Численное моделирование осесимметричных процессов упругопластического деформирования, потери устойчивости и закритического поведения оболочек вращения при комбинированных нагружениях и больших деформациях тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.06, кандидат наук Артемьева, Анастасия Анатольевна

• Артемьева, Анастасия Анатольевна
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Артемьева, Анастасия Анатольевна

Оглавление

/

Введение

1. Обзор литературы

1.1. Развитие математических моделей оболочек

1.2. Учет пластических свойств материала

1.3. Обзор численных методов

1.4. Существующие программные комплексы для расчета оболочечных конструкций

1.5. Выводы из обзора. Цели и структура диссертационной работы

2. Разработка математической модели

2.1. Определяющая система уравнений

2.2. Уравнение движения составной конструкции

2.3. Вариационно-разностный метод решения задачи

2.4. Регуляризация разностной схемы

3. Программная реализация

3.1. Алгоритм решения задачи

3.2. Структура приложения

4. Апробация методики

4.1. Исследование применимости производной Яуманна

4.2. Решение тестовой задачи о поперечном колебании упругой балки

4.3. Изгиб круглой упругой пластины

4.4. Упругопластическое деформирование медной сферы под действием внешнего давления

4.5. Выпучивание цилиндрической и конической оболочки при продольном ударе

4.6. Деформирование цилиндрической оболочки при сложном нагружении

4.7. Деформирование цилиндрической оболочки при нагружении кручением и комбинированном нагружении растяжением-кручением

5. Исследование влияние кручения на устойчивость и закритическое поведение оболочек вращения

5.1. Цилиндрическая оболочка под действием внутреннего давления

5.2 Исследование потери устойчивости цилиндрической оболочки при комбинированном нагружении растяжением-кручением

5.3. Исследование выпучивания гладких и составных цилиндрических оболочек при нагружении кручением-сжатием

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование осесимметричных процессов упругопластического деформирования, потери устойчивости и закритического поведения оболочек вращения при комбинированных нагружениях и больших деформациях»

Введение

Тонкостенные оболочки широко используются в современной технике. Они находят применение в строительстве сооружений (проектирование куполов и сводов зданий, трубопроводов), машиностроении, авиастроении, ракетостроении, судостроении (изготовление несущих конструкций, элементов корпусов, контейнеров) и других отраслях. Их преимущество заключается в повышенной жёсткости, малом удельном весе и высоких эксплуатационно-прочностных качествах. С развитием уровня техники возрастает сложность применяемых конструкций и требование к их прочности и надежности. Наряду с экспериментальными исследованиями, элементы таких конструкций следует подвергать тщательному теоретическому анализу и расчетному обоснованию прочности и устойчивости.

В связи с тем, что применение аналитических методов ограничено

рамками грубой идеализации, достаточно эффективное решение прикладных

задач динамического деформирования оболочек вращения в условиях

интенсивного нагружения возможно лишь с привлечением численных методов.

Применение численного моделирования позволяет сократить расходы на

дорогостоящие эксперименты, оптимизировать процесс проектирования и

значительно сократить сроки внедрения в производство. Однако, при расчете

конструкций, необходимо учитывать сложную геометрию конструкции, что

приводит к необходимости использования неравномерных сеток и

криволинейных систем координат; геометрическую нелинейность (когда

перемещения элементов конструкции нельзя считать малыми); физическую

нелинейность задачи, обусловленную переходом к нелинейному

деформированию материала; различные условия закрепления и нагружения и

др., что делает численное моделирование нетривиальной и трудоемкой задачей.

Ввиду наличия вырожденной координаты расчеты непосредственно по

трехмерной теории зачастую являются неэффективными, что приводит к

4

необходимости введения оболочечной модели, либо использования сеток с вытянутыми или сплющенными ячейками [1].

К настоящему моменту не существует общепризнанной и всесторонне непротиворечивой математической модели упругопластического деформирования осесимметричных оболочек в режиме интенсивного формоизменения. Таким образом, исследования, направленные на разработку и совершенствование этих моделей, являются актуальными как для фундаментальной, так и прикладной механики.

Диссертационная работа посвящена разработке и программной реализации методики численного решения нелинейных нестационарных задач осесимметричного упругопластического деформирования оболочек вращения с учетом кручения при комбинированных нагружениях и больших деформациях. Разработанная методика и программа позволяют проводить численное моделирование осесимметричных упругопластических процессов деформирования и предельных состояний оболочек вращения в широком диапазоне скоростей нагружения от квазистатических до динамических. Методика проста в численной реализации и позволяет рассматривать оболочки с любым очертанием меридиана.

Автор выражает признательность к.т.н. В. К. Ломунову за консультации в процессе выполнения работы.

1. Обзор литературы

1.1. Развитие математических моделей оболочек

Начало развитию теории оболочек положил Г.Р. Кирхгоф. Первая его работа, вышедшая в 1850 г., содержала гипотезы, легшие в основу, так называемой, «классической» теории. Эта теория получила широкое распространение и активно применялась на практике, однако она была не совсем корректна. Линейная теория однородных изотропных оболочек произвольной формы, базирующаяся на гипотезах Кирхгофа для пластин, была разработана А. Лявом [2]. Развитием теории и оценкой области применимости занимались В.З. Власов [3], А.Л. Гольденвейзер [4], А.И. Лурье [5], В.В. Новожилов [6, 7], П.М. Нахди [8] и многие другие. А.И. Лурье приводит тензорную запись основных уравнений теории оболочек, основанных на гипотезах Кирхгофа-Лява. В.В. Новожилов предлагает простейшую теорию оболочек, в которой выполнено шестое уравнение равновесия, отсутствующее в теории Лява, и показывает её применимость для решения ряда задач. А.Л. Гольденвейзер дает альтернативную формулировку кинематических и статических гипотез, отличную от «классической теории», что позволяет учитывать поперечную сжимаемость оболочек. В.З. Власов предложил приближенный вариант теории оболочек, называемый теорией пологих оболочек. Эта теория применима в случае а// > 5, где а - наименьший размер оболочки в плане, / — стрела подъема.

Классическая модель с приемлемой точностью описывает равновесие

тонких и гладких оболочек без сильных локальных возмущений, однако в

задачах динамики она позволяет без существенных погрешностей определять

лишь интегральные характеристики процесса, в частности низшие частоты

свободных колебаний. Погрешность модели, построенной на основе гипотез

Киргофа-Лява, возрастает с увеличением отношения доли энергии деформаций

поперечного сдвига, к полной энергии оболочки. В большей степени эта

6

погрешность проявляется в оболочках с низкой сдвиговой жесткостью в поперечных направлениях.

Учет влияния предварительных напряжений и деформаций на компоненты напряженно деформированного состояния при их дополнительном не осесимметричном нагружении может быть осуществлен только переходом к нелинейной геометрической теории. Детальная разработка этой теории началась с работ Х.М. Муштари. Предложенная им модель позволила качественно исследовать напряженное состояние оболочек при малых деформациях и произвольных перемещениях и изгибах срединной поверхности. Среди фундаментальных работ Х.М. Муштари по теории оболочек особое место занимает написанная им совместно с профессором Казанского университета К.З. Галимовым монография [9].

Необходимость учета деформации поперечного сдвига впервые отметил С.П. Тимошенко. Полученные им уравнения стали впоследствии основой для «корректированной» теории оболочек [10, И]. С.П.Тимошенко предложил заменить гипотезу нормальности прямолинейного элемента к срединной поверхности на условие прямолинейности этого элемента и ввести закон изменения напряжений по толщине пластинки, что позволило учесть влияние поперечной деформации сдвига и инерцию вращения. Нелинейная теория оболочек, основанная на модели типа Тимошенко, получила развитие в работах Л.Я. Айнола [12], В.Б. Спиро [13], Э. Рейсснера, П.М. Нахди, К.З. Галимова [14], A.C. Вольмира [15,16] и многих других ученых.

Развернутый анализ различных вариантов геометрически линейной и нелинейной теории оболочек можно найти в обзорных работах Я.М. Григоренко, В.И.Гуляева [17, 18]. Вопросы уточнения неклассических теорий обсуждаются в книге Э.И. Григолюка и И.Т. Селезова [19].

Число уточненных теорий достаточно велико, однако проблема

нелинейного упругого деформирования тонкостенных конструкций

7

исследована далеко недостаточно. К настоящему времени не существует универсальной модели, дающей одинаково приемлемые результаты для всех типов задач, поэтому исследования в данной области остаются актуальными.

При решении задач устойчивости оболочек особого внимания требует выбор критерия потери устойчивости. В наиболее общей форме устойчивость определяется как свойство системы мало отклоняться от исходного движения или равновесия при действии малых возмущений [20]. Согласно динамическому критерию исходная форма движения или равновесия устойчива, если малые возмущения вызывают малые отклонения системы от этой формы. Система будет неустойчивой, если сколь угодно малые возмущения вызывают конечные отклонения системы. Впервые динамический критерий использовался Лагранжем при исследовании консервативных систем с конечным числом степеней свободы. Строгое математическое определение этого критерия впоследствии было дано А. М. Ляпуновым. Практическое использование динамического критерия при оценке устойчивости системы сводится к интегрированию уравнений движения и исследованию их поведения во времени. Если эти решения во времени остаются ограниченными, то система считается устойчивой.

В статике предел устойчивости определяется как бифуркационная нагрузка Эйлера, при которой решение уравнений равновесия перестает быть единственным. Неустойчивость системы характеризуется появлением смежной формы равновесия, бесконечно близкой к её исходной форме. Использование статического критерия сводится к нахождению собственных чисел и соответствующих им векторов линеаризованных дифференциальных уравнений.

Оболочки сильно чувствительны к несовершенствам формы, поэтому

могут терять устойчивость как в эйлеровых точках бифуркации, так и в

предельных точках для несовершенных систем. Таким образом, при анализе

8

оболочечных конструкций в качестве критической нагрузки следует принять максимальную нагрузку, которую выдерживает конструкция перед наступлением катастрофического выпучивания. Такой подход был предложен в 1945 г. В.Т. Койтером и развит в работах его последователей [21, 22]. Критерии потери устойчивости при динамических нагрузках требуют оценки неустановившейся реакции оболочки при различных уровнях нагрузки. Наиболее общие динамические критерии основаны на использовании графиков зависимости максимальной амплитуды выпучивания от величины нагрузки. Критической считается нагрузка, соответствующая резкому возрастанию амплитуд перемещений.

При изучении динамического выпучивания оболочек существенным является учет геометрических несовершенств формы. Результаты обширных экспериментальных исследований показали, что значения критических нагрузок при осевом сжатии цилиндрических оболочек значительно ниже теоретически рассчитанной эйлеровой нагрузки. Причины расхождения заключаются в отличии реализуемых в эксперименте граничных условий от используемых в теоретических расчётах, влиянии неоднородности докритического состояния и начальных несовершенств формы. Причем последний фактор имеем наибольшее значение. Результаты теоретических исследований, в которых учитывалась амплитуды и формы начальных несовершенств, оболочки, подтвердили снижение критического усилия до 50% от эйлерова значения.

1.2. Учет пластических свойств материала

Для исследования процессов упругопластического деформирования и

предельных состояний оболочки необходимо определить расчетным путем

кинетику её напряженно-деформированного состояния. Деформирование тела

из неупругого материала характеризуется наличием остаточных деформаций

9

после снятия нагрузки. Поэтому создание моделей, описывающих необратимое деформирование, является важной задачей. К настоящему времени сформулированы общие фундаментальные постулаты и разработан ряд общих положений, определяющих структуру соотношений между напряжениями и деформациями и позволяющих вести теоретические и экспериментальные исследования свойств этих соотношений. Здесь рассматривается класс упругопластических материалов, механические свойства которых не зависят от течения времени, т.е. явление вязкости и ползучести исключаются.

Первые работы по теории пластичности относятся к семидесятым годам XIX века и связаны с именами Треска, Сен-Венана и Леви. В 1870 г. Сен-Венан впервые получает уравнения, удовлетворительно описывающие законы пластического деформирования металлов. Этот успех во многом был обязан экспериментальным исследованиям Треска. Ключевым положением теории пластичности Сен-Венана выступала гипотеза о пропорциональности девиатора напряжений и скорости пластических деформаций. В 1909 г. была опубликована работа А. Хаара и Т. Кармана, в которой рассматривается условие полной пластичности. В начале XX века была опубликована работа Мизеса (1913 г.), в которой формулируется условие текучести, и выводятся основные уравнения теории пластичности, исходя из некоторого вариационного принципа. В 1924 - 1933 г. появляются работы Прандтля и Рейса. Далее теория пластичности продолжает интенсивно развивается по двум главным направлениям: теория пластического течения и деформационная теория.

Основополагающие постулаты и гипотезы деформационной теории

пластичности (постулат изотропии, гипотеза локальной определенности,

гипотеза о разгрузке и постулат пластичности) были сформулированы

A.A. Ильюшиным [23, 24, 25], В.Г. Зубчаниновым [26], P.A. Васиным и др. В

данной теории применяются определяющие соотношения для физически

10

нелинейного упругого материала при активном нагружении и для линейного упругого материала при разгрузке. Для придания процессам деформирования и нагружения геометрической наглядности дополнительно к девиаторам деформаций и напряжений введены векторы и траектории деформаций и напряжений в пятимерных евклидовых пространствах деформаций и напряжений. Направляющие тензоры деформаций и напряжений имеют смысл единичных векторов, связанных с траекториями деформирования и нагружения, а внутренние геометрические параметры последних (длина дуги, параметры кривизны и кручения) являются естественными характеристиками сложности процессов. За работами А. А. Ильюшина последовал ряд работ, развивающих предложенную теорию процессов, в том числе по ее экспериментальному обоснованию [27, 28, 29, 30]. Был разработан ряд частных теорий пластичности для различных классов траекторий деформирования: малой и средней кривизны, малого кручения, двузвенных ломаных и др.

Деформационная теория нашла широкое применение при получении бифуркационных нагрузок идеальных пластин и оболочек методом Эйлера. Уравнения деформационной теории пластичности хорошо описывают пластическое деформирование при простом нагружении, однако их использование при сложных непропорциональных путях нагружения может приводить к неудовлетворительным результатам.

Деформационная теория пластичности рассматривает малые упругопластические деформации, но имеются попытки её обобщения на случай конечных деформаций [31, 32, 33]. Особо следует отметить монографию A.A. Поздеева, П.В. Трусова и Ю.И. Няшина [34], которая обобщает теорию упругопластических процессов A.A. Ильюшина на случай, когда пластические деформации нельзя считать малыми. В рамках такого подхода рассматриваются постановки краевых задач термоупругопластичности, обсуждаются методы их

решения, представлены расчеты в ряде технологических задач.

11

Основополагающие принципы построения теории пластического течения содержатся в работах [35, 36, 37, 38, 39, 40, 26, 41, 42, 43]. Построение математической теории течения требует разделения деформаций на обратимую (упругую) и необратимую (пластическую) составляющие. Существует различные подходы для определения деформационных составляющих [44, 45, 46, 47, 48]. В настоящее время наибольшее распространение получили два способа декомпозиции деформации на упругую и пластическую составляющие - мультипликативное разложение градиента деформации и аддитивное разложение тензора скоростей деформации.

Первой работой, в которой исследуется кинематика конечных

упругопластических деформаций, была работа Л.И. Седова [45]. Он предложил

представление тензора полных деформаций, как в классической теории, в виде

суммы тензоров упругих и пластических деформаций. Вектор перемещений

при этом полагался также аддитивно разложимым на упругую и пластическую

составляющие. Однако такое представление оказалось математически

некорректным. Большое влияние на развитие теории оказала статья Е. Ли [46],

опубликованная в 1969 году, в которой впервые предлагалось

мультипликативное разложение градиента полной деформации. В этой работе

постулировалось существование состояния разгрузки, которое однозначно

связывалось с начальным или текущим состоянием. Сложность при таком

подходе заключалась в определении состояния разгрузки, т.к. оно, согласно

опытным данным, зависит от характера процесса разгрузки, что в теории Е. Ли

не учитывалось. Данный подход использовался в работах других авторов [49,

50, 51, 52]. Недостатки в подходе Е. Ли описал Р.Клифтон [53]. Им было

показано, что постулированное разгрузочное состояние необходимо зависит от

пути разгрузки в пространстве напряжений, а напряжения в областях, где

необратимые деформации накоплены или изменяются, необходимо зависят от

уровня таких деформаций и скоростей их изменения. Конкретизировать

12

посредством опытов такую зависимость не представляется возможным, поэтому практическое использование модели для расчетов интенсивного деформирования проблематично. Развитие идеи Е. Ли содержится в работах В.И. Кондаурова [54] и В.Н. Кукуджанова [55]. В рамках построенной на такой основе модели изучались закономерности распространения волн напряжений и предлагались способы расчетов в нестационарных задачах необратимого деформирования твердых тел.

С целью уточнения кинематики больших упругопластических деформаций A.A. Роговым [56] было предложено рассматривать процесс накопления деформаций в качестве последовательного наложения малых упругопластических деформаций на конечные. Пластическими объявляются деформации до некоторой промежуточной конфигурации, полученной при не изменяющихся напряжениях, а упругими - от промежуточной до текущей конфигурации. При наложении считается, что обратимые и необратимые деформации в своей сумме дают полные, так как обе составляющие можно считать малыми. С введением промежуточной конфигурации принимается гипотеза о не влиянии в малом упругих деформаций на процесс приобретения необратимых, что в общем случае противоречит опытным фактам.

Известными обобщениями этих теорий на упрочняющиеся упругопластические тела являются так называемые дифференциальные теории пластичности. В основе этих теорий лежит ассоциированный закон течения, согласно которому направление вектора скорости пластических деформаций совпадает с нормалью к поверхности текучести в точке нагружения. В свою очередь поверхность текучести в процессе деформирования может смещаться в пространстве напряжений, менять форму и размеры. Для изотропных материалов начальная поверхность текучести хорошо описывается уравнением Мизеса. Обобщение теории пластичности типа течения на учет изотропного и

кинематического упрочнения предложено в работах Б. Д. Аннина [57], Л.М.

13

Качанова [38], В.В. Новожилова, Ю.И. Кадашевича [58], Ю.Г. Коротких [59], B.C. Бондаря и др. Многочисленные исследования показали, что результаты расчетов по теории течения с комбинированным упрочнением правильно описывают процессы упругопластического деформирования средней кривизны. Следует подчеркнуть, что соотношения дифференциальных теорий пластичности имеют вид дифференциальных неинтегрируемых соотношений, что отражает фундаментальный факт зависимости НДС упругопластического тела от истории нагружения.

Построение модели больших упругопластических деформаций

предполагает определение тензоров напряжений и скоростей изменения

необратимых деформаций. Данный тензор входит в определяющие

соотношения математической модели - с его помощью формулируется

ассоциированный закон пластического течения. Для тензоров деформаций и

напряжений, используемых при построении определяющих соотношений,

желательным является свойство объективности, т.е. неизменность компонент

тензоров при преобразованиях, соответствующих жесткому движению тела.

Скорости изменения тензоров в фиксированных материальных точках,

измеряемые производными их компонент в системах координат, совершающих

движение относительно системы отсчета, называются конвективными

производными. Если подвижная система координат совершает чистый поворот

(с возможным переносом, но без деформирования), то конвективная

производная относительно такой системы координат называется

коротационной производной. В. Прагер считает, что для теории пластичности

наиболее предпочтительной является производная Яумана [60, 61]. В работе

[62] предпочтение отдается производной Коттера - Ривлина, поскольку такое

дифференцирование связывает тензор конечных деформаций Альманси с

Эйлеровым тензором скоростей деформаций. В работах [63, 64, 65]

предлагается осуществлять выбор на основе экспериментальных данных,

14

однако при таком подходе нет уверенности, что выбранная в результате производная не приведет к противоречию с экспериментом для других видов деформации. Обсуждение корректности применения коротационных производных приведены в работах [66, 67, 68]. Моделирование процессов деформирования с учетом больших упругопластических деформаций исследуется в работах [69, 70, 71, 72].

Рассматриваемая в диссертационной работе методика основывается на геометрически нелинейной теории оболочек типа Тимошенко и дифференциальной теории пластичности с нелинейным изотропным и кинематическим упрочнением. Для учета вращения элемента оболочки как жесткого целого применяется производная Яуманна. Проведена проверка точности определения углов поворота и положения локального базиса в пространстве.

1.3. Обзор численных методов

Применение методов численного моделирования позволяет изучать процессы деформирования и устойчивости оболочек при достаточно сложной геометрии тел с учетом эффектов геометрической и физической нелинейности, сложного нагружения, неоднородности напряженно-деформированного состояния без привлечения упрощающих предположений и априорных гипотез силового и кинематического характера. Основные численные методы решения задач нестационарной динамики тонкостенных оболочек включают в себя следующие методы: конечноразностный, вариационно-разностный и метод конечного элемента.

Метод конечных разностей - широко известный и простейший метод

интерполяции. Его суть заключается в замене дифференциальных операторов

на разностные, что позволяет свести решение дифференциального уравнения к

решению его разностного аналога, то есть построить его конечно-разностную

15

схему. В методе конечных разностей краевая задача теории оболочек сводится к решению линейной или нелинейной системы алгебраических уравнений. Большой вклад в развитие метода внесли К.И. Бабенко [73], A.A. Самарский [74, 75], B.C. Рябенький [76], M.JI. Уилкинс [43] и другие. К недостаткам следует отнести проблему граничных условий, содержащих условия на производные. Чтобы сохранить порядок аппроксимации задачи на границе требуется вводить специальные операторы. Эта проблема решается применением интегральной формулировки задачи с использованием вариационно-разностного метода.

Вариационно-разностный метод лишен большинства недостатков перечисленных для метода конечных разностей, поскольку основан на вариационных принципах механики. Поведение деформируемых систем в этом случае описывается условием стационарности некоторого функционала, являющегося обычно выражением потенциальной или дополнительной энергии системы. Это условие стационарности эквивалентно основным дифференциальным уравнениям данной задачи, но при этом дает возможность понизить порядок производных, входящих в вариационное уравнение, упрощает формулировку граничных условий, а также позволяет удобно алгоритмизировать все этапы расчета. Построение разрешающих соотношений схемы сводится к конечноразностной аппроксимации вариационного уравнения и приравнивания к нулю коэффициентов при вариациях узловых перемещений. К достоинствам метода относятся возможность использования неравномерных и нерегулярных сеток, однотипный расчет внутренних и граничных узлов, требование меньшей гладкости функций, по сравнению с конечно-разностным методом. Вариационно-разностные методы развиты в работах С.Г. Михлина [77], JI.A. Оганесяна, Г.И. Марчука [78], В.И. Агошкова, В.Г. Баженова [79, 80] и других авторов.

Основная идея метода конечного элемента заключается в возможности построения решения в отдельных подобластях конечных размеров (конечных элементах). Непрерывные функции, описывающие геометрические и физические характеристики, заменяются приближенными функциями, гладкими в пределах конечного элемента. Условия стыковки соседних элементов требуют выполнения главных граничных условий соответствующей вариационной задачи. В итоге исходные дифференциальные уравнения сводятся к системе линейных или нелинейных алгебраических уравнений. Метод конечного элемента разрабатывался многими отечественными и зарубежными учеными. Большой вклад в его становление внесли Р. Курант, Р. Кпаф, О. Зенкевич [81], Э. Вилсон, М. Айронс, Дж.Т. Оден [82], Л.А. Розин [83], А.С. Сахаров, В.А. Постнов [84], Р.Б. Рикардс [85], С.А. Капустин [86], А.И.Голованов и другие. Первые работы, в которых МКЭ применялся для анализа геометрически нелинейного деформирования тонких оболочек, появились во второй половине 1960-х годов. При этом предполагалось, что существенными являются лишь нелинейности, связанные с поворотами координатных линий оболочки. В настоящее время достигнуты значительные успехи в развитии теории и прикладном использовании метода. Метод конечных элементов сложнее метода конечных разностей в реализации. Однако у него есть ряд преимуществ, существенных при решении реальных задач: это произвольная форма обрабатываемой области и возможность использования неравномерной сетки.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Артемьева, Анастасия Анатольевна, 2013 год

Список литературы

1. Кучер Н.К. Применение вырожденных трехмерных конечных элементов для расчета оболочечных конструкций // Проблемы прочности. — 1984. — 5. — С. 98-102.

2. Ляв А. Математическая теория упругости. — М.-Л.: ОНТИ НКТП СССР, 1935.

3. Власов В.З. Избранные труды. Общая теория оболочек. — М.: АН СССР, 1962. —Т. 1.

4. Гольденвейзер А.Л. Теории тонких упругих оболочек. — М. : Наука, 1976.

5. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек. — М. : Гостехиздат, 1947.

6. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек. — 1991.

7. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. — Л.: Судопромгиз, 1962.

8. Naghdi P.M., Vongsarnpigoon L. A theory of shells with small strain accompanied by moderate rotation // Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 1983. — 83. —C. 245-283.

9. Муштари X.M., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. — Казань : Таткнигоиздат, 1957.

10. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. — М.: Наука, 1971.

11. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. — М.: Наука, 1966.

12. Айнола Л.Я. Нелинейная теория типа Тимошенко для упругих оболочек // Изв. АН СССР. Сер. физ.-мат. и техн. наук. — 1965. — Т. 14, 3. — С. 337-344.

13. Спиро В.Е. Вариант геометрически нелинейной теории анизотропных оболочек, учитывающих поперечный сдвиг // Механика полимеров. — 1969. — 5. —С. 863-871.

14. Галимов К.З. Основы нелинейной теории тонких оболочек. — Казань : Изд-во Казанск. ун-та, 1975.

15. Вольмир A.C. Нелинейная динамика пластин и оболочек. — М.: Наука, 1972.

16. Вольмир A.C. Гибкие пластинки и оболочки. — М. : Гостехиздат, 1956.

17. Григоренко Я.М., Гуляев В.И. Нелинейные задачи теории оболочек и методы их решения (Обзор) // Прикл. Механика. — 1991. — Т. 27, 10. — С. 322.

18. Григоренко Я.М., Василенко А.Т. Методы расчета оболочек. — Киев : Наукова думка, 1981.

19. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. — М., 1973. — Итоги науки и техники, Сер. Механика деформируемых твердых тел : Т. 5.

20. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек. — М. : Наука, 1978.

21. Будянский Б., Хатчинсон Дж. Выпучивание: достижения и проблемы // Механика деформируемых твердых тел. Направления развития. — 1983. — С. 121-150.

22. Хатчинсон Дж., Койтер В.Т. Теория послекритического поведения конструкций // Механика: Переодич. сб. переводов иностр. статей. — 1971. — 4. —С. 129-149.

23. Ильюшин A.A. Пластичность. — М.: АН СССР, 1963.

24. Ильюшин A.A. Механика сплошной среды. — М. : Изд-во МГУ, 1990.

25. Ильюшин A.A. О постулате пластичности // Прикл. матем. и механика. — 1961. — Т. 25, 3. — С. 504-507.

26. Зубчанинов В.Г. Математическая теория пластичности: Монография. — Тверь: ТГТУ, 2002.

27. Зубчанинов В.Г., Охлопков H.JI. Экспериментальное исследование процессов пластического деформирования металлов при сложном нагружении

// IX конференция по прочности и пластичности. Труды. — М., 1996. — Т. 1. — С. 86-92.

28. Зубчанинов В.Г., Охлопков H.JI. Пластическое деформирование стали по замкнутым криволинейным траекториям // Проблемы прочности. — 1996. — 4.

— С. 19-26.

29. Коротких Ю.Г., Маковкин Г.А. О моделировании процессов непропорционального упругопластического деформирования на базе уравнений пластичности с комбинированным упрочнением // Прикладные проблемы прочности и пластичности. — М.: Товарищество научных изданий КМК, 1997.

— С. 5-10.

30. Аннин Б.Д., Русов Б.П. Экспериментальная проверка постулата изотропии в пространстве напряжений // Динамика сплошной среды. — 1969. — 3. — С. 122-125.

31. Галин JI.A. Упруго-пластические задачи. — М. : Наука, 1984.

32. Прагер В. Конечные пластические деформации // Реология / Под ред. Эйриха. — М.: Изд-во иностр. лит., 1962. — С. 86-126.

33. Viem N.H. Constitutive equations for finite deformations of elestic-plastic metallic solids with included anisotropy // Arch. Mech. — 1992. — T. 44, 5. — C. 585-594.

34. Поздеев A.A., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. — М.: Наука, 1986.

35. Green А.Е., Naghdi P.M. A general theory of an elastic-plastic continuum // Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 1965. — 18. — C. 251-281.

36. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. — Владивосток : Дальнаука, 1998.

37. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением // Укр. мат. журн.. — 1954. — Т. 6, 3. — С. 314-324.

38. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. — М. : Наука, 1969.

39. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. — М. : Изд-во МГУ, 1979.

40. Хилл Р. Математическая теория пластичности. — М.: Мир, 1956.

41. Коробейников С.Н. Нелинейное деформирование твердых тел. — Новосибирск : СО РАН, 2000.

42. Green А.Е., Naghdi P.M. Some remarks on elastic-plastic deformation at finite strain // Int. J. Eng. Sei.. — 1971. — Т. 9, 12. — С. 1219-1229.

43. Уилкинс M.JI. Расчет упруго-пластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике / Под ред. Б. Олдера С. Фернбаха, М. Ротенберга. — М. : Мир, 1967.

44. Eshraghi A., Jahed Н., Lambert S. A Lagrangian model for hardening behaviour of materials at finite deformation based on the right plastic stretch tensor // Materials & Design. — 2010. — T. 31, 5. — C. 2342-2354.

45. Седов JI.И. Введение в механику сплошной среды. — М.: Физматгиз, 1962.

46. Lee E.H. Elastic-plastic deformation at finite strains // J. Appl. Mech. — 1969. — T. 36, 1. —C. 1-6.

47. Palmov V.A., Stein E. Sixth International Workshop on Nondestructive Testing and Computer Simulations in Science and Engineering // Comparison of different decompositions of strain using exact solution of elastoplasticity. — St. Petersburg, 2003. —T. 5127. —C. 159-172.

48. Bingham E.C., Robertson J.W. Eine Methode zur gleichzeitigen Messung von Plastizität und Elastizität // Kolloid-Zeitschrift. — 1929. — 47. — C. 1-5.

49. Levitas V. I. Certain models of the inelastic deformation of materials. Report 2. Some assumptions and generalizations // Strength of Materials. — 1980. — 12. — C. 1545-1552.

50. Levitas V. I. Theory of large elastoplastic deformations under high pressure // Strength of Materials. — 1986. — 18. — C. 1094-1103.

51. Чернышов А.Д. Определяющие уравнения для упругопластического тела при конечных деформациях // Изв. РАН. Механика твердого тела. — 2000. — 1.

— С. 120-128.

52. Naghdi P.M. A critical review of the state of finite plasticity // Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik ZAMP. — 1990. — 41. — C. 315-394.

53. Clifton R. J. On the Equivalence of FeFp and FpFe // J. Appl. Mech. — 1972. — 39. —C. 287-289.

54. Кондауров В.И. Об уравнения упруговязкопластической среды с конечными деформациями // Журн. прикл. механики и иехнической физики. — 1982. — 4.

— С. 133-139.

55. Кукуджанов В.Н., Кондауров В.И. Численное решение неодномерных задач динамики твердого деформируемого тела // Проблемы динамики упругопластических сред. — М.: Мир, 1975. — С. 38-84.

56. Роговой A.A. Определяющие соотношения для конечных упруго-неупругих деформаций // Прикл. мех. и техн. физ.. — 2005. — Т. 46, 5. — С. 138-149.

57. Аннин Б.Д., Жигалкин В.М. Поведение материалов в условиях сложного нагружения. — Новосибирск : Издательство СО РАН, 1999.

58. Кадашевич Ю.И., Новожилов В.В. Микронапряжения в конструкционных материалах. — JI.: Машиностроение, 1990.

59. Коротких Ю.Г. Математическая модель упругопластической среды, основанная на концепции кинематического и изотропного упрочнения и ее реализация в статических и кинематических задачах // Тр. II Всесоюзн. Конф. по числ. методам решения задач теории упругости и пластичности. — Новосибирск, 1971. —С. 156-169.

60. Прагер В. Введение в механику сплошных сред.. — М.: Изд-во иностр. лит., 1963.

61. Прагер В. Проблемы теории пластичности. —М.: Физматгиз, 1958.

62. Мясников В.П. Уравнения движения упругопластических материалов при больших деформациях // Вестн. ДВО РАН. — 1996. — 4. — С. 8-13.

63. Dafalias Y.F. Corotational rates for kinematic hardening at large plastic deformations // J. Appl. Mech. — 1983. — T. 50, 3. — C. 561-565.

64. Dafalias Y.F. The plastic spin concept and a simple illustration of its role in finite plastic transformations // Mech. Mater.. — 1984. — T. 3, 3. — C. 223-233.

65. Fressengeas C., Molinary, A. Models d ecrouissage: cinematique en grande deformation // C.r. Acad. sci.. — 1983. — 11. — C. 39-96.

66. Naghdabadi R., Yeganeh M., Saidi A.R. Application of corotational rates of the logarithmic strain in constitutive modeling of hardening materials at finite deformations // International Journal of Plasticity. — 2005. — 21. — C. 1546-1567.

67. Zhou X., Tamma K.K. On the applicability and stress update formulations for corotational stress rate hypoelasticity constitutive models // Finite Elements in Analysis and Design. — 2003. — 39. — C. 783-816.

68. Naghdabadi R., Sohrabpour S., Saidi A.R. Corotational Constitutive Modeling of Isotropic and Kinematic Hardening Materials // Scientia Iranica. — 2003. — T. 10, 1.

— C. 56-63.

69. Montans F.J., Bathe K.J. Computational issues in large strain elasto-plasticity: an algorithm for mixed hardening and plastic spin // Int. J. Numer. Meth. Engng. — 2005. —63. —C. 159-196.

70. Colak O.U. Modeling of large simple shear using a viscoplastic overstress model and classical plasticity model with different objective stress rates // Acta Mechanica.

— 2004. —167. —C. 171-187..

71. Seifert Т., Maier G. Consistent linearization and finite element implementation of an incrementally objective canonical form return mapping algorithm for large deformation inelasticity // Int. J. Numer. Mech. Engng. — 2008. — 75. — C. 690708.

72. Ponthot J.P. Unified stress update algorithms for the numerical simulation of large deformation elasto-plastic and elasto-viscoplastic processes // International Journal of plasticity. — 2002. — 18. — C. 91-126.

73. Бабенко К.И. Основы численного анализа. —Москва-Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2002.

74. Самарский A.A. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1977.

75. Самарский A.A. Введение в теорию разностных схем. — М. : Наука, 1971.

76. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. Введение в теорию. — М. : Наука, 1977.

77. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука, 1970.

78. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. —М.: Наука, 1989.

79. Баженов В.Г. Нелинейные задачи динамики тонкостенных конструкций при импульсных воздействиях // Прикл. пробл. прочности и пластичности: Всесоюз. межвуз. сб.. — 1981. — 18. — С. 57-66.

80. Баженов В.Г. Численное исследование нестационарных процессов деформации упругопластических оболочек // Проблемы прочности. — 1984. — 11. — С. 51-54.

81. Зенкевич O.K. Метод конечных элементов в технике. — М.: Мир, 1975.

82. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. — М.: Мир, 1976.

83. Розин JI.A. Метод конечных элементов в применении к упругим системам. — М.: Стройиздат, 1977.

84. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. — JI.: Судостроение, 1974.

85. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. — Рига: Зинатне, 1988.

86. Адясова Н.М., Капустин С.А. Исследование упруго-пластических составных конструкций МКЭ // Прикладные проблемы прочности и пластичности. — 1976. — 2. — С. 119-127.

87. Баженов В.Г., Кибец А.И. Численное моделирование трехмерных задач нестационарного деформирования упругопластических конструкций методом конечного элемента // Изв. РАН МТТ. — 1994. — 1. — С. 52-59.

88. Капустин С.А., Латухин А.Ю. О применении неявных схем для исследования нестационарного поведения криволинейных стержней с учетом геометрической нелинейности // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Алгоритмизация и автоматизация решения задач упругости и пластичности. — 1980. — С. 68-75.

89. Belytchko Т., Mullen R. Stability explicit-implicit mesh partitions in time integrations // Int. J. Num. Meth. in Eng.. — 1979. — 12. — C. 1575-1586.

90. Huges T.J.R., Pister K.S., Taylor R.L. Implicit-explicit finite elements in nonlinear transient analysis // Comput. Meth. Appl. Mech. Eng.. — 1979. — 1. — C. 159-182.

91. Галимов K.3., Паймушин B.H. Теория оболочек сложной геометрии. (Геометрические вопросы теории оболочек).. — Казань : Изд-во Казанск. ун-та, 1985.

92. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы.. — М.: Мир, 1984.

93. Коробейников С.Н. Численное решение уравнений с особенностями деформирования упругопластических оболочек вращения // Вычислительные технологии. — 2001. — Т. 6, 5. — С. 39-59.

94. Баженов В.Г., Баранова М.С., Кибец А.И., Ломунов В.К., Павленкова Е.В. Выпучивание упругопластических цилиндрических и конических оболочек при осевом ударном нагружении // Ученые записки казанского государственного университета. Физико-математические науки . — 2010. — Т. 152, 4. — С. 86105.

95. Колпак Е.П. Устойчивость безмоментных оболочек при больших деформациях.. — Санкт-Петербург : СПбГУ, 2000.

96. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Решение задач нестационарной динамики пластин и оболочек вариационно-разностным методом: Учебное пособие. — Н.Новгород : Изд. ННГУ, 2000.

97. Мяченков В.И. Мальцев В.П. Методы и алгоритмы расчета пространственных конструкций на ЭВМ ЕС. — М.: Машиностроение, 1984.

98. Хорошавин Е.А., Ульянова Т.В. Программный комплекс расчета физически нелинейных оболочечных конструкций РАФИНОК // Пространств, конструкции в Красноярском крае. — 1990. — С. 157-158.

99. Сергеева JI.B. Трехмерная программа расчета напряженно-деформированного состояния оболочечных конструкций сложной пространственной геометрии // Атом, энергия. — 1996. — Т. 80, 2. — С. 81-87.

100. Fattahlioglu О. A. OASIS computer analysis of orthotopic and isotropic shells of revolution using asymptotic solutions // Pressure Vessel Technol.: Proc. 6th Int. Conf.. —Beijing, 1998. —T. 1. —C. 603-617.

101. Siemens Product Lifecycle Management Software Inc. Femap 11.0 new features. — 2013.

102. Басов К.A. ANSYS для конструкторов. — M.: ДМК Пресс, 2009.

103. Семенов А.А., Габитов А.И., Порываев И.А., Сафиуллин М.Н., Юрченко В.В. Металлические конструкции. Расчет элементов и соединений с использованием программного комплекса SCAD. Учебное пособие. — М. : Изд-во СКАД СОФТ, Изд-во АСВ, 2012.

104. Structure SCAD Интегрированная система прочностного анализа и проектирования конструкций Structure CAD Office // Веб-сайт корпорации SCAD Structure. — http://www.scadgroup.com.

105. Structural Research and Analysis Corporation Cosmos/DesignSTAR пакет для анализа состояния элементов конструкции. — Санкт-Петербург, 2002.

106. Sierra К., Bates В. Head First Java. — O'Reilly Media, 2005.

107. Freeman E., Robson E., Bates В., Sierra K. Head First Design Patterns. — O'Reilly Media, 2004.

108. Баженов В.Г., Ломунов B.K. Устойчивость и закритическое состояние оболочек вращения при осевом ударе // Прикладная механика. — 1986. — Т. 22, 9. — С. 28-33.

109. Аннин Б.Д., Коробейников С.Н. Допустимые формы упругих законов деформирования в определяющих соотношениях упруго-пластичности // Сиб. ж. индустр. математики. — 1998. — Т. 1, 1. — С. 21-34.

99

110. Баженов В.Г., Павленкова Е.В., Артемьева A.A. Численное решение обобщенных осесимметричных задач динамики упругопластических оболочек вращения при больших деформациях // Вычислительная механика сплошных сред. — 2012. — Т. 5, 4. — С. 427-434.

111. Казаков Д.А., Капустин, С.А., Коротких Ю.Г. Моделирование процессов деформирования и разрушения материалов и конструкций. — Н.Новгород : Изд-во ННГУ, 1999.

112. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Численные методы решения задач нестационарной динамики тонкостенных конструкций // Механика твердого тела. — 2001. — 5. — С. 156-173.

113. Баженов В.Г., Ломунов В.К. Экспериментально-теоретическое исследование процесса образования шейки при растяжении стального трубчатого образца до разрыва // Проблемы прочности и пластичности. — 2001.

— С. 35-41.

114. Zbib Н.М., Aifantis Е.С. On the Concept of Relative and Plastic Spins and its Implications to Large Deformation Theories // Acta mechanica. — 1988. — 75. — C. 15-33.

115. Баженов В.Г., Жегалов Д.В., Павленкова E.B. Численное и экспериментальное исследование упругопластических процессов растяжения-кручения осесимметричных тел при больших деформациях // Механика твердного тела. — 2011. — 2. — С. 57-66.

116. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. — М. : Наука, 1967.

117. Баженов В.Г., Зефиров C.B., Кибец А.И. О численной реализации вариационно-разностной моментной схемы решения нелинейных задач динамики нетонких оболочек при импульсных воздействиях // Прикладные проблемы прочности и пластичнсоти. Методы решения: Всесоюзн. межвуз. сб..

— 1988. —С. 69-77.

118. Ломунов В.К. // Упруго-пластическое выпучивание гладких, составных и подкрепленных оболочек вращения при осевом ударе. Дисс. канд. тех. наук. — Горький, 1979.

119. Баженов В.Г., Ломунов В.К. Влияние статического давления на устойчивость упругопластических цилиндрических оболочек при продольном ударном нагружении // Прикладные проблемы прочности и пластичности. — 1979. —12. —С. 39-42.