Численное решение трехмерных динамических задач теории упругости и пластичности на основе ажурной вариационно-разностной схемы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Крутова, Ксения Алексеевна

• Крутова, Ксения Алексеевна
• кандидат наук
• 2015

Оглавление диссертации кандидат наук Крутова, Ксения Алексеевна

Оглавление

Введение

Глава 1. Постановка задач динамики упругопластических сред и вариационно-разностный метод решения

1.1 Обзор современного состояния численных методов решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела

1.2 Постановка задачи нестационарной динамики упругопластических сред

1.2.1 Вывод уравнений нестационарной динамики упругопластических сред в метрике начального состояния

1.2.2 Вывод уравнений в геометрически и физически линейном варианте

1.2.3 Вывод уравнений нестационарной динамики упругопластических сред в текущей конфигурации

1.3 Методика численного решения

Глава 2. Ажурная вариационно-разностная схема

2.1 Ажурная сетка

2.2 Метод построения нерегулярных ажурных сеток путем дополнительного разбиения ячеек

2.3 Метод построения нерегулярных ажурных сеток путем построения двудольного графа

2.4 Особенности реализации ажурной схемы

2.5 Алгоритм и программная реализация расчетного модуля ажурной схемы

2.5.1 Алгоритм реализации ажурной схемы на подвижной сетке

2.5.2 Алгоритм решения задачи на неподвижной сетке

2.5.3 Описание программы

2.6 Краткие выводы по главе 2

Глава 3. Аппроксимация и устойчивость вариационно-разностных схем

3.1 Аппроксимация вариационного уравнения

3.1.1 Аппроксимация ажурной схемы

3.1.2 Аппроксимация суперажурной схемы

3.1.3 Аппроксимация схемы на 5 тетраэдрах

2

3.1.4 Аппроксимация схемы Уилкинса

3.1.5 Аппроксимация схемы на 6 тетраэдрах: поворотно-симметричное разбиение

3.1.6 Аппроксимация схемы на 6 тетраэдрах: центрально-симметричное разбиение

3.1.7 Аппроксимация схемы на 6 тетраэдрах: несимметричное разбиение

3.2 Устойчивость трехмерных ажурных схем

3.3 Краткие выводы по главе 3

Глава 4. Решение нестационарных задач упругого и упругопластического деформирования твердых тел

4.1 Численное решение упругих задач в линейной постановке

4.2 Численное решение упругих задач в геометрически нелинейной постановке

4.3 Численное решение упругопластических задач

4.3.1 Расчет упругопластической деформации ударника

4.3.2 Динамический изгиб бруса с отверстием

4.3.3 Динамический изгиб упругопластической балки под действием взрыва

4.3.4 Динамический изгиб круглой пластины под действием импульсной нагрузки

4.4 Краткие выводы по главе 4

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное решение трехмерных динамических задач теории упругости и пластичности на основе ажурной вариационно-разностной схемы»

Введение

Актуальность темы

За последние десятилетия численные методы стали одним из важнейших инструментов механики деформируемого твердого тела. Решение нелинейных задач механики для тел сложной геометрии с подробным учетом больших деформаций, нелинейных свойств материалов без численных методов невозможно. Поэтому совершенствование численных методов решения задач механики сплошных сред, повышение их точности и эффективности - весьма актуальная задача. В настоящее время это особенно актуально применительно к решению трехмерных задач.

В работах В.Г.Баженова и Д.Т.Чекмарева [12,13] была предложена вариационно-разностная схема решения динамических задач теории оболочек (модель Тимошенко) на треугольных ячейках, в которой часть ячеек не использовалась в расчетах. Там же была обоснована более быстрая сходимость данной схемы по сравнению с традиционной.

Эта идея была обобщена Д.Т.Чекмаревым на трехмерные задачи в [99,101]. Предварительный анализ и решенные тестовые задачи показали перспективность подхода, при котором конечные элементы в виде тетраэдров заполняют расчетную область не сплошь, а с регулярными промежутками, что позволяет в разы уменьшить их число и тем самым значительно снизить вычислительные затраты без потери точности. Таким образом, реализация данного подхода, включающая разработку методики, алгоритмов и программ решения трехмерных нелинейных нестационарных задач теории упругости и пластичности, а также комплексное исследование их точности и эффективности, представляется весьма актуальной.

Степень разработанности темы. Предлагаемая в работе численная схема решения трёхмерных нестационарных задач теории упругости и пластичности основывается на хорошо разработанных вариационно-

разностном методе и методе конечных элементов, по является совершенно новой и оригинальной и рассматривается впервые. Цель работы:

Разработка, математическое обоснование, реализация эффективной методики на основе повой ажурной численной схемы и решение трехмерных нестационарных задач теории упругости и пластичности. В процессе достижения поставленной цели были рассмотрены следующие задачи:

- численная реализация геометрически и физически нелинейных соотношений динамики упругопластических сред на трехмерных ажурных сетках из тетраэдральных ячеек;

- разработка алгоритмов построения ажурных сеток из заданных нерегулярных гексаэдральных сеток;

- анализ аппроксимации и устойчивости ажурной схемы;

- решение задач динамического деформирования упругих и упругопластических тел и сравнение по точности и эффективности с традиционными методами;

Научная новизна

1. Реализована методика численного решения трехмерных нестационарных задач теории упругости и пластичности на основе новой ажурной вариационно-разностной схемы, в том числе:

- разработаны методы построения ажурных сеток на основе нерегулярных гексаэдральных сеток и дано математическое обоснование их применимости;

- впервые проведен теоретический анализ устойчивости трехмерных ажурных схем и аппроксимации ажурных и ряда традиционных схем МКЭ;

- показана лучшая по сравнению с традиционными численными методами эффективность ажурной вариационно-разностной схемы.

2. Решены трехмерные нестационарные задачи теории упругости в линейной постановке, на которых проведено сравнение численных решений с аналитическими, анализ сходимости, точности и эффективности ажурной схемы по сравнению с традиционными численными схемами.

3. Решены трехмерные нестационарные задачи теории упругости в геометрически нелинейной постановке, на которых проведено исследование применимости методики и программы к решению нелинейных задач и сравнение с численными решениями на основе других численных схем и коммерческих программ.

4. Решены трехмерные нестационарные упругопластические задачи:

- расчет упругопластической деформации ударника;

- динамический изгиб бруса с отверстием;

- динамический изгиб балки под действием взрыва;

- динамический изгиб круглой пластины под действием импульсной нагрузки.

Достоверность результатов обеспечивается применением строгих математических методов исследования, подтверждается решением ряда тестовых и модельных задач, сравнением результатов расчетов с аналитическими решениями, экспериментальными данными, с численными решениями, полученными с использованием коммерческих программных комплексов.

Теоретическая значимость работы. Разработанная численная схема, ее математическое обоснование и результаты решенных задач имеют

большое теоретическое значение для развития численных методов решения задач механики деформируемого твердого тела.

Практическая ценность работы. Проведенные в диссертационной работе исследования, методика и программное обеспечение, созданные на их основе, находят практическое применение при разработке отечественных инженерных программных комплексов для решения задач расчета на прочность конструкций и аппаратов новой техники. Значительная часть данных исследований проводилась в рамках целевой программы Президента РФ «Развитие суперкомпьютеров и ГРИД-технологий»

Методология и методы диссертационного исследования. Прямое численное моделирование процессов динамического деформирования упругих и упругопластических тел с использованием методов вычислительной математики: теории разностных схем, теории метода конечных элементов, численного эксперимента. На защиту выносятся:

1. Математическое обоснование, новая методика и программное обеспечение для численного решения трехмерных нестационарных задач теории упругости и пластичности, включающие:

- новую эффективную ажурную вариационно-разностную схему;

- алгоритмы построения ажурных тетраэдральных сеток и математическое обоснование области их применимости;

- анализ аппроксимации ажурной схемы и ряда традиционных схем;

- оценки устойчивости ажурных схем типа «крест» решения трехмерных задач теории упругости;

2. Результаты решения ряда упругих задач в линейной постановке и сравнение ажурной схемы по точности и эффективности с традиционными численными схемами.

3. Результаты решения ряда упругих задач в геометрически нелинейной постановке и сравнения с решениями, полученными традиционными методами.

4. Результаты решения следующих упругопластических задач: расчет упругопластической деформации ударника, динамический изгиб бруса с отверстием, динамический изгиб балки под действием взрыва, динамический изгиб круглой пластины под действием импульсной нагрузки; сравнение с экспериментальными данными и другими численными решениями.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях, симпозиумах и семинарах: IV и V Всероссийских молодежных научно-инновационных школах «Математика и математическое моделирование» (Саров, 2010, 2011), XII и XIII Международных семинарах «Супервычисления и математическое моделирование» (Саров, 2010, 2011), XVII и XVIII Международных симпозиумах «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» им. А.Г.Горшкова (Ярополец, 2011,2012), на Международной конференции «Вычислительная механика и современные прикладные программные системы» (Крым, Алушта, 2011), X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Н.Новгород, 2011), XXIV и XXV Международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Метод граничных и конечных элементов» (Санкт-Петербург, 2011, 2013), Международной конференции «Неравновесные процессы в соплах и струях» (Крым, Алушта, 2012), XXII молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2013» (Казань, 2013), на семинаре НИИ механики Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.

Публикации. По теме диссертации опубликована 19 работ, в том числе 3 из них в изданиях, рекомендованных ВАК. Основные результаты диссертации отражены в работах [38, 53-60, 67, 92, 102-106].

Личный вклад соискателя. В работах [38, 55-57, 102-105] соискателю принадлежат: разработка и реализация методики численного решения трехмерных динамических задач теории упругости в нелинейном варианте, решение динамических задач. В работах [53, 59-60] соискателю принадлежит вывод оценок устойчивости для трехмерных ажурных схем. В работах [58, 106] соискателю принадлежит разработка и реализация алгоритмов построения ажурных сеток. В работах [67, 92] соискателю принадлежит анализ аппроксимации ажурных схем, схемы Уилкинса и схем на основе линейного конечного элемента.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и списка литературы из 118 наименований. Работа содержит 144 страницы основного текста, включая 70 рисунков и 10 таблиц.

На различных этапах работа поддерживалась грантами Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (№ НШ -4807.2010.8 2010-2011 гг., № НШ -593.2014.8 2014-2015 гг.), гранта Минобрнауки России в рамках федеральной целевой программы «Исследования по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 20142020 годы», соглашение № 14.578.21.0036 (уникальный идентификатор ИРМЕР157814X0036). Часть исследований проводилась в рамках целевой программы Президента РФ «Развитие суперкомпьютеров и ГРИД-технологий».

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируются цели работы и основные защищаемые положения.

Первая глава имеет вводный характер. В ней дается обзор современного состояния численных методов решения нестационарных задач

теории упругости и пластичности. На основе вариационного принципа

9

Даламбера-Лагранжа (принципа виртуальной работы) дается вывод систем уравнений динамики изотропных упругогшастических сред. Наряду с линейной постановкой задачи рассматривается также геометрически и физически нелинейная постановка. Рассмотрены два варианта учета геометрической нелинейности: на основе квадратичного варианта нелинейного тензора деформаций в начальной конфигурации и линеаризованного варианта в текущей конфигурации. Учет физической нелинейности производится на основе теории течения с линейным кинематическим упрочнением. Приводится описание вариационно-разностной методики численного решения трехмерных нестационарных задач теории упругости и пластичности.

Во второй главе вводятся в рассмотрение ажурные сетки, предлагаются алгоритмы их построения на основе блочно-регулярных гексаэдральных сеток. Исследован вопрос о возможности построения ажурных сеток на базе нерегулярных сеток из гексаэдров. Доказаны теоремы о двудольности графов в виде четырехугольных и гексаэдральных сеток, покрывающих односвязные области. Тем самым обоснована область применимости разработанных алгоритмов построения ажурных сеток. Описаны методика, алгоритм и программная реализация ажурной схемы.

В третьей главе проводится анализ аппроксимации и устойчивости трехмерных ажурных схем, а также традиционных вариационно-разностных и КЭ схем. Впервые теоретически исследовано влияние взаимного расположения конечных элементов на порядок аппроксимации численных схем метода конечных элементов. Получена единая оценка допустимого временного шага для двух вариантов ажурной схемы, совпадающая с условием Куранта-Фридрихса-Леви.

В четвертой главе рассматриваются результаты решения ряда задач

динамического деформирования упругих и упругопластических тел при

ударном и импульсном нагружении, проводится сравнение результатов с

другими схемами, аналитическими решениями и экспериментальными данными.

Сравнение решения ажурной схемы с аналитическими решениями проводится на одномерных задачах деформирования цилиндрических и сферических оболочек. Рассмотрены задачи деформирования оболочек под действием мгновенно приложенного внутреннего давления и при заданной начальной радиальной скорости. Получено практически полное совпадение полученных с помощью ажурной схемы трехмерных численных решений с аналитическими решениями.

В задаче о колебании упругого бруса квадратного сечения, защемленного на концах под действием постоянного давления, мгновенно приложенного на части поверхности, исследована сходимость решений задачи, полученных с помощью ажурной и суперажурной схем на сетках разного масштаба. Результаты сопоставляются с решениями для нескольких вариантов схем на базе тетраэдрального 4-узлового конечного элемента с различными способами разбиения параллелепипеда на 5 или 6 тетраэдров, решениями по схеме Уилкинса и решениями ANSYS (лицензия ANSYS Academic Research customer:00623640). Оценивается сравнительная точность и экономичность ажурных схем.

На задаче о деформировании диска под действием внешнего давления проведено исследование качества ажурной схемы при решении геометрически нелинейных задач. Проведено сравнение решений с решениями ANSYS и по схеме Уилкинса.

Представлена задача о падении стального шара на жесткую поверхность. Сопоставляются решения ажурной схемы, схемы Уилкинса, схем на тетраэдрах и ANSYS.

Проведено исследование процесса упругопластического

деформирования ударника при столкновении с жесткой преградой.

Проведено сравнение с решением пакета ANSYS.

11

Рассмотрена задача о деформировании бруса, состоящего из двух частей, жестко соединенных между собой. В одной из частей имеется отверстие. Каждая часть характеризуется собственным материалом. Материал верхней части бруса - упругий, нижней части с отверстием -упругопластический. На верхнюю часть бруса действует распределенная нагрузка. Оба варианта ажурной схемы метрик начального состояния в текущей метрике) показали хорошее совпадение между собой и удовлетворительное совпадение с результатами А^УБ.

Решена задача о деформировании балки прямоугольного поперечного сечения, нагруженной в центральной части равномерно распределенной поверхностной силой. Приведено сравнение результатов, полученных на основе ажурной схемы, с экспериментом.

Представлена задача о деформировании круглой пластинки, нагруженной импульсом давления, моделируемым начальной скоростью, заданной в центральной части пластинки. Численное решение сравнивается с экспериментом.

Совокупность представленных упругих и упругопластических линейных и нелинейных задач на равномерных, неравномерных и нерегулярных сетках, в том числе для тел сложной геометрии, и приведенные сравнения с аналитическими решениями и экспериментальными данными демонстрируют возможности ажурной схемы, ее высокую точность и эффективность при решении динамических задач теории упругости и пластичности.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы по работе.

Глава 1. Постановка задач динамики упругопластических сред и вариационно-разностный метод решения

Кратко рассматривается современное состояние численных методов решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела.

Рассматриваются уравнения и вариационно-разностный метод решения нестационарных задач теории упругости и пластичности как в линейной, так и в геометрически и физически нелинейной постановке.

Глава носит постановочный характер. Описание постановки задачи и методики численного решения традиционно. Отметим, что описанный ниже вариационно-разностный метод с использованием четырехузловых ячеек в виде тетраэдров тождественен численной схеме МКЭ на основе 4-узлового линейного конечного элемента.

Отметим, что изложенная в главе методика численного решения ориентирована в первую очередь на решение геометрически и физически нелинейных задач теории упругости и пластичности. Описание линейного варианта приводится с целью дальнейшего теоретического анализа аппроксимации и численной устойчивости метода.

1.1 Обзор современного состояния численных методов решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела

Построение эффективных численных схем тесно связано с анализом и конструированием их свойств, к которым относятся: анализ точности и устойчивости; определение границ эффективной применимости в зависимости от геометрии конструкции, свойств нагружения, материала и других факторов; учет специфики динамических процессов деформирования при построении численных схем. Все эти вопросы являются недостаточно изученными.

Развитие численных методов решения задач механики сплошных сред тесно связано с прогрессом в вычислительной математике. Основные

достижения вычислительной математики в области решения задач математической физики отражены в учебниках и монографиях [3, 6, 8, 18, 19, 25, 30-33, 35, 73, 78, 81, 85-89, 108, 118] и других. С появлением и совершенствованием высокопроизводительной персональной

вычислительной техники, интенсивно разрабатываются и внедряются пакеты прикладных программ, позволяющих рассчитывать сложные задачи динамики конструкций. В настоящее время одной из наиболее актуальных является задача повышения эффективности методов, т. е. разработки численных схем, оптимальных по программной реализации и быстродействию. Причина этого лежит во все возрастающей сложности задач, решаемых численными методами. И хотя рост быстродействия ЭВМ решает многие из проблем, сопоставимый эффект дает совершенствование и разработка новых численных схем и методов [19, 39, 73].

При численном решении задач механики сплошных сред используются следующие основные подходы, которые получили широкое распространение: конечноразностные методы, вариационно-разностные методы, метод конечного элемента, метод конечных объемов (схема С.К.Годунова [3, 28] и ее развитие), метод граничных интегральных уравнений и граничного элемента [6, 21, 95]. Применяемые численные методы непосредственно связаны с формой записи исходной математической задачи. При конечно-разностном подходе задача формулируется как система дифференциальных уравнений с начальными и граничными условиями. Для метода конечных элементов и вариационно-разностного метода используется вариационная формулировка, в методе конечных объемов система уравнений записывается в виде законов сохранения.

Выбор численного метода тесно связан с постановкой решаемой задачи.

Дифференциальная формулировка задачи может быть записана в разных формах. В методе конечных разностей наиболее распространена запись в виде уравнений движения

+ рр, =

замыкаемых соотношениями Коши и определяющими соотношениями, устанавливающими связь между напряжениями и деформациями.

Вариационная форма записи задач динамики допускает варианты в виде экстремального (стационарного) вариационного принципа для некоторого функционала или в виде вариационного уравнения (принципа виртуальных перемещений, скоростей, ускорений и т.п.). Для задач динамики

в подавляющем числе случаев используется форма записи в виде

• ••

| 41, Ри >Я1>Ч1>3(1<>дРи) = °> Ру = дЯ1 / д*]

V

где qi - варьируемые параметры (в зависимости от выбранного вариационного принципа это могут быть перемещения, скорости, ускорения, напряжения и т.п. [16, 17, 25, 75]). Данная форма записи служит основой для построения широкого класса вариационно-разностных схем и схем метода конечного элемента [40, 41, 93, 94]. Учет геометрически нелинейных эффектов [26,34,76,82,109,112] производится с использованием нелинейных лагранжевых, эйлеровых или совместных лагранжево-эйлсровых постановок [77]. Учет нелинейного поведения материала при деформировании осуществляется на базе деформационных и инкрементальных теорий пластичности [12, 22,27,36,42-48,62,64].

Большой вклад в развитие конечно-разностных методов внесли К.И.Бабенко, А.А.Самарский, Г.И.Марчук, Ю.И.Шокин, В.С.Рябенький, Р.Рихтмайер, М.Уилкинс, В.Н. Кукуджанов, Н.Г. Бураго и другие ученые. Эти методы являются наиболее универсальными и гибкими и имеют наиболее широкое применение при решении любых задач математической

физики. [3, 19, 32,68,69,85, 87-89,96,97,108]. Важнейшей задачей при построении конечноразностных схем является сужение их класса путем наложения на них различных дополнительных ограничений. Классических критериев качества численных схем (порядок аппроксимации и устойчивость) недостаточно. Можно отметить многолетнюю тенденцию дополнения количественных характеристик (порядок аппроксимации) качественными (консервативность, монотонность и т. д.) [12,20,79,80,108].

При численном решении нестационарных задач теории упругости и пластичности наибольшее распространение получила явная разностная схема М.Уилкинса [96, 97]. В ней реализована конструкция задания величин в узлах и "ячейках". По сути имеет место схема с разнесенными сетками по пространству и по времени. По пространству - узлы основной сетки, в которых вычисляются неизвестные перемещения, усилия, скорости и ускорения; "центры ячеек" основной сетки (по сути это узлы дополнительной сетки, смещенной относительно основной на некоторую долю ее шага), в которых вычисляются все величины, являющиеся первыми производными от перемещений (деформации) или связанными с первыми производными функциональными зависимостями (напряжения и т.п.). По времени: целые шаги, в которых аппроксимируются перемещения, силы и ускорения; полуцелые шаги, в которых аппроксимируются скорости. В итоге получим основную и две смещенные сетки (по пространству и по времени), при этом на основной сетке определены неизвестные и их производные четного порядка, а на смещенных - производные нечетного порядка. Данная конструкция является очень гибкой и удобной по следующим причинам: свойства материала задаются в ячейке совершенно независимо от основной сетки, заменяя "физический блок", легко получить материал с любой реологией; она ориентирована в общем случае на неортогональные и даже на нерегулярные сетки, что позволяет применять ее в областях сложной формы;

схема получается двухслойной по времени. В простейшем линейном случае

16

построенная но данному принципу схема может быть преобразована к виду, аналогичному стандартной схеме "крест" для волнового уравнения. Можно отметить, что при этом операторы аппроксимации вторых производных получаются автоматически как суперпозиции операторов первых производных.

К недостаткам конечно-разностного метода следует отнести проблему граничных условий, содержащих условия на производные. Если концепция конечноразностного подхода проводится последовательно, то на границе нужно вводить особые операторы. При этом чтобы сохранить порядок аппроксимации задачи (большинство применяемых схем имеют на равномерной сетке порядок аппроксимации по пространству не ниже второго), эти операторы должны быть весьма сложными. Чтобы обойти данную проблему, при построении конечноразностных схем все чаще прибегают к интегральным формулировкам задач (интегро-интерполяционный подход [87], вариационно-разностный метод и т.д.).

Вариационно-разностные методы развиты в работах С.Г.Михлина, Л.А.Оганесяна, Г.И.Марчука, В.И. Агошкова, В.Г.Баженова и других [1,17, 65, 75, 81]. Эти методы отличаются от конечно-разностных тем, что в их основе лежит не дифференциальная, а вариационная постановка задачи. Под вариационно-разностными часто понимают проекционно-сеточные методы, т.е. метод конечного элемента. Однако в целом вариационно-разностные методы к ним не сводятся [65]. Вариационно-разностным является любой метод, основанный на сеточной аппроксимации вариационного уравнения или вариационной задачи для некоторого функционала. При этом построения базисных функций не требуется. Таким образом, не любую вариационно-разностную схему можно считать схемой МКЭ и наоборот. Построение разрешающих соотношений схемы сводится к конечноразностной аппроксимации вариационного уравнения. Интеграл представляется в виде

суммы интегралов по ячейкам разностной сетки, которые в свою очередь

17

выражаются приближенно через значения перемещений в узлах, принадлежащих ячейке. Данный класс схем существенно уже конечноразностных. Среди них встречается много удачных схем, что свидетельствует о преимуществах вариационного подхода. К достоинствам вариационно-разностных методов относится возможность использования неравномерных и нерегулярных сеток, при этом необходимо определить лишь инцидентность узлов и ячеек. Также достоинством является единообразный расчет внутренних и граничных узлов. Вариационно-разностный метод подразумевает меньшие по сравнению с конечноразностным методом требования к гладкости функций.

Указанные свойства делают вариационно-разностные методы очень удобными для программной реализации. Их можно применять для областей сложной формы. Полученные в результате разностные схемы по форме аналогичны разностной схеме Уилкинса и обладают сходными свойствами. Вместе с тем сам по себе вариационно-разностный метод не является панацеей от всех недостатков. Для высокого качества схем необходимо выполнение ряда дополнительных требований. Еще одним недостатком вариационно-разностных схем является возможность возникновения в них (как и в конечноразностных схемах) эффекта неустойчивости "песочные часы" [11, 113, 115-117] при использовании ячеек с числом узлов больше минимально возможного количества (трех в двумерных задачах, четырех в трехмерных).

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Крутова, Ксения Алексеевна, 2015 год

Список литературы

1. Абросимов Н.А., Баженов В.Г., Кибец А.И., Садырин А.И., Чекмарев Д.Т. Нелинейные задачи динамики конструкций// Математическое моделирование. 2000. Т. 12. N.6. С.47-50.

2. Афанасьев С.Б., Козлов Е.А. Алгоритм решения двумерных волновых упругопластических задач методом Годунова // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация и автоматизация: Всесоюзн. межвуз. сб. /Горьк. ун-т. Горький, 1987. С.91-100.

3. Бабенко К. И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.

4. Баженов В.Г., Зефиров C.B., Кибец А.И. О численной реализации вариационно-разностной момснтной схемы решения нелинейных задач динамики нетонких оболочек при импульсных воздействиях. //Прикл. пробл. прочности и пластичности. Методы решения: Всесоюз. межвуз. сб. /Горьк. ун-т, Горький, 1988. С. 66-73.

5. Баженов В.Г., Зефиров C.B., Кибец А.И., Прокопенко М.Б. Применение моментной схемы МКЭ для решения нестационарных задач упруго-пластического деформирования составных конструкций// Численные методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы XII Всесоюз. конф. (г.Тверь. 30мая-1июня,1991г.) под ред. В.М. Фомина. Новосибирск. 1992. С. 25-31.

6. Баженов В.Г., Игумнов Л.И. Методы граничных интегральных уравнений и граничных элементов в решении задач трехмерной динамической теории упругости с сопряженными полями. - М.: Физматлит, 2008. - 352 с.

7. Баженов В.Г., Кибец А.И., Тулинцев О.В. Применение моментной схемы МКЭ для анализа нелинейных трехмерных задач динамики массивных и оболочечных элементов конструкций // Прикладные

проблемы прочности и пластичности. Методы решения. Нижний Новгород: изд-во Нижегор. ун-та, 1991. Вып. 47. С. 46-53.

8. Баженов В.Г., Котов В.Л. Математическое моделирование нестационарных процессов удара и проникания осесимметричных тел и идентификация свойств грунтовых сред. - М.: Физматлит, 2011. - 208 с.

9. Баженов В.Г., Пирогов С.А., Чекмарев Д.Т. Явная схема со стабилизирующим оператором для решения нестационарных задач динамики конструкций// Изв.РАН.МТТ.2002.№ 5. С. 120-130.

Ю.Баженов В.Г., Прокопенко М.Б. Численное решение осесимметричных нелинейных нестационарных задач динамики составных упругопластических конструкций. // Прикладные проблемы прочности и пластичности, Численное моделирование физико-механических процессов: Межвуз. сб. / Нижегор. ун-т., Нижний Новгород - 1991. С. 55-63.

И.Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Вариационно-разностные схемы в нестационарных волновых задачах динамики пластин и оболочек //Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 1992. 159 с.

12.Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Об индексной коммутативности численного дифференцирования // Ж. вычисл. математики и мат. физики. 1989. Т. 29. № 5. С. 662-674.

1 З.Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Об одном подходе к конечно-разностной аппроксимации функций и производных при численном решении задач теории пластин и оболочек типа Тимошенко// Прикладные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация и автоматизация решения задач упругости и пластичности. Горький: изд-во Горьк. ун-та. 1983. Вып. 25. С. 78-86

14.Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Оценки устойчивости явной конечно-

разностной схемы "крест" решения нестационарных задач теории

132

упругости и теории оболочек // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация и автоматизация решения задач упругости и пластичности: Горький: изд-во Горьк. ун-та. 1984. Вып. 28. С. 15-22.

15.Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Решение задач нестационарной динамики пластин и оболочек вариационно-разностным методом .Учебное пособие. Нижний Новгород, изд-во ННГУ, 2000. 118 с.

16.Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Численные методы решения задач динамики тонкостенных конструкций// Изв.РАН.МТТ.2001.№ 5. С. 156173.

17.Баженов В.Г., Шинкаренко А.П. Вариационно-разностный метод решения двумерных задач динамики упругопластических оболочек// Прикладные проблемы прочности и пластичности: Всесоюз.межвуз. сб./Горьк.ун-т.Горький, 1976 .Вып.З .С.61 -69.

18.Бакунин В.Н., Образцов И.Ф., Потопахин В.А. Динамические задачи нелинейной теории оболочек. Действие интенсивных термосиловых нагрузок, концентрированных потоков энергии. М.: Наука. 1998. 463 с.

19.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. 598 с.

20.Бондаренко Ю.А., Стенин А.М. Применение вариационных принципов механики для построения дискретных по времени разностных моделей газодинамики. Часть 2 // Вопросы атомной науки и техники. Сер. Методики и программы численного решения задач математической физики. - 1986. - Вып. 1. -С. 14-26.

21.Бреббия К., Теплее Ж., Вроубел JI. Методы граничных элементов / Пер. с англ. Л.Г.Корнейчука. М.: Мир, 1987. 524 с.

22.Бураго Н.Г. Моделирование разрушения упругопластических тел // Вычисл. Мех. Сплошных сред. - 2008. - Т. 1. - № 4. - С. 5-20.

23.Бураго Н.Г., Журавлев А.Б., Никитин И.С. Конечно-элементное моделирование элементов авиационных конструкций. // International conference "Numerical geometry, grid generation and scientific computing" (NUMGRID2012). December 17-19, 2012. A.A. Dorodnicyn Computing Center Russian Academy of Sciences, Moscow/ Abstracts. P.l-2.

24.Бураго Н.Г., Кукуджанов B.H. Численное решение упругопластических задач методом конечных элементов. -М.: ИПМех АН СССР. Препринт №236. 1988. С. 63.

25.Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. 542 с.

26.Вестяк A.B., Горшков А.Г. Тарлаковский Д.В. Нестационарное взаимодействие деформируемых тел с окружающей средой // Итоги науки и техники. Механика деформируемого твердого тела. М.: ВИНИТИ, 1983. Т. 15. С. 69-148.

27.Волков И.А., Коротких Ю.Г. Уравнения состояния вязкоупругопластических сред с повреждениями. - М.: ФИЗМАТ ЛИТ. 2008.-424 с.

28.By P.B.Г., Уитмер Е.А. Исследование нелинейных неустановившихся реакций конструкций методом пространственных конечных элементов //Ракетная техника и космонавтика. 1973.N.8.С.67-70.

29.By Р.В.Г., Уитмер Е.А.Расчет неустановившихся больших упруго-пластических деформаций простых конструкций методом конечных элементов //Ракетная техника и космонавтика. 1973.N.8.С.70-76.

30.Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир. 1984.

31.Годунов С.К., Забродин A.B. Иванов М.Я. и др. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976. 400 с.

32.Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы.- М.: Наука, 1973.

33.Голованов А.И., Бережной Д.В. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел.- Казань, ДАС, 2001, 301 с.

134

34.Голованов А.И., Коноплев Ю.Г., Кузнецов С.А., Султанов Л.У. Численное моделирование больших деформаций неупругих трехмерных тел // Наукоемкие технологии. - 2004, Т. 5, № 4, С.52-60.

35.Голованов А.И., Корнишин М.С. Введение в метод конечных элементов статики тонких оболочек. Казань: Физ.-техн. ин-т. 1990. 269 с.

36.Голованов А.И., Султанов Л.У. Математические модели вычислительной механики деформируемых сред. - Казань: Казан, гос. ун-т, 2009.-465 с.

37.Горельский В.А., Зелепугин С.А., Смолин А.Ю. Исследование влияния дискретизации при расчете методом конечных элементов трехмерных задач высокоскоростного удара // Ж. вычисл. математики и мат. физики. 1997. Т. 37. № 6. С. 742-750.

38.Жидков A.B., Зефиров C.B., Кастальская К.А., Спирин C.B., Чекмарев Д.Т. Ажурная схема численного решения трехмерных динамических задач теории упругости и пластичности. // Вестник ННГУ, 2011. Вып.4-4, С. 1480-1482.

39.3енкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. / Пер. с англ. под ред Н.С. Бахвалова. - М.: Мир, 1986, 318 с.

40.Зенкевич O.K. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.

41.Зенкевич O.K. Метод конечных элементов: от интуиции к общности// Механика. Сб. переводов. 1970 № 6 С. 90-103.

42.3убчанинов, В. Г. Основы теории упругости и пластичности / В. Г. Зубчанинов. — М.: Высшая школа, 1990. 368 с.

43.Ильюшин A.A. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948.

44.Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963.

45.Ишлинский АЛО. Общая теория пластичности с линейным упрочнением // Украинский математический журнал. 1954. № 6. С. 314325.

46.Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения // Прикладная математика и механика. 1958. Т. 22, вып. I. С. 78-89.

47.Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Теория пластичности, учитывающая эффект Баушингера // ДАН СССР. 1957. Т. 117, вып. 4. С. 586-588.

48.Казаков Д.А., Капустин С.А., Коротких Ю.Г. Моделирование процессов деформирования и разрушения материалов и конструкций. -Н.Новгород: ННГУ, 1999. - 226 с.

49.Каплун А.Б., Морозов Е.М., Олферьева М.А. ANSYS в руках инженера: Практическое руководство.2009. 272 с.

50.Капустин С.А. Метод конечных элементов в задачах механики деформируемых тел.Учебное пособие.Н.Новгород:Изд-во ННГУ, 2002. 180 с.

51.Капустин С.А. Численный анализ термомеханических процессов деформирования и разрушения конструкций на основе МКЭ // Прикладные проблемы прочности и пластичности. - М.: КМК, 1999, Вып. 53, С. 17-30.

52.Капустин С.А., Горохов В.А., Чурилов Ю.А., Слепнев Ю.Г. Численное моделирование конструкций из трансверсалыю-изотропных материалов в условиях квазистатических силовых и терморадиационных воздействий // Проблемы прочности и пластичности. - 2006. Вып. 68, С. 53-60.

53.Кастальская К.А., Чекмарев Д.Т. Устойчивость явных ажурных схем «крест» решения динамических задач теории упругости. // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. Сб. / Нижегород. ун-т. - 2011. -Вып. 73, С. 77-86.

54.Кастальская К.А. О численном решении трехмерных динамических задач теории упругости на основе ажурных схем МКЭ. V Всероссийская молодежная научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование». Сборник материалов. г.Саров, 2011.

55.Кастальская К.А., Спирин C.B., Чекмарев Д.Т. Вариационно-разностные методы решения трехмерных задач механики сплошных сред на ажурных сетках. XXIV Международная конференция «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций метода граничных и конечных элементов». 28-30 сент 2011 ,Санкт-Петербург.-с. 129-130.

56.Кастальская К.А., Спирин C.B., Чекмарев Д.Т. Решение трехмерных динамических задач теории упругости на основе нескольких вариантов ажурной схемы МКЭ// XII Межд. семинар «Супервычисления и математическое моделирование». Тезисы докладов, г. Саров. 2010. С. 50-51.

57.Кастальская К.А., Спирин C.B., Чекмарев Д.Т. Численное решение трехмерных задач теории упругости на основе ажурной схемы МКЭ// IV Всероссийская молодежная научно-инновационная школа «Математика и математическое моделирование». Сборник материалов. г.Саров, 2010. С.62.

58.Кастальская К.А., Чекмарев Д.Т. О построении трехмерных ажурных сеток. Труды XII Межд. семинара «Супервычисления и математическое моделирование», г. Саров. 2011. - с.374-381.

59.Кастальская К.А., Чекмарев Д.Т. Об устойчивости ажурной схемы "крест" решения нестационарных задач теории упругости. XVII Международная конференция по Вычислительной механике и современным прикладным программным системам. Тезисы докладов, 2011 - с. 348-350.

60.Кастальская К.А., Чекмарев Д.Т. Оценки устойчивости двумерных и трехмерных ажурных схем МКЭ решения динамических задач теории упругости. XIII Межд. Семинар «Супервычисления и математическое моделирование». Тезисы. Г. Саров. 2011. С. 73-75.

61.Кастальская К.А., Чекмарев Д.Т. Повышение эффективности явной схемы «крест» численного решения разномасштабных волновых задач механики сплошных сред // Вестник ННГУ, 2010. Вып.6, С. 124-131.

62.Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.

63.Кибец А.И. Исследование точности и сходимости моментной разностной схемы решения трехмерных задач нестационарного деформирования упругопластических сред. // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Анализ и оптимизация деформируемых систем: Всесоюз. межвуз. сб./ Горьк. у-нт. 1988. С. 29-37.

64.Коларов Д.,Балтов А.,Бончева Н.Механика пластических сред / пер. с болгарского под ред. Г.С.Шапиро.- М.: Мир, 1979.

65.Корнеев В.Г. Сопоставление метода конечных элементов с вариационно-разностным методом решения задач теории упругости // Изв. Всесоюз. НИИ Гидротехники. 1967. Т. 83. С. 286-307.

66.Крутова К.А., Спирин C.B., Соколов Е.С. Исследование численных решений трехмерных задач теории упругости с различным расположением конечных элементов // Труды Математического центра имени Н.И.Лобачевского: Материалы двенадцатой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2013» (Казань, 24-29 октября, 2013 г.). Казань: Казан. Ун-т, 2013. Т.47. - С.92-95.

67.Крутова К.А., Спирин C.B., Чекмарев Д.Т. О влиянии взаимного расположения конечных элементов на точность численного решения задач теории упругости // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. Сб. / Нижегород. ун-т. - 2013. - Вып. 75. № 4, С. 312-322.

68.Кукуджанов В.Н. Численное моделирование динамических процессов деформирования и разрушения упругопластических сред. // Успехи механики. Т. 8. № 4. 1985. С. 21-65.

69.Кукуджанов В.Н., Кондауров В.И. Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела. // Проблемы динамики упругопл. сред. - М.: Мир, 1975. С.39-85.

70.Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости.- М.: Наука, 1987. 248 с.

71.Лущик О.Н. Сингулярные конечные элементы: обзор и классификация // Изв РАН МТТ, 2000, № 2, С. 103-114.

72.Мальцева Т.В., Володина Т.Ю. Развитие метода конечных элементов для расчета водонасыщенного однородного основания //Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. Сб. Вып. 73. Нижний Новгород, изд-во Нижегород. Ун-та, 2011. С. 150-155.

73.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. 608 с.

74.Метод конечных элементов в механике твердых тел. / Под общ. ред. A.C. Сахарова и И. Альтенбаха. Киев: Вища школа. Головное изд-во, 1982.

75.Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970. 510 с.

76.Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.-Л., Гостехиздат, 1948.

77.Нох В.Ф. СЭЛ - совместный эйлеро-лагранжев метод для расчета нестационарных двумерных задач. // Вычислительные методы в гидродинамике. М.: Мир, 1967. С. 128-184.

78.0ден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. 464 с.

79.Остапенко B.B. О дивергентности конечно-разностных операторов // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1985. Вып.70. С.105-126.

80.Остапенко В.В. О стандартной аппроксимации дифференциальных операторов // Динамика сплошной среды. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1985. Вып.72, С.67-83.

81.Победря Б. Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд--во МГУ, 1981. 343 с.

82.Поздеев A.A., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. М.: Наука, 1986. 230 с.

83.Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л.: Судостроение, 1974. 344 с.

84. Применение системы ANSYS к решению задач механики сплошной среды. Практическое руководство / Под ред. проф. А.К. Любимова. Нижний Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та. 2006. 227 с.

85.Рихтмайер Р, Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.418 с.

86.Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М.: Стройиздат, 1977. 129 с.

87.Самарский A.A. Теория разностных схем. М. Наука, 1983. 616 с.

88.Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.

89.Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. М.: Наука, 1989. - 430 с.

90.Сахаров A.C. Кислоокий В.Н., Киричевский В.В. и др. Метод конечных элементов в механике твердых тел. Киев, Вищ. шк., 1982. 479 с.

91.Сегерленд, Л. Применение метода конечных элементов в технике / Л. Сегерленд. М.: Мир, 1975. - 541 с. (перев. с англ.)

92.Спирин C.B., Крутова К.А., Чекмарев Д.Т. Влияние взаимного расположения конечных элементов на точность численного решения трехмерных задач теории упругости // Математическое моделирование в механике деформируемых сред и конструкций. Методы граничных и конечных элементов. Тезисы докладов XXV Межд. конф. Санкт-Петербург 23-26 сентября 2013 г. СПб.: 2013. С. 204-206.

93.Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. 349 с.

94.Угодчиков А.Г., Баженов В.Г., Рузанов А.И. О численных методах и результатах решения нестационарных задач теории упругости и пластичности // Численные методы механики сплошной среды./ СО АН СССР. Т. 16. № 4. Новосибирск. 1985. С. 129-149

95.Угодчиков А.Г., Хуторянский Н.М. Метод граничных элементов в механике деформируемого твердого тела. Казань: Изд-во Казанск. ун -та., 1986.295 с.

96.Уилкинс М., Френч С., Сорем М. Конечно-разностная схема для решения задач, зависящих от трех пространственных координат и времени // Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973. С. 115-119.

97.Уилкинс M.JI. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике / М.: Мир, 1967. С.212-263.

98.Харари Ф. Теория графов. Изд.2. М. 2003. 296 с.

99.Чекмарев Д.Т. "Ажурные" схемы метода конечного элемента // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Численное моделирование физико-механических процессов: Межвуз. сб./ М., 1997.

100. Чекмарев Д.Т. Построение конечноразностных схем,

эквивалентных численным схемам метода конечного элемента //

Прикладные проблемы прочности и пластичности. Численное

141

моделирование физико-механических процессов. М.: Товарищ, науч. изданий КМК, 1999. С.129-138.

101. Чекмарев Д.Т. Численные схемы метода конечного элемента на «ажурных» сетках // Вопросы атомной науки и техники, Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2009. Вып. 2. С. 49-54.

102. Чекмарев Д.Т., Жидков A.B., Зефиров C.B., Кастальская К.А., Спирин C.B. Ажурная вариационно-разностная схема численного решения трехмерных динамических задач теории упругости и пластичности. XXIV Международная конференция «Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций метода граничных и конечных элементов» 28-30 сент 2011,Санкт-Петербург. -с. 57-58.

103. Чекмарев Д.Т., Жидков A.B., Зефиров C.B., Кастальская К.А., Спирин C.B. Верификация ажурной схемы МКЭ решения трехмерных динамических задач теории упругости и пластичности. Материалы XVIII международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г.Горшкова T. 1.-М.: ООО.'ТР-принт", 2012 г.

104. Чекмарев Д.Т., Жидков A.B., Зефиров C.B., Кастальская К.А., Спирин C.B. Реализация нелинейного варианта ажурной схемы МКЭ решения динамических задач теории упругости и пластичности. XIII Межд. Семинар «Супервычисления и математическое моделирование». Тезисы. Г. Саров. 2011. С. 138-139.

105. Чекмарев Д.Т., Жидков A.B., Зефиров C.B., Кастальская К.А., Спирин C.B. Решение нестационарных трехмерных задач теории упругости на основе ажурной схемы МКЭ. Материалы XVII международного симпозиума "Динамические и технологические

проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г.Горшкова Т. 1.-М.: ООО.'ТР-принт", 2011 г.-С. 194-196.

106. Чекмарев Д.Т., Кастальская К.А. О построении трехмерных ажурных сеток // XII Межд. семинар «Супервычисления и математическое моделирование». Тезисы докладов, г. Саров. 2010. С. 85-86.

107. Чекмарев Д.Т., Кастальская К.А. Повышение эффективности явной схемы «крест» численного решения разномасштабных динамических задач теории упругости. Тезисы докладов. Материалы XVII международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" им. А.Г.Горшкова Т.1.-М., 2011 г.-С. 91-93.

108. Шокин Ю.И., Яненко Н.Н. Метод дифференциального приближения. Применение к газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1985.364 с.

109. Andrade-Campos A., Menezes L.F., Teixeira-Dias F. Numerical analysis of large deformation processes at elevated temperatures // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng. - 2006, V.195, P.3947-3959.

110. Duffey T.A., Key S.W. Experimental-theoretical correlation of impulsively loaded clamped circular plates// Exp. Mech., 1969, V. 9, № 6, p.241-249.

111. Hartzman W., Hutchinson J.R. Nonlinear dynamics of Solids by Finite Element Method//Int. Сотр. and Struct. 1972. v. 2, N1-2. p. 4777.

112. Herrman W., Bertolf L.D., Thompson S.I. Computational methods for stress wave propagation in nonlinear solid mechanics // Lect. Notees Math. 1975. V. 461. P. 91-127.

113. Mohammadi S., Owen D. R. J. and Peric D. Hourglass stabilization of

the pentahedral solid element Iranian Journal of Science & Technology,

143

Transaction B, Vol. 28, No. B1 Printed in Islamic Republic of Iran, 2004, p 53-67

114. Nho, I. S. Finite element analysis for plastic large deformation and anisotropic damage /1. S. Nho, J. G. Shin, S. J. Yim // Proc. 3-rd Int. Offshore and Polar Eng. Conf., Singapure, June 6-11. 1993. - Vol. 4. -

p.526-532.

115. Ohya Y. and Yoshida N. FEM model of Biot's equation free from volume locking and hourglass instability// 2The 14 th World Conference on Earthquake Engineering October 12-17, 2008, Beijing, China

116. Reese S. and Wriggers P. A stabilization technique to avoid hourglassing in finite elasticity. Int. J. Num. Meth. in Engng, 48, 2000. P.79-109.

117. Wall W. A., Bischoff M.and Ramm E.. A deformation dependent stabilization technique exemplified by EAS-elements at large strains. Comp. Meth. in Applied Mech. and Engng, 188, 1999, p.859-871.

118. Zienkiewich O., Taylor R.L. Finite element method. Volume 2. Solid mechanics. - Butterworth - Heinemann. - 2000, 459 p.