Динамика и устойчивость ударных волн в галактических и аккреционных дисках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.16, кандидат физико-математических наук Лукин, Дмитрий Викторович

• Лукин, Дмитрий Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Лукин, Дмитрий Викторович

Содержание

Введение

Глава 1. Сверхотражение и неустойчивость ударных волн в неоднородном потоке

1.1 Резонансный подход к исследованию устойчивости ударных волн; классификация неустойчивостей ударных волн

1.2 Обобщенный коэффициент отражения

1.2.1 Основные уравнения

1.2.2 Течение произвольного вида, нормальное падение волн

1.2.3 Стационарное течение, произвольные возмущения

1.2.4 Автомодельное течение, произвольные возмущения

1.3 Модели ударных волн

1.3.1 Галактическая ударная волна

1.3.2 Сферическая аккреция с ударной волной на точечный

гравитирующий объект

1.3.3 Ударная волна в экспоненциальной атмосфере

Глава 2. Устойчивость галактической ударной волны

2.1 Основные уравнения

2.2 Устойчивость ударной волны в гравитационной потенциаль-

ной яме

2.3 Устойчивость галактической ударной волны: учет вращения

галактического диска

2.4 Устойчивость галактической ударной волны: влияние тепло-

вых процессов в межзвездной среде

2.4.1 Однородное течение, среда с конечной скоростью тепловой релаксации

2.4.2 Неоднородное течение, среда с мгновенной тепловой ре-лаксацей

Глава 3. Волны в астрофизических газовых дисках: влияние конечной толщины дисков и вертикальных движений

3.1 Квазидвумерное описание газовых дисков в рамках иерархической модели

3.1.1 Основные уравнения иерархической квазидвумерной модели

3.1.2 Нулевое приближение, быстрая релаксация к гидростатическому равновесию

3.2 Динамика линейных волн в диске

3.2.1 Колебания симметричные относительно плоскости симметрии диска, 8е2 = 0

3.2.2 Изгибные колебания, ее2 = 0

3.2.3 Колебания при ж2 > 0

3.3 Нелинейные и ударные волны в бесконечно протяженном га-

зовом слое

3.3.1 Однородный газовый слой

3.3.2 Неоднородный газовый слой

Заключение

Литература

Приложение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика и устойчивость ударных волн в галактических и аккреционных дисках»

Введение

Исследование структур ударных волн (УВ), вопросов их устойчивости, эволюционности и динамики в настоящее время является одним из перспективных направлений в физике. Высокие значения плотности, давления, большие градиенты этих величин и, как следствие, экстремальные состояния вещества в УВ делают их изучение крайне привлекательным.

Все это, естественно, относится и к астрофизике, где ударные волны стали на сегодняшний день одними из ключевых проблем, связывая самые разнообразные области исследований, такие как эволюция звезд, физические и химические процессы в межзвездной среде, звездообразование и т.д.

Круг явлений, так или иначе связанных с ударными волнами, в силу широкой распространенности последних, в астрофизике огромен — ударные волны здесь скорее правило, чем исключение. Обусловлено это широким спектром сверхзвуковых движений и взрывных явлений в межзвездной среде — столкновения облаков, выбросы из протозвезд-ных объектов и галактических ядер, звездный ветер, взрывы сверхновых и.т.д. С некоторых пор понятие ударной волны тесно ассоциируется также со спиральными волнами плотности, радиогалактиками и квазарами. Изучение динамики ударных волн и их устойчивости необходимо для понимания структуры, эволюции и энергетики межзвездной среды.

Методы исследования ударных волн крайне разнообразны — от приближенных аналитических методов до численного нелинейного моделирования (см., например, обзор [6]), причем бурное развитие вычислительной техники позволяет рассчитывать ударные волны все более сложной геометрии и с учетом все большего числа факторов, оказывающих влияние на их динамику. Несмотря на это не утратили своей значимости и традиционные методы, одним из которых является исследование устойчивости УВ по отношению к малым возмущениям, гофрирующим ударный фронт (линейный анализ устойчивости) [18,82,80]. Во-первых, линейный анализ может быть проведен сравнительно простыми, часто аналитическими методами; во-вторых, его результаты служат отправной точкой при проведении нелинейного моделирования и, в-третьих, такой анализ, как правило, позволяет установить физические причины неустойчивости (если таковая обнаружена).

Факторы, способствующие неустойчивости ударных волн в межзвездной или межгалактической среде, могут быть весьма разнообразны магнитное поле [101,109,110], излучение энергии за фронтом ударной волны [4,14,36] или силы самогравитации [73].

Однако неустойчивость УВ может вызываться и чисто гидродинамическими причинами без воздействия внешних факторов. К этому случаю, например, относятся неустойчивости УВ, возникающих при аккреции на компактные объекты. Как показывают численные расчеты, У В возникают как в случае дисковой [21,47,48,58,59], так и сферической аккреции [28]. Анализ, проведенный в [49-51], показал, что возникающие при аккреции У В подвержены неустойчивости, причем неустойчивость обусловлена исключительно гидродинамическими причинами, поскольку ни магнитное поле, ни радиационные потери энергии, ни другие внешние факторы не учитывались. Аналогичный результат был получен в [17] при исследовании УВ в сферически симметричном аккреционном течении.

Другим примером УВ, неустойчивость которой вызвана гидродинамическими причинами, является ускоряющаяся У В в атмосфере с экспоненциально убывающей плотностью — модель, часто используемая для анализа ударной волны, выходящей из центра на поверхность звезды при взрыве сверхновой, или прорыва ударной волной слоя межзвездного газа в галактическом фонтане. В [12,87] было найдено, что такая УВ неустойчива по отношению к длинноволновым возмущениям и устойчива по отношению к коротковолновым.

Еще один пример ускоряющейся УВ — самофокусирующаяся УВ, созданная сферическим или цилиндрическим поршнем [91]. Такая модель УВ используется для выяснения эволюции внутренних сегментов спиральных рукавов [107] или изучения имплозии облаков нейтрального водорода, попадающих в область горячего коронального газа [35]. В [84] было найдено, что такая УВ неустойчива по отношению к длинноволновым возмущениям.

Ранние стадии разлета остатка сверхновой, на которых потерн энергии на высвечивание несущественны в динамике ударной волны, описываются автомодельным решением Седова для сильной адиабатической ударной волны [104]. Устойчивость седовского течения была исследована в [60,73,75], более общий случай взрыва в неоднородной среде рассматривался в [24,62]. Было обнаружено, что УВ неустойчива

по отношению к возмущениям, гофрирующим ударный фронт.

Обращает на себя внимание следующее. Несмотря на все различия в геометрии задач, в структуре течний и др., все перечисленные модели имеют определенное сходство. Во-первых, во всех перечисленных случаях в рамках линейного анализа были найдены неустойчивости ударных волн. Во-вторых, все эти течения имеют общую морфологическую особенность — зафронтовое течение представляет собой выделенный слой неоднородности течения (плоский, цилиндрический или сфериче-скии), ограниченный с одной стороны самой ударной волной, а с другой либо непрерывно переходящий в однородное течение, либо ограниченный какой-либо выделенной поверхностью (другой УВ, звуковой линией и т.д.). Последнее наводит на мысль, что природа найденных неустой-чивостей может быть объяснена в рамках какого-то единого подхода. Исследованию данной проблемы посвящена первая глава.

К течениям с указанной морфологией относится, очевидно, и течение межзвездного газа с ударной волной в гравитационном поле спиральной волны плотности — галактическая ударная волна (ГУВ). ГУ В, в силу целого ряда причин, связанных с фундаментальностью их влияния на жизнедеятельность галактик, выделяются среди множества других астрофизических ударных волн. Их открытие [20,55,56,65,98] естественным образом объяснило широкий спектр наблюдаемых особенностей спиральных галактик — наличие узких пылевых дорожек вдоль внутренних кромок спиральных рзчсавов [41], сильное увеличение интенсивности сйнхротронного радиоизлучения из областей спиральных рукавов, обусловленное, вероятно, сильным увеличением напряженности магнитного поля на фронте ГУВ [43], повышенную интенсивность излучения в линии 21 см из области рукавов, концентрацию молодых звезд в узкие полосы вдоль рукавов [70] и др. Существенным образом должно меняться в присутствии ГУВ состояние межзвездной среды на фронте ГУВ оказывается возможным фазовый переход, приводящий к образованию плотных холодных облаков из теплого разреженного газа [5,87,98] вследствие тепловой неустойчивости [19], образование, быть может, молекулярных облаков [8] и усиление галактического магнитного поля [95]. Еще одна важнейшая функция ГУВ должна состоять в инициировании за ее фронтом интенсивного звездообразования [55,56,98] — облака, находящиеся близи границы гравитационной неустойчивости, поджимаются при прохождении фронта ГУВ и вследствие этого начи-

нают коллапсировать. Коллапс и фрагментация облаков, прошедших ГУВ, завершается звездообразованием.

Все эти факты обусловили интенсивное исследование ГУВ и вообще движения галактического газа в гравитационном поле спиральных волн. В [55,65] возникновение ГУВ исследовалось в рамках простейшей модели одномерного течения через потенциальную яму и было показано, что если глубина ямы достаточно велика, то в течении образуется стационарная ударная волна.

Позднее эта задача решалась с учетом процессов нагрева и охлаждения [1] и эффектов вращения [72]. Фазовый переход в газе за фронтом ГУВ под действием потенциала спиральной волны впервые был продемонстрирован в [42] и, позднее, с учетом самогравитации в [78] и электронного давления в [94].

В [33] были рассмотрены условия существования стационарного течения с адиабатической ударной волной через гравитационную потенциальную яму и было показано, что ударная волна может располагаться стационарным образом в любой точке внутри ямы, только если глубина потенциальной ямы не превышает некоторого критического уровня \Фсг\ {Ф < 0, трсг < 0). В тех точках, где \ф\ > \грсг\, стационарное положение ударного фронта запрещено, и если волна все же оказывается в такой области, она должна начинать двигаться и уходить из запрещенной зоны. Как показали численные расчеты, ударная волна в этом случае либо вовсе уходит из ямы, либо устанавливается на передней по отношению к натекающему потоку стороне ямы в граничной, маргинально устойчивой точке, разделяющей разрешенную и запрещенную области [33]. Для неадиабатической ударной волны, которая с одной стороны теряет энергию на излучение, а с другой, напротив, приобретает энергию извне в результате взаимодействия вещества с фоновым рентгеновским излучением или с космическими лучами, запрещенная зона при прочих равных условиях уширяется [34].

Отметим,, что несмотря на многочисленные исследования проблемы галактических ударных волн, ряд вопросов, связанных с их динамикой, остается нерешенным и по сей день. В частности, до сих пор не был проведен линейный анализ устойчивости ГУВ — ему посвящена вторая глава настоящей диссертации.

Крупномасштабные ударные волны возникают не только в галактических газовых дисках (под действием гравитационного поля спираль-

ных рукавов, бара или приливного воздействия галактического спутника или пролетной галактики при тесном сближении [45,64]), но и в аккреционных дисках в тесных двойных системах под влиянием гравитационного поля компаньона [63,68]. Возможно, ударные волны развиваются и в полярных кольцах, вращающихся в гравитационном поле галактческого звездного диска под некоторым углом к плоскости диска [76]. Вообще, существование крупномасштабных ударных волн в астрофизических газовых дисках является скорее правилом, нежели исключением.

При рассмотрении возмущений, в том числе и ударноволновых, в аккреционных или галактических газовых дисках приходится сталкиваться с тем фактом, что последние обладают сильно различающимися размерами в разлргчных направлениях (отношение их полутолщины Н к радиусу Л составляет ~ Ю-2 Ч- Ю-1). Основные динамические процессы разыгрываются, как правило, в плоскости диска и характеризуются масштабами возмущений Л, намного превышающими полутолщину диска /г. Коль скоро диск оказывается тонким по отношению к размеру возмущения, возникает естественное желание описывать динамику возмущений как двумерную с некоторым эффективным учетом третьего измерения в качестве, например, параметра, но не в качестве дополнительной координаты.

Самый простой способ "исключить" третье измерение — считать диски бесконечно тонкими (во многих работах по численному двумерному моделированию дисков влияние третьго измерения не учитывается вовсе, так, как если бы диски были бесконечно протяженными цилиндрами). Такой подход оправдан при расчете, например, возмущений гравитационного поля в фундаментальной и первой изгибной модах колебаний в диске [30,71]. В то же время при описании акустических процессов в диске избавиться от проблемы трехмерности так просто не удается. Здесь оказывается полезной аналогия между тонкими астрофизическими дисками и моделью "мелкой воды", которая описывает динамику гравитационных волн в слое несжимаемой жидкости с глубиной много меньшей длины волны. Уравнения движения несжимаемой жидкости в длинноволновом пределе в теории мелкой воды в точности совпадают с двумерными уравнениями гидродинамики сжимаемого совершенного газа с показателем адиабаты 73 = 2 [91]. Вывод уравнений мелкой воды основывается на предположении о наличии гн-

дростатического равновесия в вертикальном направлении и сводится к интегрированию уравнений движения в поперечном к слою вертикальном направлении и последующим исключением поперечной координаты. Аналогичный подход был применен для описания динамики длинноволновых возмущений в тонких самогравитирующих газовых дисках в астрофизике [29]. В [108] этот вывод был распространен на случай дисков, собственная гравитация которых мала по сравнению с внешним гравитационным полем, и было показано, что в этом случае "плоский1' показатель адиабатьг газа становится равным -ys — (З7 — 1)/(-у + 1), где 7 — обычный "объемный" показатель адиабаты. Для случая наличия наряду с газодинамическим "радиационного давления в диске значение "плоского" показателя адиабаты было уточнено в [106]. Небольшие отклонения от чистой двумерности, проявляющиеся в эффектах дисперсии и рефракции волн конечной длины, исследовались в [37,38], однако в целом модель тонкого диска с вертикальным гидростатическим равновесием до последнего времени не подвергалась сомнению (см. например, обзор [53]).

На деле, однако, ситуация оказывается несколько сложнее, чем это могло показаться на первый взгляд. Между мелкой водой и астрофизическими дисками существуют определенные различия, а именно, 1) вещество в дисках это — сжимаемый газ, в то время как мелкая вода представляет собой несжимаемую жидкость; 2) невозмущенное состояние газа — быстрое, как правило, сверхзвуковое вращательное движение, тогда как модели мелкой воды в геофизике имеют дело с медленным вращением [91]; 3) внешний гравитационный потенциал, в поле которого вращается диск, имеет квадратичную зависимость от поперечной координаты, а не линейную как в модели мелкой воды. Оказалось, что эти различия принципиальны, и это проявляется при выводе основных уравнений движения тонких дисков. В результате правомерность использования традиционной квазидвумерной модели [29,108] в астрофизике ставится под сомнение. Тщательный анализ традиционной модели квазидвумерной гидродинамики для тонких дисков в [105] показал, что эта модель обладает рядом недостатков, существенно ограничивающих область ее применимости:

- из бесконечного числа допустимых мод колебаний фактически учитывается только одна мода — либо симметричная фундаментальная мода, либо первая антисимметричная изгибная мода, — высшие

же гармоники теряются;

- не учитывается инерция колебаний диска в поперечном направлении, тем самым при описании волнового движения в диске теряется часть энергии колебаний, расходуемая на возбуждение вертикальных движений, что, как показано в [105], заведомо некорректно для несамогравитирующих дисков, вращающихся во внешнем гравитационном поле;

- среда предполагается баротропной, что не допускает рассмотрения ударных волн в диске.

Таким образом, проблема квазидвумерного описания тонких астрофизических дисков представляется на сегодняшний день весьма актуальной. Отметим, что несмотря на наличие мощных компьютеров, позволяющих обсчитывать непосредственно трехмерные модели, необходимость двумерных моделей обусловлена целым рядом причин. Во-первых, даже сегодня, при быстро прогрессирующей вычислительной технике трехмерное численное моделирование —- процедура достаточно дорогостоящая и требующая больших затрат машинного времени. Во-вторых, введение в расчетные сетки третьей координаты не просто увеличивает время расчетов за счет добавления новых узлов сетки, но и, как правило, приводит к необходимости дополнительного измельчения шага интегрирования по времени (выбор временного шага диктуется поперечной координатой). В-третьих, квазидвумерные модели нужны для четкого понимания различий между динамикой реальных астрофизических дисков и динамикой мелкой воды в лабораторных установках по моделированию образования структур в астрофизических дисковых системах [96]. Наконец, аналитическое исследование двумерных моделей может быть выполнено безусловно более простыми средствами, нежели исследование трехмерных моделей. Построению корректной квазидвумерной модели тонких газовых дисков посвящена третья глава диссертации.

Настоящая диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы.

В первой главе на основе предположения о резонансной природе неустойчивости развивается общий подход к описанию гидродинамических неустойчивостей ударных в неоднородных потоках. Показывается, что все неустойчивости могут быть отнесены к одному из четырех

типов: неустойчивость ударного фронта, неустойчивость зафронтово-го течения, собственно резонансная неустойчивость и одновременная неустойчивость ударного фронта и зафронтового течения. При этом неустойчивости первого типа могут быть обнаружены аналитически путем анализа коэффициента отражения звука от фронта УВ, понятие которого распространяется на случай неоднородных волн с комплексными частотами. Для коэффициента отражения нормально падающих волн выводится выражение, справедливое для течений произвольного вида. Для случаев стационарного и автомодельного течений выводится коэффициент отражения для косых возмущений. На основе анализа коэффициента отражения звука в рамках развитого подхода для трех моделей ударных волн, неустойчивость которых была обнаружена ранее, делается вывод о том, что неустойчивость обусловлена неустойчивостью ударного фронта, т.е. его способностью спонтанно генерировать неустойчивые звуковые колебания.

Во второй главе проводится линейный анализ устойчивости галактической ударной волны. Показывается, что ударная волна устойчива, если она находится на передней по отношению к натекающему потоку газа стороне потенциальной ямы, создаваемой спиральной волной плотности, а ударная волна, расположенная на задней стороне ямы, неустойчива. Исследуется влияние на устойчивость ГУВ силы Кориолпса и эффектов, связанных с нагревом и охлаждением межзвездной среды. Показывается, что учет последних не приводит к стабилизации ГУВ.

В третьей главе разрабатывается новый, более общий подход к квазидвумерному описанию динамики тонких газовых дисков, находящихся во внешнем гравитационном поле, идея которого была предложена И. Г. Коваленко. В реализации этого подхода ключевым пунктом является отказ от упрощения трехмерной модели по пути уменьшения числа зависимых переменных в уравнениях гидродинамики, а вместе с этим и числа самих уравнений (с пяти в истинно трехмерном случае до четырех в квазидвумерном). Для учета многомодового характера колебаний в диске количество зависимых переменных увеличивается в соответствии с учетом дополнительных степеней свободы. Вместе с тем исключение поперечной координаты через усреднение по ней сохраняется, с тем, чтобы сохранить квазидвумерность модели.

В общих чертах идея метода заключается в разложении всех переменных в ряд по вертикальной координате, построении иерархической

цепочки зацепляющихся уравнений для моментов и обрыве цепочки на определенном этапе, который выбирается исходя из задаваемой степени точности решения. Разработанный метод тестируется на примере линейных колебаний в диске, показывается, что учет уже только первого момента, отвечающего ненулевому поперечному движению в диске, приводит к заметному прогрессу в аппроксимации точного решения. В рамках иерархической модели исследуется вопрос о влиянии вертикальных движений в диске на динамику распространяющихся в нем нелинейных и ударных волн.

В приложении приводится вывод групповой скорости звуковых волн в неоднородной среде.

В ходе проведенных в настоящей диссертации исследований были впервые получены следующие основные результаты.

1. Предложен единый подход к описанию гидродинамических неустой-чивостей ударных волн в неоднородных потоках. Разработан метод предсказания и исследования неустойчивости ударной волны, обусловленной способностью ударного фронта спонтанно генерировать неустойчивые звуковые колебания.

2. В результате численного анализа устойчивости галактической ударной волны в рамках линейного приближения показано, что галактическая ударная волна неустойчива, если ее фронт располагается на задней по отношению к натекающему потоку кромке спирального рукава и устойчива на передней кромке.

3. На основании результатов линейного анализа устойчивости плоской ударной волны, распространяющейся в однородной среде с тепловой релаксацией, показано, что она неустойчива по отношению к возмущениям, гофрирующим ее фронт; в предельном случае среды с быстрой тепловой релаксацией ударная волна становится устойчивой.

4. Построена иерархическая квазидвумерная модель тонких астрофизических газовых дисков, позволяющая описывать динамику дисков в рамках двумерных уравнений, адекватно учитывая при этом вертикальные движения в диске, в том числе их многомодовый характер.

5. В результате численного исследования стационарных ударных волн в диске и условий их существования, выполненного в рамках первого приближения иерархической модели, показано, что учет вертикальных движений в диске приводит к существенному снижению требовании

к амплитуде внешних гравитационных возмущений на формирование запрещенных областей в диске — областей, где ударная волна не может находиться в стационарном состоянии.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Неустойчивости ударных волн в неоднородных гидродинамических потоках могут быть описаны в рамках резонансного подхода.

2. Анализ коэффициента отражения звука от фронта ударной волны позволяет исследовать и предсказывать неустойчивость ударного фронта.

3. Галактическая ударная волна неустойчива, если ее фронт располагается на задней по отношению к натекающему потоку кромке спирального рукава и устойчива на передней кромке. Вращение галактического диска расширяет область ее неустойчивости. Причина неустойчивости заключается в способности ударного фронта спонтанно генерировать неустойчивые звуковые колебания в неоднородном потоке.

4. Плоская ударная волна, распространяющаяся в среде с тепловой релаксацией неустойчива по отношению к возмущениям, гофрирующим ее фронт. В предельном случае среды с мгновенной тепловой релаксацией ударная волна становится устойчивой, и способна излучать нейтральные звуковые колебания, если ее интенсивность превышает некоторое критическое значение. Процессы нагрева и охлаждения межзвездной среды излучением расширяют область неустойчивости галактической ударной волны по сравнению с адиабатическим случаем.

5. Иерархическая квазидвумерная модель, основанная на решении системы зацепляющихся моментных уравнений, позволяет описывать динамику тонких астрофизических дисков в рамках двумерных уравнений, адекватно учитывая при этом вертикальные движения и многомо-довый характер возмущений в диске.

Ггсава 1. Сверхотражение и неустойчивость ударных волн в неоднородном потоке

Неустойчивость ударных волн — явление достаточно распространенное в межзвездной или межгалактической среде, и факторы, ей способствующие, могут быть весьма разнообразны: магнитное поле [99 101,109,110], излучение энергии за фронтом ударной волны [4,14,36] или силы самогравитации [73]. Однако неустойчивость УВ может вызываться и чисто гидродинамическими причинами без воздействия внешних факторов. К этому случаю относятся, например, неустойчивость УВ, движущейся с ускорением в среде с убывающей плотностью [12,39,81], неустойчивость замедляющейся УВ, генерируемой точечным взрывом [24,60,62], неустойчивость УВ в неоднородном потоке газа в гравитацинном поле галактического спирального рукава.

Однако, если с математической точки зрения линейный анализ устойчивости УВ в перечисленных выше работах выполнен с исчерпывающей полнотой, физические причины неустойчивости зачастую оказываются "за кадром".

Для объяснения возможной причины неустойчивости ударной волны, находящейся в неоднородном потоке, создаваемом полем гравитационной ямы, А. М. Фридман и О. В. Хоружий выдвинули гипотезу о резонансной природе неустойчивости. Проведенные ниже исследования показывают плодотворность этой гипотезы (хотя причина неустойчивости оказывается несколько отличной от первоначально предполагаемой). Более того, представляется, что большинство, если не все, гидродинамические неустойчивости УВ в неоднородном потоке газа могут быть объяснены с единой точки зрения в терминах резонансного подхода. Такой подход развивается в настоящей главе.

1.1 Резонансный подход к исследованию устойчивости ударных волн; классификация неустойчиво-стей ударных волн

Отметим, что всюду далее фронт ударной волны трактуется как поверхность разрыва нулевой толщины, разделяющая две области постоянного (по крайней мере в небольшой окрестности фронта) течения газа. Это означает, что из рассмотрения автоматически исключаются

всякие проявления структурной неустойчивости УВ, связанные с: мелкомасштабной неустойчивостью переходного слоя, каковым в действительности является фронт УВ, в результате которой под действием

малых возмущений происходит перестройка структуры фронта, так что он распадается на систему ударных волн, волн разрежения и контактных разрывов [89,90]. Таким образом, в дальнейшем под неустойчивостью У В подразумевается "гидродинамическая" неустойчивость в узком смысле [90], состоящая в нарастании со временем случайно возникшего возмущения (искривления) поверхности разрыва. Кроме того, мы ограничиваемся обсуждением чисто гидродинамических эффектов без учета влияния факторов, которые, в принципе, могут быть существенными в динамике ударных волн в межзвездном газе - магнитного поля, самогравитации, тепловых и радиативных процессов и др., исключение составляет учет внешнего гравитационного поля.

Основную идею резонансного механизма неустойчивости можно сформулировать следующим образом. Течение за фронтом У В в общем случае неоднородно. Пусть эта неоднородность представляет собой слой некоторой конечной толщины а, не обязательно постоянной во времени (Рис. 1.1). Спереди этот слой ограничен самой ударной волной, а с задней стороны либо непрерывно переходит в однородное течение, либо ограничен некоторой выделенной поверхностью, например, другой ударной волной, жесткой стенкой, контактным разрывом, звуковой линией или критическим слоем. Этот слой неоднородности можно рассматривать как своеобразный волновод. Действительно, пусть на ударный фронт сзади падает звуковая волна. Возбуждаемые колебания фронта порождают отходящие от фронта звуковую, энтропийную и две вихревые волны (отметим здесь, что для плоских течений, рас-

>< а >|

область неоднородного течения

Рис. 1.1. К распространению возмущений в неоднородном слое за фронтом УВ. Здесь М = и/с3 — число Маха, с3 — адиабатическая скорость ¡звука.

Щ . о

№ о

Я ь

о д 3 И

о, щ ао

В с (0 р.

Б Р ц-е«

Ц Н

о

- <ц

Я

г)

в)

Рис. 1.2. Преобразование мод в волноводном слое о а. УВ. Сплошными линиями изображены звуковые волны, штриховыми — ¡энтропийные и волнистыми — вихревые волны. Направления распространения волн укапаны стрелками.

сматриваемых далее, отраженная вихревая волна будет только одна; в случае же сферической геометрии одна из двух вихревых волн не взаимодействует с остальными модами и может не рассматриваться). Отходящие волны проходят неоднородный слой и вместе с потоком покидают волновод (разумеется, если задняя поверхность волновода не является жесткой стенкой или свободной поверхностью, граничащей с пустотой). Проходя через область неоднородности в зафронтовом потоке, а также взаимодействуя с задней границей волновода, если таковая существует, они возбуждают вторичные звуковые волны, одна из которых, быстрая звуковая, движется вдоль потока и тоже покидает систему, а вторая, медленная звуковая, движется против потока и падает на ударный фронт, после чего процесс отражения многократно повторяется. Таким образом в слое могут возникать собственные колебания без возбуждения их приходящими извне волнами.

Рассмотрим процесс отражения волн внутри волновода подробнее. Пусть в результате падения звуковой волны амплитуды Ага возбуждаемый ею фронт генерирует отраженные звуковую, энтропийную и вихревую волны, амплитуды которых соответственно равны и А{__>г) (рис. 1.2а). Пусть также взаимодействие каждой из отраженных звуковой (рис. 1.26), энтропийной (рис. 1.2в) и вихревой (рпс. 1.2г)

волн с неоднородностью зафронтового потока обуславливает падающие на фронт вторичные звуковые волны с амплитудами Aps_^s, Apes_*s и Ара_+а соответственно. Определим теперь следующие коэффициенты отражения и преобразования: TZf = А{_^3/А{3 — коэффициент отражения звука от фронта УВ, Т/е = А*_е/А\ и T/v = А{_„/А\ коэффициенты преобразования падающей на фронт звуковой волны соответственно в энтропийную и вихревую волны, 7Zps = Apss_+J A{_,s — коэффициент отражения звука в зафронтовой области, Тр/ = Apt^s/A{_^e и Tpss = Aps_^a/— коэффициенты преобразования, определяющие интенсивность падающей на фронт звуковой волны, возбуждаемой при прохождении соответственно энтропийного и вихревого возмущения единичной интенсивности в зафронтовой неоднородности. Все коэффициенты вычисляются в точке сразу за фронтом УВ.

Пусть вторичные звуковые волны Aps_+S, Aps^s и Aps_+S дают в совокупности падающую на фронт звуковую волну Аг6:

дг — aps i aps i aps

Тогда в силу определения коэффициентов отражения и преобразования в зафронтовой области имеем:

4 - ALsKf + AUJ?: + ALvrvp;.

Деля последнее равенство на А\ и учитывая определение коэффициентов отражения и преобразования на фронте, получим условие возникновения в волноводе собственных колебаний

гер;т/е + Tvp;T/v + = (1.1)

Коэффициенты отражения 7Z и преобразования Т являются функциями частоты колебаний ш. Пусть равенство (1.1) реализуется на частоте ш*. Если частота ш* содержит положительную мнимую часть (IiTi(av) > 0), то колебания в волноводе, а вместе с ними и сам ударный фронт оказываются неустойчивыми, если Im(u>*) < 0, то фронт абсолютно устойчив.

В зависимости от соотношения между коэффициентами отражения и преобразования можно качественно выделить три раатпгшых механизма неустойчивости ударных волн.

1. Неустойчивость ударного фронта.

Пусть свойства ударного фронта таковы, что он отражает звуковые волны с усилением > 1) в области частот 1т(и>) > 0 (в верхней полуплоскости на комплексной плоскости частот). Частным случаем сверхотражения является отражение с бесконечно большим усилением, когда = оо. Пусть это происходит на частоте Обращение коэффициента отражения в бесконечность означает, что фронт способен самопроизвольно испускать звуковые волны без возбуждения извне. Это явление в случае нейтральных колебаний фронта. (1т(о>£,) = 0) принято называть "спонтанным излучением звука", в то время как при 1т(си^) > 0 говорят просто о неустойчивости фронта [90]. Принятое различие в терминологии связано, по-видимому, с тем, что задача об отражении обычно ставится для нейтральных монохроматических волн. Рассматривая отражение обобщенно и принимая во внимание возможность падения и отражения неоднородных волн с комплексными частотами, всюду далее термин "спонтанное излучение звука" будем использовать для всех волн, в том числе таких, для которых Ьх^о^) ф 0.

Заметим, что коэффициент отражения и коэффициенты преобразования Т/е зь имеют особенность в одной и той же точке со^, так что одновременно со звуком ударный фронт спонтанно излучает и вихревые и энтропийные волны. Более того, область сверхотражения > 1) на комплексной плоскости частот и области, где \Т/е\ > 1 и \Т/У\ > 1, солокализованы, и в дальнейшем, говоря о свсрхотраженин, мы одновременно подразумеваем и выполнение условий \Т/е ЗЧ}\ > 1.

Корень оо^ является одновременно и корнем уравнения (1.1) в том случае, если зафронтовое течение однородно (71р& = = Т?/ — 0). Если этот корень существует и его мнимая часть положительна, а зафронтовое течение однородно, то ударный фронт неустойчив, причем неустойчивость обусловлена исключительно самим фронтом, но никак не резонансными причинами.

Наличие неоднородности в зафронтовом течении сдвигает собственную частоту колебаний до со*. Если зафронтовое течение слабо неоднородно и само по себе устойчиво (это означает, что коэффициенты 7£рл,Трл не имеют особенностей в верхней полуплоскости), то следует ожидать, что волны с 1т(оу) > 0 отражают (возбуждают) в

ном звук с ослаблением:

(1.2)

Это вызвано, во-первых, тем, что эффективность отражения (возбуждения) пропорциональна градиентам невозмущенных величин в потоке, которые тем меньше, чем слабее неоднородность. Во-вторых, моды, нарастающие во времени (1т(ы*) > 0), в гидродинамике идеальной жидкости, как известно, пространственно неоднородны и убывают по амплитуде в направлении_своего распространения. Пусть основной вклад в зафронтовое отражение (возбуждение) вносит отражение (возбуждение) на задней границе волновода, которое происходит с некоторой конечной эффективностью. Тогда отношение амплитуды звукового сигнала, отраженного и дошедшего до ударного фронта, к сигналу, испущенному фронтом, пропорционально малому множителю ехр{-1т(/с0^ - кы)а}, 1т(к01и) > 0, 1т(к4т>) < 0, где кои1 и кы — волновые числа вдоль потока отходящей и падающей волн соответственно. Сказанное остается справедливым и для течения, в котором зафронтовое отражение существенно не только на задней стенке, но и во всем потоке внутри волновода. Напротив, для затухающих волн (1т(о;*) < 0) амплитуда нарастает в направлении распространения волны (1т(коиг} < 0, 1т(кы) > 0), поэтому неравенство (1.2) может оказаться несправедливым даже для слабо неоднородных течений.

Если для зафронтовой области действительно выполняется условие (1.2), из равенства (1.1) с необходимостью следует, что отражение на ударном фронте происходит с усилением: \Т/У\ >1. В силу

непрерывности естественно считать, что корень лежит в окрестности причем тем ближе к нему, чем меньше Если мнимая часть частоты при этом остается положительной, качественно нерезонансный характер неустойчивости сохраняется, переотраженпе на зафронтовой неоднородности приводит лишь к количественным изменениям в спектре собственных колебаний. Влияние зафронтового отражения становится существенным, если оно гасит неустойчивость, уводя корень о>* из верхней полуплоскости комплексных частот в нижнюю.

Известно, что в однородном потоке отражение звука от ударного фронта для частот, лежащих в верхней полуплоскости, происходит с

ослаблением, а сам фронт соответственно устойчив [18,82,80]. Ситуация может кардинально меняться в неоднородном потоке, поскольку в возмущенные граничные условия на фронте теперь входят градиенты невозмущенных величин потока. Благодаря этому коэффициенты отражения и преобразования \Т3{\,\Т/У\ могут существенно измениться, в том числе могут появиться условия для сверхотражения или спонтанного излучения фронтом неустойчивых волн.

К указанному классу принадлежит, в частности, неустойчивость ударной волны в неоднородном потоке через гравитационную яму ([31], п. 2.2 диссертации).

2. Неустойчивость зафронтового течения.

Теперь фронт и зафронтовая область меняются ролями — источник неустойчивости сосредоточен в зафронтовом потоке. Источник генерирует неустойчивые колебания на частоте при этом 1^(^)1 - 1?2>£)1 = |ЗУЛ01 = оо. Отражение от фронта смещает собственную частоту колебаний, так что |7£рв|, становятся конечными. Если это смещение невелико, коэффициенты |7£ра \ТР/\, все еще превышают единицу, а в роли стабилизатора колебаний теперь выступает ударный фронт: |7?/|, | < 1.

Именно такая ситуация возникает при расширении сферической УВ в атмосфере с убывающей от центра наружу плотностью [13,24,02]. Зафронтовое течение описывается решением Седова для точечного взрыва в степенной атмосфере и имеет вид разлетающейся тонкой оболочки [104]. Согласно [24,62] на внутреннем крае оболочки, граничащем с пустотой, создаются условия, благоприятные для развития конвективной неустойчивости. Как показывает численный линейный анализ, УФ действительно выступает в роли демпфера колебаний, поскольку даже в тех случаях, когда согласно критерию Шварцшильда (правда для статической среды) должна наступать конвективная неустойчивость, инкременты оказываются отрицательными. Дополнительным свидетельством в пользу конвективной природы неустойчивости служит тот факт, что волновая функция возмущения сосредоточена вблизи внутреннего края оболочки и резко убывает в направлении к ударному фронту.

Другим примером, когда неустойчивость может создаваться источниками в зафронтовом потоке, является случай распространения УВ в сдвиговой среде. Генератором неустойчивых колебаний выступает

сильный сдвиг в плоскопараллельном сдвиговом потоке, укручаемын прохождением по среде ударной волны.

Во всех перечисленных здесь моделях ударный фронт играет лишь вторичную роль в возбуждении неустойчивости, в том смысле, что неустойчивость генерируется в зафронтовом потоке и имела бы место быть даже в том случае, если бы отражение волн от ударного фронта отсутствовало.

3. Резонансная неустойчивость.

Для двух представленных возможных сценариев механизм неустойчивости ударной волны не является в общепринятом смысле резонансным — неустойчивость проявляется и в том случае, если отражение на одной из границ волновода отсутствует, — хотя резонансные эффекты и играют некоторую количественную роль. Резонансный механизм в полном смысле проявляется тогда, когда неустойчивость развивается именно благодаря взаимодействию двух границ волновода и исчезает при удалении любой из них. Этот случай в принципе может реализоваться, если, по крайней мере, для одного из коэффициентов \71Ц пли \Лр8\ существует область отражения с усилением в верхней полуплоскости частот, но при этом корни либо находятся в нижней полуплоскости, либо отсутствуют вовсе.

4. Одновременная неустойчивость фронта и зафронтового течения.

Помимо перечисленных выше возможна, вообще говоря, и еще одна ситуация, когда и коэффициенты Т^ и коэффициенты 71рз, Тра

имеют особенность в верхней полуплоскости частот. Однозначно выделить в этом случае источник неустойчивости затруднительно -- неустойчивые колебания одновременно генерируются как фронтом, так и зафронтовой неоднородностью. В то же время нельзя отнести данную неустойчивость и к резонансной, так как она будет иметь место даже в том случае, если отражение на любой из границ волновода отсутствует.

При использовании в приведенных рассуждениях понятия частоты волны, неявно предполагалось, что зафронтовое течение стационарно или автомодельно (в автомодельном случае во временной зависимости малого возмущения вводится безразмерная постоянная — аналог частоты). В общем случае, когда УВ перемещается по неоднородной среде, условия на фронте УВ переменны во времени, а следовательно, коэффициент отражения должен быть переменной величиной. Это озна-

част, что ударный фронт откликается на падающее на него монохроматическое возмущение не на той же частоте, а целым спектром волн с различными частотами. Тем более коэффициент отражения непостоянен в нестационарной среде, для которой нормальные моды не являются монохроматическими. Однако основные выводы относительно механизмов неустойчивости должны оставаться в силе и в этом общем случае. Поскольку в дальнейшем рассматриваются только стационарные или автомодельные течения, никаких технических или идеологических трудностей не возникает.

Спектр собственных частот w*, а с ним и значения коэффициентов отражения находятся путем решения задачи на собственные значения — задачи Штурма-Лиу вил ля для конечного или полубесконечного потока. В общем случае эта процедура сводится к численному интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Важным, однако, является то, что процесс отражения на ударном фронте является локальным, и значит, коэффициент отражения 7Zf в отличие от коэффициента lZps может быть найден без численного решения полной задачи. Если возмущение непосредственно за фронтом ударной волны надлежащим образом разложить локально на падающие и отходящие волны, то коэффициент отражения от фронта может быть определен из граничных условий на фронте, а сама процедура сведется к решению алгебраических уравнений. В конечном итоге коэффициент отражения должен определяться некоторой формулой, включающей в себя характеристики течения в непосредственной окрестности ударного фронта.

Частотный анализ коэффициента отражения на фронте удобен тем, что позволяет делать прогнозы относительно возможной неустойчивости ударной волны без решения полной задачи. Это обстоятельство особенно валено в тех случаях, когда задача Штурма-Лиувилля по каким-либо причинам не может быть корректно поставлена или возникают трудности с численной реализацией ее решения.

1.2 Обобщенный коэффициент отражения

В данном пункте обобщается определение коэффициента отражения для случая неоднородного течения за ударным фронтом и для волн с комплексными частотами.

1.2.1 Основные уравнения

Всюду далее газ полагаем совершенным столкновительным газом с показателем адиабаты 7. Динамика такого газа, находящегося во внешнем гравитационном потенциале ф, описывается стандартными уравнениями [91]:

^ + У.(ру) = 0, (1.3)

ду 1

~ + = —V р - , (1.4)

01 р

+ (V • V)? =-707 . V) , (1.5)

где р, V, р — соответственно плотность, скорость и давление газа, V — оператор набла [88]. Отметим, что вместо последнего уравнения часто используют уравнение на внутреннюю энергию е:

^ + У.у. (1.5')

Поскольку подавляющее большинство известных решений для ударных волн получены в предположении одномерности течения, мы ограничиваемся рассмотрением именно таких течений, полагая, что параметры невозмущенного течения за фронтом УВ зависят только от одной координаты.

Ниже приведен подробный вывод коэффициента отражения для случаев

а) плоской симметрии течения; последнее исследуется в рамках декартовой системы координт (д.с.к.) (жх,ж2,ж3) = (ж, у, 2), фронту У В отвечает плоскость х = хя1ь\

б) цилиндрической симметрии течения; движение газа исследуется в рамках цилиндрической системы координт (ц.с.к.) (х1,х2,х3) = (г, <£>, г), фронт УВ — поверхность цилиндра г = гз1г]

в) сферической симметрии течения, которое рассматривается в сферической системе координт (с.с.к.) (жпж2,ж3) = фронту УВ отвечает сфера г = гвк]

Отметим, что в первых двух случаях мы ограничиваемся рассмотрением движений, происходящих в плоскости (х1, ж2), пренебрегая для простоты вертикальными движениями вдоль х3.

Составим вектор ж2, £), компоненты которого дают полный набор независимых переменных, описывающих течение: { = (р, и, р)г, где и — V • еЖ1 и ут = V - ие

проекции вектора,

скорости на ось х\ и плоскость х2х3 соответственно (напомним, что для течений с плоской или цилиндрической симметрией вертикальные движения отсутствуют и уг = (V • еХ2)еХ2 = утеХ2). Уравнения (1.3)-(1.5) теперь формально могут быть записаны в виде

Ж д дТ дЬ дхх

+

• \7Г) + ВV,

Г = Е

v х1

Ж+с1

(1.0)

Здесь I — единичная матрица,

А

(и р 0 0 0 и 0 1/р 0 0 и 0 \0 7р 0

и

В =

/0 0 р о \ ООО о 0 0 0 1/р V 0 0 7р 0

(1.7а)

2

(и р 0 0 ^ 0 0 0 0 0 0 2и/р 0 \ 0 7 р 0 7 и

и

<1 —

/ о

0 о

V

\

/

если V ф 0, (1-^6)

Е = (0, дф/дх 1, О)"1, и V — 0,1,2 соответственно для плоской,

цилиндрической и сферической геометрий течения. Индексом "Т" здесь и далее обозначены векторы, лежащие в плоскости (ж2,ж„). Оператор \7Т — стандартный оператор дифференцирования по координатам х2 3.

Подчеркнем, дабы избежать недоразумений, что (1.6) есть не более чем формальная запись уравнений (1.3)—(1.5), обеспечивающая компактность последующих выкладок. В этих з^словиях вектор Г, например, следует рассматривать формально как четырех- (а не пяти-) компонентный вектор. Аналогично, всюду, где в роли компоненты "формального" вектора выступает другой вектор, последний необходимо трактовать именно как одну компоненту. Умножение матрицы на вектор осуществляется стандартно — строка на столбец. Для примера запишем третье уравнение системы, описываемой (1.6):

дут , д\т

-I- и

т

1 1

—--Ь (уг • Ут)Ут + -Утр = -Утф ——и\-т.

дх1 р хг

Пусть Цж^г) = (р^х^г), г), Уг^®!,«), рДж1}г))Г --..... вектор,

описывающий одномерное невозмущенное течение (индекс г принимает значение "О" перед фронтом УВ и "1" - за фронтом), компоненты которого суть решения уравнений (1.6) при Ут = 0. Исключая для простоты из рассмотрения сдвиговые течения, полагаем в дальнейшем = 0. Предположим, что течение за фронтом УВ возмущается, так что

(1.8)

где вектор = 8их Ьр1)т описывает малые возмущения

потока. Динамика таких возмущений в первом приближении будет определяться системой линейных уравнений в частных производных, получаемых линеаризацией (1.6):

д6{ _

+ А---Ь в^т6{ = -

дг

дхг

I/ Л

— В ®1

ы

(1.9)

Элементы матриц А(х1^) и #(ж1?£), определенных в соответствии с (1.7), являются теперь функциями невозмущенных величин потока, а элементы матрицы 0(х1) ¿) зависят от градиентов и производных по времени от невозмущенных величин. В случае однородного стационарного течения С = 0.

Поскольку невозмущенное течение одномерно (однородно вдоль х2 и ж3), коэффициенты системы (1.9) зависят лишь от х1 и £, и, как следствие, зависимость возмущений от ж2 и ж3 факторизуется:

(а?!, ж2, ж3, ¿) — $(ж2, ж3)5Г(жх,£) , где теперь <5Г = (бр, 6и , <5г>т, 6р)т и

кХ2

(1.10)

5 (ж 2, ж3)

í V

1 0 0 0\

0 10 0 О 0 еЖ2 0 0 0 0 1/

31т«2

В д.с.к.

в ц.с.к.

(1.11)

3(ж2,ж3)

Заключение диссертации по теме «Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по отраслям наук)», Лукин, Дмитрий Викторович

Заключение

В заключении сформулируем основные результаты и выводы, полученные в настоящей диссертации.

- Все гидродинамические неустойчивости ударных волн в неоднородных потоках могут быть описаны в рамках резонансного подхода. При этом неустойчивость У В может быть обусловлена локальной неустойчивостью фронта, неустойчивостью зафронтового течения, резонансным взаимодействием фронта УВ с неоднородностью зафронтового течения, либо же одновремённой.неустойчивостью фронта УВ и зафронтового течения.

- Коэффициент отражения звука фронтом УВ может быть обобщен на случай неоднородных волн с комплексными частотами. Предложен метод исследования и предсказания неустойчивости фронта УВ, основанный на анализе коэффициента отражения звуковых волн от фронта УВ и не требующий численного решения задачи на собственные значения.

- Применение данного метода к исследованию неустойчивости ударных волн в моделях УВ в гравитационной потенциальной яме, сферической аккреции с У В и ускоряющейся У В в атмосфере с экспоненциально убывающей плотностью показало, что причина неустойчивости во всех трех случаях заключается в неустойчивости ударного фронта

- в его способности спонтанно генерировать неустойчивые звуковые колебания.

- В результате выполненного численно линейного анализа устойчивости показано, что

1) галактическая ударная волна неустойчива, если ее фронт располагается на задней по отношению к натекающему потоку кромке спирального рукава и устойчива на передней кромке; вращение галактического диска расширяет область ее неустойчивости; наиболее неустойчивыми являются негофрировочные возмущения фронта УВ, соответствующие смещению ударного фронта из положения равновесия как целого; причина неустойчивости заключается в неустойчивости ударного фронта;

2) плоская ударная волна, распространяющаяся в однородной среде с тепловой релаксацией, неустойчива по отношению к возмущениям, гофрирующим ее фронт; наиболее неустойчивыми являются возмущения, характерный пространственный масштаб которых вдоль фронта имеет порядок ~ 0.1/г, где 1Г — длина релаксации; в предельном случае среды с быстрой тепловой релаксацией ударная волна становится устойчивой, если при этом ее интенсивность превышает некоторое критическое значение, то ударный фронт излучает нейтральные звуковые колебания;

3) учет процессов нагрева межзвездной среды фоновым излучением и ее охлаждения высвечиванием расширяет область неустойчивости галактической ударной волны по сравнению с адиабатическим случаем; наибольшими инкрементами неустойчивости обладают него-фрировочные возмущения ударного фронта.

- Построена и исследована иерархическая квазидвумерная модель тонких астрофизических газовых дисков. Путем численного решения задачи о распространении в диске волн малой амплитуды проведено тестирование модели и показано, что

1) описывая динамику диска в рамках двумерных уравнений, иерархическая модель позволяет, тем не менее, адекватно учесть вертикальные движения в диске, в том числе их многомодовый характер;

2) увеличение точности в модели достигается путем увеличения порядка приближения, т.е. путем увеличения количества учитываемых степеней свободы (и соответственно уравнений) для движений диска в направлении, перпендикулярном плоскости симметрии диска; с ростом порядка приближения модель позволяет получить сколь угодно высокую точность в аппроксимации динамики трехмерного диска;

3) роль третьего измерения в динамике тонких дисков является определяющей; спектр нормальных колебаний диска зависит только от распределения внешнего гравитационного поля и практически не зависит от толщины диска, не меняет своего вида в зависимости от того, является ли диск тонким или "бесконечно тонким" — в этом смысле предельным переходом h/r ^ 0 нельзя добиться "исключения" роли трехмерности в динамике тонких дисков.

- Исследование распространения по диску нелинейных волн, проведенное в рамках первого приближения иерархической модели, показало, что в диске могут существовать нелинейные стационарные бегущие волны с конечными амплитудами, не превышающими некоторого критического значения.

- В результате численного исследования стационарных ударных волн в диске и условий их существования, выполненного в рамках первого приближения иерархической модели, показано, что учет вертикальных движений в диске приводит к существенному снижению требований к амплитуде внешних гравитационных возмущений на формирование запрещенных областей в.диске — областей, где ударная волна не может находиться в стационарном состоянии.

Автор выражает искреннюю признательность всем сотрудникам кафедры теоретической физики и волновых процессов физического факультета Волгоградского госуниверситета, на которой в 1995-1998 гг. выполнялась настоящая работа.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Лукин, Дмитрий Викторович, 1999 год

Литература

1. Baker P.L., Barker P.L. // Astron. Astrophys. 1974. V. 3G. P. 179.

2. В albus S. A. // Astrophys. J. 1988. V. 324. P. 60.

3. Bath G.T., Pringle J.E. // Mori. Not. R. Astron. Soc. 1981. V. 194. P. 967.

4. Bertshinger E. // Astrophys. J. 1986. V. 304. P. 154.

5. Biermann P., Kippenhahn R., Tcharnuter W., Yorke H. // Astron. Astrophys. 1972. V. 19. P. 113.

6. Bisnovatyi-Kogan G.S., Silich S.A. // Rew. Mod. Phys. 1995. V. 67. P. 661.

7. Bondi H. // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1952. V. 112. P. 195.

8. Burton W.B. // Ann. Rev. Astron. Astrophys. V. 14. P. 275

9. Chakrabarti S.K. // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1989. V. 240. P. 7.

10. Chakrabarti S.K. // Astrophys. J. 1989. V. 347. P. 365.

11. Chang K.M., Ostriker J.P. // Astrophys. J. 1985. V. 288, P. 428.

12. Chevalier R.A., 1990, // Astrophys. J. 1990. V. 359. P. 463.

13. Chevalier R.A., Blondin J.M., Emmering R.T. // Astrophys. J. 1992. V. 392. P. 118.

14. Chevalier R.A., Imamura J.N. // Astrophys. J. 1982. V. 261. P. 543.

15. Dotani T. et al. // Frontiers of X-Ray Astronomy, Tokyo: Universal Academic Press, 1992. P. 151.

16. Dwarkadas V.V., Balbus S.A. //Astropliys. J. 1996. V. 467. P. 87.

17. Eremin M.A., Kovalenko I.G. // ASP Conference Series. 1998. V. 138. P. 93.

18. Erpenbeck J.J. // Phys. Fluids. 1962. V. 5. P. 1181.

19. Field G. B. // Astrophys. J. 1965. V. 142. P. 531.

20. Fujimoto M. //Symp. IAU. 1968. No. 29. P. 453.

21. Fukue J. // Publ. Astron. Soc. Jpn. 1987. V. 39. P. 309.

22. Garlick A.R. // Astron. Astrophys. 1979. V. 73. P. 171.

23. Goldreich P., Lynden-Bell D. // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1965. V. 130. P. 125.

24. Goodman J. // Astrophys. J. 1990. V. 358. P. 214.

25. Goodman J. // Astrophys. J. 1993. V. 406. P. 596.

26. Grover R., Hardy J.W. // Astrophys. J. 1966. V. 143. P. 48.

27. Hassinger G. // Astron. Astrophys. 1987. V. 186. P. 153.

28. Houck J.C., Chevalier R.A. // Astrophys. J. 1992. V. 395. P. 592.

29. Hunter C. // Ann. Rev. Fluid Mech. 1972. V. 4. P. 219.

30. Hunter C., Toomre A. // Astrophys. J. 1969. V.155. P.747.

31. Kovalenko I.G. // Astron. and Astropliys. Transact. 1997. V. 14. P. 55.

32. Kovalenko I.G., Eremin M.A. // Moil. Not. R. Astron. Soc. 1998. V. 298. P. 861.

33. Kovalenko I.G., Levy V.V. //Astron. Astrophys. 1992. V. 264. P. 406.

34. Kovalenko I. G., Levy V.V. //Astron. Soc. Pacific: Conf. Series. 1994. V. 66. P. 127.

35. Kovalenko I.G., Shchekinov Yu. // Astron. and Astrophys. Transact. 1991. V. 1. P. 129.

36. Langer S.tL, Chanrnugam G., Shaviv G. // Astrophys. J. 1981. V. 245. P. L23.

37. Lin D. N. C., Papaloizou J. C. B., Savonije G. J. // Astrophys. J. 1990. V. 364. P. 326.

38. Lin D. N. C., Papaloizou J. C. B., Savonije G. J. // Astrophys. J.

1990. V. 365. P. 748.

39. Lio D., Chevalier R.A. // Astrophys. J. 1994. V. 435. P. 815.

40. Lubow S. H., Pringle J. E. // Astrophys. J. 1993. V. 409. P. 360.

41. Lynds B. T. in: The spiral Structure of our Galaxy, ed. Becker W., Contopoulus G. 1970. No. 38. P. 26

42. Marochnik L.S., Berman V.G., Mishurov Yu.N., Suclikov A.A. // Astrophys. and Space Sci. 1983. V. 89. P. 177.

43. Mathewson D.S., van der Kruit P.C., Brow W.N. // Astron. Astrophys. 1972. V. 17. P. 468.

44. Matsuda T., Inoue M., Sawada K., Shima E., Wakamatsu K.-i. // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1987. V. 229. P. 295.

45. Mihos J.C., Bothun G.D. // Astrophys. J. 1997. V. 481. P. 741.

46. Molteni D., Belvedere G., Lanzafame G. // Mon. Not. R. Astron. Soc.

1991. V. 249. P. 748.

47. Molteni D., Lanzafame G., Chakrabarti S.K. // Astrphys. J. 1994. V. 425. P. 161

48. Molteni D., Sponholz H., Chakrabarti S.K. // Astrophys. J. 1996. V. 457. P. 805.

49. NakayamaK. //Mon. Not. R. Astron. Soc. 1992. V. 259. P. 259.

50. NakayamaK. // Publ. Astron. Soc. Jpn. 1993. V. 45. P. 167.

51. NakayamaK. // Mori. Not. R. Astron. Soc. 1994. V. 270. P. 871.

52. Ostriker J.P. // Rev. Mod. Phys. 1988. V. 60. P. 1.

53. Papaloizou J. С. В., Lin D. N. C. //Ann. Rev. Astron. Astrophys. 1995. V. 33. P. 505.

54. Papaloizou J. С. В., Lin D. N. C. //Astrophys. J. 1995. V. 438. P. 841.

55. Roberts W.W. // Astrophys. J. 1969. V. 158. P. 123.

56. Roberts W.W., Yuan C. // Astrophys. J. 1970. V. 161. P. 887.

57. Rozyczka M., Spruit H.C. // Astrophys. J. 1993. V. 417. P. 677.

58. Ryu D., Brown G.L., Ostriker J.P., Loeb A. // Astrophys. J. 1995. V. 452. P.364.

59. Ryu D., Chakrabarti S.K., Molteni D. // Astrophys. J. 1997. V. 474. P. 378.

60. Ryu D., Vishniac E.T. // Astrophys. J. 1987. V. 313. P. 820.

61. Ryu D., Vishniac E.T. // Astrophys. J. 1988. V. 331. P. 350.

62. Ryu D., Vishniac E.T. //Astrophys. J. 1991. V. 368. P. 411.

63. Sawada K., Matsuda Т., Hachisu I. // Mon. Not. R. Astron. Soc. 1986. V. 219. P. 75.

64. Schwarz M.P. // Astrophys. J. 1981. V. 247. P. 77.

65. Shu F., Milione V., Gebel W., Yuan C., Goldsmith D.W., Roberts W.W. // Astrophys. J. 1972. V. 173. P. 557.

66. Shu F.H., Milione V., Roberts W.W. // Astrophys. J. 1973. V. 183. P. 819.

67. Soukup J.E., Yuan C. // Astrophys. J. 1981. V. 256. P. 376.

68. Spruit H.C. // Astron. Astrophys. 1987. V. 184. P. 173.

69. Stellingwerf R.F., Buff J. // Astrophys. J. 1978. V. 221. P. 661.

70. Toomre A. // Ann. Rev. Astron. Astrophys. 1977. V. 15. P. 437.

71. Toomre A. // Astrophys. J. 1964. V. 139. P. 1217.

72. Tubbs A.D. // Astrophys. J. 1980. V. 239. P. 882.

73. Vishniac E.T. // Astrophys. J. 1983. V. 274. P. 152.

74. Vishniac E. Т., Diamond P. // Astrophys. J. 1989. V. 347. P. 435.

75. Vishniac E.T., Ryu D. // Astrophys. J. 1989. V. 337. P. 917.

76. Wakamatsu K.-i. // Astron. J. 1993. V. 105. P. 1745.

77. Woodward P.R. // Astrophys. J. 1975. V. 195. P. 61.

78. Берман В.Г., Марочник JI.С., Мишуров Ю.Н., Сучков А.А., Тимо-нин П.Н. // Астрон. журн. Т. 63. С. 31.

79. Бочкарев Н.Г. Исследования по геомагнетизму, аэрономии и физике Солнца. 48. Под ред. И.М. Ойрингеля. М.: Наука, 1979.

80. Бреховских JI. М., Гончаров В. В., Наугольных К. А., Рыбак С. А. // Изв. вузов: Радиофизика. 1976. Т. 19. С. 842.

81. Гуревич Л.Э., Румянцев A.A. // Астрон. журн. 1969. Т. 46. С. 1158.

82. Дьяков С.П. // Журн. Эксп. Теор. Физ. 1954. Т. 27. С. 288.

83. Дьяков С.П. // Журн. Эксп. Теор. Физ. 1954. Т. 27. С. 728.

84. Еремин М.А. // Вестник ВолГУ. Серия: Математика. Физика. 1998. Вып. 3. С. 94.

85. Каплан С.А., Пикельнер С.Б. Физика межзвездной среды. М.: Наука, 1979.

86. Конторович В.М. // Журн. Эксп. Теор. Физ. 1957. Т. 33. С. 1525.

87. Космическая газодинамика. Ред. Хабинг Х.Дж. М.: Мир, 1972.

88. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1968.

89. Кузнецов Н.М. // Журн. Эксп. Теор. Физ. 1985. Т. 88. С. 470.

90. Кузнецов Н.М. // Успехи Физ. Наук. 1989. Т. 159. С. 493.

91. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.

92. Любарский Ю.Э., Шакура Н.И. // Письма в Астрон. журн. 1987. Т. 13. С.917.

93. Марочник Л.С., Сучков A.A. Галактика. М.: Наука, 1984.

94. Мишуров Ю.Н. // Астрон. журн. 1991. Т. 68. С. 65.

95. Мишуров Ю.Н., Пефтиев В.Н., Сучков A.A. // Письма в Астрон. журн. 1975. 1. 8.

96. Незлин М. В., Снежкин Е. Н. Вихри Россби и спиральные структуры: Астрофизика и физика плазмы в опытах на мелкой воде. М.: Наука, 1990.

97. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981.

98. Пикельнер С.Б. // Астрон. журн. 1970. Т. 47. С. 752.

99. Пименов С.Ф. // Журн. Эксп. Теор. Физ. 1982. Т. 83. С. 106.

100. Пименов С.Ф. // Журн. Эксп. Теор. Физ. 1983. Т. 84. С. 1703.

101. Пименов С.Ф. //Письма в Астрон. журн. 1995. Т. 21. С. 394.

102. Поляченко В. Л., Фридман А. М. Равновесие и устойчивость гравитирующих систем. М.: Наука, 1976.

103. Райзер Ю.П. // Журн. Прикл. Мат. Теор. Физ. 1964. Т. 4. С. 49.

104. Седов JI.И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1981.

105. Фридман А. М., Хоружий О. В., Либин А. С. Приложения I и II к книге Горькавый Н. Н., Фридман А. М. Физика планетных колец. М.: Наука, 1994.

106. Хоперсков А. В. // Акустический журн. 1995. Т.41. С.647.

107. Чернин А.Д. // Письма в Астрон. журн. 1997. Т. 23. С. 3.

108. Чурилов С. М., Шухман И. Г. // Астрон. цирк. 1981. N 1157. С. 1.

109. Эдельман М.А. // Астрофизика. 1989. Т. 31. С. 579.

110. Эдельман М.А. // Астрофизика. 1989. Т. 31. С. 408.

111. Еремин М.А., Коваленко И.Г., Лукин Д.В. Устойчивость ударной волны в среде с быстрой тепловой релаксацией. // Вестник ВолГУ. Серия: Математика. Физика. 1996. Вып. 1. С. 95-100.

112. Kovalenko I.G., Levy V.V., Lukin D.V. Quasi-two-dimensional modelling of thin astrophysical gaseous disks. // Annales Geopliysicae. 1998. Supplement IV to V. 16. Part IV. P. CI 135.

113. Коваленко И.Г., Лукин Д.В. Устойчивость галактической ударной волны. // Тез. докл. международной студенческой научной конференции "Физика космоса". 1997. С. 42.

114. Коваленко И.Г., Лукин Д.В. Устойчивость галактической ударной волны: влияние сдвига в потоке. // Труды IV съезда астрономического общества. Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга. 1998. С. 35-40.

115. Коваленко И.Г., Лукин Д.В. Ударные волны в астрофизических газовых дисках: влияние конечной толщины дисков и вертикальных движений.//Письма в Астрон. журн. 1998. Т.24. С.1-10. (в печати)

116. Лукин Д.В. Исследование устойчивости ударной волны в гравитационной потенциальной яме. // Сборник статей II Межвузовской научно-практической конференции студентов и молодых ученых Волгоградской области. Выпуск 4. 1996. С. 82-88.

117. Лукин Д.В. К вопросу об устойчивости ударных волн в средах с тепловой релаксацией. // Вестник ВолГУ. Серия: Математика. Физика. 1998. Вып. 3. С. 102-107.