Бифуркационные явления в стохастических осцилляторах и экспериментальная оценка управляющих параметров зашумленных систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Маляев, Владимир Сергеевич

• Маляев, Владимир Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Маляев, Владимир Сергеевич

Содержание

Введение

Глава 1. Бифуркации в генераторе Ван дер Поля с жестким возбуждением в присутствии параметрического шума

1.1. Модели генератора с шумом и вывод укороченных стохастических уравнений

1.2. Теоретический анализ стохастических бифуркаций в рамках квазигармонического приближения

1.3. Численное исследование генератора и сравнение результатов

1.4. Выводы по первой главе

Глава 2. Исследование индуцированных шумом эффектов в осцилляторе Крамерса с конечными потерями

2.1. Эффект стохастического резонанса

2.2. Эффект стохастической синхронизации

2.3. Индуцированный шумом хаос

2.4. Выводы по второй главе

Глава 3. Исследование шумовой стабилизации и индуцированных шумом эффектов в неустойчивом нелинейном осцилляторе

3.1. Исследуемая система. Эффект стабилизации шумом

3.2. Стохастическая бифуркация подавления хаотической динамики

3.3. Спектрально-корреляционный анализ ограниченных шумом колебаний. Эффект когерентного резонанса

3.4. Выводы по третьей главе

Глава 4. Оценка управляющих параметров зашумленных динамических систем в численном и радиофизическом экспери-

ментах

4.1. Оценка значений постоянного управляющего параметра нелинейной системы по временным реализациям в численном и радиофизическом экспериментах

4.2. Оценка меняющегося во времени параметра и выделение полезного сигнала модулирующего параметр хаотической системы, содержащей шум

4.3. Выводы по четвертой главе

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Бифуркационные явления в стохастических осцилляторах и экспериментальная оценка управляющих параметров зашумленных систем»

Введение

Реальная система любой природы всегда находится под воздействием внутренних и внешних случайных сил. Даже будучи слабыми такие воздействия могут играть очень важную роль в поведении системы. По этой причине они должны учитываться при математическом моделировании динамической системы.

Фундаментальные основы теории динамических систем в присутствии случайных воздействий (т.е. шума) изложены в известных монографиях [1-9]. Воздействие шума на динамическую систему приводит к разнообразным явлениям. Многие из таких явлений были открыты и исследованы в последние годы. Среди них наиболее значимыми представляются явления стохастического резонанса [10-14], когерентного резонанса [15, 16], стохастической синхронизации [17-19], индуцированного шумом хаоса [20-23], подавление хаотической динамики случайным воздействием [24-26], синхронизация шумом ансамбля осцилляторов [27, 28] и т.д. Однако, в силу разнообразности возможных эффектов, которые существенно зависят, как от свойств динамической системы, так и от характеристик шума, общая концепция поведения динамических систем в присутствии шума на сегодняшний день еще не вполне сложилась, и исследования в этой области являются актуальным направлением в нелинейной теории колебаний.

Особое место в исследовании эффектов шумового воздействия занимает вопрос о влиянии шума на бифуркационные явления в динамических системах. Бифуркационный анализ в детерминированной нелинейной динамике играет очень важную роль. Он позволяет определить возможные сценарии перехода системы от простого поведения к сложному, проанализировать структуру возникающих предельных множеств и разработать методы управления этой структурой [29, 30]. Известно, что вблизи бифуркаций система является

пегрубой и особенно чувствительна к малым возмущениям [31], в том числе к слабому шумовому воздействию. Возникает вопрос, что будут представлять собой типичные бифуркации динамических систем при наличии шума и к чему они могут приводить с точки зрения статистических характеристик поведения системы. Бифуркации в системах с шумом называют стохастическими. Среди работ в данном направлении можно назвать известную монографию В. Хорстнемке и Р. Лефевра [6], а также книгу Л. Арнольда [8], одна из глав которой посвящена стохастическим бифуркациям. В [8] различаются два типа стохастических бифуркаций: феноменологические бифуркации (Р-бифуркации), состоящие в качественном изменении формы стационарного вероятностного распределения, и динамические бифуркации (Б-бифурка-ции), связанные с изменением устойчивости траекторий по отношению к малым возмущениям. Имеется ряд теоретических и экспериментальных работ, посвященных исследованию влияния шума на различные типы детерминированных бифуркаций [21, 32-39]. В [6] отмечается, что шум может не только видоизменять существующие в детерминированных системах бифуркации, но и, при некоторых условиях, приводить к качественно новому поведению. Такие явления были названы индуцированными шумом переходами. Однако достаточно полная общая теория бифуркаций в зашумленных системах до настоящего времени отсутствует. Причина этого во многом объясняется тем, что стохастические бифуркации не обладают универсальностью локальных бифуркаций динамических систем, которые не зависят от конкретного вида уравнений, описывающих систему и функций, задающих нелинейности. Влияние шума на одну и ту же бифуркацию в различных системах может быть существенно различно. Кроме того, влияние шума на поведение системы сильно зависит от статистических характеристик шумового воздействия. Характеристики шума, такие как его интенсивность, дисперсия, время корреляции или ширина спектра, могут играть роль бифуркационных параметров

системы.

Одной из типичных и важных бифуркаций динамических систем является бифуркация рождения предельного цикла (бифуркация Андронова-Хопфа). С этой бифуркацией связано возникновение режима автоколебаний в генераторах. Она может носить мягкий (суперкритический) и жесткий (субкритический) характер. В субкритическом случае автогеиерация предшествует бифуркации, и в системе наблюдается бистабильность. Исследование влияния шума на переход к автоколебательному режиму представляет собой классическую задачу статистической радиофизики. Эффекты, связанные с воздействием аддитивного и мультипликативного (параметрического) шума на бифуркацию Андронова-Хопфа изучалось в ряде работ, например в [21, 34, 35, 40-49]. При этом использовались как приближенные аналитические методы [21, 34, 40, 42, 43, 45-47], так и компьютерное моделирование [35, 48], а также натурный эксперимент [41]. В большинстве отмеченных работ рассматриваются системы с суперкритической бифуркацией Андронова-Хопфа. Показаны различия в бифуркационных сценариях при аддитивном и мультипликативном гауссовом шуме [35, 42, 46], установлено, что шум приводит к возникновению бифуркационного интервала, т.е. вместо точки бифуркации возникает интервал значений управляющего параметра, соответствующий постепенной эволюции стационарного вероятностного распределения [21, 35, 40, 41, 43], изучено влияние корреляционных свойств цветного шума на границы бифуркационного интервала [40, 43]. В меньшей степени исследовано влияние шума па систему с субкритической бифуркацией Андронова-Хопфа. В [47] рассматривается воздействие аддитивного белого шума, а в [48] исследуется влияние двух источников - аддитивного и параметрического цветного гауссова шума. В работе [50] аналитически исследован осциллятор Хопфа с жестким возбуждением при воздействии аддитивного и параметрического гауссова белого шума. Следует отметить, что осциллятор

Хопфа является строго гармоническим и потому допускает строгое описание в терминах мгновенной амплитуды и фазы. Однако, в отличие от осциллятора Вап дер Поля, осциллятор Хопфа не моделирует реальную автоколебательную систему. Таким образом, не исследованным остался случай воздействия белого параметрического шума па генератор Ван дер Поля с субкритической бифуркацией Андронова-Хопфа. При исследовании бифуркации Андро-нова-Хопфа часто используется квазигармонический анализ, основанный на методе усреднения. Известно, что метод усреднения не показывает всех деталей бифуркационного перехода [21, 43], а при значительном шуме может сильно исказить истинную картину режимов системы. Соответственно, большое значение приобретает сравнение теоретических результатов с результатами численных исследований и выявление рео/симов динамики системы, для которых квазигармоиический анализ имеет ограничения.

Особенно заметную роль шум играет в поведении диссипативных осцилляторов, которые в детерминированном случае не демонстрируют режимов стационарных колебаний и только при шумовом воздействии в них устанавливается стохастические колебания со стационарной плотностью вероятности, соответствующие существованию стохастического аттрактора [8]. Такие осцилляторы, содержащие источники шума, принято называть стохастическими осцилляторами [30, 38, 51-53]. Можно выделить несколько типов стохастических осцилляторов, демонстрирующих ряд фундаментальных эффектов. К ним, прежде всего, относятся бистабильпые осцилляторы, для которых при наличии входного гармонического (или узкополосного) сигнала характерен эффект стохастического резонанса (СР) [10-13, 54, 55] и возбудимые осцилляторы, проявляющие свойство когерентного резонанса (КР) [15, 16, 56]. Бистабильпые и, особенно, возбудимые осцилляторы обладают рядом черт, свойственных автоколебательным системам, что позволяет говорить о них как о стохастических автогенераторах, совершающих незатухающие колебания за

счет подкачки энергии от источника шума [52, 53]. Прежде всего, здесь следует отметить свойство частичной синхроиизуемости стохастических колебаний при внешнем воздействии на систему или при взаимодействии двух осцилляторов [17-19, 30, 57-59]. Эффекты СР, КР и стохастическая синхронизация показывают конструктивную роль шума, который может привести к увеличению порядка в поведении системы. Эти явления исследовались теоретически, методами компьютерного моделирования и наблюдались экспериментально во множестве систем, различной природы, включая распределенные среды и живые организмы [13, 30, 58, 60-70].

С другой стороны, шум может не только привносить в систему некоторую степень неупорядоченности, по и индуцировать переход самой системы к хаотической динамике, проявляющейся в экспоненциальной неустойчивости траекторий [20-23, 71, 72]. Двумерный нелинейный осциллятор с двухъ-ямным потенциалом (каким является осциллятор Дуффинга), находящийся под действием белого гауссова шума и гармонического сигнала, может служить примером системы, демонстрирующей сразу несколько вызванных шумом эффектов — СР, стохастической синхронизации и индуцированного шумом хаоса. Первые два эффекта, как уже отмечалось, детально исследованы [11-13, 30, 73]. Однако в имеющихся работах, как правило, рассматривается модель так называемого передемпфированного осциллятора, который описывает движение броуновской частицы в двухъямном потенциале с бесконечным трением и задается стохастическим дифференциальным уравнением первого порядка. Имеется сравнительно мало работ, в которых эффекты СР и стохастической синхронизации рассмотрены для осциллятора с конечным трением, например [63, 64, 74-76]. Кроме того, в научной литературе не рассматривается вопрос — как соотносятся эффекты СР и стохастической синхронизации с индуцированным шумом переходом к хаосу и не сопоставлялось влияние уровня диссипации на все три эффекта сразу.

Кроме вышеуказанных классов систем к стохастическим осцилляторам можно отнести системы, в которых в отсутствие шума наблюдается неограниченный рост амплитуды, а шумовое воздействие приводит к ограничению амплитуды и установлению стационарных стохастических колебаний. Пример подобного поведения был дан в [77] в связи с моделированием влияния шума па неустойчивость в плазме. Назовем такие системы осцилляторами с шумовой стабилизацией колебаний. Эффект стабилизации шумом, также как явления СР, КР и стохастической синхронизации, может служить примером упорядочивающей роли шума в нелинейных системах. В целом свойства осцилляторов с шумовой стабилизацией мало изучены. Исследование, проведенное в [77] относится к воздействию шума сравнительно слабой интенсивности. Остается ряд неисследованных вопросов, связанных с поведением системы при сильном, шуме, со статистическими характеристиками стабилизированных колебаний и возможными стохастическими бифуркациями в системе.

Одной из перспективных и важных прикладных задач нелинейной динамики является проблема скрытой передачи информации с использованием хаотических сигналов. Решение данной задачи связано с применением методов реконструкции в устройствах защиты и передачи секретной информации [78-81]. Исследования по использованию хаоса в системах связи начали активно проводиться с 80-х годов прошлого века и обширно отражены в научной литературе [78, 79, 82-93]. Предложено множество вариантов шиф-ровки\дешифровки передаваемых сигналов на основе хаотической синхронизации - таких как: хаотическая маскировка, переключение хаотических режимов, нелинейное подмешивание информационного сигнала к хаотическому, модулирование управляющих параметров передающего генератора полезным цифровым сигналом и др. На основе этих схем предложены соответствующие способы скрытой передачи данных [93].

Несмотря на то, что на данный момент уже разработано большое количество методов, и высокий потенциал многих из них был продемонстрирован не только в численных, но и в натурных экспериментах, их практическое применение ограничено. Многие предлагаемые алгоритмы имеют в основе метод максимального правдоподобия и сводятся к отысканию условного экстремума некоторой оценочной функции [84-90, 94, 95]. К сожалению, несмотря на высокую точность, такие методы слишком сложны и, из-за большого объема вычислительных операций, применительно к задаче передачи информации в реальном времени могут оказаться неэффективными. Кроме того точность подобных алгоритмов может сильно ухудшиться в режиме хаотической динамики системы [88]. Методы оценки параметров, использующие полную или обобщенную синхронизацию [91, 92], также представляются слишком сложными, они не особенно надежны в присутствии сильного шума и требуют создания второй ДС - полного аналога исследуемой системы (т.е. параметры двух систем, которые полагаются известными, должны строго совпадать).

Различные методы оценки управляющих параметров динамических систем подробно описаны в работах [96-98]. Оценка параметров для систем с запаздыванием рассматривается в [99, 100]. Один из предлагаемых методов, рассмотренный в [78], основан на оценке параметров динамической системы по временным реализациям динамических переменных. В этом случае изменение одного или нескольких параметров во времени служит информационным сигналом, который требуется восстановить. Однако, в данной работе как и в большинстве подобных задач, шум добавлялся к сигналу системы, которая полагалась детерминированной. Постоянно совершенствуются методы выделения полезного сигнала из шума [80, 94, 97, 101]. В то же время, проблемы, связанные с оценкой параметров систем в присутствии динамического шума (т.е. шума воздействующего на динамическую систему) до настоящего времени недостаточно исследованы.

Вышесказанное свидетельствует о важности и актуальности разработки метода, который должен удовлетворять требованиям, предъявляемым к системам скрытой передачи информации, и в то же время быть достаточно быстрым. Таким образом, актуальной задачей исследования зашумленных систем является разработка способа достаточно точной и быстрой оценки меняющихся во времени параметров по экспериментальным реализациям, который бы мог на практике быть использован в системах скрытой передачи информации в условиях значительного динамического шума. Также представляется ваэюным исследовать возможности оценки параметров в условиях нетривиальной динамики зашумленной системы: в присутствии бифуркаций и в режиме хаоса.

Все вышесказанное подтверждает актуальность исследований в выбранной области и служит основанием для формулировки цели и задач диссертационного исследования.

Целью диссертационной работы является решение актуальной задачи радиофизики, состоящей в исследовании вызванных шумом эффектов в нелинейных колебательных системах: стохастических бифуркаций в генераторе с жестким возбуждением, стохастического резонанса и индуцированного шумом хаоса в осцилляторе Дуффинга и шумовой стабилизации колебаний в нестационарном нелинейном осцилляторе, а также в разработке и экспериментальной апробации способа оценки параметров зашумленных систем по экспериментальным данным с целью его перспективного применения в системах скрытой передачи информации.

Для достижения поставленной цели, в рамках диссертационного исследования, необходимо было решить следующие основные задачи:

1. Провести анализ стохастических бифуркаций в генераторе с жестким возбуждением при наличие параметрического и аддитивного гауссова белого шума. Для этого применить метод усреднения и на основе укороченных уравнений получить аналитическое выражение для стационарной плотности вероятности динамических переменных. Исследовать экстремумы вероятностного распределения в случае воздействия параметрического шума, а также совместного воздействия независимых источников параметрического и аддитивного шума. Сравнить результаты приближенной теории с данными, полученными в результате численного интегрирования полных стохастических уравнений генератора, и выявить случаи шумового воздействия на систему, при которых возникает ограничение квазигармонического анализа;

2. Исследовать стохастический резонанс в нелинейном диссипативном би-стабилыюм осцилляторе, описываемым стохастическим дифференциальным уравнением второго порядка (т.е. в предположении конечной величины коэффициента затухания). Установить зависимость формы резонансных кривых и оптимальной интенсивности шума от величины коэффициента затухания. Установить, как влияет величина диссипации на границы области стохастической синхронизации. Исследовать наблюдающуюся в системе стохастическую бифуркацию Б-типа, определить границу индуцированного шумом хаоса при вариации интенсивности шума и коэффициента затухания и ответить на вопрос о том, существует ли взаимосвязь данной стохастической бифуркации с явлениями стохастического резонанса и стохастической синхронизации;

3. Исследовать поведение стабилизируемого шумом нелинейного осциллятора в широкой области изменения интенсивности шума и рассмотреть, демонстрирует ли система при вариации интенсивности шума какие-

либо бифуркационные явления, а также выяснить, как при этом изменяются статистические характеристики стохастических колебаний;

4. Разработать способ оценки параметров зашумленной системы, описываемой известной математической моделью, основанный на прямой статистической обработке экспериментальных данных. Провести численное исследование точности оценки параметра в зависимости от уровня динамического шума и характера колебательного режима на примере нескольких динамических систем. Создать аналоговую модель хаотической системы с источником динамического шума, собрать экспериментальную радиоэлектронную установку и в эксперименте показать возможность достаточно точной оценки управляющего параметра, а также провести эксперименты по восстановлению сигнала, модулирующего управляющий параметр.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы.

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы диссертационной работы, проводится краткий обзор известных результатов, определяются цели исследования, ставятся основные задачи и формулируются положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации рассматривается поведение генератора с жестким возбуждением у порога генерации при действии на него параметрического (мультипликативного) гауссова белого шума, а также при наличие двух независимых источников шума - параметрического и аддитивного. Исследуется эволюция вероятностного распределения при изменении управляющего параметра и интенсивности шума. Проводится сравнение теоретических результатов, полученных в рамках квазигармонического приближения с результатами численных исследований стохастических уравнений генератора.

Во второй главе диссертации исследуются эффекты стохастического резонанса, стохастической синхронизации и индуцированного шумом хаоса в нелинейном осцилляторе с конечными потерями. Вводятся эквивалентные характеристики потенциального профиля, позволяющие применить к исследуемой модели аналитические соотношения, полученные для передемпфнро-ваниого осциллятора. Исследуется вызванный шумом переход к хаотической динамике.

В третьей главе диссертации исследуется неустойчивый нелинейный осциллятор, в котором рост амплитуды колебаний ограничивается с помощью шумового воздействия. Рассчитываются характеристики стабилизированных шумом колебаний. Показано, что в системе при изменении интенсивности шума можно наблюдать такие эффекты, как подавление экспоненциальной неустойчивости траекторий и сужение спектра колебаний.

Четвертая глава диссертации посвящена разработке и апробации способа диагностики неизвестного параметра заданной динамической системы по реализациям колебаний. На примере нескольких динамических систем с помощью численного моделирования и в радиофизических экспериментах исследуется точность оценки параметров в зависимости от уровня динамического шума в системе, от характера колебательного режима и имеющихся бифуркаций. Экспериментально показана возможность использования предлагаемого метода для восстановления сигнала, модулирующего управляющий параметр зашумленной хаотической системы.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Материал диссертационной работы изложен па 147 страницах, содержит 43 иллюстрации и список цитируемой литературы из 134 наименований.

Научная новизна результатов диссертационной работы определяется следующим:

1. Установлена качественная картина стохастических бифуркаций в генераторе с жестким возбуждением в присутствии параметрического и аддитивного белого шума. Проведено сравнение результатов квазигармо-пического анализа и численного расчета, свидетельствующее об ограниченности квазигармонического метода при исследовании стохастических бифуркаций.

2. Численно подтверждены аналитические результаты по влиянию конечной диссипации на эффект СР в бистабильиом осцилляторе. Показано, что оптимальная интенсивность шума может быть достаточно точно определена по формулам, полученным для передемпфированного осциллятора путем введения эквивалентного потенциала.

3. Установлены и исследованы феноменологическая и динамическая бифуркации для стохастического осциллятора с шумовой стабилизацией колебаний, наблюдающиеся при большой интенсивности шума.

4. На примере нескольких генераторов различного типа исследована возможность оценки управляющих параметров зашумленных систем методом прямой статистической обработки реализации колебаний. Проведено исследование влияния уровня шума и характера динамического режима на точность оценки параметра.

5. В радиофизическом эксперименте показана возможность практически приемлемой оценки управляющего параметра в присутствии значительного динамического шума, осуществлено восстановление сигнала, модулирующего параметр зашумленной хаотической системы и, тем самым, показана возможность использования модуляции параметра зашумленной системы для скрытой передачи информации в реальном времени.

Достоверность научных выводов работы подтверждается взаимным соответствием аналитических результатов, результатов численного анализа и

моделирования, а также результатов радиофизического эксперимента.

На защиту выносятся следующие положения и результаты:

1. Стохастический резонанс и стохастическая синхронизация не связаны

со стохастической бифуркацией динамического типа, наблюдающейся в модели бистабильного осциллятора с шумом, так как область экспоненциальной неустойчивости системы на плоскости параметров "диссипация — интенсивность шума" значительно удалена от области стохастического резонанса и стохастической синхронизации;

2. В стохастическом осцилляторе с шумовой стабилизацией при большом

уровне шумового воздействия имеют место стохастические бифуркации динамического и феноменологического типов, а также наблюдается эффект, подобный когерентному резонансу, проявляющийся в сужении спектральной линии стохастических колебаний с ростом интенсивности шума;

3. Предложен метод оценки неизвестных параметров системы с источниками динамического шума, основанный на вычислении плотности распределения разброса мгновенных оценок, простого среднего и фильтрации, который позволяет независимо от динамического режима получить необходимую точность оценок параметров для задачи восстановления сигнала, модулирующего управляющий параметр стохастической системы. Возможно применение данного метода в системах скрытой передачи информации в реальном времени в условиях присутствия динамических шумов различной статистики.

Научная и практическая значимость результатов диссертации обусловлена тем, что они существенно дополняют представления о влиянии шума па динамические системы и, таким образом, вносят заметный вклад в развитие современной теории колебаний, нелинейной динамики и статистической

радиофизики. Исследование стохастических осцилляторов двух различных типов (бистабильный и нестационарный) выявляет ряд общих черт в поведении стохастических систем при вариации интенсивности шума. Применение метода построения стохастического аттрактора позволяет сделать анализ поведения зашумленной системы более наглядным. Результаты экспериментов по оценке параметров и восстановлению сигнала имеют практическую ценность.

Полученные результаты могут быть применены при создании новых радиофизических устройств с учетом роли динамического шума, систем скрытой передачи информации, при математическом моделировании стохастических явлений в нелинейных системах и интерпретации экспериментальных данных в различных сферах научных исследований. Материалы диссертации используются в курсах лекций "Статистическая радиофизика", "Флуктуации в колебательных системах". Предполагается дальнейшее применение результатов работы в учебном процессе.

Апробация работы и публикации. Результаты научных исследований по теме диссертационной работы были представлены на следующих научных конференциях:

• VIII Международная школа «Хаотические автоколебания и образование структур» «ХАОС-2СЮ7» "Волжские дали", (Саратов, 9-14 октября 2007 г.);

• Научная школа-конференция "Нелинейные дни в Саратове для молодых" (Саратов, 2009);

• Международная школа-семинар "Статистическая физика и информационные технологии" (8ТАТШРО-2(Ю9) (Саратов, 2009);

• Международная школа-конференция "Хаотические автоколебания и образование структур" (Саратов, 2010);

• Международная школа-конференция "Saratov Fall Meeting", (5-8 октября 2010г., Саратов);

• Всероссийской конференции молодых ученых "Наноэлектроника, нано-фотоника и нелинейная физика" (Саратов, 2011);

• Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов - 2011», (Москва, 2011),

а также на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ.

Результаты работы использовались при выполнении исследований по программам: гос. контракт №14.740.11.0074, проект РНП 2.2.2.2/3631, проект РНП 2.2.2.2/11514.

По теме диссертационной работы в печати опубликовано 11 работ (5 из 6 статей в журналах, входящих в Перечень ВАК, 5 статей в сборниках трудов конференций).

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Маляев, Владимир Сергеевич

4.3. Выводы по четвертой главе

Проведенные численные исследования показали, что на основе статистической обработки экспериментально получаемых реализаций нелинейных динамических систем, содержащих внутренние источники шума, возможно получить оценки управляющего параметра с высокой точностью даже при большой интенсивности шума. Влияние шума в определенном диапазоне значений не оказывает существенного воздействия на точность оценки. При этом в некоторых случаях требуется применять определенную фильтрацию массива данных, исключающую деление на малые значения динамических переменных.

Достаточно точные оценки значений управляющего параметра возможно получать не только в случае устойчивых периодических колебаний, но также для генераторов вблизи бифуркаций удвоения периода и в режиме хаотической динамики. Ошибка оценки "не чувствует" бифуркаций удвоения периода и характер зависимости ошибки от управляющего параметра в области бифуркаций остается идентичным режимам устойчивых колебаний.

В большинстве случаев распределение текущих оценок параметра является симметричным с единственным максимумом, практически совпадающим с истинным значением. В этом случае итоговую оценку целесообразно определять по среднему значению. Однако в сложных динамических режимах может возникнуть асимметрия в распределении текущих оценок. При этом более точную итоговую оценку нужно определять по максимуму распределения.

В случае расчета оценок для численной модели Ресслера без шума возможно использование временной реализации лишь одной динамической переменной (в исследованном случае y(t)). Введение шума делает невозможным получение приемлемой оценки управляющего параметра из-за чувствительности расчета производных к флуктуациям. Поэтому для получения оценок параметра, как в случае численной модели Ресслера с шумом, так и в случае радиофизического эксперимента, когда шум в системе неизбежен, необходимо использовать временные реализации двух динамических переменных и Однако, возможность или невозможность использования значении только одной динамической переменой связана с конкретным видом системы и тем, какой управляющий параметр нас интересует.

Натурные эксперименты подтвердили возможность получения достаточно точной оценки управляющего параметра динамической системы, содержащей источники динамического шума, при использовании простого и быстрого метода оценки, на основании известных уравнений системы и ряда значений динамических переменных. Оценки с хорошей точностью были получены даже при большой интенсивности шума, как при численном моделировании, так и для экспериментально измеряемых данных в различных режимах колебаний системы.

Сравнительно хорошая точность оценки параметра в физическом эксперименте, несмотря на наличие различного рода шумов и помех и неточности математической модели, свидетельствует о возможности применения исследованного метода в задаче скрытой передачи сигнала с помощью модуляции параметра реальной динамической системы.

В радиофизическом эксперименте был опробован способ скрытой передачи информации с использованием модуляции управляющего параметра динамической системы, базирующийся на задаче оценки параметров по временным реализациям. При этом рассматривалась задача оценки изменяющихся во времени значений управляющих параметров. Возможность применения предложенного метода была продемонстрирована в численном и радиофизическом экспериментах. Было установлено, что, несмотря на происходящие в системе бифуркации удвоения периода, наличие внешних источников шума с известными характеристиками и внутренних шумов с неизвестными характеристиками, предложенный метод позволяет восстанавливать сигналы с большой точностью. Было также установлено, что пребывание исследуемой системы в режиме хаоса не повлияло существенным образом на результаты восстановления сигнала.

Таким образом можно утверждать, что применение предлагаемого метода в системах скрытой передачи информации возможно.

Заключение

Шум является важным фактором, влияющим на процессы, протекающие в динамических системах и на особенности бифуркационных переходов. Учет шума важен в задачах реконструкции и оценки параметров ДС, а также при создании реальных устройств передачи информации. Проведенные в диссертационной работе исследования, основанные на современных представлениях нелинейной динамики и статистической радиофизики, подтверждают важную роль шума в нелинейных динамических системах. В итоге проведенных исследований были получены следующие основные результаты:

1. В рамках квазигармонического приближения получена бифуркационная диаграмма стохастических бифуркаций в генераторе Ван дер Поля с жестким возбуждением в присутствии аддитивного и параметрического шума. При воздействии только параметрического шума наблюдается динамическая бифуркация, состоящая в потере устойчивости точки равновесия в начале координат и три феноменологические бифуркации, состоящие в качественной перестройке вероятностного распределения. Наиболее существенным эффектом, вызванным параметрическим шумом, можно считать исчезновение автоколебаний в области бистабиль-ности при малых интенсивностях шума. Добавление в систему аддитивного шума упрощает картину бифуркаций, приводя к исчезновению точки равновесия. Численные расчеты, проведенные для нашей модели генератора в присутствии параметрического и аддитивного шума показали значительное расхождение с результатами квазигармонической теории и свидетельствуют о наличии бифуркационных интервалов, соответствующих постепенной эволюции формы распределения, которые не диагностируются в рамках квазигармонического анализа.

2. Поведение бистабильного осциллятора с конечным трением может быть сведено к поведению передемпфированной модели с помощью эквивалентных характеристик потенциального профиля, зависящих от параметра потерь. Эти эквивалентные характеристики позволяют используя аналитические соотношения, полученные для передемпфированпого осциллятора, дать хорошие оценки значений интенсивности шума, при которых наблюдается максимум коэффициента усиления по мощности и максимум отношения "сигнал/шум" в осцилляторе с конечным трением.

3. Хаотическое поведение бистабильного стохастического осциллятора с конечным трением, вызванное внешним шумом возможно только при небольших значениях параметра потерь. Таким образом, переход к хаосу никак не связан с явлениями стохастической синхронизации и стохастического резонанса, которые могут наблюдаться при сколь угодно больших потерях. Даже в том случае, когда потери невелики и в системе возможны все три эффекта (СР, стохастическая синхронизация и индуцированный шумом хаос), область хаотической динамики соответствует значительно более сильному шуму, чем тот, при котором имеют место эффекты стохастического резонанса и стохастической синхронизации.

4. В неустойчивом осцилляторе стабилизируемом шумом была обнаружена стохастическая бифуркация, приводящая к подавлению экспоненциальной неустойчивости колебаний с увеличением интенсивности шума. Таким образом шум не только стабилизирует неустойчивый осциллятор, препятствуя росту амплитуды колебаний, но при большой интенсивности приводит к подавлению хаоса. Кроме того, в этой же системе обнаружен эффект, подобный когерентному резонансу: ширина спектра колебаний зависит от интенсивности шума немонотонно. При некоторой интенсивности шума наблюдается минимальная ширина спектральной линии и наиболее медленный спад корреляционной функции.

5. В численных и радиофизических экспериментах показано, что если детерминированная модель системы известна, то на основе статистической обработки экспериментально получаемых реализаций системы, содержащей внутренние источники шума, возможно получить оценки управляющего параметра с высокой точностью даже при большой интенсивности шума. Причем достаточно точные оценки значений управляющего параметра возможны не только в случае устойчивых периодических колебаний, но также для генераторов вблизи бифуркаций удвоения периода и в режиме хаотической динамики. Были предложены и оттестированы сравнительно простые методы и способы статистической обработки реализаций, дающие хороший результат.

6. Были проведены радиофизические эксперименты направленные на выяснение возможности использования модуляции параметра хаотической системы в целях скрытой передачи информации. Для оценки параметра применялся предложенный в работе способ обработки экспериментальных реализаций. Натурные эксперименты показали, что, несмотря на происходящие в системе бифуркации удвоения периода, наличие внешних источников шума с известными характеристиками и внутренних шумов с неизвестными характеристиками, предложенный способ позволяет восстанавливать сигналы с большой точностью. Также установлено, что пребывание исследуемой системы в режиме хаоса не повлияло существенным образом на результаты восстановления сигнала. Таким образом, можно утверждать, что применение предлагаемого метода в системах скрытой передачи информации возможно в режиме реального времени.

Таким образом, поставленная цель диссертационной работы достигнута и основные задачи решены. В то же время проведенные исследования не являются исчерпывающими. Многие из рассмотренных проблем нуждаются в более детальном анализе, который не представляется возможным в рамках одной диссертации. При этом, данная работа может служить основой для дальнейших исследований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Маляев, Владимир Сергеевич, 2013 год

Литература

1. Стратонович P. JI. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1961.

2. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука, 1979.

3. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. М.: Мир, 1986.

4. Riskcn Z. The Fokker-Planck Equation. Berlin, Springer, 1989.

5. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. М.: Высшая школа, 1990.

6. Хорстхемке В., Лсфевр Р. Индуцированные шумом переходы // М.: Мир. 1987.

7. Graham R. Macroscopic potentials, bifurcations and noise in dissipative systems // Noise in Nonlinear Dynamical Systems. 1989. Vol. 1.

8. Arnold L. Random Dynamical Systems. Berlin, Springer, 2003.

9. Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. М.: Наука, 1975.

10. Benzi R., Sutera A., Vulpiani A. The mechanism of stochastic resonance // J. Phys. A: Math. Gen. 1981. Vol. 14. Pp. L453-L457.

11. Gammaitoni L., Marchesoni F., Menichella-Saetta E., Santucci S. Stochastic resonance in bistable systems // Phys. Rev. Lett. 1989. Vol. 62. Pp. 349-352.

12. Moss F. Stochastic resonance: Prom the Ice Ages to the Monkey Ear // In: Contemporary Problems in Statistical Physics, ed. by G.H. Weiss. -Philadelphia: I AM. 1994. Pp. P.205-253.

13. Анищенко B.C., Нейман A.B., Мосс Ф., Шиманский-Гаер JI. Стохастический резонанс: индуцированный шумом порядок // УФН. 1999. Т. 42, № 1. С. 7-36.

14. Gammaitoni L., Hänggi P., Jung P., Fabio M. Stochastic resonance // Reviews of Modern Physics. 1998. Vol. 70. Pp. 223 - 287.

15. Pikovsky A., Kurths J. Coherence resonance in a noisy driven excitable system // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78. Pp. 775-778.

16. Lindner В., Schimansky-Geier L. Analitical approach to the stochastic Fizliugh-Nagumo system and coherence resonance // Phys. Rev. E. 1999. Vol. 60, no. 6. Pp. 7270-7277.

17. Neiman A.B. Synchronizationlike phenomena in coupled stochastic bistable systems // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 49. Pp. 3484 - 3488.

18. Shulgin В., Neiman A., Anishchenko V. Mean switching frequency locking in stochastic bistable system driven by a periodic force // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 75, no. 23. Pp. 4157 - 4161.

19. Han S.K., Yim T.G., Postnov D.E., Sosnovtseva O.V. Interacting coherence resonance oscillators // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 83, no. 9. Pp. 1771 — 1774.

20. Анищенко B.C., Сафонова M.A. Индуцированное шумом экспоненциальное разбегание фазовых траекторий в окрестности регулярных аттракторов // Письма в ЖТФ. 1986. Т. 12, № 12. С. 740-744.

21. Ebcling W., Herzel H., Richert W., Schimansky-Geier L. Influence of noise on Duffing-van der Pol oscillators // Zeischrift fur angewandte Vathematik und Mechanik (ZAMM). 1986. Vol. 66. Pp. 141-146.

22. Schimansky-Geier L., Herzel H. Positive Lyapunov exponents in the Kramers oscillator // Journal of Statistical Physics. 1993. Vol. 70. Pp. 141-147.

23. Arnold L., Imkeller P. Stochastic bifurcation of the noisy Duffing oscillator. Report, Institut für Dynamische Systeme, Universität Bremen, 2000.

24. Sánchez E., Matías M.A., Pérez-Muñuzuri V. Analysis of synchronization of chaotic systems by noise: An experimental study // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 56, no. 4. Pp. 40 - 47.

25. Gassmann F. Noise-induced chaos-order transitions // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 55, no. 3. Pp. 2215 - 2221.

26. Короновский A.A., и др. Обобщенная синхронизация и синхронизация, индуцированная шумом, единый тип поведения связанных хаотических систем // ДАН. 2006. Т. 407, № 6. С. 761 - 765.

27. Neiman А. В., Russell D. F. Synchronization of Noise-Induced Bursts in Noncoupled Sensory Neurons // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 88, no. 13. Pp. 138103(1 -4).

28. Goldobin D.S., Pikovsky A. Synchronization and desynchronozation of self-sustained oscillators by common noise // Phys.Rev.E. 2005. Vol. 71. P. 045201(4).

29. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций. Сер. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1986.

30. Аиищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е. и др. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. М.-Ижевск: Инст. компьютер. исслед., 2003.

31. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.

32. Kabashima S., Kawakubo Т. Observation of a noise-induced phase transition in a parametric oscillator // Phys. Lett. A. 1997. Vol. 70. Pp. 375 - 376.

33. Wiesenfeld K. Noisy precursors of nonlinear instabilities //J. Stat. Phys. 1985. Vol. 38. Pp. 1071-1097.

34. Namachshivaya N.Sri. Stochastic bifurcation // Appl. Math. And. Computation. 1990. Vol. 38. Pp. 101-159.

35. Schenk-Yoppe K.R. Bifurcation scenarious of the noisy Duffing-Van der Pol oscillator // Nonlinear Dynamics. 1996. Vol. 11. Pp. 255-274.

36. Landa P. S., Zaikin A. A. Noise-induced phase transitions in a pendulum with a randomly vibrating suspension axis // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 54, no. 4. Pp. 3535-3544.

37. Crauel H., Flandol F. Additive noise destroys a pitchfork bifurcation // Journal of Dynamics and Differential Equations. 1998. Vol. 10. Pp. 259-274.

38. Ланда П.С. Возбуждение хаотических и стохастических колебаний в различных системах // Изв. Вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2009. Т. 18, № 1. С. 1 - 10.

39. Вадивасова Т.Е., Захарова А.С., В.С.Анищенко. Индуцированные шумом бифуркации в бистабильном генераторе // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2009. Т. 17, № 2. С. 114-122.

40. Lefever R., Turner J. Sensitivity of a Hopf bifurcation to multiplicative colored noise // Phys. Rev. Lett. 1986. Vol. 56. Pp. 1631-1634.

41. Franzoni L., Mannella R., McClintock P., Moss F. Postponement of Hopf bifurcations by multiplicative colored noise // Phys. Rev. F. 1987. Vol. 36. Pp. 834-841.

42. Arnold L., Namachshivaya N. Sri, Schenk-Yoppe K. R. Toward an understanding of stochastic Hopf bifurcation: a base study // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1996. T. 6. C. 1947-1975.

43. Olarrea J., de la Rubia F.J. Stochastic Hopf bifurcation: The effect of colored noise on the bifurcational interval // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 53, no. 1. Pp. 268-271.

44. Leung H.K. Stochastic Hopf bifurcation in a based Van der Pol model // Physica A. 1998. Vol. 254, no. 1. Pp. 146 - 155.

45. Xiao T., Ma J., Hou Z., Xin H. Effects of internal noise in mesoscopic chemical systems near Hopf bifurcation // New Journal of Physics. 2007. Vol. 9. Pp. 403 (1 - 13).

46. Bashkirtseva I., Ryashko L., Schurz H. Analysis of noise-induced transitions for Hopf system with additive and multiplicative random disturbances // Chaos, Solitons, and Fractals. 2009. Vol. 39. Pp. 7-16.

47. Zakharova A., Vadivasova T., Anishchenko V. et al. Stochastic bifurcations and coherencelike resonance in a self-sustained bistable noisy oscillator // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81, no. 1. Pp. 011106(1-6).

48. Xu Y., Gu R., Zhang H. et al. Stochastic bifurcations in a bistable

Duffing-Van der Pol oscillator with colored noise // Phys. Rev. E. 2011. Vol. 83, no. 1. Pp. 056215(1-7).

49. Медведев С.Ю., Музычук О.В. Статистические характеристики нелинейной резонансной системы, параметрически возбуждаемой случайной силой // Изв. вузов. Радиофизика. 1981. Т. 24, № 1. С. 49 - 58.

50. Башкирцева И.А., Перевалова Т.В., Ряшко Л.Б. Анализ индуцированных шумом бифуркаций в системе Хонфа // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2010. Т. 18, № 1. С. 37-50.

51. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е. Лекции по нелинейной динамике. М.-Ижевск: Издательство «Регулярная и хаотическая динамика», 2011.

52. Anishchenko V., Vadivasova Т., Strelkova С. Stochastic self-sustained oscillations of non-autonomous systems // The European Physical Journal. Special Topics. 2010. Vol. 187. Pp. 109 - 125.

53. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Стрелкова Г.И. Автоколебания динамических и стохастических систем и их математический образ — аттрактор // Нелинейная динамика. 2010. Т. 6, № 2. С. 1 - 20.

54. Климонтович Ю. Л. Что такое стохастическая фильтрация и стохастический резонанс? // УФН. 1999. Т. 169, № 1. С. 39-47.

55. McDonnell М. D., Stocks N. G., Реагсе С. Е. М., Abbott D. Stochastic resonance: From suprathreshold stochastic resonance to stochastic signal quantization. Cambridg: Cambridg University Press, 2008.

56. Lindner В., Garcia-Ojalvo J., Neiman A., Schimansky-Geier L. Effects of noise in excitable systems // Physics Reports. 2004. Vol. 392. Pp. 321-424.

57. Anichchenko V., Neiman В. Stochastic synchronization //In Stochastic Dynamics / Eds. L. Schimansky-Geier and T. Poschel. 1997. Pp. 155 -166.

58. Neiman А. В., Pei X., Russell D. F., et al. Synchronization of the noisy electroscnsitive cells in the paddlefish // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 82, no. 3. Pp. 660-663.

59. Феоктистов А.В., Астахов С.В., Анищенко B.C. Когерентный резонанс и синхронизация стохастических автоколебаний в системе ФитцХью-Нагу-мо // Известия ВУЗов "ИНД". 2010. Т. 18, № 5. С. 33-44.

60. Longtin A. Stochastic resonance in neuron models //J. Stat. Phys. 1993. Vol. 70. Pp. 309 327.

61. Lindner J.F., Meadows B.K., Ditto W.L. et al. Array enhansed stochastic resonance and spatiotemporal synchronization // Phys. Rev. Lett. 1995. Vol. 75. Pp. 3-6.

62. Levin J.E., Miller J.P. Broadband neural encoding in the cricket cercal sensory system enhanced by stochastic resonance // Nature. 1996. Vol. 380. Pp. 165-168.

63. Gailey P.C., Neiman A., Collins J.J., Moss F. Stochastic resonance in ensembles of non-dynamical elements. The role of internal noise // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 79. Pp. 4701-4704.

64. Zhang Y., I4u G., Gammaitoni L. Signal transmission in one-way coupled bistable systems: Noise effect // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58, no. 3. Pp. 2952-2956.

65. Pei X., Wilkens L., Moss F. Noise-mediated spike timing precision from aperiodic stimuli in an array of Hodgkin-Huxley-type neurons // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 77, no. 2. Pp. 4679-4682.

66. Hou Z., Yang L., Xiaobin Z., Xin H. Noise Induced Pattern Transition and Spatiotemporal Stochastic Resonance // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81, no. 14. Pp. 2854 - 2857.

67. Yang L., Hou Z., Xina H. Stochastic resonance in the absence and presence of external signals for a chemical reaction // J. of Chemical Physics. 1999. Vol. 110, no. 7. Pp. 3591 - 3595.

68. Hu B., Zhou Ch. Phase synchronization in coupled nonidentical excitable systems and array-enhanced coherence resonance // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 61, no. 2. Pp. R1001-R1004.

69. Zaikin A. A., Lopez L., Baltanas J. P. et al. Vibrational resonance in a noise-induced structure // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 66. Pp. 01106(1 - 4).

70. Hanggi P., Jung P., Neiman A., Schimansky-Geier L. Noise in Biophysical Systems // Fluctuation and Noise Letters. 2004. Vol. 04, no. 01. Pp. 1-236.

71. Gao J. B., Hwang S. K., Liu J. M. When can noise induce chaos? // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 82. Pp. 1132-113.

72. Anishchenko V.S., Vadivasova T.E., Akopov A.A., Strelkova G.I. Mechanisms of chaos onset in an inhomogeneous medium under cluster synchronization destruction // New Journal of Physics. 2006. Vol. 8. Pp. 84(1-11).

73. Berlung N., Gentz B. A simple-paths approach to noise-induced

synchronization: stochastic resonance in a double-well potential // The Annals of Applied Probability. 2002. Vol. 12, no. 4. Pp. 1419 - 1470.

74. Freund J., Schimansky-Geier L., Hanggi P. Frequency and phase synchronization in stochastic systems // Chaos. 2003. Vol. 13, no. 1. Pp. 225-38.

75. Hanggi P., Jung P., Zerbe C., Moss F. Can colored noise improve stochastic resonance? // Journal of Statistical Physics. 1993. Vol. 70. Pp. 25-47.

76. Hanggi P., Talkner P., Borkovec M. Reaction-rate theory: fifty years after Kramers // Rev. Mod. Phys. 1990.-Apr. Vol. 62. Pp. 251-341.

77. Finn J.M., Tracy E.R., Cooke W.E., Richardson A.S. Noise stabilised random attractor // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73. P. 026220.

78. Anishchenko V.S., Pavlov A.N., Janson N.B. Reconstruction of dynamic systems as applied to secure communications // Technical Physics. 1998. Vol. 43, no. 12. Pp. 1401-1407.

79. Анищенко B.C., Павлов A.H., Янсон Н.Б. Реконструкция динамических систем в приложении к решению задачи защиты информации // Журнал технической физики. 1998. Т. 68, № 12. С. 1-9.

80. Bezruchko В.P., Smirnov D.A. Constructing nonautonomous differential equations from experimental time series // Physical Review E. 2001. Vol. 63. P. 016207.

81. Дмитриев А.С., Панас А.И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи // М.: Издательство Физико-математической литературы. 2002. С. 252.

82. Дмитриев А.С., Киелов В.Я., Панае А.И., и др. Система связи с шумовой несущей. А.с. 279024 СССР, 1985.

83. Annovazzi-Lodi V., et al. Optical chaos masking of video signals // IEEE Photonics Technol. Lett. 2005. Vol. 17, no. 9. Pp. 1995-1997.

84. Timmer J. Parameter estimation in nonlinear stochastic differential equations // Chaos, Solitons к Fractals. 2000. Vol. 11. Pp. 2571-2578.

85. Sitz A., Schwarz U., Kurths J., Voss H.U. Estimation of parameters and unobserved components for nonlinear systems from noisy time series // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 66. P. 016210.

86. Smirnov D.A., Vlaskin V.S., Ponomarenko V.I. Estimation of parameters in one-dimensional maps from noisy chaotic time series // Physics Letters A. 2005. Vol. 336. P. 448.

87. Marino I.P., Miguez J. On a recursive method for the estimation of unknown parameters of partially observed chaotic systems // Physica D. 2006. Vol. 220, no. 2. Pp. 175-182.

88. Marino I.P., Miguez J., Meucci R.A. Monte Carlo method for adaptively estimating the unknown parameters and the dynamic state of chaotic systems // Phys. Rev. E. 2009. Vol. 79. Pp. 056219 (1-12).

89. Marino I.P., Zambrano S., Sanjuan V.F.F. et al. Adaptive procedure for the parameter estimation of a model of a C02 chaotic laser // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2007. Vol. 17, no. 10. Pp. 3639-3643.

90. Peng H., Li L., Yang Y., Wang C. Parameter estimation of nonlinear dynamical systems based on integrator theory // Chaos. 2009. Vol. 19. Pp. 033130 (1-11).

91. Parlitz U. Estimating model parameters from time series by autosynchronization // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 6. P. 1232.

92. Parlitz U., Junge L., Kocarev L. Synchronization-based parameter estimation from time series // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 54. P. 6253.

93. Короновский А.А., Москаленко О.И., Храмов А.Е. О применении хаотической синхронизации для скрытой передачи информации // Успехи Физических наук. 2009. Т. 179, № 12. С. 1281-1310.

94. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М: Радио и связь, 1991.

95. McSharry Р.Е., Smith L.A. Better nonlinear models from noisy data: Attractors with maximum likelihood // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 83. P. 4285.

96. Voss H.U., Timmer J., Kurths J. Nonlinear dynamical system identification from uncertain and indirect measurements // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2004. Vol. 14, no. 06. Pp. 1905-1933.

97. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Математическое моделирование и хаотические временные ряды. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2005.

98. Безручко Б.П., Смирнов Д.А. Современные проблемы моделирования по временным рядам // Известия Саратовского госуниверситста. Серия "физика". 2006. Т. 6, № 1. С. 327.

99. Караваев А.С., Пономаренко В.И., Прохоров М.Д. Восстановление моделей скалярных систем с запаздыванием по временным рядам // Письма в ЖТФ. 2001. Т. 27, № 10. С. 43-51.

100. Пономаренко В.И., Прохоров М.Д., Караваев А.С., Безручко Б.П. Определение параметров систем с запаздывающей обратной связью по хаотическим временным реализациям // ЖЭТФ. 2005. Т. 127, № 3. С. 515-527.

101. Дмитриев А.С., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике // М.: Наука. 1989. С. 280.

102. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977.

103. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. М.: Наука, 1976.

104. Стратонович Р.Л., Романовский Ю.М. Одновременное параметрическое воздействие гармонической и случайной силы на колебательные системы // Научные доклады высшей школы. Физ.-мат. науки. 1958. № 4. С. 161-169.

105. Музычук О.В. О вероятностных характеристиках резонансной стохастической системы // Известия вузов. Радиофизика. 1980. Vol. 23, по. 6. Pp. 707-713.

106. Leonov G.A., Kuznetsov N.V. Time-varing linearization and the Perron effects // Internat. Journal of Bifurcation and Chaos. 2007. Vol. 17, no. 4. Pp. 1079-1107.

107. Никитин H.H., Разевиг В.Д. Методы цифрового моделирования стохастических дифференциальных уравнений и оценка их погрешностей // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1978. Т. 18, № 1. С. 107-116.

108. Neiman A., Schimansky-Geier L. Stochastic resonance in two coupled bistable systems // Phys. Lett. A. 1995. Vol. 197. Pp. 379-386.

109. Kovaleva A. Upper and lower bounds of stochastic resonance and noise-induced synchronization in a bistable oscillator // Phys Rev.E. 2006. Vol. 74. Pp. 011126(1-5).

110. Morillo M., Gomez-Ordonez J., Casado J.M. Stochastic resonance in a mean-field model of cooperative behavior // Phys Rev.E. 1995. Vol. 52, no. 1. Pp. 316-320.

111. Bulsara A.R., Schmera G. Stochastic resonance in globally coupled nonlinear oscillators // Phys Rev.E. 1993. Vol. 47, no. 5. Pp. 3734-3737.

112. Jung P., Behn U., Pantazclou E., Moss F. Collective response in globally coupled bistable systems // Physical Review A. 1992. Vol. 46, no. 4. Pp. R1709-R1712.

113. Hanggi P., Thomas H. Stochastic processes: time evolution, symmetries and linear response // Phys. Rep. 1982. Vol. 88. Pp. 209-319.

114. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Маляев B.C. Применение концепции стохастического аттрактора для исследования динамических систем в присутствии шума // Актуальные проблемы статистической радиофизики (малаховский сборник). 2005. Т. 4. С. 3-13.

115. Zohm Н. Edge-localized modes (ELMs) // Plasma Phys.Contr.Fusion. 1996. Vol. 38. Pp. 105-128.

116. Connor J.W. A review of models for ELMs // Plasma Phys.Contr.Fusion. 1998. Vol. 40. Pp. 191-213.

117. Arnold L. Random dynamical systems. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New-York, 1998.

118. Павлов А.Н., Янсон Н.Б., Анищенко B.C. Реконструкция динамических систем // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, № 9. С. 1075.

119. Anishchenko V.S., Pavlov A.N., Janson N.B. Global reconstruction in the presence of a priori information // Chaos, Solitons and Fractals. 1998. Vol. 9, no. 8. Pp. 1267-1278.

120. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Окрокверцхов Г.А., Стрелкова Г.И. Статистические свойства динамического хаоса // Успехи физических наук. 2005. Т. 175, № 2. С. 163-179.

121. Анищенко B.C., Сафонова М.А. Бифуркации аттракторов в присутствии флуктуаций // ЖТФ. 1988. Т. 58(4). С. 64-651.

122. Jaeger L., Kants Н. Homoclinic tangencies and nonnormal Jacobians - effects of noise in nonhyperbolic chaotic systems // Physica D. 1997. Vol. 105. Pp. 79-96.

123. Schroer Ch.G., Ott E., Yorke J.A. Effects of noise on nonhyperbolic chaotic attractors // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81, no. 7. Pp. 1397-1400.

124. Kravtsov Yu. A., Suruvyatkina E.D. Nonlinear saturation of prebifurcation noise amplification // Phys. Lett. A. 2003. Vol. 319(3-4). Pp. 348-351.

125. Mannella R., Palleschi V. Fast and precise algorithm for computer simulation of stochastic differential equations // Phys. Rev. A. 1989. Vol. 40. Pp. 3381-3386.

126. Kloeden P.E. The numerical solution of nonlinear stochastic dynamical systems: a brief introduction // International Journal of Bifurcation and Chaos. 1991. Vol. 1, no. 2. Pp. 277-286.

127. Малясв B.C., Вадивасова Т.Е. Возможность оценки параметров зашум-ленной динамической системы по реализациям колебаний // Статистическая физика и информационные технологии. Материалы Международной школы-семинара «StatInfo-2009». 2009. С. 95-98.

128. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: «Наука», 1989.

129. Бахвалов Н.С., Жидков H.H., Кобельков Г.М. Численные методы. Изд.: «Бином. Лаборатория знаний», 2003.

130. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999.

131. Анищенко B.C., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Регулярные и хаотические автоколебания. Синхронизация и влияние флуктуаций. Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2009.

132. Колесников A.A., Капустина A.C. Синергетический метод синтеза систем хаосодинамической обработки и защиты информации // Интернет-журнал "Технологии техносферной безопасности" (http://ipb.rnos.ru/ttb/). 2011. Т. 35, № 1. С. 1-5.

133. XPPAUT 6.10. URL: http://www.math.pitt.edu/~bard/xpp/xpp.html.

134. Lab VIEW Real-Time Lab VIEW реального времени. URL: http://www. asutp.ru/?p=400176.