Делокализация и конкуренция: коллективная динамика осцилляторных ансамблей с нелинейной связью и беспорядком тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, доктор физико-математических наук Иванченко, Михаил Васильевич

• Иванченко, Михаил Васильевич
• доктор физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Иванченко, Михаил Васильевич

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

1 Де локализация в пространственно-однородных системах с нелинейной связью

1.1 Проблема Ферм и-Паста-Улама

1.2 с^-Бризеры

1.3 ц-бризеры и проблема Ферми-Паста-Улама

1.4 Делокализация мод в цепочках Ферми-Паста-Улама с произвольным порядком нелинейности

1.5 q-бpизepы в переходных процессах и термодинамическом равновесии

1.6 q-бpизcpы 15 многомерных решетках

1.7 Выводы

2 Делокализация в пространственно-неоднородных системах

с нелинейной связью

2.1 Нелинейные акустические цепочки с беспорядком

2.1.1 Делокализация в системе /З-Фер ми-Паста-Улама

2.1.2 Устойчивость (і-бризсров в системе /3-Ферми-Г1аста-Улама

2.1.3 Управление устойчивостью q-бризеров в системе ß-Ферми-Паста-Улама

2.1.4 Делокализация в системе сьФерми-Паста-Улама

2.2 Нелинейные оптические цепочки с беспорядком

2.2.1 Делокализация в цепочке дискретных нелинейных уравнений Шредингера

2.2.2 Устойчивость q-бризеров в цепочке дискретных нелинейных уравнений Шредингера с беспорядком

2.2.3 Управление устойчивостью q-бризеров в цепочке дискретных нелинейных уравнений Шредингера

2.3 Выводы

Делокализация и перенос энергии в колебательных решеточных системах

3.1 Введение

3.2 Равновесные процессы: аномальная теплопроводность

3.2.1 Математическая модель

3.2.2 Теория q-бризеров в пространстве линейных мод системы с беспорядком

3.2.3 Режимы теплопроводности

3.2.4 Численные результаты

3.3 Распространение волновых пакетов в нелинейных системах

без беспорядка

3.3.1 Дискретные бризеры

3.3.2 Математическая модель

3.3.3 Локальная модель дискретного бризера

3.3.4 Точечные возбуждения

3.3.5 Крупномасштабные начальные возбуждения

3.4 Распространение волновых пакетов в нелинейных системах с

беспорядком

3.4.1 Андерсоиовская локализация в нелинейных системах

3.4.2 Предел сильного беспорядка

3.4.3 Многомерные решетки

3.4.4 Общий случай нелинейной системы с беспорядком

3.4.5 Численные результаты

3.5 Расплываиие волновых пакетов и теплопроводность

3.6 Выводы

4 Конкуренция в многокомпотентных динамических ансамблях с неоднородной структурой нелинейных связей

4.1 Конкуренция в двухкомпонептной модели

4.2 Конкуренция в многокомпонентной модели

4.3 Анализ динамики популяции иммунных клеток

4.4 Выводы

5 Конкуренция в малых ансамблях нейроноподобных осцилляторов с собственной автоколебательной динамикой

5.1 Конкуренция без победителя в частотной модели нейрона

5.2 Модель бсрстового нейрона

5.3 Конкуренция в ансамбле модельных нейронов Ходжкина-Хаксли223

5.4 Динамика автономного нейрона

5.5 Коллективная динамика

5.6 Структурная устойчивость

5.7 Бифуркации

5.8 Выводы

6 Структурообразование и конкуренция в ансамблях частотно-

и фазо-управляемых осцилляторов

6.1 Образование структур и конкуренция. Применение к моделированию коллективных решений покупателей на рынке

6.1.1 Базовая модель

6.1 2 Динамика индивидуального осциллятора

6.1.3 Взаимодействующие осцилляторы

6.1.4 Пространственно-однородные решения

6.1.5 Локализация и делокализация

6.1.6 Численные результаты

6.2 Переход между локализованной и делокализовапной пространственной динамикой

6.2.1 Локализация и делокализация в цепочках

6.2.2 Образование и рост кластеров в двумерных решетках

6.3 Пространственно-хаотические бифуркации в системах с нелинейной связью

6.4 Выводы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

ПРИЛОЖЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Делокализация и конкуренция: коллективная динамика осцилляторных ансамблей с нелинейной связью и беспорядком»

Введение

Коллективная динамика ансамблей систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, является одной из фундаментальных задач нелинейной физики [1-4]. Интенсивные исследования в этой области, ведущиеся па протяжении более 20 лет, связаны с высокой степенью актуальности для целого спектра прикладных задач: от исследования колебательных режимов в решетках микро- и напомеханических осцилляторов [5, 6| и динамики атомарных конденсатов в пространственно-периодических оптических структурах [7,8] до анализа механизмов регуляции клеточного состава адаптивной иммунной системы [9| и коллективных эффектов в социо-экоиомических моделях [10].

Методы, традиционные для радиофиники (в первую очередь, теория колебательно-волновых процессов), являются мощным инструментом в решении этих задач [1,4,10-13]. К настоящему моменту их применение позволило достигнуть значительного прогресса в изучении и понимании процессов конкуренции [10,14] и синхронизации [4] в живых системах, локализации и распространения волновых пакетов в физических системах |7,15], структурообразования в сложных ансамблях различной природы [16].

Оказалось, что во многих случаях названные эффекты неразрывно связанны. Наиболее ярким примером, пожалуй, является классическая проблема резонансного взаимодействия в системе трех мод-осцилляторов с

квадратичном нелинейностью в функции связи [1|. Различные колебательные режимы обмена энергией между модами, вытекающие из соотношений Мэнли-Роу, (преимущественное сохранение энергии в низкочастотных модах, возбуждение низкочастотных мод за счет перекачки энергии из высокочастотной) можно рассматривать и как конкуренцию, и как процессы модовой локализации-делокализации энергии. Результаты непосредственно переносятся и на трехволиовое взаимодействие в нелинейных средах, определяя режимы распространения воли и формирование пространственных колебательных структур [17]

Вместе с тем следует констатировать значительный пробел в теории этих явлений, связанный с тем, что указанные коллективные эффекты преимущественно изучались в рамках упрощенных моделей: либо пространственно-однородных систем, либо ансамблей с линейным взаимодействием между элементами ансамблей. Это было продиктовано высокой сложностью даже упрощенных задач как для теоретического, так и для численного анализа. В большинстве реальных систем, однако, принципиальную роль играют как беспорядок (пространственная неоднородность параметров), так и нелинейность межэлементпых связей.

На сегодняшний день прогресс в решении целого ряда задач физики, биологии и социо-экономики невозмо'лсеп без разработки теории коллективной динамики — делокализации и распространения, волновых пакетов, конкуренции и структурообразоваиия - в колебательных ансамблях с одновременным присутствием как беспорядка,, так и нелинейного взаимодействия 2.

'Отметим, тго эффекты конкуренции и локализации возникают и в пространственно-непрерывных средах, описываемых уравнениями в частных производных (конкуренция .мод, динамика солитопон, бризеров, кинков, сопутствующая локализация к прямом и обратном пространство), составляя, однако, отдельную фундаментальную физическую проблему, которая в настоящей работе не рассматривается.

2В большей сюпени эта проблема решена и задачах синхронизации []8|, поэтому мы касаемся этого

Одной из основополагающих работ в области колебательно-вол новой динамики нелинейных систем является исследование Э. Ферми, Д. Пасты и С. Улама [19]. в котором рассмотрена задача о делокализации энергии, сосредоточенной в низкочастотных модах в модели атомарной цепочки с нелинейными связями. Авторы предполагали, что именно нелинейное взаимодействие между элементами (приводящее к неинтегрируемости уравнений) лежит в основе детерминистического механизма термализации системы, равнораспределения энергии по всему спектру. Результаты оказались гораздо более глубокими и парадоксальными. Численные эксперименты показали, что энергия остается локализованной в нескольких низкочастотных модах па протяжении всего времени интернирования, практически полностью возвращаясь к начальному распределению с некоторой периодичностью.

Потребовалось несколько десятилетий активных исследований (Ф.М. Израйлев, А.М. Коссвич, Ю.А. Косевич, Л.И. Маневич. Д.Л. Шепелян-ский, Б.В. Чириков, G. Benet.tin, J. Ford, L. Galgani, A. Giorgilli, H. Kautz, M. Kruskal, A.J. Lichtenberg, R. Livi, S. Paleari, T. Penati, A. Ponno, A. Scotti, N. Zabusky), чтобы установить, что существуют так называемые пороги слабой и сильной стохастичпости по энергии, выше первого из которых колебания становятся хаотическими, оставаясь локализованными в низкочастотных модах, а выше второго происходит быстрая делокализация за счет развитого динамического хаоса [20,21], изучить зависимость этих порогов от размера системы [22-251 и временных масштабов делокализации от энергии |26 -30].

Однако, несмотря на усилия большого числа исследователей, последовательную теорию парадокса Ферми-Паста,-Улама (ФПУ) долгое время

вопроса лишь нгкольчь.

построить не удавалось. В 2005 году было обнаружено существование q-бризеров в колебательно?! цепочке ФПУ - точных периодических решений, экспоненциально локализованных в модовом пространстве, что позволило объяснить все основные особенности парадокса (М.В. Иванченко в соавторстве с С. Флахом и О.И. Канаковым [31]). Прикладная значимость этого открытия стимулировала разработку общей теории q-бризеров: в системах с произвольным порядком нелинейности, двумерных и трехмерных решетках, в присутствии беспорядка (пространственной неоднородности) и применение к исследованию процессов делокализации, коллективных механических колебаний и теплопроводности в структурированных низкораз-мерпых папомасштабпых системах.

Локализация энергии в прямом пространстве нелинейных колебательных решеточных систем также имеет длительную историю исследований. Было установлено наличие долгоживущих колебательных возбуждений -- дискретных бризеров - 'амплитуда которых спадает экспоненциально по мере удаления от центральной точки: сначала как приближенных решений в численных экспериментах (A.A. Овчинников, S.J. Sievers, S. Такено. К. Kisoda), а затем как точных периодических траекторий системы (S. Aubry, R.S. МасКау). Оказалось, что присутствие дискретных бризеров существенно влияет на распространение волновых пакетов, дело-кал изацию энергии из начального локализованного возбуждения: делока-лизуется только часть энергии, а остальная остается в виде дол гож и пуще го бризероного решения (S.J. Sicvcrs. S. Takeno).

Делокализация и распространение волновых пакетов в нелинейных системах с беспорядком остается нерешенной и интенсивно изучаемой проблемой (Б.Л. Альтшулер. И.Л. Алейпер. Д.М. Басько. Ю.А. Косевич, Л.И. Маневич, A.C. Пиковский. S. Aubry, S. Fishman, S. Flach, M. Johansson,

D. Krimer, S. Kopidakis). В линейном случае одномерных и двумерных решеток осцилляторов с беспорядком все моды являются экспоненциально локализованными в прямом пространстве (так называемая андерсоновская локализация) [32], а следовательно, начальные волновые пакеты остаются локализованными. Нелинейность (или взаимодействие в многочастичной квантовой задаче) приводит к взаимодействию между модами и, потенциально, к делокализации и распространению волновых пакетов. Однако результаты аналитических и численных исследований в этой области противоречивы [33—38], а эксперименты хоть и показывают локализацию света и атомарных конденсатов в пространственных решетках |8,39|, на настоящий момент недостаточно продолжительны, чтобы делокализация могла наблюдаться.

Конкурентная динамика живых систем на клеточном и молекулярном уровнях лежит в основе механизмов их регуляции и функциональности. Многочисленные эксперименты позволяют все лучше объяснять физическую и химическую природу этих взаимодействий, однако их кооперативные эффекты по-прежнему практически не изучены. Основные успехи были достигнуты в нейродипамике и исследовании роли синхронизации в когнитивных функциях мозга [4,14| (B.C. Анищепко. В.В. Астахов, Б.П. Без-ручко, В.Н. Белых, Е.В. Волков, A.C. Дмитриев, A.A. Короповский, А.Г1. Кузнецов, С.П. Кузнецов, А.Ю. Лоскутов, В.В. Матросов, В.И. Некоркин, В.Б. Казанцев. Г.В. Осипов. A.C. Пиковский. Д.Е. Постной. М.И. Рабинович, М. Розенблюм, Н.Ф. Рульков Д.И. Трубецков, А.Е. Храмов, В.Г. Яхно, Н. Abarbahel. S. Boccaletti, B.G. Ermentroiit. E.M. Izhekevich, M. Hasler, Л. Kurths, Y. KuramoLo. U. Parlitz. L. Pécora. S. Strogatz).

Роль конкуренции в нейродинамических процессах также становится все более ясной (B.C. Афраймович, A.A. Короповский. А.Ю. Лоскутов,

В.И. Некоркии. В.Б. Казанцев, Г.В. Осипов, М.И. Рабинович, Н.Ф. Рульков Д.И. Трубецков, А.Е. Храмов, В.Г. Яхпо, И. Abarbahel, Е.М. Izliekevich, R. Huerta, Т. Nowonty и др.), однако остается существенный пробел в понимании аналогичных процессов в ансамблях нейронов с генерацией сложных хаотических колебаний с несколькими характерными временными масштабами.

Гораздо меньше известно о роли конкуренции в процессах развития. роста и регуляции многоклеточных систем со сложной неоднородной структурой нелинейных взаимодействий, например иммунной системы (Г.А. Бочаров, Е.В. Волков. А. Заикин, A.A. Романюха, Л. Цимринг, R. de Boer, J. Garneiro, С. Grebogi, E. Frey, J. Garcia-Ojalvo, J. Kurths, G. Lythc, C. Molina.-Paris. A. Pcrelson и др.). Классические результаты вымирания или сосуществования видов в традиционных экологических моделях типа Лотки-Вольтерра не могут быть непосредственно использованы здесь в силу ограничений малой размерности и (или) глобальной архитектуры связей [40¡. Современные математические теории химических реакций в сложных потоках [411 и экологического разнообразия видов [42] учитывают подвижность клеток и пространственную неоднородность концентраций взаимодействующих и конкурирующих видов, однако ограничиваются малым числом популяций. Механизм динамического клаетерообразовапия, недавно предложенный для описания дифференциация клеток в развивающихся тканях, учитывает многокомпонентность клеточных систем, однако исследован только в рамках приближения глобальной связи [43].

Схожая ситуация сложилась и в нелинейной динамике еоцио-экономических систем [44- 46]. где основные результаты в изучении структур пространственно-временной активности достигнуты в допущениях глобальной связи между элементами ансамбля, идентичности элементов, простых, преимуществеп-

но линейных функций связи, а во многих случаях анализируется сложная структура сетей взаимодействия, по не динамика [47].

Цель диссертационной работы состоит в разработке теории коллективных динамических явлений дслокализации и конкуренции в ансамблях консервативных и диссипативных систем с нелинейной связью и беспорядком и ее применении для исследования процессов теплопроводности и распространения волновых пакетов в низкоразмерных физических решеточных системах, формирования и регуляции адаптивной иммунной системы, генерации структур последовательной активности в нейронных ансамблях. закономерностей принятия координированных решений в ансамблях взаимодействующих активных элементов.

Методы исследования и достоверность научных результатов. Представленные в работе результаты получены с использованием методов нелинейной теории колебаний в сочетании с методами численного моделирования. Их достоверность подтверждается согласованностью аналитических и численных результатов; воспроизводимостью результатов численного моделирования; воспроизводимостью результатов па базе различных математических моделей; соответствием экспериментальным и численным результатам, известным из литературы. Научная новизна.

• Проблема перехода от локализации к дслокализации энергии в модо-вом пространстве решена для широкого класса колебательных решеток с акустическим типом спектра (с произвольным порядком нелинейности в функции взаимодействия, для решеток различной размерности). Для этого развита теория ц-бризеров — точных периодических решений, экспоненциально локализованных в модовом пространстве, получены условия их неустойчивости и дслокализации, показана их

определяющая роль в процессах обмена энергией между взаимодействующими модами.

• Впервые разработай численный алгоритм нахождения q-бризеров и определения их устойчивости в цепочках с произвольным порядком нелинейности с применением параллельного программирования (стандарт MPI), позволяющий исследовать q-бризеры в цепочка,х большого размера, используя высокопроизводительные компьютерные системы.

• Теория q-бризеров распространена на случай пространственного беспорядка и решеток с оптическим типом спектра. Исследован вклад беспорядка в процессы делокализации и развития неустойчивости q-бризеров; показано, что в низкочастотной части спектра слабонелинейных акустических цепочек с беспорядком в пределе бесконечного размера существует зона локализованных q-бризеров, в оптических цепочках наличие пространственного беспорядка приводит к исчезновению подобной зоны при увеличении размеров системы. Предложен метод управления устойчивостью q-бризеров за счет создания пространственных неодиородностей определенного вида.

• Впервые проведено аналитическое исследование режимов теплопроводности в нелинейных цепочках с беспорядком. Предсказано существование переходов между режимами изолятора, нормальной теплопроводности и двух видов аномальной в зависимости от размеров системы и средней энергии. Теоретические результаты нашли подтверждение в численных экспериментах. Проведенные численные эксперименты также позволили впервые показать связь характеристик неравновесного процесса распространения волновых пакетов и равновесного процесса теплопроводности.

• Сделан существенный шаг вперед в теории конкуренции в многокомпонентных клеточных системах с неоднородной случайной структурой связей, установлены свойства масштабирования характеристик процесса конкуренции с размером ансамбля, обнаружен новый тип переходной переключательной динамики, не требующий существования устойчивых гетероклинических последовательностей. Анализ модели развития и регуляции иммунных Т-клеток позволил впервые оценить ключевые биологические параметры: вероятность распознавания Т-клеткой антигенного профиля и среднее число клонотипов Т-клеток, конкурирующих за профиль.

• Разработана теория формирования структур переключательной активности в малых ансамблях нейронных осцилляторов с многомас-штабпыми колебаниями и конкуренцией. Получены режимы моностабильности и бмстабилыюсти паттернов, показана структурная устойчивость переключательной активности по отношению к неидентичности параметров нейронных осцилляторов.

• Установлена и проанализирована связь между переходом от локализации к делокализации возмущений, вызываемых одиночной пространственной неоднородностью, и переходом от мелкомасштабных пространственных структур к крупномасштабным в цепочечных и решеточных системах с беспорядком. Впервые обнаружена хаотическая пространственная бифуркация, вызванная нелинейным характером связи между элементами.

Практическая значимость работы состоит в том, что полученные результаты применимы в широком спектре физических, биологических и социо-экопомических задач, где и нелинейное взаимодействие, и беспо-

рядок неотъемлемо присутствуют и определяют динамику.

Делокализация q-бpизepoв описывает разрушение линейчатого спектра колебаний при превышении некоторого порога по нелинейности (энергии), что отвечает на вопрос о рабочем квазилинейном диапазоне решеток микро и наноэлектромехапических осцилляторов — перспективных устройств в задачах обработки информации, фильтрации в гигагерцовом диапазоне, прямого измерения масс молекул. Анализ зависимости ширины зоны локализованных с]-бризеров от размеров системы и средней энергии позволяет предсказать различные режимы теплопроводности в нанотрубках и нанопроводах, их характеристики. Полученные теоретические результаты согласуются с данными недавних физических экспериментов.

Теория распространения волновых пакетов в нелинейных средах с беспорядком также предсказывает и объясняет особенности переноса энергии в наиоразмерных системах, что актуально для задачи теплоотвода. в наноэлектронике. Кроме того, она описывает имеющиеся и предсказывает новые результаты по динамике Бозе-Эйнштейп конденсатов в оптических решетках — в экспериментах, которые широко рассматриваются как «макроскопическая лаборатория квантовой физики».

Теория конкуренции в многокомпонентных биологических клеточных системах позволяет выявлять механизмы регуляции клеточного состава; в рассмотренном частном случае ансамбля Т-лимфоцитов — определить некоторые важнейшие биологические параметры иммунной системы (недоступные для прямого экспериментального измерения) па базе имеющихся экспериментальных данных. В перспективе, совокупность фундаментальных теоретических знаний и адекватных математических моделей может дать инструмент прогнозирования клеточной динамики, иммунного ответа, анализа тактики лечения заболеваний.

Теория формирования структур последовательной активности беретов в нейронных ансамблях с конкуренцией применима в задачах пейро-динамики (обработки и хранения информации нейронными ансамблями), а также для разработки алгоритмических принципов искусственных интеллектуальных систем.

Полученные результаты в области етруктурообразования в математических моделях взаимодействующих активных элементов, при интерпретации задачи в терминах взаимодействия покупателей па рынке, дают представление о возможных режимах коллективного принятия решений в зависимости от пространственной неоднородности, силы и типа нелинейной связи. На этом основании могут формулироваться рекомендации качественного характера о тактике эффективного управления для регулятора рынка.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка цитированной литературы и приложения. Диссертация содержит 337 страниц, включая 102 рисунка, и список литературы из 198 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, раскрыты научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Изложены положения, выносимые на защиту, сведения об апробации результатов.

В первой главе развита теория дслокализации в пространственно-однородных колебательных решетках различной размерности с нелинейной связью общего вида. Исследованы свойства д-бризеров - точных периодических решений, экспоненциально локализованных в модовом пространстве обобщенной модели ФПУ с нелинейностью произвольного порядка.

Этот результат решает проблему ФПУ - порога термализации системы (появления сильного хаоса) и разрушения спектра, близкого к линейному в решеточных системах с произвольной нелинейностью. Установлено, что в цепочках больших размеров порог делокализации q-бpизepoв (а, следовательно, термализации и разрушения линейчатого спектра), а также потеря устойчивости полностью определяется членами взаимодействия с показателями нелинейности 7 = 3, 4, 5.

Вопросы делокализации и неустойчивости q-бpизcpoв исследованы в двумерных и трехмерных решеточных системах. Было показано, что при увеличении размерности решетки локализационные свойства q-бpизepoв улучшаются, что указывает па увеличения порога термализации в таких системах. Продемонстрировано существование решений, близких к я-бризерам в переходных и равновесных процессах. Показано, что при достаточно низкой энергии системы в модовом пространстве, особенно в низкочастотной области спектра, наблюдаются долгоживущие возбуждения отдельных мод. Такие траектории могут оказывать существенное влияние на процессы переноса энергии в системе, например, па характеристики теплопроводности.

Во второй главе построена теория делокализации энергии в пространственно-неоднородных решеточных системах. Исследованы явления делокализации и развития неустойчивости ц-бризеров в системах с двумя основными типами линейного спектра: акустическим и оптическим. Показано, что в обоих случаях с^-бризеры сохраняют локализацию в модовом пространстве, если сила пространственного беспорядка достаточно мала. Фундаментальным свойством систем с акустическим спектром является то, что в пределе больших систем даже при большой силе беспорядка в низкочастотной области спектра существует зона ц-бризеров, близких к ре-

шениям пространственно-однородной задачи, локализованных в модовом пространстве. Наличие таких решений играет ключевую роль в возникновении аномальной теплопроводности в таких системах. Напротив, в системах с оптическим спектром существует порог по силе беспорядка, при превышении котор

Анализ устойчивости q-бpизepныx решений показывает, что беспорядок может не только уменьшить порог неустойчивости по параметру нелинейности, по и увеличить его, в зависимости от конкретной реализации. Оказалось, что основное влияние на порог неустойчивости q-бpизepa с центром в моде <7о оказывают пространственные гармоники с волновыми числами в диапазоне [2до — 2; 2 г/о + 2], причем знак поправки от каждой из них определяется их пространственной фазой. Этот результат позволил сформулировать метод управления устойчивостью q-бpизepoв с помощью конструирования пространственных пеоднородпостсй определенного профиля.

В третьей главе исследованы равновесные и неравновесные процессы переноса энергии и распространения волновых пакетов в нелинейных системах с беспорядком, а также роль (}-бризеров в этих процессах. Установлено, что беспорядок индуцирует «границу подвижности» в спектре, разделяя его па зоны делокализоваппых и локализованных в прямом пространстве мод. Дслокализоваиные моды обеспечивают баллистический транспорт энергии между термостатами па концах цепочки, что приводит к нарушению закона Фурье, аномальной теплопроводности, выражающейся в степенной зависимости коэффициента теплопроводности от размеров системы. Локализованные моды в присутствии нелинейности обеспечивают диффузионный транспорт энергии, отвечающий нормальной теплопроводности. Нелинейность приводит к образованию третьего канала тепло-

проводности за счет взаимодействия локализованных и делокализовапных мод. В зависимости от соотношения управляющих параметров - температуры и размера системы - реализуются следующие режимы теплопроводности: цепочка-изолятор, нормальная теплопроводность, аномальная теплопроводность двух видов (с доминированием эффектов беспорядка и нелинейности соответственно).

Для неравновесных процессов делокализации начальных возбуждений, исследованы различные пределы: сильной нелинейности и сильного беспорядка. В первом случае установлено, что ключевое влияние на перераспределение энергии оказывают дискретные бризеры - точные периодические решения, локализованные в прямом пространстве. Изучена зависимость от типа собственного потенциала осциллятора и размерности решетки. Для систем с сильным беспорядком решена задача об андерсоиовской локализации в нелинейных системах. Было показано, что (андерсоновские) моды линейной системы с беспорядком дслокализуются с ненулевой вероятностью для любого произвольно малого значения энергии/нелинейности. При превышении определенного порога по энергии локализованные решения с центром в одной моде перестают существовать с вероятностью 1. а вероятность существования многомодовых локализованных возбуждений становится экспоненциально мала.

Наконец, получила подтверждение теоретически предсказанная зависимость между равновесными характеристиками переноса, энергии (коэффициентом теплопроводности) и характеристиками делокализации волновых пакетов (типами субдиффузии в зависимости от энергии волнового пакета). Полученная температурная зависимость коэффициента теплопроводности согласуется с результатам и теоретического анализа.

В четвертой главе построена теория конкуренция за «стимулы вы-

живания» в многокомпонентных клеточных ансамблях с нерегулярной структурой нелинейных связей. В качестве примера исследовалась задача регуляции в математической модели популяции клопотипов «наивных» Т-лимфоцитов. Обнаружено, что конкуренция приводит к экспоненциально быстрому вымиранию значительной части клонотипов и является механизмом выживания наиболее эффективных из них. Показано, что зависимость доли вымирающих клопотипов от вероятности распознавания клонотипом какого-либо набора антигенов имеет минимум приблизительно соответствующий началу эффективной конкуренции и максимум при вероятности распознавания порядка 1. Найден закон приближенного скей-липга этой зависимости для систем (биграфов) различного размера, что позволяет использовать результаты моделирования сравнительно небольших ансамблей для анализа процессов в ансамблях с числом популяций, близким к физиологическому.

Калибровка модели по экспериментально полученным физиологическим параметрам позволила впервые получить оценку для вероятности распознавания рецептором Т-клетки презептируемого антигенного профиля и коэффициент перекрытия ниши клопотипов Т-клеток, которые пока не поддаются прямому экспериментальному измерению. Было обнаружено, что времена переходных процессов могут быть сравнимы по длительности с временем существования организма. Выявленный новый тип последовательной переходной динамики существенно расширяет представления о конкуренции в сложных ансамблях, где до сих пор необходимым считалось существование устойчивых гетероклинических последовательностей.

В пятой главе сформулированы основные динамические принципы генерации структур последовательной пространственно-временной активности в малых ансамблях пейропоподобпых осцилляторов с копкурепци-

ей. Показано, что широкие автономные береты приводят к конкуренции собственного и коллективного механизмов генерации. В результате образуется упорядоченная последовательность беретов, характеристики которой очень восприимчивы к уровню ингибирования. Узкие автономные береты приводят к кооперативному типу взаимодействия механизмов генерации. В результате характеристики беретов также сильно зависят от проводимости ингибиторных синапсов, однако во всем диапазоне силы связи присутствует бистабильность берстовых последовательностей. Для обоих типов взаимодействия механизмов генерируемые пространственно-временные структуры берстовых колебаний чрезвычайно устойчивы по отношению к пеидснтичиости параметров индивидуальных нейронов.

В шестой главе исследованы принципы конкурентного и кооперативного взаимодействия, механизмы делокализации и генерации пространственных структур в в цепочках и решетках частотно- и фазо-управляемых осцилляторов с нелинейным типом связи. Полученные результаты допускают интерпретацию в терминах динамики рынка взаимодействующих покупателей, принимающих решение о покупке. Было показано, что в зависимости от типа связи цепочечные и решеточные ансамбли модельных систем демонстрируют качественно различное поведение. В случае конкурентного взаимодействия типичным является развитие коротковолновых пространственных неустойчивостей, что можно интерпретировать как результат обмена негативной информацией между индивидуумами, недоверия или целенаправленного обмана, в общем случае заключающийся в потере возможности принятия адекватного коллективного решения. Было показано, что влияние пространственной неоднородности локализовано при относительно слабой связи, а если связь превышает некоторый порог, эффект пространственной неоднородности распространяется на большое число со-

седей, делокализуется.

В случае, когда обмен информацией носит кооперативный характер, а именно, когда покупатели изменяют свое мнение вслед за мнением соседей, сила связи также является определяющим фактором. Слабая связь лишь незначительно сглаживает пространственные неоднородности, приводя к образованию мелкомасштабной кластерной структуры, в то время как сильная связь приводит к образованию крупных кластеров с более резкими границами и более однородным распределением состояний элементов внутри кластеров. Также был исследован процесс/^локализации, перехода от локальной, мелкомасштабной динамики к крупномасштабной при увеличении силы связей Обнаруженный переход может быть сопоставлен с минимальным уровнем обмена информации в социальных сетях, необходимым для выработки коллективного решения.

Наконец на примере модельных однонаправленных цепочек было показано. что сложная нелинейная связь между элементами может привести к возникновению хаотической пространственной бифуркации. Координата пространственной бифуркации оказывается фактически непредсказуемой, поскольку определяется хаотической пространственной динамикой. Отмечается, что подобная сложная и богатая динамика реализуется в ансамблях элементов, собственная динамика которых тривиальна. Таким образом, нелинейная межэлементная связь играет ключевую роль в образовании пространственных структур в ансамблях активных элементов, в дополнение к ранее известным эффектам топологии связей и сложной динамики индивидуальных элементов.

В Заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Переход от локализации к делокализации энергии в модовом пространстве в широком классе колебательных решеток (с произвольным порядком нелинейности в функции взаимодействия, для решеток различной размерности) отвечает разрушению локализации точных периодических решений — q-бpизepoв.

2. Дслокализация q-бpизepoв происходит при увеличении энергии, а также при увеличении размеров системы, когда порядок нелинейности потенциала взаимодействия меньше определенного порогового значения. Увеличение размерности решетки затрудняет делокализацию. Долго-живущие возбуждения, локализованные в модовом пространстве, присутствуют и в термализованных решетках, а их характеристики и существование могут быть качественно объяснены теорией q-бpизepoв.

3. q-Бpизcpныc решения существуют в нелинейных решеточных системах с пространственным беспорядком, как с акустическим, так и с оптическим спектрами линейных колебаний. Увеличение силы беспорядка приводит к переходу от локализации к делокализации энергии в модовом пространстве. В пределе малых энергий в системах с акустическим спектром зона q-бpизepныx решений сохраняется при произвольно большой длине цепочки, в системах с оптическим спектром — разрушается при превышении некоторого порога по длине, зависящего от силы беспорядка.

4. Беспорядок может как понижать порог неустойчивости q-бpизepoв по нелинейности, так и увеличивать, в зависимости от конкретной реализации. Возможно управление порогом устойчивости за счет создания пространственных неодпородностей.

5. Теория q-бpизepoв описывает различные режимы теплопроводности

в моделях низкоразмерных наномасштабпых атомарных структур с нелинейностью и беспорядком (цепочка-изолятор, нормальная теплопроводность, два режима аномальной теплопроводности с доминированием эффектов беспорядка, и нелинейности соответственно), переходы между ними при изменении средней энергии и размеров системы.

6. Конкуренция за стимулы выживания в многокомпонентных неоднородных клеточных ансамблях является эффективным механизмом регуляции численности и селекции наиболее функциональных семейств (клопотипов) клеток. Зависимость доли вымирающих клонотипов и характерного времени переходных процессов масштабируются с увеличением размеров ансамбля; характеристики остаются постоянными, если фиксированы интенсивные параметры биграфа связанности ансамбля.

7. Конкуренция за стимулы выживания в многокомпонентных ансамблях является механизмом возникновения длительной переходной переключательной динамики.

8. В малых ансамблях нейропоподобных осцилляторов характеристики автономных беретов определяют генерацию структур последовательной пространственно-временной активности. Как в случае широких, так и узких беретов их характеристики сильно зависят от силы конкурентного взаимодействия: во втором случае возникает бистабилыюсть береговых последовательностей. Генерируемые пространственно-временные последовательности береговых колебаний структурно устойчивы по отношению к неидептичности параметров индивидуальных нейронов.

9. Ансамбли частотно-управляемых осцилляторов с нелинейной характеристикой связи п пространственной неоднородностью параметров

в случае конкурентного взаимодействия демонстрируют развитие коротковолновых пространственных пеустойчивостей; когда взаимодействие носит кооперативный характер, слабая связь приводит к образованию мелкомасштабной кластерной структуры, а сильная связь - к укрупнению кластеров. Процесс делокализации, перехода от локальной динамики к крупномасштабной, происходит при увеличении силы связей.

10. Сложная нелинейная связь между элементами в ансамблях фазо-управ-ляемых осцилляторов может привести к возникновению хаотической пространственной бифуркации, координата которой в пространстве оказывается фактически непредсказуемой, поскольку определяется хаотической пространственной динамикой.

Личный вклад автора. Результаты, опубликованные в статьях [4856], получены лично автором. В совместных статьях |57-62| роль автора в выборе направлений исследований и постановке основных задач, получении и обсуждении результатов была ведущей; научные результаты в статьях [31,63-72] получены на паритетных началах с соавторами.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международных научных семинарах, конференциях и симпозиумах «Topical Problems of Nonlinear Wave Physics» (Нижний Новгород, 2005). «10th Experimental Chaos Conference» (Catania, Italy. 2008), «Dynamics in Systems Biology» (Aberdeen, UK, 2009), «Advanced Workshop on Anderson Localization, Nonlinearity and Turbulence: a Cross-Fertilization» (Trieste, Italy), «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2010), «Physics of Immunity: Complexity Approach» (Dresden. Germany, 2011), «Noise in Non-equilibrium Systems: From Physics to Biology» (Dresden, Germany, 2011). Материалы диссертации обсужда-

лись на научных семинарах кафедры теории колебаний ННГУ, отделения НОЦ по паиотехпологиям на Биологическом факультете МГУ, Max Planck Institute for the Physics of Complex Systems (Dresden, Germany), University of Leeds (United Kingdom), Institute for Nonlinear Science (University of California San Diego, USA).

По теме диссертации опубликовано 24 научных статьи в ведущих международных и российских рецензируемых физических журналах из списка ВАК [31,48-71], и 9 прочих печатных работ [73-81].

Исследования, результаты которых вошли в диссертационную работу, выполнялись при поддержке грантов РФФИ (02-02-17573-а, 05-02-19815-MF-a, 05-02-90567-NNS-a, 06-02-16499-а, 06-02-16596-а, 07-02-01404-а, 10-0200865), EPSRC Ref. EP/G059780/1, INTAS Ref. No. 04-83-2816, ФПЦ «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», контракты 14.740.11.0075, П2308.

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Иванченко, Михаил Васильевич

6.4 Выводы

В данной главе были исследованы принципы конкурентного и кооперативного взаимодействия, механизмы делокализации и генерации пространственных структур в ансамблях частотно- и фазо-управляемых осцилляторов с нелинейным типом связи. Полученные результаты допускают интерпретацию в терминах динамики рынка взаимодействующих покупателей, принимающих решение покупать или не покупать некий товар или услугу.

Для упрощения задачи рассмотрен случай однородной связи и идентичной реакции «покупателей» на «ценовую информацию» с рынка и «мнение» соседей. Пространственная неоднородность задавалась различными начальными мнениями модельных покупателей относительно целесообразности покупки товара. Было показано, что в зависимости от типа связи цепочечные и решеточные ансамбли частотно-управляемых осцилляторов демонстрируют качественно различное поведение.

В случае конкурентного взаимодействия к < 0) типичным является развитие коротковолновых пространственных псустойчивоетей. Начальные структуры при этом разрушались, а при дальнейшей эволюции формировался шахматный паттерн (противоположные решения о покупке среди соседей). Этот режим можно интерпретировать как результат обмена негативной информацией между индивидуумами, недоверия или целенаправленного обмана, в общем случае заключающийся в потере возможности принятия адекватного коллективного решения. Как показали аналитические и численные исследования, влияние пространственной неоднородности на динамику системы (индивидуума с резко отличным от остальных мнением) определяется силой связи между элементами. При относительно слабой связи это влияние локализовано, если связь превышает некоторый порог, эффект пространственной неоднородности распространяется на большое число соседей, делокализуется.

В случае, когда обмен ипформцией носит кооперативный характер, а именно, когда покупатели изменяют свое мнение вслед за мнением соседей (коэффициенты связи в этом случае положительны), сила связи также является определяющим фактором. Слабая связь лишь незначительно сглаживает пространственные неоднородности, приводя к образованию мелкомасштабной кластерной структуры, в то время как сильная связь приводит к образованию крупных кластеров с более резкими границами и более однородным распределением состояний элементов внутри кластеров. С течением времени наблюдалось укрупнение и слияние кластеров, в результате оставался один глобальный или два кластера. Также был исследован процес дслокализации, перехода от локальной, мелкомасштабной динамики к крупномасштабной при увеличении силы связей. Обнаруженный переход может быть интерпретирован как минимальный уровень обмена информации в социальных сетях, необходимый для выработки коллективного решения.

Наконец на примере модельных однонаправленных цепочек фазо-управляемых осцилляторов было показано, что сложная нелинейная связь между элементами может привести к возникновению хаотической пространственной бифуркации. Обнаруженный тип бифуркации характеризуется гладким (предсказуемым) многообразием в пространстве параметров. Напротив, координата пространственной бифуркации является фактически непредсказуемой, поскольку определяется хаотической пространственной динамикой. В общем случае, ожидается, что пространственные бифуркации будут приобретать хаотические свойства когда связь привносит пели-нейпоетть в пространственную зависимость динамических режимов. Необходимо отметить, что подобная сложная и богатая динамика реализуется в ансамблях элементов, собственная динамика которых тривиальна. Таким образом, нелинейная межэлементная связь играет ключевую роль в образовании пространственных структур в ансамблях аткивных элементов, в дополнение к ранее известным эффектам топологии связей и сложной динамики индивидуальных элементов [195].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации построена теория коллективных динамических явлений делокализации и конкуренции в ансамблях консервативных и дисси-пативных систем с нелинейной связью и беспорядком. Полученные результаты были применены для решения прикладных задач: исследования процессов теплопроводности и распространения волновых пакетов в низкоразмерных физических решеточных системах, формирования и регуляции адаптивной иммунной системы, генерации структур последовательной активности в нейронных ансамблях, закономерностей принятия координированных решений в ансамблях взаимодействующих покупателей.

Для широкого класса колебательных решеток с акустическим типом спектра (с произвольным порядком нелинейности в функции взаимодействия, для решеток различной размерности) разработана теория q-бризеров точных периодических решений, экспоненциально локализованных в модовом пространстве. Проведен анализ условий их неустойчивости и делокализации. показана роль в процессах обмена энергией между взаимодействующими модами, решена проблема перехода от локализации к делокализации энергии. Сделан существенный шаг вперед в численном анализе q-бризсров: разработан численный алгоритм их отыскания и определения устойчивости в цепочках с произвольным порядком нелинейности с применением параллельного программирования (стандарт MPI). Это открыло дорогу числсииым исследованиям свойств q-бризеров в цепочках большого размера с использованием высокопроизводительных компьютеров.

В развитие этих результатов теория q-бризеров распространена па случай пространственного беспорядка и решеток с оптическим типом спектра. в частности, получены зависимости порогов делокализации и развития неустойчивости q-бризеров от силы беспорядка. Обнаружено принципиальное различие между системами с акустическими и оптическими спектрами: в первом случае существует зона локализованных низкочастотных q-бризеров, во втором наличие пространственного беспорядка приводит к исчезновению подобной зоны при увеличении размеров системы. Выявленная зависимость порога неустойчивости от конкретной реализации беспорядка позволил сформулировать метод управления устойчивостью q-бризеров за счет создания пространственных пеодпородностей определенного вида.

Теория q-бризеров в нелинейных системах с беспорядком была применена для изучения режимов теплопроводности в нелинейных цепочках с беспорядком. Было предсказано существование переходов между режимами изолятора, нормальной теплопроводности и двух видов аномальной в зависимости от размеров системы и средней энергии. Численные эксперименты, проведенные с применением средств высокопроизводительных вычислений, подтвердили теоретические выводы.

Было продемонстрировано, что теория q-бризеров применима не только к системам с гармоническими линейными модами. Теория q-бризеров, построенная в базисе апдерсоповских мод, впервые продемонстрировала разрушение андерсоновской локализации и возможность делокализации волновых пакетов при произвольно слабой нелинейности. Проведенные численные эксперименты также позволили показать связь характеристик иеравновесного процесса распространения волновых пакетов и равновесного процесса теплопроводности.

Сделан существенный шаг вперед в теории конкуренции в многокомпонентных клеточных системах с неоднородной случайной структурой связей, установлены свойства масштабирования характеристик процесса конкуренции с размером ансамбля, обнаружен новый тип переходной переключательной динамики, не требующий существования устойчивых гете-роклиничееких последовательностей. Анализ модели развития и регуляции иммунных Т-клеток позволил впервые оцепить ключевые биологические параметры: вероятность распознавания Т-клеткой антигенного профиля и среднее число клопотипов Т-клеток. конкурирующих за стимулы выживания, получаемые от профиля. Для случая конкуренции в более сложных системах, таких как ансамбли нейронных осцилляторов с многомасштабными колебаниями, разработана теория формирования структур переключательной активности. Получены режимы моностабильпости и бистабиль-ности паттернов, показана структурная устойчивость переключательной активности по отношению к иеидептичпости параметров нейронных осцилляторов.

Исследованы явления конкуренции и структурообразования в решеточных системах частотно- и фазо-управляемых осцилляторов. Дана интерпретация подобных систем как математических моделей принятия решений взаимодействующими покупателями на рынке энергетических услуг. Установлена и проаналпзарована связь между переходом от локализации к делокализацией возмущений, вызываемых одиночной пространственной неоднородностью, и переходом от мелкомасштабных пространственных структур к крупномасштабным в цепочечных и решеточных системах с беспорядком. Обнаружена и исследована хаотическая пространственная бифуркадия, возникающая за счет нелинейного характера связи между элементами.

Среди открытых вопросов коллективной нелинейной динамики систем с беспорядком, хотелось бы выделить следующие. Крайне актуальным с точки зрения нелинейной физики низкоразмерпых наноструктур является разработка теории ч-бризеров в двух и трехмерных нелинейных решетках с беспорядком для выявления механизмов и режимов теплопроводности. анализа зависимости от размерности системы, на существование которой указывают недавние эксперименты с графеиовыми структурами. Важным вопросом является делокалпзация и распространение волновых пакетов в трехмерных нелинейных решетках с беспорядком, в линейном пределе которых существует порог локализации андорсоновских мод по силе беспорядка. Сопутствующие численные эксперименты по моделированию двух и трехмерных колебательных решеток очень трудоемки и требуют использования параллельного программирования и высокопроизводительных вычислений; в разработке алгоритмов в качестве основы могут быть использованы созданные алгоритмы для одномерных систем. В проекции на проблему регуляции и функционирования иммунной системы задача о конкуренции в многокомпонентных ансамблях требует развития на случай многомасштабных и многоуровневых процессов: моделирования распознавания антигенного профиля Т-лимфоцитом и его активации (рецептор-лигандное взаимодействие и сигнальный каскад активации па молекулярном уровне), модерировапие иммунного ответа Т-регуляторпыми клетками (на клеточном уровне). Для удовлетворительного понимания механизмов обработки информации в коре головного мозга задача о генерации переключательной переходной динамики в берстовых нейронах с ппгибиторпым типом связи должна быть решена для больших прострапствеино-пеодпородпых пейроипых ансамблей. Для более точного понимания коллективных механизмов принятия решений па рынке взаимодействующих покупателей необходимо рассмотреть более сложные модели индивидуального покупателя (например, системы с запаздыванием) и более сложную топологию связей (случайные графы).

Научные результаты, полученные в диссертационной работе, заложили фундамент для этих перспективных направлений исследований.

Благодарности. Автор благодарит В.Д. Шалфеева, С. Флаха, М.И. Рабиновича, Г.В. Оснпова, О.И. Канакова, Т.В. Лаптеву, К.Г. Мишагипа, С. Molina-Paris, S. Aubry, S. Lepri, D. Krimer, N. Li, D. Bodifelt, N. McCullen за плодотворные научные обсуждения в тематической области работы.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Иванченко, Михаил Васильевич, 2011 год

Литература

1. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984.

2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. - Гидродинамика. 2006. Vol. VI.

3. Kuramoto Y. Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. Springer: Berlin, 1984.

4. Пиковский А. С., Розенблюм M. Г., Курте Ю. Синхронизация: фундаментальное нелинейное явление. М.: Техносфера, 2003.

5. Buks Е., Roukos М. Electrically tunable collective response in a coupled micromechanical array // J. Micromech. Sys. 2002. Vol. 11. P. 802.

6. Zalalutdinov M., et, al. Two-dimensional array of coupled nanomechanical resonators // Appl. Phys. Lett. 2006. Vol. 88. P. 143504.

7. Nonliiiearities in Periodic Structures and Metamaterials, Ed. by Denz C., Flach S., Kivshar Y.S. Springer: Berlin, 2009. Vol. 150 of Springer Series in Optical Sciences.

8. Billy J., et. al. Direct observation of Anderson localization of matter waves in a controlled disorder // Nature. 2008. Vol. 453. P. 891.

9. Perclson A., Wcisbuch G. Immunology for physicists // Rev. Mod. Phys. 1997. Vol. G9. P. 1219.

10. Короновский А. А., Трубсцков Д. И. Нелинейная динамика в действии. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2002.

11. Atraimovich V., Nckorkiii V., Osipov G., Shalfeev V. Stability, structures and chaos in nonlinear synchronization networks. Singapore: World Scientific, 1994.

12. Апищенко В. С., Вадиваеова Т. Е., Астахов В. В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Изд-во Саратовского университета, 1999.

13. Дмитриев А. С., Папас А. И. Динамический хаос: новые носители информации для систем связи. М.: Издательство Физико-математической литературы. 2002.

14. Rabinovich М., et al. Dynamical principles of neuroscience // Rev. Mod. Phys. 2006. Vol. 78. P. 1213.

15. Flach S., Gorbach A. Discrete Breathers: Advances in Theory and Applications // Phys. Rep. 2008. Vol. 467. P. 1.

16. Cross M.C., Hohenbcrg P.C. Pattern formation outside of equilibrium // Rev. Mod. Phys. 1993. Vol. 65. P. 851.

17. Хохлов P. О распространении воли в нелинейных диспергирующих средах // Радиофизика и электроника. 1961. Т. 6. С. 1116.

18. Osipov G. V., Kurths J., Zhou Cli. Synchronization in Oscillatory Networks. Springer Verlag: Berlin, 2007.

19. Fermi E., Pasta J., Ulam S. Studies of Nonlinear Problems // Los Alamos Report. 1955. Vol. LA-1940.

20. Ford J. The Ferrni-Pasta-Ulam problem: Paradox turns discovery // Phys. Rep. 1992. Vol. 213. P. 271.

21. The Fermi-Pasta-Ulam problem - The first fifty years / Ed. by R. Campbell D.K.. Zaslavsky G.M. Vol. 15 of Focus issue, Chaos, 2005.

22. Casetti L.. Cerruti-Sola M.. Pettini M., Cohen E. The Fermi-Pasta-Ulam problem revisited: Stochasticity thresholds in nonlinear Hamiltonian systems // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 55. P. 6566.

23. Shcpelyansky D. Low-energy chaos in the Fermi-Pasta-Ulam problem // Nonlinearitv. 1997. Vol. 10. P. 1331.

24. Kantz H. Vanishing stability thresholds in the thermodynamic limit of nonintegrable conservative systems // Pliysica D. 1989. Vol. 39. P. 322.

25. Kantz H., Livi R., Ruffo S. Equipartition thresholds in chains of anhar-monic oscillators // J. Stat. Phys. 1994. Vol. 76. P. 627.

26. Luca J. D., Lichtenberg A., Lieberman M. A. Time scale to crgodicity in the Fermi-Pasta-Ulam system // Chaos. 1995. Vol. 5. P. 283.

27. Ullinann K., Lichtenberg A., Corso G. Energy equipartition starting from high-frequency modes in the Fermi-Pasta-Ulam beta oscillator chain // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 61. P. 2471.

28. Luca J. D., Lichtenberg A. Transitions and time scales to equipartition in oscillator chains: Low-frequency initial conditions // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 66. P. 026206.

29. Bcrehialla L., Giorgilli A., Palcari S. Exponentially long times to cquipar-tition in the thermodynamic limit // Physics Letters A. 2004. Vol. 321. P. 147.

30. Benettiri G., Livi R., Ponno A. The Ferrni-Pasta-Ulam Problem: Scaling Laws vs. Initial Conditions //J. Stat. Phys. 2009. Vol. 135. P. 873.

31. Flach S., Ivanchenko M., Kanakov O. q-Breathers and the Fermi-Pasta-Ulam problem // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 95. P. 064102.

32. Anderson P. Absence of diffusion in certain random lattices // Phys. Rev. 1958. Vol. 109. P. 1492.

33. Fishman S., Krivolapov Y., Soffer A. On the problem of dynamical localization in the nonlinear Schr?dinger equation with a random potential // J. Stat. Phys. 2008. Vol. 131. P. 843.

34. Flach S., et al. Universal spreading of wave packets in disordered nonlinear systems // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 102. P. 024101.

35. Skokos C.. ct al. Derealization of wave packets in disordered nonlinear chains // Phys. Rev. E. 2009. Vol. 79. P. 056211.

36. Lapteva T., ct al. The crossover from strong to weak chaos for nonlinear waves in disordered systems // EPL. 2010. Vol. 91. P. 30001.

37. Pikovsky A.. Shepclyansky D. Destruction of Anderson localization by a weak nonlinearity // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 100. P. 094101.

38. Johansson M., Kopidakis G.. Aubry S. KAM tori in ID random discrete nonlinear Schr?dingcr model? // Europhys. Lett. 2010. Vol. 91. P. 50001.

39. Shwartz T., ot al. Transport, and Anderson localization in disordered two-dimensional photonic lattices // Nature. 2007. Vol. 446. P. 52.

40. Gocl N., Maitra S., Montroll E. On the Volterra and other nonlinear models of interacting populations // Rev. Mod. Phys. 1971. Vol. 43. P. 231.

41. Tel T., Moura A., Grebogi C., Karolyi G. Chemical and biological activity in open flows: a dynamical system approach // Physics Reports. 2005. Vol. 413. P. 91.

42. Reichcnbach T., Mobilia M.. Frcy E. Mobility promotes and jeopardizes biodiversity in rock-paper-scissors games // Nature. 2007. Vol. 448. P. 1046.

43. Koseska A., Ullncr E., Volkov E. et al. Cooperative differentiation through clustering in multicellular populations // J. Theor. Biol. 2010. Vol. 263. P. 189.

44. Gaertncr W. A dynamic model of interdependent consumer behavior // Journal of Economics. 1974. Vol. 34, no. 3. Pp. 327 344.

45. Bass F. Comments on "A New Product Growth for Model Consumer Durables": The Bass Model // Management science. 2004. Vol. 50, no. 12. Pp. 1833 1840.

46. Wcidlich W. Sociodynamics-a systematic approach to mathematical modelling in the social sciences // Chaos, Solitons and Fractals. 2003. Vol. 18, no. 3. Pp. 431-437.

47. Boccaletti S.. et al. Complex networks: Structure and dynamics // Phys. Rep. 2006. Vol. 424. P. 175.

48. Ivanchenko M. q-Breathcrs in finite lattices: nonlinearity and weak disorder // Phys. Rev. Lett. 2009. Vol. 102. P. 175507.

49. Ivanchenko M. q-Breathers in Discrete Nonlinear Schrocdinger arrays with weak disorder // Письма в ЖЭТФ. 2009. Т. 89. С. 170.

50. Ivanchenko М. q-Breathcrs and thcrrnalization in acoustic chains with arbitrary nonlinearity index // Письма в ЖЭТФ. 2010. Т. 92. С. 405.

51. Иванченко М. В. Модовая локализация в цепочках Ферми-Паста-Улама с произвольным порядком нелинейности // Изв. ВУЗов Прикладная Нелинейная Динамика. 2011. Т. 19. С. 55.

52. Ivanchenko М. Transient selection in multi-cellular immune networks // Письма в ЖЭТФ. 2011. Т. 93. С. 37.

53. Иванченко М. В. Q-бризеры: от парадокса Ферми-Паста-Улама до аномальной теплопроводности // Изв. ВУЗов Прикладная Нелинейная Динамика. 2011. Т. 19. С. 73.

54. Иванченко М. В. Конкуренция в двухкомпоиентной модели ансамбля иммунных Т-клсток // Изв. ВУЗов Прикладная Нелинейная Динамика. 2010. Т. 18. С. 33.

55. Иванченко М. В. Конкуренция и селекция клопотипов в больших ансамблях иммунных Т-клеток // Весгпик ННГУ. Радиофизика. 2010.

6.

56. Иванченко М. Генерация беретов в апсамблах спайковых нейронов с нелокальными связями // Изв. ВУЗов Прикладная нелинейная динамика. 2007. Т. 15. № 3. С. 3.

57. Ivanchenko M., Kanakov 0.; Mishagin K.. Flach S. q-Breathers in finite two- and three-dimensional nonlinear acoustic lattices // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 97. P. 025505.

58. Ivanchenko M.. Nowotny T., Sclverston A.. Rabinovich M. Pacemaker And Network Mechanisms Of Rhythm Generation: Cooperation And Competition // J. Theor. Biol. 2008. Vol. 253. P. 452.

59. Ivanchenko M.. Flach S. Disorder-induced mobility edges and heat flow control in anharmonic acoustic chains // Europhysics Letters. 2011. Vol. 94. P. 46004.

60. Ivanchenko M., Osipov G., Shalfeev V., J. K. Phase synchronization of chaotic intermittent oscillations // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 92. P. 134101.

61. Ivanchenko M.; Osipov G., Shalfeev V., J. K. Network Mechanism for burst generation // Phys. Rev. Lett. 2007. Vol. 98. P. 108101.

62. Ivanchenko M., Osipov G., Shalfeev V., Kurths J. Phase Synchronization in Ensembles of Bursting Oscillators // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 93. P. 134101.

63. Ivanchenko M., Kanakov O., Shalfeev V., Flach S. Discrete breathers in transient processes and thermal equilibrium // Physica D. 2004. Vol. 198. P. 120.

64. Flach S.. Ivanchenko M., Kanakov O. q-breathers in Fcrmi-Pasta-Ulam chains: Existence, localization, and stability // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 73. P. 036618.

65. Kanakov О., Flach S.. Ivanclicnko M., K.G. Mishagin . .-. . Scaling properties of q-breathers in nonlinear acoustic lattices // Phys. Lett. A. 2007. Vol. 365. P. 416.

66. Flach S., Kanakov O., Mishagin M.. К G.and Ivanchenko. q-Breathers in FPU-Lattices - Scaling and Properties for Large Systems // Int. J. Mod. Phys. B. 2007. Vol. 21. P. 3925.

67. Mishagin K.. Kanakov O., Ivanchenko M., Flach S. q-breathers is discrete nonlinear Schroedinger lattices // New J. Phys. 2008. Vol. 10. P. 073034.

68. Flach S., Li N., Ivanchenko M. Thermal conductivity of nonlinear waves in disordered chains // Prainana - J. Phys. 2011. Pp. P-9050.

69. McCullen N., Shalfcev V., Ivanchenko M., Gale W. A Dynamical Model of Decision-Making Behaviour in a Network of Consumers with Applications to Energy Choices // Int J. Bif. Chaos. 2001. Pp. D 10- 00304.

70. Flach S., Ivanchenko M., Kanakov O., Mishagin K. Periodic orbits, localization in normal mode space and the Fcrmi-Pasta-Ulam problem // Am. J. Phys. 2008. Vol. 76. P. 453.

71. Shalfeev V.. Ivanchenko M., Forti G. Chaotic spatial bifurcation by complex coupling // Chaos. 2007. Vol. 17. P. 023103.

72. G. V. Osipov J. К., M. V. Ivanchenko, Ни B. Synchronized chaotic intermittent and spiking behavior in coupled map chains // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 71. P. 056209.

73. Иванченко M. В. Генерация и синхронизация колебаний в системах с «миогомаештабиым» хаосом. Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 2007.

74. Flach S.. Ivanchcnko M., Kanakov 0. Periodic solutions to the Fermi-Pasta-Ulam system: continuation of single-mode orbits of a linear chain // Proc. Int. Symposium Topical Problems of Nonlinear Wave Physics2005. Vol. NWP-1. Nizhny Novgorod. Institute of Applied Physics RAS, 2005.

75. Ivanchcnko M., Nowotny Т., Selverston A., Rabonivich M. Pacemaker and network bursting in minimal inhibitory neural motifs: understanding hybrid rhythmogenesis // Proc. Int. Experimental Chaos Conference / Ed. by I. Catania. 2008.

7G. Ivanchcnko M. Diversity by extinction: naive T-cell homeostasis // Abstracts of the Conference on Dynamics in Systems Biology. Aberdeen, UK: 2009.

77. Ivanchenko M. q-Breathers, FPU problem and anomalous conductivity // Abstracts of the Advanced Workshop on Anderson Localization, Nonlin-earity and Turbulence: a Cross-Fertilization / ICTP, Trieste, Italy. 2010.

78. Laptycva Т., Ivanchcnko M., S. Flach D. G. M. . Wave packet spreading in strongly disordered nonlinear lattices ,// Abstracts of DPG - 2011. Vol. DY 15.1. 2011.

79. Ivanchenko M. Synchronization in chaotic ensembles with oscillations on multiple time scales // Proc. Int. Symposium Topical Problems of Nonlinear Wave Physics (NWP-2005). NWP-1 Nonlinear dynamics: theory and applications. Nizhny Novgorod, Institute of Applied Physics RAS, 2005.

80. Иванченко M.B. Синхронизация и дссипхронизация спайковой динамики в ансамблях нейропонодобпых осцилляторов // Тезисы конференции молодых ученых Нелинейные волновые процессы / Нижний Новгород. 2006. Pp. 71-72.

81. Ivanchenko M. A network mechanism for high- and low-frequency oscillations in neuronal ensembles // Proceedings of Physcon-2007. University of Potsdam, 2007.

82. Fermi E. Evidence that a mechanic normal system is generally quasi-ergodic // Phys. Z. 1923. Vol. 24. P. 261.

83. Tuck J. // Los Alamos Report. 1968. Vol. LA-3990.

84. Izrailev F. M., Chirikov B. V. Statistical properties of a non-linear string // Soviet. Phys. Dokl. 1966. Vol. 11. P. 30. •

85. Izrailev F.. Khasamutdinov A., Chirikov B. Numerical experiments on the statistical behaviour of dynamical systems with a few degrees of freedom // Comput. Phys. Commun. 1973. Vol. 5. P. 11.

86. Bocchierri P., Scotti A., Bearzi B., Loigner A. Anharmonic Chain with Lennard-Jones Interaction // Phys. Rev. A. 1970. Vol. 2. P. 2013.

87. Galgani L., Scotti A. Planck-like Distributions in Classical Nonlinear Mechanics // Phys. Rev. Lett. 1972. Vol. 28. P. 1173.

88. Patrascioiu A. Blackbody Radiation Law: Quantum or Classical Explanation? // Phys. Rev. Lett. 1983. Vol. 50. P. 1897.

89. Giorgilli A., Paleari S., Penati T. Local chaotic behaviour in the Fermi-Pasta-Ularn system // Discr. Cont. Dyn. Sys. B. 2005. Vol. 5. P. 991.

90. Bcnettin G. Time scale for energy equipartition in a two-dimensional FPU model // Chaos. 2005. Vol. 15. P. 015108.

91. Berman G., Izrailev F. The Fermi-Pasta-Ularn problem: Fifty years of progress // Chaos. 2005. Vol. 15. P. 015104.

92. K.L. Ekinci M. R. Nanoelectromechanical systems // Rev. Sci. Instr. 2005. Vol. 76. P. 061101.

93. Sato M., Habbard B., Sievers A. Nonlinear energy localization and its manipulation in micromechanical oscillator arrays // Rev. Mod. Phys. 2006. Vol. 78. P. 137.

94. Flach S., Willis C. Discrete breathers // Phys. Rep. 1998. Vol. 295. P. 181.

95. Lyapunov M. The General Problem of Stability of Motion. Taylor & Francis, London, 1992.

96. Conway J.. Jones A. Trigonometric diophantine equations // Acta Arith. 1976. Vol. XXX. P. 229.

97. MacKay R.. Aubry S. Proof of existence of breathers for time-reversible or Hamiltonian networks of weakly coupled oscillators // Nonlinearity. 1994. Vol. 7. P. 1623.

98. Albanese C., Froehlich J. Perturbation theory for periodic orbits in a class of infinite dimensional Hamiltonian systems // Comm. Math. Phys. 1991. Vol. 138. P. 193.

99. Archilla J., MacKay R., Martin J. Discrete breathers and Anderson modes: two faces of the same phenomenon? // Physica D. 1999. Vol. 134. P. 406.

100. Kopidakis G., Aubry S. Intraband discrete breathers in disordered nonlinear systems. 1. Derealization // Physica D. 1999. Vol. 130. P. 155.

101. Kopidakis G., Aubry S. Intraband discrete breathers in disordered nonlinear systems. II. Localization // Physica D. 2000. Vol. 139. P. 247.

102. Li Z., ot al. Three-dimensional atomic-scale structure of size-selected gold nanoclusters // Nature. 2008. Vol. 451. P. 46.

103. Ishii K. Localization of eigenstates and transport phenomena in the one-dimensional disordered system //' Suppl. Prog. Theor. Phys. 1973. Vol. 53. P. 77.

104. Kivshar Y.. Peyrard M. Modulational Instabilities in Discrete Lattices // Phys. Rev. A. 1992. Vol. 40. P. 3198.

105. Morsch O., Oberthaler M. Dynamics of Bose-Einstein condensates in optical lattices // Rev. Mod. Phys. 2006. Vol. 78. P. 179.

106. Kivshar Y.. Agrawal G. Optical solitons: from fibers to photonic crystals. Elsevier, Amsterdam, 2003.

107. Dieudonnc J. Foundations of Modern Analysis. New York: Academic, 1999.

108. Laedke E., Spatsclick K., Turitsyn S. Stability of discrete solitons and quasicollapsc to intrinsically localized modes // Phys. Rev. Lett. 1994. Vol. 73. P. 1055.

109. Zakharov V., Sliabat A. Exact theory of two-dimensional self-focusing and one-dimensional self-modulation of waves in nonlinear media (Differential equation solution for plane self focusing and one dimensional self modulation of waves interacting in nonlinear media) // Sov. Phys. JETP. 1972. Vol. 34. P. 62.

110. Benjamin T.. Feir J. The disintegration of wave trains on deep water // J. Fluid Mech. 1967. Vol. 27. P. 417.

111. Chang C.. et al. Solid-state thermal rectifier // Science. 2006. Vol. 314. P. 1121.

112. Chang C., et al. Breakdown of Fourier's law in nanotube thermal conductors // Phys. Rev. Lett. 2008. Vol. 101. P. 075903.

113. Schwab K., et al. Measurement of the quantum of thermal conductance // Nature. 2000. Vol. 404. P. 974.

114. Stoltz G., Lazzeri M.. Mauri F. Thermal transport in isotopically disordered carbon nanotubes: a comparison between Green's functions and Boltzmann approaches // J. Phys.: Condens. Matter. 2009. Vol. 21. P. 245302.

115. Savin A.. Hu B.. Kivshar Y. Thermal conductivity of single-walled carbon nanotubes // Phys. Rev. B. 2009. Vol. 80. P. 195423.

116. Payton D., Rich M., Visscher W. Lattice thermal conductivity in disordered harmonic and anharmouic crystal models // Phys. Rev. 1967. Vol. 160. P. 706.

117. Jackson E., Pasta J.. Waters J. Thermal conductivity of one-dimensional lattices // J. Comput. Phys. 1968. Vol. 2. P. 207.

118. Proscn T., Campbell D. Momentum conservation implies anomalous energy transport in ID classical lattices // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 84. P. 2857.

119. Lepri S., Livi R., Politi A. Thermal conduction in classical low-dimensional lattices // Phys. Rep. 2003. Vol. 377. P. 1.

120. Dhar A. Heat transport in low-dimensional systems // Adv. Phys. 2008. Vol. 57. P. 457.

121. Matsuda H., Ishii K. Localization of Normal Modes and Energy Transport in the Disordered Harmonic Chain //' Suppl. Prog. Theor. Phys. 1970. Vol. 45. P. 56.

122. Narayan O., Ramaswamy S. Anomalous heat conduction in one-dimensional momentum-conserving systems // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 89. P. 200601.

123. Lepri S. Relaxation of classical many-body Hamiltonians in one dimension // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58. P. 7165.

124. Dhar A. Heat conduction in the disordered harmonic chain revisited // Phys. Rev. Lett. 2001. Vol. 86. P. 3554.

125. Casati G., Prosen T. Anomalous heal conduction in a one-dimensional ideal gas // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 67. P. 015203.

126. Lee-Dadswcll G.. Nickel B., Gray C. Thermal conductivity and bulk viscosity in quartic oscillator chains // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72. P. 031202.

127. Li B., Zhao H., Hu B. Can disorder induce a finite thermal conductivity in ID lattices? // Phys. Rev. Lett. 2001. Vol. 86. P. 63.

128. Dhar A.. Saito K. Heat conduction in the disordered Fermi-Pasta-Ulam chain // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 78. P. 061136.

129. Christodoulidi H., Efthymiopoulos C., Bountis T. Energy localization on q-tori. long-term stability, and the interpretation of Fermi-Pasta-Ulam recurrences '/ Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81. P. 016210.

130. Casati G., ct al. One-dimensional classical many-body system having a normal thermal conductivity // Phys. Rev. Lett. 1984. Vol. 52. P. 1861.

131. Hu B., Li B., Zhao H. Heat conduction in one-dimensional nonintegrable systems // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 61. P. 3828.

132. Sievcrs A., Page J. Dynamical Properties of Solids VII Phonon Physics The Cutting Edge // Ed. by G. Horton, A. Maradudin. Elsevier. Amsterdam, 1995.

133. Aubry S. Breathers in nonlinear lattices: existence, linear stability and quantization // Physica D. 1997. Vol. 103. P. 201.

134. Chaos. 2003. Vol. 13, no. 2.

135. Campbell D., Flach S., Kivshar Y. Localizing energy through nonlinearity and discreteness // Physics Today. 2004. - January. P. 43.

136. Flach S. Existence of localized exitations in nonlinear hamiltonian lattices // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 51. P. 1503.

137. Livi R., M M. S., MacKay R. Breathers on a diatomic FPU chain // Nonlinearity. 1997. Vol. 10. P. 1421.

138. James G. Existence of breathers on FPU lattices // C. R. Acad. Sci. Paris. Serie I. 2001. Vol. 332. P. 581.

139. Campbell D., Pcyrard M. CHAOS - Soviet-American Perspectives on Nonlinear Science // Ed. by D. Campbell. American Institute of Physics, New York, 1990.

140. Flach S. Obtaining breathers in nonlinear hamiltonian lattices // Phys. Rev. E. 1995. Vol. 51. P. 3579.

141. Marin J.. Aubry S. Breathers in nonlinear lattices: Numerical calculation from the anticontinuous limit // Nonlinearity. 1996. Vol. 9. P. 1501.

142. Tsironis G., Aubry S. Slow relaxation phenomena induced by breathers in nonlinear lattices // Phys. Rev. Lett. 1996. Vol. 77. P. 5225.

143. Bikaki A., et al. Energy relaxation in discrete nonlinear lattices // Phys.. Rev. E. 1999. Vol. 59. P. 1234.

144. Reiga.da R., Sarmiento A., Lindenberg K. Energy relaxation in nonlinear one-dimensional lattices // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. P. 066608.

145. Flach S., Willis C.. Olbrieh E. Integrability and localized excitations in nonlinear discrete systems // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 49. P. 836.

146. Flach S., Kladko K., Willis C. Localized excitations in two-dimensional lattices // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 50. P. 2293.

147. Flach S., Willis C. Nonlinear Exitations in Biomoleculcs // Ed. by M. Peyrard. Editions de Physique. Springer, Berlin, 1995.

148. Cretegny T., Aubry S., Flach S. ID Phonon Scattering by discrete breathers // Physica D. 1998. Vol. 119. P. 73.

149. Flach S., Miroshnichenko A., Fistul M. Wave scattering by discrete breathers // Chaos. 2003. Vol. 13. P. 596.

150. Frochlich J., Spencer T., Wayne C. Localization in disordered, nonlinear dynamical systems // J. Stat. Phys. 1986. Vol. 42. P. 247.

151. Evers F., Mirlin A. Anderson transitions // Rev. Mod. Phys. 2008. Vol. 80. P. 1355.

152. Krimer D., Flach S. Statistics of wave interactions in nonlinear disordered systems // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 82. P. 046221.

153. Jameson S. Maintaining the norm: T-eell homeostasis // Nature Rev. Immun. 2002. Vol. 2. R 547.

154. Freitas A., Roclia B. Lymphocyte lifespans: homeostasis, selection and competition // Immun. Today. 1993. Vol. 14. P. 25.

155. de Boer R.. Perelson A. Competitive control of the self-renewing T cell repertoire // Int. Immun. 1997. Vol. 9. P. 779.

156. Stirk E., Molina-Paris C., van den Berg H. Stochastic niche structure and diversity maintenance in the T cell repertoire //J. Theor. Biol. 2008. Vol. 255. P. 237.

157. Gillespie D. Stochastic simulation of chemical kinetics // Amiu. Rev. Phys. Chem. 2007. Vol. 58. P. 35.

158. Arstila T., ct, al. A direct estimate of the human ab T cell receptor diversity // Science. 1999. Vol. 286. P. 958.

159. Borghans .1., de Boer P.. Quantification of T-eell dynamics: from telomeres to DNA labeling // Immunol.Rev. 2007. Vol. 216. P. 35.

160. Blattman J., ct al. Estimating the precursor frequency of naive antigen-specific CD8 T colls // J. Exp. Med. 2002. Vol. 195. P. 657.

161. Bousso P. T-cell activation by dendritic cells in the lymph node: Lessons from the movies // Nat. Rev. Immun. 2008. Vol. 8. P. 675.

162. Rabinovich M.. Huerta R,., Laurent G. Transient dynamics for neural processing // Science. 2008. Vol. 321. P. 5885.

163. Abarbancl H., et al. Synchronisation in neural networks // YOH. 1996. T. 166. C. 363.

164. Osipov G.; Ни В., Zhou C. et al. Three types of transition to phase synchronization in eoupled chaotic oscillators // Phys. Rev. Lett. 2003. Vol. 91. P. 0241041.

165. Иванченко M.B. Синхронизация и образование структур в сложных осцилляторных ансамблях (колебания на нескольких временных масштабах, нерегулярная топология связи): Ph.D. thesis / Нижегородский государственный университет. 2007.

166. Afraimovich V., Rabinovich М., Varona P. Heteroclinie Contours in Neural Ensembles and the Winnerless Competition Principle / / Int. J. В if. Chaos. 2004. Vol. 14. P. 1195.

167. Hodgkin A., Huxley A. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve //J. Physiol. 1952. Vol. 117. P. 500.

168. Nowotny Т., Levi R., Sclvcrston A. I. Probing the Dynamics of Identified Neurons with a Data-Driven Modeling Approach // PLoS ONE. 2008. Vol. 3. P. e2627.

169. Pinto R.. Elson R., Sziics A. et al. Extended dynamic clamp: Controlling up to four neurons using a single desktop computer and interface // J. Neurosci. Meth. 2001. Vol. 108. P. 39.

170. Haken H. Synergetics. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1978.

171. Golubitsky M., Nicol M., Stewart I. Some curious phenomena in coupled cell networks // Journal of Nonlinear Science. 2004. Vol. 14, no. 2. Pp. 207236.

172. Abarbanel H., Rabinovich M., Sclvcrston A. et al. Synchronisation in neural networks /,/ Physics-Uspekhi. 1996. Vol. 39, no. 4. Pp. 337-362.

173. Watts D., Strogatz S. Collective dynamics of small-world networks // Nature. 1998. Vol. 393, no. 6684. Pp. 440 442.

174. Strogatz S. Exploring complex networks // Nature. 2001. Vol. 410, no. 6825. Pp. 268-276.

175. Bak P., Bak P. How nature works: the science of self-organized criticality. Copernicus New York, 1996.

176. Stauffer D. Sociophysics simulations II: opinion dynamics // Arxiv pieprint physics/0503115. 2005.

177. Kuo B. Automatic control systems. Prentice Hall PTR Upper Saddle River, NJ, USA, 1981.

178. Afraimovich V., Nekorkin V.. Osipov G.. Shalfeev V. Stability // Structures and Chaos in Nonlinear Synchronization Networks, World Scientific Pub. Co., Singapore. 1994.

179. Андропов, А.А.. Витт. А.А., Хайкип, C.E. Теория колебаний. Наука, 1981.

180. Mathew G., Mezic I., Pctzold L. A multiscale measure for mixing // Phys-ica D: Nonlinear Phenomena. 2005. Vol. 211. no. 1-2. Pp. 23-46.

181. Aranson I., Kramer L. The world of the complex Ginzburg-Landau equation // Rev. Mod. Phys. 2002. Vol. 74. P. 99.

182. Huerre P., Monkewitz P. Local and global instabilities in spatially developing flows // Aiinu. Rev. Fluid Mech. 1990. Vol. 22 P. 473.

183. Schatz M.. et al. Supercritical transition in plane channel flow with spatially periodic perturbations // Pliys. Rev. Lett. 1991. Vol. 66. P. 1579.

184. Babcock K.. Ahlers G.. Cannell D. Noise amplification in open Taylor-Couette flow // Phys. Rev. E. 1994. Vol. 50. P. 3670.

185. Otsuka K., Ikeda K. Cooperative dynamics and functions in a collective nonlinear optical element system // Phys. Rev. A. 1989. Vol. 39. P. 5209.

186. Ginzburg N., Pikovsky A.. Sergeev A. Randomization of electromagnetic radiation in the systems with convective instability of the electronic beam // Sov. J. Cominun. Tecnol. Electron. 1989. Vol. 34. P. 38.

187. Гапонов-Грехов A.B.. Рабинович М.И., Старобинец И.М. Дииамичс-ская модель пространственного развития турбулентности // Письма в ЖЭТФ. 1984. Т. 39. С. 561.

188. Kaneko К. Spatial Period-doubling in Open Flow // Phys. Lett. A. 1985. Vol. 111. P. 321.

189. Aranson I., Gaponov-Grekhov A.. Rabinovich M. The onset and spatial development of turbulence in flow systems // Physica D. 1988. Vol. 33. P. 1.

190. Willeboordse F., Kaneko K. Bifurcations and Spatial Chaos in an Open Flow Model // Phys. Rev. Lett. 1994. Vol. 73. P. 533.

191. Rudzick O.. Pikovsky A. The Unidirectionally Coupled Map Lattice as a Model for Open Flow Systems // Phys. Rev. E. 1996. Vol. 54. P. 5107.

192. Konishi K. Spatiotempora.1 stability and control of one-way open coupled Lorenz systems // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 65. P. 036203.

193. Ivanchenko M., Slialfecv V. Synchronization Regimes in the Chain of One-directionally Nonlocally Coupled Phase-Locked Loop Systems // Proc. Int. Conf. to the 100th Anniv. A. A. Andronov, Nizhny Novgorod, July 2-6, 2001, Univ. of Nizhny Novgorod 2002. 2002. P. 176.

194. Daido H. Generic scaling at the onset of macroscopic mutual entrainment in limit-cycle oscillators with uniform all-to-all coupling // Phys. Rev. Lett. 1994. Vol. 73. P. 760.

195. Strogatz S. Exploring complex networks // Nature. 2001. Vol. 410. P. 268.

196. Гергель В. П., Стропгии Р. Г. Основы параллельных вычислений для многопроцессорных вычислительных систем. Нижний Новгород: Изд-во ННГУ им. Н.И. Лобачевского, 2003.

197. Golowasch J. Characterization of a stornatogastric ganglion neuron. A Biophysical and a mathematical description.: Ph.D. thesis / Brandeis University. 1990.

198. Golowasch J.. Buchholtz F.. Epstein I., Marder E. Contribution of individual ionic currents to activity of a, model stornatogastric ganglion neuron // J. Ncurophysiol. 1992. Vol. 67. P. 341.