Динамическая устойчивость прямого трубопровода с протекающей жидкостью под действием двух параметрических возбуждений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Щеглов, Георгий Александрович

• Щеглов, Георгий Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Щеглов, Георгий Александрович

Содержание

Введение

1. Исследование динамической устойчивости прямого трубопровода,

нагруженного переменной осевой силой

при протекании через него пульсирующей жидкости

1.1. Основные дифференциальные уравнения

1.2. Параметрические резонансы системы и их классификация

1.3. Аддитивные резонансы

1.3.1. Аддитивные резонансы при р = t,

1.3.2. Аддитивные резонансы при 2 р = £

1.4.Особые двухчастотные резонансы.,.,. .,

1.4.1. Основные-комбинационные резонансы

1.4.2. Комбинационные-комбинационные резонансы

1.5.Особые трехчастотные резонансы

2. Проверка полученных теоретических результатов на ЭВМ

2.1. Описание расчетной схемы и способа решения

2.2. Численное определение областей неустойчивости

2.2.1. Классические резонансы системы

2.2.2. Исследование аддитивных резонансов

2.2.3. Исследование особых резонансов

2.3. Численная проверка частных случаев

и особых свойств аддитивных и особых резонансов

2.3.1. Подавление неустойчивости в системе

с аддитивным резонансом

2.3.2. Расширение области неустойчивости аддитивных резонансов при введении демпфирования в систему

2.3.3. Сужение области неустойчивости при увеличении амплитуды одного из возбуждений в особых резонансах

2.4. Основные результаты численных экспериментов

Стр.

Заключение

Литература

Приложение. Описание программы РРКТ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамическая устойчивость прямого трубопровода с протекающей жидкостью под действием двух параметрических возбуждений»

Введение

В современной науке и технике большое внимание уделяется динамическим явлениям и прежде всего колебаниям. Круг вопросов, связанных с колебаниями, непрерывно расширяется. Современная механика, радиотехника, электроника, акустика и многие другие области науки и техники немыслимы без глубокого теоретического и экспериментального исследования колебательных процессов и, в частности, решения проблем динамической устойчивости различных физических систем. С математической точки зрения изучение таких колебательных процессов сводится прежде всего к изучению обыкновенных дифференциальных уравнений или систем таких уравнений.

Сложность решаемых задач требует от исследователей рассмотрения все более сложных уравнений, описывающих колебательные процессы. Так, если в начале двадцатого века считалось, что описываемая линейными дифференциальными уравнениями теория механических колебаний окончательно построена и пригодна для решения любых практических приложений, то уже спустя несколько десятилетий рождение авиационной, а затем и ракетной техники потребовало применения уравнений динамики, содержащих нелинейные, изменяющиеся во времени коэффициенты [4,6,7,28,29,32,55,57]. Описываемые такими нелинейными уравнениями колебательные режимы - параметрические колебания -возникают, например, в механических системах с переменными параметрами: массой, жесткостью, демпфированием.

К настоящему времени наука значительно продвинула наши знания в области изучения параметрических колебаний. В научной литературе описаны результаты исследований параметрических колебаний, возникающие в различных упругих системах (стержнях, балках, пластинах, оболочках) и механизмах (коленчатые валы, подшипники, ленточные транспортеры, ременные передачи и др.). Подробное изложение истории изучения параметрических колебаний и обобщение достигнутых

результатов приводится в обзорной статье К.В. Фролова [48] и учебной литературе и монографиях [1,3,5,8-11,27,31,35,36,44,49,50,62,81].

Проделанные в области изучения параметрических колебаний исследования сводятся, как правило, к изучению динамической устойчивости систем, находящихся под действием параметрических возбуждений.

Подавляющее большинство исследователей рассматривает действие на систему только одного такого возбуждения, например, изменения по гармоническому закону длины математического маятника [35] или положения его точки подвеса [16], изменения осевой сжимающей силы, действующей на стержень [2], изменения изгибной жесткости вращающегося вала [13]. Исследованиями систем с одним параметрическим возбуждением занималось и занимается большое количество исследователей. Следует отметить, в частности, работы В.В. Болотина [5], П.Л. Капицы [16], H.H. Боголюбова и Н.М. Крылова [24], H.H. Боголюбова и Ю.Н. Митропольского [4], Г. Шмидта [55], Я.Г. Пановко [35,36,37], В.Н. Челомея [49,50,51], C.B. Челомея [52,53,54], В.А. Светлицкого [43] и др.

Указанные исследования охватывают время, равное трем четвертям века, и можно считать, что действие на систему одного параметрического возбуждения изучено достаточно подробно.

Более общая задача воздействия на механическую систему нескольких (в частном случае - двух) параметрических возбуждений изучена слабо, что объясняется значительными математическими трудностями при решении получаемых систем дифференциальных уравнений. Насколько известно автору, существует лишь несколько работ в данной области [16,26,52,79]. В этих работах рассматриваются частные случаи воздействия нескольких параметрических возбуждений на систему, позволяющие либо свести все действующие возбуждения к одному полигармоническому возбуждению [16], или же рассматривать только

параметрические возбуждения, частота которых много выше собственных частот системы [52]. Отдельные исследования других случаев воздействия нескольких параметрических возбуждений на колебательную систему появились в литературе только в последние пять лет [26,79].

Таким образом, насколько известно автору, в настоящей работе, возможно, впервые ставится и решается задача исследования динамической устойчивости колебательной системы, находящейся под действием двух независимых моногармонических параметрических возбуждений, частоты которых имеют одинаковый порядок с собственными частотами системы.

В качестве примера колебательной системы с двумя независимыми параметрическими возбуждениями был выбран трубопровод с протекающей жидкостью. Особенность данной механической системы состоит в том, что в ней содержатся две взаимодействующих между собой подсистемы: механическая - упругая труба и гидравлическая - поток жидкости в трубе. Особенности взаимодействия этих подсистем подробно изучались многими исследователями.

Первая работа, связанная с постановкой проблемы, относится к 1876г. [58]. Следует прежде всего отметить работы В.И. Феодосьева [46,47], Эшли и Хевиленда [60] и других авторов [65,66,69]. Наиболее подробным на сегодняшний день исследованием динамики трубопроводов следует считать монографию В.А. Светлицкого [43], где рассмотрены практически все основные вопросы динамической устойчивости такой механической системы. В диссертации Ю.А. Куликова [25] дан систематический обзор состояния исследований по динамике и устойчивости труб, начиная с 1950г. по настоящее время. В указанных работах приводятся уравнения, описывающие собственные и вынужденные колебания трубопроводов с протекающей жидкостью с учетом демпфирования и воздействия разнообразных нагрузок. Эти уравнения были использованы нами в работе при построении математической модели трубопровода.

При построении модели, для упрощения математических выкладок, была использована наиболее простая расчетная схема, представленная на рисунке В.1: прямой, закрепленный на концах трубопровод постоянного поперечного сечения, нагруженный осевой сжимающей силой, содержащий неразрывный поток невязкой несжимаемой жидкости.

2е ВОЗБУЖДЕНИЕ 1е ВОЗБУЖДЕНИЕ

Рис. В.1. Расчетная схема трубопровода, находящегося под действием двух параметрических возбуждений

В расчетной схеме было принято, что колебания трубопровода происходят в вязкой среде, демпфирующей колебания. Также учитывалось демпфирование колебаний за счет внутреннего трения в материале трубы. Уравнение собственных поперечных колебаний такого трубопровода было взято из работ [43,47,54,61] и записано в наиболее общем виде для малых поперечных перемещений элемента трубопровода м(х,/):

^тдАи 1 т , ди д2и Л д2и дуди . ч д2и Л

Здесь первый член является погонной силой упругости, второй и третий - погонной силой внутреннего и внешнего демпфирования, четвертый - суммой погонной центробежной силы и осевого сжимающего усилия, пятый - погонной силой Кориолиса, шестой - погонной силой от

продольных колебаний жидкости, а седьмой - погонной силой инерции поперечных колебаний.

Наличие двух подсистем позволяет просто и наглядно ввести в систему два независимых возбуждения (рис. В.1). В качестве первого параметрического возбуждения выступает приложенная к трубе осевая сжимающая сила (0, имеющая небольшую переменную составляющую, изменяющуюся по гармоническому закону с частотой £ Вторым параметрическим возбуждением является пульсация скорости (у) протекающей жидкости, имеющая гармонический закон изменения с частотой р. В силу разной физической природы рассматриваемых возбуждений их нельзя сводить к одному полигармоническому возбуждению и, таким образом, они должны рассматриваться как два независимых возбуждения. Далее в нашей работе мы будем дополнительно предполагать, что частоты возбуждений р и сопоставимы по величине с собственными частотами системы.

Практическая ценность решаемой в работе задачи обусловлена важностью правильного расчета трубопроводов, являющихся одним из наиболее ответственных элементов конструкций в современной технике. Большой процент аварий в авиационной и космической технике, а также в других отраслях машиностроения происходит из-за неисправностей именно этих элементов. Причиной неисправностей чаще всего оказываются сильные резонансные поперечные колебания трубопровода, возникающие от знакопеременных нагрузок, передаваемых трубе в результате пульсаций движущейся жидкости, работы механизмов подачи и колебаний конструкции летательных аппаратов.

Примером реальной конструкции, в которой может возникать два параметрических возбуждения, служит описанный в работе [20] магистральный трубопровод системы подачи топлива в двигательную установку, представленный на рисунке В.2. Данный прямой трубопровод

служит для подачи одного из компонентов топлива к турбонасосному агрегату через бак, заполненный другим компонентом.

Работа насосного агрегата сопровождается вибрациями, которые могут передаваться трубопроводу и создавать одно параметрическое возбуждение. Кроме этого, работа насосного агрегата создает, помимо постоянной составляющей скорости жидкости, также небольшую переменную составляющую, которая также оказывает воздействие на трубопровод, являясь вторым параметрическим возбуждением. Исследованиям колебаний, возникающих в такой конструкции, посвящено большое количество работ, например, [20,39,45,56,64,68], однако одновременное воздействие двух параметрических возбуждений, насколько известно автору, еще ни разу не учитывалось.

Другим примером может служить трубопровод промышленного предприятия, представленный на рисунке В.З. Здесь пульсации скорости жидкости могут возникать не только при работе насоса, но и при работе клапана в режиме регулятора расхода. Вибрации насоса и регулятора, возникающие при работе, составляют второе параметрическое

ТРУБОПРОВОД

Бак

Вибрации ТНА,

передаваемые

трубопроводу

Рис.В.2. Пример воздействия двух параметрических возбуждений на трубопровод ЛА

возбуждение. Исследования [17,18,38,59,80] систем «насос-трубопровод», «насос-трубопровод-клапан» проводились, насколько известно автору, также без учета двух параметрических возбуждений.

Рис.В.З. Пример воздействия двух параметрических

возбуждений на промышленный трубопровод

При расчете параметрических колебаний в описанных примерах конструкций в современной механике, как правило, ставятся и решаются раздельно две задачи, связанные с каждым из возбуждений.

С одной стороны, все известные работы по исследованию параметрических колебаний трубопроводов до настоящего времени посвящены изучению поперечных колебаний только под действием пульсирующего потока жидкости. Различные аспекты взаимодействия прямолинейных труб с пульсирующим потоком жидкости рассматриваются в работах М.С. Натанзона [34], Н.С. Кондрашева [21,22], М. Пайдусисса [63,74-77], C.B. Челомея [54], В.А. Светлицкого [43], Ю.А. Куликова [25] и других авторов [12,14,30,37,40,70,73,82]. Исследования проводились как численными, так и приближенными аналитическими методами. В ходе этих работ были получены основные теоретические результаты, касающиеся определения областей неустойчивости, форм, амплитуд и фаз колебаний, и проведены экспериментальные исследования.

С другой стороны, воздействие на стержень, которым по сути

является труба, переменной осевой силы также достаточно хорошо изучено. Начиная с известной работы Н.М. Беляева [2], советскими и иностранными исследователями было проделано большое количество работ, среди которых следует отметить труды Н.М. Крылова и H.H. Боголюбова [24], Е. Меттлера [7], В.Н. Челомея [51], C.B. Челомея [52,53], В.В. Болотина [5] и других авторов [15,19,67,72,78].

Целью настоящего исследования является объединение двух задач в одну общую задачу. Изучение одновременного воздействия на трубопровод двух параметрических возбуждений, проделанное в работе, позволяет, как кажется автору, более полно и точно оценить динамику реальных трубопроводов и получить неизвестные ранее важные результаты. Укажем на некоторые из них.

Так, при исследовании динамической устойчивости трубопровода, содержащего пульсирующий поток жидкости, нагруженного переменной осевой силой, получена общая система дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами, из которой как частные случаи могут быть получены системы дифференциальных уравнений, используемые в настоящее время для исследования динамической устойчивости трубопровода с пульсирующей жидкостью и исследования динамической устойчивости стержня, нагруженного переменной осевой силой. Особенностью полученной общей системы дифференциальных уравнений является наличие двух независимых частот изменения ее коэффициентов: р и Возникновение неустойчивости, характеризующейся неограниченным ростом амплитуды колебаний с течением времени, зависит в такой системе от значения, которое принимает пара частот (р ; £), и, таким образом, число возможных резонансных случаев в системе резко возрастает.

Проделанные нами исследования с использованием асимптотических приближенных методов [4] позволили найти в первом приближении все пары частот (р ; при которых в системе возможна неустойчивость. Следует отметить, что исследования, в которых рассматриваются подобные

резонансы, автору в литературе обнаружить не удалось. В силу этого, при анализе и классификации резонансных случаев были введены новые термины, обозначающие отдельные группы пар частот (р ;

Так, пары частот (р ; вызывающие резонанс на различных собственных частотах системы, названы классическими резонансами, поскольку возникающие резонансы являются известными основными и комбинационными параметрическими резонансами, достаточно хорошо изученными к настоящему времени.

Отличительной особенностью рассматриваемой системы с двумя параметрическими возбуждениями являются случаи, когда обе частоты р и одновременно вызывают в системе резонанс на общих собственных частотах. Для данного случая была введена дополнительная классификация.

Так, пары частот возбуждений (р ; в которых

тр= \ (т =1,2),

названы аддитивными резонансами. В ходе исследования установлено, что аддитивные резонансы являются общим случаем основных и комбинационных резонансов, возникающих в системах с одним параметрическим возбуждением.

Другие пары частот возбуждений (р ; для которых р ф при которых в системе возможна неустойчивость, названы особыми резонансами. Особые и аддитивные резонансы могут возникать только в системе с двумя параметрическими возбуждениями и являются наиболее интересными случаями возникновения неустойчивости в системе.

Для всех аддитивных и особых резонансов были в первом приближении получены аналитические зависимости, определяющие границы областей динамической неустойчивости и условия существования этих областей. Для некоторых особых и аддитивных резонансов установлены «правила знаков» для коэффициентов полученной системы дифференциальных уравнений, по которым сразу же можно установить,

существует ли область неустойчивости данного резонанса в конкретной системе или нет. В силу своей простоты данные правила имеют чрезвычайную практическую ценность.

При анализе полученных зависимостей обнаружен ряд свойств, присущих аддитивным и особым резонансам. Установлено, что в аддитивных резонансах введенное в систему демпфирование может при определенных, найденных нами условиях не только не сужать но и, наоборот, расширять область неустойчивости. Установлены также условия, при которых в некоторых особых резонансах при увеличении одного из возбуждений область неустойчивости не увеличивается, а, наоборот, уменьшается.

Полученные аналитические зависимости были проверены с помощью численных экспериментов на ЭВМ. Результаты численных экспериментов с высокой степенью точности совпали с теоретическими результатами.

Использование результатов проведенного исследования для инженерных расчетов позволяет более точно определить условия возникновения динамической неустойчивости в проектируемой конструкции. При этом, применяя полученные аналитические зависимости, можно проводить как количественный, так и качественный анализ динамики проектируемой системы.

Например, большинство условий существования особых и аддитивных резонансов может быть представлено графически на плоскости параметров системы в виде областей, где существует неустойчивость и где неустойчивость отсутствует. Параметры разрабатываемой системы представляются точкой на этой плоскости. Пользуясь подобной диаграммой, разработчик легко может отстроиться от резонанса, подобрав оптимальные параметры конструкции.

Следует особо подчеркнуть, что для расчетов динамической устойчивости трубопровода в разработанной теории требуется знать только коэффициенты исходной системы дифференциальных уравнений, или даже

только знаки этих коэффициентов. Это позволяет сильно упростить расчеты, поскольку отпадает необходимость в интегрировании системы дифференциальных уравнений численными методами, что дает возможность существенно экономить машинное время, особенно при оптимизации конструкции.

Практическим результатом работы стало программное обеспечение для операционной системы Windows 95, которое может быть использовано при проведении исследований и проектных расчетов динамики реальных трубопроводов с двумя параметрическими возбуждениями.

Автор надеется, что полученные в результате его исследований материалы расширят теоретические знания о параметрических колебаниях и позволят повысить надежность трубопроводов.

1. Исследование динамической устойчивости прямого трубопровода,

нагруженного переменной осевой силой при протекании через него пульсирующей жидкости

1.1. Основные дифференциальные уравнения

Уравнение динамического равновесия прямого упругого трубопровода постоянного поперечного сечения длинной /, нагруженного осевой сжимающей силой 0=0{$), через который протекает неразрывный поток идеальной невязкой несжимаемой жидкости со скоростью имеет вид [43,47,54,61]:

^тд4и , г д5и , ди дх4 1 дхАдг 2 Ы

^ 2ч д2и Л д2и ду ди , . д2и Л

(мл)

где и{х,?) - поперечные перемещения элемента стержня; Е1- постоянная по длине жесткость стержня при изгибе; р - постоянная по длине погонная масса стержня; т - постоянная по длине погонная масса жидкости; к\ , - коэффициенты внутреннего и внешнего демпфирования.

В уравнении (1.1.1) первый член является погонной силой упругости, второй и третий - погонной силой внутреннего и внешнего демпфирования, четвертый - суммой погонной центробежной силы и осевого сжимающего усилия, пятый - погонной силой Кориолиса, шестой - погонной силой от продольных колебаний жидкости, а седьмой -погонной силой инерции поперечных колебаний.

Будем искать решение (1.1.1) в виде разложения по формам собственных колебаний

00

К*,0 = 2>;('Щ*)> (1.1.2)

у=1

где - нормальные функции, удовлетворяющие граничным условиям и условиям ортогональности:

JVjix) %(x)dx = 0;

о

Г4

№ /,/=1,2,...) (1.1.3)

й F ix)

^~1Yi(x)dx = 0.

Пусть изменение осевой силы и скорости потока жидкости происходит по гармоническому закону с частотами р и £

6(O=0O+6lCOS & V(/)=V0+Vicos pt,

причем Q\ « Qo и V! « v0.

Применим к уравнению в частных производных (1.1.1) метод нормальных координат: подставим (1.1.2) в (1.1.1), умножим уравнение на Yi(x) и проинтегрируем полученное выражение по х на интервале [0,/]. Таким образом, для функций времени ф;(г) получим бесконечную систему дифференциальных уравнений второго порядка с периодическими коэффициентами:

¿/V аГф,- 2 ^ dWj

оо

+ 2ю г2у COSPt ~ k'Wij s*nР* + Чц cos2Р1 + СОБ^ОФ/ + (г=1,2,...) (1.1.4)

j=i

Jj*i

где

p 7 ' v E (p + m)

V0 + 2^ +"

9 J

a cij vAj V0V,C,Í V, ctj p 2v0btJ

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Щеглов, Георгий Александрович

2.4. Основные результаты численных экспериментов

Проведенные численные эксперименты подтверждают, что аддитивные и особые резонансы возникают в системе, только когда два параметрических возбуждения одновременно вызывают в системе параметрический резонанс.

Численные эксперименты подтверждают также, что возникновение особых резонансов, приводящее к расширению области неустойчивости, происходит при выполнении найденных в первой главе условий существования особых резонансов. В случае невыполнения этих условий в системе наблюдается два классических параметрических резонанса.

Проведенные эксперименты показывают, что все полученные в первой главе аналитические формулы для определения в первом приближении границ областей неустойчивости аддитивных и особых резонансов позволяют получать результаты с пригодной для практических приложений точностью.

Сравнение решений системы (1.1.4) дифференциальных уравнений ср;(/) с решениями полученных в первой главе приближенных дифференциальных уравнений для а/(/), проведенное для всех типов аддитивных и особых резонансов в малой окрестности области неустойчивости, показывает, что найденные приближенные уравнения могут применяться на практике для качественного анализа поведения системы.

Численные эксперименты подтверждают обнаруженные в ходе теоретических исследований частные случаи и особые свойства аддитивных и особых резонансов.

Заключение

1. Изучен вопрос о параметрических колебаниях прямого трубопровода с протекающей жидкостью, находящегося под действием двух независимых параметрических возбуждений, частота которых сравнима с частотой собственных колебаний системы.

2. Получена в наиболее общем виде система линейных дифференциальных уравнений динамической устойчивости прямого трубопровода, содержащего неразрывный поток невязкой несжимаемой жидкости, скорость которой имеет как постоянную, так и небольшую переменную составляющую, изменяющуюся по гармоническому закону, нагруженного продольной косинусоидальной силой.

3.В первом приближении установлены все возможные случаи наступления параметрического резонанса в системе. Показано, что действие на систему двух параметрических возбуждений приводит к резкому увеличению числа резонансов, возможных в системе. Произведена классификация возможных резонансных случаев.

4.Найдены и исследованы новые типы параметрических резонансов, присущие только системам с двойным параметрическим возбуждением: аддитивные и особые резонансы.

5.Получены приближенные аналитические зависимости, позволяющие рассчитать области динамической неустойчивости для всех новых типов параметрических резонансов.

6.Получены в аналитическом виде условия существования областей динамической неустойчивости новых типов параметрических резонансов, позволяющие, не решая исходной системы дифференциальных уравнений, по виду коэффициентов системы или только знаков этих коэффициентов судить о возможности возникновения в конкретном случае резонансов определенного типа.

7.Найден способ наглядного представления условий существования областей динамической неустойчивости на плоскости параметров системы, позволяющий при проектировании производить поиск оптимальных конструкций с минимальными затратами времени.

8.Получены дифференциальные уравнения, описывающие в первом приближении поведение амплитуды и фазы решений в окрестностях областей неустойчивости аддитивных и особых резонансов.

9.Доказано, что аддитивные резонансы являются более общим случаем известных основных и комбинационных резонансов, возникающих в системе с одним параметрическим возбуждением. Получено обобщенное «правило знаков» для аддитивных резонансов. Получено условие расширения области неустойчивости аддитивных резонансов при введении в систему линейного демпфирования.

Обнаружено, что в аддитивном резонансе динамическая неустойчивость может быть устранена за счет взаимодействия двух параметрических возбуждений. Найдены соответствующие условия для параметров возбуждений.

10.Обнаружено, что в некоторых типах особых резонансов при увеличении амплитуды одного из возбуждений область динамической неустойчивости не расширяется, а, наоборот, сужается. Получены условия, при которых данное явление имеет место.

11. Полученные в работе теоретические результаты проверены при помощи численных экспериментов на ЭВМ. Результаты экспериментов с высокой точностью совпали с результатами вычислений по выведенным формулам.

12.Создано программное обеспечение для операционной системы Windows 95, позволяющаее производить исследования и практические расчеты динамической устойчивости реальных трубопроводов с двумя параметрическими возбуждениями, проводить количественный и качественный анализ конструкций.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Щеглов, Георгий Александрович, 1999 год

Литература

1.Бейлин Е.А, Джанелидзе Г.Ю. Обзор работ по динамической устойчивости упругих систем. // Прикл. матем. и механика. -1952. -№3. -С.16-40.

2.Беляев Н.М. Устойчивость призматических стержней под действием переменных продольных сил / Инженерн. сооруж. и строит, механика. -Л.: «Путь», -1924. - С.10-28.

3.Бидерман B.JI. Теория механических колебаний. -М.: Высшая школа, 1980. - 408 с.

4.Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1974. - 410 с.

5.Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. -М.: Гостехиздат, 1956. - 600 с.

6.Численные методы расчета устойчивости параметрически возбуждаемых систем / В.В. Болотин, O.A. Бабин, A.B. Голубков и др. Расчеты на прочность. (-М.:). - 1982. - Вып.23. - С. 194-207.

7.Валеев К. Г. Об одном методе решения систем линейных дифференциальных уравнений с синусоидальными коэффициентами // Изв. высш. учебн. завед.: Радиофизика. - 1960. - №6 - С.3.-17.

8.Вибрации в технике: Справочник. Колебания нелинейных механических систем/ Под. ред. И.И. Блехмана. -М.: Машиностроение, 1979. - Т.2. - 351 с.

9.Вибрации в технике: Справочник. Колебания машин, конструкций и их элементов/ Под. ред. Ф.И. Диментберга, К.С.Колесникова. -М.: Машиностроение, 1980. - Т.З. - 544 с.

Ю.Вульфсон И.И. О колебаниях систем с параметрами, зависящими от времени // Прикл. матем. и мех. - 1969. - №2. - С.33-40.

П.Горелик Г.С. Резонансные явления в линейных системах с периодически меняющимися параметрами. // ЖТФ. - 1934. - №.10. -С.4.-20.

12.Гуляев В.И., Гайдайчук В.В., Абдулаев Ф.Я. Самовозбуждение неустойчивых колебаний в трубчатых системах с подвижными массами // Прикл. мех. (Киев), - 1997. -Т.ЗЗ, №.3. - С.84-90.

13.Диментберг Ф.М. Изгибные колебания вращающихся валов. -Киев: Изд. АН УССР, 1959. - 180 с.

14.Ильин В.П., Соколов В.Г. Исследование параметрического резонанса в трубопроводах, содержащих пульсирующий поток жидкости // Вопросы механики строительных конструкций и материалов: Межвуз. сб. тр. -Л.: ЛИСИ, 1987. - С.6-11.

15.Ильин М.М., Колесников К.С. Параметрические колебания незакрепленного стержня // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. -1969. - №.5. - С17-32.

16.Капица П.Л. Маятник с вибрирующим подвесом // Успехи физических наук. - 1951. - Т. XLIV, Вып.1. - С.8-20.

17.Картвелишвили H.A. Динамика напорных трубопроводов. -М.: Энергия, 1979. - 224 с.

18.Картвелишвили H.A. Поперечные колебания и динамическая прочность напорных трубопроводов в связи с кавитационными явлениями в турбинах // Известия ВНИИГ им. Б.Е.Веденеева. - 1953. -Т.49. - С.31-53.

19.Коваленко K.P. О влиянии внешнего и внутреннего демпфирования на динамическую устойчивость стержней. // Прикл. матем. и мех. - 1959. -№.2. - С.23-30.

20.Колесников К.С., Рыбак С.А., Самойлов Е.А. Динамика топливных систем ЖРД. -М.: Машиностроение, 1975. - 172 с.

21.Кондрашов Н.С. О параметрических колебаниях в трубопроводах. // Труды Куйбыш. авиац. ин-та. - 1965. - Вып. 19. - С.20-27.

22.Кондратов Н.С. Параметрические колебания трубопроводов на упруго-демпфирующих опорах, вызываемые пульсирующим потоком / Рассеяние энергии при колебаниях механических систем. Сб.статей.-Киев: Наукова думка, 1968. - С.427-433.

23.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1970. - 720 с.

24.Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Исследование явления резонанса при поперечных колебаниях под действием периодических нормальных сил, приложенных к одному из концов стержня. / Исследование колебаний конструкций. - Харьков-Киев: ОНТИ, 1935. - С.45-56.

25.Куликов Ю.А Динамика трубопроводов JIA.: Дис. ...док. техн. наук. -М.: МГТУ, 1995. - 350 с.

26.Лебедев О.В., Хромова Г.А. Динамика гибких криволинейных рукавов высокого давления с пульсирующим потоком рабочей жидкости // Динамика и технол. проблемы мех. конструкций и сплош. сред.: Тез. докл. всерос. симп. -М.:, 1995. - С.31

27.Лыоисел У. Связанные и параметрические колебания в электронике. -М.: Изд-во иностр. лит., 1963. - 180 с.

28.Мак-Лахлан Н. Теория и приложения функций Матье. -М.: Изд-во. Иностр. лит., 1953. - 165 с.

29.Малкин Н.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. -М.: Гостехтеориздат, 1956. - 491 с.

30.Матвийчук К.С. Техническая устойчивость прямолинейного трубопровода с транспортируемой жидкостью // Прикладная механика. (Киев). - 1989. -Т.25, №.5. - С.97-102.

31.Михайлов Ф.А. Свободные колебания линейных систем с переменными параметрами. -М.: Оборонгиз, 1961. - 123 с.

32.Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. -М.: Наука, 1969. - 380 с.

33.Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках БЕЙСИК, ФОРТРАН и ПАСКАЛЬ. -Томск: МП «Раско», 1991. - 272 с.

34.Натанзон М.С. Параметрические колебания трубопровода, возбуждаемые пульсирующим расходом жидкости // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. - 1962. - №.4. - С.42-46.

35.Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. -М.: Наука, 1991. - 256 с.

36.Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. -Л.: Машиностроение, 1976. - 320 с.

37.Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. -М.: Наука, 1987. - 352 с.

38.Перевощиков С. И. Гидродинамическая вибрация насосных агрегатов. -Тюмень: ТюмГНГУ, 1997. - 108 с.

39.Пилипенко В.В. Анализ взаимодействия продольных и кавитационных колебаний в нелинейной динамической системе ЖРДУ -корпус ракеты // Междунар. конф. научно - техн. пробл. космонавт, и ракетостр. посвящ. 50 - летию создания ЦНИИ машиностр.: Тез. аннот. доклада. -Калининград м.о., 1996. - С.254-255.

40.Приступина Н.С. Спектральные характеристики пульсаций давления и вибрация трубопроводов // Пром. теплотехн. - 1996. - №.1. - С.92-95.

41.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. -М.: Наука, 1989. -432 с.

42.Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. -М.: Наука, 1987. - 432 с.

43.Светлицкий Ю.А. Механика трубопроводов и шлангов: Задачи взаимодействия стержней с потоком жидкости или воздуха -М.: Машиностроение, 1982. - 280 с.

44.Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. -М.: Наука, 1967. - 444 с.

45.Ушаков B.C. Колебания и динамическая устойчивость трубопроводов самолетных гидросистем: Автореф. дис. ...канд. техн. наук. -Рига: РВИАУ ВВС, 1956. - 18 с.

46.Феодосьев В.И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов. -М.: Наука, 1973. - 400 с.

47.Феодосьев В. И. О колебаниях и устойчивости трубы при протекании через нее жидкости // Инж. сб., Изд. АН СССР. -1951. - №.10. -С.169-170.

48.Фролов К.В. Некоторые проблемы параметрических колебаний элементов машин / Колебания и устойчивость приборов, машин и элементов систем управления. Сб. статей. -М.: Наука, 1968. - С.5-20.

49.Челомей В.Н. Динамическая устойчивость элементов авиационных конструкций. -Изд-во Аэрофлота, 1939. - 20 с.

50.Челомей В.Н. Избранные труды. -М.: Машиностроение, 1989. - 336 с.

51.Челомей В.Н. О возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибраций // Докл. АН СССР. -1956. -№.3. -С.110-122.

52.Челомей С.В. Некоторые вопросы динамической устойчивости упругих систем: Дис. ...канд. физ.-мат. наук -М.: МФТИ, 1979. - 149 с.

53.Челомей С.В. О динамической устойчивости упругих систем // Докл. АН СССР -1980. -Т.252, №.2. - С.307-310.

54.Челомей С.В. О динамической устойчивости упругих систем при протекании через них пульсирующей жидкости // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. - 1984. - №.5. - С. 170-174.

55.Шмидт Г. Параметрические колебания. -М.: Мир, 1978. - 350 с.

56.Шорин В.П. Устранение колебаний в авиационных трубопроводах. -М.: Машиностроение, 1980. - 156 с.

57.Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения. -М.: Наука, 1972. - 400 с.

58.Aitken J. An account on some experiments on rigidity produced by centrifugal force // Philos. Mag. -1878. -Ser 5, N.5. - P. 81-105.

59.Anderson. A., Simpson A.R., McPheat J.G. Servere pressure surges in a simple pump-pipeline-valve system (and what do about it) // Progress safety Progr. [Plant/Oper. Progr.]. - 1997. - N.l. - P. 18-22.

60.Ashley H., Haviland G. Bending vibrations of a pipe line containing flowing fluid // Trans.ASME. J. Appl. Mech. -1950. -Vol.17, N.3. - P.229-232.

61. Chen S.-S. Dynamic stability of tube conveging fluid //J. Engng Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civil Engrs. - 1971. - Vol.97, N.5. - P.1469-1485.

62.Geza К. Stability of periodically operating dynamic system // Period, polytechn. Mech. Eng. - 1996. - N.l. - P.45-47.

63.Gregory R.W., Paidoussis M.P. Unstable oscilation of tubular cantilevers conveying fluid. Theory and experiments. Pt 1-2 // Proc. Roy. Soc. Ser. A. -1966. -Vol.239, N.1435. - P.512-542.

64.Gunder D., Friant D. Stability of Flow in a Rocket Motor // Trans. ASME. J. Appl. Mech. -1950. -Vol.17, N.3. - P.327-333.

65.Hatfield F.J., Wiggert D.C., Otwell R.S. Fluid structure interaction in piping by component synthesis (Рус. пер.: Теоретические основы инженерных расчетов. -1982. -Т.104, №.3. - С.138-147.)

66.Housner G.W. Bending vibrations of a pipe line containing flowing fluid // Trans. ASME. J. Appl. Mech. - 1952. - Vol.19, N.2. - P.205-208.

67.Iwatsubo Т., Sugiyama, K. Ishihara. Stability and nonstationary vibration of collumns under periodic loads // J. of Sound and Vibr. -1972. -Vol.23, N.2. -P.245-257.

68.Kalinin V.M., Sherstiannikov V.A. Vibration and pulsation processes in feed systems of liquid rocket engines // Acta astronaut. - 1983. - Vol.10, N.ll. -P.713-718.

69.Long R.H. Experiments and theoretical study of transverse vibrations of a tube containing flowing fluid // Trans. ASME. J. Appl. Mech. - 1955. - Vol.22, N.l. -P.65-68.

70.Masahide N. et a. Vibration of flexible tube induced by pulsatile flow of emulsions // Nihon kikai gakkai ronbunshu. В Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. B. -1996. -N. 599. -P.2619-2625.

71.Mettler E. Biegeschwingungen eines Stabes unter pulsierender Axiallast / Mit. Forsh.-Anst. GHH-Konzern. - 1940. - S.8-20.

72.Mindlin R.D., Goodman L.E. Beam vibrations with time-dependent boundary conditions // Trans ASME. J. Appl. Mech. -1950. -Vol.17, N.4. -P.377-380.

73.Namachchivaya N.S. Non-linear dynamics of supported pipe conveying pulsating fluid. I. Subharmonic resonance. II. Combination resonance // Int. J. Non-Linear Mech. -1989. -Vol.24, N.3. -P.185-196, 197-208.

74.Paidoussis M.P., Luu T.P., Laithier B.E. Dynamics of finite-length tubular beams cnveying fluid // J. of Sound and Vibr. -1986. -Vol.106, N.2. -P.311-331.

75.Paidoussis M.P. Issid N.T. Dynamic Stability of pipes conveying fluid // J. of Sound and Vibr. - 1974. - Vol.33, N.3. -P.267-294.

76.Paidoussis M.P. Issid N.T. Experiments on parametric resonance of pipes containing pulsating flow // Trans. ASME. Ser. E J.Appl. Mech. - 1976. -Vol.43, N.2. - P. 198-202.

77.Paidoussis M.P., Sundararajan C. Parametric and combinatior resonances of a pipe conveying pulsating fluid // Trans. ASME. Ser. E J.Appl. Mech. - 1975. - Vol.42, N.4. - P.780-784.

78.Weidenhammer F. Der eingespannte, axial pulsierend belastete Stab als Stabilitaetsproblem // Ing. Arch. - 1951. - N7 - S. 19-28.

79.Wernerowski K. Asymptotyczna metoda rozwiazania wibracji gietnych belki // Zesz. nauk. Mech./PSI. - 1994. - N.115. - P.393-400.

80.Yamaguchi A. Stydies on the characteristics of axial plunger pumps and motors // Bull. JSME. - 1966. - Vol.9, N.34. - P.314-327.

81.Zajic B. Combination resonances in the system of periodic cefficients and a small parametr // Facta Univ. Ser. Mech., Autom., Contr. and Rob. Univ. Nis. - 1996. - N.6. - P.83-95.

82.Yongkai. Z., Yiming. C. Resonance of a fluid line // Yingyong lixue xuebao Chin. J. Appl. Mech. - 1995. - Vol.12, N1. - P. 117-125.