Исследование задачи синтеза нерассеивающих тел тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Чернокожин, Евгений Владимирович

• Чернокожин, Евгений Владимирович
• доктор физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Чернокожин, Евгений Владимирович

Введение.

Глава 1. Постановка задачи синтеза нерассеивающего тела.

1.1. Основные определения.

1.2. Задача синтеза прозрачного тела: различные постановки

1.3. Формальная постановка задачи синтеза прозрачного тела.

1.3.1. Задача дифракции на теле сравнения.

1.3.2. Задача дифракции на нагруженном теле.

1.3.3. Задача синтеза нерассеивающего тела.

1.3.4. Порядок переизлучателя.

1.4. Отличия постановки задачи синтеза прозрачного тела в двумерном случае.

1.4.1. Задача дифракции на теле сравнения.

1.4.2. Задача дифракции на нагруженном теле.

1.4.3. Задача синтеза нерассеивающего тела.

Глава 2. Синтез кругового цилиндра, не рассеивающего поле плоской Я-поляризованной волны.

2.1. Влияние продольных щелей в идеально проводящем цилиндрическом экране на рассеянное поле и подавление отдельных гармоник рассеянного поля.

2.1.1. Редукция краевой задачи к интегральному уравнению.

2.1.2. Решение интегрального уравнения задачи.

2.1.3. Решение в случае нерезонансного рассеяния.

2.1.4. Решение в случае резонансного рассеяния. Подавление одной гармоники рассеянного поля.

2.2. Дифракция плоской Я-поляризованной волны на проводящем круговом цилиндре с цилиндрическим переизлучателем общего вида.

2.2.1. Постановка краевой задачи.

2.2.2. Редукция краевой задачи к интегральному уравнению.

2.2.3. Представление решения интегрального уравнения в случае узких щелей.

2.2.4. Вычисление рассеянного поля.

2.3. Вычисление электрического поля на щелях для решения задачи синтеза прозрачного тела.

2.3.1. Магнитное поле на щелях в задаче синтеза прозрачного тела.

2.4. Создание требуемого поля на щелях при помощи простейших переизлучателей.

2.4.1. Невозможность пассивного подавления рассеянного поля при помощи независимых переизлучателей первого порядка.

2.4.2. Принципиальная возможность пассивного подавления рассеянного поля при помощи независимых переизлучателей второго порядка.

2.5. Примеры двухпараметрических переизлучателей.

2.5.1. Переизлучатель на основе двух прямоугольных цилиндрических резонаторов.

2.5.2. Резонатор на основе цилиндрических кольцевых секторов.

2.6. Решение задачи синтеза нерассеивающего цилиндра с использованием переизлучателей на основе кольцевых секторов.

2.6.1. Постановка краевой задачи.

2.6.2. Редукция краевой задачи к системе интегральных уравнений.

2.6.3. Приближенное сведение интегральных уравнений к алгебраическим.

2.6.4. Решение задачи дифракции.

2.6.5. Решение задачи синтеза.

2.6.6. Описание численного алгоритма.

2.6.7. Численные результаты.

Глава 3. Синтез кругового цилиндра, не рассеивающего поле плоской £-поляризованной волны.

3.1. Постановка задач дифракции и синтеза.

3.2. Представления полей вне цилиндра.

3.3. Представление полей внутри цилиндрических резонаторов.

3.4. Представление полей внутри кольцевых резонаторов.

3.5. Редукция краевой задачи к системе интегральных уравнений.

3.6. Исследование системы интегральных уравнений.

3.7. Решение задачи дифракции.

3.7.1. Введение ограничения на период структуры.

3.7.2. Решение задачи дифракции в случае нерезонансного рассеяния.

3.7.3. Ограничение числа резонансов.

3.7.4. Решение задачи дифракции в случае резонансного рассеяния.

3.8. Решение задачи синтеза.

3.9. Оценки ширины полосы прозрачности.

3.10. Описание численного алгоритма.

3.11. Численные результаты.

Глава 4. Синтез нерассеивающей сферы.

4.1. Постановка задачи синтеза нерассеивающей сферы.

4.2. Постановка задачи дифракции.

4.3. Представления потенциалов полей.

4.3.1. Потенциалы возмущений вне сферы.

4.3.2. Потенциалы поля, рассеянного идеально проводящей сферой.

4.3.3. Потенциалы падающего поля.

4.3.4. Потенциалы полей внутри резонаторов.

4.3.5. Вычисление гармонической составляющей потенциалов.

4.3.6. Вывод интегральных представлений потенциалов полей внутри резонаторов.

4.4. Редукция задачи дифракции к системе интегро-дифференциальных уравнений.

4.5. Исследование системы интегральных уравнений.

4.5.1. Сведение системы двумерных уравнений к цепочке систем одномерных уравнений.

4.5.2. Особенности ядер операторов.

4.5.3. Приближение узкого сектора.

4.5.4. Свойства диагональных операторов.

4.5.5. Свойства недиагональных операторов.

4.5.6. Теоремы существования и единственности.

4.6. Решение систем интегральных уравнений в приближении узких щелей.

4.6.1. Решение в случае нерезонансного рассеяния.

4.6.2. Решение в случае резонансного рассеяния.

4.7. Решение задачи дифракции.

4.8. Мощность, рассеиваемая сферой со щелями.

4.9. Условия прозрачности и задача синтеза.

4.10. Решение вспомогательной задачи: подавление гармоник заданного порядка m

4.11. Решение задачи синтеза нерассеивающей сферы.

4.11.1. Случай экспоненциально узких щелей.

4.12. Описание численного алгоритма.

4.13. Численные результаты.

Глава 5. Синтез нерассеивающего кругового цилиндра, изотропного по отношению к направлению прихода падающей волны.

5.1. Постановка краевой задачи.

5.2. Редукция краевой задачи к системе интегральных уравнений.

5.3. Редукция интегральных уравнений к линейным алгебраическим.

5.4. Решение задачи дифракции.

5.5. Уравнения задачи синтеза.

5.6. Теорема существования.

5.7. Приближение тонких слоев.

5.8. Описание численного алгоритма.

5.9. Численные результаты.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование задачи синтеза нерассеивающих тел»

Проблема снижения радиолокационной заметности представляет как теоретический, так и практический интерес. Основные достижения в этой области связаны прежде всего с использованием радиопоглощающих материалов и покрытий, а также с приданием радиолокационным объектам специальной малоотражающей формы [2, 34, 49, 60, 104, 111, 117]. Эти и некоторые другие меры в комплексе позволяют уменьшить эффективную площадь обратного рассеяния радиолокационного объекта на несколько порядков. В то же время рассеяние в других направлениях — особенно прямое рассеяние — при этом остается значительным, поскольку диаграмма рассеяния всякого достаточно большого непрозрачного для радиоволн тела имеет интенсивный лепесток в направлении распространения электромагнитной волны [16, 102]. В частности, «черные» тела рассеивают вперед столь же интенсивно, как и отражающие тела [22]. Это обстоятельство делает объекты, малозаметность которых основана на минимизации обратного рассеяния (как в современной технологии «Стеле» [104, 117]), легко обнаруживаемыми путем многопозиционной радиолокации, когда — в отличие от традиционно используемой однопозиционной радиолокации — наблюдение осуществляется при помощи совокупности разнесенных в пространстве приемных и передающих станций [5, 30, 75, 137]. Частным случаем многопозиционной радиолокации является двухпозиционная радиолокация «на просвет», когда имеется одна излучающая и одна приемная станция (рис. 0.1).

Цель

Цель

Рис. 0.1. Расположение элементов одно- и двухпозиционной радиолокационной системы: (а) однопозицнонная PJIC; (б) двухпозиционная PJIC (по [16]).

Использование многопозиционной радиолокации делает малоэффективными как радиопоглощающие покрытия, так и другие средства снижения радиолокационной заметности, основанные на минимизации обратного рассеяния. Один из возможных способов сделать объект невидимым для многопозиционной радиолокации — подавить рассеяние во всех направлениях, т. е. минимизировать полный поперечник рассеяния ат, определяющий полную мощность поля, рассеиваемого телом во всех направлениях, отнесенную к плотности потока мощности первичного поля в окрестности объекта.

Тело, характеризуемое нулевым поперечником рассеяния, естественно назвать нерассеивающим или «прозрачным». При этом вовсе не предполагается, что прозрачное тело должно целиком состоять из радиопрозрачных материалов. Для нерассеивающих тел правомерно также использование термина «невидимое тело». Необходимо подчеркнуть, что прозрачные (нерассеивающие) тела не тождественны черным (неотражающим) телам.

Естественно возникает вопрос о принципиальной возможности наделения произвольно заданного тела свойством «прозрачности», т.е. о возможности приблизить свойства заданного тела при облучении его тем или иным видом электромагнитного поля к свойствам прозрачного тела, например, изменив параметры окружающей среды в окрестности тела или заключив тело в специальную оболочку. При этом требуется добиться уменьшения полного поперечника рассеяния сгт тела в заданное число раз.

Близость к прозрачному телу удобно оценивать отношением аТ1 а\, где <т° — полный поперечник рассеяния некоторого «тела сравнения». Поскольку интерес представляет ослабление рассеянного поля не в разы, а на порядки, степень прозрачности целесообразно выражать (в децибелах) коэффициентом ослабления рассеянного поля К, определяемым как

К = 101ё(<тг/<т°) [дБ].

В зависимости от средств достижения прозрачности и ограничений на допустимые изменения исходного тела можно дать различные математические формулировки этой задачи, которую в дальнейшем будем именовать задачей синтеза прозрачного тела.

Даже теоретическая возможность существования нерассеивающих тел не является очевидной (за исключением тривиального случая, когда тело состоит из материала, диэлектрическая и магнитная проницаемости которого не отличаются от свойств окружающей среды). Тем не менее, можно привести простой пример тела, свойства которого приближаются к свойствам прозрачного. В 1956 г. А.\¥. Аёеу [79] описал наблюдаемое в эксперименте сильное ослабление тени, создаваемой металлическим цилиндром при облучении его низкочастотным электромагнитным полем, после заключения цилиндра в соответствующую диэлектрическую оболочку. В дальнейшем это явление было теоретически проанализировано Ж.-К. Сюро (J.-C. Sureau) [132], который получил условия обнуления отдельных гармоник поля, рассеянного круговым диэлектрическим цилиндром с коаксиально внедренным в него цилиндрическим металлическим сердечником (рис. 0.2). Эти условия — своего рода условия резонанса — зависят от диэлектрической проницаемости цилиндра, а также диаметров цилиндра и сердечника. Только одна из гармоник может быть обнулена, поскольку условия подавления отдельных гармоник противоречат друг другу. При достаточно низких частотах, когда радиус цилиндра мал по сравнению с длиной падающей плоской волны, полный поперечник рассеяния стт цилиндра определяется в основном нулевой гармоникой, которая преобладает над остальными. Удовлетворив только условию подавления нулевой гармоники, можно значительно ослабить рассеянное поле, т.е. сделать цилиндр почти не рассеивающим («невидимым» по терминологии Ж.-К. Сюро). При больших частотах, когда высшие гармоники становятся существенными, подавить рассеянное поле таким простым способом уже не удается.

Рис. 0.2 Структура «невидимого» цилиндра по J.-C. Sureau [132].

Данный пример является иллюстрацией простейшего способа достижения невидимости (в различных смыслах) путем заключения тела в специальную оболочку. Чаще всего оболочки применяются для уменьшения отражения электромагнитных волн, называясь при этом радиопоглощающими покрытиями. Отметим, что действие радиопоглощающих покрытий основано на хорошо известных физических принципах: Z интерференции волн и преобразовании электромагнитной энергии в тепловую [1, 28, 40, 134]. Перспективным для создания покрытий, не отражающих радиоволны, является также использование киральных и биизотропных сред [54, 56, 110, 121]. Эффективность применения радиопоглощающих покрытий характеризуется коэффициентом отражения плоской волны, нормально падающей на бесконечную идеально проводящую плоскость, на которую нанесено покрытие.

Главной целью использования радиопоглощающих покрытий является уменьшение обратного рассеяния, в то время как в задаче синтеза прозрачного тела требуется достичь ослабления рассеяния во всех направлениях. Отсюда следует принципиальное различие свойств радиопоглощающих покрытий и оболочек для обеспечения прозрачности. Так, увеличение поглощения является положительным фактором при минимизации обратного рассеяния, поскольку приближает свойства рассеивателя к свойствам черного тела. Напротив, поскольку нерассеивающие тела обязательно являются непоглощающими, оболочки для обеспечения прозрачности обычно предполагают состоящими из непоглощающих материалов.

Совершенно очевидно, что задача синтеза прозрачного тела принципиально сложнее, чем задача о подавлении обратного рассеяния, и попытки ее решения могут натолкнуться на необходимость использования материалов с необычными, не встречающимися в природе, свойствами. В последнее время были достигнуты значительные успехи в создании композитных материалов с отрицательными или малыми положительными значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей — так называемых метаматериалов (A.B. Вашковский и др., J.B. Pendry и др.) [9, 116, 122, 124, 125, 131]. В частности, стало возможным получение материалов — «левых сред» — с отрицательным коэффициентом преломления [116, 124], предсказанных A.B. Веселаго [11, 12], в которых наблюдаются такие необычные явления, как обратное преломление на границе раздела среда-вакуум, распространение волн с отрицательной групповой скоростью, когда направление потока энергии противоположно волновому вектору, и другие эффекты. Ожидается, что в ближайшее время можно будет получать метаматериалы с произвольно задаваемыми значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей [125]. В качестве одного из потенциальных применений новых метаматериалов называют возможность достижения невидимости в различных диапазонах волн, включая оптический диапазон [125]. Следует, однако, отметить, что свойства синтезированных метаматериалов носят ярко выраженный частотнозависимый («резонансный») характер.

Простейшие способы использования метаматериалов для достижения невидимости рассматривались в работах А. Алу и Н. Энгеты (А. Alu, N. Engheta) [80, 81]. В частности, в [81] исследована возможность ослабления рассеяние электромагнитных волн диэлектрической сферой путем заключения ее в однородную сферическую оболочку из метаматериала. Получены формулы толщины слоя, при которой происходит подавление отдельных сферических гармоник рассеянного поля. В случае, когда волновые размеры сферического рассеивателя малы, в рассеянном поле доминирует ГМ-гармоника первого порядка, соответствующая излучению электрического диполя. Подавив только эту гармонику, удается значительно ослабить рассеяние, сделав сферу «почти невидимой» [81]. Подавление большего числа гармоник при помощи однородного сферического слоя невозможно из-за несовместности условий подавления различных гармоник.

Задачи рассеяния волн принято делить на три категории, связанные с волновыми размерами рассеивающего объекта: низкочастотную, резонансную и высокочастотную [47]. Результаты А. Алу и Н. Энгеты [81], так же как и результат Ж.-К. Сюро [132], дают примеры низкочастотной невидимости, имеющей место, когда характерный размер объекта — диаметр сферы или цилиндра — много меньше длины волны.

Совершенно ясно, что в резонансном и высокочастотном диапазонах распределение параметров среды, при которых электромагнитные волны не испытывают заметного рассеяния на заданном теле, должно быть достаточно сложным. Примеры таких распределений в приближении геометрической оптики были опубликованы У. Леонхардтом (U. Leonhardt) в 2006 году [112, 113].

У. Леонхардт рассматривает распространение света в плоском двумерном (цилиндрическом) случае. Для обеспечения невидимости необходимо найти такое распределение показателя преломления п среды, при котором лучи огибали бы заданную область пространства и возвращались бы на траекторию, асимптотически приближающуюся к невозмущенной траектории. У. Леонхардт вводит понятие оптического конформного отображения. Для этого предполагается, что показатель преломления n(z) представляет собой модуль некоторой аналитической функции g(z). Тогда интеграл от g(z) определяет конформное отображение w(z) физической плоскости z -x + iy на некоторую риманову поверхность (рис. 0.3). Показатель преломления п на этой поверхности тождественно равен единице.

При помощи функции

0.1) физическая плоскость отображается на двулистную риманову поверхность, верхний лист которой соответствует внешности круга \ г \< а, а нижний лист — внутренности этого круга. Траекториям лучей на физической плоскости соответствует прямые на римановой поверхности. Прямые, не пересекающие линию разреза, проведенную через точки ветвления ±2а, соответствуют лучам, огибающим круг \г\<а на физической плоскости. Прямые, пересекающие линию разреза и переходящие на нижний лист римановой поверхности, соответствуют лучам, попадающим внутрь круга \г\<а. Чтобы вывести такие лучи из круга на первоначальную траекторию, на нижнем листе римановой поверхности задается распределение показателя преломления вида где м>} — одна из точек ветвления, а г0 — заданное число. В этом случае траектории лучей на нижнем листе римановой поверхности, берущие начало на разрезе, описав эллипс, оказываются в исходной точке, но на другом берегу разреза, после чего переходят на верхний лист, где вновь становятся прямыми — продолжениями траектории прихода (рис. 0.4). На физической плоскости этому соответствует выход луча из круга \г\<а и возвращение на траекторию, асимптотически приближающуюся к траектории, не возмущенной препятствием. X

Рис. 0.3. Оптическое конформное отображение физической плоскости на риманову поверхность (по [113]). Цифрами 1-3 обозначены траектории соответствующих лучей. Волнистая линия соответствует разрезу.

Рис. 0.4. Траектории лучей на верхнем (прямые) и нижнем (эллипсы) листах римановой поверхности (по [113]). .

Множество эллиптических траекторий ограничивается кругом \м>-м'1 |< г0.

Следовательно, область на нижнем листе римановой поверхности вне этого круга представляет собой область, свободную от лучей. На физической плоскости этой области соответствует некоторая область внутри круга \г\<а, в которую свет не проникает («дыра в пространстве» [ИЗ]). Любое тело, помещенное в эту область, является невидимым.

Таким образом, устройство «конформной невидимости» по У. Леонхардту должно состоять из двух слоев: внешнего слоя, занимающего все пространство вне круга \г\< а, с показателем преломления п(г) = |1 -а2 , и внутреннего круга, в котором показатель преломления определяется функциями (0.1) и (0.2). На границе слоев происходит преломление лучей по закону Снеллиуса. Некоторую проблему представляет возможность отражения лучей на границах слоев. По утверждению У. Леонхардта, отражение может быть существенно уменьшено путем замены границы раздела слоев плавным переходом или при помощи неотражающих покрытий.

Результат У. Леонхардта показывает теоретическую возможность высокочастотной невидимости, когда справедливо приближение геометрической оптики. Практическая реализация этого подхода в его нынешнем виде должна натолкнуться на серьезные трудности. Во-первых, требуется создать определенное распределение коэффициента преломления практически во всем пространстве или, по крайней мере, в достаточно большой области пространства. Во-вторых, требуемое распределение представляет собой гладкую функцию, изменяющуюся в широких пределах от нуля до больших положительных значений. Определенную трудность представляет также обобщение результатов на трехмерный случай, поскольку, согласно теореме Лиувилля [120], класс трехмерных конформных отображений очень узок и сводится к композициям конечного числа преобразований четырех видов: переноса, подобия, ортогональных преобразований и инверсий.

Несколько иной подход к построению «оболочек невидимости» был предложен Дж. Б. Пендри и др. (J.B. Pendry, D. Schurig, D.R. Smith) [125] также 2006 г. Он основан на инвариантности уравнений Максвелла относительно преобразований пространственных координат. Для построения оболочки, скрывающей тело, необходимо отобразить заданную область пространства на указанную оболочку. Например, для построения круговой цилиндрической оболочки с внутренним и внешним радиусами а и Ь, соответственно, производится отображение цилиндрической области 0 < г < Ъ на кольцевую область а<г'<Ъ [125]. При таких преобразованиях форма уравнений Максвелла остается неизменной, а меняются лишь тензоры диэлектрической и магнитной проницаемостей s и |i [125], которые становятся, вообще говоря, пространственно неоднородными и анизотропными. Таким образом, задача сводится к построению среды с заданными распределениями диэлектрической и магнитной проницаемостей. Проблема заключается лишь в том, что указанные распределения могут находиться за пределами физической реализуемости и в любом случае требуют использования метаматериалов, которые, как правило, частотнозависимы.

В октябре 2006 г. Дж. Б. Пендри, Д.Р. Смит и др. [130] опубликовали результаты о проведении двумерного эксперимента, в котором медный цилиндр был скрыт при помощи цилиндрической оболочки из метаматериалов. Фактически при помощи нескольких слоев метаматериала была сымитирована анизотропная среда с материальными параметрами = I. Л2 гга\* Рг = - , Ив=1- (°-3)

Ь-а) К г )

В эксперименте удалось получить требуемую картину обтекания цилиндра полем, однако не удалось исключить отражение от оболочки, поскольку оболочка с материальными параметрами (0.3) является неотражающей только при условии Ь» а.

Кроме того, построенной оболочке было присуще довольно сильное поглощение.

Поперечник рассеяния не измерялся, поэтому количественное выражение невидимости, достигаемое в эксперименте, остается неизвестным. Необходимо также подчеркнуть, что требуемая картина обтекания цилиндра полем наблюдается на одной частоте, и при изменении частоты быстро разрушается.

Распределение показателя преломления, требуемое для достижения невидимости, теоретически может быть достигнуто путем изменения свойств среды в окрестности скрываемого объекта — например, путем создания вокруг объекта плазменной оболочки (плазменного поля). Трудности на пути практической реализации этого подхода очевидны. Кроме того, теоретические вопросы влияния плазмы на рассеяние электромагнитных волн достаточно сложны. Известно, что при определенных условиях плазма проявляет свойства непоглощающего диэлектрика с диэлектрической проницаемостью, меньшей единицы [133]. Имеется ряд работ, в которых исследуется рассеяние электромагнитных волн на простейших телах — круговых цилиндрах и сферах, окруженных плазменной оболочкой [92, 127, 133, 138, 139]. Отмечено, что наличие плазменной оболочки может приводить как к увеличению, так и к уменьшению поперечника обратного рассеяния [127, 133], Характерна также сильная зависимость рассеивающих свойств плазмы от частоты падающего поля [138]. При определенных условиях плазма проявляет свойства поглощающей среды [87], поэтому ее можно использовать для ослабления отражения волн. Имеются сведения об успешном применении плазменных образований для уменьшения поперечника обратного рассеяния летательных аппаратов [83].

Очень заманчивым представляется способ достижения невидимости путем создания на поверхности тела определенного поверхностного импеданса. Задача нахождения требуемого для этого импеданса является частным случаем обратной задачи теории рассеяния: по заданной диаграмме направленности определить поверхностный импеданс рассеивателя [31]. В двумерном случае эта задача носит название задачи синтеза импедансного цилиндра и формулируется следующим образом [39].

Пусть на поверхности цилиндра, ограниченного дифференцируемой поверхностью S с контуром нормального сечения р(ф), выполняются импедансные граничные условия n, Е] = -Z[n, [п, нЦ.

Требуется найти распределение поверхностного импеданса Z, обеспечивающее заданную диаграмму рассеяния F{<j)) при падении на него Я-поляризованной волны.

Решение этой задачи получено Б.М. Петровым, Ю.В. Юхановым и др. в работах [38, 39, 61]. В монографии Ю.А. Еремина и А.Г. Свешникова [21] решена задача синтеза поверхностного импеданса для тел вращения в случае, когда плоская волна падает в направлении оси симметрии тела. Характерно, что авторы [21, 38, 39, 61] ограничиваются рассмотрением только пассивного ( Яе 2 > 0) или реактивного (11е2 = 0) импеданса, причем условие Яе2 > О трактуется как условие «физической реализуемости» [21]. Дело в том, что наличие положительной действительной части у импеданса говорит о поглощении энергии поля на границе, а наличие у него отрицательной действительной части (активный импеданс) говорит о выделении энергии на границе. Если первое достаточно легко физически реализуемо (например, при помощи поглощающей среды), то реализация второго значительно сложней и требует использования активных элементов и дополнительных источников энергии [136] или «активных» покрытий [45]. По этой причине активный импеданс в задачах синтеза импедансных поверхностей обычно рассматривается как неприемлемый.

Синтез пассивного поверхностного импеданса сводится к задаче минимизации где Р^) — реализованная диаграмма рассеяния, Рй — заданная диаграмма рассеяния, а || | — некоторая норма.

Не всякая диаграмма рассеяния является реализуемой при помощи пассивного поверхностного импеданса, поскольку нуль функционала ¥(2) может находиться за пределами множества 11е 2 > 0. В частности, нереализуемой является тождественно нулевая диаграмма рассеяния, соответствующая нерассеивающему телу. Действительно, как следует из формулы импеданса для нерассеивающего цилиндра с образующей р{ср) где <р0 — направление падения волны, а W0 — импеданс свободного пространства, поверхностный импеданс в этом случае принимает действительные положительные значения на освещенной стороне и действительные отрицательные — на теневой стороне цилиндра. Следовательно, при помощи реактивного или пассивного поверхностного импеданса может быть реализовано в лучшем случае черное тело [39].

Как правило, непрерывное распределение поверхностного импеданса можно заменить конечным числом импедансных нагрузок. Широкие возможности применения импедансных и, в частности, реактивных, нагрузок для управления характером рассеяния электромагнитных волн известно достаточно давно [128, 136]. На эту тему было опубликовано большое количество теоретических работ, в которых применялись различные методы и ставились различные цели [82, 88, 89, 95, 96, 99-101, 114, 115, 118,

XP(Z) = ||F(Z)-F0||^min, Re 2 > 0,

39]:

0-4)

128, 136]. В частности, решалась задача ослабления обратного рассеяния [88, 89, 95, 114, 115]. При этом использовались как распределенные [88, 89, 95, 114], так и сосредоточенные нагрузки [99, 100, 115], а в качестве рассеивателей рассматривались как проводящие тела [88, 89, 114], так и «проволочные рассеиватели» [99, 115]. Подробный обзор различных реализаций и применений импедансных нагрузок и структур содержится в работе [37].

Коротко остановимся на принципах действия и способах описания импедансных нагрузок. Пусть импедансная нагрузка идеально проводящего тела связана со свободным пространством через отверстие А в его идеально проводящей поверхности S, охватывающей область V В качестве импедансной нагрузки может выступать любая полость DcF, примыкающая к границе S изнутри. Импедансной нагрузкой может также служить любая цепь из сосредоточенных элементов или линия передачи. Тело с нагрузкой принято называть нагруженным, а такое же тело без нагрузки — ненагруженным. Идея метода заключается в том, что, выбирая соответствующим образом форму и расположение отверстия связи А на поверхности S, а также характеристики самой нагрузки, можно изменять мощность, рассеиваемую телом в том или ином направлении.

Для определения поля, рассеянного нагруженным телом при воздействии на него некоторого первичного поля, необходимо решить задачу дифракции на идеально проводящем теле с отверстием в границе и полостью внутри, т.е. электродинамическую задачу о связи двух объемов — внешности области V и некоторой внутренней области D через отверстие А. Задачи такого рода в настоящее время достаточно хорошо изучены. Их исследованию и решению посвящено большое количество работ (см., например, [19, 24, 27, 44, 48, 57, 76, 91, 97, 103, 105, 119, 123, 135]). Вопросы разрешимости такого рода задач наиболее полно исследованы в монографии A.C. Ильинского и Ю.Г. Смирнова [25], посвященной дифракции электромагнитных волн на проводящих тонких экранах произвольной формы. К сожалению, в каждом конкретном случае нахождение решения задачи дифракции на теле с полостью — за редким исключением — требует применения численных методов. Это обстоятельство сильно затрудняет возможность оптимизации поля, рассеянного нагруженным телом, для чего желательно иметь если не явное решение задачи дифракции, то хотя бы ее приближенное решение. В связи с этим чаще всего применяется упрощенный подход [114, 115], когда нагрузке приписывается некоторое значение полного сопротивления (импеданса) или полной проводимости (адмиттанса).

Поле, рассеянное нагруженным телом при воздействии на него первичного поля, представляют в виде суперпозиции поля (ЕМ,НМ), рассеянного ненагруженным телом, и поля (Е(Г),Н(Г)), излучаемого отверстием связи. Из определенных физических соображений полное электрическое поле в отверстии А ищут в виде где — закон изменения поля в отверстии, е — направление вектора Е в отверстии, а С — неизвестная константа.

В простейших случаях поля (ЕМ,Н(5)) и (Е(,'),Н('')) известны или могут быть найдены. Приравнивая полные проводимости отверстия связи снаружи и изнутри, получают уравнение для определения амплитудной постоянной С. Таким способом были рассчитаны поперечники обратного рассеяния нагруженного кругового цилиндра [88, 89], нагруженной сферы [114] и нагруженной прямоугольной пластины [95], что позволило решить на «радиофизическом» уровне строгости задачу об ослаблении обратного рассеяния простейшими идеально проводящими телами при помощи импедансной нагрузки.

Остановимся на результатах по ослаблению обратного рассеяния нагруженной сферой [114]. В качестве отверстия связи рассматривалась кольцевая щель, образованная сечениями параллельными плоскостями, перпендикулярными направлению падения плоской волны, а в качестве нагрузки — радиальная полость переменной глубины (рис. 0.5). Для различных значений угла 3, определяющего расположение щели, и для малых значений параметра д, задающего ширину щели, были рассчитаны комплексные значения импеданса нагрузки, при которых обратное рассеяние равно нулю. В частности, для экваториально расположенной щели оказалось, что при некоторых значениях частотного параметра кЯ , где к — волновое число, а Я — радиус сферы, равенство нулю обратного рассеяния может быть достигнуто только при активном сопротивлении нагрузки (т.е. при «отрицательном сопротивлении»). Требование, чтобы сопротивление нагрузки было пассивным, приводит к тому, что рассматриваемая нагрузка при этих значениях параметра кЯ обеспечивает не полное подавление обратного рассеяния, а только его ослабление.

Что касается проволочных рассеивателей, то, в частности, в работе [115] исследовалась задача ослабления обратного рассеяния плоской электромагнитной волны на идеально проводящем круговом проволочном витке при помощи включения в него двух сосредоточенных нагрузок. Предполагается, что плоская линейно поляризованная волна падает перпендикулярно оси проводника. Характерно, что, как и в примере с нагруженной сферой, в некоторых частотных интервалах равенство нулю обратного рассеяния может быть достигнуто только при активном сопротивлении нагрузки. г

Рис. 0.5. Сфера, нагруженная на щель (по [114]).

Наряду с отдельными импедансными нагрузками можно использовать любое количество сосредоточенных или распределенных нагрузок, как независимых, так и соединенных в цепь. В этом случае импедансную нагрузку можно рассматривать как некоторый 2Лг-полюсник, т.е. цепь с N входами и N выходами, где N — количество используемых нагрузок [46]. Идея такого чисто радиофизического подхода была высказана JI. Вайнбергом (L.Weinberg) [136] и Р. Харрингтоном (R. Harrington) [96]. Дальнейшая теория была развита в работах [100, 101, 118], в которых используется теория модального разложения рассеянного поля [93, 98].

Суть этого подхода состоит в следующем. Нагрузку представляют в виде 2N-полюсника с матрицей импедансов [ZL ]. Тело (рассеиватель), облучаемое некоторым электромагнитным полем (Е!,Нг) заменяют эквивалентной цепью — 2А^-полюсником с матрицей импедансов [Zs ]. Нагруженное тело (нагруженный рассеиватель) представляет собой два указанных 2тУ-полюсника, соединенных вместе (рис. 0.6).

НАГРУЗКА ос г

-еЧ ос ос Л

РАССЕИВАТЕЛЬ

Рис. 0.6 Схема нагруженного рассеивателя (по [118]).

Тогда нагруженный рассеиватель описывается уравнением г = -[г3 + г1]1, (0.5) где V — вектор-столбец напряжений ¥п, возникающих в цепях связи рассеивателя и нагрузки под воздействием внешнего поля; I — вектор-столбец токов /и, возникающих в цепях связи под воздействием вектора напряжений V .

Рассеянное электрическое поле Е " ищут в виде суперпозиции

Е^Ео-Ё^+г^Г, где Е0 — рассеянное поле при разомкнутых цепях связи, Е — вектор-строка, составленная из векторов Еп, представляющих собой рассеянное поле в случае, когда в пй цепи течет единичный ток, а все остальные цепи разомкнуты.

Идея метода заключается в том, что, выбирая определенным образом матрицу импедансов [2, ], можно получить желаемое рассеянное поле Е5. Чтобы определить, в какой степени это возможно, переходят к базису токов, в котором матрица - + 2Ь~\ является диагональной. В результате, как показано в [118], рассеянное поле можно представить в виде где Е0 — рассеянное поле в случае, когда все цепи связи разомкнуты, Яп и 1п — соответственно собственные значения и собственные векторы, получаемые при решении задачи на собственные значения [Х}1 = ЦК\1 с матрицами [i?] = — [Z + Z*] и [X] = —[Z~Z*], а Е(/й) — поле, излученное

2 2/ нагруженным рассеивателем при токе 1п. Таким образом, возможности управления рассеянным полем при помощи выбора матрицы импедансов нагрузки [Z, ] определяются свойством «полноты» системы векторов Е(7и ).

В общем случае вопрос о полноте этой системы остается открытым. Содержательные результаты были опубликованы только для матриц импедансов [ZL] частного вида, а именно — диагональных матриц [100, 101, 118]. Так, в [100] рассматривается задача получения заданной диаграммы рассеяния по амплитуде (без учета фазы). Для этого используются реактивные нагрузки с диагональной матрицей [ZL]. Требуется приблизить заданную действительную диаграмму направленности F линейными комбинациями полей векторов Е(7и ) с действительными коэффициентами ап на множестве из М точек сферы.

Задача сводится к минимизации функционала м N

-Е рт т=1 И=1 на множестве действительных чисел ап, где Рт — амплитуда вектора Г, а £ит — значение вектора Е(/„) в т-й точке.

Такой же подход использовался в работе [101] для оптимизации обратного рассеяния простейших проволочных объектов, причем решалась задача не минимизации, а максимизации этой величины. Так же как ив [100], рассматривались только реактивные нагрузки.

Говоря о рассматриваемой модели рассеивателя как многополюсника, следует иметь в виду, что данный подход представляет собой абстрактную схему, требующую физического наполнения в каждом конкретном случае. Наиболее очевидную физическую интерпретацию эта схема имеет в случае проволочных рассеивателей, состоящих из тонких проводников с внедренными в них импедансными нагрузками, линейными размерами которых можно пренебречь. Эта схема также может быть применена в случае проводящих тел с малыми отверстиями или узкими щелями в границе, когда поле на отверстиях связи имеет простейшую структуру. Однако и в этом случае наполнение данной схемы физическими параметрами не является простым, так как необходимо в том или ином приближении решать задачу рассеяния на ненагруженном теле, рассеяния на отверстиях связи, а также проникновения электромагнитного поля внутрь нагруженного тела. Этим вопросам посвящены, в частности, работы [97, 105, 119, 123, 135]).

Понятие нерассеивающего тела близко к используемому в теории антенн понятию минимальнорассеивающей антенны [50, 94, 106, 126] определяемой как согласованная антенна без потерь, которая становится «невидимой для внешнего поля» [126] (т.е. нерассеивающей) будучи подключенной к подходящей реактивной нагрузке. В работе [126] построены примеры минимальнорассеивающих антенн, однако все они соответствуют случаям «низкочастотной невидимости».

Рассеивающие свойства тела определяются не только характером его поверхности, но и его формой. Как известно, одним из средств снижения радиолокационной заметности, реализованным в технологии «Стеле», является оптимизация формы объекта с целью максимального ослабления обратного рассеяния. Для этого была создана программа численной минимизации поперечника обратного рассеяния на множестве многогранников при наличии дополнительных ограничений [2, 104, 117]. Математической основой для решения этой задачи явился метод краевых волн П.Я. Уфимцева [55]. Принципиальный недостаток данного способа ослабления обратного рассеяния заключается в том, что аэродинамика оптимизированных объектов в значительной степени оказывается в подчиненном положении по отношению к обеспечению невидимости. Что касается возможности достижения прозрачности, то добиться ее путем изменения формы тела нельзя без изменения свойств поверхности тела. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть формулу поверхностного импеданса нерассеивающего цилиндра (0.4). Данный вывод не касается поверхностей с теми или иными «патологическими» свойствами, когда понятие поверхностного импеданса не применимо.

В работах [107-109] рассмотрены возможности минимизации обратного и прямого рассеяния цилиндрических диэлектрических структур путем выбора их поперечного сечения, а также нанесения на них периодического покрытия из металлических полос для создания так называемых искусственных «жестких поверхностей» с целью, например, уменьшения влияния антенных опор на диаграмму направленности антенны. Как и в задаче синтеза прозрачного тела, при этом решается оптимизационная задача, но в отличие от задачи синтеза прозрачного тела, когда ставится задача заданного ослабления рассеянного поля, в последнем случае решается задача максимального ослабления рассеяния путем варьирования заданного набора параметров. Получаемые при этом результаты можно отнести к случаю «низкочастотной» невидимости.

Коротко остановиться на проблеме существования невидимого рассеивателя, т.е. такого диэлектрического тела, у которого рассеянное поле тождественно обращается в нуль. В работах Ю.А. Еремина и А.Г. Свешникова [20, 21] рассмотрена соответствующая двумерная задача. Доказано, что множество невидимых рассеивателей, вообще говоря, не пусто, но такие рассеиватели в случае их существования являются невидимыми только для вполне определенного внешнего поля, а малейшее изменение частоты или формы внешнего поля выводит рассеиватель из класса невидимых.

Рассмотрим теперь вопрос о возможности синтеза прозрачного тела при помощи «активных» методов управления рассеянием. К числу активных относится, например, метод ослабления обратного рассеяния путем создания на скрываемом объекте сверхвысокочастотного излучения, амплитуда и фаза которого подстраивается таким образом, чтобы скомпенсировать отраженный в сторону РЛС радиолокационный сигнал [34]. Известны примеры успешного применения такого метода для обеспечения незаметности летательных аппаратов [84, 86]. Вопрос о возможности достижения прозрачности подобным способом наиболее разработан для случая акустических полей. Соответствующая теория, построенная В.П. Ивановым [23] и восходящая, в свою очередь, к более ранним работам Г.Д. Малюжинца [32, 33], носит название теории активного гашения низкочастотных акустических полей. Задаче синтеза прозрачного тела в этой теории соответствует задача ненаблюдаемости. Изложим кратко основные результаты этой теории.

Пусть в трехмерном (или двумерном) пространстве расположено некоторое множество областей Вп, п = \,.,Ы. В области В вне областей £>л полное поле и(И)(х,у,г) — потенциал скорости — удовлетворяет неоднородному уравнению Гельмгольца где / — финитная функция. На бесконечности ставится условие излучения.

На части границы Г, области И заданы однородные или неоднородные краевые условия первого, второго или третьего рода, соответствующие собственным шумам тела I),. На границе множества областей Оп, интерпретируемых как антенна приемников микрофонов), заданы однородные условия у1/(М)|г =0, п = 2,.,Ых. Множество областей Вп, п — N^ +\,.,М, интерпретируется как антенна вспомогательных излучателей, а на их границах заданы неоднородные условия у1]{И) |г = /„, п = Ы1 +1 , где /и — непрерывные функции, у которых отличны только нулевая и первая Фурье-гармоники.

В задаче ненаблюдаемости требуется определить число N], расположение тел Д, и их волновые размеры так, чтобы по результатам измерения осредненного следа полного поля на поверхности приемников выделить из полного поля падающее поле стороннего источника. Далее, по падающему полю требуется определить число N и функции fn, п = , чтобы в области О* — внешности сферы, содержащей внутри себя все тела Вп, выполнялось соотношение где ие — заданная функция.

Схема гашения поля излучения и дифракции ограниченного выпуклого тела состоит в следующем (рис. 0.7). Начало системы координат помещают внутри тела . На сферах и 5*2 радиусов и Я2 (< К2) располагают центры сферических приемников радиусом ах (у = 1,2; т = 1,.,Ма на сфере радиусом (^ < Я2 < Я3) — центры излучающих сфер 83т радиусом а2. Тело 5*01 лежит внутри сферы радиусом , а область сторонних источников расположена за пределами сферы радиусом 7?3.

Решение задачи ненаблюдаемости или активного гашения состоит из нескольких этапов. Вначале решается задача измерения. Трудности, возникающие при этом, связаны с неустранимой погрешностью, которую дифракционное поле вносит в измерение падающего поля. Поэтому задача измерения включает в себя и задачу разделения полей. В [23] получена конечная система алгебраических уравнений для определения бесконечного числа амплитуд сферических гармоник поля дифракции на телах 5 и собственного излучения тела 5'01 и вспомогательных излучателей и падающего стороннего поля.

Приемники £ определенным образом помещают на сфере радиусом Яд, после чего по измерениям полного поля находят приближенные значения амплитуд сферических гармоник падающего поля. ч /\ \

3 %у

7 XI "Л'

Рис. 0.7. Схема гашения поля излучения и дифракции выпуклого тела: О — микрофоны; ® — вспомогательные излучатели; ^И^ источники сторонние

На втором этапе решается задача активного гашения. Минимизация поля дифракции сводится к системе линейных алгебраических уравнений, выражающей условия обнуления первых (7/ + 1)2 пространственных гармоник за счет выбора амплитуд вспомогательных излучателей. Показано, что при специальном выборе расположения излучателей решение этой системы существует для произвольного N и любой правой части. Получена оценка числа N. Достигаемая в результате невидимость является низкочастотной.

Подводя итог сделанному обзору, сделаем следующие выводы. Задачу синтеза нерассеиваюгцего (прозрачного) тела можно подразделить по признаку использования дополнительных источников энергии на задачу пассивного подавления рассеянного поля, когда дополнительные источники энергии не используются, и задачу активного подавления рассеянного поля, когда используются дополнительные источники энергии в той или иной форме.

В свою очередь задачу активного подавления можно подразделить по признаку наличия или отсутствия измерений первичного поля с их последующей обработкой.

Кроме того, задачу синтеза нерассеивающего тела можно подразделить на низкочастотную, резонансную и высокочастотную в соответствии с размерами рассеивающего объекта. Если обозначить характерный размер рассеивающего тела через d, а длину падающей волны через Л, то к низкочастотным можно отнести задачи, в которых d « Л, к резонансным, когда Л < d < ЮЛ ик высокочастотным, когда d » ЮЛ (границы диапазонов достаточно условны). Таким же образом, в зависимости от волновых размеров рассеивателя спектр частот можно условно подразделить на низкочастотную, резонансную и высокочастотную области.

Целью настоящей работы является математическое исследование задачи синтеза нерассеивающего (прозрачного) тела как задачи пассивного подавления рассеянного электромагнитного поля в области резонансных частот. При этом дополнительно требуется, чтобы воздействие на рассеивающие характеристики достигалось без изменения формы и размеров тела, а также без существенных изменений характера его поверхности. Данные требования исключают использование оболочек (во всяком случае — толстых).

В качестве исходных тел рассматриваются идеально проводящие тела, а в качестве средств достижения их прозрачности — внутренние переизлучатели, под которыми понимаются произвольные области внутри данного тела, некоторым образом заполненные идеальными проводниками и непоглощающими диэлектриками и связанные с внешним пространством посредством отверстий или щелей в идеально проводящей границе тела. Предполагается, что суммарная площадь отверстий sa мала по сравнению с общей площадью внешней поверхности тела S mesjj^ «mesS, (0.6) a что является формальным выражением требования отсутствия «существенного изменения характера внешней поверхности» тела. Тогда задачу синтеза прозрачного тела можно сформулировать следующим образом: для заданного идеально проводящего тела, ограниченного замкнутой поверхностью S, требуется найти такое распределение непоглощающих диэлектриков и идеальных проводников в области Д ограничиваемой поверхностью S, и такую совокупность отверстий sa в границе с учетом ограничения (0.6), что полный поперечник рассеяния <гТ полученного в результате тела был в заданное число раз меньше поперечника рассеяния а ° исходного идеально проводящего тела.

Переизлучатеяь представляет собой структуру с произвольным числом варьируемых параметров (сколь угодно большим), и выбирается для достижения заданной степени ослабления рассеянного поля.

Переизлучатель можно интерпретировать как сложную импедансную нагрузку, однако использование термина «переизлучатель» в данном случае предпочтительней термина «импедансная нагрузка» прежде всего потому что переизлучателю не приписывается никаких значений импеданса, а рассмотрение задачи дифракции на теле с переизлучателем проводится не с точки зрения теории цепей, а с точки зрения строгой теории дифракции в терминах электромагнитных полей на основе уравнений Максвелла. Единственные используемые при этом идеализации — это идеальный проводник, непоглощающий диэлектрик и бесконечно тонкий экран, принятые в математической теории дифракции.

В работе продемонстрирована принципиальная возможность придания проводящим телам резонансных размеров свойств нерассеивающих тел путем наделения их подходящими переизлучателями, состоящими из идеальных проводников и обычных диэлектриков. Использование материалов с необычными свойствами (метаматериалов или плазмы) не предполагается. В качестве исходных тел рассматриваются простейшие идеально проводящие тела: бесконечный круговой цилиндр и сфера.

Работа состоит из введения, пяти глав, трех приложений и заключения.

В главе 1 даны основные определения, связанные с рассеивающими свойствами тел, и сформулирована общая задача синтеза прозрачного тела как задача пассивного подавления рассеянного электромагнитного поля — вначале как физическая задача, а затем формально-математическая, основанная на строгой постановке краевой задачи для системы уравнений Максвелла. Даны формальные определения используемых в дальнейшем понятий переизлучателя и порядка переизлучателя.

В главе 2 исследована простейшая задача синтеза прозрачного тела — о наделении идеально проводящего кругового цилиндра свойствами тела, прозрачного по отношению к плоской //-поляризованной волне, падающей перпендикулярно оси цилиндра, путем выбора подходящего внутреннего переизлучателя, связанного с внешним пространством посредством продольных щелей в границе цилиндра [68-70]. Вначале решена вспомогательная задача о рассеянии плоской Я-поляризованной волны на круговом цилиндре с бесконечно тонкими идеально проводящими стенками, снабженными N узкими продольными щелями (/ « 1, где I -— угловая полуширина щели) [67]. Исходная краевая задача для уравнения Гельмгольца сведена к интегральному уравнению с логарифмической особенностью ядра относительно касательного электрического поля на щелях. С использованием формулы обращения логарифмического интегрального оператора на системе малых дуг окружности получены приближенные выражения для амплитуд гармоник рассеянного поля. Показано, что при достаточно большом N и при определенном выборе однородного диэлектрического заполнения внутренности цилиндра можно подавить одну из гармоник рассеянного поля с заданным номером [67]. Для подавления большего числа гармоник внутренность цилиндра должна иметь большее число «степеней свободы» (варьируемых параметров). Располагая N щелями в экране — границе цилиндра, можно подавить самое большее N гармоник рассеянного поля. Для этого на щелях необходимо создать вполне определенное касательное электрическое поле. Отсюда получены N условий прозрачности — условия подавления первых N гармоник рассеянного поля [69, 70]. Показано, что вклад высших гармоник рассеянного поля может быть сделан сколь угодно малым за счет выбора достаточно большого N [69, 70]. Таким образом, хотя полное подавление рассеянного поля при фиксированном числе щелей невозможно, можно ослабить рассеянное поле в произвольное наперед заданное число раз, если взять достаточно большое количество щелей, т.е. возможно «потенциально полное» подавление рассеянного поля. Далее исследована возможность синтеза Ы-параметрического внутреннего заполнения цилиндра (переизлучателя Л^-го порядка) на основе N независимых однопараметрических переизлучателей [68, 69]. При этом каждый переизлучатель связан с внешним пространством посредством одной щели, на которой он должен обеспечивать создание требуемого электрического поля. В качестве переизлучателей используются произвольного вида резонаторы, характеризуемые одним варьируемым параметром. В приближении узких щелей получены уравнения относительно параметров резонаторов и доказана неразрешимость этих уравнений в действительных числах [68, 69]. Отсюда сделан вполне ожидаемый вывод, что прозрачный цилиндр при данной поляризации поля не может быть реализован на основе независимых переизлучателей первого порядка без использования активных нагрузок [68, 69]. Далее исследована возможность построения переизлучателя Л^-го порядка из N12 независимых двухпараметрических переизлучателей [68-70]. При этом каждый переизлучатель связан с внешним пространством посредством двух «сопряженных» узких щелей (I«1), одна из которых расположена на освещенной, а другая — на теневой стороне цилиндра. Фактически внутренность цилиндра состоит из изолированных слоев, ориентированных вдоль направления падения волны. В качестве переизлучателей рассматриваются резонаторы (полости) с идеально проводящими границами. В приближении узких щелей получены уравнения для определения двух независимо варьируемых параметров резонаторов [68, 69]. Найдены достаточные условия разрешимости полученных уравнений в действительных числах [68, 69]. В частности, показано, что требуемый резонатор может быть получен в результате малого возмущения резонатора с кратной собственной частотой, которой соответствуют две собственные функции противоположной четности [68, 69]. Данное условие с учетом необходимости вписывания переизлучателя в цилиндр является достаточно жестким, что делает задачу синтеза весьма сложной. Для доказательства принципиальной возможности синтеза прозрачного цилиндра в резонансной области необходимо указать примеры резонаторов с указанными свойствами. Предложено два типа таких переизлучателей. Дальнейшее исследование проводится для переизлучателей, состоящих из четырех цилиндрических кольцевых секторов, связанных между собой и с внешним пространством узкими продольными щелями. Поставлена задача дифракции на цилиндре с переизлучателями в случае, когда параметры областей считаются заданными [70, 73]. При этом исходная задача формулируется в виде краевой задачи для системы уравнений Гельмгольца относительно продольного магнитного поля в различных областях. Краевая задача сведена к системе интегральных уравнений с логарифмической особенностью ядра относительно касательного электрического поля на щелях. После подставления в эту систему значений полей, определяемых из условия обращения в нуль первых N гармоник рассеянного поля, в приближении узких щелей (/«1) получена система уравнений задачи синтеза для определения параметров переизлучателей [70, 73]. Показано, что параметры различных переизлучателей определяются независимо. Доказана разрешимость задачи синтеза в действительных числах [70, 73]. Приведены примеры численного решения задачи синтеза для различных частот первичного поля. В каждом случае продемонстрировано ослабления рассеянного поля в малой окрестности заданной частоты на несколько порядков [73].

В главе 3 рассмотрена другая задача синтеза — о наделении идеально проводящего кругового цилиндра свойствами тела, прозрачного по отношению к плоской Е-поляризованной волне, падающей перпендикулярно оси цилиндра [71]. Эта двумерная задача решается трехмерными средствами. Требуемое касательное электрическое поле на поверхности цилиндра создается на поперечных кольцевых щелях, каждая из которых связывает внешнее пространство с некоторым цилиндрическим или кольцевым резонатором конечной высоты. Щели и резонаторы вместе с объемлющим их внешним цилиндром составляют периодическую структуру (аналогичный подход использовался при решении задачи «одномерной невидимости» — построении нерассеивающей проводящей плоскости [66]). Задача дифракции на этой структуре исследуется в строгой трехмерной электродинамической постановке. Вначале формулируется краевая задача для системы уравнений Максвелла. Далее рассеянное поле и поле в резонаторах выражаются через азимутальные гармоники электрического и магнитного поля, для которых также формулируется краевая задача. Краевая задача сводится к системе интегральных уравнений относительно неизвестных, выражающих коэффициенты Фурье касательного электрического поля на щелях в пределах одного периода структуры. Для каждой щели и каждого коэффициента Фурье записывается одна пара уравнений, в каждой из которых одно из уравнений имеет логарифмическую особенность ядра, а другое является сингулярным интегральным уравнением. При этом на одну из двух компонент каждой неизвестной накладывается дополнительное условие (аналогичные системы встречаются в теории щелевых линий передачи и подробно исследованы в [65]). Показано, что при достаточно малом периоде структуры все продольные гармоники рассеянного поля, кроме нулевой, затухают на бесконечности и задача сводится к подавлению только азимутальных гармоник [71]. Азимутальные гармоники рассеянного поля подавляются при помощи независимого подбора собственных частот резонаторов. В приближении узких щелей (/«1) система интегральных уравнений задачи дифракции сводится к системе алгебраических уравнений относительно поперечного электрического поля на щелях. Отсюда и из условий прозрачности получена система уравнений задачи синтеза. Доказано, что при любой заданной частоте и при достаточно узких щелях первые N азимутальных гармоник рассеянного поля могут быть подавлены при помощи соответствующего подбора параметров N резонаторов на период [71]. Приведены примеры численного решения задачи синтеза для различных частот первичного поля. В каждом случае продемонстрировано ослабления рассеянного поля в малой окрестности заданной частоты на несколько порядков [71].

Полученные в главах 2 и 3 решения задачи синтеза прозрачного тела дают примеры «двумерной невидимости» в резонансном диапазоне. Принципиальное значение имеет вопрос о возможности переноса полученных результатов на трехмерный электромагнитный случай, т.е. о возможности «трехмерной невидимости». В главе 4 рассмотрена простейшая из трехмерных задач синтеза прозрачного тела — о наделении идеально проводящей сферы свойствами тела, прозрачного по отношению к плоской линейно поляризованной электромагнитной волне (синтез «прозрачной» сферы) [72]. Требуемое для прозрачности касательное электрическое поле на сфере создается на множестве узких кольцевых щелей, образованных сечениями сферы параллельными плоскостями. Каждая щель связывает внешнее пространство с отдельным переизлучателем — резонатором, представляющим собой сферический кольцевой сектор с идеально проводящими стенками, заполненный однородным диэлектриком. Задача дифракции плоской волны на сфере с переизлучателями рассматривается в строгой электродинамической постановке — как краевая задача для системы уравнений Максвелла. Путем разложения по сферическим гармоникам рассеянное поле и поле, возбуждаемое внутри резонаторов, выражаются через неизвестное касательное электрическое поле на щелях, относительно которого получена система интегральных уравнений. Эта система состоит из пар уравнений упомянутого выше вида: одно из уравнений имеет логарифмическую особенность ядра, другое является сингулярным интегральным уравнением. При этом на одну из компонент векторных неизвестных накладывается дополнительное условие. Отсюда получены условия прозрачности, выражающие требование подавления заданного числа низших сферических гармоник рассеянного поля [72]. Задача сильно упрощается при учете различного поведения составляющих касательного электрического поля на щелях: в случае узких щелей (/ «1) вкладом составляющей, параллельной краям щелей, можно пренебречь, в результате чего векторная система интегральных уравнений приближенно сводится к скалярной [72]. Для этого случая получены уравнения для определения параметров кольцевых резонаторов и доказана их разрешимость в действительных числах при достаточно узких щелях [72]. Приведены примеры численного решения задачи синтеза прозрачной сферы для различных частот первичного поля. В каждом случае продемонстрировано ослабления рассеянного поля в малой окрестности заданной частоты на несколько порядков [72].

Прозрачные тела, построенные в главах 2-4, не являются изотропными ни по направлению падения волны, ни по направлению поляризации первичного поля. В этой связи возникает вопрос о принципиальной возможности синтеза «прозрачных» тел с изотропными в том или ином смысле свойствами. В общем случае требуется обеспечить изотропность по трем направлениям: двум пространственным углам, определяющим направление распространения падающей волны, и углу, определяющему плоскость поляризации. В главе 5 рассмотрена возможность увеличения количества направлений изотропности тела на единицу путем выставления дополнительного требования в формулировке задачи синтеза. Для этого поставлена задача синтеза кругового цилиндра, «прозрачного» по отношению к плоской //-поляризованной волне, падающей перпендикулярно оси цилиндра, независимо от азимутального угла падения волны [74]. В отличие от задачи, решенной в главе 2, требуемый переизлучатель должен обладать свойствами, не зависящими от азимутального угла. В главе 5 такой переизлучатель строится из коаксиально вложенных круговых цилиндров с идеально проводящими бесконечно тонкими стенками, каждая из которых снабжена N одинаковыми продольными щелями, расположенными с равным угловым шагом. Слои между границами цилиндров заполнены однородными изотропными и непоглощающими диэлектриками. Параметрами, варьируемыми в задаче синтеза, являются радиусы цилиндров и диэлектрические проницаемости заполнений. В данном случае переизлучатель А^-го порядка не сводится к сумме изолированных переизлучателей меньшего порядка. Исходная краевая задача для уравнения Гельмгольца относительно продольного магнитного поля сведена к интегральному уравнению с логарифмической особенностью ядра относительно касательного электрического поля на щелях. В приближении узких щелей система интегральных уравнений сводится к системе линейных алгебраических уравнений. Решение этой системы получено в явном виде, что позволяет явно выразить решение задачи дифракции [74]. Найденное решение после подставления в него условий обнуления нескольких первых гармоник дает систему уравнений задачи синтеза для определения параметров отдельных слоев переизлучателя. Для случая экспоненциально узких щелей доказана разрешимость системы уравнений синтеза в действительных числах. Предложен итерационный алгоритм решения этой системы. Определена область локализации решений в случае тонких слоев. Приведены примеры численного решения задачи синтеза изотропного прозрачного цилиндра для различных частот первичного поля. В каждом случае продемонстрировано ослабление рассеянного поля на несколько порядков в малой окрестности заданной частоты [74].

В приложении 1 приведены основные сведения из теории операторов с логарифмической особенностью ядра в весовых классах Гёльдера, в том числе по результатам оригинальных работ [26, 62-64, 90, 129].

В приложении 2 изложены оригинальные результаты по обращению оператора с логарифмическим ядром на системе дуг окружности [67]. Выведены формулы действия обратного оператора на тригонометрические функции, в том числе асимптотические формулы для случая малых дуг. Получены формулы для моментов — результатов скалярного умножения на тригонометрические функции результатов применения обратного оператора к тригонометрическим функциям.

В приложении 3 на основе работы [65] изложены необходимые результаты теории матричных интегральных операторов специального вида.

Основные результаты диссертации, выносимые на защиту, заключаются в следующем:

Предложена и исследована новая постановка задачи синтеза «прозрачного» (нерассеивающего) тела как задачи пассивного подавления рассеянного электромагнитного поля без изменения размеров и формы тела и с ограничениями на изменения поверхности тела.

Поставлены и исследованы плоские и пространственные краевые задачи дифракции электромагнитных волн на круговом цилиндре и сфере с различными переизлучателями. Получены решения задач дифракции на круговом цилиндре и сфере с различными переизлучателями в приближении узких щелей.

Построены системы уравнений задачи синтеза для определения параметров переизлучателей, обеспечивающих заданное ослабление рассеянного поля в задачах дифракции плоской линейно поляризованной электромагнитной волны на круговом цилиндре и сфере. Доказаны теоремы существования решения задачи синтеза нерассеивающего проводящего кругового цилиндра для различной поляризации падающего поля и нерассеивающей проводящей сферы.

Построены алгоритмы решения задач синтеза нерассеивающего кругового цилиндра и нерассеивающей сферы. В численных экспериментах получены примеры проводящих круговых цилиндров и сфер, слабо рассеивающих в окрестности заданной частоты резонансного диапазона.

Доказана принципиальная возможность уменьшения мощности, рассеиваемой проводящими телами, в произвольное число раз.

По теме диссертации опубликовано 16 работ, в том числе 13 в журналах из списка

ВАК.

Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре «Численные методы электродинамики» физического факультета

МГУ им. М.В. Ломоносова; на научном семинаре кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ им.

М.В. Ломоносова; на научном семинаре кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им.

М.В. Ломоносова; на научном семинаре «Математическое моделирование волновых процессов»

РосНОУ); на Московском электродинамическом семинаре (ИРЭ РАН);

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Чернокожин, Евгений Владимирович

Заключение

Результаты данной работы позволяют сделать следующие выводы.

Возможность наделения проводящих тел свойствами нерассеивающего (прозрачного) тела существует.

Этого можно добиться без использования дополнительных источников энергии — за счет перераспределения энергии падающего поля при помощи переизлучателей.

Использование метаматериалов не является обязательным условием достижения прозрачности.

Задачу поиска требуемых переизлучателей удается решить в случае простейших идеально проводящих тел: круговых цилиндров и сфер.

Единственная серьезная проблема, присущая используемому подходу, — это узкополосность достигаемого эффекта, возможности преодоления которой в данной работе не рассматриваются.

Ближайшими перспективами развития используемого подхода являются:

1) Обобщение результатов работы на проводящие тела произвольной формы в двумерном и трехмерном случаях;

2) Исследование возможности расширения полосы прозрачности;

3) Постановка физических экспериментов с нерассеивающими телами.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Чернокожин, Евгений Владимирович, 2007 год

1. Айзикович Б.В., Лапшин В.Ю. и др. Методы анализа и расчета радиолокационных характеристик поглотителей электромагнитных волн, кромок и изломов поверхностей сложной геометрической формы// Зарубежная радиоэлектроника. -1994. №4-5. С. 41-53.

2. Ананьин Э.В., Ваксман Р.Г., Патраков Ю.М. Методы снижения радиолокационной заметности// Зарубежная радиоэлектроника. 1994. №4-5. С. 5-21.

3. Арабаджи В.В. Неотражающая коммутационная микроструктура// Радиотехника и электроника. 2005. Т. 50. №5. С. 613-625.

4. Бахвалов Н.С. Численные методы. М: Наука, 1973.

5. Бляхман А.Б., Рунова И.А. Бистатическая эффективная площадь рассеяния и обнаружение объектов при радиолокации на просвет// Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46. №4. С. 424-432.

6. Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции. М.: Наука, 1982.272 с.

7. Валакис Дж.Л., Сеньор Т.Б.А. Применение одного класса обобщенных граничных условий к рассеянию на диэлектрической полуплоскости с металлической подложкой// ТИИЭР. 1989. Т. 77. С. 176-186.

8. Ван дер Варден Б.Л. Алгебра. М.: Наука, 1979.

9. Вашковский A.B., Локк Э.Г. Обратные поверхностные электромагнитные волны в композитных структурах, использующих ферриты//Радиотехника и электроника. -2003. Т. 48. №2. С. 169-176.

10. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений. М.: Наука, 1970.- 380 с.

11. Веселаго В.Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями s и ц// Успехи физических наук. 1967. Т. 92. №3. С. 517-526.

12. Веселаго В.Г., Глушков М.В., Прохоров A.M. Сверхвысокочастотные свойства плазмы твердого тела// Радиотехника и электроника. -1967. Т. 12. №7. С. 1220— 1226.

13. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М: Наука, 1983.- 512 с.

14. Вопросы перспективной радиолокации/ Отв. ред. A.B. Соколов. М.: Радиотехника, 2003. - 522 с.

15. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1963.

16. Глейзер Дж.И. Некоторые результаты по определению двухпозиционной ЭПО сложных объектов// ТИИЭР. -1989. Т. 77. №5. С. 8-18.

17. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М.: Наука, 1971,- 1108 с.

18. Гусейнов А.И., Мухтаров Х.Ш. Введение в теорию нелинейных сингулярных интегральных операторов. М.: Наука, 1980.- 416 с.

19. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики. М.: Изд-во МГУ, 1987.

20. Еремин Ю.А. К проблеме существования невидимого рассеивателя в теории дифракции// Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24. №4. С. 684-687.

21. Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Метод дискретных источников в задачах электромагнитной дифракции. -М.: Изд-во МГУ, 1992.- 184 с.

22. Захарьев J1.H., Леманский A.A. Рассеяние волн «черными» телами. М.: Сов. Радио, 1972.-288 с.

23. Иванов В.П. Задачи дифракции волн в низкочастотной акустике. М: Наука, 2004.470 с.

24. Ильинский А.С, Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М: Высшая школа, 1991.

25. Ильинский A.C., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. Псевдодифференциальные операторы в задачах дифракции. М.: ИПРЖР, 1996.- 176 с.

26. Ильинский A.C., Чернокожин Е.В. О регуляризации интегрального оператора с логарифмическими особенностями ядра // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24.№ 8. С. 1433-1437.

27. Ильинский A.C., Шестопалов Ю.В. Применение методов спектральной теории в задачах распространения волн. М.: Изд-во МГУ, 1989.

28. Казанцева Н.Е., Рывкина Н.Г., Чмутин И.А. Перспективные материалы для поглотителей электромагнитных волн сверхвысокочастотного диапазона// Радиотехника и электроника. 2003. Т. 48. №2. С. 196-209.

29. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.- 576 с.

30. Касперс Д. Двухпозиционные и многопозиционные радиолокационные системы// Справочник по радиолокации/ Ред. М.Сколник. Т. 4. Пер. с англ. М.: Сов. Радио, 1978. С.193-216.

31. Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. Пер. с англ. М: Мир, 1987.-312 с.

32. Малюжинец Г.Д. Нестационарные задачи дифракции для волнового уравнения с финитной правой частью// Труды АКИН. 1971. Вып. XV. С. 124-139.

33. Малюжинец Г.Д. Определение диаграммы направленности по данным измерений в ближнем поле (плоская задача)// Труды АКИН. 1971. Вып. XV. С. 193-202.

34. Масалов С.А., Рыжак A.B. и др. Физические основы диапазонных технологий типа «Стеле». С.-Петербург: Военный Инженерно-космический университет им. А.Ф. Можайского, 1999.- 164 с.

35. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. Пер. с япон. М.: Мир, 1977,- 504 с.

36. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.512 с.

37. Петров Б.М., Семенихин А.И. Управляемые импедансные покрытия// Зарубежная радиоэлектроника. 1994. №6. С. 9-16.

38. Петров Б.М., Шарварко В.Г. Обратная задача рассеяния для импедансного цилиндра// Изв. вузов. Радиоэлектроника. -1975. Т. 18. №12. С. 90.

39. Петров Б.М., Юханов Ю.В. Обратная задача рассеяния для импедансного цилиндра произвольного сечения// Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1980. Т. 23. №9. С. 78-81.

40. Пирумов B.C., Алексеев А.Г., Айзикович Б.В. Новые радиопоглощающие материалы и покрытия// Зарубежная радиоэлектроника. 1994. №6. С. 2-8.

41. Прёсдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. Пер. с нем. М.: Мир, 1979.-496 с.

42. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981.

43. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983.

44. Репин В.М. Численный метод решения задачи об электромагнитной связи объемов через отверстия// Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1971. Т. 11. №1. С. 152163.

45. Розанов К.Н., Преображенский Е.А. Синтез активных радиопоглощающих покрытий на основе сложных сред, составленных из активных электрических диполей// Радиотехника и электроника. 2005. Т. 50. №7. С. 858-864.

46. Сазонов Д.М., Гридин А.Н., Мишустин Б.А. Устройства СВЧ. М.: Высшая школа, 1981.

47. Сеньор Т. Обзор аналитических методов оценки поперечных сечений рассеяния// ТИИЭР. 1965. Т. 53. №8. С. 948-959.

48. Смирнов Ю.Г. О разрешимости векторных задач дифракции в областях, связанных через отверстия в экране// Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1993. Т. 33. №9. С. 1427-1440.

49. Современная радиоэлектронная борьба. Вопросы методологии/ Отв. ред. В.Г. Радзиевский. -М.: Радиотехника, 2006.- 422 с.

50. Справочник по антенной технике. Т.1./ Отв ред. Л.Д Бахрах, Е.Г. Зелкин,-М.гИПРЖР, 1997.

51. Справочник по специальным функциям/ Ред. М. Абрамович, И.М Стиган. М: Наука, 1969.

52. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М: Наука, 1979.

53. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М: Наука, 1966.- 724 с.

54. Третьяков С.А. Электродинамика сложных сред: киральные, биизотропные и бианизотропные материалы// Радиотехника и электроника. 1994. Т. 39. №10. С. 1457-1470.

55. Уфимцев П.Я. Метод краевых волн в физической теории дифракции. М.: Сов. Радио, 1962.

56. Федоренко А.И. Решение задачи рассеяния электромагнитной волны на однородном киральном цилиндре методом поверхностных интегральных уравнений// Радиотехника и электроника. 1995. Т. 40. №3. С. 381-393.

57. Фельд Я.Н. Дифракция электромагнитных волн на незамкнутых металлических поверхностях// Радиотехника и электроника. 1975. Т. 20. №1. С. 23-38.

58. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. -М: Наука, 1969,- 656 с.

59. Хёнл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. Пер. с нем. М.: Мир, 1964.

60. Цветнов В.В., Демин В.П., Куприянов А.И. Радиоэлектронная борьба: радиомаскировка и помехозащита. М.: Изд-во МАИ, 1999.- 240 с.

61. Чаплин А.Ф., Кондратьев A.C. Синтез кругового импедансного цилиндра по полю в дальней зоне// Радиотехника и электроника. 1977. Т. 22. №3. С. 505-510.

62. Чернокожин Е.В., Шестопалов Ю.В. О фредгольмовости интегрального оператора с ядром, имеющим слабую особенность // Веста. Моск. Ун-та. Вычислительная математика и кибернетика. 1982. №1. С. 23-28.

63. Чернокожин Е.В., Шестопалов Ю.В. Математические методы исследования рассеяния волн открытыми цилиндрическими структурами// Радиотехника и электроника. 1997. Т. 42. №11. С. 1299-1311.

64. Чернокожин Е.В., Шестопалов Ю.В. О разрешимости краевых задач для уравнения Гельмгольца в неограниченной области с некомпактной границей// Дифференциальные уравнения. 1998. Т. 34. №4. С. 546-553.

65. Чернокожин Е.В. Собственные волны щелевых линий передачи с круговой симметрией// Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. -2001. №1. С. 3-80.

66. Чернокожин Е.В. Прохождение плоской волны через периодическую структуру из двух параллельных проводящих плоскостей, нагруженных решеткой из прямоугольных резонаторов// Электромагнитные волны и электронные системы. -2002. Т. 7. №1. С. 4-14.

67. Чернокожин Е.В. Рассеяние плоской волны на проводящем цилиндре с несколькими продольными щелями// Электромагнитные волны и электронные системы. 2002. Т. 7. №2. С. 4-24.

68. Чернокожин Е.В. Создание эффекта прозрачности идеально проводящего цилиндра при помощи пассивной нагрузки из резонаторов// Электромагнитные волны и электронные системы. 2002. Т. 7. №9. С. 12-32.

69. Чернокожин Е.В. Синтез «прозрачного» тела из идеально проводящего цилиндра и системы резонаторов// Радиотехника и электроника. 2003. Т. 48. №7. С. 773-786.

70. Чернокожин Е.В. Синтез «прозрачного» цилиндра из идеально проводящего// Электромагнитные волны и электронные системы. 2004. Т. 9. №1. С. 4-20.

71. Чернокожин Е.В. Минимизация поля, рассеянного идеально проводящим круговым цилиндром, при помощи периодической системы цилиндрических или кольцевых резонаторов// Радиотехника и электроника. 2004. Т. 49. №10. С. 1157-1175.

72. Чернокожин Е.В. Ослабление поля, рассеянного идеально проводящей сферой, при помощи системы кольцевых щелей и сферических кольцевых резонаторов// Радиотехника и электроника. 2005. Т. 50. №2. С. 171-179.

73. Чернокожин Е.В. Решение задачи синтеза нерассеивающей цилиндрической структуры// Прикладная математика и информатика. №20. М: Изд-во факультета ВМиК МГУ, 2005. С. 16-39.

74. Чернокожин Е.В. Синтез изотропного переизлучателя для подавления рассеяния Г£-поляризованной волны идеально проводящим цилиндром// Радиотехника и электроника. 2006. Т. 51. №1. С. 37-46.

75. Черняк B.C. Многопозиционная радиолокация. М.: Радио и связь, 1993.

76. Шестопалов В.П. Спектральная теория и возбуждение открытых структур. Киев: Наукова думка, 1987.- 288 с.

77. Шиффер М., Спенсер Д.К. Функционалы на конечных римановых многообразиях. Пер. с англ. М.: Изд-во иностранной литературы, 1957.

78. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1977.

79. Adey A.W. Scattering of Electromagnetic Waves by Coaxial Cylinders// Can. J. Phys. -May 1956. V. 34. P 510-520.

80. Alu A., Engheta N. Pairing a Epsilon-Negative Slab with a Mu-Negative Slab: Resonance, Tunneling and Transparency// IEEE Trans. Antennas Propagat. 2003. V. 51. N. 10. P. 2558-2571.

81. Alu A., Engheta N. Achieving Transparency with Plasmonic and Metamaterial Coatings// Phys. Rev. E. 2005. V. 72.- 016632.

82. Andreasen M.G. Scattering from Cylinders with Arbitrary Surface Impedance// Proc. IEEE. -1965. V. 53. N 8. P. 812-817.

83. Barrie D. Russians Eye Plasma Fields to Cut Cruise Missiles RCS// Aviation Week & Space Technology. -10/21/2002.

84. Barrie D. France Pursues Active Stealth for Cruise Missiles RCS// Aviation Week & Space Technology. 06/17/2002.

85. Blacksmith P, Hiatt R.T., Mack R.B. Introduction to Radar Cross-Section Measurements// Proc. IEEE. 1965. V. 53. N. 8. P. 901-920.

86. Brosselin S. L'avion "invisible"// Science&Vie. 1985. V. 8. №815. P. 68-76.

87. Carlile R., Cavalli A. et al. Absorption of Energy from a Large Amplitude Electromagnetic Pulse by a Collisionless Plasma// IEEE Trans. Antennas Propagat. -1979. V. 27. N. 5. P. 596-603.

88. Chen K.M. Minimization of Backscattering of a Cylinder by Double Loading// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1965. V. 13. N. 2. P. 262-270.

89. Chen K.M., Liepa V. Minimization of Backscattering of a Cylinder by Central Loading// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1964. V. 12. N. 5. P. 576-582.

90. Chernokozhin E.V., Shestopalov Yu.V. Resonant and Nonresonant Diffraction by Open Image-Type Slotted Structures// IEEE Trans. Antennas Propagat. 2001. V. 49. N. 5. P. 793-800.

91. Cwik T. Coupling into and Scattering from Cylindrical Structure Covered Periodically with Metallic Patches// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1990. V. 38. N. 2. P. 220-226.

92. Fidele J. Resonant Scattering from a Conducting Cylinder Clad with an Anisotropic Plasma// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1973. V. 21. N. 6. P. 818-826.

93. Garbacz R.J., Turpin R.H. A Generalized Expansion for Radiated and Scattered Fields// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1971. V. 19. N. 3. P. 348-358.

94. Gately Jr. A.C., Stock D.J.R., Ru-ShaoCheo R. A Network Description for Antenna Problems// Proc. IEEE. 1968. V. 56. N.7. P. 1181-1193.

95. Green R. The Echo Area of Small Rectangular Plates with Linear Slots// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1964. Y. 12. N. 1. P. 101-104.

96. Harrington R.F. Theory of Loaded Scatterers// Proc. Elec. Eng. Apr. 1964. V. 111. P. 617-623.

97. Harrington R.F. Resonant Behavior of a Small Aperture Backed by a Conducting Body// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1982. V. 30. N. 2. P. 205-211.

98. Harrington R.F., Mautz J.R. Theory of Characteristic Modes for Conducting Bodies// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1971. V. 19. N. 5. P. 622-628.

99. Harrington R.F., Mautz J.R. Control of Radar Scattering by Reactive Loading// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1972. V. 20. N. 4. P. 446^54.

100. Harrington R.F., Mautz J.R. Pattern Synthesis for Loaded JV-Port Scatterers// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1974. V. 22, N. 2. P. 184-190.

101. Harrington R.F., Mautz J.R. Optimization of Radar Cross Section of TV-Port Loaded Scatterers// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1974. V. 22. N. 5. P. 697-701.

102. Hiatt R.E., Siegel K.M., Weil H. Forward Scattering of Coated Objects Illuminated by Short Wavelength Radar// Proc. IRE. 1960. N. 9. P. 1630-1635.

103. Hosono H. Scattering of a Modulated Pulse by a Circular Cylinder with Longitudinal Slots: Reaction in the Cylinder// Radio Science. 1995. V. 30. N. 6. P. 1681-1687.

104. Jones J., Thurber M. Stealth Technology: the Art of Black Magic. Blue Ridge Summit, PA: AERO, 1989. - 150 p.

105. Kabalan K.Y., Harrington R.F. et al. Characteristic Modes for Slots in a Conducting Plane, TE Case// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1987. V. 35. N. 2. P. 162-168.

106. Kahn W.K., Kurss H. Minimum Scattering Antennas// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1965. V. 13. N. 5. P. 671-675.

107. Kildal P.-S., Olsen E., Aas J.A. Losses, Sidelobes, and Cross Polarization Caused by Feed-Support Struts in Reflector Antennas// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1988. V. 36. N. 2. P. 182-190.

108. Kildal P.-S., Kishk A.A. Reduction of Forward Scattering from Cylindrical Objects using Hard Surfaces// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1996. V. 44. N. 11. P. 1509-1520.

109. Kishk A.A. Analysis of Hard Surfaces of Cylindrical Structures of Arbitrary Shaped Cross Section Using Asymptotic Boundary Conditions// IEEE Trans. Antennas Propagat. -2003. V. 51. N. 6. P. 1150-1156.

110. Kluskens M.S., Newman E.H. Scattering by a Chiral Cylinder of Arbitrary Cross Section// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1990. V. 38. N. 9. P. 1448-1455.

111. Knott E.F., Shaeffer J.F., Tuley M.T. Radar Cross Section: Its Prediction, Measurement, and Reduction. Dedham, MA: Artech House, 1986.- 462 p.

112. Leonhardt U. Notes on Conformal Invisibility Devices// arXiv: physics/0605227. V. 2. 26 May 2006.

113. Leonhardt U. Optical Conformal Mapping// Science 23 Jun. 2006. V. 312. P. 1777-1780.

114. Liepa V. V., Senior T.B.A Modification to the Scattering Behavior of a Sphere by Reactive Loading// Proc. IEEE. 1965. V. 53. N. 8. P. 1004-1011.

115. Lin J.L., Chen K.M. Minimization of Backscattering of a Loop by Impedance Loading — Theory and Experiment// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1968. V. 16. N. 3. P.299-304.

116. Luo C., Johnson S.G. et al. All-Angle Negative Refraction without Negative Effective Index// Phys. Rev. B. 2002. V. 65.- 201104.

117. Lynch D.A. Introduction to RF Stealth. Raleigh, NC: SciTech, 2004.- 575 p.

118. Mautz J.R., Harrington R.F. Modal Analysis of Loaded iV-Port Scatterers// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1973. V. 21. N. 2. P. 188-199.

119. Mautz J.R., Harrington R.F. An is-Field Solution for a Conducting Surface Small or Comparable to the Wavelength// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1984. V. 32. N. 4. P. 330-340.

120. Monge G. Application de l'analyse á la géométrie. Paris, 1850. P. 609-616.

121. Monzon J.C. Scattering by a Biisotropic Body// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1995. V. 43. N. 11. P. 1288-1296.

122. O'Brien S, Pendry J. Photonic Band-Gap Effects and Magnetic Activity in Dielectric Composites// Journal of Physics: Condensed Matter. 2002. V. 14. P. 40354044.

123. Papatheodorou S, Mautz J.R., Harrington R.F. The Aperture of a Circumferential Slot in a Circular Cylinder// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1992. V. 40. N. 2. P. 240244.

124. Pendry J.B. Negative Refraction// Contemporary Physics. 2004. V. 45. N. 3. P. 191-202.

125. Pendry J.B., Schurig D., Smith D.R. Controlling Electromagnetic Field// Science. -23 Jun. 2006. V. 312. P. 1780.

126. Rogers P.G. Application of the Minimum Scattering Antenna Theory to Mismatched Antennas// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1986. V. 34. N. 10. P. 12231228.

127. Rusch W., Cavour Yeh. Scattering by an Infinite Cylinder Coated with an Inhomogeneous and Anisotropic Plasma Sheath// IEEE Trans. Antennas Propagat. -1967. V. 15. N. 3. P. 452-457.

128. Schindler J.K., Mack R.B., Blacksmith Jr., P. The Control of Electromagnetic Scattering by Impedance Loading// Proc. IEEE. 1965. V. 53. N. 8. P. 993-1004.

129. Shestopalov Yu.V., Smirnov Yu.G., Chernokozhin E.V. Logarithmic Integral Equations in Electromagnetics. Utrecht: VSP, 2000.

130. Schurig D. et al. Metamaterial Electromagnetic Cloak at Microwave Frequencies //Science Express/www.sciencexpress.org/19 October 2006/10.1126/science.l 133628.

131. Smith D.R., Pendry J.B., Wiltshire M.C.K. Metamaterials and Negative Refractive Index// Science. 6 Aug. 2004. V. 305. P. 788-792.

132. Sureau J.-C. Reduction of Scattering Cross Section of Dielectric Cylinder by Metallic Core Loading// IEEE Trans. Antennas and Propagat. 1967. V. 15. N. 5. P. 657-662.337

133. Swarner W.G., Peters L. Radar Cross Section of Dielectric or Plasma Coated Conducting Spheres or Circular Cylinders// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1963. V. 11. N. 5. P. 558-569.

134. Vinoy K.J., Jha R.M. Radar Absorbing Materials: From Theory to Design and Characterization. Boston: Kluwer Acad. Pub., 1996.- 190 p.

135. Wang T., Harrington R.F., Mautz J.R. Electromagnetic Scattering from and Transmission Through Arbitrary Apertures in Conducting Bodies// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1990. V. 38. N. 11. P. 1805-1814.

136. Weinberg L. New Techniques for Modifying Monostatic and Multistatic Radar Cross Section// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1963. V. 11. N. 6. P. 717-719.

137. Willis N J. Bistatic Radar. Boston: Artech House, 1991.- 400 p.

138. Wong W., Cheng D. High-Frequency Scattering from a Conducting Cylinder with an Inhomogeneous Plasma Sheath// IEEE Trans. Antennas Propagat. 1969. V. 17. N. 2. P. 208-215.

139. You-Lin Geng, Xin-Bao Wu, Le-Wei Li, Bo-Ran Guan. Electromagnetic Scattering by an Inhomogeneous Plasma Anisotropic Sphere of Multilayers// IEEE Trans. Antennas Propagat. 2005. V. 53. N. 12. P. 3982-3989.