Структуры, волны и их взаимодействие в многослойных активных решетках тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.03, кандидат физико-математических наук Казанцев, Виктор Борисович

• Казанцев, Виктор Борисович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Казанцев, Виктор Борисович

Оглавление

1 Модели базовых элементов

2 Волновые движения в одномерной цепочке элементов Чуа

2.1 Модель

2.2 Профили стационарных волн

2.2.1 Система, описывающая профили бегущих волн

2.2.2 Свойства системы для бегущих волн (2.4)

2.2.3 Гомоклинические траектории

2.2.4 Гетероклинические траектории

2.2.5 Бифуркационные кривые

2.3 Траектории системы (2.4) - стационарные волны

2.4 Цепочка со взаимной связью [Бг = £>2 = -О)

2.4.1 Распространение импульсов и волновых фронтов

2.4.2 Волновые составы

2.4.3 Устойчивые и неустойчивые импульсы

2.5 Импульсы в цепочке с направленной связью (Их > £>2)

2.6 Цепочка как дискретный аналог среды типа "реакция-диффузия". Свойства бегущих волн

2.7 Неустойчивости бегущих импульсов

2.8 Взаимодействие импульсов. Автоволны или волны-частицы?

2.9 Выводы

3 Структуры и спиральные волны в двумерной решетке элементов Чуа

3.1 Модель

3.2 Образование пространственных структур. Регулярные и беспорядочные структуры

3.3 Спиральные волны

3.3.1 "Темные" и "светлые" спиральные волны возбудимого типа

3.3.2 Спиральные волны осцилляторного типа

3.3.3 Метастабильные осцилляции элемента решетки

как механизм образования спиральных волн

3.4 Выводы

4 Динамика двумерных многослойных решеток

4.1 Взаимная синхронизация пространственных

структур в двухслойной решетке бистабильных элементов

4.1.1 Структуры в одиночной решетке (слое)

4.1.2 Глобальная устойчивость многообразия синхронизации

4.1.3 Примеры синхронизации пространственных структур

4.2 Синхронизация и динамическое копирование в многослойной решетке бистабильных осцилляторов

4.2.1 Колебания в связанных решетках бистабильных осцилляторов

4.2.2 Динамическое копирование

4.2.3 Динамическое копирование в многослойной системе104

4.3 Структуры и спиральные волны в двухслойной решетке

элементов Чуа

4.3.1 Взаимная синхронизация движений между слоями

4.3.2 Синхронизация пространственных структур и динамическое копирование

4.3.3 Синхронизация спиральных волн. Переходы между волнами различных типов

4.3.4 Взаимодействие спиральной волны и пространственной структуры. Преодоление провала распространения

4.4 Выводы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Структуры, волны и их взаимодействие в многослойных активных решетках»

Введение

Исследование коллективного поведения систем, состоящих из большого числа взаимосвязанных упорядоченных в пространстве активных элементов - активных решеток, является актуальной проблемой современной радиофизики. Такие решетки представляют собой системы, состоящие из большого числа взаимодействующих, упорядоченных в пространстве, нелинейных активных подсистем - элементов. Взаимодействие элементов в сети может быть как локальным (взаимодействие только с ближайшими соседями), нелокальным (наличие связи с элементами, лежащими на некотором удалении в пространстве), так и глобальным (каждый элемент взаимодействует с каждым). Типы взаимодействия также могут варьироваться от достаточно простых (линейных), до очень сложных нелинейных каналов связи. Наличие распределенных в пространстве нелинейных активных элементов и взаимодействия между ними позволяет трактовать активную решетку как некоторую дискретную нелинейную распределенную среду с подкачкой внешней энергии [1-14].

Системы в виде активных решеток возникают, с одной стороны, непосредственно при описании поведения объектов, имеющих ярко выра-

женную решеточную или сетевую структуру. Это, например, массивы джозефсоновских контактов и сети связанных лазеров [15-20], взаимодействующие химические реакторы, нейронные ансамбли [21-23], сети синхронизованных генераторов и систем автоматического управления [24-28] и т.д. С другой стороны, активные решетки можно рассматривать как дискретные модели непрерывных неравновесных сред, изучение явлений и процессов в которых является фундаментальной задачей радиофизики. Здесь можно упомянуть, например, оптические волокна [29-32], гидродинамические среды [33-36], неравновесные химические реакции [37-40], нервные волокна [41-43] и др.

Несмотря на большое число элементов, которые и по отдельности могут обладать сложной собственной динамикой, за счет введения межэлементных связей активные решетки, обладают удивительным свойством - способностью к самоорганизации. Другими словами, в процессе собственной эволюции они способны производить когерентные пространственно-временные динамические структуры без специфического воздействия извне. Например - взаимная синхронизации колебаний связанных осцилляторов, образование неоднородных стационарных пространственных структур, когерентные волновые процессы, включающие фронты переключения и бегущие импульсы, спиральные и концентрические волны и др [6, 44-48].

В связи с бурным развитием современных электронных технологий, допускающих создание компактных электронных схем из боль-

шого количества активных единиц, динамика активных решеток вызывает широкий интерес и с прикладной точки зрения. В последние несколько лет начаты интенсивные работы по построению так называемых CNN (Клеточных Нейронных Сетей). CNN представляют собой большие массивы активных, тождественных или почти тождественных электронных элементов ("клеток"), объединенных с помощью межэлементных связей в единую систему. На базе CNN, которые уже имеют реализацию в виде интегральных электронных схем, разрабатываются системы распознавания и восстановления образов, кодирования и сжатия информации, коррекции ошибок, пространственно-временной селекции и т.д. [49, 50].

Таким образом, исследование динамики объектов в виде активных решеточных систем является актуальной и важной задачей радиофизики и имеет как фундаментальный, так и прикладной интерес.

До последнего времени наиболее хорошо были изучены системы с одномерной и двумерной геометрией и локальным типом связи -цепочки и плоские решетки, элементы которых устроены достаточно просто [7-9, 51-56, 66, 67, 83]. Основное внимание исследователей уделялось явлениям формирования пространственных структур, нелинейным волновым процессам, включающим фронты переключения и провал распространения волн в бистабильных системах, бегущие импульсы в возбудимых системах, спиральные и концентрические волны. В решетках, элементы которых обладают колебательными свойства-

ми исследовались явления глобальной пространственной синхронизации колебаний, регулярных по пространству и хаотических во времени движений. Цепочки и решетки, составленные из элементов со сложной собственной динамикой были изучены сравнительно мало. Однако здесь, за счет существенного увеличения числа степеней свободы, можно ожидать появления новых, нетривиальных эффектов в коллективной динамике системы, образования динамических структур и волн с новыми свойствами. Активные решетки с более сложной архитектурой, имеющие трехмерную геометрию, начали интенсивно изучаться только в последнее время. Как и в случае усложнения локального элемента решетки, усложнение ее архитектуры может привести к появлению новых типов движений в системе. Одним из путей перехода от двумерной геометрии к трехмерной является изучение систем с ярко выраженной слоистой структурой, т.е. решеток, состоящих из нескольких взаимодействующих подсистем - слоев. Модели такого рода также используются в задачах информационной обработки пространственных образов, где строятся решетки состоящие из входного слоя, нескольких промежуточных, и выходного слоя, содержащего обработанный образ. В таких системах взаимодействие между слоями - чаще всего однонаправленное: вход —> вспомогательный слой —» выход, и обработка организуется за счет определенной логики построения межрешеточных связей, а не за счет коллективного поведения решетки как динамической системы [50, 57].

В настоящей работе рассматриваются активные решетки как с достаточно простой (цепочка, квадратная решетка) архитектурой, однако, состоящие из элементов, обладающих сложной собственной динамикой, так и решетки, имеющие многослойную (трехмерную) архитектуру. В качестве базовых элементов последней выступают бистабиль-ная ячейка (триггер), бистабильный осциллятор (генератор в жестком режиме возбуждения) и осциллятор Чуа - элемент, обладающий в зависимости от параметров разнообразным динамическим поведением - от простых бистабильных режимов и периодических колебаний до хаотических аттракторов. Использование в решетке того или иного базового элемента определяется спецификой исследуемого явления. Взаимодействие между элементами - локальное, диффузионного типа, что позволяет трактовать активную решетку как дискретный аналог неравновесной среды типа "реакция-диффузия".

Работа организована следующим образом.

В главе 1 представлен краткий обзор используемых базовых элементов.

Глава 2 посвящена динамике нелинейных волн в одномерной активной решетке - цепочке взаимодействующих элементов Чуа. Показано, что в такой системе существует большое разнообразие волновых движений, включая устойчивое распространение одно- и много-горбых импульсов, волновых фронтов, а также волновых составов, состоящих из произвольных (хаотических) импульсных последователь-

ностей. Профили этих волн определяются ограниченными траекториями вспомогательной системы обыкновенных дифферкнциальных уравнений четвертого порядка. Проводится исследование гомо- и гете-роклинических бифуркаций в этой системе. Изучаются эффекты взаимодействия импульсов при столкновении.

В главе 3 изучается динамика двумерной решетки элементов Чуа. Исследуется явление формирования стационарных пространственных структур. Опираясь на результаты, полученные в главе 2, изучаются волновые процессы в решетке. В частности, описывается новый механизм возникновения спиральных волн осцилляторного типа, обсуждается явление мультистабильности спиральных волн различных типов.

В главе 4 изучается динамика взаимодействующих квадратных решеток, состоящих из двух и более слоев. Получены условия полной взаимной синхронизации движений между слоями. Подробно изучаются эффекты межслойного взаимодействия стационарных пространственных структур и спиральных волн. Исследуется явление динамического копирования регулярных пространственных структур. Дается объяснение этого явления с точки зрения нелинейной динамики, приводятся его количественные характеристики. Обсуждается вопрос об использовании динамического копирования для эффективного кодирования информации.

Теоретическая и практическая значимость результатов

В работе исследованы процессы формирования пространственных

структур и различных типов нелинейных волн в активных решетках с многослойной архитекртурой, состоящих из элементов с бистабиль-ными, возбудимыми и колебательными свойствами.

Проведенные исследования позволяют дать практические рекомендации по выбору того или иного типа базового элемента и архитектуры решетки, а также значения параметров для реализации конкретного режима функционирования системы, организации той или иной пространственной структуры, возбуждения волны определенного типа, осуществления тех или иных функций по преобразованию, копированию и обработке данной структуры или волны в многослойной системе. Результаты диссертации могут быть полезными при изучении нелинейных явлений в решеточных системах с различной отраслевой принадлежностью, элементы которых обладают бистабильными, возбудимыми и колебательными свойствами. Обсуждается также вопрос по применению многослойных решеток, для различных функций обработки, кодирования и передачи информации. Полученные результаты использованы в учебном процессе на радиофизическом факультете ИНГУ.

Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на: семинарах кафедры теории колебаний ННГУ, научных конференциях ННГУ (1996-1998 гг.), сессиях молодых ученых (Нижний Новгород 1996-1998 гг.), международных симпозиумах: Int. Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA) (Las Vegas,

USA 1995; Grans-Montana, Switzerland 1998; Int. Specialist Workshop Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES) (Севилья, Испания 1996; Москва 1997); Conference on Control of Oscillations and Chaos (Санкт-Петербург, 1997); Conference on Contemporary Problems in Theory of Dynamical Systems (Нижний Новгород, 1996); Int. Workshop on transmission and signal processing in nonlinear electronics and optics (Ди-жон, Франция 1998); Международная Школа-Семинар "Дни Нелинейной Динамики в Нижнем Новгороде-98" (Нижний Новгород, 1998); International Workshop on Synchronization, Pattern Formation and SpatioTemporal Chaos in Coupled Chaotic Oscillators (Сантиаго де Компостел-ло, Испания 1998); 5th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CHAOS 98) (Саратов 1998).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [73]-[99].

Заключение диссертации по теме «Радиофизика», Казанцев, Виктор Борисович

4.4 Выводы

В этой главе проведено исследование процессов взаимодействия и синхронизации стационарных пространственных структур и спиральных волн в активных решетках состоящих из двух и более решеточных слоев.

• Доказана межслойная синхронизация движений в многослойных решетках для всех трех типов базовых элементов. В двухслойной решетке бистабильных ячеек этот эффект выражается в синхронизации статических пространственных структур; в решетке бистабильных осцилляторов - в синхронизации стационарных амплитудных распределений синфазных колебаний; в решетке элементов Чуа - в синхронизации как пространственных структур, так и волновых движений - спиральных волн различных типов.

• Обнаружен эффект динамического копирования пространственных образов - устойчивых стационарных структур в решетке. Этот эффект выражается в синхронизации регулярной структуры (стимула) в одном из слоев и пространственно беспорядочных (неорганизованных) структур в остальных слоях, в результате которой конечное состояние системы достаточно точно копирует (воспроизводит) ключевые черты исходного образа (стимула).

• Выделены общие требования требования к базовому элементу и величине связей, необходимые для динамического копирования.

Они включают: бистабильность базового элемента, малый коэффициент связи внутри слоев и сильное взаимодействие между слоями. Показано, что в основе копирования лежит механизм конкуренции состояний двух взаимодействующих бистабильных элементов.

• Рассмотрены характеристики качества копирования для двух- и трехслойной решеток бистабильных осцилляторов. Показано, что они носят резонансный характер. Определены параметры для наилучшего качества копирования.

• Показана возможность выделения контура объекта при динамическом копировании и использования этого явления для эффективного сжатия информации за счет самоорганизации активной решетки.

• Рассмотрены эффекты взаимодействия спиральных волн различных типов в двухслойной решетке осцилляторов Чуа. Обнаружено, что межслойное взаимодействие приводит к изменению динамических свойств дискретной среды, переводя ее из возбудимого режима в колебательный и обратно.

• При взаимодействии решеток с различными коэффициентами диффузии внутри слоя, межслойная синхронизация позволяет преодолеть провал распространения волн в одном из слоев, вызванный высокой мультистабильностью статических структур.

Заключение

В настоящей диссертационной работе проведено исследование процессов структурообразования, динамики нелинейных волн и их взаимодействий в активных решетках с простой (цепочка, плоская решетка) и сложной многослойной архитектурой. В качестве базовой единицы активной решетки выбирались элементы с различной собственной динамикой (бистабильная ячейка, бистабильный осциллятор, элемент Чуа). К наиболее важным и интересным, как с фундаментальной, так и с прикладной точки зрения, можно отнести следующие результаты.

1. В одномерной цепочке элементов Чуа изучена динамика уединенных волн, включая устойчивое распространение одно- и многогор-бых импульсов, волновых фронтов, а также волновых составов, состоящих из произвольных (хаотических) последовательностей бегущих импульсов. Профили этих волн описываются вспомогательной системой обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого порядка. Исследование гомо- и гетероклинических бифуркаций в этой системе позволило получить параметры, отвечающие существованию в цепочке импульсов и волновых фронтов того или иного типа, а также определить некоторые характеристики этих волн, включая зависимость скорости их распространения от коэффициента связи. Численное моделирование цепочки показало эволюционную устойчивость широкого класса волновых решений.

2. Изучение взаимодействия импульсов при столкновении показало наличие новых эффектов, обусловленных сложной собственной динамикой базового элемента. В частности, в зависимости от управляющего параметра импульсы ведут себя либо как классические автоволны в системах "реакция-диффузия", поглощаясь на границах и исчезая при столкновении, либо как диссипатив-ные солитоны, отражаясь от границы и при столкновении друг с другом. Кроме того, импульсы в такой цепочке могут взаимодействовать и более сложным образом, например, возбуждая дополнительную пару импульсов при столкновении.

3. Изучена динамика структурообразования и механизмы существования спиральных волн в одиночной двумерной решетке элементов Чуа. При малом коэффициенте связи между элементами решетка демонстрирует высокую мультистабильность статических структур, что обуславливает явление провала распространения волн. При увеличении коэффициента связи в решетке при одних и тех же параметрах существует несколько типов различных спиральных волн. К ним относятся возбудимые спиральные волны "темного" и "светлого" профиля и спиральные волны осцилляторного типа. Описан новый механизм образования спиральных волн осцилляторного типа в решетке, элементы которой не имеют предельного цикла, но обладают метастабильной колебательной активностью.

4. Доказана межслойная синхронизация движений в многослойных решетках для всех трех типов базовых элементов. Обнаружен эффект динамического копирования пространственных образов, содержащихся в слое решетки в виде устойчивой стационарной структуры. Этот эффект выражается в синхронизации регулярной структуры (стимула) в одном из слоев и пространственно беспорядочных (неорганизованных) структур в остальных слоях решетки, в результате которой конечная структура достаточно точно копирует (воспроизводит) ключевые черты исходного образа (стимула). Описан механизм, объясняющий этот эффект с точки зрения конкуренции состояний.

5. Показана возможность выделения контура объекта при динамическом копировании и использования этого явления для эффективного сжатия информации -за счет самоорганизации активной решетки.

6. Рассмотрены эффекты взаимодействия спиральных волн различных типов в двухслойной решетке осцилляторов Чуа. Обнаружено, что межслойное взаимодействие приводит к изменению динамических свойств дискретной среды, переводя ее из возбудимого режима в колебательный и обратно. Показана возможность преодоления провала распространения волн в одном из слоев за счет эффекта межслойной синхронизации.

Благодаря выбору разнообразных базовых единиц активной решетки и различной ее архитектуре установленные в работе закономерности динамики и взаимодействия пространственно-временных структур позволяют фактически формировать решетки с заданными макрохарактеристиками, т.е. демонстрирующие тот или иной режим коллективного поведения. Все эффекты, описанные в работе, изучены с точки зрения их существования и устойчивости, что позволят говорить о надежности активных решеток для моделирования того или иного эффекта. В работе также обсуждаются возможности прикладного использования таких систем, в частности для транспорта информации в виде посылок уединенных волн и сжатия информации о пространственном объекте за счет эффекта выделения контура.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Казанцев, Виктор Борисович, 1999 год

Литература

[1] Арансон И.С., Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М.И., Рогальский A.B., Сагдеев Р.В. Решеточные модели в нелинейной динамике неравновесных сред // Препринт N. 163. -Горький: ИПФ АН СССР 1987. 24 С.

[2] Нелинейные волны. Структуры и бифуркации / Под ред. A.B. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича -М.: Наука. 1987. 398 С.

[3] Bunimovich L.A., Sinai Ya.G. Space-time chaos in coupled map lattices // Nonlinearity. 1988. Vol. 1. P. 581.

[4] Kaneko K. Spatiotemporal chaos in one and two-dimensional coupled map lattices // Physica D. 1989. Vol. 37. P. 60.

[5] Белых В.H., Веричев H.H. О динамике взаимосвязанных ротаторов // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1988. N. 6.

[6] Трубецков Д.И. Колебания и волны для гуманитариев // Саратов: Колледж, 1997.

[7] Афраймович B.C., Некоркин В.И. Устойчивые стационарные движения в цепочке диффузионно связанных отображений // Препринт N. 303. -Горький: Изд-во ИПФ АН СССР 1991. 18 С.

[8] Афраймович B.C., Некоркин В.И. Устойчивые состояния в цепочечных моделях неограниченных неравновесных сред // Мат. Моделирование. 1992. Т. 4, N. 1. С. 83-95.

[9] Nekorkin V.I., Chua L.O. Spatial disorder and wave fronts in a chain of coupled Chua's circuits // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1993. Vol. 3. PP. 1281-1291.

[10] Астахов В.В., Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Селезнев Е.П. Особенности возникновения квазипереодических движений в системе диссипативно связанных нелинейных осцилляторов под внешним переменным воздействием // Письма в ЖТФ. 1988. Т. 14. N. 1. С. 37-41.

[11] Астахов В.В., Безручко Б.П., Пономаренко В.П., Селезнев Е.П. Квазиоднородные стохастические движения и их разрушение в системе связанных нелинейных осцилляторов // Изв. ВУЗов, Радиофизика. 1988. Т. 31. С. 627-630.

[12] Астахов В.В., Безручко Б.П., Гуляев Ю.В., Селезнев Е.П. Муль-тистабильность состояний диссипативно связанных фейгенбау-мовских систем // Письма в ЖТФ. 1989. Т. 15. N. 3. С. 60-65.

[13] Astakhov V.V., Anishenko V.S., Shabunin A.V. Controlling spatiotemporal chaos in a chain of the coupled logistic maps // IEEE Trans, on Circuits and Systems I. 1995. V. 42. N. 6. P. 352-357.

[14] Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Критичность динамики решетки связанных отображений у порога хаоса // Изв. ВУЗов, Радиофизика. 1991. Т. 34. N. 10-12 С. 1079-1115.

[15] Лихарев К.К., Ульрих Б.Т. Системы с джозефсоновскими контактами. -М.: Изд-во МГУ 1978. 446 С.

[16] Лихарев К.К., Головашкин А.И. Эффект Джозефсона и его применение. -М.: Наука. 1983. 222 С.

[17] Strogatz S.H., Mirollo R.E. Splay states in globally coupled Josephson arrays: Analytical prediction on Floquet multipliers // Phisical Review E, 1993, vol. 47, N.l, PP. 220-227.

[18] Логинов A.C., Ржанов А.Г., Еленский В.Г. Многоэлементные полупроводниковые лазеры // Зарубежная радиоэлектроника, 1986, N. 8, С. 49-64.

[19] Winful H.G., Rahman L. Synchronized Chaos and Spatiotemporal Chaos in Arrays of Coupled Lasers // Physical Review Letters, 1990, Vol. 65, N. 13, PP. 1575-1578.

[20] Otsuka K. Self-Induced Phase Turbulence and Chaotic Itenerancy in Coupled Laser Systems // Physical Review Letters, 1990, Vol. 65, N. 3, PP. 329-332.

[21] Борисюк Г.Н., Борисюк PH., Казанович Я.Б., Лузянина Т.Б., Ту-рова Т.С., Цембалюк Г.С. Осцилляторные нейронные сети. Мате-

матика и приложения // Математическое моделирование. 1992, Т. 4, N 1, 65-77 С.

[22] Абарбанель Г.Д.И., Рабинович М.И., Селверстон А., Баженов М.И., Хуэрта Р., Сущик М.М., Рубчинский JI.JI. Синхронизация в нейронных ансамблях // УФН, 1996, Т. 166, N. 4, С. 363-390.

[23] Murray J.D. Mathematical Biology. -Springer: Berlin. 1993. 767 P.

[24] Капранов M.B. Взаимодействующие многосвязные СФС // Системы фазовой синхронизации / Под ред. Шахгильдяна В.В., Бе-люстиной JT.H. -М.: Радио и связь, 1982, С. 55-73.

[25] Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации / Афрамович B.C., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. -Горький: Изд-во ИПФ АН СССР, 1989, 254 С.

[26] Ermentrout G.B. The behavior of rings of coupled oscillors //J. Math. Biology, 1985, Vol. 23, PP. 55-74.

[27] Гуртовник A.C., Неймарк Ю.И. Синхронизмы в системе циклически слабосвязанных осцилляторов // Динамика систем: Динамика и управление, сб. науч.тр. под ред. Ю.И. Неймарка -Н.Новгород, гос. ун-т, 1991, С. 84-97.

[28] Дмитриев A.C., Кислов В.Я. Стохастические колебания в радиофизике и электронике // Москва: Наука. 1989.

[29] Хаус X. Волны и поля в опто-электронике. - М.: Мир, 1988 (пер. с англ. под ред. К.Ф. Шипилова).

[30] Агравал Г. Нелинейная волновая оптика. - М.: Мир, 1996 (пер. с англ. под ред. П. В. Малышева).

[31] Hasegawa A., Kodama Y. Solitons in Optical Communications. Oxford: Oxford Univ. Press, 1995.

[32] Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. // Советское радио, 1977. 368 е..

[33] Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн -М.: Наука. 1984. 432 С.

[34] Нелинейные волны. Самоорганизация. / Под. ред. A.B. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича -М.: Наука. 1983. 264 С.

[35] Нелинейные волны. Динамика и эволюция. / Под. ред. A.B. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича -М.: Наука. 1989. 398 С.

[36] Saarloos W. and Hohenberg P.C., Fronts, pulses, sources and sinks in generalized complex Ginzburg-Landau equation // Physica D, 1992, Vol. 56, pp. 303-367.

[37] Жаботинский A.M., Концентрационные автоколебания // M.: Наука. 1974. 250 С.

[38] Kuramoto Y. Chemical Oscillaions, Waves and Turbulence. Springer, New York, 1984.

[39] Полак JI.С., Михайлов А.С. Процессы самоорганизации в физико-химических системах. -М.: Наука, 1983, 115 С.

[40] Колебания и бегущие волны в химических системах / под ред. Филда Р., Бургер М. -М.: Мир, 1988, 720 С.

[41] Кринский В.И., Медвединский А.Б., Панфилов А.В. Эволюция автоволновых вихрей // Математика и Кибернетика. 1986. Т.8.

[42] Hodgkin A.L., Huxley A.F. A. quantative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // J. Physiology, 1952, Vol. 117, pp. 500-544.

[43] Panfilov A.V., Holden A.V. Vortices in a system of two coupled excitable fibers // Phys. Lett. A., 1990, Vol. 147, pp. 463-466.

[44] Crick F., Life Itself. Its origin and nature, N.Y., Simon and Shuster, 1981.

[45] Nicolis G., Prigozhin I., Self-Organization in Non-Equilibrium Systems, N.Y., Wiley, 1977.

[46] Haken H., Synergetics, 3rd Edition, Berlin, Springer-Verlag, 1983.

[47] Хакен Г. Информация и самоорганизация. Макроскопический подход к сложным системам. - М.: Мир, 1991

[48] Evolution from molecules to men (edited by D.S. Bendall), Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1983.

[49] Журнал IEEE Trans. Circ. Syst., 1995, Vol. 42.

[50] CNN A'96 // 1996 Fourth IEEE International Workshop on Cellular Neural Networks and their Applications Proceedings, Sevilla, Spain, 1996.

[51] Nekorkin V.I., Makarov V.A. Spatial chaos in a chain of coupled bistable oscillators // Physical Review Letters. 1995. Vol. 74, N. 24. PP. 4819-4822.

[52] Sushchik M.M., Osipov G.V. Coherent structures in coupled chains of self-excited oscillators // Physics Letters A, 1995, N. 201, PP. 205-212.

[53] Ermentrout G.B., Kopell N. Frequency plateaus in a chain of weakly coupled oscillators // SIAM Journal Math. Anal. 1984, Vol. 15, pp. 215-237.

[54] Golomb D., Hansel D., Shraiman В., Sompolinsky H. Clustering in globally coupled phase oscillators // Physical Review A, 1992, Vol. 45, N. 6, pp. 3516-3530.

[55] Рабинович М.И., Фабрикант A.JI., Цимринг Л.Ш. Конечномерный пространственный беспорядок , УФН, 1992, т. 162, N. 8.

[56] Afraimovich V.S., Ezersky А.В., Rabinovich M.I., Shereshevsky М.А., Zheleznyak A.I., Physica D 58 (1992) 331.

[57] Linsker R., // Annu. Rev. Neurosci., 1990, Vol. 13, 257.

[58] Marquie P., Binczak S., Comte J.C., Michaux B. and Bilbault J.M. Diffusion effects in a nonlinear electrical lattice // Phys. Rev. C. 1998.

[59] Madan R.N. / Editor. Chua's circuit: a Paradigm for Chaos. Singapore: World Scientific, 1993.

[60] Шильников Jl.П. Новый тип бифуркации в многомерных динамических системах // Математический сборник. 1969. Т. 10. С. 1368.

[61] Шильников Л.П. К вопросу о расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Математический сборник. 1970. Т. 10. С. 91.

[62] Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы, М.: Наука, 1987. 240 с.

[63] Keener J.P. Propagation and its failure in coupled systems of discrete excitable cells // SIAM J. Appl. Math. 1987, Vol. 47, p. 556.

[64] Tu P.N.V. Dynamic Systems. An Introduction with Applications in Economics and Biology, Berlin, Springer-Verlag, 1994.

[65] Horn R., Johnson V. Matrix analysis, Cambridge, Cambridge University Press, 1986.

[66] Perez-Munuzuri A., Perez-Munuzuri V., Perez-Villar V., Chua, L.O. Spiral waves on a 2-D array of nonlinear circuits // IEEE Trans. Circuits Syst. 1993, Vol. 40, No. 11, pp. 872-877.

[67] Pivka L. Autowaves and Spatio-Temporal Chaos in CNNs - Part I,II // IEEE Trans. Circ. Syst. 1995, Vol. 42, No. 10, pp. 638-664.

[68] Dellnitz M., Golubitsky M., Hohmann A. and Stewart I. // Int. J.Bifurc. Chaos 1995, Vol. 5, 1995, p. 1487.

[69] Winfree A. T. The Geometry of Biological Time. -Berlin: Springer, 1980.

[70] Palmer A., Brindley J. and Holden A.V. Initiation and stability of reentry in two coupled excitable fibers // Bull. Math. Biology, 1992, Vol. 54, No. 6, p. 1039.

[71] Perez Marino I., de Castro M., Perez-Munuzuri V., Gomez-Gesteira M., Chua L.O. and Perez-Villar V. Study of reentry initiation in coupled parallel fibers // IEEE Trans. Circ. Syst., 1995, Vol. 42, pp. 665-671.

[72] Арнольд В.И. (Ред.) Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, (ВИНИТИ, Москва), 1986, т. 5.

[73] Казанцев В.В. Пространственный беспорядок, структуры и волны в цепочках взаимосвязанных осцилляторов Чуа // Тез. докл. Научной конференции по радиофизике, Н. Новгород, 1996, с. 13.

[74] Kazantsev V.B. Pattern synchronization and replication of form in two coupled lattices of bistable elements // Тезисы докладов научной конференции по радиофизике, посвященной 95-летию со дня рождения М.Т. Греховой / Нижний Новгород, 7 мая, 1997, сс. 43-44.

[75] Казанцев В.Б. О синхронизации во взаимодействующих решетках бистабильных элементов // Тезисы докладов 2-ой Нижегородской Сессии Молодых Ученых, 21-25 апреля 1997 г., Нижний Новгород, с. 74.

[76] Nekorkin V.I., Kazantsev V.B., Chua L.O. Solitons in a chain of coupled Chua's circuits // Abstracts of the Second Int. Scientific School-Seminar Dynamic and Stochastic Wave Phenomena / Nizhny Novgorod, 1994, p. 97.

[77] Nekorkin V.I., Kazantsev V.B. Spatio-temporal dynamics of a one-dimensional array of Chua's circuits // Proceedings 1995 Int. Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA 95), Las Vegas, USA, December 10-14, 1995, pp.591-594.

[78] Nekorkin V.I., Kazantsev V.B., Rulkov N.F., Velarde M.G. and Chua L.O. Homo clinic Orbits and Solitary Waves in a One-Dimensional Array of Chua's Circuits, IEEE Trans, on Circ. Syst., 1995, Vol. 42, No. 10, pp. 785-791.

[79] Nekorkin V.I., Makarov V.A., Kazantsev V.B., Velarde M.G. Ordered and spatially chaotic patterns in lattice electronic systems // Proc. Fourth Int. Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems, Seville, Spain, June 27-28, 1996, PP. 207-212.

[80] Nekorkin V.I., Kazantsev V.B., Velarde M.G. Travelling waves in a circular array of Chua's circuits // Int. J. Bifurc. Chaos, 1996. Vol. 6. P. 4734.

[81] Некоркин В.И., Макаров В.А., Казанцев В.Б. Пространственный беспорядок в решетках связанных бистабильных систем // Вестник Нижегородского ун-та. Нелинейная динамика - синхронизация и хаос / Под ред. М.И. Рабиновича. Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1996, с. 61-76.

[82] Nekorkin V.I., Makarov V.A., Kazantsev V.B. Patterns and Wave Fronts in Gradient Lattice Systems // Abstracts of International Conference on Contemporary Problems in Theory of Dynamical Systems / N.Novgorod, Russia 1996, P. 41.

[83] Nekorkin V.I., Makarov V.A., Kazantsev V.B., Velarde M.G. Spatial disorder and pattern formation'in lattices of coupled bistable systems // Physica D, 1997, Vol. 100, pp. 330-342.

[84] Некоркин В.И., Казанцев В.Б., Velarde M.G. Динамическое копирование в многослойных бистабильных решетках // Известия

вузов. Прикладная Нелинейная Динамика, 1997, т. 5, N 5, сс. 56-68.

[85] Nekorkin V.I., Kazantsev V.B., Velarde M.G. Mutual synchronization of two lattices of bistable elements // Phys. Lett. A, 1997, Vol. 236, pp. 505-512.

[86] Velarde M.G., Nekorkin V.I., Kazantsev V.B. and Ross J. The emergence of form by replication // Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1997, Vol. 94, pp. 5024-5027.

[87] Nekorkin V.I., Kazantsev V.B., Velarde M.G. Patterns and waves ininteracting lattice bistable systems // Proceedings 5 th Int. Specialist Workshop Nonlinear Dynamics of Electronic Systems, June 26-27, 1997, Moscow, Russia, pp. 324-329.

[88] Nekorkin V.I., Kazantsev V.B., Artyuhin D.V. Mutual synchronization of patterns and wave fronts in two coupled chains of Chua's circuits // 1997 1st International Conference on Control of Oscillation and Chaos / Proceedings Edited by F. L. Chernonsko, A.L. Fradkov , 1997, vol. 1, pp. 54-57.

[89] Kazantsev V.B., Nekorkin V.I., Velarde M.G. Pulses, fronts and chaotic wave trains in a one-dimensional Chua's lattice // Int. J. Bifurc. Chaos., 1997, Vol. 7, No. 8, pp. 1775-1790.

[90] Казанцев В.Б., Некоркин В.И. Информационный транспорт в активных электронных волокнах. Часть I. Уединенные волны //

Известия вузов. Прикладная Нелинейная Динамика, 1998, т. 6, N 3, сс. 49-66.

[91] Казанцев В.Б., Некоркин В.И. Информационный транспорт в активных электронных волокнах. Часть II. Волокно-система "реакция-диффузия", // Известия вузов. Прикладная Нелинейная Динамика, 1998, т. 6, N 3, сс. 67-73.

[92] Nekorkin V.I., Kazantsev V.B., Rabinovich M.I., Velarde M.G. Controlled disordered patterns and information transfer between coupled neural lattices with oscillatory states // Phys. Rev. E, 1998, Vol. 57, No. 3, pp. 3344-3351.

[93] Nekorkin V.I., Kazantsev V.B., Velarde M.G. Replication of patterns and controlled spiral waves in coupled lattices of Chua's circuits // Proceedings 1998 Int. Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA 98), Grans-Montana, Switzerland, Sept. 1417, 1998, pp. 315-316.

[94] Nekorkin V.I., Kazantsev V.B., Velarde M.G. and Chua L.O. Pattern interaction and spiral waves in a two-layer system of excitable units // Phys. Rev. E, 1998, Vol. 58, No. 2, pp. 1764-1773.

[95] Kazantsev V.B., Nekorkin V.I,, Velarde M.G. Pulse propagation in a discrete active electronic fiber // Abstracts of 5th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CHAOS 98) / Saratov, Russia, October 6-10, 1998, c. 31.

[96] Nekorkin V.I., Kazantsev V.B., Velarde M.G. Patterns, waves and their replication in multi-layer active lattice systems // Abstracts of 5th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CHAOS 98) / Saratov, Russia, October 6-10, 1998, cc. 44-45.

[97] Kazantsev V.B., Nekorkin V.I., Artyuhin D.V., Velarde M.G. Waves and their reentries in the system of two coupled electronic fibers // Abstracts of 5th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CHAOS 98) / Saratov, Russia, October 6-10, 1998, c. 32.

[98] Казанцев В.В., Некоркин В.И., Велардэ М.Г. Модель нейрона с осцилляторной активностью ниже порога возбуждения // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1998, N 12.

[99] Казанцев В.В., Артюхин Д.В., Некоркин В.И. Динамика импульсов возбуждения в двух связанных нервных волокнах // Изв. ВУЗов, Радиофизика, 1998, N 12.