Методы усвоения данных в гидродинамических моделях циркуляции и их применения для анализа состояния и изменчивости Мирового океана тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.28, доктор физико-математических наук Беляев, Константин Павлович

• Беляев, Константин Павлович
• доктор физико-математических наук
• 2010

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Беляев, Константин Павлович

Введение.стр.

Глава 1. Основные методы;усвоения, данных наблюдений в гидродинамических моделях. Обзор и сравнительный анализ.стр.

§ 1. Метод динамической релаксации (Nudging).стр.

§ 2. Схема объективной интерполяции (Объективный

Анализ).стр.

§ 3. Задачи анализа временных рядов и фильтрации стационарных процессов.стр.

§ 4. Метод фильтрации Калмана. Линейный и обобщенный фильтр Калмана.стр.

§ 5. Вариационные методы усвоения данных.стр.

ГлаваЛ1. Диффузионное приближение и его применение для усвоения данных. Гибридные методы.стр.

§ 1. Формулировка задачи и основные утверждения .стр.

§ 2. Схема для малых интервалов последовательного усвоения — оперативный.режим.стр.

§ 3. Режим последовательной климатической коррекции.стр.

§ 4. Численный алгоритм и оценка числа операций при усвоении в оперативном режиме.стр.109^

§ 5. Пример применения схемы усвоения для одномерной модели.стр.

§ 6. Аналитическое решение уравнения Фоккера-Планка методом теории возмущений.стр.

§ 7. Задача инициализации - определения начального поля при известных данных наблюдений.стр.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Методы усвоения данных в гидродинамических моделях циркуляции и их применения для анализа состояния и изменчивости Мирового океана»

За последнее десятилетие наблюдается огромный всплеск интереса к задачам численного моделирования геофизических процессов и описанию различных сценариев изменения климата. Связано это как с вновь появившимися возможностями в численном моделировании, таких как увеличение быстродействия компьютеров в разы, а то и в десятки раз, так и с резким увеличением наблюдательной базы данных. Проведение глобальных экспериментов ТОГА, ВОСЕ, ПИРАТА и целого ряда других, в совокупности с мониторингом поверхности океана со спутников, наблюдениям в оперативном режиме температуры поверхности океана, данных по уровню и пр. позволило собрать уникальные базы данных. Это позволяет исследователям проводить разработку и тестирование моделей, заниматься их постоянным улучшением и сравнением как друг с другом, так и с наблюдениями. Более того, передача данных по сети ИНТЕРНЕТ делает возможным оперативное сопоставление результатов^ моделирования, усвоение информации в оперативном режиме и, в конечном счете, к заметному улучшению качества прогноза состояния океана1 и атмосферы.

Разработка в последние десятилетия качественно новой наблюдаемой базы данных уже привела к значительным открытиям в. геофизике. Так, было открыто и в дальнейшем подтверждено появление и динамика озоновых дыр в атмосфере, объяснен и спрогнозирован феномен Эль Ниньо, получены существенные продвижения в исследовании такого важного явления как Глобальное потепление. Важные достижения получены и при исследовании явлений меньших масштабов и энергии, например, при* изучении динамики прибрежных районов океана, важных с точки зрения рыболовства и добычи полезных ископаемых.

С другой стороны, рост мощности современных компьютеров, их оперативной памяти, возможностей хранить и передавать информации и пр., дают возможность дальнейшего совершенствования численного моделирования природных процессов, совершенствования их прогноза, разработка и моделирование различных сценариев изменений погоды и климата. Наконец, что принципиально важно в постиндустриальном обществе, следует изучить антропогенное воздействие на глобальные и локальные природные процессы, качественно и количественно отделить его влияние от природных факторов.

Задачи по изучению климата и климатических изменений, которые возникнут в скором времени, будут намного сложнее тех, которые умеют решать сейчас. И одним из методов их решения будет метод математического моделирования. По словам академика А.Н.Тихонова1, сказанного им еще в семидесятых годах прошлого века, математическое-моделирование - один из немногих, если не единственный1 метод исследования сложных систем, к которым, безусловно^ относится климат нашей планеты. Создание адекватной" математической модели-формирования, динамики и изменчивости природной геофизической среды-это весьма важная и актуальная задача настоящего времени, которая будет еще более актуальна в ближайшем будущем.

Со времени появления первых математических моделей динамики океана и атмосферы проделан большой путь. Пионерские работы К. Брайена (К. Bryan 1969 г.) и М. Кокса (М.Сох 1970 г.), двухслойная модель акад. Н.Н.Моисеева Вычислительного Центра АН СССР (Моисеев H.H., 1981 г.), модели разработанные в- Сибирском отделении АН СССР* под общим руководством акад. Г.И. Марчука (Г.И.Марчук, 1974- г.) продемонстрировали принципиальную возможность изучения и общее направление исследований в математическом моделировании сложных геофизических процессов. Уже тогда были качественно и даже количественно смоделированы основные черты крупномасштабной динамики океана и атмосферы, показана роль рельефа океана и особенностей земного покрова для циркуляции вод и воздушных масс и многое другое. В частности модель H.H. Моисеева смогла воспроизвести эффект «ядерной зимы», что имело важное не только научное, но и общественно-политическое значение.

В целом, в начале 70 годов прошлого века был сделан принципиально важный шаг в изучении климатической изменчивости, синоптического, среднесрочного и долгосрочного прогнозирования! динамики океана и атмосферы, различных эффектов антропогенного воздействия на природную среду нашей планеты.

В последующие десятилетия моделирование синоптических, средне и . крупномасштабных процессов и в атмосфере, и в океане переживало настоящий взрыв интереса. Создавались и совершенствовались различные модели, схемы параметризации, методы вычислений. За это время существенно развились как теория моделирования, так и ее практическая реализация. В настоящий момент создание моделей динамики океана и атмосферы, а, начиная^ с 90-х годов XX века и совместных моделей системы "океан-земля-лед-атмосфера", превратилось в мощную индустрию, в которой заняты сотни исследователей самых разных специальностей. При этом постоянно продолжается совершенствование старых и создание новых моделей и схем вычислений.

Однако модели интересны не только и столько сами по себе, сколько своей способностью адекватно описывать и, главное, прогнозировать окружающий мир. К настоящему моменту наиболее убедительным свидетельством их потенциала является прогноз феномена Эль Ниньо 199798 гг.

О феномене Эль Ниньо или более общем явлении ЭНСО (ENSO-El Nino Southern Oscillation) известно уже более сотни лет, и на эту тему написаны сотни книг и тысячи статей. Однако адекватная количественная теория этого явления появилась сравнительно недавно. После работ Мацуно (Т. Matsuno, 1966 г.), Виртке (К. Wyrtky, 1967 г.), экспериментально подтвердившего теорию Мацуно, и А. Буссолачи и Дж. ОЪраена (A. Bussolacci, J. O'Brien, 1981), которые разработали, первую математическую модель явления, ее современная версия, в виде совместной модели "океан-атмосфера" смогла достаточно успешно предсказать появление Эль Ниньо- 1997 г. и описать его основные черты с заблаговременностью около 9 месяцев (Scheider et al 1998);

Конечно, успех модельного описания крупномасштабной динамики-системы "океан-атмосфера" не* исчерпывается- одним, пусть и весьма' важным примером; Модели динамики океана смогли объяснить и достаточно адекватно воспроизвести целый ряд известных феноменов. Отметим модель MICOM и ее современную версию HYCOM (университет Майами, США), которой удалось воспроизвести поворот и отрыв струи Гольстрима в районе м. Гаттерас (R. Black and I. Budra, 1981). Существенно важные детали динамики Мирового Океана, в частности в так называемых Энергоактивных районах были воспроизведены моделью GFDL (R.Pacanovski et al, 1997), моделями института Вычислительной Математики РАН (В.П. Дымников и др., 2005 г.). В целом, успехи моделирования весьма; велики;, и их отрицать невозможно.- В то же время, разработка все более и более сложных моделей не всегда ведет к адекватным результатам в описаниишриродных явлений-и процессов. Есть проблемы в задаче прогнозирования состояния атмосферы и океана, в; особенности в среднесрочном и долгосрочном масштабах. Ряд природных явлений, известных из наблюдений, такие феномены как квази- двухлетнее Северо-Атлантическое колебание, Антарктические циркумполярные волны, диполь в экваториальной части Атлантики и ряд других не получили полного количественного объяснения в рамках существующих моделей. Непонятна природа наблюдаемого Глобального потепления и его динамика в будущем. Недостаточно ясны причины, обуславливающие появления т.н. энергоактивных зон-районов океана, в которых наблюдается повышенные по сравнению с окружающими районами процессы взаимодействия океан-атмосфера.

Серьезной; проблемой в настоящий момент является также неестественное увеличение потоков тепла; в совместных моделях океана»ж атмосферы при долгосрочном; интегрировании. Современные: совместные модели океана и атмосферы обладают тем недостатком, что с увеличением времени интегрирования расчетные потоки тепла из; океана в атмосферы (или наоборот, в зависимости от знака) становятся неестественно большими и, в конечном счете ведут к развалу модели. Причем проблема здесь не только и не столько в математическом алгоритме или, мощности компьютера, сколько в исходных параметрах- физических описаниях процессов обмена энергией и веществом на границе, "океан-атмосфера". Эта задача в настоящий момент не решена.

Эти и другие, многочисленные трудности при моделировании процессов климатической изменчивости, как впрочем, и процессов более мелких масштабов, например при прогнозах погоды и/или региональном моделировании, происходят вследствие целого ряда причин. К этим причинам можно плохое знание или даже полное отсутствие данных, требуемых для задания начальных и/или граничных условий в уравнениях движения, ошибки при численном счете, влияние подсеточных масштабов осреднения и многое другое. Однако основной трудностью следует все же признать недостаточные знания самих физических процессов, лежащих в основе наших математических моделей, их не совсем точную параметризацию и, как следствие, не полностью адекватное физико-математическое приближение реального природного явления. Другими словами, сами уравнения движения, а также те параметры, которые используются при параметризации таких физических явлений как вязкость, перенос тепла и пр. не совсем корректно отражают свойства природы. Поэтому дальнейшее усложнение уравнений, методов их численного счета, быстродействия и мощности компьютеров и прочих технических деталей не обязательно приведет в ближайшем-будущем к существенному улучшению качества моделей.

В связи с этим можно заметить, что параллельно с улучшением моделей, совершенствования их в качественном и количественном смысле, необходимо развивать наблюдательную базу, как с целью тестирования моделей, так и с целью возможной корректировки расчетов в процессе интегрирования.

Независимо от моделирования, развитие наблюдаемой базы данных за состоянием океана и атмосферы относится к числу приоритетных проектов современной науки. Причем это развитие идет необычайно быстрыми темпами. Всего лишь пятнадцать-двадцать лет назад наблюдаемого базиса для того, чтобы сделать какие-либо серьезные выводы о глобальном* изменении климата в океане практически не существовало. Все работы о глобальном потеплении, изменчивости климата Земли и т.д. базировались исключительно на данных, собранных в Гидрометеоцентрах и, покрывающих в основном густонаселенные районы планеты. Климатический атлас Левитуса (R.Concright, 1988) был самой- лучшей базой данных по океану в то время. Несмотря на то, что имелись серьезные возражения как к методу сбора данных, так и к их обработке, ничего лучшего просто не существовало. Поэтому данные из этого Атласа использовались в качестве начального условия практически во всех модельных расчетах.

С того времени произошел заметный скачок в сборе и переработке первичной наблюдаемой информации в океане. Появились и осуществляются проекты ТОГА, ПИРАТА, ВОСЕ, АРГОС и ряд других, где на постоянной основе с заякоренных буев собираются данные по основным геофизическим параметрам. С метеорологических спутников практически в оперативном режиме передаются данные-по поверхностной температуре воды и уровню океана. Кроме того, целый флот обычных и специализированных судов проводит попутные и специальные наблюдения, и эти данные также пополняют имеющиеся архивы.

Тем не менее, глубинные слои океана и верхние слои атмосферы покрыты наблюдениями значительно реже, чем необходимо для полновесных научных выводов. Данные в глубине океана очень разрознены, неоднородны по времени и пространству, и содержат только часть необходимой информации. Огромные области не имеют данных вообще, или эти данные плохо обеспечены. Кроме того, даже к тем наблюдениям, которые имеются, существует много претензий с точки * зрения их качества и достоверности.

Понятно также, что в обозримом будущем вряд ли удастся существенно увеличить имеющиеся массивы данных по глубокому океану и, аналогично, верхним слоям атмосферы. Проведение такого рода экспериментов представляет собой сложную техническую и дорогостоящую практическую задачу. Кроме того, для более достоверных выводов требуется знать не только относительно легко доступные наблюдениям параметры, такие как температура, но и значительно более сложно наблюдаемые величины, такие как соленость океана и/или скорости течений. Это значительно усложняет и удорожает и без того нелегкий процесс получения данных.

Все вышеизложенное приводит к следующему выводу: для того* чтобы существенно улучшить наши знания о климатических и вообще геофизических процессах, необходимо сочетать математическое' моделирование и реально наблюдаемые данные. Это позволит с одной* стороны улучшить качество моделирования, сделать его физически более достоверным, а с другой- восполнит отсутствующий или недостаточный* архив данных.

Задача оптимального сочетания модельных данных и наблюдений получило в литературе название задачи усвоения данных или просто задачи усвоения. Задача усвоения представляет собой, нетривиальную научную проблему. Очевидно, что крайние (экстремальные) решения такой, задачи, при которых наблюдаемые значения заменяют модельные, или наоборот, не являются оптимальными. Действительно, если сделать простую замену модельного решения данными наблюдений, при этом оставить без изменения модельные значения в тех точках, и в те моменты времени, где нет наблюдений (а это обычная ситуация), то баланс между различными, точками в рассматриваемой области окажется нарушенным. Уравнения движения основаны на законах сохранения, т.е. на условиях баланса тепла, энергии и импульса. Или как это следует из современной физики, на законах симметрии, т.е. инвариантности уравнений в смысле замены или переноса системы координат. После замены модельных значений на< наблюдаемые в отдельных местах, законы сохранения нарушаются, что неминуемо приводит к появлению фиктивных потоков и аномальных скоростей. Подстановка такого скорректированного поля в уравнения движения и последующее их интегрирование приводит к неестественным физическим значениям и, в конечном счете, разрушает модель. Также очевидно, что замена наблюдаемых значений поля на модельные, т.е. по существу игнорирование наблюдений, тоже не будет оптимальной стратегией усвоения.

Вообще-то задачи усвоения« рассматривались много раньше, чем они появились в метеорологии и/или океанологии. Из истории науки известна задача- определения, траектории планеты Нептун по наблюдениям* за движением планеты. Уран, точнее за аномалиями этого движения^ не согласующимися с классическими« уравнениями- небесной механики Ньютона. Значение работ Леверье и* Адамса заключается- именно в успешном решении* задачи' усвоения, т.е. в определении такого- решения уравнений небесной, механики, которое включает новую силу, задаваемую тяготением неизвестной- планеты, и при этом согласуемого с наблюдаемым движением планеты известной. Другим примером, задачи усвоения- может быть задача оптимального наведения ракеты на цель по сигналам, задаваемой этой целью, т.е. решения задачи баллистики с учетом поступления наблюдений в процессе полета ракеты. Как известно, такие задачи успешно и давно решаются.

Описывая задачи усвоения данных наблюдений, следует упомянуть и о методах верификации самих методов и исходных моделей. В конечном счете, все методы верификации и тестирования, сводятся к оценке качества воспроизведения наблюдаемых явлений и феноменов, а также к количественной оценке качества прогнозов моделей. При этом важно отметить, что модель с усвоением должна лучше воспроизводить известные явления и давать лучший прогноз, чем контрольный расчет модели без усвоения. Таким образом, расчет и прогноз по модели без усвоения является естественной верхней границей качества любого метода усвоения, который заведомо должен быть улучшен при любом разумном методе усвоения. При этом количественные метрики оценки качества метода усвоения могут быть различными. Например, широко используется метрика «среднего квадратичного отклонения», т.е. когда данные моделирования сравниваются с реальными наблюдениями по средне квадратичному отклонению. Однако используются, и другие метрики, например интегральные сравнения аномалий-отклонений* от среднего, или ковариационные разности- т.е. разность ковариационных функций, построенных по полям при усвоении данных и без них, или прш различных методах усвоения. В настоящей работе используются различные методы верификации предлагаемых методов усвоения данных.

Какой-то устоявшейся классификации задач усвоения нет, разные авторы вводят свою терминологию и, в соответствии с ней рассматривают конкретную задачу усвоения как принадлежащую определенному типу. Мы рассматриваем четыре основных типа задач усвоения - именно задачи коррекции, задачи инициализации, задачи настройки параметров и вынужденные задачи, т.е. задачи, где наблюдения, а точнее разность между модельными и наблюдаемыми полями представляет собой вынуждающую силу, непосредственно- подставляемую в. модель (схемы, релаксации): В-дальнейшем подробно будут рассматриваться схемы коррекции и схемы инициализации. В: меньшей степени будут освещаться, схемы настройки параметров, хотя это очень интересные и практически важные задачи. О схемах релаксации подробно в рамках данной работы говориться не будет.

Следует отметить, что во всех этих схемах предполагается, явно или неявно, что наблюдения производятся независимо от модели. Другими словами, наблюдатели ничего не знают о модели и модельерах, и стратегия расчетов никак не связана с методами и/или стратегией производства измерений. Если это не так, и стратегия наблюдений как-то зависит от схемы расчетов (например, измерения делаются только в заранее заданной области расчетов, в определенных точках сетки и т.д.), то имеет место специальная задача (или тип задач) планирования эксперимента, которая не относится непосредственно к задачам усвоения. Она в дальнейшем рассматриваться не будет.

В научной литературе задачи усвоения в океанологии и-метеорологии исследуются уже несколько десятков лет. Впервые эти вопросы ставились в метеорологии в конце 60 гг. прошлого века: По-видимому, один из первых серьезных результатов в этом направлении был получен Гандиным (Гандин А. 1963 г.). Им. был предложен метод объективного анализа, основанный на оптимальной- линейной интерполяции*. Метод, оказался весьма плодотворным, и даже в настоящее время используется довольно часто (например Derber and Rosatti, 1989). В дальнейшем, методы усвоения данных стали неотъемлемой составной частью прогнозов погоды при практических расчетах. Однако, в настоящий момент существует большой разрыв между теоретическими разработками и их реальным воплощением, в ~ практических алгоритмах. Хорошо теоретически обоснованные и математически строго доказанные методы не всегда возможно, или очень сложно реализовать на практике. Поэтому задачи усвоения данных чрезвычайно актуальны.

В океанологии методы усвоения не столь хорошо разработаны, как в метеорологии. Связано это с целым рядом причин, главными из которых является относительная неполнота данных по Мировому Океану, их нерегулярность и разреженность, а также отсутствие прямых наблюдений за целым рядом характеристик, необходимых для полного описания состояния океана. В последнее время, однако, с появлением больших архивов данных, реализацией глобальных проектов ВОСЕ, АРГОС, ТОГА и других, количество данных по Мировому Океану резко возросло. Стало возможным реализовывать такие задачи, как создание подробных четырехмерных карт характеристик океана (т.е. трехмерных карт на каждый момент времени), где данные характеристики рассчитываются по модели и корректируются наблюдениями. Такого рода проекты (например, проект Bluelink Australia), осуществляются в настоящее время или планируются' быть * осуществлены в ближайшем будущем. Для реализации, такого рода проектов необходимо иметь не только хорошую базу данных (и постоянно ее обновлять), но и разрабатывать и применять быстрые, надежные, относительно недорогие методы усвоения, чтобы иметь возможность усваивать данных в реальном времени.

Говоря о задачах усвоения, можно использовать простую' геометрическую аналогию. Если представить себе результат моделирования как поверхность в фазовом пространстве переменных (например, температуры и солености рис.1) то задача коррекции будет в оптимальном переносе, сдвиге и/или повороте данной поверхности как можно ближе к. наблюдениям при неизменности формы данной поверхности, ее топологии.

Физический смысл этой интерпретации нагляден: поверхность модели - это та область, где выполняются законы сохранения в определенном пространственно временном масштабе, задаваемом уравнениями модели. При переносе данной поверхности в фазовом пространстве, законы сохранения, т.е. симметрия системы не нарушается, поэтому эта операция законна. Вместе с тем, если строить новую поверхность, исходя только из наблюдений, например, строить интерполяционный полином Лежандра, или какой-либо еще, то такое решение нарушает исходные уравнения модели, т.е. баланс параметров, входящих в уравнения, и поэтому не является решением задачи усвоения.

Рис. 1. Графическая интерпретация поиска решения задач коррекции и инициализации

При решении задач коррекции и инициализации рассматриваются две основные группы методов. Первая группа получила название "вариационных" или "функциональных" методов. В западной литературе это направление в основном цитируется как " ajoint method". Идея этого подхода весьма проста и прозрачна. Для заданного оператора модели (а priori заданной системы уравнений) ищется такое начальное и/или S т граничное условие, при котором траектория решения системы уравнений проходит "максимально вблизи" наблюдаемых значений, в смысле некоторой метрики. В рамках интерпретации, принятом на рис. 1, рассматривается задача поиска начального значения, стартуя с которого траектория модели (или поверхность модели) пройдет наиболее «близко» к облаку наблюдений в фазовом пространстве. Не вдаваясь сейчас в точный смысл понятий «близко», «пройдет» и т.п., следует сказать, что решается задача коррекции, если искомое условие ищется в фиксированный момент времени (например, на начало расчета). Если же этот момент заранее не фиксирован, а просто в какой-то предыдущий момент времени ищется поле, обладающее вышеупомянутыми свойствами, то решается полная задача инициализации. При этом получается возможность изменение формы поверхности в геометрической интерпретации рис.1, т.к. геометрия поверхности, вообще говоря, меняется со временем. Задачи оптимальной коррекции и инициализации в "вариационном" подходе, в конечном счете, сводятся к решению обратных задач и минимизации определенных заданных функционалов. Математическая теория такого рода задач, в принципе разработана и известна, хотя есть и теоретические проблемы, и ее практическое применение сталкивается с определенными и весьма немалыми трудностями. Подробнее об этом будет изложено в главе 1 настоящей работы.

Вследствие наглядности постановки задачи, ясности физической интерпретации результата и хорошо разработанной математической составляющей данного направления, этот подход в. течение долгого времени был основным при усвоении данных эксперимента в геофизических моделях. К настоящему времени существует огромное число публикаций так или иначе связанных с разработкой, применением и/или интерпретацией данного метода. Как классические, можно отметить работы

И. Навона и его учеников (I. Navon , 1992), Ж. Таллагранда и М. Куртье (J.Talagrand, M.Courtier, 1987) и много других. Обширный обзор полученных результатов содержится в книге С. Коэна (S. Cohn, 1997). В России (бывшем Советском Союзе) большой вклад внесли в разработку и применение данного метода Г.И. Марчук и его ученики (Агошков В. 2003 г., Шутяев В. 2001 г., В. Пененко и др. 1976 г.) В целом, важно отметить, что данное направление активно развивается и в настоящее время. Последние версии данного направления, известные как 3d-var и 4d-var используются в Метеорологическом Офисе Великобритании, Гидрометеослужбе Франции, многих других научно-исследовательских организациях и Центрах прогноза погоды.

Данный подход особенно удобен для применений в том случае, когда имеется фиксированный набор данных, распределенных внутри заданного временного интервала. В этом случае как применение схемы усвоения, так и ее интерпретация не вызывают трудностей.

Однако часто приходится иметь дело с ситуацией, при которой данные не заданы заранее на каком-то интервале времени, а последовательно поступают в процессе интегрирования модели. Такая схема, например, типична в метеорологии, при численном прогнозировании погоды. В океанологии, в связи с бурным развитием наблюдаемой базы данных, как отмечалось выше, ситуация становится похожей на практическую метеорологию. Поэтому, метод усвоения, основанный на решении обратной задачи, становится неэффективен. Действительно, приходится всякий раз в процессе счета, находить начальное состояние, а затем повторять интегрирование. Схема усвоения становится неустойчивой и слишком затратной.

Кроме неудобства при практическом использовании в схеме последовательного усвоения, вариационный подход имеет и другие недостатки. Схема расчета, основанная на решении обратных задач, или эквивалентная ей схема поиска экстремума градиента очень сложна и труднореализуема. Она требует больших мощностей компьютера и значительного времени счета. Вдобавок, при реализации алгоритма1 появляется много "подводных камней", связанных с численной неустойчивостью и сходимостью. И нельзя также обойти проблему, связанную с некорректностью постановки обратной задачи, в том смысле, что с течением времени малым возмущениям в наблюдаемых данных могут соответствовать большие отклонения начального поля. Все это значительно осложняет теоретическую постановку и практическую реализацию метода. Подробнее о методе, его достоинствах и недостатках будет изложено в главе 1. настоящей работы.

Другим, во многом альтернативным походом' к усвоению* данных служит схема, основанная на теории статистического оценивания и фильтрации случайных процессов. В этой схеме неизвестное ("истинное" или "реальное") поле физических характеристик, например, температуры, представляется в виде суммы модельного решения плюс стохастический шум с известными вероятностными характеристиками. Если* при, этом данные наблюдений считаются- известными точно, без каких-либо помех, то задача усвоения сводится к задаче нахождения1 оптимальной статистической оценки неизвестного поля по заданным наблюдениям. В свою очередь данные наблюдений, можно считать «зашумленными», т.е. представимыми в виде неизвестного сигнала на фоне аддитивного шума. В радиофизике, а затем и в теории вероятностей такие задачи получили названия задач фильтрации (выделения полезного сигнала на фоне шума).

Геометрическая интерпретация, показанная на рис. 1, в этом случае будет состоять в том, что надо определить сдвиг, на который надо сместить поверхность (или часть поверхности), чтобы приблизить ее оптимально к наблюдениям. Физический смысл этого сдвига будет определяться теми связями, которые существуют между той точкой пространства, где есть наблюдения, и той точкой, где таких наблюдений нет, а также тем моментом времени, когда наблюдения сделаны, и когда нет. Таким образом, задача оптимальной коррекции сводится к определению этих связей, которые в линейном случае математически выражаются через ковариационные функции. В случае, когда данные известны точно, «не зашумлены», искомая ковариационная функция будет определяться разностью между модельным и наблюдаемым значениями, если «зашумлены», то требуется решить задачу фильтрации, определить сигнал на фоне известного шума.

Методы решения такого рода задач достаточно хорошо известны, однако полностью решить задачу удается далеко не всегда. В первой половине прошлого века была создана теория фильтрации для стационарных процессов силами великих математиков прошлого века — Н.Винером, А. Колмогоровым и рядом других, менее известных. Обширная» библиография этих работ содержится, например, в книге (Ю.Прохоров, В. Розанов, 1978 г.) Затем методы оптимальной фильтрации были обобщены и на случай нестационарных процессов. Наибольшую известность получила схема, предложенная Р. Калманом (R. Kaiman, 1960). Схема была в последующем существенно обобщена и усовершенствована в ряде работ, см. например (Р. Липцер, А. Ширяев 1978 г.). В настоящее время данный подход активно развивается и применяется на практике.

Метод Калмана оказался весьма удобным именно для последовательного усвоения данных. В этой схеме предварительно известное или построенное поле берется в качестве начального для последующего усвоения, и при новой серии наблюдаемой информации происходит очередная коррекция модельного решения. Такая схема устойчива, не требует дополнительных вычислений и удобна на практике.

Однако следует отметить, что в отличие от вариационного метода, в данной схеме оптимальное решение по существу является случайным процессом (полем). Это значит, что для этого поля условия баланса не выполняются точно, а удовлетворяют "осредненным" соотношениям, т.е. в условиях больших выборок. Это делает физическую интерпретацию результатов не столь наглядной, как в предыдущей схеме. В схеме, показанной на рис.1 это означает, что величина сдвига определяется как среднее большого числа экспериментов (среднее по ансамблю). Это не совсем понятно физически, т.к. реально имеется одна модельная поверхность и одно или, в крайнем случае, несколько начальных условий. Кроме того, распределение построенного оптимального поля по существу случайно и зависит от распределения входных наблюдаемых данных* и выбранной модели шума. Получение высших моментов этого распределения (кроме математического ожидания и, иногда, дисперсии) представляет собой очень непростую математическую задачу. Это также снижает ценность метода, особенно при его практическом применении.

Кроме перечисленных недостатков, неминуемо- присущих данному подходу, стандартный Калмановский фильтр сталкивается еще с целым рядом трудностей. Во-первых, строгая теория метода разработана только для случая линейного оператора. Современные геофизические модели динамики существенно не линейны, что делает невозможным применение теории Калмана в чистом виде. Однако существующие обобщения теории на нелинейный случай, т.н. ансамблевый Калмановский фильтр (Evensen 1991), за исключением нескольких простых примеров, приводят к необычайно громоздким вычислениям. На практике приходится проводить большое число вычислений и потом усреднять результаты моделирования, т.е. использовать т.н. метод Монте-Карло. Это и теоретически не обосновано до конца, и технически непросто.

И, наконец, для расчетов по методу Калмана требуется задать начальное и/или граничное значение ковариационной функции ошибки, т.е. случайной величины (с.в.), характеризующей разность между модельным и наблюдаемым значениями оцениваемого параметра. Поскольку эта величина априори неизвестна, ее начальное и/или граничное значение выбирается во многом произвольно, что неминуемо влияет на конечный результат.

В последнее десятилетие большое распространение получили т.н. гибридные схемы, объединяющие свойства обоих вышеназванных подходов. Как правило, это вариационные схемы, в которых задается случайное распределение наблюдений и минимизируется дисперсия ошибки, т.е. разности между наблюдаемым и модельным полем. Теоретически такие схемы обоснованы недостаточно и представляют собой некоторое инженерное решение задачи минимизации. Однако дальнейшее развитие гибридных схем кажется весьма перспективным, т.к. они сочетают в себе преимущества обоих вышеотмеченных подходов.

Прикладные геофизические исследования, основанные на теории Калмановской фильтрации, широко публикуются и обсуждаются в литературе. Многочисленные исследования в этом направлении проведены целым рядом авторов, как в России (бывшем СССР), так и за рубежом.

Отметим современные работы (в. ЕуепБоп 1994, Б.СоЬп 1997, А. Ьее1:таа 1998) и целый ряд других. В бывшем СССР большой вклад в это направление внесли исследования А. Саркисяна (А.Саркисян и др., 2005 г.) и его учеников, И. Тимченко (И.Тимченко, 1982 г.) и В. Кныша (В. Кныш и др. 1990 г.). В целом надо отметить, что данное направление активно I развивается и совершенствуется.

В настоящей работе предлагается и обоснуется некоторый гибридный метод, основанный на теории фильтрации, но реализующий также минимум функционала от некоторого процесса. Схема усвоения основана на фазовом представлении динамики ошибки. Ковариационная функция ошибки и ее динамика рассматривается в фазовом пространстве, т.е. пространстве значений. В океанологии такой прием называется переходом в т.н. пространство феноменологических координат. Этот подход существенно дополняет теорию Калмановского фильтра и значительно упрощает его практическое применение. Он не требует линейности оператора, сокращает число необходимых операций и позволяет избежать произвола в задании начальных и граничных значений. Метод применяется как для задач коррекции, так и в некоторой модификации для задач инициализации и настройки параметров. Однако этот метод справедлив только при определенных ограничениях. Детали и теоретическое обоснование вышеописанного подхода изложены в главе 2 настоящей работы. Таким образом - основная цель работы - разработка, обоснование и экспериментальная апробация новых схем усвоения данных в океане и их сравнение с существующими и используемыми в настоящий- момент методами. Детально эта цель разбивается на следующие пункты реализации:

1. Математическая и численная разработка нового метода усвоения, основанного на теории диффузионного приближения и его реализация совместно с гидродинамической моделью' циркуляции океана и/или совместной моделью циркуляции «океан-атмосфера».

2. Применение предложенного метода совместно с имеющимися и пополняемыми архивами данных измерений в океане и построение на основе предложенной схемы четырехмерных полей основных физических характеристик океана.

У. Изучение пространственно-временной изменчивости построенных полей и их сравнение с независимыми данными наблюдений в океане, а также полями, построенными: по другим, моделям и с помощью других методов усвоения:

4. Разработка единых критериев верификации и сравнения предлагаемых схем усвоения с аналогичными схемами и другими моделями. Коррекция начальных полей с помощью усвоения данных наблюдений и проведение прогностических и ансамблевых модельных экспериментов со скорректированными начальными условиями. Оценка чувствительности моделей, к возмущенным таким образом начальным условиям:

В диссертации использованы в основном аналитические методы исследования, и обоснования результатов:, ©ни основаны на теории случайных процессов, точнее ее раздела, относящегося к процессам специального вида - так называемым диффузионным процессам; В работе используется также; теория параболических уравнений в частных производных, стандартные методы- математической« статистики» и; численного анализа; Вычислительные эксперименты' проводились на, суперкомпьютерах- класса NEC и кластерах типа- ИБМ «Регата». При усвоении данных наблюдений архивов PIRATA, TOGA-TAO, ARGO, многочисленных данных судовых съемок, в том: числе судов погоды ГОИНа и исследовательских судов ИО РАН был предварительно проведен контроль качества« данных методами; многопараметрической статистики и кластерного анализа. Автором предложены оригинальные аналитические методы, используемые для сравнения имеющихся методов усвоения данных в океане, а также написаны и отлажены программы численного расчета для этих предложенных схем, реализованные на языках Fortran95, С++ с использованием языков SHELL, CSHELL и библиотек параллельного программирования MPI.

На защиту выносятся следующие положения:

• 1. Предложена новая схема усвоения данных, включающая цепочку-теория, методология, апробация, эксперимент, анализ результатов

• 2. Доказано аналитически и подтверждено экспериментально, что предложенные схемы усвоения вычислительно эффективны и численно реализуемы.

• 3. Модельные физические параметры океана, скорректированные данными наблюдений по предложенной схеме, существенно уточняют количественные характеристики их состояния и изменчивости, являются физически непротиворечивыми, соответствуют качественно известным структурам.

• 4. Аналитически показано, что предложенная схема частично обобщает имеющиеся и используемые в настоящий момент методы усвоения, в частности схему объективного анализа и расширенный фильтр Калмана.

• 5. Аналитически разработаны и численно реализованы методы усвоения для двух отдельных случаев - схемы оперативного усвоения данных в океане и схемы климатической коррекции.

• 6. Показано на многочисленных экспериментах в тропической зоне Атлантики, тропической зоне Тихого океана, в средних широтах Атлантики Северного и Южного полушарий, что в результате усвоения существенно улучшается модельная структура термохалинных полей океана, воспроизведение верхнего квазиоднородного слоя, трехмерная структура течений. Также показано* соответствие модели после усвоения полученным независимо данным наблюдений.

• 7. Предложены методы сравнений различных схем усвоения данных океана для одинаковою базы данных, разработан соответствующий аналитический аппарат и показано, что изучаемая схема не уступает имеющимся аналогичным методам, а в ряде случаев их превосходит.

• 8. Разработаны специфические алгоритмы схемы усвоения данных в океане для параллельных вычислений, которые применены для моделей мелкой воды, в частности для модели НУСОМ (Университет Майами, США);

Отдельно следует сказать о проблеме контроля качества- входящих данных, т.е. данных, подлежащих усвоению. Это очень серьезная проблема, т.к. на современном этапе, когда поступает огромный объем данных из разных источников, для оперативного усвоения нужна целая- система контроля и селекции входящего потока: Прежде; всего необходимо отфильтровать все повторные,- дублирующие друг друга данные, поскольку разные источники могут давать (и действительно дают) данные об одной и той же величине в одних и тех же точках и в тот же момент времени. При этом они могут шифроваться разными кодами; поступать по разным: каналам связи; дублироваться сознательно и спонтанно. Кроме отсева дубликатов необходимо контролировать как пространственно-временные координаты поступающих данных, так и сами данные, причем сами данные надо, контролировать по многим параметрам- и чисто формальным, и семантическим, например таким, как устойчивость профиля плотности с глубиной. Для прикладной метеорологии решение этой проблемы давно уже превратилось в настоящий бизнес, которым заняты целые отделы в гидрометеоцентрах, центрах прогноза погоды и сбора данных. Для прикладной океанологии эта задача только начинает решаться на серьезном уровне, и в настоящее время при построении оперативных карт океана в реальном времени (например, в рамках проекта Bluelink, Meteo Bureau Australia) такого рода задачи ставятся и решаются. Насколько известно автору, в настоящий момент принятого во всем мире и реализованного алгоритма еще не существует, поэтому в работе, в специальном приложении приводятся и обсуждаются методы контроля качества данных, необходимые для достоверного усвоения, и показываются результаты такого контроля. Следует отметить, что в рамках настоящей работы системы контроля качества носят достаточно частный характер, в связи с невозможностью, да и ненужностью для научной задачи организовать полную систему контроля, как это сделано, например, в Метео Офисе Великобритании или Австралии. Тем не менее, минимальное наличие такого контроля необходимо даже для научно-исследовательских целей, и тем более для оперативных задач усвоения.

Структура настоящей работы следующая. В первой главе дается обзор основных методов усвоения в гидродинамических моделях циркуляции океана и атмосферы, и делается их сравнительный анализ. Приводятся результаты ряда экспериментов, сделанных как автором настоящей работы, так и другими исследователями. Во второй главе излагается предложенная автором теория метода усвоения, и показывается ее отличие, преимущества и недостатки, в сравнении с классическими схемами. Приводятся также результаты ряда численных экспериментов, сделанных автором. В главах с третьей по пятую излагаются и анализируются результаты численного моделирования в применении к реальному океану. В третьей главе рассматриваются результаты моделирования в Северной Атлантике по данным экспериментов Newfaex 88-89, ив целом по данным, собранных на Ньюфаундленском Энергоактивном полигоне в 80-х годах прошлого века. В четвертой главе изучаются и анализируются эксперименты в тропическом океане по данным буйковых наблюдений проектов "PIRATA" и "TOGA-ТАО". В пятой главе анализируются результаты прогностических экспериментов по совместной модели COLA (Center Ocean Land Atmosphere) в тропической Атлантике и модели ЕСНАМ HOPE (Max Planck Institute for Meteorology, Hamburg, Germany) в тропической части Тихого Океана, проведенных как автором настоящей работы, так и другими исследователями. В конце работы помещены приложения, заключение и список литературы.

В рамках данной работы в качестве входных данных усваивались температурные и соленосные профили. Тем не менее предлагаемые методы могут быть применены для усвоения данных альтиметрии и температуры поверхности океана (ТПО) полученной по спутниковым данным. Заметим, что ТПО усваивалась методом «наджинга».

Изложение материала организовано следующим образом. Вначале каждой главы предлагается короткое введение, в котором описываются краткое содержание каждого* параграфа данной главы. В конце каждой главы помещены приложения, в которых содержатся комментарии и/или-некоторые- материалы, например математические доказательства утверждений; используемых в тексте. Эти материалы помещаются в приложение в том случае если, по мнению автора, их изложение внутри главы не является необходимым, а только приводит к неоправданному усложнению текста.

Рисунки и таблицы, ссылки на которые имеются в тексте, располагаются непосредственно по месту их первого цитирования. Нумерация математических формул, таблиц и рисунков в каждой главе сквозная и сопровождается двумя индексами, первый из которых номер главы, а второй-номер соответствующей формулы, таблицы или рисунка, например (1.15) означает ссылку на 15 по счету формулу 1-й главы.

Заключение диссертации по теме «Океанология», Беляев, Константин Павлович

Основные результаты работы

1 .Построена теоретическая модель, на основе которой апробирован новый метод усвоения, использующий применение теории диффузионных случайных процессов и уравнении Фоккера-Планка. Метод аналитически обоснован, реализован в виде комплекса программ и применен для анализа данных с различными моделями циркуляции океана, а также совместными моделями взаимодействия океана и атмосферы.

2.На основе данного метода построены трехмерные модельные поля основных гидродинамических характеристик океана, таких как температура, соленость, скорость течений, плотность и др. Изучена их пространственная и временная изменчивость за определенный период. Строились и изучались также производные основных характеристик, такие как тепло и солесодержание, переносы тепла и пресной воды, расходы тепла и солей, энергия течений, а также взаимосвязи между ними.

3.Предложенный метод сравнивался с известными схемами усвоения, такими как обобщенный фильтр Калмана, методы статистической интерполяции и ряд других. В работе показана безусловная конкурентоспособность предложенной методики и ее преимущества по ряду параметров.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Как уже говорилось, методы усвоения океанографической информации - это бурно развивающееся направление, важное и в теоретическом аспекте, и для> практических приложений. Построение 4-хмерных карт Мирового океана, краткосрочные и долгосрочные прогнозы погоды и климата, анализ течений с целью слежения за потоками рыбных косяков и оптимального управления в рыбной индустрии - вот далеко не полный перечень приложений, где нужны и важны задачи оптимального усвоения. Кроме того, развитие методов усвоения стимулирует прогресс в целом ряде сопутствующих задач и проблем, от качества измерительной аппаратуры до совершенствования методов параллельных вычислений на быстродействующих компьютерах.

Предлагаемый и изучаемый в работе подход к усвоению данных имеет широкие перспективы. Он обобщает по целому ряду параметров уже имеющиеся и хорошо зарекомендовавшие себя методы, такие как метод, объективного анализа. При этом в предлагаемом методе не'требуется'столь жесткое условие как условие несмещенности модели относительно данных. Как уже отмечалось, метод основан на теории диффузионного приближения и стохастических дифференциальных процессах, однако при применении требует решения системы линейных уравнений с симметричной матрицей, что не вызывает серьезных проблем.

В ряде направлений данный подход может быть существенно расширен. Интересно рассмотреть задачу усвоения при подвижных границах, когда момент начала расчета заранее не задан. Такая задача на практике весьма актуальна, т.к. при усвоении данных мы имеем дело только с моментами наблюдений, и, как правило, не имеем никакой информации относительно начального состояния. Это состояние во многом определяется искусственно и поэтому влияет на окончательный результат. Предлагаемый подход к усвоению данных во многом может решить в дальнейшем эту проблему.

Также интересным направлением может быть дальнейшая разработка и применение этого метода к задачам настройки параметров. В современных моделях циркуляции ряд коэффициентов (например, коэффициенты вязкости в уравнениях Навье-Стокса) задаются приближенно, исходя из вычислительных требований. Задача точной настройки этих параметров, исходя из данных наблюдений, является весьма актуальной. Предлагаемый метода может частично решить эту задачу, а также дать доверительные границы этих коэффициентов.

Отметим важность ансамблевых, расчетов при изучении климата: Меняя начальные условия, задавая< их с помощью метода усвоения при разных наборах данных, в разных- регионах и в различные моменты времени, можно изучать чувствительность модели к возмущению начальных и граничных условий, влияние отдельных регионов и; отдельных характеристик на систему в целому делать внутри и межгодовые прогнозы. При этом важно выдерживать баланс входных начальных параметров, сохранять суммарную массу и энергию. Метод усвоения как раз и служит этой. цели.

Рассматриваемая теория имеет ряд ограничений. Главное из них то, что интервалы между двумя последующими усвоениями должны быть достаточно малы, точнее интервал между двумя последовательными усвоениями должен быть существенно меньше, чем общее время интегрирования. Тем не менее, при всей кажущейся ограничительности этого условия, две реальных схемы - схема оперативного усвоения и схема последовательной климатической коррекции этой теорией описываются. Практика применения показала, что результаты физически корректны, непротиворечивы и согласуются с реальными наблюдениями.

В работе уделялось основное внимание усвоению температурных профилей, и практически, не осуществлялось усвоение другой океанографической информации - профилей солености, альтиметрии etc. Связано это прежде всего с тем, что профили температуры в таких экспериментах как PIRATA и TOGA является наиболее доступной и1 широко популярной базой данных среди исследователей. Однако метод усвоения, предложенный в настоящей работе, достаточно общий и позволяет обработать любую имеющуюся информацию, причем с учетом взаимосвязей входящих наблюдений. Развитие и применение метода к обработке других данных, а не только к профилям температуры - это дело ближайшего будущего.

В завершении отметим, что дальнейшее- развитие компьютерной техники, наблюдаемой базы и методов вычислений, включая параллельные схемы, способствует и будет способствовать прогрессу в области математических методов, в том числе и методов усвоения: Верно и обратное - прогресс в области математических методов непосредственно влияет на смежные области, в частности на развитие моделей климата. Применение новых методов усвоения даст новый импульс в изучении таких важных явлений, как глобальное потепление, антропогенное воздействие на климат и многое другое, а также будет способствовать дальнейшей научной интеграции заинтересованных специалистов в области численного моделирования и применения математических методов для изучения геофизических процессов.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Беляев, Константин Павлович, 2010 год

1. Агошков В. Методы оптимального управления и сопряженных уравнений в задачах математической физики //М. ИВМ РАН 2003, 256 стр.

2. Баранов Е., Колинко А., Регентовский В. Сезонная и межгодовая изменчивость океанологических характеристик на НЭАЗО //Сб. Итоги НТ, Атмосфера, Океан, Космос программа «Разрезы» 1988, т. 12, стр. 84-91

3. Боровков А. Математическая статистика. М.: «Наука» 1984, 475 стр.

4. Гандин JI. Объективный анализ гидрометеорологических полей, 1963, Л.:Гидрометиздат, 242 с.

5. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1965, 655 с.

6. Гулин А.,Самарский А. Численные методы. М.; «Наука» 1974, 330 с.

7. Гулев С. ,Колинко А., Лаппо С. Взаимодействие океана и атмосферы в НЭАЗО в условиях аномальных атмосферных ситуаций//Метеорология и Гидрология, 1987, №8, стр. 63-70

8. Дымников В.П., Лыкосов В.Н., Володин Е.М: Моделирование климата и его изменений. Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования, М.: «Наука», 2005. Т. 2. С. 38 175.

9. Ефимов В., Тимофеев Н., Сычев Е., Куржевский И. Оценка коэффициентов тепло- и влагообмена между океаном и атмосферой// Изв.АНСССР,Сер. ФАО, 1985, Т.21,№7, стр. 735-743

10. Ю.Колмогоров А., Фомин С. Функциональный анализ. М.: «Наука» 1955, 255 стр.

11. П.Кныш В., Моисеенко В., Чернов В. Мониторинг гидрофизических полей НЭАЗО на основе четырехмерного анализа данныхнаблюдений// Сб.Итоги HT, Сер. Атмосфера, Океан, Космос-программа «Разрезы», 1990,Т.13,С.154-167

12. Лаппо С.С., Гулев С.К., Рождественский А.Е. Крупномасштабное тепловое взаимодействие в системе океан-атмосфера и энергоактивные области Мирового океана. Л., Гидрометеоиздат, 1990, 336с.

13. Н.Липцер Р., Ширяев А. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1978.510 с.

14. Марчук Г. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. Л.: 1974, 320 с.

15. Моисеев Н. Математические задачи системного анализа. М.: «Наука», 1981, 487 с.

16. Монин А. ДСаменкович В.,Корт В. Изменчивость Мирового океана. Л. Гидрометеоиздат, 1994, 261с.

17. Мошонкин С. Диагноз механизмов эволюции аномалий температуры поверхности океана в северной Атлантике // Сб.Итоги HT, Сер. Атмосфера, Океан, космос программа «Разрезы», 1990. Т. 13, стр. 105-117

18. Пененко В.В., Образцов Н. Вариационный метод для полей метеорологических элементов // Метеорол. Гидрол. 1976, № 11. С. 1-11

19. Прохоров Ю.В., Розанов В.Н. Теория вероятностей. М.: Наука, 1978.350 с

20. Розенфельд С.Х. Анализ и моделирование вероятностной структуры стохастических колебаний //Гидрометеорологические закономерности формирования среднеширотных энергоактивных областей Мирового океана. 4.2. М.: Гидрометеоиздат, 1986. С.100-110.

21. Саркисян А.С., Залесный В.Б., Дианский Н.А. Математические модели циркуляции океанов и морей. //Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования, М.: Наука, 2005. Т. 2. С. 176 278.

22. Синицын И.Н. Фильтры Калмана и Пугачева. М.: Логос, 2006, 640 с.

23. Тихонов А.Н. Дифференциальные уравнения. М.: Физматлит 2005, 256 с.

24. Шутяев В. Операторы управления и операционные алгоритмы в задачах вариационного усвоения данных М.: «Наука» 2001, 305 стр.

25. Эльцгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и Вариационное исчисление. М.: Наука 1965, 424 с.

26. Яглом А. Экстаполяция и фильтрация случайных процессов. //УМН,1952,Т.6 стр 3-75

27. Albretsen, J., S. Andersen, L-A. Breivik, I. Burud and K. Hansen, Reporton OSI SAF sea ice product quality and on impact in ocean. Sea ice models 2006//Sea ice report, D2.4.1, MERSEA-IP.

28. Andersson, E., Haseler, J., Unden, P. The ECMWF implementation of three dimensional variational assimilation (3D-Var) //Q. J. R. Meteorol. Soc. 1998, Vol. 98 P. 1100-1123

29. Arakawa, A., Lamb V., Computational design of the basic dynamical processes of the UCLA general circulation model. Methods in

30. Computational Physics, J. Chang (ed.), // Academic Press, New York, 1977. Vol. 17. P.173-265.

31. Berlinger D., Leetmaa A. An improved coupled model for ENSO prediction and implications for ocean initialization (I) Ocean data assimilation system, Mon Wea Rew. 1998, Vol.126, 1013-1021

32. Bleck R. ,Boudra I. Initial testing of a numerical ocean cyrculation model using a hybrid quasi isopycnal vertical coordinate.// J. Phys. Oceanogr., 2002,Vol.1 l,P.755-770.

33. Bryan K., A numerical method for the study of the World Ocean // J. Comp. Physics, 1969. N3, P. 347-376.

34. Bussolacci A., O'Brien J. Interannual variability of the Equatorial Pacific in 60-th. // J. Geophys. Res. 1981,Vol.86, P. 10901-10906.

35. Cox M. Princeton University // GFDL Ocean Group Tech. Rep. N. 1, 1970. 143 p.

36. Concright R., Levitus S., Antonov S. World Ocean Atlas // GFDL Report 14, 1988.

37. Cohn S. An introduction to estimation theory // J. Meteor. Soc. Japan, 1997. Vol. 75, (IB), P. 111-130.

38. Cox M. A mathematical model of the Indian ocean//Deep Sea Res., 1970.Vol. 17, Pp 47-75

39. Daley, R. Atmospheric Data Analysis. Cambridge University Press, 1991,457 pp.40:Derber J., Rozati A. Global ocean data assimilation system // J. Phys. Oceanogr., 1989, Vol. 19. P. 1333-1347.

40. Evensen G. Using the Extended Kalman-filter with a multilayer quasi-geostrophic ocean model //J.Geophys.Res., 1991, Vol. 97. P. 17905-17924

41. Gill, A., Niller, P.The theory of the seasonal variability in the ocean. // Deep-Sea Research, 1973,Vol. 20, P. 141-177.

42. Gnanadesikan, A., Pacanowski R, Improved Representation of Flow around Topography in the GFDL Modular Ocean Model MOM2 // International WOCE Newsletter, 1997, Vol27 P. 23-25.

43. Hasselmann, K., On the spectral dissipation of ocean waves due to whitecapping. // Boundary Layer Meteorol. 1974. Vol. 6, P. 107-127.

44. Kalman R. E. A new approach to linear filtering and prediction problems. // J. of Basic Engineering, Trans, of the ASME, Series D,1960,Vol.82,P.34-45.

45. E. Kalnay, M. Kanamitsua, R. Kistlera The NCEP/NCAR 40-Year Reanalysis Project // Bulletin of the American Meteorological Society. 1996. Vol. 77. pp. 437-471

46. Kirtman B., DeWitt D. Intercomparison of Atmospheric Model Wind Stress with Three Different Convective Parameterizations: Sensitivity of Tropical Pacific Ocean Simulations. Mon.Wea.Rev.1995, Vol.51 pp.75125

47. Legutke, S., Voss, R.: The Hamburg Atmosphere-Ocean Coupled Circulation// 1996,MPI report„N 218,120 pp.

48. Lorenc, A: Optimal nonlinear objective analysis. Q. J. R. Meteorol. Soc., 1998, Vol.114, 205-240.

49. Marchuk G., Shutyaev V. Solvability and numerical algorithm for a class of variational data assimilation problems. A tribute of J.E. Lions // ESAIM Control Opt. Cal. Var. 2002, Vol. 8, P. 873-883.

50. Matsuno T. Quasi-geostrophic motions in the equatorial area. //J. Met. Soc. Japan, 1966. Vol. 44, P. 25-42.

51. Navon I.M. Variational data assimilation with an adiabatic version of the spectral model//Mon. Weather Rew., 1992, Vol. 120. P. 1433-1446.

52. Оке P., Brassingtron G., Alves O. A BlueLink Data assimilation Method // QJRMS. 2006. Vol. 132, P. 1381-1384.

53. Talagrant O. and P. Courtier. Variational assimilation of meteorological observations with the adjoint vorticity. Equation I. Theory // Q.J.R.Meteorol.Soc., 1987, Vol. 113. P. 1311-1328.

54. Timchenko I .E. Stochastic modeling of ocean dynamics. London, Harwood Acad. Publication, 1984. 320 p.

55. Schneider R, Schuckla I.,Kirtman B. Annual Cycle And Enso In A Coupled Ocean-Atmosphere Circulation Model // Mon Wea Rev., 1998, Vol.125, P. 680-702.

56. D.Strook, S.R.S.Varadhan. Multidimensional random processes. 1995, Springer-Verlag. Berlin,233 pp.

57. Wyrtky K. Circulation and water masses in the Eastern Equatorial Pacific Ocean//J. Oceanol. Limnol.,1967. Vol. 2(1.), P. 117- 130.

58. Zalesny V., Rusakov A. Numerical algorithm of data assimilation based on splitting and ajoint equations method// Russ. J. Num. Anal. Math. Modelling, 2007, Vol. 22,N 2, P. 199-219

59. Zebiak, S. E., Atmospheric convergence feedback in a simple model for El Niño. //Mon. Wea. Rev., 1996 Voh 114, P. 1263-1271. .

60. Литература автора по теме диссертации

61. Беляев К.П., Михайлов Г.М., Пархоменко В.П., Тучкова Н.П. Танажура К. Методы усвоения натурных данных в гидродинамических моделях и их применение для анализа и прогнозахарактеристик мирового океана. М: ВЦ РАН, 2007. 236 с. ISBN 5-201-09878-9

62. Беляев К.П., Музыченко A.C., Селеменов K.M. Статистические характеристики формирования аномалий поверхностной температуры воды. //Сб. Статистические закономерности климатической изменчивости океанов, ред. Лаппо С.С. Л: Гидрометиздат, 1988.С.65-72

63. Беляев К.П., Лаппо С.С, Терещенков В.П Анализ изменчивости гидрологических полей северного субполярного фронта на основе модели фронтально-захваченных волн Россби. // Морской гидрофизический журнал, 1990. №4. С. 30-38

64. Беляев К.П. Гулев С.К. Лаппо С.С. Терещенков В.П. Оценки теплобаланса в' районе Ньюфаундленской Энергоактивной зоне на основе методов четырехмерного анализа и результатов эксперимента Ньюфаэкс-90 // Изв. АН СССР, сер ФАО. 1990. Т.26, №10, С. 1098-1102

65. Александрочкин A.A., Беляев К.П., Ломинский О.В., Терещенков В.П. Структура разделения вод на НЭАЗО по результатам моделирования методом четырехмерного анализа // Метеорология и Гидрология, 1993. №8. С. 55-62

66. Александрочкин A.A. ,Беляев К.ГТ. Анализ интегральных характеристик в районе Ньюфаундленской энергоактивной зоны //Метеорология и Гидрология. 1995. №8. С. 43-49.

67. Александрочкин A.A., Беляев К.П. Взаимосвязи различных характеристик в районе северного субполярного фронта //Океанология, 1995.Т. 35. №1.С. 13-18.

68. Александрочкин A.A., Беляев К.П. Изменчивость субполярного фронта Северной Атлантики // Метеорология и Гидрология, 1996. № 7. С. 55-65.

69. Ю.Беляев К.П., Соловьев В.Н. О численных расчетах уравнений термогидродинамики, моделирующих океанические течения в районе субполярного фронта северной Атлантики // Матем. Моделирование. 1996. Т. 8. №11. С.87-95.

70. П.Беляев К.П., Соловьев В.Н. Распространение тепловых аномалий в гидродинамической модели в районе субполярного фронта Северной Атлантики // Метеорология и Гидрология. 1998. №9. С. 74-80.

71. Беляев К.П., Соловьев В.Н. О коррекции параметров численной модели с помощью данных измерений- // Матем. Моделирование. 2001. Т.13. №10. С.3-16.

72. Беляев К.П., Соловьев В.Н., Танажура К.А.С. Численные эксперименты с совместной моделью в районе тропической Атлантики // Метеорология и Гидрология. 2001. № 3. С. 47-56.

73. Беляев К.П., Соловьев В.Н., Танажура К.А.С. Метод усвоения океанологической информации в совместной модели «океан-атмосфера» и его применения для анализа состояния океана в тропической Атлантике // Океанология. 2004. Т. 44. №1. С. 71-81.

74. Беляев К.П., Мюллер Д., Танажура К.А.С. Метод усвоения данных наблюдений и его применения для коррекции состояния океана // Океанология. 2005. Т. 45. №1. С. 26-36.

75. Беляев К.П., Тучкова Н.П., Кирхнер И., Метод коррекции модельных расчетов по данным измерений, основанный на диффузионном приближении, и его применения для анализа гидрофизических характеристик // Матем. Моделирование. 2009. Т. 21. №3. С. 53-68.

76. Беляев К.П., Тучкова Н.П., Кубаш У. Реакция совместной модели «океан-атмосфера» на усвоение данных в тропической зоне Тихого океана//Океанология. 2010. Т. 50. №3. С. 306-316.

77. Belyaev К., Nazarov L. Limit theorems for characteristics of a queuing system with batch processing // Theory Prob. Appl.1995. V.40:N4. P. 73-78.

78. Belyaev K. Mayers S., O'Brien J.J. Application of the Fokker-Planck Equation to Data assimilation into Hydrodynamical Models // J. Math. Sciences. 2000. V. 99. N4. P. 1393-1402.

79. Belyaev K, Tanajura C.A.S, O'Brien J.J. A data assimilation method used with an ocean circulation model' and its application to the tropical Atlantic //Applied Math. Modelling. 2001. V. 25. №8. P. 655-670.

80. Belyaev K., Nobre P., O'Brien J.J. A data assimilation method used with an ocean circulation model and its application to the tropical Atlantic data analysis // J. Math. Sciences. 2001.V. 106. N2. P. 2792-2802.

81. Belyaev K., Tanajura C.A.S. An extension of a data assimilation method based on the application of the Fokker-Planck equation // Applied Math. Modelling. 2002. V. 26. N10. P. 1019-1027.

82. Tanajura C., Belyaev K. On the oceanic impact of a data assimilation method in a coupled ocean-land-atmosphere-model // Ocean Dynamics. 2002. V. 52. N3. P. 123-132.

83. Belyaev K., Tanajura C.A.S. On the correction of perturbations due to data assimilation in ocean circulation models // Applied Math. Modelling. 2005. V. 29. N7. P. 609-709.

84. Belyaev K., Mueller D., Tanajura C.A.S. Mathematic properties of data assimilation method based on the diffusion stochastic process // WSEAS Trans. Math. 2006. V. 5. N11. P. 1226-1233.

85. Tanajura C.A.S., Belyaev K. A sequential data assimilation method based on the properties of diffusion-type process // Applied Math. Modelling. 2009. V. 33. N5. P. 2165-2174.