Численные методы решения задач дифракции волн на структурах с группой симметрии куба тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.07, кандидат физико-математических наук Загороднов, Игорь Анатольевич

• Загороднов, Игорь Анатольевич
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Загороднов, Игорь Анатольевич

Введение

Глава I. Метод конечных групп и симметрия правой части

операторного уравнения

1.1. Основные соотношения метода конечных групп

1.2. Алгоритм метода конечных групп, основанный на переходе в базис, присоединенный к разложению регулярного представления на неприводимые

1.3. Алгоритмы, учитывающие симметрию правой части операторного уравнения

1.4. Использование структуры группы симметрий граничной поверхности

1.5. Схема решения задачи дифракции волн на структурах с

группой симметрии правильного треугольника C3v

Глава П. Численное моделирование рассеяния акустических волн на

кубе

2.1. Структура группы куба и ее неприводимые представления

2.2. Основные соотношения метода конечных групп для

структур с группой симметрии куба

2.3. Задача Дирихле. Сравнение решений интегральных

уравнений I и К рода

2.4. Задача Неймана. Сравнение решений интегральных

уравнений I и П рода

2.5. Свойства метода конечных групп и использование

симметрии первичного поля в скалярном случае

Глава Ш. Рассеяние электромагнитных волн на идеально проводящем

кубе

3.1. Постановка задачи и основные соотношения метода

конечных групп в векторном случае

3.2. Рассеяние плоской линейно поляризованной волны на идеально проводящем кубе. Сравнение решений интегральных уравнений I и П рода

3.3.Использование симметрии падающей волны в векторном

случае

Глава IV. Рассеяние акустических и электромагнитных волн на

кубических клетках

4.1.Постановка задачи и геометрия рассеивателя

4.2.Рассеяние плоской акустической волны на кубической

клетке

4.3.Рассеяние плоской линейно поляризованной электромагнитной волны на идеально проводящей

клетке

Публикации по теме диссертации

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы решения задач дифракции волн на структурах с группой симметрии куба»

Введение

Исследование процессов распространения стационарных акустических и электромагнитных волн приводит к постановкам задач математической физики, которые принято называть задачами дифракции или рассеяния [39,63]. Такие задачи встречаются в геофизике, дефектоскопии, оптике, радиофизике, акустике и других областях науки и техники, где изучаются и применяются различные виды колебаний.

Известно [3,74], что строгое аналитическое решение задачи рассеяния удается получить лишь для ограниченного числа тел простейшей формы, когда переменные в волновом уравнении удается разделить за счет использования систем координат, одна из координатных плоскостей которой совпадает с поверхностью тела. Однако и в этом случае в резонансной области частот, когда размеры препятствия сравнимы с длиной облучающей волны, ряды плохо сходятся и требуют численного решения.

Среди применяемых подходов к численному решению задач рассеяния метод интегральных уравнений является, по-видимому, одним из наиболее универсальных и удобных для реализации на ЭВМ. Традиционно методы потенциала использовались в качестве аппарата для доказательства теорем существования и единственности исходных дифференциальных задач [39,63,73]. Применение интегральных уравнений к численному решению задач математической физики началось сравнительно недавно. Первые работы в этом направлении появились в начале 60-х годов, а после выхода в 1968 году монографии [70] численные методы (метод моментов, метод Галеркина) стали активно применяться для решения задач дифракции на рассеивателях различной формы. Отметим также работы [4,10,20,24,27] сыгравшие важную роль в развитии численных методов решения задач теории дифракции.

Современное состояние численных исследований подробно отражено в сборнике фундаментальных работ, опубликованных в период с 20-х по 90-е годы [67]. Следует однако подчеркнуть, что проблема эффективного численного решения задач дифракции на трехмерных рассеивателях в резонансном диапазоне частот, когда длина волны сравнима с размерами рассеивателя, в

настоящее время пока не решена даже с использованием самых мощных современных ЭВМ.

В диссертации рассматривается задача дифракции на трехмерных рассеивателях с ребрами и угловыми точками. Общей теории разрешимости для этого случая пока не построено. Теория акустических задач на замкнутых гладких поверхностях известна давно [40,41]. Общая теория разрешимости электромагнитных задач дифракции на гладких замкнутых поверхностях была построена уже к концу 60-х годов. С. Muller [73] смог довести до определенной завершенности эту теорию, доказав теоремы существования и единственности. Современное изложение теории разрешимости для акустических и электромагнитных задач теории потенциала на гладких замкнутых поверхностях имеется в монографии Д. Колтона и Р. Кресса [39].

Теория разрешимости для скалярных задач на гладких многообразиях с краем (экранах) построена недавно в работах [68,79]. Основным инструментом в данных работах стала техника исследования псевдодифференциальных операторов, действующих в пространствах Соболева. При помощи этой же техники в последнее время A.C. Ильинским и Ю.С. Смирновым [35,36,54] построена теория разрешимости трехмерных векторных задач на незамкнутых гладких поверхностях с гладким краем.

Отметим, что на негладких (топологических) многообразиях, по-видимому, невозможно применение техники псевдодифференциальных операторов. Современное состояние теории граничных интегральных уравнений на негладких многообразиях для скалярных задач частично отражено в работе В.Г. Мазьи [45].

В связи с описанным выше состоянием теории при численном решении задач на поверхностях с ребрами и угловыми точками использовались интегральные уравнения, справедливые для гладких многообразий, хотя явного сглаживания особенностей поверхности не проводилось, но точки коллокации при этом в особые точки поверхности не помещались, и элементы разбиения поверхности не содержали внутри особых точек.

Исследованию дифракции электромагнитных волн на двумерных электродинамических структурах посвящены работы [14], [15], [20], [21], [28]. Достаточно полный обзор таких работ дан в монографии [49]. Приведенная там

же библиография включает 500 наименований. Обоснованию и применению численного метода для решения сингулярных интегральных уравнений и уравнений с интегрируемой особенностью посвящены работы [9,11,19,33,34,43,71,77].

Численное решение задач дифракции волн на трехмерных электродинамических структурах рассматривается в работах [4,7,23,47,51,52,69,72,78,80-82]. При переходе к существенно трехмерным задачам резко повышается порядок системы линейных алгебраических уравнений, получающейся при дискретизации исходной задачи. С этим фактом, по-видимому, связана относительная малочисленность публикаций по численному решению задач дифракции на трехмерных рассеивателях по сравнению с числом работ посвященных двумерному случаю. Отметим также, что в большинстве работ рассматриваются задачи рассеяния на телах обладающих группой симметрий. Однако использование симметрии рассеивателя, за исключением поверхностей вращения, не проводится, и лишь в ряде случаев учитывается симметрия возбуждения.

Численному решению задач на поверхностях вращения посвящены работы [4,7,20]. Предлагаемый в монографии Е.В. Васильева [4] метод решения основан на разложении в ряд Фурье по азимутальной переменной ядра, решения и правой части интегрального уравнения. В результате подобной процедуры приходят к необходимости решения последовательности одномерных уравнений по образующей поверхности вращения. Иной метод предложен в работе В.В.Воеводина, А.Г.Свешникова, Е.Е.Тартышникова [7]. В этом методе на теле вращения вводится сетка, состоящая из колец, каждое из которых разделено на одинаковое количество конгруэнтных элементов N. При нумерации элементов вдоль образующей приходим к клеточно-циркулянтной матрице. Для СЛАУ с такой матрицей разработан эффективный метод решения [8]. При этом используется дискретное преобразование Фурье порядка N.

Качественно другой подход, основанный на гармоническом анализе Фурье и теории групп, использован в работах С.К. Демина, Р.П. Тарасова [17,18] и в цикле работ Е.В. Захарова, С.И. Сафронова, Р.П. Тарасова [29-32]. Предлагаемый метод может быть применен не только к телам вращения, а и к телам с произвольной абелевой группой симметрии. При решении задач на

телах вращения рассматривается конечная абелева подгруппа {"Ту } порядка N группы симметрий тела, что соответствует использованию дискретного ряда Фурье порядка N. Исходное уравнение редуцируется к N независимым уравнениям по одной конгруэнтной составляющей поверхности тела 5. При этом произвольная сетка вначале наносится на одной конгруэнтной составляющей, а затем переносится на всю поверхность тела посредством преобразований симметрии из группы } . Отметим, что при этом возможно использование равномерных сеток и сгущение сетки можно проводить двумя способами: либо увеличивать порядок N, используемой подгруппы {Гдг} , либо сгущать сетку на одной конгруэнтной составляющей при фиксированном порядке N используемой подгруппы. Также в данных работах рассмотрен вопрос о погружении задачи без симметрии в задачу с симметриями.

Теория групп и, в частности, теория представлений групп активно используется в квантовой физике и химии [44,50,59,60,62]. Появление работ Тарасова Р.П. [56,57] позволяет применить теоретико-групповой подход и к численному решению краевых задач математической физики для тел с произвольной (в том числе и некоммутативной) группой симметрий. В работе [57] подробно описан алгоритм решения уравнений типа свертки на конечных группах (метод конечных групп), основанный на соотношениях абстрактного гармонического анализа [65] с использованием теории представлений конечных групп [37, 48]. Заметим, что уравнения такого типа возникают, например, в задачах дифракции, упругости, теплопроводности в случае, если рассматриваемое тело обладает группой симметрий. Также в данной работе приведены численные результаты решения задач электростатики на плоских экранах с группой симметрий диэдра С3у,С4у. Таким образом, после

опубликования данных работ появилась возможность эффективного решения задач теории дифракции на трехмерных структурах, обладающих произвольной группой симметрий.

Рассмотрим теперь работы посвященные задачи дифракции волн на кубе. По рассеянию на кубе имеется довольно значительное число публикаций [47,51,69,72,78,80-82]. Как отмечено в [55] исследование объектов основных геометрических форм заслуживает большого внимания, так как «эти

исследования позволяют глубже понять процесс рассеяния от объектов более сложных конфигураций, а также потому, что многие основные геометрические формы являются довольно близкой аппроксимацией реальных целей». Кубу присущи все черты сложного трехмерного рассеивающего объекта с его многократными взаимодействиями и дифракцией на углах куба, играющей важную роль в формировании диаграмм рассеяния в различных плоскостях. В работе [78] представлены результаты для куба, размер ребра которого составляет 1.5-3 длины волны, падающей перпендикулярно одной из граней. Применен гибридный итерационный метод, в котором задается начальное приближение поверхностных токов. При этом, как сказано в данной работе, исходное уравнение разбивалось на двенадцать скалярных, которые за счет учета симметрии приводились к восьми. В работе [69] приведены численные результаты расчета диаграмм рассеяния для нормального падения плоской волны на грань куба, размер ребра которого составляет 1-5 длин волн. При этом полученные результаты сравниваются с экспериментальными данными и с аналитическим приближенным решением («high-frequency solution») .Для численного решения использовалось уравнение магнитного поля и метод моментов с выбором простейших функций. При помощи учета симметрии всей задачи число неизвестных сокращалось в 4 раза.

В диссертации рассматриваются алгоритмы численного решения скалярных и векторных задач дифракции на структурах с группой симметрий куба. Структура с группой симметрии куба задается конгруэнтной

составляющей в J/jg части пространства аналогично тому, как поверхность

вращения задается своей образующей. К классу структур с кубической симметрией принадлежат, например, куб, сфера, некоторые полуправильные многогранники (тела Архимеда). При численном моделировании в качестве типичного представителя данного класса был взят куб, а также рассматривалась задача на незамкнутой поверхности - кубической клетке.

Отметим, что ни в одной из известных автору работ по кубу не дается сечение диаграмм рассеяния в плоскости нормальной к направлению падения волны, хотя, как отмечено в [78], «было бы интересным рассчитать ЭПО в поперечном разрезе. В данном разрезе минимизируется влияние относительно

большого неоднородного тока передней грани и более выражено проявляются эффекты кросс-поляризованных токов. Эти кросс-поляризованные токи, по всей видимости, содержат информацию о тонкой структуре ЭПО рассеивающего куба».

В диссертации даются нормальные сечения диаграмм рассеяния, полученные с высокой точностью для куба, размер ребра которого составляет 18 длин падающей волны.

Во всех перечисленных выше работах по кубу рассматривается в основном случай нормального падения плоской волны, что позволяет некоторым авторам за счет учета симметрии всей задачи уменьшить размерность задачи в 4 раза. Произвольное падение рассмотрено, например, в докладе [72] для куба размер ребра которого равен длине падающей волны. Причем время решения составило ~6.5 часов со среднеквадратичной погрешностью решения по невязке 7.1%.

Предложенный в диссертации алгоритм позволяет численно решать на современных ПЭВМ задачи произвольного возбуждения куба, размер ребра которого составляет 8 длин падающей волны и более, причем время счета на сетке 10800 элементов в векторном случае не превышает 1 часа (точное время счета и тип ПЭВМ указаны в гл.2,3). Использование данного алгоритма при обращении СЛАУ методом Гаусса приводит к сокращению объема вычислений в ~103 раз по сравнению со случаем, когда задача решается «в лоб», то есть без учета симметрии куба.

Рассмотрение в основном случая нормального падения связано лишь с более легкой интерпретацией получаемых результатов и с возможностью их сравнения с результатами других авторов.

Однако в случае нормального падения плоской волны общий алгоритм может быть изменен так, чтобы учитывать симметрию первичного поля. Так в акустике учет симметрии первичного поля при нормальном падении плоской волны на грань куба приводит к дополнительному сокращению объема вычислений в ~3.6 раз и общий коэффициент сокращения объема вычислений

равен -З-Ю3 по сравнению со случаем, когда симметрия куба и симметрия возбуждения никак не учитываются. В электродинамике такой же коэффициент

возможен при возбуждении куба диполем, находящимся на одной из осей симметрии куба и по ней ориентированном. В случае нормального падения плоской волны на грань куба с вектором Н параллельным ребру куба учет симметрии первичного поля приводит к дополнительному сокращению объема вычислений в ~1.2 раза.

В диссертации задачи рассеяния на кубе численно решаются с использованием граничных интегральных уравнений I и П рода. При дискретизации данных уравнений используется метод кусочно-постоянной аппроксимации и коллокации (метод моментов) так же, как это предложено А.Г.Давыдовым, Е.В. Захаровым, Ю.В. Пименовым в работе [13]. Интегральные уравнения записываются на поверхности тела и на ней находится реальное распределение токов (источников). При моделировании рассеяния на кубе проводился сравнительный анализ результатов решения уравнений I и П рода.

Целью настоящей работы является:

1. Построение эффективных вычислительных алгоритмов численного анализа существенно трехмерных задач дифракции на основе учета симметрии рассеивателя и первичного поля.

2. Разработка программ численного решения задач дифракции на структурах с группой симметрии куба.

3. Сравнительный анализ результатов решения задач акустической и электромагнитной дифракции на кубе на основе граничных интегральных уравнений I и П рода.

4. Вычисление характеристик рассеяния на кубе и кубической клетке в резонансном диапазоне частот.

На защиту выносятся следующие основные результаты.

1. Разработаны и обоснованы алгоритмы, учитывающие симметрию первичного поля и структуру группы симметрий рассеивателя.

2. Построен и реализован численный алгоритм решения задач дифракции на структурах с группой симметрии куба при произвольном возбуждении.

3. Проведен сравнительный анализ результатов решения задач акустической и электромагнитной дифракции на кубе на основе граничных интегральных уравнений I и II рода.

4. Рассчитаны токи на поверхности и характеристики рассеяния для куба и кубических клеток в резонансном диапазоне частот.

Научная новизна работы состоит в том, что предлагаемые методы и алгоритмы основаны на теоретико-групповом подходе и позволяют существенно снижать порядки решаемых при численной реализации систем линейных алгебраических уравнений при сохранении точности аппроксимации граничной поверхности. Разработан комплекс программ численного анализа дифракции и возбуждения на структурах с группой симметрии куба. Проведены многочисленные численные эксперименты.

Достоверность полученных результатов и выводов диссертации обеспечивается использованием математически обоснованного подхода к решению задачи. Численные алгоритмы тестировались на внутренних задачах с известным решением. Контроль точности получаемого решения внешних задач проводился на основе критерия нулевого поля внутри замкнутой поверхности, а также сравнением получающихся результатов с известными результатами других авторов и экспериментальными данными.

Практическая ценность работы заключается в том, что разработанные методы и программы позволяют с высокой точностью эффективно решать класс задач акустической и электромагнитной дифракции на структурах с группой симметрии куба в резонансной области частот.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитируемой литературы.

В первой главе формулируется метод конечных групп для решения краевых задач математической физики, а также на основе теории представлений конечных групп строятся и обосновываются алгоритмы, учитывающие симметрию правой части операторного уравнения и структуру конкретной конечной группы.

Во второй главе рассматривается численное решение на основе метода конечных групп задач жесткого и мягкого рассеяния акустических волн на кубе; описывается группа куба, рассматривается ее структура и приводятся неприводимые унитарно неэквивалентные представления данной группы; общие соотношения, рассмотренные в первой главе для общего случая записываются для тела обладающего полной группой симметрии куба;

рассматриваются результаты численного решения уравнений I и П рода; даны диаграммы рассеяния и распределения плотности вторичных источников при волновых размерах куба ка<50, где а - длина ребра куба, к- волновое число.

В третьей главе рассматривается векторный случай, а именно, рассеяние плоской линейно поляризованной электромагнитной волны на идеально проводящем кубе; описывается постановка задачи и основные соотношения метода конечных групп для векторного случая; показаны диаграммы рассеяния и плотности токов на поверхности куба при тех же волновых размерах, что и в скалярном случае; сравниваются результаты полученные решением уравнений I и П рода.

В четвертой главе рассматриваются задачи дифракции на незамкнутых поверхностях, обладающих группой симметрий куба, а также приводятся примеры различных структур с кубической симметрией.

Список литературы состоит из 82 наименований.

Результаты диссертации опубликованы в работах [1-5] и докладывались на VII Всесоюзном симпозиуме «Метод дискретных особенностей в задачах математической физики» (Феодосия, 1997), на семинаре кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ, на научно-исследовательском семинаре кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ (руководители: проф. Захарова Е.В., проф. Лифанов И.К.) и научно-исследовательском семинаре кафедры математики физического факультета МГУ (руководители: проф. Свешников А.Г., проф. Ильинский A.C.).

I. Метод конечных групп и симметрия правой части операторного уравнения.

При переходе к существенно трехмерным задачам математической физики резко повышается порядок системы линейных алгебраических уравнений, полученной при дискретизации исходной задачи. Поэтому разработка высокоэффективных численных алгоритмов является весьма актуальной задачей. В случае краевых задач на структурах с симметриями возможно построение эффективных алгоритмов, учитывающих симметрию задачи.

В данной главе формулируется метод конечных групп для решения краевых задач математической физики на структурах с симметриями, а также на основе теории представлений конечных групп [37,48] строятся алгоритмы, учитывающие симметрию правой части операторного уравнения и структуру конкретной конечной группы. В параграфе 1.1 в рамках, подхода работ Тарасова Р.П. [56,57], на основе представления граничных интегральных уравнений в виде уравнений операторной свертки на группе симметрий граничной поверхности выводятся основные соотношения метода конечных групп при произвольной правой части интегрального уравнения. В параграфе 1.2 рассматривается алгоритм, основанный на непосредственном построении матрицы перехода в базис, присоединенный к разложению правого регулярного представления на неприводимые. В параграфе 1.3 рассматривается случай, когда правая часть интегрального уравнения обладает симметрией, подчиненной симметрии граничной поверхности. На основе теории индуцированных представлений изучается структура интегрального оператора и предлагаются численные методы, позволяющие учесть симметрию всей задачи в этом случае. В параграфе 1.4 предлагается алгоритм, учитывающий структуру группы симметрий граничной поверхности.

Излагаемые в данной главе теоретические положения, по возможности, иллюстрируются в параграфе 1.5 на примере краевой задачи на структуре с группой симметрий правильного треугольника. В последующих главах численная схема достаточно подробно описывается для задач дифракции волн на структурах с кубической симметрией.

1.1. Основные соотношения метода конечных групп.

Как известно[6,58], многие краевые задачи математической физики могут быть сведены к интегральным уравнениям по граничной поверхности S. Использование метода граничных интегральных уравнений позволяет перейти от решения задач в неограниченной области к поиску решения на ограниченной поверхности меньшего числа измерений.

¡.Покажем, что из инвариантности оператора граничной задачи к группе преобразований {Тдг} следует инвариантность соответствующего

интегрального оператора.

Рассмотрим краевую задачу

Lu{x) = 0, xeQ, lu{x) = f{x\ xeS,

где L - дифференциальный оператор, / - оператор краевого условия, Q -

г> 3 о

ограниченная или неограниченная область вас границей S . Обозначим через М оператор краевой задачи (1.1).

Если L(Q.)- линейное пространство числовых функций на й и {"Гдг}-группа преобразований Q, то {tn} порождает группу преобразований {T(tn)} пространства L(Q)

T{rk):f{x)^ f{rkx), rke{TN}. (1.2)

Будем говорить, что оператор М инвариантен к группе преобразований {tn }, если

Т(тк)МТ~1(тк) = М, Утке{тм}. Предположим, что краевая задача (1.1) эквивалентна интегральному уравнению

A<P(x) = f{x\ (1.3)

Тогда из инвариантности оператора М к группе преобразований {г^ } следует инвариантность оператора А относительно {tn }.

Действительно, отображение (1.2) пространства Ь(0.) приводит к

отображению операторов М -» Т{тк)МТ~Х (тк), А -> Т(тк)АТ~1(тк) .

Следовательно, оператору Т(тк)МТ~1 (тк) соответствует оператор

. С другой стороны, из инвариантности М следует, что

оператору Т(тк)МТ~1(тк) = М соответствует оператор А, и поэтому

А = Т(тк)АТ-\тк).

2.Будем рассматривать граничную поверхность £ как левое {Тдг} -пространство. Поверхность £ допускает разбиение на конгруэнтные составляющие ^ = т,-^,/= причем имеет место соотношение

N

^игд, гг. е{гд;}. ¡■=1

Пусть - пространство числовых функций на Тогда -£(£)

представляет собой прямую сумму подпространств

Щ) = ФЩ{), (1.4)

¡=1

где подпространство числовых функций на Разбиение (1.4)

определяет изоморфное каноническое отображение пространства £(£) на Ь({ты}), где Ь({ты})- пространство функций на {Гдг} со значениями в

ОД):

Г/(г,*,), Х = Т1Х,<е8. Ж) = 2(гг)/« = ^ У Тге{т„},

{ О, X {£

где 0(т;)- оператор проектирования на ¿(б1-). В соответствии с разбиением (1.4) каждому оператору на Ь(8) сопоставляется операторная функция А(Т;,Т^ = ()(Т;)А()(Т^. В пространстве Ь{{гы}) операторная функция

л

Л(г;,гу) переходит в операторную функцию на группе А{г^т^ со значениями в пространстве операторов на -Ц^) . Таким образом, оператор Л переходит в Ь({тм}) в оператор А

м

Определим в пространстве Ь({тм}) операцию левого сдвига:

Птку.Къ)-*Кчъ) с1-5)

При условии, что оператор А инвариантен относительно преобразований из группы {гм} в пространстве Ь(3), соответствующая операторная функция

А

А(Т;,^) инвариантна относительно левых сдвигов (1.5) на группе {тм}:

А{т1,т]) = А{ткт{,ткт]), Утке{тК}. (1.6)

Будем говорить, что оператор А в пространстве Ь({т1^}) инвариантен относительно преобразований из группы {Гд,}, если выполнено соотношение (1.6).

Докажем соотношение (1.6). Уравнение (1.3) в силу инвариантности оператора А может быть записано в виде

Т(тк)АТ-\тк)<р(х) = /(х),хе8. (1.7)

С другой стороны, имеет место представление

Ж*)]=йШЬЫ = и.,

которое в пространстве Ь({тм}) переходит в равенство

Л -

= (1.8) Аналогично уравнение (1.7) можно записать следующим образом

¿[ес^о^ес^)]^^)^-1^)^^)] = ^(г^Г-Ч^Ш^ЛЛ: = 1.....//.

7=1

Делая замену групповых переменных: Тт = и г5 = , можно записать

I ктт)]Мтктт)Т-\ткМх)] = )/(*>,* =

/к=1

Из соотношения \Tk)(P(x) = Q(Tm)(P(x) следует, что в

пространстве L({tn}) последнее равенство принимает вид

tk4Ts,TkTm)<p(Tm) = f(Ts). (1.9)

т=1

В свою очередь, из соотношений (1.8) и (1.9) следует равенство (1.6). Таким образом из инвариантности оператора А в пространстве L(S) следует

л

инвариантность оператора А в пространстве L({tn}).

Полагая в (1.6) Тк Zj = Тх, где т1 -единичное преобразование, приходим к

Л A j

равенству A(t¿,Tj) = A(tJ t¿,^). Поэтому уравнение (1.3) в пространстве L({tn}) может быть записано в виде правой операторной свертки на группе

м

[А*ф](т{) = }(?,), ¿(TJbÁCW), (1.10)

где операция правой свертки определяется равенством

J=1

л

Следовательно, при сеточной аппроксимации операторной функции A(r¿,Tj)

л h

достаточно вычислить элементы А (г-,^),/ = 1,2,...,ÍV, аппроксимирующие

^(г, ,^). Это позволяет сократить объем вычислений при аппроксимации

оператора А в N раз, а также в N раз сокращается объем необходимой памяти ЭВМ.

3.Пусть {<Jp}- множество всех классов эквивалентности неприводимых представлений группы {tn }, р - число таких классов, и пусть также Uа -представитель класса <Ji, <J¡ € {ир}, действующий в da -мерном

гильбертовом пространстве. Тогда функция /(г) на группе {zN} может быть представлена рядом Фурье [65]:

(lid

1У j=i

где tr означает след и коэффициенты Фурье f (сг) вычисляются согласно выражению

(1.12)

í=i

Следовательно, уравнение (1.10) преобразуется к виду

A(<Tj№<Tj) = f(<7j), C7j е{стр}, при этом если <p(o~j) - является решением данного уравнения, то решение уравнения (1.10) можно найти по формуле (1.11).

Поскольку А(сг) при каждом фиксированном О" е {сг} описываются операторными матрицами порядка da, элементами которых являются

операторы действующие в пространстве L{S{), а и /(сг) - матрицами

порядка da, элементы которых принадлежат этому пространству, то приходим к заключению, что для тела, обладающего группой симметрий {tn }, граничное операторное уравнение А(р = f приводится к матричному операторному уравнению на множестве всех классов {сг} в пространстве ,

максимальный порядок которого равен максимальному порядку неприводимых представлений группы {tn }.

л i

Поэтому если вычислительный метод обращения матрицы А , получаемой при дискретизации уравнения (1.3) требует 0(пк ) операций, где п

- число неизвестных, то использование формализма преобразования Фурье

J р

сокращает объем вычислений в N ¡^{d^) раз, а размерность задачи

/ í=I

понижается в t>N/dmax раз, где ¿/max = тахda. В свою очередь, помимо

ае{а}

сокращения объема вычислений, уменьшение размерности матриц дискретной задачи и, следовательно, улучшение их обусловленности, приводит к повышению устойчивости численного решения и позволяет обойтись без дорогостоящих регуляризирующих процедур при достаточно точной аппроксимации исходной задачи.

1.2. Алгоритм метода конечных групп, основанный на переходе в базис, присоединенный к разложению регулярного представления на неприводимые.

В предыдущем параграфе приведена численная схема, основанная на соотношениях абстрактного гармонического анализа. Однако возможен иной

подход, в основе которого лежит приведение операторной матрицы

4

n

с

U= 1

элементами А- = А(т1}ту) к блочно-диагональному виду при помощи

построения матрицы перехода в базис, присоединенный к разложению правого регулярного представления группы симметрий {%} на неприводимые представления.

Известно [37], что правое регулярное представление Я(тк), тк е {тм} , может рассматриваться как представление индуцированное тривиальным представлением р подгруппы {т^}, состоящей только из единичного элемента:

{R(rk)} = Ind({TN},{Tl},p})=={p(TiTkTf)~; тке{т„}},

где полагаем р(тк) = 0 при тк Ф т,. Используя введенные выше обозначения, можем записать

[А * ф]{тд = tit j) ■

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Загороднов, Игорь Анатольевич, 1998 год

Литература

1. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

2. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел J1. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987.

3. Ваганов Р.Б., Канцеленбаум Б.З. Основы теории дифракции. М.: Наука, 1982.

4. Васильев E.H. Возбуждение тел вращения. М.:Радио и связь, 1987.

5. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения. Киев: Наукова думка, 1986.

6. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.:Наука, 1988.

7. Воеводин В.В., Свешников А.Г., Тартышников Е.Е. Эффективный численный метод решения интегрального уравнения второго рода в задачах электродинамики. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и кибернетика, 1980, N1, стр. 14-26.

8. Воеводина С.Н. Решение систем с клеточно-теплицевыми матрицами.// Вычислительные методы и программирование. М.:Изд-во МГУ, 1980, вып. 14, стр. 3214-339.

9. Воронин В.В., Цецохо В.А. Интерполяционный метод решения интегрального уравнения I рода с логарифмической особенностью. //ДАН СССР, 1974, т.216, N6, стр. 1209-1211.

10. Вычислительные методы в электродинамике. /Под ред. Р. Митры. - М.: Мир, 1977.

11. Габдулхаев Б.Г. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегродифференциальных уравнений. //Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Сер. мат. анализ, 1980, вып. 18, стр. 251-307.

12.Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции. Вып.1. Обобщенные функции и действия над ними. М.:Физматгиз, 1971.

13. Давыдов А.Г, Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Метод численного решения задач дифракции электромагнитных волн на незамкнутых поверхностях произвольной формы. //ДАН СССР, 1984, т. 276, N1, стр. 96-100.

14. Давыдов А.Г. О возбуждении незамкнутого кругового цилиндра Н -поляризованной электромагнитной волной. //Ж. техн. физ.,1982, т.52, N1, стр. 92-95.

15. Давыдов А.Г., Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Метод решения задач дифракции электромагнитных волн на бесконечно тонких цилиндрических экранах. // ДАН СССР, 1981, т.261, N2, стр. 338-341.

16. Демин С.К. Численный анализ трехмерных электростатических полей электронно-оптических систем с использованием симметрии конструктивных элементов. Дисс. канд. физ.-мат. наук. М.:1996.

17. Демин С.К., Тарасов Р.П. Моделирование сложных электростатических систем, разбивающихся на подсистемы с конечной группой симметрий.// Мат. моделирование, 1993, т.5, N7, стр.113-123.

18. Демин С.К., Тарасов Р.П. Численное решение задачи рассеяния потенциального поля на системе экранов с симметрией. //Ж. выч. матем. и матем. физ., 1989, т.29, N9, стр. 1308-1317.

19. Диденко В.Д. Метод механических квадратур для систем сингулярных интегральных уравнений. //Изв. вузов. Математика, 1979, N1, стр 76-79.

20. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1987.

21. Дмитриев В.И., Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Методы расчета электромагнитных полей в задачах дифракции на идеально проводящих поверхностях. // Вычисл. методы и программирование, 1973, вып. 20, стр. 106-125.

22. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.

23. Еремин Ю.С., Свешников А.Г. Квазирешение векторных задач дифракции на экранах на основе итерационных методов. // Ж. выч. матем. и матем. физ., 1991, т.31, N10, стр. 1536-1543.

24. Еремин Ю.С., Свешников А.Г. Метод дискретных источников в задачах электромагнитной дифракции. М.: Изд-во МГУ, 1992.

25. Загороднов И.А., Тарасов Р.П. Задача дифракции на телах с некоммутативной конечной группой симметрий и численное ее решение. // Ж. выч. матем. и матем. физ., 1997, т.37, N10, стр. 1246-1262.

26. Захаров Е.В., Давыдов А.Г., Халеева И.В. Интегральные уравнения с ядрами Адамара в задачах дифракции.// Актуальные вопросы прикладной математики. М.: Изд-во МГУ, 1989, стр. 118-127.

27. Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции радиоволн. М.: Радио и связь, 1982.

28. Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции электромагнитных волн на незамкнутой цилиндрической поверхности. //Изв. вузов. Радиофизика, 1979, т. 22, N5, стр. 620-627.

29. Захаров Е.В., Сафронов С.И., Тарасов Р.П. Абелевы группы конечного порядка в численном анализе краевых задач теории потенциала. //Ж. выч. матем. и матем. физ., 1992, т.32, N1, стр. 40-58.

30. Захаров Е.В., Сафронов С.И., Тарасов Р.П. Конечные группы в численном анализе граничных интегральных уравнений.// Дифф. уравнения, 1993, t.29,N9, стр. 1620-1631.

31. Захаров Е.В., Сафронов С.И., Тарасов Р.П. Метод интегральных уравнений в краевых задачах с абелевой группой симметрий конечного порядка.//ДАН СССР, 1990, t.314,N3, стр.589-593.

32. Захаров Е.В., Сафронов С.И., Тарасов Р.П. Метод численного решения интегральных уравнений в краевых задачах с абелевой группой симметрий конечного порядка.// Ж. выч. матем. и матем. физ., 1990, т.30, N11, стр. 16611674.

33. Захаров Е.В., Собянина И.В. Об одномерных интегродифференциальных уравнениях задач дифракции на экранах. // Ж. выч. матем. и матем. физ., 1986, т.26, N4, стр. 632-636.

34. Захаров Е.В., Халеева И.В. Гиперсингулярные интегральные уравнения первого рода в задачах дифракции электромагнитных волн на открытых поверхностях. // Ж. выч. матем. и матем. физ., 1993, т.ЗЗ, N2, стр. 281-286.

35. Ильинский A.C. Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. М.: Изд. предприятие редакции журнала «Радиотехника», 1996.

36. Ильинский A.C. Смирнов Ю.Г. Интегральные уравнения для задач дифракции волн на экранах. //Радиотехн. и электроника, 1994, т.39, N1, стр. 23-31.

37. Кириллов A.A. Элементы теории представлений. М.: Наука, 1979.

38. Клейн Ф. Лекции об икосаэдре и решении уравнений пятой степени. М.:Наука, 1989.

39. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. М.:Мир, 1987.

40. Купрадзе В.Д. Граничные задачи теории колебаний и интегральные уравнения. М.: Гостехиздат, 1951.

41. Купрадзе В.Д. Основные задачи математической теории дифракции. М.: Гостехиздат, 1935.

42. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М.: Наука, 1969.

43. Лифанов И.К. О некорректности и регуляризации численного решения сингулярных интегральных уравнений первого рода. //ДАН СССР, 1980, т.255, N5, стр. 1046-1050.

44. Любарский Г.Я. Теория групп и ее применение в физике. М.: Физматгиз, 1958.

45. Мазья В.Г. Граничные интегральные уравнения. //Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.27. М.: ВИНИТИ, 1988, стр. 131-228.

46. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965.

47. Мукомолов А.И. Метод дискретных источников в задачах рассеяния на конечных идеально проводящих телах. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Томск:

1991.

48. Наймарк М.А. Теория представлений групп. М.:Наука, 1976.

49. Панасюк В.В., Саврук М.П., Назарчук З.Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. Киев: Наукова думка, 1984.

50. Петрашень М.И., Трифонов Е.Д. Применение теории групп в квантовой механике. М.: Наука, 1967.

51.Самохин А.Б. Дифракция электромагнитных волн на локально-неоднородном теле и сингулярные уравнения. // Ж. выч. матем. и матем. физ.,

1992, т.32, N5, стр. 772-787.

52. Самохин А.Б., Самохина A.C. Метод решения задач дифракции электромагнитных волн на трехмерном диэлектрическом теле. // Ж. выч. матем. и матем. физ., 1996, т.36, N8, стр. 138-157.

53. Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп. М.: Наука, 1976.

54. Смирнов Ю.Г. Исследования разрешимости векторных электродинамических задач на незамкнутых поверхностях. Дисс. докт. физ.-мат. наук. М.: 1995.

55. Справочник по радиолокации. /Под ред. М.Сколника. Т.1.- М.: Сов. Радио, 1976.

56. Тарасов Р.П. Гармонический анализ на конечных группах и методы численного решения граничных уравнений в краевых задачах с неабелевой группой симметрии. //Ж. выч. матем. и матем. физ.,1992, т.32, N9, стр. 15151517.

57. Тарасов Р.П. Численное решение уравнений типа свертки на конечных некоммутативных группах. //Ж. выч. матем. и матем. физ.,1993, т.ЗЗ, N12, стр. 1815-1825.

58. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения матеметической физики. М.:Наука, 1966.

59. Фларри Р. Группы симмтерии. М.: Мир, 1983.

60. Фларри Р. Квантовая химия. М.:Мир,1985.

61. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1987.

62. Хамермеш М. Теория групп и ее применение к физическим проблемам. М.:Мир, 1996.

63. Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. М.: Мир, 1964.

64. Холл М. Теория групп. М.: ИЛ, 1962.

65. Хьюитт Э., Росс К. Абстрактный гармонический анализ. Т.1. М.гНаука, 1975. Т.2. М.:Мир, 1975.

66. Эдварде Р. Функциональный анализ. М.:Мир,1969.

67. Computational Electromagnetics: Frequency-Domain Method of Moments. Edited by E.K.Miller, L.Medguesi-Mitschand, E.H.Newman. New York: IEEE Press, 1992.

68. Costabel M. Boundary Integral Operators on Lipschitz Domains: Elementary Results. //SLAM J. Math. Anal.., vol. 19, N13, 1988, pp.613-626.

69. Cote M.G., Woodworth M.B., Yaghjian A.D. Scattering from the Perfectly Conducting Cube. //IEEE Trans. Antennas and Propag., 1988, v.36, N9, pp.13211329.

70. Harrington R'.F. Field Computation by Moment Methods. New York: Macmillian Co., 1968.

71. Hsiao G.C., Wendland W.A. Afinite Element Methods for some Integral Equations of the First Kind. //J. of Math. Analysis and Appl., 1977, vol. 58, pp. 449-481.

72. Leuchtmann p. MMP - Art, Strategem or Common Technique? // Latsis Symposium, 1995, ETH Zurich, pp. 146-160.

73. Muller CI. Foundations of the Mathematical Theory of Electromagnetic Waves. New York: Springer-Verlag, 1969.

74. Mentzer J.R. Scattering and Difraction of Radio Waves. New York: Perganon Press, 1955.

75. Miller E.K., Poggio A.J. Moment-Method Techqniques in Electromagnetics from an Applications Viewpoint. //Electromagnetic Scattering. Tdited by P.L.E. Uslenghi.- New York: Academic Press, 1978, pp. 315-358.

76. Moore J., Pizer R. Moment Methods In Electromagnetics: Techqniques and Applications. New York: John Wiley & Sons, 1984.

77. Nedelec J.C. Curved Finite Element Methods for the Solution of Singular Integral Equations on Surfaces in R3.//Comp. Math, in Appl. Mech. And Engin., 1976, vol.8, pp.61-80.

78. Penno R.P., Thiele G.A., Pasala K.M. Scattering from a Perfectly Conducting Cube. // Proc. IEEE, 1989, vol. 77, pp. 815-823.

79. Stephan E.P. Boundary Integral Equations for Screen Problem in R3. //Integral Equations and Operator Theory. 1987, vol. 10, pp. 236-257.

80. Taflove A., Umashankar K.R. Radar Cross Section of General Three-Dimensional Scatterers. // IEEE Trans. Electromag. Compat., 1983, vol. EMC-25, N4, pp. 433440.

81. Taflove A., Umashankar K.R. Review of FD-TD Numerical Modeling of Electromagnetic Wave Scattering and Radar Cross Section. // Proc. IEEE, 1989, vol.77, N5,pp. pp.682-699.

82. Tsai L.L. Radar Cross section of a Simple Target: A Three-Dimensional Conducting Rectangular Box. // IEEE Trans. Antennas and Propag., 1977, vol. AP-25, pp. 882-884.