Гиперболический параметр сеток с весами и его применение тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, кандидат наук Добровольский Николай Николаевич

• Добровольский Николай Николаевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Добровольский Николай Николаевич

5.1 Граничные функции

5.2 Оператор взвешенных сеточных средних и разбиение Коробова

5.3 Обобщенные равномерные сетки и явный вид граничной функции

С(х 1,х2)

Заключение

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гиперболический параметр сеток с весами и его применение»

Актуальность темы исследования

Исследования, связанные с изучением теоретико-числовых сеток, имеют, как теоретическое значение, так и практическое значение. Одной из классических задач теории чисел, важной для приближенного анализа, является вычисление отклонений сеток, характеризующих меру их равномерной распределенности в единичном ^-мерном кубе, В начале прошлого века для изучения вопросов равномерного распределения Г, Вейль [27] разработал аппарат тригонометрических сумм сеток. Позднее в работах Н, М, Коробова [13] — [18] тригонометрические суммы использовались для оценки погрешности интегрирования и интерполирования с использованием теоретико-числовых сеток.

Норма линейного функциона погрешности приближенного интегрирования на классе Е'^ выражается через гиперболическую дзету-функцию сеток, В случае параллелепипедальных сеток гиперболическая дзета-функция сеток совпадает с гиперболической дзета-функцией решёток. Общая оценка величины гиперболической дзета-функции решёток по теореме Бахвалова — Коробова дается через величину гиперболического параметра решётки. Поэтому актуально найти аналог гиперболического параметра решёток для сеток и получить аналог теоремы Бахвалова — Коробова для гиперболической дзета-функции сеток. Таким образом, качество сеток можно будет оценить в зависимости от гиперболического параметра сеток.

Вычисление погрешностей квадратурных и интерполяционных формул с теоретико-числовыми сетками и запись этих формул в удобном виде имеют уже и практическое значение при программной реализации соответствующих

алгоритмов.

Нахождение наихудших функций относительно погрешности интегрирования (граничных функций классов) для различных сеток является важной задачей, поставленной II. \ I. Коробовым, и её решение можно использовать при построении соответствующих алгоритмов.

Степень её разработанности

Впервые гиперболическая дзета-функция сеток появилась в 1957 году в работе Н, М, Коробова [12], с которой ведется отсчет истории создания теоретико-числового метода. Сам термин появился гораздо позже в 2001 году в работе [10], и в более общем виде определение гиперболической дзета-функции сеток дается в работе [3], Такая ситуация объясняется логикой развития теоретико-числового метода в приближенном анализе.

На первом этапе его развития к задачам интегрирования периодических функций многих переменных применялись известные результаты из теории чисел о тригонометрических суммах. После введения в 1959 году Н, М, Коробовым параллелепипедальных сеток и понятия оптимальных коэффициентов стали выделяться собственно актуальные задачи теории чисел, решение которых требовалось для развития метода оптимальных коэффициентов.

Прежде всего заметим, что появление метода тригонометрических сумм при анализе вопросов численного интегрирования стало возможным благодаря выделению Н, М, Коробовым класса периодических функций с быстро убывающими коэффициентами кратного ряда Фурье,

В работе рассматриваются следующие классы периодических функций: А2,

£2.

А2 - класс периодических функций / (х1, х2) с периодом 1 по каждой переменной и абсолютно сходящимся рядом Фурье

/(х1,х2)= ^ С(т1,т2)е2т{т1Х1+т2Х2), ^ |С(т1 ,Ш2)| < те.

На пространстве А2 рассмотрим норму

||f (x1,x2)||A2 = y1 |C (m1,m2)|

mi ,m2=-M

относительно которой A2 сепарабельное банохово пространство, изоморфное пространству /2,1 комплекснозначных функций на фундаментальной решётке Z2 со сходящимся рядом из модулей значений,

В пространстве периодических функций A2 выделяется класс более гладких функций, определяемый следующими условиями на коэффициенты Фурье, Пусть f (x1,x2) G A2. Функция f (x1,x2) G тогда и только тогда, когда для ее коэффициентов Фурье

1 1

C(mum2) = J j f (X1,x2)e-2m(mixi+m2x2)dx1dx2 0 0

выполнено условие

sup |C(m1, m2)|(m1m2)2 < ro m ez2

где для любого вещественного m полагается m = max{1, |m|}. На классе рассмотрим две эквивалентные нормы:

||f(X)||e2 = sup |C(m1,m2)|(m1m2) и (1)

m ez2

||f(Х)||е|,с1 = sup |C(m1,m2)|(C1m1C1m2) . (2)

m ez2

Класс функций с нормой (1) будем обоз начать а с нормой (2) — E|(-, C1), Пространства Ef и C1) — несепарабельные банаховы пространства, изоморфные пространству — ограниченных комплекснозначных функций на фундаментальной решётке Z2, которое в силу счётноети Z2 изоморфно пространству — ограниченных последовательностей комплексных чисел. Действительно, этот изоморфизм нормированных пространств и задается равенствами для коэффициентов Фурье

с(тП/)

C(m) =__чо, m G Z2, ||c(m)|U = sup |c(mbm2)| < ro.

(m1m2)2 mez2

Шар радиуса С > 0 в пространстве с нормой (1) обозначают через (С), а с нормой (2) — (С, С1). Класс функций Е^ ввел Н, М. Коробов, О свойствах этого класса подробно можно узнать в [16] и [18] (также см, [9]), Рассмотрим квадратурную формулу с весами

1 1 N

/•/ / •••^з = NN ^ Рк / [С1(к),---,С^(к)] - ^ [/]• (3)

0 0 к=1

Здесь через RN [/] обозначена погрешность, получающаяся при замене интеграла

1 1

00

средним взвешенным значением функции /(х1, • •., х8), вычисленным в точках Ык ^(^•••^(к)) (к =1 •••^ )•

Совокупность М точек Мк называется сеткой М, а сами точки — узлами квадратурной формулы. Величины рк = р(Мк) называются весами квадратурной формулы, В этой работе будем везде предполагать, что все веса вещеетвен-нозначные.

Для произвольных целых ш1г • •,суммы Бм,/(т1г • •,ш8), определённые равенством

N

Бм^т^ • •,шв) = ^ Рк е2пг[т1?1 (к)1, (4)

к=1

называются тригонометрическим,и суммами сетки с весам,и.

Будем, также, рассматривать нормированные тригонометрические суммы сетки с весам,и

Б*м,/э(тъ- • •,т5) = ^Бм,/^^ • •,ms)•

N

Положим р(М) = ^ |р^ тогда для всех нормированных тригонометриче-3 = 1

ских сумм сетки с весами справедлива тривиальная оценка

|БМ А™ )1 ^ ^РМ

1

ма сетки и писать Бм (т) и нормированная тригонометрическая сумма сетки БМ (ш )•

Справедлива следующая обобщенная теорема Коробова о погрешности квадратурных формул (см, [3]),1

Теорема 5. Пусть ряд Фурье функции / (X) сходится абсолютно, С(т) — ее коэффициенты Фурье и Бм,р(т) - тригонометрические суммы сетки с весами, тогда справедливо равенство

/ I = С (им — Ом,р(0) - II + — ? , С (ТО )Ом.

rn[f] = C(0) (Nsma0) - l) + N ¿' C(rn)SM,^(m) =

^ ' mi.....ma = -M

= C(0) (SM^Ö) - l) + C(то)S^(TO) (5)

mi ,...,ms = -x

и при N ^ << погрешность Яы [/] будет стрем,и,ться, к нулю тогда, и только тогда, когда, взвещенные узлы квадратурной формулы равномерно распределены в единичном $-мерном кубе.

Из этой теоремы непосредственно следует, что для нормы линейного функционала погрешности приближенного интегрирования Яы [/] на классе А справедливо равенство

Rn Nlk = max

SM,p(Ö) - l, sup |SM,p(TO)| . (6)

m GZs\{o}

Анализ формулы (6) позволяет сделать вывод, что класс А слишком широк для рассмотрения вопросов о скорости сходимости погрешности квадратурной формулы к нулю. Как показали И, М, Коробов и его последователи, уже на классе этот вопрос становится содержательным,

В работе [5] вводится понятие гиперболического параметра д(Л) решётки Л и доказывается обобщенная теорема Бахвалова — Коробова для гиперболической дзета-функции решёток,2

Теорема 11. (Обобщенная теорема Бахвалова — Коробова для гиперболической дзета-функции решеток) Для, любой в-мерной решетки Л

Здесь и далее означает суммирование по системам (т\,..., ш8) = (0,..., 0).

2Гиперболический параметр д(Л) решётки Л задается равенством д(Л) = min ■... ■ xs.

хЕЛ,х=0

справедливы оценки

(2 + 2((а))5 ■ ( 1 +

Ся(Л|а) ^

при д(Л) = 1;

^««а^ ' МЛШ^ , „^(Д) > 1,

\а - 1) да(Л) 7

где \ — наибольшее число такое, что з-мерный куб [—А; А]5 не содержит ни одной ненулевой точки реш,етки, Л.

В первой главе доказывается аналог этой теоремы для случая гиперболической дзета-функции сеток.

Теорема 12. (Обобщенная теорема Бахвалова — Коробова для гиперболической дзета-функции сеток) Для любой рациональной сетки М со знаменателем р и с положительными весам,и р типа, А(Ж, з) < 1, для которых линейный оператор Ам^ взвешенных сеточных средних является, нормальным и несмещенным,, справедлива, оценка

с(а,р|М,р) «2<->«„ (-а-у<1п«(А) + :"--1 +

41 \а - 1) 5а(Л)

+А"№з)¡¿Т ((а -цЗ- 1)! +

+ £ £ с (а)-2-' от а-1±М + ^

^ т! \ ^ 4 ' к а - 1 а - 1

т=0 \к=т

где реш,етка, Л = КТ(М, р) и К2(М, р) и £ = д3 (М, р(Х)).

В теоретико-числовом методе приближенного анализа рассматриваются несколько основных классов сеток — это неравномерные сетки [12], параллелепи-педальные сетки [13], комбинированные сетки [17], алгебраические сетки [21], обобщенные параллелепипедальные сетки [6], сетки Хэммерсли [26], сетки Хол-тона [25], сетки Фора [24], ЛПТ сетки [20] и сетки Смоляка [19],

Отметим важную особенность параллелепипедальных сеток, комбинированных сеток, алгебраических сеток, обобщенных параллелепипедальных сеток и сеток Смоляка, Алгоритмы численного интегрирования по квадратурным формулам с этими классами сеток являются пепасыщаемыми на классах функций

В диссертации детально изучены двумерные сетки Смоляка, Рассмотрим 2-мерную простейшую декартову сетку

0 < < 2"1 - 1, 0 < к2 < 2^2 - 1} (7)

М (VI .*) = {(£ ■ £

из точек, которая, также, называется обобщенной равномерной сеткой.

Очевидно, что обобщенная равномерная сетка Мявляется декартовым произведением соответствующих одномерных равномерных сеток:

М) = Мх М

Сетка Смоляка 5т(д) = 5т(д, 2) с параметром д > 3 определяется как объединение всех обобщенных равномерных сеток Мс д — 1 < v1 + v2 < д, таким образом

^(д, 2)= (^Д) 0 < *1 < ^ — 1' 0 < *2 < 2"2 - Ц (8)

; \ 2У2) VI^ > 1, д - 1 < VI + V2 < д )

Нетрудно видеть, что минимальной равномерной сеткой, содержащей сетку Смоляка как подеетку, является М(д - 1, д - 1) 5т(д) С М(д - 1, д - 1),

Двумерные сетки Смоляка 5т(д) являются частным случаем в-мерных сеток 5т(д, в), которые использовались в работе [19] для построения квадратурных и интерполяционных формул с весами и на них были получены результаты на различных классах функций, сравнимые с наилучшими из известных.

Естественно изучить величину отклонения этих сеток, как меры равномер-

в

рн ¡личных подхода: с учетом кратности точек в объединении, без их учета и, наконец, с весами из квадратурной формулы, В работе [8] для первых двух случаев сформулированы следующие четыре результата, из которых два последних парадоксальны.

Теорема 1. Для количества дч1 точек сетки 5т(д,в) с учетом кратности, точек справедливы, соотношения,

. к 1, г"12' < Д<1> < '-*-1' 2>-1(з - 1)! < < (в - 1)!

N(1) = V 2Ч—кСЗ—1 _д_2_ < N(1) < —_— П'Ои д > 4$

к=0

Теорема 2. Для количества NqJ точек сетки Sm(q, s) без учета кратности, точек справедливо соотношение

Ng = O(qs—12q ).

Теорема 3. Для, отклонения D^s сетки Sm(q, s) с учетом кратности, точек справедливо соотношение

( N(i)

Dq,s 4 In N<5

(2)

Теорема 4. Для отклонения D^s сетки, Sm(q, s) без учета кратности точек справедливо соотношение

( N(2)

Dq2s = о

Для двумерных сеток Смоляка удается найти точное значение тригонометрических сеток. Оказываются, что они принимают только три значения — 0 1 и — 1, Пользуясь этим легко найти точные значения гиперболических параметров сетки Смоляка,

В третьей главе получены следующие результаты.

Теорема 15. Для гиперболических параметров двумерной сетки Смоляка выполняются равенства:

q3(Sm(q),p(x)) = те, qi(Sm(q),p(x)) = q2(Sm(q), р(Х)) = q(Sm(q), p(x)) = 2q-1. (9)

Квадратурные формулы с двумерными сетками Сомоляка выглядят достаточно просто (см, [41], стр. 122),

Теорема 16. Пусть f (жьж2) € q ^ 3, тогда, для, погрешности квадратурной формулы

11 1 -12'-"-1 (к к ДжЪ^М^ — ££ £ Д ^,

0 0 ^=1 к1=0 Й2=0 4

2 2^ — 1 24-1-1'-1 ,, , ч

11££ £ f( 51 • Ъ) - ^«мИ (10)

од—1 / у / у / у J \ 2q-1—v

v=1k1=0 fc2=0

справедлива оценка

II Я г/111 < 4п4д = п(!п3 N(1)(д)\

3д - 4 где N(1)(д) = -

-2д — количество точек сетки Смоляка с учетом их кратности.

Если квадратурную формулу (10) записать без повторения узлов, то получается более сложное выражение (см, [41], стр. 123),

Теорема 16. Пусть /(х1,х2) € Е|(С), д > 3, тогда, для, погрешности квадратурной формулы

1 1 1 /ч—1

/(ж1,ж2)^ж1^ж2 = — ( ^^ а^, д - V) + а(д - 1, 0) + а(0, д - 1) -

\

2ч

о о

д—3 д—3

-(д - 3)а(0, 0)-^(д - 2 - v)(a(v, 0)+^,^) - I (д -1 -V - ^)а(^)

V=1

-Я^(д)г/], (И)

где

хем

^ 2^-1_1 2^-1_1

^ А2^1 + 1 2^2 + 1', > 0

Л—^—,—^—) при °

к1=0 к2 =0 4 2 1 /2&1 + 1

/

к1=0 4

I / (0

к2=0 4

/ (0,0)

2Ь

0

2^

2V

2^2 + 1 2^

прм V > 0, ^ = 0,

прм V = 0, ^ > 0, прм V = ^ = 0,

справедлива, оценка

(д)г/]уе2 < = 0

4п4д Лп3 N(д)\

N2(д) ^

(12)

где N(д) = 3д29-3 — количество узлов в квадратурной формуле (3.7).

Термин граничные функции ввёл Н, М, Коробов в статье [17]. Так как общий термин экстремальная функция требует уточнения о каком функционале идет речь, то в этой работе мы будем придерживаться терминологии Н. М, Ко-робоа, так как в ней подразумевается, что речь идет о линейном функционале погрешности приближенного интегрирования, и указывается на каком классе функций и для какой квадратурной формулы.

В заключительной 5 главе найден явный вид для граничных функций из класса ^1, П2^ для сеток Смоляка.

Пусть

2 12

р,(х) = 1 + - - 12 (2^х} (1 — (2^х}).

Теорема 25. Для граничной функции х2) класса, ^1, П2^ для, сетки, Смоляка справедливо равенство

д-1 д-2

С(Ж1,Ж2) = £ (Х1)рд_^ (Х2) — £ (ж1)рд-1-^ (Х2). (13)

^=1 ^=1

Явный вид граничной функции класса позволил найти точное значение для нормы ||(!)(д)[■] 11е|(1 ^2) линейного функционала погрешности квадратурной формулы.

Теорема 26. Для, нормы ||ЯМа^НН^^ ^2) линейного функционала погрешности квадратурной формулы (10) справедливо равенство

||ДМ №(,) ЫЦ1 , ^) = 3(^д-11) + ^. (М)

Цели и задачи

Целью данной работы является:

• получение общих оценок для гиперболической дзета-функции сеток;

• получение точной формулы для величины Д(12, новых оценок погрешности интерполяционных и квадратурных формул для плоских сеток Смо-

ляка;

• получение явной формулы выражения через элементарные функции граничной функции класса с нормой (2) для сеток Смоляка и вычисление нормы линейного функционала погрешности приближенного интегрирования по квадратурным формулам с сетками Смоляка,

Для достижения указанных целей были поставлены следующие задачи: без учета кратности узлов;

мулы с двумерными сетками Смоляка с весами;

и точное значение нормы линейного функционала погрешности приближенного интегрирования на классе (1,

Научная новизна

В диссертации получены следующие новые результаты: ской дзета-функции сеток с весами, и без учета кратности узлов,

мулы с двумерными сетками Смоляка с весами.

Найдены явные выражения для граничных функций сеток Смоляка с весами и точное значение нормы линейного функционала погрешности приближенного интегрирования на классе (1, П2) ■

Теоретическая и практическая значимость

Результаты диссертации имеют значение для теоретико-числового метода Коробова в приближенном анализе, В ней содержатся оценки гиперболической дзета-функции сеток с весами и развитие теории двумерных сеток с весами и теории равномерного распределения точек сетки в квадрате. Результаты относящиеся к двумерным квадратурным и интерполяционным формулам с сетками Смоляка могут использоваться на практие при разработке программ численного интегрирования и интерполирования.

Методология и методы исследования

Исследование базировалось на общей методологии теоретико-числового метода Коробова в приближенном анализе. Согласно этому методу центральными объектами исследования являются тригонометрические суммы сеток с весами, отклонение сеток и гиперболическая дзета-функция сеток с весами. При реализации этой методологии использовались метод тригонометрических сумм, геометрия чисел, теория сравнений.

Положения выносимые на защиту

По результатам исследования на защиту выносятся следующие положения: функции сеток с весами, и без учета кратности.

Тригонометрические суммы сеток Смоляка с весами принимают только три значения — 0, -1, 1,

Квадратурные формулы с сетками Смоляка с весами задают ненасышае-мый алгоритм численного интегрирования.

Квадратурные формулы по сеткам Смоляка с весами являтся квадратурными формулами интерполяционного типа.

Явное выражение граничной функции на классе (1, П2

Явное выражение для нормы (1)(д)[^]|Е|(1 ^2) линейного функционала погрешности квадратурной формулы.

Степень достоверности и апробация результатов

Достоверность всех результатов исследования обоснована строгими математическими доказательствами.

Работа выполнена в рамках исследований, проводимых по грантам РФФИ №05-01-00672a, №08-01-00790a, №11-01-00571 а.

Апробация результатов исследования проводилась на международных конференциях:

• VII международная научная конференция "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" , посвященная памяти профессора А.А.Карацубы, — г, Тула, 2010г.

•

моделирование структур и нанотехнологии" , посвященная 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина, — г. Тула, 2011г.

•

nology" , — Odessa, August 20 — 26, 2012.

мен ныв

проблемы и приложения" , — г, Волгоград, 2012г.

менные

проблемы и приложения" , — г. Саратов, 2013г.

временные проблемы и приложения" , — г. Тула, 2014г.

Основные результаты, полученные в настоящей диссертации, опубликованы в следующих работах автора: [28, 32, 34, 38, 39] .

По теме диссертации опубликованы 17 печатных работ [28-44], в том числе 4 в рецензируемых научных журналах, въодящих в перечень ВАК [28-31]. Из совместных работ в диссертацию включены только результаты, принадлежащие соискателю.

В заключение автор выражает благодарность научному руководителю профессору В. И. Иванову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

.....I......I с^Т^с"^1 -в-

Гиперболический параметр сетки с весами

1.1 Гиперболический крест и гиперболические параметры

В ^-мерном пространстве усеченной нормой называется величина = = X ... X (хг координата точки х), где для вещественного х обозначаем х = тах(1, |х|).

Гиперболическим крестом называется область

а величина £ — его параметром. Назовем г-ой компонентой гиперболического креста К8(£) подмножество

Ясно, что справедливо следующее разбиение гиперболического креста:

С понятием усеченной нормы и гиперболическим крестом связано понятие гиперболического параметра множества.

Кв(£) = {х | д(ж) ^ £},

(£) = {х | д(ж) ^ ровно г координат х отличны от 0}.

Определение 1. Для произвольного подмножества K фундаментальной решётки Zsгиперболическим, параметром, q(K) называется, величина,

q(K) = min ml ...ms (1-1)

m

Для, пустого множества K полагается, q(K) = то.

Ясно, что гиперболический параметр q(K) имеет простой геометрический смысл — он равен наименьшему значению параметра t гиперболического креста Ks(t) такого, что на границе Ks(t) имеются точки множества K, а внутри отсутствуют.

Важную роль в применении понятия гиперболического креста играет количество целых точек в гиперболическом кресте.

Обозначим через KZs(t) множество всех целых точек, принадлежащих гиперболическому кресту Ks(t), а через KzSr) (t) - множество всех целых точек, принадлежащих r-ой компоненте Ksr) (t) гиперболического креета Ks (t). Таким образом,

KZs (t) = Ks (t) n zs, Kzsr)(t) = Ksr)(t) П Zs. Для t ^ 1 положим:

Bj (t)= £ 1, (1.2)

здесь суммирование проводится только по натуральным значениям переменных mi, ,,,, mj. Ясно, что

Bi(t) = [t]. (1.3)

r

величин Bj (t) получим равенство для величины |KZs(t)| — количества целых точек в гиперболическом кресте:

ss

|KZs(t)| = 1 + £ |KZsr)(t)| = 1 + £ Csr2rBr(t). (1.4)

r=i r=i

1.2 Число целых точек в гиперболическом кресте при значениях параметра 1 ^ £ < 21

Обозначим через 4 ( а) количество решений в натуральных числах уравнения х1х2 ... х = а Функция 4( а) мультипликативная (см, [2] гл. 2), а значит, для неё имеет место равенство: 4(р"1 р"2 .. .Р^Т) = ^(р"1 )4(р"2)... 4(р^Т) гДе рь... ,рт — различные простые числа, а ,...,ат — произвольные натуральные числа.

Рассмотрим решения уравнения х1х2 ... х3 = рк в натуральных числах , где р простое. Ясно, что если х^ ..., х^,..., х5 решение этого уравнения, то х^ = р^ и0 ^ 6 ^ к (1 ^ г ^ з), Отсюда следует, что Ь1 + 62 + ... + = к, причем число решений этих уравнений совпадает, а число решений второго известно С£-1_1 = 6^-1. Поэтому 4(1) = 1 4(2) = 4(3) = 4(5) = 4(7) = 4(11) = 4(13) 4(9) 4(16)

Легко заметить, что В (£)

4(17) = 4(19) = в, 4(6) = 4(10) = 4(14) = 4(15) = ¿2, 4(4)

1 в2 + 2в, 4(12) = 4(18) = 4(20)

- в4 + 1 вз + - в2 + 1 в 24 т 4 24 т 4

2 в + 2 в ,

4(8)

)

12

6 в + 1 в + 3

М

4(г), отсюда суммированием получим:

г=1

£) = 11 ^ £ < 2;

£) = в + 12 ^ £ < 3;

£) = 2в + 13 ^ £ < 4;

в* £) = 1 в2 2 в + 5в + 14 ^ £ < 5;

в* £) = 2 в + 7в + 15 ^ £ < 6;

в* £) = 2 в + 7 в + 16 ^ £ < 7;

в* £) = 2 в + § в + 17 ^ £ < 8;

в* £) = 6 в + 2в2 + 29 в + 1 8 ^ £ < 9;

В* £) = 6 в + | в2 +16 в + 1 9 ^ £ < 10;

в* £) = 6в + 2 в2 +16 в + 1 10 ^ £ < 11

в* £) = 6в + 2 в2 +в + 1 11 ^ £ < 12

в* £) = 3 в + 4в2 +в + 1 12 ^ £ < 13

в* £) = з в + 4в2 + ? в + 1 13 ^ £ < 14

В* £) = 2 вз 3 в + 5в2 + ? в + 1 14 ^ £ < 15

в* £) = 2 вз 3 в + 6в2 + ц в + 1 15 ^ £ < 16

В (г) = 24 з4 + 12 з3 + 155 з2 + 915 + 1 16 ^ г < 17; В (г) = 24 54 + Ц з3 +155 з2 +1235 +117 ^ г < 18 В (г) = 24 54 + § з3 +167 з2 + ^5 +118 ^ г < 19 В(г) = 2454 + 17з3 + 167з2 + 5 + 1 19 ^ г < 20; В* (г) = 24 54 +1з3 +179 з2 + Щз +120 ^ г < 21. Таким образом при 1 ^ г < 21 справедливо представление

вг (г) = а! (г)г4 + «2 (г)г3 + «3 (г)г2 + «4 (г)г +1, (1.5)

где коэффициенты а1(г) а2(г), а3(г) и а4(г) легко выписываются из предыдущих формул.

Подставляя (1.5) в (1.4), получим

(г)| = 1 + £ С 2Г (а1 (г)г4 + а2 (г)г3 + а3 (г)г2 + а4 (г)г + 1) =

= а1(г)С4(5) + а2(г)С3(з) + а3(г)С2(з) + а4 (г)С(з) + Со(з) + 1, (1.6)

где

С(з) = £ С!2!г? (0 ^ з ^ 4). (1.7)

Г=1

С помощью формулы бинома Ньютона сразу находим:

Со(з) = £ С;2! = £ С;2! - 1 = (2 + 1)* - 1 = 3* - 1. (1.8)

г=1 г=0

При з > 0 получаем рекуррентные формулы:

С (з) = £ С2!г? = 2з £ с:!!1 2!-:1г7-:1 = 2з + 2з £ С^ (г + 1)?-1 -

;=1 ;=1 ;=1

/

2з + 2з £ СТ-12^ С-И = 2з 1 + £ С-С(з - 1) . (1.9)

/ у 1 1 / у

;=1 к=0 \ к=0

Из рекуррентной формулы (1.9) последовательно находим:

С1 ( в) = 25 (1 + Со( 5 - 1)) = 2в38-1;

С2( в) = 2в (1 + С0С0( в - 1) + С1С1 ( в - 1)) = 2в (1 + 38-1 - 1 + 2( в - 1)38-2) =

(1.10)

2в3

8- 1

2

1 + 3( в - 1) ) =2в( 2в + 1)3

8-2.

(1.11)

Сз( в) = 2в (1 + С20Со( в - 1) + С1С1 (в - 1) + С22С2( в - 1)) = = 2в (38-1 + 4( в - 1)38-2 + 2( в - 1) ( 2в - 1)38-3) = 2в (4в2 + - 1) 38-3; (1.12)

С4(в) = 2в (1 + С30Со(в - 1) + С3С1(в - 1) + С32С2(в - 1) + С33Сз(в - 1)) =

= 2в (38-1 + 6(в - 1)38-2 + 6(в - 1)(2в - 1)38-3 + 2(в - 1)(4в2 - 2в - 3)38-4) =

= 2в (8в3 + 24в2 - 2в - 3) 38-4.

(1.13)

Подставляя в (1.6) выражения (1.10)—(1.13) и учитывая значения коэффициентов а^г), а2(г), а3(г) и а4 (г), которые получаются из формул для Вг (г), получим: 3^ 1 ^ г < 2; 38-1(2в + 3) 2 ^ г < 3; 38-1(4в + 3) 3 ^ г < 4; 38-2(9 + 16в + 2з2), 4 ^ г < 5; 38-2(9 + 22в + 2з2), 5 ^ г < 6; 38-1(3 + 8в + 2з2),6 ^ г< 7; 38-1(3 +10 + 2з2), 7 ^ г< 8; 38-4 (81 + 296в + 78в2 + 4з3), 8 ^ г < 9; 38-4 (81 + 332в + 96в2 + 4в3) 9 ^ г < 10; 38-4(81 + 350в + 132в2 + 4з3), 10 ^ г < 11; 38-4(81 + 404в + 132в2 + 4з3), 11 ^ г < 12; 38-4(81 + 410в + 168в2 + 4з3), 12 ^ г < 13; 38-4(81 + 464в + 168в2 + 16в3) 13 ^ г < 14; 38-4(81 + 482в + 204в2 + 16з3), 14 ^ г < 15; 38-4(81 + 500в + 240в2 + 16в3) 15 ^ г < 16; 38-5(243 + 1560в + 796в2 + 72в3 + 2з4), 16 ^ г < 17; 38-5(243 + 1722в + 796в2 + 72в3 + 2з4), 17 ^ г < 18;

(г)

(г)

(г)

(г)

(г)

(г)

(г)

(г)

(г)

(г)

(г)

(г)

(г)

(г)

(г)

(г)

(г)

= 3*-5(243 + 17403 + 904з2 + 108з3 + 2з4), 18 ^ К 19; = 3*-5(243 + 1902з + 904з2 + 108з3 + 2з4), 19 ^ К 20; |К£в(*)| = 3*-5(243 + 1920з + 1012з2 + 144з3 + 2з4), 20 ^ К 21.

1.3 О гиперболическом параметре сетки

Рассмотрим класс А всех периодических фупкций / (X) с периодом 1 по каждой переменной, у которых их ряд Фурье

1 1

/(X) = £ С(т)е2пг(т'х), С(т) = 1^1 /(Х)е-2пг(т'х)^г

теЪа 0 о

абсолютно сходится. Пространство А относительно нормы

II/(Х)|к = £ |С(т)| < то

т ей®

является сепарабельным банаховым пространством, изоморфным пространству /1 — всех абсолютно суммируемых комплекено-значных последовательностей (см. [9] .

Рассмотрим квадратурную формулу с весам,и

1 1 N

/ (Х1,..., х^х... ¿х = N £ Рк / [6(*0,... - ^ [/]. (1.14)

^ ^ к—1

о о к—1

Здесь через RN [/] обозначена погрешность, получающаяся при замене интеграла

1 1

J. . .у /(х1,..., ... ¿х

оо

средним взвешенным значением функции /(х1,..., х), вычисленным в точках Мк = &(*:),..., 6(к)) (к =1 ...^).

Совокупность М точек Мк называется сеткой М, а сами точки — узлами квадратурной формулы. Величины рк = р(Мк) называются весами квадратурной формулы. В этой работе будем везде предполагать, что все веса вещеетвен-нозначные.

Для произвольных целых ш1г. .,ш8 суммы £м,/(тоъ...,определённые равенством

N

£м,/(ть.. .,шв) = XРке2пг[т1?1 (к)1, (1,15)

к=1

называются тригонометрическими суммами сетки с весам,и.

Будем также рассматривать нормированные тригонометрические суммы сетки с весам,и

1,.. .,шв) = N^м,/(т1,.. .,шв).

N

Положим р(М) = ^ |р^ тогда для всех нормированных тригонометриче-^=1

ских сумм сетки с весами справедлива тривиальная оценка

|£М^)| ^ . (1Л6)

Если все веса равны 1, то будем говорить просто тригонометрическая сумма сетки и писать $м (т) и нормированная тригонометрическая сумма сетки

^М (т).

Справедлива следующая обобщенная теорема Коробова о погрешности квадратурных формул (см, [3])1

Теорема 5. Пусть ряд Фурье функции /(X) сходится абсолютно, С(т) — ее коэффициенты, Фурье и $м,/(ш) — тригонометрические суммы сетки с весами, тогда, справедливо равенство

, . те

^ [/] = С (ОН - ^м,/(0) - Л + - X' С (т)£м,/Кт) =

^ ' т1,...,т8=-м

те

= С(0) (^,/(0) - 1) + X' С(т)^/(т) (1.17)

т1 ,...,т3 = -те

и при N ^ << погрешность RN [/] будет стрем,и,ться, к нулю тогда, и только тогда, когда, взвещенные узлы квадратурной формулы равномерно распределены в единичном $-мерном кубе.

1 Здесь и далее означает суммирование по системам (т..., ш8) = (0,..., 0).

II. \ I. Коробов ввёл в рассмотрение широкий класс периодических функций Е^(С) (а > 1) с быстро убывающими коэффициентами Фурье. Через Е^(С) обозначается множество функций из Е^ с нормой, не превосходящей С, то есть шар в банаховом пространстве Е^ радиус а С с центром в нуле.

Банахово пространство Е^ состоит го функций /(х1,...,х8), имеющих по каждой из переменных х1,...,х8 период, равный единице, и для которых их ряды Фурье

те

/ (хь...,хв) = £ С (ть...,т5)е2пг(т1Х1+...+т (1.18)

Ш1.....ш1—-те

удовлетворяют условиям2

вир |С(ть ... ,тв)|(т1.. .т)а = ||/(х)||е? < то. (1.19)

т ей®

Ясно, что такие ряды Фурье сходятся абсолютно, так как

II/(Х)||11 ^ ||/(Х)||в?(1 + 2С(а))5,

а поэтому для любого а > 1 они представляют непрерывные функции. Здесь и далее, как обычно, ((а) — дзета-функция Римана,

Относительно НО]рМЪ1 11 / (х) 11 Еа пространство Е^ является несепарабельным банаховым пространством изоморфным пространству /те — всех ограниченных комплексно-значных последовательностей (см. [9]).

Для дальнейшего мы будем рассматривать класс Е5 = у Е^. Очевидно

а>1

Е5 С Л5, Ясно, что к ласе Е5 незамкнут в простр анетве Л5 относительно нормы ||/(х)|г1, но является всюду плотным множеством.

Рассмотрим понятие усеченной нормы вектора, которой называется величина д(х) = х1 • ... • х5, Усеченной норменной поверхностью с параметром £ ^ 1 называется множество ^(¿) = {ж|д(х) = X = 0}, которое является границей гиперболического креста К(£), заданного соотношепнями К(£) = |Х|д(ж) ^ £}, Для натурального £ на усеченной норменной поверхности имеется т*(£) целых

2Здесь и далее для вещественных т полагаем т = тах(1, |т|). Таким образом, величину

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Добровольский Николай Николаевич, 2014 год

Литература

[1] Бахвалов Н, С, О приближенном вычислении кратных интегралов // Вестн, Моск. ун-та, 1959, N 4, С, 3-18,

[2] Виноградов И, М, Основы теории чисел, М,: Наука, 1981,

[3] Добровольская Л, П., Добровольский Н, М,, Симонов А, С, О погрешности приближенного интегрирования по модифицированным сеткам // Чебышевекий сборник 2008 Т. 9, вып. 1(25), С, 185 — 223,

[4] Добровольский М, Н, Оценки сумм по гиперболическому кресту // Изв. ТулГУ, Сер, Математика, Механика, Информатика, 2003, Т. 9, вып. 1, С. 82 - 90.

[5] Добровольский И, М, Гиперболическая дзета функция решёток, — Деп, в ВИНИТИ 24.08.84. - №6090-84.

[6] Добровольский Н. М. Оценки отклонений обобщенных параллелепипе-дальных сеток. / Деп. в ВИНИТИ 24.08.84, N 6089-84.

[7] Добровольский Н, М. О квадратурных формулах на классах Е^(с) и Я?(с). - Деп. в ВИНИТИ 24.08.84. - №6091-84.

[8] Добровольский Н. М,, Есаян А. Р., Яфаева Р. Р. О сетках С. А. Смоляка // "Современные проблемы математики, механики, информатики", Тула: ТулГУ, 2002. С. 18-20.

[9] Добровольский Н. М,, Манохин Е. В. Банаховы пространства периодических функций // Изв. ТулГУ, Сер, Механика, Математика, Информатика, 1998. Т. 4, вып. 3. С. 56-67.

[10] Добровольский Н, М.. Манохин Е, В., Реброва И, Ю,, Рощеня А, Л, О непрерывности дзета-функции сетки с весами // Известия ТулГУ, Сер, Математика, Механика, Информатика, 2001, Т. 7, вып. 1, С, 82-86,

[11] Добровольский И, М.. Рощеня А, Л, О числе точек решетки в гиперболическом кресте при малых значениях параметра // Всерос, научи, конф, "Современные проблемы математики, механики, информатики Тула: Изд-во ТулГУ, 2000. С. 29-30

[12] Коробов И. М. Приближенное вычисление кратных интегралов с помощью методов теории чисел // ДАН СССР. 1957. №6. С. 1062 — 1065.

[13] Коробов Н. М. Вычисление кратных интегралов методом оптимальных коэффициентов // Вестн. Моск. ун-та. 1959. №4. С. 19 — 25.

[14] Коробов Н. М. О приближенном вычислении кратных интегралов // ДАН СССР. 1959. Т. 124. №6. С. 1207 - 1210.

[15] Коробов Н. М. Свойства и вычисление оптимальных коэффициентов // ДАН СССР. 1960. Т. 132. № 5. С. 1009-1012.

[16] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе. М,: Физматгиз, 1963,

[17] Коробов Н, М, Квадратурные формулы с комбинированными сетками // Математические заметки, 1994, Т. 55, вып. 2, С, 83 — 90,

[18] Коробов Н. М. Теоретико-числовые методы в приближенном анализе, (второе издание) М,: МЦНМО, 2004.

[19] Смоляк С. А. Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций // ДАН СССР. 1963. Т. 148. №5, С. 1042 - 1045.

[20] Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара. / М.: Наука, 1969.

[21] Фролов К. К. Оценки сверху погрешности квадратурных формул на классах функций // ДАН СССР. 1976. Т. 231. №4. С. 818-821.

[22] Фролов К. К. Квадратурные формулы на классах функций. Дис. ... канд. физ.-мат. наук. М.: ВЦ АН СССР. 1979.

[23] Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. / М.: МИР, 1974.

[24] Faure Н. Discrepance de suites associees a un svsteme denumeration (en dimention s) // Acta Arith. 1982. V 41. P. 337-351.

[25] Halton J. H. On the efficiency of certain quasirandom sequences of points in evaluating multidimensional integrals. // Numerisehe Math. 1960. V 27. №2 P. 84 - 90.

[26] Hammerslev J. M. Monte-Carlo methods for sobving multivariable problems // Proc. N 4. Acad. Sci. 1960.

[27] Wevl H. Uber die Gleiehverteilung von Zahlen mod. Eins. // Math. Ann. 1916. Bd. 77. S. 313-352 (пер. в кн.: Вейль Г. Математика. Теоретическая физика. М,: Наука, 1984).

[28] Добровольская Л. П., Добровольский Н. М,, Добровольский Н. Н,, Ого-родпичук Н. К., Ребров Е. Д., Реброва И. Ю. Некоторые вопросы теоретико-числового метода в приближенном анализе // Труды X международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" . Ученые записки Орловского государственного университета. 2012. № 6. Часть 2. С. 90 - 98.

[29] Добровольская Л. П., Добровольский М. П.. Добровольский Н. М,, Добровольский Н. Н., Реброва И. Ю. Некоторые вопросы теоретико-числового метода в приближенном анализе // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. 2013. Вып. 4, ч. 2. С. 47 - 52.

[30] Dobrovolskaya, L, P., Dobrovolsky, M, N,, Dobrovol'skii, N. M.. Dobrovolsky,

N. N. On Hyperbolic Zeta Function of Lattices, In: Continuous and Distributed Systems, Solid Mechanics and Its Applications, V, 211, 2014, P. 23-62, http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-03146-0^2

[31] Добровольский H. П.. 1'оброй E. Д. Квадратичное отклонение двумерных сеток Смоляка // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики". Тула, Изд-во ТулГУ, 2008. С. 51 - 52.

[32] Добровольская Л. П., Добровольский М. П.. Добровольский Н. М,, Добровольский Н. Н. Проблемно ориентированная информационно вычислительная система ТМК (теоретико-числовой метод Коробова) // Роль университетов в поддержке гуманитарных научных исследований: Материалы V Междунар, науч.-практ, конф,: В 2 т, / Отв. ред. О. Г. Вронский. Тула: Изд-во ТГПУ им. Л. Н. Толстого. 2010. Доп. том.

[33] Вронская Г. Т., Добровольский Н. Н. Отклонения плоских сеток / Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2012. 193 с.

[34] Добровольская Л. П., Добровольский М. П.. Добровольский Н. М,, Добровольский Н. Н. Многомерные теоретико-числовые сетки и решетки и алгоритмы поиска оптимальных коэффициентов / Тула: Изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого, 2012. 284 с.

[35] Dobrovolskiv N. М,, Dobrovolskaya L. P., Dobrovolskiv N. N,, Ogorodniehuk N. К., Rebrov Е. D. Algorithms fot computing optimal coefficients // Book of abstracts of the International scientific conference "Computer Algebra and Information Technology". Odessa, August 20 — 26, 2012. p. 22 — 24.

[36] Добровольский H. M,, Добровольский H. H,, Юшина E. И, О матричной форме теоремы Галуа о чисто периодических цепных дробях / / Чебышев-ский сборник 2012 Т. 13, вып. 3(43). С. 47 — 52.

[37] Добровольская Л. П., Добровольский М. Н. , Добровольский Н. М,, Добровольский Н. Н. Гиперболические дзета-функции сеток и решёток и вы-

числение оптимальных коэффициентов // Чебышевекий сборник, 2012, Т. 13, вып. 4(44). С. 4 - 107.

Основные работы автора по темме диссертации

[38] Добровольский Н.Н., Киселева О.В., Симонов А.С. Граничные

функции класса П-^ для сеток Смоляка // Изв. ТулГУ. Есте-

ственные науки. 2011. Вып. 2. С. 11—29.

[39] Добровольский Н. Н. О гиперболическом параметре сетки // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 1. С. 6 — 18.

[40] Добровольский Н, Н, О числе целых точек в гиперболическом кресте при значениях параметра 1 ^ £ < 21// Изв. ТулГУ, Сер, Математика, Механика, Информатика, 2003, Т. 9, вып.1. С, 91 — 95,

[41] Добровольский И, И, Отклонение двумерных сеток Смоляка // Чебышев-екий сборник 2007, Т. 8, вып. 1(21), С, 110 — 152,

[42] Добровольский И, И, О тригонометрическом полиноме сетки Смоляка // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики", Тула, Изд-во ТулГУ, 2007, С, 36 - 36.

[43] Добровольский Н, Н, О граничных функциях класса ^1, П-^ для сеток Смоляка // Материалы международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики", Тула: Изд-во ТулГУ, 2011.

[44] Добровольский И. И. ПОИВС ТМК: Гиперболический параметр сеток с весами // Материалы международной научно-практической конферен-

ции "МНОГОМАСШТАБНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУР И НА-НОТЕХНОЛОГИИ". Тула, 3-7 октября 2011 изд-во ТГПУ им. Л.Н. Толстого С. 266 — 267.