Дифференциальный метод оценки некоторых типов финансовых инструментов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Муравей, Дмитрий Леонидович

• Муравей, Дмитрий Леонидович
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Муравей, Дмитрий Леонидович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Нижняя оценка стоимости бесконечного американского альтернативного опциона на два актива.

§1. Постановка задачи

§2. Эллиптическое уравнение в бесконечной полосе. Потенциалы и

Функция Грина

§3. Класс ограниченных граничных функций М0

§4. Классы кусочно-гладких граничных функций Мх

§5. Нижняя оценка стоимости бесконечного американского альтернативного опциона на два актива

§6. Вычислительные эксперименты

Глава 2. Нижняя оценка стоимости бесконечного американского опциона Марграбе.

§1 Постановка задачи

§2 Эллиптическое уравнение в бесконечной полуплоскости. Потенциалы и Функция Грина

§3. Класс ограниченных граничных функций М0

§4. Классы кусочно-гладких граничных функций М1

§5. Нижняя оценка стоимости бесконечного американского опциона

Марграбе

§6. Вычислительные эксперименты

Глава 3. Оценка некоторых европейских обязательств и другие приложения дифференциального метода.

§1. Стоимость опциона "Lookback"

§2. Стоимость облигации с переменной процентной ставкой модели Кокса - Ингерсолла - Росса

§3. Стоимость облигации с переменной процентной ставкой модели Ингерсолла - Константинидиса

§4. О задаче времени первого достижения двумерным гауссовским процессом прямоугольной границы

Список Литературы

174

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифференциальный метод оценки некоторых типов финансовых инструментов»

Введение.

Общая характеристика работы.

Актуальность темы. В связи с динамичным развитием финансового инструментария и возрастанием биржевых операций исследование математических моделей стоимости ценных бумаг и задач принятия решений при их покупке или продаже становится всё более актуальным. Исследование подобного рода задач было начато Башелье[1], Блэком, Шоуллзом [2], Мерто-ном [3], Хестоном [4] и другими. С описанными выше моделями так же тесно связаны задачи оценки инвестиционных проектов, что отражено в работах Диксита, Пиндика[5], МакДональда, Сигела[6], Виленского, Лифшица, Смо-ляка[7] и других авторов. В диссертации изучаются несколько типов ценных бумаг: бесконечные американские опционы на два актива, опцион "Lookback" и облигации с переменной процентной ставкой. Особое внимание уделяется методам построения оценок стоимости указанных выше ценных бумаг. Задачи оценки опционов и других ценных бумаг изучались в течение длительного времени. В рамках теории финансового рынка Блэка-Шоуллза исследовалось большое количество ценных бумаг. Исследованием европейских опционов занимались Блэк, Шоуллз и другие. Модели облигаций с переменными процентными ставками рассматривались Васичеком [8], Коксом, Ингерсоллом, Россом [9], Блэком, Карасинским [10], Константинидисом [11] и другими. Стоимости некоторых экзотических опционов, а также опционов с однородными обязательствами были получены Ширяевым [12], Гербером, Шиу [13] и другими. Броуди, Детемпл [14], Марграбе [15], Ким [16], Джонсон [17] и другие занимались исследованиями американских и европейских опционов на несколько активов. В рамках описанной выше модели рынка, нахождение стоимости ценной бумаги сводится к вычислению математического ожидания платежа по ценной бумаге. Весомый вклад в развитие методов их вычислений внесли Колмогоров [18], Гирсанов [19], Ширяев, Баше-лье, Ито[20] и другие. Существует два подхода к вычислению математического ожидания: мартингальный и дифференциальный. Мартингальный подход основывается на построении специального мартингала, позволяющего посчитать искомое математическое ожидание. Данный подход подробно описан в работах Гербера, Шиу [21] и Ширяева. Дифференциальный подход заключается в постановке краевой задачи для уравнения в частных производных, решением которого является искомое математическое ожидание. Развитием этого подхода занимались Колмогоров, Феллер[22], Бюттлер [23], Кокс, Ингерсолл, Росс, Блэк, Шоуллз и другие. Основная проблематика данной работы - применение дифференциального метода для получения оценок стоимостей опционов и облигаций. В свою очередь, аппарат данного метода опирается на работы Ильина, Калашникова, Олейник [24], Жиро[25], Фике-ры[26], Паламодова [27], Миранды [28], Хёрмандера [29]. Цели исследований. Исследование методов, позволяющих получать оценки стоимостей ценных бумаг. Представление полученных оценок в виде, позволяющем применять численные методы.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. В диссертации подробно исследован дифференциальный метод, применение которого позволило получить ранее неизвестные оценки стоимости ряда ценных бумаг. В частности, получены нижние оценки стоимости для бесконечных американских опционов на два актива (альтернативный опцион, опцион Марграбе), оценка облигации с переменной процентной ставкой модели Ингерсолла-Константимидиса. В качестве демонстрации данного метода были найдена оценка стоимости опциона "ЬоокЬаск"(ранее была получена мар-тингальным подходом Гербером и Шиу[13]) и оценка стоимости облигации с переменной процентной ставкой модели Кокса-Ингерсолла-Росса( ранне была получена методом автомодельных замен Бюттлером[23]). Так же в процессе исследований была решена задача поиска распределения времени первого достижения прямоугольной границы двумерным гауссовским процессом.

Методика исследований. В работе используются методы теории вероятностей, действительного и комплексного анализа, теории дифференциальных уравнений в частных производных, операционного исчисления, теории функций и функционального анализа, специальных функций и методы численной оптимизации.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы в качестве анализа принятия решений на биржевых торгах и при оценках инвестиционных проектов. Также результаты работы могут быть использованы для дальнейшего исследования некоторых вероятностных распределений в задачах финансовой математики.

Апробация. Результаты работы докладывались на конференциях Ломоносовские чтения в 2008, 2009 и 2010 годах, V международной конференции по исследованию операций СЖМ 2010, и Тихоновских чтениях в МГУ в 2010 и 2011 годах.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в рецензируемых работах, список которых приведён в конце автореферата. Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, включающих в себя в совокупности 16 параграфов и списка литературы. Полный объём диссертации составляет 178 страниц.

Основное содержание работы.

Во введении приведены постановки исследуемых задач, приложения рассматриваемых типов задач, обоснована актуальность исследования, описана методика исследования, коротко изложено содержание диссертационной работы, отражена научная новизна работы, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, и приведена информация об апробации результатов.

Первая глава посвящена построению нижней оценки бесконечного американского альтернативного опциона на два актива. В §1 приводится определение данной ценной бумаги, экономическая модель и постановка задачи.

Бесконечный американский альтернативный опцион на два актива представляет собой ценную бумагу, держатель которой имеет право её предъявления в любой момент времени с целью получения актива, имеющего наибольшую стоимость.

Рассматривается модель финансового рынка Блэка-Шоулса[2], где банковская процентная ставка г не зависит от времени t, а стоимости активов S:(t), z' = l,2 удовлетворяют уравнениям геометрического броуновского движения: dSt(t) - St{tiyafa + aldzi(t)), где cr >0 - волатильности активов, a z,(i)>0 -стандартные винеровские процессы с коэффициентом корреляции р, \р\<\. Пусть St > 0 - интенсивности выплаты дивидендов. Так же дополнительно потребуем условие риск - нейтральности рынка г = щ+5п г = 1,2, что означает равенство доходности инвестора по депозитному вкладу и- средней доходности каждого актива, включая дивиденды. Предположим, что получаемые по активу дивиденды немедленно реинвестируются, то есть на них покупаются новые акции такого же типа. Платёж по опциону в момент времени t определяется функцией /(5, ((), S2(/)) = max(Sj(t) - Kf)+, где К, - цена исполнения опциона при покупке г - го актива. Обозначим через Si =£,.(0), г = 1,2 - начальные стоимости активов. Тогда стоимость опциона C(SX,S^) может быть определена как верхняя грань средних приведённых платежей, взятая по всем решающим правилам предъявления Т' (марковским моментам):

С (S,, S2) = sup Е Гехр {-гГ) f(S, (Г), S2 (Г))],

Построение нижней оценки производится на основе следующего класса пороговых решающих правил Т : опцион предъявляется только в том случае,

когда процесс p(t) = впервые достигает либо верхней границы с,, либо

ЗД)

нижней границы с2. Константы с, и с2 удовлетворяют ограничениям

О < с, < — < с,.

Исходя из этого, нижняя оценка стоимости опциона равна

А наилучшую нижнюю оценку стоимости можно определить как

F(S1,S2) = supF(Sl,S2,cl,c2) г

где супремум ищется по всем cvc2, определяющим правило Т Использование формулы Ито и уравнения Беллмана[30] позволяет получить следующую краевую задачу для интересующей нас стоимости F(SvS2,cvc2):

уОД* + ра^^ +а.=

Р(8х,82,сх,с2)- (5) -Кх)+, Бх = с^, F(S1,S2,c1,c2) = (52 -К2)+, 51 = с25'2,

0<с2 < —<сг

(0.1)

При заменах

х =-!-у =

2 . 2

уравнение (0.1) перейдёт в уравнение (0.2) - общее эллиптическое уравнение с постоянными коэффициентами в бесконечной прямой полосе П' с шириной полосы /.

1 с

п'={-оо<х<+оо,0<у<1}, / = -

2 с2

Таким образом, получим следующую краевую задачу:

ЬУ = агхГхх+ 2ро,ауху + &*Г„ + ахГх + а2К - гУ = 0, (х, 7) е п<,

12 т г"

У\у,0=

1

V

■ К2е~

,хе(-оо,+оо),

(0.2)

где &х,а2,ссх,а2,р,г - константы, определяемые по коэффициентам уравнения (0.1), про которые известно, что &х,а2,Р> 0, < 1.

В §2 строятся потенциалы Р('(х-х0,у) и Рх(х-х,,у) определяемые следующим образом:

Р'{х-хру) = ШР1{х-хру), ; = 0, 1, (0.3)

где Ръе{х-ха,у) и Е(х—хх,у) являются обобщёнными решениями следующих

краевых задач:

К: = 0>

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Муравей, Дмитрий Леонидович, 2012 год

Список литературы

1. Bachelier L. Theorie de la speculation. // Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. 1900. V. 7. P. 21.

2. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities I I Journal of Political Economy. 1973. V. 81. №3. P. 637-659.

3. Merton R.C. Theory of the rational option pricing // Bell Journal of Economics and Management Science. 1973. №4 (Spring). P. 141-183.

4. Heston S.L. A closed form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options // The Review of Financial Studies. 1993. V. 6 №2. P. 327-343.

5. Dixit A.K., PindyckR.S. Investment under Uncertainty. Princeton: Princeton University Press, 1994

6. McDonald R.L., Siegel D.R. The value of waiting to invest. Quarterly Journal of Economics. 1986. V. 101. №4. P. 707-727.

7. Виленский П.Л., Лившиц В.H., Смоляк C.A. Оценка эффективности инвестиционных проектов. М.: Дело, 2008.

8. Vasicek О. An equiliblium characterization of the term structure // Journal of Financial Economics. 1977. V.5. P. 177-188.

9. Cox J.C., Ingersoll J.E., Jr., Ross S.A. A theory of the term structure of interest rates //Econometrica. 1985. V. 53. № 2. P. 385-407.

10. Black F., Karasinsky P. Bond and option pricing when short rates are lognormal // Financial Analysts Journal. 1991. №4. P. 52-59.

11. Constantinides G.M., Ingersoll J.E. Optimal bond pricing with personal taxes // Journal of Financial Economics. 1984. V. 13. P. 299-235.

12. Ширяев A.H. Основы стохастической финансовой математики T.l, Т.2. M.: Фазис, 1998.

13. Gerber H. U., Shiu E.S. W. Pricing lookback options and dynamic guarantees II North American Actuarial Journal. 2003. V.7. №1. P. 48-66.

14. Broadie M., Detemple J. The valuation of American Options on Multiple Assets Il Mathematical Finance. 1997. V.7. №3. P. 241-286.

15. Margrabe W. The value of option to exchange one asset for another // Journal Finance. 1978. V. 33. P. 177-186.

16. Kim I.J. The Analytic Valuation of American options // Applied Mathematics and Optimization. 1990. V. 17. P. 37-60.

17. Johnson H. Options on the maximum or the minimum of several assets // Journal of Financial and Quantitative Analysis. 1978. V. 22. P. 227-283.

18. Колмогоров A.H. Теория вероятностей и математическая статистика. Избранные труды. Т. 2. М.: Наука, 1986.

19. Гирсанов И.В. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры // Теория вероятностей и её применения. 1960. Т.5. №3. С.314-330.

20. Ito К. On stochastic differential equations // Memoirs of the American mathematical society. 1951. V. 4. P. 1-89.

21. Gerber H.U., Shiu E.S.W. Martingale approach to pricing American options // ASTIN Bulletin. 1994. V. 42. P. 195-200.

22. Feller W. Two singular diffusion problems // Annals of mathematics. 1951. V. 54. № l.P. 173-182.

23. Buttler H.-J. Pricing callable bonds by means of Green's function // Mathematical Finance. 1996. V.6. №1. P. 53-88.

24. Ильин A.M., Калашников А. С., Олейник О.А. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // УМН, 17, вып.З (1962), 3-146.

25. Паламодов В.П. Линейные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Наука, 1967.

26. Giraud G. Sur une classe d'équations linéares ou figurant des valeurs principiales d" integrals simples, Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 1939, 119-172.

27. Fichera G. Applicazione délia theoria del potenziale di superficie ad alcuni problem di analisi funzionale lineare, Giornale Mat. Battaglini (1948-1949).

28. Миранда К. Уравнения с частными производными эллиптического типа. М.: Наука, 1957

29. Хёрмандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир, 1965.

30. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960.

31. Морозов В.В., Муравей Д.Л. Нижняя оценка стоимости бесконечного американского альтернативного опциона на два актива // Прикладная математика и информатика. 2010. №36. С. 99-106. Переиздание: Morozov V.V., Muravey D.L. A lower bound on the value of an infinite American call option on two assets// Computational Mathematics and Modeling. 2012. V. 23. №1 P.79-87.

32. Морозов В.В., Муравей Д.Л. Построение нижней оценки стоимости бесконечного американского альтернативного опциона на два актива // Научная конференция Тихоновские чтения. 2009. С. 55-57.

33. Морозов В.В. Муравей Д.Л. Нижняя оценка стоимости бесконечного американского альтернативного опциона на два актива // VI Московская международная конференция по исследованию операций. 2010. С. 60-61.

34. Муравей Д.Л. Использование дифференциального метода для построения нижней оценки стоимости бесконечного американского альтернативного опциона на два актива // Вестник Тверского государственного университета. Серия Прикладная математика. Выпуск 1 (24). 2012. С. 127-136.

35. Муравей Д.Л. Построение нижней оценки стоимости бесконечного опциона Марграбе // Труды ИСА РАН .2012. №2.

36. Морозов В.В., Муравей Д.Л. Стоимость опциона "Lookback" как решение краевой задачи для уравнения теплопроводности // Прикладная математика и информатика. 2008. №28. С. 66-73. Переиздание: Morozov V.V., Muravey D.L. The price of a lookback option as the solution of a boundary - value problem for the heat equation // Computational Mathematics and Modeling. 2009. V. 20. №1. P. 65-70.

37. Муравей Д.Л. Метод расчёта коэффициента дисконтирования при переменной процентной ставке // Динамика неоднородных систем. 2008. Т.2. №2. С. 244 - 248.

38. Friedrichs К. О. The identity of weak and strong extensions of differential operators // Translate American Mathematical Society. 1944.

39. Lewy H. Sur une nouvelle formule dans les equations lineares elliptiques et une application au problem de Cauchy, C. R. Ac. Sc. Paris, (1933).

40. Гюнтер H. M. Теория потенциала и её применение к основным задачам математической физики. —М., 1953.

41. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. JL: 1950.

42. Мшлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.

43. Смирнов М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения. М.: «Наука», 1966.

44. Слободецкий Л.Н. Обобщённые пространства C.JI. Соболева и их приложения к краевым задачам для дифференциальных уравнений в частных производных, Уч. зап. Лен. пед. ин-та им. Герцена (1958), 54-112.

45. МазьяВ.Г. Пространства С.Л. Соболева. Л.: 1985.

46. Schwartz L. Théorie des distributions, I, II, Act. Sci. Ind., 1091, 1122, Hermann et Cie., Paris (1951).

47. Ахиезер H.И., Глазман КМ. Теория линейных операторов в гильбертовым пространстве. М.: Наука, 1966.

48. Владимиров B.C. Обобщённые функции в математической физике. М.: Наука, 1979.

49. Б. Ван дер Поль, X. Бреммер. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. М.:ИЛ, 1952.

50. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление. М.: 1966.

51. Монахов В.А. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск, 1977.

52. Баничук Н.В. Оптимизация форм упругих тел. М.: 1980.

53. Lions J.-L. Remark on the relationship between free surfaces and optimal control of distributed systems // Optimization Techniques. Part 1. Lectures Notes in Control and Information Science. Springer-Verlag. 1978. 6. P. 28-40.

54. Cea J. identification de domains // Lectures Notes in Computer Science. Springer- Verlag. 1973. 3. P. 92-102.

55. Chenaise D. on the existence of a solution in a domain identification problem // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1975. 52. P. 189-219.

56. Муравей JI.A. О существовании решений вариационных задач в областях со свободными границами // ДАН СССР. 1984. 278. №3. С. 541-544.

57. Осипов Ю.А., Суэтов А.П. Об одной задаче Ж.-Л. Лионса // ДАН СССР. 1984. 276. №2. С.288-291.

58. Danilov V.G., Omel'yanov G.A. Estimate for the width mushy region between two liquids of different densities. // Preprint. Portugal: Universidade da Beira Interior. 1999.

59. Лавренътев M.A., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: 1951.

60. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971.

61. Градштейн И. С., Рыжик И. Таблицы интегралов сумм, рядов и произведений, «Физматгиз», 1962.

62. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

63. Морозов В.В., Хижняк КВ. Верхняя оценка стоимости бесконечного американского альтернативного опциона на два актива // Прикладная математика и информатика. 2011. №39. С. 98-107.

64. Olver F. W.J. The asymptotic solution of liner differential equations of the second order for large values of a parameter // Communicated by sir Edward Ballard. 1954. V. 247. A. 930. P. 307-358.

65. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1978.

66. Бейтмен Г., ЭрдейиА. Высшие трансцендентные функции, тт.1, 2. М.: Наука, 1973.

67. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. М.: ИЛ, 1949.

68. Wilmott P., Dewyne J., Howison S. Option Pricing: Mathematical Models and Computation, 1993.

69. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Мир, 1963.