Стохастические методы анализа рынка заимствований тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 08.00.13, кандидат наук Светлов Кирилл Владимирович

• Светлов Кирилл Владимирович
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Светлов Кирилл Владимирович

Введение

Глава 1. Математическое моделирование ряда показателей,

характеризующих рынок заимствований

1.1 Моделирование динамики процентных ставок корпоративных облигаций и государственных долговых обязательств

1.1.1 Понятие облигации

1.1.2 Временная структура процентных ставок

1.1.3 Разновидности моделей временной структуры процентных ставок

1.1.4 Модель Васичека динамики бескупонных облигаций

1.2 Оценивание параметров, характеризующих модель Васичека

1.2.1 Введение

1.2.2 Выражение для интегральной волатильности в модели Васичека

1.2.3 Дискретное приближение для процесса мгновенной процентной ставки

1.2.4 Оценивание параметров

1.2.5 Пример оценки накопленной волатильности для облигаций

1.2.6 Заключение

1.3 Модель динамики ^ЫГУ предприятий

1.4 Проверка адекватности моделирования динамических характеристик в финансовой сфере процессом геометрического броуновского движения

Глава 2. Стохастические методы анализа стоимости кредитования

инвестиционных проектов

2.1 Модель оценки стоимости кредитования инвестиционных проектов

2.1.1 Введение

2.1.2 Постановка задачи

2.1.3 Вывод основных соотношений

2.1.4 Интерпретация уравнения для нахождения величины кредитной премии

2.1.5 Существование и единственность решения задачи о нахождении кредитной премии

2.1.6 Анализ полученного решения

2.1.7 Методы верификации модели определения ставки кредитования

2.2 Безарбитражность стоимости платежного обязательства

2.3 Возможные модификации представленной модели

2.3.1 Альтернативный выбор платежной функции кредитного соглашения

2.3.2 Оценка стоимости кредитования проектов с учетом возможности их дефолта в течение периода кредитования

2.4 Эффект диверсификации при совместном кредитовании

нескольких проектов

2.4.1 Дополнительный математический аппарат, необходимый

для исследования влияния коррелированости базовых активов на стоимость кредитования проектов

2.5 Результаты численных расчетов и выводы

Глава 3. Специфика управления портфелем ценных бумаг,

составленным из государственных и корпоративных облигаций

3.1 Построение управления портфелем

3.2 Управление портфелем и модели цены актива

3.3 Построение функции управления для портфеля облигаций

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Приложение A. Листинги программ

A.1 Моделирование случайных процессов на рынке заимствований . . 132 A.2 Стохастические методы анализа стоимости кредитования проектов 136 A.3 Специфика управления портфелем облигаций

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Стохастические методы анализа рынка заимствований»

Введение

Актуальность темы. В последние десятилетия финансовый мир в результате протекающих процессов глобализации в значительной степени усложнился и стал более структурированным. Вместе с тем возникла потребность в точной оценке возникающих рисков и построению моделей ценообразования, не допускающих появления арбитражных возможностей. Именно стохастическая финансовая математика, опирающаяся на широкий класс математических дисциплин, предоставила инструменты для решения подобных, зачастую нетривиальных задач, возникающих, в том числе и при работе с инструментами рынка заимствований. К числу подобных задач относятся задачи, исследуемые в представленной работе: определение стоимости кредитования высокорискованных инвестиционных проектов, а также управление портфелем корпоративных или государственных облигаций.

Степень разработанности направления исследования. Историю стохастических методов в финансах принято отсчитывать начиная с 1900 г, с появления работы [1] французского математика Луи Башелье. Именно он впервые использовал применительно к экономике процесс арифметического броуновского движения. В дальнейшем данная идея была развита в работе [2] Самуэльсона 1965 года посвященной ценообразованию финансового инструмента под названием «варрант». Указанная работа содержала в себе основные элементы современной теории стохастической математики: процесс геометрического броуновского движения и идею отсутствия арбитражных возможностей при определении цены. Немного позже вышли работы Роберта Мертона [3], а также Блэка и Шоул-за [4], ставшие фундаментальными в теории стохастических финансов. Российская школа стохастических финансов представлена прежде всего работами А.Н. Ширяева. Одним из первых, кто использовал диффузионные процессы для описания динамики стоимости компании был Р. Мертон. В своей работе 1974 года им была продемонстрированная принципиальная возможность использования методов, первоначально изложенных в статье Блэка и Шоулза 1973 года, в оценивании стоимости корпоративных облигаций. В дальнейшем его работа была обобщена в различных направлениях: в работе Ф. Блэка и Д. Кокса 1976 года ценообразо-

вание облигаций осуществляется с учетом ковенантных требований, C. Тернбул в работе 1979 года учитывает наличие налогов и возникающих при банкротстве эмитента издержек. В работе Ф. Лонгстафа и Э. Шварца 1995 года безрисковая доходность предполагается заданной в виде процесса «квадратного корня» (square root process). Также интерес представляет работа Х. Лиланда и К. Тофта в которой факт банкротства компании определяется эндогенно. Развитие моделей оценки стоимости облигаций послужило толчком к развитию моделей определения кредитных рисков и вероятностей дефолта. Так, модель Мертона послужила основой для разработки модели KMV, используемой рейтинговым агентством Moody's. Отметим, что использование непрерывных диффузионных процессов в моделирование стоимости компаний также применяется в работах Д. Даффи, в монографии Р. Диксита и Р. Пиндайка.

Обращаясь ко второму вопросу, исследованному в представленной работе - управлению портфелем корпоративных облигаций, отметим, что модели управления портфелем ценных бумаг, в том числе облигаций, являются одним из наиболее популярных направлений возможного применения стохастических методов в финансах. Распространенным предположением при построении управления портфелем является то, что управление осуществляется в рамках стратегии самофинансирования. В частности, такой подход освещается в работах К. Бэка и С. Плиски, И. Каратзаса, С. Шрива. Смысл данного подхода заключается в том, что изменение стоимости портфеля происходит только за счет изменения стоимости входящих в него активов и изменения структуры самого портфеля. Иными словами, приобретение того или иного актива происходит за счет высвободившихся средств, полученных от продажи некоторого другого актива, входящего в портфель активов. Альтернативой данному подходу является стратегия, при которой приобретение активов осуществляется как за счет высвободившихся средств, полученных от продажи некоторого количества бумаг, так и за счет внешнего потока средств, осваиваемого системой управления портфелем. Указанная стратегия, именуемая «подходом, альтернативным стратегии самофинансирования», была впервые изложена С.А. Вавиловым, а затем получила дальнейшее развитие в совместных работах С.А. Вавилова и К.Ю. Ермоленко [5].

Цель и задачи исследования. Целью данной работы является разработка экономико-математических методов и моделей, связанных с инструментами, су-

шествующими на рынке заимствований - облигациями и кредитными займами. В части, относящейся к кредитным займам, ставится задача разработки модели определения ставки кредитования инвестиционных проектов в рамках классической теории [6] безарбитражного ценообразования. В части, связанной с рынком облигаций, целью работы является построение управления портфелем облигаций в рамках подхода [5], альтернативного стратегии самофинансирования, с учетом специфики данного инструмента (облигации), состоящей в наличии даты погашения или оферты.

Для достижения поставленной цели сформулированы и решены следующие основные задачи:

1. Разработана модель определения ставки кредитования инвестиционных проектов, обладающих высоким уровнем риска.

2. Проведен анализ построенной модели, доказано существование и единственность результатов модели при заданных входных параметрах, определена адекватность зависимости результатов от входных параметров.

3. Предложены методы верификации модели для ее практической реализации в деятельности кредитных организаций.

4. Разработаны обобщения модели, способные учесть такие факторы как издержки банкротства компании-заемщика, а также наличие дополнительных условий, кредитования, состоящих в задании нижней границы для капитала компании.

5. Исследовано наличие эффекта диверсификации при определении ставки кредитования связанных проектов в рамках построенной модели. Решена задачу определения степени влияния корреляции проектов на итоговое значение процентной ставки.

6. Разработаны программные реализации изложенных моделей в системе компьютерной алгебры Wolfram Mathematica.

7. Построено управление портфелем облигаций в рамках стратегии [5], альтернативной самофинансированию [7], учитывающее специфику облигаций [8] как финансового инструмента. Разработана процедура оценивания параметра накопленной волатильности для реализации управления портфелем.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются инструменты, существующие на рынке заимствований - кредитные займы и облигации. Предметом исследования выступает подход к определению ставок кредитования инвестиционных проектов, а также подход к управлению портфелем корпоративных и государственных облигаций.

Методологическая и теоретическая база исследования. Методологической базой диссертационного исследования является математический аппарат, включающий в себя:

1. аппарат теории случайных процессов

2. теорию стохастических дифференциальных уравнений

3. технику решения смешанных задач для параболических уравнений

4. теорию решения некорректных задач.

В качестве теоретической базы исследования выступают монографии, пособия и публикации отечественных и зарубежных ученых по таким областям научного знания как стохастическая финансовая математика, теория случайных процессов, эконометрические методы и методы алгоритмизации.

Инструментальная поддержка перечисленных методов заключается в использовании системы компьютерной алгебры Wolfram Mathematica, а также программной среды R.

Научная новизна работы заключается в следующих выносимых на защиту результатах диссертации:

1. Разработана модель определения ставок кредитования инвестиционных проектов в зависимости от уровня риска, связанного с невозвратом долга или процентов по нему Новизна модели состоит в том, что определение ставки кредитования производится с использованием методов стохастической финансовой математики, ранее применявшихся к определению стоимости корпоративных облигаций и различных производных финансовых инструментов. Вопрос определения стоимости кредитных займов с указанных позиций приводит к рассмотрению задачи, обратной той, что была рассмотрена Мертоном в работе [9].

2. Аналитически изучена зависимость результатов определения ставки кредитования от входных параметров модели. Продемонстрировано, каким

образом модель зависит от заданных параметров, насколько чувствительны результаты модели к задаваемым значениям входных параметров.

3. Предложены методы верификации модели определения ставки кредитования, рассмотрены способы ее калибровки.

4. Разработаны обобщения базовой модели определения ставки кредитования. Указанные обобщения позволяют учесть такие факторы, как издержки, возникающие при банкротстве заемщика, а также возможные ковенантные условия в процессе реализации инвестиционного проекта.

5. Исследован эффект диверсификации, возникающий при совместном кредитовании связанных проектов, принадлежащих одному собственнику, и состоящий в снижении ставки кредитования по сравнению с раздельным кредитованием проектов. В рамках указанной модели решена задача определения влияния коэффициента корреляции между стоимостями проектов на итоговое значение процентной ставки. Решение указанной задачи потребовало доказательства интегрального тождества для определенного класса параболических уравнений. Указанное тождество имеет широкие возможности для применения в «обратных» [10] задачах теории безарбитражного ценообразования финансовых инструментов.

6. Разработано приложение в среде Wolfram Mathematica, позволяющее находить значения процентной ставки в зависимости от задаваемых параметров.

7. Построена модель управления портфелем облигаций в рамках похода, альтернативного стратегии самофинансирования. Новизна указанной модели состоит в том, что в ней допускается зависимость волатильности актива от его стоимости. Указанная зависимость имеет принципиальное значение для облигаций, поскольку ввиду наличия у облигаций определенной даты погашения, применение стандартных моделей для построения их управления не является корректным.

Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечиваются корректным использованием методов стохастической финансовой математики при построении моделей. Расчеты в рамках разработанных моделей проделаны при помощи системы компьютерной алгебры, и полученные результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

Теоретическая и практическая значимость работы. Теоретическая значимость исследования заключается в разработке новых методов определения ставки кредитования, в зависимости от оценки кредитного риска, присущего финансируемому проекту. Также разработано обобщение подхода к управлению портфелем облигаций в рамках стратегии, альтернативной самофинансированию, позволяющее использовать в качестве модели актива непрерывные случайные процессы, отличные от геометрического броуновского движения. Практическая значимость работы обусловлена тем, что полученные в ней результаты составляют основу возможных экономических приложений, связанных с кредитованием высокорискованных в плане потенциальных инвестиций проектов, а также приложений, связанных с управлением портфелем государственных и корпоративных облигаций, обращающихся на рынке. Изложенная модель определения ставки кредитования может применяться в коммерческих банках для определения маржи за кредитный риск при размещении средств в проектах, обладающих высокой степенью риска.

Соответствие диссертации Паспорту научной специальности. Диссертация и научные результаты, выносимые на защиту, соответствуют соответствует следующим пунктам паспорта специальности 08.00.13:

- 1.6. «Математический анализ и моделирование процессов в финансовом секторе экономики, развитие метода финансовой математики и актуарных расчетов» - соответствуют пункты 1, 2, 4, 5 научных результатов.

- 2.3. «Разработка систем поддержки принятия решений для рационализации организационных структур и оптимизации управления экономикой на всех уровнях» - пункты 3, 6 научных результатов.

Апробация работы и реализация результатов исследования. Основные результаты работы докладывались на:

1. XVII международной конференции молодых ученых-экономистов «Предпринимательство и реформы в России» (2011 г., СПб.).

2. Весенней конференции молодых ученых-экономистов «Интеграционные процессы: влияние на экономическое развитие» (2013 г, СПб.).

3. Международной осенней конференции молодых ученых-экономистов «Предпринимательство и реформы в России» (2013 г, СПб.).

4. II международной научно-практической конференции, посвященной 75-летию экономического факультета Санкт-Петербургского государственного университета (2015 г, СПб.).

Внедрение результатов. Основные результаты диссертационной работы, касающиеся определения ставки кредитования в зависимости от оценки рисков размещения средств, приняты к сведению в Дирекции Казначейство ПАО "Банк "Санкт-Петербург".

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 9 печатных изданиях [11-19], 5 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [11-15] (из них 3 работы [11-13] написаны без соавторов), 4 — в тезисах докладов [16-19].

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Полный объём диссертации составляет 143 страницы с 43 рисунками и 11 таблицами. Список литературы содержит 73 наименования. Первая глава представленной работы посвящена вспомогательным результатам, связанным с моделированием ряда процессов на рынке заимствований. В частности, рассматривается модель динамики бескупонных облигаций (модель Васиче-ка) и возникающая в рамках данной модели структура для описания показателя накопленной волатильности бескупонных облигаций. Демонстрируется, как на основе исторических данных о динамике кривых доходностей можно оценить параметры данной модели и с их использованием построить оценку для параметра накопленной волатильности. Основой для написания части данной главы, посвященной оценке параметра накопленной волатильности, послужила статья [12]. Далее в первой главе рассматривается подход к моделированию показателя стоимости компаний при помощи процесса геометрического броуновского движения и приводятся результаты, связывающие процесс КРУ с процессом, описывающим динамику будущих значений прибыли, которую генерирует компания. В заключение, приводится оригинальная методика проверки необходимости того, что рассматриваемый процесс допускает представление в виде процесса геометрического броуновского движения. Методика заключается в построении определенных функционалов, заданных на траекториях наблюдаемого процесса и имеющих естественную экономическую природу (реальная и теоретическая прибыль

от управления портфелем). В случае совпадения значений данных функционалов условно можно считать, что наблюдаемый процесс может быть описан при помощи геометрического броуновского движения.

Вторая глава посвящена вопросам кредитования, связанным с определением величины процентной ставки по кредиту. Не вдаваясь в терминологические тонкости, суть основной решенной в диссертации задачи можно пояснить следующим образом. Заемщик берет у кредитора определенную сумму денег, которую в совокупности со своим капиталом вкладывает в некоторый рисковый проект. Рискованность проекта определяется тем, что вложенный в него капитал меняется во времени случайным образом. Указанная случайность определяется тем, что динамика капитала следует геометрическому броуновскому движению, коэффициент сноса которого не известен, но при этом имеется оценка коэффициента волатильности. Априори задается некоторая функция выплат, зависящая от случайной динамики стоимости капитала и стоимости кредита, представляющую собой не случайную, но априори не известную величину. Ставится задача об оценке стоимости кредита на момент заключения кредитного договора. При этом решение задачи основывается на том, что динамика стоимости долгового обязательства должна удовлетворять условию безарбитражности, суть которого заключается в следующем. Сформируем условный инвестиционный портфель, содержащий три вида активов: актива, стоимость которого следует изменению стоимости указанного выше рискового капитала; актива, стоимость которого определяется динамикой долгового обязательства и безрискового актива, отвечающего доступной для кредитора безрисковой норме доходности. Требуется найти такую зависимость изменения стоимости долгового обязательства от времени и наблюдаемой, меняющейся во времени стоимости рискового актива, при которой независимо от выбранного способа управления указанным портфелем в рамках стратегии самофинансирования, норма его доходности не может на любой момент времени превысить безрисковую. В диссертации доказано, то решение указанной задачи существует, единственно и определяет однозначным образом величину стоимости кредита. Возможным применением полученных результатов является определение ставки кредитования венчурных проектов [20], как типичных представителей высокорисковых компаний, испытывающих потребность во внешнем финансировании. В данном случае мы, безусловно, не рассматриваем венчурные

проекты находящиеся на посевных стадиях, ввиду возникающей при этом специфики управления рисками инвестирования средств в них. В дальнейшем, для избежания терминологических споров мы будем пользоваться понятием «инвестиционный кредит» имея ввиду высокие риски вложений кредитора. Материал главы основан на результатах, представленных в статьях [13-15]. Рассмотренный в данной главе подход в своей основе использует теорию безарбитражного оценивания стоимости платежных обязательств, и в частности, теорию построения реплицирующих (хеджирующих) портфелей. Особенность техники реплицирующего портфеля состоит в том, что строится виртуальный портфель, состоящий из двух активов: рискового, с уровнем риска соответствующим риску компании, которой предоставляется кредит, и безрискового. Управление данным портфелем проводится таким образом, чтобы к окончанию срока кредитования стоимость такого портфеля совпала с величиной выплаты по кредиту (собственно величины кредита и ссудных процентов). При этом заранее не известная величина процентов по кредиту определяется как решение некоторого трансцендентного уравнения, возникающего в результате приравнивания величины кредита, предоставляемого компании, и начальной стоимости реплицирующего портфеля. Далее показывается, что построенное решение демонстрирует естественный характер зависимости от входных параметров и не приводит к появлению арбитражных возможностей на рынке заимствований. Дополнительно приводятся обобщения данной модели, заключающиеся в различных вариантах выбора условий возврата заемных средств. Особое внимание уделяется вопросу совместного кредитования связанных между собою инвестиционных проектов. Демонстрируется наличие эффекта диверсификации при совместном кредитовании проектов, стоимости которых не абсолютно коррелированы друг с другом.

Третья глава данной работы рассматривает подход к управлению портфелем корпоративных или государственных облигаций. Управление портфелем строится в рамках подхода альтернативного стратегии самофинансирования, подразумевающей что покупка дополнительных единиц одного актива производится исключительно за счет средств, высвободивших в результате продажи некоторого числа другого актива. Ключевым показателем, используемым при построении управления является величина накопленной волатильности. При этом специфика управления портфелем облигаций состоит в том, что для облигаций, ввиду наличия у

них определенного срока до погашения, не выполняется условие квазиэргодичности. Материал данной главы основан на работе [11].

Глава 1. Математическое моделирование ряда показателей, характеризующих

рынок заимствований

1.1 Моделирование динамики процентных ставок корпоративных облигаций и государственных долговых обязательств

1.1.1 Понятие облигации

Облигация - это долговой инструмент, обязывающий эмитента в течении установленного промежутка времени выплатить кредитору (инвестору) взятую в займы сумму плюс некоторый заранее оговоренный процент [21; 22]. Номинальная стоимость облигации - это сумма, которую эмитент обязуется выплатить держателю облигации в день ее погашения. Помимо возврата заемщику номинала, у облигации могут быть предусмотрены так называемые купонные выплаты.

В данной работе нами будут рассматриваться прежде всего бескупонные (дисконтные) облигации - по этой разновидности финансовых инструментов в момент погашения инвестор получает номинальную стоимость ценной бумаги, а в течение ее жизни какие-либо выплаты отсутствуют. Привлекательность этой разновидности облигаций обеспечивается «дисконтом»: при размещении ее стоимость не превосходит ее номинала, обеспечивая таким образом инвестору положительный прирост капитала, реализуемый путем удерживания облигации до даты погашения.

В случае, если инвестор держит облигации у себя до погашения, то они приносят ему фиксированный доход и в этом смысле могут рассматриваться как безрисковые (в смысле отсутствия процентного риска при отсутствии спекулятивного интереса к облигации). Тем не менее, существуют разновидности риска, которые свойственны облигациям и в этом случае [23]. Приведем некоторые из них:

- риск инфляции, который определяется возможностями изменения покупательной способности капитала, выручаемого при погашении или при продаже облигаций.

- риск неплатежа (кредитный риск), определяемый как риск невыполнения эмитентом взятых на себя при выпуске облигации обязательств.

- риск изменения процентных ставок (рыночный риск), которому наиболее подвержены долгосрочные облигации.

Относительно стоимости, по которой облигация размещается на рыке возможны следующие соображения [24]: с позиции инвестора приобретение облигации связано с обменом денег настоящего периода на поток будущих доходов, следовательно цена покупки облигации не должна быть больше настоящей стоимости потока этих доходов; с позиции эмитента ситуация выглядит обратным образом и следовательно, цена не должна быть меньше настоящей стоимости выплат, которые он обязуется произвести. Поток инвестиций в дисконтную облигацию номиналом одна единица для покупателя выглядит так:

2 = (-Р, 0,0,..., 0,1), т

где Т - срок до погашения, а Р - цена, по которой облигация размещена на рынке. Следовательно при норме доходности г для инвестора должно выполняться неравенство

р< 1

(1 + г)т '

обеспечивающее неотрицательность чистой приведенной стоимости денежного потока, связанного с размещением средств в рассматриваемую бескупонную облигацию. Для продавца облигации справедливо аналогичное неравенство, но с противоположным знаком. Таким образом, если инвестор и эмитент используют одинаковую расчетную ставку, то минимальная цена, по которой эмитент готов продать облигацию совпадет с максимальной ценой, которую готов заплатить за нее покупатель. В противном случае, данная облигация будет недооцененной или же переоцененной рынком, что выразится в изменении соотношений между объемом спроса и предложения и в конечном счете приведет к корректировке цены посредством механизмов рыночного равновесия. При этом цена облигации и ставка,

по которой приводятся денежные потоки имеют противоположную зависимость: при увеличении г стоимость облигации уменьшается, при уменьшении нормы доходности оценка для стоимости облигации увеличивается.

В течение периода между выпуском облигации и ее погашением цена облигации подвержена изменениям. Цена бескупонной облигации будет постепенно увеличиваться и приближаться к своему номиналу (возможно, совершая при этом колебания), снижая таким образом величину «дисконта».

1.1.2 Временная структура процентных ставок

Как было продемонстрировано в предыдущем разделе, цена бескупонной облигации явным образом определяется некоторым показателем доходности. Более того, возможно определить ряд моделей [6] процентных ставок, связанных с рынком облигаций, для чего для чего рассмотрим бескупонную облигацию номиналом единица с моментом погашения Т. Ее стоимость на промежутке времени [0; Т] будем обозначать как В(Ь,Т), £ < Т. Поскольку рассматриваемая облигация является бескупонной, то выполняется равенство В (Т,Т) = 1. Для дальнейших построений, будем предполагать, что выполняются следующие условия:

1. Для каждого момента времени Т > 0 на рынке существуют бескупонные облигации с погашением в этот момент времени.

2. В(Т,Т) = 1 для всех Т > 0, то есть не предполагается возможности дефолта эмитента.

3. Для фиксированного £ функция В(£,Т) является непрерывно дифференцируемой по аргументу Т.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Светлов Кирилл Владимирович, 2016 год

Список литературы

1. Bachelier L. Théorie de la spéculation. — Gauthier-Villars, 1900.

2. Samuelson P. A. Rational theory of warrant pricing // Industrial Management Review. — 1965. — Vol. 6, no. 2. — P. 13.

3. Merton Robert C. et al. Theory of rational option pricing // World Scientific. — 1971.

4. Black F., Scholes M. The pricing of options and corporate liabilities // The journal of political economy. — 1973. — Pp. 637-654.

5. Vavilov S. A., Ermolenko K. Yu. On the new stochastic approach to control the investment portfolio // IAENG internationaljournal ofapplied mathematics. — 2008.

— Vol. 38. — Pp. 54-62.

6. Бьорк Т. Теория арбитража в непрерывном времени (перевод Белопольской Я. И.). — М.: МЦНМО, 2010. — 560 с.

7. Shreve S. E. Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. — Springer, 2002. — 550 pp.

8. Vasicek O. An equilibrium characterization of the term structure // Journal of financial economics. — 1977. — Vol. 5, no. 2. — Pp. 177-188.

9. Merton R C. On the pricing of corporate debt: The risk structure of interest rates // The Journal of Finance. — 1974. — Vol. 29, no. 2. — Pp. 449-470.

10. Тихонов А. Н. Гончарский А. В., Степанов В. В., ЯголаА. Г. Численные методы решения некорректных задач. — М.: Наука, 1990. — 231 с.

11. Светлов К. В. Стохастическая модель управления инвестиционным портфелем // Аудит и финансовый анализ. — 2015. — № 2. — С. 279-282.

12. Светлов К. В. Моделирование и оценивание временной структуры процентных ставок в рамках подхода Васичека // Аудит и финансовый анализ. — 2015.

— № 3. — С. 447-452.

13. Светлов К. В. Оценка стоимости кредитования венчурных проектов с учетом возможности их дефолта // Аудит и финансовый анализ. — 2015. — № 3. — С. 418-421.

14. Вавилов С. А., Светлов К. В. Стоимость кредитования венчурных проектов с точки зрения постулата безарбитражности // Аудит и финансовый анализ. — 2015. —№1. —С. 94-99.

15. Vavilov S. A., Svetlov K. V. Integral identity for a class of ill-posed problems generated by a parabolic equation // Journal of Inverse and Ill-posed Problems [Электронный ресурс]. — 2015. — P. 10. — Режим доступа: http://www.degruyter.com/view/j/jiip.ahead-of-print/jiip-2014-0080/jiip-2014-0080.xml.

16. Вавилов С. А., Светлов К. В. Корреляция цен базовых активов и стоимость опционов // Материалы II международной научно-практической конференции, посвященной 75-летию экономического факультета Санкт-Петербургского государственного университета. — 2015.

17. Светлов К. В. Построение статистических оценок для модели Васичека // Тезисы XVII международной конференции молодых ученых-экономистов «Предпринимательство и реформы в России». — 2011. — С. 248-249.

18. Светлов К. В. Об одном подходе к определению маржи за кредитный риск // Тезисы весенней конференции молодых ученых-экономистов «Интеграционные процессы: влияние на экономическое развитие». — 2013. — С. 109-110.

19. Светлов К. В. Об одном подходе к оценке стоимости «радужных» опционов // Тезисы международной осенней конференции молодых ученых-экономистов «Предпринимательство и реформы в России». — 2013. — С. 316-317.

20. Родионов И., Никконен А. Венчурный капитал и прямые инвестиции в инвестиционный экономике. Курс лекций в 3-х частях. — РАВИ, 2011. — 180 с. — Режим доступа: www.rvca.ru/upload/files/lib/RVCA-Course-2011-Part-1.pdf.

21. Фабоцци Ф. Дж. Управление Инвестициями. — М.: ИНФРА-М, 2000. — 932 с.

22. Фабоцци Ф. Дж. Рынок облигаций. Анализ и стратегии. — 6-е изд, перераб. и доп. изд. — М.: Альпина Паблишер, 2007. — 958 с.

23. Воронцовский А. В. Современные теории рынка капитала. Том 1. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та., 2004. — 272 с.

24. Воронцовский А. В. Инвестиции и финансирование: методы оценки и обоснования. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та., 2003. — 528 с.

25. Gibson R., Lhabitant F., Talay D. Modeling the term structure of interest rates: A review of the literature // Foundations and Trends in Finance. — 2010. — Vol. 5, no. 1-2.

26. Бородин А. Н. Случайные процессы. — СПб.: Лань, 2012. — 640 с.

27. Filipovic D. Interest rate models // Lecture Notes, University of Munich. — 2005.

28. Zeytun S., Gupta A. A Comparative Study of the Vasicek and the CIR Model of the Short Rate. — ITWM Kaiserslautern, Germany, 2007.

29. Finch Steven, Yt Yt. Ornstein-uhlenbeck process // Citeseer. — 2004.

30. Maller R. A., Müller G., Szimayer A. Ornstein-Uhlenbeck Processes and Extensions. — Springer Science & Business Media, 2009. — P. 421.

31. 0ksendal B. K. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. — 5th edition. — Springer, 2002. — 326 pp.

32. Mamon R. S. Three ways to solve for bond prices in the Vasicek model // Advances in Decision Sciences. — 2004. — Vol. 8, no. 1. — Pp. 1-14.

33. Вавилов С. А., Ермоленко К. Ю. Обобщенная задача стохастического управления инвестиционным портфелем // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 5: Экономика. — 2007. — № 3. — С. 36-46.

34. Вавилов С. А., Ермоленко К. Ю. Об одном подходе к проблеме непараметрического оценивания в статистике случайных процессов на основе метода некорректной задачи // Journal of Mathematical Sciences (New York). — 2008. — Vol. 152, no. 6. — Pp. 862-868.

35. Barndorff-Nielsen O. E. Econometric analysis of realized volatility and its use in estimating stochastic volatility models // Journal of the Royal Statistical Society: Series B (Statistical Methodology). — 2002. — Vol. 64, no. 2. — Pp. 253-280.

36. Никитин Я. Ю. татистические оценки параметров диффузионных процессов // В сб.: Леонид Витальевич Канторович: математика, менеджмент, информатика. — 2009. — С. 159-194.

37. Parametric and nonparametric volatility measurement / T. G. Andersen, T. Boller-

slev, F. X. Diebold, P. Labys // Handbook of financial econometrics. — 2009. — Vol. 1. —Pp. 67-138.

38. Zhang L., Mykland P. A., Ait-Sahalia Y. A tale of two time scales // Journal of the American Statistical Association. — 2005. — Vol. 100, no. 472.

39. Zhang L. et al. Efficient estimation of stochastic volatility using noisy observations: A multi-scale approach//Bernoulli. — 2006. — Vol. 12, no. 6. — Pp. 1019-1043.

40. Hamilton J.D. Time Series Analysis. — 1st edition. — Princeton University Press, 1994. — 820 pp.

41. Diebold F. X., Li C. Forecasting the term structure of government bond yields // Journal of econometrics. — 2006. — Vol. 130, no. 2. — Pp. 337-364.

42. Bolder D. J., Streliski D. Yield curve modelling at the bank of canada // Available at SSRN1082845.— 1999.

43. Люу Ю. Методы и алгоритмы финансовой математики. — М.: Бином. Лаборатория знаний, 2007. — 751 с.

44. Duffie Darrell. Credit risk modeling with affine processes // Journal of Banking & Finance. — 2005. — Vol. 29, no. 11. — Pp. 2751-2802.

45. Kaplan S. N., Strömberg P. E. Characteristics, contracts, and actions: Evidence from venture capitalist analyses // The Journal of Finance. — 2004. — Vol. 59, no. 5. — Pp. 2177-2210.

46. Hellman T., Puri M. The interaction between product market and financing strategy: The role of venture capital // Review of Financial studies. — 2000. — Vol. 13, no. 4.

— Pp. 959-984.

47. Tyebjee T. T., Bruno A. И A model of venture capitalist investment activity // Management science. — 1984. — Vol. 30, no. 9. — Pp. 1051-1066.

48. BerglöfE. A control theory of venture capital finance // Journal of Law, Economics, and Organization. — 1994. — Vol. 10, no. 2. — Pp. 247-267.

49. Kirilenko A. A. Valuation and control in venture finance // Journal of Finance. — 2001. —Pp. 565-587.

50. Ueda M. Banks versus venture capital: Project evaluation, screening, and expropriation// The Journal of Finance. — 2004. — Vol. 59, no. 2. — Pp. 601-621.

51. AmitR., Glosten L., Muller E. Entrepreneurial ability, venture investments, and risk sharing // Management science. — 1990. — Vol. 36, no. 10. — Pp. 1233-1246.

52. Berk J. B., Green R. C., Naik V. Valuation and return dynamics of new ventures // Review of Financial Studies. — 2004. — Vol. 17, no. 1. — Pp. 1-35.

53. Зенкевич H. А., Колабутин H. В., Дэвид Я. Стохастическая модель устойчивого совместного предприятия // Управление большими системами: сборник трудов. — 2009. — № 26-1.

54. Hall B. H., Lerner J.The financing of R&D and innovation // Handbook of the Economics of Innovation. — 2010. — Vol. 1. — Pp. 609-639.

55. Ozmel U., Robinson D. T., Stuart T. E. Strategic alliances, venture capital, and exit decisions in early stage high-tech firms // Journal of financial economics. — 2013.

— Vol. 107, no. 3. — Pp. 655-670.

56. Ковалев В. В. Курс финансового менеджмента. — M.: Проспект, 2011. — 480 с.

57. Тихонов А. H., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — M.: Изд-во Mоск. ун-та, 1999.

58. ХаллДж. К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. — М.: Вильямс, 2013. — 1072 с.

59. Carr P. Two extensions to barrier option valuation // Applied Mathematical Finance. — 1995. — Vol. 2, no. 3. — Pp. 173-209.

60. Rapuch G., Roncalli T. Some remarks on two-asset options pricing and stochastic dependence of asset prices // Groupe de Recherche Operationnelle, Credit Lyonnais, France. — 2001. — P. 13.

61. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — Наука, 1967.

62. Leonov A. S. Application of functions of several variables with limited variations for piecewise uniform regularization of ill-posed problems // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems. — 1998. — Vol. 6, no. 1. — Pp. 67-93.

63. Леонов А. С. Применение функций нескольких переменных с ограниченными вариациями для численного решения двумерных некорректных задач // Сибирский журнал вычислительной математики. — 1999. — Т. 2, № 3. — С. 257-271.

64. Duffie D. Dynamic asset pricing theory. — Princeton University Press, 2010.

65. Musiela M., Rutkowski M. Martingale Methods in Financial Modelling (Stochastic Modelling and Applied Probability). — 2nd edition. — Springer, 2011. — 636 pp.

66. Back K., Pliska S. R. On the fundamental theorem of asset pricing with an infinite state space // Journal of Mathematical Economics. — 1991. — Vol. 20, no. 1. — Pp. 1-18.

67. Frittelli M., Lakner P. Arbitrage and free lunch in a general financial market model; the fundamental theorem of asset pricing // Institute for Mathematics and Its Applications. — 1995. — Vol. 65. — P. 89.

68. Karatzas I. Lectures on the Mathematics of Finance. — American Mathematical Soc., 1997. — Vol. 8.

69. Karatzas I., Lehoczky J. P., Shreve S. E. Optimal portfolio and consumption decisions for a "small investor" on a finite horizon // SIAMjournal on control and optimization. — 1987. — Vol. 25, no. 6. — Pp. 1557-1586.

70. Protter P. E. Stochastic Integration and Differential Equations. — 2nd edition. — Springer, 2005. — 415 pp.

71. Melnikov A. V., Shiryaev A. ^.Criteria for the absence of arbitrage in the financial market // Frontiers in pure and applied probability II: proceedings of the Fourth Russian-Finnish Symposium on Probability Theory and Mathematical Statistics. — 1996.— Pp. 121-134.

72. Cox J.Notes on option pricing I: Constant elasticity of variance diffusions // Unpublished note, Stanford University, Graduate School of Business. — 1975.

73. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Пер. с нем. — 4-е изд. — М.: Наука: Гл. ред. физ-мат. лит., 1971. — 576 с.

Список рисунков

1.1 График траекторий процесса мгновенной спот-ставки rt ......35

1.2 Графики параметров модели Нельсона-Зигеля для облигаций Казначейства США...........................38

1.3 График временной структуры процентных ставок Казначейства

США ................................... 39

1.4 График параметров модели (1.25) в зависимости от срочности т . . 39

1.5 График оценок параметров а и р в зависимости от срочности т ... 39

1.6 Графики цен бескупонных облигаций сроком 6 мес..........39

1.7 График сравнения эмпирических накопленных волатильностей с теоретическими.............................40

1.8 График траекторий NPV проекта xt..................43

1.9 График траекторий потока прибыли wt ................43

1.10 График траектории процесса геометрического броуновского движения ................................. 50

1.11 Графики реальной и теоретической прибыли на траектории геометрического броуновского движения ............... 50

1.12 Графики реальной прибыли и границ теоретической прибыли на траектории геометрического броуновского движения ........ 51

1.13 График траектории цены акции Vanda Pharmaceuticals, Inc......51

1.14 Графики реальной и теоретической прибыли на траектории цен акций Vanda Pharmaceuticals, Inc..................... 52

1.15 Графики реальной прибыли и границ теоретической прибыли на траектории цен акций Vanda Pharmaceuticals, Inc............ 52

1.16 График траектории цены акции Pernix Therapeutics Holdings, Inc. . . 52

1.17 Графики реальной и теоретической прибыли на траектории цен акций Pernix Therapeutics Holdings, Inc.................53

1.18 Графики реальной прибыли и границ теоретической прибыли на траектории цен акций Pernix Therapeutics Holdings, Inc........53

2.1 График функции ^^...........................63

2.2 График функции p(Vo)..........................64

о«

2.3 График функции щ. Параметр а = 0.3................65

2.4 График функции £у0. Параметр а = 0.3................66

2.5 График функции . Параметр У0 = 25................67

2.6 График функции £а. Параметр У0 = 25.................68

2.7 График функции ...........................69

2.8 График функции £г ...........................69

2.9 График функции дТ...........................70

2.10 График функции £Т...........................71

2.11 График функции ^т...........................72

2.12 График функции £1 ...........................72

2.13 График функции к*(1)..........................72

2.14 График траектории цены акции Hemispherx Biopharma, 1пс......75

2.15 Графики реальной и теоретической прибыли на траектории цен акций Hemispherx Biopharma, 1пс....................76

2.16 График функции ф§(х1,х2) .......................97

2.17 График функции г(1п х1, 1п х2) .....................98

3.1 Графическое решение (3.23), Ь = 2.545, А1 = 2.594 .......... 112

3.2 График функции ф для модели цены (3.22)..............112

3.3 График функции ф для модели цены (3.22)..............112

3.4 Графическое решение (3.27), А1 = 2.030 (красным цветом - левая часть тождества, синим - правая) ...................115

3.5 График функции ф для модели цены (3.24)..............115

3.6 График функции ф для модели цены (3.24)..............116

3.7 Графики функций ф для модели геометрческого броуновского движения (сплошная линия) и cev-модели (пунктирная линия) ... 116

3.8 Графики функций ф для модели геометрческого броуновского движения (сплошная линия) и cev-модели (пунктирная линия) ... 117

Список таблиц

2.1 Структура выплат при рассмамтривамом подходе к кредитованию . 57

2.2 Результат расчетов ставки по кредиту, % годовых ..........76

2.3 Модифицированная структура выплат при кредитовании венучрного проекта...........................79

2.4 Результат расчетов ставки по кредиту, % годовых ..........98

2.5 Результат расчетов ставки по кредиту, % годовых, доля компании

в залоге а = 0,8.............................99

2.6 Результат расчетов ставки по кредиту, % годовых, граница

Ь = 50 000 тыс. руб............................99

2.7 Результат расчетов ставки по кредиту, % годовых, эффект диверсификации (р = 0).........................100

2.8 Результат расчетов ставки по кредиту, % годовых, эффект диверсификации (р = —0,5).......................100

2.9 Результат расчетов ставки по кредиту, % годовых, эффект диверсификации (р = 0,5)........................101

3.1 Результат вычисления параметра Х\ для модели геометрического броуновского движения при различных значениях параметра в . . .117

3.2 Результат вычисления параметра Х\ для cev-модели при

различных параметрах £ и в......................117

Приложение A Листинги программ

A.1 Моделирование случайных процессов на рынке заимствований

Моделирование NPV проектов процессом геометрического броуновского

движения

10

15

20

ClearAll["'*"]

GBM[c_, s_, x0_, T_, n_] := Module[

{dt, z, dbm, X, i}, dt = T/n; SeedRandom[];

z = RandomReal[NormalDistribution[0, 1], n - 1]; dbm = Accumulate[(c - (sA2)/2)*dt + s*Sqrt[dt]*z]; dbm = Prepend[dbm, 0]; x0*Exp[dbm] ];

mu = 0.07; r = 0.10; sigma = 0.15; x0 = 1000; T = 1.; n = 12;

X = Table[GBM[mu, sigma, x0, T, n], {i, 0, 100}]; tt = Table[T*k/n, {k, 0, n - 1}]; XX = Map[Transpose[{tt, #}] &, X];

W = X*(r - mu);

WW = Map[Transpose[{tt, #}] &, W];

ListLinePlot[Take[XX, 3], Mesh -> All, PlotRange -> All, AxesLabel -> {"t", "x"},

5

PlotStyle -> {{Dashed, Thick}, {Dotted, Thick}, {DotDashed, Thick }}]

ListLinePlot[Take[WW, 3], Mesh -> All, PlotRange -> All, 30 AxesLabel -> {"t", "w"},

PlotStyle -> {{Dashed, Thick}, {Dotted, Thick}, {DotDashed, Thick }}]

Моделирование процесса мгновенной процентной ставки в модели Васичека

10

15

20

ClearAll["'*"]

OU[g_, a_, rh_, r0_, T_, n_] := Module[ {dt, r, i, p0, p1, s, e}, dt = T/n;

p0 = g*(1 - Exp [-a*dt]); pi = Exp[-a*dt];

s = Sqrt[rhA2*(1 - Exp[-2*a*dt])/(2*a)]; SeedRandom[];

e = RandomReal[NormalDistribution[0, 1], n]; r = {r0}; Do [

r = Append[r, p0 + p1*r[[i]] + s*e[[i]]], {i, 1, n - 1} ];

r ];

gamma = 0.10; alpha = 5.0; rho = 0.05; r0 = 0.14; T = 1; n = 2 52;

r = Table[OU[gamma, alpha, rho, r0, T, n], {i, 100}]; tt = Table[T*k/n, {k, 0, n - 1}]; rr = Map[Transpose[{tt, #}] &, r];

ListLinePlot[Take[rr, 3], PlotRange -> All, AxesLabel -> {"t", "r" },

5

PlotStyle -> {{Dashed, Thick}, {Dotted, Thick}, {DotDashed, Thick }}]

Программа проверки адекватности моделирования динамических характеристик в финансовой сфере процессом геометрического броуновского

движения

10

15

20

25

ClearAll["'*"]

Tickers = {"GE", "AAPL", "GOOG"};

Data = FinancialData[Tickers[[3]], {"Jan. 1, 2014", "Jan. 1, 2015" }];

X = Transpose[Data][[2]];

T = DateDifference[First[Transpose[Data][[1]]],

Last[Transpose[Data][[1]]]]/365.; a1 = Min[X]*(1 - 10A-2); a2 = Max[X]*(1 + 10A-2); X = X/a1;

sigma = Sqrt[Total[Differences[Log[X]]A2]/T]; Print["Sigma=", sigma]; bt = a2/a1;

b = (z/Log[bt]) /. FindRoot[Tan[z] == -2*z/Log[bt], {z, 1.7}]; phi[x_] := Sqrt[x]*Sin[b*Log[x]];

dphi[x_] := Sin[b*Log[x]]/(Sqrt[x]*2) + Cos[b*Log[x]]*b/Sqrt[x]; 11 = Sqrt[bA2 + 0.25];

pTheorLow[X_] := Block[ {dt, n, p}, dt = T/n; n = Length[X]; p = Para11e1Tab1e[

Sum[1/phi[X[[i]]], {i, 1, m}]*phi[X[[m]]]*dt - m*dt, {m, 1, n }];

P ];

pTheorHigh[X_] := Block[ {dt, n, p},

5

40

45

50

55

60

dt = T/n; n = Length[X]; p = ParallelTable[

Sum[1/phi[X[[i]]], {i, 1, m}]*phi[X[[m]]]*dt, {m, 1, n}];

P ];

pTheor[X_] := Block[ {dt, n, p}, dt = T/n; n = Length[X]; p = ParallelTable[

Sum[1/phi[X[[i]]], {i, 1, m}]*phi[X[[m]]]*dt -2*(1 - Exp[(-1/2)*m*dt*l1A2*sigmaA2])/(l1A2*sigmaA2), {m, 1, n}];

P ];

pReal[X_] := Block[ {dt, n, a, p}, dt = T/n; n = Length[X]; a = ParallelTable[

Sum[1/phi[X[[i]]], {i, 1, m}]*dphi[X[[m]]]*dt, {m, 1, n}]; p = ParallelTable[

a[[j]]*X[[j]] - a[[1]]*X[[1]] -

Sum[X[[i]]*(a[[i]] - a[[i - 1]]), {i, 2, j}], {j, 1, n}]; p];

a[X_] := Block[ {dt, n, aa}, dt = T/n; n = Length[X]; aa = ParallelTable[

Sum[1/phi[X[[i]]], {i, 1, m}]*dphi[X[[m]]]*dt, {m, 1, n}]; aa];

ListLinePlot[{pReal[X], pTheor[X]}, PlotStyle -> {Dashed, {Thick }},

PlotRange -> All, AxesLabel -> {"n", "p"}]

ListLinePlot[{pTheorLow[X], pReal[X], pTheorHigh[X]}, PlotStyle -> {Thick, Dashed, Thick}, PlotRange -> All, AxesLabel -> {"n", "p"}]

70 ListLinePlot[{X}, PlotStyle -> {Dotted, Thick}, AxesLabel -> {"n", "x"}]

A.2 Стохастические методы анализа стоимости кредитования проектов

Программа для расчета ставок кредитования (базовая модель)

10

15

20

ClearAll["'*"];

R[Inv_, V_, Sigma_, rr_, T_] := Block[ {F, X, z, delta, d, r},

F[x_] := CDF[Norma1Distribution[0, 1], x]; X = Inv + V; r = Log[1 + rr*T]/T;

z[de1ta_] := (Log[X/(Inv + delta)] + (r + SigmaA2/2)*T)/(Sigma*

Sqrt[T]); Quiet[d = Evaluate[ delta /. FindRoot[

V == (X*F[z[de1ta]] - (Inv + delta)*

F[z[de1ta] - Sigma*Sqrt[T]]/Exp[r*T]) , {delta, 0.1}]]]; If[Im[d] == 0, d/(Inv*T), "Infinity"]];

Inv = 50; T = 2; r = 0.07;

TableForm[

Table[(R[Inv, V, sigma, r, T]*100), {sigma, 0.25, 0.50, 0.05}, {V ,

25, 50, 5}],

TableHeadings -> {Table[sigma, {sigma, 0.25, 0.5, 0.05}], Table[V, {V, 25, 50, 5}]}]

5

Программа для расчета ставок кредитования (частичный возврат средств

при банкротстве)

ClearAll["'*"];

Ra[Inv_, V_, Sigma_, rr_, T_, a_] := Block[ {F, X, z, delta, d, r},

F[x_] := CDF[NormalDistribution[0, 1], x]; X = Inv + V; r = Log[1 + rr*T]/T;

z[delta_] := (Log[X/(Inv + delta)] + (r + SigmaA2/2)*T)/(Sigma* Sqrt[T]); 10 Quiet[d = Evaluate[ delta /. FindRoot[

Inv == (a*X*F[-z[delta]] + (Inv + delta)* 15 F[z[delta] - Sigma*Sqrt[T]]/Exp[r*T]) , {delta, 0.1}]]];

If[Im[d] == 0, Return[d/(Inv*T)], "Infinity"]];

Inv = 50.; T = 2; 20 r = 0.07; alpha = 0.8;

TableForm[

Table[(Ra[Inv, V, sigma, r, T, alpha]*100), {sigma, 0.25, 0.50, 25 0.05}, {V, 25, 50, 5}],

TableHeadings -> {Table[sigma, {sigma, 0.25, 0.5, 0.05}], Table[V, {V, 25, 50, 5}]}]

Программа для расчета ставок кредитования (наличие нижней границы для

величины капитала)

ClearAll["'*"];

RL[Inv_, V_, Sigma_, rr_, T_, L_] := Block[ {X, z, z2, delta, d, F, r}, X = Inv + V;

r = Log[1 + rr*T]/T;

z[delta_] := (Log[X/(Inv + delta)] + (r + SigmaA2/2)*T)/(Sigma* Sqrt[T]);

z2[delta_] := (Log[((LA2)/X)/(Inv + delta)] + (r + SigmaA2/2)* 10 T)/(Sigma*Sqrt[T]);

F[x_] := CDF[NormalDistribution[0, 1], x]; Quiet[d = Evaluate[ delta /. 15 FindRoot[

V == (X*F[z[delta]] - (Inv + delta)* F[z[delta] - Sigma*Sqrt[T]]/ Exp[r*T]) - ((L/ X)A((2*r - SigmaA2)/(SigmaA2)))*((LA2/X)* 20 F[z2[delta]] - (Inv + delta)*

F[z2[delta] - Sigma*Sqrt[T]]/Exp[r*T]) , {delta, 0.1}]]]; If[Im[d] == 0, Return[(d/Inv)/T], "Infinity"]];

25 Inv = 50.; T = 2; r = 0.07; L = 50.;

30 TableForm[

Table[(RL[Inv, V, sigma, r, T, L]*100), {sigma, 0.25, 0.50,

0.05}, {V, 25, 50, 5}], TableHeadings -> {Table[sigma, {sigma, 0.25, 0.5, 0.05}], Table[V, {V, 25, 50, 5}]}]

Эффект диверсификации при совместном кредитовании некоррелированых

проектов

ClearAll["'*"]

meshX = 2 0; Hroots = N[

Table[Flatten[{x /. Solve[HermiteH[n, x] == 0, x]}], {n, 1,

15

20

25

30

35

40

1 meshX}]];

w[i_, n_] :=

2A{n - 1}* Factorial[n]*

Sqrt[Pi]/(nA2*HermiteH[n - 1, Hroots[[n, i]]]A2); wb[n_] := ((w[1, n]*w[Ceiling[(1 + n)/2], n])/n)[[1]];

GHQ[f_, n_] := Sum[w[i, n]*f[Hroots[[n, i]]], {i, 1, n}][[1]];

GHQ2[f_, n_] :=

Sum[w[i, n]*w[j, n]*f[Hroots[[n, i]], Hroots[[n, j]]], {i, 1, n}, {j, 1, n}][[1]];

bs2rho[S1_, S2_, K_, r_, sigma1_, sigma2_, T_, x1_, x2_, rho_] := Exp[-r*T]* Max[S2*

Exp[(r - (sigma2A2)/2)*T +

sigma2*Sqrt[2*T]*(rho*x1 + Sqrt[1 - rhoA2]*x2)] + S1*Exp[(r - (sigma1A2)/2)*T + sigma1*Sqrt[2*T]*x1] - K, 0];

CallN2rho[S1_, S2_, K_, r_, sigma1_, sigma2_, T_, n_, rho_] := GHQ2[Function[{x1, x2},

bs2rho[S1, S2, K, r, sigma1, sigma2, T, x1, x2, rho]], n]/Pi;

Rrho[Inv1_, Inv2_, V1_, V2_, Sigma1_, Sigma2_, r_, T_, n_, rho_]

Block[

{X1, X2, V, Inv, delta, d}, X1 = Inv1 + V1; X2 = Inv2 + V2; V = V1 + V2; Inv = Inv1 + Inv2; Quiet[d = Evaluate[ delta /. FindRoot[

V == CallN2rho[X1, X2, Inv + delta, r, Sigma1, Sigma2, T, n, rho], {delta, 0.1}]]]; If[Im[d] == 0, Return[d/(Inv*T)], -1]];

55

60

65

70

75

80

R1[Inv_, V_, Sigma_, r_, T_] := Block[ {X, z, delta, d, F},

F[x_] := CDF[NormalDistribution[0, 1], x]; X = Inv + V;

z[delta_] := (Log[X/(Inv + delta)] + (r + SigmaA2/2)*T)/(Sigma*

Sqrt[T]); Quiet[d = Evaluate[ delta /. FindRoot[

V == (X*F[z[delta]] - (Inv + delta)*

F[z[delta] - Sigma*Sqrt[T]]/Exp[r*T]) , {delta, 0.1}]]]; If[Im[d] == 0, Return[d/(Inv*T)], -1]];

str[a_, b_] := ToString[a] <> " (" <> ToString[b] <> ")";

rho0 = 0;

11 = 25;

12 = 25; V1 = 12.5; V2 = 12.5; T = 2;

r = Log[1 + T*0.07]/2; nn = 19;

T0 = TableForm[ Transpose[ Table[str[ ToString[

NumberForm[(Rrho[I1, I2, V1, V2, s1, s2, r, T, nn,

rho0])*100, {4, 2}]], ToString[

NumberForm[((I1*R1[I1, V1, s1, r, T] +

I2*R1[I2, V2, s2, r, T])/(I1 + I2))*100, {4, 2}]]], {s1, 0.25, 0.5, 0.05}, {s2, 0.25, 0.5, 0.05}]], TableHeadings -> {Table[s1, {s1, 0.25, 0.5, 0.05}], Table[s1, {s1, 0.25, 0.5, 0.05}]}]

Программа «Калькулятор кредитных ставок»

10

15

20

25

30

ClearAll["'*"];

Manipulate[Module[{F, R, RValue, InvPlusDelta, DebtShare, OwnShare },

F[x_] := CDF[NormalDistribution[0, 1], x]; R[Inv_, V_, Sigma_, rr_, T_] := Block[ {X, z, delta, d, r}, X = Inv + V; r = Log[1 + rr*T]/T;

z[delta_] := (Log[X/(Inv + delta)] + (r + SigmaA2/2)*T)/(Sigma*

Sqrt[T]); Quiet[

d = Evaluate[

delta /. FindRoot[

V == (X*F[z[delta]] - (Inv + delta)*

F[z[delta] - Sigma*Sqrt[T]]/Exp[r*T]) , {delta, 0.1}]]]; If[Im[d] == 0, d/(Inv*T), "Infinity"]]; RValue = R[Inv, V, sigma, r, T]; InvPlusDelta = Inv*Exp[RValue*T]; DebtShare = N[Inv/(Inv + V)]; OwnShare = N[V/(Inv + V)]; Text@Style[ Grid[{{"Доля собственногокапитала, %",

"Доля заемногокапитала, %", "Ставка позайму, %", "Сумма длявозврата"}, {NumberForm[#, {4, 2}, NumberPadding -> {" ", "0"},

ExponentFunction -> (Null &)] &@(0wnShare*100), NumberForm[#, {4, 2}, NumberPadding -> {" ", "0"}, ExponentFunction -> (Null &)] &@(DebtShare*100), NumberForm[#, {4, 2}, NumberPadding -> {" ", "0"},

ExponentFunction -> (Null &)] &@((RValue)*100), NumberForm[#, {4, 2}, NumberPadding -> {" ", "0"}, ExponentFunction -> (Null &)] &@InvPlusDelta}}, Dividers -> All, ItemSize -> {{20, 20, 20, 20}, 2}]]], {{Inv, 50, "Величина займа(!)"}, 0, 100, 0.1,

5

45

Appearance -> "Labeled"},

{{V, 25, "Величина собственныхсредств(V)"}, 0, 100, 0.1, Appearance -> "Labeled"},

{{sigma, 0.35, "Волатильность npoeKTa(\[Sigma])"}, 0, 1, 0.01, Appearance -> "Labeled"},

{{r, 0.07, "Безрисковая процентнаяставка(r)"}, 0, 1, 0.01, Appearance -> "Labeled"},

{{T, 2, "Срок займа(T)"}, 0, 100, 0.1, Appearance -> "Labeled"}, SaveDefinitions -> True]

A.3 Специфика управления портфелем облигаций

Расчет параметров для управления портфелем активов в рамках cev-модели

10

15

ClearAll["'*"];

beta = 2; nu = 0.5;

Z[mu_, x_] := C1*BesselJ[mu, x] + C2*BesselY[mu, x]; Phi[g, l, x] := Sqrt [x]*Z[1/(2*g), (l/g)*x'(g)];

DPhi1[g , l , x ] := l*

x'

:g - 1/2))*Z[1/(2*g) - 1, (l/g)*x'g];

a11[l_, g_, b_] := BesselJ[1/( 2*g), l/g] ;

a12[l_, g_, b_] := BesselY[1/( 2*g), l/g] ;

a21[l_, g_, b_] := BesselJ[1/( 2*g) - 1, (b'g) *l/g];

a22[l_, g_, b_] := BesselY[1/( 2*g) - 1, (b'g) *l/g];

ls[l_, g_, b_] = a11[l, g, b] *a22[l, g, b];

rs[l_, g_, b_] = a12[l, g, b] *a21[l, g, b];

ll0 = (Pi/(2*(1 - beta'nu)) - 1*Pi/(1 - beta'nu)

;nu;

ll = l /.

FindRoot[ls[l, nu, beta] == rs[l, nu, beta], {l, ll0}, AccuracyGoal -> 4, PrecisionGoal -> 4]

C1 = a12[ll, nu, beta]; C2 = -a11[ll, nu, beta];

5

30

35

40

45

50

55

Plot[{ls[l, nu, beta], rs[l, nu, beta]}, {l, -1, 1О}, PlotStyle -> {{Red}, {Blue}},

Epilog -> {PointSize[О.О2], Point[{ll, rs[ll, nu, beta]}]}, PlotRange -> {-О.3, О.3}]

Plot[{Abs[Phi[nu, ll, x]]}, {x, 1, beta}, AxesLabel -> {"x", "\[CurlyPhi](x)"}] Plot[Abs[DPhi1[nu, ll, x]], {x, 1, beta}, AxesLabel -> {"x", "\[CurlyPhi]'(x)"}]

l1[eps_, beta_] := Block [{all, a12, a22, a21, ls, rs, НО, ll, l, g, b, nu}, nu = 1 - eps;

a11[l_, g_, b_]

a12[l_, g_, b_]

a21[l_, g_, b_]

a22[l, g, b]

= BesselJ[1/(2*g), l/g]; = BesselY[1/(2*g), l/g]; = BesselJ[1/(2*g) - 1, (bAg)*l/g]; = BesselY[1/(2*g) - 1, (bAg)*l/g];

ls[l_, g_, b_] := a11[l, g, b]*a22[l, g, b]; rs[l_, g_, b_] := a12[l, g, b]*a21[l, g, b];

НО = (Pi/(2*(1 - betaAnu)) - 1*Pi/(1 - betaAnu))*nu; ll = l /.

FindRoot [ls[l, nu, beta] == rs[l, nu, beta], {l, НО}, AccuracyGoal -> 4, PrecisionGoal -> 4]];

TableForm[

Table[NumberForm[l1[eps, beta], {5, 4}], {eps, О.5, О.9, О.1}, { beta,

1.5, 3, О.25}], TableHeadings -> {Table[eps, {eps, О.5, О.9, О.1}], Table[beta, {beta, 1.5, 3, О.25}]}]