Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Москалева Марина Александровна

• Москалева Марина Александровна
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Москалева Марина Александровна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 Свойства решений уравнений электрического поля

1.1 Постановка задачи дифракции электромагнитной волны на

системе произвольно расположенных тел и экранов

1.2 Существование и единственность решения задачи дифракции

1.3 Сведение задачи дифракции электромагнитной волны на системе тел и экранов к системе интегро-дифференциальных

уравнений

1.4 Фредгольмовость системы интегро-дифференциальных

уравнений

Краткие выводы главы

ГЛАВА 2 Численные методы

2.1 Проекционные методы. Метод Галеркина

2.2Базисные функции «rooftop» для экрана

2.3Базисные функции «крышки» для тела

2.4Сходимость метода Галеркина для базисных и тестовых функции

«rooftop»

2.4.1. Сходимость метода Галеркина в задаче дифракции электромагнитных волн на плоском экране

2.4.2. Сходимость метода Галеркина в задаче дифракции электромагнитных волн на системе, состоящей из тела и

плоского экрана

2.5 Вычислительные алгоритмы

2.5.1 Дискретизация задачи на экране

2.5.2 Дискретизация задачи на теле

2.5.3 Дискретизация задачи на системе произвольно расположенных тел и экранов

2.5.4 Субиерархический вычислительный алгоритм

Краткие выводы главы

ГЛАВА 3 Численные результаты решения задачи дифракции

3.1 Численные результаты на неплоских экранах сложных форм

3.2Численные результаты на теле

З.ЗЧисленные результаты на системе произвольно расположенных

тел и экранов

3.4Численные результаты на системе пересекающихся тел и

экранов

Краткие выводы главы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Список использованной литературы

Приложение

Приложение

ВВЕДЕНИЕ

Обзор работ по теме диссертации.

Настоящая работа посвящена численному исследованию векторных электромагнитных задач дифракции на системе произвольно расположенных тел и экранов. Это - задачи дифракции стороннего электромагнитного поля на системе произвольно расположенных тел и экранов.

Подобные задачи составляют важный аспект электродинамики. Вот уже несколько веков ведется разработка физической теории дифракции. Следует отметить ученых, сделавших значительный вклад в ее развитие: Х. Гюйгенс, О. Френель, Г. Гельмгольц, Г.Р. Кирхгоф и др. Значительным шагом вперед стали работы А. Пуанкаре и А. Зоммерфельда, на основании которых можно сделать вывод, что задача дифракции электромагнитного поля сводится к решению уравнений Максвелла с некими краевыми условиями и условиями сопряжения. Зоммерфельдом было получено первое аналитическое решение на идеально проводящей полуплоскости [11, 12]. Данный факт имел большое значение для исследования задач дифракции электромагнитной волны, и позволил сделать много важных выводов о поведении электромагнитного поля в окрестности края экрана.

Одним из методов решения задач дифракции электромагнитной волны на различных экранах и телах является метод поверхностных токов. Он заключается в сведении исследуемой задачи к интегро-дифференциальному уравнению или к системе интегро-дифференциальных уравнений [46]. Основоположником данного метода является Пуанкаре. А. Мауэ в 1949 году первым описал сведение краевой задачи к интегро-дифференциальному уравнению для поверхностного тока в случае плоского экрана [58].

При решении задачи дифракции электромагнитной волны методом

поверхностных токов особое внимание следует обратить на выбор пространств,

в которых решается задача. Пространство следует выбирать таким образом,

чтобы обеспечивалась фредгольмовость системы интегро-дифференциальных

4

уравнений. Также выбранное пространство должно содержать все физически допустимые поля.

Численные методы, такие как метод моментов, метод Галеркина, для решения задач дифракции на экранах различных форм стали применяться в конце 60-х годов. Толчком к их активному применению послужила работа Harrington R.F. [53] в 1968 году. Но следует отметить, что данные методы не были математически обоснованы в достаточной степени, к примеру, не была доказана фредгольмовость уравнений, к которым сводились исследуемые задачи. Обоснование применения численных методов сводилось к анализу их внутренней сходимости и сравнению результатов с аналитическими решениями задач.

Несмотря на отсутствие достаточного математического обоснования, в сфере численного решения задачи дифракции на тонких экранах получено немало результатов. Численному исследованию задач дифракции на экранах различных форм посвящены монографии [6,10,53,62,70]. Численные методы для решения задач дифракции также развивались, важную роль в их развитии сыграли работы [7,8,40,60,61,63]. В основном для решения задач дифракции использовались такие методы как метод моментов, метод конечных разностей, метод Галеркина с простейшими базисными и тестовыми функциями. В работе [49] подробно описано состояние численного исследования задач дифракции на нынешний день. Но, несмотря на накопленный опыт и большие наработки в этой области, развитие численных методов для решения задачи дифракции пока не достигло определенной завершенности. Например, задачи дифракции в резонансном диапазоне частот, то есть в случае, когда размер рассеивателей соизмерим с длиной волны, сложно решить численными методами даже с использованием мощных ЭВМ.

Следует особо отметить решение задач дифракции на поверхностях

вращения. Такие задачи представляют собой частный случай, так как в

конечном итоге их решение сводится к решению одного или

последовательности одномерных уравнений (зависит от симметричности

5

возбуждения падающего поля). Аналитическому и численному решению подобных задач посвящены работы [6,9,10,47,64,69]. Однако для анализа поведения падающего поля на экранах произвольной формы в общем случае полученные методы решения задач не подходят.

Также, кроме строгого решения задач дифракции на тонком экране, стали развиваться приближенные методы решения, например, асимптотические методы [1,2,12,41,44]. Несмотря на их широкое применение, у них есть несколько существенных недостатков, например, не решен вопрос о точности решения и границах применимости, в особенности это важно для решения задач дифракции в резонансном диапазоне частот.

Таким образом, к 90-м годам прошлого века сложилась такая ситуация, что, несмотря на немалый опыт в численном решении задач дифракции на тонких экранах, а также некоторые известные аналитические решения и решения частных случаев, математическая теория дифракции не была доведена до определенной завершенности в том смысле, что не была построена общая теория разрешимости. То есть не были доказаны такие фундаментально важные теоремы как теоремы о существовании и единственности решения, теоремы о представимости решения краевой задачи в виде векторного потенциала и т.д.

В начале 1990-х годов в работах Ю.Г. Смирнова [14,33-35], была построена теория разрешимости (трехмерных) векторных электродинамических задач на незамкнутых поверхностях. Данные задачи исследовались при помощи теории псевдодифферециальных операторов, действующих в пространстве Соболева сечений векторных расслоений [15,28,31,42]. Для задачи дифракции стороннего электродинамического поля на незамкнутых поверхностях (экранах) был получен ряд теорем:

- теорема о существовании и единственности решений краевой задачи для системы уравнений Максвелла в соответствующих пространствах;

- теоремы о разрешимости уравнения на многообразии в подходящих пространствах;

- теоремы о регулярности (о гладкости решений) и исследование асимптотического поведения решений в окрестности края и угловых точек многообразия;

- теоремы о «скачках» предельных значений для векторных потенциалов или других представлений решений краевой задачи,

получено несколько утверждений:

- утверждения о представимости решения задачи в виде векторного потенциала;

- утверждение о зависимости решения уравнения и краевой задачи от параметров,

и представлено сведение краевой задачи к уравнению на многообразии с краем.

Также, кроме исследования задачи дифракции электромагнитной волны на тонком экране, имеет место большой интерес к исследованию трехмерных векторных задач дифракции на диэлектрических телах [57,66]. В работе Самохина А. Б. [32] краевая задача для системы уравнений Максвелла сведена к системе интегро-дифференциальных либо системе сингулярных интегральных уравнений. Рассмотрены вопросы существования и единственности решения этих систем. Доказано, что при определенных ограничениях на параметры среды (точнее на диэлектрическую проницаемость £0 и магнитную проницаемость /л0) в области неоднородности оператор системы интегральных уравнений (интегро-дифференциальных уравнений) является фредгольмовым в пространстве Ь2 (^). Также доказано, что задача имеет единственное решение при выполнении одного из двух условий:

а. 1ше(х)>0 при х е Q;

б. е(х) изменяется непрерывно при переходе через границу дQ.

В работах М. СоБ1аЬе1 [50, 51] представлен математический вывод объемных интегральных уравнений в случае, когда диэлектрическая проницаемость имеет разрыв при переходе границы области неоднородности.

Также установлены свойства отображения и корректность полученных объемных интегральных уравнений в пространствах стандартных функций связанных с энергией электромагнитного поля. Получены результаты о существенном спектре объемного интегрального оператора в пространстве Ь2 (<2), и, в частности, неравенству Гординга, что важно для устойчивости

численных алгоритмов, основанных на методе Галеркина.

Также в монографии Колтона и Кресса [18] получены важные результаты о теории разрешимости векторных электродинамических задач в неограниченных областях, в том числе доказаны существование и единственность решения прямой задачи рассеяния электромагнитных волн в неоднородной среде. Вычисление эффективной поверхности рассеяния для конечного конуса при падении на него плоской волны вдоль оси симметрии представлено в работе Сигеля [65]. Но следует отметить, что полученные результаты являются частным случаем и корректны лишь в том случае, когда в качестве объемного тела исследуется острый конус. В статьях Келлера [54,55] задача дифракции электромагнитных волн на объемном теле, представляющем собой конечный круговой конус с плоским основанием или с основанием в виде сферического закругления, исследуется с помощью концепции дифракционных лучей. Однако, в книге Уфимцева [44] показано, что полученные выражения неприменимы вблизи некоторых направлений облучения и наблюдения, и сделан вывод о невозможности полного вычисления характеристики рассеяния электромагнитной волны с помощью концепции дифракционных лучей. В работе В. А. Фока [45] представлено сведение задачи дифракции электромагнитной волны на трехмерных телах к векторному интегральному уравнению относительно поверхностной плотности электрического тока.

К числу распространенных численных методов решения задач дифракции электромагнитных волн на телах различных конфигураций следует отнести методы конечных элементов и конечно-разностные методы. В числе прочего, данные методы применяются также в различных пакетах прикладных программ

для решения задач электродинамики. Однако, несмотря на их широкое распространение, данные методы имеют некоторые недостатки.

Например, их применение возможно только в том случае, если область, в которой решается задача, сделана конечной. Такое ограничение области приводит к получению некорректных результатов. Для того чтобы это избежать, необходимо искусственно увеличить размеры области, в которой решается задача. Подобный алгоритм действий приводит к появлению разреженных матриц достаточно большого порядка (105 -106).

Также к числу недостатков применения конечно-разностных методов и методов конечных элементов к решению задач дифракции электромагнитных волн на телах можно отнести тот факт, что краевая задача не является эллиптической, вследствие этого, применение традиционных схем доказательства сходимости проекционных методов исключено.

В качестве альтернативных методов для решения задач дифракции электромагнитных волн на телах может быть применен метод объемных интегральных или интегро-дифференциальных уравнений [14,32,36], свободный от описанных выше недостатков. В самом деле, при решении задачи дифракции электромагнитных волн на теле методом интегральных или интегро-дифференциальных уравнений, уравнение решается в области неоднородности внутри тела, таким образом, после дискретизации задачи получается

конечномерная система уравнений с плотной матрицей порядка 103 -104, то есть существенно меньше, чем в случае применения конечно-разностных методов или методов конечных элементов.

Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов, а, в частности, их решение методом поверхностных и объемных уравнений, чему посвящена данная работа, до сих пор являются мало исследованными. Существует лишь малое количество работ, к примеру [48], посвященных данной теме.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Задачи дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов»

Актуальность.

Решение трехмерных векторных задач дифракции электромагнитной волны на системах тел и экранов различных форм является актуальным направлением в современной электродинамике в связи с возрастающей потребностью в разработке все более сложных технических устройств. Например, уголковые отражатели получили широкое применение в различных областях, в том числе в радиолокации. Печатные антенны, конструкцию которых можно схематично представить в виде частично экранированного тела, являются элементами базовых станций мобильной связи GSM и т. д.

Наиболее сложно решать подобные задачи в резонансном диапазоне частот, когда длина волны соизмерима с размером рассеивателей. К числу методов решения подобных задач относятся методы поверхностных и объемных интегральных уравнений, в ходе применения которых исследуемая задача сводится к системе интегро-дифференциальных уравнений.

Целью диссертации является разработка и обоснование численных методов решения векторных электромагнитных задач дифракции на системе произвольно расположенных тел и экранов и программная реализация разработанных методов, а также проведение расчетов на конкретных системах тел и экранов.

Общая характеристика. В настоящей работе рассматриваются задачи дифракции электромагнитной волны на системе произвольно расположенных тел и экранов.

Для исследуемых задач сформулирована краевая задача. Доказано существование и единственность решения. Описано сведение задачи дифракции к системе интегро-дифференциальных уравнений. Доказана фредгольмовость полученной системы интегро-дифференциальных уравнений.

Полученная система решается проекционным методом Галеркина. В качестве базисных функций на теле выбраны базисные функции - «крышки». В качестве базисных функций на экране выбраны базисные функции «rooftop».

Введен новый вид базисных функций типа «rooftop», позволяющий моделировать поведение электромагнитной волны на крестообразных элементах, например, уголковых отражателях. Доказана сходимость метода Галеркина для случая плоского экрана и системы, состоящей из тела и плоского экрана. Описана дискретизация задачи и субиерархический вычислительный алгоритм.

На основании разработанных алгоритмов написана программа на языке C++ и приведены численные результаты распределения поверхностных токов на неплоских экранах сложных форм, численные результаты распределения поля внутри тела, а также численные результаты решения задачи дифракции на системах непересекающихся тел и экранов и на системах пересекающихся тел и экранов.

Научная новизна. Исследуемые задачи сведены к системе сингулярных интегро-дифференциальных уравнений на телах и экранах. Предложен, разработан и обоснован проекционный метод (схема Галеркина) с выбором финитных базисных функций для решения задач дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов. На основе методов поверхностных и объемных интегральных уравнений и дискретизации задачи построены, тестированы и реализованы в виде комплекса программ на языке C++ вычислительные алгоритмы на несвязанных сетках на экранах и телах для решения задач дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов.

Диссертация содержит следующие основные результаты:

1. Сформулирована и исследована система интегро-дифференциальных уравнений для задач дифракции электромагнитных волн на системах тел и экранов, представленных в общем виде.

2. Предложен и обоснован проекционный метод (схема Галеркина)

решения системы интегро-дифференциальных уравнений, отвечающей задаче

дифракции электромагнитных волн на системах произвольно расположенных

тел и экранов; доказана сходимость метода Галеркина решения системы

11

интегро-дифференциальных уравнений, отвечающей задаче дифракции электромагнитных волн на системе, состоящей из плоского экрана и тела. 3. В виде комплекса программ на языке C++ реализован вычислительный алгоритм, позволяющий решать задачи дифракции электромагнитных волн на системах тел и экранов различных конфигураций.

Личный вклад. Постановка задачи принадлежит проф., д. физ.-мат. наук Смирнову Ю. Г. Теоретические результаты диссертации получены автором самостоятельно. Программная реализация численных методов и расчеты также выполнены автором самостоятельно.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ: Статьи в журналах из списка ВАК

1. Максимова (Москалева) М.А., Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г.

Решение задачи дифракции электромагнитной волны на экранах сложной формы // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2012. - № 4 . - С. 59-72.

2. Максимова (Москалева) М.А. Решение задачи дифракции электромагнитной волны на экране крестообразной формы // Радиопромышленность. - 2013. - № 2. - С. 37-44.

3. Москалева М.А. Численный метод решения задачи дифракции электромагнитных волн на неплоских экранах сложной формы // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 3 . - С. 56-66.

4. Максимова (Москалева) М.А., Медведик М.Ю., Смирнов Ю.Г. Цупак А.А. Численное решение задачи дифракции электромагнитных волн на системе тел и экранов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2014. - № 3 . - С. 114-133.

5. Медведик М.Ю., Москалева М.А. Исследование задачи дифракции электромагнитных волн на неплоских экранах различной формы субиерархическим методом // Радиотехника и электроника. - 2015. - Т. 60. - № 6. - С. 582-590.

перевод: Medvedik M.Yu., Moskaleva M.A. Analysis of the Problem of Electromagnetic Wave Diffraction on Non-planar Screens of Various Shapes by the Subhierarchic Method // Journal of Communications Technology and Electronics. - 2015. - Vol. 60. - No. 6. - P. 543-551(Wos, Scopus)

6. Medvedik M.Yu., Moskaleva M.A., Smirnov Yu.G. The subhierarchical approach to study the problem of electromagnetic wave diffraction by a system of bodies and screens // Proceedings of the International Conference "Days on Diffraction" 2015, St. Petersburg, Russia. - 2015 - P. 208-211. (Wos, Scopus)

7. Москалева М.А. Исследование задачи дифракции электромагнитной волны на системе пересекающихся тел и экранов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2016. - № 1 . - С. 37-49.

8. Москалева М.А., Смирнов Ю.Г. Сходимость метода Галеркина в задаче дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов// Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2016. - № 2 . - С. 78-86.

Свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ:

1. Федюнин Р.Н., Медведик М.Ю., Москалева М.А., Жиркин А.А., Елисеенко С.А. Макет арифметико-логического устройства матричного типа (св. № 2014619241 11.09.2014).

2. Федюнин Р.Н., Медведик М.Ю., Москалева М.А., Войной А.С., Сенокосов И.В. Модуль параллельно-распределенного вычислителя, матричного типа (св. № 2014619242 11.09.2014).

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на российских и международных конференциях:

• научно-техническая конференция Проблемы создания информационно-управляющих и телекоммуникационных систем специального назначения в г. Пенза, Россия, январь 2013, [20];

• международная конференция Days on Diffraction в г. Санкт-Петербург, Россия, май 2015, [59];

• международная конференция Days on Diffraction в г. Санкт-Петербург, Россия, июнь 2016.

Результаты, полученные в ходе диссертационного исследования, включены в отчеты грантов Госзадания РФ № 2.11.02.2014/К (проектная часть) и РНФ № 14-11-00344 (2014 - 2016 гг.).

Объем и структура работы. Работа состоит из 141 страницы и содержит введение, три главы, два приложения, заключение и список использованной литературы. Список литературы включает в себя 70 источников.

Содержание работы по главам.

Данная работа состоит из трех глав. В первой главе рассматривается общая постановка задачи, сведение задачи к системе интегро-дифференциальных уравнений в пространствах Соболева. Вторая глава посвящена построению и анализу сходимости метода Галеркина. Третья глава посвящена реализации численного метода - вычислительного алгоритма для решения задачи и анализу численных результатов.

В первой главе рассматривается постановка задачи дифракции электромагнитной волны на системе произвольно расположенных тел и экранов. Далее перечисляются основные свойства решений уравнений электрического поля. Затем доказывается единственность решения задачи дифракции, а далее приводится доказательство его существования. Затем, применяя теорию потенциалов, сводим исследуемую задачу к системе интегро-дифференциальных уравнений. Полученная система представлена в

операторном виде. Далее доказана фредгольмовость оператора в выбранных пространствах.

Во второй главе описывается алгоритм решения уравнения электрического поля для системы, состоящей из тел и экранов произвольных форм. Производится выбор конечномерных подпространств и построение проекционного метода Галеркина в выбранных подпространствах. В качестве базисных функций для метода Галеркина используются кусочно-линейные базисные функции - «крышки» для тела и базисные функции «rooftop» для экрана. Введен новый вид базисных функций типа «rooftop», позволяющий моделировать поведение электромагнитной волны на крестообразных элементах, например, уголковых отражателях. Доказывается сходимость метода Галеркина для случаев плоского экрана и системы, состоящей из тела и плоского экрана. Описываются дискретизация задачи на системе произвольно расположенных тел и экранов, рассматриваются различные носители базисных функций. Применяя метод Галеркина, сводим систему интегро-дифференциальных уравнений к системе линейных алгебраических уравнений. Перечисляются особенности блоков основной матрицы полученной СЛАУ. Также рассматривается субиерархический вычислительный алгоритм для решения уравнения электрического поля.

В третьей главе содержится описание численных результатов и сравнение их с результатами, полученными в других работах. Сначала представлены численные результаты на неплоских экранах следующих форм:

• экран крестообразной формы;

• уголковый отражатель;

• экран сложной формы;

• экран цилиндрической формы.

Далее представлены численные результаты на теле формы прямоугольного параллелепипеда. Затем представлены численные результаты на следующих системах непересекающихся тел и экранов:

• система, состоящая из тела, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда размером Ах Ах А и экрана прямоугольной формы Ах А, где А - длина волны;

• система, состоящая из тела, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда размером А/2 хА/2 хА/2 и экрана прямоугольной формы Ах А;

• система, состоящая из тела внутри экрана цилиндрической формы;

• система, состоящая из тела и уголкового отражателя;

• система, состоящая из тела, окруженного уголковыми отражателями. Затем представлены численные результаты на системах пересекающихся тел и экранов:

• система, состоящая из тела, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда размером А/2 хА/2 хА/2 и экрана прямоугольной формы Ах А, лежащего на верхней грани тела;

• система, состоящая из тела, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда размером А/2 хА/2 хА/2 и экрана сложной формы Ах А, лежащего на верхней грани тела;

• система, состоящая из тела, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда размером А/2 хА/2 хА/2 и экрана прямоугольной формы Ах А, пересекающего тело в середине одной из граней.

Поведение падающего поля, визуализированное в результате проведенных расчетов, согласуется с теорией.

1. ГЛАВА 1 Свойства решений уравнений электрического поля 1.1. Постановка задачи дифракции электромагнитной волны на системе произвольно расположенных тел и экранов

Рассмотрим в пространстве Я3 задачу дифракции электромагнитных волн на системе непересекающихся экранов О и тел Qi (7 =1,...,J; I = 1,...,I).

Пусть

О = Цо7, О ПО7 = 0 (I ф 7)

7

объединение конечного числа связных ориентируемых незамкнутых и непересекающихся ограниченных поверхностей класса Св Я3. Край дО. := О7 \ О. поверхности О^ есть кусочно-гладкая кривая, состоящая из

конечного числа простых дуг класса Сх без точек самопересечения,

сходящихся под углами, отличных от нулевого; дО := ЦдО 7 . Предполагаем, что

7

экраны являются идеально проводящими.

Определим также трубчатые окрестности дОд края экрана:

дО := {х е Я3: х, дО) < д} . Пусть Q - ограниченные области. Границы дQ1 областей ^ являются кусочно-гладкими. А именно, следуя [37], предположим, что для каждой точки границы х0 едQ (Q := Q1, дQ :=дQl) существует окрестность 0 (в Я3) и С2 -диффеоморфизм этой окрестности в Я3 , при котором точка х переходит в точку 0, а образом множества 0пQ является множество одного из следующих типов (ниже (х, х2х3) - декартовы; (г, в), г > 0, ве £2 - сферические координаты в Я3). Либо X > 0 (х - точка гладкости границы); либо X > 0, х2 > 0 (х0 - точка на «выходящем» ребре); либо Я3 {х1 > 0, х2 > 0} (х0 -

точка на «входящем» ребре); либо г > 0, в е Q', где Q' с £2 - односвязная

область с кусочно-гладкой границей дQ' (х0 - вершина «конуса с ребрами»). В

17

£( х) =

частности, если дQ' - гладкая, то х0 - коническая точка; если дQ' образована дугами больших окружностей, то х0 - вершина многогранного угла. Пусть Q -ограниченная область, и каждая точка х едQ принадлежит одному из этих типов. Будем тогда говорить, что Q - область с кусочно-гладкой границей.

Определим Q := у Ql. Предполагаем, что QпО = 0. Рассматриваемые

I

тела могут быть диэлектрически неоднородными и анизотропными -неоднородность задачи описывается тензор-функцией

£еТ, х е(Q £ (x), х е Ql,

причем комплексные тензоры £ (х) симметричны, а их мнимые части -симметрические неотрицательные тензоры:

£ = £т, 1т £ > 0.

Введено обозначение Мс := Я3 \ М, где М - некоторое множество.

Свободное пространство однородно и изотропно с постоянными £е ,

причем выполняются условия 1т £е > 0,1т ¡ле> 0,1т ке > 0, ^ = со^£е^е.

Рассмотрим задачу дифракции электромагнитной волны E0, H0 с

гармонической зависимостью от времени вида е на системе тел и экранов. Источником поля может быть, например, ток \0Е, локализованный вне

рассеивателей: яирр( ^) п (О Q) = 0.

Пусть Р (Р = у Р ) - гладкая замкнутая ориентируемая поверхность,

}

содержащая О , Ос Р, Р+, Р- - области, внешняя и внутренняя по отношению к Р.

Требуется определить полное электромагнитное поле ^: (^Щ е С1 ((дд иО)с)рС(0е \ О)р(Q)ПC(Р+ \ дО,)ГТР \ дО,), (1.1)

^ ' 5>0 5>0

удовлетворяющее уравнениям Максвелла [13]

гогН = - гаёЕ + ¡п „ / — \ , ч

^ . „ ^ в ((дQ иО)с) (1.2)

гогЕ = га>/ие Н у '

условиям непрерывности касательных компонент на границе области неоднородности:

[Ет Пае =[НГ ]|д =0, (1.3)

(где т - касательный вектор к дQ, Ег и Н - касательные составляющие электрического поля Е0 и магнитного поля Н0, соответственно), краевым условиям на поверхности экрана О (за исключением точек края экрана)

Ет|о =0, (1.4)

условиям конечности энергии в любом ограниченном объеме пространства

Е, Н е (Я 3) = И1 (Я3) (1.5)

и условиям Сильвера-Мюллера (см. [18], стр 127)

Е, Н = о(1/ г), 1тк >0

Н х ег - Е^ = о(1/г), Е^ х ег - Н = о(1/г) г (1.6)

Е,Н = 0(1/ г), 1тк = 0,

для рассеянного поля Е ^ = Е - Е0, Н ^ = Н - Н 0 (г = |х|, ег = х / г).

Определение 1.1. Решение Е,Н задачи (1.2)-(1.6), удовлетворяющее условиям (1.1), будем называть квазиклассическим.

1.2. Существование и единственность решения задачи дифракции Имеет место следующая теорема [67].

Теорема 1.1. Если задача (1.2)-(1.6) имеет решение, то оно единственно. Для того, чтобы доказать данную теорему, достаточно установить, что однородная краевая задача для рассеянного поля Е^, Н^ может иметь лишь тривиальное решение.

Сформулируем краевую задачу следующим образом

го?Н5 = -¡аеЕ^ гоЕя = Ш]иеНя,

[Е я,т ]|д = [Н я,т , = 0,

EJQ =0.

Также для E, H предполагаются выполненными условия излучения

(1.6).

Дополним экран О до произвольной кусочно-гладкой односвязной замкнутой ориентируемой поверхности д^, охватывающей ограниченную

область V с R3 и такой, что Q n Vi = 0.

Пусть В := Вй (0) - шар достаточно большого радиуса R такой, что

Q, Vi с B. Пусть V = Q. Определим также области V := B \ (Vi u V2) с границей

дV = дВ u дV u д V и V = (В)".

Далее, мп = — обозначает производную м по направлению единичного дп

вектора внешней нормали к рассматриваемой области.

Рассматриваемую краевую задачу для рассеянного поля сведем к задаче сопряжения в областях V (ниже приняты обозначения El, Hl для E, H в V):

rot H, = E,

l e 1, l = 1,3,4;

rot E = №/ие H

rot H2 = -ia>sE2 rot E2 = iwjue H2

E2,i \дQ = ®3,r \дQ ; h2,r \sQ = H3,i \sQ; e3,r \дВ = E4,t \дВ ; H3,z \дВ = h4,r \дВ ;

Ei,x \д^\п = E3,т \д^\п;

H \ _ = H \ - • H i,r \д^\п H 3,г \д^\п;

E1,r \о = E3,t \о = 0;

Условия Сильвера-Мюллера запишем следующим образом:

E4, Ж4 = o(1/ r), Imk >0

Ж4 x er - E4 = o(1/ r), E4 x er - Ж4 = o(1/ r) r ^да.

E, Ж4 = 0(1/ r), Imk = 0,

Применим лемму Лоренца

J (E x H" - E"x H, n)ds = J( jH, H) + (jE, E77) - (jH, H) - (jE, E7) dV

SV V

в ограниченных областях V, V2 и V3.

Опишем подробно эту процедуру для неоднородной области V2 =

Вместе с исходной системой уравнений Максвелла

rot Ж2 = -icsE2 rot E2 = ic!e Ж2

рассмотрим также систему уравнений для комплексно-сопряженного поля E2, '

rot Ж 2 = icsE 2 rot E 2 = -i&jue Ж 2

Заменяя E 2 на -E, получим

rot Ж2 = -icsEt2 = -icsEt2 + ic(s - s)E2 rotE2 = rn/deHK2 = icc>!deHK2 - ic(!e - !е)Ж2

В результате применения леммы Лоренца к полям Ef = E2, H = Ж2, E" = E, H" = Ж2 и токам j = icsE, j" = cc(s-s)E, jH = ic!e Ж2, j^ = ic(! - ne )Ж2, получим следующее равенство

J(E2 x Ж2 - E2 x Ж2,n)ds = -Jic((s - s)E2,E2)dv + Jic(!e - !e)Ж2,Ж2)dv.

SQ Q Q

Заменяя теперь E на -E 2 и учитывая свойства сред, получим

J(E2 x Ж2 + E2 x Ж2,n)ds = Jic((s -s)E2,Ei)dv. (1.7)

SQ Q

В ограниченных областях V и V3 получаются аналогичные соотношения:

J (E x Ж1 + E1 x Ж, n)ds = Jic((s - s)E1, E1)dv, (1.8)

| (£х Нз + £з х Н3, п^ = |т((£е - £е )£з, £(1.9) Обозначим у = |(Е х Нз + £з х Н3,п^. Из условий излучения Сильера-

дБ

Мюллера получим

у= |(£ х Нз + £ х Нз,= 2Re |(£ х Нз,п^ =

дБ дБ

= 2Яе |((Н хп + о(1/ г)) х Нз,п^ = 2Яе |((Н3 хп) х Нз,п^ + о(1) =

дБ дБ

= 2Яе |(Н х п,Нз х п^ + о(1) = 211Н3 х п |2 ds + о(1) = 211 НЪ т |2 + о(1)

дБ дБ дБ

Сложим равенства (1.7), (1.8) и (1.9):

11 НЪт |2 ds + |(1т££2,£+ |(1шяН2,Н2)dv +

дБ г г ^ - (1.10)

+X1 (!ш £ £/, £I ^ + X1 (!ш Я Н/, НI )dv = о(1).

/=1,з^ /=1,зК;

и рассмотрим несколько случаев.

Пусть сначала 1т £ >0 всюду в О. Из условий излучения Сильера-Мюллера и (1.10) следует сразу, что E, H = 0 во всем пространстве. Если 1тё(х) >0 в Q и 1т£е = 0 в свободном пространстве, то

11 Н3г |2 ds + |(1т££2,Е= о(1).

дБ Q

Так как оба слагаемых здесь неотрицательны, то

11 Н3>г |2 ds = о(1), Я ^ да; |(1т££2,£2)dv = 0 .

дБ Q

В силу леммы Реллиха (см. [13] стр.146) из первого равенства заключаем, что Es, H s = 0 вне рассеивателей; из второго равенства следует £2, Н2 = 0 в Q.

Наконец, если диэлектрическая проницаемость всюду вещественна и положительна в Яз\ О, снова из леммы Реллиха (см. [13] стр.146) получаем Es,Hs = 0 вне рассеивателей; равенство £2,Н2 = 0 в Q также сохраняется. Доказательство завершено.

1.3. Сведение задачи дифракции электромагнитной волны на системе тел и экранов к системе интегро-дифференциальных уравнений

Выведем систему интегро-дифференциальных уравнений электрического поля для сформулированной задачи дифракции.

Представим полное электрическое поле в виде

Е = Е0 + Е + Е (1.11)

где Е е С(Я3) - падающее поле,

Е е С1N50^О)")рс(Р+ \аоЛрс(Р \аоЛ - поле, рассеянное экраном О

* ' 5>0 ' ^ 5>0 ^ ^

(см. стр. 17,18); так, что Е, = Е1 + Е2, Е2 еС1 ((50^О)')рС(0\О)рС(ё) -

поле, рассеянное телом ё.

Поле (Е, Н0) есть решение краевой задачи:

'г°Ио = + V в кз (1 щ

гв(Е0 = 1а>/ие И0

Поле (Е, И ), рассеянное экраном есть решение краевой задачи

в R3 \ О (1.13)

го^И = -1Ю£е Е! 3

го^Е = И!

с условиями излучения Сильвера-Мюллера: Е, И = о(1/ г), 1т к >0,

И1 х ег - Е1 = о(1/г), Е1 х ег - И1 = о(1/г) г ^да, (1.14)

Е, И = 0(1/ г), 1тк = 0

с условиями сопряжения:

1X4=1X4=0 (1.15)

и граничными условиями:

(Еи+ Ео,г^= 0 (1.16) Поле Е будем искать в виде векторного потенциала (см. [14] стр. 54)

^ (х) = (graddlvr+ к]) | а (х, у) и( у) dsy (1.17)

О

1 ехр (¡к\х - у|) .

где О(х, у) =--^———- ^^ - операция поверхностной дивергенции, а

4п х у

u- неизвестная поверхностная плотность тока на О, представляющая собой касательное векторное поле: u • v = 0 на О, у - единичный вектор нормали к О.

Рассмотрим "новое" падающее поле (Е0,И'0) = (Е0,Н0) + (Е1,Н) и

перепишем систему (1.2) в виде

го1Н = -гае Е + ь

е Ле; (1.18) го(Е = 1аяе Н

ток }Е имеет вид:

• •f •

ЛЕ = .Ь,Е + Л р,Е ,

ЗЕ .10,Е ЛрЕ

где Ц0Е - токи, отвечающие полю (Е|,, Н'0) а \ Е - ток поляризации в области

,

Q:

\р,Е = -Ц£(х) -ее1)Е.

Поле Е представим в Q через векторный потенциал

Ае (х) = |о (х, у) \е (у) dy (1.19)

Q

по известным формулам (см. [з2])

Е = Ае--— grad div А (1. 20)

гсо£е

Из определения полей Е0, Е и равенств (1.11), (1.18)-(1.20) получим интегро-дифференциальное уравнение электрического поля

£ (у)

Е (х)-(ке2 + graddiv )| О (х, у)

Q

2

I

£е

Е(у)^^ -

(1.21)

- (к2е + graddlvr)J О(х, у )и (у) dsy = Е0 (х), х е Q.

Q

Следующее равенство дает представление поля вне тела и экрана:

Е( х) = (к(2 + graddiv) | О (х, у)

'(у)

-1

Е( У ) йу

+

(к2е + graddivr)|О(х,у )и (у)+ Е0 (х), х е Я3 \ (б и о),

(1.22)

Для получения второго уравнения перейдем в (1.22) к пределу, опуская точку х на О и взяв касательные компоненты всех членов уравнения:

'Ф)

-(к] + graddiv )| О (х, у)

б

-1

Е ( у ) йу -

(1.23)

-(К + graddivr )|О(ху)и(у)^у = Е0,г (х), х е О

где Е0 г касательная составляющая падающего поля на экране.

Введем замену е(х) 7 Е = I, Лх) I

^е _ ^е _

-1

= % и перепишем систему

уравнений (1.21), (1.23) в токах, умножив для симметрии второе уравнение системы на минус единицу:

I -(к2е + graddiv )| О (х, у >1 (у) йу -

б

-(к2е + graddivr)J О (х, у) и (у) = Е о (х), х е б,

о

-(к2е + graddiv )| О (х, у )1 (у) йу -

(1.24)

-( ке + graddivr)J О ( X, у ) и ( у ) = Е оЛ х ) , х еО

О )

В данной системе слагаемые (к2 + graddivг. )| О (х, у) и (у) и

о

(к2 + graddiv)|О(х,у)1 (у)йу являются гладкими и особенностей не имеют, так

как в случаях Ох б и бхО точки х, у в функции Грина не будут совпадать. В

б

о

о

т

б

б

диагональных блоках слагаемые graddiv | О (х, у )J (у) dy и

gradг.div |О(х, у)и (у)dsy являются сингулярными интегралами.

а

Таким образом, получена система интегро-дифференциальных уравнений задачи дифракции на системе объемных тел и тонких экранов.

1.4. Фредгольмовость системы интегро-дифференциальных уравнений

Рассмотренная краевая задача сводится к операторному уравнению

¿V = f. (1.25)

£( х)

Здесь V = (,1,и), J ■

I

Е - неизвестный вектор тока поляризации

в 2 . Правая часть есть вектор f = (Е0е,Е0 т), где Е012- сужение падающего поля на 2 .

Матричный оператор Ь имеет вид

'а пЛ ( V \

(1.26)

Г А 0 ^ Г 0 К1 ]

+

< 0 Б > V К2 0)

ь = Ь + Ь =

Операторы А, Б и К г определяются равенствами

AJ := (х) - (к2 + graddiv) |О( х, у) J( y)dy,

2

/ ^ Би := -(к2 + graddiv) |О( х, у)и (у^у

V а ,

Ки := -(к2 + graddiv) |О( х, у)и (у^у,

а

/

К J := -(к2 + graddiv) |О( х, у^ (y)dy

V 2

и рассматриваются как отображения в следующих пространствах

AJ := Ш) ^ 4(2),

Би := Ж (О) ^ Ж '(О), К1и := Ж (О) ^ Ь2(2),

К 3 := 4(0) ^ Ж '(О). Пространство Ж = Ж (О) сечений векторных расслоений было введено в монографии [14] (стр. 47) как замыкание пространства С™(О) по норме || • || :

141Ж=1 М—1/2+1 ИЧ1—1/2.

Здесь ||М|2 обозначает норму в пространстве Соболева Н 1/2(О), пространство

-1/2

Ж' = Ж '(О) - антидвойственное к Ж, т.е. пространство антилинейных непрерывных функционалов над Ж (см. [14] стр. 52). Решение уравнения (1.25) - пара 3, и) е Ь2 (0) х Ж (О).

В данной системе интегральные операторы К и К имеют гладкие ядра, так как в случаях Ох0 и 0хО точки х, у в функции Грина не будут совпадать. А и Б являются интегро-дифференциальными сингулярными операторами.

Теорема 1.2. ([5] стр. 95) Оператор 4:4(0)хЖ(О)^4(0)хЖ'(О)

является обратимым.

Доказательство. В силу ограничений, наложенных на тензор

диэлектрической проницаемости оператор А является фредгольмовым в 4 (0)

(см. [3] стр. 510). Оператор Б :Ж(О) ^ Ж '(О) фредгольмов, так как всюду вне

экрана выполнено условие ке ф 0 (см. [14]). Следовательно, 4 - фредгольмов.

Оператор 4 компактен, так как тело и экран непересекаются и, следовательно,

ядра обоих операторов К и К2 являются бесконечно дифференцируемыми.

Таким образом, 4 = 4 + 4 - фредгольмов оператор выбранных пространствах.

Теорема доказана.

Покажем теперь, что решение (125) является гладким. По предположению ¿ирр(^) п (О ^ 0) = 0; следовательно, Еод е С™ (0) и

Е0ге Сда(О). Из эллиптичности оператора А: Щотр(0) ^ Ня1ос(0) (см. [3]) и гладкости К1и в 0 (так как Оп0 = 0) следует, что3еС™(0). Аналогично,

эллиптичность оператора Б (см. [14]) влечет гладкость и в О. Таким образом, верно

Утверждение 1.1. Если I е С х(2 хО) и решение ^, и) е Ь2 (2) х Ж (О)

системы (1.25) существует, то J и и бесконечно дифференцируемы во внутренних точках 2 и О; соответственно.

Краткие выводы главы 1

Таким образом, в первой главе была описана постановка задачи дифракции на системе произвольно расположенных тел и экранов. Перечислены основные свойства решений уравнений электрического поля (1.25). Сформулированы и доказаны теорема 1.1 о единственности и теорема 1.2 о существовании решения задачи дифракции на системе произвольно расположенных тел и экранов. Сформулирована и исследована система интегро-дифференциальных уравнений для задач дифракции электромагнитных волн на системе произвольно расположенных тел и экранов.

2. ГЛАВА 2 Численные методы

2.1. Проекционные методы. Метод Галеркина

Для того чтобы перейти от системы интегро-дифференциальных уравнений (1.25) к СЛАУ можно использовать проекционные методы, суть которых заключается в проецировании неизвестного вектора на подпространства, имеющие конечную размерность.

Ниже все операторы полагаются линейными.

Пусть X - гильбертово пространство, оператор Ь: X ^ X -ограниченный инъективный оператор. Обозначим Хи с X последовательность подпространств размерности п, Рп: X ^ Xn последовательность проекционных операторов. В соответствии с проекционным методом рассмотрим точное уравнение

Ьи = /, и е X, / е X (2.1)

И отвечающее ему приближенное уравнение

Р Ьи = Р/, и е X (2.2)

п п пЛ ? п п ЧУ

Этот проекционный метод называется сходящимся для оператора Ь, если существует число N такое, что для каждого / е 1тЬ (1т Ь - образ оператора Ь) приближенное уравнение (2.2) имеет единственное решение и е Xи для всех п < N, и если эти решения сходятся и ^ и (по норме пространства X) при п ^дак единственному решению и уравнения (2.1).

В общем случае сходимость метода Галеркина будет только в случае выполнения свойства аппроксимации, то есть только тогда, когда подпространства Xи предельно плотны в X:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Москалева Марина Александровна, 2017 год

□ □

имеющего особенность в области интегрирования. Здесь X = (x1, x2), у = (у, у2),

а G(x, у) - известная функция G(x, у) = —p(—!—¡-У)

Iх " УI

. В качестве базисных

функций ф (x) и тестовых фJ (у) выберем функции «rooftop», описанные выше.

Для учета особенности интеграла применим следующую технологию счета: в процессе интегрирования разнесем точки интегрирования, то есть для одного носителя точность интегрирования зададим равной числу ip, другому -ip+1.

2.5.2. Дискретизация задачи на теле

Для решения задачи дифракции на теле под канонической фигурой будем понимать тело 0, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда (рисунок 2.7).

Рисунок 2.7 Тело канонической формы. Для решения задачи методом Галеркина построим равномерную расчетную сетку на теле 0. Конечными элементами (или элементарными ячейками) тела являются прямоугольные параллелепипеды. Введем трехиндексную нумерацию на теле: у = (у,у,у). Элементарные ячейки на теле определяются следующим образом:

Пуз ={Х = (Х2, Х3 ) , З'А < Хк < (Л + 1) К,к = Ъ2,3} , где Л = 0,...,« -1.

Далее введем базисные функции щ для аппроксимации решения. Базисные функции определяются на одном или нескольких конечных элементах. Совокупность конечных элементов ¿ок, на которых определена

базисная функция щ, называется носителем8ыррщ = \\(дк. Носители базисных

К

функций на теле представлены на рисунке 2.8.

Рисунок 2.8 Примеры носителей базисных функций на теле канонической

формы

Количество носителей на теле Q составляет 3(п - 1}п2.

2.5.3. Дискретизация задачи на системе произвольно расположенных тел и экранов

Для решения задачи методом Галеркина построим равномерную расчетную сетку на системе тел и экранов. Пусть рассматриваемая система состоит из экрана О канонической формы, описанного выше и тела Q, канонической формы, описанного выше. Разобьем экран и тело на элементарные ячейки - конечные элементы. Элементарные ячейки на экране и теле и носители базисных функций определяются, как описано выше.

Общее количество носителей составляет N = N + Щ, где N = 18(п -1)п

количество носителей на экране О, а Щ = 3(п - 1}п2 количество носителей на теле Q .

Применяя метод Галеркина к системе (1.25), приходим к решению матричного уравнения

LV = f.

Здесь V - столбец неизвестных коэффициентов при базисных функциях, Ь - основная матрица СЛАУ, f - столбец правой части.

Основная матрица имеет блочный вид

ь

т 21 Т 22

ь У

Блочные матрицы, расположенные на главной диагонали, соответствуют решению задачи дифракции только на теле и только на экране. Матрицы являются комплексно симметричными, но не самосопряженными. Внедиагональные блочные матрицы являются транспонированными друг к другу.

Элементы матрицы, соответствующие решению задачи на теле, получаются путем вычисления трех- и шестикратных интегралов

Ц = ||( х)у} (х)у г (х^х - К к] + grad х ^ х О (х, у )у} (у^уу. (х^х.

е ее

Элементы матрицы, соответствующие решению задачи на экране, получаются путем вычисления четырехкратных интегралов

Ц = -|| (к] + gradx ^г,х )|О(^ У )ФУ (У)^У Фг (^х . □ V О Л

Т- т 12 т 21

Блоки ь и ь матрицы отвечают за взаимодействие полей на теле и

экране; элементы матрицы в данных блоках получаются путем вычисления пятикратных интегралов по объему и поверхности

Ц2 = - Л'2 - БУ = -[(к] + grad х divr, х )| О (х, у) ф, (у)^ у г (х)йх

12 о12

^У У

е □

г

Фг (х)Жу .

Щ = - Л21 - Б21 = -\ (к]2 + grad х diVx )\О (х, у) у, (у)^х

□V е

Элементы правой части £ = (£1, £2) матричного уравнения задаются формулами

£ = |Е0(х)уг(х)^ ¥ = |ЕС(х)Фг(х)^х .

е е

-11 „ т 22

В блоках ь11 и ь22 интегралы являются слабосингулярными в случаях непустого пересечения носителей базисных функций; процедура избавления от

особенности изложена в [24, 26, 27]. Остальные элементы матрицы Ь выражаются через собственные интегралы Римана.

Покажем, что блоки на побочной диагонали матрицы являются транспонированными по отношению друг к другу, т.е.

Ь12 = Ь21.

У Р

Преобразуем выражения для матричных элементов, содержащие операции graddiv, используя возможность внесения производных любого

порядка под знак интеграла. Так как в рассматриваемой задаче экран О является плоским и перпендикулярным оси х3, то при вычислении касательных компонент векторов следует учитывать только их первые и вторые координаты. То же верно и при вычислении операций касательного градиента и дивергенции:

grad,x/ := gradr,x/

^ дх^ дх^ J

ди, ди9 и = —+ —^

дх1 дх2

Применяя формулу интегрирования по частям и учитывая свойства базисных функций, получим

В12

У

= 11 gradх x, у)фР (у)^у уУ (х^х = -11 ]Ь(x, у)ф. (у)^у

divx Уг (х^х

-11 | grad,x x, У)Фр(У)^у divх V(х)^ = -11 grad,x х У)Фр(У) divх V(х)^х.

е

Аналогично,

е о

в

21

х х

"V в

г

| ^аёхх,у)у](у^у фг(х^х = | gradх|gradхО{х,у)у](у^у

"V в г

-1 grad,x |gradу О(^ у)у ] (у^ Фг (х^х = | grad,x |О(х, у) у у ] (у^у

ф (х)^х

Ф1 ( х^х

\в

| |grad,xО(х,y)diVyу](у^у Ф1(х)^х = ||grad,xО(х,y)diVyу](у)ф1(x)dSxdy

в "

Л grad,y О(у,х)^х у 7 (х)ф1 (= -||grad,x О(х, y)divх у 7 (х)ф1(

в"

в"

Наконец, из очевидного равенства

А1/2=I ке I о (x, у) ф 7(у ^ у 1(x)dx=I ке I ° (х у) у 1(y)dxФ у (х)^у=а

в "

е

" в

Ь12 _ Т 21

1 =

2.5.4. Субиерархический вычислительный алгоритм

Для решения задачи дифракции электромагнитной волны на системе тел и экранов сложной формы будем использовать субиерархический метод [23, 26]. Преимущество данного метода заключается в экономии вычислительных ресурсов при решении серии задач на телах и экранах различной формы, поскольку в этом случае используется матрица СЛАУ, полученная при решении задачи дифракции на системе тел и экранов канонической формы.

Опишем суть данного метода. Сначала решается задача дифракции на канонической системе тел и экранов. Затем, для задания геометрии системы G , вводится вектор геометрии W, длина которого равна количеству носителей, которые могут быть построены на сетке для канонической системы.

Заполним элементы вектора геометрии W нулевыми или единичными значениями: нуль, если шаблон носителей не определен на новой системе, и единица, если определен. Новая система состоит из частичного объединения носителей системы канонической формы.

ч

"

Рисунок 2.9 Применение субиерархического метода На рисунке 2.9 показано применение субиерархического метода в случае системы, состоящей из одного плоского экрана (фигура канонической формы). Здесь серым цветом показана новая фигура, а новая матрица СЛАУ является подматрицей матрицы, полученной при решении задачи дифракции на фигуре канонической формы, с вырезанными столбцами и строками.

В процессе решения СЛАУ итерационным методом, при умножении матрицы А на вектор В поэлементно перемножаем полученный вектор и на вектор геометрии W.

и

и

..,д,...

,4+1,.

V ип,...,п у V

и,2

и

...,4-1,...

и

и

...,д,...

4+1,.

К.,2

ж

..,4-1,.

ж

...,д^..

ж

, 4+1,.

и ■ ж

п,...,п п,...,п у

ж

..,4,.

1 ^РР •/"...,д,...

0 ^РР /...,д,... ¿С.

Согласно алгоритму, описанному выше, можно получить решение задачи дифракции на системе произвольно расположенных тел и экранов, состоящей из тел и экранов произвольных форм.

Краткие выводы главы 2

Во второй главе был описан алгоритм решения уравнения электрического поля для системы, состоящей из тел и экранов произвольных форм. Выбраны конечномерные подпространства и построен проекционный метод Галеркина в выбранных подпространствах. Доказана теорема 2.6 о

сходимости метода Галеркина для задачи дифракции электромагнитных волн на системе, состоящей из плоского экрана и тела. Описаны вычислительные алгоритмы для решения уравнения электрического поля. Описано применение субиерархического метода для решения задачи дифракции электромагнитной волны на системе произвольно расположенных тел и экранов произвольных форм.

3. ГЛАВА 3 Численные результаты 3.1. Численные результаты на неплоских экранах сложных форм

Рассмотрим значения модулей решения интегрального уравнения, полученных на фигуре сложной формы, представленной на рисунке 3.1.

(-0.5, -0.5, -0.5) (-0.5, 0.5, -0.5)

Рисунок.3.1 Экран крестообразной формы Данная фигура состоит из двух плоских экранов и 02, расположенных перпендикулярно друг другу [29]. Экран расположен в плоскости Оххх2, экран 02 расположен в плоскости Ох2х3. Размер экрана равен размеру экрана 02 и равен Ах А. Волновое число к = 2я. Падающая поле есть плоская волна, направляющий вектор которой расположен вдоль оси Ох2. Размер сетки, построенной на фигуре, равен 32 вдоль каждой из осей.

На рисунке 3.2 представлены значения модулей решения на плоскости Оххх2 вдоль оси Ох.

Рисунок 3.2 Значения модулей решения на плоскости Оххх2 вдоль оси Ох1 В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох2, стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох, неограниченно возрастает.

На рисунке 3.3 представлены значения модулей решения на плоскости Оххх2 вдоль оси Ох2.

Рисунок 3.3 Значения модулей решения на плоскости Ох х вдоль оси Ох В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , неограниченно возрастает.

На рисунке 3.4 представлены значения модулей решения на плоскости Ох х вдоль оси Ох .

Рисунок 3.4 Значения модулей решения на плоскости Ох2х3 вдоль оси Ох2 В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох3, стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох2, неограниченно возрастает.

На рисунке 3.5 представлены значения модулей решения на плоскости Ох2хъ вдоль оси О^ ■

Рисунок 3.5 Значения модулей решения на плоскости

Ох х вдоль оси

В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , неограниченно возрастает.

Рассмотрим значения модулей решения интегрального уравнения, полученных на фигуре сложной формы, представленной на рисунке 3.6.

(0,0, 1)

X,

(0,'1,0)

о

X

(1,0,0)

Рисунок.3.6 Уголковый отражатель

Данная фигура представляет собой уголковый отражатель. Волновое число к = 2п. Падающая поле есть плоская волна, направляющий вектор которой расположен вдоль оси Ох3. Размер сетки, построенной на фигуре,

равен 32 вдоль каждой из осей.

На рисунке 3.7 представлены значения модулей решения на плоскости Охх вдоль оси Ох.

В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , стремится к нулю, касательная компонента

поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , неограниченно возрастает.

62

"0:/1.Ь<1"

Рисунок 3.7 Значения модулей решения на плоскости Ох х вдоль оси Ох

Рисунок 3.8 Значения модулей решения на плоскости Охх вдоль оси Ох В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох, стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох, неограниченно возрастает.

На рисунке 3.9 представлены значения модулей решения на плоскости Охх вдоль оси Ох ■

Рисунок 3.9 Значения модулей решения на плоскости Ох х вдоль оси Ох В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , стремится к нулю, касательная компонента

поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох2, неограниченно возрастает.

На рисунке 3.9 представлены значения модулей решения на плоскости Ох2хъ вдоль оси Ох ■

Рисунок 3.10 Значения модулей решения на плоскости Ох2х3 вдоль оси Ох3 В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , неограниченно возрастает.

Рассмотрим значения модулей решения интегрального уравнения, полученных на фигуре сложной формы, представленной на рисунке 3.11.

(0,75, 0.5; 0.625)

(0.75, 0.125,0:625)

Рисунок.3.11 Экран сложной формы Данная фигура представляет собой экран сложной формы. Волновое число к = 2л. Падающая поле есть плоская волна, направляющий вектор которой расположен вдоль оси Ох2. Размер сетки, построенной на фигуре, равен 32 вдоль каждой из осей.

На рисунке 3.12 представлены значения модулей решения на плоскости Охх вдоль оси Ох.

"0: l.txt"

В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох2, стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох, неограниченно возрастает.

На рисунке 3.13 представлены значения модулей решения на плоскости Охх вдоль оси Ох ■

Рисунок 3.13 Значения модулей решения на плоскости Охх вдоль оси Ох В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , неограниченно возрастает.

На рисунке 3.14 представлены значения модулей решения на плоскости Охх вдоль оси Ох ■

В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох2, стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох3, неограниченно возрастает.

На рисунке 3.15 представлены значения модулей решения на плоскости Ох2х3 вдоль оси Ох •

Рисунок 3.15 Значения модулей решения на плоскости Ох х вдоль оси Ох В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , неограниченно возрастает.

Рассмотрим значения модулей решения интегрального уравнения, полученных на фигуре сложной формы, представленной на рисунке 3.16.

Рисунок.3.16 Экран цилиндрической формы Данная фигура представляет собой экран цилиндрической формы. Размер цилиндрического экрана вдоль каждой из осей равен Л. Волновое число к = 2л. Падающая поле есть плоская волна, направляющий вектор которой расположен вдоль оси Ох Размер сетки, построенной на фигуре, равен 32

вдоль каждой из осей.

На рисунке 3.17 представлены значения модулей решения на носителях вдоль оси Ох на стенке экрана, принадлежащей плоскости Охх.

Рисунок 3.17 Значения модулей решения вдоль оси Ох на стенке экрана, принадлежащей плоскости Ох х

В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох3, стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох, неограниченно возрастает.

На рисунке 3.18 представлены значения модулей решения на носителях вдоль оси Ох на стенке экрана, принадлежащей плоскости Охх •

"0:/4.ЬсГ

Рисунок 3.18 Значения модулей решения вдоль оси Ох на стенке экрана,

принадлежащей плоскости Охх3 В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , неограниченно возрастает.

На рисунках 3.19 и 3.20 представлено распределение модулей поверхностных токов на экране, описанном выше, при размере расчетной сетки равном 64.

Рисунок 3.19 Значения модулей решения вдоль оси Охх на стенке экрана,

принадлежащей плоскости Охх

*0 м'

Рисунок 3.20 Значения модулей решения вдоль оси Ох3 на стенке экрана, принадлежащей плоскости Ох х Согласно графикам, представленным на рисунках 3.17-3.18 и 3.19-3.20 при уменьшении шага расчетной сетки на фигуре наблюдается качественное совпадение результатов, что соответствует внутренней сходимости решений.

3.2. Численные результаты на теле

Ниже в графическом виде приведены результаты расчетов для тела, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, представленного на рисунке 3.21.

Рисунок 3.21. Тело 0

Размеры и положение тела определяются следующим образом:

0 = {хеЯ3:х е(-Я,Я)|,г = 1,2,3

Падающая поле есть плоская волна, направляющий вектор которой расположен вдоль оси Ох3, волновое число £0 равно единице. Размер расчетной сетки по каждой оси равен 16.

Рисунок 3.22 иллюстрирует распределение поля внутри тела на первом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси 0 х3, при

Я Я

х, =---1--

3 4 32.

__Л 51

Хо — +

3 4 32.

Рисунок 3.23 Распределение модуля электрического поля внутри тела на пятом слое расчетной сетки Рисунок 3.24 иллюстрирует распределение поля внутри тела на одиннадцатом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси 0 х3,

при х

1 111 +

4 32

при х3

Л 15Л — +-

4 32

Рисунок 3.25 Распределение модуля электрического поля внутри тела на пятнадцатом слое расчетной сетки Наблюдается симметрия в характере распределения поля внутри тела на слоях расчетной сетки - первый слой симметричен пятнадцатому (последнему) слою, пятый - одиннадцатому и так далее.

3.3. Численные результаты на системе произвольно расположенных тел и экранов сложных форм

Рассмотрим систему 0, в которой экран П имеет прямоугольную форму размером ЛхЛ, а тело 0 является прямоугольным параллелепипедом, размером ЛхЛхЛ [22]. Экран расположен в плоскости Охгх2, х3 =Л. Центр тела совпадает с центром системы координат. Таким образом

П = |х е Я3: х15Х2 е (-Л,Л); Х3 = Л 0 = | х е Я3: х е (-Л, |)|, \ = 1,2,3.

Рисунок 3.26 Система 0 Пусть падающая поле есть плоская волна, направляющий вектор которой расположен вдоль оси Ох2, относительная диэлектрическая проницаемость тела постоянна и определяется параметром 8 = 9,45, размер сетки, построенной на фигуре, равен 10 вдоль каждой из осей.

В этом случае результат решения задачи представлен на рисунках 3.273.31. Рисунок 3.27 иллюстрирует распределение модулей поверхностных токов на экране вдоль оси Ох.

В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох, стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох, неограниченно возрастает.

Рисунок 3.28 иллюстрирует распределение модулей поверхностных токов на экране вдоль оси Ох ■

Рисунок 3.28 Распределение модуля поверхностных токов на экране вдоль оси Ох В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , неограниченно возрастает.

Рисунок 3.29 иллюстрирует распределение поля внутри тела на первом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ох , при

х =---I--

1 2 10.

Я 5Л

X =---1—

1 2 10 .

Рисунок 3.30 Распределение модуля электрического поля внутри тела на пятом слое расчетной сетки Рисунок 3.31 иллюстрирует распределение поля внутри тела на девятом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ох , при

Л 9Я

х =---1--

1 2 10.

Рисунок 3.31 Распределение модуля электрического поля внутри тела на девятом слое расчетной сетки Наблюдается симметрия в характере распределения поля внутри тела на слоях расчетной сетки - первый слой симметричен девятому (последнему) слою, третий - седьмому и так далее.

В случае, когда размер расчетной сетки равен 16 вдоль каждой из осей, результат решения задачи представлен на рисунках 3.32-3.37. Рисунок 3.32 иллюстрирует распределение модулей поверхностных токов на экране вдоль оси Ох ■

Рисунок 3.32 Распределение модуля поверхностных токов на экране вдоль оси Ох Рисунок 3.33 иллюстрирует распределение модулей поверхностных токов на экране вдоль оси Ох ■

Л Л

х =---1--

1 2 16.

Рисунок 3.34 Распределение модуля электрического поля внутри тела на первом слое расчетной сетки Рисунок 3.35 иллюстрирует распределение поля внутри тела на пятом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ох , при

Х^ —

Л 5Я — + —

2 16

Рисунок 3.36 иллюстрирует распределение поля внутри тела на одиннадцатом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ох,

1 111

при х =---^

2 16

Рисунок 3.36 Распределение модуля электрического поля внутри тела на одиннадцатом слое расчетной сетки

Рисунок 3.37 иллюстрирует распределение поля внутри тела на пятнадцатом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ох, 1 151

при х =---^

2 16

Согласно графикам, представленным на рисунках 3.27-3.31 и 3.32-3.37 при уменьшении шага расчетной сетки на фигуре наблюдается качественное совпадение результатов, что соответствует внутренней сходимости решений.

Рассмотрим систему 0Х, в которой экран О имеет прямоугольную форму

размером ЯхЯ, а тело Q является прямоугольным параллелепипедом,

Л Л Л Л

размером ~^х — х —. Экран расположен в плоскости Охх, х3 — —. Центр тела

совпадает с центром системы координат. Таким образом

О = |х е Я3: х1,х2 е (-Л,Л); х3 =

Q = {х е Я3: х е (-Л, |)|, \ —1,2,3.

Система 0Х представлена на рисунке 3.38

Рисунок 3.38 Система 0Х Пусть падающее поле есть плоская волна, направляющий вектор которой расположен вдоль оси Ох , относительная диэлектрическая проницаемость тела постоянна и определяется параметром е — 9,45. В этом случае результат решения задачи представлен на рисунках 3.39-3.44. Рисунок 3.39 иллюстрирует распределение модулей поверхностных токов на экране вдоль оси Ох .

Рисунок 3.39 Распределение модуля поверхностных токов на экране вдоль оси Ох В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , неограниченно возрастает.

Рисунок 3.40 иллюстрирует распределение модулей поверхностных токов на экране вдоль оси Ох2.

В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , неограниченно возрастает.

Рисунок 3.41 иллюстрирует распределение поля внутри тела на первом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ох , при

Л Л

х —---1--

1 4 32.

Рисунок 3.41 Распределение модуля электрического поля внутри тела на первом слое расчетной сетки Рисунок 3.42 иллюстрирует распределение поля внутри тела на пятом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ох , при

х—---+

Л 5Л — + —

4 32

Рисунок 3.43 иллюстрирует распределение поля внутри тела на одиннадцатом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ох,

1 111

при х =---+

4 32

Рисунок 3.43 Распределение модуля электрического поля внутри тела на одиннадцатом слое расчетной сетки Рисунок 3.44 иллюстрирует распределение поля внутри тела на пятнадцатом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ох,

при х

1 151 +

4 32

Наблюдается симметрия в характере распределения поля внутри тела на слоях расчетной сетки - первый слой симметричен пятнадцатому (последнему) слою, пятый - одиннадцатому и так далее.

Рассмотрим систему 00, изображенную на рисунке 3.45, в которой экран О имеет форму цилиндра, а тело Q является прямоугольным параллелепипедом:

О — |х: тах(^х2) — Лх3 е (-Л Л)|,

Q — {х е Я3: х е (-Л, Л)|, \ —1,2,3.

Центр тела совпадает с центром системы координат.

Рисунок 3.45. Система 00 Пусть падающее поле есть плоская волна, направляющий вектор которой расположен вдоль оси Ох , относительная диэлектрическая проницаемость тела постоянна и определяется параметром е — 9,45.

Рисунок 3.46 иллюстрирует распределение модулей поверхностных токов на экране вдоль оси Ох на стенке экрана, принадлежащей плоскости Охх, 1

х2 — .

2

Рисунок 3.46 Распределение модуля поверхностных токов на экране вдоль оси Ох В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох, стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , неограниченно возрастает.

Рисунок 3.47 иллюстрирует распределение модулей поверхностных токов на экране вдоль оси Ох на стенке экрана, принадлежащей плоскости

п -Л

Ох1 х^, х0 — . 132 2

Рисунок 3.47 Распределение модуля поверхностных токов на экране вдоль оси Ох В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , неограниченно возрастает.

В силу симметрии задачи, значение модулей решения для других плоскостей аналогичны представленной плоскости Ох х .

Рисунок 3.48 иллюстрирует распределение поля внутри тела на первом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ох , при

х3 —

Л Л — + —

4 32

__Л 51 х? — н 3 4 32.

Рисунок 3.49 Распределение модуля электрического поля внутри тела на пятом слое расчетной сетки

Рисунок 3.50 иллюстрирует распределение поля внутри тела на одиннадцатом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ох3,

1 111

при х3 —---н

4 32

при х3

Л 15Л — +-

4 32

Рисунок 3.51 Распределение модуля электрического поля внутри тела на пятнадцатом слое расчетной сетки Наблюдается симметрия в характере распределения поля внутри тела на слоях расчетной сетки - первый слой симметричен пятнадцатому (последнему) слою, пятый - одиннадцатому и так далее.

Рассмотрим систему (, изображенную на рисунке 3.52.

(0.5,-0.5,-0.5)

получена из исходной системы 0 путем исключения передней и правой стенок цилиндрического экрана. Результаты на такой системе получены при помощи субиерархического метода [23, 26].

Рисунок 3.53 иллюстрирует распределение модулей поверхностных токов

вдоль оси Ох на стенке экрана, принадлежащей плоскости Охх, х2 = —.

Рисунок 3.53 Распределение модуля поверхностных токов на экране вдоль оси Ох В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , неограниченно возрастает. Рисунок 3.54 иллюстрирует распределение модулей поверхностных токов

вдоль оси Ох на стенке экрана, принадлежащей плоскости Охх, х2 = ~.

Рисунок 3.54. Распределение модуля поверхностных токов на экране вдоль оси Охх В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох, стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох, неограниченно возрастает.

Рисунок 3.55 иллюстрирует распределение модулей поверхностных токов

Л

вдоль оси Ох на стенке экрана, принадлежащей плоскости Охх, х! = -—.

Рисунок 3.55 Распределение модуля поверхностных токов на экране вдоль оси Ох В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , стремится к нулю, касательная компонента

поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох2, неограниченно возрастает.

Рисунок 3.56 иллюстрирует распределение модулей поверхностных токов

Л

вдоль оси Ох на стенке экрана, принадлежащей плоскости Ох2х3, х1 = -—.

Рисунок 3.56. Распределение модуля поверхностных токов на экране вдоль оси Ох В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , неограниченно возрастает.

Рисунок 3.57 иллюстрирует распределение поля внутри тела на первом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ох , при

__л л

Хт — ^ь

3 4 32.

Рисунок 3.57 Распределение модуля электрического поля внутри тела на первом слое расчетной сетки Рисунок 3.58 иллюстрирует распределение поля внутри тела на пятом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ох , при

__Л 5Л

Хт — н

3 4 32.

Рисунок 3.58 Распределение модуля электрического поля внутри тела на пятом слое расчетной сетки Рисунок 3.59 иллюстрирует распределение поля внутри тела на одиннадцатом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ох3,

Л 11Л

при х3 —---н

4 32

Рисунок 3.59 Распределение модуля электрического поля внутри тела на одиннадцатом слое расчетной сетки Рисунок 3.60 иллюстрирует распределение поля внутри тела на пятнадцатом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ох3,

1 151

при х3 =---I-

4 32

Рисунок 3.60 Распределение модуля электрического поля внутри тела на пятнадцатом слое расчетной сетки Наблюдается симметрия в характере распределения поля внутри тела на слоях расчетной сетки - первый слой симметричен пятнадцатому (последнему) слою, пятый - одиннадцатому и так далее.

Система 02 состоит из тела Q, окруженного четырьмя уголковыми отражателями Q (рисунок 3.61). Система 02 также получена из исходной системы 0.

Рисунок. 3.61 Система 02 Рисунок 3.62 иллюстрирует распределение модулей поверхностных токов на экране вдоль оси Ох на стенке экрана, принадлежащей плоскости Охх,

Л

х2 =

2

В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох3, стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох, неограниченно возрастает.

Рисунок 3.63 иллюстрирует распределение модулей поверхностных токов на экране вдоль оси Ох на стенке экрана, принадлежащей плоскости 1

^Ох^х^, х^ —

2

Рисунок 3.63. Распределение модуля поверхностных токов на экране вдоль оси Ох

В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , стремится к нулю, касательная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , неограниченно возрастает.

В силу симметрии задачи, значение модулей решения для других плоскостей аналогичны представленной плоскости Ох х .

Рисунок 3.64 иллюстрирует распределение поля внутри тела на первом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ох , при

х3 —

1 1 — + —

4 32

Рисунок 3.64 Распределение модуля электрического поля внутри тела на первом слое расчетной сетки Рисунок 3.65 иллюстрирует распределение поля внутри тела на пятом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ох , при

х3 =

Л 5Л 4 + 32.

Рисунок 3.65 Распределение модуля электрического поля внутри тела на пятом слое расчетной сетки

Рисунок 3.66 иллюстрирует распределение поля внутри тела на одиннадцатом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ох, Л 11Л

при х3 =---н

4 32

Т):/Ьо<!у1 l.txt'

Рисунок 3.66 Распределение модуля электрического поля внутри тела на одиннадцатом слое расчетной сетки

Рисунок 3.67 иллюстрирует распределение поля внутри тела на пятнадцатом слое расчетной сетки, расположенном перпендикулярно оси Ох, 1 151

при х3 =---I-

4 32

Рисунок 3.67 Распределение модуля электрического поля внутри тела на пятнадцатом слое расчетной сетки Наблюдается симметрия в характере распределения поля внутри тела на слоях расчетной сетки - первый слой симметричен пятнадцатому (последнему) слою, пятый - одиннадцатому и так далее.

В том случае, если тело частично экранировано или экран пересекает тело, предложенный метод также позволяет получать корректные результаты, поскольку точки интегрирования на экране и на теле выбраны таким образом, что никогда не являются совпадающими. Разнесение точек интегрирования схематично изображено на рисунке 3.68.

а) б)

Рисунок 3.68 Разнесение точек интегрирования Точки интегрирования на теле обозначены кружочками, точки интегрирования на экране - крестиками. На рисунке 3.68а представлено схематичное разнесение точек интегрирования в случае, если тело частично экранировано, на рисунке 3.68б - в случае, если экран пересекает тело. Следует отметить, что расчетные сетки должны быть регулярными.

Выбранный метод дискретизации задачи позволяет строить сетки на экранах и телах с различными шагами.

Рассмотрим систему 0 , в которой экран О имеет прямоугольную форму размером ЛхЛ, а тело Q является прямоугольным параллелепипедом,

Л Л Л _ Л

размером — х — х —. Экран расположен в плоскости Оххх2, х3 = —. Центр тела

совпадает с центром системы координат. Таким образом

° = |х е Я3: х1,х2 е (-Л,Л); х3 = Л|, Q = |х е Я3: х е (-Л,Л)|/ =1,2,3. Система 0 представлена на рисунке 3.69.

в]

„^(0.25,0.25,-0.25)

(-0.25,-0,25,-0.25) (0.25,-0,25,-0.25)

Рисунок 3.69 Система ( Пусть падающее поле есть плоская волна, направляющий вектор которой расположен вдоль оси Ох2, относительная диэлектрическая проницаемость тела постоянна и определяется параметром £ = 9,45.

В этом случае результат решения задачи представлен на рисунках 3.703.75. Рисунок 3.70 иллюстрирует распределение модулей поверхностных токов на экране вдоль оси Ох .

"0:/вое«л1 lGR.txt"

Рисунок 3.70 Распределение модуля поверхностных токов на экране вдоль оси Ох В соответствии с теорией, нормальная компонента поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох , стремится к нулю, касательная компонента

поверхностных токов, расположенная вдоль оси Ох2, неограниченно возрастает.