Численный алгоритм вариационной инициализации океанологических полей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Русаков, Александр Сергеевич

• Русаков, Александр Сергеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Русаков, Александр Сергеевич

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. СОСТОЯНИЕ ПРОБЛЕМЫ УСВОЕНИЯ ДАННЫХ НАБЛЮДЕНИЙ В ОКЕАНЕ.

1.1 Основные понятия в задачах усвоения данных наблюдений.

1.2 Методы последовательного усвоения данных.

1.3 Вариационные методы.

1.4 Требования к вычислительным ресурсам.

Выводы.

ГЛАВА 2. РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ ИНИЦИАЛИЗАЦИИ ГИДРОФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В СИГМА-МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ОКЕАНА С ПОМОЩЬЮ АППАРАТА СОПРЯЖЕННЫХ УРАВНЕНИЙ.

2.1 Уравнения модели динамики океана в сигма-системе координат и метод расщепления

2.2 Постановка задачи инициализации. Разработка сопряженной сигма-модели динамики океана.

2.3 Алгоритм решения задачи инициализации гидрофизических полей.

2.4 Задача усвоения данных наблюдений для трёхмерного уравнения переноса-диффузии тепла

Выводы.

ГЛАВА 3. УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ СИГМА-МОДЕЛИ ДИНАМИКИ ОКЕАНА ИВМ РАН.

3.1 Разработка параллельного алгоритма моделирования динамики океана.

3.2 Разработка алгоритмов для решения задачи о функции уровня.

Выводы.

ГЛАВА 4. ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗРАБОТАННОГО ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ.

4.1 Моделирование муссонной циркуляции индийского океана с высоким пространственным разрешением.

4.2 Численные эксперименты по инициализации гидрофизических полей Индийского океана с помощью сигма-модели ИВМ РАН.

Выводы.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численный алгоритм вариационной инициализации океанологических полей»

Современные системы долгосрочного и среднесрочного прогноза погоды в качестве необходимой составляющей включают прогноз океанической среды. Одним из основных требований к успешному прогнозу состояния океана является точное задание начальных условий для прогнозируемых полей -инициализация модели океана. В настоящее время накоплено и доступно в оперативном режиме большое количество данных наблюдений состояния океана. Их можно использовать как для целей прогноза, так и для исследования структуры океанических полей и их изменчивости. Прежде чем проводить прогноз с помощью численной модели, необходимо найти способ использования имеющейся информации, полученной с помощью измерений, для «наилучшей» в некотором смысле оценки начального состояния системы. Процесс такого оценивания называется "ассимиляцией", или "усвоением данных".

Задача определения начального состояния модели океана является обратной задачей высокой размерности - очень трудоемкой с вычислительной точки зрения. Например, даже для достаточно грубой дискретизации области Индийского океана (1°х1/2°хЗЗ) число начальных значений температуры, солености и компонент горизонтального вектора скорости составляет порядка 2.0* 106.

Одной из самых быстрых программ моделирования динамики океана является сигма-модель общей циркуляции океана Института вычислительной математики РАН (ИВМ РАН). Сигма-модель основана на методе расщепления и неявных схемах интегрирования (Марчук, 1980; Залесный, 1984). Качество сигма-модели динамики океана ИВМ РАН проверено для различных пространственных разрешений как для расчетов циркуляции Мирового океана, так и для расчета циркуляции других акваторий. Поэтому актуальной задачей является разработка методов и алгоритмов анализа данных наблюдений для идентификации начального условия в сигма-модели общей циркуляции океана ИВМ РАН.

В ИВМ РАН проводятся работы по исследованию и решению задач усвоения данных наблюдений с использованием прямой сигма-модели ИВМ РАН. В работе (Агошков, Ипатова, 2006) исследованы вопросы разрешимости уравнений трехмерной модели динамики океана и задачи ассимиляции данных в предположении о линейной зависимости плотности от температуры и солености и при постоянном коэффициенте вертикальной диффузии. Модельные эксперименты по вариационному усвоению данных в задаче переноса-диффузии по вертикали исследованы в работе (Венцель, Залесный, 1996). Задачи по усвоению температуры поверхности океана решались в работах (Агошков В. И., Залесный В.Б., Минюк Ф. П., Русаков А.С., 2004; Agoshkov V. I, Zalesny V. В., Minuk F. P., Rusakov A. S., 2005; Шутяев, Пармузин, 2004), задача по усвоению уровня океана исследовалась в работе (Агошков В. И. и др., 2007). В этих работах использовалась нелинейная сигма-модель динамики океана ИВМ РАН, но алгоритмы расщепления выбирались такими, что они позволяли осуществлять вариационное усвоение в рамках одного из этапов метода расщепления. В диссертации решается задача иницилизации и строится сопряженный оператор для полной нелинейной сигма-модели динамики океана, с граничным условием свободной поверхности.

Для эффективного решения задачи инициализации модели динамики океана необходимо также усовершенствование алгоритмов решения прямой и сопряженной сигма-модели ИВМ РАН. В диссертации разработана параллельная программная реализации модели ИВМ РАН для многопроцессорных вычислительных систем с распределенной памятью. Так как важной частью наблюдений океана являются спутниковые наблюдения аномалии поверхности океана, необходимо дополнить модель ИВН РАН эффективным методом решения задачи вычисления функции уровня. Разработка такого метода также является задачей данной работы.

Целью диссертационной работы является разработка и исследование методов и алгоритмов инициализации океанологических полей в сигма-модели общей циркуляции океана ИВМ РАН. Методологической основой алгоритмов являются методы расщепления и сопряженных уравнений.

Для достижения поставленной цели в диссертации решаются следующие основные задачи:

1. Разработка эффективного вычислительного алгоритма решения задачи вариационной инициализации модели океана. Разработка сопряженной сигма-модели динамики океана.

2. Разработка алгоритмов и программной реализации сигма-модели ИВМ РАН для многопроцессорных вычислительных систем.

3. Разработка алгоритмов для решения прямой и сопряженной задачи вычисления функции уровня.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Первая глава содержит анализ подходов и теоретических работ по решения обратных задач динамики океана. Приведены основные понятия о задачах об усвоении данных наблюдений. Обоснован выбор метода усвоения данных наблюдений. Приведены оценки требований к вычислительным ресурсам методов усвоения данных.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Русаков, Александр Сергеевич

Выводы

1) Впервые проведен численный эксперимент по моделированию муссонной циркуляции Индийского океана с высоким пространственным разрешением с использованием сигма-модели ИВМ РАН. Сравнение результатов численного эксперимента со схемами течений, построенными по данным наблюдений (Tomczak et al., 2003; Shankar et al., 2002), показывает адекватность сигма-модели и разработанных алгоритмов. Высокое разрешение дает возможность воспроизвести не только общие закономерности структуры и изменчивости муссонных течений, но и описать локальные особенности ее пространственно - временной изменчивости. Таким образом, результаты численного эксперимента позволяют сделать вывод, что сигма-модель ИВМ РАН способна быть составной частью системы прогноза океанологических полей.

2) Проведены численные эксперименты по инициализации сигма-модели динамики океана. Приведены как результаты численных экспериментов в режиме "идентичных близнецов", так и результаты по усвоению реальных данных наблюдений о температуре поверхности и аномалии уровня океана. Численные эксперименты с реальными данными наблюдений показали, что, при усвоении только температуры поверхности океана, ошибка восстановления поверхностной температуры не превышает 0.4 градусов в большинстве районов расчетной области Индийского океана. При восстановлении только уровня океана ошибка восстановления меньше 0.5 см. в большей части расчетной области. Типичное число итераций квазиньютовского метода оптимизации в экспериментах 40-80. Численные эксперименты подтвердили работоспособность разработанных алгоритмов и программного обеспечения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Главный результат диссертационной работы состоит в следующем: разработан алгоритм решения задачи инициализации океанологических полей, основанный на методах расщепления по физическим процессам и по пространственным координатам и сопряженных уравнений. Получены следующие результаты:

1) Для решения задачи инициализации океана разработана сопряженная сигма-координатная модель общей циркуляции океана основанная на методе расщепления с граничным условием свободной поверхности. Благодаря использованию специальных дискретизаций и неявных схем в прямой и сопряженной моделях, понижено число шагов по времени, что приводит к увеличению быстродействия. Уравнения расщепленной сопряженной модели и градиент функционала отклонения получены в явном виде.

2) Предложен алгоритм распараллеливания прямой модели общей циркуляции океана ИВМ РАН, основанной на методе расщепления и неявных схемах. Разработанная параллельная программа моделирования обеспечивает ускорение расчетов до 70 раз.

3) Предложен алгоритм решения задачи о "функции уровня" в прямой и сопряженной моделях общей циркуляции океана. Предложено явным образом формировать матрицу оператора задачи с применением современных методов решения СЛАУ. Использование таких методов позволяет ускорить время решения этой задачи в среднем в 100 раз. За счет применения этого алгоритма удалось повысить как быстродействие, так и точность расчетов динамики океана. Разработана адаптивная вычислительная процедура, обеспечивающая эффективное решение СЛАУ для задачи о "функции уровня". Вычислительная эффективность достигается благодаря автоматическому выбору прямых разреженных или итерационных методов и параметров предобуславливания в зависимости от свойств задачи и вычислительной техники.

4) Разработан комплекс программ для решения задачи усвоения данных наблюдений. Комплекс состоит из трех основных частей: решения прямой задачи; решения сопряженной задачи (в обратном времени); решения задачи оптимизации функционала. Разработанные программы успешно опробованы на решении задачи инициализации Индийского океана в рамках эксперимента "идентичных близнецов" и с использованием реальных данных наблюдений.

5) Разработаны версии модели ИВМ РАН Индийского океана с высоким пространственным разрешением 1/8°х1/12°х21. Проведены расчеты муссонной циркуляции Индийского океана, демонстрирующие адекватность вихреразрешающей сигма-модели ИВМ РАН.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Русаков, Александр Сергеевич, 2007 год

1. Агошков В. И. Методы оптимального управления и сопряжённых уравнений в задачах математической физики - М.: Наука 2003.

2. Агошков В. И., Залесный В.Б., Минюк Ф. П., Русаков А.С. Восстановление внешних источников в задачах теплообмена в океане.// Методы и технологии решения больших задач. М.:ИВМ РАН, 2004, С. 7-60.

3. Агошков В. И., Ипатова В. М. Теоремы существования для трехмерной модели динамики океана и задачи ассимиляции данных // Докл. РАН. 2007. Т. 412, Т. 412., №2, С. 151-153.

4. Алексеев В.В., Залесный В.Б. Численная модель крупномасштабной динамики океана. // Вычислительные процессы и системы. Под ред.Г.И.Марчука. Вып. 10. М: Наука, 1993, С. 232-252.

5. Антипов С.В., Дианский Н.А., Гусев А.В. Особенности распространения радиоактивного загрязнения в северо-западной части Тихого океана. //Известия РАН, Энергетика, 2006. С. 52-70.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М., Численные методы: Учебное пособие. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. - 600 С.

7. Василевский Ю.В., Прокопенко А.В. Факторизация на последовательностях сеток. // Методы и технологии решения больших задач на ЭВМ М: ИВМ РАН. 2004. С. 103-117.

8. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

9. Венцель М., Залесный В.Б. Усвоение данных в одномерной модели конвекции-диффузии тепла в океане. // Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 1996. т.32, №5. с. 613-629.

10. Ю.Воеводин В.В., Воеводин Вл. В., "Параллельные вычисления", БХВ-Петербург, 2002. 609 С.

11. П.Гандин JI.C. Объективный анализ метеорологических полей. JI.: Гидрометиздат. 1963.

12. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. /Пер. с англ. М.: Мир, 1984,333 С.

13. Дианский Н. А., Багно А. В., Залесный В. Б. Сигма-модель глобальной циркуляции океана и ее чувствительность к вариациям напряжения трения ветра.// Изв. АН. Физика атмосферы и океана. 2002. Т. 38, № 4. С. 537-556.

14. Дианский Н. А., Залесный В.Б., Мошонкин С.Н., Русаков А.С. Моделирование муссонной циркуляции Индийского океана с высоким пространственным разрешением. // Океанология. 2006. Т. 46, № 5. С. 650-671.

15. Ефимов С. С., Семенов Е. В. О зависимости результатов модельных расчетов по схеме четырехмерного анализа от начального состояния. // Океанология. 1990. Т. 30, № 1. С. 21-26.

16. Залесный В.Б. Моделирование крупномасштабных движений в мировом океане. Отдел вычислительной математики АН СССР 1984. 157 С.

17. Ипатова В.М. Задача усвоения данных для модели общей циркуляции океана в квазигеострофическом приближении. Деп. в ВИНИТИ №2333-В92.М. 1992.

18. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука. 1969.

19. Лебедев В.И. Метод ортогональных проекций для конечно-разностного аналога одной системы уравнений. // Доклады АН СССР, 1957. Т.113. С. 1206-1209.

20. Марчук Г.И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. -Л.: Гидрометеоиздат. 1974.

21. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.:Наука. 1980. С.535.

22. Марчук Г.И. Методы расщепления М.:Наука. 1988. С. 263.

23. Марчук Г.И. О постановке некоторых обратных задач. // Доклады АН СССР. 1964. Т. 156, №3. С. 503-506.

24. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.А. Математические модели в геофизической гидродинамики и численные методы их реализаций. Д.: Гидрометеоиздат. 1987. С. 296.

25. Моисеев Н.И. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука. 1971.

26. Мошонкин С.Н., Дианский Н.А., Гусев А.В. Влияние взаимодействия Атлантики с Северным Ледовитым океаном на Гольфстрим. // Океанология. 2007. Т. 35, № 1. С. 45-52.

27. Реснянский Ю. Д. Математическое моделирование верхнего перемешанного слоя и крупномасштабной динамики океана. // Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Гидрометеорологический центр России. -Москва, 2002.

28. Реснянский Ю.Д., Зеленько А.А., Эффекты синоптических вариаций атмосферных воздействий в модели общей циркуляции океана: прямые и косвенные проявления // Метеорология и гидрология. 1999. №9. С. 6677.

29. Русаков А.С., Дианский Н.А. Параллельная модель общей циркуляции океана для многопроцессорных вычислительных систем //Информационные технологии. Издательство Машиностроение. 2003. №8. С. 20-26.

30. Семенов Е. В., Лунева М. В., Численная модель приливной и термохалинной циркуляции вод белого моря. // Известия РАН. Физика Атмосферы и океана, 1996. Т. 32, №5. С. 704-713.

31. Федоренко Р.П. Приближённое решение задач оптимального управления.-М.: Наука. 1978.

32. Шутяев В. П., Пармузин Е. И. Задача восстановления начального условия в локально одномерной модели вертикального теплообмена //Методы и технологии решения больших задач на ЭВМ.-М: ИВМ РАН. 2004, С. 69-88.

33. Шутяев В.П. Операторы управления и итерационные алгоритмы в задачах вариационного усвоения данных. М.: Наука. 2001.

34. Agoshkov V.I, Zalesny V. В., Minuk F. P., Rusakov A. S. Study and Solution of Identification Problems for Nonstationary 2D- and 3D- Convection-diffusion equation. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2005. Vol. 20, No. l.P. 19-43.

35. Agoshkov V.I., Marchuk G.I. On solvability and numerical solution of data assimilation problems. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1993. Vol. 8. P. 1-16.

36. Amestoy P. R., Davis T. A., Du I. S. An approximate minimum degree ordering algorithm. // SIAM J. Matrix Anal. Applic. 17(4). 1996. P.886-905.

37. Anderson D. L. Т., Sheinbaumz J., Hainesx K. Data assimilation in ocean models. // Rep. Prog. Phys. No. 59. P. 1996 1209-1266.

38. AVISO. SALTO/DUACS User Handbook. 2002. CLS. AVI-NT-011-312-CN.

39. Bennett A.F. Inverse Methods in Physical Oceanography. Cambridge University Press. Cambridge/New York, 1992. P. 346.

40. Bergthorsson P., Doos B. Numerical weather map analysis. // Tellus. 1955. P. 329-340.

41. Bleck Rainer, Dean Summer, O'Keefe Matthew, Aaron Sawdey. A comparison of data-parallel and message-passing versions of the Miami Isopicnic Coordinate Ocean Model (MICOM) // Parallel Computing. 1995. Vol. 21. P. 1695-1720.

42. Blumberg A.F., Mellor G.L. A discription of a three-dimensional coastal ocean circulation model // Three-Dimansional Coastal Models/ Ed.: N. S. Heaps. Amer. Geophys. Union. 1987.

43. Boyer,T.P., Levitus S. Objective analysis of temperature and salinity for the world ocean on a 1/4 degree grid. NOAA Atlas NESDIS 11. 1997.

44. Bratseth A M. Statistical interpolation by means of successive corrections. Tellus 38A. 1986. P. 439^7.

45. Bryan K. A numerical method for the study of the circulation of the world ocean // J. Computational Physics. 1969. Vol. 4. P. 347-376.

46. Bryden D., San S., Bleck R. A new approximation of the equation of state for seawater, suitable for numerical ocean models // J. Geoph. Res. 1999. V.104, №C1. P. 1537-1540.

47. Budgell N.P. Stochastic filtering of linear shallow water wave processes. // SIAM. J. Sci. Stat. Comput. 1986. P. 34-42.

48. Carton J.A., Hackert E.C. Applications of multi-variate statistical objective analysis to the circulation in the tropical Atlantic. // Ocean. Dyn. Atm. Oceans. 1989. No. 13. P. 491-515.

49. Chao W.C., Chang L.-P. Development of a four-dimensional variational analysis system using the adjoint method at GLA. Part I. // Dynamics. Mon. Weather Rev. 1992. V. 120. P. 1661-1672.

50. Chassignet E. P., Hernan Arango, David Dietrich, Tal Ezer, Michael Ghil, Dale B. Haidvogel, C.-C. Ma, Avichal Mehra, Afonso M. Paiva, Ziv Sirkes. DAMEE-NAB: the base experiments. // Dynamics of Atmospheres and Oceans. 2000. No. 32. P. 155-183.

51. Chassignet E. P., J Verron. Ocean Weather Forecasting, An Integrated View of Oceanography. Springer, 2006 - P. 574.

52. Courtier P., Talagrand O. Variational assimilation of meteorological observations with the adjoint vorticity equation. II. Numerical results. // Quart. J. R. Meteorol. Soc. 1987. No. 111. P. 1329-1347.

53. Courtier P., Thepaut J.N., Hollingsworth A. A strategy for operational implementation of 4D-Var, using an incremental approach. // Quart. J. R. Meteorol. Soc. 1994. No. 120. P. 1389-1408.

54. Cressman G. An operational objective analysis system. // Mon. Wea. Rev., 1959. No. 87. P. 367-374.

55. Daley R. Atmospheric Data Analysis. Cambridge University Press, Cambridge. 1991.-P. 457.

56. Derber J.C., Rosati A. A global ocean data assimilation system. // J. Phys. Oceanogr. 1989. No. 19. P. 1333-1347.

57. Eydinov D. Automatic History Matching for a Compositional Reservoir Simulator with Flux Approximation. // Thesis of dissertation for the degree of philosaphiae doctor. University of Bergen. 2006.

58. Fischer J., Schott F., Stramma L. Currents and transports of the Great Whirl-Socotra Gyre system during the summer monsoon, August 1993. // J.Geophys.Res. Vol. 101. 1996, P. 3573-3588.

59. G.S. Gwilliam. James Rennell Center for Ocean Circulation, Gamma House, The OCCAM Global Ocean Model. Chilworth Research Center, Chilworth, Southampton. S016 7NS. UK

60. Garternicht,U., F.Schott. Heat fluxes of the Indian Ocean from a global eddy-resolving model. // J.Geophys.Res. 1997. Vol.102, No. C9. P. 2114721159.

61. Ghil M., Malanotte-Rizzoli P. Data assimilation in meteorology and oceanography. // Adv. Geophys. 1991. 33. P. 141-266.

62. Giering R., Kaminski T. Recipes for adjoint code constructions. // ACM Trans. Math. Software. 1998. Vol. 24. P. 437-474.

63. Gilbert J.-C., Lemarechal C. Some numerical experiment with variable storage quasi-Newton algorithms. // Math. Program., 1989, B25, P.408-435.

64. Gilchrist В., Cressman G. An experiment in objective analysis. // Tellus, 1954. No. 6. P. 309-318.

65. Gloukhov V. Parallel Computations in Problems of Climate Modeling. Parallel Computational Fluid Dynamics Advanced Numerical Methods, Software and Applications. Ed. B. Chetverushkin, A. Ecer, N Satofuka, P. Fox. 2004. Elsevier. P. 301- 308.

66. Griffies S.M., Boning C., Bryan F.O., Chassignet E.P., Gerdes R., Hasumi H., Hirst A., Treguier A.-M., Webb D. Developments in ocean climate modelling // Ocean Modelling. 2000. Vol. 2, P. 123-192.

67. Hollingsworth A. The role of real-time four-dimensional data assimilation in the quality control, interpretation and synthesis of climate data. Oceanic

68. Circulation Models, Combining Data and Dynamics. Ed D L T Anderson and J Willebrand Deventer: Kluwer. 1989. P. 304-39.

69. Jacob R, Schafer C., Faster I., Tobi M., Anderson J., Computational Design and Performance of the Fast Ocean Atmosphere Model Version One. // Climate and Global change Series. ANL/CGL-005-0401, April, 2001.

70. Jazwinski A.H. Stochastic Processes and Filtering Theory London: Academic Press, 1970 - P. 376.

71. Kalman R.E., Bucy R.S. New results in linear filtering and prediction theory. // ASME J. Basic. Eng., 1961, 83D, P. 95-108.

72. Kumar M.R., Shenoi S.S.C. On the role of the cross Equatorial flow on summer monsoon rainfall over India using NCEP/NCAR Reanalysis Data // Meteorology and Atmospheric Physics. 1999. V. 70, P. 201-213.

73. Lawless A.S., Nichols N.K., Balloid S.P. A comparison of two methods for developing the linearization of a shallow-water model. // Q.J.R.M.S., 2003, v.129, P.1237-1254.

74. Le Dimet F.-X., Charpentier I. Methodes de second order en assimilation de donnees. Equations aux Derivees Partielles et Applications (Articles dediees a Jacques-Louis Lions). Paris: Elsevier, 1998, P.623-639.

75. Le Dimet F.-X., Talagrand O. Variational algorithms for analysis and assimilation of meteorological observations: Theoretical Aspects. // Tellus, 1986, 38A, P. 97-110.

76. Le Traon P.Y., Dibarboure G., Ducet N. Use of a high resolution model to analyze the mapping capabilities of multiple altimeter missions. // J. Atm. Ocean. Tech., 18, 2001, P. 1277-1288.

77. Le Traon P.Y., Nadal F., Ducet N. An improved mapping method of multi-satellite altimeter data. //J. Atm. Ocean. Tech., 15,1998, P. 522-534.

78. Lewis J.M., Derber J.C. The use of adjoint equations to solve a variational adjustment problem with advective constraints. // Tellus, 31 A, 1985, P. 309322.

79. Li X.S. Sparse Gaussian Elimination on High Performance Computers. // PhD diss., University of California at Berkeley 1996.

80. Lopez, J. W., Kantha L. M. A data-assimilative numerical model of the Nothern Indian ocean. J. of. Atm. and. Oceanic Technology, vol. 17. 1999, P. 1525-1540.

81. Lorenc A. Optimal nonlinear objective analysis. // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc, 1988, v.114, p.205-240.

82. Lorenc A.C. A global three-dimensional multivariate statistical analysis scheme. // Mon. Wea. Rev., 1981,109, P. 701-721.

83. Lorenc A.C. Analysis methods for numerical weather prediction. // Quart. J. R. Meteorol. Soc., 1986,112, P. 1177-1194.

84. Lorenc A.C., Bell R.S., Macpherson B. The Meteorological Office Analysis Correction Data Assimilation scheme. // Quart. J. R. Meteorol. Soc., 1991, 117, P. 59-89.

85. Madec G., Delecluse P. OPA 8.1 Ocean General Circulation Model. Reference Manual. Maurice Imbard et Claire Levy Laboratoire d'Oceanographie DYnamique et de Climatologie.

86. Marchuk G., Shutyaev V., Zalesny V. Approaches to the solution of data assimilation problems. // Optimal control and partial differential equations. J.L. Menaldi et al. (Eds.). IOS Press, 2001, P. 489-497.

87. Marchuk G.I. Adjoint Equations and Analysis of Complex Systems. -Kluwer, Dordrecht, 1995.

88. Marchuk G.I. Formulation of theory of perturbations for complicated models. // Appl. Math. Optimization, 1975,2, P. 1-33.

89. Marchuk G.I., Agoshkov V.I., Shutyaev V.P. Adjoint Equations and Perturbation Algorithms in Nonlinear Problems. New York: CRC Press Inc. - 1996.

90. Marchuk G.I., Diansky N. A., Moshonkin S. N., Zalesny V.B., Rusakov A.S. High-resolution simulation of monsoon variability of the Indian Ocean Currents. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling., Vol. 21, Number 2, 2006, P. 153-168.

91. Marchuk G.I., Rusakov A.S., Zalesny V.B., Diansky N.A. Splitting Numerical Technique with Application to the High Resolution Simulation of the Indian Ocean Circulation. // Pure and Applied Geophysics, Volume 12, Issue 8-9, P. 1407-1429.

92. Marchuk G.I., Schroeter J., Zalesny V.B., Numerical study of the global ocean equilibrium circulation. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 2003, Vol. 18, No. 4, P. 307-335.

93. Marchuk G.I., Shutyaev V.P. Iteration methods for solving a data assimilation problem. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1994, 9, P. 265-279.

94. McClain E.P., Pichel W.G., Walton C.C. Comparative Performance of AVHRR-Based Multichannel Sea Surface Temperatures. // J. Geophys. Res., 1985, 90, P. 11587-11601.

95. McCreary J.P.,Kundu P.K. A numerical investigation of the Somali current during the Southwest monsoon. // J.of Marine Res., 1988, Vol. 46, No. 1,P. 25-58.

96. McPherson R.D., Bergman K.H., Kistler R.E., Rasch G.E., Gordon D.S. The NMC operatopnal global data assimilation system. // Mon. Wea. Rev., 1979, 107, P. 1445-1461.

97. Mesinger F., Arakawa A. Numerical methods used in atmospheric models. Vol. I. JOC, GARP Publication Series, №17. Geneva, World Meteorological Organization, C.P. № 5, CH-1211, Geneva, 1976. P. 64.

98. Pacanovsky R.C., Griffies S.M. The MOM 3 Manual. Geophysic Fluid Dynamics Laboratory. NOAA, Princenton, USA, 1999. P. 680.

99. Pacanovsky R.C., Philander G. Parametrization of vertical mixing in numerical models of the tropical ocean // J. Phys. Oceanogr. 1981. V. 11. P. 1442-1451.

100. Pontryagin L.S., Boltyanskii V.G., Gamkrelidze R.V., Mischenko E.F. The Mathematical Theory of Optimal Processes. New York: John Wiley, 1962.

101. Prasad T.G., Ikeda M., 2002. The wintertime water mass formation in the northern Arabian Sea. // J.of Phys.Oceanogr., vol.32, No.3, P.1028-1040.

102. Saad Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. 2nd edition. -Siam, 2003.

103. Shankar, D., Vinayachandran, P., N., Unnikrishnan, A.,S., Shetye, S., R. The monsoon currents in the north Indian Ocean. //Progr. Oceanogr., 2002, 52(1), P. 63-119.

104. Sirkes Z., Tziperman E. Finite difference of adjoint or adjoint of finite difference? // Mon. Weather Rev., 1997, v.125, P. 3373-3378.

105. Snir, M., Otto, S., Huss-Lederman, S.,Walker, D., Dongarra, J. MPI: The Complete Reference. Cambridge: The MIT Press, MA, 1998.

106. Tolstykh M.A., Gloukhov V.N. Implementation of global atmospheric models on parallel computers. // Computational Technologies, Vol. 7,2002.

107. Tomczak,M., J.S.Godfrey. Regional Oceanography. Butler and Tanner Ltd., Great Britain, Parts 11-13, 2003, P. 175-228.

108. Tziperman E., Thacker W.C. An optimal control/adjoint approach to studying the general circulation. // J. Phys. Oceanogr., 1989,19,1471-1485.

109. Wang, P., D. S. Katz, Y. Chao, Optimization of a Parallel Ocean General Circulation Model, San Jose, California. Super Computing 97, November, 1997.

110. Zalesny V. В., Mathematical model of sea dynamics in a sigma-coordinate system. // Russ. J. Numer. Anal. Modelling, Vol. 20, No. 1, 2005, P. 97-113.

111. Zalesny V.B, Rusakov A.S, Numerical algorithm of data assimilation based on splitting and adjoint equation methods // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, Vol. 22, No. 2, 2007, P. 199-219.

112. Zalesny V.B. Numerical simulation and analysis of the sensitivity of large-scale ocean dynamics. // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1996, V. 11, No 6, p. 421-443.