемному содержанию распределением пузырьков в поперечном (по оси У) направлении

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика двумерных волн в пузырьковой жидкости»

Значительный интерес исследователей к проблемам и задачам механики пузырьковых сред обусловлен широким распространением таких систем в природе и их интенсивным использованием в современной технике. При этом интересными и важными являются процессы, носящие нестационарный характер к составляющие предмет изучения волновой динамики многофазных систем. К настоящему времени одномерные волны в пузырьковой жидкости теоретически и экспериментально подробно изучены. На данный момент активно ведутся исследования двумерных волн в пузырьковой жидкости (Кедринский В. К., Накоряков В. Е., Донцов В. Е., Губайдуллин А. А., Вахито-ва Н. К. и др.). Нелинейные эффекты и эффекты двумерности могут возникнуть при распространении волн давления в однородной жидкости при наличии в ней зоны, содержащей пузырьки газа, или в случае сосредоточенного удара по пузырьковой жидкости. Исследование динамики двумерных волн в пузырьковой жидкости является одной из актуальных проблем волновой динамики многофазных сред.

Таким образом, актуальность темы диссертации обусловлена необходимостью развития волновой динамики гетерогенных сред, расширением и углублением теоретических представлений о нестационарных волновых процессах в пузырьковых системах, интенсивным использованием многофазных смесей в технике.

Цели работы. Теоретическое исследование распространения нелинейных волн в жидкости при прохождении области с пузырьковой зоной с учетом двумерных и нелинейных эффектов. Анализ влияния определяющих параметров пузырьковой завесы (линейных размеров, объемного содержания и дисперсности пузырьков) и первоначального давления на эволюцию волн при прохождении завесы. Также: ^ - исследование динамики двумерных волн в области с ку сочно-неоднородным по объемному содержанию распределением пузырьков;

- изучение особенностей эволюции колоколообразного по поперечной координате волнового импульса в однородной пузырьковой жидкости;

- исследование воздействия волнового импульса на твердую стенку, частично покрытую пузырьковой жидкостью;

- исследование динамики волн давления в прямоугольной области, инициированных из двух смежных границ, при наличии в области пузырьковой зоны.

Научная новизна. В диссертации поставлен и решен ряд новых важных задач. Систематически изучены основные за* кономерности распространения волн давления при наличии в V' жидкости зоны, содержащей газовые пузырьки, в виде завесы с учетом двумерных и нелинейных эффектов. Наиболее важные результаты полученные в диссертации, следующие:

- разработка математической модели решения задачи о распространении двумерных волн давления в жидкости, при наг личии в ней пузырьковой зоны конечных размеров;

- создание вычислительного алгоритма для решения класса задач, связанных с описанием распространения возмущений в жидкости при наличия пузырьковых зон и в пузырьковой жидкости с учетом двумерных и нелинейных эффектов;

- численное моделирование распространения импульсного возмущения в жидкости при наличии пузырьковой зоны с учетом двумерных и нелинейных эффектов.

Практическая ценность. Полученные в работе результа-* ты могут быть использованы для объяснения механизмов гашения и усиления волн давления с использованием пузырьковых завес. Они также расширяют и углубляют теоретические знания о нестационарных волновых процессах в многофазных средах и могут служить приложением для охраны окружающий среды при использовании энергии взрыва.

Достоверность результатов. Достоверность полученных в рамках диссертационной работы результатов обеспечивается корректным применением уравнений механики пузырьковой жидкости, совпадением полученных результатов в предельных частных случаях с результатами известными из литературы, а также проведением сравнительных тестовых расчетов.

Апробации работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на следующих конференциях и наг V учных школах:

- на региональной конференции «Резонансные и нелинейные явления в конденсированных средах» (Уфа, 1999);

- на Международной конференции по многофазным системам, посвященной 60-летию академика РАН Р. И. Нигматулина 1СМ8-2000 (Уфа, 2000);

- на VI школе-семинаре стран СНГ «Акустика неоднородных сред» под руководством профессора В. К. Кедринского (Новосибирск, 2000);

- VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001);

- на XVI сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2002);

- на VIII Четаевской международной конференции «Ана-^ литическая механика, устойчивость и управление движением»

Казань, 2002);

- на IV Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2003).

Кроме того, результаты работы неоднократно докладывались и получили положительную оценку на семинарах в Институте механики УНЦ РАН (под руководством профессора И. Ш. Ахатова), кафедры прикладной математики и механики (под руководством профессора В. Ш. Шагапова) и кафедры теоретической физики (под руководством профессора А. И. Фил-липова) Стерлитамакского государственного педагогического института.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах. w Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 110 страниц, в том числе 26 рисунков. Список литературы состоит из 108 наименований.

Во введении отмечена практическая ценность и актуальность проблем, рассматриваемых в диссертации. Сформулированы цели и научная новизна работы. Проведено краткое изложение структуры диссертации.

В первой главе выполнен обзор теоретических и экспериментальных исследований, посвященных изучению волновых процессов в пузырьковых жидкостях. Выписана система определяющих уравнений для описания динамики волн давления в пузырьковой жидкости. Рассмотрены основные приближения, используемые при формулировке задачи.

Во второй главе подробно изложена методика численных расчетов динамики волн давления в пузырьковой жидкости для двумерного случая. Представлен переход от переменных Эйлера к переменным Лагранжа (в качестве лагранжевых переменных берутся начальные эйлеровые координаты) и принцип построения разностной схемы.

В третьей главе изучается динамика нелинейных волн в жидкости при наличии зоны, содержащей пузырьковую завесу, а также воздействие нелинейных возмущений на стенку, покрытую пузырьковой завесой. Исследованы и выявлены эффекты нелинейности при прохождении нелинейного сигнала через пузырьковую завесу Проанализировано влияние параметров завесы на динамику импульсных возмущений и на воздействие импульсов давления на твердую стенку, покрытую пузырьковой завесой.

В четвертой главе исследуется динамика распространения локализованного импульсного сигнала в пузырьковой жидкости. Рассмотрен также случай эволюции сигнала в пузырьковой жидкости с кусочно-неоднородным объемным содержанием газа в поперечном направлении. Так же рассмотрено взаимодействие двух нелинейных волновых импульсов в жидкости. Изучено их воздействие на завесу и проведено сравнение с одномерным случаем.

В заключении представлены основные результаты и выводы.

Автор выражает искреннюю благодарность академику РАН Нигматулину Р. И. за постоянное внимание и интерес к работе, своим научным руководителям д. ф.-м. н. профессору Шага-пову В. Ш. и к.ф.-м.н. Гималтдинову И. К. за постановку задачи и помощь в ходе выполнения работы, а также к.ф.-м.н. Урманчееву С. Ф., родственникам, коллегам и друзьям оказавшим поддержку при работе над диссертацией.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Галимзянов, Марат Назипович

Заключение

По результатам исследований установлено:

1. При распространении импульсных сигналов в жидкости, содержащей пузырьковую завесу конечных размеров, когда временная протяженность импульса достаточно большая (£* > 1у/С, 1у- длина завесы в поперечном направлении, С = уТРо/й^оР/о ~ равновесная скорость звука в пузырьковой жидкости), внутри завесы может происходить нарастание амплитуды давления выше, чем амплитуда исходного сигнала.

2. Для достаточно коротких импульсов (£* < 1У/С) частицы двухфазной системы, находящиеся внутри завесы, практически не чувствуют прохождение волнового импульса (они как бы полностью защищены от ее воздействия).

3. При падении волнового импульса на твердую стенку, покрытую пристенной пузырьковой завесой конечных размеров, в зависимости от параметров (размеров пузырьковой зоны, объемного содержания газа в завесе, радиуса пузырьков), установлено, что завеса может существенно уменьшить или увеличить воздействие импульсного сигнала.

4. При эволюции в однородной пузырьковой смеси колоколо-образного по поперечной координате импульсного сигнала, когда его временная протяженность превышает период собственных колебаний пузырьков (£* > ¿м — 27г/о>м\ им — ^З'уро/рю/ао - частота Миннаерта), в пузырьковой смеси формируется лидирующая волна, в случае ~ Ьм образуется расходящийся пакет волн.

5. Распространение импульсного сигнала в кусочно-неодно -родной по объемному содержанию пузырьков области сопровождается образованием в поперечном направлении профилей давления с пиками вблизи границ между слоями. Этот эффект обусловлен различием скорости волны в слоях с отличающимися объемными содержаниями газа.

6. При распространении волны давления вдоль плоской стенки, покрытой неоднородным пузырьковым слоем с уменьшающимся объемным содержанием газовой фазы, происходит фокусировка импульсного сигнала к поверхности стенки. Максимальная амплитуда сигнала, воздействующего на стенку, может превысить амплитуду исходного сигнала в два раза.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Галимзянов, Марат Назипович, 2004 год

1. Азаматов А. Ш., Шагапов В. Ш. Распространение малых возмущений в парогазокапельной среде // Акустический журнал. - 1981, Т. 27, № 2. - С. 161-169.

2. Айдагулов Р. Р., Хабеев Н. С., Шагапов В. Ш. Структура ударной волны в жидкости с пузырьками газа с учетом нестационарного межфазного теплообмена // ПМТФ. 1977, № 3, С. 67-74.

3. Бузуков А. А. Ослабление воздушной ударной волны с помощью воздушно-водяной завесы // Динамика сплошнойсреды. 1999, № 115, С. 30-33. - 166.

4. Бузуков А. А. Снижение параметров воздушной ударной волны с помощью воздушно-водяной завесы // ФГВ.2000, 36, № 3. С. 120-130.

5. Бурдуков А. П., Кузнецов В. В., Кутателадзе С. С., Нако-ряков В. Е., Покусаев Б. Г., Шрейбер И. Р. Ударная волнав газожидкостной среде // ПМТФ. 1973, № 3. - С. 65-69.

6. Галимзянов М. Н., Гималтдинов И. К. Воздействие волн давления в жидкости на твердую стенку, покрытую пузырьковой завесой конечных размеров // Труды 16 сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды. Казань, 2002. - С. 92-96.

7. Галимзянов М. Н., Гималтдинов И. К., Шагапов В. Ш. Двумерные волны даления в жидкости, содержащей пузырьки // Изв. АН СССР. МЖГ, 2002, № 2. - С. 139-147.

8. Гарипов Р. М. Замкнутые уравнения движения жидкости с пузырьками // ПМТФ. 1973, № 3. - С. 3-20.

9. Гельфанд Б. Е., Губанов А. В., Губин С. А., Кудинов В. М., Паламарчук Б. И., Подгребенков А. Л., Попов О. Е., Тимофеев Е. И. Затухание ударных волн в двухфазной среде жидкость-пузырьки газа // Изв. АН СССР. МЖГ, 1977,1. С. 172-176.

10. Гельфанд Б. Е., Губанов А. В., Тимофеев Е. И. Расчет параметров нестационарных ударных волн в двухфазной среде // ФГВ. 1981, № 5. - С. 139-143.

11. Гельфанд Б. Е., Губин С. А., Когарко Б. С., Когарко С. М.

12. Исследование волн сжатия в смеси жидкости с пузырьками газа // Докл. АН СССР. 1973, Т. 213, № 5. - С. 1043-1046.

13. Гельфанд Б. Е., Губин С. А., Тимофеев Е. И. Отражение плоской ударных волн от твердой стенки в системе пузырьки газа-жидкость // Изв. АН СССР. МЖГ, 1978, № 2. -С. 174-178.

14. Гельфанд Б. Е., Тимофеев Е. И., Степанов В. В. О структуре слабых ударных волн в системе пузырьки газа-жидкость // ТВТ. 1978, Т. 16, № 3. - С. 569-575.

15. Гималтдинов И. К. Динамика волн в жидкостях и газахпри наличии двухфазных зон // Диссертация на соискании ученой степени кандидата физико-математических наук. -1998.

16. Губайдуллин А. А. Затухание импульсных возмущений в жидкости с пузырьками газа // В сб.: Нестационарное течение многофазных систем с физико-химическими превращениями. М. 1983. - С. 12-19.

17. Губайдуллин А. А., Дудко Д. Н., Урманчеев С. Ф. Моделирование взаимодействия воздушной ударной волны с пористым экраном // ФГВ. 2000, 36, № 4. - С. 87-96.

18. Губайдуллин А. А., Ивандаев А. И., Нигматулин Р. И. Нестационарные волны в жидкости с пузырьками газа //

19. Докл. АН СССР. 1976, Т. 226, № 6. - С. 1299-1302.

20. Губайдуллин А. А., Ивандаев А. И., Нигматулин Р. И. Исследование нестационарных ударных волн в газожидкостных смесях пузырьковой структуры // ПМТФ. 1978, № 2. - С. 78-86.

21. Губайдуллин А. А., Ивандаев А. И., Нигматулин Р. И., Хат беев Н. С. Волны в жидкости с пузырьками // В сб.: Итоги науки и техн. ВИНИТИ. МЖГ. 1982, Т. 17. - С. 160-249.

22. Губайдуллин А. А., Кутрунов А. В., Рустюмова О. Ш., Яковлева Т. Н. Некоторые вопросы волновой динамики жидкости с пузырьками газа // В сб.: Итоги исследований.1. Тюмень. 1994. - С. 23-31.

23. Губайдуллин А. А., Румянцев О. П. Гашение ударных импульсов пузырьковыми завесами с переменным газосодержанием // В сб.: Акустика неоднородных сред. Новосибирск: ИГИЛ СО АН СССР. 1991, Вып. 100. - С. 100-104.

24. Губайдуллин А. А., Шихмурзаева 3. А. Сферические ударные волны в газожидкостных системах // В сб.: Неравновесные процессы в одно- и двухфазных системах. Новосибирск. 1981. - С. 16-20.

25. Декснис Б. К. Распространение умеренно сильных ударных волн в двухфазной среде // Изв. АН Латв. ССР. Сер. физ. и тех., 1978, № 1. - С. 75-81.

26. Донцов В. Е., Кузнецов В. В., Накоряков В. Е. Ударныеволны умеренной интенсивности в двухфазной среде // Акустический журнал. 1985, № 2. - С. 193-197.

27. Донцов В. Е., Накоряков В. Е. Волны давления в газожидкостной среде с расслоенной структурой жидкость-пузырьковая смесь // ПМТФ. 2003, Т. 44, № 4. - С. 102107.

28. Зарембо Л. К., Красильников В. А. Введение в нелинейнуюакустику М.: Наука. 1966. - 519 с.

29. Иорданский С. В. Об уравнениях движения жидкости, содержащей пузырьки газа // ПМТФ. 1960, № 3. - С. 102110.

30. Исакович М. А. Общая акустика. М.: Наука. 1973. - 496 с.

31. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука. 1973. - 175 с.

32. Кедринский В. К. Распространение возмущений в жидкости, содержащей пузырьки газа // ПМТФ. 1968, Я2 4. -С. 29-34.

33. Кедринский В. К. Ударные волны в жидкости с пузырьками газа // ФГВ. 1980, Т. 16, № 5. - С. 14-25.

34. Кедринский В. К. Об усилении волн при схлопывании одномерного кластера // Динамика сплошных сред. 1983, № 62. - С. 49-59.

35. Когарко Б. С. Об одной модели кавитирующей жидкости

36. ДАН СССР. 1961, Т. 137, № 6. - С. 1331-1333.

37. Когарко Б. С. Одномерное неустановившееся движениежидкости с возникновением и развитием кавитации // ДАН СССР. 1964, Т. 155, № 4. - С. 779-782.

38. Когарко Б. С. Движение смеси жидкости с газовыми пузырьками // В сб.: Неустановившиеся течение воды с большими скоростями. М.: Наука. 1973. - С. 241-246.

39. Красильников В. А., Крылов В. В. Введение в физическую акустику. М.: Наука. 1984. - 399 с.

40. Кузнецов В. В., Донцов В. Е. Ударные волны умеренной амплитуды в двухфазной среде. Гидродинамические течения и волновые процессы // Под ред. В. Е. Накорякова. -Новосибирск, ИТФ, 1983. С. 29-34.

41. Кузнецов В. В., Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г., Шрейбер И. Р. Жидкость с пузырьками газа как пример среды Кортевега-де-Вриза-Бюргерса // Письма в ЖЭТФ. -1976, Т. 23, № 4. С. 194-198.

42. Кузнецов В. В., Покусаев Б. Г. Эволюция волн давления в жидкости с пузырьками газа. Переход от ламинарного пограничного слоя в турбулентный. Двухфазные потоки // Под ред. С. С. Кутателадзе. Новосибирск, ИТФ, 1978. -С. 61-67.

43. Кутателадзе С. С., Бурдуков А. П., Кузнецов В. В., Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г., Шрейбер И. Р. О структуре слабой ударной волны в газожидкостной среде // ДАН

44. СССР. 1972, Т. 207, № 2. - С. 313-315.

45. Кутателадзе С. С., Накоряков В. Е. Тепломассообмен и волны в газожидкостных смесях. Новосибирск: Наука. -1984. 301 с.

46. Кутушев А. Г., Родионов С. П. Численное исследование влияния параметров слоя насыпной среды и падающей ударной волны на давление на экранируемой плоской стенке // ФГВ. 1999, Т. 35, № 2. - С. 105-113.

47. Кутушев А. Г., Рудаков Д. А. Численное исследование воздействия ударной волны на преграду, экранируемую слоемпористой порошкообразной среды // ПМТФ. 1993, Т. 34, № 5. - С. 25-31.

48. Ляхов Г. М. Ударные волны в многокомпонентных средах // Изв. АН СССР. Сер. механика и маш. 1959. - № 1.

49. Ляхов Г. М., Охитин В.Н. Сферические взрывные волны в средах с объемной вязкостью // ПМТФ. 1977, № 6. -С. 126-137.

50. Ляхов Г. М., Охитин В.Н. Волны в жидкостях с пузырьками газа при учете объемной вязкости // Изв. АН СССР. -МЖГ, 1980, № 1. С. 52-54.

51. Малых Н. В., Огородников И. А. О применении уравнения Клейна- Гордона для описания структуры импульсов сжатия в жидкости с пузырьками газа // В сб.: Динамика сплош. среды, в 29. Новосибирск, 1977. - С. 143-148.

52. Малых Н. В., Огородников И. А. Скорость и затухание импульсов большой амплитуды в слое жидкости с пузырьками газа // В сб.: Переход ламинарн. пограничн. слоя в турбулент. Двухфазные потоки. Новосибирск. 1978. -С. 38-51.

53. Накоряков В. Е., Донцов В. Е. Взаимодействие ударной волны со сферическим пузырьковым кластером в жидкости // Докл. РАН. 2003, Т. 391, № 2. - С. 199-202.

54. Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г., Шрейбер И. Р. Распространение волн в газо- и парожидкостных средах. Новосибирск: ИФТ. 1983, 237 с.

55. Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г., Шрейбер И. Р. Волноваядинамика газо- и парожидкостных сред. М.: Энергоатом-издат. 1990.

56. Неищименко Ю. П., Суворов Л. Я. Слабые ударные волны в кипящей воде и газожидкостных суспензиях // Атомнаяэнергия. 1972, Т. 33, № 1. - С. 593.

57. Нигматулин Р. И. Мелкомасштабные течения и поверхностные эффекты в гидромеханике многофазных сред / / ПММ. 1971, № 3. - С. 541-563.

58. Нигматулин Р. И. Основы механики гетерогенных сред. М.:1. Наука. 1978. - 336 с.

59. Нигматулин Р. И. Эффекты и их математическое описание при распространении волн в пузырьковых средах // В сб.: Избр. соврем, мех. 4.1. М. 1981. - С. 65-89.

60. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. М.: Наука.- Т1, 2, 1987. 360 с.

61. Нигматулин Р. И., Ивандаев А. И., Нигматулин Б. И., Ми-натенко В. И. Нестационарные волновые процессы в газо- и парожидкостных смесях. Новосибирск. 1977. - С. 80-89.

62. Нигматулин Р. И., Хабеев Н. С. Теплообмен газового пузырька с жидкостью // Изв. АН СССР. МЖГ, 1974, № 5.- С. 94-100.

63. Нигматулин Р. И., Хабеев Н. С., Шагаров В. Ш. Об ударных волнах в жидкости с пузырьками газа // Докл. АН СССР. 1974, Т. 214, № 4. - С. 779-782.

64. Нигматулин Р. И., Шагапов В. Ш. Структура ударных волн в жидкости с пузырьками газа // Изв. АН СССР.1. МЖГ, 1974, № 6. С. 30-41.

65. Нигматулин Р. И., Шагапов В. Ш., Вахитова Н.К. Проявление сжимаемости несушей фазы при распространение волны в пузырьковой среде // ДАН. 1989, Т. 304, №5.-С. 1077-1088.

66. Нигматулин Р. И., Шагапов В. Ш.} Гималтдинов И. К., Галимзянов М. Н. Двумерные волны давления в жидкости, содержащей пузырьковые зоны // Докл. РАН. 2001,1. Т. 378, № 6. С. 763-767.

67. Петвиашвили В. И., Цвелогуб О. Ю. Подковообразные солитоны на стекающей вязкой пленке жидкости // Докл. АН СССР. 1978, Т. 238, № 6. - С. 1321-1323.

68. Пинаев А. В., Сычев А. И. Обнаружение и исследование самоподдерживающихся режимов детонации в системах жидкое горючее-пузырьки окислителя // Докл. АН СССР. 1986, Т. 290, № 3. - С. 611-615.

69. Пинаев А. В., Сычев А. И. Влияние физико-химических свойств газа и жидкости на параметры и условия существования волн детонации в системах жидкость-пузырьки газа // ПМТФ. 1987, № 6. - С. 76-84.

70. Руденко О. В., Солуян С. И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука. 1975. - 287 с.

71. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука. 1975. - 352 с.

72. Седов А. И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред // Успехи математических наук. -1960, Т. 20, В. 5. С. 121-180.

73. Шагапов В. Ш. Структура ударных волн в полидисперсной смеси жидкость-пузырьки газа. Изв. АН СССР. МЖГ,1976, № 6. С. 145-147.

74. Шагапов В. Ш. Распространение малых возмущений вжидкости с пузырьками // ПМТФ. 1977, № 1. - С. 90-101.

75. Шагапов В. Ш. Влияние нестационарных тепло- и массообменных процессов на структуру ударных волн в жидкости с пузырьками // В сб.: Нестационарное течение многофазных систем с физико- химическими превращениями. М. 1983. С. 31-43.

76. Шагапов В. Ш. Динамика гетерогенных сред при наличиифизико-химических превращений // Диссертация на соискании уеной степени доктор физико-мматематических наук. Уфа.

77. Шагапов В. Ш., Гималтдинов И. К., Галимзянов М. Н. Эффекты нелинейности при распространении двумерных волн давления в пузырьковой жидкости / / Труды Стерлитамакского филиала АН РБ. Уфа, 2001. - С. 153-158.

78. Шагапо,в В. LLL, Гималтдинов И. К., Галимзянов М. Н. Двумерные эффекты при распространении волн конечной длительности в пузырьковой жидкости // Труды международной семинара «Акустика неоднородных сред». Новосибирск, Выпуск 117, 2001. - С. 51-55.

79. Ackeret J. Experementells und theoretische Untersuchumgen über Hot braumbildung (kavitation) im Wasser // Forsch, auf d. Gebiete des Ingenieur Wessens. - Ausgabe A, 1930, 1, 63.

80. Angew Z. Dispersive und nichtlineare Wellenausbreitung in Blasen flussig-keiten // Math, und Mech. 1995. 75, Suppl. nl. - pp. 317-318.

81. Batchelor G. K. Compression waves in a suspension of a gas bubbles in liquid // In: Fluid Dinamics transactions.1. Warszawa. 1969, V. 4.

82. Biesheuvel A., van Wijngaarden L. Two fhase flow equationsfor a dilute dispersion of gas bubbles in liquid //J. Fluid Mech.- 1983, № 148. pp. 301-318.

83. Campbell J., Pitcher A. S. Shock waves in a liquid containinggas bubbles // Proc. Rog. Soc. London. 1959, A 234, №1235.- pp. 534-545.

84. Crespo A. Sound and shock waves in liquid containing bubbles

85. Phys. Fluid. 1969, V. 12, № 11. - pp. 2274-2282.

86. Derzho O. G., Malykh N. Y. Formation of strong pressure pulses reflected from water-bubble layers // Arch. Mech.1942, V. 4-5. pp. 463-473.

87. Drumheller P. S., Bedford A. A theory of bubbly fluids // J. Acoust. Soc. Amer. 1979, V. 66, № 1. - pp. 197-208.

88. Drumheller P. S., Bedford A. A theory of liquids with vapour bubbles // J. Acoust. Soc. Amer. 1980, V. 67, № 4. - pp. 186200.

89. Drumheller P. S., Kipp M. E., Bedford A. Transient wave propagation in bubbly liquids //J. Fluid Mech. 1982, V. 119.- pp. 347-363.

90. Enever K. J. Further investigation of the theory of shock waves in bubbly liquids // Bull. etud. et rech. 1977, A, № 2. - p. 2946.

91. Hamilton L. J., Nyer R., Schrock V. E. Propagation of shock waves through two-component media // Trans. Amer. Nucl. Soc. 1967, V. 110, № 2. - p. 660.

92. Hamilton L. J., Schrock V. E. Propagation of rarefaction waves through two-phase, two-component media // Trans. Amer.

93. Nucl. Soc. 1968, V. 11, № 1. - p. 795.

94. Kalra S. P., Svirin V. Shock waves-induced bubbles motion // Int. J. Multiphase Flow. 1981, V. 7. - pp. 115-127

95. Kutateladze S. S., Nakoryakov V. E., Pokusaev B. G. Experimental investigation of waves processes in gas- and vapor-liquid media // 2-Phase Momentum. Heat and Mass Transfer. Chem, Process and Energy Eng. System. V. 1, New1. York, 1976. pp. 47-59.

96. Kuznetsov V. V., Nakoryakov V. E., Pokusaev B. G., Shreiber I. R. Propagation of perturbation in a gas-liquidmixtures // J. Fluid. Mech. 1978, V. 85, № 1. - pp. 85.

97. Martin C. S., Padmanablan M., Wiggert B. G. Pressure waves propagation in two-phase bubbly air-water mixtures // Proc. 2nd Int. Conf. press Surges. London, 1976, Cranfield, 1977. -cl/l-cl/16.

98. Martin C. S., Padmanablan M., Wiggert B. G. Pressure waves propagation in two-phase bubbly air-water mixtures // Bull. Dir. etud. et. resh. 1977, A, № 2. - pp. 47-66.

99. Masaharu K., Naota S., Yoichito M., Fumio H. Propagation ofshock waves in dilute bubbly liquids. 4th report. Comparison between theory and experiment for a uniform bubbly mixture // Nihon kikai gakkai ronbunshu . B=Trans. Jap. Soc. Mech.

100. Eng. B. 1997,63, № 611. - pp. 2289- 2295.

101. Masaharu K., Yoichiro M. Shock waves in a liquid containingsmall gas bubbles // Phys. Fluids. 1996, 8, № 2. - pp. 322335.

102. Miksis M. J., Ting L. Effects of bubbly layers 011 wave propogation //J. Acoust. Soc. Amer. 1989, V. 86, № 6.- pp. 2349-2385.

103. Могу J., Hijikata K., Kominc A. Propogation of pressure waves in two-phase flow // Int. J. Multiphase Flow. 1975,1. V. 2, № 2. pp. 139-152.

104. Noordzij L. Shock waves in bubble-liquid mixture // Phys.

105. Comm. Twente Univ. Techn. 1971, V. 3, № 1. - pp. 51.

106. Noordzij L. Shock waves in mixtures of liquids and bubbles // Ph. D. Thesis. Twente Tecnol. Univ, Enschede, 1973. -pp. 205.

107. Noordzij L. Shock waves in bubble- liquid mixtures // В сб. Неустановившиеся теч. воды с болып. скоростями. М.: Наг ука. 1973. - С. 369-383.

108. Noordzij L., Wijngaarden L. van. Relaxation effects, causedby relative motion, on shock waves in gas-bubble/liquid mixtures // J. Fluid Mech. 1974, V. 66, № 1. - PP. 115143.

109. Parkin B. R., Gilmore F. R., Brode H. L. Shock waves in bubbly water. Memorandum RM-2795-PR. Abridged. -1961.

110. Rath H. J. Unsteady pressure waves and shock waves in elastic tubes containing bubbly air-water mixtures // Acta Mech.1981, V. 38, № 1-2. p. 1-17.

111. Tan M. J., Bankoff S. G. Propagation of pressure wavesin bubbly mixtures // Phys. Fluid. 1984, V. 27, № 26. -PP. 1362-1369.

112. Van Wijngaarden L. On the equations of motion for mixtures of liquid and gas bubbles. J. Fluid Mech. 1968, V. 33, № 3.- PP. 465-473.

113. Van Wijngaarden L. On the structure of shock waves in liquid-bubbles mixtures // Appl. Sci. Res. 1970, V. 22, № 5.- PP. 366-381.

114. Van Wijngaarden L. On-dimensional flow of liquids containing small gas bubbles // Ins. Annu. Rev. Fluid Mech.- Palo Alto, Calif., 1972, V. 4. PP. 369-396.

115. Van Wijngaarden L., Vossers G. Mechanics and physics of gas bubbles in liquids: a report on Euromech 98 // J. Fluid Mech.- 1978, V. 87, № 4. PP. 695-704.